Laplace-, Fourier- und z-Transformation: Grundlagen und Anwendungen

Laplace- Fourier- und z-Transformation

Helmut UlrichHubert Weber

Grundlagen und Anwendungen

10 Auflage


Helmut Ulrich middot Hubert Weber

Laplace- Fourier- und z-TransformationGrundlagen und Anwendungen

10 erweiterte Auflage

Helmut UlrichWenzenbach Deutschland

Hubert WeberRegensburg Deutschland

ISBN 978-3-658-03449-8 ISBN 978-3-658-03450-4 (eBook)httpsdoiorg101007978-3-658-03450-4

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Vorwort

Der Inhalt der vorliegenden Neuauflage wurde didaktisch und inhaltlich umfassend uumlberarbei-tet wobei das grundlegende Konzept des Buches beibehalten wurde Vor allem die Fourier-Transformation wurde neu gestaltet und Ergaumlnzungen wie das Zeit-Bandbreite-Produkt mit aufgenommen Neu hinzu gekommen ist auch die Behandlung partiel-ler Differentialgleichungen in Abschnitt 45 Ziel des Buches ist es die Prinzipien und Vorgehensweisen der auszufuumlhrenden Transforma-tionen zu vermitteln und die Vorteile zu erkennen die damit verbunden sind Waumlhrend die Fourier-Transformation vor allem fuumlr die Frequenzanalyse verwendet wird wer-den mit der Laplace-Transformation lineare und zeitinvariante Systeme behandelt und berech-net Die im Zeitbereich oft nicht einfachen Differentialgleichungen die das Systemverhalten beschreiben gehen durch die Laplace-Transformation in algebraische Gleichungen uumlber die wesentlich einfacher zu loumlsen sind Daraus ergeben sich wiederum die fuumlr ein System wichtige Uumlbertragungsfunktion das Input-Outputverhalten von Signalen und Aussagen zur Systemsta-bilitaumlt Durch diesen Vorteil erlangte die Laplace-Transformation groszlige Bedeutung auf vielen Gebieten wie der Elektro- und Informationstechnik der Nachrichtentechnik der Regelungs-technik der Mechatronik und Physik Zur Beschreibung diskreter Signale und Systeme eignet sich die z-Transformation Problem-stellungen wie etwa die Abtastung kontinuierlicher Signale koumlnnen damit elegant geloumlst wer-den Wichtige Begriffe wie Uumlbertragungsfunktion Frequenzverhalten oder Input-Outputver-halten koumlnnen mit der z-Transformation auf diskrete Signale und Systeme uumlbertragen werden Die zahlreich vorhandenen Beispiele und Aufgaben dienen der praktischen Anwendung im Umgang mit diesen Methoden Meinem Kollegen Prof Dr Manfred Leitz moumlchte ich besonders danken fuumlr die wertvollen Diskussionen und Vorschlaumlge vor allem zum Abschnitt der Fourier-Transformation Der Begruumlnder dieses Buches Prof Hubert Weber ist Anfang 2016 bedauerlicher Weise ver-storben Ihm sei mit dieser Neuauflage ein ehrendes Gedenken gewidmet Regensburg im September 2017 Helmut Ulrich

ck

t

VIII Inhaltsverzeichnis

36 Faltungssatz 73 Aufgaben zum Abschnitt 36 75

37 Inverse Laplace-Transformation durch Reihenentwicklung der Bildfunktion 76 Aufgabe zum Abschnitt 37 79

38 Integrationssatz fuumlr die Originalfunktion 79 Aufgaben zum Abschnitt 38 83

39 Differentiationssatz fuumlr die Originalfunktion 84 391 Differentiationssatz der verallgemeinerten Ableitung

einer Originalfunktion 87 310 Grenzwertsaumltze 90

3101 Anfangswertsatz 90 3102 Endwertsatz 91 Aufgaben zum Abschnitt 310 92

311 Differentiationssatz fuumlr die Bildfunktion 92 Aufgaben zum Abschnitt 311 94

312 Integrationssatz fuumlr die Bildfunktion 95 Aufgaben zum Abschnitt 312 97

4 Anwendungen der Laplace-Transformation 98 41 Loumlsen von linearen gewoumlhnlichen Differentialgleichungen

mit konstanten Koeffizienten 98 Aufgaben zum Abschnitt 41 104

42 Loumlsen von Systemen gewoumlhnlicher Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten 105 Aufgaben zum Abschnitt 42 111

43 RCL-Netzwerke 112 Aufgaben zum Abschnitt 43 124

44 Uumlbertragungsverhalten von linearen Netzwerken 127 441 LTI-Systeme 127 442 Impulsantwort und Sprungantwort 128 443 Uumlbertragungsfunktion 128 444 Pol-Nullstellen-Plan einer echt gebrochen rationalen Bildfunktion 139 445 Stabilitaumlt von linearen Systemen 142 446 Uumlbertragungsfunktion und Frequenzgang 143 447 Ausgangssignal bei impulsfoumlrmig periodischer Anregung 147 Aufgaben zu Abschnitt 44 152

45 Lineare partielle Differentialgleichungen 155

5 Zusammenschaltung von LTI-Systemen 160 51 In Reihe geschaltete Systeme 160 52 Parallel geschaltete Systeme 163 53 Ruumlckgekoppelte Systeme 164 54 Elementare Uumlbertragungsglieder 166 55 Arbeiten mit Block-Diagrammen 168

551 Von der Netzwerkgleichung zum Block-Diagramm 168 552 Vom Block-Diagramm zur Netzwerkgleichung

und Uumlbertragungsfunktion 170 56 Stabilisierung durch Ruumlckkopplung 173

Inhaltsverzeichnis IX

57 Versetzen von Strukturelementen in Blockschaltbildern 175 571 G(s) uumlber eine Additionsstelle vorwaumlrts schieben 175 572 G(s) uumlber eine Additionsstelle ruumlckwaumlrts schieben 176 573 G(s) uumlber eine Verzweigungsstelle vorwaumlrts schieben 176 574 G(s) uumlber eine Verzweigungsstelle ruumlckwaumlrts schieben 176 575 Ruumlckkopplungskreis zusammenfassen 176

58 Aufgaben zu Abschnitt 5 177

6 Die z-Transformation (ZT) 179 61 Diskrete Funktionen und Signale 179 62 Definition der z-Transformation 180 63 Eigenschaften der z-Transformation 181 64 Abbildung der s-Ebene auf die z-Ebene 181 65 z-Transformation elementarer Signalfolgen 182

651 Sprungfolge 182 652 Deltaimpuls 183 653 Verschobener Deltaimpuls 183 654 Exponentialfolge 183 655 Rechteckimpuls der Laumlnge N 184 656 Folge der abgetasteten cos-Funktion 185

66 Saumltze zur z-Transformation 186 661 Linearitaumlt 186 662 Verschiebungssatz 186 663 Daumlmpfungssatz 186 664 Multiplikationssatz im Zeitbereich 187 665 Faltungssatz 187 666 Differenzenbildung 188 667 Summenbildung 188 668 Periodische Abtastfolge 188

67 Methoden der Ruumlcktransformation 192 671 Inverse z-Transformation (ZTminus1) 192 672 Praktische Methoden der Ruumlcktransformation 192 Aufgaben zu Abschnitt 66 und 67 194

68 Diskrete LTI-Systeme 195 681 Lineare Differenzengleichungen mit konstanten Koeffizienten 195 682 Uumlbertragungsfunktion G(z) 197 683 Frequenzgang F(ω) 199 684 Systemstabilitaumlt 200 685 Pol-Nullstellen-Plan (PN-Plan) 201

69 Blockdiagramme diskreter LTI-Systeme 203 691 Reihen-Schaltung diskreter Teilsysteme 203 692 Parallel-Schaltung diskreter Teilsysteme 204 693 Ruumlckgekoppelte diskrete Systeme 206 Aufgaben zu Abschnitt 68 und 69 208

X Inhaltsverzeichnis

7 Anhang 209 71 Ergebnisse der Aufgaben 209 72 Eigenschaften der Deltafunktion 227 73 Saumltze zur Laplace-Transformation 228 74 Korrespondenzen der Laplace-Transformation 229 75 Saumltze zur z-Transformation 237 76 Korrespondenzen der z-Transformation 237

Literatur 239

Sachwortverzeichnis 240

1 Fourier-Reihen Zusammenfassung Periodische Funktionen und Signale koumlnnen als Uumlberlagerung von har-monischen Schwingungen dargestellt werden Deren Frequenzen muumlssen ganzzahlige Vielfa-che der Grundfrequenz des periodischen Signals sein Die Methode mit der man die entspre-chenden Schwingungsanteile aufsummiert ist die Fourier-Reihe Die Koeffizienten dieser Summe ergeben ein Linienspektrum aus dem hervorgeht aus welchen Frequenzanteilen sich das Zeitsignal zusammensetzt

11 Einfuumlhrung In vielen Bereichen der Physik und der Technik haben harmonische Schwingungen eine groszlige Bedeutung Harmonische Schwingungen werden durch eine Sinusfunktion der Art

( ) sin( )f t A t (11)

beschrieben Hierbei ist A die Amplitude die Kreisfrequenz und der Phasenwinkel Bei der Uumlberlagerung derartiger harmonischer Schwingungen sind zwei Faumllle zu unterscheiden

1 Uumlberlagert man harmonische Schwingungen der gleichen Frequenz so erhaumllt man wie-der eine harmonische Schwingung derselben Frequenz Amplitude und Phase werden dabei jedoch geaumlndert In der Wechselstromtechnik findet diese Tatsache haumlufig Verwendung Durch Uumlberlage-rung von sinusfoumlrmigen Wechselspannungen der gleichen Frequenz etwa der Netzfre-quenz 50 Hz erhaumllt man wieder eine sinusfoumlrmige Wechselspannung der Frequenz 50 Hz

2 Durch Uumlberlagerung von harmonischen Schwingungen verschiedener Frequenzen kann man periodische Vorgaumlnge erzeugen die im Allgemeinen jedoch nicht sinusfoumlrmig sind Die Frequenzen dieser Schwingungen muumlssen ganzzahlige Vielfache der Grundfrequenz des periodischen Vorgangs sein d h ein rationales Frequenzverhaumlltnis haben weil nur dadurch gewaumlhrleistet ist dass sich am Ende der Periodendauer alle Schwingungen genau wieder im urspruumlnglichen Anfangszustand befinden so dass der Vorgang sich periodisch wiederholen kann

Diese beiden Faumllle sollen spaumlter noch genauer analytisch untersucht werden Es stellt sich jetzt die Frage ob man auch umgekehrt eine beliebige periodische Funktion als eine Summe von harmonischen Schwingungen darstellen kann Diese Frage wurde von dem franzoumlsischen Mathematiker Joseph B Fourier (1768ndash1830) un-tersucht und eine Berechnungsmethode dafuumlr angegeben Die genauen Bedingungen hierfuumlr wurden spaumlter von dem deutschen Mathematiker Peter Gustav Dirichlet (1805ndash1859) for-muliert

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2 1 Fourier-Reihen

12 Reelle Fourier-Reihen 121 Grundbegriffe

Definition 11 Eine Funktion )( tf heiszligt T-periodisch (periodisch mit der Periode T) wenn fuumlr alle Zeit-punkte t des Definitionsbereichs gilt

)()( tfTtf (12)

Definition 12

Eine T-periodische Funktion )( tf genuumlgt den Dirichletbedingungen wenn

1 )( tf beschraumlnkt ist

2 )( tf im Intervall 0T houmlchstens endlich viele Unstetigkeitsstellen hat

3 die Ableitung )(tf im Intervall 0T bis auf houmlchstens endlich viele Stellen stetig ist

Eine T-periodische Funktion )( tf die den Dirichletbedingungen genuumlgt kann innerhalb einer Periodendauer T in endlich viele Teilintervalle zerlegt werden auf denen )( tf monoton und stetig verlaumluft An Unstetigkeitsstellen treten nur endliche Sprunghoumlhen auf Diese Voraussetzungen sind bei den in den Anwendungen auftretenden periodischen Zeitfunk-tionen im Allgemeinen erfuumlllt

Satz 11

Eine T-periodische Funktion welche den Dirichletbedingungen genuumlgt laumlsst sich als Fourier-Reihe darstellen

0 0 0=1

( ) = + cos( )+ sin( )k kk

f t a a k t b k t (13)

wobei T

2

0 die Grundkreisfrequenz ist

Gl (13) laumlsst sich folgendermaszligen physikalisch interpretieren Ein periodischer Vorgang kann in eine Summe von harmonischen Schwingungen zerlegt wer-den Dabei koumlnnen neben der Grundfrequenz nur ganzzahlige Vielfache dieser Frequenz auftre-ten Man spricht in diesem Zusammenhang daher auch von Fourier-Analyse bzw harmoni-scher Analyse

12 Reelle Fourier-Reihen 3

Satz 12

Eine Fourier-Reihe konvergiert an jeder Stetigkeitsstelle st der Zeitfunktion f(t) gegen den Funktionswert ( )sf t und an einer Unstetigkeitsstelle ut gegen das arithmetische Mittel aus dem rechts- und linksseitigen Grenzwert der Zeitfunktion f(t)

0 0

1 lim ( ) lim ( )2 u u

t tf t t f t t

Fuumlr die weiteren Uumlberlegungen ist es zweckmaumlszligig durch die Substitution x = ω0 t mit ω0T = 2

von einer T-periodischen Funktion f(t) zu einer 2-periodischen Funktion f(x) uumlberzugehen Man hat dann den Vorteil periodische Funktionen f(x) zu betrachten die alle die gleiche Pe-iode 2 haben Die Fourier-Reihe nach Gl (13) geht damit uumlber in die Form

01

( ) cos( ) sin( )k kk

f x a a k x b k x

(15)

122 Berechnung der reellen Fourier-Koeffizienten

Fuumlr alle ganzzahligen von Null verschiedenen Zahlen k im Intervall [02π] gilt

2 2

0 0sin( ) 0 und cos( ) =0k x dx k x dx

(16)

Fuumlr alle ganzzahligen von Null verschiedenen Zahlen k und m gilt

2

0

0 fuumlr sin( )sin( ) =

fuumlr k n

k x n x dxk = n

(17)

2

0

0 fuumlr cos( )cos( ) = fuumlr

k nkx nx dx

k n=

(18)

2

0sin( )cos( ) = 0 k x n x dx k n

(19)

1 Berechnung des Fourier-Koeffizienten a0 (konstantes Glied der Fourier-Reihe) Durch Integration der Fourier-Reihe Gl (15) uumlber eine volle Periode 2π erhaumllt man

0 0

2 2 2 2

k=10 0 0 0

( ) = + cos( ) + sin( ) = 2 k kf x dx a dx a kx dx b kx dx a

da nach Gl (16) die Integrale unter dem Summenzeichen den Wert Null haben

4 1 Fourier-Reihen

0

a0

f(x)

x

Bild 11 Mittelwert a0 von f(x)

Damit ergibt sich fuumlr das konstante Glied der Fourier-Reihe 2

00

1 ( )2

a f x dx

(110)

Der vertikale Versatz einer periodischen Funktion f(x) um den Mittelwert a0 wird auch als Offset bezeichnet 2 Berechnung der Fourier-Koeffizienten ak 1) ( k

Wir gehen aus von Gl (15) und waumlhlen voruumlbergehend n als Summationsindex

01

( ) = cos( ) + sin( )n nn

f x a a n x b n x

Eine Multiplikation mit cos(kx) und anschlieszligende Integration uumlber eine Periode ergibt 2 2 2 2

1 10 0 0 00( ) cos( ) cos( ) cos( )cos( ) sin( )cos( )n n

n nf x k x dx a k x dx a nx k x dx b nx k x dx

Nach den Gleichungen (16) (18) und (19) haben alle Integrale den Wert Null bis auf ein einziges in der Summe der an naumlmlich wenn n = k ist Dafuumlr gilt nach (18)

2 2

0 0

( )cos( ) cos( ) cos( )k kf x k x dx a k x k x dx a

Daraus folgt fuumlr die Fourier-Koeffizienten ak

2

0

1 ( ) cos( )ka f x kx dx

k = 1 2 3

(111)

3 Berechnung der Fourier-Koeffizienten bk Multipliziert man Gl (15) mit sin(kx) und integriert anschlieszligend uumlber eine volle Periode so erhaumllt man in gleicher Weise die Koeffizienten bk

2

0

1 ( ) sin( )kb f x kx dx

k = 1 2 3

(112)

Gleichung (110) erlaubt eine anschauliche Inter-pretation des Fourier-Koeffizienten a0 als linearen Mittelwert der periodischen Funktion f(x)


4 Verschiebung des Integrationsintervalls

Alle bei der Berechnung der Fourier-Koeffizienten auftretenden Integranden I(x) naumlmlich f(x) ( ) cos( )f x kx und ( )sin( )f x kx sind 2-periodische Funktionen Daher gilt

2 2

0

( ) ( )I x dx I x dx

(113)

Als Integrationsintervall kann daher ein beliebiges Intervall [ + 2] der Laumlnge 2 gewaumlhlt werden Insbesondere ist es fuumlr manche Funktionen f(x) guumlnstiger anstelle des Intervalls [0 2] z B das Intervall [ ] fuumlr Berechnungen zu verwenden 5 Berechnung der Fourier-Koeffizienten gerader und ungerader Funktionen

Die Berechnung der Fourier-Koeffizienten gestaltet sich einfacher wenn die periodische Funk-tion f(x) eine Symmetrie besitzt wenn sie also entweder eine gerade oder eine ungerade Funk-tion ist a) Ist f(x) eine gerade periodische Funktion dann gilt f(x) = f(x)

f(x)

x

0

A

Bild 12 Gerade Funktion f(x)

Ist f(x) eine gerade Funktion so ist auch f(x)cos(x) eine gerade Funktion f(x)sin(x) dagegen ist eine ungerade Funktion

Waumlhlt man als Integrationsintervall [ ] so erhaumllt man fuumlr die Fourier-Koeffizienten

0

00 0 0

1 1 1( ) ( ) 2 ( ) ( )2 2

a f x dx f x dx f x dx f x dx

0

0 0

1 2( )cos( ) ( )cos( ) ( )cos( )π πka f x kx dx f x kx dx f x kx dx

(114)

0

0

1 ( )sin( ) ( )sin( ) 0 πkb f x kx dx f x kx dx k

Eine gerade Funktion f(x) wird allein durch die Koeffizienten a0 und ak bestimmt Die Fourier-Reihe einer geraden periodischen Funktion ist eine reine bdquoKosinusreiheldquo b) Ist f(x) eine ungerade periodische Funktion dann gilt f(x) = f(x) In diesem Fall ist f(x) middot cos(x) das Produkt einer ungeraden und einer geraden Funktion was eine ungerade Funktion ergibt Waumlhrend f(x) middot sin(x) als Produkt von zwei ungeraden Funktio-nen eine gerade Funktion ergibt

6 1 Fourier-Reihen

f(x)

x

0

Bild 13 Ungerade Funktion f(x)

Verwendet man das Integrationsintervall und beruumlcksichtigt die entsprechen-den Symmetrien wie oben gezeigt so folgt

0 ka k und

0

))sin((2 dxxkxfbk

(115)

Die Fourier-Reihe einer ungeraden Funktion ist eine reine bdquoSinusreiheldquo Durch Ausnuumltzen von vorhandenen Symmetrien laumlsst sich der Rechenaufwand zur Berechnung der Koeffizienten einer Fourier-Reihe also wesentlich verringern Man wird daher eine vorgegebene periodische Zeitfunktion deren Fourier-Reihe bestimmt werden soll zuerst auf Symmetrien untersuchen Auch die Tatsache dass bei geraden Funktio-nen die Fourier-Koeffizienten ka bzw bei ungeraden Funktionen die Fourier-Koeffizienten

kb durch Integrale von 0 bis anstelle der Integrale von 0 bis 2 berechnet werden bedeutet in vielen Faumlllen eine Vereinfachung der Rechnung

Uumlbersicht

Periodische Zeitfunktion f(t) Fourier-Koeffizienten

Zeitfunktion ohne Symmetrie

f (x)

x

0

A

2

00

2

02

0

1 ( )2

1 ( )cos( )

1 ( )sin( )

k

k

a f x dx

a f x k x dx

b f x k x dx

Gerade 2-periodische Funktion

f (x)

x

0

A

00

0

1 ( )

2 ( )cos( )

0

k

k

a f x dx

a f x k x dx

b k

Ungerade 2-periodische Funktion f (x)

x

0

0

0

0 0

2 ( ) sin( )

k

k

aa k

b f x kx dx


123 Amplitudenspektrum Sinus- und Kosinusglieder der gleichen Frequenz koumlnnen zu einem resultierenden Sinusglied mit Phasenverschiebung zusammengefasst werden Es gilt

cos( ) + sin( ) = sin( + )= sin( )cos( ) + cos( )sin( )

k k k k

k k k

a kx b kx A kx A kx kx

Ein Koeffizientenvergleich liefert sin ( )k k ka A und cos( )k k kb A

Daraus folgt

2 2 k k kA a b (116)

tan( ) = kk

k

ab

(117)

ak

bk

Ak

0

k

Stellt man die in der Phase um 90 gegeneinander verschobenen Amplituden der Sinus- und Kosinus-schwingungen ak und bk in einem Zeigerdiagramm dar so kann man daraus Ak und φk nach Gleichung (116) und (117) bestimmen

Bild 14 Zeigerdiagramm

k

0 1 5

Ak

Amplitudenspektrum Man erhaumllt einen anschaulichen Uumlberblick uumlber die harmonischen Schwingungsanteile der Fourier-Reihe (15) wenn man die Amplituden Ak uumlber den auftretenden Frequenzen in einem Diagramm darstellt

Bild 15 Amplitudenspektrum

8 1 Fourier-Reihen

Beispiel 11 Es soll die Fourier-Reihe der 2-periodischen Rechteckfunktion bestimmt werden

fuumlr 0( )

fuumlr 0A x

f xA x

( 2 ) ( )f x f x

f (x)

x

A

0

A

2

Bild 16 Periodische Rechteckfunktion

Da die Funktion symmetrisch zur x-Achse liegt also keinen Offset hat ist der lineare Mittel-wert a0 = 0 Weiter gilt dass die Rechteckfunktion wegen f(x) = f(x) ungerade ist womit alle Koeffizienten ak = 0 werden Es muumlssen daher nur die Fourier-Koeffizienten bk berechnet werden Dafuumlr gilt

00 0

2 2 2 cos( )( )sin( ) sin( )

4 fuumlr 2 1

0 fuumlr 2

k

k

A k xb f x k x dx A k x dxk

A k nkb n

k n

Die Fourier-Reihe lautet damit

1

4 sin(3 ) sin(5 ) sin(7 ) sin(9 )( ) sin( ) 3 5 7 9

4 sin(2 1)( ) 2 1k

A x x x xf x x

A k xf x kk

0 1 3 5

k

7

Ak

4A

Im Amplitudenspektrum der Rechteckfunk-tion erkennt man dass neben der Grundfre-quenz (k = 1) nur die ungeradzahligen Vielfachen der Grundfrequenz mit abneh-mender Amplitude auftreten

Bild 17 Amplitudenspektrum Rechteckfunktion

Wird der Summationsindex der Fourier-Reihe endlich gewaumlhlt d h nur bis zu einem beliebi-gen endlichen Wert n ausgefuumlhrt

1

4 sin(2 1)( ) 2 1k

n

nA k xf x

k


so kann man sehen wie sich die Naumlherungsfunktion fn(x) mit zunehmendem n dem Verlauf der Funktion f(x) annaumlhert Bild 18 zeigt den Verlauf der Rechteckfunktion f(x) und die Naumlhe-rungsfunktion fn(x) fuumlr n = 5 und n = 15 An den Unstetigkeitsstellen x = 0 2 liefert die Fourier-Reihe den Wert f(x) = 0 Dies ergibt sich nach Satz 12 als Mittelwert der rechts- und linksseitigen Grenzwerte

Weiter zeigt sich dass an den Sprungstellen Uumlberschwinger auftreten die auch mit zunehmen-den n nicht verschwinden Diese Uumlberschwinger nennt man das Gibbsrsquosches Phaumlnomen oder den Gibbs overshoot Benannt nach dem amerikanischen Physiker Willard Gibbs (1839ndash1903) der das Phaumlnomen aufgeklaumlrt hat Fuumlr n erreichen die Uumlberschwinger einen Grenzwert von 179 der Amplitudenhoumlhe der Rechteckfunktion Der Gibbs overshoot tritt auf bei Fourier-Reihen von periodischen Funktionen f(x) mit Sprung-stellen Bei Fourier-Reihen von stetigen Funktionen ergeben sich keine Gibbsrsquoschen Uumlber-schwinger

Beispiel 12 Gegeben ist die 2-periodische Funktion f(x) die im Intervall [ndash ] definiert ist durch

f (x)

x0

-A

A

)()2(

ltx0 2

0ltx 2 =)(

xfxf

xAA

xAAxf

Bild 19 Periodische Dreiecksfunktion f(x)

Da f(x) eine gerade Funktion ist sind alle bk = 0 Auch ohne Rechnung erkennt man dass a0 = 0 sein muszlig da f(x) symmetrisch zur x-Achse liegt also keinen Offset hat

f5(x) f15(x)

Bild 18 Naumlherungsfunktionen fn(x) fuumlr n = 5 und n = 15

10 1 Fourier-Reihen

Fuumlr die Koeffizienten ak mit 1k erhaumllt man

0 0

2 2 2 ( ) cos( ) 1 cos( )kAa f x x dx x kx dx

2 2 2 2 2 20 0

2 sin( ) 4 sin( ) cos( ) 4 4 1 cos( ) 1 ( 1)kk

A k x A x k x k x A Aa kk k k k k

2 28 fuumlr ungerade

0 fuumlr geradek

A ka k

k

Damit ergibt sich die Fourier-Reihe der periodischen Dreiecksfunktion

28 cos(3 ) cos(5 ) cos(7 )( ) cos( )

9 25 49A x x xf x x

Die Fourier-Reihe der periodischen Dreiecksfunktion hat keine Sprungstellen Es tritt kein Gibbs overshoot auf Auszligerdem konvergiert sie schneller als die Fourier-Reihe der Rechteck-funktion von Beispiel 11 da hier die Amplituden proportional zu 1k2 abnehmen

Alternierende periodische Funktionen Die Funktionen von Beispiel 11 und Beispiel 12 haben eine Gemeinsamkeit sie sind soge-nannte alternierende periodische Funktionen mit der Eigenschaft f (x + ) = f (x) Fuumlr alternierende periodische Funktionen sind die Fourier-Koeffizienten a2k = 0 und b2k = 0 Es treten nur harmonische Schwingungen auf deren Frequenzen ungeradzahlige Vielfache der Grundfrequenz sind

13 Komplexe Fourier-Reihen

131 Grundlagen Die aus dem Rechnen mit komplexen Zahlen bekannten Eulerrsquoschen Gleichungen mit

1j als imaginaumlrer Einheit lauten

cos( ) sin( ) jkx kx j kxe (118)


Durch Addition bzw Subtraktion der beiden Gleichungen erhaumllt man

1cos( )21sin( )

2 2

jkx jkx

jkx jkx jkx jkx

kx

jkxj

e e

e e e e

(120)

(121)

13 Komplexe Fourier-Reihen 11

Die reelle Fourier-Reihe 01

( ) cos( ) sin( )

k kk

f x a a k x b k x geht unter Verwendung

der Gleichungen (120) und (121) uumlber in

0

( ) 2 2

j k x jk x jk x jk xk k

k

a bf x e e j e e

0

( ) 2 2

j k x jk xk k k k

k

a jb a jbf x e e

Man kann die Terme mit jkxe und jkxe zu einem Term zusammenfassen wobei der Summa-tionsindex k dann von ndashinfin bis +infin laumluft

( ) jk xk

k

f x c e

(122)

Fuumlr die Koeffizienten dieser Reihe erhaumllt man 0

fuumlr 02 fuumlr 0

fuumlr 02

k k

k

k k

a jb k

c a ka jb k

(123)

Beachte Fuumlr k = 3 ist 3 33 2

a jbc fuumlr k = ndash3 ist 3 3

3 2a jbc

Im Gegensatz zu den reellen Koeffizienten ak und bk sind die Koeffizienten ck komplexe Zah-len Es besteht fuumlr k gt 0 der Zusammenhang

2 Re und 2 Im2 2k k

k k k k ka bc j a c b c (124)

Ist die 2-periodische Funktion f(x) eine gerade Funktion (d h bk = 0 fuumlr alle k) so sind die Fourier-Koeffizienten ck reell

Im Falle einer ungeraden periodischen Funktion f(x) (ak = 0 fuumlr alle k) sind die Fourier-Koeffizienten ck rein imaginaumlre Zahlen

132 Berechnung der komplexen Fourier-Koeffizienten ck

Multipliziert man die komplexe Fourier-Reihe ( ) jnxn

n

f x c e

mit dem Faktor jkxe

und integriert anschlieszligend uumlber eine Periode so erhaumllt man 2 2

( )

0 0

( ) jkx j n k xn

n

f x e dx c e dx

12 1 Fourier-Reihen

Fuumlr das Integral unter der Summe gilt 22 ( )

( )

00

0 fuumlr

2 fuumlr ( )

j n k xj n k x n kee dx

n kj n k

Von der gesamten Summe uumlber n bleibt nur der Term fuumlr n = k uumlbrig

2

( )

0

2j n k xn k

n

c e dx c

Damit erhaumllt man fuumlr die Koeffizienten ck der komplexen Fourier-Reihe

2

0

1 ( ) 2

jkxkc f x dxe

(125)

Auch fuumlr die komplexe Fourier-Reihe kann jedes Integrationsintervall [ + 2] gewaumlhlt werden wie unter Punkt 4 Verschiebung des Integrationsintervalls erwaumlhnt

Zwischen den Amplituden der reellen und der komplexen Fourier-Reihe besteht der Zusam-menhang

0 0

2 21 1 fuumlr 0 2 2

und fuumlr 0

k k k k k kc c c a b A k

c a k

(126)

Wie in Bild 110 zu sehen ist werden bei der komplexen Fourier-Reihe die Amplituden auf beide Seiten des Spektrums verteilt Man bezeichnet daher diese Darstellung als zweiseitiges Spektrum waumlhrend man bei der reellen Fourier-Reihe von einem einseitigen Spektrum spricht

Die Verteilung der ck-Amplituden auf beide Seiten des Spektrums hat zur Folge dass diese nur die halbe Houmlhe der Ak-Amplituden haben Fuumlr k = 0 ist 0 0c a der Mittelwert (Offset) in der reellen wie in der komplexen Fourier-Reihe muszlig natuumlrlich identisch sein Waumlhrend einseitige Spektren vorzugsweise in der Messtechnik zur Anwendung kommen eig-nen sich die zweiseitigen Spektren besonders fuumlr theoretische Betrachtungen Wir werden im Abschnitt Fourier-Transformation darauf zuruumlck kommen

0

k

1 5

1

1-5a) b)

5

1

Ak

k

0

kc

Bild 110 a) einseitiges Amplitudenspektrum b) zweiseitiges Amplitudenspektrum


Beispiel 13 Es soll die komplexe sowie die reelle Fourier-Reihe der 2-periodischen Funk-tion nach Bild 111 berechnet werden

f (x)

x0

0 fuumlr 0( )

fuumlr 0x

f xx x

( 2 ) ( )f x f x

Bild 111 Periodische Funktion f(x)

Man erkennt dass die Funktion f(x) nicht symmetrisch zur x-Achse liegt also einen Offset hat Wir erhalten fuumlr c0 als linearen Mittelwert

0

00

1 1( ) 02 2 4

c f x dx dx xdx

Fuumlr die Koeffizienten mit k 1 erhaumllt man

0

2 2 200

1 1 1 1 1 0 12 2 2

jkxjkx jk

kjkc dx x dx jkx

k k kee e

Unter Verwendung von 1 kjke erhalten wir fuumlr die

Komplexe Fourier-Reihe 0

21 1( ) ( 1) 1 ( 1)

4 2k

k k jk x

k

f x j ekk

Um zur Darstellung der reellen Fourier-Reihe zu kommen beachten wir dass gilt

2Re12 ( 1) 1k

k ka ck

und 1Im12 ( 1)k

k kb ck

Somit ergibt sich fuumlr die reelle Fourier-Reihe

1

21

( 1) 1 ( 1)( ) cos ( ) sin ( )4

k k

k

f x kx kxkk

Fuumlr die Amplituden des Spektrums erhalten wir

1

2

2 1 ( 1)1 12 ( )

k

kck k

und 2k kA c

k kc Ak

0 0785 0785 1 0593 118 2 025 050 3 017 034

2π

14 1 Fourier-Reihen

14 Aufgaben zur Fourier-Reihe

(Ergebnisse im Anhang) Aufgabe 11 Rechteckfunktion Man berechne die Fourier-Koeffizienten der in Bild 112 dargestellten 2-periodischen Funktion f(x)

Bild 112 Periodische Rechteckfunktion f(x)

Aufgabe 12 Einweg-Gleichrichtung von Wechselstrom

Bestimmen Sie die Fourier-Reihe der 2-periodischen Funktion f(x) die im Intervall [ ] gegeben ist durch

cos( ) fuumlr 2 2( ) 0 sonst

A x xf x

( 2 ) ( )f x f x

Bild 113 Einweg-Gleichrichtung

Aufgabe 13 Gegeben ist die 2-periodische Funktion nach Bild 114 Berechnen Sie die Fourier-Koeffizienten a0 a1 a2 b1 und b2

Bild 114 Periodische Funktion

2 fuumlr 0 2( ) 1 fuumlr 2

0 fuumlr 2

x x

f x x

x

)()2( xfxf

x0

1( )f x

2

2 2

f (x)

x

0 2

1

14 Aufgaben zur Fourier-Reihe 15

Aufgabe 14 Saumlgezahnfunktion

Man berechne die Fourier-Reihe der 2-periodischen Funktion f(x) die im Inter-vall [0 2] definiert ist durch

( ) 2xf x

x

f (x)1

0 22 4

Bild 115 Periodische Saumlgezahnkurve

Aufgabe 15 Gegeben ist die 2-periodische Funktion


( ) fuumlr 0 2xf x e x

)()2( xfxf

Berechnen Sie die komplexen Fourier-Koef-fizienten ck und die reellen Fourier-Koeffi-zienten a0 a1 und b1

Aufgabe 16

Fuumlr die 2-periodische Zeitfunktion die im Intervall gegeben ist durch Bild 117 sollen a0 a1 und b1 der reellen Fourier-Reihe bestimmt werden


fuumlr 2

( ) fuumlr 2 22 fuumlr 2

x x

f x x

x x

( )f x

2

2

x

2 Fourier-Transformation (FT) Zusammenfassung Auf nichtperiodische Funktionen kann die Fourier-Reihe nicht angewen-det werden Dazu wird die Fourier-Transformation benoumltigt Die Fourier-Reihe wird in eine Integraldarstellung uumlberfuumlhrt Aus dem diskreten Linienspektrum der Fourier-Reihe entsteht ein kontinuierliches Spektrum das als Fourier-Spektrum bezeichnet wird Mit der Zerlegung in den Amplituden- und Phasengang liefert diese Transformation die Voraussetzung fuumlr eine Frequenzanalyse beliebiger Signale Ein weiterer Aspekt der aus dem Spektrum abgeleitet werden kann ist das Zeit-Bandbreite Produkt das fuumlr die Signaluumlbertragung in der Kommuni-kationstechnik von Bedeutung ist

21 Uumlbergang von der Fourier-Reihe zum Fourier-Integral

Im Abschnitt 1 haben wir gesehen dass eine T-periodische Funktion fT(t) die den Dirichlet-Bedingungen genuumlgt als Fourier-Reihe dargestellt werden kann Da es sich bei praktischen Anwendungen hauptsaumlchlich um Zeitfunktionen handelt werden wir

die in Gl (14) eingefuumlhrte Variable x wieder durch x = ω0t ersetzen Dabei ist 02T die

Grundkreisfrequenz mit der Periodendauer T Nach Satz 11 der Fourier-Reihe erhalten wir

0 001

( ) cos( ) sin( )T k kk

f t a a k t b k t

(21)

Die rechte Seite von Gl (21) stellt die Zerlegung eines periodischen Vorgangs in eine Summe von harmonischen Schwingungen dar Die graphische Darstellung dieser Zerlegung ist das Amplitudenspektrum das aus einzelnen diskreten Linien besteht Es stellt sich nun die Frage ob man die Fourier-Entwicklung periodischer Funktionen in ge-eigneter Weise auch auf nichtperiodische Funktionen ausdehnen kann Wir betrachten dazu eine periodische Rechteckimpulsfolge fT(t) der Periodendauer T Wenn die Periodendauer T geht entsteht aus der periodischen Impulsfolge fT(t) ein Ein-zelimpuls f(t) als nichtperiodische Funktion

Bild 21 a) Periodische Funktion fT(t) b) Periodische Funktion fT(t)

bei Vergroumlszligerung der Perio-dendauer T

c) Nichtperiodische Funktion( )f t


21 Uumlbergang von der Fourier-Reihe zum Fourier-Integral 17

Wie wir wissen kann die periodische Funktion fT(t) durch eine komplexe Fourier-Reihe darge-stellt werden Es gilt

0( ) jk tT k

kf t c e

mit den Fourier-Koeffizienten 2

0

2

1 ( )

T

T

jk tk Tc f t dt

Te

Ersetzt man bei ck den Faktor 012 2T

wobei 0 0 0( 1)k k der Abstand

der in der Fourier-Reihe auftretenden Frequenzen ist so erhaumllt fT(t) die folgende Darstellung

2

0 0

2

01( ) ( )

2

T

T

jk t jk t jk tT k p

k k

f t c e f t dte e

(22)

Im Grenzuumlbergang T wird aus das Differential d und aus den immer naumlher zu-sammenruumlckenden diskreten Frequenzen 0k wird die kontinuierliche Frequenz ω Die Sum-me in (22) geht uumlber in ein Integral

In Kurzform T d 0k und ( ) ( )Tf t f t

Die nichtperiodische Funktion ( )f t erhaumllt damit die folgende Fourier-Integraldarstellung

1 1( ) ( ) ( )2 2

j j jt t tf t f t dt d F de e e

(23)

Das Integral in der eckigen Klammer von Gl (23) bezeichnet man als Fourier-Spektrum oder

Spektralfunktion ( ) ( ) j tF f t dte

(24)

Die Spektralfunktion ist im Allgemeinen eine komplexe Funktion der Kreisfrequenz ω Die nach (24) gebildete Spektralfunktion F(ω) entspricht den Fourier-Koeffizienten ck der Fourier-Reihe gemaumlszlig Gl (123) Mit der Spektralfunktion F(ω) gelingt es auch eine nichtperi-odische Funktion f(t) in harmonische Schwingungen zu zerlegen Im Gegensatz zu einer periodischen Funktion bei der nur ganzzahlige Vielfache der Grundfre-quenz ω0 auftreten koumlnnen ergibt sich bei nichtperiodischen Funktionen ein kontinuierlicher Frequenzverlauf als Spektrum Anstelle der Fourier-Reihe (122) tritt das Fourier-Integral (23)

Wir merken uns

Periodische Funktionen haben ein diskretes Spektrum (Linienspektrum) Nichtperiodische Funktionen haben ein kontinuierliches Spektrum

18 2 Fourier-Transformation (FT)

Integraltransformation

Mathematisch gesehen handelt es sich bei Gl (24) um eine Integraltransformation Eine Transformation ist vereinfacht gesprochen nichts anderes als ein Operator der eine Funktion f aus einem gegebenen Funktionenraum auf eine Funktion F aus einem gegebenenfalls anderen Funktionenraum abbildet f f F Eine Integraltransformation ist nun eine Transformation in die Integrale verwickelt sind also eine Transformation der Form

( ) ( ) f f K t f t dt F

mit einem Kern K der die Eigenschaften der Transformation bestimmt Durch die Ausfuumlhrung der Transformation erhaumllt man Informationen uumlber die Funktion f die aus der Funktion selbst nicht so ohne weiteres ersichtlich sind

22 Definition der Fourier-Transformation

221 Eine Integraltransformation die durch folgende Gleichung definiert ist heiszligt

Fourier-Transformation ( ) ( ) ( )j tf t f t dt Fe

F (25)

Durch die Fourier-Transformation mit dem Integralkern ( ) j tK t e wird einer Original-funktion f(t) eine Bildfunktion F(ω) zugeordnet f(t) heiszligt Originalfunktion wenn die zughoumlrige Funktion F(ω) existiert Die Menge aller Originalfunktionen nennt man den Originalbereich oder Originalraum Wenn t die Zeit ist entspricht der Originalbereich dem Zeitbereich F(ω) heiszligt Bildfunktion Spektralfunktion oder Fourier-Transformierte Die Menge aller Bildfunktionen bezeichnet man als Bildbereich oder Bildraum Wenn ω die Frequenz ist nennt man den Bildbereich auch Frequenzbereich

Originalfunktion und Bildfunktion bilden ein zusammengehoumlriges Funktionenpaar

Diese Zuordnung wird symbolisch ausgedruumlckt durch die Korrespondenz

( )f tF

Originalfunktion f(t)

Bildfunktion F(ω)

( ) ( )f t F

23 Inverse Fourier-Transformation 19

23 Inverse Fourier-Transformation

231 Die Ruumlcktransformation vom Bildbereich in den Originalbereich ist gegeben durch die

Inverse Fourier-Transformation -1 1( ) ( ) ( )2

j tF F d f te

F (26)

Existiert die Spektralfunktion F(ω) so kann uumlber Gl (26) die zugehoumlrige Zeitfunktion f(t) zuruumlck gewonnen werden

Fuumlr eine Vielzahl von Transformationspaaren gibt es sog Korrespondenz-Tabellen mit denen man die Hin- und Ruumlcktransformation arbeits- und zeitsparend durchfuumlhren kann Findet man die gewuumlnschte Funktion in der Tabelle nicht bleibt nur die Berechnung eigen-staumlndig durchzufuumlhren 232 Existenz der Fourier-Transformation und deren Ruumlcktransformation

Satz 21

Ist die Zeitfunktion f(t) absolut integrierbar d h gilt ( )f t dt

so existiert die nach Gl (25) definierte Fourier-Transformation

( ) ( )f t F F

Die Aussage des Satzes 21 ist eine hinreichende jedoch keine notwendige Bedingung fuumlr die Existenz der Spektralfunktion F(ω) Das Integral von Gl (25) konvergiert wegen 1j te

sogar absolut wenn die Zeitfunktion f(t) absolut integrierbar ist Satz 22

Ist F(ω) die Spektralfunktion der Zeitfunktion f(t) und gelten die Voraussetzungen von Satz 21 und ist f(t) in jedem endlichen Intervall stuumlckweise stetig differenzierbar so existiert die inverse Fourier-Transformation nach Gl (26)

-1 ( ) ( )F f t F

An den Unstetigkeitsstellen tu der Funktion f(t) konvergiert das Fourier-Integral gegen das arithmetische Mittel aus rechts- und linksseitigem Grenzwert von f(t)

0 0

1 lim ( ) lim ( )2 u ut t

f t t f t t

-1 ( )F F Originalfunktion f(t)

Bildfunktion F(ω)


24 Eigenschaften der Spektralfunktion

Im Folgenden sollen einige Eigenschaften im Umgang mit der Spektralfunktion F(ω) gezeigt werden Dabei werden deutliche Analogien zur Fourier-Reihe sichtbar Da F(ω) eine komplexwertige Funktion ist kann sie in einen Realteil ReF(ω) und einen Ima-ginaumlrteil ImF(ω) zerlegt werden Die Komponentenform lautet

( ) Re ( ) Im ( )F F j F (27)

Fuumlr den Betrag ( )F und die Phase φ(ω) erhaumllt man wie beim Rechnen mit komplexen Zahlen

2 2( ) Re ( ) Im ( )F F F (28)

Im ( )tan ( )Re ( )

FF

(29)

In technischen Anwendungen sind folgende Bezeichnungen uumlblich

Die Spektralfunktion F(ω) heiszligt Frequenzgang (27a) Der Betrag ( ) ( )F A heiszligt Amplitudenspektrum (28a) Der Phasenwinkel heiszligt Phasenspektrum (29a)

Alternativ zu Gl (27) kann F(ω) auch in der Exponentialform dargestellt werden

Es gilt ( ) ( )( ) ( ) ( )j jF F Ae e (210)

25 Reelle Form der Fourier-Transformation

In den folgenden Betrachtungen sei f(t) stets eine reellwertige Funktion

Mit Gl (24) ( ) ( ) j tF f t dte

und cos( ) sin( )j te t j t

erhalten wir ( ) ( )cos( ) ( )sin( )F f t t dt j f t t dt

(211)

Diese Gleichung fuumlhrt uns auf elegante Weise zur

Fourier-Kosinustransformation ( ) ( )cos( )

cF f t t dt

und zur

Fourier-Sinustransformation ( ) ( )sin( )sF f t t dt

(212)

(213)

In dieser Notation lautet Gl (211) kurz ( ) ( ) ( ) c sF F j F (211a)

25 Reelle Form der Fourier-Transformation 21

Satz 23

Ist f(t) eine reellwertige Funktion so ist die Fourier-Kosinustransformierte Fc(ω) eine gera-de Funktion von ω und die Fourier-Sinustransformierte Fs(ω) eine ungerade Funktion von ω

Beweis Ersetzt man in (212) und (213) ω durch ndashω so erhaumllt man wegen cos( ) cos( )t t und sin( ) sin( ) t t unmittelbar ( ) ( )c cF F und ( ) ( )s sF F Fourier-Integral in reeller Darstellung

Wir verwenden das Fourier-Integral (26) 1( ) ( )2

j tf t F de

und bringen es mit

Gl (211a) und cos( ) sin( )j te t j t auf folgende Form

1( ) ( ) ( ) cos( ) sin( )2 c sf t F j F t j t d

Nach Zusammenfassen von Real- und Imaginaumlrteil erhalten wir

1( ) ( )cos( ) ( )sin( ) ( )sin( ) ( )cos( )2 c cs sf t F t F t d j F t F t d

Da f(t) reellwertig ist muss der Imaginaumlrteil der geschweiften Klammer Null sein so dass auch das zweite Integral den Wert Null hat Beruumlcksichtigt man noch dass beim ersten Integral nach Satz 23 uumlber eine gerade Funktion integriert wird so erhaumllt man die Reelle Form des Fourier-Integrals

0

1( ) ( )cos( ) ( )sin( )c sf t F t F t d

(214)

Diese Darstellungsform der Funktion f(t) ist das Analogon zur Darstellung einer periodischen Zeitfunktion durch eine reelle Fourier-Reihe

Eine weitere Vereinfachung tritt ein wenn die Zeitfunktion f(t) eine Symmetrie besitzt Ist die Zeitfunktion f(t) eine gerade Funktion so ist nach Gl (213) die Fourier-Sinustrans-formierte Fs(ω) = 0 Da in Gl (212) der Integrand eine gerade Funktion der Variablen t ist gehen die Gl (212) und (214) gehen uumlber in die Fourier-Kosinustransformation fuumlr gerade Zeitfunktionen f(t)

0

( ) 2 ( ) cos( )cF f t t dt

mit der Umkehrung

0

1( ) ( ) cos( )cf t F t d

(215)

(216)


Ist die Zeitfunktion f(t) eine ungerade Funktion so ist nach Gl (212) die Fourier-Kosinus-transformierte Fc(ω) = 0 Beachtet man dass auch in Gl (213) der Integrand eine gerade Funktion der Variablen t ist so gehen die Gl (213) und (214) gehen uumlber in die Fourier-Sinustransformation fuumlr ungerade Zeitfunktionen f(t)

0

( ) 2 ( ) sin( )

sF f t t dt

mit der Umkehrung

0

1( ) ( ) sin( )

sf t F t d

(217)

(218)

Man erkennt eine deutliche Analogie zur Fourier-Reihe einer periodischen Zeitfunktion Die Fourier-Reihe einer geraden periodischen Funktion enthaumllt nur Kosinusglieder die einer ungeraden Funktion nur Sinusglieder Entsprechend ist das Fourier-Integral einer geraden nichtperiodischen Zeitfunktion ein Integral uumlber ein kontinuierliches Spektrum von Kosinus-schwingungen das einer ungeraden nichtperiodischen Zeitfunktion ein Integral uumlber ein konti-nuierliches Spektrum von Sinusschwingungen

26 Beispiele und Aufgaben zur Fourier-Transformation

Beispiel 21

Man berechne die Spektralfunktion F(ω) der Zeitfunktion

e fuumlr 0 gt0 reell( ) = 0 fuumlr lt0

at t af tt

Beispiel 21 Zeitfunktion f(t)

Mit Gl (24) erhaumllt man fuumlr die Spektralfunktion

( )( )

0 0

1( ) ( ) ( )

a j tj t a j t eF f t e dt e dt

a j a j

Bei der Ausfuumlhrung des Integrals ist der Grenzwert ( )lim a j tt

e

zu berechnen

Da a gt 0 und 1j te ist gilt ( )lim lim 1 lim 0a j t at att t t

e e e

Somit ist auch ( )lim 0a j tt

e

und wir erhalten die Korrespondenz

1 atea j

26 Beispiele und Aufgaben zur Fourier-Transformation 23

Beispiel 22 Amplitudenspektrum

T = 2

ω

A(ω)

Zerlegung der Spektralfunktion F(ω) in Real- und Imaginaumlrteil

Real- und Imaginaumlrteil der Spektralfunktion F(ω)

2 2

2 2

2 2

1( )

Re ( )

Im ( )

a jFa j a

aFa

Fa

Man erkennt dass der Realteil der Spektralfunktion eine gerade der Imaginaumlrteil eine ungerade Funktion der Kreisfrequenz ω ist Beispiel 22

Von der Zeitfunktion

1 fuumlr 0( )

0 sonst

t t Tf t T

ist die Spektralfunktion und das Amplituden-spektrum zu bestimmen

Beispiel 22 Zeitfunktion f(t) Berechnung der Spektralfunktion nach Gl (24) oder identisch nach Gl (25)

0 0 0

1( ) ( ) 1 1T T T

j t j t j t j ttF f t e dt e dt e dt t e dtT T

2 20 0

1 1( ) (1 ) T Tj t j t j Te e eF j t j

j T T

21 1( ) 1 cos sinF T j T jT

Fuumlr das Amplitudenspektrum erhalten wir nach Gl (28a) 2 2( ) Re ( ) Im ( )A F F

mit

21 cos

Re ( )T

FT

und 2

sin 1Im ( ) TFT

2 221( ) 1 cos sinA T T TT

T 0

1f(t)

t



A(ω)

ω

T = 1

B

Beispiel 23

Gesucht ist das Fourier-Spektrum der vorlie-genden Rechteckfunktion und das zugehoumlrige Amplitudenspektrum

1 fuumlr( ) 2 2

0 sonst

T Tttf t rectT

Beispiel 23 Rechteckfunktion

Fuumlr das Fourier-Spektrum erhalten wir nach Gl (24) oder identisch nach Gl (25) 2 2 2 2

2 2

1( ) 1 TT j T j T

j t j t j t

TT

t e eF rect e dt e dt eT j j

Umformung 2 2 2 2 sin( 2) ( 2)

2 2 2

j T j T j T j Te e e e TT T T si Tj j T T

( ) ( 2)F T si T

Die im Ergebnis auftretende si-Funktion hat die Definition

sin( )( ) hier ist 2xsi x x Tx

Fuumlr x = 0 ist die Funktion unbestimmt Der Grenzwert kann mit der Regel von lrsquoHospital bestimmt werden

0 0

sin( ) cos( )(0) lim lim 11x x

x xsix

Wir erhalten die Korrespondenz ( 2)trect T si TT

Das Amplitudenspektrum ist nach Definition

der Betrag ( ) ( 2)A T si T

Die grafische Darstellung zeigt Bild in Beispiel 23 Bemerkung Hier sei auf einen interessanten Zusammenhang zwischen Zeit- und Frequenzbe-reich hingewiesen Die erste Nullstelle im Amplitudenspektrum befindet sich bei ω1 = 2πT

T2 0

1f(t)

t ndashT2

Beispiel 23 Spektralfunktion

ω

F(ω)

T = 1


Definiert man die Bandbreite B als den Frequenzbereich von 0 bis ω1 so gilt 2BT

Daraus ergibt sich das Zeit-Bandbreite-Produkt const (=2 )B T

Halbiert (bzw verdoppelt) man die Zeitdauer T der Rechteckfunktion so verdoppelt (bzw halbiert) sich die Bandbreite B Allgemein gilt Das Zeit-Bandbreite-Produkt gilt fuumlr alle reellen und symmetrischen Zeitsignale Bedeutung fuumlr die Kommunikationstechnik Verdoppelt man die pro Zeiteinheit gesendeten Datenimpulse (Bitrate) so muss der Uumlbertragungskanal die doppelte Bandbreite zur Verfuumlgung stellen Anders ausgedruumlckt die Bandbreite des Uumlbertragungskanals begrenzt die Bitrate

Beispiel 24

Wir betrachten nun umgekehrt zu Beispiel 23 die Spektralfunktion als Rechteckfunktion ge-geben und fragen nach der zugehoumlrigen Zeit-funktion f(t)

0 0

0

1 fuumlr ( ) 2 2

0 sonstF rect


Die Zeitfunktion f(t) kann mit Gl (26) berechnet werden Alternativ dazu soll die Berechnung mit der Fourier-Kosinustransformation Gl (216) durchgefuumlhrt werden Da die Spektralfunktion 0 rect reell ist muss die zugehoumlrige Zeitfunktion eine gerade Funktion der Variablen t sein Daher gilt mit Gl (216)

00

0

2 2

0 0

sin( 2)1 1 sin( ) 1( ) cos( )

ttf t t d

t t

Mit der in Beispiel 23 definierten si-Funk-tion erhalten wir schlieszliglich

00( ) ( 2)

2

f t si t

Wir erhalten die Korrespondenz

00

0( 2)

2

si t rect

Bemerkung Vertauscht man bei der Korrespondenz von Beipiel 23 die Rolle von t und ω so erhaumllt man bis auf den Faktor 2π die Korrespondenz von Beispiel 24 1 ( 2)trect si TT T

Vertauschen 0

tT

ergibt 00 0

1( 2) 2si t rect

ω02 0

1F(ω)

ω ndashω02


t

f(t)

ω0 = 1


F(ω)

Beispiel 25 Fourier-Spektrum F(ω) fuumlr a = 2

Dies folgt aus der Symmetrie der Fourier-Transformation und ihrer Ruumlcktransformation

Allgemein gilt Fuumlr jedes existierende Transformationspaar erreicht man durch bloszliges Vertau-schen der Variablen eine weitere Korrespondenz Diese Beziehung heiszligt

Vertauschungssatz ( ) ( )( ) 2 ( )

f t FF t f

Beispiel 25

Man bestimme das Spektrum F(ω) der Gauszligfunktion (auch Gauszligimpuls genannt)

2

( ) atf t e a gt0

Beispiel 25 Gauszligimpuls fuumlr a = 2

Anwendung von Gl (25) ergibt

2 2

( ) cos( ) sin( ) a j t at tF e e dt e t j t dt

Da f(t) eine gerade Funktion ist verschwindet das Integral uumlber den Imaginaumlrteil und wir erhal-ten fuumlr das Spektrum [analog zu Gl (215)]

2

0

( ) 2 cos( ) atF e t dt

Den Wert dieses Integrals entnehmen wir einer math Formelsammlung

Es ergibt sich 2

4( ) aF ea

Interessant an diesem Beispiel ist dass der Gauszligimpuls wieder eine Gauszligfunktion als Spektrum hat Funktionen mit dieser Eigenschaft heiszligen selbstreziprok in diesem Fall bezuumlglich der Fourier-Transformation Auch zeigt sich hier wieder sehr deutlich das Zeit-Bandbreite-Produkt (siehe Beisp 23) Je schmaler der Gauszligimpuls ist desto breiter ist das Spektrum und umgekehrt


Aufgaben zur Fourier-Transformation

(Ergebnisse im Anhang)

Aufgabe 21 Man berechne die Spektralfunk-tion F(ω) zur Zeitfunktion

f (t)

t

0 T2

1

1

2T

Aufgabe 21 Zeitfunktion f(t)

1 fuumlr 02

( ) = 1 fuumlr 02

0 sonst

T tf t Tt

Aufgabe 22

Man bestimme die Spektralfunktion F(ω) zur Zeitfunktion

( ) ( 0 ) a tf t e a


Aufgabe 23

Man berechne fuumlr die Zeitfunktion

2 fuumlr 02

( ) 2 fuumlr 02

0 sonst

U TU t tT

f t U TU t tT

die Spektralfunktion F(ω) und ihre reelle Fourier-Integraldarstellung

Uf (t)

tT2

T2

0



Aufgabe 24

Gegeben ist die Zeitfunktion

1 1 0( ) 1 0 1

0

t tf t t t

sonst

Berechnen Sie die zugehoumlrige Fourier-Transformierte F(ω) Fuumlr das auftretende Integral gilt

2cos( ) sin( )sin( ) t t tt t dt C


Aufgabe 25

Gegeben ist die Spektralfunktion

1 1( )

0 sonstj

F

Berechnen Sie die zugehoumlrige Zeitfunktion f(t)

-1

1

Im F()1

-1

0

Aufgabe 25 Spektralfunktion F( )

( )f t

t

0

1

1

1

1

3 Laplace-Transformation (LT) Zusammenfassung Mit der Einfuumlhrung der Laplace-Transformation werden Konvergenz-probleme beseitigt die bei der Fourier-Transformation bereits bei einigen elementaren Funk-tionen wie etwa der Sprungfunktion auftreten Dazu werden zunaumlchst die wesentlichen Eigen-schaften und Transformationsregeln der Laplace-Transformation besprochen und angewendet Es zeigt sich dass mit dieser Transformation es auf einfache und elegante Weise gelingt kau-sale Signale und Systeme die erst ab einem gegebenen Zeitpunkt dem Einschaltzeitpunkt wirk-sam werden zu beschreiben 31 Definition der Laplace-Transformation Bei technischen Anwendungen interessiert in vielen Faumlllen das Verhalten eines Systems ab einem bestimmten Zeitpunkt z B dem Einschaltzeitpunkt mit dem die Systemreaktion startet Wir setzen diesen Anfangszeitpunkt auf t = 0 und betrachten Funktionen deren Verlauf ab diesem Zeitpunkt beginnt Funktionen f(t) die nur fuumlr t ge 0 definiert sind nennt man kausale Funktionen Sind beim Startzeitpunkt t = 0 Werte aus der Vergangenheit des Systems vorhan-den z B Spannungen an Kondensatoren so gehen diese in die Anfangsbedingungen ein

Definition 31

Eine Funktion f(t) heiszligt kausale Zeitfunktion wenn fuumlr t lt 0 gilt f(t) = 0

Bei der nun folgenden Definition der Laplace-Transformation werden kausale Zeitfunktionen betrachtet Der maszliggebende Zeitbereich reicht also von t = 0 bis infin

Definition 32

Die Laplace-Transformation ist eine Integraltransformation die der kausalen Zeitfunktion f(t) in eindeutiger Weise eine Laplace-Transformierte F(s) der Variablen s zuordnet

0

( ) ( ) ( )stf t f t dt F se

L (31)

Einige Erlaumluterungen was man unter einer Integraltransformation versteht finden sich in Ab-schnitt 21 der Fourier-Transformation Der Integralkern der Laplace-Transformation ( ) stK t s e enthaumllt im Exponenten die Zeit t und die komplexe Variable js Im Unterschied dazu enthaumllt die Fourier-Transforma-tion im Exponenten nur den rein imaginaumlren Anteil ndashjωt Wir werden sehen dass gerade durch die Erweiterung auf die Variable s die Konvergenz des Laplace-Integrals fuumlr die meisten in der Praxis vorkommenden Zeitfunktionen erreicht werden kann In gleicher Weise wie bei der Fourier-Transformation in Abschnitt 22 werden folgende Beg-riffe verwendet f(t) heiszligt Originalfunktion wenn die zughoumlrige Funktion F(s) existiert Die Menge aller Originalfunktionen nennt man den Originalbereich oder Originalraum F(s) heiszligt Bildfunktion oder Laplace-Transformierte Die Menge aller Bildfunktionen bezeichnet man als Bildbereich oder Bildraum


30 3 Laplace-Transformation (LT)



Geschichtliche Anmerkung Der franzoumlsische Mathematiker Pierre Simon de Laplace (1749ndash1827) verwendete die Trans-formation im Rahmen von Studien zur Wahrscheinlichkeitsrechnung Er ist nicht der Begruumln-der der modernen Laplace-Transformation Diese ist eine Weiterentwicklung einer Operatorenrechnung des Englaumlnders Oliver Heaviside (1850ndash1925) Es entstanden bei der Anwendung oft Schwierigkeiten da sie mathematisch nicht ausreichend begruumlndet war Bei der Weiterentwicklung zur heutigen Laplace-Transformation haben sich von den deutschen Wissenschaftlern besonders Karl Willy Wagner (1883ndash1953) und Gustav Doetsch (1892ndash1977) groszlige Verdienste erworben

Konvergenz der Laplace-Transformation

Das Laplace-Integral 0 0

( ) ( )st t j tf t e dt f t e e dt

konvergiert nach Satz 21 wenn

die Funktion ( ) ( ) tg t f t e absolut integrierbar ist

Nach Satz 21 ist F(s) die Fourier-Transformierte der Zeitfunktion g(t) Die Funktion ( ) ( ) tg t f t e ist absolut integrierbar wenn f(t) nicht staumlrker ansteigt als eine Exponentialfunktion

Mit einem geeignet gewaumlhltem σ kann erreicht werden dass der Faktor te selbst bei einer exponentiell ansteigenden Funktion f(t) uumlberwiegt so dass lim ( )e =0t

tf t

ist

Wir koumlnnen daher feststellen Wenn die Originalfunktion f(t) nicht staumlrker ansteigt als eine Exponentialfunktion mit geeig-net gewaumlhlten σ gt β dann konvergiert das Laplace-Integral und es existiert die Bildfunktion F(s) Den fuumlr die Konvergenz erlaubten Bereich von σ nennt man die Konvergenzhalbebene oder den Konvergenzbereich Die nicht mehr dazugehoumlrige Grenze β wird als Konvergenzab-szisse bezeichnet Wie groszlig der Konvergenzbereich ist haumlngt von der jeweils betrachteten Funktion f(t) ab

( )f tL Originalbereich f(t)

Bildbereich F(s)

( ) ( )f t F s

31 Definition der Laplace-Transformation 31

Beispiel 31 Es soll die Laplace-Transformierte F(s) der kausalen Zeitfunktion

0fuumlr0

0fuumlr)( ttttf berechnet werden

Durch partielle Integration mit u = t u = 1 und s

vvst

st

ee erhaumllt man

2 200 00

1 1( )

st st st

st stte te eF s te dt e dts s s s s

Der Grenzwert lim lim lim 0st t j tt t t

e e e

wenn 0 ist denn 1j te

Bei dieser Zeitfunktion f(t) ist demnach die Konvergenzabszisse 0

Die Laplace-Transformierte F(s) existiert in einem Gebiet der komplexen s-Ebene die durch Re s = σ gt 0 bestimmt ist Es handelt sich hierbei um eine Halbebene die sogenannte Kon-vergenzhalbebene der Bildfunktion In Bild 31 sind die kausale Zeitfunktion ( )f t t und der Konvergenzbereich der Laplace-Transformierten F(s) dargestellt

Die komplexwertige Funktion 21( )F ss

hat an der Stelle s = 0 einen Pol zweiter Ordnung

und ist fuumlr alle 0s definiert Sie ist nur in der Konvergenzhalbebene σ gt 0 Laplace-Trans-formierte der kausalen Zeitfunktion )( tf = t

f (t)

t

0 0

Konvergenzhalbebene

Bild 31 Zeitfunktion f(t) = t und Konvergenzhalbebene der Bildfunktion F(s)

Allgemein gelten zur Konvergenz der Laplace-Transformation folgende Aussagen

1 Der Konvergenzbereich von F(s) besteht aus einem Gebiet parallel zur imaginaumlren Achse in der s-Ebene

2 Der Konvergenzbereich enthaumllt keine Singularitaumlten

3 F(s) ist im gesamten Konvergenzbereich analytisch


32 Inverse Laplace-Transformation

Satz 31

Die Umkehrtransformation die eine Bildfunktion F(s) in die zugehoumlrige Originalfunktion f(t) abbildet heiszligt

Inverse Laplace-Transformation 0

0

01( ) ( ) ( )

2

js t

j

f t F s e dsj

(32)

Beweis Nach der Definition der Laplace-Transformation gemaumlszlig Gl (31) gilt

0 0

( ) ( ) ( ) jst t tF s f t e d t f t e e d t

Ein Vergleich mit der Definition der Spektralfunktion durch Gl (24) zeigt dass die Laplace-Transformierte F(s) der Zeitfunktion f(t) die Fourier-Transformierte (Spektralfunktion) der Zeitfunktion ( ) ( ) tg t f t e ist

Mit dem Fourier-Integral Gl (26) erhaumllt man

1( ) ( )

2t j tf t e F s e d

Multipliziert man diese Gleichung mit dem bezuumlglich der Integrationsvariablen konstantem Faktor te so ergibt sich

-

1 1( ) ( ) ( ) 2 2

t j t stf t F s e e d F s e d

Da bei dieser Integration nur ω die Variable ist und 0 konstant ist also einen in der Konvergenzhalbebene liegenden festen Wert annimmt folgt mit

( ) 1ds d j j d dsd d j

schlieszliglich Gl (32)

Zu einer vorgegebenen Originalfunktion f(t) liefert die durch Gl (31) definierte Laplace-Transformation eine Bildfunktion F(s) vorausgesetzt das Laplace-Integrals konvergiert Es nun von Interesse ob die durch Gl (32) beschriebene inverse Laplace-Transformation auch eindeutig ist Dazu betrachten wir die im Bild 32 dargestellten Zeitfunktionen

1 2 fuumlr 2

( ) und ( )3 fuumlr 2t t

f t t f tt

Diese haben die gleiche Bildfunktion 1 2 20 0

1( ) ( ) ( ) st stF s f t e dt f t e dts

32 Inverse Laplace-Transformation 33

0 0

tt

f2(t)f1(t)

2

32

2

Bild 32 Zeitfunktionen f1(t) und f2(t) die sich fuumlr t = 2 in ihren Funktionswerten unterscheiden

Die Zeitfunktionen f1(t) und f2(t) besitzen die gleiche Bildfunktion F(s) Sie unterscheiden sich nur durch eine Nullfunktion Eine Nullfunktion N(t) ist eine Funktion fuumlr die

0

( ) 0t

N d ist fuumlr alle Zeitpunkte t gt 0

Unterscheiden sich Zeitfunktionen nur durch eine Nullfunktion so werden ihnen durch die Laplace-Transformation die gleiche Bildfunktion zugeordnet Die durch die komplexe Um-kehrformel beschriebene inverse Laplace-Transformation liefert daher eine Zeitfunktion die sich houmlchstens um eine Nullfunktion von der Originalfunktion unterscheiden kann Wir erhalten somit den folgenden

Satz 32 Eindeutigkeitssatz

Stimmen die Bildfunktionen zweier Originalfunktionen in einer Halbebene Re s uumlberein so unterscheiden sich die Originalfunktionen houmlchstens um eine Nullfunktion

Beschraumlnken wir uns auf stetige Originalfunktionen so erhaumllt man

Satz 33 Eindeutigkeitssatz fuumlr stetige Originalfunktionen

Stimmen die Bildfunktionen zweier stetiger Originalfunktionen in einer Halbebene Re s uumlberein so sind die Originalfunktionen identisch

0

j0

j0

0

Bild 33 Integrationsweg W

Zur Berechnung der Originalfunktion f(t) aus einer gegebenen Bildfunktion F(s) mit Gl (32)

0

0

1( ) ( )2

jst

j

f t F s e dsj

waumlhlt man als Integrationsweg W in der komplexen s-Ebene eine in der Konvergenzhalbebene liegende Parallele zur imaginaumlren Achse


Zum Verstaumlndnis der inversen Laplace-Transformation (32) ist die Kenntnis einiger Saumltze der Analysis komplexwertiger Funktionen hilfreich Diese Saumltze der Funktionentheorie sollen im Folgenden ohne Beweis angegeben werden

Definition 33

a) Eine Vorschrift die jedem Element z = x + jy eines Gebietes der z-Ebene eine komplexe Zahl w = u + jv zuordnet heiszligt Funktion w = f(z) der komplexen Variab-len z

b) Eine Funktion w = f(z) heiszligt in einem Punkt z0 regulaumlr oder holomorph wenn sie in jedem Punkt z einer Umgebung von z0 differenzierbar ist d h die Ableitung

0

( ) ( )( ) lim z

f z z f zf zz

existiert

c) Eine Funktion w = f(z) heiszligt in einem Gebiet G der komplexen z-Ebene holomorph oder regulaumlr wenn sie an jeder Stelle des Gebietes G differenzierbar ist

d) Eine Stelle an der die Funktion w = f(z) nicht regulaumlr ist heiszligt singulaumlre Stelle

Weiter aufgefuumlhrt werden einige wichtige Integralsaumltze der komplexen Analysis

Satz 34 Integralsatz von Cauchy

Ist die Funktion w = f(z) in einem einfach zusammenhaumlngenden Gebiet holomorph so gilt

( ) 0W

f z dz (33)

wenn W ein beliebiger in G liegender einfach geschlossener Weg ist

Dieser Satz ist aumlquivalent zur Aussage dass das bestimmte Integral 2

1

( )z

z

f z dz einen vom

Integrationsweg 1z nach 2z unabhaumlngigen Wert hat

Der Integralsatz von Cauchy wird auch als Hauptsatz der Funktionentheorie bezeichnet Wesentlich ist die Beschraumlnkung auf ein einfach zusammenhaumlngendes Gebiet in dem die Funktion f(z) holomorph ist Umfasst der geschlossene Weg W singulaumlre Stellen von f(z) so hat das Umlaufintegral im Allgemeinen einen von Null verschiedenen Wert (siehe Satz 37)


Satz 35

Unter den gleichen Voraussetzungen wie Satz 34 gelten die folgenden Integralformeln von Cauchy

00

1 ( )( )2

W

f zf z dzj z z

(34)

( )0 1

( )( )2 ( )

nn

oW

n f zf z dz nj z z

(35)

lt

x

W G

0

y

z0


Die Integralformeln von Cauchy ma-chen die bemerkenswerte Aussage dass die Funktionswerte und die Wer-te der Ableitungen einer regulaumlren Funktion im Inneren einer geschlos-senen Kurve W durch die Werte der Funktion auf dieser Kurve bestimmt sind

Ist die komplexwertige Funktion f(z) in einem Gebiet G der komplexen Ebene regulaumlr d h uumlberall differenzierbar so folgt aus Gl (35) dass sie dort beliebig oft differenzierbar ist Aumlhnlich wie in der reellen Analysis kann auch eine Funktion f(z) einer komplexen Variablen an einer Stelle z = z0 in eine Potenzreihe entwickelt werden

Dabei gilt der folgende Satz 36

Die durch die Laurent-Reihe 0( ) ( )nn

n

f z c z z

mit den komplexen Koeffizienten 11 ( )

2 ( )n noW

f zc dzj z z

(36)

(37)

dargestellte Funktion f(z) konvergiert wenn uumlberhaupt stets in einem Kreisringgebiet und stellt dort eine regulaumlre Funktion dar Jede in einem Kreisringgebiet regulaumlre Funktion f(z) kann in eine Laurent-Reihe entwickelt werden


Bei der Reihenentwicklung einer Funktion f(z) koumlnnen die folgenden Faumllle unterschieden werden 1 Die Reihe beginnt mit einem Glied das einen positiven Index hat d h es gilt

2

021

010 )()()() mm

mm

mm zzczzczzcz(f

Die Funktion f(z) hat dann an der Stelle z = z0 eine m-fache Nullstelle f(z) ist an der Stelle z0 regulaumlr

2 Die Reihe beginnt mit einem Glied das einen negativen Index hat

)()(

)(+

)()( 2

020100

1

0

zzczzcc

zzc

zz

czf

nn

Die an der Stelle z = z0 vorliegende Singularitaumlt heiszligt Pol n-ter Ordnung Die Funktion (z z0)n f(z) ist fuumlr z = z0 regulaumlr

3 Besitzt die Reihe kein erstes Glied so hat die durch die Laurent-Reihe dargestellte Funk-tion f(z) an der Stelle z0 einen Pol bdquounendlich hoher Ordnungldquo

Die Stelle z = z0 ist eine wesentlich singulaumlre Stelle

So ist z B die Funktion 1

2 31 1 1 1 1

2 3 z

kez z z k z

an der Stelle z = 0 wesentlich singulaumlr

Wir betrachten nun Funktionen f(z) die bis auf endlich viele isolierte Pole regulaumlr sind An der Stelle z = z0 sei ein Pol n-ter Ordnung und wir wollen das Umlaufintegral (Integral laumlngs eines einfach geschlossenen Weges) berechnen

( )W

f z dz

wobei der Integrationsweg W ein im positiven Sinn durchlaufener geschlossener Weg um die Polstelle z0 ist Die Funktion f(z) sei bis auf diese Polstelle im Inneren und auf dem Weg W regulaumlr Fuumlr f(z) gibt es dann die Laurent-Reihe

210 1 0 2 0

00( ) ( ) ( )

( )( )n

nc cf z c c z z c z z

z zz z

Mit dieser Reihendarstellung folgt fuumlr das gesuchte Integral

1 0 1 000

1 1( ) ( )( )n nn

W W W W W

f z dz c dz c dz c dz c z z dzz zz z (38)

Setzt man in die Gleichungen (34) und (35) die uumlberall regulaumlre Funktion f(z) = 1 ein so er-haumllt man


0

2 fuumlr 11 0 fuumlr 1( )n

W

j ndz

nz z

(39)

Gl (38) geht damit uumlber in

1 11( ) 2 bzw ( )

2W W

f z dz j c c f z dzj

(310)

Nach Satz 33 haben die Integrale

20 0 ( ) ( )

W W W

dz z z dz z z dz

alle den Wert Null Von Gl (38) ist also nur Gl (310) uumlbrig geblieben Man nennt daher den Koeffizienten c1 das bdquoResiduumldquo der Funktion f(z) an der Stelle z = z0 Definition 34

Unter dem Residuum der Funktion f(z) an der Stelle z = z0 versteht man

10

1Res ( ) ( )2 n

Wz z

f z f z dz cj

(311)

Der Integrationsweg W ist dabei ein geschlossener im positiven Sinn durchlaufener Weg um die Polstelle bei z = z0

Ist z0 eine Stelle an der die Funktion f(z) regulaumlr ist so folgt aus dem Integralsatz von Cauchy dass das Residuum der Funktion f(z) in einem solchen Holomorphiepunkt den Wert Null hat

Satz 37 Residuensatz

Umfasst der im positiven Umlaufssinn geschlossene Integrationsweg W die isolierten Pole nzzz 21 so gilt

1

1 ( ) Res ( )2

n

kkWz z

f z dz f zj

(312)

Zur Berechnung der Residuen einer Funktion kann man nach Gl (311) das Residuum der Funktion f(z) an der Stelle z0 durch den Koeffizienten c1 der Laurent-Reihenentwicklung an der Stelle z0 angeben Dazu muss aber die Reihenentwicklung zuerst durchgefuumlhrt werden Einfacher wird daher in vielen Faumlllen der folgende Weg sein die Residuen einer Funktion zu bestimmen


Satz 38

a) Es sei die Stelle z = z0 eine einfache Polstelle der Funktion f(z) Dann gilt fuumlr das Resi-duum der Funktion an dieser einfachen Polstelle z0

00

0 Res ( ) ( ) ( ) z zz zf z z z f z

(313)

b) An der Stelle z = z0 sei ein n-facher Pol der Funktion f(z) Dann gilt

0

0

1

01

1Res ( ) ( ) ( )( 1)

nn

nz zz z

df z z z f zn dz

(314)

Beweis 1 An der Stelle 0z z sei ein einfacher Pol der Funktion Fuumlr die Laurent-Reihe gilt dann

210 1 0 2 0

0( ) ( ) ( ) cf z c c z z c z z

z z

Die Funktion 2 3

0 1 0 0 1 0 2 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) z z f z c c z z c z z c z z

ist an der Stelle 0z regulaumlr Setzt man fuumlr z den Wert zo ein so erhaumllt man die zu beweisende Aussage Da der Ausdruck )()( 0 zfzz fuumlr 0z z unbestimmt von der Form 0 ist bedeu-tet dies genauer ausgedruumlckt

= )()(lim 100

czfzzzz

2 An der Stelle z = z0 sei ein n-facher Pol Die fuumlr z0 regulaumlre Funktion )()( 0 zfzz n hat die Reihendarstellung

10 1 0 1 0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n

n nz z f z c c z z c z z c z z

Durch (n 1)-maliges Differenzieren erhaumllt man

1

0 1 0 01

0

( ) 1 Glieder mit houmlherenPotenzen von

nn

nd z z f z n c n c z zdz

z z

Setzt man in die letzte Gleichung fuumlr z den Wert z0 ein so erhaumllt man die zu beweisende Aus-sage

0

0

1

1 01

1Re ( ) ( ) ( )( 1)

nn

nz zz z

ds f z c z z f zn dz


Beispiel 32 Man bestimme fuumlr die Funktion 21( )

( 1)f z

z z

die Residuen an den

Polstellen

Die Stelle z = 0 ist eine einfache Polstelle der Funktion und man erhaumllt mit Gl (313)

=0 2=00

1Res ( ) = ( ) = = 1( 1)zz

z

f z z f zz

Die gegebene Funktion f(z) hat an der Stelle z = 1 einen Pol 2 Ordnung Gl (314) liefert

21 1 1

1 1 1Re ( ) 11z zz

ds f zdz z z

Wir wollen nun den Residuensatz verwenden um die inverse Laplace-Transformation mit Hilfe von Gl (32) durchzufuumlhren

Es soll hier nur an einigen Beispielen gezeigt werden wie auf diese Weise aus einer gegebenen Bildfunktion F(s) die Originalfunktion )( tf berechnet werden kann Das fuumlr die Anwendungen geeignetere Verfahren besteht in der Verwendung von Transformationsregeln und Korrespon-denzen die im naumlchsten Abschnitt besprochen werden

Satz 39 Inverse Laplace-Transformation mit Hilfe des Residuensatzes

Die Bildfunktion F(s) einer Originalfunktion )( tf habe die endlich vielen isolierten Pole s1 s2 sn und es sei ferner

lim ( ) 0

sF s

Dann gilt

1

( ) Res ( ) k

n

s sk

stf t F s e

(315)

Beweis Zum Beweis waumlhlen wir als Integrationsweg den in der komplexen s-Ebene liegenden Weg

W = W1 + W2 der alle Polstellen der Funktion F(s) und damit auch alle Pole von F(s)est umfasst da der Fak-tor est selbst im Endlichen keine Pole besitzt

R W1W2

j

0

o

o

Bild 35 Integrationsweg


Mit dem Residuensatz erhaumllt man

0

0 12

1 1 1( ) ( ) ( ) Res ( )2 2 2

n

kkW

jst st st

z zj W

F s e ds F s e ds F s e ds f zj j j

(316)

Im Grenzfall o und damit auch R gilt

2

lim ( ) 0stR

w

F s e ds

Es gilt lim ( ) 0s

F s

da der Betrag des Faktors st t j te e e auf dem Weg W2 wegen 0

beschraumlnkt bleibt Im Grenzfall 0 geht Gl (316) in die komplexe Umkehrformel (Gl (32)) uumlber und wir erhalten damit die Aussage von Satz 39

Beispiel 33 Gegeben ist die Bildfunktion as

sF1 = )( Dazu soll die zugehoumlrige Original-

funktion )( tf bestimmt werden

Die Bildfunktion F(s) hat an der Stelle s = a einen einfachen Pol Die Voraussetzung von Gl (316) naumlmlich 0 = )( lim

ssF

ist hier erfuumlllt und wir erhalten

daher mit Gl (315)

( ) Re ( ) ( ) ( ) st st st ats a s as a

f t s F s e s a F s e e e

Wir erhalten damit die Korrespondenz 1( ) ( ) atF s f t es a

Beispiel 34 Gegeben ist die Laplace-Transformierte 21( ) F ss

Es soll die zugehoumlrige Originalfunktion )( tf bestimmt werden Die Bildfunktion hat an der Stelle s = 0 einen zweifachen Pol Da die Voraussetzung

0 = )( lim

sFs

erfuumlllt ist erhaumllt man mit Gl (314)

2

0 0 00( ) Res ( ) ( ) st st st st

s s ss

d df t F s e s F s e e t e tds ds


Beispiel 35

a) Fuumlr die Bildfunktion 21( )

1F s

s

ist die Originalfunktion )( tf zu berechnen

Die Bildfunktion 21 1( )

( )( )1 F s

s j s js

hat an den Stellen s1 = j und s2 = j einen

einfachen Pol Die Voraussetzungen fuumlr die Anwendbarkeit von Gl (315) sind gegeben Mit Gl (313) erhalten wir

( ) Re Re

( )( ) ( )( )

1 1 1 sin( )2 2 2

st st st st

s j s js j s j

j t j t j t j t

e e e ef t s ss j s j s j s j s j s j

e e e e tj j j

Wir erhalten die Korrespondenz 21( ) ( ) sin( )

1F s f t t

s

b) Man berechne die Originalfunktion )( tf zur Bildfunktion 2( ) = 1

sF ss

Analog zu Aufgabe 35 a erhaumllt man

( ) Re Re

( )( ) ( )( )

1 cos( )2 2 2

st st st st

s j s js j s j

j t j t j t j t

se se se sef t s ss j s j s j s j s j s j

j je e e e tj j

Korrespondenz 2( ) ( ) cos( )1

sF s f t ts

Aufgaben zum Abschnitt 32 (Ergebnisse im Anhang)

Aufgabe 31

a) Es soll das Umlaufsintegral 1

2W

dzz

berechnet werden wobei als Integrationsweg W ein Kreis vom Radius r um die Polstelle z = 2 zu waumlhlen ist Hinweis Auf dem Kreis gilt

2 jz re

r

20x

y

W lt



b) Berechnen Sie an der Polstelle z = 2 das Residuum der Funktion 1( )

2f z

z

Aufgabe 32 Man berechne an ihren Polstellen die Residuen der Funktion

31( )

( 1)( 1)f z

z z

Aufgabe 33 Man berechne zu den folgenden Bildfunktionen die zugehoumlrigen Original-funktionen )( tf

)2)(1(1 = )( a)

sssF 3)1(

12 = )( b)

sssF

11 = )( c) 2 s

sF 4

3

)3( = )( d)

sssF

22 )1(1 = )( e)ss

sF )1)(1(

5 = )( f) 2

ssssF

Aufgabe 34 Gegeben ist die Bildfunktion ns

sF 1 = )( mit n

Es soll die zugehoumlrige Originalfunktion )( tf bestimmt werden

Aufgabe 35 Zur Bildfunktion

2222 j)(j)(1 =

)1(1 = )(

ssssF

soll die entsprechende Zeitfunktion )( tf berechnet werden

Aufgabe 36 Gegeben ist die Bildfunktion

s

ssF16

= )( 4

Man berechne mit der komplexen Umkehrformel ihre Originalfunktion )( tf

33 Transformationsregeln 43

33 Transformationsregeln

Um von der Laplace-Transformierten F(s) mit der Definitionsgleichung

0

( ) ( ) ( ) stf t f t e dt F s

L

(31)

wieder zuruumlck zur Originalfunktion zu kommen ist formal die inverse Laplace-Transformation mit der komplexen Umkehrformel anzuwenden

0

0

1 1( ) ( ) ( )2

jst

j

f t F s F s e dsj

L

(32)

Um sowohl die Laplace-Transformation als auch die inverse Laplace-Transformation etwas einfacher durchfuumlhren zu koumlnnen werden wir Transformationsregeln herleiten Eine aumlhnliche Situation besteht auch in der Analysis Dort werden die Ableitung einer Funktion als Grenzwert eines Differenzenquotienten und das bestimmte Integral als Grenzwert einer Summe definiert Fuumlr praktische Rechnungen aber macht man von den wesentlich einfacheren Differentiations- bzw Integrationsregeln Gebrauch Aumlhnlich wollen wir auch hier vorgehen Wir werden sehen dass mit den Transformationsregeln nur wenige Grundkorrespondenzen fuumlr sehr viele Anwendungen ausreichen

331 Laplace-Transformierte elementarer Zeitfunktionen a) Laplace-Transformierte der Sprungfunktion

0

1

t

)(t

Die Sprungfunktion (Einheitssprung) (t) ist definiert durch

0 gt fuumlr 1 0 lt fuumlr 0

= )(tt

t

Bild 37 Sprungfunktion )( t

Die Sprungfunktion beschreibt z B einen idealisierten Einschaltvorgang

Zur Bestimmung der Laplace-Transformierten F(s) der Sprungfunktion benuumltzen wir die Defi-nitionsgleichung der Laplace-Transformation und erhalten

0 0

1( ) st

st et e dts s

L

Zum Ausfuumlhren der obere Integrationsgrenze muszlig der Grenzwert berechnet werden lim lim = 0st t j tt t

e e e

da 1j te ist und gt 0 gewaumlhlt wird


Fuumlr die Sprungfunktion ( )t konvergiert das Laplace-Integral wenn 0 ist

Das dadurch definierte Gebiet der komplexen s-Ebene heiszligt Konvergenzhalbebene

0

j

Konvergenzhalbebene

Bild 38 Konvergenzhalbebene

Die Bildfunktion s

sF 1)( ist als fuumlr alle s 0

definiert ( )F s ist aber nur in der Konver-genzhalbebene Re ( ) 0s die Laplace-Transformierte der Sprungfunktion ( )t

Es gilt die Korrespondenz 1( ) ts

(317)

b) Laplace Transformierte der Exponentialfunktion Es soll die Laplace-Transformierte der Exponentialfunktion ( ) atf t e bestimmt werden wobei a eine beliebige komplexe Zahl sein kann Zur Berechnung der Laplace-Transformierten verwenden wir die Definitionsgleichung und erhalten

( )( )

0 0 0

1 ( )

s a ta t a t s t s a t ee e e dt e dt

s a s a

L

Zur Konvergenz des Laplace-Integrals muss der Grenzwert

0

j

Konvergenz-halbebene

Re a


( )lim 0s a tt

e

sein

Diese Bedingung ist fuumlr Re ( ) Re 0s a a erfuumlllt

Die Laplace-Transformierte der Zeitfunktion( ) a tf t e existiert in der durch aRe defi-

nierten Konvergenzhalbebene

Es gilt die Korrespondenz 1 ate

s a (318)


c) Laplace-Transformierte der Potenzfunktion

Bei der Potenzfunktion f(t) nt soll der Exponent n zunaumlchst eine natuumlrliche Zahl sein Die Laplace-Transformation erfolgt durch eine partielle Integration mit

1 und st

n n st eu t u nt v e vs

1 1

0 0 00

n stn n st n st n stt e n nt t e dt t e dt t e dt

s s s

L = = + =

Zur Konvergenz des Integrals muss lim 0n stt

t e

sein Das ist der Fall da die Exponential-

funktion gegenuumlber der Potenzfunktion uumlberwiegt wenn Re(s) = 0 ist Damit ist die Konvergenzhalbebene ( gt 0) bestimmt in welcher die Laplace-Transformierte der Zeitfunktion nttf )( existiert Unter dieser Voraussetzung erhalten wir durch wiederholte partielle Integration

1 2

0 0 0

1n n st n st n stn n nt t e dt t e dt t e dts s s

L

100

1 2 2 1 1 2 2 1 stst

nn n n n n n e ne dts s s s s s s s s s s s

Wir erhalten die Korrespondenz 1 n

nnt n

s (319)

Wir wollen nun auch die Laplace-Transformierte der allgemeineren Potenzfunktion

( ) rf t t

bestimmen wobei r hier eine beliebige reelle Zahl ist mit der Bedingung r gt 1 Zur Berechnung der Laplace-Transformierten von rttf = )( fuumlhren wir u = st als neue Inte-grationsvariable ein Damit erhalten wir

( 1)

0 0 0

1( ) r

r st u r r uuF s t e dt e du s u e dus s

(320)

Unter Verwendung der Gammafunktion die durch das Integral mit einem reellen Parameter t

definiert ist 1

0

( ) x tx t e d t

(321) folgt aus Gl (320) ( 1) ( 1)L r rt s r und wir erhalten die

Korrespondenz 1( 1) r

r rts

(322)


Mit der Definitionsgleichung der Gammafunktion erhaumllt man durch partielle Integration mit 1 2 ( 1) und x x t tu t u x t v e v e

1 1 2 20

0 0 0

( ) ( 1) ( 1)x t x t x t x tx t e dt t e x t e dt x t e dt

Wir erhalten somit fuumlr die Gammafunktion die Rekursionsformel

( ) ( 1) ( 1)x x x (323)

Die Formel gestattet es bei einem bekannten Funktionswert ( 1)x den Funktionswert

( )x zu berechnen So erhaumllt man aus 0

(1) = e = 1t d t

mit der Rekursionsformel

(2) 1 (1) 1 (3) 2 (2) 2 (4) 3 (3) 3

und schlieszliglich durch fortgesetztes Anwenden der Rekursionsformel fuumlr natuumlrliche Zahlen n

( 1) = n n n (324)

Ist die reelle Zahl r in der Korrespondenz (322) eine natuumlrliche Zahl n so geht die Korrespon-denz (322) in die Korrespondenz (319) uumlber

Wir berechnen noch die Laplace-Transformierten der beiden Zeitfunktionen

1 2 1 21( ) = und ( ) =f t t t f t tt

Ausgehend von = 12 und =

232

erhaumllt man

Korrespondenz 1 12 21

1 12 2( 1) ( )1

st s s

(325)


312 2( 1) ( ) 1

2st

ss s

(326)


332 Additionssatz

Satz 310 Additionssatz

Gelten fuumlr i = 1 2 3 n die Korrespondenzen

0

e)( = )( )( dttfsFtf stiii so folgt

)( )(1 1

sFatfa i

n

i

n

iiii

(327)

Beweis Es gilt mit der Definition der Laplace-Transformation

)( = e)( = e)( )(1 10 1 1 0

sFadttfadttfatfa i

n

i

n

ii

n

i

n

i

stii

stiiii

da das Integral einer Summe von Funktionen gleich ist der Summe der Integrale und die kon-stanten Faktoren ai jeweils vor die Integrale gesetzt werden koumlnnen

Durch die Laplace-Transformation wird eine Linearkombination von Originalfunktionen )(tfi in die analoge Linearkombination von Bildfunktionen )(sFi abgebildet Eine Transformation mit dieser Eigenschaft heiszligt lineare Transformation Insbesondere folgt aus der Linearitaumlt der Laplace-Transformation dass dem ν-fachen einer Originalfunktion )( tf auch das ν -fache der zugehoumlrigen Bildfunktion F(s) entspricht

( ) ( ) ( ) ( )f t F s f t F s

Dies hat zur Folge dass eine Korrespondenz die ja keineswegs eine Gleichung darstellt wie eine Gleichung mit einem konstanten Faktor multipliziert werden darf So kann z B die

Korrespondenz 1 n

nnt

s in 11

n

ntn s umgeformt werden

Ersetzt man noch n durch n 1 so erhaumllt man die uumlbliche Form der Korrespondenz 11

( 1)

n

nt

ns

(328)

Beispiel 36 Zur Originalfunktion 352 = )( 23 tttf soll die Bildfunktion F(s) bestimmt werden

Mit dem Additionssatz erhaumllt man 3

4 3 43 2 1 12 -10 3( ) 2 - 5 3 s sF s

ss s s


Die Konstante 3 der Originalfunktion ist als 3 ( )t zu interpretieren da wir es mit kausalen Zeitfunktionen zu tun haben die nur fuumlr 0t definiert sind Beispiel 37 Man bestimme die Laplace-Transformierten der Zeitfunktionen 1 2( ) sin( ) und ( ) cos( )f t t f t t

Aus den Eulerrsquoschen Gleichungen

cos( ) sin( )

cos( ) sin( )

j t

j t

e t j t

e t j t

folgt durch Addition bzw Subtraktion der beiden Gleichungen

j j1 1sin( ) und cos( ) = e e2 2j t j t t tt e e tj

Die gesuchten Bildfunktionen erhalten wir mit dem Additionssatz

1 2 21 1 1( )

2F s

j s j s j s

und 2 2 2

1 1 1( ) 2

sF ss j s j s

Damit ergeben sich die Korrespondenzen

2 2

2 2

sin ( )

cos ( )

ts

sts

(329)

(330)

Beispiel 38 Es ist die Originalfunktion f(t) zu den folgenden Bildfunktionen zu berechnen

a) 16 8+3 = )( 2 s

ssF und b) s

sssF 3

2 835 = )(

a) Mit der Zerlegung der Bildfunktion 16 8+3 = )( 2 s

ssF in die Teilbruumlche

22222 442 +

43

1683)(

sss

sssF

erhaumllt man unter Verwendung der Korrespondenzen (329) und (330)

)4sin(2)4cos(3)( tttf


b) Durch Zerlegen der Bildfunktion 3

2 835 = )(s

sssF in die Teilbruumlche

32181315 = )(s

+ s

+ s

sF

und gliedweises Ruumlcktransformieren in den Zeitbereich erhaumllt man die Originalfunktion 2( ) 5 ( ) 3 4f t t t t

Entsprechend der Korrespondenz )( 1 ts

gilt )(5 5 ts

Da die Sprungfunktion fuumlr die hier zu betrachtenden Zeitwerte 0t den Wert 1 annimmt kann anstelle von )(5 t auch vereinfacht 5 geschrieben werden


Aufgabe 37 Es sind die Laplace-Transformierten derfolgenden Zeitfunktionen zu berechnen 4 2a) ( ) 3 5f t t t tttf 32 e5e3 = )(b)

)cos(3)sin(2 = )(c) tttf 2 2d) ( ) = 2 et

f t t

)sinh( =)(e) tatf )cosh( = )(f) tatf

Aufgabe 38 Zu den folgenden Bildfunktionen F(s) sollen die zugehoumlrigen Originalfunktionen

)( tf bestimmt werden

4 3

53 5 7a) ( ) s s sF s

s

6 8b) ( ) =

5 2F s

s s

21 3c) ( ) =

2 5F s

s s

135 = )(d) 2

sssF

22 15e) ( ) =4 9

sF ss


333 Verschiebungssatz Der Verschiebungssatz macht eine Aussage uumlber die Laplace-Transformierte einer zeitlich verschobenen Originalfunktion

Bild 310 Zeitfunktionen f(t) und f(t)

Die Funktion 0 0

0

( )( )

0f t t t t

f t t t

in kuumlrzerer Schreibweise

0 0( ) ( ) ( )f t f t t t t

ist gegenuumlber der zum Zeitpunkt t = 0 einsetzen-den Zeitfunktion f(t) um das Zeitintervall t0 nach rechts verschoben

Wesentlich ist dass die hier betrachtete Zeitfunktion ( )f t durch eine reine Verschiebung der zum Zeitpunkt t = 0 einsetzenden Funktion )( tf entstanden ist die ja als eine kausale Zeit-funktion fuumlr Zeitpunkte t lt 0 den Wert Null hat Da die Funktion ( )f t erst ab dem Zeitpunkt t = t0 einsetzt kann dafuumlr die Schreibweise

0 0( ) = ( ) ( )f t f t t t t verwendet werden da 0( )t t dafuumlr sorgt dass ( )f t fuumlr Zeitpunkte t lt t0 den Wert 0 erhaumllt

Satz 311 Verschiebungssatz

Hat die zum Zeitpunkt t = 0 einsetzende Zeitfunktion ( )f t die Laplace-Transformierte F(s) so ist die Laplace-Transformierte der zeitlich um t = t0 verschobenen Zeitfunktion ( )f t gegeben durch 0( ) ( ) stF s F s e d h es gilt

00 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) e stf t F s f t t t t F s (331)

Beweis Mit der Definitionsgleichung der Laplace-Transformation erhalten wir

0 0

0 0

( )0 0( ) ( ) ( ) t t t ss t

t t

f t f t t e dt f t t e dt

L

Als neue Integrationsvariable waumlhlen wir 0t t Damit geht die untere Integrationsgrenze in 0 uumlber waumlhrend die obere Integrationsgrenze erhalten bleibt Damit wird

0 0 0

0

( ) ( ) ( ) ( )st st stsf t e f e d e f t e F s

L L


Die Verschiebung einer Zeitfunktion )( tf um ein Zeitintervall t0 nach rechts bewirkt im Bild-bereich eine Multiplikation der Bildfunktion F(s) mit dem Faktor 0ste

Umgekehrt gilt Bildfunktionen ( )F s mit dem Faktor 0ste ergeben Zeitfunktionen ( )f t die erst zum Zeitpunkt 0t t einsetzen und fuumlr Zeitpunkte 0t t den Wert Null haben Satz 312 Laplace-Transformierte einer periodischen Zeitfunktion

)( tf sei eine Zeitfunktion die durch periodisches Fortsetzen der Funktion 0( )f t entsteht

Zeitpunkteuumlbrigenallefuumlr 0 0fuumlr definiert

= )(0Tt

tf

Dann gilt

00 0

( )( ) ( ) ( )1

( ) sTF sf t F s f t F

es

(332)

Bild 311 Zeitfunktion f0(t) und periodische Funktion f(t)

Beweis Fuumlr die periodische Zeitfunktion )( tf gilt

0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 ) ( 2 ) f t f t f t T t T f t T t T

Bei bekannter Korrespondenz 0 0( ) ( )f t F s erhaumllt man mit dem Verschiebungssatz

2 20 0( ) ( ) 1 ( ) 1 ( )sT sT sT sTF s F s e e F s e e

Der Term in der eckigen Klammer ist eine geometrische Reihe mit dem Faktor sTq e

Die unendliche Reihe konvergiert wenn 1sT T j Tq e e e ist was fuumlr gt 0 er-

fuumlllt ist Mit der Summenformel der konvergenten unendlichen geometrischen Reihe

2 3

0

1 1 1

k

k

S q q q q q

ergibt sich schlieszliglich 0( )( ) 1 sT

F sF se

0 0

t t

T 2TT 3T

0 ( )f t ( )f t


Beispiel 39 Gegeben ist die zum Zeitpunkt t = t0 einsetzende Sprungfunktion

00

0 fuumlr 1fuumlr 0 = )( t gt t

t lt ttt

Es soll die zugehoumlrige Bildfunktion F(s) bestimmt werden 0

t

1

t0

)( tf

Bild 312 Funktionsverlauf )0()( tttf

Aus 1( )ts

folgt mit dem Verschiebungssatz fuumlr die gesuchte Bildfunktion der zeitver-

schobenen Sprungfunktion

0

0( ) ( )steF s t ts

= L

Beispiel 310 Es soll die Laplace-Transformierte eines zum Zeitpunkt t = 0 einsetzenden Rechteckimpulses der Impulsdauer und der Impulshoumlhe A bestimmt werden

0

t

0

tA

a) b)

A)(tA

)( tA

)( tf )( tf

Bild 313 Rechteckimpuls (a) und Zerlegung des Impulses in zwei Teilfunktionen (b)

Nach Bild 313 erhaumllt man den verschobenen Rechteckimpuls durch Kombination mit zwei Sprungfunktionen

( ) ( ) ( )f t A t t Durch Anwenden des Verschiebungssatzes ergibt sich die gesuchte Bildfunktion

( ) = 1 e sAF ss

In diesem einfachen Beispiel kann die Bildfunktion F(s) auch durch das Laplace-Integral direkt berechnet werden

00

( ) 1st

st se AF s Ae dt A es s


Beispiel 311 Man bestimme die Laplace-Transformierte der Zeitfunktion

0

02

0

fuumlr 0 ( ) =

fuumlr ( t t )

A t tf t

Ae t gt t

Die Funktion ( )f t kann in einen Rechteck-impuls der Impulsdauer t0 und in eine zum Zeitpunkt t = t0 beginnenden Exponential-funktion zerlegt werden

Bild 314 Zeitfunktion f(t)

Entsprechend dieser Zerlegung ergibt sich fuumlr die Zeitfunktion f(t) die Darstellung

02( )0 0( ) = ( ) ( ) + e ( )t tf t A t t t A t t

Mit dem Verschiebungssatz erhaumllt man die zugehoumlrige Bildfunktion

0 0( ) 1 2

st stA AF s e es s

Beispiel 312 Es ist die Laplace-Transformierte der folgenden Zeitfunktion zu bestimmen

fuumlr 0 ( ) =

0 fuumlr gt

A t tf t τ

t

Entsprechend der Zerlegung der Funktion )( tf in drei Teilfunktionen nach Bild 315 gilt

00

tt

A A

)( tf )( tf

A2 ( )f t

1( )f t

3( )f t

Bild 315 Zeitfunktion f(t) und ihre Zerlegung in Teilfunktionen

Fuumlr )( tf erhaumllt man damit folgende Darstellung

1 2 3( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )A Af t f t f t f t t t t t A t

Die Anwendung des Verschiebungssatzes ergibt 2( ) 1 s sA AF s e ess

0

t

A

( )f t

0t


Beispiel 313 Gegeben ist die Bildfunktion2

( )3

seF ss

Gesucht ist die zugehoumlrige Original-

funktion )( tf

Aus der Korrespondenz 31 3

tes

folgt mit dem Verschiebungssatz

3( 2) fuumlr 2( ) = 0 fuumlr lt 2

te tf t t

oder kuumlrzer 3( 2)( ) ( 2)tf t e t

Es handelt sich also um eine ab dem Zeitpunkt t = 2 einsetzende abklingende Exponential-funktion

Beispiel 314

Man bestimme die Laplace-Transformierte F(s) der im Bild 316a dargestellten periodischen Zeitfunktion )( tf

Bild 316a Periodische Zeitfunktion ( )f t Bild 316b Zeitfunktion 0 ( )f t

Die Zeitfunktion 0( )f t kann mit Hilfe von -Funktionen wie folgt dargestellt werden

0( ) ( ) 2 ( 2) ( )f t A t A t T A t T

2 2 2 0 0( ) ( ) 1 2 1 sT sT sTA Af t F s e e e

s s

Mit Satz 312 folgt fuumlr die Laplace-Transformierte der T-periodischen Zeitfunktion

2 2

2 2

2 2

1 1( ) ( )

1 1 1

sT sT

sT sT sT

A Ae es sf t F s

e e e

2

21( ) 1

sT

sTA eF ss e

( )f t0 ( )f t

T T0 0

A A

A A

tt



Aufgabe 39 Es sind die Bildfunktionen F(s) zu den folgenden Originalfunktionen zu be-rechnen

2( 1) fuumlr 1a) ( ) = 0 fuumlr lt 1t tf t

t

3 fuumlr 3

3 0fuumlr = )(b)

t

tttf

gt fuumlr 0 fuumlr )sin(

= )(c)ttt

tf 0 1

d) ( ) 1 1 20 2

t tf t t

t

1 0 1e) ( ) 2 1 2

0 2

tf t t t

t

Aufgabe 310


Man berechne die Laplace-Transformierte F(s) eines Rechteckimpulses der Impulshoumlhe A der zur Zeit t1 beginnt und zum Zeitpunkt t2 endet

Aufgabe 311 Fuumlr die angegebene Zeitfunktion f(t) ist die Laplace-Transformierte F(s) zu berechnen

( 2)

fuumlr 22( ) =

fuumlr gt 2t

A t tf t

Ae t


( )f t

t

A

01t 2t

( )f t

A

0 2

t


Aufgabe 312 Zur Bildfunktion 2 2(1 )( )

sTeF ss

mit der Kreisfrequenz 2

T ist die

Originalfunktion ( )f t zu bestimmen

Aufgabe 313 Es sollen die Originalfunktionen )( tf zu den folgenden Bildfunktionen be-stimmt werden

2

2a) ( ) seF s

s

5

4b) ( ) seF s

s

2

2c) ( ) 25

ss eF ss

2

31d) ( )

seF ss

1 1e) ( ) (1 )2

sF s es s

46f) ( )

( 2)

seF ss

1g) ( ) 12

ss eF s e

s s

2

21 1 1h) 1

2s sF( s ) ( e ) e

s ss

34 Die Delta-Funktion δ(t)

Bevor wir mit der Laplace-Transformation fortfahren muumlssen wir uns zunaumlchst mit einer spe-ziellen Zeitfunktion der Deltafunktion beschaumlftigen Diese spielt in technischen Anwendun-gen eine wichtige Rolle Die Deltafunktion ist keine Funktion im herkoumlmmlichen Sinne sondern eine Distribution d h eine verallgemeinerte Funktion Einen entscheidenden Beitrag zum Verstaumlndnis der verallgemeinerten Funktionen hat der fran-zoumlsische Mathematiker Laurent Schwartz (1915ndash2002) geliefert der als Begruumlnder der Theorie der Distributionen gilt Um eine anschauliche Vorstellung von der Deltafunktion zu bekommen betrachten wir einen Rechteckimpuls der Breite τ und der Houmlhe 1 τ Das Integral daruumlber also die Impulsflaumlche ist gleich 1 Wenn die Breite τrarr0 geht strebt die Houmlhe gegen infin Die Impulsflaumlche bleibt dabei aber gleich 1 Mit der Sprungfunktion ε(t) von Abschnitt 331 koumlnnen wir den Rechteckimpuls der Laumlnge τ und der Houmlhe 1τ darstellen und den Grenzuumlbergang bilden

0

1( ) lim ( ) ( )t t t

(332)

( ) 1t dt

(333)

Bild 319 Rechteckimpuls

( )f t

t

1

0

34 Die Delta-Funktion δ(t) 57

Die δ-Funktion beschreibt einen idealisierten Impuls der Impulsflaumlche 1 dessen Impulsdauer gegen Null geht Sie heiszligt deshalb auch Impulsfunktion und wird graphisch durch einen Pfeil der Laumlnge 1 dargestellt

t

0

1t

1

0 t0

)( 0tt )( t

Bild 320 Deltafunktion und zeitlich verschobene Deltafunktion

Fuumlr einen um t0 verschobenen Rechteckimpuls ergibt sich in gleicher Weise mit dem Grenz-uumlbergang τrarr0 die zeitlich verschobene Deltafunktion 0( )t t

341 Ausblendeigenschaft der δ-Funktion Wird in Gl (333) die δ-Funktion mit einer reellen stetigen Funktion f(t) multipliziert so

erhalten wir ( ) ( )f t t dt

Das Produkt f(t) middotδ(t) ist wegen δ(t) uumlberall Null auszliger bei t = 0

Dort hat f(t) den Funktionswert f(0) Mit Beachtung des Grenzuumlbergangs der δ-Funktion erhal-ten wir

( ) ( ) (0) ( ) (0) ( ) (0) 1 (0)

f t t dt f t dt f t dt f f

Von dem Funktionsverlauf f(t) wird in Verbindung mit der δ-Funktion der Funktionswert f(0) ausgeblendet

Fuumlr eine beliebige Funktion f(t) die an der Stelle t = 0 stetig ist gilt

( ) ( ) (0)t f t dt f

(334)

Ausblendeigenschaft der δ-Funktion an der Stelle t = 0

Fuumlr die zeitlich verschobene Deltafunktion 0( )t t d h fuumlr einen Deltaimpuls zum Zeit-punkt t = t0 gilt analog zu Gl (334)

0 0( ) ( ) ( )t t f t dt f t

Ausblendeigenschaft der δ-Funktion an der Stelle t = t0

(335)

In Kurzschreibweise wird Gl (334) in folgender Form angegeben

)()0( = )()( tfttf (336)


Die Schreibweise ist so zu verstehen dass nach Ausfuumlhren des Grenzuumlbergangs in Gl (334) es formal keinen Unterschied macht welche Seite von (336) den Integranden bildet

Entsprechendes gilt fuumlr die Kurzschreibweise von Gl (335)

)()( = )()( 000 tttftttf (337)

Ergaumlnzung Um zu einer mathematischen Beschreibung der δ-Distribution zu gelangen kann man eine Folge von geeigneten gewoumlhnlichen Funktionen betrachten und den Grenzuumlbergang durchfuumlhren Da wir uns im Rahmen der Laplace-Transformation auf kausale Funktionen beziehen sind die in Bild 321 angegebenen Funktionen gn(t) kausale Zeitfunktionen Satz 313

Es sei ( )ng t eine Folge von gewoumlhnlichen Funktionen mit der Eigenschaft

lim ( ) ( ) (0)nng t f t dt f

Dann gilt lim ( ) ( )nng t t

(338)

(339)

Dabei ist f(t) ist eine beliebige reelle stetige Funktion In Bild 321 ist eine Auswahl von ge-eigneten Funktionen ( )ng t angegeben die alle Gl (338) erfuumlllen

Bild 321 Funktionsfolgen gn(t)

Im Grenzfall n konvergieren diese Funktionsfolgen ( )ng t gegen die Deltafunktion

Es ist leicht nachzupruumlfen dass jede dieser Funktionsfolgen normiert ist d h es gilt

( ) 1 fuumlr alle ng t dt n

0

n

tn1

)( tgn

0 tn1

n2

)( tgnn

0 t

tnn e

)( tgnn


Die Funktionsfolgen gn(t) sind als Impulse der Impulsflaumlche 1 zu interpretieren die mit wach-sendem n kuumlrzer und houmlher werden

342 Laplace-Transformierte der Deltafunktion Die L-Transformierte der δ-Funktion kann auf elegante Weise mit der Ausblendeigenschaft (334) erhalten werden Es gilt

0( ) ( ) 1stt t e dt e

L


( ) 1t (340)

Alternativ dazu kann die Korrespondenz (340) auch mit Gl (332) erhalten werden

0 0 0

1 1 1 1 1( ) lim ( ) ( ) lim lims se et t t

s s s

L L

Der letzte Ausdruck ist fuumlr 0 von der Form 00 Den Grenzwert erhalten wir nach der

Regel von lrsquoHospital indem wir Zaumlhler und Nenner nach der Variablen differenzieren und dann den Grenzuumlbergang durchfuumlhren

s

0

1 se(t) lim 1s 1

L

Die Laplace-Transformierte der verschobenen Deltafunktion 0( )t t erhaumllt man mit Gl (335)

00 0( ) ( ) ststt t t t e dt e

L

Korrespondenz 00( ) stt t e (341)

343 δ-Funktion als verallgemeinerte Ableitung der Sprungfunktion Wir wollen nun einen Zusammenhang zwischen der Ableitung der Sprungfunktion und der Deltafunktion herleiten Die Funktion ( )f t von Bild 322 steigt im Zeitintervall von 0 bis linear vom Funktionswert 0

auf den Wert 1 an und behaumllt diesen Wert fuumlr t gt bei Ihre Ableitung ( )df tdt hat fuumlr 0 lt t lt

den Wert 1 und fuumlr t den Wert Null Die Ableitung ist nicht definiert fuumlr t

Im Grenzfall τ rarr 0 geht die Funktion ( )f t in die Sprungfunktion ( )t und ihre Ableitung in die Deltafunktion uumlber


t

0 t

0

(t)

t

0

t

0

(t)

1

1

1

1

)( tf

dttfd )(

0lim

0lim

Bild 322 Deltafunktion als verallgemeinerte Ableitung der Sprungfunktion

Die Deltafunktion ist die verallgemeinerte Ableitung der Sprungfunktion Man schreibt dafuumlr

( ) ( )D t t (342)

wobei D (Derivation) als Symbol fuumlr die verallgemeinerte Ableitung steht

Fuumlr die gewoumlhnliche Ableitung der Sprungfunktion gilt

0 = fuumlr definiert nicht

0 fuumlr 0 = )(

t

tdt

td

Die verallgemeinerte Ableitung stimmt an allen Stellen an denen die Zeitfunktion ( )f t stetig ist mit der von der Analysis her bekannten gewoumlhnlichen Ableitung uumlberein An Unstetigkeits-stellen an denen die gewoumlhnliche Ableitung nicht definiert ist spielt die Deltafunktion die wesentliche Rolle Weitere Ausfuumlhrungen in Abschnitt 3312

344 Daumlmpfungssatz

Satz 314 Daumlmpfungssatz

Entspricht einer Zeitfunktion ( )f t die Laplace-Transformierte F(s) so entspricht der ge-daumlmpften Zeitfunktion attf e)( die Laplace-Transformierte F(s + a)

( ) ( ) ( ) ( )atf t F s f t e F s a (343) Beweis Zum Beweis greifen wir auf die Definitionsgleichung der Laplace-Transformation zuruumlck und erhalten

( )

0 0

( ) ( ) ( )a t at st s a tf t e f t e e dt f t e dt


Das letzte Integral unterscheidet sich von der Laplace-Transformierten der Funktion )( tf

0

( ) ( ) stF s f t e dt

nur dadurch dass die komplexe Variable s durch s + a ersetzt ist Mit dem Verschiebungssatz hatte sich ergeben dass durch die Verschiebung einer Zeitfunktion um t0 im Bildbereich der Faktor 0ste entsteht Umgekehrt bewirkt ein Faktor ate bei einer Zeitfunktion einer Verschiebung der Bildvariab-len von s auf s + a Der Daumlmpfungssatz wird daher auch als Verschiebungssatz im Bildbereich bezeichnet Die gewaumlhlte Bezeichnung Daumlmpfungssatz ist nur dann gerechtfertigt wenn Re a gt 0 ist d h wenn der Faktor ate wirklich zeitlich abklingt Bei den Anwendungen ist dies in der Regel der Fall

Der Satz gilt auch fuumlr zeitlich ansteigende Faktoren ate mit Re a lt 0 Beispiel 315 Es soll die Laplace-Transformierte der Zeitfunktion

3( ) sin(2 )tf t e t

bestimmt werden

Aus der Korrespondenz 22sin(2 )

4t

s folgt mit dem Daumlmpfungssatz indem man

wegen des zusaumltzlichen Faktors 3te die Variable s durch s ndash 3 ersetzt

32 2

2 2sin(2 ) ( 3) 4 6 13

te ts s s

Beispiel 316 Gesucht ist Bildfunktion F(s) zu der verzoumlgert einsetzenden Zeitfunktion 2( )( ) 5( ) ( )tf t t e t

Bild 323 Zeitfunktion

Wir gehen aus von der Korrespondenz

255ts

Um die Korrespondenz der gedaumlmpften Funktion 25 e tt zu erhalten muumlssen wir mit dem Daumlmpfungs-

satz die Variable s durch s + 2 ersetzen

22

55 ( 2)

ttes

Die Funktion 25 tte beginnt ab dem Zeitpunkt t = 0 Die gegebene verzoumlgert einsetzende Zeitfunktion entsteht daraus durch eine Verschiebung um das Zeitintervall


Mit dem Verschiebungssatz ergibt sich schlieszliglich die gesuchte Bildfunktion

25( )

( 2)sF s e

s

Beispiel 317 Gegeben ist die Bildfunktion 102

5 = )( 2 ss+ssF


Die Bildfunktion F(s) kann umgeformt werden in

2 2 2 2 25 1 4 3( )

3( 1) 9 ( 1) 3 ( 1) 3s sF s

s s s

Mit den bekannten Korrespondenzen

2 2 2 2sin( ) und cos( ) st ts s

erhalten wir unter Beachtung des Daumlmpfungssatzes die gesuchte Zeitfunktion

4( ) cos(3 ) sin(3 )3

tf t t t e

Beispiel 318 Es ist die Zeitfunktion ( )f t zur Bildfunktion 21( )

( )F s

s a

zu bestimmen

Aus der bekannten Korrespondenz 21 ts

folgt unter Verwendung des Daumlmpfungssatzes

die gesuchte Zeitfunktion ( ) a tf t t e

Die gegebene Bildfunktion 21

( )s a unterscheidet sich von 2

1s

nur dadurch dass s durch

(s + a) ersetzt ist Das hat im Zeitbereich den Daumlmpfungsfaktor ate zur Folge


Aufgabe 314 Man bestimme die Bildfunktionen F(s) zu den folgenden Zeitfunktionen 2 5a) tf ( t ) t e tttf 34 e = )(b)

c) ( ) cos( )tf t e t 2d) ( ) cosh( )tf t e t

2e) ( ) (1 )tf t te 2( 1) sin( 1) fuumlr 1f) ( ) 0 fuumlr 1

te t t f tt

35 Partialbruchzerlegung 63

Aufgabe 315 Man ermittle die Originalfunktionen f(t) zu den Bildfunktionen

21a) ( )2 1

F ss s

21b) ( )4 8

F ss s

21c) ( )

2 3sF s

s s

31d) ( )

( )F s

s a

2

3e) ( )( 1)

seF ss

3

2f) ( )2 5

seF ss s

3

21g) ( )( 2)

seF ss

3

2h) ( )

( 3)F s

s

35 Partialbruchzerlegung

Eine Bildfunktion der Form 1

1 1 01

1 1 0

( )( ) ( )( )

m mm m

n nn n

b s b s b s bZ sF s m nN s a s a s a s a

ist eine echt gebrochen rationale Funktion der Variablen s wenn der Grad m des Zaumlhlers Z(s) kleiner als der Grad n des Nenners N(s) ist Die Koeffizienten ai und bi sind reelle Zahlen

Zur Bestimmung der Nullstellen des Nenners N(s) ist die algebraische Gleichung n-ten Grades zu loumlsen

11 1 0( ) = = 0n n

n nN s a s a s a s a

Sind die Nullstellen si des Nenners ermittelt so kann der Nenner in ein Produkt von Linearfak-toren zerlegt werden und man erhaumllt fuumlr die Bildfunktion

1 2

( )( ) ( )( ) ( )n n

Z sF sa s s s s s s

Die Nullstellen des Nenners N(s) sind die Pole von F(s) Zur Ruumlcktransformation der Bildfunktion in den Zeitbereicht nutzt man die Moumlglichkeit die Bildfunktion F(s) in moumlglichst einfache Partialbruumlche zu zerlegen und diese Teilbruumlche dann unter Verwendung des Additionssatzes gliedweise in den Originalbereich zuruumlck zu transfor-mieren Je nach der Art der auftretenden Pole der Bildfunktion F(s) ergeben sich fuumlr die Partialbruch-zerlegung folgende Faumllle

351 Bildfunktion mit nur einfachen reellen Polen Satz 315

Hat die echt gebrochen rationale Bildfunktion F(s) nur einfache reelle Pole s = sk fuumlr k = 1 2 n so gilt folgende Partialbruchzerlegung

1 2

1 2( ) = k n

k n

A AA AF s + +s s s s s s s s

(344)


Beweis Als Nenner der Teilbruumlche kommen alle Linearfaktoren des Nenners von F(s) vor Da F(s) eine echt gebrochen rationale Funktion ist muumlssen auch die Teilfunktionen in die F(s) zerlegt wird echt gebrochen rational sein Daraus folgt dass die Zaumlhler der Teilbruumlche kon-stante Zahlen sind

Satz 316

Ist die Bildfunktion F(s) eine echt gebrochen rationale Funktion mit nur einfachen reellen Polen s = sk so gilt fuumlr die zugehoumlrige Originalfunktion

1

( ) kn

tk

k

sf t A e

(345)

Beweis Ausgehend von der Partialbruchzerlegung der Bildfunktion F(s) nach Gl (344) erhaumllt

man mit der Korrespondenz ks tkk

k

A A es s

und unter Verwendung des Additionssatzes

die Aussage des Satzes 316

Nachdem die allgemeine Form der Partialbruchzerlegung von F(s) als auch die allgemeine Form der ruumlcktransformierten Zeitfunktion )( tf feststehen muumlssen noch die Zaumlhler Ak der Partialbruumlche berechnet werden Das hierfuumlr zweckmaumlszligige Verfahren besteht darin die Bildfunktion F(s) mit dem Hauptnenner der Teilbruumlche

1 2( ) ( )( ) ( )nN s s s s s s s zu multiplizieren In die erhaltene Gleichung die fuumlr alle Werte von s guumlltig ist werden fuumlr die Variable s nacheinander n passende Werte eingesetzt die so zu waumlhlen sind dass sich moumlg-lichst einfache Gleichungen ergeben

In vielen Faumlllen kann man folgende Vorgehensweise zur Bestimmung der Ak anwenden Multipliziert man die Partialbruchzerlegung (344) mit dem Faktor (s sk) so folgt

1 2

1 2

( ) ( ) ( )( ) ( ) k k n kk k

n

A s s A s s A s ss s F s A s s s s s s

Da die Polstellen nach Voraussetzung alle verschieden sind kuumlrzt sich der Faktor (s sk) nur bei dem Partialbruch mit dem Zaumlhler Ak Setzt man in die neu entstandene Gleichung fuumlr s den Wert sk ein so folgt

lim ( ) ( ) ( ) ( )kk

k k k s ss sA s s F s s s F s

(346)

Da der Nenner von F(s) den Linearfaktor (s sk) enthaumllt entsteht durch Kuumlrzen dieses Faktors ein Ausdruck in den der Wert s = sk eingesetzt werden kann


Alternativ dazu kann mit ( )( )( )

Z sF sN s

die Gl (346) umgeformt werden in

( )lim( )k

k

k s s

Z sAN ss s

(347)

Wir betrachten nun den in Gl (347) auftretenden Ausdruck ( )limk ks s

N ss s

Der Ausdruck ist unbestimmt und von der Form 00 Darauf koumlnnen wir die Regel von lrsquoHos-

pital angewenden

( )( ) ( )lim lim

1k kk ks s s s s s

dN sdsN s dN s

s s ds

Damit geht Gl (347) uumlber in

( )( )lim ( ) ( )k

k

kk s s

s s

Z sZ sAdN s dN s

ds ds

(348)

In manchen Faumlllen ist Gl (348) zur Berechnung der Ak der Partiallbruumlche besser geeignet als Gl (346) Welche Berechnungsmethode die guumlnstigere ist entscheidet der konkrete Fall

Beispiel 319 Zur Bildfunktion 1( )( 1)

F ss s

soll durch Partialbruchzerlegung die zugehouml-

rige Zeitfunktion )( tf bestimmt werden

Die Bildfunktion F(s) hat die einfachen reellen Pole s1 = 0 und s2 = 1

Fuumlr F(s) ergibt sich damit die Partialbruchzerlegung 1 2( )1

A AF s s s

Multipliziert man die Partialbruchzerlegung mit dem Hauptnenner N(s) = s(s 1) ergibt sich

1 21 ( 1)A s A s

Fuumlr s = 0 1 11 ( 1) 1A A

Fuumlr s = 1 21 A

Alternativ ergibt sich mit Gl (346)

1 0 0

1 1 1( 1) ( 1)s s

A ss s s

und 21 1

1 1( 1) = 1( 1) s s

A ss s s

Die Partialbruchzerlegung der Bildfunktion lautet damit 1

1 + 1 = )(

ss

sF


Durch Ruumlcktransformation in den Zeitbereich erhaumllt man die zugehoumlrige Originalfunktion

( ) 1 tf t e


32 3 1( ) s sF s

s s

Durch Partialbruchzerlegung

ist die zugehoumlrige Zeitfunktion )( tf zu bestimmen

Die Nullstellen des Nenner 3 2( 1) 0s s s s sind 1 0s 2 1s und 3 1s

Damit ergibt sich die Partialbruchzerlegung 31 2( )1 1

AA AF s s s s

Mit der Ableitung des Nenners 2( ) 3 1dN s sds

erhaumllt man nach Gl (348)

2

1 20

2 3 1 13 1 s

s sAs

2

2 21

2 3 1 23 1 s

s sAs

und

2

3 21

2 3 1 13 1 s

s sA s

Damit lautet die Bildfunktion

1 2 1( )

1 1F s

s s s

Natuumlrlich koumlnnen die Ak auch nach einer anderen Methode berechnet werden Als zugehoumlrige Zeitfunktion ergibt sich

( ) 1 2 t tf t e e

352 Bildfunktion mit mehrfachen reellen Polen Es sollen nun Bildfunktionen F(s) betrachtet werden die neben einfachen reellen Polen auch mehrfache reelle Pole haben

Satz 317

Ist F(s) eine echt gebrochen rationale Bildfunktion die bei s = s0 eine k-fache Polstelle besitzt so gilt die folgende Partialbruchzerlegung

1 11

00 1 0 0

( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )

k kk k k

B BZ s BF s P ss ss s N s s s s s

(349)

Dabei ist P(s) die Summe der Partialbruumlche die durch die restlichen Polstellen bedingt ist Die Zaumlhler kB sind reelle Zahlen

Beweis Die Bildfunktion F(s) laumlsst sich in die Anteile zerlegen

00

0 11

1

( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )k

Z s Z sF s F s F sN ss s


Da F(s) als eine echt gebrochen rationale Funktion vorausgesetzt ist hat der Zaumlhler Z0(s) houmlchstens den Grad k 1 Eine Reihenentwicklung des Zaumlhlers Z0(s) nach Potenzen von (s s0) ergibt

1 21 0 2 0 1 0

00

( ) ( ) ( )( )

( )

k kk k

k

B s s B s s B s s BF s

s s

Dividiert man jedes Glied des Zaumlhlers von 0 ( )F s durch den Nenner 0( )ks s so erhaumllt man die Aussage des Satzes 317 Satz 318

a) Eine k-fache reelle Polstelle bei s = s0 bedingt im Zeitbereich den Anteil

01

01

( )( 1)

nk

nn

ts tf t e Bn

(350)

b) Fuumlr die Koeffizienten Bn gilt mit n = k r

0

01 ( ) ( )

rk

k r rs s

dB s s F sr ds

(351)

Beweis

a) Mit 11

( 1)

n

nt

ns

und dem Daumlmpfungssatz erhaumllt man 0

1

0 ( 1)( )

ns tn

nnB tB e

ns s

b) Multipliziert man Gl (349) mit 0( )ks s so folgt hieraus 1

0 1 0 1 0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )k k kk ks s F s B B s s B s s s s P s

Einsetzen von 0s s ergibt 0

0( ) ( )kk s s

B s s F s

Damit ist die Richtigkeit von Gl (351) fuumlr r = 0 gezeigt Zu beachten ist dass der Nenner von F(s) den Faktor 0( )ks s noch enthaumllt und durch Kuumlrzen dieses Faktors ein Ausdruck entsteht in den fuumlr s der Wert s0 eingesetzt werden kann

Differenziert man den Ausdruck 0( ) ( )ks s F s r-mal und setzt anschlieszligend fuumlr s den Wert s0 ein so erhaumllt man Gl (351) Die formale Verwendung von Gl (351) zur Berechnung der Zaumlhler Bk ist wegen des damit verbundenen Rechenaufwandes nicht immer vorteilhaft Man wird in solchen Faumlllen den An-satz zur Partialbruchzerlegung mit dem Hauptnenner multiplizieren und in die so erhaltene Gleichung fuumlr s passende Werte einsetzen wie in Beispiel 319 gezeigt Passende Werte sind stets die reellen Polstellen von F(s) weil man dadurch jeweils nur eine Gleichung fuumlr nur einen unbekannten Zaumlhler Bk erhaumllt


Beispiel 321 Fuumlr die Bildfunktion 2

33 7 6( )

( 1)s sF s

s

ist mit Gl (351) die Partialbruch-

zerlegung durchzufuumlhren und die zugehoumlrige Originalfunktion ( )f t zu bestimmen

F(s) hat eine dreifache Polstelle bei s = 1 Fuumlr die Partialbruchzerlegung ergibt sich damit der

Ansatz 2

3 2 13 3 2

3 7 6( ) ( 1)( 1) ( 1) ( 1)

Bs s B BF sss s s

Die Gl (351) die hier besonders einfach anzuwenden ist da nur ein dreifacher Pol bei s = 1 vorhanden ist liefert

0 r 3 23 1 1 ( 1) ( ) 3 7 6 2

s sB s F s s s

1 r 3 22 11 1 ( 1) ( ) 3 7 6 6 7 1ss s

d dB s F s s s sds ds

2 r 2 2

3 21 2 21 1

1 1 1 ( 1) ( ) 3 7 6 6 32 2 2s s

d dB s F s s sds ds

Damit lautet die Partialbruchzerlegung der Bildfunktion

3 22 1 3( )

( 1)( 1) ( 1)F s

ss s

Fuumlr die Zeitfunktion erhaumllt man 2 2( ) 3 ( 3)t t t tf t t e te e t t e

Beispiel 322 Zu 2

23( )

( 1)( 2)s sF s

s s

soll die Zeitfunktion )( tf bestimmt werden

Die Bildfunktion hat eine zweifache Polstelle bei s = 2 und eine einfache Polstelle bei s = 1 Fuumlr die Partialbruchzerlegung ergibt sich damit der Ansatz

2 12( )

1 2( 2)A B BF s

s ss

Um die noch unbekannten Zaumlhler zu berechnen multiplizieren wir die Partialbruchzerlegung mit dem Nenner 2( ) ( 1)( 2)N s s s und erhalten

2 21 2 13 ( 2) ( 1) ( 2)( 1)s s A s B s B s s

Durch Einsetzen der Polstellen folgt

s = 1 211 ( 1 2)A A1 = 1

s = 2 23 ( 2 1)B B2 = 3

Dadurch sind zwei der drei unbekannten Zaumlhler einfach berechnet worden Zur Bestimmung von B1 kann nun irgendein noch nicht verwendeter s-Wert z B s = 0 eingesetzt werden

s = 0 213 ( 1) 2 ( 3) 1 2 1B B1 = 2


Damit ist die Partialbruchzerlegung von F(s) bestimmt

22

)2(3

11 = )( 2

sss

sF

Wir erhalten im Zeitbereich die Funktion 2 2( ) 3 2t t tf t e t e e

353 Bildfunktionen mit einfachen komplexen Polstellen Wir wollen uns hier auf einfache komplexe Pole beschraumlnken weil mehrfache komplexe Pole zu Teilbruumlchen fuumlhren deren Transformation in den Zeitbereich mit den Transformations-regeln Saumltzen und Korrespondenzen die wir bisher kennen gelernt haben nicht moumlglich ist Die Transformation der von mehrfachen komplexen Polen bedingten Teilbruumlche in den Zeitbe-reich ist mit der im Abschnitt 32 behandelten Residuenmethode oder mit dem Faltungssatz den wir spaumlter noch besprechen werden moumlglich Die Koeffizienten der echt gebrochen rationalen Bildfunktion F(s) werden als reell voraus-gesetzt Komplexe Pole treten dann stets paarweise als konjugiert komplexe Polstellen auf

Satz 319

Beweis

a) Fuumlr die Bildfunktion ( )( )( )

Z sF sN s

gilt die Zerlegung

0 0

( )( )( )( ) ( )

Z sF ss s s s R s

a) Hat die echt gebrochen rationale Bildfunktion F(s) die einfachen konjugiert komplexen Pole 0s a jb und

0s a jb so gilt die Partialbruchzerlegung

(1) 1 20

0 0( ) ( ) ( ) ( )A AF s P s F s P s

s s s s

oder in aumlquivalenter Form

(2) 1 202 2( ) ( ) ( ) ( )

( )C s CF s P s F s P s

s a b

Dabei ist P(s) die Summe der Partialbruumlche die durch die restlichen Polstellen bestimmt ist

b) Einem Paar von einfach konjugiert komplexen Polen im Bildbereich entspricht im Zeitbereich der Funktion 0( )f t

1 2 2 10 0 12 2( ) ( ) = cos( ) sin( )

( )a tC s C C a CF s f t e C bt b t

bs a b


Dabei ist R(s) der Restfaktor des Nenners N(s) den man nach Abspalten der Linearfakto-ren 0( )s s und 0

( )s s erhaumllt Da einfache komplexe Pole genauso behandelt werden wie einfache reelle Pole erhaumllt man die Zerlegung

1 20

0 0( ) ( ) ( ) ( )A AF s P s F s P s

s s s s

Damit erhaumllt man die Bestimmungsgleichung fuumlr die Konstanten A1 und A2 1 2

00 0 0

( ) ( ) ( )( ) ( )

Z s A A P ss ss s s s R s s s

Eine Multiplikation der Gleichung mit dem Nenner N(s) ergibt

1 0 2 0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) Z s A s s R s A s s R s P s s s s s R s

Einsetzen von 0 s s 0 1 0 0 0( ) ( ) ( )Z s A s s R s 01

0 0 0

( ) ( ) ( )

Z sAs s R s


20 0 0

( ) ( ) ( )

Z sAs s R s

Damit sind die Konstanten A1 und A2 bestimmt Die Konstanten C1 und C2 erhaumllt man aus der Umformung

1 2 1 0 2 01 2

0 0 0 0 0

( ) ( )( )( )( )

A A s A s A sA AF ss s s s s s s s

1 1 2C A A und 2 1 0 2 0( )C A s A s

Damit ergibt sich die Form (2) der Partialbruchzerlegung

1 2 1 22 2

0 0( ) ( ) ( )

( )( ) ( )C s C C s CF s P s P s

s s s s s a b

b) Fuumlr das Paar konjugiert komplexer Pole erhaumllt man fuumlr den Anteil

1 2 1 2 10 2 2 2 2 2 2

( )( )( ) ( ) ( )

C s C C s a C aCF ss a b s a b s a b

Die Korrespondenz fuumlr die Kosinusfunktion in Verbindung mit dem Daumlmpfungssatz er-

gibt 2 2 cos( )( )

ats a e bts a b

und fuumlr die Sinusfunktion

2 2 sin( )( )

atb e bts a b

In der Summe ergibt sich die zu beweisende Aussage 0 0( ) ( )F s f t

Hat das konjugiert komplexe Polpaar einen negativen Realteil so ergibt sich im Zeitbereich eine gedaumlmpfte Schwingung


Beispiel 323 Zur Bildfunktion 2

24 25 45( )

( 1)( 6 13)s sF s

s s s

soll die zugehoumlrige Zeitfunktion


Die Bildfunktion hat einen einfachen reellen Pol bei 1 1s und ein Paar von konjugiert kom-plexen Polen 2 3 2s j und 3 3 2s j Die Partialbruchzerlegung (2) hat daher die Form

1 1 22( )

1 6 13A C s CF s

s s s

Multipliziert man den Ansatz mit dem Nenner 2( ) ( 1)( 6 13)N s s s s so folgt 2 2

1 1 24 25 45 ( 6 13) ( )( 1)s s A s s C s C s

Setze s = 1 24 = 8A1 s = 0 45 = 39 + C2 s = 1 74 = 60 + 2(C1 + 6)

A1 = 3 C2 = 6 C1 = 1

Fuumlr die Partialbruchzerlegung der Bildfunktion erhaumllt man damit

2 2 2 2 23 6 3 3 3 2( )

1 1 26 13 ( 3) 2 ( 3) 2s sF s

s ss s s s

Die Ruumlcktransformation ergibt die Zeitfunktion

3( ) 3 cos(2 ) sin(2 )2

t tf t e e t t

Beispiel 324 Man berechne die Originalfunktion )( tf zur Bildfunktion 2

2 22 3( )

( 2 2)( 2 5)s sF s

s s s s

Die Bildfunktion F(s) besitzt zwei Paare von konjugiert komplexen Polen Der Ansatz fuumlr die Partialbruchzerlegung lautet

2 2( )2 2 2 5

As B Cs DF ss s s s

Multiplizieren des Ansatzes mit dem Hauptnenner N(s) = (s2 + 2s + 2)(s2 + 2s +5) ergibt 2 2 22 3 ( )( 2 5) ( )( 2 2)s s As B s s Cs D s s

Durch Einsetzen von 4 moumlglichst einfachen s-Werten (z B s = 0 1 ndash1 2) erhaumllt man ein Glei-chungssystem von 4 Gleichungen fuumlr die 4 Unbekannten Konstanten mit den Loumlsungen

1 20 0 und3 3

A B C D

Eine Moumlglichkeit das lineare Gleichungssystem fuumlr die 4 Unbekannten zu vermeiden besteht darin komplexe Pole einzusetzen Das ergibt 2 Gleichungssysteme fuumlr je 2 Unbekannte Der erste Faktor 2( 2 2)s s hat das konjugiert komplexe Paar 1 1s j und

1 1s j


Fuumlr den zweiten Faktor 2( 2 5)s s erhaumllt man 2 1 2s j und 2 1 2s j

Die Bestimmungsgleichung fuumlr die Konstanten lautet jetzt 2

2 2 1 12 3 ( )( )( ) ( )( )( )s s As B s s s s Cs D s s s s

Setze 1 1s j 1 ( 1 ) 3 3 3 3A j B A B j A

Vergleich von Real- und Imaginaumlrteil auf beiden Seiten der Gleichung ergibt 10 3A B

Setze 2 1 2s j 2 ( 1 2 ) ( 3) 3 3 6C j D C D jC

Vergleich von Real- und Imaginaumlrteil ergibt 20 3C D

Fuumlr die Bildfunktion gilt daher die Partialbruchzerlegung

2 2 21 1 1 2( ) 3 3( 1) 1 ( 1) 2

F ss s

Damit folgt fuumlr die Zeitfunktion

1( ) sin( ) sin(2 )3

tf t e t t


Aufgabe 316 Man bestimme die Originalfunktionen )( tf zu den folgenden Bildfunktionen

24a) ( )

5 6sF s

s s

1b) ( )( 2)( 2)( 3)

F ss s s

3

4c) ( )( 3)

sF ss

3 2

2 210 20 5d) ( ) ( 1) ( 2)

s s sF ss s s

2 21e) ( )

( 1)F s

s s

2 2

10f) ( ) ( 1) ( 8 17)

F ss s s

25g) ( )

( 1)( 1)sF s

s s

2

3 27 12h) ( )

3 3s sF s

s s s

32i) ( )2

F ss

2k) ( ) 1

sF ss

2 21 3 1l) ( )

( 1)ssF s e

s s s

2

33 8 6m) ( )

( 1)s sF s

s

36 Faltungssatz 73

36 Faltungssatz

Der Faltungssatz erschlieszligt einen Weg die inverse Laplace-Transformation durchzufuumlhren wenn die Bildfunktion F(s) in zwei Faktoren zerlegt werden kann deren Originalfunktionen bekannt sind

Satz 322 Faltungssatz

Dem Produkt F1(s)F2(s) zweier Bildfunktionen entspricht im Zeitbereich die Faltung f1(t) f2(t) der zugehoumlrigen Originalfunktionen

1 11 2 1 2

2 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) F s f t

F s F s f t f tF s f t

wobei die Faltung zweier kausaler Zeitfunktionen durch das Faltungsprodukt

(352)

1 2 1 20

( ) ( ) ( ) ( )t

f t f t f f t d

definiert ist

(353)

Beweis Wir gehen von der Definition der Laplace-Transformation aus und erhalten unter der Voraus-setzung dass die auftretenden Integrale absolut konvergieren

1 2 1 20 0

( ) ( ) ( ) ( )t

stf t f t f f t d e dt

Durch die Multiplikation des Integranden in der eckigen Klammer mit

1 fuumlr

( ) = 0 fuumlr

tt

t

wird erreicht dass auch fuumlr die Variable τ des inneren Integrals die Integrationsgrenzen 0 und gesetzt werden koumlnnen da fuumlr Zeitpunkte gt t der Ausdruck 1 2( ) ( ) ( ) 0f f t t ist

1 2 1 20 0 0 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( )t

st stf f t d e dt f f t t e d dt

Da die absolute Konvergenz der Integrale vorausgesetzt ist darf die Reihenfolge der Integra-tionen vertauscht werden

1 2 1 20 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) stf t f t f f t t e dt d

Durch Anwenden des Verschiebungssatzes erhaumllt man fuumlr das Integral in eckigen Klammern

2 20

( ) ( ) ( )st sf t t e dt F s e


Weiter folgt

1 2 1 2 2 1 2 10 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )s sf t f t f F s e d F s f e d F s F s

Da das letzte Integral die Laplace-Transformierte von f1(t) ist mit der Variablen statt t folgt hieraus der Beweis des Faltungssatzes

Satz 323

Die Faltung ist kommutativ und assoziativ d h es gilt 1 2 2 1( ) ( ) ( ) ( )f t f t f t f t

und 1 2 3 1 2 3( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f t f t f t f t f t f t

Fuumlr Anwendungen des Faltungssatzes ist es von Bedeutung dass die Reihenfolge der Funktio-nen im Faltungsprodukt vertauscht werden kann Der Faltungssatz liefert auch in Faumlllen in denen das Faltungsintegral nicht in analytischer Form geloumlst werden kann eine Aussage uumlber die Zeitfunktion f(t) wenn fuumlr eine Folge von Zeitpunkten it das Faltungsintegral mit numerischen Naumlherungsverfahren berechnet wird

Beispiel 325 Zur Bildfunktion 2 2 2( )( )

a sF ss a

mit a soll die Originalfunktion f(t)

berechnet werden

Die Bildfunktion F(s) hat mit s12 = ja zwei komplexe Pole Wir zerlegen die gegebene Funk-tion F(s) in ein Produkt von zwei Bildfunktionen

1 22 2 2 2( ) = = ( ) ( )( ) ( )

s aF s F s F ss a s a

Mit den Korrespondenzen

1 1( ) ( ) cos( )F s f t at und 2 2( ) ( ) sin( )F s f t at

ergibt sich mit dem Faltungssatz

1 20

( ) ( ) ( ) cos( )sin( ( ))t

f t f t f t a a t d

Um das Faltungsintegrals zu berechnen ist es vorteilhaft das Produkt der beiden trigonometri-schen Funktionen umzuformen

1sin( )cos( ) sin( ) sin( )2

36 Faltungssatz 75

Mit ( )a t und a erhalten wir

1 20 0 0

1 1 1( ) ( ) ( ) sin( ) sin( 2 ) sin( ) sin( 2 )2 2 2

t t t

f t f t f t a t at a d a t d a t a d

0

1 1 1( ) sin( ) cos( 2 ) sin( )2 4 2

tf t t a t at a t a t

a


22 2

1 sin( )2

a s t a ts a

(354)

Beispiel 326 Es ist zu zeigen dass man die sog Rampenfunktion ( ) ( )f t t t aus dem Faltungsprodunkt der Sprungfunktion mit sich selbst erhaumllt Das Faltungsprodukt lautet

00

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )t

tf t t t t d t t t

Aufgaben zum Abschnitt 36 (Ergebnisse im Anhang) Aufgabe 317 Man berechne mit dem Faltungssatz die Originalfunktion f(t) zu

2

2 2( )( 1)

sF ss

Aufgabe 318 Zur Bildfunktion 1 2

1( )( )( )

F ss s s s

soll die Zeitfunktion f(t)

a) durch Partialbruchzerlegung b) mit dem Faltungssatz c) mit der Residuenmethode bestimmt werden

Aufgabe 319 Zur Bildfunktion 2 3( )( 1)

sF ss

ist die korrespondierende Zeitfunktion f(t)

zu berechnen

Hinweis Es kann die Korrespondenz von Beispiel 325 fuumlr a = 1 verwendet werden


37 Inverse Laplace-Transformation durch Reihenentwicklung der Bildfunktion

Im Abschnitt 35 haben wir echt gebrochen rationale Bildfunktionen in Partialbruumlche zerlegt Die Bildfunktion F(s) wurde dabei als eine endliche Summe von Teilfunktionen dargestellt

1

( ) ( )n

kk

F s F s

und gliedweise in den Zeitbereich transformiert Man erhaumllt so mit den Korrespondenzen ( ) ( )k kF s f t die zugehoumlrige Zeitfunktion

1

( ) ( )n

kk

f t f t

Es liegt nun nahe dieses Verfahren auch auf Faumllle zu uumlbertragen in denen die inverse Laplce-Transformation durch bekannte Korrespondenzen oder durch Partialbruchentwicklungen uns bis jetzt nicht moumlglich ist Wir haben bisher beispielsweise kein Verfahren kennen gelernt zu einer transzendenten Bildfunktion F(s) die zugehoumlrige Zeitfunktion f(t) zu bestimmen

Man entwickelt die Bildfunktion F(s) in eine unendliche Reihe von Teilfunktionen Fk(s)

1

( ) ( )kk

F s F s

und betrachtet die Originalfunktion f(t) als unendliche Summe der zugehoumlrigen Originalfunk-tionen fk(t)

Dieses gliedweise Uumlbersetzen einer unendlichen Summe von Bildfunktionen Fk(s) in den Zeit-bereich ist aber nur unter gewissen Voraussetzungen moumlglich

Ohne Beweis sei daher der folgende Satz angegeben

Satz 324

Ist die Bildfunktion 1 1

( ) ( ) ( )k kk k

F s F s f t

als eine unendliche Summe von

Teilfunktionen Fk(s) der Zeitfunktionen fk(t) darstellbar so konvergiert die Summe der Zeit-

funktionen fk(t) gegen die korrespondierende Funktion1

( ) ( )kk

f t f t

von F(s) wenn

1 die Laplace-Integrale der Funktionen fk(t) absolut konvergieren wenn also fuumlr alle k gilt

0

( ) stkf t e dt M

und

2 auch die Summe dieser Integrale konvergiert

37 Inverse Laplace-Transformation durch Reihenentwicklung der Bildfunktion 77

Ist im Sonderfall die Bildfunktion eine Reihe der Form 1

( ) kk

kF s a s

so gilt fuumlr die zugehoumlrige Zeitfunktion 1

1

( ) = ( 1)

k

kk

tf t ak

Beispiel 327 Zur Bildfunktion 2 21( )

( 1)F s

s

mit den komplexen Polen s = j soll durch

eine Reihendarstellung die zugehoumlrige Originalfunktion )( tf bestimmt werden

Eine Polynomdivision ergibt die Reihe

4 2 4 6 8 10 121 1 2 3 4 5( )2 1

F s s s s s s s s

Uumlbertraumlgt man die einzelnen Reihenglieder in den Zeitbereich so erhaumllt man eine Reihenent-wicklung fuumlr die gesuchte Originalfunktion

3 5 7 9 112 3 4 5( ) 3 5 7 9 11t t t t tf t

In diesem Fall laumlsst sich die Originalfunktion auch in einer analytischen Form angeben Mit dem Faltungssatz erhaumllt man

1 12

1 202 22

1( ) ( ) sin( )1 ( ) ( ) ( ) sin( )sin( )

1( ) ( ) sin( )1

tF s f t ts f t f t f t t d

F s f t ts

Unter Verwendung von 1sin( )sin( ) cos( ) cos( )2

finden wir

0

1 1( ) cos( ) cos( ) sin( ) cos( )2 2

t

f t t d t t t

Beispiel 328 Gegeben ist die Zeitfunktionsin( )( ) tf t

t Es soll die zugehoumlrige Laplace-

Transformierte F(s) bestimmt werden Ausgehend von der Reihenentwicklung fuumlr die Sinusfunktion

3 5 7 2 1

0

sin( ) ( 1)3 5 7 (2 1)

kk

k

t t t tt tk

erhaumllt man fuumlr )( tf die Reihendarstellung

0k

2642

)12()1( =

7531 = )sin( = )(

ktttt

tttf

kk


Gliedweises Transformieren in den Bildbereich liefert eine Reihendarstellung fuumlr die gesuchte Bildfunktion

2 1

3 5 70

1 2 4 6 ( 1) 1( ) 2 13 5 7

kk

k

F ss k ss s s

Vergleicht man diese Reihe mit der Reihenentwicklung von 3 5 7

2 1

0

( 1)arctan( ) 3 5 7 2 1

kk

k

z z zz z zk

so ergibt sich mit 1zs

die Korrespondenz

sin( ) 1 arctan tt s

oder in der Notation der Laplace-Transformation

0

sin( ) 1 arctanstt e dtt s

(355)

(356)

Bei manchen Anwendungen z B in der Nachrichtentechnik kommt der Integralsinus vor und es interessiert die Frage welchen Grenzwert sich diese Funktion naumlhert

Bild 324 Integralsinus

Integralsinus

0

sin( )( ) t

zSi t dzz

Im Grenzfall s 0 liefert Gl (356)

0

sin( )( ) arctan( )2

tSi dtt

Damit ist auf dem Umweg uumlber die Laplace-Transformation der Grenzwert lim ( )2t

Si t

gefunden worden Der Verlauf der Zeitfunktion Si(t) ist in Bild 324 dargestellt

38 Integrationssatz fuumlr die Originalfunktion 79

Beispiel 329 Von der Bildfunktion 2

3 2( )2 3 4s sF s

s s s

soll mit einer Reihenentwicklung

die Originalfunktion )( tf bestimmt werden

Durch Polynomdivision erhaumllt man 2 3 4 51 1 1 1 5( ) F ss s s s s

Durch gliedweise Ruumlcktransformation in den Zeitbereich ergibt sich

2 3 45( ) 1

2 3 4t t tf t t

Eine derartige Reihenentwicklung einer echt gebrochen rationalen Bildfunktion ist dann ange-bracht wenn eine Partialbruchentwicklung etwa wegen der Berechnung der Polstellen zu kompliziert erscheint oder wenn das Verhalten der Zeitfunktion nur fuumlr kleine Werte von t interessiert so dass nur wenige Glieder der Reihe benoumltigt werden

Aufgabe zum Abschnitt 37 (Ergebnisse im Anhang)

Aufgabe 320 Man bestimme die Reihenentwicklung fuumlr die folgenden Bildfunktionen

2

4a) ( )1

sF ss

31b) ( )

1F s

s

11c) ( ) sF s es

1 1d) ( ) cosF s

s s

38 Integrationssatz fuumlr die Originalfunktion

Der Integrationssatz beschreibt den Zusammenhang zwischen der Bildfunktion F(s) einer Zeit-funktion f(t) und der Laplace-Transformierten des Integrals uumlber diese Zeitfunktion Satz 325

Hat die Originalfunktion f(t) die Bildfunktion ( ) ( )F s f tL so gilt

0

1( ) ( )t

f d F ss

L

(357)

Beweis Zum Beweis verwenden wir den Faltungssatz von Abschnitt 338


Waumlhlen wir 1( ) ( ) ( )F s F s f t und 21( ) ( )F s ts

so folgt mit dem Faltungssatz und 1 fuumlr

( ) = 0 fuumlr

tt

t

1 20 0

1( ) ( ) ( ) ( ) (t) = ( ) ( ) ( ) t t

F s F s F s f t f t d f ds

Einer Integration im Zeitbereich entspricht im Bildbereich einer einfachen Multiplikation mit dem Faktor 1s Dadurch ergeben sich fuumlr die Loumlsung im Bildbereich wesentliche Vereinfa-chungen gegenuumlber der Loumlsung des Problems im Zeitbereich Statt einer Integration im Zeitbe-reich erfolgt im Bildbereich eine einfache Multiplikation Beispiel 330 Man bestimme die Laplace-Transformierte der Zeitfunktion

5 5

0

( )t

f t e d

Fuumlr die Zeitfunktion 5 5tt e erhalten wir mit dem Daumlmpfungssatz die Bildfunktion

5 56

5( 5)

tt es

Mit dem Integrationssatz folgt

5 56

0

5( ) ( )( 5)

t

f t e d F ss s

Ohne Kenntnis des Integrationssatzes muumlsste man das Integral ausrechnen und anschlieszligend durch Laplace-Transformation die Bildfunktion bestimmen

Beispiel 331 a) An ein RC-Glied wird zum Zeitpunkt t = 0 die Spannung 0( ) ( )u t U t angelegt Man

berechne den Strom i(t) wenn zum Zeitpunkt t = 0 der Kondensator ungeladen ist

R

i(t)u(t)

u(t)

0

tU0

C

Bild 325 RC-Glied mit angelegter Spannung u(t)


Transformiert man die Spannungsgleichung

00

1( ) ( ) ( ) ( ) ( )t

R Cu t u t Ri t i d U tC

unter Verwendung des Integrationssatzes in den Bildbereich so erhaumllt man mit I(s) der Lapla-ce-Transformierten des gesuchten Stromes i(t)

01 UI sRI sC s s

( )( )

Daraus ergibt sich fuumlr den Strom im Bildbereich

0 0 01 1( ) 1 11U U UCsI ss s RCs RR s

Cs RC

Die Ruumlcktransformation in den Zeitbereich ergibt den Strom

0( ) t

RCUi t eR

b) An das RC-Glied werde nun zum Zeitpunkt t = 0 ein kurze Zeit wirkender Spannungs-

impuls (Deltaimpuls) )()( tAtu mit der Impulsflaumlche A = 1Vs angelegt

Analog zu a) erhaumllt man aus der Spannungsgleichung

0

1( ) ( ) ( )t

Ri t i d A tC

Mit der Korrespondenz 1( )A t A folgt

1 ( )( ) ( ) 11 I s A A sRI s A I s C s R sR RCCs

Die Laplace-Transformierte I(s) des Stromes ist hier keine echt gebrochen rationale Funktion Eine Polynomdivision ergibt

1( ) 1 1 A RCI s

R s RC

Durch Ruumlcktransformation folgt daraus der gesuchte Strom

2( ) ( )t

RCA Ai t t eR R C

Der angelegte Spannungsimpuls hat zunaumlchst einen Stromimpuls zur Folge Darauf folgt der Entladestrom des Kondensators nach einer e-Funktion


Beispiel 332 Man bestimme die Bildfunktion F(s) der Dreieckfunktion nach Bild 326a

0

t

0

df(t)

t

dt2U

2U

U

2a) b)

)( tf

Bild 326 Dreieckfunktion f(t) und ihre Ableitung )(tf

Wir betrachten die Ableitung der gegebenen Zeitfunktion

2 fuumlr 0 lt lt 2

( ) = 2 fuumlr lt lt 2

0 fuumlr alle uumlbrigen Zeitpunkte

U t

f t U t

Die Ableitung ( )f t laumlsst sich aus Sprungfunktionen zusammensetzen (Bild 326b)

)(

22)(2 = )(

tttUtf

Unter Beachtung des Verschiebungssatzes erhalten wir

2

2 22 1 2( ) 1 2 1s ssU Uf t e e e

s s

L

Mit dem Integrationssatz fuumlr die Originalfunktion ergibt sich daraus

2

22

0

2( ) ( ) ( ) 1t sUF s f t f z dz e

s

= L = L

Ohne Verwendung des Integrationssatzes muumlsste man die Zeitfunktion ( )f t in die folgende etwas schwieriger zu erkennende Zerlegung in Teilfunktionen aufspalten

2 4 2( )2 2

U U Uf t t t t t t

Bemerkung Das Verfahren die Laplace-Transformierte einer Zeitfunktion ( )f t dadurch zu erhalten dass man zunaumlchst die in manchen Faumlllen einfachere Bildfunktion der Ableitung

( )f t bestimmt und dann den Integrationssatz fuumlr die Originalfunktion verwendet ist nur dann zulaumlssig wenn ( )f t eine stetige Funktion ist Fuumlr eine Zeitfunktion mit Sprungstellen ist die verallgemeinerte Ableitung (siehe Abschnitt 3312) zu verwenden Die Vorgehensweise bei Sprungstellen mit der verallgemeinerte Ableitung soll anhand von Beispiel 312 von Abschnitt 333 mit der Funktion

1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )f t A t t t t t

gezeigt werden


Die verallgemeinerte Ableitung von f(t) lautet

1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )Df t A t t t t t t t

Unter Beachtung der Eigenschaft der δ-Funktion ( ) 0t t entsprechend ( ) ( ) 0t t

erhaumllt man 1 1( ) ( ) ( ) ( )Df t A t t t

Mit 1( )s

seDf t A es s

L ergibt sich

20

( ) ( ) 1t

s sA AF s Df z dz e ess

L

In Uumlbereinstimmung mit dem Ergebnis von Beispiel 312


Aufgabe 321 Mit der Korrespondenz 1 ate

s a

sollen durch zweimaliges Anwenden

des Integrationssatzes neue Korrespondenzen gewonnen werden

Aufgabe 322 Bestimmen Sie die Laplace-Transformierten F(s) der folgenden Originalfunk-tionen

02 3

0

sin( )a) ( ) ( ) (siehe Beispiel 328)

b) ( ) 2t

t

f t Si t d

f t e d

Aufgabe 323 Fuumlr die Zeitfunktion nach Bild 327 berechne man unter Verwendung des Inte-grationssatzes fuumlr die Originalfunktion die Laplace-Transformierte F(s)

0

t

U0)( tf

Bild 327a Zeitfunktion f(t)

0

0

0 a) ( )

U t tf t

U t

0

t

U0

)( tf

Bild 327b Zeitfunktion f(t)

0

0

00

0

2b) ( )

3 2 3

0 3

U t t

U tf t

UU t t

t


39 Differentiationssatz fuumlr die Originalfunktion

Der Differentiationssatz fuumlr die Originalfunktion beschreibt den Zusammenhang zwischen der Laplace-Transformierten F(s) einer Zeitfunktion f(t) und der Laplace-Transformierten ihrer

Ableitung

( )( ) df tf tdt

Satz 326

Ist )( tf eine kausale Zeitfunktion mit dem rechtsseitigen Grenzwert 0

lim ( ) = (+0)t

f t f

deren Ableitung )(tf fuumlr alle Zeitpunkte t gt 0 existiert und fuumlr die das Laplace-Integral

dttfst

0

e)( konvergiert Dann gilt ( ) ( ) ( 0)f t sF s f

(358)

Beweis Mit der Definition der Laplace-Transformation erhaumllt man

0

00

0

( ) ( ) lim ( )st stt

t

f t f t e dt f t e dt

L

Eine partielle Integration mit

und ( ) ( )st stu e u se v f t v f t ergibt

0

00 00

00 0( ) lim ( ) ( ) lim ( ) ( )stst st

tt tt

f t e f t s f t e dt e f t s F s

L

Wir finden fuumlr die Laplace-Transformierte der Ableitung

( ) ( ) ( 0)f t s F s f L

Dem Differenzieren der Zeitfunktion f(t) entspricht im Bildbereich abgesehen von der Sub-traktion der Konstanten f(+0) eine Multiplikation der Bildfunktion F(s) mit der Bildvariablen s Zum Beweis des Differentiationssatzes wurde die Existenz der Ableitung fuumlr den Zeitpunkt t = 0 nicht vorausgesetzt Das ist wesentlich da bei Anwendungen der Laplace-Transformation Zeitfunktionen auftreten deren Ableitungen fuumlr t = 0 nicht definiert sind Die Ableitung )(tf existiert in manchen Faumlllen schon deswegen nicht da die Zeitfunktion f(t) fuumlr t = 0 keinen definierten Funktionswert f(0) besitzt Es wird daher vorausgesetzt dass der rechtsseitige Grenzwert f(+0) existiert Wenden wir Gl (358) auf die Zeitfunktion )(tf an so folgt fuumlr die Laplace-Transformierte der 2 Ableitung

2( ) ( ) ( 0) ( ) ( 0) ( 0)f t s f t f s F s s f f L L

Fortsetzen dieses Verfahrens ergibt die allgemeine Form des Differentiationssatzes

39 Differentiationssatz fuumlr die Originalfunktion 85

Satz 327

Ist f(t) eine kausale Zeitfunktion deren saumlmtliche k-te Ableitungen kf t( ) ( ) mit k = 1 2 n

fuumlr alle Zeitpunkte t gt 0 existieren und deren saumlmtliche Laplace-Integrale ( )

0

( )k stf t e dt

konvergieren dann gilt ( ) 1 2 ( 2) ( 1)( ) ( ) ( 0) ( 0) ( 0) ( 0)n n n n n nf t s F s s f s f s f f (360)

Die Laplace-Transformierten der haumlufig gebrauchten Ableitungen erster bis dritter Ordnung sind im Folgenden explizit aufgefuumlhrt

2

3 2

( ) ( ) ( 0)

( ) ( ) ( 0) ( 0)

( ) ( ) ( 0) ( 0) (+ 0)

f t sF s f

f t s F s s f f

f t s F s s f s f f

Beispiel 333 Aus der Korrespondenz 2

31

2( )

att es a

soll durch Anwenden des Diffe-

rentiationssatzes eine neue Korrespondenz hergeleitet werden

Mit 2

31( ) ( )

2 ( )

att ef t F ss a

erhaumllt man wegen f(+0) = 0 mit dem Differen-

tiationssatz die Korrespondenz 2

32( ) ( )

2( )ats at tsF s f t e

s a

Da auch ( 0) 0f ist ergibt eine weitere Anwendung des Differentiationssatzes die

Korrespondenz 2 2 2

23

4 2( ) ( ) 2( )

ats a t ats F s f t es a

Nun ist 0)(f = 1 und man erhaumllt weiter 3 3 2

33

6 6( ) ( 0) 1 ( )2( )

ats a t at as F s f f t es a

Wird die ndash1 auf die rechte Seite gebracht lautet die Korrespondenz

3 3 2

36 6 ( )2( )

ats a t at a e ts+a

Bemerkung Da die Bildfunktion der letzten Korrespondenz keine echt gebrochen rationale Funktion ist denn der Grad des Zaumlhlers stimmt mit dem Grad des Nenners uumlberein tritt im Zeitbereich die Deltafunktion auf


Beispiel 334 An den Stromkreis von Bild 328 wird zur Zeit t = 0 die Spannung 0( ) ( )u t U t angelegt Es soll der Strom i(t) berechnet werden wenn fuumlr den Strom die Anfangsbedingung i(+0) = 0 gilt

i(t)

R L

u(t)

Bild 328 RL-Stromkreis

Transformiert man die Spannungsgleichung 0( )( ) = ( )di tRi t L U t

dt in den Bildbereich so

erhaumllt man mit i(t) I(s) und i(+0) = 0 die Gleichung

0( ) + ( ) = UR I s LsI s

s 0 0( ) = =

( )U U

I sRs R+ Ls sL s+L

Eine Partialbruchzerlegung ergibt

0 1 1( ) =

UI s RR s s

L

Durch Ruumlcktransformation erhaumllt man fuumlr den gesuchten Strom

0( ) 1RL tUi t e

R

Beispiel 335 Der radioaktive Zerfall wird beschrieben durch die Gleichung

( ) ( )dz t z t

dt mit z(0) = z0 Wie lautet das Zerfallsgesetz

Mit ( ) ( )z t Z sL und dem Differentiationssatz erhalten wir

( ) (0) ( )sZ s z Z s

0( ) zZ ss

Durch Ruumlcktransformation finden wir das Zerfallsgesetz

0( ) tz t z e


391 Differentiationssatz der verallgemeinerten Ableitung einer Originalfunktion Wir haben im Abschnitt 34 die Deltafunktion als verallgemeinerte Ableitung der Sprungfunk-tion betrachtet und den Zusammenhang in der Form erhalten

( ) ( )D t t (342)

wobei als Symbol fuumlr die verallgemeinerte Ableitung D (Derivation) verwendet wird Diese zunaumlchst formale mathematische Definition ist aber auch physikalisch sinnvoll und daher fuumlr Anwendungen geeignet Legt man etwa an den Eingang eines Differenziergliedes eine sprungfoumlrmige Spannung wobei der Uumlbergang vom Spannungswert 0 zum Spannungs-wert 1 innerhalb einer sehr kurzen Zeitspanne erfolgen soll (siehe Bild 322) so tritt am Aus-gang dieses Differenziergliedes ein sehr kurzer und hoher Spannungsimpuls auf der in seiner idealisierten Form einem Deltaimpuls entspricht Mit Hilfe der Deltafunktion als verallgemeinerte Ableitung der Sprungfunktion kann die ver-allgemeinerte Ableitung einer Zeitfunktion )( tf definiert werden die im Gegensatz zu der von der Analysis her bekannten uumlblichen Ableitung auch an Sprungstellen (Unstetigkeitsstellen) der Funktion )( tf existiert Die praktische Bedeutung dieser verallgemeinerten Ableitung gerade fuumlr Anwendungen der Laplace-Transformation in der Elektrotechnik werden wir spaumlter im Abschnitt 343 erkennen An dieser Stelle sei nur darauf hingewiesen dass bei der Berechnung von Einschaltvorgaumlngen in Netzwerken haumlufig Stroumlme oder Spannungen auftreten die zum Schaltzeitpunkt t = 0 sich sprungfoumlrmig verhalten Ersetzt man in den dabei auftretenden Differentialgleichungen die uumlblichen Ableitungen durch die verallgemeinerten Ableitungen so ist die Frage nach den ein-zusetzenden Anfangswerten eindeutig zu beantworten

Definition 36

Es sei )( tf eine Zeitfunktion die mit Ausnahme der Stellen t = it mit i = 1 2 hellip n uumlberall stetig ist Die Sprunghoumlhen d h die Differenzen aus den rechts- und linksseiti-gen Grenzwerten der Funktion )( tf an diesen Unstetigkeitsstellen sind hi = f(ti +0) f(ti 0)

Unter der verallgemeinerten Ableitung der Funktion )( tf versteht man

1

( ) ( )n

i ii

Df t f t h t t

(361)

Fuumlr eine uumlberall stetige Funktion )( tf stimmt die verallgemeinerte Ableitung Df(t) und die uumlbliche Ableitung )( tf uumlberein Fuumlr eine Funktion mit Unstetigkeitsstellen stimmen ( )Df t und )( tf an allen Stetigkeitsstellen von )( tf uumlberein an den Unstetigkeitsstellen an denen die gewoumlhnliche Ableitung nicht defi-niert ist wird die verallgemeinerte Ableitung ( )Df t durch einen Deltaimpuls beschrieben dessen Impulsflaumlche der jeweiligen Sprunghoumlhe entspricht


Beispiel 336 Man bestimme die verallgemeinerte Ableitung der in Bild 329 dargestellten Folge von Rechteckimpulsen

)5(3)4(3)3()2()1(2)(2 = )( tttttttf

1

2

3 4 52

t 1

23

05

-2

t

0

)( tf )( tfD

Bild 329 Folge von Rechteckimpulsen und verallgemeinerte Ableitung

Fuumlr die uumlbliche Ableitung gilt nicht definiert fuumlr = 1 23 45

( )0 sonst

tf t

Fuumlr die Folge von Rechteckimpulsen

)5(3)4(3)3()2()1(2)(2 = )( tttttttf

ergibt sich als verallgemeinerte Ableitung

( ) 2 ( ) 2 ( 1) ( 2) ( 3) 3 ( 4) 3 ( 5)D f t t t t t t t

Die verallgemeinerte Ableitung einer Folge von Rechteckimpulsen ist eine Folge von Delta-impulsen Wie wollen uns nun dem fuumlr die Anwendungen wichtigen Sonderfall zuwenden und kausale stetige Zeitfunktionen )( tf betrachten die sich nur zum Zeitpunkt t = 0 unstetig verhalten

u(t)iL iC

R

CL

Bild 330 RCL-Netzwerk

Schaltet man beispielsweise an das Netz-werk von Bild 330 zum Zeitpunkt t = 0 eine Gleichspannung 0( ) ( )u t U t so aumln-dert sich der Teilstrom iL(t) stetig der Teil-strom iC(t) dagegen unstetig Die Berechnung des Netzwerkes erfolgt in Aufgabe 47 von Abschnitt 42


Satz 328

Fuumlr eine nur bei t = 0 unstetige Zeitfunktion )( tf mit der Laplace-Transformierten F(s) gilt

( ) ( ) ( 0)Df t sF s f (362)

Ist )( tf eine kausale Zeitfunktion was vorausgesetzt wird so sind fuumlr

k = 0 1 2 n 1 alle linkseitigen Anfangswerte 0 = )0()( kf

und es gelten die Korrespondenzen

( ) ( )Df t sF s

( ) ( ) ( )n nD f t s F s

(363)

(364)

Beweis Fuumlr eine bei t = 0 unstetige Zeitfunktion f(t) gilt

( ) ( ) ( )Df t f t h t


( ) ( ) ( 0)

( ) 1

f t sF s f

t

folgt mit h = f(+0) f(0)

( ) ( ) ( 0)Df t sF s f Bild 331 Zeitfunktion f(t)

Fuumlr eine kausale Zeitfunktion [f(t) = 0 fuumlr alle Zeitpunkte t lt 0] mit f(0) = 0 folgt Gl (363) und durch wiederholtes Anwenden von Gl (363) schlieszliglich Gl (364) Der Differentiationssatz fuumlr die verallgemeinerte Ableitung

( ) ( ) ( 0)Df t sF s f

unterscheidet sich vom Differentiationssatz fuumlr die uumlbliche Ableitung )0()( )( fs sFtf

nur dadurch dass statt des rechtsseitigen Grenzwertes f(+0) der linksseitige Grenzwert f(0) auftritt Dies hat bei den Anwendungen wichtige Konsequenzen da uumlber den linksseitigen Grenzwert allgemeinere Aussagen gemacht werden koumlnnen Bei Anwendungen sind es die Parameterwerte die ein System aus der Vergangenheit (t lt 0) mitbringt In der Elektrotechnik koumlnnen das zum Beispiel Spannungen an Kondensatoren sein


Beispiel 337 Es sollen die Bildfunktionen der Ableitungen der Deltafunktion bestimmt werden

Fuumlr die Laplace-Transformierte der Deltafunktion selbst erhaumllt man mit (362) und der Kor-

respondenz s

sFttf 1 = )( )( = )( die uns schon bekannte Bildfunktion der Deltafunktion

1( ) ( ) ( 0) 1t D t ss

Fuumlr die n-fach verallgemeinerte Ableitung der Deltafunktion folgt mit (362) ( ) ( ) n nD t s (365)

Den Bildfunktionen F(s) = sn entsprechen im Zeitbereich die Ableitungen der Deltafunktion

310 Grenzwertsaumltze

3101 Anfangswertsatz Aus einer Bildfunktion F(s) kann der Anfangswert f(+0) der zugehoumlrigen Zeitfunktion ohne die Kenntnis von f(t) bestimmt werden wenn folgende Voraussetzungen gegeben sind

Satz 329 Anfangswertsatz

Es sei F(s) eine Bildfunktion der Zeitfunktion f(t) deren Ableitung fuumlr t gt 0 existiert und eine Laplace-Transformierte besitzt Fuumlr den Anfangswert f(+0) der Zeitfunktion )( tf gilt dann

0lim ( ) lim ( )

t sf t sF s

(366)

Beweis Da vorausgesetzt ist dass )( tf fuumlr alle Zeitpunkte t gt 0 existiert und eine Laplace-Transformierte ( ) ( )f t F s L besitzt so konvergiert ( )F s fuumlr s gegen Null

lim ( ) lim ( ) 0s s

f t F s

L

Nach dem Differentiationssatz fuumlr die Originalfunktion gilt

0

( ) ( ) ( ) ( 0)stf t f t dt sF s fe

L

Im Grenzfall s gilt lim ( ) 0 lim ( ) ( 0)s s

F s sF s f

lim ( ) ( 0)s

sF s f

Durch diesen Satz wird bei bekannter Bildfunktion F(s) eine Aussage uumlber den Anfangswert der Originalfunktion f(t) gemacht ohne dass f(t) bekannt sein muss

310 Grenzwertsaumltze 91

Da man bei der Anwendung des Satzes diese Voraussetzungen nicht immer pruumlfen kann oder will sei darauf hingewiesen dass aus der Existenz des Grenzwertes lim ( )

ss F s

nicht auf das

Vorhandensein des Grenzwertes 0

lim ( ) t

f t

geschlossen werden darf

3102 Endwertsatz Satz 330

Es sei f(t) eine Zeitfunktion die die Voraussetzungen des Differentiationssatzes 326 erfuumlllt und deren Laplace-Transformierte F(s) fuumlr Re s gt 0 keine Pole hat mit Ausnahme einer einfachen Polstelle bei s = 0 Dann gilt der folgende Endwertsatz

0lim ( ) lim ( )t s

f t sF s

(367)

Beweis Nach dem Differentiationssatz fuumlr die Originalfunktion gilt

0

( ) ( ) ( ) ( 0)stf t f t e dt sF s f

und es gilt fuumlr das Integral 0

( ) = lim ( ) (+0)t

f t dt f t f

Damit folgt im Grenzfall s rarr0

0

lim ( ) (+0) = lim ( ) (+0)t s

f t f sF s f

Beispiel 338 Gegeben ist die Bildfunktion

2

3 23( ) =

5 8 4s sF s

s s s

Es sollen der Anfangswert f(+0) und der Endwert )(lim tft

der zugehoumlrigen Zeitfunktion

bestimmt werden Anfangswert

2

3 20

( 3)lim ( ) (0) lim 15 8 5t s

s s sf t fs s s

Endwert

2

3 20

( 3)lim ( ) = lim = 05 8 5t s

s s sf ts s s

Damit sind Anfangs- und Endwert ohne Kenntnis der Zeitfunktion )( tf bestimmt Bemerkung Bei F(s) handelt es sich um die Bildfunktion von Beispiel 322 An der dort be-rechneten Zeitfunktion 2 2( ) 3 2t t tf t e te e kann das Ergebnis verifiziert werden


Beispiel 339 Es sollen Anfangswert und Endwert der Zeitfunktion ( )f t bestimmt werden de-

ren Laplace-Transformierte die Bildfunktion 3

4( )( 1)

sF ss

ist

Anfangswert 3

40lim ( ) lim 1

( 1)t s

s sf ts

Endwert 3

40lim ( ) lim 0

( 1)t s

s sf ts

Aufgaben zum Abschnitt 310


Aufgabe 324 Man berechne zu den folgenden Bildfunktionen die Anfangs- und Endwerte ihrer zugehoumlrigen Zeitfunktionen

31a) ( )

(1 3 )F s

s

2

1b) ( ) ( 1)( 2)

F ss s

2

3 22 3 2c) ( )

2 2s sF s

s s s

1 1d) ( ) arctanF ss s

1e) ( ) 1

F ss s

1f) ( ) ln(1 )F s ss

311 Differentiationssatz fuumlr die Bildfunktion

Satz 331

Ist F(s) die Laplace-Transformierte der kausalen Zeitfunktion )( tf so gelten die folgenden Korrespondenzen

( )

( ) ( )

( ) ( 1) ( )n

n nn

dF s t f tds

d F s t f tds

(368)

(369)

Die Gleichungen (368) und (369) machen eine Aussage uumlber die Ableitungen der Bildfunk-tion F(s) und den zugehoumlrigen Auswirkungen im Originalbereich Dadurch werden weitere Einsichten in die Zusammenhaumlnge zwischen einer Bildfunktion F(s) und der zugehoumlrigen Zeit-funktion f(t) sichtbar

311 Differentiationssatz fuumlr die Bildfunktion 93

Beweis Ausgehend von der Definitionsgleichung der Laplace-Transformation

0


erhaumllt man durch Differenzieren der Bildfunktion nach der Variablen s

0

( ) ( ) stdF s d f t e dtds ds

Die Variablen s und t sind voneinander unabhaumlngig Die Differentiation kann in das Integral gezogen werden Damit ergibt sich

0 0

( ) ( ) ( )st stdF s d f t e dt t f t e dtds ds

Das letzte Integral ist die Laplace-Transformierte der Zeitfunktion ( ) ( )g t tf t Durch mehrfaches Anwenden der Korrespondenz (368) erhaumllt man die Korrespondenz (369) Beispiel 340 Es soll die Laplace-Transformierte der Zeitfunktion )sin()( tttf berechnet werden

Aus der Korrespondenz 2 2sin( ) ts

folgt mit dem Differentiationssatz fuumlr die

Bildfunktion 2 2 2( ) 2sin( )

( )dF s st t

ds s

Beispiel 341 Man berechne das Integral 2

0

sin( ) tt t e dt

Mit dem Ergebnis von Beispiel 340 erhaumllt man fuumlr =1 die Korrespondenz

2 20

2sin( ) sin( )( 1)

stst t t t e dts

Fuumlr s = 2 ergibt sich daraus 2

0

4sin( ) 01625

tt t e dt

Beispiel 342 Aus der Korrespondenz 1 1( ) F ss t

sollen mit dem Differentia-

tionssatz fuumlr die Bildfunktion neue Korrespondenzen hergeleitet werden


Wir erhalten ( ) 1

2dF s t t

ds s s t

und

322

2 2( ) 1 3 1

2 2d F s t

ds s s

Durch Fortsetzen des Verfahrens ergibt sich die Korrespondenz

121 4

(2 )

nn

nn t

ns s

Beispiel 343 Man berechne die Originalfunktion )( tf zur Bildfunktion

21( ) ln 1 F ss

Durch Differenzieren der Bildfunktion und Zerlegen in Partialbruumlche folgt

23 2 2

( ) 1 2 2 2 21 ( 1) 11s

dF s sds ss s s s

Durch Ruumlcktransformation und Beachten des Differentiationssatzes fuumlr die Bildfunktion erhal-ten wir

22 2 2 2cos( ) ( )

1s t t f t

s s

Mit dem Ergebnis t

ttf )cos(22 = )(



Aufgabe 325 Man berechne die Bildfunktionen F(s) zu den folgenden Zeitfunktionen

a) ( ) = sinh( )f t t t 2b) ( ) = sin( )f t t t

3c) ( ) = cos( )f t t t d) ( ) 3sin(2 ) cos(2 )f t t t t

1e) ( ) sin( ) cos( )2

f t t t t

Aufgabe 326 Man bestimme die Zeitfunktion )( tf zur Bildfunktion

( ) ln(1 )F s s

312 Integrationssatz fuumlr die Bildfunktion 95

312 Integrationssatz fuumlr die Bildfunktion

Satz 332

Es sei F(s) die Bildfunktion der Originalfunktion )( tf Dann gilt unter der Voraussetzung

dass auch ttftg )()( eine Bildfunktion besitzt

( )( ) s

f tF u dut

(370)

Ist F(s) die Bildfunktion von f(t) so erhaumllt man durch eine Integration der Bildfunktion in den

angegebenen Grenzen die Laplace-Transformierte der Zeitfunktion ttftg )()(

Beweis Wir gehen aus von der Definitionsgleichung der Laplace-Transformation

0


und bilden das Integral 0

( ) ( ) ut

s s

F u du f t e dt du

Da die Variablen u und t unabhaumlngig voneinander sind kann die Reihenfolge der Integrationen vertauscht werden Damit erhaumllt man

0 0 0

( ) ( ) ( ) ( )ut st

ut

u ss s

e eF u du f t e du dt f t dt f t dtt t

Das letzte Integral ist die Laplace-Transformierte der Zeitfunktion ttftg )()( Da vorausge-

setzt wurde dass g(t) eine Bildfunktion besitzt ist die Konvergenz dieses Integrals gesichert

Aus dem Integrationssatz fuumlr die Bildfunktion 0

( )( ) st

s

f tF u du e dtt

folgt im Grenzfall

s 0

0 0

( )( ) = f tF s ds dtt

(371)

Gl (371) kann zur Berechnung bestimmter Integrale des Typs 0

( )f t dtt

verwendet werden



sin( )( ) tf t

t

Aus der Korrespondenz 21sin( )

1t

s folgt 2

sin( )1s

t dut u

Mit 2 arctan( )1

du uu

erhalten wir

sin( ) 1 arctan( ) arctan( ) arctan2

u

u s

t u st s

Beispiel 345 Das bestimmte Integral 0

sin( )( )x tSi x dt

t bezeichnet man als Integralsinus

Zu berechnen ist 0

sin( )( ) tSi dtt

Mit der Korrespondenz 21

sin( )1

ts

erhaumllt man mit Gl (371)

200 0

sin( ) = = arctan = 21

t dsdt st s

Ein anderer Weg um Si() zu bestimmen wurde im Abschnitt 339 gezeigt Beispiel 346 Gegeben ist die Korrespondenz

1 2

1 2

1 1 a t a te es a s a

Mit dem Integrationssatz fuumlr die Bildfunktion soll eine neue Korrespondenz gefunden werden Man erhaumllt

1

1 2 2

1 1( ) lnss s

u aF u du duu a u a u a

Da der Grenzwert 1

2lim 1u

u au a

ist findet man die Korrespondenz

2 11

2ln

a t a ts a e es a t

Die Funktion sin(t)t


Aufgaben zum Abschnitt 312 (Ergebnisse im Anhang) Aufgabe 327 Man berechne die Laplace-Transformierten F(s) zu den folgenden Zeitfunktionen

sinh( )a) ( ) tf tt

1b) ( )

tef tt

1 2cos( ) cos( )c) ( ) a t a tf tt

Aufgabe 328 Man berechne die folgenden bestimmten Integrale

0

cos(4 ) cos( )a) t t dtt

3

0

b)t te e dt

t

4 Anwendungen der Laplace-Transformation Zusammenfassung In diesem Abschnitt werden kausale Signale und Systeme berechnet und grundlegende Beziehungen wie Uumlbertragungsfunktion Frequenzgang und Impulsantwort erlaumlutert Neben dem Input- Outputverhalten eines Systems kann auch eine Aussage zur Sys-temstabilitaumlt gewonnen werden Die Anwendungen beziehen sich vor allem auf das Uumlbertra-gungsverhalten von RCL-Netzwerken die in der Kommunikationstechnik weit verbreitet sind Ein weiterer Vorteil der Laplace-Transformation besteht darin dass Differentialgleichungen die ein Netzwerk beschreiben in algebraische Gleichungen uumlberfuumlhrt werden die wesentlich einfacher zu loumlsen sind Im letzten Teil dieses Kapitels wird gezeigt wie auch lineare partielle Differentialgleichungen mit der Laplace-Transformation geloumlst werden koumlnnen

41 Loumlsen von linearen gewoumlhnlichen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten

Definition 41

Eine lineare gewoumlhnliche Differentialgleichung n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten ist eine Differentialgleichung der Form

( ) ( 1)1 1 0( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n

nf t a f t a f t a f t r t (41)

Die Differentialgleichung heiszligt homogen wenn die Stoumlrfunktion r(t) = 0 ist

( ) ( 1)1 1 0( ) ( ) ( ) ( ) 0n n

nf t a f t a f t a f t (41a)

Die betrachtete Differentialgleichung heiszligt linear da die gesuchte Zeitfunktion f(t) und ihre Ableitungen nur linear auftreten Die Koeffizienten 1 2 1 na a a sind zeitunabhaumlngige konstante Faktoren

Bei gewoumlhnlichen Differentialgleichungen ist die gesuchte Funktion die Zeitfunktion f(t) eine Funktion von nur einer Veraumlnderlichen Diese mit Hilfe der Laplace-Transformation besonders einfach loumlsbare Klasse von Differen-tialgleichungen tritt in den Anwendungen bei vielen Problemstellungen auf In der Elektro-technik etwa bei der Berechnung von Einschalt- und Ausgleichsvorgaumlngen in Netzwerken Zur Loumlsung der Differentialgleichung Gl (41) setzen wir voraus dass die gesuchte Zeitfunk-tion f(t) eine Laplace-Transformierte F(s) besitzt Mit dem Differentiationssatz fuumlr die Origi-nalfunktion kann die gegebene Differentialgleichung n-ter Ordnung in den Bildraum transfor-miert werden

( ) 1 2 ( 1)( ) ( ) ( 0) ( 0) ( 0)n n n n nf t s F s s f s f f

Dazu ist es notwendig dass die auftretenden n Anfangswerte bekannt sind

( 1)( 0) ( 0) ( 0)nf f f

Sind einige Anfangswerte nicht vorgegeben so werden diese als Parameter mitgefuumlhrt Die Loumlsungsfunktion enthaumllt dann diese Parameter die durch Einsetzen von weiteren Nebenbedin-gungen bestimmt werden muumlssen


41 Loumlsen von linearen gewoumlhnlichen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten 99

Da im Differentiationssatz die Laplace-Transformierte F(s) linear vorkommt erhaumllt man durch die Transformation der Differentialgleichung in den Bildraum eine lineare algebraische Glei-chung fuumlr F(s) die nach F(s) aufgeloumlst werden kann Durch die Ruumlcktransformation mit Hilfe der inversen Laplace-Transformation erhaumllt man die Loumlsungsfunktion f(t) der Differentialglei-chung die den gegebenen Anfangsbedingungen genuumlgt Das Loumlsen einer linearen gewoumlhnlichen Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten er-folgt nach folgendem Schema

Differentialgleichung + Anfangs-werte im Zeitbereich Gesuchte Zeitfunktion

f(t)

Laplace-Transformation

Inverse Laplace-Transformation

Algebraische Gleichung im Bildbereich

Loumlsen der algebraischen Gleichung im Bildbereich F(s)

a) Verschwindende Anfangsbedingungen

Die Loumlsung der Differentialgleichung (41) vereinfacht sich wenn alle Anfangsbedingungen Null sind ( 1)( 0) = (+0) = (+0) = = (+0) = 0nf f f f

In diesem Falle geht Gl (41) durch Laplace-Transformation mit ( ) ( )r t R sL uumlber in

11 0( ) ( ) ( ) ( )n n

ns F s a s F s a F s R s

Man erhaumllt als Laplace-Transformierte der gesuchten Zeitfunktion

11 1 0

( ) ( )( )( )n n

n

R s R sF sN ss a s a s a

= =

(42)

Die homogene Differentialgleichung (41a) hat im Falle verschwindender Anfangsbedingun-gen wegen ( ) 0 ( ) 0r t r t L nur die triviale Loumlsung ( ) 0f t

Um die Loumlsung der inhomogenen Differentialgleichung zu finden bei der die Funktion r(t) nicht identisch Null ist macht man von Gl (42) eine Partialbruchzerlegung und transformiert gliedweise zuruumlck in den Zeitbereich b) Nicht verschwindende Anfangsbedingungen Im Falle nicht verschwindender Anfangswerte geht Gl (42) uumlber in

1

1

( ) ( )

( )

n

ii

iR s k sF s

N s

(43)

Der Zaumlhler enthaumllt bedingt durch die nicht verschwindenden Anfangsbedingungen zusaumltzlich ein Polynom der Bildvariablen s das fuumlr f (+0) 0 vom Grade n 1 ist

100 4 Anwendungen der Laplace-Transformation

Haben R(s) und der Nenner N(s) keine gemeinsamen Polstellen so hat die Bildfunktion F(s) im Falle nicht verschwindender Anfangswerte die gleichen Pole wie im Falle verschwindender Anfangswerte Die Loumlsungsfunktionen sind also bis auf konstante Faktoren die gleichen

Beispiel 41 Man berechne die Loumlsung der Differentialgleichung ( ) 2 ( ) sin( )f t f t t mit der Anfangsbedingung f (+0) = 0

Durch Transformation der gegebenen Differentialgleichung in den Bildraum erhaumllt man

21( ) 2 ( )

1sF s F s

s

und daraus durch Umformen und Partialbruchzerlegung

2 312 2

1( ) = = 2( +2)( 1) 1

A s AAF s + s+s s s

Multiplikation mit 2( ) ( 2)( 1)N s s s ergibt die Gleichung

)2)(( + )1( = 1 322

1 sAsAsA

Zur Bestimmung der unbekannten Koeffizienten A1 A2 und A3 setzen wir guumlnstige s-Werte ein und erhalten fuumlr

s = 2 1 = 5A1 A1 = 02

s = 0 1 = 02 + 2A2 A3 = 04

s = 1 1 = 1 + 04 + 3A2 + 12 A2 = 02

Damit ergibt sich

22 2

1 2( ) = 02 ( ) = 02 e cos( ) 2sin( )2 1 1

tsF s f t t ts + s s

Beispiel 42 Man berechne die Loumlsungsfunktion )( tf der Differentialgleichung

)cos(2 = )(9 + )( ttftf fuumlr die Nebenbedingungen 0)0( f und 1 = )(f

Da die Anfangsbedingung f (+0) nicht gegeben ist setzen wir f (+0) = k und bestimmen nach-dem eine Loumlsung vorliegt die Konstante k in der Weise dass )(f = 1 wird

Laplace-Transformation der Differentialgleichung ergibt

4

= )(9)( 22

sssFksFs und

9 +

)4)(9( = )( 222 s

kss

ssF

Eine Partialbruchzerlegung braucht hier nur fuumlr den ersten Term der rechten Seite durchgefuumlhrt werden Man erhaumllt

3 41 2

2 2 2 2 ( 9)( 4) 9 4

A s A s A s A s s s s


Nach Multiplikation der obigen Gleichung mit dem Nenner 2 2( 9)( 4)s s erhaumllt man

)9)(( + )4)(( = 243

221 sAsAsAsAs

s = 2j 2j = (A32j + A4) 5 A3 = 02 und A4 = 0

s = 3j 3j = (A13j + A2) (5) A1 = 02 und A2 = 0

Durch Einsetzen der imaginaumlren Polstellen s = 2j bzw s = 3j ergeben sich zwei einfache Glei-chungen aus denen durch Vergleichen von Real- und Imaginaumlrteilen der Gleichungen jeweils zwei der unbekannten Koeffizienten bestimmt werden koumlnnen

Damit erhaumllt man

2 2 202 02( )

4 9 9s s kF s

s s s

und

( ) 02cos(2 ) 02cos(3 ) sin(3 )3kf t t t t

Zur Bestimmung der noch unbekannten Konstanten k bilden wir die Ableitung

)cos(3 + )06sin(3 + )04sin(2 = )( tktttf

und erhalten 1= 1 = =)( kkf

Die partikulaumlre Loumlsung der Differentialgleichung die den gegebenen Nebenbedingungen ge-nuumlgt lautet somit

)3sin(31)02cos(3)cos(202 = )( ttttf

Beispiel 43 Schwingung mit Bremsreibung Eine Masse schwinge zwischen zwei Federn unter Festkoumlrperreibung

Bild 41 Schwingung mit Bremsreibung m = Masse D = Federkonstante FR = Reibungskraft

Die Bewegung der Masse m ist durch folgende Differentialgleichung bestimmt

2

2( ) ( ) ( ) 0R

d x tm D x t F tdt

Division der Gleichung durch m ergibt 2

2( ) ( )( ) Rd x t D F tx t

m mdt


Mit den Bezeichnungen 2 Dm

und ( )( ) RF tr tm

erhaumllt man die inhomogene lineare Diffe-

rentialgleichung 2 Ordnung 2

22( ) ( ) ( )d x t x t r t

dt

Mit der Anfangsauslenkung x(+0) = A0 und der Anfangsgeschwindigkeit 0

0x

dxdt

erhaumllt man

im Bildbereich mit ( ) ( )x t X sL und ( ) ( )r t R sL die Gleichung

02( ) ( ) ( )X s s A X s R s

Aufloumlsung nach 02 2 2 2

( )( ) s A R sX ss s

Die Reibungskraft FR ist dem Betrage nach konstant aber der jeweiligen Bewegungsrichtung entgegengesetzt Sie ist eine periodische Funktion r(t) und hat einen Verlauf nach Bild 42

0

k

kT 2T

t

r(t)

Bild 42 Periodische Funktion r(t)

Nach Beispiel 314 ergibt sich fuumlr die perio-dische Funktion r(t) die Laplace-Transformierte

2

2

1( )1

sT

sTk eR ss

e

Damit ergibt sich fuumlr 2

02 2 2 2

2

1( )( ) ( )

1

sT

sTA s k eX s

s s se

Fuumlr die eckige Klammer erhaumllt man durch Polynomdivision mit 2sT

a e

432 22221

11 aaaa

aa

und schlieszliglich ergibt sich fuumlr X(s)

03

2 22 2 2 2( ) 1 2 2 2

( ) ( )

sT sTsTA s kX s e e e

s s s

Die Ruumlcktransformation in den Zeitbereich ( ) ( )X s x t erfolgt mit den Korrespondenzen von Tabelle 74 in Verbindung mit dem Verschiebungssatz


Es ergibt sich

2 22( ) cos( ) 1 cos( ) 1 cos ( )

2 2ok k T Tx t A t t t t

2 2 2

2 2

2( ) cos( ) 1 cos ( )2 2

2 2 3 3 1 cos ( ) 1 cos ( )2 2

ok k k T Tx t A t t t

k k T Tt T t T t t

Fuumlr 02Tt erhaumllt man 0 2 2( ) cosk kx t A t

Fuumlr 2T t T erhaumllt man 0 2 2 2

2( ) cos cos ( )2

k k T kx t A t t

0 2 23( ) cosk kx t A t

Durch Fortsetzen dieser Uumlberlegungen ( weitere ε-Funktionen kommen ins Spiel) kann die Schwingung der Masse fuumlr die folgenden Zeitintervalle bestimmt werden

Den Verlauf der Bremsschwingung mit linear abfallender Amplitude zeigt das Bild 43

Die Schwingung ist beendet wenn die Federkraft die Reibungskraft nicht mehr uumlberwinden kann Die Schwingungsamplitude wird daher im Allgemeinen nicht bis auf den Wert Null abklingen Bild 43 Schwingung mit linear abfallender Amplitude



Aufgabe 41 Man bestimme fuumlr die folgenden Differentialgleichungen die Loumlsungen f(t) die den angegebenen Anfangsbedingungen genuumlgen

0 = (+0) = (+0) = )(2)(3)(a)

ffttftftf

5 = (+0) 0 = (+0)

)25sin(2 = )()(2)(b)ff

ttftftf

1 = (+0) 2 = (+0) e610e = )(9)(c) 32

f ftftf tt

8 = (+0) 3 = (+0) 1 = (+0) 0 = )()(d)

ffftftf

e) ( ) 4 ( ) 4 ( ) ( ) ( 2)( 0) 0 ( 0) 0f t f t f t t t

f f

Aufgabe 42 Man bestimme die allgemeine Loumlsung der Differentialgleichung

ttftftf 5e38 = )(4)(2)(

Fuumlr die allgemeine Loumlsung werden keine bestimmten Anfangsbedingungen vorgegeben sie enthaumllt daher in diesem Beispiel zwei unbestimmte Konstanten

Aufgabe 43 An ein RC-Glied (s Bild 44) wird zum Zeitpunkt t = 0 eine Eingangsspannung e ( )u t angelegt Fuumlr die Ausgangsspannung ua(t) gilt die Differentialgleichung

R

i(t)ue(t) C ua(t)

Bild 44 RC-Glied

aa e

( )+ ( ) = ( )

du tRC u t u t

dt

Der Kondensator sei vor dem Schalten unge-laden d h es gilt die Anfangsbedingung

ua ( 0) = 0 Man bestimme die Ausgangsspannungen ua(t) bei den folgenden Eingangsspannungen

e 0a) ( ) ( ) ( )u t U t t eb) ( )u t k t

ue(t)

0

t

U0

ue(t)

0

t

U0 k =U0

Bild 44a Eingansspannung Bild 44b Eingansspannung

42 Loumlsen von Systemen gewoumlhnlicher Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten 105

42 Loumlsen von Systemen gewoumlhnlicher Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten

Bei manchen Problemstellungen sind mehrere Zeitfunktionen gesucht die einem System von linearen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten entsprechen Sind bei Anwendungen in der Elektrotechnik etwa k Maschenstroumlme i1(t) i2(t) ik(t) zu be-rechnen so ist ein System von k Differentialgleichungen fuumlr die k unbekannten Zeitfunktionen zu loumlsen Ein klassisches Loumlsungsverfahren besteht darin ein Differentialgleichungs-System n-ter Ord-nung durch einen Eliminationsprozess in eine Differentialgleichung n-ter Ordnung fuumlr nur eine der gesuchten Zeitfunktionen umzuwandeln Dieser Eliminationsprozess ist haumlufig kompliziert und nicht immer durchfuumlhrbar Wesentlich einfacher gestaltet sich das Loumlsungsverfahren wenn die Laplace-Transformation verwendet wird Die gegebenen Differentialgleichungen werden unmittelbar unter Beachtung der Anfangsbedingungen in den Bildraum transformiert Das System von linearen Differen-tialgleichungen des Zeitbereichs werden zu einem linearen algebraischen Gleichungssystem im Bildbereich

System von linearen Differentialgleichungen mit

konstanten Koeffizienten + Anfangswerte

Laplace-

Transformation

Lineares algebr Gleichungs-system der Bildfunktionen

Das lineare Gleichungssystem fuumlr die Bildfunktionen kann mit elementaren Methoden geloumlst werden Durch die inverse Laplace-Transformation erhaumllt man die gesuchten Zeitfunktionen

Beispiel 44 Gegeben sind zwei mit der Gegeninduktivitaumlt M = kL gekoppelte Stromkreise nach Bild 45 mit dem Kopplungsgrad k Zum Zeitpunkt t = 0 wird eine Gleichspannung U0 angelegt Die Eingangsspannung wird also durch 0( ) ( )u t U t beschrieben Berechnet werden sollen die beiden Stroumlme i1(t) und i2(t) mit den Anfangsbedingungen

0 = )0( = 0)( 21 ii

Aus den Maschengleichungen ergeben sich zwei lineare Differentialgleichungen 1 Ordnung

1 21 0

2 12

( ) ( ) ( ) = ( )

( ) ( ) ( ) = 0

di t d i tL M Ri t U tdt dt

d i t d i tL M Ri tdt dt

Dieses System 2 Ordnung soll nun geloumlst werden

R R

L Lu(t)

M

i2i1

Bild 45 Gekoppelte Stromkreise


Mit den Anfangsbedingungen 1 2( 0) ( 0) 0i i ergibt die Transformation der beiden Dif-ferentialgleichungen des Zeitbereichs in den Bildraum die Gleichungen

01 2

1 2

(1) ( ) ( ) + ( ) = s

(2) ( ) + ( ) ( ) = 0

ULs R I s Ms I s

Ms I s Ls+ R I s

Dieses lineare Gleichungssystem fuumlr die Laplace-Transformierten I1(s) und I2(s) kann wohl am uumlbersichtlichsten mit dem Determinantenverfahren (Cramerrsquosche Regel) geloumlst werden

sU

sMR+LsR+Ls

+Ls Ms RsR+Ls M

R+Ls

Mss

U

sI 0222

0

1)(

=

0

= )(

0

02 2 2 2

0

( ) = = ( )

UR Ls s Ms U M

I sR + Ls Ms R + Ls M s Ms R + Ls

Mit der Gegeninduktivitaumlt M = kL folgt weiter

0 01 2 2 2

2 2

( )( ) = =

( ) ( )1 ( ) ( )1 1

= + +

( ) ( )1 1

U U R LsR+ LsI ss R+ Ls M s R RL k s s s

L k L kA B Cs R Rs s

L k L k

Eine Berechnung der Zaumlhler A B und C der Teilbruumlche ergibt

RUC

RUB =

RUA

2 = und

2 = 000

Wir erhalten somit

)1(

1

)1(

122

= )( 01

kLRs

kLRssR

UsI

und durch eine analoge Rechnung

)1(

1

)1(

12

= )( 02

kLRs

kLRsR

UsI


Die inverse Laplace-Transformation liefert im Zeitbereich schlieszliglich die gesuchten Stroumlme

(1 ) (1 )01

(1 ) (1 )02

( ) = 2 e e 2

( ) = e e2

R t R tL k L k

R t R tL k L k

Ui t

R

Ui t

R

Bild 46 zeigt den Verlauf der Stroumlme i1(t) und i2(t) bei RL

=1000 s1 und 0UR

= 100 mA fuumlr

die Kopplungsgrade 1 05k und 2 09k

Bild 46 Stroumlme 1( )i t und 2 ( )i t von Beispiel 44 bei den Kopplungsgraden

k1 = 05 (a) und k2 = 09 (b)

Beispiel 45 An den Eingang des Uumlbertragungsgliedes von Bild 47 wird zum Zeitpunkt t = 0 die Spannung 0e ( ) = ( )u t U t angelegt

Es soll der zeitliche Verlauf der Spannung ( )Cu t an der Kapazitaumlt C berechnet werden

Die Anfangsbedingungen sind

i(0) = 0 und ( 0) 0CU

i(t) R

L

C

uC(t)ue(t) iR iC

Bild 47 Schaltung zum Beispiel 45

Aus e L Cu t u t u t folgt mit ( )( )Ldi tu t L

dt die Differentialgleichung

e( )(1) ( ) ( )C

di tL u t u tdt


Aus ( ) ( ) ( )R Ci t i t i t mit ( )

( ) = CC

du ti t C

dt erhaumllt man die zweite Differentialgleichung

)( = )(1)((2) tituRdt

tduC CC

Die beiden Gleichungen (1) und (2) bilden ein Differentialgleichungssystem 2 Ordnung fuumlr die Zeitfunktionen ( )Cu t und i(t) Mit den angegebenen Anfangswerten ergibt die Transformation in den Bildraum die beiden linearen Gleichungen fuumlr die Bildfunktionen I(s) und ( )CU t

0(1) ( ) ( )

1(2) ( ) ( ) 0

C

C

ULs I s U s

s

I s Cs U sR

Durch Aufloumlsen dieses linearen Gleichungssystems nach der Laplace-Transformierten der ge-suchten Kondensatorspannung findet man

1111

=

11

1

0 1

= )(2

00

0

LCs

RCsLCs

U =

RCs+Ls

sU

RCs+

Ls

sU Ls

sUC

Mit der Kennkreisfrequenz LC1 = 0 und der Abklingkonstante

RC21 =

folgt

220

2

200

20

2

200

()2( = )(

)ssU

sssUsUC

Zur Partialbruchzerlegung der Bildfunktion UC (s) benoumltigt man die Pole von UC (s)

Diese liegen bei 2 21 23 0 0 und s s

Je nach Art der Pole kann man die folgenden Faumllle unterscheiden Dazu definieren wir den

Daumlmpfungsgrad 0

=

1 Aperiodischer Grenzfall 0 = also 1 = 20

2

Die Pole 32s sind reell und gleich groszlig Dies fuumlhrt zu folgender Partialbruchzerlegung

sA

sA

sAsUC

32

21)(

= )(

Im Zeitbereich erhaumllt man dafuumlr 0 0( ) 1 1 tCu t U t e


2 Periodischer Fall 0 lt 1 lt 20

2

Die Pole s2 3 sind jetzt konjugiert komplex Wir erhalten mit der Eigenkreisfrequenz 2 20

die Partialbruchentwicklung 2

0 0 2 312 2 2 2( )

( ) ( )CU A s AAU ss ss s

und nach Berechnung der Konstanten 1 0A U 2 0A U und 3 02A U folgt im Zeit-bereich die Kondensatorspannung

0( ) 1 cos( ) sin( )tCu t U e t t

3 Aperiodischer Fall 01 20

2

Der aperiodische Fall kann analog zum periodischen Fall behandelt werden

Mit 2 2 20 a folgt

002

2 312 2 2 2( ) = =

( ) ( )C

A s AU AU ss ss a s a

Die Berechnung der Koeffizienten ergibt wie im periodischen Fall

1 0 2 0A U A U und 03 2UA

Wegen des Vorzeichenunterschiedes im Nenner des zweiten Terms erhaumllt man nun statt der trigonometrischen Funktionen die entsprechenden Hyperbelfunktionen

0( ) 1 cosh( ) sinh( )tCu t U e at at

a

In allen 3 Faumlllen ergibt sich nach Beendigung des Einschaltvorganges fuumlr t

0 Cu ( ) U

Beispiel 46 Man berechne die Zeitfunktionen x(t) und y(t) 2

2( ) ( ) ( )(1) ( ) (2) ( ) 4 4 ( )d x t dy t dx ty t y t x t

dt dtdt

mit den Anfangsbedingungen x(+0) = 0 y(+0) = 1 und x(+0) = 1


Durch Laplace-Transformation erhalten wir im Bildraum das lineare Gleichungssystem 2(1) ( ) ( ) 1

(2) ( 4 4) ( ) ( 1) ( ) 1s X s Y s

s X s s Y s

Aufloumlsen dieses Gleichungssystem mit der Cramerrsquoschen Regel ergibt

2

2

3 2 3 22 2

1 1 11 1 4 4 1 4 4( ) ( )

4 4 4 41 14 4 1 4 4 1

ss ss s sX s Y s

s s s s s ss ss s s s

Zur Partialbruchzerlegung benoumltigen wir die Polstellen der Bildfunktionen Sie ergeben sich als die Loumlsungen der algebraischen Gleichung 3 Grades

3 2 4 4 0s s s

Eine Moumlglichkeit eine derartige Gleichung zu loumlsen besteht darin eventuell vorhandene ganz-zahlige Loumlsungen durch Probieren zu finden Da das Produkt der Loumlsungen bis auf das Vorzei-chen das konstante Glied ergibt (Koeffizientensatz von Vieta) kommen hier zum Probieren die ganzen Zahlen 1 2 und 4 in Frage Es ist s = 1 eine leicht erkennbare Loumlsung Durch Division mit den Linearfaktor s 1 ergibt sich die quadratische Gleichung

s2 4 = 0

mit den Loumlsungen s2 = 2 und s3 = 2 Hieraus resultieren die Partialbruchzerlegungen

1 113 3 61 2 2( )

1 2 2 1 2 2AA AX s

s s s s s s

1 23 3 31 2 2( )

1 2 2 1 2 2BB BY s

s s s s s s

Ruumlcktransformation in den Zeitbereich ergibt die gesuchten Loumlsungsfunktionen

2 2 2 21 1 1 1 2( ) und ( ) 23 2 6 3 3

t t t t t tx t e e e y t e e e

Es laumlsst sich leicht bestaumltigen dass diese Zeitfunktionen das Differentialgleichungssystem und die vorgegebenen Anfangsbedingungen erfuumlllen




Aufgabe 44 Man loumlse das Differentialgleichungssystem 2 Ordnung

)(sin)(2)()((2)

)(cos)(4)(2)((1)

ttytxdt

tdy

ttytxdt

tdx

mit den Anfangswerten x(+0) = 0 und y(+0) = 1

Aufgabe 45 Man berechne die Loumlsungen x(t) und y(t) der Differentialgleichungen

dt

tdxdt

tdytydt

txd )(9)((2))()((1) 2

2

die den Anfangsbedingungen x(+0) = 1 y(+0) = 6 und x(+0) = 0 genuumlgen

Aufgabe 46 Man berechne die Loumlsungen x(t) und y(t) des folgenden Systems von Differen-tialgleichungen

)(2)()()2()(3)(2)()1( txtydt

tdytytxdt

tdx

mit den Anfangsbedingungen x(+0) = 8 und y(+0) = 3

Aufgabe 47

An die Schaltung von Bild 48 wird zur Zeit t = 0 eine Gleichspannung

0( ) ( )u t U t angelegt Es gelte die Anfangsbedingung

0)0( Cu Fuumlr die Teilstroumlme iL(t) und iC(t) gelten die Gleichungen

u(t)

RL C

iCiL

Bild 48 Schaltung von Aufgabe 47

0

0

( )(1) ( ) ( ) = ( )

( ) 1(2) = ( )

LL C

tL

C

di tR i t i t L U tdt

di tL i ddt C

Man berechne fuumlr den periodischen Fall LCRC1 lt

21 den Teilstrom ( )Ci t wenn folgende

Anfangsbedingungen gelten ( 0) 0Ci und uC(+0) = 0 Bemerkung Durch Differenzieren koumlnnte in Gleichung (2) das Integral weggebracht werden Gleichung (2) wird dann eine Differentialgleichung 2 Ordnung Dies ist aber nicht notwendig da der Integrationssatz fuumlr die Originalfunktion verwendet wer-den kann


43 RCL-Netzwerke

Die Frage nach den Stroumlmen und Spannungen in den Zweigen eines RCL-Netzwerks fuumlhrt im Zeitbereich im Allgemeinen auf ein System von linearen gewoumlhnlichen Differentialgleichun-gen mit konstanten Koeffizienten Durch Laplace-Transformation wird daraus im Bildbereich ein lineares algebraisches Glei-chungssystem der gesuchten Stroumlme und Spannungen In diesem Abschnitt soll nun gezeigt werden dass man das lineare Gleichungssystem des Bild-bereichs direkt d h ohne Kenntnis des Differentialgleichungssystems des Zeitbereichs erhal-ten kann Dadurch wird das Loumlsungsverfahren noch einmal wesentlich vereinfacht

Definition 42

Ein Netzwerk heiszligt fuumlr Zeitpunkte t lt 0 unerregt wenn fuumlr alle Teilspannungen )( tuk und alle Teilstroumlme )( tik gilt 0)( tuk und 0)( tik

a) RCL-Netzwerke die fuumlr t lt 0 unerregt sind

Wir wollen im Folgenden zunaumlchst nur Netzwerke betrachten die fuumlr t lt 0 unerregt sind Dies kann fuumlr viele Anwendungssituationen vorausgesetzt werden Bei der Transformation eines Systems von linearen Differentialgleichungen des Zeitbereichs in den Bildbereich tritt die wichtige Frage nach den Anfangsbedingungen auf Da zugelassen werden muss dass die zum Schaltzeitpunkt t = 0 einsetzende Erregung sich sprunghaft aumlndert werden dann Teilstroumlme und Teilspannungen an Wirkwiderstaumlnden sich ebenfalls sprunghaft aumlndern koumlnnen

Bei unstetigen Erregungen werden sich an Induktivitaumlten Spannungen nicht aber Stroumlme an Kapazitaumlten Stroumlme nicht aber Spannungen ebenfalls unstetig verhalten

Die in den Differentialgleichungen auftretenden uumlblichen Ableitungen sind dann fuumlr t = 0 nicht in allen Faumlllen definiert Wir muumlssen daher die in den Differentialgleichungen auftretenden Ableitungen durch die ver-allgemeinerten Ableitungen ausdruumlcken Verlaufen fuumlr t = 0 Teilstroumlme oder Teilspannungen stetig so stimmen ihre verallgemeinerten Ableitungen mit den uumlblichen Ableitungen uumlberein Anstelle des Differentiationssatzes fuumlr die Originalfunktion der die rechtsseitigen Grenzwerte als Anfangswerte enthaumllt muumlssen wir den Differentiationssatz fuumlr die verallgemeinerte Ablei-tung einer Zeitfunktion verwenden der die linksseitigen Grenzwerte als Anfangswerte enthaumllt Gerade diese linksseitigen Grenzwerte aber sind es die unter der Voraussetzung dass das Netzwerk fuumlr t lt 0 unerregt ist alle Null sind Wuumlrden wir von den uumlblichen Ableitungen ausgehen und bei Netzwerken die fuumlr t lt 0 unerregt sind die rechtsseitigen Grenzwerte Null setzen so kann dies zu widerspruumlchlichen Ergebnissen fuumlhren Es kann dann vorkommen dass das Ergebnis einen rechtsseitigen Grenzwert besitzt der entgegen der Voraussetzung ungleich Null ist Das Ergebnis ist zwar richtig widerspricht aber der Annahme die rechtsseitigen Grenzwerte seien Null

43 RCL-Netzwerke 113

Satz 41

Fuumlr die Teilstroumlme )( tik und die Teilspannungen )( tuk eines fuumlr t lt 0 unerregten Netz-werks gelten die Korrespondenzen

)()(D)()(

)()(D )()()(

)(

sUstusUtu

sIstisIti

kn

kn

kk

kn

kn

kk

(44)

Betrachten wir nun die Serienschaltung von Widerstand R Kapazitaumlt C und Induktivitaumlt L in Bild 49 so gilt wenn das System fuumlr t lt 0 unerregt ist die Spannungsgleichung

t

tutiLdiC

tiR0

)( = )(D + )(1 + )(

u(t)i(t)

CR L

Bild 49 Serienschaltun

Durch Laplace-Transformation geht die Spannungsgleichung uumlber in

1 ( )( ) ( ) ( )I sR I s LsI s U sC s

Eine Umformung ergibt )( = )(1 + sUsI + LsCs

R

(45)

Die eckige Klammer von (45) enthaumllt die Impedanzwerte der elektrischen Schaltelemente im

Bildbereich 1( ) + ( ) ( ) ( )R C LZ s R + Ls Z s Z s Z sCs

Damit ergibt sich nach (45)

( )( )( )

U sZ sI s

(46)

Gl (46) wird als bdquoOhmrsquosches Gesetz im Bildbereichldquo bezeichnet

Wenn man den einzelnen Schaltelementen R C L im Bildbereich die symbolischen Wider-staumlnde ZR(s) ZC(s) und ZL(s) zuordnet so ergeben sich zwischen Zeitbereich und Bildbereich die aufgefuumlhrten Zusammenhaumlnge wie sie in der folgenden Tabelle dargestellt sind


RCL-Schaltelemente im Zeit- und Bildbereich

Schaltelement Zeitwert der Spannung

Bildspannung symbolischer Widerstand

R

)( = )( tiRtuR )( = )( sRIsU R RsZR = )(

C

t

C iC

tu0

)d(1 = )( )(1 = )( sICs

sUC Cs

sZC1 = )(

L

)(D = )( tiLtuL

)(= )( s LsIsU L

LssZ L = )(

Stellen wir uns eine Serienschaltung aus Wirkwiderstand R Induktivitaumlt L Kapazitaumlt C und einer Spannungsquelle u(t) als Zweig eines groumlszligeren Netzwerks vor so geht wie in Bild 410 dargestellt ist der Originalzweig durch Laplace-Transformation in einen entsprechenden Bild-zweig uumlber

u(t)i(t)

CL

U(s)I(s)

Ls1

CsRRa) b)

Bild 410 Originalzweig (a) und Bildzweig (b) eines RCL-Netzwerks

Das gesamte Originalnetzwerk wird so in ein Bildnetzwerk mit den entsprechenden Bildstrouml-men Bildspannungen und Bildwiderstaumlnden transformiert

Dabei gilt der folgende wichtige Satz

Satz 42

Fuumlr die Bildstroumlme )(sIk Bildspannungen )(sU k und die symbolischen Widerstaumlnde )(sZk eines fuumlr t lt 0 unerregten Netzwerks gelten die gleichen Gesetze fuumlr Netzwerke wie

fuumlr die Originalstroumlme )( tik Originalspannungen )( tuk und die Originalwiderstaumlnde

Wir koumlnnen damit auf das Aufstellen der Differentialgleichungen des Zeitbereichs und ihre Transformation in den Bildbereich verzichten und die im Bildbereich geltenden Gleichungen mit den Gesetzen und Regeln fuumlr Netzwerke (Ohmrsquosches Gesetz Kirchhoffrsquosche Regeln Ma-schenregeln) direkt aus den Schaltungen herleiten


Man erhaumllt damit unmittelbar die Laplace-Transformierte ( )I s eines gesuchten Stromes i(t) bzw die Laplace-Transformierte )(sU einer zu berechnenden Spannung u(t) Ein aumlhnliches Vorgehen wird in der Wechselstromtechnik angewandt Dort werden im Fall sinusfoumlrmiger Erregungen die Stroumlme und Spannungen im stationaumlren Zustand analog zu den Gesetzen der Gleichstromlehre dadurch berechnet dass man den Schaltelementen komplexe Widerstaumlnde zuordnet Im Gegensatz zu dieser Methode der Wechselstromlehre wird hier uumlber die Erregung )( tu kei-ne Einschraumlnkung gemacht auszliger der dass sie eine Laplace-Transformierte )(sU haben muszlig Durch die inverse Laplace-Transformation erhaumllt man die Originalstroumlme und Spannungen die nicht nur den stationaumlren Zustand fuumlr t sondern auch den Einschaltvorgang fuumlr t 0 beschreiben

Beispiel 47 An den Stromkreis von Bild 411 wird zum Zeitpunkt t = 0 die Spannung u(t) = )(0 tU angelegt Man berechne den Strom i(t)

u(t)

R

RCi(t)

a) b)

U(s)CsI(s)

R

R1

Bild 411 Schaltung zu Beispiel 47 a) Originalkreis b) Bildkreis

Aus dem Bildkreis erhalten wir den symbolischen Gesamtwiderstand 1 2

1 12( ) = Z +Z Z = = = 1R C R

Cs RC

Cs RC

R s+RCs+Z s R + R RRCs+R s+

und den Bildstrom 1

10 222

( )( ) = = = ( )

RC

RCRC

s AU AU sI sZ s s s sR s

Mit 0 0 0 01 2

2

1 1

2

= 0

= = und 2 2

RC

RC RC

RC s s =

s sU U U UA A = =

R R R s Rs

findet man schlieszliglich den Bildstrom 0 1 1( ) 22UI s

R s sRC


Durch inverse Laplace-Transformation folgt im Zeitbereich fuumlr den Strom 2

0( ) 1 2

tRCUi t e

R

Den zeitlichen Verlauf des Stromes zeigt Bild 412 Dabei gilt

0( 0) = Ui

R

Man beachte dass der rechtsseitige Grenzwert des Stromes hier von Null verschieden ist Der Strom verhaumllt sich zum Schaltzeitpunkt t = 0 unstetig

Bild 412 Strom i(t)

Verwendet man bei den Differentialgleichungen des Zeitbereiches die gewoumlhnlichen Ableitun-gen so wird uumlblicherweise genauso vorgegangen d h es werden bei fuumlr t lt 0 unerregten Netzwerken die Anfangswerte Null gesetzt Bei diesem Verfahren sind dies aber die rechtssei-tigen Grenzwerte Das Ergebnis ist das gleiche steht aber im Widerspruch zu den angenom-menen Anfangswerten Dies ist deshalb der Fall weil der Strom i(t) sich fuumlr t = 0 unstetig verhaumllt Verwendet man wie vorgeschlagen die auch fuumlr bei t = 0 unstetigen Funktionen definierten verallgemeinerten Ableitungen so werden die linksseitigen Grenzwerte Null gesetzt Diese linksseitigen Grenzwerte sind aber bei fuumlr t lt 0 unerregte Netzwerke sicher Null Das Ergebnis steht jetzt nicht im Widerspruch zu den Voraussetzungen

Beispiel 48 Fuumlr das in Bild 413 dargestellte Netzwerk mit den Maschenstroumlmen i1(t) i2(t) und i3(t) soll fuumlr die Eingangsspannung ue(t) = )(0 tU die zugehoumlrige Ausgangsspannung ua(t) berechnet werden

R R

Cue(t) ua(t)i1(t)gt

i2(t)gt

i3(t)gt

R

CC

Bild 413 Netzwerk zu Beispiel 415

Fuumlr die Bildstroumlme ergeben sich unter Verwendung der symbolischen Widerstaumlnde nach dem Maschenstrom-Verfahren die hier schon geordneten Spannungsgleichungen des Bildbereichs


0)(2)(1

0)(1)(2)(1

)()(1)(1

32

321

e21

sICs

RsICs

sICs

sICs

RsICs

sUsICs

sICs

R

Die Aufloumlsung dieses Gleichungssystems nach dem zur Berechnung von ( )aU s benoumltigten Bildstrom I3(s) fuumlhrt zu

1 1

1 2

1

3 3 3 3 2 2 21 1

2

2

( )0

0 0( ) = =

5 6 10

1 1

10

eCs Cs

Cs Cs

Cs

Cs Cs

Cs

Cs

R U sR

CsI sR C s R C s RCs

R

RCs Cs

RCs

Mit der Eingangsspannung 00( ) ( ) ( ) U

u t U t U ss

folgt fuumlr die Laplace-

Transformierte der Ausgangsspannung

03 3 3 3 2 2 2

1( ) ( ) ( 5 6 1)a

UU s I sCs s R C s R C s RCs

Um nun die Ausgangsspannung ( )au t durch Ruumlcktransformation bestimmen zu koumlnnen muumls-sen wir die echt gebrochen rationale Bildfunktion Ua(s) in Partialbruumlche zerlegen Dazu benouml-tigen wir die Pole von Ua(s) d h die Loumlsungen der Gleichung

0 =)165( 222333 RCssCRsCR s

Die Polstelle 1s = 0 erkennt man sofort Setzt man RCs = x so ergeben sich die uumlbrigen Pole als Loumlsungen der algebraischen Gleichung

3 25 6 1 0x x x Einen ersten Uumlberblick uumlber die Lage der gesuchten Nullstellen ergibt der Verlauf von

3 2( ) 5 6 1 f x x x x

Die graphisch ermittelten Naumlherungswerte koumlnnen mit einem numerischen Naumlherungsverfahren verbessert werden


Verwenden wir hier die auf 3 Dezimalstellen gerundeten Werte

RCsx

RCsx

RCsx

2473 = 2473 =

5551 = 5551 =

1980 = 1980 =

43

32

21

Die Loumlsungen der Gleichung 0 = 165 23 xxx kann man natuumlrlich auch einfacher durch Verwendung entsprechender selbst auf vielen Taschenrechnern vorhandener Software be-kommen Es gibt aber auch Programme welche die gesamte Partialbruchzerlegung komplett durchfuumlhren Der im Koordinatennullpunkt liegenden Polstelle s1 = 0 entspricht im Zeitbereich ein konstan-ter Anteil den anderen Polstellen entsprechen verschieden schnell abklingende Exponential-funktionen

Da nun die Polstellen von Ua(s) bekannt sind kann die Partialbruchzerlegung durchgefuumlhrt werden

03 3

1 32 4

1( )= (Zwischengleichung)0198 1555 3247

= 0198 1555 3247

aUU s

R C s s s sRC RC RC

A AA As s s s

RC RC RC

Fuumlr die Konstanten erhaumllt man die auf 3 Dezimalstellen gerundeten Werte

04030201 0600 = 2800= 2201= = UAUAUAUA

Durch inverse Laplace-Transformation findet man schlieszliglich die gesuchte Ausgangsspannung

RC

RC

RC

a Utu247355511981

0 e0600e2800e22011 = )(

Wie bei der Betrachtung des gegebenen Netzwerks zu erkennen ist gilt fuumlr den konstanten Anteil A1 der Ausgangsspannung 01 = )(lim = UtuA a

t

Nach genuumlgend langer Zeit liegt am Ausgang die Spannung U0 Dieser Zusammenhang laumlszligt sich auch mit dem Endwertsatz berechnen Ohne die Partialbruchzerlegung durchfuumlhren zu muumlssen erhaumllt man mit der obigen Zwischengleichung

a 00

lim ( ) = lim ( )at s

u t s U s U


Der zeitliche Verlauf der Ausgangsspannung ( )au t ist in Bild 414 dargestellt

Da der am langsamsten abklingende Anteil der Ausgangsspannung die groumlszligte Amplitude hat erreicht die Ausgangsspannung ( )au t erst zum Zeitpunkt t = 15 RC den Wert

0( ) 0937au t U

Bild 414 Ausgangsspannung ua(t)

Beispiel 49 Man berechne den Stromverlauf i(t) wenn an das RC-Glied in Bild 415a die in Bild 415b dargestellte Spannung u(t) angelegt wird

u(t)i(t) C

R

a)

u(t)U0

0

t

2

b)

Bild 415 RC-Glied (a) und Spannungsverlauf (b) von Beispiel 49

Im Bildraum gilt nach dem Ohmrsquoschen Gesetz

)(11 = )(

1 = 1

)( = )()( = )( sU

Css

sR

sU+RCs

Cs

Cs+R

sUsZsUsI

Nach dem behandelten Beispiel 332 im Abschnitt 3310 gilt fuumlr die Bildspannung 2

20 2e112 = )(

s

sUsU

Fuumlr den Bildstrom folgt damit 201

2 1( ) = 1 2e e( )

ss

RC

UI s

Rτ s s


RCRC ssRC

ss 1111 =

)(1

Hiermit erhalten wir den Bildstrom 201

2 1 1( ) = 1 2e es

s

RC

U CI s

s s


Man kann nun den Bildstrom in drei Anteile aufspalten

)()()()( 321 sIsIsIsI

20 01 21 1

03 1

2 21 1 1 1( ) = ( ) = 2e

2 1 1( ) = e

s

RC RC

s

RC

U C U CI s I s

s ss s

U CI s

s s

Der Strom i(t) besteht demnach aus drei Anteilen von denen 1( )i t zur Zeit t = 0 i2(t) zur Zeit

2

t und i3(t) zur Zeit t = einsetzt Es gilt daher

0

20

20

2 1 fuumlr 02

2( ) = 1 2 fuumlr 2

2 2 fuumlr

RC

RCRC

RCRC RC

t

tt

tt t

U C e t

U Ci t e e t

U C e e e t

Entsprechend dem Spannungsverlauf naumlmlich linear ansteigende Spannung fuumlr 02

t

linear abfallende Spannung fuumlr 2

t und Spannung u(t) = 0 fuumlr t gt wird der Strom i(t)

in den drei Zeitintervallen durch verschiedenen Funktionen beschrieben Bild 416 zeigt den Verlauf des Stromes

1 2 3( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2

i t i t t i t t i t t

Bild 416 Stromverlauf i(t)


b) Netzwerke die fuumlr t lt 0 nicht unerregt sind

Wir wollen nun den Fall behandeln dass das Netzwerk fuumlr t lt 0 nicht unerregt ist Dabei sind zwei Faumllle zu beachten

1 Der Strom in einer Induktivitaumlt kann einen Anfangswert iL (0) = i0 haben

2 Die Spannung an einer Kapazitaumlt kann den Anfangswert uC(0) = U0 besitzen

Die linkseitigen Grenzwerte ( 0)Li und ( 0)Cu sind Werte die aus der Vergangenheit des Systems resultieren Auf welche Art diese Anfangswerte entstanden sind spielt dabei keine Rolle 1 Induktivitaumlt mit einem Anfangsstrom iL( 0) = i0

An die Schaltung von Bild 417 werde zur Zeit t = 0 eine Spannung u(t) angelegt Die Induktivitaumlt L hat einen Anfangsstrom i0

Li0(t)

u(t)i(t)

Li0

U(s)I (s)

R RL Ls

Bild 417 a) Originalstromkreis b) Bildstromkreis

Um den Einfluss des Anfangstroms i0 zu erkennen gehen wir von der Spannungsgleichung des Zeitbereichs

)( = )(D)( tutiLtiR

aus Diese geht durch Laplace-Transformation unter Beachtung des Anfangsstroms (bei der verallgemeinerten Ableitung ist 0)0( ii zu verwenden) uumlber in

0( ) ( ) = ( )R I s L s I s i U s bzw

0)( = )( iL+sUsILsR (47)

An Gl (47) erkennt man dass im Bildbereich wie bisher gerechnet werden kann wenn der Anfangsstrom i0 durch eine zusaumltzliche Erregung 0Li beruumlcksichtigt wird

Im Zeitbereich entspricht dies einem zusaumltzlichen Spannungsstoszlig 0 ( )L i t Dadurch wird die gesamte Vergangenheit des Stromkreises von t = bis t = 0 beruumlcksichtigt


Beispiel 410 An den Stromkreis von Bild 416 wird zum Zeitpunkt t = 0 die Spannung )()( 0 tUtu angelegt Der Anfangsstrom sei 0( 0)i i

Mit Gl (46) folgt

00 = )( iL

sUsILsR

Daraus erhaumllt man durch Aufloumlsen nach I(s) und einer Partialbruchzerlegung

LRs+

i

LRssR

U = R+Ls

iL + R+LssU)sI 0000 + 11 = (

und im Zeitbereich den Strom tt L

RLR

iR

Uti

e + e1 = )( 0

0

Bild 418 Stromverlauf mit T =

LR

Da sich in diesem Beispiel der Strom wegen der Induktivitaumlt nicht sprunghaft aumlndern kann liefert die Rechnung erwartungsgemaumlszlig auch den rechtsseitigen Grenzwert

0( 0)i i

In Bild 418 ist der Strom fuumlr verschiedene Anfangsstroumlme i0 dargestellt Unabhaumlngig von i0 gilt

R

Utit

0 = )(lim

2 Kapazitaumlt mit einer Anfangsspannung uC( 0) = U0

An den Stromkreis von Bild 419 wird zum Zeitpunkt t = 0 eine Spannung u(t) angelegt Die Kapazitaumlt C hat eine Anfangsspannung uC( 0) = U0

u(t)

i(t)

U(s)

I (s)

R

C

R

Cs1

a) b))(0 tU

sU 0



Die Spannungsgleichung des Zeitbereiches

1( ) ( ) ( )t

R i t i d u tC

enthaumllt im Integral

0

0 = )0( = )(1 UudiC C

die gesamte Vergangenheit des Stromkreises Man erhaumllt somit die Spannungsgleichung

0

1( ) ( ) ( ) ( 0)C

t

u t R i t i d uC

Im Bildbereich erhalten wir durch Laplace-Transformation unter Beachtung des Integrations-satzes die Gleichung

)( = )(1)( 0 sUsICss

UsIR oder

sUsUsI

CsR 0)( = )(1

(48)

Gl (48) zeigt dass im Falle einer Kapazitaumlt mit einer Anfangsspannung 0)0( UuC mit den gewohnten Bildstroumlmen Bildspannungen und Bildwiderstaumlnden gerechnet werden kann wenn die Anfangsspannung der Kapazitaumlt im Bildbereich durch eine zusaumltzliche Erregung

sU0 beruumlcksichtigt wird Im Zeitbereich hat dies eine zusaumltzliche Spannung )(0 tU zur Folge

Satz 43

Der Zustand eines Netzwerks zum Zeitpunkt t = 0 ist durch die Stroumlme in den Induktivitaumlten und den Spannungen an den Kapazitaumlten eindeutig bestimmt Kennt man diese Anfangswerte und die vom Zeitpunkt t = 0 ab wirksamen Erregungen so ist das Verhalten des Netzwerks fuumlr alle Zeitpunkte t 0 berechenbar

Beispiel 411 An den Stromkreis von Bild 419 wird zum Zeitpunkt t = 0 eine Gleich-spannung u(t) = )(1 tU angelegt Die Anfangsspannung sei U0 Man berechne den Strom i(t)

Gl (48) ergibt mit s

UsU 1)( nach dem Bildstrom aufgeloumlst


Bild 420 Stromverlauf mit T = RC

1

RC

Cs

sRUU

RCsCs

sUU

RsUUsI

101

01

101

1

1

= 1 = )(

Im Zeitbereich erhaumllt man damit den Strom

tRCe

RUUti

101 = )(


Bei den folgenden Aufgaben sei angenommen dass vor dem Schaltzeitpunkt t = 0 alle Ener-giespeicher leer sind

Aufgabe 48

u(t)i(t)

RR

L

Man berechne den Strom i(t) wenn an die Schaltung von Bild 421 die Spannung

0( ) ( )u t U t

angelegt wird

Bild 421 Stromkreis

Aufgabe 49 Man berechne den Spannungsverlauf uR(t) am Wirkwiderstand R der Schaltung von Bild 422 a fuumlr die Eingansspannung tktu )(

C

Ru(t) uR(t)

i(t)

a)

u(t)

U0

0

t0U0k =

tt0b)

Bild 422 Schaltung (a) und Spannungsverlauf (b) von Beispiel 49


Aufgabe 410 Man berechne fuumlr das Netzwerk von Bild 423a den Maschenstrom 2 ( )i t wenn die Spannung u(t) ein Rechteckimpuls der Houmlhe U0 und der Dauer nach Bild 423b ist

gti1(t) i2(t)

R C

RCgt

u(t)

a)

u(t)U0

0

t

b) Bild 423 Schaltung (a) und Spannungsverlauf (b) von Beispiel 410

Aufgabe 411 Gegeben ist der Serienschwingkreis von Bild 424 Man berechne fuumlr die Spannung 0( ) ( )u t U t den Strom i(t) wobei die folgenden drei Faumllle unterschieden wer-den sollen

LCLR 1 gt 2

a)2

aperiodischer Fall

LCLR 1 =

2b)

2

aperiodischer Grenzfall

LCLR 1 lt 2

c)2

periodischer Fall

i(t) C

R

u(t)

L

Bild 424 Serienschwingkreis

Aufgabe 412

a) Man berechne den Strom i(t) fuumlr die Schaltung nach Bild 425a bei einem Spannungsver-lauf nach Bild 425b

ua(t)

R C

i(t)

R

Bild 425a Schaltung

u(t)

U0

0

t

Bild 425b Spannungsverlauf u(t)


u(t)

U0

0

t

Bild 425c Spannung u(t)

b) Man berechne den Strom i(t) wenn eine

Spannung u(t) angelegt wird deren Ver-lauf in Bild 425c dargestellt ist

Aufgabe 413

a) An das Uumlbertragungsglied nach Bild 426a wird eine Eingangsspannung

0( ) ( )eu t U t

angelegt Man berechne den Strom i(t) und die Ausgangsspannung ua(t)

R

C

ue(t) ua(t)

i(t)

C

Bild 426a Schaltung

b) Fuumlr das Uumlbertragungsglied nach Bild 426b sollen der Maschenstrom I2(s) und die Aus-gangsspannungen ( )au t am Wirkwiderstand R berechnet werden wenn die Eingans-spannung gegeben ist durch

0

1) ( ) ( )2) ( ) ( )

e

e

u t tu t U t

R

ue(t)

R

2R

Lua(t)

i1(t) i2(t)

Bild 426b Schaltung

44 Uumlbertragungsverhalten von linearen Netzwerken 127

44 Uumlbertragungsverhalten von linearen Netzwerken

441 LTI-Systeme Eine besondere Bedeutung bei Netzwerken haben lineare Systeme Beispiele dafuumlr sind RCL-Netzwerke der Elektrotechnik lineare Uumlbertragungssysteme der Kommunikationstechnik oder lineare Steuerungs- und Regelungssysteme Wenn das lineare System auch zeitinvariant ist nennt man es ein LTI-System (linear time-invariant) Im weiteren Verlauf sollen ausschlieszliglich LTI-Systeme behandelt werden In diesem Abschnitt soll der Zusammenhang zwischen dem Eingangssignal x(t) und dem Ausgangssignal y(t) eines LTI-Systems be-trachtet werden Vor dem Einschalten werden alle Energie-speicher des Systems als leer vorausgesetzt

Bild 427 Uumlbertragungsglied

Eingangssignal x(t)

rarr Ausgangssignal Systemantwort y(t) = f(x(t))

Mit ( ) ( )y t f x t wird die Reaktion eines Systems auf das Eingangssignal x(t) beschrieben Die Eigenschaften des Systems werden dabei durch die Systemfunktion f festgelegt

Definition 43

Ein Uumlbertragungssystem heiszligt linear wenn gilt

1 1 2 2 1 1 2 2( ) ( ) ( )y k x k x k y x k y x (49)

Bei linearen Systemen gilt das Superpositionsgesetz das heiszligt die Reaktion des Systems auf eine Linearkombination von Eingangssignalen besteht aus der gleichen Linearkombination der zugehoumlrigen Ausgangssignale

Definition 44

Ein System heiszligt zeitinvariant wenn auf ein verzoumlgertes Eingangssignal ein entsprechend verzoumlgertes Ausgangssignal folgt

0 0( ) ( )y t t f x t t (410)

Die Reaktion eines zeitinvarianten Systems ist unabhaumlngig vom Zeitpunkt wann das Ein-gangssignal eintrifft

Eine Information uumlber das Verhalten eines Uumlbertragungssystems erhaumllt man in dem man die Reaktion des Systems auf bestimmte Test-Signale untersucht

( )y tUumlbertragungs- system ( )x t


Wichtige Testfunktionen dieser Art sind die Sprungfunktion ε(t) und die Impulsfunktion δ(t) Die Antworten eines Uumlbertragungssystems auf diese Eingangssignale werden wir im Folgen-den naumlher betrachten Dabei gelten folgende Festlegungen 442 Impulsantwort und Sprungantwort

Definition 45

Bild 428 Impulsantwort g(t)

Unter der Impulsantwort g(t) (oder Gewichts-funktion) eines Uumlbertragungssystems versteht man die Systemreaktion auf ein impulsfoumlrmiges Eingangssignal ( ) ( )x t t

Die Impulsantwort hat eine groszlige praktische Bedeutung Wir werden spaumlter zeigen dass fuumlr jedes Eingangssignal x(t) das zugehoumlrige Ausgangssignal y(t) berechnet werden kann wenn die Impulsantwort g(t) des Uumlbertragungssystems bekannt ist

Definition 46

( )h tUumlbertragungs- system ( )t

Bild 429 Sprungantwort h(t)

Unter der Sprungantwort h(t) (oder Uumlbergangs-funktion) eines Uumlbertragungssystems versteht man die Systemreaktion auf ein sprungfoumlrmiges Eingangssignal ( ) ( )x t t

443 Uumlbertragungsfunktion Das Ausgangssignal y(t) eines LTI-Systems ist bei einem gegebenen Eingangssignal x(t) durch das Uumlbertragungssystem eindeutig bestimmt Es ist daher auch die Laplace-Transformierte des Ausgangssignals ) = ( )Y s y t L durch die Laplace-Transformierte des Eingangssignals ) = ( )X s x t L eindeutig festgelegt

Definition 47

Unter der Uumlbertragungsfunktion G(s) eines LTI-Systems versteht man das Verhaumlltnis der Laplace-Transformierten Y(s) des Ausgangssignals zur Laplace-Transformierten X(s) des Eingangssignals

(411)

( )g tUumlbertragungs- system ( )t

( )) = ( )

Y sG sX s


Satz 44

Die Uumlbertragungsfunktion G(s) ist die Laplace-Transformierte der Impulsantwort g(t)

( ) ( )G s g t L (412)

Beweis Nach Definition 45 ist die Impulsantwort g(t) die Systemreaktion auf das Eingangs-signal x(t) = δ(t) Fuumlr die Bildfunktion des Eingangssignals ergibt sich ) = ( ) 1X s t L und fuumlr das Ausgangssignal erhaumllt man ) = ( )Y s g t L

Nach Gl (411) folgt daraus ( )( ) ( )1

Y sG s g t L

Satz 45

Die Sprungantwort h(t) ist das Integral uumlber die Impulsantwort g(t)

0

( ) ( )t

h t g d

(413)

Beweis Die Systemreaktion auf das Eingangssignal 1( ) = ( ) ( ) = x t t X ss

ist die

Sprungantwort y(t) = h(t)

Nach Gl (411) folgt daraus 1( ) = ( ) ( ) = ( )Y s X s G s G ss

Mit dem Integrationssatz fuumlr die

Originalfunktion ergibt sich schlieszliglich 0

1 ( ) ( ) ( )t

G s g d h ts

Durch Umkehrung von Satz 45 erhaumllt man die Impulsantwort g(t) als Ableitung der Sprungantwort h(t)

( )( ) h tg tdt

(413a)

Enthaumllt h(t) Unstetigkeitsstellen wie z B ε(t) so ist statt der gewoumlhnlichen die verallgemei-nerte Ableitung zu verwenden

( ) ( )g t Dh t (413b)

Zum Beispiel ist die verallgemeinerte Ableitung der Sprungfunktion ( ) ( )D t t

Satz 46

Das Ausgangssignal y(t) eines LTI-Systems erhaumllt man durch Faltung des Eingangssignals x(t) mit der Impulsantwort g(t)

0

( ) ( ) ( ) ( ) ( )t

y t x t g t g x t d (414)


Beweis Mit Gl (411) ( ) = ( ) ( )Y s X s G s und Anwendung des Faltungssatzes Abschnitt 338 ergibt sich -1( ) ( ) ( ) ( ) ( )y t X s G s x t g t L

Mit Gl (414) erhalten wir die Aussage dass zu einem gegebenen Eingangssignal x(t) auch das Ausgangssignal y(t) berechnet werden kann sofern die Impulsantwort g(t) des Uumlbertragungs-systems bekannt ist Faltungsintegrale koumlnnen sehr umfangreich sein so dass eine analytische Loumlsung oft nicht erreichbar ist In solchen Faumlllen muss man auf numerische Methoden zuruumlck greifen Bei Anwendungen in der Elektrotechnik hat man als Eingangssignal eine Spannung e ( )u t und als Ausgangssignal die zugehoumlrige Spannung ( )au t Fuumlr die Uumlbertragungsfunktion gilt dann mit ( ) ( )e eu t U s und ( ) ( )a au t U s

( )( ) ( )

a

e

U sG sU s

(415)

Eingangs- und Ausgangssignal muumlssen nicht immer Groumlszligen der gleichen Art (z B Spannun-gen) sein Es koumlnnen z B auch Spannungen mit Stroumlmen verknuumlpft werden

Beispiel 412

Cua(t)

R

ue(t)

i(t)

Bild 430 RC-Glied

Man berechne die Uumlbertragungsfunktion G(s) die Sprungantwort h(t) und die Impulsantwort g(t) des RC-Glieds in Bild 430

a) Uumlbertragungsfunktion G(s)

Als Eingangssignal haben wir hier die Eingangsspannung

e1( ) ( ) = ( )eu t U s R + I s

Cs

und als Ausgangssignal die Ausgangsspannung

a1( ) ( ) = ( )au t U s I s

Cs

Mit Gl (415) erhalten wir fuumlr die Uumlbertragungsfunktion

1 ( )( ) 1 1 1( ) 11( ) 1( )

a

e

I sU s CsG s U s RCs RC sR I s

RCCs


b) Sprungantwort oder Uumlbergangsfunktion h(t)

Als Eingangssignal waumlhlen wir die Sprungfunktion 1( ) ( ) ( )e eu t t U ss

Die zugehoumlrige Ausgangsspannung ua(t) ist die Sprungantwort

1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) 1 1a eU s G s U sRC s RCs s s

RC RC

Eine Partialbruchzerlegung ergibt 1 1( ) 1aU ss s

RC

und nach Ruumlcktransformation in den

Zeitbereich erhaumllt man 1

( ) 1 RCa

tu t e

c) Impulsantwort oder Gewichtsfunktion g(t)

Nach Satz 44 gilt ( ) ( )G s g t Die Ruumlcktransformation von G(s) ergibt

1 1( ) 1G sRC s

RC

11 ( ) RC t

g t eRC

Bild 431 zeigt den Verlauf der Sprungantwort h(t) und der Impulsantwort g(t) des RC-Glieds

Bild 431 a) Impulsantwort g(t) b) Sprungantwort h(t)

( )g t ( )h t1

RC

t t

0 0a) b)

1


Bild 432 Schwingkreis

Beispiel 413 Es ist die Uumlbertragungsfunktion G(s) und die Impulsantwort g(t) des in Bild 432 dargestell-ten Schwingkreises zu berechnen


2

1 ( )( ) 1( ) 1( ) 1( )

a

e

I sU s CsG sU s LCs RCsR Ls I s

Cs

b) Impulsantwort g(t)

Die Impulsantwort g(t) erhaumllt man durch Ruumlcktransformation aus der Uumlbertragungsfunktion G(s) Fuumlr die Partialbruchzerlegung der echt gebrochen rationalen Bildfunktion G(s) wollen wir diese zuerst noch umformen

Mit der Kennkreisfrequenz 01LC

und der Abklingkonstanten L

R2

= folgt

2 20 0

2 2 2 2 20 0

( ) = = 2 ( ) ( )

G ss s s

Wir unterscheiden die folgenden drei Faumllle

1 Periodischer Fall 2 20

0 gt 0 Daumlmpfungsgrad = lt 1

Mit 2 20 erhalten wir fuumlr die Uumlbertragungsfunktion

202 2( )

( )G s

s

Daraus die Impulsantwort 20( ) ( ) = e sin( ) tG s g t t

2 Aperiodischer Grenzfall 2 20 0 Daumlmpfungsgrad = 1

Uumlbertragungsfunktion 2

2002( ) ( )

( )tG s g t te

s

Impulsantwort

3 Aperiodischer Fall 2 20 0 Daumlmpfungsgrad gt 1

Mit 2 20 = erhalten wir fuumlr die Uumlbertragungsfunktion

202 2( )

( )G s

s

Daraus die Impulsantwort

20( ) ( ) = e sinh( ) tG s g t t

i(t) Cue(t) ua(t)

R L


Bild 433 zeigt den Verlauf der Impulsantwort g(t) fuumlr verschiedene Daumlmpfungsgrade

Bild 433

Beispiel 414

Fuumlr die im Bild 434a und b dargestellten Uumlbertragungsglieder sollen die Uumlbertragungsfunktio-nen bestimmt werden

iR

iCue(t) ua(t) ue(t) ua(t)

C

C

CR

R

R

iC + iR

a) b)

Bild 434 Uumlbertragungsglieder zu Beispiel 414

a) Fuumlr das in Bild 434a dargestellte Uumlbertragungsglied gelten im Bildbereich die Gleichungen 1 2( ) ( ) und ( ) ( )a eU s R I s U s R I s

Cs Cs

Fuumlr die Uumlbertragungsfunktion folgt hieraus

1( )

( ) 1( ) ( ) 22 ( )

a

e

R I sCsU s RCsG sU s RCsI sR

Cs

b) Das Uumlbertragungsglied in Bild 434b hat die Uumlbertragungsfunktion

( ) ( )( )( ) ( ) 2 ( ) ( )

R Ca

R Ce

R I s I sU sG sU s R I s I s


Mit der Nebenbedingung 1( ) ( ) ( ) ( )R C C RRI s I s I s RCsI s

Cs

erhalten wir fuumlr die Uumlbertragungsfunktion

( ) 1 1( ) = 2( ) 2

R

R

I s RCs RCs +G sRCs +I s RCs

Die beiden hier betrachteten Uumlbertragungsglieder haben also die gleiche Uumlbertragungsfunktion G(s) Sie stimmen daher auch in ihrem Uumlbertragungsverhalten uumlberein

Beispiel 415

Fuumlr das Uumlbertragungsglied von Bild 435 soll die Uumlbertragungsfunktion berechnet werden

i2(t)gt

i1(t)gt

ue(t) ua(t)

R

RR

C

C Bild 435 Uumlbertragungsglied

Fuumlr die Bildstroumlme I1(s) und I2(s) erhaumllt man die folgenden Gleichungen

1 21 1(1) 2 ( ) ( ) ( )eR I s R I s U s

Cs Cs

1 21 2(2) ( ) 2 ( ) 0R I s R I s

Cs Cs

Zur Berechnung von 2( ) ( )aU s RI s benoumltigen wir den Bildstrom 2 ( )I s


Wir erhalten mit der Cramerrsquoschen Regel

2

12 ( )

1 0( ) ( )

3 11 12

1 22

e

e

R U sCs

RCs CsI s U s

RCsR R

Cs Cs

R RCs Cs

Die Laplace-Transformierte der Ausgangsspannung lautet damit

2( ) ( ) ( )3 1a e

RCsU s RI s U sRCs

Fuumlr die gesuchte Uumlbertragungsfunktion folgt daraus ( )( ) 1( ) 3 1 3( )3

a

e

U s RCs sG s U s RCs s RC

Beispiel 416

Fuumlr das in Bild 436 skizzierte Uumlbertragungs-glied sollen die Uumlbertragungsfunktion G(s) die Sprungantwort h(t) und die Impulsantwort g(t) bestimmt werden


a) Uumlbertragungsfunktion

( ) ( ) 1( ) 11( ) 2 1 22 ( ) 2

a

e

U s R I s RCs sG sU s RCs sR I s

RCCs

Bei Schaltungen wie in Bild 436 wo ein gemeinsamer Strom i(t) I(s) durch alle Bautei-le gegeben ist kann die Uumlbertragungsfunktion auch durch das Widerstandsverhaumlltnis berechnet

werden ( )( ) ( )

aZ sG sZ s

In Bild 436 haben wir fuumlr 1( )Z s R RCs

und fuumlr ( )aZ s R

Somit ergibt sich fuumlr ( ) 1( ) 1 1( ) 222

aZ s R sG sZ s R s

Cs RC

R

i(t) R

C

ue(t) ua(t)


b) Fuumlr die Sprungantwort ( ) ( )h t H s erhalten wir


1 1 1( ) ( ) 122

H s G ss s

RC

121 ( ) ( )

2

tRCh t e t

c) Impulsantwort g(t) Die Impulsantwort g(t) ergibt sich durch Ruumlcktransformation der Uumlbertragungsfunktion G(s) Dabei ist zu beachten dass G(s) hier eine unecht gebrochen rationale Bildfunktion ist die erst durch eine Polynomdivision in eine Form gebracht werden muss die man mit den uumlblichen Korrespondenz-Relationen zuruumlck transformieren kann

121 1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )1 12 2 4 2 4

2 2

tRCsG s g t t e t

RC RCs sRC RC

Liegt am Eingang des Uumlbertragungsgliedes ein kurzer Spannungsimpuls so erkennt man aus dem Ergebnis dass am Ausgang ein ebenso kurzer Spannungsimpuls aber halber Groumlszlige er-scheint Der durch den Spannungsimpuls verursachte Stromimpuls hat den Kondensator gela-den der anschlieszligend wieder entladen wird Ergaumlnzung Will man alternativ die Impulsantwort g(t) als Ableitung der Sprungantwort h(t) bestimmen so ist zu beachten dass die gewoumlhnliche Ableitung (413a) wegen der Sprungstelle bei t = 0 durch die verallgemeinerte Ableitung (413b) zu ersetzen ist

h(t) ist wegen ( 0) 0h und + 1( 0) 2h an der Stelle 0t unstetig

Die Anwendung von (413b) ergibt 1 1

2 21 1( ) ( ) ( ) ( )4 2

t tRC RCg t Dh t e t e t

RC

Die Eigenschaft 4a der Deltafunktion von Tabelle 72 ergibt 1

02 ( ) ( )t

RCe t e t

Damit erhalten wir in Uumlbereinstimmung mit der obigen Korrespondenz ( ) ( ) G s g t die

Impulsantwort 1

21 1( ) ( ) ( )2 4

tRCg t t e t

RC

Bei Anwendung der gewoumlhnlichen Ableitung (413a) auf h(t) geht der Term 1 ( )2

t verloren

( )h t

05

t

0


Beispiel 417 Gegeben ist das lineare Uumlbertragungsglied von Bild 438 Zu berechnen ist die Uumlbertragungsfunktion G(s) die Impulsantwort g(t) und die Sprungantwort h(t)

ue(t)

i1(t)gt

i2(t)gt

ua(t)

R

RR

C

Bild 438a Uumlbertragungsglied

a) Uumlbertragungsfunktion 1 Wir berechnen G(s) mit Hilfe des Maschenbildstromes I2(s)

Die Maschengleichungen lauten

1 2

1 2

1 1(1) 2 ( ) ( ) ( )

1 1(2) ( ) 2 ( ) 0

eR I s R I s U sCs Cs

R I s R I sCs Cs

Daraus folgt fuumlr den gesuchten Maschenstrom I2(s)

2

12 ( )

1 01( ) ( )

3 21 12

1 12

e

e

R U sCs

RCs RCsI s U s

R RCsR RCs Cs

R RCs Cs

Mit I2(s) ergibt sich die Ausgangsspannung

21( ) ( ) ( )

3 2a eRCsU s RI s U sRCs

und daraus die Uumlbertragungfunktion

( ) 1( ) ( ) 3 2

a

e

U s RCsG sU s RCs

Da die Uumlbertragungsfunktion G(s) die Laplace-Transformierte der Impulsantwort g(t) ist kann in den Maschengleichungen eine beliebige Eingangsspannung z B ( ) ( ) 1eU s t L eingesetzt werden Man erhaumllt dann fuumlr diesen Fall

2( ) ( )G s RI s


2 Bestimmung von G(s) durch das Widerstandsverhaumlltnis ( )( )( )

aZ sG sZ s

Am Ausgang des Uumlbertragungsgliedes liegt die Parallelschaltung 1aZ R R

Cs Weiter

ist Gesamt- aZ R Z Damit folgt fuumlr die Uumlbertragungsfunktion

1 11 12 1( )

1 1 2 1 1 3 22 1

R RCsR R R RCs RCsCs RCsG s R RCs R RCs R RCs RCsR R R R

Cs RCs

Man spart sich so die Berechnung des Bildstromes I2(s) muss aber stattdessen ein Wider-standsnetzwerk ausrechnen b) Impulsantwort Die Uumlbertragungsfunktion G(s) ist eine unecht gebrochen rationale Funktion Durch Polynom-division erhaumllt man

1 11 1 3( ) 12 23 3

3 3

sRC RCG s

s sRC RC

Durch Ruumlcktransformation ergibt sich die Impulsantwort

231 1( ) ( )

3 3

tRCg t t eRC

c) Sprungantwort

11 1 1 1 1 1( ) ( ) 223 2 6

33

sRCH s G s

s s ss sRCRC

231 1( ) ( )

2 6t

RCh t t e

Fuumlr t = +0 und trarr infin ergibt sich der Funktions- verlauf zwischen

+1 1( 0) und ( ) =3 2

h h

Bild 438b Impulsantwort g(t)

0

19RC

1( )

3t

( )g t

Bild 438c Sprungantwort h(t)


444 Pol-Nullstellen-Plan einer echt gebrochen rationalen Bildfunktion Wir gehen aus von einer echt gebrochen rationalen Bildfunktion F(s) mit reellen Koeffinzien-ten ai und bi

0 1

0 1( )

mm

nn

b b s b sF sa a s a s

mit m lt n und an ne 0

Wir suchen getrennt die Nullstellen des Zaumlhlerpolynoms Ni und die Nullstellen des Nennerpo-lynoms Pi das sind die Pole von F(s)

Sind die Pole und Nullstellen bekannt kann F(s) nach dem Fundamentalsatz der Algebra in die Produktform umgewandelt werden

1 2

1 2

( )( ) ( )( ) mit ( )( ) ( )

m m

n n

s N s N s N bF s k ks P s P s P a

Der Pol-Nullstellen-Plan kurz PN-Plan genannt entsteht dadurch dass die Lage der Pole ( ) und der Nullstellen (o) in das Diagramm von Bild 439 eingezeichnet werden Da die Bildva-riable s = σ + jω komplexwertig ist so sind auch die Pole und Nullstellen von Bildfunktionen im Allgemeinen komplexwertig bestehen also aus einem Real- und einem Imaginaumlrteil

Bei reellen Koeffizienten ai und bi sind die Pole und Nullstellen reell bzw konjugiert komplex

Auch mehrfache Pole und Nullstellen koumlnnen auftreten

Bei reellen Koeffizienten ai und bi ist der PN-Plan symmetrisch zur reellen σ-Achse

Durch die Lage der Pole kann auf das Zeitver-halten im Originalbereich geschlossen werden

0

Bild 439 PN-Plan der s-Ebene

Ist Pi die Polstelle einer echt gebrochen rationalen Bildfunktion F(s) so entspricht

Re( ) 0iP Re( ) 0iP Re( ) 0iP

einer zeitlich abklingenden Funktion einer Funktion mit konstantem Betrag z B ε(t) einer zeitlich ansteigenden Funktion

Aus der Art und der Lage der Polstellen im PN-Plan auf die Zeitfunktion zu schlieszligen ist bei vielen Anwendungen im Hinblick auf eine schnelle Uumlbersicht zum Systemverhalten wichtig So kann etwa aus der Art der Polstellen einer Uumlbertragungsfunktion auf das Zeitverhalten des zugehoumlrigen Uumlbertragungssystems geschlossen werden

o

o

o

Re(s)=σ

Im(s)=ω


Im Folgenden soll der Zusammenhang zwischen der Art der Polstellen im PN-Plan und den zugehoumlrigen Zeitfunktionen erlaumlutert werden

Bild 440 PN-Plan mit Zeitfunktionen

a) Der einfachen Polstelle entspricht

im Bildbereich 1s

Da sie in der linken

Halbebene des PN-Plans liegt ist

b) die korrespondierende Zeitfunktion eine abklingende Funktion ( ) tf t e

c) Der 3-fachen Polstelle entspricht im

Bildbereich 31

( )s

d) Die korrespondierende Zeitfunktion lau-

tet 2

( )2

ttf t e

e) Dem konjugiert komplexen Polstellen-

paar 0j entspricht 02 2

0( )s

f) Im Zeitbereich ergibt sich eine gedaumlmpf-te Schwingung 0( ) sin( )tf t e t

g) Den beiden Polstellen 0j entsprechen

im Bildbereich 02 2

0s

h) Die korrespondierende Zeitfunktion ist eine ungedaumlmpfte Schwingung

0( ) sin( )f t t

i) Einer im Ursprung liegenden einfachen

Polstelle entspricht im Bildbereich sA und

im Zeitbereich ( ) ( )f t A t

g)

k)

h)

i)

3-


a) Der Polstelle 1 entspricht im Bildbereich 1

1s

und der konjugiert komplexen Polstelle

2 0j entspricht 02 2

2 0( )s

Dazu gehoumlren im Zeitbereich die ansteigenden Funktionen

b) 1( ) tf t e und 20( ) sin( )tf t e t

Beispiel Eine echt gebrochen rationale Bildfunktion F(s) hat die folgenden Pole P1 = 05 P2 = 2 + 3j und P3 = 2 3j Welche Aussage kann fuumlr den Zeitbereich gemacht werden Alle Pole haben einen negativen Realteil Die Zeitfunktionen f(t) sind daher abklingend Die einfache reelle Polstelle P1 bedingt im Zeitbereich eine abklingende Exponentialfunktion Das Paar der konjugiert komplexen Pole mit negativem Realteil entspricht einer gedaumlmpften Schwingung mit der Kreisfrequenz 3 Im Zeitbereich ergibt sich daher die Form

05 2( ) sin(3 ) cos(3 )t tf t Ae e B t C t

Satz 47

Saumlmtliche Polstellen Pi der Uumlbertragungsfunktion G(s) eines passiven Netzwerks liegen im Inneren der linken Halbebene des PN-Plans d h es gilt

Re( ) 0iP i

Beweis Ein passives Netzwerk z B ein RCL-Netzwerk antwortet auf ein impulsfoumlrmiges Eingangssignal mit einem zeitlich abklingenden Ausgangssignal Die Impulsantwort g(t) ist daher ebenfalls eine abklingende Zeitfunktion Ihre Laplace-Transformierte die Uumlbertragungs-funktion G(s) hat daher nur Pole die in der offenen linken Halbebene des PN-Plans liegen

a) b)

Bild 441 PN-Plan mit ansteigenden Zeitfunktionen


445 Stabilitaumlt von linearen Systemen

1 Stabilitaumltskriterium im Zeitbereich Reagiert ein System auf ein beschraumlnktes Eingangssignal x(t) N mit einem be-schraumlnkten Ausgangssignal y(t) M mit N M so bezeichnet man es als stabil

Diese Stabilitaumltsdefinition wird auch als BIBO-Stabilitaumlt (bounded input ndash bounded output) bezeichnet Kriterium Ein LTI-System ist dann stabil wenn seine Impulsantwort g(t) absolut integrierbar ist

( ) | |g t dt K

mit K

(417)

Beweis Wir betrachten ein beschraumlnktes Eingangssignal x(t) N Die Beschraumlnkung des Ausgangssignals ist dann gegeben

y(t) = g(t)x(t) ( ) ( ) ( )| | | |g x t d N g d

wenn ( ) | |N g d M

ist mit M N K wenn also Gl (417) erfuumlllt ist

2 Stabilitaumltskriterium im Bildbereich

Zur Uumlberpruumlfung der Stabilitaumlt wird der PN-Plan herangezogen Ein LTI-System ist stabil wenn alle Pole der Uumlbertragungsfunktion G(s) in der offenen linken Halbebene des PN-Plans liegen Es ist grenzstabil wenn auf der imaginaumlren Achse nur einfache Pole auftreten alle weiteren Pole aber in der linken Halbebene des PN-Plans liegen Es ist instabil sobald nur ein Pol der Uumlbertragungsfunktion G(s) in der offenen rechten Halb-ebene des PN-Plans auftritt oder wenn ein mehrfacher Pol auf der imaginaumlren Achse liegt

Beispiel Das Eingangssignal ( ) sin(2 )x t t ergibt folgende Systemreaktion 01( ) ( )ty t e x t Ist das System BIBO-stabil Nach obigem Kriterium gilt x(t) ist ein beschraumlnktes Eingangssignal da ( ) 1x t ist

Fuumlr das Ausgangssignal gilt 01 01( ) ( ) 1 t ty t e x t e fuumlr t

Es existiert keine obere Schranke M fuumlr y(t) das System ist instabil


446 Uumlbertragungsfunktion und Frequenzgang Die Systemreaktionen Impulsantwort ( ) ( )g t t L Sprungantwort ( ) ( )h t t L Frequenzgang ( ) ( ) jF A e sind wichtige Kenngroumlszligen eines Uumlbertragungssystems Wir wollen nun untersuchen wie ein lineares Netzwerk auf ein periodisches Eingangssignal reagiert Dabei interessiert besonders die Systemantwort auf ein sinusfoumlrmiges Eingangssignal

Satz 48

Ein lineares Netzwerk antwortet auf ein periodisches Eingangssignal x(t) nach Abklingen des Einschwingvorganges mit einem stationaumlren periodischen Ausgangssignal ( )sty t der gleichen Periodendauer Ist das Eingangssignal x(t) sinusfoumlrmig so ist das stationaumlre Ausgangssignal ( )sty t ebenfalls sinusfoumlrmig mit der gleichen Frequenz wie das Eingangssignal

Beweis Eine T-periodische Funktion x(t) hat wie im Satz 312 von Abschnitt 333 gezeigt

wurde eine Bildfunktion 0( )( ) 1 sT

X sX se

Hierbei ist X0(s) die Bildfunktion einer nur im Intervall 0 le t le T von Null verschiedenen Zeit-funktion deren periodische Fortsetzung x(t) ergibt Fuumlr das Ausgangssignals im Bildbereich erhalten wir mit dem Eingangssignal X(s)

0 ( )( ) ( ) 1 sT

X sY s G se

Wir wollen uns nun die Lage der Pole der Bildfunktion Y(s) ansehen Der erste Faktor G(s) hat nach Satz 47 nur Pole mit negativem Realteil die also links von der imaginaumlren Achse des PN-Plans liegen

Bei dem zweiten Faktor 0( )1 sTX s

e liegen keine Pole von X0(s) in der rechten Halbebene sofern

x0(t) beschraumlnkt ist was vorausgesetzt wird Bleibt noch zu untersuchen wo die Pole von 1 0sTe liegen Als Loumlsungen fuumlr diese Gleichung 2 1 sT k je e erhalten wir

02 ks j jkT mit k = 0 1 2 3

Hierbei ist 02T die Kreisfrequenz des periodischen Eingangssignals x(t)


Neben den Polen der Uumlbertragungsfunktion G(s) und der Bildfunktion X0(s) die im Inneren der linken Halbebene liegen gibt es noch die Pol-stellenpaare

0 s jk

die auf der imaginaumlren Achse des PN-Plans liegen

0

Bild 442 Lage der Polstellen von Y(s)

Den Polen in der linken Halbebene entsprechen im Zeitbereich abklingende Funktionen die mit zunehmender Zeit verschwinden Diese stellen den fluumlchtigen Anteil in der Systemreaktion dar Den Polen auf der imaginaumlren Achse entsprechen im Zeitbereich sinusfoumlrmige Funktionen die mit der Zeit erhalten bleiben und dem stationaumlren Anteil ys(t) der Systemreaktion entsprechen Da nun jedem Polstellenpaar 0s jk im Zeitbereich eine stationaumlre harmonische Schwin-gung der Kreisfrequenz kω0 entspricht stellt die Summe dieser harmonischen Schwingungen die Fourier-Reihe eines periodischen stationaumlren Ausgangssignals ys(t) der Grundkreis-frequenz ω0 dar

Harmonische Anregung

Fuumlr ein sinusfoumlrmiges Eingangssignal gilt 2 2( ) sin( ) ( )x t t X ss

Fuumlr das Ausgangssignals im Bildbereich ergibt sich

2 2( ) ( )Y s G ss

Da wir jetzt nur ein Polstellenpaar s j auf der imaginaumlren Achse haben muszlig das Aus-gangssignal nach Abklingen der fluumlchtigen Anteile ebenfalls wieder sinusfoumlrmig sein Diese Tatsache fuumlhrt dazu dass sich bei linearen Netzwerken im Ausgangssignal Amplituden- und Phasenaumlnderungen ergeben aber keine Frequenzaumlnderung statt findet

Definition 48

Nach Abschnitt 224 Gl (210) ist der Frequenzgang eines linearen Uumlbertragungssystems bestimmt durch

( ) ( ) jF A e (418)


Dabei ist A(ω) ist die frequenzabhaumlngige Amplitude des stationaumlren Ausgangssignals ys(t) und φ die Phasenverschiebung gegenuumlber dem Eingangssignal x(t)

Uumlbertragungsfunktion und Frequenzgang eines LTI-Systems

Der Frequenzgang als wichtige Kenngroumlszlige eines Uumlbertragungssystems kann auf elegante Art aus der Uumlbertragungsfunktion G(s) eines stabilen und kausalen LTI-Systems bestimmt werden Dies ist moumlglich da die Uumlbertragungsfunktion G(s) bereits saumlmtliche Informationen uumlber das System enthaumllt und damit auch den Frequenzgang Bei harmonischer Anregung antwortet das System mit einer ebenfalls harmonischen Funktion der gleichen Frequenz Das LTI-System veraumlndert also lediglich die Amplitude A und die Pha-senlage φ nicht aber die Frequenz ω

Satz 49

Ist G(s) die Uumlbertragungsfunktion eines stabilen und kausalen LTI-Systems so gilt fuumlr den Frequenzgang

( ) ( ) s jF G s (419)

Die Notation bedeutet dass in der Uumlbertragungsfunktion G(s) die Variable s durch jω ersetzt wird Die dabei entstehende Funktion F(ω) entspricht dem Frequenzgang des Systems

Fuumlr dem Amplituden- und Phasengang die sich aus Gl (419) ergeben gelten die Ausfuumlhrun-gen von Abschnitt 224

Beispiel Fuumlr einen RC-Tiefpaszlig lautet die Uumlbertragungsfunktion

11

( ) RCRC

G ss

Man bestimme den Frequenzgang und den Amplitudengang

Frequenzgang nach (419) 1 11 1

( ) s j

RC RCRC RC

Fs j

Amplitudengang 2

11

1( ) ( )1 ( )

RCRC

A Fj RC

Uumlbertragungs- system

x(t) = sin(ωt) y(t) = Amiddotsin(ωt + φ)


Beispiel 418 Man bestimme fuumlr das Uumlbertragungsglied in Bild 443 a) die Uumlbertragungsfunktion G(s) b) die Impulsantwort g(t) und c) den Frequenzgangs F(ω) d) die Ortskurve des Frequenzgangs


a1) Bestimmung von G(s) durch Berechnung des Maschenbildstromes I2(s) Aus den Maschengleichungen

1 2

1 2

1 1(1) ( ) ( ) ( )

1 1(2) ( ) ( ) 0

eR I s I s U sCs Cs

I s R I sCs Cs

folgt fuumlr den gesuchten Maschenstrom

2

1 ( )

1 01( ) ( )

21 1

1 1

e

e

R U sCs

CsI s U sR RCsR Cs Cs

RCs Cs

21( ) ( ) ( )

2a eU s RI s U sRCs

und daraus ( ) 1( ) ( ) 2

a

e

U sG sU s RCs

a2) Alternative Bestimmung von G(s) durch das Bildwiderstandsverhaumlltnis

( )( )( )

aZ sG sZ s

2

1 = (

1

1

1

1

+RCs=

R+

RR

+R

R

)sG

Cs

Cs

Cs

Cs

b) Impulsantwort 1 1 1( ) 22G s

RCs RC sRC

21( ) RC

tg t e

RC

c) Frequenzgang 1( ) ( )2s jF G s

j RC

R

C

i1gt

Rue(t) ua(t)i2gt


d) Die Ortskurve von 1 2( )

j RCF

ist fuumlr 0 eine Halbgerade mit dem konstanten

Realteil 1Re 2( )F

Durch Inversion dieser Halbgeraden (Bild 444a) erhaumllt man den

durch den Ursprung verlaufenden Halbkreis (Bild 444b)

447 Ausgangssignal bei impulsfoumlrmig periodischer Anregung

Wie im Abschnitt 333 Satz 312 gezeigt wurde hat ein T-periodisches Eingangssignal x(t) die Laplace-Transformierte

0( )( )1 sTX sX s

e

(420)

0 ( )X s ist hierbei die Laplace-Transformierte einer nur im Zeitintervall 0 le t leT von Null ver-schiedenen Zeitfunktion 0 ( )x t deren periodische Fortsetzung x(t) ergibt Auf das periodische Eingangssignal x(t) antwortet das System mit einem Ausgangssignal

( ) ( ) ( )f l sty t y t y t das sich zusammensetzt aus einem fluumlchtigen (abklingenden) Anteil und einem stationaumlren Anteil Nach Verschwinden des fluumlchtigen Anteils ( )f ly t bleibt der statio-naumlre Anteil ( )sty t uumlbrig der nach Satz 48 ebenfalls T-periodisch ist Die Zerlegung der Bildfunktion ( )Y s in einen fluumlchtigen Anteil ( )f lY s und einen stationaumlren Anteil ( )stY s ergibt

( ) ( ) ( ) ( ) ( )f l stY s G s X s Y s Y s

(421)

Die Aufloumlsung der Gleichung nach dem stationaumlren Anteils ergibt

( ) ( ) ( ) ( )stat f lY s G s X s Y s

Im F(ω)

Re F(ω)

1Im( )F

1Re( )F

Bild 444 Ortskurve des Frequenzgangs F(ω)

a) b)


Wie wir wissen ist die Bildfunktion des fluumlchtigen Anteils ( )fY s durch die im Inneren der linken Halbebene gelegenen Pole der Uumlbertragungsfunktion G(s) bestimmt Im Zeitbereich ist das stationaumlre Ausgangssignal ( )st ty eine T-periodische Funktion Daher genuumlgt es

definiert fuumlr 0

( ) = 0 fuumlr alle uumlbrigen Zeitpunkte

ost

t Ty t

zu berechnen Das gesuchte Ausgangssignal ( )sty t entsteht dann durch periodisches Fortsetzen von ( )st

oy t Beispiel 419 Auf den RC-Tiefpaszlig von Bild 445a wirkt als Eingangssignal eine doppeltgleich-gerichtete Sinusspannung ue(t) nach Bild 445b Man berechne

a) die Systemreaktion ua(t) ab dem Einschaltzeitpunkt b) den stationaumlre Anteil ust(t) der Ausgangsspannung

a)ue(t) ua(t)

R

C

Bild 445 RC-Tiepaszlig und Eingangsspannung ue(t)

Die periodische Eingangsspannung ue(t) entsteht durch periodisches Fortsetzen der Spannung

00

sin( ) fuumlr 0 ( ) = 2


TU t tu t

Nach Bild 446 setzt sich der Spannungspuls u0(t) zusammen aus der Uumlberlagerung von sin( )t mit der um T2 verschobenen sin-Funktion

0 0( ) sin( ) sin 2 2T Tu t U t t t

Wir erhalten mit dem Verschiebungssatz die Korrespondenz

20 0 0 2 2( ) ( ) 1

sTu t U s U e

s


Bild 446 a) Spannungspuls u0(t) und b) seine Darstellung aus 2 Teilspannungen

Nach Gl (420) ergibt sich die Korrespondenz fuumlr ue(t) 2

2 2

00 2 2

( ) 1( ) ( ) 1 1

sT

sT sTe eU s eu t U s U

se e

Der RC-Tiefpaszlig hat die Uumlbertragungsfunktion 1

( ) 1RCG s

s RC

Damit erhaumllt man die

Ausgangsspannung im Bildbereich 2

2

02 2

1 1( ) ( ) ( ) 1 1

sT

sTa eU eRCU s G s U s

ss eRC

(422)

Da eine direkte Ruumlcktransformation von ( )aU s in den Zeitbereich nicht moumlglich ist entwi-ckeln wir den Term in der Klammer in eine geometrische Reihe

2 3 3

2 2 2 2 2

2

1 1 1 1 2 2 2 1

sTsT sT sT sT sT

sT sTsT

e e e e e e e ee

Damit laumlsst sich die Ausgangsspannung angeben

32 20

2 2

1( ) ( ) ( ) 1 2 2 2 1

sT sTsT

a eURCU s G s U s e e e

ss RC

die nach Tabelle 74 Korrespondenz Nr 26 und dem Verschiebungssatz gliedweise in den Zeitbereich zuruumlck transformiert werden kann Es ergibt sich

2

0 2

( )

1( ) sin( ) cos( ) ( ) (423)1

1 2 sin ( ) cos ( ) ( ) 2 2 2

RC

TRC

ta

t

RCu t U e t t tRCRC

T T Te t t tRC

( ) 1 2 sin ( ) cos ( ) ( )

TRCt

e t T t T t TRC


Den Verlauf der Ausgangsspannung nach Gl (423) zeigt Bild 447 fuumlr die gewaumlhlten Para-meter RC = 1 Amplitude U0 = 1 Periodendauer T = 1 und 2 2T

Wie im Kurvenverlauf von ua(t) zu sehen ist schaukelt sich die Spannung in einem welligen Anstieg hoch bis nach etwa t ge 5T der stationaumlre Zustand erreicht ist Wie groszlig die Welligkeit im stationaumlren Zustand ist haumlngt entscheidend von den Werten des RC-Glieds ab Fuumlr eine gute Glaumlttung ist ein Kondensator ausreichend hoher Kapazitaumlt erfor-derlich Stationaumlrer Zustand Obwohl man aus Gl (423) den stationaumlren Zustand bestimmen kann lohnt es sich eine andere Methode der Berechnung dafuumlr kennenzulernen Als erstes suchen wir nach den Polstellen von ( )aU s Diese liegen nach Gl (422) bei

1) 1 = sRC

2) s j und 3) 2 21 0 2 = 2sT

e s jk jkT

0123k

Siehe dazu die Erlaumluterungen von Satz (48)

Die Polstelle 1 =s RC entspricht dem fluumlchtigen Anteil 1( ) RCt

f lu t A e

Die Polstellen auf der imaginaumlren Achse entsprechen sinusfoumlrmigen Schwingungen Fuumlr die Ausgangsspannung im Bildbereich erhalten wir

1( ) ( ) ( ) ( )1a f l st stAU s U s U s U s

s RC

Der Zaumlhler A1 ist nach Abschnitt 336 Gl (346) gegeben durch

2

21

20 0

1 2 2 22

1 1 1 1 ( )1 1

TRC

TRC

RC

sT

sT

s

U U RCe eARC s RCe e

ua(t)

t

Bild 447 Ausgangsspannung am RC-Tiefpaszlig

T

0 le t le 3T2

t ge 5T

Stationaumlrer Zustand


Damit kann der stationaumlre Anteil berechnet werden Es gilt

20 1

2 22

1 1( ) ( ) ( ) 1 11

sT

st a f l sTU e ARCU s U s U s

ss sRC RCe

Fuumlr 1A ist der Wert bereits bestimmt Den Term in der Klammer wandeln wir um in eine un-endliche geometrische Reihe

30 12 2 2

2 2

1( ) 1 1 1 1

sT sT sTsT

stU ARCU s e e e e

ss sRC RC

Nach Ausmultiplizieren der beiden Klammern erhalten wir

30 12 2

2 2

1( ) 1 2 2 2 1 1

sT sTsT

stU ARCU s e e e

ss sRC RC

32 20 01

2 2 2 2

1 1 2( ) 1 1 1

sT sTsT

stU UARC RCU s e e e

s s ss sRC RC RC

Dieser verhaumlltnismaumlszligig komplizierte Ausdruck vereinfacht sich ganz wesentlich wenn wir uns bei der Betrachtung des stationaumlren Anteils auf das Zeitintervall 0 2

Tt beschraumlnken

Da die periodische Eingangsspannung ue(t) die Periodendauer 2T hat ist die stationaumlre Aus-

gangsspannung ust(t) ebenfalls periodisch mit der gleichen Periodendauer Es genuumlgt daher die Berechnung des stationaumlren Ausgangssignals fuumlr das Zeitintervall 0 2

Tt durchzufuumlhren

Die Glieder im Bildbereich von ( )stU s mit den Faktoren 3

2 2 sT sT

sTe e e liefern im

Zeitbereich Anteile die nach dem Verschiebungssatz im Zeitintervall 0

2Tt identisch Null

sind Durch die Beschraumlnkung auf dieses Zeitintervall erhalten wir im Zeitbereich eine Span-nung ( )o

stu t deren periodische Fortsetzung ust(t) ergibt und die im Bildbereich durch den we-sentlich einfacheren Ausdruck gegeben ist

12 2

1 1( ) 1 1 2o ost

U ARCU sss sRC RC

Das Produkt in ( )ostU s kann man durch Partialbruchzerlegung in einfachere Anteile zerlegen

um die Ruumlcktransformation durchzufuumlhren oder es gleich direkt mit Hilfe der Korrespondenz-tabelle 64 Nr 26 zuruumlck transformieren was wir hier tun

2 2 2

1 1 sin( ) cos( )1 1 ( )

to RC

oU RCRC U e t t

RCs RCs RC


Korrespondenz fuumlr den 2 Term 2

2

11 2

1 1 1 ( ) 1

TRC

TRC

t tRC RC

oA RC eA e U e

RCs eRC

Die Zusammenfassung beider Terme ergibt

2

22

2 1( ) sin( ) cos( )1 ( ) 1

TRC

TRC

to RCst o

RC eu t U e t tRCRC e

fuumlr 0 2Tt

Durch periodisches Fortsetzen von ( )ostu t erhaumllt man die stationaumlre Ausgangsspannung ( )stu t

In Bild 447a ist fuumlr RC = 1 eine Periode der stationaumlren Ausgangsspannung dargestellt Mit wachsender Kapazitaumlt C wird die Spannung mehr und mehr geglaumlttet und im Grenzfall

C erhaumllt man ( )2

ost

Uu t

eine ideal geglaumlttete Ausgangsspannung d h eine Gleich-

spannung mit der Houmlhe die sonst als Mittelwert auftritt

Bild 447a Verlauf der stationaumlren Ausgangsspannung ust(t)

Aufgaben zu Abschnitt 44 (Ergebnisse im Anhang)

Aufgabe 414 Es sollen a) die Sprungantwort h(t) und b) die Impulsantwort g(t) des in Bild 448 dargestellten Uumlbertragungsgliedes berechnet werden

ue(t)

R

C

C

ua(t)

RR

C

ue(t) ua(t)

Bild 448 Uumlbertragungsglied Bild 449 Uumlbertragungsglied


Aufgabe 415 Man berechne fuumlr das Uumlbertragungsglied in Bild 449 a) die Uumlbergangsfunktion h(t) b) die Gewichtsfunktion g(t)

Aufgabe 416

a)C ua(t)ue(t)

R1

R2

Man bestimme fuumlr die in Bild 450a b und c dargestellten Uumlbertragungsglieder die Uumlber-tragungsfunktionen

( )( )( )

a

e

U sG sU s

b)

L

Rue(t) ua(t)C

c) ua(t)ue(t)

R

C R

C

Bild 450a b c Uumlbertragungsglieder zu Aufgabe 416

Aufgabe 417

R

Cue ua

R

i2(t)i1(t)C


Fuumlr das Uumlbertragungsglied in Bild 451 mit den Maschenstroumlmen )(1 ti und )(2 ti berechne man a) die Uumlbertragungsfunktion G(s) b) die Gewichtsfunktion g(t) c) die Uumlbergangsfunktion h(t)

Aufgabe 418 Gegeben ist ein Netzwerk mit der Uumlbertragungsfunktion

3+1 = )(

RCssG

a) Man berechne die Impulsantwort g(t) und die Uumlbergangsfunktion h(t)

U0

0

t

ue(t)

b) Fuumlr die in Bild 452 dargestellte Eingangs-spannung e ( )u t soll die Ausgangsspannung

a ( )u t berechnet werden

Bild 452 Eingangsspannung e ( )u t


Aufgabe 419

Gegeben ist ein Serienschwingkreis nach Bild 453a im aperiodischen Grenzfall Im aperiodischen Grenzfall gilt

LCLR 1 =

2

a) Man bestimme die Uumlbertragungsfunktion

( )( ) ( )I

I sG sU s

des Serienschwingkreises von Bild 453a

Bild 453a Serienschwingkreis

b) Fuumlr die Spannungen u(t) nach Bild 453b und Bild 453c sollen die Stroumlme i(t) berechnet werden

u(t)

U0

0

t

Bild 453b Eingangsspannung

u(t)

U0

0

t

Bild 453c Eingangsspannung

Aufgabe 420 Fuumlr das Uumlbertragungsglied in Bild 454 bestimme man a) die Uumlbertragungsfunktion G(s) b) die Ausgangsspannung ( )au t bei

0( ) ( ) ( 1)eu t U t t c) die Impulsantwort g(t)

ue(t) ua(t)R C

C


Aufgabe 421

ue(t) ua(t)

R

L

RR


Fuumlr das Uumlbertragungsglied in Bild 455 ist zu bestimmen

a) die Uumlbertragungsfunktion G(s) b) die Impulsantwort g(t) und c) die Sprungantwort h(t)

R L C

( )u t ( )i t


Aufgabe 422


Gegeben ist das in Bild 456 skizzierte Uumlbertragungsglied

Zu berechnen ist

a) Die Uumlbertragungsfunktion G(s)

b) die Gewichtsfunktion g(t) und

c) die Uumlbergangsfunktion h(t)

Aufgabe 423

ue(t) ua(t)

R

RC


Fuumlr das Uumlbertragungsglied von Bild 457 sollen die Uumlbertragungsfunktion

( )( )( )

a

e

U sG sU s

und die Ortskurve des Frequenzgangs F(ω) be-stimmt werden

45 Lineare partielle Differentialgleichungen

Bisher haben wir gewoumlhnliche lineare Differentialgleichungen behandelt die durch Laplace-Transformation geloumlst werden koumlnnen In aumlhnlicher Weise kann auch mit linearen partiellen Differentialgleichungen verfahren wer-den Diese Gleichungen enthalten zum Unterschied Funktionen mit mehreren Variablen (meis-tens Ort und Zeit) und deren partielle Ableitungen Als Beispiele seien genannt

1 Die Waumlrmeleitungsgleichung 2

2( ) ( )T x t T x tat x

dabei ist die Temperatur T(xt) eine Funktion von Ort x und Zeit t und a ist eine Konstante

2 Die Wellengleichung 2 2

22 2

( ) ( )y x t y x tct x

dabei ist y(xt) eine Schwingung abhaumlngig von Ort x und Zeit t und c ist die Ausbreitungs-geschwindigkeit Wie lineare partielle Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten mit der Laplace-Transformation geloumlst werden soll am Beispiel der Waumlrmeleitungsgleichung ausfuumlhrlich erlaumlu-tert werden Wir betrachten einen bei Null beginnenden unendlich langen Metallstab dessen Temperatur-verteilung durch T(xt) gegeben ist

R R

RC

e( )u t a ( )u t


Anfangsbedingung ( 0) AT x T fuumlr x gt 0 d h die Temperatur zum Zeitpunkt t = 0 auf der gesamten Laumlnge des Stabes ist TA Randbedingung (0 ) RT t T fuumlr t ge 0 d h an der Stelle x = 0 des Stabes ist die Temperatur gegeben durch TR Die Waumlrmeleitungsgleichung lautet

2

2( ) ( )T x t T x tat x

(424)

ac

Temperaturleitfaumlhigkeit λ = Waumlrmeleitfaumlhigkeit ρ = Dichte c = spez Waumlrmekapazitaumlt

Die Waumlrmeleitungsgleichung ist eine lineare partielle Differentialgleichung 2 Ordnung mit zwei unabhaumlngigen Variablen x und t Um die Differentialgleichung zu loumlsen wenden wir darauf die Laplace-Transformation an Wegen der Orts- und Zeitabhaumlngigkeit sind nacheinander zwei unabhaumlngige Transformationen auszufuumlhren Mit den Schritten (1) und (2) werden wir die Transformation in den Bildbereich durchfuumlhren Mit den Schritten (3) und (4) beschreiben wir die Ruumlcktransformation in den Orts- und Zeitbe-reich um die Loumlsungsfunktion T(xt) zu erhalten

(1) L-Transformation der Gl (424) bezuumlglich t

Notation 0

( ) ( ) ( )stt T x t T x t dt F x se

L (425)

Wie die Notation zeigt bezieht sich die L-Transformation nur auf die Koordinate t die in die Bildvariable s uumlbergeht Die Koordinate x bleibt davon unberuumlhrt und verhaumllt sich wie ein Pa-rameter Die Anwendung auf Gl (424) ergibt

2

2( ) ( )

t tT x t T x ta

t x

L L

Die linke Seite der Gleichung ergibt mit dem Differentiations-Satz ( ) ( ) ( 0)t

T x t sF x s T xt

L mit der Anfangsbedingung ( 0) AT x T

Der Term auf der rechten Seite der Gleichung enthaumllt die zweifache Ableitung nach x Unter der Voraussetzung dass die Ausfuumlhrung des Zeitintegrals mit der Differentiation nach dem Ort x vertauscht werden darf erhaumllt man

2 2 2 2 2

2 2 2 2 20 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( )st stt t

T x t T x t dt T x t dt T x t F x sx x x x x

e e

L L

TRTA

x 0

Bild 458 Eindimensionaler Metallstab TR = Randtemperatur TA = Stabtemperatur


An Stelle der partiellen Differentialgleichung (424) hat man jetzt nur noch eine gewoumlhnliche Differentialgleichung in x zu loumlsen Und die partielle Ableitung von F(xs) nach x kann durch die gewoumlhnliche Ableitung ersetzt werden

2

2( )( ) ( 0) d F x ssF x s T x a

dx (426)

(2) L-Transformation der Gl (426) bezuumlglich x

Notation 0

( ) ( ) ( )pxx F x s F x s dx G p se

L (427)

In dieser Notation bezieht sich die L-Transformation auf die Koordinate x die in die Bildvari-able p uumlbergeht Die Variable s verhaumllt sich hier als Parameter und wird von der Transformati-on nicht beeinfluszligt Die Anwendung auf Gl (426) ergibt

2

2( )( ) ( 0)x x x

d F x ss F x s T x adx

L L L (428)

Die einzelnen Terme bedeuten ( ) ( )x F x s G p sL nach Gl (427)

1( 0) ( )A Ax xT x T x Tp

L L ist die p-transformierte Anfangsbedingung

22

2( ) ( ) (0 ) (0 )x

d F x s p G p s pF s F sdx

L Diff-Satz fuumlr die 2-fache Ableitung nach x

1(0 ) (0 ) RtF s T t Ts

L ist die s-transformierte Randbedingung

0

( )(0 )x

dF x sF sdx

ist der s-transformierte Temperaturgradient am Stabanfang

Werden diese Terme in Gl (428) eingesetzt so erhaumllt man

21 1( ) ( ) (0 )A RsG p s T a p G p s pT F sp s

(429)

Loumlst man diese Gleichung nach G(ps) auf so hat man die vollstaumlndige Loumlsung der Waumlrmelei-tungsgleichung im Bildbereich gefunden

2 2 2(0 ) 1( )

( ) ( )R AT p F s TG p ss ap s a p s a p p s a

(430)

Alle Terme auf der rechten Seite von Gl (430) sind bekannt oder durch die Anfangs- und Randbedingung gegeben In den naumlchsten Schritten (3) und (4) wird gezeigt wie durch Ruumlcktransformation von G(ps) die Loumlsungsfunktion T(xt) im Orts- und Zeitbereich erhalten wird


(3) Ruumlcktransformation von Gl (430) in den x-Bereich

Notation 1 ( ) ( )x G p s F x s L

Die Variable p geht uumlber in die Variable x Die Variable s bleibt (wie ein Parameter) davon unberuumlhrt

1 1 1 12 2 2

1 1( ) (0 ) ( ) ( )

R Ax x x x

T p TG p s F ss ap s a p s a p p s a

L L L L

Saumlmtliche Terme der Gleichung koumlnnen nach der Korrespondenz-Tabelle 64 auf einfache Weise zuruumlck transformiert werden Dabei ist folgendes zu beachten Bei den in Nr 12 13 und 27 angegebenen Zuordnungen der Tabelle ist die Variable s durch p zu ersetzen ω entspricht s a und t entspricht x

Fuumlr Nr 13 erhaumllt man 2 cosh

p s xap s a

Entsprechend verfaumlhrt man mit den

anderen Korrespondenzen Durch Einsetzen der Korrespondenzen und zusammenfassen der Terme erhalten wir

( ) cosh (0 ) sinhR A AT T a Ts sF x s x F s xa as s s s

Um ( )F x s weiter zu vereinfachen verwenden wir die Umformung

1cosh2

x xs sa as xa e e

und 1sinh2

x xs sa as xa e e

und erhalten die Gleichung

1 1( ) (0 ) (0 )2 2

R A R A Ax xs sa aT T a T T a TF x s F s F ss s s s s

e e

(431)

In Gl (431) ist (0 )F s noch zu bestimmen Da ( )F x s die Bildfunktion von T(xt) ist gilt nach Satz 329 lim ( ) ( 0)

As

sF x s T x T Wir erhalten

1 1lim (0 ) (0 )2 2R A R A A As

x xs sa aT T F s as T T F s as T Te e

Das ist aber nur dann moumlglich wenn der Koeffizient von xsae verschwindet wenn also gilt

(0 ) R AT TF sas Setzen wir das in Gl (431) ein so erhalten wir schlieszliglich

( ) A R A xsaT T TF x ss s

e (432)

Gl (432) ist die vollstaumlndige Loumlsung der Differentialgleichung (426) was sich durch Einset-zen in die Gl (426) leicht verifizieren laumlsst Im letzten Schritt ist Gl (432) noch in den Zeitbereich t zuruumlck zu transformieren


T(xt)

x

t

x1

t1 100 degC

0 degC

(4) Ruumlcktransformation von Gl (432) in den t-Bereich

Notation 1 ( ) ( )t F x s T x t L

Die Variable s geht uumlber in die Variable t Die Variable x bleibt davon unbeeinfluszligt

1 1 11 1( ) ( )t A t R A txsaF x s T T T

s se

L L L

Mit Nr2 und Nr 51 der Korrespondenz-Tabelle 74 erhalten wir die vollstaumlndige Loumlsung der Waumlrmeleitungsgleichung unter Einbeziehung von Anfangs- und Randwert

( ) ( ) 12A R A

xT x t T T T erfat

fuumlr t gt 0 x ge 0 (433)

In Bild 459 ist die Temperaturverteilung der Gl (433) als Funktion von Ort und Zeit dar-gestellt Die Anfangswerte TA und TR koumlnnen unabhaumlngig voneinander beliebig gewaumlhlt wer-den Betrachtet man eine Trajektorie an einer beliebigen Stelle x1 in t-Richtung so ist zu sehen wie sich der Metallstab an der Stelle x1 mit der Zeit aufheizt Betrachtet man alternativ dazu eine Trajektorie zu einer festgehaltenen Zeit t1 in x-Richtung so sieht man wie sich die Temperatur entlang des Metallstabes ausbreitet

Bild 459 Temperaturverlauf T(xt) als Funktion von Ort und Zeit fuumlr TR = 100 ordmC TA = 0 ordmC und a = 1

5 Zusammenschaltung von LTI-Systemen Zusammenfassung Die Zusammenschaltung von Teilsystemen zu einem Gesamtsystem ge-houmlrt zu den Grundlagen der Systemtheorie Durch Kombination von Teilsystemen lassen sich beliebige komplexe Strukturen aufbauen Vor allem die ruumlckgekoppelten Systeme zeigen sehr deutlich dass ein System mehr ist als die Summe seiner Teile Blockdiagramme geben eine Information uumlber die innere Struktur und lassen den Signalfluss zwischen den Teilsystemen erkennen Durch Anwendung der Signal- bzw Systemanalyse kann von einem Blockdiagramm die beschreibende Netzwerkgleichung im Zeitbereich abgeleitet werden Umgekehrt kann von einer Netzwerkgleichung ein Blockdiagramm entworfen werden Mit dem Versetzen von Struk-turelementen in den Diagrammen koumlnnen Aumlquivalenzumformungen zur Optimierung vorge-nommen werden ohne dass sich das Gesamtverhalten des Systems aumlndert LTI-Systeme die wir hier ausschlieszliglich betrachten sind lineare zeitinvariante Systeme deren Eigenschaften wir in Abschnitt 44 bereits behandelt haben In diesem Abschnitt werden wir Moumlglichkeiten zur Beschreibung von zusammen geschalteten Systemen kennen lernen Auch wird hier erneut deutlich wie vorteilhaft sich die Transformation vom Zeitbereich in den Bildbereich erweist Man gewinnt auf diese Weise die wichtige Uumlbertragungsfunktion des Gesamtsystems und dessen Impuls- und Frequenzverhalten Rein formal stellen wir ein System durch einen Block dar der die Systemfunktion beinhaltet Die Pfeile symbolisieren den Ein- und Ausgang des Systems mit den zugehoumlrigen Ein- und Ausgangsfunktionen Die Signale des Zeitbereichs werden mit den Laplace-Korrespondenzen

( ) ( )x t X s und ( ) ( )y t Y s zu Signalen des Bildbereichs

Werden mehrere LTI-Teilsysteme additiv zu einem Gesamtsystem verbunden so ist wegen der Linearitaumlt der Teilsysteme das Gesamtsystem wieder ein LTI-System Dieses kann daher wie-der mit einer Systemfunktion beschrieben werden Voraussetzung fuumlr die Guumlltigkeit der herge-leiteten Beziehungen ist die ruumlckwirkungsfreie Kopplung der Teilsysteme Diese wird hier stets vorausgesetzt

51 In Reihe geschaltete Systeme Wir betrachten hier zwei in Reihe geschaltete Teilsysteme mit ihren Uumlbertragungsfunktionen

Durch die Reihen-Kopplung wird das Ausgangssignal Y1(s) von Teilsystem 1 zum Eingangs-signal von Teilsystem 2 Dafuumlr gilt

y(t) x(t) G(s)

Y(s) X(s)

G1(s) G2(s) X(s) Y1(s) Y(s)

Bild 51 Reihenschaltung von 2 Teilsystemen


51 In Reihe geschaltete Systeme 161

1 1( ) ( ) ( )Y s G s X s und 2 1( ) ( ) ( )Y s G s Y s

Als Kombination von beiden Teilsystemen erhaumllt man

2 1 2 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )Y s G s Y s G s G s X s

Die Gesamtsystemfunktion G(s) ist das Verhaumlltnis von Ausgangs- zu Eingangssignal

2 1 1 2( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

Y sG s G s G s G s G sX s

(51)

Da in Gl (51) das Produkt von G1(s) und G2(s) steht kann die Anordnung beider Teilsysteme vertauscht werden Die Gesamtsystemfunktion aumlndert sich dadurch nicht

Reihenschaltung von n Teilsystemen Die Berechnung fuumlr n Teilsysteme erfolgt in gleicher Weise wie fuumlr 2 Teilsysteme gezeigt Fuumlr die Gesamtsystemfunktion erhaumllt man

1 2 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )

k

n

nG s G s G s G s G sk (52)

Bei mehreren in Serie geschalteten Teilsystemen ist die Gesamtsystemfunktion gleich dem Produkt der Uumlbertragungsfunktionen der Teilsysteme

Die Beziehung (52) ist kommutativ Die Reihenfolge der Teilsysteme darf bei der Reihen-kopplung beliebig vertauscht werden

Beispiel 51 Zwei Teilsysteme 1 Ordnung ein RC-Hochpaszlig und ein RC-Tiefpaszlig werden ruumlck-wirkungsfrei in Reihe geschaltet Welche Uumlbertragungsfunktion hat das Gesamtsystem

Nach Gl (51) erhaumllt man

22 2

1

1 1 1 2 1( )

( )RC RC RC

RC RC RC RC RC

s ssG s

s s s s s

G1(s) Gn(s) G2(s) X(s) Y(s)

Bild 52 Reihenschaltung von n Teilsystemen

Y(s) X(s) 1 1( )

R C

sG ss

2

1

1( ) RC

RCG s

s

Bild 53 Hochpaszlig und Tiefpaszlig in Reihe ergibt einen Bandpaszlig

162 5 Zusammenschaltung von LTI-Systemen

Das Gesamtsystem ist ein Bandpaszlig Das System ist von 2 Ordnung da der Nenner von G(s) ein Polynom 2 Grades ist Bemerkung Bei Bild 53 handelt es sich um eine ruumlckwirkungsfreie Zusammenschaltung von 2 elektrischen Teilsystemen Bei elektrischen Netzwerken laumlsst sich eine ruumlckwirkungsfreie Zusammenschaltung mit Impedanzwandlern realisieren Diese werden zwischen die einzel-nen Teilsysteme geschaltet Impedanzwandler haben einen hohen Eingangswiderstand einen niedrigen Ausgangswider-stand und eine Verstaumlrkung v = 1 Dadurch ist gewaumlhrleistet dass sich die Teilsysteme nicht gegenseitig belasten und die Ein- und Ausgangssignale nicht gedaumlmpft werden Eine nicht ruumlckwirkungsfreie Zusammenschaltung zeigt Bild 54 Das in Bild 54 gezeigte Schaltbild besteht ebenfalls aus einer Kombination von Hoch- und Tiefpaszlig wie in Bild 53 Die Zusammenschaltung ist jedoch nicht ruumlckwirkungsfrei Deshalb unterscheiden sich die Uumlbertragungsfunktionen auch voneinander

Die Uumlbertragungsfunktion lautet nach Aufgabe 416c

Hier steht im Nenner 3RC s gegenuumlber 2

RC s in G(s) von Beispiel 51

Welchen Unterschied das macht sehen wir im naumlchsten Beispiel

Beispiel 52 Am Eingang der Schaltungen von Bild 53 bzw Bild 55 liegt das Rechtecksignal x(t) von Bild 55 Welches Signal erscheint am Ausgang beider Systeme

x(t) kann dargestellt werden als Uumlberlagerung von zwei Sprungfunktionen ( ) ( ) ( 1)x t t t

Es gilt die Korrespondenz 1 ( ) ( ) ( 1) ( )

sex t t t X s s

Als Ausgangssignal nach Bild 53 erhaumllt man wenn RC = 1 gesetzt wird

2 2 21 1( ) ( ) ( )

( 1) ( 1) ( 1)

s ss e eY s G s X s ss s s

22 3 1( ) RC

RC RC

sG s

s s

1

1 0 t

x(t)


Bild 54 Reihenschaltung aus Hoch- und Tiefpaszlig nicht ruumlckwirkungsfrei

ua(t)ue(t)R

C R

C

52 Parallel geschaltete Systeme 163

Die Ruumlcktransformation ergibt unter Beachtung des Verschiebungssatzes die Systemreaktion im Zeitbereich

( 1)( ) ( ) ( 1) ( 1)t ty t t e t t e t

Als Ausgangssignal der Schaltung von Bild 54 erhaumllt man wenn RC = 1 gesetzt wird

2 2 2

1 1( ) 3 1 3 1 3 1

s ses eY sss s s s s s

Die Ruumlcktransformation in den Zeitbereich kann mit Korrespondenz 18 von Tabelle 74 durch-gefuumlhrt werden Mit 3

2 und 20 1 ergibt sich

3 32 2

( 1)5 52 2

2( ) sinh( ) ( ) sinh( ( 1)) ( 1)5

t ty t t t t te e

Der zeitliche Verlauf dieser Funktion ist dem Verlauf der Funktion nach Bild 56 aumlhnlich Der Unterschied liegt hauptsaumlchlich in der Amplitudenhoumlhe die bei der Schaltung von Bild 55 niedriger ausfaumlllt als Folge der Energiedissipation

52 Parallel geschaltete Systeme

Beide Teilsysteme erhalten das gleiche Eingangssignal Die Ausgangssignale y1(t) und y2(t) werden uumlber ein Summierglied zum Gesamtsignal y(t) addiert

Aufgrund der Linearitaumlt der Teilsysteme gelten folgende Beziehungen

Y(s) = Y1(s) + Y2(s) = G1(s)X(s) + G2(s)X(s)

Y(s) = [G1(s) + G2(s)] X(s)

t 1

y(t)

Bild 56 Systemantwort y(t)

Y2(s)

Y1(s) G1(s)

Y(s)

G2(s)

X(s)

Bild 57 Parallelschaltung zweier Systeme


Aus dem Verhaumlltnis von Ausgangs- zu Eingangssignal ergibt sich die Gesamtsystemfunktion als Summe der Teilsystemfunktionen

1 2( ) ( ) ( ) ( )( )

Y s G s G s G sX s

(53)

Fuumlr die Parallelschaltung von n Teilsystemen erhaumllt man

1 2 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )

n

kknG s G s G s G s G s

(54)

Die Gesamtsystemfunktion G(s) ist gleich der Summe der Uumlbertragungsfunktionen der Teilsys-teme Gk(s)

Bemerkung Mathematisch gesehen entspricht die Summe (54) einer Partialbruchzerlegung der Gesamtsystemfunktion Das bedeutet Kann von einer gegebenen Systemfunktion eine Partialbruchzerlegung durchgefuumlhrt werden so kann das System durch eine Parallelschaltung von Teilsystemen dargestellt werden

53 Ruumlckgekoppelte Systeme

Allgemein spricht man von Ruumlckkopplung (feedback) wenn das Ausgangssignal von System 1 uumlber ein weiteres System auf den Eingang des Systems 1 zuruumlckgefuumlhrt wird

Wie in Bild 58 zu sehen ist kann das ruumlckgefuumlhrte Signal R(s) an der Additionsstelle entweder zum Eingangssignal X(s) addiert oder subtrahiert werden Eine Signaladdition (+) wird Mitkopplung genannt Eine Mitkopplung wirkt anfachend auf das System was im Allgemeinen mit Instabilisierung verbunden ist Eine Signalsubtraktion (ndash) heiszligt Gegenkopplung Diese wirkt daumlmpfend und damit stabilisie-rend auf das System Die folgende Berechnung soll fuumlr den Fall der Gegenkopplung durchgefuumlhrt werden Fuumlr die Mitkopplung braucht nur das Vorzeichen vertauscht werden

Nach Bild 58 gilt ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )RU s X s R s X s G s Y s

+

Y(s)

X(s) U(s) G1(s)

GR(s)R(s)

Bild 58 Ruumlckgekoppeltes System

53 Ruumlckgekoppelte Systeme 165

U(s) ist das Eingangssignal von System G1(s) es erscheint am Ausgang als

1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )RY s G s U s G s X s R s G s X s G s Y s Nach Separation der Variablen 1 11 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) RG s G s Y s G s X s erhaumllt man die System-funktion bei Gegenkopplung

1

1

( )( ) 1 ( ) ( ) R

G sG sG s G s

(55)

Durch Austausch des Vorzeichens in (55) erhaumllt man die Systemfunktion bei

Mitkopplung 1

1

( )( ) 1 ( ) ( ) R

G sG sG s G s

(56)

Ruumlckgekoppelte Systeme sind in Natur und Technik weit verbreitet Man findet sie bei einer groszligen Zahl technischer Anwendungen z B der elektrischen Schaltungstechnik der Rege-lungs- und Automatisierungstechnik oder der Kommunikationstechnik Aber auch auf anderen Gebieten sind ruumlckgekoppelte Systeme haumlufig anzutreffen etwa bei biologischen Systemen in der Oumlkologie (Umweltverhalten) sowie der Oumlkonomie (Wirtschaftskreislauf) und nicht zu vergessen auch in der Psychologie

Beispiel 53 Fuumlr das ruumlckgekoppelte System nach Bild 59 ist die Uumlbertragungsfunktion zu be-stimmen Welches Signal erscheint am Ausgang wenn am Eingang die Sprungfunktion x(t) = (t) anliegt

An der Additionsstelle wird das Eingangssignal X(s) vom Ausgangssingnal Y(s) subtrahiert Das Differenzsignal gelangt an den Eingang von G(s) und erscheint danach als

1( ) ( ) ( )( 2)Y s X s Y ss s Eine Umformung ergibt 1 11 ( ) ( )( 2) ( 2)Y s X ss s s s

Somit lautet die Uumlbertragungsfunktion des Systems

2( ) 1 1( ) ( ) ( 1)11 ( 2)( 2)

Y sG sX s ss ss s

Fuumlr das Eingangssignal gilt die Korrespondenz (t) 1s

Y(s)

ndash

X(s) 1( ) ( 2)G s s s

Bild 59 System mit Gegenkopplung


Als Systemantwort im Bildbereich erhaumllt man

2 21 1 1( ) ( )

( 1) ( 1)Y s X s

ss s

Ruumlcktransformation in den Zeitbereich ergibt die

Sprungantwort 12

1( ) 1 (1 )( 1)

ty t t es s

L

54 Elementare Uumlbertragungsglieder

Elementare Uumlbertragungsglieder werden hauptsaumlchlich fuumlr Standardaufgaben verwendet etwa zum Verstaumlrken oder Abschwaumlchen eines Signalpegels oder zum Differenzieren bzw Integrie-ren eines Signalverlaufs

1 P-Glied Proportional-Glied

Zeitbereich y(t) = kPx(t) Y(s) = kPX(s) Bildbereich

Uumlbertragungsfunktion ( ) P PG s k kP = Proportionalitaumltskonstante

Bild 511 P-Glied mit Sprungantwort

2 I-Glied Integrier-Glied

Zeitbereich 0

( ) ( ) t

Iy t k x t dt Bildbereich

Uumlbertragungsfunktion ( ) II

kG ss

I

1 = Integrationszeitkonstantek

( ) ( )IkY s X ss

h(t)

t

kP ( ) Ph t kε(t) GP(s)

( ) Ih t k tε(t) GI(s)

t

h(t)

Bild 512 I-Glied mit Sprungantwort

Bild 510

54 Elementare Uumlbertragungsglieder 167

3 D-Glied Differenzier-Glied

Zeitbereich

( ) ( )Ddy t k x tdt

Bildbereich

Uumlbertragungsfunktion ( ) D DG s k s kD = Differenzierzeitkonstante

Bild 513 D-Glied mit Sprungantwort

4 PI-Glied Proportional-Integrier-Glied (Parallelschaltung von P- und I-Glied)

0

( ) ( ) ( ) t

P Iy t k x t k x t dt ( ) ( ) ( )IP

kY s k X s X ss

Uumlbertragungsfunktion ( ) IPI P

kG s ks

Bild 514 PI-Glied mit Sprungantwort

5 PID-Glied Proportional-Differenzier-Integrier-Glied (entspricht einer Parallelschaltung von P- I- und D-Glied)

0

( )( ) ( ) ( ) D

t

p Idx ty t k x t k x t dt k

dt ( ) ( ) ( ) ( )D

IP

kY s k X s X s k sX ss

Uumlbertragungsfunktion ( ) IPID P D

kG s k k ss

Bild 515 PID-Glied mit Sprungantwort

( ) ( )DY s k s X s

h(t)

t

h(t)

t

h(t)

t

( ) ( )P I Dh t k k t k t ε(t) GPID(s)

( ) P Ih t k k t ε(t) GPI(s)

( ) ( )Dh t k tε(t) GD(s)


6 PT1-Glied Verzoumlgerungsglied 1 Ordnung wird beschrieben durch eine Differentialglei-chung 1 Ordnung mit T als Zeitkonstante

( ) ( ) ( ) PTy t y t k x t ( ) ( ) ( ) PTsY s Y s k X s

Uumlbertragungsfunktion 1( )

1 P

PTkG s

sT

Bild 516 PT1-Glied mit Sprungantwort

Ein typisches PT1-Glied ist ein RC-Tiefpaszlig mit der Zeitkonstante T = RC

55 Arbeiten mit Block-Diagrammen

551 Von der Netzwerkgleichung zum Block-Diagramm Ein LTI-System wird im Zeitbereich beschrieben durch eine lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten die als Netzwerkgleichung bezeichnet wird Die allgemeine Form lautet

0 1 2 0 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a y t a y t a y t b x t b x t (57)

Durch Laplace-Transformation wird aus der Netzwerkgleichung eine algebraische Gleichung im Bildbereich

20 1 2 0 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a Y s a sY s a s Y s b X s b sX s (58)

Durch geeignete Umformung der Funktionsterme und unter Einbeziehung elementarer Uumlber-tragungsglieder (siehe Abschnitt 54) kann aus der algebraischen Gleichung des Bildbereichs eine Blockstruktur entworfen werden Die Vorgehensweise soll anhand des folgenden Bei-spiels erlaumlutert werden Beispiel 54 Fuumlr ein System 2 Ordnung soll ein Block-Diagramm entworfen werden wenn folgende Netzwerkgleichung gegeben ist

2( ) 2 ( ) ( ) ( )I I Iy t k y t k y t k x t (59)

mit kI als reziproker Zeitkonstante und den Anfangsbedingungen (0) (0) (0) 0 y y x

Die zugehoumlrige Bildgleichung hat folgende Gestalt 2 2( ) 2 ( ) ( ) ( )I I Is Y s k sY s k Y s k sX s (510)

Eine Umformung ergibt ( ) ( ) (2 ) ( )

I Ik kY s X s Y ss s

h(t)

t

( ) (1 )TtPh t k e ε(t)

GPT1(s)

55 Arbeiten mit Block-Diagrammen 169

Unter Verwendung des Basiselements Integrierglied mit ( ) II

kG ss

ergibt sich die Form

( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( )I IY s X s G s Y s G s (511)

Wir interpretieren nun Gl (511) auf folgende Weise Den Term (2 + GI(s) ) koumlnnen wir auf-fassen als Parallelschaltung eines Proportionalgliedes mit GP(s) = 2 und eines Integrierglieds mit GI(s) Das Parallelglied bezeichnen wir mit GR(s) = 2 + GI(s) Nach einer Umstellung der Variablen erhaumllt Gl (511) die Form 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )R I IG s G s Y s G s X s

Die Form dieser Gleichung entspricht einem ruumlckgekoppelten System mit Gegenkopplung nach Gl (55) Dazu kann folgendes Block-Diagramm entworfen werden Das Block-Diagramm von Bild 517 ist nicht die einzige Moumlglichkeit die Netzwerkgleichung (59) zu realisieren Wie man die Bildgleichung Gl (510) interpretiert mit oder ohne Basis-elemente ist dem Anwender zu uumlberlassen Letzten Endes kommt es darauf an den optimalen Entwurf zu finden Beispiel 55 Von der Netzwerkgleichung (59) soll mit einer alternativen Methode ein Block-Diagramm entworfen werden

Dazu bringen wir Gl (510) auf folgende Gestalt 2 2( 2 ) ( ) ( )I I Is k s k Y s k sX s und er-

halten 2 2( ) 2

I

I I

k sG ss k s k

Nach Umformung mit Basis-Uumlbertragungsgliedern erhalten wir

( )( ) 1 ( ) ( ) 1 2

II

I I I R

kG ssG s

k k G s G ss s

(512)

X(s) Y(s)

( ) II

kG s

s

( ) 2PG s

( ) II

kG s

s

Bild 517 Block-Diagramm der Bildgleichung (510)


Gl (512) identifiziert man wieder als ruumlckgekoppeltes System mit Gegenkopplung und mit Bild 518 als zugehoumlrigem Block-Diagramm Es ist leicht zu erkennen dass Bild 518 und Bild 517 strukturgleich sind

552 Vom Block-Diagramm zur Netzwerkgleichung und Uumlbertragungsfunktion Um von einer gegebenen Block-Struktur zur Netzwerkgleichung zu kommen sollen zwei Methoden erlaumlutert werden nach denen man vorgehen kann Bei der Signalanalyse verfolgt man schrittweise den Weg des Signals vom Eingang bis zum Ausgang des Systems Dabei sind saumlmtliche Signalumwandlungen durch die Teilsysteme zu beachten Hat man den funktionalen Zusammenhang von Ausgangs- und Einganssignal ermit-telt kann in gewohnter Weise die Uumlbertragungsfunktion berechnet bzw die Netzwerkglei-chung angegeben werden Bei der Systemanalyse werden einzelne Teilbloumlcke zu uumlbergeordneten Bloumlcken zusammenge-fasst Dabei werden die Methoden zur Bildung einer Reihen- Parallel- oder Ruumlckkopplungs-schaltung angewandt Das urspruumlngliche System wird so auf ein reduziertes System zuruumlckge-fuumlhrt Durch sukzessives Zusammenfassen der ermittelten Terme ergibt sich die Systemfunkti-on G(s) und daraus durch Ruumlcktransformation in den Zeitbereich die Netzwerkgleichung

Beispiel 56 Fuumlr das angegebene Blockdiagramm soll die Uumlbertragungsfunktion bestimmt werden

X(s) Y(s)

( ) 2RIk

G ss

( ) II

kG s

s

Bild 518 Ruumlckgekoppeltes System mit Gegenkopplung

G1(s)

G4(s)

G5(s)

G2(s) G3(s)

Bild 519 Block-Diagramm

X(s) U(s) V(s) W(s) Y(s)


Signalanalyse Wir betrachten den Verlauf der Bildsignale An der ersten Additionsstelle wird das Eingangssignal X(s) vom ruumlckgekoppelten Signal G5(s)Y(s) subtrahiert Das Differenzsignal U(s) = X(s) ndash G5(s)Y(s) durchlaumluft G1(s) und erscheint als G1(s)U(s) am Eingang der zweiten Additionsstelle Dort wird es vom ruumlckgekoppelten Signal G4(s)W(s) subtrahiert und gelangt als

V(s) = G1(s)U(s) ndash G4(s)W(s) an den Eingang von G2(s)

Schlieszliglich wird W(s)=G2(s)V(s) uumlber G3(s) zum Ausgangssignal Y(s) = G3(s)W(s)

Es gelten die Gleichungen

V(s) = G1(s)U(s) ndash G4(s)W(s) = G1(s)U(s) ndash G4(s)G2(s)V(s)

Daraus folgt Und fuumlr Y(s) erhaumllt man

3 2 13 3 2 5

2 4

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 ( ) ( )

G s G s G sY s G s W s G s G s V s X s G s Y sG s G s

Nach Separation der Variablen [1 + G2(s)G4(s) + G1(s)G2(s)G3(s)G5(s)]Y(s) = G1(s)G2(s)G3(s)X(s)

erhalten wir die Uumlbertragungsfunktion

1 2 3

2 4 1 2 3 5

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Y s G s G s G sG sX s G s G s G s G s G s G s

(513a)

Systemanalyse In Bild 519 kann G2(s) und G4(s) als ruumlckgekoppeltes System zu

224

2 4

( )( ) 1 ( ) ( )

G sG sG s G s

zusammengefasst werden so dass sich die reduzierte Struktur nach

Bild 520 ergibt

In Bild 520 sind G1(s) G24(s) und G3(s) in Reihe geschaltet was nach Gl (52) dem Produkt der 3 Teilsysteme G14(s) = G1(s)G24(s)G3(s) entspricht Das System laumlsst sich damit weiter reduzieren Das verbleibende System nach Bild 521 ist ein ruumlckgekoppeltes System mit Gegenkopplung und der Uumlbertragungsfunktion

(513b)

1

2 4

( )( ) ( )1 ( ) ( )

G sV s U sG s G s

14 1 2 3

2 4 1 2 3 514 5

( ) ( ) ( ) ( )( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 ( ) ( )

G s G s G s G sG sG s G s G s G s G s G sG s G s

X(s) Y(s) G1(s)

G5(s)

G24(s) G3(s)

Bild 520 Erstes reduziertes Blockbild


Die Systemfunktionen nach Gl (513a) und Gl (513b) stimmen uumlberein und zeigen die Gleichwertigkeit beider Berechnungsmethoden

Beispiel 57 Fuumlr das in Bild 522 gezeigte Block-Diagramm ist zu bestimmen a) die Netzwerkgleichung die das System im Zeitbereich beschreibt b) von welcher Ordnung das System ist c) die Systemstabilitaumlt fuumlr a = 1 kI = 1 und d beliebig

Zusammenfassen der Parallelterme 2 Ik ds mit dem nachfolgenden Integrierglied Iks ergibt

( ) (2 )I IR

k kG s ds s Das verbleibende Diagramm ist ein einfaches ruumlckgekoppeltes System

( ) ( ) ( ) ( ) RY s a X s G s Y s Nach Separation der Variablen erhaumllt man die Uumlbertragungsfunktion

2

2 2( )

1 ( ) 2 R I I

a sG ssaG s dk s ka

(514)

Das System ist von 2 Ordnung da der Nenner von G(s) eine quadratische Funktion ist

Ruumlcktransformation der Gl (514)

22 2 ( ) ( )I Is dk s k Y s s X sa

mit den Anfangsbedingungen und ergibt die (0) (0) = 0 y y (0) (0) = 0x x

X(s) Y(s) G14(s)

G5(s)

Bild 521 Zweites reduziertes Blockbild

y(t) x(t) a

Iks

Iks

2d

Bild 522 Block-Diagramm zu Beispiel 57

56 Stabilisierung durch Ruumlckkopplung 173

Netzwerkgleichung 1 ( ) 2 ( ) ( ) ( )I Iy t dk y t k y t x ta

Zur Stabilitaumlt Wir bestimmen die Lage der Pole aus dem Nennerpolynom von G(s) fuumlr a = 1 und kI = 1 Das ergibt 2 2 1 0s ds mit den Polstellen 2

1 2 1s d d Die Lage der Polstellen wird durch den Wert d des Proportional-Glieds in Bild 522 bestimmt Fuumlr d gt 0 liegen saumlmtliche Pole in der linken Halbebene des PN-Plans das System ist stabil Fuumlr d = 0 liegen die Pole auf der imaginaumlren Achse des PN-Plans das System ist grenzstabil Fuumlr d lt 0 liegen saumlmtliche Pole in der rechten Halbebene des PN-Plans das System ist instabil

56 Stabilisierung durch Ruumlckkopplung

Wir betrachten ein System mit der Uumlbertragungsfunktion

11( ) 0

G s a a

s a

G1(s) hat einen Pol bei s = a in der rechten Halbebene des PN-Plans und ist daher instabil Durch Gegenkopplung mit einem P-Glied (Abschnitt 54) 0p pk k soll das System stabilisiert werden Nach Gl (55) gilt fuumlr das ruumlckgekoppelte System

1

1

1( ) 1( ) 11 ( ) ( ) 1 P PP

G s s aG sG s G s s a kks a

G(s) besitzt jetzt einen Pol bei ps a k

Fuumlr kP = 0 ist die Ruumlckkopplung nicht wirksam und der Pol liegt weiterhin bei s = a in der rechten Halbebene (RHE) des PN-Plans Mit zunehmenden Werten von kP wandert der Pol aus der rechten Halbebene nach links und befin-det sich fuumlr kP gt a in der linken Halbebene (LHE) des PN-Plans Fuumlr das urspruumlnglich instabile System konnte durch eine geeignete Gegenkopplung Stabilitaumlt erreicht werden

0

kP gta kP =0

a

Im(s)

Re(s)

RHE LHE

Bild 524 PN-Plan

y(t)

x(t) 1

1( )

G s s a

GP(s)= kP

Bild 523 Stabilisierung durch Ruumlckkopplung


Instabile Systeme houmlherer Ordnung erfordern einen groumlszligeren Aufwand um Stabilitaumlt zu erreichen Wir betrachten dazu ein System 2 Ordnung mit der Uumlbertragungsfunktion

1 2 2( ) 0 bG s a b a b

s a

G1(s) besitzt zwei Pole s12 = plusmn a wovon einer in der linken der andere in der rechten Halb-ebene des PN-Plans liegt Das System ist daher instabil

a) Wir versuchen eine Stabilisierung durch Gegenkopplung mit einem P-Glied

Als Uumlbertragungsfunktion nach Bild 525 erhaumllt man

2 2

2 22 2

( ) 1 PP

bbs aG s b s a bkk

s a

Die Polstellen von s2 a2+ bkP = 0 liegen bei 21 2 Ps a bk

Fuumlr2

0 Pak b liegt stets eine Polstelle in der rechten Halbebene des PN-Plans das System

bleibt instabil Fuumlr 2

Pak b liegt eine Polstelle bei s = 0 alle weiteren liegen auf der imaginauml-

ren Achse des PN-Plans Es kann nur Grenzstabilitaumlt erreicht werden

b) Stabilisierung durch Ruumlckkopplung mit einem Proportional-Differenzier Glied Ein PD-Glied hat die Uumlbertragungsfunktion ( )PD P DG s k k s Damit soll das System erneut auf Stabilitaumlt untersucht werden

y(t)

x(t)

kP

1 2 2( )

bG s

s a

Bild 525 Proportionale Signalruumlckfuumlhrung

y(t)

x(t)

GPD(s)

1 2 2( )

bG s

s a

Bild 526 Signalruumlckfuumlhrung mit einem PD-Glied

57 Versetzen von Strukturelementen in Blockschaltbildern 175


2 2

2 22 2

( ) 1 ( ) D PP D

bbs aG s b s bk s bk ak k s

s a

Die Polstellen des Nennerpolynoms s2 + bkDs + bkP a2 = 0 liegen nun bei

2 21 2

1 ( ) 4( )2 D D Ps bk bk bk a

Damit alle Polstellen in der linken Halbebene des PN-Plans liegen muumlssen zwei Bedingungen erfuumlllt sein (1) bkD 0 mit kD ne 0 denn fuumlr kD = 0 wuumlrde aus dem PD-Glied ein P-Glied werden

(2) 2 2 ( ) 4( ) D D Pbk bk bk a

Aus Gleichung (2) erhaumllt man 4(bkP ndash a2) 0 2

Pak b

Eine Stabilisierung des urspruumlnglich instabilen Systems gelingt unter der Bedingung kD 0

und 2

Pak b

57 Versetzen von Strukturelementen in Blockschaltbildern In Blockschaltbildern koumlnnen Strukturelemente nach bestimmten Regeln versetzt werden ohne dass dabei die Systemfunktion geaumlndert wird

571 G(s) uumlber eine Additionsstelle vorwaumlrts schieben Der G(s)-Block in Bild 527a soll uumlber das -Glied nach rechts verschoben werden Bild 527b zeigt die gleichwertige Struktur nach der Verschiebung

Beweis Nach Bild 527a gilt Y(s) = G(s)X1(s) + X2(s)

Nach Bild 527b gilt 1 2 1 21( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

Y s G s X s X s G s X s X s

G sBeide Gleichungen stimmen uumlberein die Strukturen sind gleichwertig

x2(t)

y(t) x1(t)

+ G(s)

Bild 527a G(s) vorwaumlrts schieben

x2(t)

y(t) x1(t)

+

1G(s)

G(s)

Bild 527b Aumlquivaltente Struktur


572 G(s) uumlber eine Additionsstelle ruumlckwaumlrts schieben Der G(s)-Block in Bild 480a soll uumlber das -Glied nach links verschoben werden Bild 480b zeigt die gleichwertige Struktur nach der Verschiebung

Beweis Nach Bild 528a gilt Y(s) = G(s)[X1(s) + X2(s)] Nach Bild 528b gilt Y(s) = G(s)X1(s) + G(s)X2(s) Die Uumlbereinstimmung beider Gleichungen zeigt die Gleichwertigkeit beider Strukturen

573 G(s) uumlber eine Verzweigungsstelle vorwaumlrts schieben Die Identitaumlt wird wie oben gezeigt

574 G(s) uumlber eine Verzweigungsstelle ruumlckwaumlrts schieben

575 Ruumlckkopplungskreis zusammenfassen Identitaumlt siehe Abschnitt 53

x(t) y(t)

y(t)

G(s) y(t)

y(t)

x(t)

G(s)

G(s)

x(t) G(s) y(t)

x(t)

x(t)

1G(s)

G(s)

x(t)

y(t)

x2(t)

y(t) x1(t)

+ G(s)

Bild 528a G(s) ruumlckwaumlrts schieben

x2(t)

y(t) x1(t)

+

G(s)

G(s)


x(t) y(t)

+ G(s) ndash

( )1 ( )

G sG s

y(t) x(t)


58 Aufgaben zu Abschnitt 5


Aufgabe 51 Ein Integrier-Glied erhaumllt am Eingang eine Sinus-Spannung x(t) = sin(ωt) Welches Signal wird am Ausgang erhalten

Aufgabe 52 Das Blockschaltbild 52 zeigt ein System zweier Integrier-Glieder mit den Zeit-konstanten T1 und T2 An den Ausgaumlngen dieser Schaltung koumlnnen drei verschiedene Filterar-ten abgegriffen werden Es ist zu zeigen 1 Ausgang (a) ist ein Tiefpaszlig-Filter 2 Ordnung 2 Ausgang (b) ist ein Bandpaszlig-Filter 2 Ordnung 3 Ausgang (c) ist ein Hochpaszlig-Filter 2 Ordnung

Aufgabe 53 Fuumlr das in Bild 53 gezeigte Block-Diagramm ist zu bestimmen a) die Uumlbertragungsfunktion des Gesamtsystems b) Fuumlr 1

11G s und 2

1G s a

bestimme man fuumlr welche a das System stabil ist

y(t) x(t) ( ) I

Iks

G s

Aufgabe 51 Integrierglied

a x(t)

ndash

1

1sT

2

1sT

ndash

b

c

Aufgabe 52 Mehrfachfilter

u(t) x(t) y(t)

G1(s) G2(s)

Aufgabe 53 System mit Mehrfachruumlckfuumlhrung


Aufgabe 54 Das System 1 2( ) ( 2) 1

sG ss

hat zwei Polstellen s12 = 2 plusmn j in der rechten

Halbebene des PN-Plans und ist daher instabil Es erhaumllt zur Stabilisierung eine Proportional-ruumlckfuumlhrung GP(s) = kP mit einem Verstaumlrkungsfaktor kP 0 a) Bestimmen Sie das zugehoumlrige Block-Diagramm b) Fuumlr welche Werte kP gelingt eine Stabilisierung Aufgabe 55 Das gegebene Blockschaltbild zeigt den Entwurf eines LTI-Systems mit zwei P-Gliedern a b 0 und einem DT1-Glied mit der Zeitkonstanten T 0 Es ist zu bestimmen a) Die Uumlbertragungsfunktion des Systems b) Fuumlr welche Werte von a b wird Stabilitaumlt erreicht c) Die Systemantwort auf die Eingangsfunktion x(t) = (t)

x(t) +

+ 1

sTsT

a

b

y(t)

Aufgabe 54 Entwurf eines Systems

6 Die z-Transformation (ZT) Zusammenfassung Die z-Transformation dient der Beschreibung diskreter Signale und Sys-teme Sie ist auszligerdem eine Methode zur Loumlsung von Differenzengleichungen Die z-Transfor-mation ist ebenso leistungsfaumlhig wie die Laplace-Transformation bei kontinuierlichen Syste-men Wichtige Begriffe wie Uumlbertragungsfunktion Frequenzgang PN-Plan und Stabilitaumlt koumln-nen mit der z-Transformation auf diskrete Signale und Systeme uumlbertragen werden Zur Beschreibung diskreter Signale und Systeme ist eine weitere Transformation erforderlich die z-Transformation Diese kann aus der Laplace-Transformation abgeleitet werden und hat daher auch aumlhnliche Eigenschaften und Berechnungsregeln Eine besondere Verwendung der z-Transformation ergibt sich bei der Abtastung und Digitali-sierung von analogen Zeitsignalen Durch Abtastung entsteht aus einem kontinuierlichen Sig-nalverlauf eine fortlaufende Folge diskreter Funktionswerte Diese koumlnnen mit der ZT auf elegante Weise verarbeitet werden

61 Diskrete Funktionen und Signale

Wir betrachten eine kausale stetige Funktion x(t) z B ein kontinuierlich fortlaufendes Zeit-signal Das kontinuierliche Signal x(t) soll zu aumlquidistanten Zeitpunkten t = kT abgetastet wer-den Dabei ist T das Abtastintervall und k der Laufindex k = 0 1 2 hellip

Kausale Signale sind fuumlr Zeiten t ge 0 definiert d h es gilt x(t) = 0 fuumlr t lt 0

Fuumlr die abgetasteten Funktionswerte waumlhlen wir die Notation

( ) | ( ) [ ]t kTx t x kT x k

Bei x[k] wird T im Argument weggelassen da T fuumlr eine aumlquidistante Abtastung konstant ist

Es stellt sich nun die Frage wie man aus einem kontinuierlich verlaufenden Zeitsignal Ab-tastwerte gewinnen kann Das gelingt mit der δ-Funktion die wir im Abschnitt 334 kennen gelernt haben Mit der δ-Funktion kann von einem stetigen Funktionsverlauf an einer beliebi-gen Stelle t = kT der Funktionswert x(kT) = x[k] ausgeblendet werden so dass vom gesamten Funktionsverlauf nur der Funktionswert x[k] uumlbrig bleibt Die mathematische Schreibweise dafuumlr lautet ( ) ( ) [ ] ( )x t t kT x k t kT

Bild 61 Abtastung eines kontinuierlichen Signals

0

x(t)

t2T T


180 6 Die z-Transformation (ZT)

Da der Funktionsverlauf x(t) nicht nur einmal sondern uumlber einen beliebigen Bereich aumlquidis-tant abgetastet werden soll muss die δ-Funktion mehrfach angewendet werden

0( ) ( )

kx t t kT

Das abgetastete Signal ( )Ax t erhaumllt damit folgende Darstellung

0 0( ) ( ) ( ) [ ] ( )A

k kx t x t t kT x k t kT

Auf das Abtastsignal ( )Ax t soll nun die Laplace-Transformation angewendet werden

0 00 0

( ) [ ] ( ) [ ] ( ) ( )Ast st

k kx t x k t kT e dt x k t kT e dt X s

L

Mit der Ausblendeigenschaft der δ-Funktion kann das Integral der zweiten Summe leicht be-rechnet werden Es gilt

0

( ) st skTt kT e dt e

Damit erhalten wir 0 0

( ) [ ] [ ]kskT sT

k kX s x k e x k e

Den Term in der runden Klammer sTe z bezeichnen wir als neue Variable Da s ist muss folglich auch z sein

62 Definition der z-Transformation

Mit der neuen Variablen z lautet die z-Transformation fuumlr kausale diskrete Folgen x[k]

0

[ ] [ ] ( )k

k

x k x k z X z

(61)

Die z-Transformation ordnet einer diskreten Zeitfolge x[k] eine Bildfunktion X(z) zu Wenn die Reihe konvergiert existiert x[k] und wir erhalten die Korrespondenz

( )x k X z

Fuumlr jede Transformation nach Gl (61) muss der Konvergenzbereich in der komplexen z-Ebe-ne separat ermittelt werden Mit Gl (61) erhalten wir eine wichtige Aussage zur Abtastung kontinuierlicher Zeitsignale Beispiel 1 2 3 4( ) 3 2 4 6 X z z z z z 3 2 4 6 x k

Hat X(z) die Form eines Polynoms in 1z so sind die Koeffizienten dieses Polynoms die Abtastwerte des Zeitsignals

64 Abbildung der s-Ebene auf die z-Ebene 181

63 Eigenschaften der z-Transformation

Da die Bildfunktion X(z) eine Potenzreihe der komplexen Variablen 1z ist folgt aus den Ei-genschaften der Potenzreihen im Komplexen dass es eine reelle Zahl r (den Konvergenzradi-us) gibt so dass X(z) fuumlr |z| gt 1r konvergiert und fuumlr |z| lt 1r divergiert Weiter gilt Ist x[k] z-transformierbar fuumlr |z| gt 1r dann ist die zugehoumlrige Bildfunktion X(z) eine analytische Funktion und gleichzeitig die einzige Bildfunktion von x[k] Fuumlr die Umkehrung gilt Ist X(z) eine analytische Funktion fuumlr |z| gt 1r dann gibt es zu X(z) genau eine Originalfolge x[k] Fuumlr alle weiteren Betrachtungen in diesem Kapitel gehen wir davon aus dass x[k] existiert und eindeutig ist

64 Abbildung der s-Ebene auf die z-Ebene

Die Variablen s und z sind komplexwertige Variable d h es gilt s z Fuumlr beide Variablen waumlhlen wir die Darstellung

s j und z j Die Beziehung sTz e lautet damit in ausfuumlhrlicher Schreibweise

( ) cos( ) sin( )j T Tj e e T j T

Daraus ergeben sich die Transformationsgleichungen

cos( )Te T und sin( )Te T

wie die komplexe s-Ebene auf die komplexe z-Ebene abgebildet wird Hat s einen festen Wert so erhaumllt man einen Kreis mit dem Radius 2 2 Te Fuumlr s = 0 ist das ein Kreis mit dem Radius r = 1 Wenn nun s und ω alle Werte der s-Ebene durchlaumluft so wird die gesamte s-Ebene auf die z-Ebene abgebildet

jT

jT

Im( )z Im( )s

Re ( )s Re (z) 0 11

Ebenes Ebenez

0

Bild 62 Abbildung der s-Ebene auf die z-Ebene durch sTz e


Im Detail ergeben sich folgende Abbildungseigenschaften

1 Die linke s-Halbebene (s lt 0 ω beliebig) wird zyklisch in das Innere des Einheitskreises der z-Ebene abgebildet (= schraffierter Bereich)

2

Die ω-Achse der s-Ebene (s = 0 ω beliebig) wird zyklisch auf den Rand des Einheits-kreises abgebildet

3 Die rechte s-Halbebene (s gt 0 ω beliebig) wird zyklisch in den Auszligenbereich des Ein-heitskreises abgebildet

4 Der Ursprung (s = 0 ω = 0) und die Stellen ω = j2pT j4pT hellip der Im(s)-Achse werden auf den Punkt z = +1 abgebildet

5 Die Stellen ω = jpT j3pT hellip der Im(s)-Achse werden auf den Punkt z = minus1 abgebil-det

6 Pole und Nullstellen der linken s-Halbebene werden in das Innere des Einheitskreises der z-Ebene abgebildet

7 Pole und Nullstellen der rechten s-Halbebene werden in den Auszligenbereich des Einheits-kreises der z-Ebene abgebildet

65 z-Transformation elementarer Signalfolgen

651 Sprungfolge

Definition

Ausfuumlhren der z-Transformation ergibt

Bild 63 Sprungfolge

0 0

12

1 11

1[ ] [ ] 1 11

kk

k k

zk k z z z z zz

Die Summe uumlber k entspricht der geometrischen Reihe 0

11

k

k

qq

mit 11q z

Es gilt die Korrespondenz 1

zkz

mit dem Konvergenzbereich 1z

1 fuumlr 0[ ]

0 fuumlr 0 k

kk

k

k

0 1 2 3 412

1

65 z-Transformation elementarer Signalfolgen 183

652 Deltaimpuls

Die Definition des Delta- oder Einheitsimpulses lautet

1 fuumlr 0[ ]

0 fuumlr 0 k

kk

Ausfuumlhren der ZT ergibt

0

0

[ ] [ ] 1 1k

k

k k z z

Wir erhalten die Korrespondenz 1k mit dem Konvergenzbereich alle z

653 Verschobener Deltaimpuls

1 fuumlr [ ]

0 fuumlr k i

k ik i


0[ ] [ ] k i

k

k i k i z z

Wir erhalten die Korrespondenz ik i z Konvergenzbereich alle z

654 Exponentialfolge

mit kx k a k a Ausfuumlhren der ZT unter Beruumlcksichtigung der geometrischen

Reihe ergibt 0 0

1 1

kk k k

k k

a za k a z az z az

Die Summe konvergiert fuumlr 1az bzw a z Das sind alle Werte z die auszligerhalb des

Kreises der z-Ebene mit dem Radius a liegen

Die Korrespondenz lautet [ ]k za kz a

Konvergenzbereich z a

Fuumlr den Spezialfal 1a erhaumllt man wieder das Ergebnis der Sprungfolge [ ]k

k 0 1 2 3 41 2

1

δ[kminus3]

Bild 65 Verschobener Deltaimpuls

k

k

0 1 2 3 412

1

Bild 64 Deltaimpuls


655 Rechteckimpuls der Laumlnge N

Ein diskreter Rechteckimpuls der Laumlnge N hat die Form

1 fuumlr 00 fuumlr gtN

k Nrect k

k N

Bild 66 Rechteckimpuls der Laumlnge N Ausfuumlhren der ZT ergibt

0 0

1 1 [ ] 1 1 N

Nk k

N Nk k

rect k rect k z zz z

Die Summenglieder entsprechen mit q = 1z der endlichen geometrischen Reihe

1

0

1 11

N Nk

k

qq qq

Wir erhalten 111

1 11

NN

Nz zzrect k

zz


N

Nz zrect k

z


Bemerkung Nrect k kann auch als Differenz zweier Sprungfolgen dargestellt werden

Dafuumlr gilt ( 1)Nrect k k k N Mit den Korrespondenzen

-1zk

z und ( 1)( 1)

1N zk N z

z

(Verschiebungssatz)

erhalten wir ( 1) 1 1

Nz zk k Nz z

1

N

Nz zrect k

z

k

0 1 2 N

1

N+1

rectN [k]


656 Folge der abgetasteten cos-Funktion

Bild 67 Abtastung der cos-Funktion

Die mit ( )t kT abgetastete cos-Funktion

0

[ ] cos( ) ( )k

x k t t kT

erhaumllt mit der Ausblendeigenschaft der δ-Funktion die Form

0

cos( ) ( )k

x k kT t kT

Die Abtastfolge lautet somit

[ ] cos( )x k kT k = 1 2 3 explizit [ ] cos(0) cos( ) cos(2 ) x k T T

Auf die Abtastfolge wird nun die ZT angewendet wobei 12cos( ) j kT j kTkT e e

Beruumlcksichtigung findet 0 0

12( ) cos( ) k j kT j kT k

k k

X z kT z e e z

Mit der Korrespondenz der Exponentialfolge erhaumllt man

0 0

1 1 1( ) 2 2 2j T j T

j T j T

k kk k

k k

z zX z e z e zz e z e

Umformung mit 2 cos( )j kT j kTe e kT ergibt schlieszliglich 2

cos( )( )

2 cos( ) 1z z T

X zz z T

Korrespondenz

2

cos( )cos( )

2 cos( ) 1 z z T

kTz z T

Konvergenzbereich z

Spezialfaumllle Mit der oben erhaltenen Korrespondenz lassen sich auf elegante Weise haumlufig verwendete Folgen und deren Bildfunktionen angeben

1 Fuumlr T erhaumllt man die alternierende Folge cos( ) 1 1 1 1 1 k

Korrespondenz cos( ) ( )1

zk X zz

2 Fuumlr 2

T erhaumllt man die Folge 2cos( ) 1 0 1 0 1 0 1 k

Korrespondenz 2

22cos( ) ( )1

zk X zz

k0 1

1

t

2 1

3 4

cos(ωt)


66 Saumltze zur z-Transformation

Fuumlr die folgenden Betrachtungen sei x[k] eine kausale diskrete (Abtast-)Folge und die zugehouml-rige Bildfunktion x[k] = X(z) sei existent

661 Linearitaumlt

Fuumlr zwei Folgen x1[k] und x2[k] mit den Bildfunktionen X1(z) und X2(z) und a b gilt

1 2 1 2 ( ) ( ) ax k bx k aX z bX z (62)

Beweis 1 2 1 2 1 20 0 0

[ ] [ ] ( [ ] [ ]) [ ] [ ]k k k

k k kax k bx k ax k bx k z a x k z b x k z

1 2( ) ( )aX z bX z

662 Verschiebungssatz Wir betrachten eine kausale Abtastfolge x[k] mit der zugehoumlrigen Bildfunktion ( )X z Die Verschiebung der Folge um i-Schritte nach rechts entspricht einer Verzoumlgerung um i-Takte des Abtastsignals und wird zu einer Multiplikation der Bildfunktion mit iz

( ) ix k i z X z (63)

Beweis 0

[ ] [ ] k

kx k i x k i z

Die Substitution n = k ndash i fuumlhrt auf

0[ ] [ ] [ ] ( )i n i n i

n i nx k i z x n z z x n z z X z

Da fuumlr kausale Folgen fuumlr n lt 0 keine Folgenwerte existieren haben in der letzten Gleichung beide Summen den gleichen Wert


Fuumlr die Multiplikation der Folge x[k] mit einer Exponentialfolge ka gilt

k za x k X a (64)

Beweis 0 0

[ ] [ ] [ ]k

k k k

k k

z za x k a x k z x k Xa a

fuumlr 1za

66 Saumltze zur z-Transformation 187

664 Multiplikationssatz im Zeitbereich

Die Multiplikation der Folge x[k] mit k entspricht der differenzierten Bildfunktion multipli-ziert mit ndashz

( )ddzk x k z X z (65)

Beweis Es gilt 1 1

0 0 0

k k k

k k k

ddz z k z z k z

damit erhaumllt man fuumlr

0 0

[ ] [ ] [ ] ( )k k

k k

d ddz dzk x k k x k z z x k z z X z

665 Faltungssatz

Der Multiplikation zweier Bildfunktionen im Bildbereich entspricht dem Faltungsprodukt der zugehoumlrigen Folgen im Originalbereich Sei 1 1( )x k X z und 2 2 ( )x k X z dann gilt

1 2 1 2 ( ) ( ) x k x k X z X z (66)

Das Faltungsprodukt ist auf folgende Weise zu bilden

1 2 1 20

[ ] [ ] [ ] [ ]i

x k x k x i x k i

(67)

Beweis des Faltungssatzes

1 2 1 2 1 20 0 0

[ ] [ ] ( [ ] [ ]) [ ] [ ]k k

k k ix k x k x k x k z x k x k i z

Mit einer Umformung nach der Produktformel von Cauchy erhaumllt man

( )1 2 1 2 1 2

0 0 0 0[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]k k i k k

k i k kx k x k x k z x k i z x k z x k z

1 2 1 2[ ] [ ] ( ) ( )x k x k X z X z Korollar k ist das Neutralelement der Faltung Die Faltung einer Folge x[k] mit δ[k] ergibt wieder die Folge x[k]

Es gilt 0

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]i

x k k x i k i x k

Weiter gilt x k k i x k i Die Faltung einer Folge mit k i bewirkt eine um i-Schritte verschobene Folge was einer Taktverzoumlgerung um i-Schritte entspricht


666 Differenzenbildung

Fuumlr die sog Ruumlckwaumlrtsdifferenz gilt

z 1 1 ( )z x k x k X z (68)

Beweis 1 1 1[ ] [ 1] ( ) ( ) (1 ) ( ) ( )zzx k x k X z z X z z X z X z

667 Summenbildung

0

z[ ] ( )z 1 n

kx k X z

(69)

Beweis Mit der Folge der Partialsumme 0

[ ] [ ] [0] [1] [ ]n

ks n x k x x x n

erhalten wir

1

0 0[ ] [ 1] [ ] [ ] [ ]

n n

k ks n s n x k x k x n

mit [ ] ( )s n S z und 1 [ 1] ( )s n z S z

Somit ist 1[ ] [ 1] [ ] ( ) ( ) ( ) s n s n x n S z z S z X z ( ) ( )1

zS z X zz

668 Periodische Abtastfolge

Wir betrachten eine periodische stetige Funktion x(t) mit der Periodendauer Tp die in p glei-che Abtastintervalle T eingeteilt werden kann d h es gilt Tp = pT mit p Dann lautet die

Abtastfolge 0 1 2 1 1 2 2 1 2 2 1 2 2[ ] p p p p p p p px k x x x x x x x x x x x

Da fuumlr eine periodische Funktion x(t+pT) = x(t) gilt wiederholt sich die Abtastfolge nach p Schritten das heiszligt es gilt xp = x0 xp+1 = x1 usw Die Folge lautet somit bei periodischer Wiederholung 0 1 2 1 0 1 2 1[ ] p px k x x x x x x x x

x k

pTT 2T

pT pT

0

0x

1x

2x

kT

t

Bild 68 Abtastung einer periodischen Funktion


Fuumlr die Bildfunktion der Folge erhaumllt man unter Beruumlcksichtigung des Verschiebungssatzes 0 1 2 ( 1)

0 1 2 1( 1) (2 1)

0 1 1

2 (2 1) (3 1)0 1 1

( )

pp

p p pp

p p pp

X z x z x z x z x z

x z x z x z

x z x z x z

Ausklammern wiederkehrender Summenanteile

1 2 ( 1)0 1 2 1

1 2 ( 1)0 1 2 1

2 1 2 ( 1)0 1 2 1

( ) 1 +

+

+

pp

p pp

p pp

X z x x z x z x z

z x x z x z x z

z x x z x z x z

und Zusammenfassen der Terme ergibt

1 2 ( 1) 20 1 2 1( ) + 1 p p p

pX z x x z x z x z z z

Fuumlr den zweiten Klammerausdruck erhalten wir eine geometrische Reihe mit der Summe

2 11 1

p ppz z

z

fuumlr 1 1z

Die Bildfunktion fuumlr eine p-periodische Abtastfolge lautet damit

1 2 ( 1)0 1 2 1

( )1

pp

px x z x z x z

X zz

fuumlr 1z (610a)

Erweitert man Zaumlhler und Nenner mit pz so erhaumllt man die oft gebraumluchlichere Form

1 2 10 1 2 1

( )1

p p pp

px x x xz z z z

X zz

fuumlr 1z (610b)

Beispiel 61 Gesucht ist die Bildfunktion der alternierenden Folge x[k] = 1 minus1 1 minus1

Bild 69 Alternierende Folge

Die gegebene Folge kann analytisch dargestellt werden durch [ ] ( 1) [ ]kx k k Anwendung der ZT ergibt

0 0

1[ ] ( ) ( 1) [ ]kk k

k kx k X z k z z

x k

k

0 1 2 3 4

1

1


2 3 40

1 1 1 1 1( ) 1 k

kzX z

z z z z

Die Summe entspricht der geometrische Reihe 1( )

1 11

zX zz

z

fuumlr z

Beispiel 62 Es ist die ZT fuumlr die ansteigende Folge x k k k zu berechnen

Fuumlr die Sprungfolge gilt die Korrespondenz

( )1

zk E zz

Fuumlr die ansteigende Folge erhaumllt man mit dem Multiplikationssatz

[ ] [ ] ( ) ( )dx k k k X z z E zdz

x k

k

0 2 3 4

1

1

Bild 610 Ansteigende Folge

2 2

1( ) ( )1 1 ( 1) ( 1)

d d z z zX z z E z z zdz dz z z z z

Wir erhalten die Korrespondenz 2( 1)zk k

z

fuumlr z

Beispiel 63 Abtast-Verzoumlgerung

Die Folge x[k] einer abgetasteten kausalen Funktion habe die existierende Bildfunktion X(z) Wird die Abtastung um einen Takt verzoumlgert erhaumllt man die Folge x[k-1] Durch z-Transformation und Anwendung des Verschiebungssatzes erhalten wir

1

1[ 1] [ 1] ( )k

kx k x k z z X z

Die Eintakt-Verzoumlgerung einer Folge entspricht im Bildbereich einer Multiplikation mit zminus1 Das Blocksymbol mit zminus1 wird als Eintakt-Verzoumlgerungsglied bezeichnet

X(z) Y(z) = zminus1X(z) zminus1

x[k] y[k] = x[kminus1]

Bild 611 Eintakt-Verzoumlgerungsglied


Mehrtakt-Verzoumlgerungsglieder bewirken eine Verzoumlgerung um mehrere Takte

Beispiel 64 Gesucht ist die Bildfunktion der periodisch abgetasteten Dreiecksfunktion

Bild 613 Abgetastete Dreiecksfunktion

Die periodischen Abtastwerte (p = 4) sind

x0 = 0 x1 = 1 x2 = 0 x3 = minus1

Anwenden der Gl (610b) fuumlr periodische Abtastfolgen ergibt

4 3 2

40 1 0 1( )

1z z z zX z

z

234 2 2 2

( 1)( ) 1 ( 1)( 1) 1

z z zz zX zz z z z

Alternativer Loumlsungsweg Das gleiche Ergebnis erhaumllt man auch durch Anwenden der ZT auf die obige periodische Abtastfolge Es gilt in ausfuumlhrlicher Form

0 1 2 3 4 5[ ] 10 1 010 1 ( ) 0 1 0 1 0 +1 + x k X z z z z z z z

Mit einer Umformung erhalten wir

1 3 5 72 4 6

1 1 1 1( ) + 1 + X z z z z zz z z z

Der Term in der Klammer ist eine geometrische Reihe mit der Summe 2

11 1

z

Als Ergebnis erhalten wir 22

1 1( )11 1

zX zz z

z

was mit der oben erhaltenen Bildfunktion nach Gl (610b) identisch ist

4pT T

4T2TT0

1

1

0x

1x

2x

3x

0x

3T 5T

t

x[k] y[k] = x[kminus3] zminus1

zminus1 zminus1

Y(z) = zminus3X(z)X(z)

Bild 612 Dreitakt-Verzoumlgerungsglied


67 Methoden der Ruumlcktransformation

671 Inverse z-Transformation (ZTminus1)

Der mathematische Weg um aus einer Bildfunktion X (z) die zugehoumlrige Originalfolgen x[k] wieder zu erhalten erfolgt durch die komplexe Umkehrformel die als inverse z-Transforma-tion bezeichnet wird Wie die ZT ist auch die inverse ZT eine lineare Transformation

Inverse z-Transformation 1 112 ( ) [ ] ( ) k

CjX z x k X z z dz

(611)

Die Integration erfolgt auf einer geschlossenen Kurve C um den Ursprung im mathematisch positiven Sinn Der Integrationsweg C muszlig im Konvergenzgebiet von X(z) liegen Das Ringintegral kann auch mit dem Residuensatz von Cauchy (siehe Abschnitt 32) berechnet werden Diese Methode der Ruumlcktransformation einer Bildfunktion in den Originalbereich wird bei der praktischen Handhabung der z-Transformation nur in seltenen Faumlllen angewendet Naumlmlich dann wenn keine andere Methode der Ruumlcktransformation in den Originalbereich mehr zur Verfuumlgung steht

672 Praktische Methoden der Ruumlcktransformation In der Praxis werden zur Ruumlcktransformation einer Bildfunktion hauptsaumlchlich Korrespondenz-Tabellen verwendet in der Art von Tabelle 76 im Anhang Dies geschieht in gleicher Weise wie bei der Laplace- bzw Fourier-Transformation In der Regel beschraumlnken sich die Korrespondenztabellen auf die wichtigsten Basisfunktionen Bei Bildfunktionen X (z) die in einschlaumlgigen Transformations-Tabellen nicht zu finden sind kann man versuchen diese durch eine geeignete Methoden z B durch eine Partialbruchzerle-gung auf eine Form zu bringen die man nach Tabelle zuruumlck transformieren kann Fuumlr die praktische Handhabung der Ruumlcktransformation einer Bildfunktion X (z) in den Origi-nalbereich sind folgende Methoden gebraumluchlich

Benutzung von Korrespondenz-Tabellen Verwenden der Saumltze zur z-Transformation Durchfuumlhrung einer Partialbruchzerlegung Entwicklung in eine Laurent-Reihe Entwicklung in eine Taylor-Reihe Verwenden der Residuen-Methode

Anhand von Beispielen soll nun die praktische Handhabung einiger der aufgefuumlhrten Metho-den gezeigt werden

67 Methoden der Ruumlcktransformation 193

Beispiel 65 Fuumlr die Bildfunktion 0 1 2 3 4( ) 4 3 05 15 2X z z z z z z ist durch Ruumlcktransformation die Originalfolge x[k] zu bestimmen Es gelten die Korrespondenzen

0 1 21 1 2 uswz k z k z k

Wegen der Linearitaumlt der inversen ZT kann die Ruumlcktransformation von X(z) gliedweise vorge-nommen werden Wir erhalten

X(z) [ ] 4 [ ] 3 [ 1] 05 [ 2] 15 [ 3] 2 [ 4]x k k k k k k

oder als Folge geschrieben

x[k] = 4 3 05 minus15 minus2

Anmerkung Hat die Bildfunktion X(z) die Form eines Polynoms in zminus1 so sind die Folgenglieder von x[k] gerade die Abtastwerte der stetigen Funktion x(t)

Bild 614 Abtastfolge x[k]

Beispiel 66 Durch Ruumlcktransformation der Bildfunktion 3 2 2

1 ( 2)( ) +4 41

z z zX zz z zz e

ist die zugehoumlrige Folge x[k] zu bestimmen Mit den Korrespondenz-Tabelle 76 im Anhang findet man fuumlr die einzelnen Terme von X(z)

33

1 [ 3]z kz

2

2 2 [ ]1

kz z e kz ez e

2( 2) 2 [ ]

( 2)4 4kz z z k

zz z

Somit erhalten wir die Folge 2[ ] [ 3] [ ] 2 [ ]k kx k k e k k

oder 2[ ] [ 3] 2 [ ]k kx k k e k

0

k

x k

( )x t

1 2 3 4

2


Aufgaben zu Abschnitt 66 und 67 (Ergebnisse im Anhang) Aufgabe 61 Man bestimme die ZT der Multiplikation von k mit rect5[k]

Aufgabe 62

Gesucht ist die Bildfunktion und die Periodenlaumlnge p der periodischen Folge

[ ] sin( )3x k k k = 0 1 2

Aufgabe 63 Man berechne die Bildfunktion der quadrati-schen Folge

2x k k k

k

0 1 2 3

x k

1

Bild 616 Quadratische Abtastfolge

Aufgabe 64 Anwendung des Faltungssatzes

Fuumlr die beiden Folgen 11[ ] 2

kx k k und 2[ ]x k k ist

a) das Faltungsprodukt 1 2[ ]x k x k x k im Originalbereich zu berechnen und davon die Bildfunktion X(z) zu bestimmen

b) die Bildfunktion 1 2( ) ( ) ( )X z X z X z durch Anwendung des Faltungssatzes direkt zu bestimmen

k

0 1 2 5

1

rect5[k]

Bild 615 Rechteckimpuls der Laumlnge 5

68 Diskrete LTI-Systeme 195

Aufgabe 65 Man berechne die ZT der Folge

1 1 1 1 1[ ] 1 1 2 3 4 5

x k kk

Hinweis Die Folge entspricht der Abtastung der Funktion ( ) fuumlr T

tx t t T mit dem Abtastintervall T T 2T 3T 4T

1

0

x k

k

Bild 617 Abtastfolge fuumlr x(t)=Tt

Aufgabe 66 Durch Ruumlcktransformation der Bildfunktion 2

2 3 12 2

( ) zX zz z

ist die zugehoumlrige Originalfolge x[k] zu bestimmen

a) nach der Methode der Partialbruchzerlegung b) durch Anwendung des Faltungssatzes 68 Diskrete LTI-Systeme

Diskrete LTI-Systeme werden durch lineare Differenzengleichungen mit konstanten Koeffi-zienten beschrieben Mit der z-Transformation koumlnnen weitere wichtige Eigenschaften dieser Systeme erhalten werden Diskrete LTI-Systeme werden in voumllliger Analogie zu kontinuierlichen Systemen beschrieben Im Zeitbereich durch Differenzengleichungen Impulsantwort und Sprungantwort Im Bildbereich durch Uumlbertragungsfunktion Frequenzgang und PN-Plan

681 Lineare Differenzengleichungen mit konstanten Koeffizienten Eine lineare Differenzengleichung n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten i ia b hat die allgemeine Form

0 1 0[ ] [ 1] [ ] [ ] [ ]n ma y k a y k a y k n b x k b x k m mit 0 0a (612)

In Kurzform 0 0

[ ] [ ]n m

i ii ia y k i b x k i

0 0a (612a)

x[k] y[k] Diskretes LTI-System

Bild 618 Diskretes LTI-System mit Ein- und Ausgangsfunktion


Da wir mit kausalen Signalen und Systemen arbeiten gilt fuumlr k = 0

y[-i] = 0 fuumlr 1 le i le n und x[-i] = 0 fuumlr 1 le i le m

Auf Gl (612) soll nun die z-Transformation angewendet werden Wegen der Linearitaumlt der ZT koumlnnen wir die Transformation gliedweise ausfuumlhren Dabei ist der Verschiebungssatz zu be-ruumlcksichtigen Im Bildraum erhalten wir eine algebraische Gleichung der Form

10 01( ) ( ) ( ) ( ) ( )n m

n ma Y z a z Y z a z Y z b X z b z X z

Durch Ausklammern der Koeffizienten und aufloumlsen nach Y(z) erhalten wir 1

0 01( ) ( ) ( ) ( )n mn ma a z a z Y z b b z X z

10

10

1

1

( ) ( )

m

nm

n

b b z b zY z X za a z a z

(613)

Damit ist die Loumlsung der Differenzengleichung (612) im Bildbereich gefunden

Durch Ruumlcktransformation in den Zeitbereich

erhaumllt man y[k] als Loumlsung der Differenzengleichung (612) unter der Voraussetzung dass die Ruumlcktransformation existiert

Beispiel 67 Gesucht ist die Loumlsung der Differenzengleichung 1 Ordnung

[ ] 02 [ 1] 05 [ ]y k y k x k

mit dem Eingangssignal [ ] 03 kx k k und der Anfangsbeding Fuumlr k = 0 ist [ 1] 0y Durch z-Transformation der Differenzengleichung erhaumllt man 1( ) 0 2 ( ) 05 ( )Y z z Y z X z

Aufloumlsen der Gleichung nach Y(z) und Einsetzen von ( )03zX z

z

ergibt

2

( ) 05 ( ) 0502 ( 02)( 03)z zY z X z

z z z

Mit Nr 16 der Korrespondenz-Tabelle 76 im Anhang finden wir die Loumlsung der gesuchten Differenzengleichung

1 1 1[ ] (03) ( 02) [ ]k ky k Y(z) k

1[ ] y k Y(z)


682 Uumlbertragungsfunktion G(z) Die Uumlbertragungsfunktion eines diskreten LTI-Systems erhalten wir aus Gl (613)

Der Quotient ( ) ( )( )

Y z G zX z

definiert die System- oder Uumlbertragungsfunktion

1

0 1 01

0 1

0

( )

mi

mi

n ni

i

im

ni

b zb b z b zG za a z a z

a z

(614)

Die Koeffizienten im Zaumlhler und Nenner von Gl (614) entsprechen den Koeffizienten der Differenzengleichung Fuumlr kausale diskrete LTI-Systeme gilt m le n Der Zaumlhlergrad m darf houmlchstens gleich dem Nennergrad n sein sonst enthaumllt das System akausale Anteile

Mit Gl (614) erhalten wir die Systemreaktion auf ein beliebiges Eingangssignal X(z) ( ) ( ) ( )Y z G z X z (615)

Besteht fuumlr das Eingangssignal die Korrespondenz [ ] ( )x k X z so ergibt sich die Systemre-aktion im Bildbereich durch gewoumlhnliche Multiplikation von G(z) mit X(z) Die Systemreaktion im Zeitbereich erhaumllt man mit der inversen z-Transformation

1 1[ ] ( ) ( ) ( )y k Y z G z X z (616)

Die Impulsantwort g[k]

Fuumlr den Deltaimpuls 1k als Eingangssignal erhalten wir mit Gl (615) die System-reaktion im Bildbereich ( ) ( ) 1Y z G z

Die zugehoumlrige Systemreaktion im Zeitbereich heiszligt Impulsantwort

1[ ] ( )g k G z (617)

Die Impulsantwort g[k] ist die Reaktion des Systems auf den Deltaimpuls δ[k] am Eingang

Es gibt nun zwei Moumlglichkeiten wie fuumlr ein beliebiges Eingangssignal x[k] die Systemreaktion y[k] im Zeitbereich berechnet werden kann

1 Durch Ruumlcktransformation der Bildfunktion ( ) [ ]Y z y k

2 Mit dem Faltungsprodukt [ ] [ ] [ ]y k g k x k

g[k] δ[k] G(z)

Bild 619 Impulsantwort g[k]


Sowohl G(z) als auch g[k] liefern eine vollstaumlndige Beschreibung des Ein- und Ausgangsver-haltens eines kausalen diskreten LTI-Systems Die Sprungsantwort h[k]

Auf das Eingangssignal erhalten wir die Systemreaktion im Bildbereich

( ) ( )

1zH z G z

z

(618a)

Die zugehoumlrige Systemreaktion im Zeitbereich heiszligt Sprungantwort 1[ ] ( )h k H z (618b)

Ist die Impulsantwort g[k] bekannt so erhaumllt man die Spungantwort uumlber das Faltungsprodukt

0

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]i

h k g k k g i k i

Da [ ] 0k i ist fuumlr i gt k folgt 0

[ ] [ ]k

i

h k g i

(619)

Aus Gl (618a) erhaumllt man durch Umstellung

1( ) ( ) ( )G z H z z H z

womit wir einen weiteren Zusammenhang zwischen Impulsantwort und Sprungantwort erhalten

[ ] [ ] [ 1]g k h k h k (620)

Beispiel 67 Ein diskretes LTI-System wird durch folgende Differenzengleichung beschrieben

12[ ] [ 1] [ 2] [ ] [ 1]y k y k y k x k x k

Zu bestimmen ist die Uumlbertragungsfunktion G(z) und die Impulsantwort g[k] des Systems Nach Voraussetzung gilt fuumlr k = 0 [ 1] [ 2] 0 und [ 1] 0y y x

Durch Ausfuumlhren der ZT und nach Zusammenfassung der Terme erhaumllt man

1 2 1121 ( ) 1 ( )z z Y z z X z

[ ]1

zkz

x[k] y[k] = g[k] x[k] Diskretes LTI-System Y(z) = G(z)X(z) X(z)

Bild 620 Input-Outputverhalten im Zeit- und Bildbereich


Bild 621 Symmetrische Rechteckimpulsfolge

k 0minus1 1 N

1

N+1

minusN

xN[k]

Daraus ergibt sich die Uumlbertragungsfunktion 2

12( )

( )1

z zG z

z z

Mit der Korrespondenz aus Abschnitt 656 fuumlr 3T erhalten wir die

Impulsantwort

12

1( )2 1 1 1 1[ ] cos [ ] 1 1 1 3 2 2 2 21

z zg k k k

z z

683 Frequenzgang F(ω) Bei den kontinuierlichen Systemen ergab sich der Frequenzgang aus der Uumlbertragungsfunktion G(s) indem die Variable s durch jω ersetzt wurde (Abschnitt 446 Satz 49) In gleicher Weise verfaumlhrt man mit der Uumlbertragungsfunktion G(z) eines diskreten LTI-Sys-tems in dem die Variable sTz e durch j Te substituiert wird um das Frequenzspektrum zu erhalten Es gilt mit Gl (614) fuumlr das Frequenzspektrum oder den

Frequenzgang 0 1

0 1

( ) ( )

j T jm T

j T j T jn Tz em

n

b b e b eG z Fa a e a e

(621)

Die Bestimmung des Frequenzspektrums nach Gl (621) ist nicht auf G(z) beschraumlnkt son-dern anwendbar auf jede Bildfunktion X(z) sofern fuumlr X(z) ein Spektrum existiert Neben Uumlbertragungsfunktion und Impulsantwort ist der Frequenzgang eine weitere wichtige Kenngroumlszlige eines diskreten LTI-Systems Wie bei den analogen Systemen heiszligt der Betrag des Frequenzgangs

2 2( ) Re ( ) Im ( )F F F Amplitudengang oder Betragsspektrum

und Im ( )( ) arg ( )Re ( )

FFF

heiszligt Phasengang oder Phasenspektrum

Mit diesen Beziehungen kann der Frequenzgang auch in folgender Form angegeben werden

( ) ( ) jF F e (622)

Diese Form ist besonders geeignet zur graph Darstellung der Ortskurve des Frequenzgangs

Beispiel 68 Fuumlr die diskrete symmetrische Rechteckimpulsfolge nach Bild 621 soll das

Frequenzspektrum bestimmt werden

Die symmetrische Rechteckimpuls- folge wird dargestellt als Differenz zweier Sprungfolgen

[ ] [ ] [ ( 1)]Nx k k N k N


Nach Ausfuumlhren der ZT erhalten wir im Bildbereich

( 1) ( 1)[ ] ( )1 1 1

N N N NN N

z z zx k X z z z z zz z z

Der Uumlbergang auf die Frequenzvariable j Tz e liefert das Spektrum

( 1)( )1 1 1N j T

j T jN T jN TjN T j N T

j T j T j Tz e

e e eX z e ee e e

Durch Umformung erhalten wir

(1 ) (1 )( )(1 )(1 )N

jN T j T jN T j T

j T j Te e e eX

e e

sin (2 1) 2( ) sin 2

N

TNX T

684 Systemstabilitaumlt Ein wichtiges Kriterium fuumlr die Realisierung eines Systems ist die Stabilitaumlt Diese stellt sicher dass bei beschraumlnktem Eingangssignal auch das Ausgangssignal nicht uumlber alle Grenzen waumlchst

Definition BIBO-Stabilitaumlt Der Abkuumlrzung BIBO bedeutet Bounded Input ndash Bounded Output Stabilitaumltskriterium im Zeitbereich

Ein kausales und diskretes LTI-System ist stabil wenn seine Impulsantwort absolut summier-bar ist

0

[ ]k

g k K

mit K (623)

Beweis Es sei [ ]| |x k N mit N ein beschraumlnktes Eingangssignal

( )cos( ) cos( 1 )1 cos( )

N T N TT

Reagiert ein diskretes LTI-System auf ein beschraumlnktes Eingangssignal x[k] mit einem be-schraumlnkten Ausgangssignal y[k] so ist das System stabil

FN(ω)

ωT

Bild 622 Spektrum der diskreten Rechteckimpulsfolge fuumlr N = 5


ndash1 1 Re(z)

Im(z)

Bild 623 PN-Plan

Das Ausgangssignal entsteht durch Faltung des Eingangsignals mit der Impulsantwort

0 0 0[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]| | | | | | | | | || |

i i iy k g k x k g i x k i g i x k i g i

Aus der Gleichung ist ersichtlich dass y[k] genau dann beschraumlnkt ist wenn die Impulsantwort des Systems absolut summierbar ist Wenn also gilt [ ] y k M wobei M N K ist

Ein weiteres gleichwertiges Stabilitaumltskriterium ergibt sich aus der Lage der Pole der Uumlbertra-gungsfunktion im Bildbereich wozu der Pol-Nullstellen-Plan benoumltigt wird

685 Pol-Nullstellen-Plan (PN-Plan) Die Beschreibung des PN-Plans fuumlr diskrete Systeme erfolgt in voumllliger Analogie zu den kon-tinuierlichen Systemen Dazu muszlig die Systemfunktion G(z) die nach Gl (614) eine Poly-nomfunktion in zminusk ist in die Produktform umgewandelt werden Wir multiplizieren Zaumlhler und Nenner mit zn Das ergibt

1 1

0 1 0 11 1

0 1 0 1

( ) ( )( ) ( ) ( )

m n m mn m

n n n nm m

n n

b b z b z z b z b z bG z za a z a z z a z a z a

Nach dem Fundamentalsatz der Algebra kann durch getrenntes Aufsuchen der Nullstellen des Zaumlhler- und des Nennerpolynoms die Produktform von G(z) erhalten werden Wir bezeichnen mit Ni die Nullstellen des Zaumlhlerpolynoms i = 1 m Pi die Nullstellen des Nennerpolynoms das sind die Pole von G(z) i = 1 n Damit kann die Produktform der Uumlbertragungsfunktion angegeben werden

0 1 2

0 1 2

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

n mm

n

b z N z N z NG z za z P z P z P

m le n (624)

Der PN-Plan entsteht nun dadurch dass die Pole (x) und die Nullstellen (o) von G(z) in die komplexe z-Ebene eingetragen werden Dabei transformieren sich die Pole und Nullstellen stabiler Systeme in das Innere des Einheitskreises Die Pole und Nullstellen instabiler Systeme in das Aumluszligere des Einheitskreises (siehe Abschnitt 64) Es ergibt sich damit folgende Aussage zur System-stabilitaumlt


Stabilitaumltskriterium im Bildbereich Bemerkung n mz in Gl (624) ist eine n-m fache Nullstelle da n ge m ist (Abschnitt 682)

Beispiel 69 Fuumlr ein diskretes LTI-System ist 21( )

25 1zG z

z z

Gesucht ist die Impuls-

antwort g[k] der Frequenzgang F() der PN-Plan und die Stabilitaumlt des Systems Die Impulsantwort g[k] ergibt sich aus G(z) durch Ruumlcktransformation Da eine Korrespon-denz nach Tabelle steht nicht zur Verfuumlgung steht wird eine Partialbruchzerlegung durchge-fuumlhrt Die Polstellen des Nenners sind 2 25 1 0z z 1 2

12 und 2z z

Partialbruchzerlegung 1 2 1( ) 1 12( 2)( 2 2)zG z

zz z z

Als Impulsantwort erhalten wir

11 1 12

2 1[ ] 2 2 [ 1] [ 1]2 1 2

kkg k k kz z

112[ ] 2 [ 1]

kkg k k

PN-Plan und Stabilitaumlt

G(z) hat die Pole 1 21 22z z

Von den beiden Polen (x) liegt eine im inne-ren des Einheitskreises die andere auszligerhalb davon Damit ist das System instabil Die Nullstelle des Zaumlhlers 1oz ist fuumlr die Stabilitaumlt ohne Belang

Den Frequenzgang des Systems erhalten wir nach Gl (621)

2

1 1( ) 25 1 25

j T j T

j T j T j T j Te eF

e e e e

Ein diskretes LTI-System ist stabil wenn alle Pole von G(z) innerhalb des Einheitskreises liegen grenz- oder quasistabil wenn alle Pole innerhalb des Einheitskreises liegen und auf

dem Rand nur einfache Pole liegen instabil sobald ein Pol auszligerhalb des Einheitskreises liegt oder ein mehrfacher Pol

auf dem Einheitskreis liegt Die Nullstellen von G(z) spielen fuumlr die Stabilitaumlt des Systems keine Rolle

ndash1 1 Re(z)

Im(z)

2 05

Bild 624 PN-Plan von Beispiel 69

69 Blockdiagramme diskreter LTI-Systeme 203

Der Amplitudengang A(ω) ist der Betrag ( )F

1 1 cos( ) sin( )( )

2 cos( ) 2525

j T

j T j T

e T j TA

Te e

2 2

2

(1 cos( )) sin ( ) 2 2cos( )( )

2cos( ) 25 2cos( ) 25

T T TA

T T

69 Blockdiagramme diskreter LTI-Systeme

Die Zusammenschaltung diskreter LTI-Systeme kann durch Blockdiagramme uumlbersichtlich dargestellt werden Werden mehrere LTI-Teilsysteme zu einem Gesamtsystem kombiniert so ist das Gesamtsystem auch wieder ein LTI-System Wie bei den kontinuierlichen Systemen gibt es auch bei den diskreten Systemen drei grund-saumltzliche Arten der Zusammenschaltung die wir im Folgenden besprechen werden Dabei wird ruumlckwirkungsfreie Kopplung der Teilsysteme vorausgesetzt

691 Reihen-Schaltung diskreter Teilsysteme Werden n Teilsysteme in Reihe zu einem Gesamtsystem zusammen geschaltet

A()

T

Bild 625 Amplitudengang von Beispiel 69

Y(z) G1(z)

X(z) G2(z) Gn(z)


Y1(z) Y2(z)


so gilt fuumlr das Ein-Ausgangsverhalten der einzelnen Systeme

11

( )( )( )

Y zG zX z

22

1

( )( )( )

Y zG zY z

1

( )( )( )n

n

Y zG zY z

In Bild 626 ist ersichtlich wie das Ausgangssignal eines Teilsystems zum Eingangssignal des nachfolgenden Teilsystems wird Beginnt man mit ( )nG z und setzt sukzessive die Ein-Ausgangsbeziehung der Teilsysteme aneinander so erhalten wir fuumlr die gesamte Reihenschaltung folgendes Ergebnis

1 1 2 1 2 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n n n n n nY z G z Y z G z G z Y z G z G z G z G z X z

Der Quotient Y(z) X(z) ist nach Definition die Gesamtuumlbertragungsfunktion G(z) fuumlr in Reihe geschaltete Teilsysteme

1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) kk

n

nG z G z G z G z G z

(625)

Die Uumlbertragungsfunktion des Gesamtsystems entspricht dem Produkt der Uumlbertragungsfunk-tionen der einzelnen Teilsysteme

Die Systembeschreibung im Bildbereich erweist sich mit einfachen Multiplikationen aumluszligerst vorteilhaft im Vergleich zur Systembeschreibung uumlber Faltung und Differenzengleichungen im Zeitbereich

692 Parallel-Schaltung diskreter Teilsysteme Die n Teilsysteme erhalten das gleiche Eingangssignal die einzelnen Ausgangssignale Yi(z) werden uumlber ein Summierglied zum Gesamtsignal Y(z) addiert

Das Gesamtsignal nach dem Summierglied ist 1 2( ) ( ) ( ) ( )nY z Y z Y z Y z

Fuumlr jedes Teilsystem gilt ( ) ( ) ( )i iY z G z X z i = 1 hellip n

Es folgt 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )nY z G z X z G z X z G z X z

1 2( ) [ ( ) ( ) ( )] ( )nY z G z G z G z X z

Y1(z)G1(z)

G2(z) Y(z)Y2(z)X(z)

Gn(z) Yn(z)

Bild 627 Parallelschaltung von n Teilsystemen


Wir erhalten fuumlr n fuumlr parallel geschaltete Teilsysteme die

Gesamtuumlbertragungsfunktion

1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )kk

n


(626)

Beispiel 610 Das vorliegende System besteht aus einer Parallel- und Reihenschaltung dreier Teilsysteme Gesucht ist die Uumlbertragungsfunktion G(z) die Impulsantwort g[k] der Fre-quenzgang F(ω) und die Differenzengleichung des Systems

1( ) mit zG z az a

2( ) aG zz a

3 2( )( )

azG zz a

Die Gesamtuumlbertragungsfunktion ergibt sich aus der Kombination der Parallel- und Reihen-schaltung der Teilsysteme

1 2 3( ) ( ) ( ) ( ) G z G z G z G z

2 3( )( )

( ) ( )z a az az z aG z

z a z a z a z a

Daraus erhalten wir die Impulsantwort nach Nr 14 der Korrespondenz-Tabelle76

1 23

( )[ ] [ ]( )

kaz z ag k k a kz a

Den Frequenzgang erhaumllt man nach Gl (621)

3( )

j T j T

j T

ae e aF

e a

2 2

3

cos ( ) cos( ) sin ( ) 2sin( ) cos( ) sin( )( )

cos( ) sin( )

a T a T T j T T a TF

T a j T

G1

G2

X(z) Y(z) + G3

Bild 628 System aus Parallel- und Reihenschaltung


Zur Berechnung der Differenzengleichung geht man aus von Y(z) = G(z)X(z) 1 2 2

3 1 2 2 3 3( )( ) ( ) ( )

( ) 1 3 3az z a az a zY z X z X z

z a az a z a z

Dann separiert man die Terme in einen Y- und einen X-Anteil

1 2 2 3 3 1 2 21 3 3 ( ) ( )az a z a z Y z az a z X z

Jetzt kann gliedweise die Ruumlcktransformation durchgefuumlhrt werden Dabei ist der Verschie-bungssatz zu beachten

Es ergibt sich die Differenzengleichung 2 3 2[ ] 3 [ 1] 3 [ 2] [ 3] [ 1] [ 2]y k a y k a y k a y k a x k a x k

693 Ruumlckgekoppelte diskrete Systeme Bei einem ruumlckgekoppelten System wird das Ausgangssignal Y(z) entweder direkt oder uumlber ein Teilsystem GR(z) auf den Eingang zuruumlckgefuumlhrt

Wird an der Additionsstelle das ruumlckgefuumlhrte Signal ( ) ( )RG z Y z zum Eingangssignal

addiert (+) dann spricht man von Mitkopplung

wird es subtrahiert (minus) dann spricht man von Gegenkopplung Aus dem Strukturbild 629 erhaumllt man die Bildgleichung fuumlr das Ausgangssignal bei Gegen-kopplung

1( ) [ ( ) ( ) ( )] ( )RY z X z G z Y z G z (627)

Nach Separation der Ein- und Ausgangsgroumlszligen ergibt sich

1 1[1 ( ) ( )] ( ) ( ) ( )RG z G z Y z G z X z

+

Y(z) G1(z)

GR(z)

X(z)



Mit Y(z) X(z) = G(z) erhaumllt man die

Uumlbertragungsfunktion bei Gegenkopplung

1

1

( )( ) 1 ( ) ( ) R

G zG zG z G z

(628)

Bei Mitkopplung ist in Gl (627) das Minuszeichen durch ein Pluszeichen zu ersetzen

Somit lautet die Uumlbertragungsfunktion bei Mitkopplung

1

1

( )( ) 1 ( ) ( ) R

G zG zG z G z

(629)

Beispiel 611 Fuumlr das ruumlckgekoppelte System nach Bild 630 ist zu bestimmen

a) die Impulsantwort

b) der Frequenzgang

c) die Stabilitaumlt des Systems

a) Nach Gl (628) erhalten wir fuumlr die Uumlbertragungsfunktion

12

1

( )( )1 ( ) 1 1

G z zG zG z z

Zur Ruumlcktransformation von G(z) verwenden wir Nr 18 der z-Korrespondenz-Tabelle wobei

2T gesetzt wird Das ergibt 2 sin( ) [ ]21z k k

z

Somit erhalten wir fuumlr die Impulsantwort 12[ ] sin( ) [ ]21zg k k k

z

b) Fuumlr den Frequenzgang gilt nach Gl (621)

2( ) 1

j T

j TeF

e

2sin( ) cos( )( )

sin ( ) 2 sin( ) cos( )T j TF

T j T T

Der Betrag von F(ω) ist der Amplitudengang

2 4

1( ) 4sin ( ) 3sin ( )

AT T

Y(z)

X(z)


1 2( )1

zG zz z

Bild 631 Amplitudengang zu Beispiel 611

A(ω)

ωT


c) Zur Beurteilung der Stabilitaumlt verwenden wir den PN-Plan Die Polstellen (x) von G(z) ergeben sich aus

2 1 0z 1 2z j Als Nullstelle (o) haben wir 0 0z Die beiden einfachen Polstellen befinden sich auf dem Rand des Einheitskreises

Das System ist grenz- oder quasistabil

Aufgaben zu Abschnitt 68 und 69 (Ergebnisse im Anhang)

Aufgabe 67 Es ist zu uumlberpruumlfen ob das vorliegende System mit dem Uumlbertragungsverhalten Y(z) = X(zc) 0c c ein diskretes LTI-System ist Aufgabe 68 Man bestimme das Blockdiagramm fuumlr ein System mit der Impulsantwort

[ ] [ ]kg k a k a a

Aufgabe 69 Das Blockdiagramm zeigt ein diskretes LTI-Systems mit linearer Ruumlckfuumlhrung

1( ) 2

zG zz a

a

2

23 2

( )( 2)

aG z

z z a

3( ) azG z

z e

Fuumlr das System ist zu bestimmen a) die Uumlbertragungsfunktion G(z) b) die Impulsantwort g[k] c) der PN-Plan fuumlr a = 1 d) die Systemstabilitaumlt

X(z) Y(z) = X(zc) System

Aufgabe 67 Uumlbertragungsverhalten eines diskreten Systems

ndash

X(z)

Y(z)

G3(z)

G1(z)

G2(z)

Aufgabe 69 Ruumlckgekoppeltes System

ndashj

+j

ndash1 1

Re(z)

Im(z)

05

Bild 632 PN-Plan zu Beispiel 611

7 Anhang

71 Ergebnisse der Aufgaben

Loumlsung 11 0kb (gerade Funktion) 012

a (Mittelwert)

2 = sin2ka k

k

Fuumlr k gerade 0ka

1 2 cos(3 ) cos(5 ) cos(7 ) cos(9 ) cos(11 )( ) = cos( )2 3 5 7 9 11

x x x x xf x x

Loumlsung 12 bk = 0 (gerade Funktion)

0 1 2

A Aa a

2

0 fuumlr 2 1

= sin (1 )2 2 fuumlr 2

1

k

k n

a kA k n

k

und n

Loumlsung 13

0 1 2 1 22 2 23 2 1 2 1 1 8 2

a a a b b

Loumlsung 14 a0 = 05 ak = 0 k

bk

1 = 1

1 1 sin( )( ) 2 k

kxf xk

Loumlsung 15 2

20 1 1

1 1 1 ( 1 ) 0158862 1 2k

ec a a b ej k

Loumlsung 16 0 13 2 (Mittelwert) 0 (gerade Funktion)8 ka a b

Loumlsung 21 2( ) cos 12

j TF

Loumlsung 22 2 22( ) aF

a

Im ( ) 0F gerade Zeitfunktion

Loumlsung 23 2 2

0

1 cos4 4 2( ) 1 cos ( ) cos( )2

TU T UF f t t dTT

Loumlsung 24 22 2( ) sin( )F j T

Loumlsung 25 21 sin cos( ) t t tf t

t

copy Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2017H Ulrich und H Weber Laplace- Fourier- und z-Transformationhttpsdoiorg101007978-3-658-03450-4

210 7 Anhang

Loumlsung 31 a) 22

W

dz jz

b)

2

1Re 12z

sz

Loumlsung 32

81 = )(Res

81 = )(Res

1 = 1 = zfzf

zz

Loumlsung 33 tttf 2ee = )(a)

2b) ( ) 2

2ttf t t e

)sinh( = )e(e

21 = )(c) ttf tt

tttttf 323 e)1951354( = )(d)

e) ( ) 2 2 et tf t t te )sin(3)cos(22e = )(f) tttf t

Loumlsung 34 11

( 1)

n

nt

ns

Loumlsung 35 2 21 1 sin( ) cos( )

2( 1) t t t

s

Loumlsung 36 41 cosh(2 ) cos(2 )816

s t ts

Loumlsung 37

2 4

5 3 524 6 5 24 6 5a) ( ) s sF s

ss s s

3 5 8 19b) ( )2 3 ( 2)( 3)

sF ss s s s

2

2 3c) ( )1sF s

s

34 1d) ( )

05F s

ss

2 2e) ( ) aF s

s a

2 2f) ( ) sF s

s a

Loumlsung 38 3 45 7

6 24a) ( ) 1 3f t t t t 5 2b) ( ) 6 8t tf t e e 25c) ( ) 05 3tf t e t )sin(3)cos(5)(d) tttf )51sin(52)51cos(50)(e) tttf

Loumlsung 39 3

2a) ( )seF s

s

3

21b) ( )

seF ss

2

1c) ( )1

seF ss

22

1 1d) ( ) (1 )s sF s e ess

2

21 1e) ( ) (1 2 ) ( )s s sF s e e es s

Loumlsung 310 1 2( ) st stAF s e e

s

71 Ergebnisse der Aufgaben 211

Loumlsung 311 )2(e)2()2()2(22

= )( )2( tAtAttAtAtf t

2 2

22( ) (1 )

12

s ssA Ae AeF s e

s ss

Loumlsung 312 2 2(1 )( ) ( ) sin( ) sin ( ) ( )

sTeF s f t t t T t Ts

Loumlsung 313

2 lt 0 2 2

= )(a)ttt

tf

5 0

55 = )(b)

361

t lt

t ttf

2

22 lt 0 5cos

= )(c)ttt

tf

2)1(2250 = )(d)

2

tt tttf

22 2( 1)

2( 1) 2

1 fuumlr 0 1e) ( ) (1 ) ( ) (1 ) ( 1)

fuumlr 1

tt t

t t

e tf t e t e t

e e t

3 2( 1)3 2( 1)

0 1f) ( ) ( 1) ( 1)

( 1) 1t

t

tf t t e t

t e t

2( 1)

1 0 1g) ( )

1t

tf t

e t

2( 2)

fuumlr 0 1h) ( ) 1 fuumlr 1 2

fuumlr 2t

t tf t t

e t

Loumlsung 314

32a) ( )

( 5)F s

s

5

24b) ( )( 3)

F ss

2 2c) ( )( )

sF ss

2 22 2d) ( )

( 2) 1 4 3s sF s

s s s

2 31 2 2e) ( )

( 1) ( 2)F s

s s s

2f) ( )4 5

seF ss s

212 7 Anhang

Loumlsung 315 tttf e = )(a) 21b) ( ) sin(2 )

2tf t e t

)2cosh(e = )(c) ttf t 21d) ( )2

atf t t e

2 lt 0

2 e2

)2( = )(e)

)2(2

t

tttf

t

3 lt 0

3 3)2(sine21

= )(f))3(

t

tttf

t

33)e(e

3 e = g)

3)2(2

2

ttt

tt)t(f

tt

t tttf 3e2 = )(h)

Loumlsung 316 tttf 32 ee2 = )(a)

ttt tf 322 e20e250e005 = )(b)

tttttf 323 e)1951354( = )(c)

ttttttf 2ee3e8e7 = )(d)

tttttf e2e+2 = )(e)

tt ttttf 4e)sin(80)cos(60e06)( = )(f)

)sin(3)cos(22e = )(g) tttf t

)3(sin3)3(cos25e = )(h) tttf t

tttf 22e = )(i) Zaumlhler konstant keine Partialbruchzerlegung

tttfs

sF

e+)( = )(1

11)(k)

F(s) unecht gebrochen rational

1e21

1)(l) )1( t

tttf t

ttttf

e32

21)(m) 2

Loumlsung 317 )cos()sin(21 = )(cos)(cos = )( ttttttf


Loumlsung 318

212121

21

2122

1

1

21

21

2121

21

ee = ))((

eRes))((

eRes = )(c)

e = ee = )(b)

ee = )(= )(a)

sssssssssstf

ssetf

sstf

ssA

ssA

sF

tstsst

s=s

st

s=s

tstststs

tsts

Loumlsung 319 2 2 2

1( )( 1) ( 1)

sF ss s

)(cos)sin(8t = )(sin)sin(

21 = )( tttttttf

Loumlsung 320

0=2

2

2

6

2

4

2

2

20

2

4

2

3

2

2

23

0=

1714118520=

1421171395

)2(1)( =

)6()4()2(1 = )(d)

)()1( =

)4()3()2(1 = )(c)

)23(1)( =

171411852t = b)

)14(1)( =

21171395 = )(a)

k

kk

k

k

k

k

k

k

k

kk

ktttttf

kttttttf

ktttttt)t(f

kttttttttf

Loumlsung 321

)1(e1)(

1

)e1(1)(

1

22

taaass

aass

ta

ta

Loumlsung 322

sssF 1arctan1 = )(a)

32 +8b) ( ) = ( +3)

sF ss s

Loumlsung 323 20a) ( ) = (1 e )sU

F sτ s

02

2 3b) ( ) (1 e e e )s s sUF s

s

214 7 Anhang

Loumlsung 324

0 = )( lima)0

tft

0 = )( lim tft

0 = )( limb)0

tft

Endwertsatz nicht anwendbar Polstelle bei 1s

2 = )( limc)0

tft

1 = )( lim tft

0 = )( limd)0

tft

2 = )( lim

tf

t

0 = )( lime)0

tft

1 =)( lim tft

= )( limf)0

tft

0 = )( lim tft

Loumlsung 325

22 )1(2 = )(a)sssF 32

2

)1(26 = )(b)

sssF

42

24

)1(6366 = )(c)

ssssF 22

2

)4(412 = )(d)

ssssF

22 )1(

1 = )(e)s

sF (siehe Aufgabe 35)

Loumlsung 326 ( ) 1 ( ) ( ) 1

t

tdF s etf t f tds s t

e

Loumlsung 327

11ln = )(a)s

s+sF

ss+sF 1ln = )(b)

21

2

22

2ln = )(c)

a+s

a+ssF

Loumlsung 328 a) ln 025 = 138629 b) ln 3 = 109861

Loumlsung 41 ttttf 2e41e

43

21 = )(a)

)2(sin3)2(cos4e4e15 = )(b) ttttf tt

233 3c) ( ) = e 3e 2 e et t ttf t t

tttf tt

23cos

23sin

3311ee2 = )(d) 50


Loumlsung 41 (Fortsetzung)

2e41

22e

41

2

20e41

241

)(e))2(22

2

ttt

tt

tftt

t

Loumlsung 42 )3(sin)3(cosee2 = )( 5 tBtAtf tt

Loumlsung 43

1

1 1

0

( )0

1 fuumlr 0

) ( )

fuumlr

) ( ) 1

RC

RC RC

tRC

t

at t

a

U e t

a u t

U e e t

b u t kt kRC e

Loumlsung 44 x(t) = 8t + 2 2cos(t) 3sin(t) y(t) = 4t + 1 + 2sin(t)

Loumlsung 45 3 31 2 1( ) cosh(3 ) (1 ) 3 3 3

t tx t t e e

3 3( ) 6cosh(3 ) 3( )t ty t t e e

Loumlsung 46 tttt tytx 44 e2e5 = )( e3e5 = )(

Loumlsung 47

22

020

0

= 1 = 2

1 =

)sin()cos(e = )(

LC

RC

ttR

Uti tC

Loumlsung 48 20 12( ) 1

RL tUi t e

R

Loumlsung 49 ( ) 1t

RCRu t kRC e

216 7 Anhang

Loumlsung 410

gt eeee0447

0 ee0447

= )()()(0

0

2 6182382061823820

61823820

t

RU

tR

U

titttt

tt

RCRCRCRC

RCRC

Loumlsung 411 L

RLC 2

= und 1 = sei Es 20

a) aperiodischer Fall

t

LUti

t20

220

20 sinhe = )(

b) aperiodischer Grenzfall 0( ) = e tU

i t tL

c) periodischer Fall

t

LUti

t22

0220

0 sine = )(

Loumlsung 412 2

2( )2

0

0

0

2 1 e 0 4

a) ( ) = 2 e e gt

4

lim ( ) = 2

tRC

ttRC RC

t

U C t tRC

i tU C

tRC

Ui t

R

0 = )(lim

gt e2

ee4

0 e124

= ))(b) )(20

)(220

20

ti

tR

UCU

tRC

tCU

ti

t

RCt

RCt

RCt

RCt

Loumlsung 413

a)

tRC

tRC Utu

RUti

20

a

20 e1

2)(e)(



b)

LRsLRssUsRIsUsU

RRLsRLssI

25

2

2)()()()(

522)( e

2ae22

tLR

LRttu

LRsL

RsUsU

25

a

vision)(Polynomdiae

e4

)(21)(

25

12

121)(1)(1)

tLR

Utu

LRs

sUsU

sUsU

25

0a

ng)uchzerlegu(Partialbr0a0

e

e1040)(

251040)()(2)

Loumlsung 414 a)

RC

t

th

2

e121 = )( b) RC

t

eRC

ttg2

1)()(

Hinweis zu b) Polynomdivision von G(s) oder verallgemeinerte Ableitung von h(t)

Loumlsung 415

RCtgth

RCt

RCt

22

e = )(b) e121 = )(a)

Loumlsung 416 1)(1 = )(a)

212

CsRR

CsRsG

LCs

RCsLCs

LRLCs

sG11

1 = 1

1 = )(b)22

2 2 2 22 2

c) ( ) = 3 13 1

sRCs RCG s sR C s RCs s

RC R C

Loumlsung 417 2 21a) ( ) =

( ) 3 1G s

RC s RCs

218 7 Anhang


tt

RCtg RC

RC 61823820

ee4470)(b)

t

tth

RC

RC 6182

e1710e11711 = )(c)3820

Loumlsung 418

RCt

RCt

thRC

tg

33e1

31 =)( e1 = )(a)

gt ee3

e13

= )(b) )(330

30

a

tU

tU

tuRCt

RCt

RCt

Loumlsung 419

ttL

U

ttLU

ttLU

ti

tttL

U

ttL

U

ti

LR

s

sL

sG

to

tt

tt

tt

o

tt

t

fuumlr)e(

eee1e

fuumlr e1e1

= )(c)

gt fuumlr e)(e

fuumlr )e( = )(b)

2 = mit

)(1 = )(a)

)(

)(2

)(

20

22

)(0

0

2I

Loumlsung 420 a)

RCs

sRCsRCs

sUsUsG

21212)(

)()(ea

b)

)1(ee

2)(

)1(2

12

10

a tUtut

RCt

RC

c) t

RCRC

ttg 21

e4

1)(21)(


Loumlsung 421 a)

LRs

LRs

RLsRLssG

51232)(

b) t

LR

LRttg

51e250)(50)(

c) 31)(

21)0(e

61

31)( aa2

3

uutht

LR

Loumlsung 422

a) 1 1 1( ) 32 3 2G s

RCs RC sRC

b) 3

21( ) e2

RCt

g tRC

c) 3

21 1( ) 1 e (0) 0 ( )3 3

RCt

h t h h

Loumlsung 423

RCs+

RCs+

sG 2

1

= )(a)

1b) ( )2

j RCFj RC

Re F

Im F

0 05 1

0

RC

2

Bild 484 Ortskurve des Frequenzgangs Loumlsung 51

Korrespondenz x(t) = U0sint 0 2 2( ) X s Ux

Ausgangssignal 0 2 2( ) ( ) ( ) II

kY s G s X s Us s

Ruumlcktransformation in den Zeitbereich

Das Ausgangssignal y(t) beschreibt den Verlauf der Integration einer sin-Funktion von t = 0 bis zu einem beliebigen Zeitpunkt t

0( ) (1 cos )Ik Uy t t

220 7 Anhang

Loumlsung 52

Aus Bild 52 liest man folgende Systemgleichungen ab

Yc(s) = X(s) Ya(s) ndash Yb(s) (1)

Yb(s) = Yc(s)1

1sT = [X(s) Ya(s) ndash Yb(s)]

1

1sT (2)

Ya(s) = Yb(s)2

1sT (3)

Einsetzen von Gl (3) in Gl (2) ergibt

Yb(s) = [X(s) Yb(s)2

1sT ndash Yb(s)]

1

1sT

21 11 2

1 1 1 ( ) 1 ( )bY s X ssT sTs T T

1 22

1 2 22

1 1 2

1( ) ( ) ( ) 11 11

bb

Y s sT sTG sX s s T T sT

sT s T T

Die Uumlbertragungsfunktion Gb(s) zeigt einen Bandpaszlig 2 Ordnung

Aus Gl (3) ergibt sich mit Yb(s)

22 1 2 2

11 ( ) ( ) ( ) 1a bY s Y s X ssT s T T sT

21 2 2

( ) 1 ( ) ( ) 1

aa

Y sG sX s s T T sT

Die Uumlbertragungsfunktion Ga(s) zeigt einen Tiefpaszlig 2 Ordnung Schlieszliglich ergibt sich aus Gl (1)

22 2

1 2 2 1 2 2

1 ( ) ( ) ( ) ( )1 1c

sTY s X s X s X ss T T sT s T T sT

21 2

21 2 2

( ) ( ) ( ) 1

cc

Y s s T TG sX s s T T sT

Die Uumlbertragungsfunktion Gc(s) zeigt einen Hochpaszlig 2 Ordnung Fuumlr T1 = T2 = T erhaumllt man im Bode-Diagramm symmetrische Filtercharakteristiken


Loumlsung 53 a) Das 2 Summierglied fuumlhrt das Signal G1(s)U(s) + Y(s) in Gegenkopplung auf das 1 Sum-mierglied zuruumlck Damit ergeben sich folgende Systemgleichungen

(1) U(s) = X(s) [G1(s)U(s) + Y(s)] (2) Y(s) = G1(s) G2(s)U(s)

Nach Umformung erhaumllt man [1 + G1(s) + G1(s) G2(s)]U(s) = X(s)

Einsetzen in (2) ergibt die Uumlbertragungsfunktion

1 2

1 1 2

( ) ( ) ( )( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( )

Y s G s G sG sX s G s G s G s

b) Fuumlr die angegebenen Uumlbertragungsglieder G1(s) und G2(s) erhaumllt man fuumlr

21( )

( 2) 2 1G s

s a s a

G(s) hat die Polstellen 21 2

1 ( 2) ( 2) 4(2 1)2s a a a

Fuumlr a

ist das System stabil Saumlmtliche Polstellen liegen in der linken offenen Halbebene

des PN-Plans

Fuumlr a

ergibt sich eine Polstelle bei s = 0 das System ist grenzstabil

Fuumlr a

ist das System instabil da fuumlr jedes a eine Polstelle in der rechten Halbebene des

PN-Plans liegt Loumlsung 54

a) Block-Diagramm b) Fuumlr das ruumlckgekoppelte System gilt

21

21

2

( ) ( 2) 1( )

1 ( ) ( ) ( 4) 5 1( 2) 1

P PP

sG s ssG s sG s G s s k sk

s

y(t)

x(t)1( )G s

Pk

222 7 Anhang

Die Polstellen sind 1 221 (4 ) ( 4) 202 P Ps k k

Eine Stabilisierung gelingt fuumlr 4 kP Loumlsung 55 a) Eine Signalanalyse von Bild 54 ergibt die Systemgleichung

( ) ( ) ( ) ( )1sTX s bY s aX s Y ssT

1 ( ) ( )1 1

sT sTb Y s a X ssT sT

(1 )( )

(1 ) 1sT a aG ssT b

b) Polstellen von G(s) sT(1 b) + 1 = 0 11

(1 )s

T b

Das System ist stabil fuumlr b 1 a beliebig c) Sprungantwort

1 1 11 1 11( ) ( ) 11 (1 ) 1(1 ) (1 )

a ah t G s b T bs s s sT b T b

L L L

(1 )1( ) 1

tT babh t a eb

fuumlr t 0

Loumlsung 61

5 5 6

5 25 4

1 ( 1) d z z z z zk rect k z

dz z z

Loumlsung 62 Die Folge hat die Periodenlaumlnge p = 6 mit der expliziten Darstellung

3 3 3 30 0 2 2 2 2

[ ] sin( )3x k k

Nach Gleichung (610b) erhaumllt man

6 5 4 3 2 2 2

6 2 4 2

3 3 3 3 30 0 1 12 2 2 2 2( ) 1 1 1

z z z z z z z z z zX z

z z z z

Umformung 4 2 2 21 1 1z z z z z z Einsetzen und Kuumlrzen ergibt

2

32[ ] sin( ) ( )3 1

z

x k k X zz z


Ergaumlnzung Wesentlich schneller erhaumllt man das gleiche Ergebnis mit Hilfe der Korrespon-denz-Tabelle 76

Es gilt 2sin( )sin( ) [ ]

2 cos( ) 1 T

TzTk k

z z

Setze 3T dann folgt 23

32sin( ) [ ]

1

zk k

z z

Loumlsung 63 Wir schreiben die Folge 2x k k k in der Form 1x k kx k mit 1x k k k

Mit der Korrespondenz 1 1 2[ ] [ ] ( )( 1)

zx k k k X zz

ergibt sich die ZT der Folge x[k] mit dem Multiplikationssatz

1 1 2 3( 1)[ ] [ ] ( ) ( )

( 1) ( 1)z zd d zx k kx k X z z X z zdz dz z z

Loumlsung 64

a) Faltungsprodukt 1 20

1 1[ ] [ ] [ ] [ ]2 2k i

ix k x k x k k k i k i

1

0

11 21 1[ ] 22 1 21 2

kk k

i

ix k

0 0 0 0

1 1[ ] ( ) [ ] 2 22 2 k kk k k k

k k k kx k X z x k z z z z

2( ) 2 1 11 ( 1)( )2 2

z z zX zz z z z

b) Fuumlr beide Folgen gelten die Korrespondenzen (siehe Tabelle 76 im Anhang )

1 11[ ] ( )2 1

2

k zx k k X zz

und 2 2[ ] ( )1

zx k k X zz

Anwendung des Faltungssatzes

2

1 2 1 2[ ] ( ) ( ) 1 1( 1)( ) ( 1)( )2 2 z z zx k x k X z X z

zz z z

in Uumlbereinstimmung mit dem Ergebnis unter a)

224 7 Anhang

Loumlsung 65

Die ZT der Folge 1[ ] 1x k kk ergibt

20 1

1 1 1 1 1( ) 1 2

kk n

k kX z k z

k zk z z nz

Diese Potenzreihe entspricht der Reihenentwicklung von

21 1 1 1 1ln( )

2

nx x xxx x n x

guumlltig fuumlr x gt 12

Setzt man 1

zxz

dann gilt

21 1 1ln

1 2 nz

z z z nz

fuumlr | z | gt 1

Wir erhalten die Korrespondenz 1 1 ln1

zkk z

Loumlsung 66

a) X(z) ist eine unecht gebrochen rationale Funktion da der Zaumlhlergrad gleich dem Nennergrad entspricht Durch Polynomdivision reduzieren wir den Zaumlhlergrad um eins

2 22

3 12 23 1 ( ) 1 1 ( )2 2 3 1

2 2

zz z z R z

z z

Bei dem Restglied R(z) handelt es sich um eine echt gebrochen rationale Funktion die durch Aufsuchen der Nullstellen des Nenners in die Produktform umgewandelt wird Anschlieszligend fuumlhren wir eine Partialbruchzerlegung durch

3 1 122 2 2( ) 1 1( 1)( 1)( ) ( )2 2

zR z

zz z z

Die Bildfunktion X(z) hat nun folgende Darstellung 12

12

2( ) 1 ( ) 1( 1) ( )

X z R zz z

Gliedweise Ruumlcktransformation nach der ZT-Tabelle ergibt

11 1 1( ) [ ] [ ] 2 [ 1] [ 1] 2 [ ]2 2 2 k k

X z x k k k k k

wobei die Identitaumlt [ ] [ ] [ 1]k k k verwendet wurde

b) X(z) kann in eleganter Weise auch durch Anwendung des Faltungssatzes zuruumlck transfor-miert werden


Es gilt 2

2( ) 13 1 ( 1) ( )22 2

z z zX zz zz z

Mit den Korrespondenzen 1 [ ]1 22

kz kz

und [ ]1

z kz

laumlsst sich das Faltungsprodukt berechnen Es gilt

0 0

1 1 1( ) [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]1 2 2 2( 1)( )2

kk i i

i i

z zX z x k k k i k izz

Die Summe uumlber i ist eine endliche geometrische Reihe mit q = frac12 und dem Ergebnis

1

0

11 21 1[ ] 212 21 2

kk i k

ix k

fuumlr k ge 0

oder gleichwertig in anderer Schreibweise 1[ ] 2 [ ]2k

x k k

Loumlsung 67 Fuumlr das Uumlbertragungsverhalten gilt die Korrespondenz

( ) [ ] [ ] kY z y k c x k

Uumlberpruumlfung der Linearitaumlt Sei 1 2[ ] [ ] [ ]x k ax k bx k

1 2 1 2 1 2[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]k k k ky k c x k c ax k bx k ac x k bc x k ay k by k Die Linearitaumlt ist erfuumlllt

Uumlberpruumlfung der Zeitinvarianz Sei [ ] [ ]x k x k i

[ ] [ ] [ ] [ ]k ky k c x k c x k i y k i

Die Zeitinvarianz ist nicht erfuumlllt es muumlsste sein [ ] [ ] [ ]k iy k c x k i y k i Das System ist kein diskretes LTI-System

Loumlsung 68 Die Impulsantwort [ ] [ ]kg k a k hat die Uumlbertragungsfunktion ( ) zG zz a

Umformung 11( )

1zG z

z a az

Wir erhalten ein ruumlckgekoppeltes System aus G1(z) =1 und 1( )RG z az d h ein Verzoumlgerungsglied mit dem Verstaumlrkungsfaktor a in Mitkopplung

X(z)

z ndash1

Y(z)

a

Blockdiagramm fuumlr G(z)

226 7 Anhang

Loumlsung 69 a) Das Gesamtsystem besteht aus einem ruumlckgekoppelten System G1(z) und G2(z) das mit G3(z) parallel geschaltet ist

Fuumlr das ruumlckgekoppelte System aus G1(z) und G2(z) gilt 112

1 2

( )( )1 ( ) ( )

G zG zG z G z

Die Parallelschaltung mit G3(z) ergibt 1

3 31 2

( )( ) ( ) ( ) ( )1 ( ) ( )R

G zG z G z G z G zG z G z

Mit den angegebenen Funktionen der Teilsysteme erhaumllt man

2 2 2( 2)( 2)( )

3 21

( 2) ( 2)

a a

zz z z a zz aG z

z e z za a z eazz a z z a

b) Die Impulsantwort ergibt sich aus 1[ ] ( )g k G z Eine geeignete Korrespondenz fuumlr den 1 Term von G(z) ist

2 2

cos( )cos( ) [ ]

2 cos( ) k z z a T

a kT kz za T a

Setze ωT = p3 dann gilt 2 2( 2) cos( ) [ ]3 kz z a a k k

z za a

Fuumlr den 2 Term gilt die Korrespondenz [ ] aka

z e kz e

Damit erhaumllt man fuumlr die Impulsantwort [ ] cos( ) [ ]3k akg k a k e k

c) Fuumlr den PN-Plan suchen wir die Pol- und Nullstellen von G(z)

Fuumlr 1a gilt 2 1( 1 2)( )

1z z zG zz z z e

Die Nullstellen des Zaumlhlers sind 1 0Nz und 2 1 2Nz

Die Nullstellen des Nenners sind die Pole von G(z) 2

1 21 1 1 11=0 3 32 2 2 2P Pz z z j z j

1 130 0368Pz e z e

d) Saumlmtliche Polstellen des Systems liegen fuumlr

1a im Inneren des Einheitskreises Das System ist stabil

ndash1 1 Re(z)

Im(z)

05

PN-Plan

72 Eigenschaften der Deltafunktion 227

72 Eigenschaften der Deltafunktion

1 0

1( ) lim ( ) ( )t t t

Definition

2 ( ) 1t dt

Normierung

3 00 0( ) 0stt t e t L Laplace-Transformierte

4a 0 0 0( ) ( ) ( ) ( )f t t t f t t t Ausblendeigenschaft

4b 0 00

( ) ( ) ( )f t t t dt f t

Ausblendeigenschaft

5 0 0( ) ( )t

t t t t dt

Sprungfunktion

6 ( ) ( )D t t verallgemeinerte Ableitung der Sprungfunktion

7 0 0( ) ( )t t t t Symmetrie

8 1( ) ( )at ta

Skalierung

9 ( ) ( ) ( )f t t f t Neutralelement der Faltung

10 0 0( ) ( ) ( )f t t t f t t Zeitverschiebung

228 7 Anhang

73 Saumltze zur Laplace-Transformation

Bei den folgenden Saumltzen ist die Guumlltigkeit der Korrespondenzen

)()( bzw )()( sFtfsFtf ii

vorausgesetzt

Additionssatz 1 1

( ) ( ) n n

i i i ii i

a f t a F s

Verschiebungssatz 00 0( ) ( ) ( ) stf t t t t F s e

Daumlmpfungssatz ( ) ( ) atf t e F s a

Faltungssatz 1 2 1 2 1 2

0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )t

f t f t f f t d F s F s

Integrationssatz fuumlr die Originalfunktion

tsF

sdf

0

)(1 )(

Differentiationssatz fuumlr die Originalfunktion

2

( ) 1 2 1

( ) ( ) ( 0)

( ) ( ) ( 0) ( 0)

( ) ( ) ( 0) ( 0) ( 0)

n n n n n

f t sF s f

f t s F s s f f

f t s F s s f s f f

Differentiationssatz fuumlr die Bildfunktion ( ) = ( 1) ( )

nn n

nd F s t f t

ds L

Integrationsssatz fuumlr die Bildfunktion ( )( ) =

s

f tF s dst

L

74 Korrespondenzen der Laplace-Transformation 229

74 Korrespondenzen der Laplace-Transformation

A) Einige Bildfunktionen F(s) und ihre zugehoumlrigen Zeitfunktionen f(t)

Nr F(s) f(t)

1 1 )( t

2 s1 )( t

3 1ns

n = 1 2 3 1

( 1)

ntn

4 1s

ν gt 0 reell 1

( )t

5 s1

t1

6 ss1

t

2

7 1

ns s n = 0 1 2

124

(2 )

n nn tn

8 as 1

tae

9 22

s )(sin t

10 22 ss

)(cos t

11 22

sbas )(sin)(cos tbta

230 7 Anhang

Nr F(s) f(t)

12 22

s )(sinh t

13 22 ss )(cosh t

14 )(

1ass

1 1 atea

15 ))((1

21 ssss 1 2

1 2

s t s te es s

16 ))(( 21 sssss

1 2

1 2

1 2

s t s ts e s e

s s

17 0

0

2 2

2 2

12

0

s s

2 20

1 sin( )

te

e

e

e t

18 0

0

2 2

2 2

12

0

s s

2 2

0

1 sinh( )

te

e

e

e t

19 21

( )s a at

te

20 2( )s

s a 1 a t

at e

21 2 2

02 20

1( 2 )

0

s s s

20

2 20

1 1 sin( ) cos( )

te t t

22

2 20

2 20

1( 2 )

0

s s s

20

2 20

1 1 sinh( ) cosh( ) te t t


Nr F(s) f(t)

23 1( )( )( )

s a s b s c

a b c

( )( ) ( )( ) ( )( )

at bt cte e ea b a c b a b c c a c b

24 ( )( )( )

ss a s b s c

a b c

( )( ) ( )( ) ( )( )

at bt ctae be cea b a c b a b c c a c b

25 2

( )( )( )

ss a s b s c

a b c

2 2 2

( )( ) ( )( ) ( )( )

at bt cta e b e c ea b a c b a b c c a c b

26 2 21

( )( )s a s

2 21 sin( ) cos( )at ae t t

a

27 2 2( )( )s

s a s

2 21 sin( ) cos( )atae t a t

a

28 2

2 22

( 4 )s s

2sin ( )t

29 2 2

2 22

( 4 )s

s s

)(cos2 t

30 3

2 2 2( )s

)cos()(sin21 ttt

31 3

2 2 2( )s

)(sinh)cos(21 ttt

32 2 2 2( )s

s

sin( )2t t

33 222 )(

ss

sinh( )

2t t

34 222

2

)(

ss

)cos()(sin

21 ttt

232 7 Anhang

Nr F(s) f(t)

35 222

2

)(

ss

)cosh()(sinh21 ttt

36 222

3

)( ss

)sin(

2)(cos ttt

37 222

3

)( ss

)(sinh

2)(cosh ttt

38 222

22

)(

ss

)(cosh tt

39

sarctan

sin( )tt

40 2

2 2 2( )s s

1 sin( )t t

41 ln ss

sinh( )2 tt

42 ln s as b

bt ate et

43 2 2

2 2ln s as b

cos( ) cos( )2 bt at

t

44 a se

2

432

ata e

t

45 a ses

2

41 ate

t

46 1 ase

s

cos(2 )at

t


Nr F(s) f(t)

47 1 a

ses s

sin(2 )at

a

48 1

s s a 1 erf at

a)

49 1 a se

s

2

aerft

)

50 a ses

12 2

a aerf erfct t

)

51

s xaes

1

2xerfat

)

52 2

22

s se erfc ) 22 te

) erf hat die Bezeichnung error function es handelt sich dabei um das Gauszligsche Fehler-integral

2

0

2 uerf e du

mit lim 1x

erf

Die complementary error function ist gegeben durch

22 1uerfc e du erf

Bemerkung Die Korrespondenz Nr 51 folgt aus Nr 50 wenn man a durch xa

ersetzt

erf (χ)

χ

234 7 Anhang

B) Einige Einzelimpulse bzw periodische Zeitfunktionen und ihre Laplace-Transformierten

Nr )( tf F(s)

1 0

t

t0

A)( tf

0e1ts

sA

2 0

t

t2t1

A

)( tf

21 eetsts

sA

3

tt0A

A

0

)( tf

2

20

e1

ts

sA

4

tt1

A

A0

t2

)( tf

2

2221

ee

tsts

sA

5 0

t

t0

A

)( tf

2

220

0e112

ts

stA

6

0

tA

t2t1

)( tf

2

22212

21

ee12

tsts

sttA


Nr )( tf F(s)

7

0

t

t0

A

)( tf

00 ee112o

ts

sA

stA ts

8

0

tA

t2t1

)( tf

2

21

e

ee1212

ts

stts

sA

sttA

9

0

tA

T

)( tf

Periodische Funktion

2e1

1sTs

A

10

0

tA

T

)( tf

A Periodische Funktion

2

2

e1

e1sT

sT

sA

11

Einmalige Sinushalbwelle

2

22 e1

sT

sA

12

bdquoEinweggleichrichtungldquo

222

e1

1sTs

A

236 7 Anhang

Nr )( tf F(s)

13

bdquoDoppelweggleichrichtungldquo

2

222

e1

e1sT

sT

sA

14

0

tA

T 2T

)( tf

2

22

e1

e112sT

sT

sTA

15

0

t

A

T 2T

)( tf

bdquoSaumlgezahnkurveldquo

sT

sTsTTs

A

e1e11

2

16

0

t

A

TT

)( tf

sT

sT

TsA

e1

e12

2

2

2

17

0

tA

TT

)( tf

sT

sT

TsTs

A

e1e

2

76 Korrespondenzen der z-Transformation 237

75 Saumltze zur z-Transformation Voraussetzung x k ist eine kausale diskrete Zeitfolge und ( )Z x k X z existiert

Additionssatz (Linearitaumlt) 1 2 1 2( ) ( )a x k bx k a X z b x z

Verschiebungssatz ( )ix k i z X z

Daumlmpfungssatz k za x k Xa

Multiplikationssatz ( )dk x k z X zdz

Faltungssatz 1 2 1 2( ) ( )x k x k X z X z

Differenzenbildung 11 ( )zx k x k X zz

Summenbildung 0

( )1

k

i

zx i X zz

76 Korrespondenzen der z-Transformation

Saumlmtliche Formeln sind nur fuumlr die zulaumlssigen Definitionsmengen zu verstehen

Nr x[k] X(z)

1 [k] 1

2 [k ndash i] iz

3 [k] 1z

z

4 [k ndash i] izzz

5 [ ]k k (z

z

6 2 [ ]k k ( 1)

(z zz

238 7 Anhang

Nr x[k] X(z)

7 [ ]ake k az

z e

8 [ ]akke k 2)(aa

zez e

9 [ ]ka k z

z a

10 [ ]ka k 1

z a

11 [ ]kka k ( )za

z a

12 [ ]kka k ( )z

z a

13 ( [ ]kk a k 1

( )z a

14 2 [ ]kk a k 3( )

( )az z a

z a

15 [ ]k ika k i

i

1( )iz

z a

16 1 1

[ ] k ka b

k a ba b

2

( )( )z

z a z b

17 1 1k kk ln

1z

z

18 sin( ) [ ]kT k 2 1sin( )

2 cos( )z T

z z T

19 cos( ) [ ]kT k 2]

1[ cos( )2 cos( )

z z Tz z T

20 sin( ) [ ]ka kT k 2 2sin( )

2 cos( )za T

z za T a

21 cos( ) [ ]ka kT k 2 2[ cos( )]2 cos( )

z z a Tz za T a

22 [ ]Nrect k 1Nz z

z

Literatur

[ 1 ] Ameling W Laplace-Transformation

[ 2 ] Brauch WDreyer H-JHaacke W Mathematik fuumlr Ingenieure des Maschinenbaus und der Elektrotechnik

[ 3 ] Braun A Grundlagen der Regelungstechnik

[ 4 ] Doetsch G Einfuumlhrung Theorie und Anwendung der Laplace-Transformation

[ 5 ] Doetsch G Anleitung zum praktischen Gebrauch der Laplace-Transformation und der Z-Transformation

[ 6 ] Foumlllinger OKluwe M Laplace- Fourier- und z-Transformation

[ 7 ] Frey ThBossert M Signal- und Systemtheorie

[ 8 ] Girod BRabenstein RStenger A Einfuumlhrung in die Systemtheorie

[ 9 ] Mildenberger O Uumlbertragungstechnik

[ 10 ] Muumlller-Wichards D Transformationen und Signale

[ 11 ] Papula L Mathematik fuumlr Ingenieure und Naturwissenschaftler

[ 12 ] Scheithauer R Signale und Systeme

[ 13 ] Schumny H Signaluumlbertragung

[ 14 ] Stoumlcker H Taschenbuch mathem Formeln und moderner Verfahren

[ 15 ] Unger J Einfuumlhrung in die Regelungstechnik

[ 16 ] Weiszliggerber W Elektrotechnik fuumlr Ingenieure Bd 3

[ 17 ] Werner M Signale und Systeme


Sachwortverzeichnis

A Abbildungseigenschaften der ZT 182 Abgetastete cos-Folge 185 Abtastung 179 Abtast-Verzoumlgerung 190 Additionssatz 47 Amplitudenspektrum 7 12 20 Anfangsbedingungen 99 Anfangswertsatz 90 Anregung impulsfoumlrmig 147 Ausblendeigenschaft der δ-Funktion 57

B BIBO-Stabilitaumlt 200 Bildfunktion 18 29 Block-Diagramme 168 203 Blockschaltbilder versetzen 175

C Cauchy Integralsatz 34

D Daumlmpfungssatz 60 186 Delta-Funktion 56 59 Deltaimpuls diskret 183 Differentialgleichungen 98 105 Differentialgleichungen partielle 155 Differentiationssatz Bildfunktion 92 Differentiationssatz Originalfunktion 84 Differentiationssatz verallg Ableitung 87 Differenzenbildung 188 Differenzengleichung 195 Dirichletbedingungen 2 Diskrete Funktionen 179 Diskrete LTI-Systeme 195

E Eindeutigkeitssatz 33 Elementare Signalfolgen 182 Elementare Uumlbertragungsglieder 166

Endwertsatz 91 Exponentialfolge 183 Exponentialfunktion 44

F Faltungsprodukt 73 187 Faltungssatz 73 187 Fourier-Analyse 2 Fourier-Integral 17 21 Fourier-Koeffizienten ndash komplexe 11 ndash reelle 3 5 Fourier-Kosinustransformation 20 Fourier-Reihe ndash komplexe 10 13 ndash reelle 2 11 13 Fourier-Sinustransformation 20 Fourier-Spektrum 17 Fourier-Transformation 16 Frequenzgang 20 143 199 Funktion ndash gerade 5 ndash T-periodische 2 ndash ungerade 5

G Gammafunktion 45 Gegenkopplung 164 206 Gibbs overshoot 9 Grenzwertsaumltze 90

H Harmonische Analyse 2 Harmonische Anregung 144

I Impedanzwandler 162 Impulsantwort 128 197 Impulsfoumlrmige Anregung 147 Integralkern 18



Integralsaumltze der komplexen Analysis 34 Integralsinus 78 96 Integraltransformation 18 Integrationssatz ndash Bildfunktion 95 ndash fuumlr die Originalfkt 79 Inverse z-Transformation 192 Inverse Fourier-Transformation 19 Inverse Laplace-Transformation 32

K Kausale Funktionen 29 179 Konvergenzbereich 30 Konvergenzhalbebene 44

L Laplace-Transformation 29 Laurent-Reihe 35 Lineares System 127 LTI-System 127 160

M Methoden der z-Ruumlcktransformation 192 Mitkopplung 164 206 Multiplikationssatz 187

N Netzwerkgleichung 170

O Offset 4 13 Originalfunktion 18 29

P Parallelschaltung Teilsysteme 164 204 Partialbruchzerlegung 63 Partielle Differentialgleichung 155 Periodische Abtastfolge 188 Periodische Funktion 51 Phasenspektrum 20 PID-Glied 167 Pol-Nullstellen-Plan 139 201 Polstelle 38 ndash komplexe 69 ndash reelle 66 Potenzfunktion 45

R RCL-Netzwerke 112 RCL-Schaltelemente 114 Rechteckfunktion 8 14 Rechteckimpuls der Laumlnge N 184 Reihenentwicklung der Bildfunktion 76 Reihenschaltung Teilsysteme 161 203 Residuensatz 37 Ruumlckgekoppelte Systeme 164 173 206 Ruumlckwirkungsfreie Kopplung 160

S Saumlgezahnfunktion 15 Schwingung harmonische 1 Si-Funktion 78 Signalanalyse 170 Spektralfunktion 17 20 Spektrum 12 Sprungantwort 128 198 Sprungfolge 182 Sprungfunktion 43 Sprungstellen 82 Stabilisierung durch Ruumlckkopplung 173 Stabilitaumlt 142 200 Stabilitaumltskriterium ndash Bildbereich 142 202 ndash Zeitbereich 142 200 Stationaumlrer Zustand 150 Summenbildung 188 Symbolische Widerstaumlnde 113 Systemanalyse 170 Systemstabilitaumlt 200

T Testfunktionen 128 Transformation elementarer Zeit-

funktionen 43 Transformationsregeln 43

U Uumlbertragungsfunktion 128 143 197 Uumlbertragungsverhalten Netzwerke 127

V Verallgemeinerte Ableitung 87 Verschiebung des Integrationsintervalls 5 Verschiebungssatz 50 186

242 Sachwortverzeichnis

Verschobener Deltaimpuls 183 Versetzen von Strukturelementen 175 Vertauschungssatz 26 Verzoumlgerungsglied 190

W Waumlrmeleitungsgleichung 156

Z Zeit-Bandbreite-Produkt 25 Zeitfunktion kausale 29 Zeitinvariantes System 127 z-Transformation 179 ndash Saumltze 186 z-Uumlbertragungsfunktion 197

Vorwort

Inhaltsverzeichnis

1 Fourier-Reihen

11 Einfuumlhrung

12 Reelle Fourier-Reihen

121 Grundbegriffe


Uumlbersicht

123 Amplitudenspektrum


131 Grundlagen

132 Berechnung der komplexen Fourier-Koeffizienten


2 Fourier-Transformation (FT)







3 Laplace-Transformation (LT)

31 Definition der Laplace-Transformation




331 Laplace-Transformierte elementarer Zeitfunktionen

332 Additionssatz


333 Verschiebungssatz



341 Ausblendeigenschaft der δ-Funktion

342 Laplace-Transformierte der Deltafunktion

343 δ-Funktion als verallgemeinerte Ableitung der Sprungfunktion




351 Bildfunktion mit nur einfachen reellen Polen

352 Bildfunktion mit mehrfachen reellen Polen

353 Bildfunktionen mit einfachen komplexen Polstellen


36 Faltungssatz



Aufgabe zum Abschnitt 37





3101 Anfangswertsatz

3102 Endwertsatz






4 Anwendungen der Laplace-Transformation





43 RCL-Netzwerke



441 LTI-Systeme

442 Impulsantwort und Sprungantwort

443 Uumlbertragungsfunktion

444 Pol-Nullstellen-Plan einer echt gebrochen rationalen Bildfunktion


446 Uumlbertragungsfunktion und Frequenzgang


Aufgaben zu Abschnitt 44


5 Zusammenschaltung von LTI-Systemen

51 In Reihe geschaltete Systeme





551 Von der Netzwerkgleichung zum Block-Diagramm

552 Vom Block-Diagramm zur Netzwerkgleichung und Uumlbertragungsfunktion


57 Versetzen von Strukturelementen in Blockschaltbildern

571 G(s) uumlber eine Additionsstelle vorwaumlrts schieben

572 G(s) uumlber eine Additionsstelle ruumlckwaumlrts schieben

573 G(s) uumlber eine Verzweigungsstelle vorwaumlrts schieben


575 Ruumlckkopplungskreis zusammenfassen


6 Die z-Transformation (ZT)






651 Sprungfolge

652 Deltaimpuls






661 Linearitaumlt




665 Faltungssatz


667 Summenbildung



671 Inverse z-Transformation (ZTminus

672 Praktische Methoden der Ruumlcktransformation

Aufgaben zu Abschnitt 66 und 67

68 Diskrete LTI-Systeme

681 Lineare Differenzengleichungen mit konstanten Koeffizienten


683 Frequenzgang

684 Systemstabilitaumlt

685 Pol-Nullstellen-Plan (PN-Plan)


691 Reihen-Schaltung diskreter Teilsysteme

692 Parallel-Schaltung diskreter Teilsysteme

693 Ruumlckgekoppelte diskrete Systeme


7 Anhang







Literatur

Sachwortverzeichnis












Vorwort


ck

t






























Literatur 239




( ) sin( )f t A t (11)






2 1 Fourier-Reihen



)()( tfTtf (12)

Definition 12






Satz 11


0 0 0=1

( ) = + cos( )+ sin( )k kk


wobei T

2




Satz 12


0 0

1 lim ( ) lim ( )2 u u

t tf t t f t t



01


f x a a k x b k x

(15)



2 2


(16)


2

0


fuumlr k n

k x n x dxk = n

(17)

2

0


k nkx nx dx

k n=

(18)

2


(19)


0 0

2 2 2 2

k=10 0 0 0



4 1 Fourier-Reihen

0

a0

f(x)

x



00

1 ( )2

a f x dx

(110)



01

( ) = cos( ) + sin( )n nn

f x a a n x b n x





2 2

0 0



2

0


k = 1 2 3

(111)


2

0


k = 1 2 3

(112)





2 2

0


(113)



f(x)

x

0

A




0

00 0 0

1 1 1( ) ( ) 2 ( ) ( )2 2


0

0 0


(114)

0

0



6 1 Fourier-Reihen

f(x)

x

0



0 ka k und

0

))sin((2 dxxkxfbk

(115)



Uumlbersicht



f (x)

x

0

A

2

00

2

02

0

1 ( )2

1 ( )cos( )

1 ( )sin( )

k

k

a f x dx

a f x k x dx

b f x k x dx


f (x)

x

0

A

00

0

1 ( )

2 ( )cos( )

0

k

k

a f x dx

a f x k x dx

b k


x

0

0

0

0 0

2 ( ) sin( )

k

k

aa k

b f x kx dx




k k k k

k k k



Daraus folgt

2 2 k k kA a b (116)

tan( ) = kk

k

ab

(117)

ak

bk

Ak

0

k



k

0 1 5

Ak



8 1 Fourier-Reihen


fuumlr 0( )

fuumlr 0A x

f xA x

( 2 ) ( )f x f x

f (x)

x

A

0

A

2



00 0

2 2 2 cos( )( )sin( ) sin( )

4 fuumlr 2 1

0 fuumlr 2

k

k


A k nkb n

k n


1


4 sin(2 1)( ) 2 1k

A x x x xf x x

A k xf x kk

0 1 3 5

k

7

Ak

4A




1

4 sin(2 1)( ) 2 1k

n

nA k xf x

k





f (x)

x0

-A

A

)()2(

ltx0 2

0ltx 2 =)(

xfxf

xAA

xAAxf



f5(x) f15(x)


10 1 Fourier-Reihen


0 0


2 2 2 2 2 20 0

2 sin( ) 4 sin( ) cos( ) 4 4 1 cos( ) 1 ( 1)kk



0 fuumlr geradek

A ka k

k


28 cos(3 ) cos(5 ) cos(7 )( ) cos( )

9 25 49A x x xf x x









1cos( )21sin( )

2 2

jkx jkx

jkx jkx jkx jkx

kx

jkxj

e e

e e e e

(120)

(121)



( ) cos( ) sin( )

k kk



0

( ) 2 2


k

a bf x e e j e e

0

( ) 2 2

j k x jk xk k k k

k

a jb a jbf x e e


( ) jk xk

k

f x c e

(122)


fuumlr 02 fuumlr 0

fuumlr 02

k k

k

k k

a jb k

c a ka jb k

(123)



3 2a jbc


2 Re und 2 Im2 2k k






n

f x c e

mit dem Faktor jkxe


( )

0 0

( ) jkx j n k xn

n

f x e dx c e dx

12 1 Fourier-Reihen


( )

00

0 fuumlr

2 fuumlr ( )


n kj n k


2

( )

0

2j n k xn k

n

c e dx c


2

0

1 ( ) 2

jkxkc f x dxe

(125)



0 0

2 21 1 fuumlr 0 2 2

und fuumlr 0


c a k

(126)



0

k

1 5

1

1-5a) b)

5

1

Ak

k

0

kc




f (x)

x0

0 fuumlr 0( )

fuumlr 0x

f xx x

( 2 ) ( )f x f x



0

00

1 1( ) 02 2 4

c f x dx dx xdx


0

2 2 200

1 1 1 1 1 0 12 2 2

jkxjkx jk

kjkc dx x dx jkx

k k kee e



21 1( ) ( 1) 1 ( 1)

4 2k

k k jk x

k

f x j ekk


2Re12 ( 1) 1k

k ka ck

und 1Im12 ( 1)k

k kb ck


1

21

( 1) 1 ( 1)( ) cos ( ) sin ( )4

k k

k

f x kx kxkk


1

2

2 1 ( 1)1 12 ( )

k

kck k

und 2k kA c

k kc Ak

0 0785 0785 1 0593 118 2 025 050 3 017 034

2π

14 1 Fourier-Reihen







A x xf x

( 2 ) ( )f x f x





0 fuumlr 2

x x

f x x

x

)()2( xfxf

x0

1( )f x

2

2 2

f (x)

x

0 2

1




( ) 2xf x

x

f (x)1

0 22 4





)()2( xfxf


Aufgabe 16



fuumlr 2


x x

f x x

x x

( )f x

2

2

x






0 001


f t a a k t b k t

(21)








0( ) jk tT k

kf t c e


0

2

1 ( )

T

T

jk tk Tc f t dt

Te




2

0 0

2

01( ) ( )

2

T

T

jk t jk t jk tT k p

k k

f t c e f t dte e

(22)




1 1( ) ( ) ( )2 2


(23)



(24)


Wir merken uns





( ) ( ) f f K t f t dt F





F (25)




( )f tF


Bildfunktion F(ω)

( ) ( )f t F





j tF F d f te

F (26)



Satz 21



( ) ( )f t F F




-1 ( ) ( )F f t F


0 0


f t t f t t


Bildfunktion F(ω)




( ) Re ( ) Im ( )F F j F (27)


2 2( ) Re ( ) Im ( )F F F (28)

Im ( )tan ( )Re ( )

FF

(29)




Es gilt ( ) ( )( ) ( ) ( )j jF F Ae e (210)






(211)



cF f t t dt

und zur


(212)

(213)



Satz 23




j tf t F de

und bringen es mit






0


(214)



0

( ) 2 ( ) cos( )cF f t t dt

mit der Umkehrung

0

1( ) ( ) cos( )cf t F t d

(215)

(216)



0

( ) 2 ( ) sin( )

sF f t t dt

mit der Umkehrung

0

1( ) ( ) sin( )

sf t F t d

(217)

(218)



Beispiel 21



at t af tt



( )( )

0 0

1( ) ( ) ( )


a j a j


e

zu berechnen


e e e


e


1 atea j



T = 2

ω

A(ω)



2 2

2 2

2 2

1( )

Re ( )

Im ( )

a jFa j a

aFa

Fa



1 fuumlr 0( )

0 sonst

t t Tf t T



0 0 0

1( ) ( ) 1 1T T T


2 20 0


j T T



mit

21 cos

Re ( )T

FT

und 2

sin 1Im ( ) TFT


T 0

1f(t)

t



A(ω)

ω

T = 1

B

Beispiel 23


1 fuumlr( ) 2 2

0 sonst

T Tttf t rectT



2 2

1( ) 1 TT j T j T

j t j t j t

TT



2 2 2


( ) ( 2)F T si T




0 0


x xsix





T2 0

1f(t)

t ndashT2


ω

F(ω)

T = 1





Beispiel 24


0 0

0

1 fuumlr ( ) 2 2

0 sonstF rect



00

0

2 2

0 0

sin( 2)1 1 sin( ) 1( ) cos( )

ttf t t d

t t


00( ) ( 2)

2

f t si t


00

0( 2)

2

si t rect


Vertauschen 0

tT

ergibt 00 0

1( 2) 2si t rect

ω02 0

1F(ω)

ω ndashω02


t

f(t)

ω0 = 1


F(ω)





f t FF t f

Beispiel 25


2

( ) atf t e a gt0



2 2



2

0



Es ergibt sich 2

4( ) aF ea






f (t)

t

0 T2

1

1

2T


1 fuumlr 02

( ) = 1 fuumlr 02

0 sonst

T tf t Tt

Aufgabe 22


( ) ( 0 ) a tf t e a


Aufgabe 23


2 fuumlr 02

( ) 2 fuumlr 02

0 sonst

U TU t tT

f t U TU t tT


Uf (t)

tT2

T2

0



Aufgabe 24


1 1 0( ) 1 0 1

0

t tf t t t

sonst




Aufgabe 25


1 1( )

0 sonstj

F


-1

1

Im F()1

-1

0


( )f t

t

0

1

1

1

1


Definition 31



Definition 32


0

( ) ( ) ( )stf t f t dt F se

L (31)














tf t

ist



Bildbereich F(s)

( ) ( )f t F s



0fuumlr0



vvst

st

ee erhaumllt man

2 200 00

1 1( )

st st st



e e e







f (t)

t

0 0

Konvergenzhalbebene








Satz 31



0

01( ) ( ) ( )

2

js t

j

f t F s e dsj

(32)


0 0




1( ) ( )

2t j tf t e F s e d


-

1 1( ) ( ) ( ) 2 2






1 2 fuumlr 2


f t t f tt




0 0

tt

f2(t)f1(t)

2

32

2



0

( ) 0t








0

j0

j0

0



0

0

1( ) ( )2

jst

j

f t F s e dsj




Definition 33



0

( ) ( )( ) lim z

f z z f zf zz

existiert






( ) 0W

f z dz (33)



1

( )z

z

f z dz einen vom




Satz 35


00

1 ( )( )2

W

f zf z dzj z z

(34)

( )0 1

( )( )2 ( )

nn

oW

n f zf z dz nj z z

(35)

lt

x

W G

0

y

z0






n

f z c z z


2 ( )n noW

f zc dzj z z

(36)

(37)




2

021

010 )()()() mm

mm

mm zzczzczzcz(f



)()(

)(+

)()( 2

020100

1

0

zzczzcc

zzc

zz

czf

nn





2 31 1 1 1 1

2 3 z

kez z z k z



( )W

f z dz


210 1 0 2 0

00( ) ( ) ( )

( )( )n


z zz z


1 0 1 000

1 1( ) ( )( )n nn

W W W W W




0


W

j ndz

nz z

(39)


1 11( ) 2 bzw ( )

2W W


(310)


20 0 ( ) ( )

W W W

dz z z dz z z dz



10

1Res ( ) ( )2 n

Wz z

f z f z dz cj

(311)





1

1 ( ) Res ( )2

n

kkWz z

f z dz f zj

(312)



Satz 38


00

0 Res ( ) ( ) ( ) z zz zf z z z f z

(313)


0

0

1

01

1Res ( ) ( ) ( )( 1)

nn

nz zz z

df z z z f zn dz

(314)


210 1 0 2 0

0( ) ( ) ( ) cf z c c z z c z z

z z

Die Funktion 2 3

0 1 0 0 1 0 2 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) z z f z c c z z c z z c z z


= )()(lim 100

czfzzzz


10 1 0 1 0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n



1

0 1 0 01

0


nn


z z


0

0

1

1 01

1Re ( ) ( ) ( )( 1)

nn

nz zz z




( 1)f z

z z

die Residuen an den

Polstellen


=0 2=00

1Res ( ) = ( ) = = 1( 1)zz

z

f z z f zz


21 1 1

1 1 1Re ( ) 11z zz

ds f zdz z z





lim ( ) 0

sF s

Dann gilt

1

( ) Res ( ) k

n

s sk

stf t F s e

(315)



R W1W2

j

0

o

o




0

0 12

1 1 1( ) ( ) ( ) Res ( )2 2 2

n

kkW

jst st st

z zj W


(316)


2

lim ( ) 0stR

w

F s e ds

Es gilt lim ( ) 0s

F s







ssF


daher mit Gl (315)






0 = )( lim

sFs


2

0 0 00( ) Res ( ) ( ) st st st st

s s ss



Beispiel 35


1F s

s



( )( )1 F s

s j s js



( ) Re Re

( )( ) ( )( )

1 1 1 sin( )2 2 2

st st st st

s j s js j s j

j t j t j t j t


e e e e tj j j


1F s f t t

s


sF ss


( ) Re Re

( )( ) ( )( )

1 cos( )2 2 2

st st st st

s j s js j s j

j t j t j t j t


j je e e e tj j


sF s f t ts


Aufgabe 31


2W

dzz


2 jz re

r

20x

y

W lt




2f z

z


31( )

( 1)( 1)f z

z z


)2)(1(1 = )( a)

sssF 3)1(

12 = )( b)

sssF

11 = )( c) 2 s

sF 4

3

)3( = )( d)

sssF

22 )1(1 = )( e)ss

sF )1)(1(

5 = )( f) 2

ssssF


sF 1 = )( mit n



2222 j)(j)(1 =

)1(1 = )(

ssssF



s

ssF16

= )( 4





0

( ) ( ) ( ) stf t f t e dt F s

L

(31)


0

0

1 1( ) ( ) ( )2

jst

j

f t F s F s e dsj

L

(32)



0

1

t

)(t



= )(tt

t




0 0

1( ) st

st et e dts s

L


e e e





0

j

Konvergenzhalbebene


Die Bildfunktion s




(317)


( )( )

0 0 0

1 ( )


s a s a

L


0

j


Re a


( )lim 0s a tt

e

sein





s a (318)




1 und st


1 1

0 0 00


s s s

L = = + =


t e



1 2

0 0 0


L

100

1 2 2 1 1 2 2 1 stst



nnt n

s (319)


( ) rf t t


( 1)

0 0 0

1( ) r


(320)


definiert ist 1

0

( ) x tx t e d t



r rts

(322)



1 1 2 20

0 0 0



( ) ( 1) ( 1)x x x (323)



(1) = e = 1t d t


(2) 1 (1) 1 (3) 2 (2) 2 (4) 3 (3) 3


( 1) = n n n (324)



1 2 1 21( ) = und ( ) =f t t t f t tt


232

erhaumllt man


1 12 2( 1) ( )1

st s s

(325)


312 2( 1) ( ) 1

2st

ss s

(326)


332 Additionssatz



0


)( )(1 1

sFatfa i

n

i

n

iiii

(327)


)( = e)( = e)( )(1 10 1 1 0

sFadttfadttfatfa i

n

i

n

ii

n

i

n

i

stii

stiiii



( ) ( ) ( ) ( )f t F s f t F s


Korrespondenz 1 n

nnt

s in 11

n



( 1)

n

nt

ns

(328)



4 3 43 2 1 12 -10 3( ) 2 - 5 3 s sF s

ss s s




cos( ) sin( )

cos( ) sin( )

j t

j t

e t j t

e t j t




1 2 21 1 1( )

2F s

j s j s j s

und 2 2 2

1 1 1( ) 2

sF ss j s j s


2 2

2 2

sin ( )

cos ( )

ts

sts

(329)

(330)


a) 16 8+3 = )( 2 s

ssF und b) s

sssF 3

2 835 = )(



22222 442 +

43

1683)(

sss

sssF





2 835 = )(s


32181315 = )(s

+ s

+ s

sF



gilt )(5 5 ts




)cos(3)sin(2 = )(c) tttf 2 2d) ( ) = 2 et

f t t




4 3

53 5 7a) ( ) s s sF s

s

6 8b) ( ) =

5 2F s

s s

21 3c) ( ) =

2 5F s

s s

135 = )(d) 2

sssF

22 15e) ( ) =4 9

sF ss




Die Funktion 0 0

0

( )( )

0f t t t t

f t t t


0 0( ) ( ) ( )f t f t t t t






00 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) e stf t F s f t t t t F s (331)


0 0

0 0

( )0 0( ) ( ) ( ) t t t ss t

t t


L


0 0 0

0


L L






= )(0Tt

tf

Dann gilt

00 0

( )( ) ( ) ( )1


es

(332)



0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 ) ( 2 ) f t f t f t T t T f t T t T






2 3

0

1 1 1

k

k

S q q q q q


F sF se

0 0

t t

T 2TT 3T

0 ( )f t ( )f t



00


t lt ttt


t

1

t0

)( tf


Aus 1( )ts



0

0( ) ( )steF s t ts

= L


0

t

0

tA

a) b)

A)(tA

)( tA

)( tf )( tf




( ) = 1 e sAF ss


00

( ) 1st




0

02

0

fuumlr 0 ( ) =

fuumlr ( t t )

A t tf t

Ae t gt t




02( )0 0( ) = ( ) ( ) + e ( )t tf t A t t t A t t


0 0( ) 1 2

st stA AF s e es s


fuumlr 0 ( ) =

0 fuumlr gt

A t tf t τ

t


00

tt

A A

)( tf )( tf

A2 ( )f t

1( )f t

3( )f t





0

t

A

( )f t

0t



( )3

seF ss


funktion )( tf


tes



te tf t t



Beispiel 314




0( ) ( ) 2 ( 2) ( )f t A t A t T A t T


s s


2 2

2 2

2 2

1 1( ) ( )

1 1 1

sT sT

sT sT sT

A Ae es sf t F s

e e e

2

21( ) 1

sT

sTA eF ss e

( )f t0 ( )f t

T T0 0

A A

A A

tt





t

3 fuumlr 3

3 0fuumlr = )(b)

t

tttf


= )(c)ttt

tf 0 1

d) ( ) 1 1 20 2

t tf t t

t

1 0 1e) ( ) 2 1 2

0 2

tf t t t

t

Aufgabe 310




( 2)

fuumlr 22( ) =

fuumlr gt 2t

A t tf t

Ae t


( )f t

t

A

01t 2t

( )f t

A

0 2

t



sTeF ss


T ist die



2

2a) ( ) seF s

s

5

4b) ( ) seF s

s

2

2c) ( ) 25

ss eF ss

2

31d) ( )

seF ss

1 1e) ( ) (1 )2

sF s es s

46f) ( )

( 2)

seF ss

1g) ( ) 12

ss eF s e

s s

2

21 1 1h) 1

2s sF( s ) ( e ) e

s ss



0

1( ) lim ( ) ( )t t t

(332)

( ) 1t dt

(333)


( )f t

t

1

0



t

0

1t

1

0 t0

)( 0tt )( t







( ) ( ) (0) ( ) (0) ( ) (0) 1 (0)




( ) ( ) (0)t f t dt f

(334)



0 0( ) ( ) ( )t t f t dt f t


(335)


)()0( = )()( tfttf (336)




)()( = )()( 000 tttftttf (337)





(338)

(339)






0

n

tn1

)( tgn

0 tn1

n2

)( tgnn

0 t

tnn e

)( tgnn




0( ) ( ) 1stt t e dt e

L


( ) 1t (340)


0 0 0


s s s

L L



s

0

1 se(t) lim 1s 1

L



L







t

0 t

0

(t)

t

0

t

0

(t)

1

1

1

1

)( tf

dttfd )(

0lim

0lim



( ) ( )D t t (342)




0 fuumlr 0 = )(

t

tdt

td






( )

0 0




0





bestimmt werden


4t



32 2

2 2sin(2 ) ( 3) 4 6 13

te ts s s




255ts



22

55 ( 2)

ttes




25( )

( 2)sF s e

s


5 = )( 2 ss+ssF



2 2 2 2 25 1 4 3( )

3( 1) 9 ( 1) 3 ( 1) 3s sF s

s s s




4( ) cos(3 ) sin(3 )3

tf t t t e


( )F s

s a

zu bestimmen






1s







te t t f tt



21a) ( )2 1

F ss s

21b) ( )4 8

F ss s

21c) ( )

2 3sF s

s s

31d) ( )

( )F s

s a

2

3e) ( )( 1)

seF ss

3

2f) ( )2 5

seF ss s

3

21g) ( )( 2)

seF ss

3

2h) ( )

( 3)F s

s



1 1 01

1 1 0

( )( ) ( )( )

m mm m

n nn n




11 1 0( ) = = 0n n



1 2

( )( ) ( )( ) ( )n n

Z sF sa s s s s s s




1 2

1 2( ) = k n

k n


(344)



Satz 316


1

( ) kn

tk

k

sf t A e

(345)



k

A A es s






1 2

1 2

( ) ( ) ( )( ) ( ) k k n kk k

n



lim ( ) ( ) ( ) ( )kk


(346)




Z sF sN s


( )lim( )k

k

k s s

Z sAN ss s

(347)


N ss s


pital angewenden

( )( ) ( )lim lim

1k kk ks s s s s s

dN sdsN s dN s

s s ds


( )( )lim ( ) ( )k

k

kk s s

s s

Z sZ sAdN s dN s

ds ds

(348)



F ss s





A AF s s s


1 21 ( 1)A s A s

Fuumlr s = 0 1 11 ( 1) 1A A

Fuumlr s = 1 21 A


1 0 0

1 1 1( 1) ( 1)s s

A ss s s

und 21 1

1 1( 1) = 1( 1) s s

A ss s s


1 + 1 = )(

ss

sF



( ) 1 tf t e


32 3 1( ) s sF s

s s





AA AF s s s s



2

1 20

2 3 1 13 1 s

s sAs

2

2 21

2 3 1 23 1 s

s sAs

und

2

3 21

2 3 1 13 1 s

s sA s


1 2 1( )

1 1F s

s s s


( ) 1 2 t tf t e e


Satz 317


1 11

00 1 0 0

( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )

k kk k k


(349)



00

0 11

1

( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )k




1 21 0 2 0 1 0

00

( ) ( ) ( )( )

( )

k kk k

k


s s



01

01

( )( 1)

nk

nn

ts tf t e Bn

(350)


0

01 ( ) ( )

rk

k r rs s

dB s s F sr ds

(351)

Beweis

a) Mit 11

( 1)

n

nt

ns


1

0 ( 1)( )

ns tn

nnB tB e

ns s




0( ) ( )kk s s

B s s F s





33 7 6( )

( 1)s sF s

s




Ansatz 2

3 2 13 3 2

3 7 6( ) ( 1)( 1) ( 1) ( 1)

Bs s B BF sss s s


0 r 3 23 1 1 ( 1) ( ) 3 7 6 2

s sB s F s s s

1 r 3 22 11 1 ( 1) ( ) 3 7 6 6 7 1ss s


2 r 2 2

3 21 2 21 1

1 1 1 ( 1) ( ) 3 7 6 6 32 2 2s s

d dB s F s s sds ds


3 22 1 3( )

( 1)( 1) ( 1)F s

ss s


Beispiel 322 Zu 2

23( )

( 1)( 2)s sF s

s s



2 12( )

1 2( 2)A B BF s

s ss


2 21 2 13 ( 2) ( 1) ( 2)( 1)s s A s B s B s s


s = 1 211 ( 1 2)A A1 = 1

s = 2 23 ( 2 1)B B2 = 3


s = 0 213 ( 1) 2 ( 3) 1 2 1B B1 = 2



22

)2(3

11 = )( 2

sss

sF



Satz 319

Beweis


Z sF sN s

gilt die Zerlegung

0 0

( )( )( )( ) ( )

Z sF ss s s s R s



(1) 1 20

0 0( ) ( ) ( ) ( )A AF s P s F s P s

s s s s


(2) 1 202 2( ) ( ) ( ) ( )


s a b



1 2 2 10 0 12 2( ) ( ) = cos( ) sin( )


bs a b




1 20

0 0( ) ( ) ( ) ( )A AF s P s F s P s

s s s s


00 0 0

( ) ( ) ( )( ) ( )





0 0 0

( ) ( ) ( )

Z sAs s R s


20 0 0

( ) ( ) ( )

Z sAs s R s


1 2 1 0 2 01 2

0 0 0 0 0

( ) ( )( )( )( )


1 1 2C A A und 2 1 0 2 0( )C A s A s


1 2 1 22 2

0 0( ) ( ) ( )

( )( ) ( )C s C C s CF s P s P s

s s s s s a b


1 2 1 2 10 2 2 2 2 2 2

( )( )( ) ( ) ( )



gibt 2 2 cos( )( )

ats a e bts a b


2 2 sin( )( )

atb e bts a b





24 25 45( )

( 1)( 6 13)s sF s

s s s




1 1 22( )

1 6 13A C s CF s

s s s


1 1 24 25 45 ( 6 13) ( )( 1)s s A s s C s C s

Setze s = 1 24 = 8A1 s = 0 45 = 39 + C2 s = 1 74 = 60 + 2(C1 + 6)

A1 = 3 C2 = 6 C1 = 1


2 2 2 2 23 6 3 3 3 2( )

1 1 26 13 ( 3) 2 ( 3) 2s sF s

s ss s s s


3( ) 3 cos(2 ) sin(2 )2

t tf t e e t t


2 22 3( )

( 2 2)( 2 5)s sF s

s s s s


2 2( )2 2 2 5

As B Cs DF ss s s s



1 20 0 und3 3

A B C D


1 1s j





Setze 1 1s j 1 ( 1 ) 3 3 3 3A j B A B j A


Setze 2 1 2s j 2 ( 1 2 ) ( 3) 3 3 6C j D C D jC



2 2 21 1 1 2( ) 3 3( 1) 1 ( 1) 2

F ss s


1( ) sin( ) sin(2 )3

tf t e t t



24a) ( )

5 6sF s

s s

1b) ( )( 2)( 2)( 3)

F ss s s

3

4c) ( )( 3)

sF ss

3 2

2 210 20 5d) ( ) ( 1) ( 2)

s s sF ss s s

2 21e) ( )

( 1)F s

s s

2 2

10f) ( ) ( 1) ( 8 17)

F ss s s

25g) ( )

( 1)( 1)sF s

s s

2

3 27 12h) ( )

3 3s sF s

s s s

32i) ( )2

F ss

2k) ( ) 1

sF ss

2 21 3 1l) ( )

( 1)ssF s e

s s s

2

33 8 6m) ( )

( 1)s sF s

s

36 Faltungssatz 73

36 Faltungssatz




1 11 2 1 2

2 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) F s f t



(352)

1 2 1 20

( ) ( ) ( ) ( )t

f t f t f f t d

definiert ist

(353)


1 2 1 20 0

( ) ( ) ( ) ( )t



1 fuumlr

( ) = 0 fuumlr

tt

t


1 2 1 20 0 0 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( )t



1 2 1 20 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) stf t f t f f t t e dt d


2 20

( ) ( ) ( )st sf t t e dt F s e


Weiter folgt

1 2 1 2 2 1 2 10 0



Satz 323





a sF ss a


berechnet werden


1 22 2 2 2( ) = = ( ) ( )( ) ( )





1 20

( ) ( ) ( ) cos( )sin( ( ))t

f t f t f t a a t d



36 Faltungssatz 75


1 20 0 0

1 1 1( ) ( ) ( ) sin( ) sin( 2 ) sin( ) sin( 2 )2 2 2

t t t


0

1 1 1( ) sin( ) cos( 2 ) sin( )2 4 2


a


22 2

1 sin( )2

a s t a ts a

(354)


00

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )t

tf t t t t d t t t


2

2 2( )( 1)

sF ss


1( )( )( )

F ss s s s




sF ss


zu berechnen





1

( ) ( )n

kk

F s F s


1

( ) ( )n

kk

f t f t



1

( ) ( )kk

F s F s




Satz 324


( ) ( ) ( )k kk k

F s F s f t




( ) ( )kk

f t f t

von F(s) wenn


0

( ) stkf t e dt M

und




( ) kk

kF s a s


1

( ) = ( 1)

k

kk

tf t ak


( 1)F s

s




4 2 4 6 8 10 121 1 2 3 4 5( )2 1

F s s s s s s s s


3 5 7 9 112 3 4 5( ) 3 5 7 9 11t t t t tf t


1 12

1 202 22

1( ) ( ) sin( )1 ( ) ( ) ( ) sin( )sin( )

1( ) ( ) sin( )1


F s f t ts


finden wir

0

1 1( ) cos( ) cos( ) sin( ) cos( )2 2

t

f t t d t t t




3 5 7 2 1

0

sin( ) ( 1)3 5 7 (2 1)

kk

k

t t t tt tk


0k

2642

)12()1( =

7531 = )sin( = )(

ktttt

tttf

kk



2 1

3 5 70

1 2 4 6 ( 1) 1( ) 2 13 5 7

kk

k

F ss k ss s s


2 1

0

( 1)arctan( ) 3 5 7 2 1

kk

k

z z zz z zk


die Korrespondenz



0


(355)

(356)



Integralsinus

0

sin( )( ) t

zSi t dzz


0


tSi dtt


Si t




3 2( )2 3 4s sF s

s s s





2 3 45( ) 1

2 3 4t t tf t t




2

4a) ( )1

sF ss

31b) ( )

1F s

s

11c) ( ) sF s es

1 1d) ( ) cosF s

s s




0

1( ) ( )t

f d F ss

L

(357)





( ) = 0 fuumlr

tt

t

1 20 0

1( ) ( ) ( ) ( ) (t) = ( ) ( ) ( ) t t



5 5

0

( )t

f t e d


5 56

5( 5)

tt es


5 56

0

5( ) ( )( 5)

t

f t e d F ss s




R

i(t)u(t)

u(t)

0

tU0

C




00

1( ) ( ) ( ) ( ) ( )t



01 UI sRI sC s s

( )( )



Cs RC


0( ) t

RCUi t eR




0

1( ) ( ) ( )t

Ri t i d A tC




1( ) 1 1 A RCI s

R s RC


2( ) ( )t

RCA Ai t t eR R C




0

t

0

df(t)

t

dt2U

2U

U

2a) b)

)( tf



2 fuumlr 0 lt lt 2



U t

f t U t


)(

22)(2 = )(

tttUtf


2

2 22 1 2( ) 1 2 1s ssU Uf t e e e

s s

L


2

22

0

2( ) ( ) ( ) 1t sUF s f t f z dz e

s

= L = L


2 4 2( )2 2

U U Uf t t t t t t



1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )f t A t t t t t

gezeigt werden



1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )Df t A t t t t t t t



Mit 1( )s

seDf t A es s

L ergibt sich

20

( ) ( ) 1t


L




s a




02 3

0


b) ( ) 2t

t

f t Si t d

f t e d


0

t

U0)( tf


0

0

0 a) ( )

U t tf t

U t

0

t

U0

)( tf


0

0

00

0

2b) ( )

3 2 3

0 3

U t t

U tf t

UU t t

t




Ableitung

( )( ) df tf tdt

Satz 326


lim ( ) = (+0)t

f t f


dttfst

0


(358)


0

00

0

( ) ( ) lim ( )st stt

t


L



0

00 00

00 0( ) lim ( ) ( ) lim ( ) ( )stst st

tt tt


L


( ) ( ) ( 0)f t s F s f L


2( ) ( ) ( 0) ( ) ( 0) ( 0)f t s f t f s F s s f f L L



Satz 327



0

( )k stf t e dt



2

3 2

( ) ( ) ( 0)

( ) ( ) ( 0) ( 0)

( ) ( ) ( 0) ( 0) (+ 0)

f t sF s f

f t s F s s f f

f t s F s s f s f f


31

2( )

att es a



Mit 2

31( ) ( )

2 ( )

att ef t F ss a



32( ) ( )


s a


Korrespondenz 2 2 2

23

4 2( ) ( ) 2( )



33

6 6( ) ( 0) 1 ( )2( )



3 3 2

36 6 ( )2( )

ats a t at a e ts+a




i(t)

R L

u(t)





0( ) + ( ) = UR I s LsI s

s 0 0( ) = =

( )U U

I sRs R+ Ls sL s+L


0 1 1( ) =

UI s RR s s

L


0( ) 1RL tUi t e

R


( ) ( )dz t z t



( ) (0) ( )sZ s z Z s

0( ) zZ ss


0( ) tz t z e



( ) ( )D t t (342)


Definition 36



1

( ) ( )n

i ii

Df t f t h t t

(361)




)5(3)4(3)3()2()1(2)(2 = )( tttttttf

1

2

3 4 52

t 1

23

05

-2

t

0

)( tf )( tfD



( )0 sonst

tf t


)5(3)4(3)3()2()1(2)(2 = )( tttttttf


( ) 2 ( ) 2 ( 1) ( 2) ( 3) 3 ( 4) 3 ( 5)D f t t t t t t t


u(t)iL iC

R

CL




Satz 328


( ) ( ) ( 0)Df t sF s f (362)




( ) ( )Df t sF s

( ) ( ) ( )n nD f t s F s

(363)

(364)


( ) ( ) ( )Df t f t h t


( ) ( ) ( 0)

( ) 1

f t sF s f

t




( ) ( ) ( 0)Df t sF s f






respondenz s


1( ) ( ) ( 0) 1t D t ss







0lim ( ) lim ( )

t sf t sF s

(366)



f t F s

L


0

( ) ( ) ( ) ( 0)stf t f t dt sF s fe

L


F s sF s f

lim ( ) ( 0)s

sF s f




ss F s

nicht auf das


lim ( ) t

f t




0lim ( ) lim ( )t s

f t sF s

(367)


0

( ) ( ) ( ) ( 0)stf t f t e dt sF s f


( ) = lim ( ) (+0)t

f t dt f t f


0

lim ( ) (+0) = lim ( ) (+0)t s

f t f sF s f


2

3 23( ) =

5 8 4s sF s

s s s




2

3 20

( 3)lim ( ) (0) lim 15 8 5t s

s s sf t fs s s

Endwert

2

3 20

( 3)lim ( ) = lim = 05 8 5t s

s s sf ts s s





4( )( 1)

sF ss

ist

Anfangswert 3

40lim ( ) lim 1

( 1)t s

s sf ts

Endwert 3

40lim ( ) lim 0

( 1)t s

s sf ts




31a) ( )

(1 3 )F s

s

2

1b) ( ) ( 1)( 2)

F ss s

2

3 22 3 2c) ( )

2 2s sF s

s s s


1e) ( ) 1

F ss s

1f) ( ) ln(1 )F s ss


Satz 331


( )

( ) ( )

( ) ( 1) ( )n

n nn

dF s t f tds

d F s t f tds

(368)

(369)




0



0



0 0






( )dF s st t

ds s


0

sin( ) tt t e dt


2 20

2sin( ) sin( )( 1)

stst t t t e dts


0

4sin( ) 01625

tt t e dt





Wir erhalten ( ) 1

2dF s t t

ds s s t

und

322

2 2( ) 1 3 1

2 2d F s t

ds s s


121 4

(2 )

nn

nn t

ns s


21( ) ln 1 F ss


23 2 2

( ) 1 2 2 2 21 ( 1) 11s

dF s sds ss s s s


22 2 2 2cos( ) ( )

1s t t f t

s s

Mit dem Ergebnis t

ttf )cos(22 = )(






1e) ( ) sin( ) cos( )2

f t t t t


( ) ln(1 )F s s



Satz 332



( )( ) s

f tF u dut

(370)




0



( ) ( ) ut

s s

F u du f t e dt du


0 0 0

( ) ( ) ( ) ( )ut st

ut

u ss s





( )( ) st

s

f tF u du e dtt

folgt im Grenzfall

s 0

0 0


(371)


( )f t dtt

verwendet werden



sin( )( ) tf t

t


1t

s folgt 2

sin( )1s

t dut u

Mit 2 arctan( )1

du uu

erhalten wir


u

u s

t u st s


sin( )( )x tSi x dt


Zu berechnen ist 0

sin( )( ) tSi dtt


sin( )1

ts


200 0


t dsdt st s


1 2

1 2



1

1 2 2

1 1( ) lnss s


Da der Grenzwert 1

2lim 1u

u au a


2 11

2ln

a t a ts a e es a t




sinh( )a) ( ) tf tt

1b) ( )

tef tt



0


3

0

b)t te e dt

t



Definition 41


( ) ( 1)1 1 0( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n



( ) ( 1)1 1 0( ) ( ) ( ) ( ) 0n n






( 1)( 0) ( 0) ( 0)nf f f






f(t)








11 0( ) ( ) ( ) ( )n n



11 1 0

( ) ( )( )( )n n

n


= =

(42)



1

1

( ) ( )

( )

n

ii

iR s k sF s

N s

(43)






21( ) 2 ( )

1sF s F s

s


2 312 2

1( ) = = 2( +2)( 1) 1

A s AAF s + s+s s s


)2)(( + )1( = 1 322

1 sAsAsA


s = 2 1 = 5A1 A1 = 02

s = 0 1 = 02 + 2A2 A3 = 04

s = 1 1 = 1 + 04 + 3A2 + 12 A2 = 02

Damit ergibt sich

22 2

1 2( ) = 02 ( ) = 02 e cos( ) 2sin( )2 1 1






4

= )(9)( 22

sssFksFs und

9 +

)4)(9( = )( 222 s

kss

ssF


3 41 2

2 2 2 2 ( 9)( 4) 9 4




)9)(( + )4)(( = 243

221 sAsAsAsAs

s = 2j 2j = (A32j + A4) 5 A3 = 02 und A4 = 0

s = 3j 3j = (A13j + A2) (5) A1 = 02 und A2 = 0


Damit erhaumllt man

2 2 202 02( )

4 9 9s s kF s

s s s

und










2

2( ) ( ) ( ) 0R

d x tm D x t F tdt


2( ) ( )( ) Rd x t D F tx t

m mdt



und ( )( ) RF tr tm



22( ) ( ) ( )d x t x t r t

dt


0x

dxdt

erhaumllt man


02( ) ( ) ( )X s s A X s R s




0

k

kT 2T

t

r(t)



2

2

1( )1

sT

sTk eR ss

e


02 2 2 2

2

1( )( ) ( )

1

sT

sTA s k eX s

s s se


a e

432 22221

11 aaaa

aa


03

2 22 2 2 2( ) 1 2 2 2

( ) ( )


s s s



Es ergibt sich

2 22( ) cos( ) 1 cos( ) 1 cos ( )


2 2 2

2 2

2( ) cos( ) 1 cos ( )2 2

2 2 3 3 1 cos ( ) 1 cos ( )2 2


k k T Tt T t T t t



2( ) cos cos ( )2

k k T kx t A t t

0 2 23( ) cosk kx t A t







0 = (+0) = (+0) = )(2)(3)(a)

ffttftftf

5 = (+0) 0 = (+0)

)25sin(2 = )()(2)(b)ff

ttftftf

1 = (+0) 2 = (+0) e610e = )(9)(c) 32

f ftftf tt

8 = (+0) 3 = (+0) 1 = (+0) 0 = )()(d)

ffftftf

e) ( ) 4 ( ) 4 ( ) ( ) ( 2)( 0) 0 ( 0) 0f t f t f t t t

f f


ttftftf 5e38 = )(4)(2)(



R

i(t)ue(t) C ua(t)

Bild 44 RC-Glied

aa e

( )+ ( ) = ( )

du tRC u t u t

dt



e 0a) ( ) ( ) ( )u t U t t eb) ( )u t k t

ue(t)

0

t

U0

ue(t)

0

t

U0 k =U0







Laplace-

Transformation




0 = )0( = 0)( 21 ii


1 21 0

2 12

( ) ( ) ( ) = ( )

( ) ( ) ( ) = 0




R R

L Lu(t)

M

i2i1




01 2

1 2

(1) ( ) ( ) + ( ) = s

(2) ( ) + ( ) ( ) = 0

ULs R I s Ms I s

Ms I s Ls+ R I s


sU

sMR+LsR+Ls

+Ls Ms RsR+Ls M

R+Ls

Mss

U

sI 0222

0

1)(

=

0

= )(

0

02 2 2 2

0

( ) = = ( )

UR Ls s Ms U M



0 01 2 2 2

2 2

( )( ) = =

( ) ( )1 ( ) ( )1 1

= + +

( ) ( )1 1



L k L k


RUC

RUB =

RUA

2 = und

2 = 000

Wir erhalten somit

)1(

1

)1(

122

= )( 01

kLRs

kLRssR

UsI


)1(

1

)1(

12

= )( 02

kLRs

kLRsR

UsI



(1 ) (1 )01

(1 ) (1 )02

( ) = 2 e e 2

( ) = e e2

R t R tL k L k

R t R tL k L k

Ui t

R

Ui t

R


=1000 s1 und 0UR

= 100 mA fuumlr



k1 = 05 (a) und k2 = 09 (b)




i(0) = 0 und ( 0) 0CU

i(t) R

L

C

uC(t)ue(t) iR iC




e( )(1) ( ) ( )C

di tL u t u tdt


Aus ( ) ( ) ( )R Ci t i t i t mit ( )

( ) = CC

du ti t C


)( = )(1)((2) tituRdt

tduC CC


0(1) ( ) ( )

1(2) ( ) ( ) 0

C

C

ULs I s U s

s

I s Cs U sR


1111

=

11

1

0 1

= )(2

00

0

LCs

RCsLCs

U =

RCs+Ls

sU

RCs+

Ls

sU Ls

sUC


RC21 =

folgt

220

2

200

20

2

200

()2( = )(

)ssU

sssUsUC




Daumlmpfungsgrad 0

=


2


sA

sA

sAsUC

32

21)(

= )(




2



0 0 2 312 2 2 2( )





2


Mit 2 2 20 a folgt

002

2 312 2 2 2( ) = =

( ) ( )C



1 0 2 0A U A U und 03 2UA



a


0 Cu ( ) U



dt dtdt




(2) ( 4 4) ( ) ( 1) ( ) 1s X s Y s

s X s s Y s


2

2

3 2 3 22 2

1 1 11 1 4 4 1 4 4( ) ( )

4 4 4 41 14 4 1 4 4 1

ss ss s sX s Y s



3 2 4 4 0s s s


s2 4 = 0


1 113 3 61 2 2( )

1 2 2 1 2 2AA AX s

s s s s s s

1 23 3 31 2 2( )

1 2 2 1 2 2BB BY s

s s s s s s


2 2 2 21 1 1 1 2( ) und ( ) 23 2 6 3 3







)(sin)(2)()((2)

)(cos)(4)(2)((1)

ttytxdt

tdy

ttytxdt

tdx



dt

tdxdt

tdytydt

txd )(9)((2))()((1) 2

2



)(2)()()2()(3)(2)()1( txtydt

tdytytxdt

tdx


Aufgabe 47




u(t)

RL C

iCiL


0

0

( )(1) ( ) ( ) = ( )

( ) 1(2) = ( )

LL C

tL

C


di tL i ddt C





43 RCL-Netzwerke


Definition 42







Satz 41


)()(D)()(

)()(D )()()(

)(

sUstusUtu

sIstisIti

kn

kn

kk

kn

kn

kk

(44)


t

tutiLdiC

tiR0

)( = )(D + )(1 + )(

u(t)i(t)

CR L



1 ( )( ) ( ) ( )I sR I s LsI s U sC s


R

(45)




( )( )( )

U sZ sI s

(46)







R


C

t

C iC

tu0

)d(1 = )( )(1 = )( sICs

sUC Cs

sZC1 = )(

L

)(D = )( tiLtuL

)(= )( s LsIsU L

LssZ L = )(


u(t)i(t)

CL

U(s)I(s)

Ls1

CsRRa) b)




Satz 42







u(t)

R

RCi(t)

a) b)

U(s)CsI(s)

R

R1



1 12( ) = Z +Z Z = = = 1R C R

Cs RC

Cs RC


und den Bildstrom 1

10 222

( )( ) = = = ( )

RC

RCRC


Mit 0 0 0 01 2

2

1 1

2

= 0

= = und 2 2

RC

RC RC

RC s s =

s sU U U UA A = =

R R R s Rs


R s sRC



0( ) 1 2

tRCUi t e

R


0( 0) = Ui

R


Bild 412 Strom i(t)



R R

Cue(t) ua(t)i1(t)gt

i2(t)gt

i3(t)gt

R

CC




0)(2)(1

0)(1)(2)(1

)()(1)(1

32

321

e21

sICs

RsICs

sICs

sICs

RsICs

sUsICs

sICs

R


1 1

1 2

1

3 3 3 3 2 2 21 1

2

2

( )0

0 0( ) = =

5 6 10

1 1

10

eCs Cs

Cs Cs

Cs

Cs Cs

Cs

Cs

R U sR


R

RCs Cs

RCs


u t U t U ss



03 3 3 3 2 2 2

1( ) ( ) ( 5 6 1)a



0 =)165( 222333 RCssCRsCR s



3 2( ) 5 6 1 f x x x x




RCsx

RCsx

RCsx

2473 = 2473 =

5551 = 5551 =

1980 = 1980 =

43

32

21



03 3

1 32 4


= 0198 1555 3247

aUU s

R C s s s sRC RC RC

A AA As s s s

RC RC RC


04030201 0600 = 2800= 2201= = UAUAUAUA


RC

RC

RC

a Utu247355511981

0 e0600e2800e22011 = )(


t


a 00


u t s U s U




0( ) 0937au t U



u(t)i(t) C

R

a)

u(t)U0

0

t

2

b)



)(11 = )(

1 = 1

)( = )()( = )( sU

Css

sR

sU+RCs

Cs

Cs+R

sUsZsUsI


20 2e112 = )(

s

sUsU


2 1( ) = 1 2e e( )

ss

RC

UI s

Rτ s s


RCRC ssRC

ss 1111 =

)(1


2 1 1( ) = 1 2e es

s

RC

U CI s

s s



)()()()( 321 sIsIsIsI

20 01 21 1

03 1

2 21 1 1 1( ) = ( ) = 2e

2 1 1( ) = e

s

RC RC

s

RC

U C U CI s I s

s ss s

U CI s

s s


2


0

20

20

2 1 fuumlr 02

2( ) = 1 2 fuumlr 2

2 2 fuumlr

RC

RCRC

RCRC RC

t

tt

tt t

U C e t

U Ci t e e t

U C e e e t


t




1 2 3( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2










Li0(t)

u(t)i(t)

Li0

U(s)I (s)

R RL Ls



)( = )(D)( tutiLtiR


0( ) ( ) = ( )R I s L s I s i U s bzw

0)( = )( iL+sUsILsR (47)





Mit Gl (46) folgt

00 = )( iL

sUsILsR


LRs+

i

LRssR

U = R+Ls

iL + R+LssU)sI 0000 + 11 = (


RLR

iR

Uti

e + e1 = )( 0

0


LR


0( 0)i i


R

Utit

0 = )(lim



u(t)

i(t)

U(s)

I (s)

R

C

R

Cs1

a) b))(0 tU

sU 0




1( ) ( ) ( )t

R i t i d u tC


0

0 = )0( = )(1 UudiC C


0

1( ) ( ) ( ) ( 0)C

t

u t R i t i d uC


)( = )(1)( 0 sUsICss

UsIR oder

sUsUsI

CsR 0)( = )(1

(48)



Satz 43







1

RC

Cs

sRUU

RCsCs

sUU

RsUUsI

101

01

101

1

1

= 1 = )(


tRCe

RUUti

101 = )(



Aufgabe 48

u(t)i(t)

RR

L


0( ) ( )u t U t

angelegt wird

Bild 421 Stromkreis


C

Ru(t) uR(t)

i(t)

a)

u(t)

U0

0

t0U0k =

tt0b)




gti1(t) i2(t)

R C

RCgt

u(t)

a)

u(t)U0

0

t



LCLR 1 gt 2

a)2

aperiodischer Fall

LCLR 1 =

2b)

2


LCLR 1 lt 2

c)2

periodischer Fall

i(t) C

R

u(t)

L


Aufgabe 412


ua(t)

R C

i(t)

R

Bild 425a Schaltung

u(t)

U0

0

t



u(t)

U0

0

t




Aufgabe 413


0( ) ( )eu t U t


R

C

ue(t) ua(t)

i(t)

C

Bild 426a Schaltung


0

1) ( ) ( )2) ( ) ( )

e

e

u t tu t U t

R

ue(t)

R

2R

Lua(t)

i1(t) i2(t)

Bild 426b Schaltung





Eingangssignal x(t)



Definition 43


1 1 2 2 1 1 2 2( ) ( ) ( )y k x k x k y x k y x (49)


Definition 44


0 0( ) ( )y t t f x t t (410)






Definition 45




Definition 46





Definition 47


(411)


( )) = ( )

Y sG sX s


Satz 44


( ) ( )G s g t L (412)



Y sG s g t L

Satz 45


0

( ) ( )t

h t g d

(413)


ist die





1 ( ) ( ) ( )t

G s g d h ts


( )( ) h tg tdt

(413a)


( ) ( )g t Dh t (413b)


Satz 46


0

( ) ( ) ( ) ( ) ( )t





( )( ) ( )

a

e

U sG sU s

(415)


Beispiel 412

Cua(t)

R

ue(t)

i(t)

Bild 430 RC-Glied




e1( ) ( ) = ( )eu t U s R + I s

Cs


a1( ) ( ) = ( )au t U s I s

Cs


1 ( )( ) 1 1 1( ) 11( ) 1( )

a

e


RCCs






RC RC


RC



( ) 1 RCa

tu t e



1 1( ) 1G sRC s

RC

11 ( ) RC t

g t eRC



( )g t ( )h t1

RC

t t

0 0a) b)

1





2

1 ( )( ) 1( ) 1( ) 1( )

a

e


Cs





R2

= folgt

2 20 0

2 2 2 2 20 0

( ) = = 2 ( ) ( )

G ss s s





202 2( )

( )G s

s




2002( ) ( )

( )tG s g t te

s

Impulsantwort



202 2( )

( )G s

s


20( ) ( ) = e sinh( ) tG s g t t

i(t) Cue(t) ua(t)

R L



Bild 433

Beispiel 414


iR


C

C

CR

R

R

iC + iR

a) b)



Cs Cs


1( )

( ) 1( ) ( ) 22 ( )

a

e


Cs


( ) ( )( )( ) ( ) 2 ( ) ( )

R Ca

R Ce




Cs


( ) 1 1( ) = 2( ) 2

R

R



Beispiel 415


i2(t)gt

i1(t)gt

ue(t) ua(t)

R

RR

C



1 21 1(1) 2 ( ) ( ) ( )eR I s R I s U s

Cs Cs

1 21 2(2) ( ) 2 ( ) 0R I s R I s

Cs Cs




2

12 ( )

1 0( ) ( )

3 11 12

1 22

e

e

R U sCs

RCs CsI s U s

RCsR R

Cs Cs

R RCs Cs


2( ) ( ) ( )3 1a e

RCsU s RI s U sRCs


a

e


Beispiel 416




( ) ( ) 1( ) 11( ) 2 1 22 ( ) 2

a

e


RCCs


werden ( )( ) ( )

aZ sG sZ s




aZ s R sG sZ s R s

Cs RC

R

i(t) R

C

ue(t) ua(t)




1 1 1( ) ( ) 122

H s G ss s

RC

121 ( ) ( )

2

tRCh t e t


121 1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )1 12 2 4 2 4

2 2

tRCsG s g t t e t

RC RCs sRC RC




2 21 1( ) ( ) ( ) ( )4 2


RC


02 ( ) ( )t

RCe t e t


Impulsantwort 1

21 1( ) ( ) ( )2 4

tRCg t t e t

RC


t verloren

( )h t

05

t

0



ue(t)

i1(t)gt

i2(t)gt

ua(t)

R

RR

C




1 2

1 2

1 1(1) 2 ( ) ( ) ( )

1 1(2) ( ) 2 ( ) 0


R I s R I sCs Cs


2

12 ( )

1 01( ) ( )

3 21 12

1 12

e

e

R U sCs

RCs RCsI s U s

R RCsR RCs Cs

R RCs Cs


21( ) ( ) ( )



( ) 1( ) ( ) 3 2

a

e

U s RCsG sU s RCs


2( ) ( )G s RI s



aZ sG sZ s


Cs Weiter


1 11 12 1( )

1 1 2 1 1 3 22 1


Cs RCs


1 11 1 3( ) 12 23 3

3 3

sRC RCG s

s sRC RC


231 1( ) ( )

3 3

tRCg t t eRC

c) Sprungantwort

11 1 1 1 1 1( ) ( ) 223 2 6

33

sRCH s G s

s s ss sRCRC

231 1( ) ( )

2 6t

RCh t t e


+1 1( 0) und ( ) =3 2

h h


0

19RC

1( )

3t

( )g t




0 1

0 1( )

mm

nn





1 2

1 2

( )( ) ( )( ) mit ( )( ) ( )

m m

n n







0






o

o

o

Re(s)=σ

Im(s)=ω





im Bildbereich 1s





Bildbereich 31

( )s


tet 2

( )2

ttf t e



0( )s



im Bildbereich 02 2

0s


0( ) sin( )f t t




g)

k)

h)

i)

3-



1s



2 0( )s





Satz 47


Re( ) 0iP i


a) b)






( ) | |g t dt K

mit K

(417)


y(t) = g(t)x(t) ( ) ( ) ( )| | | |g x t d N g d

wenn ( ) | |N g d M









Satz 48




X sX se


0 ( )( ) ( ) 1 sT

X sY s G se





02 ks j jkT mit k = 0 1 2 3




0 s jk


0






2 2( ) ( )Y s G ss


Definition 48


( ) ( ) jF A e (418)





Satz 49


( ) ( ) s jF G s (419)




11

( ) RCRC

G ss



( ) s j

RC RCRC RC

Fs j

Amplitudengang 2

11

1( ) ( )1 ( )

RCRC

A Fj RC







1 2

1 2

1 1(1) ( ) ( ) ( )

1 1(2) ( ) ( ) 0

eR I s I s U sCs Cs

I s R I sCs Cs


2

1 ( )

1 01( ) ( )

21 1

1 1

e

e

R U sCs


RCs Cs

21( ) ( ) ( )

2a eU s RI s U sRCs

und daraus ( ) 1( ) ( ) 2

a

e

U sG sU s RCs


( )( )( )

aZ sG sZ s

2

1 = (

1

1

1

1

+RCs=

R+

RR

+R

R

)sG

Cs

Cs

Cs

Cs


RCs RC sRC

21( ) RC

tg t e

RC


j RC

R

C

i1gt

Rue(t) ua(t)i2gt



j RCF


Realteil 1Re 2( )F





0( )( )1 sTX sX s

e

(420)



( ) ( ) ( ) ( ) ( )f l stY s G s X s Y s Y s

(421)


( ) ( ) ( ) ( )stat f lY s G s X s Y s

Im F(ω)

Re F(ω)

1Im( )F

1Re( )F


a) b)



definiert fuumlr 0


ost

t Ty t




a)ue(t) ua(t)

R

C



00

sin( ) fuumlr 0 ( ) = 2


TU t tu t




20 0 0 2 2( ) ( ) 1

sTu t U s U e

s




2 2

00 2 2

( ) 1( ) ( ) 1 1

sT


se e


( ) 1RCG s

s RC



2

02 2

1 1( ) ( ) ( ) 1 1

sT


ss eRC

(422)


2 3 3

2 2 2 2 2

2

1 1 1 1 2 2 2 1

sTsT sT sT sT sT

sT sTsT

e e e e e e e ee


32 20

2 2

1( ) ( ) ( ) 1 2 2 2 1

sT sTsT


ss RC


2

0 2

( )

1( ) sin( ) cos( ) ( ) (423)1

1 2 sin ( ) cos ( ) ( ) 2 2 2

RC

TRC

ta

t

RCu t U e t t tRCRC

T T Te t t tRC

( ) 1 2 sin ( ) cos ( ) ( )

TRCt

e t T t T t TRC




1) 1 = sRC

2) s j und 3) 2 21 0 2 = 2sT

e s jk jkT

0123k



f lu t A e



s RC


2

21

20 0

1 2 2 22

1 1 1 1 ( )1 1

TRC

TRC

RC

sT

sT

s


ua(t)

t


T

0 le t le 3T2

t ge 5T




20 1

2 22

1 1( ) ( ) ( ) 1 11

sT


ss sRC RCe


30 12 2 2

2 2

1( ) 1 1 1 1

sT sT sTsT

stU ARCU s e e e e

ss sRC RC


30 12 2

2 2

1( ) 1 2 2 2 1 1

sT sTsT

stU ARCU s e e e

ss sRC RC

32 20 01

2 2 2 2

1 1 2( ) 1 1 1

sT sTsT


s s ss sRC RC RC


Tt beschraumlnken



Tt durchzufuumlhren


2 2 sT sT

sTe e e liefern im


2Tt identisch Null



12 2

1 1( ) 1 1 2o ost

U ARCU sss sRC RC



2 2 2

1 1 sin( ) cos( )1 1 ( )

to RC

oU RCRC U e t t

RCs RCs RC



2

11 2

1 1 1 ( ) 1

TRC

TRC

t tRC RC

oA RC eA e U e

RCs eRC


2

22

2 1( ) sin( ) cos( )1 ( ) 1

TRC

TRC

to RCst o


fuumlr 0 2Tt




ost

Uu t






ue(t)

R

C

C

ua(t)

RR

C

ue(t) ua(t)




Aufgabe 416

a)C ua(t)ue(t)

R1

R2


( )( )( )

a

e

U sG sU s

b)

L

Rue(t) ua(t)C

c) ua(t)ue(t)

R

C R

C


Aufgabe 417

R

Cue ua

R

i2(t)i1(t)C




3+1 = )(

RCssG


U0

0

t

ue(t)





Aufgabe 419


LCLR 1 =

2


( )( ) ( )I

I sG sU s




u(t)

U0

0

t


u(t)

U0

0

t




ue(t) ua(t)R C

C


Aufgabe 421

ue(t) ua(t)

R

L

RR




R L C

( )u t ( )i t


Aufgabe 422



Zu berechnen ist




Aufgabe 423

ue(t) ua(t)

R

RC



( )( )( )

a

e

U sG sU s





2( ) ( )T x t T x tat x



22 2



R R

RC

e( )u t a ( )u t



2

2( ) ( )T x t T x tat x

(424)

ac




Notation 0


L (425)


2

2( ) ( )

t tT x t T x ta

t x

L L


T x t sF x s T xt



2 2 2 2 2

2 2 2 2 20 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( )st stt t


e e

L L

TRTA

x 0




2

2( )( ) ( 0) d F x ssF x s T x a

dx (426)


Notation 0


L (427)


2

2( )( ) ( 0)x x x


L L L (428)




22

2( ) ( ) (0 ) (0 )x



1(0 ) (0 ) RtF s T t Ts


0

( )(0 )x

dF x sF sdx




(429)


2 2 2(0 ) 1( )


(430)






1 1 1 12 2 2

1 1( ) (0 ) ( ) ( )

R Ax x x x


L L L L



p s xap s a





1cosh2

x xs sa as xa e e

und 1sinh2

x xs sa as xa e e


1 1( ) (0 ) (0 )2 2


e e

(431)


As


1 1lim (0 ) (0 )2 2R A R A A As





e (432)



T(xt)

x

t

x1

t1 100 degC

0 degC





s se

L L L


( ) ( ) 12A R A

xT x t T T T erfat









y(t) x(t) G(s)

Y(s) X(s)

G1(s) G2(s) X(s) Y1(s) Y(s)






2 1 2 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )Y s G s Y s G s G s X s


2 1 1 2( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )


(51)



1 2 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )

k

n






22 2

1

1 1 1 2 1( )

( )RC RC RC

RC RC RC RC RC

s ssG s

s s s s s



Y(s) X(s) 1 1( )

R C

sG ss

2

1

1( ) RC

RCG s

s











sex t t t X s s


2 2 21 1( ) ( ) ( )

( 1) ( 1) ( 1)


22 3 1( ) RC

RC RC

sG s

s s

1

1 0 t

x(t)



ua(t)ue(t)R

C R

C



( 1)( ) ( ) ( 1) ( 1)t ty t t e t t e t


2 2 2

1 1( ) 3 1 3 1 3 1




3 32 2

( 1)5 52 2

2( ) sinh( ) ( ) sinh( ( 1)) ( 1)5

t ty t t t t te e





Y(s) = Y1(s) + Y2(s) = G1(s)X(s) + G2(s)X(s)

Y(s) = [G1(s) + G2(s)] X(s)

t 1

y(t)


Y2(s)

Y1(s) G1(s)

Y(s)

G2(s)

X(s)




1 2( ) ( ) ( ) ( )( )

Y s G s G s G sX s

(53)


1 2 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )

n


(54)







+

Y(s)

X(s) U(s) G1(s)

GR(s)R(s)





1

1

( )( ) 1 ( ) ( ) R

G sG sG s G s

(55)


Mitkopplung 1

1

( )( ) 1 ( ) ( ) R

G sG sG s G s

(56)






2( ) 1 1( ) ( ) ( 1)11 ( 2)( 2)

Y sG sX s ss ss s


Y(s)

ndash

X(s) 1( ) ( 2)G s s s




2 21 1 1( ) ( )

( 1) ( 1)Y s X s

ss s


Sprungantwort 12

1( ) 1 (1 )( 1)

ty t t es s

L








Zeitbereich 0

( ) ( ) t



kG ss

I


( ) ( )IkY s X ss

h(t)

t



t

h(t)


Bild 510



Zeitbereich


Bildbereich




0

( ) ( ) ( ) t


kY s k X s X ss


kG s ks



0

( )( ) ( ) ( ) D

t


dt ( ) ( ) ( ) ( )D

IP



kG s k k ss


( ) ( )DY s k s X s

h(t)

t

h(t)

t

h(t)

t








1 P

PTkG s

sT









2( ) 2 ( ) ( ) ( )I I Iy t k y t k y t k x t (59)





h(t)

t

( ) (1 )TtPh t k e ε(t)

GPT1(s)



kG ss


( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( )I IY s X s G s Y s G s (511)




halten 2 2( ) 2

I

I I

k sG ss k s k


( )( ) 1 ( ) ( ) 1 2

II

I I I R

kG ssG s

k k G s G ss s

(512)

X(s) Y(s)

( ) II

kG s

s

( ) 2PG s

( ) II

kG s

s






X(s) Y(s)

( ) 2RIk

G ss

( ) II

kG s

s


G1(s)

G4(s)

G5(s)

G2(s) G3(s)










3 2 13 3 2 5

2 4

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 ( ) ( )




1 2 3

2 4 1 2 3 5

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )


(513a)


224

2 4

( )( ) 1 ( ) ( )

G sG sG s G s


Bild 520 ergibt


(513b)

1

2 4

( )( ) ( )1 ( ) ( )

G sV s U sG s G s

14 1 2 3

2 4 1 2 3 514 5

( ) ( ) ( ) ( )( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 ( ) ( )


X(s) Y(s) G1(s)

G5(s)

G24(s) G3(s)






( ) (2 )I IR



2

2 2( )

1 ( ) 2 R I I

a sG ssaG s dk s ka

(514)



22 2 ( ) ( )I Is dk s k Y s s X sa


X(s) Y(s) G14(s)

G5(s)


y(t) x(t) a

Iks

Iks

2d








11( ) 0

G s a a

s a


1

1

1( ) 1( ) 11 ( ) ( ) 1 P PP




0

kP gta kP =0

a

Im(s)

Re(s)

RHE LHE

Bild 524 PN-Plan

y(t)

x(t) 1

1( )

G s s a

GP(s)= kP




1 2 2( ) 0 bG s a b a b

s a




2 2

2 22 2

( ) 1 PP

bbs aG s b s a bkk

s a


Fuumlr2






y(t)

x(t)

kP

1 2 2( )

bG s

s a


y(t)

x(t)

GPD(s)

1 2 2( )

bG s

s a




2 2

2 22 2

( ) 1 ( ) D PP D


s a


2 21 2

1 ( ) 4( )2 D D Ps bk bk bk a


(2) 2 2 ( ) 4( ) D D Pbk bk bk a


Pak b


und 2

Pak b




Nach Bild 527b gilt 1 2 1 21( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )



x2(t)

y(t) x1(t)

+ G(s)


x2(t)

y(t) x1(t)

+

1G(s)

G(s)








x(t) y(t)

y(t)

G(s) y(t)

y(t)

x(t)

G(s)

G(s)

x(t) G(s) y(t)

x(t)

x(t)

1G(s)

G(s)

x(t)

y(t)

x2(t)

y(t) x1(t)

+ G(s)


x2(t)

y(t) x1(t)

+

G(s)

G(s)


x(t) y(t)

+ G(s) ndash

( )1 ( )

G sG s

y(t) x(t)







11G s und 2

1G s a


y(t) x(t) ( ) I

Iks

G s


a x(t)

ndash

1

1sT

2

1sT

ndash

b

c


u(t) x(t) y(t)

G1(s) G2(s)




sG ss



x(t) +

+ 1

sTsT

a

b

y(t)







( ) | ( ) [ ]t kTx t x kT x k




0

x(t)

t2T T




0( ) ( )

kx t t kT


0 0( ) ( ) ( ) [ ] ( )A



0 00 0

( ) [ ] ( ) [ ] ( ) ( )Ast st


L


0



( ) [ ] [ ]kskT sT

k kX s x k e x k e




0

[ ] [ ] ( )k

k

x k x k z X z

(61)


( )x k X z













jT

jT

Im( )z Im( )s

Re ( )s Re (z) 0 11

Ebenes Ebenez

0





2








651 Sprungfolge

Definition


Bild 63 Sprungfolge

0 0

12

1 11

1[ ] [ ] 1 11

kk

k k

zk k z z z z zz


11

k

k

qq

mit 11q z


zkz


1 fuumlr 0[ ]

0 fuumlr 0 k

kk

k

k

0 1 2 3 412

1


652 Deltaimpuls


1 fuumlr 0[ ]

0 fuumlr 0 k

kk


0

0

[ ] [ ] 1 1k

k

k k z z



1 fuumlr [ ]

0 fuumlr k i

k ik i


0[ ] [ ] k i

k

k i k i z z




Reihe ergibt 0 0

1 1

kk k k

k k

a za k a z az z az






k 0 1 2 3 41 2

1

δ[kminus3]


k

k

0 1 2 3 412

1

Bild 64 Deltaimpuls





k Nrect k

k N


0 0

1 1 [ ] 1 1 N

Nk k

N Nk k



1

0

1 11

N Nk

k

qq qq

Wir erhalten 111

1 11

NN

Nz zzrect k

zz


N

Nz zrect k

z




-1zk

z und ( 1)( 1)

1N zk N z

z

(Verschiebungssatz)


Nz zk k Nz z

1

N

Nz zrect k

z

k

0 1 2 N

1

N+1

rectN [k]





0

[ ] cos( ) ( )k

x k t t kT


0

cos( ) ( )k

x k kT t kT






k k

X z kT z e e z


0 0

1 1 1( ) 2 2 2j T j T

j T j T

k kk k

k k



cos( )( )

2 cos( ) 1z z T

X zz z T

Korrespondenz

2

cos( )cos( )

2 cos( ) 1 z z T

kTz z T

Konvergenzbereich z




zk X zz

2 Fuumlr 2


Korrespondenz 2

22cos( ) ( )1

zk X zz

k0 1

1

t

2 1

3 4

cos(ωt)




661 Linearitaumlt


1 2 1 2 ( ) ( ) ax k bx k aX z bX z (62)

Beweis 1 2 1 2 1 20 0 0

[ ] [ ] ( [ ] [ ]) [ ] [ ]k k k


1 2( ) ( )aX z bX z


( ) ix k i z X z (63)

Beweis 0

[ ] [ ] k

kx k i x k i z


0[ ] [ ] [ ] ( )i n i n i





k za x k X a (64)

Beweis 0 0

[ ] [ ] [ ]k

k k k

k k


fuumlr 1za





Beweis Es gilt 1 1

0 0 0

k k k

k k k

ddz z k z z k z


0 0

[ ] [ ] [ ] ( )k k

k k


665 Faltungssatz


1 2 1 2 ( ) ( ) x k x k X z X z (66)


1 2 1 20

[ ] [ ] [ ] [ ]i

x k x k x i x k i

(67)


1 2 1 2 1 20 0 0

[ ] [ ] ( [ ] [ ]) [ ] [ ]k k



( )1 2 1 2 1 2

0 0 0 0[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]k k i k k



Es gilt 0

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]i

x k k x i k i x k





z 1 1 ( )z x k x k X z (68)


667 Summenbildung

0

z[ ] ( )z 1 n

kx k X z

(69)


[ ] [ ] [0] [1] [ ]n

ks n x k x x x n

erhalten wir

1

0 0[ ] [ 1] [ ] [ ] [ ]

n n




zS z X zz





x k

pTT 2T

pT pT

0

0x

1x

2x

kT

t




0 1 2 1( 1) (2 1)

0 1 1

2 (2 1) (3 1)0 1 1

( )

pp

p p pp

p p pp

X z x z x z x z x z

x z x z x z

x z x z x z


1 2 ( 1)0 1 2 1

1 2 ( 1)0 1 2 1

2 1 2 ( 1)0 1 2 1

( ) 1 +

+

+

pp

p pp

p pp

X z x x z x z x z

z x x z x z x z

z x x z x z x z


1 2 ( 1) 20 1 2 1( ) + 1 p p p



2 11 1

p ppz z

z

fuumlr 1 1z


1 2 ( 1)0 1 2 1

( )1

pp

px x z x z x z

X zz

fuumlr 1z (610a)


1 2 10 1 2 1

( )1

p p pp

px x x xz z z z

X zz

fuumlr 1z (610b)




0 0

1[ ] ( ) ( 1) [ ]kk k

k kx k X z k z z

x k

k

0 1 2 3 4

1

1


2 3 40

1 1 1 1 1( ) 1 k

kzX z

z z z z


1 11

zX zz

z

fuumlr z



( )1

zk E zz


[ ] [ ] ( ) ( )dx k k k X z z E zdz

x k

k

0 2 3 4

1

1


2 2

1( ) ( )1 1 ( 1) ( 1)



z

fuumlr z



1

1[ 1] [ 1] ( )k

kx k x k z z X z










x0 = 0 x1 = 1 x2 = 0 x3 = minus1


4 3 2

40 1 0 1( )

1z z z zX z

z

234 2 2 2

( 1)( ) 1 ( 1)( 1) 1

z z zz zX zz z z z


0 1 2 3 4 5[ ] 10 1 010 1 ( ) 0 1 0 1 0 +1 + x k X z z z z z z z


1 3 5 72 4 6

1 1 1 1( ) + 1 + X z z z z zz z z z


11 1

z


1 1( )11 1

zX zz z

z


4pT T

4T2TT0

1

1

0x

1x

2x

3x

0x

3T 5T

t


zminus1 zminus1








CjX z x k X z z dz

(611)







0 1 21 1 2 uswz k z k z k


X(z) [ ] 4 [ ] 3 [ 1] 05 [ 2] 15 [ 3] 2 [ 4]x k k k k k k






1 ( 2)( ) +4 41

z z zX zz z zz e


33

1 [ 3]z kz

2

2 2 [ ]1

kz z e kz ez e

2( 2) 2 [ ]

( 2)4 4kz z z k

zz z


oder 2[ ] [ 3] 2 [ ]k kx k k e k

0

k

x k

( )x t

1 2 3 4

2



Aufgabe 62


[ ] sin( )3x k k k = 0 1 2


2x k k k

k

0 1 2 3

x k

1







k

0 1 2 5

1

rect5[k]




1 1 1 1 1[ ] 1 1 2 3 4 5

x k kk



1

0

x k

k



2 3 12 2

( ) zX zz z






In Kurzform 0 0

[ ] [ ]n m


0 0a (612a)







10 01( ) ( ) ( ) ( ) ( )n m




10

10

1

1

( ) ( )

m

nm

n


(613)





[ ] 02 [ 1] 05 [ ]y k y k x k



z

ergibt

2

( ) 05 ( ) 0502 ( 02)( 03)z zY z X z

z z z


1 1 1[ ] (03) ( 02) [ ]k ky k Y(z) k

1[ ] y k Y(z)




Y z G zX z


1

0 1 01

0 1

0

( )

mi

mi

n ni

i

im

ni


a z

(614)




1 1[ ] ( ) ( ) ( )y k Y z G z X z (616)




1[ ] ( )g k G z (617)





g[k] δ[k] G(z)





( ) ( )

1zH z G z

z

(618a)



0

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]i

h k g k k g i k i


[ ] [ ]k

i

h k g i

(619)


1( ) ( ) ( )G z H z z H z


[ ] [ ] [ 1]g k h k h k (620)


12[ ] [ 1] [ 2] [ ] [ 1]y k y k y k x k x k



1 2 1121 ( ) 1 ( )z z Y z z X z

[ ]1

zkz





k 0minus1 1 N

1

N+1

minusN

xN[k]


12( )

( )1

z zG z

z z


Impulsantwort

12

1( )2 1 1 1 1[ ] cos [ ] 1 1 1 3 2 2 2 21

z zg k k k

z z


Frequenzgang 0 1

0 1

( ) ( )

j T jm T

j T j T jn Tz em

n


(621)



und Im ( )( ) arg ( )Re ( )

FFF



( ) ( ) jF F e (622)





[ ] [ ] [ ( 1)]Nx k k N k N



( 1) ( 1)[ ] ( )1 1 1

N N N NN N



( 1)( )1 1 1N j T


j T j T j Tz e

e e eX z e ee e e


(1 ) (1 )( )(1 )(1 )N

jN T j T jN T j T

j T j Te e e eX

e e

sin (2 1) 2( ) sin 2

N

TNX T




0

[ ]k

g k K

mit K (623)


( )cos( ) cos( 1 )1 cos( )

N T N TT


FN(ω)

ωT



ndash1 1 Re(z)

Im(z)

Bild 623 PN-Plan


0 0 0[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]| | | | | | | | | || |





1 1

0 1 0 11 1

0 1 0 1

( ) ( )( ) ( ) ( )

m n m mn m

n n n nm m

n n



0 1 2

0 1 2

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

n mm

n


m le n (624)





25 1zG z

z z



12 und 2z z


zz z z


11 1 12

2 1[ ] 2 2 [ 1] [ 1]2 1 2

kkg k k kz z

112[ ] 2 [ 1]

kkg k k





2

1 1( ) 25 1 25

j T j T

j T j T j T j Te eF

e e e e




ndash1 1 Re(z)

Im(z)

2 05




1 1 cos( ) sin( )( )

2 cos( ) 2525

j T

j T j T

e T j TA

Te e

2 2

2

(1 cos( )) sin ( ) 2 2cos( )( )

2cos( ) 25 2cos( ) 25

T T TA

T T




A()

T


Y(z) G1(z)

X(z) G2(z) Gn(z)


Y1(z) Y2(z)



11

( )( )( )

Y zG zX z

22

1

( )( )( )

Y zG zY z

1

( )( )( )n

n

Y zG zY z




1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) kk

n


(625)







1 2( ) [ ( ) ( ) ( )] ( )nY z G z G z G z X z

Y1(z)G1(z)

G2(z) Y(z)Y2(z)X(z)

Gn(z) Yn(z)





1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )kk

n


(626)


1( ) mit zG z az a

2( ) aG zz a

3 2( )( )

azG zz a


1 2 3( ) ( ) ( ) ( ) G z G z G z G z

2 3( )( )


z a z a z a z a


1 23

( )[ ] [ ]( )

kaz z ag k k a kz a


3( )

j T j T

j T

ae e aF

e a

2 2

3


cos( ) sin( )


T a j T

G1

G2

X(z) Y(z) + G3




3 1 2 2 3 3( )( ) ( ) ( )


z a az a z a z


1 2 2 3 3 1 2 21 3 3 ( ) ( )az a z a z Y z az a z X z







1( ) [ ( ) ( ) ( )] ( )RY z X z G z Y z G z (627)


1 1[1 ( ) ( )] ( ) ( ) ( )RG z G z Y z G z X z

+

Y(z) G1(z)

GR(z)

X(z)





1

1

( )( ) 1 ( ) ( ) R

G zG zG z G z

(628)



1

1

( )( ) 1 ( ) ( ) R

G zG zG z G z

(629)



b) der Frequenzgang



12

1

( )( )1 ( ) 1 1

G z zG zG z z



z


z


2( ) 1

j T

j TeF

e

2sin( ) cos( )( )


T j T T


2 4

1( ) 4sin ( ) 3sin ( )

AT T

Y(z)

X(z)


1 2( )1

zG zz z


A(ω)

ωT







[ ] [ ]kg k a k a a


1( ) 2

zG zz a

a

2

23 2

( )( 2)

aG z

z z a

3( ) azG z

z e




ndash

X(z)

Y(z)

G3(z)

G1(z)

G2(z)


ndashj

+j

ndash1 1

Re(z)

Im(z)

05


7 Anhang



a (Mittelwert)

2 = sin2ka k

k

Fuumlr k gerade 0ka


x x x x xf x x


0 1 2

A Aa a

2

0 fuumlr 2 1


1

k

k n

a kA k n

k

und n

Loumlsung 13

0 1 2 1 22 2 23 2 1 2 1 1 8 2

a a a b b


bk

1 = 1

1 1 sin( )( ) 2 k

kxf xk

Loumlsung 15 2

20 1 1

1 1 1 ( 1 ) 0158862 1 2k

ec a a b ej k



j TF


a


Loumlsung 23 2 2

0

1 cos4 4 2( ) 1 cos ( ) cos( )2

TU T UF f t t dTT



t


210 7 Anhang

Loumlsung 31 a) 22

W

dz jz

b)

2

1Re 12z

sz

Loumlsung 32

81 = )(Res

81 = )(Res

1 = 1 = zfzf

zz


2b) ( ) 2

2ttf t t e

)sinh( = )e(e

21 = )(c) ttf tt

tttttf 323 e)1951354( = )(d)


Loumlsung 34 11

( 1)

n

nt

ns


2( 1) t t t

s


s t ts

Loumlsung 37

2 4

5 3 524 6 5 24 6 5a) ( ) s sF s

ss s s

3 5 8 19b) ( )2 3 ( 2)( 3)

sF ss s s s

2

2 3c) ( )1sF s

s

34 1d) ( )

05F s

ss

2 2e) ( ) aF s

s a

2 2f) ( ) sF s

s a

Loumlsung 38 3 45 7


Loumlsung 39 3

2a) ( )seF s

s

3

21b) ( )

seF ss

2

1c) ( )1

seF ss

22

1 1d) ( ) (1 )s sF s e ess

2

21 1e) ( ) (1 2 ) ( )s s sF s e e es s


s


Loumlsung 311 )2(e)2()2()2(22


2 2

22( ) (1 )

12

s ssA Ae AeF s e

s ss



Loumlsung 313

2 lt 0 2 2

= )(a)ttt

tf

5 0

55 = )(b)

361

t lt

t ttf

2

22 lt 0 5cos

= )(c)ttt

tf

2)1(2250 = )(d)

2

tt tttf

22 2( 1)

2( 1) 2

1 fuumlr 0 1e) ( ) (1 ) ( ) (1 ) ( 1)

fuumlr 1

tt t

t t

e tf t e t e t

e e t

3 2( 1)3 2( 1)

0 1f) ( ) ( 1) ( 1)

( 1) 1t

t

tf t t e t

t e t

2( 1)

1 0 1g) ( )

1t

tf t

e t

2( 2)


fuumlr 2t

t tf t t

e t

Loumlsung 314

32a) ( )

( 5)F s

s

5

24b) ( )( 3)

F ss

2 2c) ( )( )

sF ss

2 22 2d) ( )

( 2) 1 4 3s sF s

s s s

2 31 2 2e) ( )

( 1) ( 2)F s

s s s

2f) ( )4 5

seF ss s

212 7 Anhang


2tf t e t

)2cosh(e = )(c) ttf t 21d) ( )2

atf t t e

2 lt 0

2 e2

)2( = )(e)

)2(2

t

tttf

t

3 lt 0

3 3)2(sine21

= )(f))3(

t

tttf

t

33)e(e

3 e = g)

3)2(2

2

ttt

tt)t(f

tt

t tttf 3e2 = )(h)


ttt tf 322 e20e250e005 = )(b)

tttttf 323 e)1951354( = )(c)


tttttf e2e+2 = )(e)





tttfs

sF

e+)( = )(1

11)(k)


1e21

1)(l) )1( t

tttf t

ttttf

e32

21)(m) 2



Loumlsung 318

212121

21

2122

1

1

21

21

2121

21

ee = ))((

eRes))((

eRes = )(c)

e = ee = )(b)

ee = )(= )(a)

sssssssssstf

ssetf

sstf

ssA

ssA

sF

tstsst

s=s

st

s=s

tstststs

tsts

Loumlsung 319 2 2 2

1( )( 1) ( 1)

sF ss s


21 = )( tttttttf

Loumlsung 320

0=2

2

2

6

2

4

2

2

20

2

4

2

3

2

2

23

0=

1714118520=

1421171395

)2(1)( =

)6()4()2(1 = )(d)

)()1( =

)4()3()2(1 = )(c)

)23(1)( =

171411852t = b)

)14(1)( =

21171395 = )(a)

k

kk

k

k

k

k

k

k

k

kk

ktttttf

kttttttf

ktttttt)t(f

kttttttttf

Loumlsung 321

)1(e1)(

1

)e1(1)(

1

22

taaass

aass

ta

ta

Loumlsung 322


32 +8b) ( ) = ( +3)

sF ss s

Loumlsung 323 20a) ( ) = (1 e )sU

F sτ s

02

2 3b) ( ) (1 e e e )s s sUF s

s

214 7 Anhang

Loumlsung 324

0 = )( lima)0

tft

0 = )( lim tft

0 = )( limb)0

tft


2 = )( limc)0

tft

1 = )( lim tft

0 = )( limd)0

tft

2 = )( lim

tf

t

0 = )( lime)0

tft

1 =)( lim tft

= )( limf)0

tft

0 = )( lim tft

Loumlsung 325

22 )1(2 = )(a)sssF 32

2

)1(26 = )(b)

sssF

42

24

)1(6366 = )(c)

ssssF 22

2

)4(412 = )(d)

ssssF

22 )1(

1 = )(e)s


Loumlsung 326 ( ) 1 ( ) ( ) 1

t


e

Loumlsung 327

11ln = )(a)s

s+sF

ss+sF 1ln = )(b)

21

2

22

2ln = )(c)

a+s

a+ssF



43

21 = )(a)


233 3c) ( ) = e 3e 2 e et t ttf t t

tttf tt

23cos

23sin

3311ee2 = )(d) 50



2e41

22e

41

2

20e41

241

)(e))2(22

2

ttt

tt

tftt

t


Loumlsung 43

1

1 1

0

( )0

1 fuumlr 0

) ( )

fuumlr

) ( ) 1

RC

RC RC

tRC

t

at t

a

U e t

a u t

U e e t

b u t kt kRC e


Loumlsung 45 3 31 2 1( ) cosh(3 ) (1 ) 3 3 3

t tx t t e e

3 3( ) 6cosh(3 ) 3( )t ty t t e e


Loumlsung 47

22

020

0

= 1 = 2

1 =

)sin()cos(e = )(

LC

RC

ttR

Uti tC

Loumlsung 48 20 12( ) 1

RL tUi t e

R

Loumlsung 49 ( ) 1t

RCRu t kRC e

216 7 Anhang

Loumlsung 410

gt eeee0447

0 ee0447

= )()()(0

0

2 6182382061823820

61823820

t

RU

tR

U

titttt

tt

RCRCRCRC

RCRC

Loumlsung 411 L

RLC 2

= und 1 = sei Es 20


t

LUti

t20

220

20 sinhe = )(


i t tL


t

LUti

t22

0220

0 sine = )(

Loumlsung 412 2

2( )2

0

0

0

2 1 e 0 4

a) ( ) = 2 e e gt

4

lim ( ) = 2

tRC

ttRC RC

t

U C t tRC

i tU C

tRC

Ui t

R

0 = )(lim

gt e2

ee4

0 e124

= ))(b) )(20

)(220

20

ti

tR

UCU

tRC

tCU

ti

t

RCt

RCt

RCt

RCt

Loumlsung 413

a)

tRC

tRC Utu

RUti

20

a

20 e1

2)(e)(



b)

LRsLRssUsRIsUsU

RRLsRLssI

25

2

2)()()()(

522)( e

2ae22

tLR

LRttu

LRsL

RsUsU

25

a

vision)(Polynomdiae

e4

)(21)(

25

12

121)(1)(1)

tLR

Utu

LRs

sUsU

sUsU

25

0a


e

e1040)(

251040)()(2)

Loumlsung 414 a)

RC

t

th

2

e121 = )( b) RC

t

eRC

ttg2

1)()(


Loumlsung 415

RCtgth

RCt

RCt

22

e = )(b) e121 = )(a)


212

CsRR

CsRsG

LCs

RCsLCs

LRLCs

sG11

1 = 1

1 = )(b)22

2 2 2 22 2

c) ( ) = 3 13 1


RC R C

Loumlsung 417 2 21a) ( ) =

( ) 3 1G s

RC s RCs

218 7 Anhang


tt

RCtg RC

RC 61823820

ee4470)(b)

t

tth

RC

RC 6182

e1710e11711 = )(c)3820

Loumlsung 418

RCt

RCt

thRC

tg

33e1

31 =)( e1 = )(a)

gt ee3

e13

= )(b) )(330

30

a

tU

tU

tuRCt

RCt

RCt

Loumlsung 419

ttL

U

ttLU

ttLU

ti

tttL

U

ttL

U

ti

LR

s

sL

sG

to

tt

tt

tt

o

tt

t

fuumlr)e(

eee1e

fuumlr e1e1

= )(c)

gt fuumlr e)(e

fuumlr )e( = )(b)

2 = mit

)(1 = )(a)

)(

)(2

)(

20

22

)(0

0

2I

Loumlsung 420 a)

RCs

sRCsRCs

sUsUsG

21212)(

)()(ea

b)

)1(ee

2)(

)1(2

12

10

a tUtut

RCt

RC

c) t

RCRC

ttg 21

e4

1)(21)(


Loumlsung 421 a)

LRs

LRs

RLsRLssG

51232)(

b) t

LR

LRttg

51e250)(50)(

c) 31)(

21)0(e

61

31)( aa2

3

uutht

LR

Loumlsung 422

a) 1 1 1( ) 32 3 2G s

RCs RC sRC

b) 3

21( ) e2

RCt

g tRC

c) 3

21 1( ) 1 e (0) 0 ( )3 3

RCt

h t h h

Loumlsung 423

RCs+

RCs+

sG 2

1

= )(a)

1b) ( )2

j RCFj RC

Re F

Im F

0 05 1

0

RC

2




kY s G s X s Us s




220 7 Anhang

Loumlsung 52



Yb(s) = Yc(s)1


1

1sT (2)

Ya(s) = Yb(s)2

1sT (3)



1sT ndash Yb(s)]

1

1sT

21 11 2

1 1 1 ( ) 1 ( )bY s X ssT sTs T T

1 22

1 2 22

1 1 2

1( ) ( ) ( ) 11 11

bb


sT s T T



22 1 2 2


21 2 2

( ) 1 ( ) ( ) 1

aa

Y sG sX s s T T sT


22 2

1 2 2 1 2 2

1 ( ) ( ) ( ) ( )1 1c


21 2

21 2 2

( ) ( ) ( ) 1

cc








1 2

1 1 2

( ) ( ) ( )( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( )



21( )

( 2) 2 1G s

s a s a


1 ( 2) ( 2) 4(2 1)2s a a a

Fuumlr a


des PN-Plans

Fuumlr a


Fuumlr a




21

21

2

( ) ( 2) 1( )

1 ( ) ( ) ( 4) 5 1( 2) 1

P PP


s

y(t)

x(t)1( )G s

Pk

222 7 Anhang



( ) ( ) ( ) ( )1sTX s bY s aX s Y ssT

1 ( ) ( )1 1


(1 )( )

(1 ) 1sT a aG ssT b


(1 )s

T b


1 1 11 1 11( ) ( ) 11 (1 ) 1(1 ) (1 )


L L L

(1 )1( ) 1

tT babh t a eb

fuumlr t 0

Loumlsung 61

5 5 6

5 25 4


dz z z


3 3 3 30 0 2 2 2 2

[ ] sin( )3x k k


6 5 4 3 2 2 2

6 2 4 2

3 3 3 3 30 0 1 12 2 2 2 2( ) 1 1 1


z z z z


2

32[ ] sin( ) ( )3 1

z

x k k X zz z




2 cos( ) 1 T

TzTk k

z z


32sin( ) [ ]

1

zk k

z z



zx k k k X zz


1 1 2 3( 1)[ ] [ ] ( ) ( )


Loumlsung 64


1 1[ ] [ ] [ ] [ ]2 2k i


1

0

11 21 1[ ] 22 1 21 2

kk k

i

ix k

0 0 0 0

1 1[ ] ( ) [ ] 2 22 2 k kk k k k


2( ) 2 1 11 ( 1)( )2 2

z z zX zz z z z


1 11[ ] ( )2 1

2

k zx k k X zz

und 2 2[ ] ( )1

zx k k X zz


2

1 2 1 2[ ] ( ) ( ) 1 1( 1)( ) ( 1)( )2 2 z z zx k x k X z X z

zz z z


224 7 Anhang

Loumlsung 65


20 1

1 1 1 1 1( ) 1 2

kk n

k kX z k z

k zk z z nz


21 1 1 1 1ln( )

2

nx x xxx x n x


Setzt man 1

zxz

dann gilt

21 1 1ln

1 2 nz

z z z nz

fuumlr | z | gt 1


zkk z

Loumlsung 66


2 22

3 12 23 1 ( ) 1 1 ( )2 2 3 1

2 2

zz z z R z

z z


3 1 122 2 2( ) 1 1( 1)( 1)( ) ( )2 2

zR z

zz z z


12

2( ) 1 ( ) 1( 1) ( )

X z R zz z


11 1 1( ) [ ] [ ] 2 [ 1] [ 1] 2 [ ]2 2 2 k k

X z x k k k k k




Es gilt 2

2( ) 13 1 ( 1) ( )22 2

z z zX zz zz z


kz kz

und [ ]1

z kz


0 0

1 1 1( ) [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]1 2 2 2( 1)( )2

kk i i

i i



1

0

11 21 1[ ] 212 21 2

kk i k

ix k

fuumlr k ge 0


x k k


( ) [ ] [ ] kY z y k c x k




[ ] [ ] [ ] [ ]k ky k c x k c x k i y k i



Umformung 11( )

1zG z

z a az


X(z)

z ndash1

Y(z)

a


226 7 Anhang



1 2

( )( )1 ( ) ( )

G zG zG z G z


3 31 2

( )( ) ( ) ( ) ( )1 ( ) ( )R



2 2 2( 2)( 2)( )

3 21

( 2) ( 2)

a a

zz z z a zz aG z



2 2

cos( )cos( ) [ ]

2 cos( ) k z z a T

a kT kz za T a


z za a


z e kz e




1z z zG zz z z e



1 21 1 1 11=0 3 32 2 2 2P Pz z z j z j

1 130 0368Pz e z e



ndash1 1 Re(z)

Im(z)

05

PN-Plan



1 0

1( ) lim ( ) ( )t t t

Definition

2 ( ) 1t dt

Normierung



4b 0 00

( ) ( ) ( )f t t t dt f t

Ausblendeigenschaft

5 0 0( ) ( )t

t t t t dt

Sprungfunktion



8 1( ) ( )at ta

Skalierung



228 7 Anhang




vorausgesetzt

Additionssatz 1 1

( ) ( ) n n

i i i ii i

a f t a F s




0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )t



tsF

sdf

0

)(1 )(


2

( ) 1 2 1

( ) ( ) ( 0)

( ) ( ) ( 0) ( 0)

( ) ( ) ( 0) ( 0) ( 0)

n n n n n

f t sF s f

f t s F s s f f

f t s F s s f s f f


nn n

nd F s t f t

ds L


s

f tF s dst

L




Nr F(s) f(t)

1 1 )( t

2 s1 )( t

3 1ns

n = 1 2 3 1

( 1)

ntn

4 1s

ν gt 0 reell 1

( )t

5 s1

t1

6 ss1

t

2

7 1

ns s n = 0 1 2

124

(2 )

n nn tn

8 as 1

tae

9 22

s )(sin t

10 22 ss

)(cos t

11 22


230 7 Anhang

Nr F(s) f(t)

12 22

s )(sinh t

13 22 ss )(cosh t

14 )(

1ass

1 1 atea

15 ))((1

21 ssss 1 2

1 2

s t s te es s

16 ))(( 21 sssss

1 2

1 2

1 2

s t s ts e s e

s s

17 0

0

2 2

2 2

12

0

s s

2 20

1 sin( )

te

e

e

e t

18 0

0

2 2

2 2

12

0

s s

2 2

0

1 sinh( )

te

e

e

e t

19 21

( )s a at

te

20 2( )s

s a 1 a t

at e

21 2 2

02 20

1( 2 )

0

s s s

20

2 20

1 1 sin( ) cos( )

te t t

22

2 20

2 20

1( 2 )

0

s s s

20

2 20



Nr F(s) f(t)

23 1( )( )( )

s a s b s c

a b c

( )( ) ( )( ) ( )( )


24 ( )( )( )

ss a s b s c

a b c

( )( ) ( )( ) ( )( )


25 2

( )( )( )

ss a s b s c

a b c

2 2 2

( )( ) ( )( ) ( )( )


26 2 21

( )( )s a s


a

27 2 2( )( )s

s a s


a

28 2

2 22

( 4 )s s

2sin ( )t

29 2 2

2 22

( 4 )s

s s

)(cos2 t

30 3

2 2 2( )s

)cos()(sin21 ttt

31 3

2 2 2( )s

)(sinh)cos(21 ttt

32 2 2 2( )s

s

sin( )2t t

33 222 )(

ss

sinh( )

2t t

34 222

2

)(

ss

)cos()(sin

21 ttt

232 7 Anhang

Nr F(s) f(t)

35 222

2

)(

ss

)cosh()(sinh21 ttt

36 222

3

)( ss

)sin(

2)(cos ttt

37 222

3

)( ss

)(sinh

2)(cosh ttt

38 222

22

)(

ss

)(cosh tt

39

sarctan

sin( )tt

40 2

2 2 2( )s s

1 sin( )t t

41 ln ss

sinh( )2 tt

42 ln s as b

bt ate et

43 2 2

2 2ln s as b


t

44 a se

2

432

ata e

t

45 a ses

2

41 ate

t

46 1 ase

s

cos(2 )at

t


Nr F(s) f(t)

47 1 a

ses s

sin(2 )at

a

48 1

s s a 1 erf at

a)

49 1 a se

s

2

aerft

)

50 a ses

12 2

a aerf erfct t

)

51

s xaes

1

2xerfat

)

52 2

22

s se erfc ) 22 te


2

0

2 uerf e du

mit lim 1x

erf


22 1uerfc e du erf


ersetzt

erf (χ)

χ

234 7 Anhang


Nr )( tf F(s)

1 0

t

t0

A)( tf

0e1ts

sA

2 0

t

t2t1

A

)( tf

21 eetsts

sA

3

tt0A

A

0

)( tf

2

20

e1

ts

sA

4

tt1

A

A0

t2

)( tf

2

2221

ee

tsts

sA

5 0

t

t0

A

)( tf

2

220

0e112

ts

stA

6

0

tA

t2t1

)( tf

2

22212

21

ee12

tsts

sttA


Nr )( tf F(s)

7

0

t

t0

A

)( tf

00 ee112o

ts

sA

stA ts

8

0

tA

t2t1

)( tf

2

21

e

ee1212

ts

stts

sA

sttA

9

0

tA

T

)( tf


2e1

1sTs

A

10

0

tA

T

)( tf


2

2

e1

e1sT

sT

sA

11


2

22 e1

sT

sA

12


222

e1

1sTs

A

236 7 Anhang

Nr )( tf F(s)

13


2

222

e1

e1sT

sT

sA

14

0

tA

T 2T

)( tf

2

22

e1

e112sT

sT

sTA

15

0

t

A

T 2T

)( tf


sT

sTsTTs

A

e1e11

2

16

0

t

A

TT

)( tf

sT

sT

TsA

e1

e12

2

2

2

17

0

tA

TT

)( tf

sT

sT

TsTs

A

e1e

2









Summenbildung 0

( )1

k

i

zx i X zz



Nr x[k] X(z)

1 [k] 1

2 [k ndash i] iz

3 [k] 1z

z

4 [k ndash i] izzz

5 [ ]k k (z

z

6 2 [ ]k k ( 1)

(z zz

238 7 Anhang

Nr x[k] X(z)

7 [ ]ake k az

z e

8 [ ]akke k 2)(aa

zez e

9 [ ]ka k z

z a

10 [ ]ka k 1

z a

11 [ ]kka k ( )za

z a

12 [ ]kka k ( )z

z a

13 ( [ ]kk a k 1

( )z a

14 2 [ ]kk a k 3( )

( )az z a

z a

15 [ ]k ika k i

i

1( )iz

z a

16 1 1

[ ] k ka b

k a ba b

2

( )( )z

z a z b

17 1 1k kk ln

1z

z

18 sin( ) [ ]kT k 2 1sin( )

2 cos( )z T

z z T

19 cos( ) [ ]kT k 2]

1[ cos( )2 cos( )

z z Tz z T

20 sin( ) [ ]ka kT k 2 2sin( )

2 cos( )za T

z za T a

21 cos( ) [ ]ka kT k 2 2[ cos( )]2 cos( )

z z a Tz za T a

22 [ ]Nrect k 1Nz z

z

Literatur



















Sachwortverzeichnis






























Vorwort

Inhaltsverzeichnis

1 Fourier-Reihen

11 Einfuumlhrung


121 Grundbegriffe


Uumlbersicht



131 Grundlagen
















332 Additionssatz















36 Faltungssatz









3102 Endwertsatz











43 RCL-Netzwerke



441 LTI-Systeme































651 Sprungfolge

652 Deltaimpuls






661 Linearitaumlt




665 Faltungssatz


667 Summenbildung









683 Frequenzgang








7 Anhang







Literatur

Sachwortverzeichnis

ck

t






























Literatur 239




( ) sin( )f t A t (11)






2 1 Fourier-Reihen



)()( tfTtf (12)

Definition 12






Satz 11


0 0 0=1

( ) = + cos( )+ sin( )k kk


wobei T

2




Satz 12


0 0

1 lim ( ) lim ( )2 u u

t tf t t f t t



01


f x a a k x b k x

(15)



2 2


(16)


2

0


fuumlr k n

k x n x dxk = n

(17)

2

0


k nkx nx dx

k n=

(18)

2


(19)


0 0

2 2 2 2

k=10 0 0 0



4 1 Fourier-Reihen

0

a0

f(x)

x



00

1 ( )2

a f x dx

(110)



01

( ) = cos( ) + sin( )n nn

f x a a n x b n x





2 2

0 0



2

0


k = 1 2 3

(111)


2

0


k = 1 2 3

(112)





2 2

0


(113)



f(x)

x

0

A




0

00 0 0

1 1 1( ) ( ) 2 ( ) ( )2 2


0

0 0


(114)

0

0



6 1 Fourier-Reihen

f(x)

x

0



0 ka k und

0

))sin((2 dxxkxfbk

(115)



Uumlbersicht



f (x)

x

0

A

2

00

2

02

0

1 ( )2

1 ( )cos( )

1 ( )sin( )

k

k

a f x dx

a f x k x dx

b f x k x dx


f (x)

x

0

A

00

0

1 ( )

2 ( )cos( )

0

k

k

a f x dx

a f x k x dx

b k


x

0

0

0

0 0

2 ( ) sin( )

k

k

aa k

b f x kx dx




k k k k

k k k



Daraus folgt

2 2 k k kA a b (116)

tan( ) = kk

k

ab

(117)

ak

bk

Ak

0

k



k

0 1 5

Ak



8 1 Fourier-Reihen


fuumlr 0( )

fuumlr 0A x

f xA x

( 2 ) ( )f x f x

f (x)

x

A

0

A

2



00 0

2 2 2 cos( )( )sin( ) sin( )

4 fuumlr 2 1

0 fuumlr 2

k

k


A k nkb n

k n


1


4 sin(2 1)( ) 2 1k

A x x x xf x x

A k xf x kk

0 1 3 5

k

7

Ak

4A




1

4 sin(2 1)( ) 2 1k

n

nA k xf x

k





f (x)

x0

-A

A

)()2(

ltx0 2

0ltx 2 =)(

xfxf

xAA

xAAxf



f5(x) f15(x)


10 1 Fourier-Reihen


0 0


2 2 2 2 2 20 0

2 sin( ) 4 sin( ) cos( ) 4 4 1 cos( ) 1 ( 1)kk



0 fuumlr geradek

A ka k

k


28 cos(3 ) cos(5 ) cos(7 )( ) cos( )

9 25 49A x x xf x x









1cos( )21sin( )

2 2

jkx jkx

jkx jkx jkx jkx

kx

jkxj

e e

e e e e

(120)

(121)



( ) cos( ) sin( )

k kk



0

( ) 2 2


k

a bf x e e j e e

0

( ) 2 2

j k x jk xk k k k

k

a jb a jbf x e e


( ) jk xk

k

f x c e

(122)


fuumlr 02 fuumlr 0

fuumlr 02

k k

k

k k

a jb k

c a ka jb k

(123)



3 2a jbc


2 Re und 2 Im2 2k k






n

f x c e

mit dem Faktor jkxe


( )

0 0

( ) jkx j n k xn

n

f x e dx c e dx

12 1 Fourier-Reihen


( )

00

0 fuumlr

2 fuumlr ( )


n kj n k


2

( )

0

2j n k xn k

n

c e dx c


2

0

1 ( ) 2

jkxkc f x dxe

(125)



0 0

2 21 1 fuumlr 0 2 2

und fuumlr 0


c a k

(126)



0

k

1 5

1

1-5a) b)

5

1

Ak

k

0

kc




f (x)

x0

0 fuumlr 0( )

fuumlr 0x

f xx x

( 2 ) ( )f x f x



0

00

1 1( ) 02 2 4

c f x dx dx xdx


0

2 2 200

1 1 1 1 1 0 12 2 2

jkxjkx jk

kjkc dx x dx jkx

k k kee e



21 1( ) ( 1) 1 ( 1)

4 2k

k k jk x

k

f x j ekk


2Re12 ( 1) 1k

k ka ck

und 1Im12 ( 1)k

k kb ck


1

21

( 1) 1 ( 1)( ) cos ( ) sin ( )4

k k

k

f x kx kxkk


1

2

2 1 ( 1)1 12 ( )

k

kck k

und 2k kA c

k kc Ak

0 0785 0785 1 0593 118 2 025 050 3 017 034

2π

14 1 Fourier-Reihen







A x xf x

( 2 ) ( )f x f x





0 fuumlr 2

x x

f x x

x

)()2( xfxf

x0

1( )f x

2

2 2

f (x)

x

0 2

1




( ) 2xf x

x

f (x)1

0 22 4





)()2( xfxf


Aufgabe 16



fuumlr 2


x x

f x x

x x

( )f x

2

2

x






0 001


f t a a k t b k t

(21)








0( ) jk tT k

kf t c e


0

2

1 ( )

T

T

jk tk Tc f t dt

Te




2

0 0

2

01( ) ( )

2

T

T

jk t jk t jk tT k p

k k

f t c e f t dte e

(22)




1 1( ) ( ) ( )2 2


(23)



(24)


Wir merken uns





( ) ( ) f f K t f t dt F





F (25)




( )f tF


Bildfunktion F(ω)

( ) ( )f t F





j tF F d f te

F (26)



Satz 21



( ) ( )f t F F




-1 ( ) ( )F f t F


0 0


f t t f t t


Bildfunktion F(ω)




( ) Re ( ) Im ( )F F j F (27)


2 2( ) Re ( ) Im ( )F F F (28)

Im ( )tan ( )Re ( )

FF

(29)




Es gilt ( ) ( )( ) ( ) ( )j jF F Ae e (210)






(211)



cF f t t dt

und zur


(212)

(213)



Satz 23




j tf t F de

und bringen es mit






0


(214)



0

( ) 2 ( ) cos( )cF f t t dt

mit der Umkehrung

0

1( ) ( ) cos( )cf t F t d

(215)

(216)



0

( ) 2 ( ) sin( )

sF f t t dt

mit der Umkehrung

0

1( ) ( ) sin( )

sf t F t d

(217)

(218)



Beispiel 21



at t af tt



( )( )

0 0

1( ) ( ) ( )


a j a j


e

zu berechnen


e e e


e


1 atea j



T = 2

ω

A(ω)



2 2

2 2

2 2

1( )

Re ( )

Im ( )

a jFa j a

aFa

Fa



1 fuumlr 0( )

0 sonst

t t Tf t T



0 0 0

1( ) ( ) 1 1T T T


2 20 0


j T T



mit

21 cos

Re ( )T

FT

und 2

sin 1Im ( ) TFT


T 0

1f(t)

t



A(ω)

ω

T = 1

B

Beispiel 23


1 fuumlr( ) 2 2

0 sonst

T Tttf t rectT



2 2

1( ) 1 TT j T j T

j t j t j t

TT



2 2 2


( ) ( 2)F T si T




0 0


x xsix





T2 0

1f(t)

t ndashT2


ω

F(ω)

T = 1





Beispiel 24


0 0

0

1 fuumlr ( ) 2 2

0 sonstF rect



00

0

2 2

0 0

sin( 2)1 1 sin( ) 1( ) cos( )

ttf t t d

t t


00( ) ( 2)

2

f t si t


00

0( 2)

2

si t rect


Vertauschen 0

tT

ergibt 00 0

1( 2) 2si t rect

ω02 0

1F(ω)

ω ndashω02


t

f(t)

ω0 = 1


F(ω)





f t FF t f

Beispiel 25


2

( ) atf t e a gt0



2 2



2

0



Es ergibt sich 2

4( ) aF ea






f (t)

t

0 T2

1

1

2T


1 fuumlr 02

( ) = 1 fuumlr 02

0 sonst

T tf t Tt

Aufgabe 22


( ) ( 0 ) a tf t e a


Aufgabe 23


2 fuumlr 02

( ) 2 fuumlr 02

0 sonst

U TU t tT

f t U TU t tT


Uf (t)

tT2

T2

0



Aufgabe 24


1 1 0( ) 1 0 1

0

t tf t t t

sonst




Aufgabe 25


1 1( )

0 sonstj

F


-1

1

Im F()1

-1

0


( )f t

t

0

1

1

1

1


Definition 31



Definition 32


0

( ) ( ) ( )stf t f t dt F se

L (31)














tf t

ist



Bildbereich F(s)

( ) ( )f t F s



0fuumlr0



vvst

st

ee erhaumllt man

2 200 00

1 1( )

st st st



e e e







f (t)

t

0 0

Konvergenzhalbebene








Satz 31



0

01( ) ( ) ( )

2

js t

j

f t F s e dsj

(32)


0 0




1( ) ( )

2t j tf t e F s e d


-

1 1( ) ( ) ( ) 2 2






1 2 fuumlr 2


f t t f tt




0 0

tt

f2(t)f1(t)

2

32

2



0

( ) 0t








0

j0

j0

0



0

0

1( ) ( )2

jst

j

f t F s e dsj




Definition 33



0

( ) ( )( ) lim z

f z z f zf zz

existiert






( ) 0W

f z dz (33)



1

( )z

z

f z dz einen vom




Satz 35


00

1 ( )( )2

W

f zf z dzj z z

(34)

( )0 1

( )( )2 ( )

nn

oW

n f zf z dz nj z z

(35)

lt

x

W G

0

y

z0






n

f z c z z


2 ( )n noW

f zc dzj z z

(36)

(37)




2

021

010 )()()() mm

mm

mm zzczzczzcz(f



)()(

)(+

)()( 2

020100

1

0

zzczzcc

zzc

zz

czf

nn





2 31 1 1 1 1

2 3 z

kez z z k z



( )W

f z dz


210 1 0 2 0

00( ) ( ) ( )

( )( )n


z zz z


1 0 1 000

1 1( ) ( )( )n nn

W W W W W




0


W

j ndz

nz z

(39)


1 11( ) 2 bzw ( )

2W W


(310)


20 0 ( ) ( )

W W W

dz z z dz z z dz



10

1Res ( ) ( )2 n

Wz z

f z f z dz cj

(311)





1

1 ( ) Res ( )2

n

kkWz z

f z dz f zj

(312)



Satz 38


00

0 Res ( ) ( ) ( ) z zz zf z z z f z

(313)


0

0

1

01

1Res ( ) ( ) ( )( 1)

nn

nz zz z

df z z z f zn dz

(314)


210 1 0 2 0

0( ) ( ) ( ) cf z c c z z c z z

z z

Die Funktion 2 3

0 1 0 0 1 0 2 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) z z f z c c z z c z z c z z


= )()(lim 100

czfzzzz


10 1 0 1 0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n



1

0 1 0 01

0


nn


z z


0

0

1

1 01

1Re ( ) ( ) ( )( 1)

nn

nz zz z




( 1)f z

z z

die Residuen an den

Polstellen


=0 2=00

1Res ( ) = ( ) = = 1( 1)zz

z

f z z f zz


21 1 1

1 1 1Re ( ) 11z zz

ds f zdz z z





lim ( ) 0

sF s

Dann gilt

1

( ) Res ( ) k

n

s sk

stf t F s e

(315)



R W1W2

j

0

o

o




0

0 12

1 1 1( ) ( ) ( ) Res ( )2 2 2

n

kkW

jst st st

z zj W


(316)


2

lim ( ) 0stR

w

F s e ds

Es gilt lim ( ) 0s

F s







ssF


daher mit Gl (315)






0 = )( lim

sFs


2

0 0 00( ) Res ( ) ( ) st st st st

s s ss



Beispiel 35


1F s

s



( )( )1 F s

s j s js



( ) Re Re

( )( ) ( )( )

1 1 1 sin( )2 2 2

st st st st

s j s js j s j

j t j t j t j t


e e e e tj j j


1F s f t t

s


sF ss


( ) Re Re

( )( ) ( )( )

1 cos( )2 2 2

st st st st

s j s js j s j

j t j t j t j t


j je e e e tj j


sF s f t ts


Aufgabe 31


2W

dzz


2 jz re

r

20x

y

W lt




2f z

z


31( )

( 1)( 1)f z

z z


)2)(1(1 = )( a)

sssF 3)1(

12 = )( b)

sssF

11 = )( c) 2 s

sF 4

3

)3( = )( d)

sssF

22 )1(1 = )( e)ss

sF )1)(1(

5 = )( f) 2

ssssF


sF 1 = )( mit n



2222 j)(j)(1 =

)1(1 = )(

ssssF



s

ssF16

= )( 4





0

( ) ( ) ( ) stf t f t e dt F s

L

(31)


0

0

1 1( ) ( ) ( )2

jst

j

f t F s F s e dsj

L

(32)



0

1

t

)(t



= )(tt

t




0 0

1( ) st

st et e dts s

L


e e e





0

j

Konvergenzhalbebene


Die Bildfunktion s




(317)


( )( )

0 0 0

1 ( )


s a s a

L


0

j


Re a


( )lim 0s a tt

e

sein





s a (318)




1 und st


1 1

0 0 00


s s s

L = = + =


t e



1 2

0 0 0


L

100

1 2 2 1 1 2 2 1 stst



nnt n

s (319)


( ) rf t t


( 1)

0 0 0

1( ) r


(320)


definiert ist 1

0

( ) x tx t e d t



r rts

(322)



1 1 2 20

0 0 0



( ) ( 1) ( 1)x x x (323)



(1) = e = 1t d t


(2) 1 (1) 1 (3) 2 (2) 2 (4) 3 (3) 3


( 1) = n n n (324)



1 2 1 21( ) = und ( ) =f t t t f t tt


232

erhaumllt man


1 12 2( 1) ( )1

st s s

(325)


312 2( 1) ( ) 1

2st

ss s

(326)


332 Additionssatz



0


)( )(1 1

sFatfa i

n

i

n

iiii

(327)


)( = e)( = e)( )(1 10 1 1 0

sFadttfadttfatfa i

n

i

n

ii

n

i

n

i

stii

stiiii



( ) ( ) ( ) ( )f t F s f t F s


Korrespondenz 1 n

nnt

s in 11

n



( 1)

n

nt

ns

(328)



4 3 43 2 1 12 -10 3( ) 2 - 5 3 s sF s

ss s s




cos( ) sin( )

cos( ) sin( )

j t

j t

e t j t

e t j t




1 2 21 1 1( )

2F s

j s j s j s

und 2 2 2

1 1 1( ) 2

sF ss j s j s


2 2

2 2

sin ( )

cos ( )

ts

sts

(329)

(330)


a) 16 8+3 = )( 2 s

ssF und b) s

sssF 3

2 835 = )(



22222 442 +

43

1683)(

sss

sssF





2 835 = )(s


32181315 = )(s

+ s

+ s

sF



gilt )(5 5 ts




)cos(3)sin(2 = )(c) tttf 2 2d) ( ) = 2 et

f t t




4 3

53 5 7a) ( ) s s sF s

s

6 8b) ( ) =

5 2F s

s s

21 3c) ( ) =

2 5F s

s s

135 = )(d) 2

sssF

22 15e) ( ) =4 9

sF ss




Die Funktion 0 0

0

( )( )

0f t t t t

f t t t


0 0( ) ( ) ( )f t f t t t t






00 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) e stf t F s f t t t t F s (331)


0 0

0 0

( )0 0( ) ( ) ( ) t t t ss t

t t


L


0 0 0

0


L L






= )(0Tt

tf

Dann gilt

00 0

( )( ) ( ) ( )1


es

(332)



0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 ) ( 2 ) f t f t f t T t T f t T t T






2 3

0

1 1 1

k

k

S q q q q q


F sF se

0 0

t t

T 2TT 3T

0 ( )f t ( )f t



00


t lt ttt


t

1

t0

)( tf


Aus 1( )ts



0

0( ) ( )steF s t ts

= L


0

t

0

tA

a) b)

A)(tA

)( tA

)( tf )( tf




( ) = 1 e sAF ss


00

( ) 1st




0

02

0

fuumlr 0 ( ) =

fuumlr ( t t )

A t tf t

Ae t gt t




02( )0 0( ) = ( ) ( ) + e ( )t tf t A t t t A t t


0 0( ) 1 2

st stA AF s e es s


fuumlr 0 ( ) =

0 fuumlr gt

A t tf t τ

t


00

tt

A A

)( tf )( tf

A2 ( )f t

1( )f t

3( )f t





0

t

A

( )f t

0t



( )3

seF ss


funktion )( tf


tes



te tf t t



Beispiel 314




0( ) ( ) 2 ( 2) ( )f t A t A t T A t T


s s


2 2

2 2

2 2

1 1( ) ( )

1 1 1

sT sT

sT sT sT

A Ae es sf t F s

e e e

2

21( ) 1

sT

sTA eF ss e

( )f t0 ( )f t

T T0 0

A A

A A

tt





t

3 fuumlr 3

3 0fuumlr = )(b)

t

tttf


= )(c)ttt

tf 0 1

d) ( ) 1 1 20 2

t tf t t

t

1 0 1e) ( ) 2 1 2

0 2

tf t t t

t

Aufgabe 310




( 2)

fuumlr 22( ) =

fuumlr gt 2t

A t tf t

Ae t


( )f t

t

A

01t 2t

( )f t

A

0 2

t



sTeF ss


T ist die



2

2a) ( ) seF s

s

5

4b) ( ) seF s

s

2

2c) ( ) 25

ss eF ss

2

31d) ( )

seF ss

1 1e) ( ) (1 )2

sF s es s

46f) ( )

( 2)

seF ss

1g) ( ) 12

ss eF s e

s s

2

21 1 1h) 1

2s sF( s ) ( e ) e

s ss



0

1( ) lim ( ) ( )t t t

(332)

( ) 1t dt

(333)


( )f t

t

1

0



t

0

1t

1

0 t0

)( 0tt )( t







( ) ( ) (0) ( ) (0) ( ) (0) 1 (0)




( ) ( ) (0)t f t dt f

(334)



0 0( ) ( ) ( )t t f t dt f t


(335)


)()0( = )()( tfttf (336)




)()( = )()( 000 tttftttf (337)





(338)

(339)






0

n

tn1

)( tgn

0 tn1

n2

)( tgnn

0 t

tnn e

)( tgnn




0( ) ( ) 1stt t e dt e

L


( ) 1t (340)


0 0 0


s s s

L L



s

0

1 se(t) lim 1s 1

L



L







t

0 t

0

(t)

t

0

t

0

(t)

1

1

1

1

)( tf

dttfd )(

0lim

0lim



( ) ( )D t t (342)




0 fuumlr 0 = )(

t

tdt

td






( )

0 0




0





bestimmt werden


4t



32 2

2 2sin(2 ) ( 3) 4 6 13

te ts s s




255ts



22

55 ( 2)

ttes




25( )

( 2)sF s e

s


5 = )( 2 ss+ssF



2 2 2 2 25 1 4 3( )

3( 1) 9 ( 1) 3 ( 1) 3s sF s

s s s




4( ) cos(3 ) sin(3 )3

tf t t t e


( )F s

s a

zu bestimmen






1s







te t t f tt



21a) ( )2 1

F ss s

21b) ( )4 8

F ss s

21c) ( )

2 3sF s

s s

31d) ( )

( )F s

s a

2

3e) ( )( 1)

seF ss

3

2f) ( )2 5

seF ss s

3

21g) ( )( 2)

seF ss

3

2h) ( )

( 3)F s

s



1 1 01

1 1 0

( )( ) ( )( )

m mm m

n nn n




11 1 0( ) = = 0n n



1 2

( )( ) ( )( ) ( )n n

Z sF sa s s s s s s




1 2

1 2( ) = k n

k n


(344)



Satz 316


1

( ) kn

tk

k

sf t A e

(345)



k

A A es s






1 2

1 2

( ) ( ) ( )( ) ( ) k k n kk k

n



lim ( ) ( ) ( ) ( )kk


(346)




Z sF sN s


( )lim( )k

k

k s s

Z sAN ss s

(347)


N ss s


pital angewenden

( )( ) ( )lim lim

1k kk ks s s s s s

dN sdsN s dN s

s s ds


( )( )lim ( ) ( )k

k

kk s s

s s

Z sZ sAdN s dN s

ds ds

(348)



F ss s





A AF s s s


1 21 ( 1)A s A s

Fuumlr s = 0 1 11 ( 1) 1A A

Fuumlr s = 1 21 A


1 0 0

1 1 1( 1) ( 1)s s

A ss s s

und 21 1

1 1( 1) = 1( 1) s s

A ss s s


1 + 1 = )(

ss

sF



( ) 1 tf t e


32 3 1( ) s sF s

s s





AA AF s s s s



2

1 20

2 3 1 13 1 s

s sAs

2

2 21

2 3 1 23 1 s

s sAs

und

2

3 21

2 3 1 13 1 s

s sA s


1 2 1( )

1 1F s

s s s


( ) 1 2 t tf t e e


Satz 317


1 11

00 1 0 0

( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )

k kk k k


(349)



00

0 11

1

( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )k




1 21 0 2 0 1 0

00

( ) ( ) ( )( )

( )

k kk k

k


s s



01

01

( )( 1)

nk

nn

ts tf t e Bn

(350)


0

01 ( ) ( )

rk

k r rs s

dB s s F sr ds

(351)

Beweis

a) Mit 11

( 1)

n

nt

ns


1

0 ( 1)( )

ns tn

nnB tB e

ns s




0( ) ( )kk s s

B s s F s





33 7 6( )

( 1)s sF s

s




Ansatz 2

3 2 13 3 2

3 7 6( ) ( 1)( 1) ( 1) ( 1)

Bs s B BF sss s s


0 r 3 23 1 1 ( 1) ( ) 3 7 6 2

s sB s F s s s

1 r 3 22 11 1 ( 1) ( ) 3 7 6 6 7 1ss s


2 r 2 2

3 21 2 21 1

1 1 1 ( 1) ( ) 3 7 6 6 32 2 2s s

d dB s F s s sds ds


3 22 1 3( )

( 1)( 1) ( 1)F s

ss s


Beispiel 322 Zu 2

23( )

( 1)( 2)s sF s

s s



2 12( )

1 2( 2)A B BF s

s ss


2 21 2 13 ( 2) ( 1) ( 2)( 1)s s A s B s B s s


s = 1 211 ( 1 2)A A1 = 1

s = 2 23 ( 2 1)B B2 = 3


s = 0 213 ( 1) 2 ( 3) 1 2 1B B1 = 2



22

)2(3

11 = )( 2

sss

sF



Satz 319

Beweis


Z sF sN s

gilt die Zerlegung

0 0

( )( )( )( ) ( )

Z sF ss s s s R s



(1) 1 20

0 0( ) ( ) ( ) ( )A AF s P s F s P s

s s s s


(2) 1 202 2( ) ( ) ( ) ( )


s a b



1 2 2 10 0 12 2( ) ( ) = cos( ) sin( )


bs a b




1 20

0 0( ) ( ) ( ) ( )A AF s P s F s P s

s s s s


00 0 0

( ) ( ) ( )( ) ( )





0 0 0

( ) ( ) ( )

Z sAs s R s


20 0 0

( ) ( ) ( )

Z sAs s R s


1 2 1 0 2 01 2

0 0 0 0 0

( ) ( )( )( )( )


1 1 2C A A und 2 1 0 2 0( )C A s A s


1 2 1 22 2

0 0( ) ( ) ( )

( )( ) ( )C s C C s CF s P s P s

s s s s s a b


1 2 1 2 10 2 2 2 2 2 2

( )( )( ) ( ) ( )



gibt 2 2 cos( )( )

ats a e bts a b


2 2 sin( )( )

atb e bts a b





24 25 45( )

( 1)( 6 13)s sF s

s s s




1 1 22( )

1 6 13A C s CF s

s s s


1 1 24 25 45 ( 6 13) ( )( 1)s s A s s C s C s

Setze s = 1 24 = 8A1 s = 0 45 = 39 + C2 s = 1 74 = 60 + 2(C1 + 6)

A1 = 3 C2 = 6 C1 = 1


2 2 2 2 23 6 3 3 3 2( )

1 1 26 13 ( 3) 2 ( 3) 2s sF s

s ss s s s


3( ) 3 cos(2 ) sin(2 )2

t tf t e e t t


2 22 3( )

( 2 2)( 2 5)s sF s

s s s s


2 2( )2 2 2 5

As B Cs DF ss s s s



1 20 0 und3 3

A B C D


1 1s j





Setze 1 1s j 1 ( 1 ) 3 3 3 3A j B A B j A


Setze 2 1 2s j 2 ( 1 2 ) ( 3) 3 3 6C j D C D jC



2 2 21 1 1 2( ) 3 3( 1) 1 ( 1) 2

F ss s


1( ) sin( ) sin(2 )3

tf t e t t



24a) ( )

5 6sF s

s s

1b) ( )( 2)( 2)( 3)

F ss s s

3

4c) ( )( 3)

sF ss

3 2

2 210 20 5d) ( ) ( 1) ( 2)

s s sF ss s s

2 21e) ( )

( 1)F s

s s

2 2

10f) ( ) ( 1) ( 8 17)

F ss s s

25g) ( )

( 1)( 1)sF s

s s

2

3 27 12h) ( )

3 3s sF s

s s s

32i) ( )2

F ss

2k) ( ) 1

sF ss

2 21 3 1l) ( )

( 1)ssF s e

s s s

2

33 8 6m) ( )

( 1)s sF s

s

36 Faltungssatz 73

36 Faltungssatz




1 11 2 1 2

2 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) F s f t



(352)

1 2 1 20

( ) ( ) ( ) ( )t

f t f t f f t d

definiert ist

(353)


1 2 1 20 0

( ) ( ) ( ) ( )t



1 fuumlr

( ) = 0 fuumlr

tt

t


1 2 1 20 0 0 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( )t



1 2 1 20 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) stf t f t f f t t e dt d


2 20

( ) ( ) ( )st sf t t e dt F s e


Weiter folgt

1 2 1 2 2 1 2 10 0



Satz 323





a sF ss a


berechnet werden


1 22 2 2 2( ) = = ( ) ( )( ) ( )





1 20

( ) ( ) ( ) cos( )sin( ( ))t

f t f t f t a a t d



36 Faltungssatz 75


1 20 0 0

1 1 1( ) ( ) ( ) sin( ) sin( 2 ) sin( ) sin( 2 )2 2 2

t t t


0

1 1 1( ) sin( ) cos( 2 ) sin( )2 4 2


a


22 2

1 sin( )2

a s t a ts a

(354)


00

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )t

tf t t t t d t t t


2

2 2( )( 1)

sF ss


1( )( )( )

F ss s s s




sF ss


zu berechnen





1

( ) ( )n

kk

F s F s


1

( ) ( )n

kk

f t f t



1

( ) ( )kk

F s F s




Satz 324


( ) ( ) ( )k kk k

F s F s f t




( ) ( )kk

f t f t

von F(s) wenn


0

( ) stkf t e dt M

und




( ) kk

kF s a s


1

( ) = ( 1)

k

kk

tf t ak


( 1)F s

s




4 2 4 6 8 10 121 1 2 3 4 5( )2 1

F s s s s s s s s


3 5 7 9 112 3 4 5( ) 3 5 7 9 11t t t t tf t


1 12

1 202 22

1( ) ( ) sin( )1 ( ) ( ) ( ) sin( )sin( )

1( ) ( ) sin( )1


F s f t ts


finden wir

0

1 1( ) cos( ) cos( ) sin( ) cos( )2 2

t

f t t d t t t




3 5 7 2 1

0

sin( ) ( 1)3 5 7 (2 1)

kk

k

t t t tt tk


0k

2642

)12()1( =

7531 = )sin( = )(

ktttt

tttf

kk



2 1

3 5 70

1 2 4 6 ( 1) 1( ) 2 13 5 7

kk

k

F ss k ss s s


2 1

0

( 1)arctan( ) 3 5 7 2 1

kk

k

z z zz z zk


die Korrespondenz



0


(355)

(356)



Integralsinus

0

sin( )( ) t

zSi t dzz


0


tSi dtt


Si t




3 2( )2 3 4s sF s

s s s





2 3 45( ) 1

2 3 4t t tf t t




2

4a) ( )1

sF ss

31b) ( )

1F s

s

11c) ( ) sF s es

1 1d) ( ) cosF s

s s




0

1( ) ( )t

f d F ss

L

(357)





( ) = 0 fuumlr

tt

t

1 20 0

1( ) ( ) ( ) ( ) (t) = ( ) ( ) ( ) t t



5 5

0

( )t

f t e d


5 56

5( 5)

tt es


5 56

0

5( ) ( )( 5)

t

f t e d F ss s




R

i(t)u(t)

u(t)

0

tU0

C




00

1( ) ( ) ( ) ( ) ( )t



01 UI sRI sC s s

( )( )



Cs RC


0( ) t

RCUi t eR




0

1( ) ( ) ( )t

Ri t i d A tC




1( ) 1 1 A RCI s

R s RC


2( ) ( )t

RCA Ai t t eR R C




0

t

0

df(t)

t

dt2U

2U

U

2a) b)

)( tf



2 fuumlr 0 lt lt 2



U t

f t U t


)(

22)(2 = )(

tttUtf


2

2 22 1 2( ) 1 2 1s ssU Uf t e e e

s s

L


2

22

0

2( ) ( ) ( ) 1t sUF s f t f z dz e

s

= L = L


2 4 2( )2 2

U U Uf t t t t t t



1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )f t A t t t t t

gezeigt werden



1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )Df t A t t t t t t t



Mit 1( )s

seDf t A es s

L ergibt sich

20

( ) ( ) 1t


L




s a




02 3

0


b) ( ) 2t

t

f t Si t d

f t e d


0

t

U0)( tf


0

0

0 a) ( )

U t tf t

U t

0

t

U0

)( tf


0

0

00

0

2b) ( )

3 2 3

0 3

U t t

U tf t

UU t t

t




Ableitung

( )( ) df tf tdt

Satz 326


lim ( ) = (+0)t

f t f


dttfst

0


(358)


0

00

0

( ) ( ) lim ( )st stt

t


L



0

00 00

00 0( ) lim ( ) ( ) lim ( ) ( )stst st

tt tt


L


( ) ( ) ( 0)f t s F s f L


2( ) ( ) ( 0) ( ) ( 0) ( 0)f t s f t f s F s s f f L L



Satz 327



0

( )k stf t e dt



2

3 2

( ) ( ) ( 0)

( ) ( ) ( 0) ( 0)

( ) ( ) ( 0) ( 0) (+ 0)

f t sF s f

f t s F s s f f

f t s F s s f s f f


31

2( )

att es a



Mit 2

31( ) ( )

2 ( )

att ef t F ss a



32( ) ( )


s a


Korrespondenz 2 2 2

23

4 2( ) ( ) 2( )



33

6 6( ) ( 0) 1 ( )2( )



3 3 2

36 6 ( )2( )

ats a t at a e ts+a




i(t)

R L

u(t)





0( ) + ( ) = UR I s LsI s

s 0 0( ) = =

( )U U

I sRs R+ Ls sL s+L


0 1 1( ) =

UI s RR s s

L


0( ) 1RL tUi t e

R


( ) ( )dz t z t



( ) (0) ( )sZ s z Z s

0( ) zZ ss


0( ) tz t z e



( ) ( )D t t (342)


Definition 36



1

( ) ( )n

i ii

Df t f t h t t

(361)




)5(3)4(3)3()2()1(2)(2 = )( tttttttf

1

2

3 4 52

t 1

23

05

-2

t

0

)( tf )( tfD



( )0 sonst

tf t


)5(3)4(3)3()2()1(2)(2 = )( tttttttf


( ) 2 ( ) 2 ( 1) ( 2) ( 3) 3 ( 4) 3 ( 5)D f t t t t t t t


u(t)iL iC

R

CL




Satz 328


( ) ( ) ( 0)Df t sF s f (362)




( ) ( )Df t sF s

( ) ( ) ( )n nD f t s F s

(363)

(364)


( ) ( ) ( )Df t f t h t


( ) ( ) ( 0)

( ) 1

f t sF s f

t




( ) ( ) ( 0)Df t sF s f






respondenz s


1( ) ( ) ( 0) 1t D t ss







0lim ( ) lim ( )

t sf t sF s

(366)



f t F s

L


0

( ) ( ) ( ) ( 0)stf t f t dt sF s fe

L


F s sF s f

lim ( ) ( 0)s

sF s f




ss F s

nicht auf das


lim ( ) t

f t




0lim ( ) lim ( )t s

f t sF s

(367)


0

( ) ( ) ( ) ( 0)stf t f t e dt sF s f


( ) = lim ( ) (+0)t

f t dt f t f


0

lim ( ) (+0) = lim ( ) (+0)t s

f t f sF s f


2

3 23( ) =

5 8 4s sF s

s s s




2

3 20

( 3)lim ( ) (0) lim 15 8 5t s

s s sf t fs s s

Endwert

2

3 20

( 3)lim ( ) = lim = 05 8 5t s

s s sf ts s s





4( )( 1)

sF ss

ist

Anfangswert 3

40lim ( ) lim 1

( 1)t s

s sf ts

Endwert 3

40lim ( ) lim 0

( 1)t s

s sf ts




31a) ( )

(1 3 )F s

s

2

1b) ( ) ( 1)( 2)

F ss s

2

3 22 3 2c) ( )

2 2s sF s

s s s


1e) ( ) 1

F ss s

1f) ( ) ln(1 )F s ss


Satz 331


( )

( ) ( )

( ) ( 1) ( )n

n nn

dF s t f tds

d F s t f tds

(368)

(369)




0



0



0 0






( )dF s st t

ds s


0

sin( ) tt t e dt


2 20

2sin( ) sin( )( 1)

stst t t t e dts


0

4sin( ) 01625

tt t e dt





Wir erhalten ( ) 1

2dF s t t

ds s s t

und

322

2 2( ) 1 3 1

2 2d F s t

ds s s


121 4

(2 )

nn

nn t

ns s


21( ) ln 1 F ss


23 2 2

( ) 1 2 2 2 21 ( 1) 11s

dF s sds ss s s s


22 2 2 2cos( ) ( )

1s t t f t

s s

Mit dem Ergebnis t

ttf )cos(22 = )(






1e) ( ) sin( ) cos( )2

f t t t t


( ) ln(1 )F s s



Satz 332



( )( ) s

f tF u dut

(370)




0



( ) ( ) ut

s s

F u du f t e dt du


0 0 0

( ) ( ) ( ) ( )ut st

ut

u ss s





( )( ) st

s

f tF u du e dtt

folgt im Grenzfall

s 0

0 0


(371)


( )f t dtt

verwendet werden



sin( )( ) tf t

t


1t

s folgt 2

sin( )1s

t dut u

Mit 2 arctan( )1

du uu

erhalten wir


u

u s

t u st s


sin( )( )x tSi x dt


Zu berechnen ist 0

sin( )( ) tSi dtt


sin( )1

ts


200 0


t dsdt st s


1 2

1 2



1

1 2 2

1 1( ) lnss s


Da der Grenzwert 1

2lim 1u

u au a


2 11

2ln

a t a ts a e es a t




sinh( )a) ( ) tf tt

1b) ( )

tef tt



0


3

0

b)t te e dt

t



Definition 41


( ) ( 1)1 1 0( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n



( ) ( 1)1 1 0( ) ( ) ( ) ( ) 0n n






( 1)( 0) ( 0) ( 0)nf f f






f(t)








11 0( ) ( ) ( ) ( )n n



11 1 0

( ) ( )( )( )n n

n


= =

(42)



1

1

( ) ( )

( )

n

ii

iR s k sF s

N s

(43)






21( ) 2 ( )

1sF s F s

s


2 312 2

1( ) = = 2( +2)( 1) 1

A s AAF s + s+s s s


)2)(( + )1( = 1 322

1 sAsAsA


s = 2 1 = 5A1 A1 = 02

s = 0 1 = 02 + 2A2 A3 = 04

s = 1 1 = 1 + 04 + 3A2 + 12 A2 = 02

Damit ergibt sich

22 2

1 2( ) = 02 ( ) = 02 e cos( ) 2sin( )2 1 1






4

= )(9)( 22

sssFksFs und

9 +

)4)(9( = )( 222 s

kss

ssF


3 41 2

2 2 2 2 ( 9)( 4) 9 4




)9)(( + )4)(( = 243

221 sAsAsAsAs

s = 2j 2j = (A32j + A4) 5 A3 = 02 und A4 = 0

s = 3j 3j = (A13j + A2) (5) A1 = 02 und A2 = 0


Damit erhaumllt man

2 2 202 02( )

4 9 9s s kF s

s s s

und










2

2( ) ( ) ( ) 0R

d x tm D x t F tdt


2( ) ( )( ) Rd x t D F tx t

m mdt



und ( )( ) RF tr tm



22( ) ( ) ( )d x t x t r t

dt


0x

dxdt

erhaumllt man


02( ) ( ) ( )X s s A X s R s




0

k

kT 2T

t

r(t)



2

2

1( )1

sT

sTk eR ss

e


02 2 2 2

2

1( )( ) ( )

1

sT

sTA s k eX s

s s se


a e

432 22221

11 aaaa

aa


03

2 22 2 2 2( ) 1 2 2 2

( ) ( )


s s s



Es ergibt sich

2 22( ) cos( ) 1 cos( ) 1 cos ( )


2 2 2

2 2

2( ) cos( ) 1 cos ( )2 2

2 2 3 3 1 cos ( ) 1 cos ( )2 2


k k T Tt T t T t t



2( ) cos cos ( )2

k k T kx t A t t

0 2 23( ) cosk kx t A t







0 = (+0) = (+0) = )(2)(3)(a)

ffttftftf

5 = (+0) 0 = (+0)

)25sin(2 = )()(2)(b)ff

ttftftf

1 = (+0) 2 = (+0) e610e = )(9)(c) 32

f ftftf tt

8 = (+0) 3 = (+0) 1 = (+0) 0 = )()(d)

ffftftf

e) ( ) 4 ( ) 4 ( ) ( ) ( 2)( 0) 0 ( 0) 0f t f t f t t t

f f


ttftftf 5e38 = )(4)(2)(



R

i(t)ue(t) C ua(t)

Bild 44 RC-Glied

aa e

( )+ ( ) = ( )

du tRC u t u t

dt



e 0a) ( ) ( ) ( )u t U t t eb) ( )u t k t

ue(t)

0

t

U0

ue(t)

0

t

U0 k =U0







Laplace-

Transformation




0 = )0( = 0)( 21 ii


1 21 0

2 12

( ) ( ) ( ) = ( )

( ) ( ) ( ) = 0




R R

L Lu(t)

M

i2i1




01 2

1 2

(1) ( ) ( ) + ( ) = s

(2) ( ) + ( ) ( ) = 0

ULs R I s Ms I s

Ms I s Ls+ R I s


sU

sMR+LsR+Ls

+Ls Ms RsR+Ls M

R+Ls

Mss

U

sI 0222

0

1)(

=

0

= )(

0

02 2 2 2

0

( ) = = ( )

UR Ls s Ms U M



0 01 2 2 2

2 2

( )( ) = =

( ) ( )1 ( ) ( )1 1

= + +

( ) ( )1 1



L k L k


RUC

RUB =

RUA

2 = und

2 = 000

Wir erhalten somit

)1(

1

)1(

122

= )( 01

kLRs

kLRssR

UsI


)1(

1

)1(

12

= )( 02

kLRs

kLRsR

UsI



(1 ) (1 )01

(1 ) (1 )02

( ) = 2 e e 2

( ) = e e2

R t R tL k L k

R t R tL k L k

Ui t

R

Ui t

R


=1000 s1 und 0UR

= 100 mA fuumlr



k1 = 05 (a) und k2 = 09 (b)




i(0) = 0 und ( 0) 0CU

i(t) R

L

C

uC(t)ue(t) iR iC




e( )(1) ( ) ( )C

di tL u t u tdt


Aus ( ) ( ) ( )R Ci t i t i t mit ( )

( ) = CC

du ti t C


)( = )(1)((2) tituRdt

tduC CC


0(1) ( ) ( )

1(2) ( ) ( ) 0

C

C

ULs I s U s

s

I s Cs U sR


1111

=

11

1

0 1

= )(2

00

0

LCs

RCsLCs

U =

RCs+Ls

sU

RCs+

Ls

sU Ls

sUC


RC21 =

folgt

220

2

200

20

2

200

()2( = )(

)ssU

sssUsUC




Daumlmpfungsgrad 0

=


2


sA

sA

sAsUC

32

21)(

= )(




2



0 0 2 312 2 2 2( )





2


Mit 2 2 20 a folgt

002

2 312 2 2 2( ) = =

( ) ( )C



1 0 2 0A U A U und 03 2UA



a


0 Cu ( ) U



dt dtdt




(2) ( 4 4) ( ) ( 1) ( ) 1s X s Y s

s X s s Y s


2

2

3 2 3 22 2

1 1 11 1 4 4 1 4 4( ) ( )

4 4 4 41 14 4 1 4 4 1

ss ss s sX s Y s



3 2 4 4 0s s s


s2 4 = 0


1 113 3 61 2 2( )

1 2 2 1 2 2AA AX s

s s s s s s

1 23 3 31 2 2( )

1 2 2 1 2 2BB BY s

s s s s s s


2 2 2 21 1 1 1 2( ) und ( ) 23 2 6 3 3







)(sin)(2)()((2)

)(cos)(4)(2)((1)

ttytxdt

tdy

ttytxdt

tdx



dt

tdxdt

tdytydt

txd )(9)((2))()((1) 2

2



)(2)()()2()(3)(2)()1( txtydt

tdytytxdt

tdx


Aufgabe 47




u(t)

RL C

iCiL


0

0

( )(1) ( ) ( ) = ( )

( ) 1(2) = ( )

LL C

tL

C


di tL i ddt C





43 RCL-Netzwerke


Definition 42







Satz 41


)()(D)()(

)()(D )()()(

)(

sUstusUtu

sIstisIti

kn

kn

kk

kn

kn

kk

(44)


t

tutiLdiC

tiR0

)( = )(D + )(1 + )(

u(t)i(t)

CR L



1 ( )( ) ( ) ( )I sR I s LsI s U sC s


R

(45)




( )( )( )

U sZ sI s

(46)







R


C

t

C iC

tu0

)d(1 = )( )(1 = )( sICs

sUC Cs

sZC1 = )(

L

)(D = )( tiLtuL

)(= )( s LsIsU L

LssZ L = )(


u(t)i(t)

CL

U(s)I(s)

Ls1

CsRRa) b)




Satz 42







u(t)

R

RCi(t)

a) b)

U(s)CsI(s)

R

R1



1 12( ) = Z +Z Z = = = 1R C R

Cs RC

Cs RC


und den Bildstrom 1

10 222

( )( ) = = = ( )

RC

RCRC


Mit 0 0 0 01 2

2

1 1

2

= 0

= = und 2 2

RC

RC RC

RC s s =

s sU U U UA A = =

R R R s Rs


R s sRC



0( ) 1 2

tRCUi t e

R


0( 0) = Ui

R


Bild 412 Strom i(t)



R R

Cue(t) ua(t)i1(t)gt

i2(t)gt

i3(t)gt

R

CC




0)(2)(1

0)(1)(2)(1

)()(1)(1

32

321

e21

sICs

RsICs

sICs

sICs

RsICs

sUsICs

sICs

R


1 1

1 2

1

3 3 3 3 2 2 21 1

2

2

( )0

0 0( ) = =

5 6 10

1 1

10

eCs Cs

Cs Cs

Cs

Cs Cs

Cs

Cs

R U sR


R

RCs Cs

RCs


u t U t U ss



03 3 3 3 2 2 2

1( ) ( ) ( 5 6 1)a



0 =)165( 222333 RCssCRsCR s



3 2( ) 5 6 1 f x x x x




RCsx

RCsx

RCsx

2473 = 2473 =

5551 = 5551 =

1980 = 1980 =

43

32

21



03 3

1 32 4


= 0198 1555 3247

aUU s

R C s s s sRC RC RC

A AA As s s s

RC RC RC


04030201 0600 = 2800= 2201= = UAUAUAUA


RC

RC

RC

a Utu247355511981

0 e0600e2800e22011 = )(


t


a 00


u t s U s U




0( ) 0937au t U



u(t)i(t) C

R

a)

u(t)U0

0

t

2

b)



)(11 = )(

1 = 1

)( = )()( = )( sU

Css

sR

sU+RCs

Cs

Cs+R

sUsZsUsI


20 2e112 = )(

s

sUsU


2 1( ) = 1 2e e( )

ss

RC

UI s

Rτ s s


RCRC ssRC

ss 1111 =

)(1


2 1 1( ) = 1 2e es

s

RC

U CI s

s s



)()()()( 321 sIsIsIsI

20 01 21 1

03 1

2 21 1 1 1( ) = ( ) = 2e

2 1 1( ) = e

s

RC RC

s

RC

U C U CI s I s

s ss s

U CI s

s s


2


0

20

20

2 1 fuumlr 02

2( ) = 1 2 fuumlr 2

2 2 fuumlr

RC

RCRC

RCRC RC

t

tt

tt t

U C e t

U Ci t e e t

U C e e e t


t




1 2 3( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2










Li0(t)

u(t)i(t)

Li0

U(s)I (s)

R RL Ls



)( = )(D)( tutiLtiR


0( ) ( ) = ( )R I s L s I s i U s bzw

0)( = )( iL+sUsILsR (47)





Mit Gl (46) folgt

00 = )( iL

sUsILsR


LRs+

i

LRssR

U = R+Ls

iL + R+LssU)sI 0000 + 11 = (


RLR

iR

Uti

e + e1 = )( 0

0


LR


0( 0)i i


R

Utit

0 = )(lim



u(t)

i(t)

U(s)

I (s)

R

C

R

Cs1

a) b))(0 tU

sU 0




1( ) ( ) ( )t

R i t i d u tC


0

0 = )0( = )(1 UudiC C


0

1( ) ( ) ( ) ( 0)C

t

u t R i t i d uC


)( = )(1)( 0 sUsICss

UsIR oder

sUsUsI

CsR 0)( = )(1

(48)



Satz 43







1

RC

Cs

sRUU

RCsCs

sUU

RsUUsI

101

01

101

1

1

= 1 = )(


tRCe

RUUti

101 = )(



Aufgabe 48

u(t)i(t)

RR

L


0( ) ( )u t U t

angelegt wird

Bild 421 Stromkreis


C

Ru(t) uR(t)

i(t)

a)

u(t)

U0

0

t0U0k =

tt0b)




gti1(t) i2(t)

R C

RCgt

u(t)

a)

u(t)U0

0

t



LCLR 1 gt 2

a)2

aperiodischer Fall

LCLR 1 =

2b)

2


LCLR 1 lt 2

c)2

periodischer Fall

i(t) C

R

u(t)

L


Aufgabe 412


ua(t)

R C

i(t)

R

Bild 425a Schaltung

u(t)

U0

0

t



u(t)

U0

0

t




Aufgabe 413


0( ) ( )eu t U t


R

C

ue(t) ua(t)

i(t)

C

Bild 426a Schaltung


0

1) ( ) ( )2) ( ) ( )

e

e

u t tu t U t

R

ue(t)

R

2R

Lua(t)

i1(t) i2(t)

Bild 426b Schaltung





Eingangssignal x(t)



Definition 43


1 1 2 2 1 1 2 2( ) ( ) ( )y k x k x k y x k y x (49)


Definition 44


0 0( ) ( )y t t f x t t (410)






Definition 45




Definition 46





Definition 47


(411)


( )) = ( )

Y sG sX s


Satz 44


( ) ( )G s g t L (412)



Y sG s g t L

Satz 45


0

( ) ( )t

h t g d

(413)


ist die





1 ( ) ( ) ( )t

G s g d h ts


( )( ) h tg tdt

(413a)


( ) ( )g t Dh t (413b)


Satz 46


0

( ) ( ) ( ) ( ) ( )t





( )( ) ( )

a

e

U sG sU s

(415)


Beispiel 412

Cua(t)

R

ue(t)

i(t)

Bild 430 RC-Glied




e1( ) ( ) = ( )eu t U s R + I s

Cs


a1( ) ( ) = ( )au t U s I s

Cs


1 ( )( ) 1 1 1( ) 11( ) 1( )

a

e


RCCs






RC RC


RC



( ) 1 RCa

tu t e



1 1( ) 1G sRC s

RC

11 ( ) RC t

g t eRC



( )g t ( )h t1

RC

t t

0 0a) b)

1





2

1 ( )( ) 1( ) 1( ) 1( )

a

e


Cs





R2

= folgt

2 20 0

2 2 2 2 20 0

( ) = = 2 ( ) ( )

G ss s s





202 2( )

( )G s

s




2002( ) ( )

( )tG s g t te

s

Impulsantwort



202 2( )

( )G s

s


20( ) ( ) = e sinh( ) tG s g t t

i(t) Cue(t) ua(t)

R L



Bild 433

Beispiel 414


iR


C

C

CR

R

R

iC + iR

a) b)



Cs Cs


1( )

( ) 1( ) ( ) 22 ( )

a

e


Cs


( ) ( )( )( ) ( ) 2 ( ) ( )

R Ca

R Ce




Cs


( ) 1 1( ) = 2( ) 2

R

R



Beispiel 415


i2(t)gt

i1(t)gt

ue(t) ua(t)

R

RR

C



1 21 1(1) 2 ( ) ( ) ( )eR I s R I s U s

Cs Cs

1 21 2(2) ( ) 2 ( ) 0R I s R I s

Cs Cs




2

12 ( )

1 0( ) ( )

3 11 12

1 22

e

e

R U sCs

RCs CsI s U s

RCsR R

Cs Cs

R RCs Cs


2( ) ( ) ( )3 1a e

RCsU s RI s U sRCs


a

e


Beispiel 416




( ) ( ) 1( ) 11( ) 2 1 22 ( ) 2

a

e


RCCs


werden ( )( ) ( )

aZ sG sZ s




aZ s R sG sZ s R s

Cs RC

R

i(t) R

C

ue(t) ua(t)




1 1 1( ) ( ) 122

H s G ss s

RC

121 ( ) ( )

2

tRCh t e t


121 1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )1 12 2 4 2 4

2 2

tRCsG s g t t e t

RC RCs sRC RC




2 21 1( ) ( ) ( ) ( )4 2


RC


02 ( ) ( )t

RCe t e t


Impulsantwort 1

21 1( ) ( ) ( )2 4

tRCg t t e t

RC


t verloren

( )h t

05

t

0



ue(t)

i1(t)gt

i2(t)gt

ua(t)

R

RR

C




1 2

1 2

1 1(1) 2 ( ) ( ) ( )

1 1(2) ( ) 2 ( ) 0


R I s R I sCs Cs


2

12 ( )

1 01( ) ( )

3 21 12

1 12

e

e

R U sCs

RCs RCsI s U s

R RCsR RCs Cs

R RCs Cs


21( ) ( ) ( )



( ) 1( ) ( ) 3 2

a

e

U s RCsG sU s RCs


2( ) ( )G s RI s



aZ sG sZ s


Cs Weiter


1 11 12 1( )

1 1 2 1 1 3 22 1


Cs RCs


1 11 1 3( ) 12 23 3

3 3

sRC RCG s

s sRC RC


231 1( ) ( )

3 3

tRCg t t eRC

c) Sprungantwort

11 1 1 1 1 1( ) ( ) 223 2 6

33

sRCH s G s

s s ss sRCRC

231 1( ) ( )

2 6t

RCh t t e


+1 1( 0) und ( ) =3 2

h h


0

19RC

1( )

3t

( )g t




0 1

0 1( )

mm

nn





1 2

1 2

( )( ) ( )( ) mit ( )( ) ( )

m m

n n







0






o

o

o

Re(s)=σ

Im(s)=ω





im Bildbereich 1s





Bildbereich 31

( )s


tet 2

( )2

ttf t e



0( )s



im Bildbereich 02 2

0s


0( ) sin( )f t t




g)

k)

h)

i)

3-



1s



2 0( )s





Satz 47


Re( ) 0iP i


a) b)






( ) | |g t dt K

mit K

(417)


y(t) = g(t)x(t) ( ) ( ) ( )| | | |g x t d N g d

wenn ( ) | |N g d M









Satz 48




X sX se


0 ( )( ) ( ) 1 sT

X sY s G se





02 ks j jkT mit k = 0 1 2 3




0 s jk


0






2 2( ) ( )Y s G ss


Definition 48


( ) ( ) jF A e (418)





Satz 49


( ) ( ) s jF G s (419)




11

( ) RCRC

G ss



( ) s j

RC RCRC RC

Fs j

Amplitudengang 2

11

1( ) ( )1 ( )

RCRC

A Fj RC







1 2

1 2

1 1(1) ( ) ( ) ( )

1 1(2) ( ) ( ) 0

eR I s I s U sCs Cs

I s R I sCs Cs


2

1 ( )

1 01( ) ( )

21 1

1 1

e

e

R U sCs


RCs Cs

21( ) ( ) ( )

2a eU s RI s U sRCs

und daraus ( ) 1( ) ( ) 2

a

e

U sG sU s RCs


( )( )( )

aZ sG sZ s

2

1 = (

1

1

1

1

+RCs=

R+

RR

+R

R

)sG

Cs

Cs

Cs

Cs


RCs RC sRC

21( ) RC

tg t e

RC


j RC

R

C

i1gt

Rue(t) ua(t)i2gt



j RCF


Realteil 1Re 2( )F





0( )( )1 sTX sX s

e

(420)



( ) ( ) ( ) ( ) ( )f l stY s G s X s Y s Y s

(421)


( ) ( ) ( ) ( )stat f lY s G s X s Y s

Im F(ω)

Re F(ω)

1Im( )F

1Re( )F


a) b)



definiert fuumlr 0


ost

t Ty t




a)ue(t) ua(t)

R

C



00

sin( ) fuumlr 0 ( ) = 2


TU t tu t




20 0 0 2 2( ) ( ) 1

sTu t U s U e

s




2 2

00 2 2

( ) 1( ) ( ) 1 1

sT


se e


( ) 1RCG s

s RC



2

02 2

1 1( ) ( ) ( ) 1 1

sT


ss eRC

(422)


2 3 3

2 2 2 2 2

2

1 1 1 1 2 2 2 1

sTsT sT sT sT sT

sT sTsT

e e e e e e e ee


32 20

2 2

1( ) ( ) ( ) 1 2 2 2 1

sT sTsT


ss RC


2

0 2

( )

1( ) sin( ) cos( ) ( ) (423)1

1 2 sin ( ) cos ( ) ( ) 2 2 2

RC

TRC

ta

t

RCu t U e t t tRCRC

T T Te t t tRC

( ) 1 2 sin ( ) cos ( ) ( )

TRCt

e t T t T t TRC




1) 1 = sRC

2) s j und 3) 2 21 0 2 = 2sT

e s jk jkT

0123k



f lu t A e



s RC


2

21

20 0

1 2 2 22

1 1 1 1 ( )1 1

TRC

TRC

RC

sT

sT

s


ua(t)

t


T

0 le t le 3T2

t ge 5T




20 1

2 22

1 1( ) ( ) ( ) 1 11

sT


ss sRC RCe


30 12 2 2

2 2

1( ) 1 1 1 1

sT sT sTsT

stU ARCU s e e e e

ss sRC RC


30 12 2

2 2

1( ) 1 2 2 2 1 1

sT sTsT

stU ARCU s e e e

ss sRC RC

32 20 01

2 2 2 2

1 1 2( ) 1 1 1

sT sTsT


s s ss sRC RC RC


Tt beschraumlnken



Tt durchzufuumlhren


2 2 sT sT

sTe e e liefern im


2Tt identisch Null



12 2

1 1( ) 1 1 2o ost

U ARCU sss sRC RC



2 2 2

1 1 sin( ) cos( )1 1 ( )

to RC

oU RCRC U e t t

RCs RCs RC



2

11 2

1 1 1 ( ) 1

TRC

TRC

t tRC RC

oA RC eA e U e

RCs eRC


2

22

2 1( ) sin( ) cos( )1 ( ) 1

TRC

TRC

to RCst o


fuumlr 0 2Tt




ost

Uu t






ue(t)

R

C

C

ua(t)

RR

C

ue(t) ua(t)




Aufgabe 416

a)C ua(t)ue(t)

R1

R2


( )( )( )

a

e

U sG sU s

b)

L

Rue(t) ua(t)C

c) ua(t)ue(t)

R

C R

C


Aufgabe 417

R

Cue ua

R

i2(t)i1(t)C




3+1 = )(

RCssG


U0

0

t

ue(t)





Aufgabe 419


LCLR 1 =

2


( )( ) ( )I

I sG sU s




u(t)

U0

0

t


u(t)

U0

0

t




ue(t) ua(t)R C

C


Aufgabe 421

ue(t) ua(t)

R

L

RR




R L C

( )u t ( )i t


Aufgabe 422



Zu berechnen ist




Aufgabe 423

ue(t) ua(t)

R

RC



( )( )( )

a

e

U sG sU s





2( ) ( )T x t T x tat x



22 2



R R

RC

e( )u t a ( )u t



2

2( ) ( )T x t T x tat x

(424)

ac




Notation 0


L (425)


2

2( ) ( )

t tT x t T x ta

t x

L L


T x t sF x s T xt



2 2 2 2 2

2 2 2 2 20 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( )st stt t


e e

L L

TRTA

x 0




2

2( )( ) ( 0) d F x ssF x s T x a

dx (426)


Notation 0


L (427)


2

2( )( ) ( 0)x x x


L L L (428)




22

2( ) ( ) (0 ) (0 )x



1(0 ) (0 ) RtF s T t Ts


0

( )(0 )x

dF x sF sdx




(429)


2 2 2(0 ) 1( )


(430)






1 1 1 12 2 2

1 1( ) (0 ) ( ) ( )

R Ax x x x


L L L L



p s xap s a





1cosh2

x xs sa as xa e e

und 1sinh2

x xs sa as xa e e


1 1( ) (0 ) (0 )2 2


e e

(431)


As


1 1lim (0 ) (0 )2 2R A R A A As





e (432)



T(xt)

x

t

x1

t1 100 degC

0 degC





s se

L L L


( ) ( ) 12A R A

xT x t T T T erfat









y(t) x(t) G(s)

Y(s) X(s)

G1(s) G2(s) X(s) Y1(s) Y(s)






2 1 2 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )Y s G s Y s G s G s X s


2 1 1 2( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )


(51)



1 2 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )

k

n






22 2

1

1 1 1 2 1( )

( )RC RC RC

RC RC RC RC RC

s ssG s

s s s s s



Y(s) X(s) 1 1( )

R C

sG ss

2

1

1( ) RC

RCG s

s











sex t t t X s s


2 2 21 1( ) ( ) ( )

( 1) ( 1) ( 1)


22 3 1( ) RC

RC RC

sG s

s s

1

1 0 t

x(t)



ua(t)ue(t)R

C R

C



( 1)( ) ( ) ( 1) ( 1)t ty t t e t t e t


2 2 2

1 1( ) 3 1 3 1 3 1




3 32 2

( 1)5 52 2

2( ) sinh( ) ( ) sinh( ( 1)) ( 1)5

t ty t t t t te e





Y(s) = Y1(s) + Y2(s) = G1(s)X(s) + G2(s)X(s)

Y(s) = [G1(s) + G2(s)] X(s)

t 1

y(t)


Y2(s)

Y1(s) G1(s)

Y(s)

G2(s)

X(s)




1 2( ) ( ) ( ) ( )( )

Y s G s G s G sX s

(53)


1 2 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )

n


(54)







+

Y(s)

X(s) U(s) G1(s)

GR(s)R(s)





1

1

( )( ) 1 ( ) ( ) R

G sG sG s G s

(55)


Mitkopplung 1

1

( )( ) 1 ( ) ( ) R

G sG sG s G s

(56)






2( ) 1 1( ) ( ) ( 1)11 ( 2)( 2)

Y sG sX s ss ss s


Y(s)

ndash

X(s) 1( ) ( 2)G s s s




2 21 1 1( ) ( )

( 1) ( 1)Y s X s

ss s


Sprungantwort 12

1( ) 1 (1 )( 1)

ty t t es s

L








Zeitbereich 0

( ) ( ) t



kG ss

I


( ) ( )IkY s X ss

h(t)

t



t

h(t)


Bild 510



Zeitbereich


Bildbereich




0

( ) ( ) ( ) t


kY s k X s X ss


kG s ks



0

( )( ) ( ) ( ) D

t


dt ( ) ( ) ( ) ( )D

IP



kG s k k ss


( ) ( )DY s k s X s

h(t)

t

h(t)

t

h(t)

t








1 P

PTkG s

sT









2( ) 2 ( ) ( ) ( )I I Iy t k y t k y t k x t (59)





h(t)

t

( ) (1 )TtPh t k e ε(t)

GPT1(s)



kG ss


( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( )I IY s X s G s Y s G s (511)




halten 2 2( ) 2

I

I I

k sG ss k s k


( )( ) 1 ( ) ( ) 1 2

II

I I I R

kG ssG s

k k G s G ss s

(512)

X(s) Y(s)

( ) II

kG s

s

( ) 2PG s

( ) II

kG s

s






X(s) Y(s)

( ) 2RIk

G ss

( ) II

kG s

s


G1(s)

G4(s)

G5(s)

G2(s) G3(s)










3 2 13 3 2 5

2 4

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 ( ) ( )




1 2 3

2 4 1 2 3 5

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )


(513a)


224

2 4

( )( ) 1 ( ) ( )

G sG sG s G s


Bild 520 ergibt


(513b)

1

2 4

( )( ) ( )1 ( ) ( )

G sV s U sG s G s

14 1 2 3

2 4 1 2 3 514 5

( ) ( ) ( ) ( )( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 ( ) ( )


X(s) Y(s) G1(s)

G5(s)

G24(s) G3(s)






( ) (2 )I IR



2

2 2( )

1 ( ) 2 R I I

a sG ssaG s dk s ka

(514)



22 2 ( ) ( )I Is dk s k Y s s X sa


X(s) Y(s) G14(s)

G5(s)


y(t) x(t) a

Iks

Iks

2d








11( ) 0

G s a a

s a


1

1

1( ) 1( ) 11 ( ) ( ) 1 P PP




0

kP gta kP =0

a

Im(s)

Re(s)

RHE LHE

Bild 524 PN-Plan

y(t)

x(t) 1

1( )

G s s a

GP(s)= kP




1 2 2( ) 0 bG s a b a b

s a




2 2

2 22 2

( ) 1 PP

bbs aG s b s a bkk

s a


Fuumlr2






y(t)

x(t)

kP

1 2 2( )

bG s

s a


y(t)

x(t)

GPD(s)

1 2 2( )

bG s

s a




2 2

2 22 2

( ) 1 ( ) D PP D


s a


2 21 2

1 ( ) 4( )2 D D Ps bk bk bk a


(2) 2 2 ( ) 4( ) D D Pbk bk bk a


Pak b


und 2

Pak b




Nach Bild 527b gilt 1 2 1 21( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )



x2(t)

y(t) x1(t)

+ G(s)


x2(t)

y(t) x1(t)

+

1G(s)

G(s)








x(t) y(t)

y(t)

G(s) y(t)

y(t)

x(t)

G(s)

G(s)

x(t) G(s) y(t)

x(t)

x(t)

1G(s)

G(s)

x(t)

y(t)

x2(t)

y(t) x1(t)

+ G(s)


x2(t)

y(t) x1(t)

+

G(s)

G(s)


x(t) y(t)

+ G(s) ndash

( )1 ( )

G sG s

y(t) x(t)







11G s und 2

1G s a


y(t) x(t) ( ) I

Iks

G s


a x(t)

ndash

1

1sT

2

1sT

ndash

b

c


u(t) x(t) y(t)

G1(s) G2(s)




sG ss



x(t) +

+ 1

sTsT

a

b

y(t)







( ) | ( ) [ ]t kTx t x kT x k




0

x(t)

t2T T




0( ) ( )

kx t t kT


0 0( ) ( ) ( ) [ ] ( )A



0 00 0

( ) [ ] ( ) [ ] ( ) ( )Ast st


L


0



( ) [ ] [ ]kskT sT

k kX s x k e x k e




0

[ ] [ ] ( )k

k

x k x k z X z

(61)


( )x k X z













jT

jT

Im( )z Im( )s

Re ( )s Re (z) 0 11

Ebenes Ebenez

0





2








651 Sprungfolge

Definition


Bild 63 Sprungfolge

0 0

12

1 11

1[ ] [ ] 1 11

kk

k k

zk k z z z z zz


11

k

k

qq

mit 11q z


zkz


1 fuumlr 0[ ]

0 fuumlr 0 k

kk

k

k

0 1 2 3 412

1


652 Deltaimpuls


1 fuumlr 0[ ]

0 fuumlr 0 k

kk


0

0

[ ] [ ] 1 1k

k

k k z z



1 fuumlr [ ]

0 fuumlr k i

k ik i


0[ ] [ ] k i

k

k i k i z z




Reihe ergibt 0 0

1 1

kk k k

k k

a za k a z az z az






k 0 1 2 3 41 2

1

δ[kminus3]


k

k

0 1 2 3 412

1

Bild 64 Deltaimpuls





k Nrect k

k N


0 0

1 1 [ ] 1 1 N

Nk k

N Nk k



1

0

1 11

N Nk

k

qq qq

Wir erhalten 111

1 11

NN

Nz zzrect k

zz


N

Nz zrect k

z




-1zk

z und ( 1)( 1)

1N zk N z

z

(Verschiebungssatz)


Nz zk k Nz z

1

N

Nz zrect k

z

k

0 1 2 N

1

N+1

rectN [k]





0

[ ] cos( ) ( )k

x k t t kT


0

cos( ) ( )k

x k kT t kT






k k

X z kT z e e z


0 0

1 1 1( ) 2 2 2j T j T

j T j T

k kk k

k k



cos( )( )

2 cos( ) 1z z T

X zz z T

Korrespondenz

2

cos( )cos( )

2 cos( ) 1 z z T

kTz z T

Konvergenzbereich z




zk X zz

2 Fuumlr 2


Korrespondenz 2

22cos( ) ( )1

zk X zz

k0 1

1

t

2 1

3 4

cos(ωt)




661 Linearitaumlt


1 2 1 2 ( ) ( ) ax k bx k aX z bX z (62)

Beweis 1 2 1 2 1 20 0 0

[ ] [ ] ( [ ] [ ]) [ ] [ ]k k k


1 2( ) ( )aX z bX z


( ) ix k i z X z (63)

Beweis 0

[ ] [ ] k

kx k i x k i z


0[ ] [ ] [ ] ( )i n i n i





k za x k X a (64)

Beweis 0 0

[ ] [ ] [ ]k

k k k

k k


fuumlr 1za





Beweis Es gilt 1 1

0 0 0

k k k

k k k

ddz z k z z k z


0 0

[ ] [ ] [ ] ( )k k

k k


665 Faltungssatz


1 2 1 2 ( ) ( ) x k x k X z X z (66)


1 2 1 20

[ ] [ ] [ ] [ ]i

x k x k x i x k i

(67)


1 2 1 2 1 20 0 0

[ ] [ ] ( [ ] [ ]) [ ] [ ]k k



( )1 2 1 2 1 2

0 0 0 0[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]k k i k k



Es gilt 0

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]i

x k k x i k i x k





z 1 1 ( )z x k x k X z (68)


667 Summenbildung

0

z[ ] ( )z 1 n

kx k X z

(69)


[ ] [ ] [0] [1] [ ]n

ks n x k x x x n

erhalten wir

1

0 0[ ] [ 1] [ ] [ ] [ ]

n n




zS z X zz





x k

pTT 2T

pT pT

0

0x

1x

2x

kT

t




0 1 2 1( 1) (2 1)

0 1 1

2 (2 1) (3 1)0 1 1

( )

pp

p p pp

p p pp

X z x z x z x z x z

x z x z x z

x z x z x z


1 2 ( 1)0 1 2 1

1 2 ( 1)0 1 2 1

2 1 2 ( 1)0 1 2 1

( ) 1 +

+

+

pp

p pp

p pp

X z x x z x z x z

z x x z x z x z

z x x z x z x z


1 2 ( 1) 20 1 2 1( ) + 1 p p p



2 11 1

p ppz z

z

fuumlr 1 1z


1 2 ( 1)0 1 2 1

( )1

pp

px x z x z x z

X zz

fuumlr 1z (610a)


1 2 10 1 2 1

( )1

p p pp

px x x xz z z z

X zz

fuumlr 1z (610b)




0 0

1[ ] ( ) ( 1) [ ]kk k

k kx k X z k z z

x k

k

0 1 2 3 4

1

1


2 3 40

1 1 1 1 1( ) 1 k

kzX z

z z z z


1 11

zX zz

z

fuumlr z



( )1

zk E zz


[ ] [ ] ( ) ( )dx k k k X z z E zdz

x k

k

0 2 3 4

1

1


2 2

1( ) ( )1 1 ( 1) ( 1)



z

fuumlr z



1

1[ 1] [ 1] ( )k

kx k x k z z X z










x0 = 0 x1 = 1 x2 = 0 x3 = minus1


4 3 2

40 1 0 1( )

1z z z zX z

z

234 2 2 2

( 1)( ) 1 ( 1)( 1) 1

z z zz zX zz z z z


0 1 2 3 4 5[ ] 10 1 010 1 ( ) 0 1 0 1 0 +1 + x k X z z z z z z z


1 3 5 72 4 6

1 1 1 1( ) + 1 + X z z z z zz z z z


11 1

z


1 1( )11 1

zX zz z

z


4pT T

4T2TT0

1

1

0x

1x

2x

3x

0x

3T 5T

t


zminus1 zminus1








CjX z x k X z z dz

(611)







0 1 21 1 2 uswz k z k z k


X(z) [ ] 4 [ ] 3 [ 1] 05 [ 2] 15 [ 3] 2 [ 4]x k k k k k k






1 ( 2)( ) +4 41

z z zX zz z zz e


33

1 [ 3]z kz

2

2 2 [ ]1

kz z e kz ez e

2( 2) 2 [ ]

( 2)4 4kz z z k

zz z


oder 2[ ] [ 3] 2 [ ]k kx k k e k

0

k

x k

( )x t

1 2 3 4

2



Aufgabe 62


[ ] sin( )3x k k k = 0 1 2


2x k k k

k

0 1 2 3

x k

1







k

0 1 2 5

1

rect5[k]




1 1 1 1 1[ ] 1 1 2 3 4 5

x k kk



1

0

x k

k



2 3 12 2

( ) zX zz z






In Kurzform 0 0

[ ] [ ]n m


0 0a (612a)







10 01( ) ( ) ( ) ( ) ( )n m




10

10

1

1

( ) ( )

m

nm

n


(613)





[ ] 02 [ 1] 05 [ ]y k y k x k



z

ergibt

2

( ) 05 ( ) 0502 ( 02)( 03)z zY z X z

z z z


1 1 1[ ] (03) ( 02) [ ]k ky k Y(z) k

1[ ] y k Y(z)




Y z G zX z


1

0 1 01

0 1

0

( )

mi

mi

n ni

i

im

ni


a z

(614)




1 1[ ] ( ) ( ) ( )y k Y z G z X z (616)




1[ ] ( )g k G z (617)





g[k] δ[k] G(z)





( ) ( )

1zH z G z

z

(618a)



0

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]i

h k g k k g i k i


[ ] [ ]k

i

h k g i

(619)


1( ) ( ) ( )G z H z z H z


[ ] [ ] [ 1]g k h k h k (620)


12[ ] [ 1] [ 2] [ ] [ 1]y k y k y k x k x k



1 2 1121 ( ) 1 ( )z z Y z z X z

[ ]1

zkz





k 0minus1 1 N

1

N+1

minusN

xN[k]


12( )

( )1

z zG z

z z


Impulsantwort

12

1( )2 1 1 1 1[ ] cos [ ] 1 1 1 3 2 2 2 21

z zg k k k

z z


Frequenzgang 0 1

0 1

( ) ( )

j T jm T

j T j T jn Tz em

n


(621)



und Im ( )( ) arg ( )Re ( )

FFF



( ) ( ) jF F e (622)





[ ] [ ] [ ( 1)]Nx k k N k N



( 1) ( 1)[ ] ( )1 1 1

N N N NN N



( 1)( )1 1 1N j T


j T j T j Tz e

e e eX z e ee e e


(1 ) (1 )( )(1 )(1 )N

jN T j T jN T j T

j T j Te e e eX

e e

sin (2 1) 2( ) sin 2

N

TNX T




0

[ ]k

g k K

mit K (623)


( )cos( ) cos( 1 )1 cos( )

N T N TT


FN(ω)

ωT



ndash1 1 Re(z)

Im(z)

Bild 623 PN-Plan


0 0 0[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]| | | | | | | | | || |





1 1

0 1 0 11 1

0 1 0 1

( ) ( )( ) ( ) ( )

m n m mn m

n n n nm m

n n



0 1 2

0 1 2

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

n mm

n


m le n (624)





25 1zG z

z z



12 und 2z z


zz z z


11 1 12

2 1[ ] 2 2 [ 1] [ 1]2 1 2

kkg k k kz z

112[ ] 2 [ 1]

kkg k k





2

1 1( ) 25 1 25

j T j T

j T j T j T j Te eF

e e e e




ndash1 1 Re(z)

Im(z)

2 05




1 1 cos( ) sin( )( )

2 cos( ) 2525

j T

j T j T

e T j TA

Te e

2 2

2

(1 cos( )) sin ( ) 2 2cos( )( )

2cos( ) 25 2cos( ) 25

T T TA

T T




A()

T


Y(z) G1(z)

X(z) G2(z) Gn(z)


Y1(z) Y2(z)



11

( )( )( )

Y zG zX z

22

1

( )( )( )

Y zG zY z

1

( )( )( )n

n

Y zG zY z




1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) kk

n


(625)







1 2( ) [ ( ) ( ) ( )] ( )nY z G z G z G z X z

Y1(z)G1(z)

G2(z) Y(z)Y2(z)X(z)

Gn(z) Yn(z)





1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )kk

n


(626)


1( ) mit zG z az a

2( ) aG zz a

3 2( )( )

azG zz a


1 2 3( ) ( ) ( ) ( ) G z G z G z G z

2 3( )( )


z a z a z a z a


1 23

( )[ ] [ ]( )

kaz z ag k k a kz a


3( )

j T j T

j T

ae e aF

e a

2 2

3


cos( ) sin( )


T a j T

G1

G2

X(z) Y(z) + G3




3 1 2 2 3 3( )( ) ( ) ( )


z a az a z a z


1 2 2 3 3 1 2 21 3 3 ( ) ( )az a z a z Y z az a z X z







1( ) [ ( ) ( ) ( )] ( )RY z X z G z Y z G z (627)


1 1[1 ( ) ( )] ( ) ( ) ( )RG z G z Y z G z X z

+

Y(z) G1(z)

GR(z)

X(z)





1

1

( )( ) 1 ( ) ( ) R

G zG zG z G z

(628)



1

1

( )( ) 1 ( ) ( ) R

G zG zG z G z

(629)



b) der Frequenzgang



12

1

( )( )1 ( ) 1 1

G z zG zG z z



z


z


2( ) 1

j T

j TeF

e

2sin( ) cos( )( )


T j T T


2 4

1( ) 4sin ( ) 3sin ( )

AT T

Y(z)

X(z)


1 2( )1

zG zz z


A(ω)

ωT







[ ] [ ]kg k a k a a


1( ) 2

zG zz a

a

2

23 2

( )( 2)

aG z

z z a

3( ) azG z

z e




ndash

X(z)

Y(z)

G3(z)

G1(z)

G2(z)


ndashj

+j

ndash1 1

Re(z)

Im(z)

05


7 Anhang



a (Mittelwert)

2 = sin2ka k

k

Fuumlr k gerade 0ka


x x x x xf x x


0 1 2

A Aa a

2

0 fuumlr 2 1


1

k

k n

a kA k n

k

und n

Loumlsung 13

0 1 2 1 22 2 23 2 1 2 1 1 8 2

a a a b b


bk

1 = 1

1 1 sin( )( ) 2 k

kxf xk

Loumlsung 15 2

20 1 1

1 1 1 ( 1 ) 0158862 1 2k

ec a a b ej k



j TF


a


Loumlsung 23 2 2

0

1 cos4 4 2( ) 1 cos ( ) cos( )2

TU T UF f t t dTT



t


210 7 Anhang

Loumlsung 31 a) 22

W

dz jz

b)

2

1Re 12z

sz

Loumlsung 32

81 = )(Res

81 = )(Res

1 = 1 = zfzf

zz


2b) ( ) 2

2ttf t t e

)sinh( = )e(e

21 = )(c) ttf tt

tttttf 323 e)1951354( = )(d)


Loumlsung 34 11

( 1)

n

nt

ns


2( 1) t t t

s


s t ts

Loumlsung 37

2 4

5 3 524 6 5 24 6 5a) ( ) s sF s

ss s s

3 5 8 19b) ( )2 3 ( 2)( 3)

sF ss s s s

2

2 3c) ( )1sF s

s

34 1d) ( )

05F s

ss

2 2e) ( ) aF s

s a

2 2f) ( ) sF s

s a

Loumlsung 38 3 45 7


Loumlsung 39 3

2a) ( )seF s

s

3

21b) ( )

seF ss

2

1c) ( )1

seF ss

22

1 1d) ( ) (1 )s sF s e ess

2

21 1e) ( ) (1 2 ) ( )s s sF s e e es s


s


Loumlsung 311 )2(e)2()2()2(22


2 2

22( ) (1 )

12

s ssA Ae AeF s e

s ss



Loumlsung 313

2 lt 0 2 2

= )(a)ttt

tf

5 0

55 = )(b)

361

t lt

t ttf

2

22 lt 0 5cos

= )(c)ttt

tf

2)1(2250 = )(d)

2

tt tttf

22 2( 1)

2( 1) 2

1 fuumlr 0 1e) ( ) (1 ) ( ) (1 ) ( 1)

fuumlr 1

tt t

t t

e tf t e t e t

e e t

3 2( 1)3 2( 1)

0 1f) ( ) ( 1) ( 1)

( 1) 1t

t

tf t t e t

t e t

2( 1)

1 0 1g) ( )

1t

tf t

e t

2( 2)


fuumlr 2t

t tf t t

e t

Loumlsung 314

32a) ( )

( 5)F s

s

5

24b) ( )( 3)

F ss

2 2c) ( )( )

sF ss

2 22 2d) ( )

( 2) 1 4 3s sF s

s s s

2 31 2 2e) ( )

( 1) ( 2)F s

s s s

2f) ( )4 5

seF ss s

212 7 Anhang


2tf t e t

)2cosh(e = )(c) ttf t 21d) ( )2

atf t t e

2 lt 0

2 e2

)2( = )(e)

)2(2

t

tttf

t

3 lt 0

3 3)2(sine21

= )(f))3(

t

tttf

t

33)e(e

3 e = g)

3)2(2

2

ttt

tt)t(f

tt

t tttf 3e2 = )(h)


ttt tf 322 e20e250e005 = )(b)

tttttf 323 e)1951354( = )(c)


tttttf e2e+2 = )(e)





tttfs

sF

e+)( = )(1

11)(k)


1e21

1)(l) )1( t

tttf t

ttttf

e32

21)(m) 2



Loumlsung 318

212121

21

2122

1

1

21

21

2121

21

ee = ))((

eRes))((

eRes = )(c)

e = ee = )(b)

ee = )(= )(a)

sssssssssstf

ssetf

sstf

ssA

ssA

sF

tstsst

s=s

st

s=s

tstststs

tsts

Loumlsung 319 2 2 2

1( )( 1) ( 1)

sF ss s


21 = )( tttttttf

Loumlsung 320

0=2

2

2

6

2

4

2

2

20

2

4

2

3

2

2

23

0=

1714118520=

1421171395

)2(1)( =

)6()4()2(1 = )(d)

)()1( =

)4()3()2(1 = )(c)

)23(1)( =

171411852t = b)

)14(1)( =

21171395 = )(a)

k

kk

k

k

k

k

k

k

k

kk

ktttttf

kttttttf

ktttttt)t(f

kttttttttf

Loumlsung 321

)1(e1)(

1

)e1(1)(

1

22

taaass

aass

ta

ta

Loumlsung 322


32 +8b) ( ) = ( +3)

sF ss s

Loumlsung 323 20a) ( ) = (1 e )sU

F sτ s

02

2 3b) ( ) (1 e e e )s s sUF s

s

214 7 Anhang

Loumlsung 324

0 = )( lima)0

tft

0 = )( lim tft

0 = )( limb)0

tft


2 = )( limc)0

tft

1 = )( lim tft

0 = )( limd)0

tft

2 = )( lim

tf

t

0 = )( lime)0

tft

1 =)( lim tft

= )( limf)0

tft

0 = )( lim tft

Loumlsung 325

22 )1(2 = )(a)sssF 32

2

)1(26 = )(b)

sssF

42

24

)1(6366 = )(c)

ssssF 22

2

)4(412 = )(d)

ssssF

22 )1(

1 = )(e)s


Loumlsung 326 ( ) 1 ( ) ( ) 1

t


e

Loumlsung 327

11ln = )(a)s

s+sF

ss+sF 1ln = )(b)

21

2

22

2ln = )(c)

a+s

a+ssF



43

21 = )(a)


233 3c) ( ) = e 3e 2 e et t ttf t t

tttf tt

23cos

23sin

3311ee2 = )(d) 50



2e41

22e

41

2

20e41

241

)(e))2(22

2

ttt

tt

tftt

t


Loumlsung 43

1

1 1

0

( )0

1 fuumlr 0

) ( )

fuumlr

) ( ) 1

RC

RC RC

tRC

t

at t

a

U e t

a u t

U e e t

b u t kt kRC e


Loumlsung 45 3 31 2 1( ) cosh(3 ) (1 ) 3 3 3

t tx t t e e

3 3( ) 6cosh(3 ) 3( )t ty t t e e


Loumlsung 47

22

020

0

= 1 = 2

1 =

)sin()cos(e = )(

LC

RC

ttR

Uti tC

Loumlsung 48 20 12( ) 1

RL tUi t e

R

Loumlsung 49 ( ) 1t

RCRu t kRC e

216 7 Anhang

Loumlsung 410

gt eeee0447

0 ee0447

= )()()(0

0

2 6182382061823820

61823820

t

RU

tR

U

titttt

tt

RCRCRCRC

RCRC

Loumlsung 411 L

RLC 2

= und 1 = sei Es 20


t

LUti

t20

220

20 sinhe = )(


i t tL


t

LUti

t22

0220

0 sine = )(

Loumlsung 412 2

2( )2

0

0

0

2 1 e 0 4

a) ( ) = 2 e e gt

4

lim ( ) = 2

tRC

ttRC RC

t

U C t tRC

i tU C

tRC

Ui t

R

0 = )(lim

gt e2

ee4

0 e124

= ))(b) )(20

)(220

20

ti

tR

UCU

tRC

tCU

ti

t

RCt

RCt

RCt

RCt

Loumlsung 413

a)

tRC

tRC Utu

RUti

20

a

20 e1

2)(e)(



b)

LRsLRssUsRIsUsU

RRLsRLssI

25

2

2)()()()(

522)( e

2ae22

tLR

LRttu

LRsL

RsUsU

25

a

vision)(Polynomdiae

e4

)(21)(

25

12

121)(1)(1)

tLR

Utu

LRs

sUsU

sUsU

25

0a


e

e1040)(

251040)()(2)

Loumlsung 414 a)

RC

t

th

2

e121 = )( b) RC

t

eRC

ttg2

1)()(


Loumlsung 415

RCtgth

RCt

RCt

22

e = )(b) e121 = )(a)


212

CsRR

CsRsG

LCs

RCsLCs

LRLCs

sG11

1 = 1

1 = )(b)22

2 2 2 22 2

c) ( ) = 3 13 1


RC R C

Loumlsung 417 2 21a) ( ) =

( ) 3 1G s

RC s RCs

218 7 Anhang


tt

RCtg RC

RC 61823820

ee4470)(b)

t

tth

RC

RC 6182

e1710e11711 = )(c)3820

Loumlsung 418

RCt

RCt

thRC

tg

33e1

31 =)( e1 = )(a)

gt ee3

e13

= )(b) )(330

30

a

tU

tU

tuRCt

RCt

RCt

Loumlsung 419

ttL

U

ttLU

ttLU

ti

tttL

U

ttL

U

ti

LR

s

sL

sG

to

tt

tt

tt

o

tt

t

fuumlr)e(

eee1e

fuumlr e1e1

= )(c)

gt fuumlr e)(e

fuumlr )e( = )(b)

2 = mit

)(1 = )(a)

)(

)(2

)(

20

22

)(0

0

2I

Loumlsung 420 a)

RCs

sRCsRCs

sUsUsG

21212)(

)()(ea

b)

)1(ee

2)(

)1(2

12

10

a tUtut

RCt

RC

c) t

RCRC

ttg 21

e4

1)(21)(


Loumlsung 421 a)

LRs

LRs

RLsRLssG

51232)(

b) t

LR

LRttg

51e250)(50)(

c) 31)(

21)0(e

61

31)( aa2

3

uutht

LR

Loumlsung 422

a) 1 1 1( ) 32 3 2G s

RCs RC sRC

b) 3

21( ) e2

RCt

g tRC

c) 3

21 1( ) 1 e (0) 0 ( )3 3

RCt

h t h h

Loumlsung 423

RCs+

RCs+

sG 2

1

= )(a)

1b) ( )2

j RCFj RC

Re F

Im F

0 05 1

0

RC

2




kY s G s X s Us s




220 7 Anhang

Loumlsung 52



Yb(s) = Yc(s)1


1

1sT (2)

Ya(s) = Yb(s)2

1sT (3)



1sT ndash Yb(s)]

1

1sT

21 11 2

1 1 1 ( ) 1 ( )bY s X ssT sTs T T

1 22

1 2 22

1 1 2

1( ) ( ) ( ) 11 11

bb


sT s T T



22 1 2 2


21 2 2

( ) 1 ( ) ( ) 1

aa

Y sG sX s s T T sT


22 2

1 2 2 1 2 2

1 ( ) ( ) ( ) ( )1 1c


21 2

21 2 2

( ) ( ) ( ) 1

cc








1 2

1 1 2

( ) ( ) ( )( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( )



21( )

( 2) 2 1G s

s a s a


1 ( 2) ( 2) 4(2 1)2s a a a

Fuumlr a


des PN-Plans

Fuumlr a


Fuumlr a




21

21

2

( ) ( 2) 1( )

1 ( ) ( ) ( 4) 5 1( 2) 1

P PP


s

y(t)

x(t)1( )G s

Pk

222 7 Anhang



( ) ( ) ( ) ( )1sTX s bY s aX s Y ssT

1 ( ) ( )1 1


(1 )( )

(1 ) 1sT a aG ssT b


(1 )s

T b


1 1 11 1 11( ) ( ) 11 (1 ) 1(1 ) (1 )


L L L

(1 )1( ) 1

tT babh t a eb

fuumlr t 0

Loumlsung 61

5 5 6

5 25 4


dz z z


3 3 3 30 0 2 2 2 2

[ ] sin( )3x k k


6 5 4 3 2 2 2

6 2 4 2

3 3 3 3 30 0 1 12 2 2 2 2( ) 1 1 1


z z z z


2

32[ ] sin( ) ( )3 1

z

x k k X zz z




2 cos( ) 1 T

TzTk k

z z


32sin( ) [ ]

1

zk k

z z



zx k k k X zz


1 1 2 3( 1)[ ] [ ] ( ) ( )


Loumlsung 64


1 1[ ] [ ] [ ] [ ]2 2k i


1

0

11 21 1[ ] 22 1 21 2

kk k

i

ix k

0 0 0 0

1 1[ ] ( ) [ ] 2 22 2 k kk k k k


2( ) 2 1 11 ( 1)( )2 2

z z zX zz z z z


1 11[ ] ( )2 1

2

k zx k k X zz

und 2 2[ ] ( )1

zx k k X zz


2

1 2 1 2[ ] ( ) ( ) 1 1( 1)( ) ( 1)( )2 2 z z zx k x k X z X z

zz z z


224 7 Anhang

Loumlsung 65


20 1

1 1 1 1 1( ) 1 2

kk n

k kX z k z

k zk z z nz


21 1 1 1 1ln( )

2

nx x xxx x n x


Setzt man 1

zxz

dann gilt

21 1 1ln

1 2 nz

z z z nz

fuumlr | z | gt 1


zkk z

Loumlsung 66


2 22

3 12 23 1 ( ) 1 1 ( )2 2 3 1

2 2

zz z z R z

z z


3 1 122 2 2( ) 1 1( 1)( 1)( ) ( )2 2

zR z

zz z z


12

2( ) 1 ( ) 1( 1) ( )

X z R zz z


11 1 1( ) [ ] [ ] 2 [ 1] [ 1] 2 [ ]2 2 2 k k

X z x k k k k k




Es gilt 2

2( ) 13 1 ( 1) ( )22 2

z z zX zz zz z


kz kz

und [ ]1

z kz


0 0

1 1 1( ) [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]1 2 2 2( 1)( )2

kk i i

i i



1

0

11 21 1[ ] 212 21 2

kk i k

ix k

fuumlr k ge 0


x k k


( ) [ ] [ ] kY z y k c x k




[ ] [ ] [ ] [ ]k ky k c x k c x k i y k i



Umformung 11( )

1zG z

z a az


X(z)

z ndash1

Y(z)

a


226 7 Anhang



1 2

( )( )1 ( ) ( )

G zG zG z G z


3 31 2

( )( ) ( ) ( ) ( )1 ( ) ( )R



2 2 2( 2)( 2)( )

3 21

( 2) ( 2)

a a

zz z z a zz aG z



2 2

cos( )cos( ) [ ]

2 cos( ) k z z a T

a kT kz za T a


z za a


z e kz e




1z z zG zz z z e



1 21 1 1 11=0 3 32 2 2 2P Pz z z j z j

1 130 0368Pz e z e



ndash1 1 Re(z)

Im(z)

05

PN-Plan



1 0

1( ) lim ( ) ( )t t t

Definition

2 ( ) 1t dt

Normierung



4b 0 00

( ) ( ) ( )f t t t dt f t

Ausblendeigenschaft

5 0 0( ) ( )t

t t t t dt

Sprungfunktion



8 1( ) ( )at ta

Skalierung



228 7 Anhang




vorausgesetzt

Additionssatz 1 1

( ) ( ) n n

i i i ii i

a f t a F s




0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )t



tsF

sdf

0

)(1 )(


2

( ) 1 2 1

( ) ( ) ( 0)

( ) ( ) ( 0) ( 0)

( ) ( ) ( 0) ( 0) ( 0)

n n n n n

f t sF s f

f t s F s s f f

f t s F s s f s f f


nn n

nd F s t f t

ds L


s

f tF s dst

L




Nr F(s) f(t)

1 1 )( t

2 s1 )( t

3 1ns

n = 1 2 3 1

( 1)

ntn

4 1s

ν gt 0 reell 1

( )t

5 s1

t1

6 ss1

t

2

7 1

ns s n = 0 1 2

124

(2 )

n nn tn

8 as 1

tae

9 22

s )(sin t

10 22 ss

)(cos t

11 22


230 7 Anhang

Nr F(s) f(t)

12 22

s )(sinh t

13 22 ss )(cosh t

14 )(

1ass

1 1 atea

15 ))((1

21 ssss 1 2

1 2

s t s te es s

16 ))(( 21 sssss

1 2

1 2

1 2

s t s ts e s e

s s

17 0

0

2 2

2 2

12

0

s s

2 20

1 sin( )

te

e

e

e t

18 0

0

2 2

2 2

12

0

s s

2 2

0

1 sinh( )

te

e

e

e t

19 21

( )s a at

te

20 2( )s

s a 1 a t

at e

21 2 2

02 20

1( 2 )

0

s s s

20

2 20

1 1 sin( ) cos( )

te t t

22

2 20

2 20

1( 2 )

0

s s s

20

2 20



Nr F(s) f(t)

23 1( )( )( )

s a s b s c

a b c

( )( ) ( )( ) ( )( )


24 ( )( )( )

ss a s b s c

a b c

( )( ) ( )( ) ( )( )


25 2

( )( )( )

ss a s b s c

a b c

2 2 2

( )( ) ( )( ) ( )( )


26 2 21

( )( )s a s


a

27 2 2( )( )s

s a s


a

28 2

2 22

( 4 )s s

2sin ( )t

29 2 2

2 22

( 4 )s

s s

)(cos2 t

30 3

2 2 2( )s

)cos()(sin21 ttt

31 3

2 2 2( )s

)(sinh)cos(21 ttt

32 2 2 2( )s

s

sin( )2t t

33 222 )(

ss

sinh( )

2t t

34 222

2

)(

ss

)cos()(sin

21 ttt

232 7 Anhang

Nr F(s) f(t)

35 222

2

)(

ss

)cosh()(sinh21 ttt

36 222

3

)( ss

)sin(

2)(cos ttt

37 222

3

)( ss

)(sinh

2)(cosh ttt

38 222

22

)(

ss

)(cosh tt

39

sarctan

sin( )tt

40 2

2 2 2( )s s

1 sin( )t t

41 ln ss

sinh( )2 tt

42 ln s as b

bt ate et

43 2 2

2 2ln s as b


t

44 a se

2

432

ata e

t

45 a ses

2

41 ate

t

46 1 ase

s

cos(2 )at

t


Nr F(s) f(t)

47 1 a

ses s

sin(2 )at

a

48 1

s s a 1 erf at

a)

49 1 a se

s

2

aerft

)

50 a ses

12 2

a aerf erfct t

)

51

s xaes

1

2xerfat

)

52 2

22

s se erfc ) 22 te


2

0

2 uerf e du

mit lim 1x

erf


22 1uerfc e du erf


ersetzt

erf (χ)

χ

234 7 Anhang


Nr )( tf F(s)

1 0

t

t0

A)( tf

0e1ts

sA

2 0

t

t2t1

A

)( tf

21 eetsts

sA

3

tt0A

A

0

)( tf

2

20

e1

ts

sA

4

tt1

A

A0

t2

)( tf

2

2221

ee

tsts

sA

5 0

t

t0

A

)( tf

2

220

0e112

ts

stA

6

0

tA

t2t1

)( tf

2

22212

21

ee12

tsts

sttA


Nr )( tf F(s)

7

0

t

t0

A

)( tf

00 ee112o

ts

sA

stA ts

8

0

tA

t2t1

)( tf

2

21

e

ee1212

ts

stts

sA

sttA

9

0

tA

T

)( tf


2e1

1sTs

A

10

0

tA

T

)( tf


2

2

e1

e1sT

sT

sA

11


2

22 e1

sT

sA

12


222

e1

1sTs

A

236 7 Anhang

Nr )( tf F(s)

13


2

222

e1

e1sT

sT

sA

14

0

tA

T 2T

)( tf

2

22

e1

e112sT

sT

sTA

15

0

t

A

T 2T

)( tf


sT

sTsTTs

A

e1e11

2

16

0

t

A

TT

)( tf

sT

sT

TsA

e1

e12

2

2

2

17

0

tA

TT

)( tf

sT

sT

TsTs

A

e1e

2









Summenbildung 0

( )1

k

i

zx i X zz



Nr x[k] X(z)

1 [k] 1

2 [k ndash i] iz

3 [k] 1z

z

4 [k ndash i] izzz

5 [ ]k k (z

z

6 2 [ ]k k ( 1)

(z zz

238 7 Anhang

Nr x[k] X(z)

7 [ ]ake k az

z e

8 [ ]akke k 2)(aa

zez e

9 [ ]ka k z

z a

10 [ ]ka k 1

z a

11 [ ]kka k ( )za

z a

12 [ ]kka k ( )z

z a

13 ( [ ]kk a k 1

( )z a

14 2 [ ]kk a k 3( )

( )az z a

z a

15 [ ]k ika k i

i

1( )iz

z a

16 1 1

[ ] k ka b

k a ba b

2

( )( )z

z a z b

17 1 1k kk ln

1z

z

18 sin( ) [ ]kT k 2 1sin( )

2 cos( )z T

z z T

19 cos( ) [ ]kT k 2]

1[ cos( )2 cos( )

z z Tz z T

20 sin( ) [ ]ka kT k 2 2sin( )

2 cos( )za T

z za T a

21 cos( ) [ ]ka kT k 2 2[ cos( )]2 cos( )

z z a Tz za T a

22 [ ]Nrect k 1Nz z

z

Literatur



















Sachwortverzeichnis






























Vorwort

Inhaltsverzeichnis

1 Fourier-Reihen

11 Einfuumlhrung


121 Grundbegriffe


Uumlbersicht



131 Grundlagen
















332 Additionssatz















36 Faltungssatz









3102 Endwertsatz











43 RCL-Netzwerke



441 LTI-Systeme































651 Sprungfolge

652 Deltaimpuls






661 Linearitaumlt




665 Faltungssatz


667 Summenbildung









683 Frequenzgang








7 Anhang







Literatur

Sachwortverzeichnis

Laplace-, Fourier- und z-Transformation: Grundlagen und Anwendungen

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