Laplace-, Fourier- und z-Transformation: Grundlagen und Anwendungen f¼r Ingenieure und...

Hubert Weber | Helmut Ulrich

Laplace-, Fourier- und z-Transformation

Leserstimmen

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„Das Buch ist eine ausgezeichnete Darstellung der Laplace-Transformationund ihrer Anwendungen speziell für Elektrotechnikstudenten an Fachhoch-schulen. Die vielen auch praktischen Beispiele ermöglichen eine sehr guteArbeit mit dem Buch. Das Niveau der Darstellung ist der Zielgruppe hervor -ragend angepasst. Ich werde das Buch meinen Studenten (Mathe für E-Tech-nik bzw. Mechatronik 3.Semester) uneingeschränkt empfehlen.“

Professor Dr.-Ing. Axel Schenk, Hochschule Heilbronn

„Es ist eine sehr gute, vor allem didaktisch sehr gute, Einführung in die Laplace -transformationen. Die Kombination zwischen genauer mathematischer Dar-stellung und einer Vielzahl von praktischen Beispielen macht es zu einemsehr hilfreichen Lehrbuch.“

Professor Dr.rer.nat. Martin Pohl, Hochschule Regensburg

„Von Fourier-Reihen über die Fourier-Transformation bis zur Laplace-Trans-formation bekommt man ein gutes Verständnis von der Signalbetrachtungim Frequenzbereich. Viele Beispiele fördern das Verständnis.“

Dipl.-Ing. Jens Oberrath, Ruhr-Universität Bochum

Hubert Weber | Helmut Ulrich

Laplace-, Fourier- und z-TransformationGrundlagen und Anwendungen für Ingenieure und Naturwissenschaftler

9., überarbeitete und erweiterte Auflage

Mit 176 Abbildungen, 87 Beispielenund 75 Aufgaben mit Lösungen

STUDIUM

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1. Auflage 19762. Auflage 19783. Auflage 19814. Auflage 19845. Auflage 19876. Auflage 19907. Auflage 20038. Auflage 2007Die Vorauflagen erschienen unter dem Titel „Laplace-Transformation“.9., überarbeitete und erweiterte Auflage 2012

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Lektorat: Reinhard Dapper | Walburga Himmel

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ISBN 978-3-8348-0560-7

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Vorwort Das vorliegende Buch behandelt die Laplace- und z-Transformation als leicht zu verstehende Einführung mit zahlreichen Beispielen und Aufgaben. Beide Transformationen gehören zum mathematischen Handwerkszeug der Ingenieur- und Naturwissenschaften. Da für viele Anwendungen in der Technik das Frequenzverhalten eine wichtige Rolle spielt, wird im Buch zunächst die Fourier-Reihe und die Fourier-Transformation behandelt. Von den Eigenschaften der Fourier-Transformation ausgehend, kann leicht auf die Laplace-Transformation übergegangen werden. Die Laplace-Transformation ermöglicht es, den oft schwierigen Differentiationen und Integra-tionen des Zeitbereiches einfachere algebraische Operationen im Bildbereich zuzuordnen. So werden beispielsweise lineare Differentialgleichungen des Zeitbereiches zu linearen Gleichun-gen des Bildbereiches, die im Allgemeinen leichter zu lösen sind. Da die L-Transformation eine lineare Transformation ist, stellt sie geradezu ein ideales Werk-zeug dar, um lineare, zeitinvariante Systeme zu beschreiben und zu berechnen. Durch diesen Vorteil erlangte die Laplace-Transformation ihre Bedeutung auf vielen Gebieten, wie beispielsweise der Elektrotechnik, der Signalverarbeitung, der Informationstechnik und der Regelungstechnik. Zur Beschreibung diskreter Probleme eignet sich die z-Transformation, die aus der Laplace-Transformation abgeleitet werden kann. Auch die z-Transformation ist eine lineare Transfor-mation. Man kann sie auch als diskrete Version der Laplace-Transformation ansehen. Die Verwendung von Korrespondenzen und Sätzen zu beiden Transformationen eröffnet einen einfachen Weg, um aus den Bildfunktionen die zugehörigen Zeitfunktionen zu erhalten. Dieses Buch will an die Prinzipien und Methoden der Laplace- und z-Transformation heran-führen. Es ist als Grundlage besonders geeignet für Studierende ingenieur- und naturwissen-schaftlicher Studiengänge im Hinblick auf Anwendungen. Die Herleitungen wurden ausführlich erläutert und durch graphische Darstellungen veran-schaulicht. Die große Zahl von Beispielen und Aufgaben sollen einen nachhaltigen Lernerfolg bei den Studierenden sichern. Regensburg, im August 2011 Helmut Ulrich

Hubert Weber

I

1 FOURIERREIHEN 1 1.1 EINFÜHRUNG .......................................................................................... 1 1.2 REELLE FOURIERREIHEN....................................................................... 1 1.2.1 Grundbegriffe .............................................................................. 1 1.2.2 Berechnung der Fourierkoeffizienten ........................................... 3 1.2.3 Amplitudenspektrum ................................................................... 7 1.3 KOMPLEXE FOURIERREIHEN................................................................. 10 1.3.1 Grundlagen ................................................................................. 10 1.3.2 Berechnung der komplexen Fourierkoeffizienten ......................... 11 2 FOURIERTRANSFORMATION 15 2.1 FOURIERINTEGRAL ................................................................................ 15 2.1.1 Übergang von der Fourierreihe zum Fourierintegral .................... 15 2.1.2 Eigenschaften des Fourierintegrals .............................................. 17 2.2 DEFINITION DER FOURIERTRANSFORMATION ................................. 22 3 LAPLACE-TRANSFORMATION 26 3.1 DEFINITION DER LAPLACE-TRANSFORMATION ............................... 26 3.2 INVERSE LAPLACE-TRANSFORMATION ............................................. 29 3.3 TRANSFORMATIONSREGELN ................................................................ 40 3.3.1 Laplace-Transformierte elementarer Zeitfunktionen .................... 41 3.3.2 Additionssatz .............................................................................. 45 3.3.3 Verschiebungssatz ....................................................................... 48 3.3.4 Dirac'sche Deltafunktion ............................................................. 55 3.3.5 Dämpfungssatz ........................................................................... 59 3.3.6 Partialbruchzerlegungen .............................................................. 62 3.3.7 Pol- Nullstellenplan einer echt gebrochen rationalen

Bildfunktion ................................................................................

73 3.3.8 Faltungssatz ................................................................................ 76 3.3.9 Inverse Laplace-Transformation durch Reihenentwicklung der

Bildfunktion ................................................................................

79 3.3.10 Integrationssatz für die Originalfunktion ..................................... 83 3.3.11 Differentiationssatz für die Originalfunktion 88 3.3.12 Differentiationssatz für die verallgemeinerte Ableitung einer

Zeitfunktion ................................................................................

91 3.3.13 Grenzwertsätze ........................................................................... 94 3.3.14 Differentiationssatz für die Bildfunktion ..................................... 97 3.3.15 Integrationssatz für die Bildfunktion ........................................... 99

nhalt

VIII Inhalt

4 ANWENDUNGEN DER LAPLACE-TRANSFORMATION

4.1 LÖSEN VON LINEAREN GEWÖHNLICHEN DIFFERENTIAL- GLEICHUNGEN MIT KONSTANTEN KOEFIZIENTEN ..........................

102

4.2 LÖSEN VON SYSTEMEN GEWÖHNLICHER DIFFERENTIAL- GLEICHUNGEN MIT KONSTANTEN KOEFIZIENTEN .......................

109

4.3 RCL – NETZWERKE ................................................................................. 116 4.4 ÜBERTRAGUNGSVERHALTEN VON NETZWERKEN ........................ 131 4.4.1 Grundbegriffe ............................................................................. 131 4.4.2 Impulsantwort und Sprungantwort .............................................. 132 4.4.3 Übertragungsfunktion ................................................................. 132 4.4.4 Pol- Nullstellenplan einer Übertragungsfunktion 143 4.4.5 Stabilität von LTI-Systemen ........................................................ 145 4.4.6 Übertragungsfunktion und Frequenzgang .................................... 146 4.4.7 Berechnung des stationären Anteils des Ausgangssignals bei

nichtsinusförmigen periodischen Erregungen ..............................

151 4.5 ZUSAMMENSCHALTUNG VON LTI-SYSTEMEN ................................ 159 4.5.1 In Reihe geschaltete Systeme........................................................ 159 4.5.2 Parallel geschaltete Systeme …………………………………….. 162 4.5.3 Rückgekoppelte Systeme ............................................................. 163 4.5.4 Elementare Übertragungsglieder ................................................. 164 4.6 ARBEITEN MIT BLOCK-DIAGRAMMEN ............................................. 167 4.6.1 Von der Netzwerkgleichung zum Block-Diagramm ..................... 167 4.6.2 Vom Block-Diagramm zur Übertragungsfunktion und

Netzwerkgleichung .....................................................................

169 4.6.3 Stabilisierung durch Rückkopplung ............................................. 172 4.6.4 Versetzen von Strukturelementen in Blockschaltbildern .............. 174 5 DIE Z-TRANSFORMATION (ZT) 178 5.1 DISKRETE FUNKTIONEN UND SIGNALE …………………………….. 178 5.2 DEFINITION DER Z-TRANSFORMATION ............................................. 179 5.3 EIGENSCHAFTEN DER Z-TRANSFORMATION ................................... 179 5.4 ÜBERGANG VON DER S-EBENE AUF die Z-EBENE ....................... 180 5.5 Z-TRANSFORMATION ELEMENTARER SIGNALFOLGEN …………. 181 5.5.1 Sprungfolge ................................................................................ 181 5.5.2 Deltaimpuls ……………………………………………………… 181 5.5.3 Verschobener Deltaimpuls ………………………………………. 182 5.5.4 Exponentialfolge ………………………………………………… 182 5.5.5 Rechteckimpulse der Länge N …………………………………… 182 5.5.6 Folge der abgetasteten cos( )t� - Funktionen ……………………. 183 5.6 WICHTIGE SÄTZE ZUR Z-TRANSFORMATION .................................. 184 5.6.1 Linearität ………………………………………………………... 184 5.6.2 Verschiebungssatz …………………………………...…………... 184 5.6.3 Dämpfungssatz .............................................…………………… 185 5.6.4 Multiplikationssatz …………………………………………........ 185 5.6.5 Faltungssatz …………………………………………………….... 185

I IX

5.6.6 Differenzenbildung ………………………………….................... 186 5.6.7 Summenbildung ………………………….................................... 186 5.6.8 Periodische Abtastfolge ……………………................................ 186 5.7 METHODEN DER RÜCKTRANSFORMATION ..................................... 190 5.7.1 Inverse z-Transformation............................................................. 190 5.7.2 Praktische Handhabung der Rücktransformation ……………….. 190 5.8 ANWENDUNGEN DER z-TRANSFORMATION ...................................... 193 5.8.1 Lineare Differenzengleichungen …….…………………….. 193 5.8.2 Systembeschreibung und z-Übertragungsfunktion ..……… 194 5.8.3 Frequenzgang ……………………………………………… 197 5.8.4 Systemstabilität ……………………………………………. 198 5.8.5 Pol-Nullstellen-Plan (PN-Plan) …………………………… 199 5.9 BLOCKDIAGRAMME DISKRETER LTI-SYSTEME ……………………. 201 5.9.1 Reihen-Schaltung ………………………………...………….… 201 5.9.2 Parallel-Schaltung ………………………………………..... 202 5.9.3 Rückgekoppelte Systeme ……………………………...…... 202 6 Anhang 205 6.1 ERGEBNISSE DER ÜBUNGSAUFGABEN ............................................. 205 6.2 EIGENSCHAFTEN DER DELTAFUNKTION ......................................... 223 6.3 SÄTZE ZUR LAPLACE-TRANSFORMATION ....................................... 224 6,4 KORRESPONDENZEN DER LAPLACE-TRANSFORMATION ............. 225 6.5 SÄTZE ZUR Z-TRANSFORMATION ....................................................... 232 6.6 KORRESPONDENZEN DER z-TRANSFORMATION ……….………... 232

6.7 LITERATUR …….….…………………………………….………………… 234 Sachwortverzeichnis …………………………………………………………...… 235

nhalt

1 Fourierreihen

1.1 Einführung In vielen Bereichen der Naturwissenschaften und der Technik etwa in der Physik oder in der Elektrotechnik, haben harmonische Schwingungen, die durch eine Sinusfunktion

( ) sin( )f t A t� �� (1.1)

beschrieben werden können, eine große Bedeutung. Hierbei ist A die Amplitude, � die Kreis-frequenz und � der Nullphasenwinkel der harmonischen Schwingung. Bei der Überlagerung derartiger harmonischer Schwingungen sind zwei Fälle zu unterschei-den: 1. Überlagert man harmonische Schwingungen der gleichen Frequenz, so erhält man wie-

der eine harmonische Schwingung dieser Frequenz. Von dieser Tatsache wird in der Elektrotechnik ständig Gebrauch gemacht. Durch Über-lagerung von sinusförmigen Wechselspannungen der gleichen Frequenz, etwa der Netz-frequenz 50 Hz erhält man wieder eine sinusförmige Wechselspannung derselben Fre-quenz 50 Hz.

2. Durch Überlagerung von harmonischen Schwingungen verschiedener Frequenzen kann man periodische Vorgänge erzeugen, die im Allgemeinen jedoch nicht sinusförmig sind. Die Frequenzen dieser Schwingungen müssen ganzzahlige Vielfache der Grundfrequenz des periodischen Vorgangs sein (rationales Frequenzverhältnis), weil nur dadurch ge-währleistet ist, dass sich am Ende der Periodendauer alle Schwingungen genau wieder im Anfangszustand befinden, sodass der Vorgang sich periodisch wiederholen kann (s. Satz 1.1).

Es stellt sich jetzt die Frage, ob man auch umgekehrt "jede beliebige" periodische Funktion als eine Summe von harmonischen Schwingungen darstellen kann. Diese Frage wurde von dem französischen Mathematiker Jean Baptiste Fourier (1768 - 1830) positiv beantwortet. Die genauen Bedingungen hierfür wurden von dem deutschen Mathematiker Peter Gustav Dirichlet (1805 - 1858) angegeben.

1.2 Reelle Fourierreihen 1.2.1 Grundbegriffe Definition 1.1

Eine Funktion )( tf heißt T-periodisch (periodisch mit der Periode T), wenn für alle Zeit-punkte t des Definitionsbereichs gilt:

)()( tfTtf �� (1.2)

H. Weber, H. Ulrich, Laplace-, Fourierund z-Transformation, DOI 10.1007/978-3-8348-8291-2_1,© Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2012

2 1 Fourierreihen

Definition 1.2

Eine T-periodische Funktion )( tf genügt den Dirichletbedingungen, wenn

1. )( tf beschränkt ist,

2. )( tf im Intervall � �0,T höchstens endlich viele Unstetigkeitsstellen hat,

3. die Ableitung )(tf � im Intervall � �0,T bis auf höchstens endlich viele Stellen stetig ist.

Eine T-periodische Funktion )( tf , die den Dirichletbedingungen genügt, kann innerhalb einer Periodendauer T in endlich viele Teilintervalle zerlegt werden, auf denen )( tf monoton und stetig verläuft. An Unstetigkeitsstellen treten nur endliche Sprunghöhen auf. Diese Voraussetzungen sind bei den in den Anwendungen auftretenden periodischen Zeit-funktionen im Allgemeinen erfüllt.

Satz 1.1

Eine T-periodische Funktion, welche den Dirichletbedingungen genügt, lässt sich als Fou-rierreihe

0 0 0=1

( ) = + cos( )+ sin( )k kk

f t a a k t b k t� �

�� (1.3)

darstellen, wobei T�

��2

0 die Grundkreisfrequenz ist.

Gl. (1.3) lässt sich folgendermaßen physikalisch interpretieren: Jeder periodische Vorgang kann in eine Summe von harmonischen Schwingungen zerlegt werden. Dabei können neben der Grundfrequenz nur ganzzahlige Vielfache dieser Frequenz auftreten. Man spricht in diesem Zusammenhang daher auch von Fourieranalyse, bzw. har-monischer Analyse. Satz 1.2

Eine Fourierreihe konvergiert an jeder Stetigkeitsstelle st der Zeitfunktion f(t) gegen den Funktionswert ( )sf t und an einer Unstetigkeitsstelle ut gegen das arithmetische Mittel aus dem rechts- und linksseitigen Grenzwert

0 0

1 lim ( ) lim ( )2 u u

t tf t t f t t

� � � �

��

der Zeitfunktion f(t).

Für die weiteren Überlegungen ist es zweckmäßig, durch die Substitution

0x t�� (1.4)

von einer T-periodischen Funktion f(t) zu einer 2�-periodischen Funktion f(x) überzugehen. Man hat dann den Vorteil, periodische Funktionen f(x) zu betrachten, die alle die gleiche Peri-ode 2� haben.

1.2 Reelle Fourierreihen 3 Die Fourierreihe nach Gl. (1.3) geht damit über in die Form

0 kk=1

( ) = + cos( ) + sin( )kf x a a k x b k x �� (1.5)

1.2.2 Berechnung der Fourierkoeffizienten

1. Für alle ganzzahligen, von Null verschiedenen Zahlen k gilt:

2 2

0 0sin( ) 0 und cos( ) =0k x dx k x dx

� ��

(1.6)

2. Für alle ganzzahligen, von Null verschiedenen Zahlen k und m gilt

2

0

0 für sin( )sin( ) =

für k m

k x mx dxk = m

�

��

��

�

(1.7)

2

0

0 für cos( )cos( ) = für

k mkx mx dx

k m=

�

��

��

�

(1.8)

2

0sin( )cos( ) = 0 k x mx dx

�

�

(1.9)

1. Berechnung des Fourierkoeffizienten a0 (konstantes Glied der FR) Durch Integration der Fourierreihe nach Gl. (1.5) über eine volle Periode erhält man

0 0

2 2 2 2

k=10 0 0 0

( ) = + cos( ) + sin( ) = 2 k kf x dx a dx a kx dx b kx dx a� � � �

� �

� ��

��

da nach Gl. (1.6) alle Integrale der Summe den Wert Null haben. Damit ergibt sich für das konstante Glied der Fourierreihe

��

�

2

0

)(21 = 0 dxxfa

(1.10)

Gleichung (1.10) erlaubt eine anschauliche Interpretation des Fourierkoeffizienten a0 (konstantes Glied der Fourierreihe) als linearen Mittelwert der periodischen Funktion. Bemerkung: In manchen Darstellungen der Fourierreihen wird das konstante Glied aus for-

malen Gründen auch mit 0

2a

bezeichnet.

4 1 Fourierreihen

0

a0

f(x)

x

In vielen einfachen Fällen kann das konstante Glied als Mittelwert der Funktion )(xf ohne Rechnung angegeben werden, da der Mittel-wert der periodischen Funktion )(xf oft un-mittelbar erkennbar ist.

Bild 1.1 Mittelwert von f(x) 2. Berechnung der Fourierkoeffizienten ak 1) ( �k

Ausgehend von Gl. (1.5)

0m=1

( ) = cos( ) + sin( )m mf x a a mx b mx

� �� (1.5)

wobei vorübergehend m als Summationsindex gewählt wurde, erhält man durch Multiplikation mit cos(kx) und anschließender Integration über eine Periode

2 2 2

010 0 0

2

m=1 0

( ) cos( ) cos( ) cos( )cos( )

+ sin( )cos( ) = �

mm

m k

f x k x dx a k x dx a mx k x dx

b mx k x dx a

� � �

�

�

� � ��

� �

Nach den Gleichungen (1.6), (1.8) und (1.9) haben alle Integrale bis auf ein einziges den Wer-te Null. Für m = k erhält man

��

��2

0

))cos(cos( dxxkxk

Daraus folgt für den Fourierkoeffizienten ka :

2

0

1 ( )cos( )�ka f x kx dx

�

� �

(1.11)

3. Berechnung der Fourierkoeffizienten bk Multipliziert man Gl. (1.5) mit sin(kx) und integriert anschließend über eine volle Periode, so erhält man analog zur Berechnung der Fourierkoeffizienten ka für die Koeffizienten der Si-nusglieder

1.2 Reelle Fourierreihen 5

2

0

1 ( ) sin( )kb f x kx dx�

��

(1.12)

4. Verschiebung des Integrationsintervalls Alle bei der Berechnung der Fourierkoeffizienten auftretenden Integranden I(x), nämlich f(x),

( ) cos( )f x kx und ( )sin( )f x kx sind 2�-periodische Funktionen. Es gilt daher

2� 2�

0( ) ( )I x dx I x dx

�

�

�� (1.13)

Als Integrationsintervall kann also ein beliebiges Intervall der Länge 2� gewählt werden. Ins-besondere ist es für manche Funktionen )(xf günstig, anstelle des Intervalls [0, 2�] das Intervall [� �, � ] zu verwenden.

5. Berechnung der Fourierkoeffizienten gerader und ungerader Funktionen

Die Berechnung der Fourierkoeffizienten einer periodischen Funktion ist einfacher, wenn die periodische Funktion )(xf eine Symmetrie besitzt, also entweder eine gerade oder eine unge-rade Funktion ist.

a) f(x) sei eine gerade periodische Funktion, d.h. es gilt f(�x) = f(x)

f(x)

x

0 ��

A

Bild 1.2 Gerade Funktion f(x)

Ist f(x) eine gerade Funktion, so ist auch f(x)cos(x) eine gerade Funktion. f(x)sin(x) dage-gen ist eine ungerade Funktion. Wählt man als Integrationsintervall [��, �], so erhält man:

00

1 ( )a f x dx�

��

�

�0

))cos((�2 dxxkxfak

0kb �

(1.14)

Die Fourierreihe einer geraden Funktion ist eine reine "Kosinusreihe". Eine gerade Funktion f(x) wird allein durch Kosinusfunktionen, d.h. durch den geraden Anteil der Fourierreihe dar-gestellt.

b) Die Zeitfunktion f(x) sei eine ungerade periodische Funktion: f(�x) = � f(x)

Ist f(x) eine ungerade Funktion, so ist auch f(x)cos(x) eine ungerade Funktion, während f(x)sin(x) als Produkt von zwei ungeraden Funktionen gerade ist.

6 1 Fourierreihen

f(x)

x

0�

��

Bild 1.3 Ungerade Funktion f(x)

Verwendet man das Integrationsintervall � ��, �� und berücksichtigt die entsprechen-den Symmetrien, so folgt

0�ka ��

��

0

))sin((2 dxxkxfbk

(1.15)

Die Fourierreihe einer ungeraden Funktion enthält nur die ebenfalls ungeraden Sinusfunk-tionen. Durch Ausnützen von vorhandenen Symmetrien lässt sich der Rechenaufwand zur Berechnung der Koeffizienten einer Fourierreihe also wesentlich verringern. Man wird daher eine vorgegebene periodische Zeitfunktion, deren Fourierreihe bestimmt wer-den soll, zuerst auf Symmetrien untersuchen. Auch die Tatsache, dass bei geraden Funktionen die Fourierkoeffizienten ka , bzw. die Fourierkoeffizienten kb bei ungeraden Funktionen durch Integrale von 0 bis �, anstelle von Integralen von 0 bis 2� berechnet werden, bedeutet in vielen Fällen eine Vereinfachung der Rechnung.

Übersicht

periodische Zeitfunktion f(t) Fourierkoeffizienten

Zeitfunktion ohne Symmetrie

f (x)

x

0 ��

A

2

00

2 2

0 0

1 ( )2

1 1( )cos( ) , ( )sin( )k k

a f x dx

a f x k x dx b f x k x dx

�

� �

�

� �

�

� �

�

� �

Gerade 2�-periodische Funktion

f (x)

x

0 ��

A

00

0

1 ( )

2 ( )cos( ) , 0k k

a f x dx

a f x k x dx b

�

�

�

�

�

� �

�

�

Ungerade 2�-periodische Funktion

f (x)

x

0�

��

0

0

0, 0

2 ( )sin( )

k

k

a a

b f x kx dx�

�

� �

� �


1.2.3 Amplitudenspektrum Sinus- und Kosinusglieder der gleichen Frequenz können zu einem resultierenden Sinusglied (resultierenden Schwingung) zusammengefasst werden.

cos( ) + sin( ) = sin( + )

= sin( ) cos( ) + cos( )sin( )k k k k

k k k

a kx b kx A kx A kx kx

�

� � ��

Ein Koeffizientenvergleich liefert cos ( ) = und sin ( ) = k k k k k kA b A a� �

Daraus folgt und

2 2k k= a + bkA (1.16)

tan( ) = kk

k

ab

� (1.17)

ak

bk

Ak

0

k�

Stellt man die in der Phase um 90� gegeneinander verschobenen Sinus- und Kosinusschwingungen in einem Zeigerdiagramm dar, so sind die oben her-geleiteten Gleichungen unmittelbar zu erkennen.

Bild 1.4 Zeigerdiagramm

k

0 1 5

Ak

Man erhält einen anschaulichen Überblick über die harmonischen Schwingungsanteile, wenn man die Amplituden Ak als Ordinaten über der Frequenz als Abszisse in einem Amplitudenspektrum dar-stellt. Dabei ist Ak die resultierende Amplitude einer harmonischen Schwingung der k-fachen Grund-frequenz.

Bild 1.5 Amplitudenspektrum Beispiel 1.1 Es soll die Fourierreihe der 2�-periodischen Funktion

)( = )2 + (<0

0 = )(

xfxfxAxA

xf

��

��

bestimmt werden.

f (x)

x

A

0

� A

2�

Bild 1.6 Periodische Funktion

8 1 Fourierreihen Da die Funktion ungerade ist, sind der lineare Mittelwert a0 = 0 und alle Koeffizienten der Kosinusglieder ak = 0.

Es müssen daher nur die Fourierkoeffizienten bk berechnet werden. Für sie gilt

� � �

00 0

2 2 2 cos( )( )sin( ) sin( )� � �

4 2 1� = 0 = 2

kA A k xb f x k x dx k x dx

k

A k = nk n

k n

� ��

� � !� �

� �

�

Die Fourierreihe lautet damit

1

4 sin(3 ) sin(5 ) sin(7 ) sin(9 )( ) sin( ) 3 5 7 9

4 sin(2 1) 2 1m

A x x x xf x x

A m x mm

�

� �

��

�� !

��

�

�

0 1 3 5

k

7

Ak

4A�

An den Unstetigkeitsstellen

x = 0, " �, " 2�, " 3�, ...

liefert die Fourierreihe den Wert f(x) = 0. Dies sind auch die Mittel der rechts- und linksseitigen Grenzwerte

Bild 1.7 Amplitudenspektrum

Bild 1.7 zeigt das Amplitudenspektrum. Man erkennt, dass neben der Grundfrequenz nur die ungeradzahligen Vielfachen dieser Grundfrequenz mit abnehmenden Amplituden auftreten.

Bild 1.8 zeigt den Verlauf von f(x) und der Näherungsfunktion

1

4 sin(2 1)( ) = 2 1m

nn

A m xf xm� �

��

im Intervall von 0 bis � für a) n = 2 und b) n = 15. Im Intervall von � bis 2� erhält man einen Verlauf, der sich nur durch das Vorzeichen unter-scheidet.

An den Unstetigkeitsstellen sind auch bei größeren Werten von n die Abweichungen der Nähe-rungsfunktionen ( )nf x (endliche Fourierreihe) von der Funktion f(x) nicht beliebig klein. Man kann zeigen, dass für n � die Höhe des ersten seitlichen Maximums den Wert 1,18A hat (Gibb'sches Phänomen).


Bild 1.8 Näherungsfunktionen fn(x)

Beispiel 1.2 Gegeben ist die 2�-periodische Funktion f(x), die im Intervall [-�, � ] definiert ist durch

f (x)

x0

��

-A

A

)()2(

<x0 2

0<x 2 =)(

xfxf

xAA

xAAxf

��

�

�

�

��

�

��

�

Bild 1.9 Periodische Funktion f(x)

Da f(x) eine gerade Funktion ist, gilt für alle k: bk = 0. Man erkennt ferner:

ao = 0 (linearer Mittelwert).

Für k � 1 gilt:

� ��

#$%

&'(

��

��0 0

)cos(21 2 = x))cos(( 2 = dxxkxAdxkxfak

Durch eine partielle Integration erhält man

2

sin( ) cos( )cos( ) = + + x k x x k xx k x dx Ck k�

Daraus folgt für die Fourierkoeffizienten ak

� � 2 22 2 2 2

0 0

8 = 2 12 sin( ) 4 sin( ) xcos( ) 4 = + = 1 cos( ) = 0 = 2

k

A k mA k x A x k x k x Aa k kk k k k k m

��

� � � � � � ��

Damit ergibt sich folgende Fourierreihe:

28 cos(3 ) cos(5 ) cos(7 )( ) = cos( ) + + + +

9 25 49�A x x xf x x �

� ��

10 1 Fourierreihen Die Fourierreihe dieser periodischen Funktion f (x) ohne Unstetigkeitsstellen konvergiert schneller als die Fourierreihe der Funktion von Beispiel 1.1, da hier die Amplituden propor-

tional zu 21

k abnehmen.

Bemerkung: Die Funktionen von Beispiel 1.1 und Beispiel 1.2 haben eine Gemeinsamkeit, sie sind soge-nannte alternierende Funktionen, für welche f (x + �) = � f (x) gilt. Für die Fourierkoeffi-zienten einer alternierenden periodischen Funktion lässt sich allgemein a0 = 0; a2m = 0 und b2m = 0 nachweisen, d.h. bei der Fourieranalyse einer alternierenden Funktion treten nur har-monische Schwingungen auf, deren Frequenzen ungeradzahlige Vielfache der Grundfrequenz sind.

1.3 Komplexe Fourierreihen

1.3.1 Grundlagen Verwendet man die aus dem Rechnen mit komplexen Zahlen her bekannten Euler'schen Glei-chungen ( j 1� � , imaginäre Einheit)

)jsin()cos(e j xkxkxk �� (1.18)

)jsin()cos(e j xkxkkx �� (1.19)

so erhält man durch Addition, bzw. Subtraktion der beiden Gleichungen

) *) * ) *xkxkxkxk

xkxk

kx

kx

jjjj

jj

ee2jee

j21)sin(

ee21)cos(

��

�

��

��

(1.20)

(1.21)

Die reelle Fourierreihe

� �0k=1

( ) = cos( )+ sin( )k kf x a a k x b k x

��

geht unter Verwendung der Gleichungen (1.20) und (1.21) über in

) * ) *j j j j j j

=0 =0

j j + j( ) = e + e e e = e + e

2 2 2 2k x k x k x k x k x k xk k k k k k

k k

a b a b a bf x

� � ��

� ��

� �

j( ) = c ekkx

kf x

��

(1.22)

Die Koeffizienten ck dieser komplexen Fourierreihe sind im Allgemeinen komplexe Zahlen.

1.3 Komplexe Fourierreihe 11 Zwischen den komplexen Fourierkoeffizienten ck und den Koeffizienten ak und bk der reel-len Fourierreihe bestehen für k > 0 die Zusammenhänge

kkkkkk

k cbcabac Im2 = und 2Re = 2

j = �+�

Ist die 2�-periodischen Funktion f(x) eine gerade Funktion, (bk = 0 für alle k), so sind die Fou-rierkoeffizienten ck reell. Im Falle einer ungeraden 2�-periodischen Funktion f(x) (ak = 0 für alle k), sind die Fourier-koeffizienten ck rein imaginäre Zahlen.

1.3.2 Berechnung der komplexen Fourierkoeffizienten kc

Multipliziert man die komplexe Fourierreihe

j

m( ) = e mx

mf x c

��

mit dem Faktor kxje� und integriert anschließend über eine Periode, so erhält man

2 2j j( )

0 0( ) e = ek x m k x

mm

f x dx c dx� �

� �

��

Dabei gilt:

für 2

für 0 =)(j

e = e

2

0

2

0

)(j

)(j��

��

�

�

�

�

�

��

�

��

�

m = k

km kmdx

xkm

xkm

Wir erhalten also

kxk cdxxf ��

��

2

0

j 2=e)( und daraus schließlich

2j

0

1 ( ) e2

kxkc f x dx

�

��

(1.23)

Als Integrationsintervall kann auch das Intervall [� � , � ] gewählt werden. Für k = 0 ergibt sich:

2

0 00

1 = ( ) = 2

c f x dx a�

� �

(1.24)

12 1 Fourierreihen

Das konstante Glied 0c (Mittelwert der Zeitfunktion) stimmt natürlich mit dem konstanten Glied 0a der reellen Fourierreihe überein.

Beispiel 1.3 Es soll die Fourierreihe der 2� - periodischen Funktion

f (x)

x0 ��

�

��

��

<0 für 0<für 0

= )(xxx

xf

)()( xfxf ��

berechnet werden.

Bild 1.10 Periodische Funktion f(x) von Beispiel 1.3

Wir erhalten als linearen Mittelwert der Funktion f(x): 0 0 4c a �

� � .

Für k � 1 erhält man durch eine partielle Integration

��

��

�

��

2

0

2

0

j2

jj e1 + e

j

21 = e

21 = kxkxkx

kkk

xdxxc

a) Für gerade Zahlen k = 2n ( n!� ) ist 1e j ��k und damit

1 = Im2 und 0 2j

kcba

kc kkk k ��+�

b) Für ungerade Zahlen k = 2n � 1 ( n!� )ist 1j ��ke und damit

kb

ka

kkc kkk

1= und 2= 21j = 22

��+�

��

Reelle Fourierreihe:

12

1

sin ( ) 2 cos (2 1)( ) = + ( 1) 4 (2 -1)

k

k

kx k xf xk k

��

�

�

��

� ��

Komplexe Fourierreihe:

0

j2 j (2 1)2

k

j 1 j( ) = + e + + e4 4 44

k

k x k xf xkk

��

�

�

��

�( %� �& #& #� �' $�

�

1.3 Komplexe Fourierreihe 13

0

k

1 5

1

1-5a) b)

5

1

Ak

k

0

kc

Bild 1.11 Amplitudenspektrum a) für die reelle FR b) für die komplexe FR

Zwischen den Amplituden der reellen und der komplexen Fourierreihe bestehen die Zusam-menhänge:

0 0 , 2 und k k k kc c c A c a�� (1.25)

Aufgaben zum Abschnitt 1 (Ergebnisse im Anhang) Aufgabe 1.1 Man berechne die Fourierkoeffizienten der in Bild 1.12 dargestellten 2�-periodischen Funktion f(x).

x

0

1( )f x

2�

2�� 2�

Bild 1.12 Periodische Funktion f(x)

Aufgabe 1.2 Man berechne die Fourierreihe der 2�-periodischen Funktion f(x), die im Intervall [0, 2�] durch

�2 = )( xxf

definiert ist.

x

f (x)1

0 2��2� 4�

Bild 1.13 "Sägezahnkurve" Aufgabe 1.3 Es soll die Fourierreihe der 2�-periodischen Funktion f(x) bestimmt werden, die im Intervall [�� , � ] bestimmt ist.durch

cos( ) ( )= 2 2

0 sonst

A x xf x

� ��

( 2 ) ( )f x f x��


14 1 Fourierreihen Aufgabe 1.4 Gegeben ist die 2�-periodische Funktion

f (x)

x

0 ��2 ,�

1

-�


2 02

( )1

20 2

x x

f x x

x

��

� �

� �

� � �

� � � �

� ��

)()2( xfxf ��

Bestimmen Sie die Fourierkoeffizienten a0, a1, a2, b1 und b2.

Aufgabe 1.5


Gegeben ist die 2�-periodische Funktion

�20e)( �� xxf x

)()2( xfxf ��

Berechnen Sie den komplexen Fourier- koeffizienten ck und die Fourierkoeffizienten a0, a1 und b1.

Aufgabe 1.6

Gegeben ist die 2�-periodische Zeitfunktion, die im Intervall � �,� �� gegeben ist durch

( )f x

2��

2�

x


2

( ) 2 2 2

2

x x

f x x

x x

��

� � �

��

� � � � � � � � � ��

Bestimmen Sie das konstante Glied der Fourierreihe der gegebenen Zeitfunktion, sowie die Fourierkoeffizienten a1 und b1.

2 Fouriertransformation

2.1 Fourierintegral

2.1.1 Übergang von der Fourierreihe zum Fourierintegral

Im Abschnitt 1 haben wir gesehen, dass eine T - periodische Zeitfunktion pf ( t ) , die den Di-richlet'schen Bedingungen genügt, als Fourierreihe

0 0p 01

( ) = cos( ) sin( )k kk

f t a a k t b k t� �

�� (2.1)

darstellbar ist. Es ist dies die Zerlegung eines periodischen Vorgangs in eine Summe von harmonischen Schwingungen, anschaulich charakterisiert durch ein diskontinuierliches Ampli-tudenspektrum. Es stellt sich nun die Frage, ob auch eine nichtperiodische Funktion in har-monische Schwingungen zerlegt werden kann. Wir betrachten dazu eine Zeitfunktion )( tf , die nur innerhalb eines Zeitintervalls der Länge T von Null verschiedene Werte annehmen kann. Es sei

definiert für ( ) = 2 2

0 sonst

T Ttf t

� � � � � �

(2.2)

Durch periodisches Fortsetzen von )( tf entsteht eine periodische Funktion fp(t), für welche die komplexe Fourierreihe

0jk( ) = e k t

pk

f t c �

��

(2.3)

mit der Grundkreisfrequenz T2� = 0� und den komplexen Fourierkoeffizienten

T2

0

T2

j kp

1= ( ) e tkc f t dt

T��

��

(2.4)

existiert. Wegen fp(t) = )( tf im Intervall 2

, 2 �

��

TT kann in Gl. (2.4) die periodische Zeit-

funktion fp(t) durch )( tf ersetzt werden. Die in Abschnitt 1.2.1 eingeführte Variable x wurde hierbei wieder durch t0� , die Periodendauer 2� entsprechend durch T ersetzt. Im Grenzfall � T wird aus der periodischen Funktion )(p tf eine nichtperiodische Funk-

tion f(t). Verwendet man Gl. (2.4) und 01 = 2T��

, so erhält die komplexe Fourierreihe für die

periodische Funktion )(p tf folgende Form:


16 2 Fouriertransformation

20 0

2

j jp 0

1( ) = ( ) e e2�

T

T

k t k t

kf t f t dt� ��

�

��

��

� �

(2.5)

Die den einzelnen Gliedern der Fourierreihe entsprechenden harmonischen Schwingungen haben einen Kreisfrequenzabstand

1 02�

k k T� � � �� ,

der mit wachsender Periodendauer T immer kleiner wird. Im Grenzfall T � wird aus �� ein Differential d�, aus den diskreten Kreisfrequenzen k 0� wird eine kontinuierliche Kreis-frequenz� , die Summation geht in eine Integration über. Aus der periodischen Funktion

( )pf t wird eine nichtperiodische Funktion ( )f t .

t

t

t

0

0

0

T

T

( )pf t

( )pf t

( )f t

a)

b)

c)

Bild 2.1 a) Periodische Funktion ( )pf t b) Periodische Funktion ( )pf t bei Vergrößerung der Periodendauer T c) Nichtperiodische Funktion ( )f t

Mit T � , 0� � d� , k 0� �� , � �� und fp(t) � f(t) wird aus Gl. (2.5):

j j1( ) = ( )e e 2�

t tf t f t dt d��

�

� �

��

� �

(2.6)

In Gl.2.6 ist das Integral j( ) e tf t dt�

�

�� eine Funktion ( )F � des Parameters � .

Definition 2.1 Die Funktion der Kreisfrequenz �

j( ) = ( )e tF f t d t��

�

��

heißt Spektralfunktion.

(2.7)

2.1 Fourierintegral 17 Satz 2.1 Ist die Zeitfunktion )( tf absolut integrierbar, d.h. es gilt

�

�

< )( dttf ,

so existiert die zugehörige Spektralfunktion ( )F �

(2.8)

Die Aussage des Satzes 2.1 ist eine hinreichende, keine notwendige Bedingung für die Exis-tenz der Spektralfunktion. Das uneigentliche Integral von Gl. (2.7) konvergiert wegen 1 = e j t�� sogar absolut, wenn

die Zeitfunktion f(t) absolut integrierbar ist. Mit Gl. (2.6) und Satz 2.1 erhält man

Satz 2.2

Für eine absolut integrierbare Zeitfunktion )( tf existiert die folgende Darstellung als Fourierintegral

j1( ) = ( ) e2�

tf t F � d� �

��

(komplexes Fourierintegral)

(2.9)

Wir haben gesehen, dass sich auch eine nichtperiodische Funktion f(t) in harmonische Schwingungen auflösen lässt. Im Gegensatz zu einer periodischen Funktion, bei der nur ganz-zahlige Vielfache einer Grundkreisfrequenz 0� auftreten können, existiert hier ein kon-tinuierliches Schwingungsspektrum, dessen spektrale Verteilung durch die Spektralfunktion F(� ) beschrieben wird. Anstelle einer Fourierreihe erhält man das Fourierintegral. Die Zeitfunktion f(t) ergibt sich dabei als Integral über das kontinuierliche Schwingungs-spektrum.

2.1.2 Eigenschaften des Fourierintegrals Es sollen im Folgenden einige Eigenschaften des Fourierintegrals gezeigt werden. Dabei wer-den deutliche Analogien zur Fourierreihe sichtbar. Da die Spektralfunktion F(� ) im Allgemeinen eine komplexwertige Funktion ist, sie wird auch als komplexe Amplitudendichte bezeichnet, kann sie in einen Realteil Re F(� ) und in einen Imaginärteil Im F(� ) zerlegt und in Komponentenform angegeben werden.

( ) = Re ( ) j Im ( )F F F� � �� (2.10)

Satz 2.3 Ist )( tf eine reellwertige Funktion, so ist der Realteil der zugehörigen Spektralfunktion F(� ) eine gerade, der Imaginärteil eine ungerade Funktion der Kreisfrequenz .�

18 2 Fouriertransformation Beweis:

Wegen )jsin( )cos( = e j ttt �� folgt mit Gl. (2.7)

( ) = ( )cos( ) j ( )sin( )F f t t d t f t t d t� � �

� �

��

und daraus, da f(t) reellwertig ist:

Re ( ) = ( )cos( )

Im ( ) = ( )sin( )

F f t t d t

F f t t d t

� �

� �

�

�

�

�

�

(2.11)

(2.12)

Ersetzt man in den Gleichungen (2.11) bzw. (2.12) die Variable � durch �� , so erkennt man unmittelbar, dass

Re ( ) Re ( )F F� �� und Im ( ) Im ( )F F� ��

gilt, da cos(� t) eine gerade und sin(� t) eine ungerade Funktion von � ist.

Mit )(Imj)(Re)( �� FFF �� und )sin(j + )cos( = e j ttt �� geht das komplexe Fou-rierintegral nach Gl. (2.9) über in

� �1( ) Re ( ) cos( ) Im ( )sin( )2�

f t F t F t d� � � � �

�

� � � ��

� �j Re ( )sin( ) Im ( )cos( )F t F t d� � � � �

�

. � � / 0

�

Da f(t) als reellwertig vorausgesetzt wird, hat das zweite Integral den Wert Null. Man erkennt dies auch daran, dass der Integrand des zweiten Integrals eine ungerade Funktion ist. Berücksichtigt man noch, dass beim ersten Integral über eine gerade Funktion integriert wird, so erhält man die folgende reelle Form des Fourierintegrals:

� �0

1( ) Re ( )cos( ) Im ( )sin( )�

f t F t F t d� � � � �

� ��

(2.13)

Das reelle Fourierintegral hat eine einfachere Form, wenn die Zeitfunktion f(t) eine Symmetrie besitzt. Ist )( tf eine gerade Funktion, so ist nach Gl. (2.12) der Imaginärteil der Spektralfunktion Null und Gl. (2.13) geht über in

2.1 Fourierintegral 19

0

1( ) Re ( ) cos( )�

f t F t d� � �

� �

0

Re ( ) = 2 ( ) cos( )F f t t dt� �

�

(2.14)

(2.15)

Ist die Zeitfunktion f(t) eine ungerade Funktion, so ist der Realteil der Spektralfunktion Null. Das reelle Fourierintegral lautet dann

0

1( ) Im ( )sin( )�

f t F t d� � �

� � �

0

Im ( ) = 2 ( )sin( )F f t t dt� �

� �

(2.16)

(2.17)

Man erkennt eine deutliche Analogie zur Fourierreihe einer periodischen Zeitfunktion. Die Fourierreihe einer geraden periodischen Funktion enthält nur Kosinusglieder, die einer unge-raden Funktion nur Sinusglieder. Entsprechend ist das Fourierintegral einer geraden nichtperi-odischen Zeitfunktion ein Integral über ein kontinuierliches Spektrum von Kosinus-schwingungen, das einer ungeraden nichtperiodischen Zeitfunktion ein Integral über ein konti-nuierliches Spektrum von Sinusschwingungen. Ohne Beweis sei abschließend erwähnt, dass an Unstetigkeitsstellen von )( tf das Fourier-inte-gral, wie die Fourierreihe, zum arithmetischen Mittel aus dem rechts- und linksseitigen Grenz-wert der Zeitfunktion )( tf führt.

Komplexes Fourierintegral

Spektralfunktion Fourierintegral

�

�

�� dtetfF t�� j)()( �

�

� �� deFtf tj)(�2

1)(

Reelles Fourierintegral

a) Zeitfunktion ohne Symmetrien


( ) Re ( ) jIm ( )

Re ( ) ( )cos( )

Im ( ) ( )sin( )

F F F

F f t t dt

F f t t dt

� � �

� �

� �

�

�

� �

�

� �

�

�

0

Re ( )cos( )1( ) Im ( )sin( )�F t

f t dF t

� ��

� �

�

� � ��


b) Gerade Zeitfunktion f(�t) = f(t):


0

( ) 2 ( )cos( )F f t t dt� �

� � 0

1( ) Re ( )cos( )�

f t F t d� � �

� �

c) Ungerade Zeitfunktion f(�t) = � f(�t)


0

( ) 2 j ( )sin( )F f t t dt� �

� � � 0

1( ) Im ( )sin( )�

f t F t d� � �

� � �

Beispiel 2.1

Man berechne die Spektralfunktion F(� ) der Zeitfunktion

�

��

0<für 0

reell) 0,>( 0für e = )(

t

attf

ta

Bild 2.2 Zeitfunktion f(t) Für die Spektralfunktion F(� ) erhält man mit Gl. (2.7)

( +j )j ( j )

0

e 1( )= ( ) e = e = =( j ) j

a tt a tF f t dt dt

a a

��

� �

��

� �

��

� �

Es ist der Grenzwert 0)j(

elim)j+(

��

�

��

��

�

� �

�

a

ta

t , da a > 0 und reell vorausgesetzt war und

1e j �t� ist. Für die Zerlegung der Spektralfunktion F(� ) in Real- und Imaginärteil folgt:

Bild 2.3 Real- und Imaginärteil

Spektralfunktion F(� )

2 2

2 2

2 2

1 j( ) = = + j

Re ( ) = und

Im ( ) =

aFa a

aFa

Fa

��

��

�

�

+��

�

Man erkennt, dass der Realteil der Spektralfunktion eine gerade, der Imaginärteil eine un-gerade Funktion der Kreisfrequenz � ist.

2.1 Fourierintegral 21 Beispiel 2.2

Gegeben sei die Spektralfunktion

0 0für( )

0 sonstA t

F� �

��

� ��

Man berechne die zugehörige Zeitfunktion )( tf .

�

0 �1��1

A)(�F

Bild 2.4 Spektralfunktion F(� )

Die Spektralfunktion F(� ) ist reellwertig. Die zugehörige Zeitfunktion ist daher eine gerade Funktion der Variablen t und es folgt mit Gl. (2.14):

0 00

00

sin( )sin( )( ) = cos( ) = = � � �

tA A t Af t t d�t t

� � ��

Für t = 0 ist die Zeitfunktion f(t) nicht defi-niert. Mit der Regel von L’Hospital erhält man den Grenzwert

0

0

0 0

0 00

sin( )lim ( ) = lim

�cos( )

= lim� 1 �

t t

t

tAf tt

t AA

�

� � ��

��

Bild 2.5 Zeitfunktion f(t)

Beispiel 2.3 Gegeben ist die Spektralfunktion

2

1

1

2

j

( ) j

0 sonst

A

F A

� � �

� � � �

� � � � ��

� � ��

Man berechne die zugehörige Zeitfunktion.

�

Im ( )F �

1� 2�1��2��

A

A�

0

Bild 2.6 Spektralfunktion

Wegen Re ( ) 0F � � ist die Zeitfunktion )( tf ungerade. Es gilt f(�t) = � f(�t).

2 2

11

2 1

0

1 cos( )( ) Im ( )sin( ) sin( )� � �

cos( ) cos( )( )

�

A A tf t F t d t dt

t tAf tt

� �

��

��

� �

� ��

� ��

� ��

� �


2.2 Definition der Fouriertransformation

Durch Gl. (2.7) wird einer bestimmten Klasse von Zeitfunktionen, für welche das uneigentli-che Integral konvergiert, eine Spektralfunktion )(�F zugeordnet. Eine derartige Zuordnung heißt auch Transformation. Es wird dadurch eine Zeitfunktion f(t) in eine Bildfunktion

)(�F transformiert.

Definition 2.2

a) Die durch die Gleichung

j

-

( )= ( ) e tF f t dt��

�

�

bestimmte Transformation, heißt Fouriertransformation.

(2.7)

b) Die Menge der Originalfunktionen )( tf , für welche die zugehörige Spektral-funktion )(�F existiert, heißt Originalraum.

c) Die Menge der Bildfunktionen )(�F heißt Bildraum der Fouriertransformation.

Die Originalfunktion )( tf geht durch die Fouriertransformation in die Bildfunktion )(�F ü-ber.

Originalfunktion )( tf Fouriertransformation Bildfunktion )(�F

Da )(�F durch Fouriertransformation aus der Zeitfunktion )( tf erhalten wird, heißt )(�F auch Fouriertransformierte der Funktion )( tf . Dieser Zusammenhang wird symbo-

lisch ausgedrückt durch

2 3( ) ( )F f t� � F (2.18)

Mit Gl. (2.9) kann bei bekannter Fouriertransformierter )(�F die Zeitfunktion )( tf bestimmt werden.

Definition 2.3

Die durch die Gleichung

j1( ) = ( )e2

�tf t F � d��

�� (2.9)

definierte Transformation, heißt inverse Fouriertransformation.

2.2 Definition der Fouriertransformation 23

Originalfunktion ( )f t Inverse Fouriertransformation

Bildfunktion )(�F

Die Zeitfunktion )( tf erhält man durch inverse Fouriertransformation aus )(�F , symbolisch ausgedrückt durch

2 31( ) ( )f t F �� F (2.19)

Das folgende Beispiel soll zeigen, dass schon für eine einfache Zeitfunktion die Fouriertrans-formation nicht ohne weiteres durchgeführt werden kann.

Beispiel 2.4 Man bestimme die Fouriertransformierte der "Sprungfunktion"

��

0 < für 00 > für 1

= )(tt

t4

0

14�(t)

t

Bild 2.7 Sprungfunktion

Mit Gl. (2.7) erhält man

2 3( ) ( )F t� 4� Fj

j j

0 0

1 1lim j j j

tt t

t

ee dt e�

� ��

��

�

� ��

Da �� für )jsin( + )cos( = e j tttt �� nicht definiert ist, kann man auf diese Weise die Fouriertransformierte der Sprungfunktion nicht erhalten. Die Sprungfunktion kann auch als Grenzwert der Funktion

e für 0( ) = ( > 0) 0 für < 0

at tf t at

�� 5 � �

für 0a � aufgefasst werden. Als Fouriertransformierte von ( )f t ergibt sich dann nach Beispiel 2.1

2 2 2 2 2 21 j( ) = = = j

+ ja aF

a a a a� ��

� � � ��

��

Als nächstes muss der Grenzwert

0lim ( )a

F ��

betrachtet werden.


Der Grenzwert 2 20lim = � ( )

a

aa

6 ��

ist eine Realisierung der Deltafunktion mit dem

Normierungsfaktor �. Bei dem Grenzübergang wird eine Folge von Funktionen durchlaufen, die gegen die Delta-funktion konvergiert (siehe Abschnitt 3.3.4). Der zweite Grenzwert ist

2 20

1lim jja a

��

� ��

Mit beiden Grenzwerten ergibt sich für die Fouriertransformierte der Sprungfunktion

2 3( )t4F� ( ) für 0

1 für 0j

6 � �

��

��

Nach Satz 2.1 ist die absolute Integrierbarkeit einer Zeitfunktion f(t) eine hinreichende Bedin-gung für die Existenz der Fouriertransformierten. Beispiel 2.4 zeigt, dass dies keine notwendi-ge Bedingung ist. Die Sprungfunktion ist nicht absolut integrierbar, ihre Fouriertransformierte existiert, allerdings nicht im Rahmen der „üblichen“ Funktionen. Durch die Laplace-Transformation werden derartige Probleme überwunden.

Aufgaben zum Abschnitt 2 (Ergebnisse im Anhang)

Aufgabe 2.1 Man berechne die Spektralfunktion F(� ) zur Zeitfunktion

f (t)

t

0 T2

1

� 1

2T

�


1 für 02

( ) = 1 für 02

0 sonst

T tf t Tt

��

Aufgabe 2.2

Man bestimme die Spektralfunktion F(� ) zur Zeitfunktion

( ) = e ( , 0 )a tf t a a� ! 5�

Bild 2.9 Zeitfunktion f(t) von Aufgabe 2.2

2.2 Definition der Fouriertransformation 25 Aufgabe 2.3 Man berechne für die Zeitfunktion

2 02

( ) 2 02

0

=

U TU t für tT

f t U TU t für tT

sonst

� � � � � � � � � �

die Spektralfunktion F(� ) und ihre reelle Fou-rierintegraldarstellung.

Uf (t)

tT2

T2

0

Bild 2.10 Zeitfunktion von Aufgabe 2.3 Aufgabe 2.4 Gegeben ist die Zeitfunktion (Bild 2.11)

1 1 0( ) 1 0 1

0

t tf t t t

sonst

� � � ��

Berechnen Sie die zugehörige Spektralfunktion (Fouriertransformierte) ( )F � .

Es gilt

2cos( ) sin( )sin( ) t t tt t dt C� ��

� � � ��

( )f t

t

0

1�

1�

1

1

Bild 2.11 Zeitfunktion von Aufgabe 2.4

Aufgabe 2.5 Gegeben ist die Spektralfunktion (Bild 2.12)

j 1 1( )

0 sonstF

� ��

� � � ��

Berechnen Sie die zugehörige Zeitfunktion f(t).

-1

1 �

Im F(��)1

-1

0

Bild 2.12 Spektralfunktion F(� )

3 Laplace - Transformation

3.1 Definition der Laplace-Transformation Da in den Anwendungen häufig nur Zeitfunktionen von einem Zeitpunkt t = 0 (z. B. dem Schaltzeitpunkt) an interessieren, auch wenn Anfangsbedingungen (z. B. Spannungen an Kondensatoren) aus der Vergangenheit des Systems vorhanden sind, wollen wir im Rahmen der Laplace-Transformation nur kausale Zeitfunktionen betrachten.

Definition 3.1

Eine Funktion )( tf heißt kausale Zeitfunktion, wenn für alle t < 0 gilt:

( ) = 0f t

Betrachten wir nur kausale Zeitfunktionen, so können wir die folgende Definition der ein-seitigen Laplace-Transformation geben, bei der die Integration über den Zeitbereich mit der unteren Grenze bei t = 0 beginnt.

Definition 3.2

Unter der Laplace-Transformierten der kausalen Zeitfunktion )( tf versteht man die durch die Funktionaltransformation

�

�

0

e)(=)( dttfsF ts (3.1)

definierte Funktion F(s). Hierbei ist s = 7 + j� eine komplexe Variable.

Im Unterschied zu der im Abschnitt 2 behandelten Fouriertransformation ist der dort rein ima-ginäre Exponent � j� t des Exponentialfaktors durch einen komplexen Exponenten

tst )j( �7 �� ersetzt worden. Wir werden sehen, dass gerade dadurch die Konvergenz des durch die Gl. (3.1) definierten Laplace-Integrals für alle in der Praxis vorkommenden Zeitfunktionen erreicht werden kann. Für alle in der Praxis auftretenden Zeitfunktionen existiert dadurch eine Laplace-Transformierte.

Das Laplace-Integral

j

0 0

( ) e = ( )e est t tf t dt f t dt7 �

� � ��

konvergiert nach Satz 2.1, wenn die Funktion

( ) = ( ) e tg t f t 7�

absolut integrierbar ist.


3.1 Definition der Laplace-Transformation 27

F(s) ist dann die Fouriertransformierte der Zeitfunktion g(t). Die Funktion ttftg 7�e)(=)( ist absolut integrierbar, wenn )( tf nicht stärker ansteigt als eine Exponentialfunktion. Mit

einem geeignet gewähltem 7 kann erreicht werden, dass der Faktor t7�e selbst bei einer exponentiell ansteigenden Funktion )( tf überwiegt, sodass

lim ( )e = 0t

tf t 7�

�

ist. Wir können daher feststellen:

Das Laplace-Integral konvergiert, es existiert also eine Laplace-Transformierte F(s), wenn die Originalfunktion )( tf nicht stärker ansteigt, als eine Exponentialfunktion.

Diese Bedingung kann bei einem geeignet gewählten 87 5 für alle in den Anwendungen vorkommenden Zeitfunktionen erfüllt werden.

Die Konvergenzabszisse 8 ist durch die Art der betrachten Zeitfunktion )( tf bestimmt.

Insbesondere bei den Anwendungen der Laplace-Transformation ist auch die Dimension der Laplace-Transformierten

�

�

0

e)(=)( dttfsF ts

von Interesse. Die Variable s = 7 + j� hat die Dimension einer Kreisfrequenz, also die Di-

mension 1sec� . Der Faktor st�e des Integranden von Gl. (3.1) ist dimensionslos. Durch die Integration über den Zeitbereich, die ja eine Aufsummierung infinitesimal kleiner Elemente dttf st�e)( bedeutet, kommt zur Dimension der Zeitfunktion )( tf noch die Di-mension des Differentials dt hinzu. Die Laplace-Transformierte U(s) einer Spannung u(t), nämlich

�

�

0

e)( = )( dttusU ts

hat demnach die Dimension Vsec, die Laplace-Transformierte I(s) eines Stromes i(t) analog die Dimension Asec.

Geschichtliche Anmerkung Der bekannte französische Mathematiker Pierre Simon Marquis de Laplace (1749 - 1827) verwendete die Transformation im Rahmen von Studien zur Wahrscheinlichkeitsrechnung. Er ist nicht Begründer der „modernen“ Laplace-Transformation. Diese ist eine Weiterentwicklung einer Operatorenrechnung des Engländers Oliver Heaviside (1850 - 1925). Die Heaviside'sche Operatorenrechnung wurde zum Lösen von Differential-gleichungen verwendet. Es entstanden bei der Anwendung oft Schwierigkeiten, da sie ma-thematisch nicht ausreichend begründet war. Bei der Weiterentwicklung der Heaviside'schen Operatorenrechnung zur heutigen Laplace-Transformation haben sich von den deutschen Wissenschaftlern besonders Karl Willy Wagner (1883 – 1953) und Gustav Doetsch (1892 – 1977) große Verdienste erworben.

28 3 Laplace - Transformation

Beispiel 3.1 Es soll die Laplace-Transformierte F(s) der Zeitfunktion )( tf = t berechnet werden.

Für die kausale Zeitfunktion )( tf = t gilt ��

�� 0für0

0für)( ttttf

Durch partielle Integration mit

u = t � u' = 1 und s

vvst

st�

�+��

� ee erhält man

2

0 2

0

0 0

1=e e

= e 1ee=)(

ssst

dtss

tdttsF

ststst

stst

��

��

��

�

��

��

��

�

��

��

Dabei wird vorausgesetzt, dass der Grenzwert

0 = eelim = elim

tjtt

tst

�7 ��

�

�

�

existiert. Dies ist für 0Re 5� 7s der Fall. Bei dieser Zeitfunktion )( tf ist demnach die Konvergenzabszisse 8 = 0.

Die Laplace-Transformierte F(s) existiert in einem Gebiet der komplexen s-Ebene, das durch Re s > 0 bestimmt ist. Es handelt sich hierbei um eine Halbebene, die sogenannte Konvergenzhalbebene der Bildfunktion. In Bild 3.1 sind die kausale Zeitfunktion ( )f t t� und die Konvergenzhalbebene ihrer Laplace-Transformierten F(s) dargestellt.

Die komplexwertige Funktion 21( )F ss

� hat an der Stelle s = 0 einen Pol zweiter Ordnung

und ist für alle 0�s definiert. Sie ist aber nur in der Konvergenzhalbebene 7 > 0 Laplace-Transformierte der kausalen Zeitfunktion )( tf = t.

f (t)

t

0 0

Konvergenzhalbebene

�

7

Bild 3.1 Zeitfunktion f(t) = t und Konvergenzhalbebene der Bildfunktion F(s) von Beispiel 3.1

3.2 Inverse Laplace-Transformation 29

3.2 Inverse Laplace-Transformation Satz 3.1

Die inverse Laplace-Transformation, die eine Bildfunktion F(s) in die zugehörige Original-funktion )( tf abbildet, ist durch die komplexe Umkehrformel

0

0

+j

0j

1( ) = ( ) e ( )2 j

s tf t F s ds7

7

7 8�

�

5� (3.2)

gegeben. Beweis: Nach der Definition der Laplace-Transformation gemäß Gl. (3.1) gilt

j

0 0

( ) = ( ) e = ( )est t tF s f t d t f t e d t7 �

� � ��

Ein Vergleich mit der Definition der Spektralfunktion durch Gl. (2.7) zeigt, dass die Laplace-Transformierte F(s) der Zeitfunktion )( tf Spektralfunktion (Fouriertransformierte) einer ande-

ren Zeitfunktion ttftg 7�� e)()( ist. Mit dem Fourierintegral (Gl. (2.9)) erhält man

= e)( ttf 7�

�21 �� dsF t�

�

je)(

Multipliziert man diese Gleichung mit dem bezüglich der Integrationsvariablen � konstantem

Faktor t7e , so ergibt sich

�

-

= e)(2�1=)( ��7 desFtf tjt �

�

�dsF tse)(�2

1

Da bei dieser Integration nur � variabel, 877 5� 0 konstant ist, also einen in der Konver-genzhalbebene liegenden festen Wert annimmt, folgt mit

1jj

ds d d ds� �� + �

schließlich Gl. (3.2). Zu einer vorgegebenen Originalfunktion )( tf liefert die durch Gl. (3.1) definierte Laplace-Transformation, die Konvergenz des Laplace-Integrals vorausgesetzt, ein-deutig eine Bildfunktion F(s). Es ist aber auch von Interesse, ob die durch Gl. (3.2) beschrie-bene inverse Laplace-Transformation ebenfalls eindeutig ist. Nun haben aber etwa die im Bild 3.2 dargestellten Zeitfunktionen

��

sec 2= für 3sec 2 für

= )( und = )( 21 ttt

tfttf

die gleiche Bildfunktion 20

20

11 e)( = e)()(s

dttfdttfsF stst ��

�

�


*

0 0

tt

f2(t)f1(t)

2

32

2

Bild 3.2 Zeitfunktionen )(1 tf und )(2 tf , die sich für die Zeit t = 2 sec in ihren Funktionswerten unterscheiden

Die Zeitfunktionen )(1 tf und )(2 tf besitzen die gleiche Bildfunktion F(s). Sie unterscheiden sich nur durch eine Nullfunktion. Eine Nullfunktion N(t) ist eine Funktion, für die

� �t

tdN0

0> e Zeitpunktallefür 0)( 99

ist. Unterscheiden sich Zeitfunktionen nur um Nullfunktionen, so werden ihnen durch die Laplace-Transformation gleiche Bildfunktionen zugeordnet. Die durch die komplexe Um-kehrformel beschriebene inverse Laplace-Transformation liefert daher eine Zeitfunktion, die sich höchstens um eine Nullfunktion von der Originalfunktion unterscheiden kann. Wir erhalten somit den folgenden Eindeutigkeitssatz: Satz 3.2

Stimmen die Bildfunktionen zweier Originalfunktionen in einer Halbebene 85sRe überein, so unterscheiden sich die Originalfunktionen höchstens um eine Nullfunktion.

Beschränken wir uns auf stetige Originalfunktionen, so erhält der Eindeutigkeitssatz die folgende Form:

Satz 3.3 Stimmen die Bildfunktionen zweier stetiger Originalfunktionen in einer Halbebene Re s > 8 überein, so sind die Originalfunktionen identisch.

0

�

78

� j07

� j07

07

Bild 3.3 Integrationsweg W

Zur Berechnung der Originalfunktion )( tf aus einer gegebenen Bildfunktion F(s) mit der komplexen Um-kehrformel

dssFtf st�7

�7�

j+

j

0

0

e)( j2

1=)(

ist als Integrationsweg W in der komplexen s-Ebene eine in der Konvergenzhalbebene liegende Parallele zur imaginären Achse zu wählen.

3.2 Inverse Laplace-Transformation 31 Zur inversen Laplace-Transformation mit Hilfe der komplexen Umkehrformel ist die Kenntnis einiger Sätze der Analysis komplexwertiger Funktionen notwendig. Diese Sätze der Funkti-onentheorie sollen im Folgenden ohne Beweis angegeben werden.

Definition 3.3

a) Eine Vorschrift, die jedem Element z = x + jy eines Gebietes der z-Ebene eine komplexe Zahl w = u + jv zuordnet, heißt Funktion w = f(z) der komplexen Variab-len z.

b) Eine Funktion w = f(z) heißt in einem Punkt z0 regulär oder holomorph, wenn sie in jedem Punkt z einer Umgebung von z0 differenzierbar ist, d.h., die Ableitung

zzfzzfzf

z ��

��

)( ) + ( lim = )(0

existiert.

c) Eine Funktion w = f(z) heißt in einem Gebiet G der komplexen z-Ebene holo-morph oder regulär, wenn sie an jeder Stelle des Gebietes G differenzierbar ist.

d) Stellen, an denen eine Funktion w = f(z) nicht regulär ist, heißen singuläre Stellen. Zur inversen Laplace-Transformation mit dem komplexen Umkehrintegral sind insbesondere einige Integralsätze der komplexen Analysis wichtig. Die wichtigsten Integralsätze sollen im Folgenden ohne Beweis angeführt werden.

Satz 3.4

Ist die Funktion w = f(z) in einem einfach zusammenhängenden Gebiet, das ist ein Gebiet, das durch eine einfache Kurve abgeschlossen werden kann, holomorph, so gilt der folgende Integralsatz von Cauchy:

( ) 0W

f z dz �� (3.3)

wenn W ein beliebiger, in G liegender, einfach geschlossener Weg ist. Dieser Satz ist äqui-valent mit der Aussage, dass das bestimmte Integral

2

1

( )z

z

f z dz�

einen vom Integrationsweg von 1z nach 2z unabhängigen Wert hat.

Der Integralsatz von Cauchy wird auch als Hauptsatz der Funktionentheorie (Theorie der komplexwertigen Funktionen) bezeichnet. Wesentlich ist die Beschränkung auf ein einfach zusammenhängendes Gebiet, in dem die Funktion f(z) holomorph ist. Umfasst der geschlossene Weg W singuläre Stellen von f(z), so hat das Umlaufsintegral im Allgemeinen einen von Null verschiedenen Wert (Satz 3.7).

32 3 Laplace - Transformation Satz 3.5

Unter den gleichen Voraussetzungen wie beim Integralsatz von Cauchy (Satz 3.4) gelten die folgenden Integralformeln von Cauchy

00

1 ( )( )2�j

W

f zf z dzz z

��

(3.4)

( )0 1

o

! ( )( )2�j ( )

nn

W

n f zf z dz nz z �

� !�� (3.5)

<

x

.

W G

0

y

z0

Bild 3.4 Integrationsweg W

Die Integralformeln von Cauchy machen die bemerkenswerte Aussage, dass die Funktionswerte und die Wer-te der Ableitungen einer regulären Funktion im Inneren einer geschlos-senen Kurve W durch die Werte der Funktion auf dieser Kurve bestimmt sind.

Ist die komplexwertige Funktion f(z) in einem Gebiet G der komplexen Ebene regulär, d.h. überall differenzierbar, so folgt aus Gl. (3.5), dass sie dort beliebig oft differenzierbar ist. Ähnlich, wie in der reellen Analysis, kann auch eine Funktion f(z) einer komplexen Variablen z an einer Stelle z = z0 in eine Potenzreihe entwickelt werden.

Dabei gilt der folgende Satz: Satz 3.6

Die durch die Laurent-Reihe

n

nn zzczf )()( 0��

��

mit den komplexen Koeffizienten

1o

1 ( )2�j ( )

n nW

f zc dzz z �

��

(3.6)

(3.7)

dargestellte Funktion f(z) konvergiert, wenn überhaupt, stets in einem Kreisringgebiet und stellt dort eine reguläre Funktion dar. Jede in einem Kreisringgebiet reguläre Funktion f(z) kann in eine Laurent-Reihe entwickelt werden

3.2 Inverse Laplace-Transformation 33 Bei der Reihenentwicklung einer Funktion f(z) können die folgenden Fälle unterschieden wer-den: 1. Die Reihe beginnt mit einem Glied, das einen positiven Index hat, d.h., es gilt ��

��

�2

021

010 )()()() mm

mm

mm zzczzczzcz(f

Die Funktion f(z) hat dann an der Stelle z = z0 eine m-fache Nullstelle. f(z) ist an der Stelle z0 regulär.

2. Die Reihe beginnt mit einem Glied, das einen negativen Index hat.

�� )()()(

+ )(

)( 202010

0

1

0��

��

�� zzczzcc

zzc

zz

czf

nn

Die an der Stelle z = z0 vorliegende Singularität heißt Pol n-ter Ordnung. Die Funktion (z � z0)n f(z) ist für z = z0 regulär.

3. Besitzt die Reihe kein erstes Glied, so hat die durch die Laurent-Reihe dargestellte Funktion f(z) an der Stelle z0 einen Pol "unendlich hoher Ordnung". Die Stelle z = z0 ist eine wesentlich singuläre Stelle. So ist z.B. die Funktion

��

z!1+

!31

!2111 = e 32

1�� kkzzz

z

an der Stelle z = 0 wesentlich singulär.

Wir betrachten nun Funktionen f(z), die bis auf endlich viele isolierte Pole regulär sind. An der Stelle z = z0 sei ein Pol n-ter Ordnung und wir wollen das Umlaufintegral (Integral längs eines einfach geschlossenen Weges)

( )W

f z dz��

berechnen, wobei der Integrationsweg W ein im positiven Sinn durchlaufener, geschlossener Weg um die Polstelle z0 ist. Die Funktion f(z) sei bis auf diese Polstelle im Inneren und auf dem Weg W regulär. Für f(z) gibt es dann die Laurent - Reihe:

�� )()()(

+ )(

)( 202010

0

1

0��

��

�� zzczzcc

zzc

zz

czf

nn

Mit dieser Reihendarstellung folgt für das gesuchte Integral

1 0 1 000

1 1( ) ( )( )

n nnW W W W W

f z dz c dz c dz c dz c z z dzz zz z

�� (3.8)

Setzt man in die Gleichungen (3.4) und (3.5) die überall reguläre Funktion f(z) = 1 ein, so erhält man


0

2� j für n = 11 0 für n 1( )n

W

dzz z

��

(3.9)

Gl. (3.8) geht damit über in

1 11( ) 2�j bzw. ( )

2�jW W

f z dz c c f z dz� ��

(3.10)

Nach Satz 3.3 haben die Integrale

20 0, ( ) , ( ) ,

W W W

dz z z dz z z dz� ��

alle den Wert Null. Von Gl. (3.8) ist also nur Gl. (3.10) "übrig geblieben". Man nennt daher den Koeffizienten c�1 das "Residuum" der Funktion f(z) an der Stelle z = z0. Definition 3.4

Unter dem Residuum der Funktion f(z) an der Stelle z = z0 versteht man

2 30

11Res ( ) ( )

2� j nW

z zf z f z dz c ��

� ��

(3.11)

Der Integrationsweg W ist dabei ein geschlossener, im positiven Sinn durchlaufener Weg um die Polstelle bei z = z0

Ist z0 eine Stelle, an der die Funktion f(z) regulär ist, so folgt aus dem Integralsatz von Cauchy, dass das Residuum der Funktion f(z) in einem solchen Holomorphiepunkt den Wert Null hat.

Wir können nun den für die Integration im Komplexen so wichtigen Residuensatz angeben.

Satz 3.7

Umfasst der im positiven Umlaufssinn geschlossene Integrationsweg W die isolierten Pole nz,,z,z �21 , so gilt der folgende Residuensatz

2 31

1 ( ) Res ( )2� j k

n

kWz z

f z dz f z� �

��

(3.12)

Zur Berechnung der Residuen einer Funktion kann man nach Gl. (3.11) das Residuum der Funktion f(z) an der Stelle z0 durch den Koeffizienten c�1 der Laurent-Reihenentwicklung an der Stelle z0 angeben. Dazu muss aber die Reihenentwicklung zuerst durchgeführt werden. Einfacher wird daher in vielen Fällen der folgende Weg sein, die Residuen einer Funktion zu bestimmen.


Satz 3.8

Es sei die Stelle z = z0 eine einfache Polstelle der Funktion f(z). Dann gilt für das Residuum der Funktion an dieser einfachen Polstelle z0

2 3 � �0 0

0)(( = )( Res z = zz = z

zf)zzzf � (3.13)

b) An der Stelle z = z0 sei ein n-facher Pol der Funktion f(z). Dann gilt

2 3 2 30

0

1

01 = z

1Res ( ) = ( ) ( )( 1)!

nn

nzz = z

df z z z f zn dz

�

�

��

� � �� ( 3.14)

Beweis 1. An der Stelle 0zz � sei ein einfacher Pol der Funktion. Für die Laurent-Reihe gilt dann

� + )(c + )( + + = )( 202010

01 zzzzcczz

czf ��

��

Die Funktion

� + )(c + )( + )(+ = )()( 302

2010010 zzzzczz cczfzz ��

ist an der Stelle 0z regulär. Setzt man für z den Wert zo ein, so erhält man die zu bewei-sende Aussage. Da der Ausdruck )()( 0 zfzz � für 0zz � unbestimmt von der Form 0 : ist, bedeutet dies genauer ausgedrückt

= )()(lim 100

��

� czfzzzz

2. An der Stelle z = z0 sei ein n-facher Pol. Die für zo reguläre Funktion )()( 0 zfzz n� hat die Reihendarstellung

�� +)(+ )( ++ )( + = )()( 001

0101nn0nnn zz czzczzcczfzz ��

��

Durch (n � 1)-maliges Differenzieren erhält man

) *2 3 ) * ) *1

0 1 0 01

0

( ) 1 ! ! Glieder mit höheren

Potenzen von

nn

nd z z f z n c n c z zdz

z z

�

��

�

Setzt man in die letzte Gleichung für z den Wert z0 ein, so erhält man die zu beweisende Aussage.

2 3 2 30

0 01

1

1z =

)()(!)1(

1 = = )( Resz = z

nn

n

zzfzz

dzd

nczf

��

�

��

�

� �

�

�


Beispiel 3.2 Man bestimme für die Funktion 2)1(1)(�

�zz

zf die Residuen an den

Polstellen. Die Stelle z = 0 ist eine einfache Polstelle der Funktion und man erhält mit Gl. (3.13)

2 3 � � 1 = 1)(

1 = )( = )( Res0

20= 0 = ��

�

��

� zzz z

zfzzf

Die gegebene Funktion f(z) hat an der Stelle z = 1 einen Pol 2. Ordnung. Gl. (3.14) liefert

2 3 1 = 1 = 11!1 = )( Res

1=z 2

1=z 1 = ��

��

��

��

0/.

��

zzdzdzf

z

Wir wollen nun den Residuensatz verwenden, um die inverse Laplace-Transformation mit Hilfe der komplexen Umkehrformel nach Gl. (3.2) vorzunehmen. Es soll hier nur an einigen Beispielen gezeigt werden, wie auf diese Weise aus einer gegebe-nen Bildfunktion F(s) die Originalfunktion )( tf berechnet werden kann. Das für die Anwen-dungen geeignetere Verfahren besteht in der Verwendung von Transformationsregeln und Korrespondenzen, die im nächsten Abschnitt besprochen werden.

Satz 3.9 Inverse Laplace-Transformation mit Hilfe des Residuensatzes

Die Bildfunktion F(s) einer Originalfunktion )( tf habe die endlich vielen isolierten Pole s1, s2, ... , sn und es sei ferner 0. = )( lim

sF

s � Dann gilt:

2 3�n

tss = s

sFtfk1=k

)e( Res = )(

(3.15)

Beweis:

Zum Beweis wählen wir als Integrationsweg den in der komplexen s - Ebene liegenden Weg

W = W1 + W2

der alle Polstellen der Funktion F(s) und damit auch alle Pole von F(s)est umfasst, da der Faktor est selbst im Endlichen keine Pole besitzt.

R W1W2

j

0

�

78

�o

�o

Bild 3.5 Integrationsweg

Mit dem Residuensatz erhält man


2 30

0 2 1

�+j�

� j�

1 1 1( )e ( )e ( )e Res ( )2� j 2� j 2� j k

n

kW

st st stz z

WF s ds F s ds F s ds f z

� ��

� � ��

(3.16)

Im Grenzfall �o � und damit auch R � gilt

��2w

0 = e)( dssFlim st

R.

Es gilt 0)( ��

sFlims

, da der Betrag des Faktors ttst �7 jeee � auf dem Weg W2 wegen

077 � beschränkt bleibt. Im Grenzfall 0� � geht Gl.(3.16) in die komplexe Umkehrformel (Gl. (3.2)) über und wir erhalten damit die Aussage von Satz 3.9.

Beispiel 3.3 Gegeben ist die Bildfunktion .as

sF�1 = )(

Es soll die zugehörige Originalfunktion )( tf bestimmt werden.

Die Bildfunktion F(s) hat an der Stelle s = a einen einfachen Pol. Die Voraussetzung von Gl. (3.16), nämlich 0 = )( lim

ssF

� ist hier erfüllt und wir erhalten

daher mit Gl. (3.15)

2 3 2 3 2 3( ) = Res ( )e = ( ) ( )e = e = est st st ats a s as = a

f t F s s a F s� �

�

Wir haben damit ein Paar von Funktionen gefunden, die sich bezüglich der Laplace-Transformation entsprechen.

Der Zeitfunktion attf e)( � entspricht die Laplace-Transformierte

.as

sF�1 = )(

Beispiel 3.4 Gegeben ist die Laplace-Transformierte 2

1 = )(s

sF .

Es soll die zugehörige Originalfunktion )( tf bestimmt werden. Die Bildfunktion hat an der Stelle s = 0 einen zweifachen Pol. Da die Voraussetzung

0 = )( lim

sFs �

erfüllt ist, erhält man mit Gl. (3.14)

2 3 2 =0 =0 =0 = 0

( ) = Res ( )e = ( )e = e = e = st st st sts s ss

d df t F s s F s t tds ds

� � ��

38 3 Laplace - Transformation Beispiel 3.5 a) Man berechne die Originalfunktion )( tf zur Bildfunktion

.s

sF1

1 = )( 2 �

Die Bildfunktion (Laplace-Transformierte) j)(j)(

1 = 1

1 = )(2 �� sss

sF

hat an den Stellen s1 = j und s2 = � j einen einfachen Pol. Die Voraussetzungen für die Anwendbarkeit von Gl. (3.15) sind gegeben. Mit Gl. (3.13) er-halten wir

= j = jj j

j j j j

e e e e( ) = Res + Res = ( j)( j) ( j)( j) j j

1 1 1 = e e = e e = sin( )2j 2j 2j

st st st st

s ss s

t t t t

f ts s s s s s

t

��

� �

� . � . � � �� / � /� � � � � �� 0 � 0 � �

��

21( ) ( ) sin( )

1F s f t t

s� ; �

�

Die Funktionen 1

1 )( 2 ��

ssF und ( ) sin( )f t t� bilden ein Paar von einander bezüglich der

Laplace-Transformation "entsprechenden" Funktionen. b) Man berechne die Originalfunktion )( tf zur Bildfunktion

2( ) = .1

sF ss �

Analog zu Aufgabe 3.5 a erhält man

= j = jj j

j j j j

e e e e( ) = Res + Res = ( j)( j) ( j)( j) j j

j j 1 = e + e = e +e = cos( )2j 2j 2

st st st st

s ss s

t t t t

s s s sf ts s s s s s

t

��

� �

� . � . � � �� / � /� � � � � �� 0 � 0 � �

� ��

2( ) ( ) cos( )1

sF s f t ts

� ; ��

In gleicher Weise lassen sich die folgenden Verallgemeinerungen zeigen

2 2( ) ( ) sin( )F s f t ts

� ��

� ; ��

2 2( ) ( ) cos( )sF s f t ts

��

� ; ��


Aufgaben zum Abschnitt 3.2 (Ergebnisse im Anhang)

Aufgabe 3.1

a) Es soll das Umlaufsintegral 1

2W

dzz ��

berechnet werden, wobei als Integrationsweg W ein Kreis vom Radius r um die Polstelle z = 2 zu wählen ist. Hinweis: Auf dem Kreis gilt

�je = 2 rz �

r

20x

y

�

W <

Bild 3.6 Integrationsweg

b) Berechnen Sie an der Polstelle z = 2 das Residuum der Funktion

2

1)(�

�z

zf .

Aufgabe 3.2 Man berechne an ihren Polstellen die Residuen der Funktion

31( ) =

( + 1)( 1)f z

z z �.

Aufgabe 3.3 Man berechne zu den folgenden Bildfunktionen die zugehörigen Original-funktionen )( tf

)2)(1(1 = )( a)

�� sssF 3)1(

12 = )( b)�

�

sssF

11 = )( c) 2 �s

sF 4

3

)3( = )( d)

�sssF

22 )1(1 = )( e)�ss

sF )1)(1(

5 = )( f) 2 ��

�

ssssF

Aufgabe 3.4 Gegeben ist die Bildfunktion ns

sF 1 = )( mit n!� .

Es soll die zugehörige Originalfunktion )( tf bestimmt werden.

Aufgabe 3.5 Zur Bildfunktion

2222 j)(j)(1 =

)1(1 = )(

�� ssssF

soll die entsprechende Zeitfunktion )( tf berechnet werden.

Aufgabe 3.6 Gegeben ist die Bildfunktion

.s

ssF16

= )( 4 �

Man berechne mit der komplexen Umkehrformel ihre Originalfunkti-on )( tf .


3.3 Transformationsregeln Die Durchführung der Laplace-Transformation mit der Definitionsgleichung

�

�

0

e)( = )( dttfsF ts

(3.1)

und insbesondere auch die der inversen Laplace-Transformation mit der komplexen Umkehr-formel

dssFtf st�7

�7�

j+

j

0

0

e)( j2

1 = )(

(3.2)

ist für die Anwendungen der Laplace-Transformation in der Technik im Allgemeinen zu kom-pliziert. Im Abschn. 3.2 haben wir die Berechnung des komplexen Umkehrintegrals mit Methoden der komplexen Analysis kennen gelernt. Die Verwendung dieser "Residuenmethode" soll daher hier nicht zum Prinzip der inversen Laplace-Transformation gemacht werden.

Um sowohl die Laplace-Transformation, als auch die inverse Laplace-Transformation etwas einfacher durchführen zu können, werden wir Transformationsregeln herleiten.

Eine ähnliche Situation besteht auch in der Analysis. Dort werden die Ableitung einer Funkti-on als Grenzwert eines Differenzenquotienten, das bestimmte Integral als Grenzwert einer Summe definiert, für praktische Rechnungen aber macht man von den wesentlich einfacheren Differentiations- bzw. Integrationsregeln Gebrauch. Ähnlich wollen wir auch hier vorgehen. Auf die Verwendung von umfangreichen Korrespondenztabellen soll zunächst verzichtet wer-den. Wir werden erkennen, dass neben den Transformationsregeln nur wenige Grundkorres-pondenzen für sehr viele Anwendungen genügen. Wir werden auch folgende Schreibweise verwenden.

2 3( ) ( )F s f t� L F(s) ist die Laplace-Transformierte der Funktion )( tf ,

f(t) = L �1{ F(s) } ( )f t entsteht durch inverse Laplace-Transformation aus der Bildfunktion F(s),

Da die Funktionen )( tf und ihre Laplace-Transformierte F(s) sich bezüglich der Laplace-Transformation "entsprechen", wird der zwischen ihnen vorhandene Zusammenhang nach DIN 5487 symbolisch durch ein "Korrespondenzzeichen" ausgedrückt. Als Korrespondenzzeichen verwendet man ��< bzw. <�� . Der ausgefüllte (schwarze) kleine Kreis steht dabei immer auf der Seite der Bildfunktion F(s).

)()( tfsF ��< bedeutet, F(s) ist die Laplace-Transformierte von )( tf bzw. )( tf ist die Originalfunktion zu F(s).

3.3 Transformationsregeln 41 Jede Korrespondenz kann von rechts nach links, aber auch von links nach rechts gelesen wer-den. So bedeutet die Korrespondenz

21s

t <��

Der Zeitfunktion ttf �)( entspricht die Bildfunktion 21)(s

sF � und der Bildfunktion

21)(s

sF � entspricht im Zeitbereich die Funktion ttf �)( .

3.3.1 Laplace-Transformierte elementarer Zeitfunktionen a) Laplace-Transformierte der Sprungfunktion

0

1

t

)(t4

Die Sprungfunktion (Einheitssprung) 4(t) ist definiert durch

��

0 > für 1 0 < für 0

= )(tt

t4

Bild 3.7 Sprungfunktion )( t4

Für die Zeit t = 0 ist durch diese Definition keine Aussage über die Sprungfunktion gemacht. Die Sprungfunktion tritt insbesondere bei den Anwendungen der Laplace-Transformation in der Elektrotechnik häufig auf. Sie beschreibt etwa einen idealisierten Einschaltvorgang einer Gleichspannung von 1 V zum Schaltzeitpunkt t = 0. Zur Bestimmung der Laplace-Transformierten F(s) der Sprungfunktion benützen wir die Defi-nitionsgleichung der Laplace-Transformation und erhalten

L 2 3

0 0

e 1( ) = e = =st

stt dts s

4

��

� ��

�

Zur Konvergenz des Integrals wird vorausgesetzt, dass für den Grenzwert gilt:

0 =e elim = elim j

ttt

stt

�7 ��

��

Dies ist der Fall, wenn Re s = 7 > 0 gewählt wird. Für die Zeitfunktion ( ) ( )f t t4� konvergiert das Laplace-Integral in der durch Re ( ) 0s 5 bestimmten Halbebene. Das dadurch definierte Gebiet der komplexen s-Ebene, heißt Konvergenzhalbebene.


0

j

Konvergenzhalbebene

�

7

Bild 3.8 Konvergenzhalbebene

Die komplexwertige Funktion

ssF 1)( �

ist als für alle s � 0 definiert. ( )F s ist aber nur in der Konvergenzhalbebene Re ( ) 0s 5 Laplace-Transformierte der Sprungfunktion

( ) ( )f t t4� .

Wir erhalten damit die folgende Korrespondenz:

1( ) ts

4 <�� (3.17)

b) Laplace Transformierte der Exponentialfunktion

Es soll die Laplace-Transformierte der Exponentialfunktion attf e = )( bestimmt werden, wo-bei a eine beliebige komplexe Zahl sein kann. Zur Berechnung der Laplace-Transformierten verwenden wir die Definitionsgleichung und erhalten

L 2 3

( )( )

0 0 0

e 1e = e e ( )

s a ta t a t s t s a te dt dt

s a s a

� ��

� � ��

� �

Zur Konvergenz des Laplace-Integrals muss vorausgesetzt werden, dass der Grenzwert

07

j

Konvergenz-halbebene

�

Re a

7

Bild 3.9 Konvergenzhalbebene

0 = elim )(

tast

��

ist. Diese Bedingung ist für 0Re)(Re 5�� aas 7

erfüllt.

Zur Zeitfunktion tatf e = )( existiert in der durch aRe57 definierten Konvergenz-halbebene eine Laplace-Transformierte.

Es gilt daher die Korrespondenz

1e ats a�

<�� (3.18)

Der Zeitfunktion tatf e = )( entspricht die Laplace-Transformierte 1( )F ss a

��

, bzw. f(t)

erhält man durch inverse Laplace-Transformation aus F(s).

3.3 Transformationsregeln 43 c) Laplace-Transformierte der Potenzfunktion

Als Laplace-Transformierte der Potenzfunktion f(t) nt� , wobei der Exponent n zunächst eine natürliche Zahl sein soll, erhält man mit der Definitionsgleichung der Laplace-Transformation durch eine partielle Integration mit

svt = nutu

tstsnn

�+��+

�� e = v e = und = 1

und damit

2 3 1 1

0 0 00

n stn n st n st n stt e n nt t e dt t e dt t e dt

s s s

��

� ��

� � �

L = = + =

Zur Konvergenz des Integrals muss 0 = elim

stnt

t ��

angenommen werden. Da die Exponenti-

alfunktion gegenüber der Potenzfunktion überwiegt, ist dies für Re s = 7 > 0 der Fall.

Dadurch ist die Konvergenzhalbebene (7 > 0) bestimmt, in welcher die Bildfunktion F(s) der

Zeitfunktion nttf �)( existiert. Unter dieser Voraussetzung erhalten wir durch wiederholte partielle Integration

2 3ntL 1 2

0 0 0

1n st n st n stn n nt e dt t e dt t e dts s s

� � � � ��

� � � ��

100

1 2 2 1 1 2 2 1 e !est

stn

n n n n n n ndts s s s s s s s s s s s

��

�

��

��

Als Ergebnis erhalten wir die Korrespondenz

1!

sn

n +nt n!<� �� (3.19)

Wir wollen nun auch die Laplace-Transformierte der allgemeineren Potenzfunktion rf t t( ) =

bestimmen, wobei r hier eine beliebige reelle Zahl sei, die der Bedingung r > �1 genügt. Diese Einschränkung auf reelle Zahlen r > �1 ist für unsere Zwecke ausreichend. Für 1r � � kon-vergiert das Integral, welches die Gammafunktion definiert (Gl. 3.21) an der unteren Integrati-onsgrenze nicht immer. Auf die Gammafunktion (einer reellen Variablen) soll hier nicht näher eingegangen werden.

Zur Berechnung der Laplace-Transformierten von rttf = )( führen wir u = st als neue In-tegrationsvariable ein. Damit erhalten wir

( +1)

0 0 0

1( ) = e = = er

r st u r r ur

uF s t dt e du s u duss

� � � �� (3.20)

44 3 Laplace - Transformation Unter Verwendung der Gammafunktion, die durch das Integral

1

0( ) = ex tx t d t

� �= �

(3.21)

mit einem reellen Parameter t definiert ist, folgt aus Gl. (3.20)

2 3 ( 1) ( 1)r rt s r� �� = �L und wir erhalten die Korrespondenz

1( 1) r

r rts �

= �<�� (3.22)

Zahlenwerte der Gammafunktion findet man in mathematischen Tabellenwerken. Ausgehend von der Definitionsgleichung der Gammafunktion erhält man durch partielle Integ-ration mit

1 2(x 1) und ex x t tu t u t v e v� � � �� + � � � + � �

1 1 2 20

0 0 0

( ) = e = e + (x 1) e = (x 1)x t x t x t x tx t dt t t dt t e dt � � � � � � � � �= � � ��

Wir erhalten somit für die Gammafunktion die Rekursionsformel

( ) ( 1) ( 1)x x x= � � = � (3.23)

d.h. eine Formel, die es gestattet, bei einem bekannten Funktionswert, den Funktionswert für ein um 1 vergrößertes Argument zu berechnen.

So erhält man aus 0

(1) = e = 1t d t

�= � mit der Rekursionsformel

(2) 1 (1) 1 1! (3) 2 (2) 2! (4) 3 (3) 3!= � := � � = � := � = � := �

und schließlich durch fortgesetztes Anwenden der Rekursionsformel für natürliche Zahlen n

( 1) = ! ( )n n n= � !� (3.24)

Ist die reelle Zahl r in der Korrespondenz (3.22) im Sonderfall eine natürliche Zahl n, so geht mit Gl. (3.24) die Korrespondenz (3.22) in die Korrespondenz (3.19) über. Für die Anwendungen in der Elektrotechnik werden gelegentlich die Laplace-Transformierten der Zeitfunktionen

ttftf 1 = )( bzw. t = )( benötigt.

Ausgehend von 1 = 2

�( %=& #' $

folgt mit Gl. 3.23 3 = 2 2

�( %=& #' $

und man erhält die folgenden

Korrespondenzen

3.3 Transformationsregeln 45

st�<� 1 � (3.25)

und

sst

2 �<�� (3.26)

3.3.2 Additionssatz

Satz 3.10 Additionssatz

Gelten für i = 1, 2, 3, ... , n die Korrespondenzen

�

�<�0

e)( = )( )( dttfsFtf stiii � , so folgt

)( )(1 1

sFatfa i

n

i

n

iiii� �

� �

<��

(3.27)

Beweis: Es gilt mit der Definition der Laplace-Transformation

)( = e)( = e)( )(1 10 1 1 0

sFadttfadttfatfa i

n

i

n

ii

n

i

n

i

stii

stiiii� ��

� �

� �

��<�� ,

da das Integral einer Summe von Funktionen gleich ist der Summe der Integrale und die kon-stanten Faktoren ai jeweils vor die Integrale gesetzt werden können. Durch die Laplace-Transformation wird eine Linearkombination von Originalfunktionen )(tfi in die analoge Linearkombination von Bildfunktionen )(sFi abgebildet.

Eine Transformation mit dieser Eigenschaft heißt lineare Transformation. Insbesondere folgt aus der Linearität der Laplace-Transformation, dass dem a-fachen einer Originalfunktion )( tf auch das a-fache ihrer Bildfunktion F(s) entspricht.

( ) ( ) ( ) ( )f t F s a f t a F s; : :< <� ��

Dies hat zur Folge, dass eine Korrespondenz, die ja keineswegs eine Gleichung darstellt, wie eine Gleichung mit einem konstanten Faktor multipliziert werden darf. So kann z.B. die für n!� geltende Korrespondenz

11 1

!in ! n+

n

n+n

snt

sn t << ��

umgeformt werden.


Ersetzt man noch n durch n � 1, so erhält man die für die inverse Laplace-Transformation oft zweckmäßigere Aussageform

11 ( 1)!

n

ntns

�

�<�� (3.28)

Beispiel 3.6 Zur Originalfunktion 352 = )( 23 �� tttf soll die Bildfunktion F(s) bestimmt werden.

Mit dem Additionssatz erhält man

3

4 3 43! 2! 1 12 -10 3( ) 2 - 5 3 s sF s

ss s s�

� � �

Die additive Konstante 3 der Originalfunktion kann als 3 )(t4 interpretiert werden, da ja nur Zeitpunkte betrachtet werden, die größer als Null sind und für diese Zeitpunkte hat die Sprung-funktion den Wert 1. Beispiel 3.7 Man bestimme die Laplace-Transformierten der Zeitfunktionen

).cos( = )( und )sin( = )( 21 ttfttf ��

Aus den Euler'schen Gleichungen und

j

j

e = cos( ) + jsin( )

e = cos( ) jsin( )

t

t

t t

t t

�

�

� �

� ��

folgt durch Addition, bzw. Subtraktion der beiden Gleichungen

) * ) *tttt tt �� jj21jj

2j1 ee = )cos( und ee = )sin( ��

Die gesuchten Bildfunktionen erhalten wir dann mit dem Additionssatz

221 = j

1j

12j1 = )(

�

��

��

�

�� sss

sF

und

222 = j

1j

121 = )(

�ss

sssF

��

��

�

��

Damit ergeben sich die Korrespondenzen

2 2

2 2

sin ( )

cos ( )

ts

sts

��

��

�

�

<

<

�

�

�

�

(3.29)

(3.30)

3.3 Transformationsregeln 47 Beispiel 3.8 Man bestimme die Originalfunktion f(t) zu den folgenden Bildfunktionen

a) 16 8+3 = )( 2 �s

ssF und b) .s

sssF 3

2 835 = )( ��

a) Mit der Zerlegung der Bildfunktion 16 8+3 = )( 2 �s

ssF in die Teilbrüche

22222 442 +

43

1683)(

��

�

��

sss

sssF

erhält man unter Verwendung der Korrespondenzen (3.29) und (3.30)

)4sin(2)4cos(3)( tttf ��

b) Durch Zerlegen der Bildfunktion 3

2 835 = )(s

sssF �� in die Teilbrüche

32181315 = )(s

+ s

+ s

sF

und gliedweises Transformieren in den Zeitbereich erhält man die Originalfunktion 243 + 5 = )( tt + tf .

Entsprechend der Korrespondenz )( 1 ts

4��< gilt )(5 5 ts

4��< .

Da die Sprungfunktion für die hier nur betrachteten Zeitwerte 0t 5 den Wert 1 annimmt, kann anstelle von )(5 t4 auch einfach 5 geschrieben werden.

Aufgaben zum Abschnitt 3.3.2 (Ergebnisse im Anhang)

Aufgabe 3.7 Man berechne die Laplace-Transformierten F(s) zu den folgenden Zeit-funktionen

53 = )(a) 24 �� tttf tttf 32 e5e3 = )(b) ��

)cos(3)sin(2 = )(c) tttf � 2 2d) ( ) = 2 et

f t t�

�

)sinh( =)(e) tatf )cosh( = )(f) tatf

48 3 Laplace - Transformation Aufgabe 3.8 Zu den folgenden Bildfunktionen F(s) sollen die zugehörenden Original- funktionen )( tf bestimmt werden.

5

34 753 = )(a)s

ssssF �� 6 8b) ( ) =

5 2F s

s s�

� �

23

521 = )(c)

sssF �

�

135 = )(d) 2 �

�

sssF

94152 = )(e) 2 �

�

sssF

3.3.3 Verschiebungssatz Der Verschiebungssatz macht eine Aussage über die Laplace-Transformierte einer zeitlich verschobenen Originalfunktion.

Bild 3.10 Zeitfunktionen f(t) und f*(t)

So ist die Funktion

�

��

>

0

00

0

)( = )(

t < t

t > t tt ftf

gegenüber der zum Zeitpunkt t = 0 einsetzenden Zeitfunktion )( tf um das Zeitintervall t0 ver-schoben.

Wesentlich ist, dass die hier betrachtete Zeitfunktion )( tf > durch eine reine Verschiebung der zum Zeitpunkt t = 0 einsetzenden Funktion )( tf entstanden ist, die ja als eine kausale Zeit-funktion für Zeitpunkte t < 0 den Wert Null hat.

Diese erst ab dem Zeitpunkt t = t0 von Null verschiedene Funktion )( tf > kann auch durch

0 0( ) = ( ) ( )f t f t t t t4> � � ausgedrückt werden, da der Faktor )( 0tt �4 für Zeitpunkte t < t0 den Wert 0 und für Zeitpunkte t > t0 den Wert 1 hat.

Satz 3.11 Verschiebungssatz

Hat die zum Zeitpunkt t = 0 einsetzende Zeitfunktion ( )f t die Laplace-Transformierte F(s),

so ist die Laplace-Transformierte der zeitlich um t = t0 verschobenen Zeitfunktion )(tf >

gegeben durch 0e)( = )( stsFs*F � , d.h. es gilt:

00 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) e stf t F s f t t t t F s4 �+ � �< <� �� (3.31)

3.3 Transformationsregeln 49 Beweis:

Mit der Definitionsgleichung der Laplace-Transformation erhält man

L 2 3 2 3

0 0

0 00 0

( )*( ) = ( ) e = ( ) e t t

t t t sstf t f t t dt f t t dt

� � ��

Durch Einführen einer neuen Integrationsvariablen 0tt ��9 geht die untere Integrationsgren-ze 01t t� über in 01 �9 , während die obere Integrationsgrenze 2t � unverändert in 92 = übergeführt wird. Damit wird

2 3 2 30 0

0

*( ) ( ) ( )st stsf t e f e d e f t99 9

� �� L L

Eine Verschiebung einer Zeitfunktion )( tf mit der Laplace-Transformierten F(s) um ein Zeitintervall t0 hat im Bildbereich der Laplace-Transformation eine Multiplikation der Bild-funktion F(s) mit dem Faktor 0e st� zur Folge.

Bildfunktionen ( )F s mit einem derartigen Faktor 0e st� ergeben im Originalbereich Zeitfunk-tionen ( )f t , die erst zum Zeitpunkt 0t t� einsetzen und für Zeitpunkte 0t t� den Wert Null haben.

Da in den Anwendungen der Laplace-Transformation häufig Vorgänge betrachtet werden, die erst von einem Zeitpunkt t = t0 ab auftreten, findet dieser Satz oft Verwendung. Satz 3.12 Laplacetransformierte einer periodischen Zeitfunktion

Eine Zeitfunktion )( tf entstehe durch periodisches Fortsetzen der Funktion

��

Zeitpunkteübrigenallefür 0 0für definiert

= )(0Tt

tf

Dann gilt

00 0

( )( ) ( ) ( ) ( )

1 e T

F sf t F s f t F

ss+

�< < �

�� (3.32)

0 0

t t

T 2TT 3T

0 ( )f t ( )f t

Bild 3.11 Zeitfunktion f0(t) und periodische Funktion f(t)

50 3 Laplace - Transformation Beweis: Für die periodische Zeitfunktion )( tf gilt

� + )2()2( +)()( + )( = )( 000 TtTtfTtTtftftf �� 44

Bei bekannter Korrespondenz )()( 00 sFtf <�� erhält man mit dem Verschiebungssatz

2 20 0( ) = ( ) 1 e e ( ) 1 e (e )sT sT sT sTF s F s F s� � � � � ��

Der Ausdruck in der eckigen Klammer ist eine unendliche geometrische Reihe mit dem Fak-tor sTq �e = . Die unendliche Reihe konvergiert wegen

1 < ee = e = tjtsTq �7 ��

für 7 > 0, eine Bedingung, die in der Konvergenzhalbebene der Sprungfunktion (7 > 0), er-füllt ist. Mit der Summenformel der konvergenten unendlichen geometrischen Reihe

2 3

0

1 = 1 + 1

k

kS q + q + q + = q

q

�

��

ergibt sich schließlich für die Laplace-Transformierte der periodischen Zeitfunktion f(t)

0 ( )( ) =

1 e sTF s

F s��

Beispiel 3.9 Gegeben ist die zum Zeitpunkt t = t0 einsetzende Sprungfunktion

��

00

0 für 1für 0 = )( t > t

t < ttt4

Es soll die zugehörige Bildfunktion F(s) bestimmt werden. 0

t

1

t0

)( tf

Bild 3.12 Funktionsverlauf )0()( tttf �� 4

Aus 1( )ts

4 �<� folgt mit dem Verschiebungssatz für die gesuchte Bildfunktion der zeit-

verschobenen Sprungfunktion

2 30

0( ) ( )steF s t ts

4�

� � = L

3.3 Transformationsregeln 51 Beispiel 3.10 Es soll die Laplace-Transformierte eines zum Zeitpunkt t = 0 einsetzenden Rechteckimpulses der Impulsdauer 9 und der Impulshöhe A bestimmt werden.

0

t

0

tA

99

a) b)

A)(tA4

)( 94 �� tA

)( tf )( tf

Bild 3.13 Rechteckimpuls (a) und Zerlegung des Impulses in zwei Teilfunktionen (b)

Entsprechend der Zerlegung des Rechteckimpulses in zwei Teilfunktionen nach Bild 3.13 erhält man für die Originalfunktion die Darstellung

� �)()()( 944 �� ttAtf

und durch Anwenden des Verschiebungssatzes die gesuchte Bildfunktion

( ) = 1 e sAF ss

9� ��

In diesem einfachen Beispiel kann die Bildfunktion F(s) auch durch das Laplace-Integral

00

( ) 1st

st se AF s Ae dt A es s

9 99

��

��

direkt berechnet werden. In weniger einfachen Fällen ist es vorteilhaft, mit Hilfe des Verschie-bungssatzes Integrationen zu vermeiden. Beispiel 3.11 Man bestimme die Laplace-Transformierte der Zeitfunktion

0

02( )

0

für 0 ( ) =

e für t t

A t tf t

A t > t� �

� ��

Die Zeitfunktion )( tf kann in einem zum Zeitpunkt t = 0 einsetzenden Rechteckimpuls der Impulsdauer t0 und einer zum Zeitpunkt t = t0 beginnenden Exponentialfunktion zer-legt werden (Bild 3.14).

0

t

A

( )f t

0t


Entsprechend dieser Zerlegung ergibt sich für die Zeitfunktion f(t) die Darstellung

02( )0 0( ) = ( ) ( ) + e ( )t tf t A t t t A t t4 4 4� ��

52 3 Laplace - Transformation und mit dem Verschiebungssatz die zugehörige Laplace-Transformierte

o o( ) = 1 e + e2

st stA AF ss s+

� � ��

Beispiel 3.12 Es soll die Laplace-Transformierte der Zeitfunktion

für 0 ( ) =

0 für >

A t tf t �

t

9

9

� � � � �

bestimmt werden.

Entsprechend der Zerlegung der Funktion )( tf in drei Teilfunktionen nach Bild 3.15 gilt

00

tt

99

A A

)( tf )( tf

A�

2 ( )f t

1( )f t

3( )f t

Bild 3.15 Zeitfunktion f(t) und ihre Zerlegung in Teilfunktionen

Damit erhält man für die Zeitfunktion )( tf folgende Darstellung

1 2 3( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )A Af t f t f t f t t t t t A t4 9 4 9 4 99 9

� � � � � � � � �

Durch Laplace-Transformation unter Verwendung des Verschiebungssatzes erhält man

2( ) = 1 e es sA AF sss

9 9

9� � ��

Beispiel 3.13 Gegeben ist die Bildfunktion3+

e = )(2

ssF

s�. Gesucht ist die zugehörige

Originalfunktion )( tf .

Aus der Korrespondenz ts

3e3

1 ��<�

� folgt mit dem Verschiebungssatz

)2(e =)(bzw. 2 < für 0 2 für e = )( )2(3)2(3

� �

��

ttft ttf tt

4

Es handelt sich also um eine ab dem Zeitpunkt t = 2 einsetzende, abklingende Exponential-funktion.

3.3 Transformationsregeln 53 Beispiel 3.14

Man bestimme die Laplace-Transformierte F(s) der im Bild 3.16 a dargestellten periodischen Zeitfunktion )( tf .

( )f t0 ( )f t

T T0 0

A� A�

A A

tt

Bild 3.16 a Periodische Zeitfunktion ( )f t Bild 3.16 b Zeitfunktion 0 ( )f t

Die Zeitfunktion 0 ( )f t kann mit Hilfe von 4 - Funktionen wie folgt dargestellt werden

0( ) ( ) 2 ( / 2) ( )f t A t A t T A t T4 4 4� � � � �

2 2 2/ /0 0( ) ( ) 1 2e e 1 esT sT sTA Af t F s

s s� � � � �� < � � � � ��

Mit Satz 3.12 folgt für die Laplace-Transformierte der T-periodischen Zeitfunktion

) * ) *2 2

2 2

2 2/ /

/ /

1 e 1 e( ) ( )

1 e 1 e 1 e

sT sT

sT sT sT

A As sf t F s

� �

� � �

� �� < � ��

�

2

2

1 e( )

1 e

T

T

s

s

AF ss

�

�

��

�


Aufgabe 3.9 Man bestimme die Bildfunktionen F(s) zu den folgenden Originalfunktionen

�

��

1 < für 0 1 für )1( = )(a)

2

t tttf

�

��

5

��

3 für 3

3 0für = )(b)

t

tttf

��

�� > für 0 für )sin(

= )(c)ttt

tf 0 1

d) ( ) 1 1 20 2

t tf t t

t

� �� 5�

1 0 1e) ( ) 2 1 2

0 2

tf t t t

t

� �� 5�

54 3 Laplace - Transformation Aufgabe 3.10

( )f t

t

A

01t 2t


Man berechne die Laplace-Transformierte F(s) eines Rechteckimpulses der Impulshöhe A, der zur Zeit t1 beginnt und zum Zeitpunkt t2 endet

Aufgabe 3.11 Man bestimme die Laplace-Transformierte F(s) der Zeitfunktion

( )f t

A

0 2

t

( 2)

für 22( ) =

e für > 2t

A t tf t

A t � �

� � � �

Der Verlauf dieser Zeitfunktion )(tf ist in Bild 3.18 dargestellt.


Aufgabe 3.12 Zur Bildfunktion 22)e(1 = )(

�

�

�

� �

ssF

sT mit der Kreisfrequenz 2

T��

soll die Originalfunktion ( )f t bestimmt werden.

Aufgabe 3.13 Es sollen die Originalfunktionen )( tf zu den folgenden Bildfunktionen bestimmt werden.

2

2ea) ( ) =

sF s

s

�

5

4eb) ( ) =

sF s

s

�

2

2ec) ( ) =

25

ssF ss

��

�

2

31 ed) ( ) =

sF s

s

��

1 1e) ( ) (1 e )2

sF ss s

�( %� � �& #�' $

46ef) ( )

( 2)

sF s

s

��

�

) *1 eg) ( ) 1 e2

ssF s

s s

��

� 2

21 1 1h) ( ) (1 e ) e

2s sF s

s ss� �( %� � � �& #�' $


3.3.4 Dirac'sche Deltafunktion Bevor wir uns mit weiteren Regeln der Laplace-Transformation beschäftigen, ist es zweckmä-ßig, eine spezielle Zeitfunktion, die Deltafunktion, zu betrachten, die insbesondere auch in den Anwendungen der Laplace-Transformation eine wichtige Rolle spielt. Die Deltafunktion wurde 1947 von dem britischen Physiker (Nobelpreisträger) Paul D i r a c durch die Eigenschaften

�

�

�

1 = )(

0allefür0 = )(

dtt

tt

6

6

(3.32)

(3.33)

eingeführt. Da diese Gleichungen die Deltafunktion nicht eindeutig definieren, verwendet man heute fol-gende Festlegung: Definition 3.5 Die durch die Eigenschaft

�

�

� )0()()( fdttft6

(3.34)

definierte Funktion 6(t), heißt Deltafunktion, wobei f(t) eine beliebige, an der Stelle t = 0 stetige Funktion ist.

Aus der Definitionsgleichung (3.34) folgen die ursprünglich von Dirac geforderten Eigen-schaften der Deltafunktion. So erhält man etwa Gl. (3.33) aus Gl. (3.34) durch Einsetzen der Zeitfunktion f(t) = 1.

Anschaulich gesehen, ergibt sich für die Deltafunktion an der Stelle t = 0 ein unendlich gro-ßer Funktionswert. Man findet daher auch die Angabe

0 für 0( )

für 0t

tt

6��

� � ��

Eine Funktion mit den Eigenschaften der Deltafunktion ist im Rahmen der klassischen Analy-sis nicht vorstellbar. Die Deltafunktion wurde daher vielfach als "Pseudofunktion" bezeichnet und fand erst in einer neuen mathematischen Disziplin als "Distribution" oder "verallgemeiner-te Funktion" eine Erklärung. Man kann eine Distribution oder verallgemeinerte Funktion als Grenzwert einer Folge von gewöhnlichen Funktionen definieren.

56 3 Laplace - Transformation Satz 3.13

Es sei 2 3)( tgn eine Folge von gewöhnlichen Funktionen mit der Eigenschaft

�

��

(0) = )()( lim

fdttftgnn

dann gilt

(3.35)

)( = )( lim

ttgnn

6�

(3.36)

Alle Funktionsfolgen von Bild 3.19 sind Folgen von kausalen Zeitfunktionen, die Gl. (3.35) erfüllen. In der Mathematik werden im allgemeinen Funktionsfolgen gewählt, die symme-trisch zu 0�t verlaufen. Wir wollen uns jedoch hier im Rahmen der Laplace-Transformation auf Folgen kausaler Zeitfunktionen beziehen.

0

n

tn1

)( tgn

0 t

n1

n2

)( tgnn

0 t

tnn �e

)( tgnn

Bild 3.19 Funktionsfolgen gn(t)

In Bild 3.19 sind einige einfache Folgen von kausalen Zeitfunktionen dargestellt, die im Grenzfall n � gegen eine Funktion mit den Eigenschaften der Deltafunktion konver-gieren. Es sind noch andere Funktionenfolgen denkbar. Es ist leicht nachprüfbar, dass jede dieser Folgen von Funktionen normiert ist, d.h. es gilt

( ) = 1 für alle .ng t dt n

�

!� �

Die Funktionenfolgen gn(t) sind physikalisch als Folgen von Impulsen der Impulsfläche 1 interpretierbar, die mit wachsenden n kürzer und höher werden. Die Deltafunktion beschreibt daher einen idealisierten Impuls der Impulsfläche 1, dessen Impulsdauer gegen Null geht. Sie heißt deshalb auch Impulsfunktion (Deltaimpuls) und wird graphisch durch einen Pfeil der Länge 1 ( Bild 3.20 ) dargestellt.


t

0

1t

1

0 t0

)( 0tt �6)( t6

Bild 3.20 Deltafunktion und zeitlich verschobene Deltafunktion

Für die zeitlich verschobene Deltafunktion )( 0tt �6 , d.h. für einen Deltaimpuls zum Zeit-punkt t = t0 gilt analog zu Gl. (3.34)

0 0( ) ( ) = ( )t t f t dt f t6

�

��

(Ausblendeigenschaft der Deltafunktion)

(3.37)

Da die Funktion )( 0tt �6 nur zum Zeitpunkt t = t0 von Null verschieden ist, gilt für das Pro-dukt einer Zeitfunktion )( tf mit der Deltafunktion )( 0tt �6

)()( = )()( 000 tttftttf �� 66 (3.38)

und insbesondere auch

)()0( = )()( tfttf 66 (3.39)

Als eine besonders einfache Folge von kausalen Zeitfunktionen, die gegen die Deltafunktion konvergieren, wollen wir eine Folge von Reckteckimpulsen betrachten, deren Impulsfläche stets 1 ist und deren Impulsdauer 9 gegen Null konvergiert. Wir erhalten damit für die Deltafunktion eine mögliche Darstellung der folgenden Form

99446

9

)()( lim = )(0

��

ttt

Mit dem Verschiebungssatz erhalten wir für die Laplace-Transformierte F(s) der Deltafunktion

( )f t

t

9

19

0

Bild 3.21 Rechteckimpuls

0 0

1 1 e 1 1 e( ) = lim = lims s

F ss s s

9 9

9 99 9

� �

� �

� ��

� ��

Da der letzte Ausdruck für 9 � 0 unbestimmt von der Form 00

wird, können nach der Regel

von L'Hospital Zähler und Nenner nach der Variablen 9 des Grenzübergangs differenziert und dann der Grenzübergang durchgeführt werden. Man erhält


0

1 e( ) = lim = 11

s�sF ss 9

�

�

Es ergibt sich damit die wichtige Korrespondenz

( ) 1t6 <�� (3.40)

Der Zeitfunktion ( ) ( )f t t6� entspricht im Bildbereich die Funktion ( ) 1F s � . Die in ihrer Definition etwas problematische Deltafunktion hat eine besonders einfache Laplace-Transformierte. Für die Funktion f(t) = )( 0tt �6 , einem Deltaimpuls zum Zeitpunkt t = t0, erhält man mit dem Verschiebungssatz die Korrespondenz

00( ) e stt t6 �� <�� (3.41)

Wir wollen nun einen Zusammenhang zwischen der Ableitung der Sprungfunktion und der Deltafunktion herleiten.

Die Funktion ( )f t von Bild 3.22 steigt im Zeitintervall von 0 bis 9 linear vom Funktionswert 0 auf den Wert 1 an und behält diesen Wert für t > 9 bei. Ihre Ableitung hat für 0 < t < 9 den Wert 1/9 . für t 95 den Wert Null. Die Ableitung ist nicht definiert für t 9� .

Im Grenzfall 9 � 0 geht die Funktion ( )f t in die Sprungfunktion ( )t4 und ihre Ableitung in die Deltafunktion über.

t

0 9t

0

6(t)

t

0

t

0

4(t)

1

1

1

91

)( tf

dttfd )(

9

0lim�9

0lim�9

Bild 3.22 Deltafunktion als verallgemeinerte Ableitung der Sprungfunktion

Für die Ableitung der Sprungfunktion gilt

�

��

0 = für definiert nicht

0 für 0 = )(

t

tdt

td4


Es kann daher die Deltafunktion nicht als die "übliche" Ableitung der Sprungfunktion )(t4 aufgefasst werden.

Man bezeichnet daher die Deltafunktion als verallgemeinerte Ableitung der Sprungfunkti-on und schreibt dafür

D ( ) = ( ),t t4 6 (3.42)

wobei D (Derivation) als Symbol für die verallgemeinerte Ableitung gewählt wurde. Die verallgemeinerte Ableitung stimmt an allen Stellen, an denen die Zeitfunktion ( )f t stetig ist mit der von der Analysis her bekannten "üblichen" Ableitung überein. An Unstetigkeitsstel-len, an denen diese Ableitung nicht definiert ist, spielt die Deltafunktion eine wesentliche Rol-le (s. Abschn. 3.3.12).

3.3.5 Dämpfungssatz Satz 3.14 Dämpfungssatz

Entspricht einer Zeitfunktion ( )f t die Laplace-Transformierte F(s), so entspricht der ge-

dämpften Zeitfunktion attf �e)( die Laplace-Transformierte F(s + a).

)( e)( )( )( s+aFtfsFtf at << �� + �� (3.43)

Beweis: Zum Beweis greifen wir auf die Definitionsgleichung der Laplace –Transformation zurück und erhalten

( )

0 0( ) e ( ) e e = ( )ea t at st s a tf t f t dt f t dt

� � � � �<� � ��

Das letzte Integral unterscheidet sich von der Laplace-Transformierten der Funktion )( tf , nämlich

�

�

0

e)( = )( dttfsF ts

nur dadurch, dass die komplexe Variable s durch s + a ersetzt ist.

Die Laplace-Transformierte der Zeitfunktion f(t)e�at unterscheidet sich von der Laplace-Transformierten der Funktion )( tf nur dadurch, dass die Variable s durch s + a ersetzt ist.


Wir hatten gesehen, dass eine Verschiebung um t0 im Zeitbereich einen Faktor 0e st� im Bild-bereich zur Folge hat (Verschiebungssatz). Umgekehrt bedingt ein Faktor ta�e bei der Zeitfunktion eine Verschiebung im Bildbereich. Der Dämpfungssatz wird daher auch als 2. Verschiebungssatz (Verschiebung im Bildbereich) bezeichnet. Die hier gewählte Bezeichnung "Dämpfungssatz" ist inhaltlich nur dann gerechtfertigt, wenn Re a > 0 ist, d.h. wenn der Faktor ta�e wirklich zeitlich abklingt. Bei den Anwendungen ist dies im Allgemeinen der Fall. Der Satz gilt aber auch für zeitlich ansteigende Faktoren ta�e bei Re a < 0. Beispiel 3.15 Es soll die Laplace-Transformierte der Zeitfunktion

)2sin(e = )( 3 ttf t�

bestimmt werden.

Aus der Korrespondenz 4

2 )2sin( 2 �<�

st � folgt mit dem Dämpfungssatz, indem man

wegen des zusätzlichen Faktors t3e� die Variable s durch s + 3 ersetzt

1362 =

43)+(2 )2sin(e 22

3��

<��

ssstt �

Beispiel 3.16 Gesucht ist die zu der verzögert einsetzenden Originalfunktion

)(e)5( = )( )(2 949 9 �� tttf t

gehörende Bildfunktion F(s).

Bild 3.23 Zeitfunktion

Gehen wir aus von der Korrespondenz

255s

t <�� .

Um die Laplace-Transformierte F(s) der gedämpften Zeitfunktion 0

2( ) 5 e tf t t �� zu erhalten, müssen wir mit dem Dämpfungssatz die Variable s durch s + 2 ersetzen

Wir finden damit die nachfolgende Korrespondenz

22

2)+(

5 e5s

t t <��

Die Funktion 02( ) 5 e tf t t �� beginnt schon zum Zeitpunkt t = 0.

3.3 Transformationsregeln 61 Die gegebene, verzögert einsetzende Zeitfunktion

2( )( ) = 5( )e ( )tf t t t99 4 9� ��

entsteht aus der Zeitfunktion 02( ) 5 e tf t t �� durch eine Verschiebung um das Zeitintervall9.

Mit dem Verschiebungssatz ergibt sich schließlich die gesuchte Bildfunktion

9ss

sF �e2)+(

5 = )( 2

Beispiel 3.17 Gegeben ist die Bildfunktion 102

5 = )( 2 �� ss+ssF .

Es soll die zugehörige Originalfunktion )( tf ermittelt werden.

Die Bildfunktion F(s) kann umgeformt werden in

22222 3)1(3

34

3)1(1

9)1(5 = )(

�� +s +

+s+s =

+s+ssF

Mit den bekannten Korrespondenzen

2222 )cos( und )sin(��

��

<< ��s

stas

t ��

Erhalten wir unter Beachtung des Dämpfungssatzes die gesuchte Zeitfunktion

ttttf ��

�� e)3sin(

34+)cos(3 = )(

Beispiel 3.18 Man bestimme die Originalfunktion ( )f t zur Bildfunktion

2)+(1 = )(as

sF .

Wir betrachten zunächst nur die Bildfunktion 0 21( ) = F ss

.

Aus der bekannten Korrespondenz

21 ts

<��

folgt unter Verwendung des Dämpfungssatzes für die gesuchte Zeitfunktion

( ) = e a tf t t � .

Die gegebene Bildfunktion 2)+(1 = )(as

sF unterscheidet sich von 0 21( ) = F ss

nur da-

durch, dass s durch s + a ersetzt ist. Dies hat im Zeitbereich den Dämpfungsfaktor e at� zur Folge.



Aufgabe 3.14 Man bestimme die Bildfunktionen F(s) zu den folgenden Zeitfunktionen

2 5a) ( ) = e tf t t � tttf 34 e = )(b)

)cos(e = )(c) ttf t �6� )cosh(e = )(d) 2 ttf t�

2)e+(1 = )(e) tttf � �

��

1für 0

1für )1sin(e = )(f)

)12(

t <

t ttf

t

Aufgabe 3.15 Man ermittle die Originalfunktionen f(t) zu den Bildfunktionen

121 = )(a) 2 �� ss

sF 84ss

1 = )(b) 2 ��sF

321 = )(c) 2 �� ss

s+sF

3)(

1 = )(d)as

sF�

3

2

)1(e)(e)�

��

ssF

s

52e = )(f) 2

3

��

�

sssF

s

2

3

)2(e1 = )(g)�

� �

ssF

s

23

)3( = )(h)

�ssF �

3.3.6. Partialbruchzerlegungen

Bei den Anwendungen der Laplace-Transformation sind die dabei auftretenden Bild-funktionen im Allgemeinen echt gebrochen rationale Funktionen

11 1 0

11 1 0

+ +( )( ) = = ( )( ) + +

n nn n

m mm m

a s a s a s aZ sF s n mN s b s b s b s b

��

��

� ��

� �

��

der Variablen s. Zähler Z(s) und Nenner N(s) sind ganze rationale Funktionen (Polynome) vom Grad n bzw. m, wobei bei einer echt gebrochen rationalen Funktion der Grad des Zählers kleiner ist als der Grad des Nenners. Die Koeffizienten ai und bk sind reelle Zahlen. Die inverse Laplace-Transformation, d.h. die Bestimmung der zugehörigen Originalfunktion

( )f t kann mit der im Abschnitt 3.2 behandelten Residuenmethode durchgeführt werden. Dazu müssen die Pole der Bildfunktion F(s) bekannt sein. Die Bestimmung der Pole [ Nullstellen des Nenners N(s)] führt zu der Aufgabe, die algebraische Gleichung m-ten Grades

01

1 1( ) = + + = 0m mm mN s b s b s b s b�

��

zu lösen. Zur Berechnung der Lösungen dieser algebraischen Gleichung m-ten Grades werden für m > 2 meist Näherungsverfahren verwendet, deren Durchführung mit den heutigen Re-chenhilfsmitteln im Allgemeinen unproblematisch ist.

3.3 Transformationsregeln 63 Sind die Nullstellen si des Nenners bekannt, so kann der Nenner in ein Produkt von Linearfak-toren zerlegt werden und man erhält für die Bildfunktion

1 2

( )( ) = ( )( ) ( )m m

Z sF sb s s s s s s� � ��

Eine außerordentlich wichtige Methode der inversen Laplace-Transformation besteht darin, die Bildfunktion F(s) in möglichst einfache Partialbrüche (Teilbrüche) zu zerlegen und diese unter Verwendung des Additionssatzes gliedweise in den Originalbereich zu transformieren. Je nach der Art der auftretenden Pole der Bildfunktion F(s) ergeben sich für die Partialbruch-zerlegung die folgenden Fälle.

a) Bildfunktion mit nur einfachen reellen Polen

Satz 3.15

Hat die echt gebrochen rationale Bildfunktion F(s) nur einfache reelle Pole s = sk (k = 1, 2, ..., m), so gilt folgende Partialbruchzerlegung

1 2

1 2( ) = k m

k m

A AA AF s + +s s s s s s s s

� � ��

� � (3.44)

Beweis: Als Nenner der Teilbrüche kommen alle Faktoren des Nenners von F(s) in Frage. Da F(s) eine echt gebrochen rationale Funktion ist, müssen auch die Teilfunktionen, in die F(s) zerlegt wird, echt gebrochen rational sein. Daraus folgt, dass die Zähler der Teilbrüche konstante Zahlen sind. Satz 3.16

Ist die Bildfunktion F(s) eine echt gebrochen rationale Funktion mit nur einfachen reellen Polen s = sk, so gilt für die zugehörige Originalfunktion

m

k = 1( ) = e kt

ksf t A� (3.45)

Die dabei auftretenden Koeffizienten Ak sind die Zähler der Partialbruchentwicklung von F(s) sind. Diese Aussage wird auch Heaviside'scher Entwicklungssatz genannt.

Beweis: Ausgehend von der Partialbruchzerlegung der Bildfunktion F(s) nach Gl. (3.44) erhält man mit der Korrespondenz

e ks tkk

k

AA

s s< �

��

unter Verwendung des Additionssatzes (3.27) die Aussage des zu beweisenden Satzes.

64 3 Laplace - Transformation Nachdem sowohl die allgemeine Form der Partialbruchzerlegung der Bildfunktion F(s), als auch die allgemeine Form der Originalfunktion )( tf feststehen, müssen noch die Zähler Ak der Teilbrüche berechnet werden. Das hierfür zweckmäßige Verfahren besteht darin, die Bild-funktion mit dem Hauptnenner der Teilbrüche, d.h. mit dem Produkt der Teilnenner

)( ))(( = )( 21 msssssssN �� zu multiplizieren. In die dadurch erhaltene Gleichung, die für alle Werte von s gültig ist, wer-den für die komplexe Variable s nacheinander m "günstige" Werte eingesetzt. Günstige s-Werte sind in diesem Falle die Polstellen sk. Auf diese Weise entstehen m Glei-chungen für je einen unbekannten Zähler Ak. In vielen Fällen ist eine Formel zur Bestimmung der Ak zweckmäßig. Multipliziert man den Ansatz zur Partialbruchzerlegung

m

m

k

kss

A + ss

A + ss

Ass

AsF�

��

��

��

��2

2

1

1 = )(

mit dem Faktor (s � sk), so folgt

m

kmk

kkk ss

ssA + + A ss

ssAssssAsFss

��

��

��

�)()()( = )()(

2

2

1

1 ��

Da die Polstellen nach Voraussetzung alle verschieden sind, kürzt sich der Faktor (s � sk) nur bei dem Teilbruch mit dem Zähler Ak. Setzt man in die neu entstandene Gleichung für s den Wert sk ein, so folgt

= lim ( ) ( ) = ( ) ( )kk

k k k s = ss sA s s F s s s F s

�� (3.46)

Die Bildfunktion F(s), die in Teilbrüche zerlegt werden soll, wird mit (s � sk) multipliziert. Der dadurch entstehende Ausdruck wird durch Einsetzen der Polstelle sk für die Variable s unbestimmt von der Form "Null : Unendlich". Da aber der Nenner von F(s) den Linearfaktor (s � sk) enthält, entsteht durch Kürzen dieses Faktors ein Ausdruck, in den für s der Wert sk eingesetzt werden kann.

Mit )()( = )(

sNsZsF kann Gl. (3.46) umgeformt werden in

( ) = lim ( )k

ks s

k

Z sAN ss s

� ( %& #�' $

(3.47)

Wir betrachten nun den in Gl. (3.47) auftretenden Ausdruck ##$

%&&'

(�� k ss ss

sN

k

)( lim .

Kürzt man diesen Ausdruck nun nicht mit s � sk, was möglich ist, da der Linearfaktor ks s�

im Nenner N(s) enthalten ist, so ist er unbestimmt von der Form 00 . Auf unbestimmte Aus-

drücke dieser Form kann die Regel von L'Hospital angewendet werden.


kkk s = s ss k ss dssdNds

sdN

sssN

)( = 1

)(

lim = )( lim � �

��

��

##$

%&&'

(� ��

Damit geht Gl. (3.47) über in

( )( ) = lim = ( ) ( )k

k

kk

s s

s = s

Z sZ sAdN s dN s

ds ds� ( % �

& # � �' $ �

(3.48)

In manchen Fällen ist Gl. (3.48) zur Berechnung der Zähler Ak der Teilbrüche besser geeignet als Gl. (3.46).

Beispiel 3.19 Zur Bildfunktion 1)(

1 = )(�ss

sF

soll durch Partialbruchzerlegung von F(s) die zugehörige Zeitfunktion )( tf bestimmt werden.

Die Bildfunktion F(s) hat die einfachen reellen Pole s1 = 0 und s2 = 1. Für F(s) ergibt sich damit die Partialbruchzerlegung

1 =

1)(1 = )( 21

�� sA +

sA

sssF

Multiplizieren dieses Ansatzes zur Partialbruchzerlegung mit dem Hauptnenner der Bildfunk-tion N(s) = s(s � 1) ergibt

sAsA 21 + )1( = 1 �

s = 0: 1 = )1( = 1 11 �+� AA

s = 1: 2 = 1 A

Gl. (3.46) ergibt analog:

1 2 = 0 1

1 1 = = 1 und = = 11 s s =

A As s

� ��

Die Partialbruchzerlegung der Bildfunktion lautet damit

11 + 1 = )(�

�ss

sF .

Durch gliedweises Übersetzen in den Zeitbereich erhält man die zugehörige Originalfunktion

( ) = 1 + etf t �


Beispiel 3.20 Gegeben ist die Laplace-Transformierte sssssF

�

�� 3

2 132)( .

Man bestimme die Originalfunktion )( tf .

Die Bildfunktion F(s) hat die einfachen reellen Pole 1 0s � , 2 1s � und 3 1s � � .

Damit ergibt sich der folgende Ansatz zur Partialbruchzerlegung

11 = )( 321

+sA +

sA +

sAsF

�

Mit der Ableitung des Nenners 13 = )( 2 �sds

sdN erhält man mit Gl. (3.48)

2 2

1 22 20 1

2

3 21

2 3 1 2 3 1= 1, = 2, 3 1 3 1

2 3 1 = 13 1

s s

s

s s s sA As s

s sA s

� �

��

� ��

� ��

��

��

Der Bildfunktion 1

11

21= )(s+

s

+ s

sF ��

entspricht damit die Zeitfunktion

tt tf �� e2e + 1 = )(

Selbstverständlich können die Zähler Ak auch durch Multiplizieren des Ansatzes zur Partial-bruchzerlegung mit dem Nenner N(s) = s(s � 1)(s + 1) und anschließendem Einsetzen günsti-ger s-Werte (s1 = 0, s2 = 1 und s3 = �1) berechnet werden.

b) Bildfunktion mit mehrfachen reellen Polen

Es sollen nun Bildfunktionen F(s) betrachtet werden, die neben einfachen reellen Polen auch mehrfache reelle Pole haben.

Satz 3.17

Ist F(s) eine echt gebrochen rationale Bildfunktion, die bei s = s0 eine k-fache Polstelle besitzt, so gilt für sie die folgende Partialbruchzerlegung

)( + )(

+ + )(

+ )(

= )()(

)( = )(0

11

0

1

010sP

ssB

ssB

ssB

sNsssZsF k

kk

kk ��

� � (3.49)

wobei P(s) die Summe der Partialbrüche ist, die durch die restlichen Polstellen bedingt ist. Die Zähler kB sind reelle Zahlen.

3.3 Transformationsregeln 67 Beweis: Die Bildfunktion F(s) lässt sich in die Anteile

00

0 11

1

( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( )kZ s Z s

F s F s F sN ss s

� � � ��

zerlegen. Da F(s) als echt gebrochen rational vorausgesetzt ist, hat der Zähler 0 ( )Z s höchstens den Grad k � 1. Eine Reihenentwicklung des Zählers 0 ( )Z s nach Potenzen von (s � s0) ergibt

1 21 0 2 0 1 0

00

( ) ( ) ( )( )

( )

k kk k

k

B s s B s s B s s BF s

s s

� ��

��

�

Dividiert man jedes Glied des Zählers von 0 ( )F s durch den Nenner (s � s0)k , so erhält man die Aussage des Satzes 3.17.

Satz 3.18

a) Eine k-fache reelle Polstelle bei s = s0 bedingt im Zeitbereich den Anteil

01

01

( ) e( 1)!

nk

nn

ts tf t Bn

�

��

��

(3.50)

Für die Koeffizienten Bn gilt mit n = k � r

2 30

01 ( ) ( )!

rk

k r rs s

dB s s F sr ds

��

��

� ��

(3.51)

Beweis:

a) Mit !)1(

1 1

�

��<

nt

s

n

n � und dem Dämpfungssatz erhält man

tsn

nnn

ntB

ssB 0e

!)1()(

1

0 ��

��< �

b) Multipliziert man Gl. (3.49) mit kss )( 0� , so folgt hieraus

)()()()()()( 01

01010 sPssssBssBBsFss kkkk

k ��

00 0 ergibt ( ) ( )k

k s ss s B s s F s

�

��

Damit ist die Richtigkeit von Gl. (3.51) für r = 0 gezeigt. Differenziert man den für )()( 0 sFss k� erhaltenen Ausdruck r-mal und setzt anschließend für s den Wert s0 ein, so

erhält man Gl. (3.51). Die Verwendung von Gl. (3.51) zur Berechnung der Zähler B0 ist wegen des damit verbunde-nen Rechenaufwandes nicht immer vorteilhaft. Man wird in solchen Fällen den Ansatz zur Partialbruchzerlegung mit dem Hauptnenner multiplizieren und in die so erhaltene Gleichung für s günstige Werte einsetzen.

68 3 Laplace - Transformation Günstige Werte sind immer die reellen Polstellen von F(s), weil man dadurch jeweils eine Gleichung für nur einen der unbekannten Zähler erhält. Sind nur reelle Pole vorhanden, was bis jetzt angenommen wird, so ist die Anzahl der Teilbrüche durch den Grad m des Nenners von F(s) bestimmt. Sind mehrfache reelle Pole vorhanden, so ist die Anzahl dieser besonders günstigen s-Werte kleiner als die Anzahl der zu bestimmenden Zähler. Man wird dann noch andere, möglichst einfache s-Werte hinzunehmen müssen.

Beispiel 3.21 Zur Bildfunktion 3

2

)1(673 = )(

�

��

ssssF soll die zugehörige Originalfunktion

( )f t bestimmt werden.

Die Bildfunktion hat eine dreifache Polstelle bei s = 1. Für die Partialbruchzerlegung ergibt sich damit der Ansatz

1)( +

1)( +

1)( =

)1(673 = )( 1

22

33

3

2

��

��sB

sB

sB

ssssF

Die Gl. (3.51), die hier besonders einfach anzuwenden ist, da nur ein dreifacher Pol bei s = 1 vorhanden ist, liefert

� �23 2 1 11

1 = 3 7 6 = 2, = 6 7 = 1, = 6 = 3 2!ss

B s s B s B��

��

Mit der dadurch eindeutig bestimmten Partialbruchzerlegung der Bildfunktion

1)(

3 + 1)(

1 1)(

2 = )( 23 ��

� ssssF

erhält man die Zeitfunktion ttt tttttf e)3( = e3 + e e)( 2t2 ��

Beispiel 3.22 Zu 2

2

)2)(1(3 = )(

��

��

sssssF soll die Zeitfunktion )( tf bestimmt werden.

Die Bildfunktion hat eine zweifache Polstelle bei s = � 2 und eine einfache Polstelle bei s = � 1. Für die Partialbruchzerlegung ergibt sich damit der Ansatz

2)2(1 =

)2)(1(

3 = )( 12

212

2

+sB +

sB +

+sA

sssssF

��

��

Die noch unbekannten Zähler können durch die uns bekannten Formeln berechnet werden. Wir wollen jedoch hier das schon erwähnte Verfahren, das ohne die Verwendung von Formeln auskommt, benützen und multiplizieren den Ansatz zur Partialbruchzerlegung mit dem Nenner N(s) und erhalten somit

)1)(2()1()2(3 122

12 �� ssBsBsAss

3.3 Transformationsregeln 69 Durch Einsetzen der Polstellen folgt

s = �1: �1 = A1 + A1 = �1 s = �2: 3 = � B2 + B2 = �3

Dadurch sind zwei der drei unbekannten Zähler einfach berechnet worden. Zur Bestimmung des dritten Zählers kann nun irgendein noch nicht verwendeter einfacher s-Wert, z.B. s = 0, eingesetzt werden.

s = 0: � 3 = � 4 �3 + 2B2 + B1 = 2

Damit ist die Partialbruchzerlegung der Bildfunktion bestimmt und es folgt

22

)2(3

11 = )( 2 �

��

��

�sss

sF und wir erhalten im Zeitbereich

ttt ttf 22 e2e3e = )( �� .

c) Bildfunktionen mit einfachen komplexen Polen

Wir wollen uns hier auf einfache komplexe Pole beschränken, weil mehrfache komplexe Pole zu Teilbrüchen führen, deren Transformation in den Zeitbereich mit den Transformations-regeln, Sätzen und Korrespondenzen, die wir bisher kennen gelernt haben, nicht möglich ist. Die Transformation der von mehrfachen komplexen Polen bedingten Teilbrüche in den Zeitbe-reich ist mit der im Abschn. 3.2 behandelten Residuenmethode oder mit dem Faltungssatz, den wir später besprechen werden, möglich. Die Koeffizienten der echt gebrochen rationalen Bildfunktion F(s) wurden als reell voraus-gesetzt. Komplexe Pole treten daher stets paarweise, als konjugiert komplexe Polstellen auf.

Satz 3.19

a) Hat die echt gebrochen rationale Bildfunktion F(s) die einfachen komplexen Po-le bas j = 0 � und bas* j = 0 � , so gilt die Partialbruchzerlegung

1 202 2 2( ) ( ) ( ) ( )

2C s CF s P s F s P s

s as a b�

� � � ��

wobei P(s) die Summe der Partialbrüche ist, die durch die restlichen Polstellen bestimmt ist.

b) Einem Paar von einfachen, konjugiert komplexen Polen entspricht im Zeitbereich der Anteil

2 10 1( ) = e cos( ) sin( )at C a C

f t C bt b tb� ��

70 3 Laplace - Transformation Beweis:

a) Für die Laplace-Transformierte F(s) gilt

)())(()( = )(

00 sRsssssZsF >��

.

R(s) ist der Restfaktor des Nenners N(s), den man nach Abspalten der Linearfaktoren

0ss � und 0*s s� erhält. Da einfache komplexe Pole formal genauso behandelt werden

können wie einfache reelle Pole, erhält man die Zerlegung

)( + )j(

+ )j+(

= )( 21 sPbas

Abas

AsF

��

Die Berechnung der Zähler 1A und A2 kann wie bei einfachen reellen Polen erfolgen. Es zeigt sich, dass A1 und A2 konjugiert komplexe Zahlen sind. Fasst man die beiden Teilbrüche zusammen, um im Bereich der reellen Zahlen zu blei-ben, so ergibt sich die Aussage des zu beweisenden Satzes.

b) Für den durch das Paar konjugiert komplexer Pole bedingten Teilbruch gilt

2212

221

2221

)( +

)()( =

)( = )(

basaCC

basasC

basCsCsF

��

�

��

�

��

�

Mit den Korrespondenzen für die Sinus- bzw. Kosinusfunktion und dem Dämpfungssatz folgt die zu beweisende Aussage.

Da die in Anwendungsaufgaben auftretenden komplexen Pole im Allgemeinen negative Real-teile haben, bedingt ein Paar von einfachen, konjugiert komplexen Polen im Zeitbereich dann eine gedämpfte Schwingung.

Beispiel 3.23 Zur Bildfunktion )1361)(+(

45254 = )( 2

2

��

��

ssssssF soll die

zugehörige Zeitfunktion )( tf bestimmt werden.

Die Bildfunktion hat einen einfachen reellen Pol bei 11 ��s und ein Paar von konjugiert komplexen Polen bei j232 ��s und j233 ��s . Die Partialbruchzerlegung hat daher die Form

136 +

1+ = )( 2

211

��

�

ssCsC

sAsF

Multipliziert man den Ansatz zur Partialbruchzerlegung mit

N(s) = (s + 1)(s2 + 6s + 13), so folgt

)1)(()136( = 45254 21

21

2 �� sCsCssAss

3.3 Transformationsregeln 71 s = � 1: 24 = 8A1

s = 0: 45 = 39 + C2 s = 1: 74 = 60 + 2(C1 + 6)

+ + +

A1 = 3 C2 = 6 C1 = 1

lim ( )s

sF s�

ergibt die einfache Gleichung 114 CA �� , die anstelle der letzten Gleichung ver-

wendet werden könnte. Aus der Partialbruchzerlegung der Bildfunktion

22222 2)3(2

23 +

2)3(3 +

13 =

1366+

1+3 = )(

��

�

�� sss

+sss+s

ssF

folgt die Zeitfunktion

� �

�� )2sin(

23)2cos(e + 3e = )( 3 tttf tt .

Beispiel 3.24 Man berechne die Originalfunktion )( tf zur Bildfunktion

)52)(22(32 = )( 22

2

��

��

sssssssF .

Die Bildfunktion F(s) besitzt zwei Paare von konjugiert komplexen Polen. Der Ansatz zur Partialbruchzerlegung lautet

52 +

22 =

)52)(22(32s = )( 2222

2

��

�

��

��

ssDsC

sss+BA

ssssssF .

Multiplizieren dieses Ansatzes zur Partialbruchzerlegung der Laplace-Transformierten F(s) mit dem Hauptnenner N(s) = (s2 + 2s + 2)(s2 + 2s +5) ergibt die Identität

)22)(( + 52)(( = 32 222 �� sss+DC)sss+BAss .

Da reelle Pole, deren Einsetzen jeweils eine Gleichung für nur eine Unbekannte ergibt, hier nicht vorhanden sind, erhält man durch Einsetzen von 4 möglichst einfachen s-Werten ein Gleichungssystem von 4 Gleichungen für die 4 Unbekannten mit den Lösungen

.DC,B,A32und0

310 ��

Eine Möglichkeit, das lineare Gleichungssystem für 4 Unbekannte zu ver-meiden, um stattdes-sen 2 Gleichungssysteme für je 2 Unbekannte zu erhalten, besteht darin, komplexe Pole einzu-setzen.

Der Faktor 2( 2 2)s s� � des Nenners hat die Nullstellen 1 1 js � � � und 2 1 js � � � .

Mit j11 ��s wird s2 + 2s = �2 und man erhält

1 = 3[A(�1 + j) + B] bzw. 1 = �3A + 3B +3jA


Gleichsetzen der Real- und Imaginärteile der beiden Seiten der Gleichung liefert

A = 0 und B = 1/3.

Mit s = �1 + 2j, einer komplexen Nullstelle des zweiten quadratischen Faktors des Nenners, folgt analog

C = 0 und D = 32 .

Für die Bildfunktion gilt daher die Partialbruchzerlegung

2 2 2

1 1 1 1( ) = + 3 3( 1) 1 ( 1) 2

F ss s� � � �

.

Damit folgt für die Zeitfunktion

� �1( ) = e sin( ) sin(2 )3

tf t t t� � .

Aufgaben zum Abschnitt 3.3.6 (Ergebnisse im Anhang) Aufgabe 3.16 Man bestimme die Originalfunktionen )( tf zu den folgenden Bildfunktionen

654= )(a) 2 �� ss

s+ sF )3)(2)(2(

1 = )(b)�� sss

sF

4

3

)3( = )(c)

�sssF

)2(1)+(52010 = )(d) 22

23

�� sss+s+s+ssF

22 )1(1 = )(e)�ss

sF )178(1)+(

10 = )(f) 22 �� ssssF

)11)(+(5+ = )(g) 2 �ss

ssF 33

127 = )(h) 23

2

��

�

s+sss+ssF

) *322 )(i)�

�s

sF 12 )(k)

��

�sssF

s

sss

ssF �

�

�� e

)1(131)(l) 22

3

2

)1(683)(m)

�

��

ssssF


3.3.7 Pol-Nullstellenplan einer echt gebrochen rationalen Bildfunktion Sind Nis (i = 1, 2, 3,..., n) die Nullstellen und Pks (k = 1, 2, 3,..., m) die Polstellen einer echt gebrochen rationalen Bildfunktion

1 2

1 2

i 1

1

( )( ) ( )( ) = = C

( )( ) ( )n

m

ni

iN N N

mP P Pk

kk

a ss s s s s s

F ss s s s s s

b s

�

�

� � �

� � �

�

�

��

mit reellen Koeffizienten, so sind durch die Lage der Null- und Polstellen sowohl die Bild-funktion F(s), als auch die Originalfunktion )( tf bis auf einen konstanten Faktor C bestimmt.

Man erhält nun einen Überblick über das Zeitverhalten der Originalfunktion )( tf , wenn man die Nullstellen (o) und die Polstellen (*) der Bildfunktion F(s) in einen Pol-Nullstellenplan der komplexen s-Ebene einträgt. Man bekommt auf diese Weise sehr schnell Aussagen über das Verhalten der entsprechenden Zeitfunktion ohne die mitunter aufwendige Partialbruchzerlegung und die inverse Laplace-Transformation der erhaltenen Teilbrüche durchführen zu müssen. Besonders für die Anwendungen der Laplace-Transformation ist es überaus wichtig, dass allein aus der Lage der Polstellen im Pol-Nullstellenplan (PN-Plan) Aussagen über das Verhal-ten der Zeitfunktion )( tf gemacht werden können. Wir werden im Abschnitt 4 ausführlich darauf eingehen.

Da die Koeffizienten ia und kb als reell vorausgesetzt wurden, sind die Null- und Polstellen entweder reell oder paarweise konjugiert komplex. Es gilt daher der folgende Satz:

Satz 3.20

Der Pol-Nullstellenplan einer echt gebrochen rationalen Bildfunktion mit reellen Koeffizienten ist symmetrisch zur reellen Achse.

Da durch die Pole die Partialbrüche die Art des Partialbruches und der der zugehörige Anteil in der Zeitfunktion bestimmt sind, lässt insbesondere die Art und Lage der Pole einfache Schlüsse auf die Art der Originalfunktion )( tf zu. Beispielsweise entspricht einer einfachen Polstelle

s 6� � auf der negativen reellen Achse in der Partialbruchzerlegung ein Term

0 ( ) AF ss 6

��

und im Zeitbereich ein Anteil

0 ( ) = e tf t A 6� , der umso schneller abklingt, je weiter links die Polstelle liegt. (s. Bild 3.23 a, b).


Einer einfachen Polstelle bei s 6� � entspricht im Zeitbereich eine zeitlich abklingende Exponentialfunktion. Liegt bei s = � 6 eine k-fache Polstelle, so entspricht ihr im Zeitbereich ein Anteil

1

1( ) = e

( 1)!

nkt n

n

B tf t

n6

��

� ��

(Bild 3.24 d)

Einem Paar von konjugiert komplexen Polen mit negativem Realteil entspricht im Bildbereich ein Teilbruch

20

221

)( �6 ��

�

s

CsC

und im Zeitbereich eine gedämpfte Schwingung

0( ) = e sin( )tf t A t� ��

(Bild 3.24 f)

Liegen die Polstellen in der rechten Halb-ebene, so entsprechen diesen im Zeitbe-reich ansteigende Anteile, wie etwa in Bild 3.23 h und 3.23 i

1

20

( ) = e oder

( ) = e sin( )

t

t

f t A

f t A t

6

6 � �

�

� �

Bild 3.24 Pol-Nullstellenpläne und zugehörige Zeitfunktionen


Bild 3.25 Pol-Nullstellenplan und zugehörige Zeitfunktionen

Einer im Ursprung liegenden einfachen Pol-stelle (Bild 3.25 a) entspricht im Bildbereich

der Teil-bruch sA und im Zeitbereich die

Konstante

( ) ( )f t A t4�

Ein Paar von Polstellen auf der imaginären Achse nach Bild 3.25 c bedingt den Teil-bruch

20

221

��

�

s

CsC

d.h. im Zeitbereich eine stationäre harmoni-sche Schwingung

0( ) = sin( )f t A t� ��

(Bild 3.25 d)

Liegen im Sonderfall auf der imaginären Achse unendlich viele Polstellen in gleichen Abständen 0� (Bild 3.25 e), so ist die zuge-hörige Bildfunktion F(s) keine rationale Funktion.

Da jedem Polstellenpaar s = 0j �k" eine stationäre harmonische Schwingung der Kreis-frequenz 0�k entspricht, gehört zu dieser Bildfunktion im Zeitbereich eine unendliche Summe von harmonischen Schwingungen, die im Falle der Konvergenz, als Fourierreihe einer statio-nären periodischen Zeitfunktion aufgefasst werden kann. In Bild 3.25 f ist eine dieser mögli-chen Zeitfunktionen dargestellt. Wir haben einen einfachen Zusammenhang zwischen der Lage der Polstellen einerseits und der Art der zugehörigen Zeitfunktionen andererseits kennen gelernt. Der folgende Satz fasst vereinfacht die Ergebnisse unserer Überlegungen zusammen.

Satz 3.21

Ist si eine Polstelle einer echt gebrochen rationalen Bildfunktion F(s), so entspricht 0Re �is

0Re �is

0Re 5is

ein zeitlich abklingender (flüchtiger) Anteil,

ein zeitlich konstanter (stationärer) Anteil,

ein zeitlich ansteigender Anteil in der zugehörigen Zeitfunktion )( tf .

76 3 Laplace - Transformation Aus der Lage und Art der Polstellen ist der Ansatz zur Partialbruchzerlegung und damit die Zeitfunktion im Wesentlichen, d.h. bis auf konstante Faktoren bestimmt.

Aus der Art und der Lage der Polstellen auf die Zeitfunktion zu schließen ist für viele Überle-gungen gerade in den Anwendungen wichtig. So kann etwa aus der Art der Polstellen einer Übertragungsfunktion auf das Zeitverhalten des zugehörigen Übertragungsgliedes geschlossen werden. Diese Zusammenhänge werden aber nur dann erkennbar, wenn die inverse Laplace-Transformation echt gebrochenen rationaler Bildfunktionen über die Partialbruchzerlegung durchgeführt wird. Arbeitet man nur mit Korrespondenztabellen, so bleiben diese Einsichten verschlossen. Beispiel 3.25 Eine echt gebrochen rationale Bildfunktion hat die folgenden Pole:

s1 = � 3, s2 = � 2 + 3j und s3 = � 2 � 3j. Was lässt sich über die zugehörige Zeitfunktion )( tf aussagen?

Alle Pole haben einen negativen Realteil. Die Zeitfunktion f(t) ist daher abklingend. Die einfa-che reelle Polstelle bei s1 = � 3 bedingt im Zeitbereich eine abklingende Exponential-funktion, das Paar von konjugiert komplexen Polen mit negativem Realteil eine gedämpfte Schwingung mit der Kreisfrequenz 3�� . Die Zeitfunktion hat daher die Form

� �)3cos()3sin(ee = )( 23 tCtBAtf tt ��

3.3.8 Faltungssatz

Der Faltungssatz erschließt einen Weg, die inverse Laplace-Transformation durchzuführen, wenn die Bildfunktion F(s) in zwei Faktoren zerlegt werden kann, deren Originalfunktionen bekannt sind.

Satz 3.22 Faltungssatz

Dem Produkt F1(s)F2(s) zweier Bildfunktionen entspricht im Zeitbereich die Faltung f1(t) * f2(t) der zugehörigen Originalfunktionen

,tftfsFsFtfsF

tfsF)()( )()(

)( )( )( )(

212122

11 >+0/. ��

�<

<< ��

wobei die Faltung zweier kausaler Zeitfunktionen durch das Integral

(3.52)

� �>t

02121 )()( = )()( 999 dtfftftf

definiert ist.

(3.53)

3.3 Transformationsregeln 77 Beweis: Wir gehen von der Integraldefinition der Laplace-Transformation aus und erhalten unter der Voraussetzung, dass die auftretenden Integrale absolut konvergieren

t

1 2 1 20 o

1 20 0

( ) ( ) ( ) ( ) e =

( ) ( ) ( ) e

st

st

f t f t f f t d dt

f f t t d dt

9 9 9

9 9 4 9 9

�

�

�� > ��

� � �

<� � �

� �

�

Durch die Multiplikation mit dem Faktor

1 für < ( ) =

0 für > t

tt

94 9

9�

� ��

ist erreicht worden, dass auch für die Variable 9 des inneren Integrals die Integrationsgrenzen 0 und gesetzt werden können, da für Zeitpunkte 9 > t der Ausdruck

0 = )()()( 21 9499 �� ttff ist.

Vertauscht man die Reihenfolge der Integrationen, was erlaubt ist, da wir die absolute Konver-genz der Integrale vorausgesetzt haben, so ergibt sich

1 2 1 20 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) e stf t f t f f t t dt d9 9 4 9 9

� �� > � ��

<� � ��

Durch Anwenden des Verschiebungssatzes und der Definition der Laplace-Transformation erkennt man

9949 sst sFdtttf ��

�� e)( = e)()( 20

2 ,

da die Funktion )()(2 949 �� ttf gegenüber f2(t) um 9 verschoben ist. Hiermit folgt weiter

��

�

�<�>

012

02121 e)()( = e)()( )()( 9999 99 dfsFdsFftftf ss�

Da das letzte Integral nach der Definitionsgleichung der Laplace-Transformation F1(s), die Bildfunktion von f1(t) ist, folgt hieraus schließlich der Faltungssatz.

Dass die Integrationsvariable 9 , statt t heißt, ist für das bestimmte Integral ohne Bedeutung.


Satz 3.23

Die Faltung ist kommutativ und assoziativ, d.h. es gilt

� �1 2 2 1

1 2 3 1 2 3

( ) ( ) = ( ) ( ) und

( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( )

f t f t f t f t

f t f t f t f t f t f t

> >

> > > > ��

Auf den relativ einfachen Beweis von Satz 3.22 sei hier verzichtet. Für Anwendungen des Faltungssatzes ist es von Bedeutung, dass die Reihenfolge der Faltun-gen verändert werden kann. Der Faltungssatz liefert auch in Fällen, in denen das Faltungsintegral nicht in analytischer Form gelöst werden kann, eine Aussage über die Zeitfunktion f(t), wenn für eine Folge von Zeitpunkten it das Faltungsintegral mit numerischen Näherungsverfahren bestimmt wird.

Beispiel 3.26 Zur Bildfunktion 222 )( = )(

assasF

� mit a!� soll die Originalfunktion

( )f t berechnet werden.

Die Bildfunktion F(s) hat an den Stellen s = " ja zweifache komplexe Pole. Wir zerlegen die gegebene Bildfunktion in ein Produkt von zwei Bildfunktionen.

)()( = )()(

= )( 212222 sFsFas

aas

ssF��

Mit den Korrespondenzen

)sin( = )( )( und )cos( = )( )( 2211 attfsFattfsF �� <<

liefert der Faltungssatz die Zeitfunktion

� �>t

daatatftftf0

21 ))sin(cos( = )()( = )( 999

Zur Berechnung des Faltungsintegrals verwandeln wir das Produkt der beiden trigonometri-schen Funktionen mit

� �)sin()sin(21 = ))cos(sin( 8�8�8� ��

in eine Summe von Sinusfunktionen und finden so

� �1 20 0 0

0

1 1 1( ) = ( ) ( ) = sin( )+sin( 2 ) = sin( ) + sin( 2 )2 2 2

1 1 1 = sin( ) + cos( 2 ) = sin( )2 4a 2

t t t

t

f t f t f t a t at a d a t d a t a d

t a t at a t a t

9 9 9 9 9

9

> � � �

��

� � �

3.3 Transformationsregeln 79 Wir haben damit die folgende Korrespondenz gewonnen.

) *22 2

1 sin( )2

a s t a ts a�

<�� (3.54)

Die Bildfunktion F(s) besitzt zweifache komplexe Pole bei s = " ja. Mit den besprochenen Methoden der Partialbruchzerlegung kann die Zeitfunktion f(t) nicht bestimmt werden. Der Faltungssatz jedoch ermöglicht es, eine entsprechende Korrespondenz herzuleiten. In der prak-tischen Anwendung wird man aber in solchen Fällen auf Korrespondenztabellen zurückgrei-fen.

Aufgaben zum Abschnitt 3.3.8 (Ergebnisse im Anhang) Aufgabe 3.17 Man berechne mit dem Faltungssatz die Originalfunktion f(t) zu

22

2

)1( = )(

�sssF .

Aufgabe 3.18 Zur Bildfunktion ))((

1)(21 ssss

sF��

� soll die Zeitfunktion f(t)

a) durch Partialbruchzerlegung, b) mit dem Faltungssatz und c) mit der Residuenmethode bestimmt werden.

Aufgabe 3.19 Man berechne f(t) zur Bildfunktion 32 )1( = )(

�sssF .

Hinweis: Man verwende die als Ergebnis von Beispiel 3.26 bekannte Korrespondenz (3.54) für a = 1.

3.3.9 Inverse Laplace-Transformation durch Reihenentwicklung der Bildfunk-tion

Im Abschnitt 3.3.6 haben wir echt gebrochen rationale Bildfunktionen in Partialbrüche zerlegt. Die vorgegebene Bildfunktion F(s) wurde dabei als eine endliche Summe von Teilfunktionen

��

m

ii sFsF

1)( = )( dargestellt und gliedweise in den Zeitbereich transformiert. Man

erhält so die zugehörige Zeitfunktion

,tftfm

ii�

�1)( = )( wobei die Zeitfunktionen fi(t) die Originalfunktionen zu den Bild-

funktionen )(sFi sind, d.h. es gelten die Korrespondenzen )()( tfsF ii ��< .

80 3 Laplace - Transformation Es liegt nun nahe, dieses Verfahren auch auf Fälle zu übertragen, in denen eine inverse La-place-Transformation durch bekannte Korrespondenzen oder durch Partialbruchentwicklungen uns zunächst nicht möglich ist. Wir haben bisher beispielsweise kein Verfahren kennen ge-lernt, zu einer transzendenten Bildfunktion F(s) die zugehörige Zeitfunktion f(t) zu bestimmen.

Man entwickelt die Bildfunktion F(s) in eine unendliche Reihe

�

�1)(=)(

ii sFsF

von Teilfunktionen Fi(s) und betrachtet die Originalfunktion f(t) als unendliche Summe der zugehörigen Originalfunktionen fi(t). Dieses gliedweise Übersetzen einer unendlichen Summe von Bildfunktionen Fi(s) in den Zeit-bereich ist aber nur unter gewissen Voraussetzungen möglich. Ohne Beweis sei daher der folgende Satz angegeben.

Satz 3.24

a) Ist die Bildfunktion ��

�

�

�<11

)( )( = )(i

ii

i tfsFsF � als eine unendliche Summe von

Laplace-Transformierten Fi(s) der Zeitfunktionen fi(t) darstellbar, so konvergiert die Sum-

me der Zeitfunktionen fi(t) gegen eine Funktion �

�

�1

)()(i

i tftf , die Originalfunktion von

F(s) ist, wenn

1. die Laplace-Integrale der Funktionen fi(t) absolut konvergieren, wenn also für alle i

< )e(

0i Mdttf st�

� gilt und

2. auch die Summe dieser Integrale konvergiert.

b) Ist im Sonderfall die Bildfunktion eine Reihe der Form 1

( ) = nn

nF s a s

�

�� ,

so gilt für die zugehörige Zeitfunktion �

�

�

�1

1

)!1( = )(n

nn n

tatf


Beispiel 3.27 Zur Bildfunktion 22 )1(1 = )(�s

sF mit zweifachen komplexen Polen an den

Stellen s = " j soll eine Reihendarstellung der zugehörigen Originalfunktion )( tf bestimmt werden. Durch Dividieren erhält man

� sssss

= ss

sF �� 121086424

5432112

1 = )(

Überträgt man diese Reihe Glied für Glied in den Zeitbereich, so ist mit

� !11

5!9

4!7

3!5

2!3

= )(119753

��ttttttf

eine Reihenentwicklung für die gesuchte Originalfunktion gefunden. In diesem Fall lässt sich die Originalfunktion auch in einer analytischen Form angeben. Mit dem Faltungssatz erhält man

1 12

1 202 22

1( ) ( ) sin( )1 ( ) ( ) ( ) sin( )sin( )

1( ) ( ) sin( )1

tF s f t ts f t f t f t t d

F s f t ts

9 9 9

.� < � � � + � > � �/ � < � � � 0

��

�

� � � �0

1 1( ) cos( ) cos( ) sin( ) cos( )2 2

t

f t t d t t t9 9� � � ��

Hierbei wurde � �1sin( )sin( ) cos( ) cos( )2

� 8 � 8 � 8� � � � verwendet.

Beispiel 3.28 Gegeben ist die Zeitfunktiont

ttf )sin( = )( . Es soll die zugehörige Laplace-

Transformierte F(s) bestimmt werden. Ausgehend von der Reihenentwicklung für die Sinusfunktion

�

�

�

��

0k

12753

!)12()1( =

!7!5!3 = )sin(

ktttttt

kk�

erhält man für die Zeitfunktion )( tf die Reihendarstellung

�

��

��0k

2642

!)12()1( =

!7!5!31 = )sin( = )(

ktttt

tttf

kk�

Gliedweises Transformieren in den Bildbereich liefert eine Reihendarstellung für die gesuchte Laplace-Transformierte


12

0k753

112

)1( = !7

!6!5

!4!3

!2s1 = )(

�

��

��

��

�� kk

skssssF �

Vergleicht man die Reihe der Bildfunktion F(s) mit der Reihenentwicklung der Funktion

12

0

753

12)1( =

753 = )arctan( �

��

�� k

k

kz

kzzzzz �

so erkennt man mit 1zs

� die Korrespondenz

#$%

&'(<�

stt 1arctan)sin( �

(3.55)

Mit Hilfe der Definition der Laplace-Transformation erhält man aus dieser Korrespondenz die Gleichung

#$%

&'(�

� sdt

tt st 1arctan = e)sin(

0

(3.56)

Bild 3.26 Integralsinus

Eine bei vielen Problemen der Nachrich-tentechnik auftretende Funktion ist der durch

0

sin( )Si( ) = t

zt dzz�

definierte Integralsinus.

Im Grenzfall s � 0 liefert Gl. (3.56)

2 )arctan(= )Si( = )sin(

0

��

dtt

t

Damit ist auf dem Umweg über die Laplace-Transformation der Grenzwert

2

= )Si( lim

��

tt

gefunden worden. Der Verlauf der Zeitfunktion f(t) = Si(t) ist in Bild 3.25 dargestellt.

Beispiel 3.29 Zur Bildfunktion 432

= )( 23

2

��

�

ssssssF soll eine Reihenentwicklung der

Originalfunktion )( tf bestimmt werden.


Durch Polynomdivision erhält man � 51111 = )( 5432 ��sssss

sF

und damit die Zeitfunktion � !4

5!3!2

1 = )(432��

tttttf

Eine derartige Reihenentwicklung einer echt gebrochen rationalen Bildfunktion ist dann ange-bracht, wenn eine Partialbruchentwicklung, etwa wegen der Berechnung der Polstellen zu kompliziert erscheint, oder wenn das Verhalten der Zeitfunktion nur für kleine Werte von t interessiert, sodass nur wenige Glieder der Reihe benötigt werden.


Aufgabe 3.20 Man bestimme Reihenentwicklungen für die Originalfunktionen f(t) zu den folgenden Bildfunktionen

1 = )(a) 4

2

�sssF 1

1=)(b) 3 �ssF

s

ssF

1e = )(c)

�

#$%

&'(

sssF 1cos1 = )(d)

3.3.10 Integrationssatz für die Originalfunktion Der Integrationssatz für die Originalfunktion beschreibt den Zusammenhang zwischen der Laplace-Transformierten einer Zeitfunktion )( tf und der Laplace-Transformierten des Integ-rals über diese Zeitfunktion. Zusammen mit dem im nächsten Abschnitt behandelten Differen-tiationssatz für die Originalfunktion spielt er eine wesentliche Rolle bei den Anwendungen der Laplace-Transformation. Satz 3.25

Ist 2 3( ) ( )F s f t� L die Laplace-Transformierte der Zeitfunktion )( tf , so ist die La-place-Transformierte des Integrals über die Zeitfunktion vom Zeitpunkt 0 bis zum Zeit-

punkt t gegeben durch )(1 sFs

.

0

1( ) ( ) ( ) ( )t

f t F s f d F ss

9 9+< <� �� (3.57)

84 3 Laplace - Transformation Beweis: Zum Beweis des Integrationssatzes für die Originalfunktion verwenden wir den Fal-tungssatz (Abschn. 3.3.8).

Wählen wir )( )( = )( 1 tfsFsF ��< und 1 1 = )( 2 ��<s

sF

so folgt mit dem Faltungssatz

�>�<t

dftfs

sF0

)( = 1)( 1)( 99�

Der Integrationssatz macht die wichtige Aussage, dass dem Integral über die Zeitfunktion im Bildbereich die Multiplikation der Bildfunktion mit dem Faktor 1/s entspricht. Eine Integration im Zeitbereich bedingt daher im Bildbereich nur eine einfache Multiplikation mit dem Faktor 1/s. Dadurch ergeben sich für die Lösung von Problemen im Bildbereich we-sentliche Vereinfachungen gegenüber der Lösung des gleichen Problems im Zeitbereich. Statt einer Integration im Zeitbereich, erfolgt im Bildbereich eine einfache Multiplikation. Beispiel 3.30 Man bestimme die Laplace-Transformierte der Zeitfunktion

� �� t t

.dfdtf0 0

155 )(e)( 9999 9

Für die Zeitfunktion 5 51( ) e tf t t �� erhalten wir mit dem Dämpfungssatz die Bildfunktion

.s

sF 61)5(

!5)(�

�

Mit dem Integrationssatz folgt

60

55)5(

120)(e)( �

�� <� �

sssFdtf

t�99 9 .

Beispiel 3.31 a) An ein RC-Glied wird zum Zeitpunkt t = 0 die Spannung 0( ) ( )u t U t4� angelegt. Man

berechne den Strom i(t), wenn zum Zeitpunkt t = 0 der Kondensator ungeladen ist.

R

i(t)u(t)

u(t)

0

tU0

C

Bild 3.27 RC-Glied und angelegte Spannung u(t)


Transformiert man die "Spannungsgleichung"

� ��t

CR tUdiC

tiRtutu0

0 )()(1)()()( 499

unter Verwendung des Integrationssatzes in den Bildbereich, so erhält man mit I(s), der La-place-Transformierten des gesuchten Stromes i(t)

sUsI

sCsIR 0)(1)( ��

und daraus den Bildstrom

0 0 01 1( ) = = = 1 11

U U UCsI ss s RCs RR s

Cs RC��

Inverse Laplace-Transformation ergibt den gesuchten Strom

0( ) = e RCt

Ui t

R

�

b) An das RC-Glied werde nun zum Zeitpunkt t = 0 ein sehr kurze Zeit wirkender Span-

nungsimpuls (Deltaimpuls) )()( tAtu 6� (A = 1 Vs) der Impulsfläche 1 Vs angelegt.

Analog zu a) erhält man aus der Spannungsgleichung

� ��t

CR tAdiC

tiRtutu0

)()(1)()()( 699

mit der Korrespondenz AtA <��)(6

RCs

sRA =

Cs+R

AsIAsIsC

sIR 11 = )( = )(11)(�

+�

Die Laplace-Transformierte I(s) des Stromes ist hier keine echt gebrochen rationale Funktion. Durch Polynomdivision erhält man:

��

�

��

�

��

RCs

RCRAsI 1

1

1 = )( .

Durch inverse Laplace-Transformation folgt daraus für den gesuchten Strom

RCt

CRAt

RAti

�� e )( = )( 26

Der angelegte Spannungsimpuls hat zunächst einen Stromimpuls der Impulsfläche 1R

As zur

Folge. Darauf folgt der Entladungsstrom des Kondensators. Beachtet man A = 1 Vs, so erkennt man, dass die Gleichung für den Strom i(t) auch dimensionsmäßig richtig ist.

86 3 Laplace - Transformation Beispiel 3.32 Man bestimme die Bildfunktion F(s) des „Dreieckimpulses“ nach Bild 3.28 a.

0

t

0

df(t)

t

dt2U

9

99

2U9

U

92a) b)

)( tf

Bild 3.28 Zeitfunktion f(t) und ihre Ableitung )(tf �

Wir betrachten nun die Ableitung der gegebenen Zeitfunktion

2 für 0 < < 2

( ) = 2 für < < 2

0 für alle übrigen Zeitpunkte

U t

f t U t

99

9 99

� � ��

Die Ableitung der gegebenen Zeitfunktion lässt sich einfach aus Sprungfunktionen zusammen-setzen ( Bild 3.27 ). Man erhält

�

��

��#

$%

&'( �� )(

22)(2 = )( 94944

9tttUt'f

und unter Beachtung des Verschiebungssatzes die Laplace-Transformierte

2 32

2 22 1 2'( ) 1 2 1s s

sU Uf t e e es s

9 99

9 9

� � � ��

L

Mit dem Integrationssatz für die Originalfunktion folgt

2 32

22

0

2( ) ( ) ( ) 1t s

UF s f t f z dz es

9

9

� . � � � � �� / � �� 0

�

= L = L

Ohne Verwendung des Integrationssatzes müsste man für die Zeitfunktion ( )f t die folgende, etwas schwieriger zu erkennende Zerlegung in Teilfunktionen verwenden.

) * ) *2 4 2( )2 2

U U Uf t t t t t t9 94 9 4 99 9 9

( % ( %� � � � � � �& # & #' $ ' $

Bemerkung: Das Verfahren, die Laplace-Transformierte einer Zeitfunktion ( )f t dadurch zu erhalten, dass man zunächst die in manchen Fällen einfachere Bildfunktion der Ableitung

( )f t� bestimmt und den Integrationssatz für die Originalfunktion verwendet, ist nur dann zu-lässig, wenn ( )f t eine stetige Funktion ist. Für eine Zeitfunktion mit Sprungstellen ist die verallgemeinerte Ableitung (siehe Abschnitt 3.3.12) zu verwenden.

3.3 Transformationsregeln 87 Um etwa das (richtige) Ergebnis von Beispiel 3.12 (Seite 52)

2( ) = 1 e es sA AF sss

9 9

9� � ��

auf diese Weise zu erhalten, muss man von

1 1( ) ( ) ( ) ( )Df t A t t t4 4 9 6 99 9 ��

ausgehen.


Aufgabe 3.21 Aus der Korrespondenz atas

��<�

e1 � sollen durch zweimaliges Anwenden

des Integrationssatzes für die Originalfunktion neue Korrespondenzen gewonnen werden.

Aufgabe 3.22 Bestimmen Sie die Laplace-Transformierten F(s) für die folgenden Original-funktionen

0

2 3

0

sin( )a) ( ) = Si( ) = (s. Beispiel 4.48)

b) ( ) = 2 e

t

t

f t t d

f t d9

9 99

9 9 9� ��

�

�

Aufgabe 3.23 Für die Zeitfunktion nach Bild 3.29 berechne man unter Verwendung des In-tegrationssatzes für die Originalfunktion die Laplace-Transformierte F(s).

0

t

9

U0)( tf

Bild 3.29 a Zeitfunktion f(t)

0 0 a) ( ) =

> 0

Ut t

f tU t 9

9

��

� �

0

t

-9,99

U0

)( tf

Bild 3.29 b Zeitfunktion f(t)

0 0

< 20b) ( ) = U03 2 < 30

0 > 3

Ut t

U tf t

U t t

t

99

9 9

9 99

9

��

� � � � �


3.3.11 Differentiationssatz für die Originalfunktion Der Differentiationssatz für die Originalfunktion beschreibt den Zusammenhang zwischen der Laplace - Transformierten F(s) einer Zeitfunktion f(t) und der Laplace-Transformierten ihrer

Ableitung

dttfdt'f )( = )( .

Satz 3.26

Es sei )( tf eine kausale Zeitfunktion mit dem rechtsseitigen Grenzwert

(+0) = )(lim0

ftft ��

,

deren Ableitung )(t'f für alle Zeitpunkte t > 0 existiert und für die das Laplace-Integral

dtt'fst�

�0

e)( konvergiert. Dann gilt

(+0))( )(' )( )( fsFstfsFtf �+ << �� (3.58)

Beweis: Mit der Definition der Laplace-Transformation erhält man

2 30

0

00

'( ) '( ) lim '( )st stt

t

f t f t e dt f t e dt

� �

��

L

Eine partielle Integration mit

)( )(' und e e = tv = ftfv'su' = u stst +��+ �� ergibt

2 300 0

0

00 0'( ) lim ( ) ( ) lim ( ) ( )st st

tt tt

f t e f t s f t e dt f t s F s

� �

� �

� . �� /� � 0

�L

Wir finden daher für die Laplace-Transformierte der Ableitung

2 3'( ) ( ) ( 0)f t s F s f� � �L .

Dem Differenzieren der Zeitfunktion )( tf entspricht im Bildbereich, abgesehen von der Sub-traktion der Konstanten f(+0), im Wesentlichen eine Multiplikation der Bildfunktion F(s) mit der Bildvariablen s. Zum Beweis des Differentiationssatzes wurde die Existenz der Ableitung für den Zeitpunkt t = 0 nicht vorausgesetzt, da insbesondere bei den Anwendungen der Laplace-Transformation häufig Zeitfunktionen auftreten, deren Ableitungen für t = 0 nicht definiert sind. Die Ableitung

)(t'f existiert in manchen Fällen schon deswegen nicht, da die Zeitfunktion )( tf für t = 0 keinen definierten Funktionswert f(0) besitzt. Es wird daher nur angenommen, dass der rechts-seitige Grenzwert f(+0) vorhanden ist.


Wenden wir Gl. (3.58) auf die Zeitfunktion )(t'f an, so folgt für die Laplace-Transformierte der 2. Ableitung

2 3 2 3 2' '( ) '( ) '( 0) ( ) ( 0) '( 0)f t s L f t f s F s s f f� � � � � � � �L

Fortsetzen dieses Verfahrens ergibt die allgemeine Form des Differentiationssatzes für die Originalfunktion

Satz 3.27 Differentiationssatz für die Originalfunktion

Es sei )( tf eine kausale Zeitfunktion, deren k-te (k = 1, 2, ..., n) Ableitungen )()( tf k für alle Zeitpunkte t > 0 existieren und deren Laplace-Integrale

�

�

0

)( e)( dttf stk

konvergieren. Aus der Korrespondenz )()( sFtf <�� folgt dann

( ) 1 2

( 2) ( 1)

( ) ( ) ( 0) ( 0)

( 0) ( 0)

n n n n

n n

f t s F s s f s f '

s f f

� �

� �

� � � � �

� � � �

<� �� (3.60)

Die Laplace-Transformierten der häufig gebrauchten Ableitungen erster bis dritter Ordnung sind im Folgenden explizit aufgeführt.

2

3 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( 0)

( ) ( ) ( 0) ( 0)

( ) ( ) ( 0) ( 0) (+ 0)

f t F s f t sF s f

f t s F s s f f

f t s F s s f s f f

�+ � �

��

��

< <<<

� ��

� ��

Beispiel 3.33 Aus der Korrespondenz 2

e2

3)(1

att

as

��<

�� sollen durch Anwenden des

Differentiationssatzes neue Korrespondenzen hergeleitet werden.

Mit 3

2

)(1 = )(

2e = )(

a+ssFttf

at<�

�� erhält man wegen f(+0) = 0 mit dem Differentia-

tionssatz die Korrespondenz

attattfs+a

ssFs ��< e2

2 = )(' )(

= )(2

3 �

Da auch f'(+0) = 0 ist, ergibt eine weitere Anwendung des Differentiationssatzes die Korres-pondenz


2 2 22

34 2( ) = ( ) = e2( )

ats a t ats F s f'' ts+ a

�� <��

Nun ist 0)(��f = 1 und man erhält analog

3 3 23

36 6( ) ''( 0) 1 '''( )

2( ) ats a t at as F s f f t e

s a��

� � � � ��

<�� oder

)(e2

66 )(

23

3

3taatta

s+as at 6�� < �

Da die Bildfunktion der letzten Korrespondenz keine echt gebrochen rationale Funktion ist, der Grad des Zählers stimmt mit dem Grad des Nenners überein, tritt im Zeitbereich die Delta-funktion auf. Beispiel 3.34 An den im Bild 3.30 dargestellten Stromkreis wird zur Zeit t = 0 die Spannung u(t) = )(0 tU 4 angelegt. Es soll der Strom i(t) berechnet werden, wenn für den Strom die An-fangsbedingung i(+0) = 0 gilt.

i(t)

R L

u(t)

Bild 3.30 Stromkreis und Strom i(t)

Transformiert man die Spannungsgleichung

0( )( ) = ( )d i tR i t L U t

dt4�

in den Bildbereich, so erhält man mit i(t) � � < I(s) und i(+0) = 0 die Gleichung 0( ) + ( ) =

UR I s LsI s

s + 0 0( ) = =

( )U U

I sRs R+ Ls sL s+L

( %& #' $

Eine Partialbruchzerlegung liefert

0 1 1( ) = U

I sRR s sL

( %& #

�& #& #�& #' $

und durch inverse Laplace-

Transformation erhält man den gesuchten Strom

0( ) = 1 eR tLU

i tR

�( %& #�& #& #' $


3.3.12 Differentiationssatz für die verallgemeinerte Ableitung einer Zeitfunktion

Wir haben im Abschn. 3.3.4 die Dirac'sche Deltafunktion als verallgemeinerte Ableitung der Sprungfunktion betrachtet und den Zusammenhang in der Form

D ( ) = ( )t t4 6 (3.42)

ausgedrückt, wobei als Symbol für die verallgemeinerte Ableitung D (Derivation) gewählt wurde. Diese zunächst doch recht formale mathematische Definition ist aber auch physikalisch sinn-voll und daher für Anwendungen brauchbar. Legt man etwa an den Eingang eines Differen-ziergliedes eine sprungförmige Spannung, wobei der Übergang vom Spannungswert 0 zum Spannungswert 1 im Allgemeinen innerhalb einer sehr kurzen Zeitspanne 9 erfolgt (Bild 3.21), so tritt am Ausgang dieses Differenziergliedes ein sehr kurzer und hoher Spannungsim-puls auf, der in seiner idealisierten Form als ein Deltaimpuls angesehen werden kann. Mit Hilfe der Deltafunktion als verallgemeinerte Ableitung der Sprungfunktion kann die ver-allgemeinerte Ableitung einer Zeitfunktion )( tf definiert werden, die, im Gegensatz zu der von der Analysis her bekannten üblichen Ableitung, auch an Sprungstellen (Unstetigkeitsstel-len) der Funktion )( tf existiert. Die praktische Bedeutung dieser verallgemeinerten Ableitung gerade für die Anwendungen der Laplace-Transformation in der Elektrotechnik werden wir später im Abschn. 3.4.3 erken-nen. An dieser Stelle sei nur darauf hingewiesen, dass bei der Berechnung von Einschaltvor-gängen in Netzwerken häufig Ströme oder Spannungen auftreten, die zum Schaltzeitpunkt t = 0 sich unstetig verhalten. Ersetzt man in den dabei auftretenden Differentialgleichungen die üblichen Ableitungen durch die verallgemeinerten Ableitungen, so ist die Frage nach den ein-zusetzenden Anfangswerten eindeutig zu beantworten.

Definition 3.6

Es sei )( tf eine Zeitfunktion, die mit Ausnahme der Stellen t = it ( i = 1, 2, .. , n) überall stetig ist. Die Sprunghöhen (Differenzen aus den rechts- und linksseitigen Grenzwerten der Funktion )( tf ) an diesen Unstetigkeitsstellen seien hi = f(ti +0) � f(ti � 0),. Unter der verallgemeinerten Ableitung der Funktion )( tf versteht man

) *��

��n

iii tthtftf

1

)()(D 6

(3.61)

Für eine überall stetige Funktion )( tf stimmen verallgemeinerte Ableitung Df(t) und übliche Ableitung )( tf � überein. Für eine Funktion mit Unstetigkeitsstellen stimmen D ( )f t und )( tf � an allen Stetigkeits-stellen von )( tf überein, an den Unstetigkeitsstellen, an denen die gewöhnlichen Ableitungen nicht definiert sind, wird die verallgemeinerte Ableitung D )( tf durch einen Deltaimpuls beschrieben, dessen Impulsfläche der jeweiligen Sprunghöhe entspricht. Beispiel 3.35 Man bestimme die verallgemeinerte Ableitung der in Bild 3.31 dargestellten Folge von Rechteckimpulsen.


)5(3)4(3)3()2()1(2)(2 = )( �� tttttttf 444444

1

2

3 4 52

t 1

2

30

5

-2

t

0

)( tf )( tfD

Bild 3.31 Folge von Rechteckimpulsen und verallgemeinerte Ableitung

Für die übliche Ableitung gilt nicht definiert für = 1, 2,3, 4,5

( )0 sonst

tf t

� � � � �

Für die Folge von Rechteckimpulsen

)5(3)4(3)3()2()1(2)(2 = )( �� tttttttf 444444

ergibt sich als verallgemeinerte Ableitung

)5(3)4(3)3()2()1(2)(2 = )(D �� tttttttf 666666

Die verallgemeinerte Ableitung einer Folge von Rechteckimpulsen ist eine Folge von Deltaim-pulsen.

Wie wollen uns nun dem für die Anwendungen in der Elektrotechnik wichtigen Sonderfall zuwenden und kausale Zeitfunktionen )( tf betrachten, die, wenn überhaupt, sich nur zum Zeitpunkt t = 0 unstetig verhalten.

u(t)iL iC

R

CL

Schaltet man beispielsweise an das Netzwerk von Bild 3.32 zum Zeitpunkt t = 0 eine Gleichspannung u(t) = )(0 tU 4 , so ändert sich der Teilstrom ( )Li t stetig, der Teilstrom

( )Ci t dagegen unstetig.

Bild 3.32 Netzwerk

3.3 Transformationsregeln 93 Satz 3.28

Für eine, wenn überhaupt, nur bei t = 0 unstetige Zeitfunktion )( tf , mit der Laplace-Transformierten F(s) gilt

)0()( )(D ��<� fsFstf � (3.62)

Ist )( tf eine kausale Zeitfunktion, was wir bisher immer vorausgesetzt haben, so sind für

k = 0, 1, 2, ..., n � 1 alle linkseitigen Anfangswerte 0 = )0()( �kf

und es gelten die Korrespondenzen

)( )(D sFstf <��

)( )(D )( sFstf nn <��

(3.63)

(3.64)

Beweis: Für eine bei t = 0 unstetige Zeitfunktion f(t) gilt

)()(' = )(D thtftf 6� .

Mit den Korrespondenzen

'( ) ( ) ( 0)

( ) 1

f t sF s f

t6

� �<

<

��

folgt mit h = f(+0) � f(�0)

)0()( )(D ��<� fssFtf � Bild 3.33 Zeitfunktion f(t)

Für eine kausale Zeitfunktion ( f(t) = 0 für alle Zeitpunkte t < 0) mit f(�0) = 0 folgt (3.63) und durch wiederholtes Anwenden von Gl. (3.63) schließlich Gl. (3.64). Der Differentiationssatz für die verallgemeinerte Ableitung

)0()( )(D ��<� fssFtf �

unterscheidet sich vom Differentiationssatz für die übliche Ableitung

)0()( )( ��<� fs sFt'f �

nur dadurch, dass statt des rechtsseitigen Grenzwertes f(+0) der linksseitige Grenzwert f(�0) auftritt. Dies hat bei den Anwendungen wichtige Folgerungen, da über den linksseitigen Grenzwert allgemeinere Aussagen gemacht werden können. Bei Anwendungen sind es die Parameterwerte, die ein System aus der Vergangenheit (t < 0) „mitbringet“. In der Elektrotechnik können das zum Beispiel Spannungen an Kondensatoren sein.

94 3 Laplace - Transformation Beispiel 3.36 Es sollen die Laplace-Transformierten der Ableitungen der Deltafunktion be-stimmt werden.

Für die Laplace-Transformierte der Deltafunktion selbst erhält man mit (3.62) und der Kor-

respondenz s

sFttf 1 = )( )( = )( <��4 die uns schon bekannte Bildfunktion der Deltafunkti-

on

1 = )0(1 )(D = )( ��<� 446s

stt �

Für die verallgemeinerten Ableitungen der Deltafunktion folgt mit (3.62)

nn st )(D )( <��6 (3.65)

Den Bildfunktionen F(s) = sn entsprechen im Zeitbereich die Ableitungen der Deltafunktion.

3.3.13 Grenzwertsätze

a) Anfangswertsatz

Mit dem Anfangswertsatz lässt sich aus einer Bildfunktion F(s) der "Anfangswert" f(+0) der zugehörigen Zeitfunktion ohne die Kenntnis von )( tf bestimmen.

Satz 3.29 Anfangswertsatz

Es sei F(s) eine Bildfunktion mit der Zeitfunktion )( tf , deren Ableitung )( tf � für alle Zeit-punkte t > 0 existiert und eine Laplace-Transformierte besitzt. Für den Anfangswert f(+0) der Zeitfunktion )( tf gilt dann

+0 lim ( ) = lim ( )

t sf t sF s

� � (3.66)

Beweis: Da vorausgesetzt wurde, dass )( tf � , die Ableitung der Zeitfunktion )( tf für alle Zeitpunkte t > 0 existiert und eine Laplace-Transformierte besitzt, konvergiert das Laplace-Integral der Ableitung und es gilt mit dem Differentiationssatz für die Originalfunktion

�

� ��<�0

)0()( = e)(' )( fsFsdttft'f st�

Im Grenzfall s � , wobei der Grenzübergang so zu führen ist, dass auch Re s � strebt, gilt 0 e)( ��stt'f für alle Zeitpunkte t.

3.3 Transformationsregeln 95 Damit erhält man

(+0) (lim = e)(lim0

f)sFsdtt'fs

sts

��

�

� �

(+0))(lim = 0 fsFss

��

Durch diesen Satz wird bei bekannter Bildfunktion ( )F s eine Aussage über den Anfangswert der Originalfunktion )( tf gemacht, ohne dass )( tf bekannt sein muss.

Die Existenz des Grenzwertes f(+0) ist unter den gemachten Voraussetzungen gesichert.

Da man bei den Anwendungen des Satzes diese Voraussetzungen nicht immer prüfen will oder kann, sei darauf hingewiesen, dass aus der Existenz des Grenzwertes )(lim

sFs

s � nicht auf

das Vorhandensein des Grenzwertes )(lim0+

tft �

geschlossen werden darf.

b) Endwertsatz Satz 3.30

Es sei )( tf eine Zeitfunktion, für welche die Voraussetzungen des Differentiationssatzes gelten und deren Laplace -Transformierte F(s) mit Ausnahme einer einfachen Polstelle bei s = 0, für Re s � 0 keine weiteren Pole hat.

Dann gilt der folgende Endwertsatz

)(lim = )(lim0

sFstfst ��

(3.67)

Beweis: Ausgehend vom Differentiationssatz für die Originalfunktion

�

�

� ��<�0

)0()( = e)( )( fsFsdtt'ft'f st�

folgt im Grenzfall s � 0

�

��

��

00

)0()(lim = (+0) )(lim = )( fsFsftfdtt'fst


Beispiel 3.37 Gegeben ist die Bildfunktion

2

3 23( ) =

5 8 4s sF s

s s s� �

� � �

Es sollen der Anfangswert f(+0) und der Endwert )(lim tft �

der zugehörigen Zeitfunktion

bestimmt werden. Anfangswert:

2

3 20

( 3)lim ( ) = lim = 15 8 5t s

s s sf ts s s� �

� ��

Endwert:

2

3 20

( 3)lim ( ) = lim = 05 8 5t s

s s sf ts s s� �

� ��

Damit sind Anfangs- und Endwert ohne Kenntnis der Zeitfunktion )( tf bestimmt. Bemerkung: Bei ( )F s handelt es sich um die Bildfunktion von Beispiel 3.22. An der dort

berechneten Zeitfunktion ttt ttf 22 e2e3e = )( �� kann das Ergebnis verifiziert werden. Beispiel 3.38 Es sollen Anfangswert und Endwert der Zeitfunktion )( tf bestimmt werden,

deren Laplace-Transformierte die Bildfunktion 3

4( )( 1)

sF ss

��

ist.

Anfangswert: 3

40lim ( ) = lim = 1

( 1)t s

s sf ts� �

:�

Endwert: 3

40

lim ( ) = lim = 0( 1)t s

s sf ts� �

:�

Aufgaben zum Abschnitt 3.3.13 (Ergebnisse im Anhang) Aufgabe 3.24 Man berechne zu den folgenden Bildfunktionen die Anfangs- und Endwerte ihrer zugehörigen Zeitfunktionen.

3)3+(11 = )(a)

ssF 22)+1)((

1 = )(b)ss

sF�

ssss++ssF

22232 = )(c) 23

2

�� #

$%

&'(

sssF 1arctan1 = )(d)

1+s1 = )(e)

ssF )1ln(1 = )(f) s

ssF �


3.3.14 Differentiationssatz für die Bildfunktion Satz 3.31

Ist F(s) die Laplace-Transformierte der kausalen Zeitfunktion )( tf , so gelten die folgenden Korrespondenzen

)()1( )(

)( )(

tftds

sFd

tftds

sdF

nnn

)n(�

�

�

�

<

<

�

�

(3.68)

(3.69)

Dieser Differentiationssatz für die Bildfunktion macht eine Aussage über die Originalfunktio-nen der Ableitungen einer Bildfunktion. Dadurch werden weitere Einsichten in die Zusam-menhänge zwischen einer Bildfunktion F(s) und der zugehörigen Zeitfunktion )( tf gegeben.

Beweis: Ausgehend von der Definitionsgleichung der Laplace-Transformation

�

�

0

e)( = )( dttfsF st

erhält man durch Differenzieren der Bildfunktion nach der Variablen s

�

�

0

e)( = )( dttfdsd

dssdF st

Die Variablen s und t sind voneinander unabhängig. Differentiation und Integration können vertauscht werden. Damit ergibt sich

) *0 0

( ) = ( ) e = ( ) est stdF s d f t dt t f t dtds ds

� ��

Das letzte Integral ist die Laplace-Transformierte der Zeitfunktion )()( tfttg �� Durch mehrfaches Anwenden der Korrespondenz (3.68) erhält man die Korrespondenz (3.69). Beispiel 3.39 Es soll die Laplace-Transformierte der Zeitfunktion )sin()( tttf ��

berechnet werden.

Aus der Korrespondenz 22 )sin(�

��

<�s

t � folgt mit dem Differentiationssatz für die

Bildfunktion


222 )(2 = )( )sin(��

�<�s

sds

sdFtt �

Beispiel 3.40 Man berechne das Integral �

�

0

2e)sin( dttt t .

Mit dem Ergebnis von Beispiel 3.39 erhält man für � = 1 die Korrespondenz

�

�

�<�

022 e)sin( =

)1(

2 )sin( dttts

stt st�

Für s = 2 ergibt sich schließlich 0,16 = 254 = e)sin(

0

2�

� dttt t .

Beispiel 3.41 Aus der Korrespondenz ts

sF�1 1 = )( ��< sollen mit dem Differentiati-

onssatz für die Bildfunktion neue Korrespondenzen hergeleitet werden.

Wir erhalten ��

21

= 2

1 = )( tt

tssds

sdF�� < �

und

�

23

123

21 = )(

22

2 tssds

sFd ��<

Durch Fortsetzen des Verfahrens ergibt sich die Korrespondenz

�

21

!)2(!4 1

��<

nn

nt

nn

ss�

Beispiel 3.42 Man berechne die Originalfunktion )( tf zur Bildfunktion

.s

sF ##$

%&&'

(21+1ln = )(

Durch Differenzieren der Bildfunktion und Zerlegung in Partialbrüche folgt

23 2 2

( ) 1 2 2 2 211 ( 1) 1

dF s sds ss s s ss

( %� � � � � � �& #� � �' $

Durch inverse Laplace-Transformation und Beachten des Differentiationssatzes für die Bild-funktion erhalten wir


)(=)2cos(+2 )( tfttds

sdF��< �

und daraus

t

ttf )cos(22 = )( � .


Aufgabe 3.25 Man berechne die Bildfunktionen F(s) zu den folgenden Zeitfunktionen

)sinh( = )(a) tttf )sin( = )(b) 2 tttf

)cos( = )(c) 3 tttf � �d) ( ) = 3sin(2 )+cos(2 )f t t t t

� �)cos()sin(21 = )(e) ttttf �

Aufgabe 3.26 Man bestimme die Zeitfunktion )( tf zur Bildfunktion

)1(ln)( ssF �� .

3.3.15 Integrationssatz für die Bildfunktion

Satz 3.32

Es sei F(s) die Bildfunktion der Originalfunktion )( tf . Dann gilt unter der Voraussetzung,

dass auch ttftg )()( � eine Bildfunktion besitzt

�

�<s

ttfduuF )( )( �

(3.70)

Ist F(s) die Bildfunktion von f(t), so erhält man durch eine Integration von

s bis über die Bildfunktion die Laplace-Transformierte der Zeitfunktion ttftg )()( � .

Beweis: Gehen wir aus von der Definitionsgleichung der Laplace-Transformation

�

�

0

e)( = )( dttfsF st

und bilden das Integral


s 0

( ) = ( ) e ut

s

F u du f t dt du ,

��

so können die Integrationen vertauscht werden, da die Variablen u und t unabhängig vonein-ander sind und man erhält

dtt

tfdtdutfduuFst

s s

ut�

� ��

�

��

�

e)( = e)( = )(

00

Das letzte Integral ist die Laplace-Transformierte der Zeitfunktion ttftg )()( � . Da vorausge-

setzt wurde, dass g(t) eine Laplace-Transformierte besitzt, ist die Konvergenz dieses Integ-rals gesichert. Aus dem Integrationssatz für die Bildfunktion

dtttfduuFtfsF st�

� �+�< e)( = )( )( )(

s 0

�

ergibt sich im Grenzfall s � 0

0 0

( )( ) = f tF s ds dtt

� �

(3.71)

Gl. (3.71) kann, auch wenn es nicht unbedingt als eine Aufgabe der Laplace-Transformation

angesehen wird, zur Berechnung bestimmter Integrale des Typs �

0

)( dtttf verwendet wer-

den. Beispiel 3.43 Man bestimme die Laplace-Transformierte der Zeitfunktion

t

ttf )sin( = )( .

Aus

11 )sin( 2 �

<�s

t � folgt �

�<�

su

dut

t1

)sin(2�

Das bedeutet

sin( ) 1 arctan( ) = arctan( ) = arctan2

u

u s

t u st s

�

�

� ( % � � & #� �� ' $<��

Beispiel 3.44 Man berechne das Integral dtt

t�

0

)sin( .

Aus der Korrespondenz 12

1)sin(

�<�

st � erhält man mit Gl. (3.71)


) *200 0

sin( ) = = arctan = 21

t dsdt st s

� ��

Damit ist der Zahlenwert des Integralsinus für das Argument "unendlich", Si(), der in der Nachrichtentechnik gelegentlich gebraucht wird, berechnet. Ein anderer Weg, Si() zu bestimmen, wurde im Abschnitt 3.3.9 gezeigt.

Beispiel 3.45 Gegeben ist die Korrespondenz

.asas

tata 21 e e 11

21

��

��

�< �

Mit dem Integrationssatz für die Bildfunktion soll eine neue Korrespondenz gefunden werden. Man erhält

1

1 2 2

1 1( ) = = lnss s

u + aF u du du

u + a u a u + a

� �

��

Da der Grenzwert 0 = lim21

auau

u ��

� ist, findet man die Korrespondenz

tasas

tata 12 ee ln21

�� < �

Aufgaben zum Abschnitt 3.3.15 (Ergebnisse im Anhang) Aufgabe 3.27 Man berechne die Laplace-Transformierten F(s) zu den folgenden Zeitfunktionen

tttf )sinh( = )(a)

ttf

t�� e1 = )(b)

1 2cos( ) cos( )c) ( ) = a t a tf tt�

Aufgabe 3.28 Man berechne die folgenden bestimmten Integrale

dtt

tt�

�

0

)cos()4cos(a) dtt

tt

� ��

0

3eeb)

4 Anwendungen der Laplace-Transformation

4.1. Lösen von linearen gewöhnlichen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten

Definition 4.1

Eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten ist eine Differentialgleichung der Form

( ) ( 1)1 1 0( ) ( ) + ( ) ( ) = ( )n n

nf t a f t a f ' t a f t r t�� (4.1)

wobei r(t) eine beliebige "Störungsfunktion" ist. Die Differentialgleichung heißt homogen, wenn r(t) = 0 ist.

Bei gewöhnlichen Differentialgleichungen ist die gesuchte Funktion, die Zeitfunktion )( tf , eine Funktion von nur einer Veränderlichen. Die betrachtete Differentialgleichung heißt linear, da die gesuchte Zeitfunktion )( tf und ihre Ableitungen nur linear auftreten. Die Koeffizienten 1 2 1, , na a a �� sind zeitunabhängige konstante Faktoren.

Diese, mit Hilfe der Laplace-Transformation besonders einfach lösbare Klasse von Differen-tialgleichungen, tritt in den Anwendungen bei vielen Problemstellungen auf. In der Elektro-technik, etwa bei der Berechnung von Einschalt- und Ausgleichsvorgängen in Netzwerken. Zum Lösen der in Gl. (4.1) beschriebenen Differentialgleichung setzen wir voraus, dass die gesuchte Zeitfunktion )( tf eine Laplace-Transformierte F(s) besitzt, dass also die Korrespon-denz

)()( sFtf <��

gilt. Mit dem Differentiationssatz für die Originalfunktion

)0( )0()0()()( )1(21)( �� <� nnnnn f'fsfssFstf ��

kann die gegebene Differentialgleichung n-ter Ordnung in den Bildraum transformiert wer-den. Dazu ist es notwendig, dass die im Differentiationssatz für die Originalfunktion auftre-tenden n Anfangswerte

)0()0()0( )1( �� nf,,f,f �

bekannt sind. Gerade bei den in den Anwendungen vorkommenden Differentialgleichungen kann die Kennt-nis dieser Anfangswerte im Allgemeinen vorausgesetzt werden.


4.1. Lösen von linearen gewöhnlichen Differentialgleichungen 103 Sind einige dieser Anfangswerte jedoch nicht vorgegeben, so werden für sie beliebige Kon-stanten eingesetzt. Die Lösungsfunktion enthält dann ebenfalls diese Konstanten, die dann durch Einsetzen von anderen Nebenbedingungen bestimmt werden müssen. Da im Differentiationssatz die Laplace-Transformierte F(s) der gesuchten Zeitfunktion linear vorkommt, erhält man durch die Transformation der linearen Differentialgleichung in den Bildraum eine lineare Gleichung für F(s), die relativ einfach nach F(s) aufgelöst werden kann. Inverse Laplace-Transformation ergibt dann die Lösungsfunktion )( tf der Differentialglei-chung, die den verwendeten Anfangsbedingungen genügt.

Das Lösen einer linearen gewöhnlichen Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten erfolgt daher nach folgendem Schema.

Differentialgleichung + Anfangswerte

Gesuchte Zeitfunktion )( tf

? Laplace-Transformation

Inverse Laplace-Transformation

@

Lineare Gleichung für F(s) �

Bildfunktion F(s)

a) Verschwindende Anfangsbedingungen

Die Lösung der Differentialgleichung wird besonders einfach, wenn alle Anfangsbedingungen verschwinden, d.h. für

( 1)( 0) = '(+0) = (+0) = = (+0) = 0nf f f'' f ��

In diesem Falle geht Gl. (4.1) durch Laplace-Transformation über in

2 311 0( ) ( ) ( ) ( )n n

ns F s a s F s a F s r t�� L

und man erhält als Laplace-Transformierte der gesuchten Zeitfunktion

2 3 2 31

1 1 0

( ) ( )( )

( )n nn

r t r tF s

N ss a s a s a��

L L = =

(4.2)

Im Falle verschwindender Anfangsbedingungen hat eine homogene Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten wegen

2 3( ) 0 ( ) 0r t r t� + � L nur die triviale Lösung )( tf = 0.

Die Lösung der inhomogenen Differentialgleichung, bei der die Störungsfunktion r(t) nicht identisch null ist, erhält man durch Zerlegen von Gl. (4.2) in Partialbrüche und gliedweises Transformieren in den Zeitbereich.

104 4 Anwendungen der Laplace-Transformation

b) Nicht verschwindende Anfangsbedingungen Im Falle nicht verschwindender Anfangswerte geht Gl. (4.2) über in

2 31

1( )

( )( )

n

ii

ir t k s

F sN s

�

�

��L

=

(4.3)

Der Zähler enthält, bedingt durch die nicht verschwindenden Anfangsbedingungen, zusätzlich ein Polynom der Bildvariablen s, das für f (+0) � 0 vom Grade n � 1 ist. Haben die Laplace-Transformierte der Störfunktion und der Nenner N(s) keine gemeinsamen Polstellen, so hat die Bildfunktion F(s) im Falle nicht verschwindender Anfangswerte die glei-chen Pole, wie im Falle verschwindender Anfangswerte. Die Lösungsfunktionen sind also bis auf andere konstante Faktoren die gleichen.

Beispiel 4.1 Man berechne die Lösung der Differentialgleichung

( ) 2 ( ) sin( ),f t f t t� � �

die der Anfangsbedingung f (+0) = 0 genügt. Durch Transformation der gegebenen Differentialgleichung in den Bildraum erhält man

11 = )(2)( 2 �

�s

sFsFs

und daraus durch Umformen und Partialbruchzerlegung

2 312 2

1( ) = = 2( +2)( 1) 1

A s AAF s +

s+s s s�

� �

Multiplikation mit N(s) = (s + 2)(s2 + 1) ergibt die Gleichung

)2)(( + )1( = 1 322

1 �� sAsAsA

Zur Bestimmung der unbekannten Koeffizienten A1, A2 und A3 setzen wir günstige s-Werte ein und erhalten für

s = � 2: 1 = 5A1 + A1 = 0,2

s = 0: 1 = 0,2 + 2A2 + A3 = 0,4

s = 1: 1 = 1 + 0,4 + 3A2 + 1,2 + A2 = �0,2

Damit ergibt sich

22 2

1 2( ) = 0,2 ( ) = 0,2 e cos( ) 2sin( )2 1 1

tsF s f t t ts + s s

� � �� <��

4.1. Lösen von linearen gewöhnlichen Differentialgleichungen 105

Beispiel 4.2 Man berechne die Lösungsfunktion )( tf der Differentialgleichung

)cos(2 = )(9 + )( ttft''f

für die Nebenbedingungen 0)0( ��f und 1 = )(�'f .

Da die Anfangsbedingung f'(+0) nicht gegeben ist, setzen wir f'(+0) = k und bestimmen, nach-dem eine Lösung vorliegt, die k enthält, die Konstante k so, dass )(��f = 1 wird.

Laplace-Transformation der Differentialgleichung ergibt

4

= )(9)( 22

��

sssFksFs und

9 +

)4)(9( = )( 222 �� s

kss

ssF

Eine Partialbruchzerlegung braucht hier nur für den ersten Term der rechten Seite durchgeführt werden. Man erhält

49 =

)4)(9( 2

432

2122 �� s

s+AA + s

s+AA

sss

und nach der Multiplikation dieser Gleichung mit dem Nenner

)9)(( + )4)(( = 243

221 �� sAsAsAsAs

s = 2j: 2j = (A32j + A4) 5 + A3 = 0,2 und A4 = 0

s = 3j: 3j = (A13j + A2) (�5) + A1 = � 0,2 und A2 = 0

Durch Einsetzen der imaginären Polstellen s = 2j bzw. s = 3j ergeben sich zwei einfache Glei-chungen, aus denen durch Vergleichen von Real- und Imaginärteilen der Gleichungen jeweils zwei der unbekannten Koeffizienten bestimmt werden können.

Damit erhält man

9920

420 = )( 222 ��

�� s

k + s

s, s

s,sF und

)3sin(3

+)cos(30,2)cos(20,2 = )( tktttf �

Zur Bestimmung der noch unbekannten Konstanten k bilden wir die Ableitung

)cos(3 + )0,6sin(3 + )0,4sin(2 = )( tkttt'f �

und erhalten 1= 1 = =)( �+�� kk'f

Die partikuläre Lösung der Differentialgleichung, die den gegebenen Nebenbedingungen ge-nügt, lautet somit

)3sin(31)0,2cos(3)cos(20,2 = )( ttttf ��


Beispiel 4.3 Schwingung mit Bremsreibung

Eine Masse schwinge zwischen zwei Federn entsprechend Bild 4.1.

0 A0

m x

Bild 4.1 Schwingung mit Bremsreibung

m = Masse D = Federkonstante FR = Reibungskraft

Die Bewegung der Masse m ist durch folgende Differentialgleichung bestimmt 2 2

2 2

22

2

( ) ( )( ) 0 ( ) ( )

( ) ( ) ( )d

RR

Fd x t d x t Dm D x t F bzw. x t r tm mdt dt

d x t x t r tt

�

� � � � � � �

� �

Mit der Anfangsauslenkung 0A 0� und der Anfangsgeschwindigkeit 0)(�

dttdx

erhält man im

Bildbereich der Laplace-Transformation die Gleichung

2 3 2 300

2 22 2 2 2

( )( ) ( ) ( ) ( )

r ts As X s s A X s r t X s

s s�

� �� + � �

� �

LL

Die Reibungskraft RF ist dem Betrag nach konstant und der jeweiligen Bewegungsrichtung entgegengesetzt. Sie ist eine periodische Funktion und die Funktion ( )r t hat einen Verlauf nach Bild 4.2.

0

k

� kT 2T

t

r(t)

Bild 4.2 Periodische Funktion r(t)

2 32

2

1( )

1

sT

sTk er ts

e

�

�

��

�

L

(s. Beispiel 3.14)

Damit ergibt sich für die Laplace-Transformierte X(s)

202 2 2 2

2

1 1 e( )( ) ( )

1 e

sT

sTA s

X s ks s s� �

�

�

��

� ��

Durch Polynomdivision erhält man

�� 432 22221

11 aaaa

aa und damit mit 2e

sTa

��

4.1. Lösen von linearen gewöhnlichen Differentialgleichungen 107

03

2 22 2 2 2( ) 1 2e 2e 2e

( ) ( )

sT sTsTA s kX s

s s s� �

� ��

� � � ��

Mit der Korrespondenz Nr. 26, Abschn. 6.3

) *2

2 2 1 cos( )

ts s

� ��

<� ��

�

und dem Verschiebungssatz erhält man die Zeitfunktion

) *

) * ) *

o 2 2

o 2 2 2

2 2

2( ) cos( ) 1 cos( ) 1 cos ( )2 2

2( ) cos( ) 1 cos ( )2 2

2 2 3 31 cos ( ) 1 cos ( )2 2

k k T Tx t A t t t t

k k k T Tx t A t t t

k k T Tt T t T t t

� � � 4� �

� � 4� � �

� 4 � 4� �

( % ( %� � � � � � � � �& # & #' $ ' $

� ( % ( %� � � � � � � �� & # & #' $ ' $�

( % ( %� � � � � � � � � �& # & #' $ ' $

�

�

) *0 2 20 : ( ) cos2T k kt x t A t�

� �

��

�

) *

) *

0 2 2 2

0 2 2

2: ( ) cos cos( )2 2

3 cos

T k k T kt T x t A t t

k kA t

��

��

��

� �

� � ��

Durch Fortsetzen dieser Überlegungen (immer mehr Epsilonfunktionen werden von Null ver-schieden) kann die Schwingung der Masse für die weiteren Zeitintervalle bestimmt werden. Den Verlauf der Bremsschwingung mit linear abfallender Amplitude zeigt das folgende Bild. Die Schwingungsamplitude wird nicht bis auf den Wert Null abklingen. Die Schwingung ist beendet, wenn die Federkraft die Reibungskräfte nicht mehr überwinden kann.

Bild 4.3 Schwingung mit Linear abfallender Amplitude



Aufgabe 4.1 Man bestimme für die folgenden Differentialgleichungen die Lösungen f(t), die den angegebenen Anfangsbedingungen genügen

0 = (+0)' = (+0) = )(2)(3)(a)

ffttft'ft''f ��

5 = (+0)' 0; = (+0)

)25sin(2 = )()(2)(b)ff

ttft'ft''f ��

1 = (+0) 2; = (+0) e610e = )(9)(c) 32

��

f' ftft''f tt

8 = (+0) 3; = (+0) 1; = (+0) 0 = )()(d)

f''f'ftft'''f �

e) '' ( ) 4 '( ) 4 ( ) ( ) ( 2)( 0) 0; '( 0) 0f t f t f t t t

f f4 4� � � � �

� � � �

Aufgabe 4.2 Man bestimme die allgemeine Lösung der Differentialgleichung

ttft'ft''f 5e38 = )(4)(2)( �� .

Für die allgemeine Lösung werden keine bestimmten Anfangsbedingungen vorgegeben, sie enthält daher in diesem Beispiel zwei unbestimmte Konstanten. Aufgabe 4.3 An ein RC-Glied (s. Bild 4.4) wird zum Zeitpunkt t = 0 eine Eingangsspannung

e ( )u t angelegt. Für die Ausgangsspannung ua(t) gilt die Differentialgleichung R

i(t)ue(t) C ua(t)

Bild 4.4 RC – Glied

aa e

( )+ ( ) = ( )

du tRC u t u t

dt

Der Kondensator sei vor dem Schalten unge-laden, d.h. es gilt die Anfangsbedingung

ua (� 0) = 0. Man bestimme die Ausgangsspannungen ua(t) bei den folgenden Eingangsspannungen

� �e 0a) ( ) ( ) ( )u t U t t4 4 9� � � eb) ( )u t kt�

ue(t)

0

t

9

U0

ue(t)

0

t

9

U0 k =U0

9

Bild 4.4 a Eingansspannung Bild 4.4 b Eingansspannung

4.2 109

4.2 Lösen von Systemen gewöhnlicher Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten

Bei vielen Aufgabenstellungen sind mehrere Zeitfunktionen gesucht, die einem System von linearen gewöhnlichen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten genügen. Sind bei Anwendungen in der Elektrotechnik etwa k Maschenströme i1(t), i2(t), ..., ik(t) zu berechnen, so ist ein System von k Differentialgleichungen für die k unbekannten Zeitfunktio-nen zu lösen.

Ein klassisches Lösungsverfahren nun besteht darin, ein Differentialgleichungssystem n-ter Ordnung, wobei die Ordnung des Systems durch die Summe der Ordnungen der einzelnen Differentialgleichungen gegeben ist, durch einen Eliminationsprozess in eine Differential-gleichung n-ter Ordnung für nur eine der gesuchten Zeitfunktionen umzuwandeln. Dieser Eliminationsprozess ist häufig kompliziert und manchmal gar nicht durchführbar.

Wesentlich einfacher gestaltet sich das Lösungsverfahren, wenn die Laplace-Transformation verwendet wird. Die gegebenen Differentialgleichungen werden unmittelbar, unter Beachtung der Anfangsbedingungen, in den Bildraum transformiert. Das System von linearen Differenti-algleichungen mit konstanten Koeffizienten des Zeitbereichs wird im Bildbereich zu einem linearen Gleichungssystem für die Laplace-Transformierten der gesuchten Zeitfunktionen.

System von linearen Differentialgleichungen mit

konstanten Koeffizienten + Anfangswerte

Laplace-

Transformation

�

Lineares Gleichungssystem für die Bildfunktionen der

gesuchten Zeitfunktionen

Das lineare Gleichungssystem für die Bildfunktionen kann mit elementaren Methoden gelöst werden. Durch inverse Laplace-Transformation erhält man die gesuchten Zeitfunktionen.

Beispiel 4.4 Gegeben sind bei einem Kopplungsgrad k zwei mit der Gegeninduktivität M = kL gekoppelte Stromkreise nach Bild 4.4. Zum Zeitpunkt t = 0 wird eine Gleichspan-nung U0 angelegt, die Eingangsspannung wird also durch 0( ) ( )u t U t4� beschrieben.

Berechnet werden sollen die beiden Ströme i1(t) und i2(t) mit den Anfangsbedingungen 0 = )0( = 0)( 21 �� ii .

Aus den Maschengleichungen ergeben sich zwei lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung.

1 21 0

2 12

( ) ( )( ) = ( )

( ) ( )( ) = 0

d i t d i tL M R i t U tdt dt

d i t d i tL M R i tdt dt

4� �

� �

Dieses System 2. Ordnung soll nun gelöst werden.

R R

L Lu(t)

M

i2i1

Bild 4.5 Gekoppelte Stromkreise


Mit den Anfangsbedingungen 1 2( 0) ( 0) 0i i� � � � ergibt die Transformation der beiden Dif-ferentialgleichungen des Zeitbereichs in den Bildraum die Gleichungen

01 2

1 2

(1) ( ) ( ) + ( ) = s

(2) ( ) + ( ) ( ) = 0

ULs R I s Ms I s

Ms I s Ls+ R I s

�

Dieses lineare Gleichungssystem für die Laplace-Transformierten I1(s) und I2(s) kann wohl am übersichtlichsten mit dem Determinantenverfahren (Cramer'sche Regel) gelöst werden.

sU

sMR+LsR+Ls

+Ls Ms RsR+Ls M

R+Ls

Mss

U

sI 0222

0

1)(

=

0

= )(�

0

02 2 2 2

0

( ) = = ( )

UR Ls s Ms U M

I sR + Ls Ms R + Ls M s Ms R + Ls

�

��

Mit der Gegeninduktivität M = kL folgt weiter

0 01 2 2 2

2 2

( )( ) = =

( ) ( )1 ( ) ( )1 1

= + +

( ) ( )1 1

U U R LsR+ LsI ss R+ Ls M s R RL k s s s

L k L kA B Cs R Rs s

L k L k

�

� � ��

� ��

Eine Berechnung der Zähler A, B und C der Teilbrüche ergibt

RUC

RUB =

RUA

2 = und

2 , = 000 ��

Wir erhalten somit

��

�

��

�

��

�

��

�

)1(

1

)1(

122

= )( 01

kLRs

kLRssR

UsI

und durch eine analoge Rechnung

��

�

��

�

��

�

��

)1(

1

)1(

12

= )( 02

kLRs

kLRsR

UsI

Lösen von Systemen gewöhnlicher Differentialgleichungen 111 Inverse Laplace-Transformation ergibt im Zeitbereich schließlich die gesuchten Ströme

(1 ) (1 )01

(1 ) (1 )02

( ) = 2 e e 2

( ) = e e2

Rt R tL k L k

R t R tL k L k

Ui t

R

Ui t

R

� ��

� ��

��

Bild 4.6 zeigt den Verlauf der Ströme i1(t) und i2(t) bei RL

=1000 s�1 und 0UR

= 100 mA

für die Kopplungsgrade 1 0,5k � und 2 0,9k � .

Bild 4.6 Ströme 1( )i t und 2 ( )i t von Beispiel 4.4 bei den Kopplungsgraden

k1 = 0,5 (a) und k2 = 0,9 (b)

Beispiel 4.5 An den Eingang des Übertragungsgliedes von Bild 4.7 wird zum Zeitpunkt t = 0 die Spannung 0e ( ) = ( )u t U t4 angelegt.

Es soll der zeitliche Verlauf der Spannung ( )Cu t an der Kapazität C berechnet werden.

Die Anfangsbedingungen sind:

i(�0) = 0 und ( 0) 0CU � �

i(t) R

L

C

uC(t)ue(t) iR iC

Bild 4.7 Schaltung zum Beispiel 4.5

Aus ) * ) * ) *e L Cu t u t u t� � folgt mit ( )( )Ldi tu t L

dt� die Differentialgleichung

e( )(1) ( ) ( )C

di tL u t u tdt

� �


Aus ( ) ( ) ( )R Ci t i t i t� � mit ( )

( ) = CC

du ti t C

dt erhält man die zweite Differentialgleichung

)( = )(1)((2) tituRdt

tduC CC �

Die beiden Gleichungen (1) und (2) bilden ein Differentialgleichungssystem 2. Ordnung für die Zeitfunktionen ( )Cu t und i(t). Mit den angegebenen Anfangswerten ergibt die Transformation in den Bildraum die beiden linearen Gleichungen für die Bildfunktionen I(s) und ( )CU t

0(1) ( ) ( )

1(2) ( ) ( ) 0

C

C

ULs I s U s

s

I s Cs U sR

� �

( %� � �& #' $

Durch Auflösen dieses linearen Gleichungssystems nach der Laplace-Transformierten der gesuchten Kondensatorspannung findet man

1111

=

11

1

0 1

= )(2

00

0

#$%

&'( ��#

$%

&'(

#$%

&'(�

LCs

RCsLCs

U =

RCs+Ls

sU

RCs+

Ls

sU Ls

sUC

Mit der Kennkreisfrequenz LC1 = 0� und der Abklingkonstante

RC21 = 6

folgt

220

2

200

20

2

200

()2( = )(

6�6�

�6�

��

�� )ssU

sssUsUC

Zur Partialbruchzerlegung der Bildfunktion UC (s) benötigt man die Pole von

UC (s). Diese liegen bei 20

22,31 = und 0 = �66 �"�ss .

Je nach Art der Pole kann man die folgenden Fälle unterscheiden. Es sei 0

= �6A der Dämp-

fungsgrad.

1. Aperiodischer Grenzfall: 0 = also 1, = 20

2 �6A �

Die Pole 6��32,s sind reell und gleich groß. Dies führt zu folgender Partialbruchzerlegung

66 ��

��

sA

sA

sAsUC

32

21)(

= )(

Lösen von Systemen gewöhnlicher Differentialgleichungen 113 und im Zeitbereich zu

) *� �tC tUtu 6�� e11 = )( 00

2. Periodischer Fall: 0 < 1 < 20

2 �6A �+

Die Pole s2, 3 sind jetzt konjugiert komplex. Wir erhalten mit der Eigenkreisfrequenz

220 = 6��

die Partialbruchentwicklung

22321

22

200

)( =

)( = )(

�6�6

�

��

��

�� s

AsAsA

ssUsUC

und nach Berechnung der Konstanten 1 0A U� , 2 0A U� � und 3 02A U 6� � folgt im Zeitbe-reich die Kondensatorspannung

0( ) = 1 e cos( ) sin( )tCu t U t t6 6� �

�� ( %� �& #� �' $�

.

3. Aperiodischer Fall: 01 20

2 5�+5 �6A

Der aperiodische Fall kann analog zum periodischen Fall behandelt werden.

Mit 220

2 a��6 folgt

002

2 312 2 2 2( ) = =

( ) ( )C

A s AU AU s

s ss a s a

�

6 6

��

� � � �

Die Berechnung der Koeffizienten ergibt wie im periodischen Fall

1 0 2 0,A U A U� � � und 603 2UA �� .

Wegen des Vorzeichenunterschiedes im Nenner des zweiten Terms erhält man nun statt der trigonometrischen Funktionen die entsprechenden Hyperbelfunktionen.

0( ) 1 e cosh( ) sinh( ) .tCu t U at at

a6 6� �( %� � �& #� �' $�

In allen Fällen ergibt sich nach Beendigung des Einschaltvorganges (t � ) 0( ) = UCu t .


Beispiel 4.6 Man berechne die Zeitfunktionen x(t) und y(t)

)(4)(4 = )()((2) )( = )((1) 2

2tx

dttdxty

dttdyty

dttxd

��

mit den Anfangsbedingungen x(+0) = 0, y(+0) = 1 und x'(+0) = 1. Durch Laplace-Transformation erhalten wir im Bildraum das lineare Gleichungssystem

1)()1()()44((2)

1)()((1) 2

��

��

sYssXs

sYsXs

Auflösen dieses Gleichungssystem mit der Cramer'schen Regel ergibt

2

2

3 2 3 22 2

1 1 11 1 4 4 1 4 4( ) ; ( )

4 4 4 41 14 4 1 4 4 1

ss ss s sX s Y s

s s s s s ss ss s s s

��

� � � ��

� � � � � �

Zur Partialbruchzerlegung benötigen wir die Polstellen der Bildfunktionen. Sie ergeben sich als die Lösungen der algebraischen Gleichung 3. Grades

04423 = s + s s ��

Eine Möglichkeit, eine derartige Gleichung zu lösen, besteht darin, eventuell vorhandene ganz-zahlige Lösungen durch Probieren zu finden. Da das Produkt der Lösungen bis auf das Vorzei-chen das konstante Glied ergibt (Koeffizientensatz von Vieta), kommen hier zum Probieren die ganzen Zahlen " 1, " 2 und " 4 in Frage. Es ist s = 1 eine leicht erkennbare Lösung. Durch Division mit den Linearfaktor s � 1 ergibt sich die quadratische Gleichung

s2 � 4 = 0

mit den Lösungen s2 = 2 und s3 = � 2. Hieraus resultieren die Partialbruchzerlegungen

222

1221 = )(

221221 = )(

32

31

321

61

21

31

321

s+ss =

s+B

sB

sB

sY

s+ss =

s+A

sA

sA

sX

��

��

�

��

��

�

��

��

�

��

��

�

Rücktransformation in den Zeitbereich ergibt die gesuchten Lösungsfunktionen

tttttt tytx 2222 e32e2e

31 = )( und e

61e

21e

31 = )( ��

Es lässt sich leicht bestätigen, dass diese Zeitfunktionen das Differentialgleichungssystem und die vorgegebenen Anfangsbedingungen erfüllen.

Lösen von Systemen gewöhnlicher Differentialgleichungen 115 Aufgaben zum Abschnitt 4.2 (Ergebnisse im Anhang) Aufgabe 4.4 Man löse das Differentialgleichungssystem 2. Ordnung

)(sin)(2)()((2)

)(cos)(4)(2)((1)

ttytxdt

tdy

ttytxdt

tdx

��

��

mit den Anfangswerten x(+0) = 0 und y(+0) = 1. Aufgabe 4.5 Man berechne die Lösungen x(t) und y(t) der Differentialgleichungen

,dt

tdxdt

tdytydt

txd )(9)((2))()((1) 2

2��

die den Anfangsbedingungen x(+0) = 1, y(+0) = 6 und x'(+0) = 0 genügen. Aufgabe 4.6 Man berechne die Lösungen x(t) und y(t) des folgenden Systems von Differentialgleichungen

)(2)()()2()(3)(2)()1( txtydt

tdytytxdt

tdx��

mit den Anfangsbedingungen x(+0) = 8 und y(+0) = 3. Aufgabe 4.7

An die Schaltung von Bild 4.8 wird zur Zeit t = 0 eine Gleichspannung

0( ) ( )u t U t4� angelegt. Es gelte die Anfangsbedingung

0)0( ��Cu . Für die Teilströme iL(t) und iC(t) gelten die Gleichungen

u(t)

RL C

iCiL

Bild 4.8 Schaltung von Aufgabe 4.7

0

0

( )(1) ( ) ( ) = ( )

( ) 1(2) = ( )

LL C

tL

C

di tR i t i t L U tdt

di tL i d

dt C

4

9 9

� � ��

�

Man berechne für den periodischen Fall: LCRC1 <

21 den Teilstrom ( )Ci t , wenn folgende

Anfangsbedingung gilt: ( 0) 0Ci � � .

Bemerkung: Durch Differenzieren könnte in Gleichung (2) das Integral weggebracht werden. Gleichung (2) wird dann eine Differentialgleichung 2. Ordnung. Dies ist aber nicht notwendig, da der Integrationssatz für die Originalfunktion verwendet wer-den kann. Gleichung (2) enthält die weitere Anfangsbedingung uC(+0) = 0.


4.3 RCL - Netzwerke Die Frage nach den Strömen und Spannungen in den Zweigen eines RCL-Netzwerks führt im Zeitbereich im Allgemeinen auf ein System von linearen gewöhnlichen Differentialgleichun-gen mit konstanten Koeffizienten. Im Bildbereich wird daraus durch Laplace-Transformation ein lineares Gleichungssystem für die Laplace-Transformierten der gesuchten Ströme und Spannungen. In diesem Abschnitt soll nun gezeigt werden, dass man das lineare Gleichungssystem des Bild-bereichs direkt, d.h. ohne Kenntnis des Differentialgleichungssystems des Zeitbereichs, erhal-ten kann. Dadurch wird das Lösungsverfahren noch einmal wesentlich vereinfacht.

Definition 4.2

Ein Netzwerk heißt für Zeitpunkte t < 0 unerregt, wenn für alle Zeitpunkte t < 0, für alle Teilspannungen )( tuk und für alle Teilströme )( tik gilt:

0)( �tuk und 0)( �tik

a) RCL-Netzwerke, die für t < 0 unerregt sind

Wir wollen im Folgenden zunächst nur Netzwerke betrachten, die für t < 0 unerregt sind. Dies kann für viele Anwendungssituationen vorausgesetzt werden. Bei der Transformation eines Systems von linearen Differentialgleichungen des Zeitbereichs in den Bildbereich tritt die wichtige Frage nach den Anfangsbedingungen auf. Da zugelassen werden muss, dass die zum Schaltzeitpunkt t = 0 einsetzende Erregung sich sprunghaft ändert, werden dann Teilströme und Teilspannungen an Wirkwiderständen sich ebenfalls sprunghaft ändern können.

Bei unstetigen Erregungen werden sich an Induktivitäten Spannungen, nicht aber Ströme, an Kapazitäten Ströme, nicht aber Spannungen, ebenfalls unstetig verhalten.

Die in den Differentialgleichungen auftretenden üblichen Ableitungen sind dann für t = 0 nicht in allen Fällen definiert. Wir müssen daher die in den Differentialgleichungen auftretenden Ableitungen durch die ver-allgemeinerten Ableitungen ausdrücken. Verlaufen für t = 0 Teilströme oder Teilspannungen stetig, so stimmen ihre verallgemeinerten Ableitungen mit den üblichen Ableitungen überein. Anstelle des Differentiationssatzes für die Originalfunktion, der die rechtsseitigen Grenzwerte als Anfangswerte enthält, müssen wir den Differentiationssatz für die verallgemeinerte Ablei-tung einer Zeitfunktion verwenden, der die linksseitigen Grenzwerte als Anfangswerte enthält.

Gerade diese linksseitigen Grenzwerte aber sind es, die unter der Voraussetzung, dass das Netzwerk für t < 0 unerregt ist, alle Null sind.

4.3 RCL - Netzwerke 117 Würden wir von den üblichen Ableitungen ausgehen und bei Netzwerken, die für t < 0 uner-regt sind, die rechtsseitigen Grenzwerte Null setzen, was häufig vorgeschlagen wird, so kann dies zu widersprüchlichen Ergebnissen führen. Es kann dann vorkommen, dass das Ergebnis einen rechtsseitigen Grenzwert besitzt, der entgegen der Voraussetzung ungleich Null ist. Das Ergebnis ist zwar richtig, widerspricht aber der Annahme, die rechtsseitigen Grenzwerte seien Null.

Satz 4.1

Für die Teilströme )( tik und die Teilspannungen )( tuk eines für t < 0 unerregten Netz-werks gelten die Korrespondenzen

)()(D)()(

)()(D )()()(

)(

sUstusUtu

sIstisIti

kn

kn

kk

kn

kn

kk

<<

<<

��

(4.4)

Betrachten wir nun die Serienschaltung von Wirkwiderstand R, Kapazität C und Indukti-vität L in Bild 4.9, so gilt, wenn das System für t < 0 unerregt ist, die Spannungs-gleichung

�t

tutiLdiC

tiR0

)( = )(D + )(1 + )( 99

u(t)i(t)

CR L

Bild 4.9 Serienschaltun

Durch Laplace-Transformation geht die Spannungsgleichung über in

)()( + )(11 + )( s = UssILsIsC

sIR bzw.

)( = )(1 + sUsI + LsCs

R � �

��

(4.5)

Gl. (4.5) ist als "Ohm'sches Gesetz im Bildbereich"

( ) ( ) ( )Z s I s U s� (4.6)

interpretierbar, wenn wir den einzelnen Schaltelementen symbolische Widerstände (Bildwiderstände) zuordnen. Mit

1( ) + ( ) ( ) ( )R C LZ s R + Ls Z s Z s Z sCs

� � � �

ergeben sich die in der folgenden Tabelle aufgeführten symbolischen Widerstände.


Symbolische Widerstände:

Schaltglied Zeitwert der Spannung

Bildspannung symbolischer Widerstand

R

)( = )( tiRtuR )( = )( sRIsUR RsZR = )(

C �

t

C iC

tu0

)d(1 = )( 99 )(1 = )( sICs

sUC Cs

sZC1 = )(

L

)(D = )( tiLtuL

)(= )( s LsIsUL

LssZL = )(

Stellen wir uns eine Serienschaltung von Wirkwiderstand R, Induktivität L, Kapazität C und Spannungsquelle u(t) als Zweig eines größeren Netzwerks vor, so geht, wie in Bild 4.10 dar-gestellt ist, der Originalzweig durch Laplace-Transformation in einen entsprechenden Bild-zweig über. Das gesamte Originalnetzwerk wird so in ein "Bildnetzwerk" mit den entsprechenden Bild-strömen, Bildspannungen und Bildwiderständen transformiert.

u(t)i(t)

CL

U(s)I(s)

Ls1

CsRRa) b)

Bild 4.10 Originalzweig (a) und Bildzweig (b) eines RCL-Netzwerks

Dabei gilt der folgende wichtige Satz:

Satz 4.2

Für die Bildströme )(sIk , Bildspannungen )(sUk und die symbolischen Widerstände )(sZk eines für t < 0 unerregten Netzwerks gelten formal die gleichen Netzwerksätze wie

für die Originalströme )( tik , Originalspannungen )( tuk und die Originalwiderstände.

Wir können damit auf das Aufstellen der Differentialgleichungen des Zeitbereichs und ihre Transformation in den Bildbereich verzichten und die im Bildbereich geltenden Gleichungen mit den Netzwerksätzen (Ohm'sches Gesetz, Kirchhoff'sche Regeln, Maschenregeln) direkt aus den Schaltungen herleiten.

4.3 RCL - Netzwerke 119

Man erhält damit unmittelbar die Laplace-Transformierte ( )I s eines gesuchten Stromes i(t) bzw. die Laplace-Transformierte )(sU einer zu berechnenden Spannung u(t).

Ein ähnliches Vorgehen ist von der symbolischen Methode der Wechselstromtechnik her be-kannt. Dort werden im Sonderfall sinusförmiger Erregungen die Ströme und Spannungen im stationären Zustand analog zu den Gesetzen der Gleichstromlehre dadurch berechnet, dass man den Schaltelementen komplexe Widerstände zuordnet. Im Gegensatz zur symbolischen Methode der Wechselstromlehre wird hier über die Erre-gung )( tu keine Einschränkung gemacht, außer der, dass sie eine Laplace-Transformierte

)(sU haben soll. Durch inverse Laplace-Transformation erhält man die Originalströme und Spannungen, die nicht nur für die Zeit t � den stationären Zustand, sondern auch den Einschaltvorgang beschreiben. Auf den Fall, dass das Netzwerk für t < 0 nicht unerregt ist, werden wir später eingehen.

Beispiel 4.7 An den Stromkreis von Bild 4.11 wird zum Zeitpunkt t = 0 die Spannung u(t) = )(0 tU 4 angelegt. Man berechne den Strom i(t).

u(t)

R

RCi(t)

a) b)

U(s)CsI(s)

R

R1

Bild 4.11 Schaltung zu Beispiel 4.7 a) Originalkreis b) Bildkreis

Aus dem Bildkreis erhalten wir den symbolischen Gesamtwiderstand

1 2

1 12( ) = Z +Z Z = = = 1R C R

Cs RC

Cs RC

R s+RCs+Z s R+ R RRCs+R s+�

�

und den Bildstrom

110 2

22

( )( ) = = = ( )

RC

RCRC

s AU AU sI sZ s s s sR s

� ( %: �& #( % ' $ ��& #' $

Mit

0 0 0 01 2

2

1 1

2

= 0

= = und 2 2

RC

RC RC

RC s s =

s sU U U UA A = =

R R R s Rs�

� ��

findet man schließlich den Bildstrom


��

�

��

�

��

RCssR

UsI 211

2 = )( 0 .

Durch inverse Laplace-Transformation folgt im Zeitbereich für den Strom 2

0( ) = 1 + e2

tRCU

i tR

� ��

.

Den zeitlichen Verlauf des Stromes zeigt Bild 4.12. Dabei gilt:

0( 0) = U

iR

�

Man beachte, dass der rechtsseitige Grenz-wert des Stromes hier von Null verschieden ist. Der Strom verhält sich zum Schaltzeit-punkt t = 0 unstetig.

Bild 4.12 Strom i(t)

Verwendet man bei den Differentialgleichungen des Zeitbereiches die gewöhnlichen Ableitun-gen, so wird üblicherweise genauso vorgegangen, d.h. es werden bei für t < 0 unerregten Netz-werken die Anfangswerte Null gesetzt. Bei diesem Verfahren sind dies aber die rechtsseitigen Grenzwerte. Das Ergebnis ist das gleiche, steht aber im Widerspruch zu den angenommenen Anfangswerten. Dies ist deshalb der Fall, weil der Strom i(t) sich für t = 0 unstetig verhält. Verwendet man, wie vorgeschlagen die auch für bei t = 0 unstetigen Funktionen definierten verallgemeinerten Ableitungen, so werden die linksseitigen Grenzwerte Null gesetzt. Diese linksseitigen Grenzwerte sind aber bei für t < 0 unerregte Netzwerke sicher Null. Das Ergebnis steht jetzt nicht im Widerspruch zu den Voraussetzungen.

Beispiel 4.8 Für das in Bild 4.13 dargestellte Netzwerk mit den Maschenströmen i1(t), i2(t) und i3(t) soll für die Eingangsspannung ue(t) = )(0 tU 4 die zugehörige Ausgangsspannung ua(t) berechnet werden.

R R

Cue(t) ua(t)i1(t)>

i2(t)>

i3(t)>

R

CC

Bild 4.13 Netzwerk zu Beispiel 4.15

4.3 RCL - Netzwerke 121 Bezüglich der schon mehrmals verwendeten und auch in diesem Beispiel verwendeten elektro-technischen Berechnungsverfahren sei auf die im Literaturverzeichnis angegeben Bücher hin-gewiesen. Für die Bildströme ergeben sich unter Verwendung der symbolischen Widerstände nach dem Maschenstrom-Verfahren die hier schon geordneten Spannungsgleichungen des Bildbereichs.

0)(2)(1

0)(1)(2)(1

)()(1)(1

32

321

e21

�#$%

&'( ��

��#$%

&'( ��

��#$%

&'( �

sICs

RsICs

sICs

sICs

RsICs

sUsICs

sICs

R

Die Auflösung dieses Gleichungssystems nach dem zur Berechnung von ( )aU s benötigten Bildstrom I3(s) führt zu

165 =

10

110

00

0

)(

= )( 222333

2

2

11

1

21

11

3��

��

��

��

�

��

��

RCssCRsCRCs

RCs

CsR

Cs

R

R

sUR

sI

Cs

Cs

CsCs

Cs

CsCs

eCsCs

Mit der Eingangsspannung s

UsUtUtu 0)()(0)( �� <��4 folgt für die Laplace-

Transformierte der Ausgangsspannung

)165( = )(1 = )( 2223333

�� RCssCRsCRsUsI

CssU o

a

Um nun die Ausgangsspannung ( )au t durch inverse Laplace-Transformation bestimmen zu können, müssen wir die echt gebrochen rationale Bildfunktion Ua(s) in Partialbrüche zerlegen. Dazu benötigen wir die Pole von Ua(s), d.h. die Lösungen der Gleichung

0 =)165( 222333 �� RCssCRsCR s

Die Polstelle 1s = 0 erkennt man sofort. Setzt man RCs = x, so ergeben sich die übrigen Pole als Lösungen der algebraischen Gleichung

0 = 165 23 �� xxx . Einen ersten Überblick über die Lage der gesuchten Nullstellen ergibt der Verlauf von

165 = )( 23 �� xxxxf .


Die graphisch ermittelten Näherungswerte können mit einem numerischen Näherungsverfah-ren verbessert werden. Verwenden wir hier die auf 3 Dezimalstellen gerundeten Werte

RC,s,x

RC,s,x

RC,s,x

2473 = 2473 =

5551 = 5551 =

1980 = 1980 =

43

32

21

�+�

�+�

�+�

Die Lösungen der Gleichung 0 = 165 23 �� xxx kann man natürlich auch einfacher durch Verwendung entsprechender, selbst auf vielen Taschenrechnern vorhandener Software be-kommen. Es gibt aber auch Programme, welche die gesamte Partialbruchzerlegung komplett durchführen. Der im Koordinatennullpunkt liegenden Polstelle s1 = 0 entspricht im Zeitbereich ein konstan-ter Anteil, den anderen Polstellen entsprechen verschieden schnell abklingende Exponential-funktionen. Da nun die Polstellen von Ua(s), bekannt sind, kann die Partialbruchzerlegung durchgeführt werden.

03 3

1 32 4

1( )= (Ausgangsgleichung)0,198 1,555 3, 247

=0,198 1,555 3,247

aU

U sR C s s s s

RC RC RCA AA As s s s

RC RC RC

� � ��

� � ��

Für die Konstanten erhält man die auf 3 Dezimalstellen gerundeten Werte

04030201 0600 = ,2800= 2201= = U,AU,A,U,A,UA ��

Durch inverse Laplace-Transformation findet man schließlich die gesuchte Ausgangsspannung

��

�

��

��

��RC,

RC,

RC,

a ,,,Utu247355511981

0 e0600e2800e22011 = )(

Wie bei der Betrachtung des gegebenen Netzwerks zu erkennen ist, gilt für den konstanten Anteil A1 der Ausgangsspannung 01 = )(lim = UtuA a

t �.

Nach langer Zeit liegt am Ausgang die Spannung U0. Dieser Zusammenhang läßt sich auch mit dem Endwertsatz berechnen. Ohne die Partialbruchzerlegung durchzuführen erhält man mit der „Ausgangsgleichung“

a 00

lim ( ) = lim ( )at s

u t s U s U� �

�

4.3 RCL - Netzwerke 123 Der zeitliche Verlauf der Ausgangsspannung

( )au t ist in Bild 4.14 dargestellt.

Da der am langsamsten abklingende Anteil der Ausgangsspannung die größte Amplitude hat, erreicht die Ausgangsspannung ( )au t erst zum Zeitpunkt t = 15 RC den Wert

0( ) 0,937au t U�

Bild 4.14 Ausgangsspannung ua(t)

Beispiel 4.9 Man berechne den Stromverlauf i(t), wenn an das RC-Glied in Bild 4.15 a die in Bild 4.15 b dargestellte Spannung u(t) angelegt wird.

u(t)i(t) C

R

a)

u(t)U0

0

t

992

b)

Bild 4.15 RC-Glied (a) und Spannungsverlauf (b) von Beispiel 4.9

Im Bildraum gilt nach dem Ohm'schen Gesetz für den Bildstrom

)(11 = )(

1 = 1

)( = )()( = )( sU

Css

sR

sU+RCs

Cs

Cs+R

sUsZsUsI

�

Nach dem im Abschnitt 3.3.10 behandelten Beispiel 3.32 gilt für die Bildspannung 2

20 2e112 = )( �

��

�

� 9

9

s

sUsU

Für den Bildstrom folgt damit 201

2 1( ) = 1 2e e( )

s s

RC

UI s

R� s s

99� � ��

Eine Partialbruchzerlegung ergibt ��

�

��

�

��

� RCRC ssRC

ss 1111 =

)(1

Hiermit erhalten wir den Bildstrom

201

2 1 1( ) = 1 2e es

s

RC

U CI s

s s

99

9

� � � ��


Man kann nun den Bildstrom in drei Anteile

)()()()( 321 sIsIsIsI �� aufspalten:

20 01 21 1

03 1

2 21 1 1 1( ) = ( ) = 2e

2 1 1( ) = e

s

RC RC

s

RC

U C U CI s , I s

s ss s

U CI s

s s

9

9

9 9

9

�

�

� � ��

��

Der Strom i(t) besteht demnach aus drei Anteilen, von denen 1( )i t zur Zeit t = 0, i2(t) zur

Zeit 29

�t und i3(t) zur Zeit t = 9 einsetzt. Es gilt daher

2

2

0

0

0

21 e für 0

2

2( ) = 1 e 2e für

2

2e 2e e für

RC

RCRC

RCRC RC

t

tt

tt t

U Ct

U Ci t t

U Ct

9

99

99

9 99

99

�

��

�

��

��

� ( % � � �& # ' $ ( % & #� � � � �� & # ' $ ( %

& # � � � �& #

' $�

Entsprechend dem Spannungsverlauf, nämlich linear ansteigende Spannung für 02

t 9� � ,

linear abfallende Spannung für 2

t9 9� � und Spannung u(t) = 0 für t > 9, wird der Strom i(t)

in den drei Zeitintervallen durch verschiedenen Funktionen beschrieben. Bild 4.16 zeigt den Verlauf des Stromes

1 2 3( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2

i t i t t i t t i t t9 94 4 9 4 9� � � � � � � .

Bild 4.16 Stromverlauf i(t)

4.3 RCL - Netzwerke 125 b) Netzwerke, die für t < 0 nicht unerregt sind Wir wollen nun den Fall behandeln, dass das Netzwerk für t < 0 nicht unerregt ist. Dabei sind zwei Fälle zu beachten.

1. Der Strom in einer Induktivität kann einen Anfangswert iL (�0) = i0 haben.

2. Die Spannung an einer Kapazität kann den Anfangswert uC(�0) = U0 besitzen.

Die linkseitigen Grenzwerte ( 0)Li � und ( 0)Cu � sind Werte, die aus der Vergangenheit des Systems resultieren. Auf welche Art diese Anfangswerte entstanden sind, spielt dabei keine Rolle. 1. Induktivität mit einem Anfangsstrom iL(� 0) = i0

An die Schaltung von Bild 4.17 werde zur Zeit t = 0 eine Spannung u(t) angelegt. Die Induktivität L hat einen Anfangsstrom i0.

Li06(t)

u(t)i(t)

Li0

U(s)I (s)

R RL Ls

Bild 4.17 a) Originalstromkreis b) Bildstromkreis

Um den Einfluss des Anfangstroms i0 zu erkennen, gehen wir von der Spannungsgleichung des Zeitbereichs

)( = )(D)( tutiLtiR �

aus. Diese geht durch Laplace-Transformation unter Beachtung des Anfangsstroms (bei der verallgemeinerten Ableitung ist 0)0( ii �� zu verwenden) über in

) *0( ) ( ) = ( )R I s L s I s i U s� � bzw.

� � 0)( = )( iL+sUsILsR � (4.7)

An Gl. (4.7) erkennt man, dass im Bildbereich wie bisher gerechnet werden kann, wenn der Anfangsstrom i0 durch eine zusätzliche Erregung 0Li berücksichtigt wird.

Im Zeitbereich entspricht dies einem zusätzlichen Spannungsstoß 0 ( )Li t6 . Dadurch wird die gesamte Vergangenheit des Stromkreises von t = � bis t = � 0 berücksichtigt.


Beispiel 4.10 An den Stromkreis von Bild 4.16 wird zum Zeitpunkt t = 0 die Spannung )()( 0 tUtu 4� angelegt. Der Anfangsstrom sei 0( 0)i i� �

Mit Gl. (4.6) folgt

� � 00 = )( iL

sUsILsR �� .

Daraus erhält man durch Auflösen nach I(s) und einer Partialbruchzerlegung

� �LRs+

i

LRssR

U = R+Ls

iL + R+LssU)sI 0000 + 11 = (

��

�

��

�

��

und im Zeitbereich den Strom tt L

RLR

iR

Uti��

�

��

� e + e1 = )( 0

0

Bild 4.18 Stromverlauf mit T =

LR

Da sich in diesem Beispiel der Strom wegen der Induktivität nicht sprunghaft ändern kann, liefert die Rechnung erwartungsgemäß auch den rechtsseitigen Grenzwert

0( 0)i i� � .

In Bild 4.18 ist der Strom für verschiedene Anfangsströme i0 dargestellt. Unabhängig von i0 gilt:

R

Utit

0 = )(lim�

.

2. Kapazität mit einer Anfangsspannung uC(� 0) = U0

An den Stromkreis von Bild 4.19 wird zum Zeitpunkt t = 0 eine Spannung u(t) angelegt. Die Kapazität C hat eine Anfangsspannung uC(� 0) = U0.

u(t)

i(t)

U(s)

I (s)

R

C

R

Cs1

a) b))(0 tU 4�

sU 0�

Bild 4.19 a) Originalstromkreis b) Bildstromkreis

4.3 RCL - Netzwerke 127 Die Spannungsgleichung des Zeitbereiches

1( ) ( ) ( )t

R i t i d u tC

9 9�

� ��

enthält im Integral

��

�

�0

0 = )0( = )(1 UudiC C99

die gesamte Vergangenheit des Stromkreises. Man erhält somit die Spannungsgleichung

0

1( ) ( ) ( ) ( 0)C

t

u t R i t i d uC

9 9� � � ��

Im Bildbereich erhalten wir durch Laplace-Transformation unter Beachtung des Integrations-satzes die Gleichung

)( = )(1)( 0 sUsICss

UsIR �� oder

sUsUsI

CsR 0)( = )(1

�#$%

&'( �

(4.8)

Gl. (4.8) zeigt, dass im Falle einer Kapazität mit einer Anfangsspannung 0)0( UuC �� mit den gewohnten Bildströmen, Bildspannungen und Bildwiderständen gerechnet werden kann, wenn die Anfangsspannung der Kapazität im Bildbereich durch eine zusätzliche Erregung

s/U0� berücksichtigt wird. Im Zeitbereich hat dies eine zusätzliche Spannung )(0 tU 4 zur Folge.

Satz 4.3

Der Zustand eines Netzwerks zum Zeitpunkt t = 0 ist durch die Ströme in den Induktivitäten und den Spannungen an den Kapazitäten eindeutig bestimmt. Kennt man diese Anfangswerte und die vom Zeitpunkt t = 0 ab wirksamen Erregungen, so ist das Verhalten des Netzwerks für alle Zeitpunkte t � 0 berechenbar.

Beispiel 4.11 An den Stromkreis von Bild 4.19 wird zum Zeitpunkt t = 0 eine Gleich-spannung u(t) = )(1 tU 4 angelegt. Die Anfangsspannung sei U0. Man berechne den Strom i(t).

Gl. (4.8) ergibt mit s

UsU 1)( � nach dem Bildstrom aufgelöst


Bild 4.20 Stromverlauf mit T = RC

1

RC

Cs

sRUU

RCsCs

sUU

RsUUsI

101

01

101

1

1

= 1 = )(

�

��

��

��

�

�

Im Zeitbereich erhält man damit den Strom

tRCe

RUUti

101 = )(

��


Bei den folgenden Aufgaben sei angenommen, dass vor dem Schaltzeitpunkt t = 0 alle Ener-giespeicher leer sind.

Aufgabe 4.8

u(t)i(t)

RR

L

Man berechne den Strom i(t), wenn an die Schaltung von Bild 4.20 die Spannung

0( ) ( )u t U t4�

angelegt wird.

Bild 4.21 Stromkreis

Aufgabe 4.9 Man berechne den Spannungsverlauf uR(t) am Wirkwiderstand R der Schaltung von Bild 4.22 a für die Eingansspannung tktu �)( .

C

Ru(t) uR(t)

i(t)

a)

u(t)

U0

0

t0U0k =

tt0b)

Bild 4.22 Schaltung (a) und Spannungsverlauf (b) von Beispiel 4.9

4.3 RCL - Netzwerke 129

Aufgabe 4.10 Man berechne für das Netzwerk von Bild 4.23 a den Maschenstrom 2( )i t , wenn die Spannung u(t) ein Rechteckimpuls der Höhe U0 und der Dauer 9 nach Bild 4.23 b ist.

>i1(t) i2(t)

R C

RC>

u(t)

a)

u(t)U0

0

t

9

b)

Bild 4.23 Schaltung (a) und Spannungsverlauf (b) von Beispiel 4.10

Aufgabe 4.11 Gegeben ist der Serienschwingkreis von Bild 4.24. Man berechne für die Spannung 0( ) ( )u t U t4� den Strom i(t), wobei die folgenden drei Fälle unterschieden wer-den sollen.

LCLR 1 >

2a)

2#$%

&'( aperiodischer Fall

LCLR 1 =

2b)

2#$%

&'( aperiodischer Grenzfall

LCLR 1 <

2c)

2#$%

&'( periodischer Fall

i(t) C

R

u(t)

L

Bild 4.24 Serienschwingkreis

Aufgabe 4.12

a) Man berechne den Strom i(t) für die Schaltung nach Bild 4.25 a bei einem Spannungsverlauf nach Bild 4.25 b.

ua(t)

R C

i(t)

R

Bild 4.25 a Schaltung

u(t)

U0

0

t

9

Bild 4.25 b Spannungsverlauf u(t)


u(t)

U0

0

t

9

Bild 4.25 c Spannung u(t)

b) Man berechne den Strom i(t), wenn eine

Spannung u(t) angelegt wird, deren Ver-lauf in Bild 4.25 c dargestellt ist.

Aufgabe 4.13

a) An das Übertragungsglied nach Bild 4.26 a wird eine Eingangsspannung

0( ) ( )eu t U t4�

angelegt. Man berechne den Strom i(t) und die Ausgangsspannung ua(t).

R

C

ue(t) ua(t)

i(t)

C

Bild 4.26 a Schaltung

b) Für das Übertragungsglied nach Bild 4.26 b sollen der Maschenstrom I2(s) und die Aus-gangsspannungen ( )au t am Wirkwiderstand R berechnet werden, wenn die Eingans-spannung gegeben ist durch

0

1) ( ) ( )2) ( ) ( )

e

e

u t tu t U t

64

�

�

R

ue(t)

R

2R

Lua(t)

i1(t) i2(t)

Bild 4.26 b Schaltung

4.4 Übertragungsverhalten von Netzwerken 131

4.4 Übertragungsverhalten von Netzwerken

4.4.1 Grundbegriffe

In diesem Abschnitt soll der Zusammenhang zwischen dem Eingangssignal x(t) und dem Ausgangssignal y(t) eines Übertragungsglieds betrachtet werden.

Vor dem Schalten werden alle Energiespei-cher als leer vorausgesetzt.

( )y tÜbertragungs- system ( )x t

Bild 4.27 Übertragungsglied

Eingangssignal, Erregung x(t)

� Ausgangssignal, Systemantwort y(t)

Mit der symbolischen Schreibweise 2 3( ) = S ( )y t x t soll ausgedrückt werden, dass y(t) die Systemantwort auf das Eingangssignal x(t) ist. Wir wollen uns im Folgenden auf lineare, zeitinvariante Systeme beschränken.

Definition 4.3

Ein Übertragungssystem heißt linear, wenn

2 3 2 3 2 31 1 2 2 1 1 2 2S ( ) ( ) = S x ( ) + S ( )k x t k x t k t k x t�

gilt.

(4.9)

Die Systemantwort einer Linearkombination von Eingangssignalen ist die entsprechende Line-arkombination der Systemantworten der einzelnen Eingangssignale.

Definition 4.4

Ein System heißt zeitinvariant, wenn aus

2 3 )( = )(S tytx folgt 2 3 )( = )(S 00 ttyttx �� (4.10)

Die Art der Reaktion eines zeitinvarianten Systems ist unabhängig vom Zeitpunkt des Eintref-fens des Eingangssignals. Lineare und zeitinvariante Systeme werden in der Literatur häufig als LTI-Systeme (linear time invariant systems) bezeichnet. Eine Möglichkeit, Auskunft über das zeitliche Verhalten eines Übertragungssystems zu be-kommen, besteht darin, die Antworten des Systems auf standardisierte Eingangssignale zu beobachten.


Die Sprungfunktion ( )t4 und die Impulsfunktion ( )t6 sind die wichtigsten Testfunktionen dieser Art. Sprungfunktion und Impulsfunktion stellen idealisierte Erregungen dar. Dabei kann insbesondere die Impulsfunktion ( )t6 technisch nur näherungsweise realisiert werden.

Die Antworten eines Übertragungssystems auf diese Eingangssignale werden wir im Folgen-den näher betrachten. Dabei gelten folgende Festlegungen.

4.4.2 Impulsantwort und Sprungantwort

Definition 4.5

( )g tÜbertragungs- system ( )t6

Bild 4.28 Impulsantwort g(t)

Unter der Impulsantwort g(t) eines Übertra-gungssystems versteht man das Ausgangsignal bei einem impulsförmigen Eingangssignal

( ) ( )x t t6� . Die Impulsantwort g(t) wird auch als Gewichts-funktion bezeichnet.

Die Impulsantwort hat eine große praktische Bedeutung. Wir werden später zeigen, dass für jedes Eingangssignal x(t) das zugehörige Ausgangssignal y(t) berechnet werden kann, wenn die Impulsantwort g(t) des Übertragungsglieds bekannt ist.

Definition 4.6

( )h tÜbertragungs- system ( )t4

Bild 4.29 Sprungantwort h(t)

Unter der Sprungantwort h(t) (Übergangsfunk-tion) eines Übertragungssystems versteht man das Ausgangssignal bei einem sprungförmigen Eingangssignal ( ) ( )x t t4� .

4.4.3 Übertragungsfunktion Das Ausgangssignal y(t) eines linearen zeitinvarianten Übertragungssystems ist bei dem vor-gegebenen Eingangssignal x(t) durch das Übertragungsglied (Netzwerk) eindeutig bestimmt. Es ist daher auch die Laplace-Transformierte Y(s) des Ausgangssignals durch die Laplace-Transformierte X(s) des Eingangssignals und das Übertragungsglied eindeutig festgelegt.

Definition 4.7

Unter der Übertragungsfunktion G(s) eines Übertragungssystems versteht man das Verhältnis der Laplace-Transformierten Y(s) des Ausgangssignals zu X(s) der Laplace-Transformierten des Eingangssignals.

)()( = )

sXsYsG) (4.11)

4.4 Übertragungsverhalten von Netzwerken 133 Satz 4.4

Die Übertragungsfunktion G(s) ist die Laplace-Transformierte der Impulsantwort g(t).

2 3( ) ( )G s g t� L (4.12)

Beweis: Mit x(t) = ( )t6 , d.h. X(s) = 1 folgt aus Gl. (4.11) G(s) = Y(s).

Die Übertragungsfunktion G(s) ist demnach die Laplace-Transformierte der Impulsantwort (Gewichtsfunktion) g(t).

Satz 4.5

Die Sprungantwort h(t) erhält man durch eine Integration von 0 bis t über die Gewichts-funktion g(t).

�t

0

)( = )( 99 dgth

(4.13)

Beweis: Die Sprungantwort ist das Ausgangssignal y(t) bei einem Eingangssignal

1( ) = ( ) ( ) = x t t X ss

4 <��

Mit Gl. (4.11) folgt mit dem Integrationssatz für die Originalfunktion

0

1( ) = ( ) ( ) = ( ) ( ) ( )t

Y s X s G s G s g d h ts

9 9 �<� ��

Bemerkung: Die Folgerung aus Gl. (4.13), die Impulsantwort g(t) als Ableitung der Sprungantwort h(t) zu berechnen, ist nur dann allgemein richtig, wenn die verallgemeinerte Ableitung verwendet wird.

( ) D ( )g t h t�

Satz 4.6

Das Ausgangssignal y(t) eines linearen zeitinvarianten Übertragungssystems (LTI-System) erhält man durch Faltung des Eingangssignals x(t) mit der Gewichtsfunktion g(t).

� �>t

0

)()( = )()( = )( 999 dtxgtgtxty

(4.14)

Beweis: Aus der Definitionsgleichung der Übertragungsfunktion

)()()(

sXsYsG � folgt )()()( sXsGsY �

Mit dem Faltungssatz ( Abschn. 4.3.8 ) erhält man sofort die Behauptung des Satzes 4.6.


Das Faltungsintegral von Gl. (4.14) ist auch unter dem Namen Duhamel'sches Integral be-kannt. Es beschreibt den Zusammenhang zwischen der Ursache x(t) und der Wirkung y(t) eines Übertragungssystems.

Dabei ergibt sich die Wirkung y(t) als Faltung der Ursache x(t) mit der Gewichtsfunktion g(t).

Gl. (4.14) zeigt, dass zu einem vorgegebenen Eingangssignal x(t) stets das Ausgangssignal y(t) berechnet werden kann, wenn nur die Gewichtsfunktion g(t) des Übertragungssystems bekannt ist. Die Auswertung des Faltungsintegrals kann notfalls mit numerischen Näherungsmethoden erfolgen. Bei den Anwendungen ist das Eingangssignal x(t) häufig eine Eingangsspannung e ( )u t und das Ausgangssignal y(t) die zugehörige Ausgangsspannung ( )au t ).

Für die Übertragungsfunktion gilt dann

)()( = )(

ea

sUsUsG (4.15)

Für die Laplace-Transformierte des Ausgangssignals folgt

)()( = )( ea sUsGsU (4.16)

Eingangs- und Ausgangssignal müssen nicht immer Größen der gleichen Art (z. B. Spannun-gen) sein. In der Regelungstechnik können hier die verschiedenartigsten Dimensionen auftre-ten.

Beispiel 4.12

Cua(t)

R

ue(t)

i(t)

Bild 4.30 RC-Glied

Man berechne die Übertragungsfunktion G(s), die Übergangsfunktion h(t) und die Impuls-antwort g(t) des RC-Glieds in Bild 4.30.

a) Übertragungsfunktion G(s)

Als Eingangssignal x(t) haben wir hier eine Eingangsspannung

)(1 = )( )( e sICs

R+sUtue #$%

&'(<��

und als Ausgangssignal y(t) die Ausgangsspannung a1( ) ( ) = ( )au t U s I s

Cs<��

Mit )()(

)()()(

ea

sUsU

sXsYsG �� erhalten wir für die Übertragungsfunktion


RCsRC

= +RCssI

CsR

sICs

sUsUsG 1

111

1 =)(1

)(1

= )()()(

ea

�#$%

&'( �

�

b) Übergangsfunktion h(t) Als Eingangssignal x(t) haben wir die Eingangsspannung

e1( ) = ( ) ( ) = eu t t U ss

4 <��

Das zugehörige Ausgangssignal y(t), hier die Ausgangsspannung ua(t) ist die Sprungantwort oder Übergangsfunktion h(t).

a e1 1 1 1 1( ) = ( ) ( ) = =

1 1U s G s U s

RC s RCs s sRC RC

( %� �& #' $

Durch Partialbruchzerlegung erhält man a1 1( ) =

1U s

s sRC

��

und durch inverse Laplace-Transformation schließlich 1

a ( ) = ( ) = 1 RC tu t h t e

��

c) Impulsantwort, Gewichtsfunktion g(t)

Nach Satz 4.4 ist die Übertragungsfunktion G(s) die Laplace-Transformierte der Impulsant-wort g(t).

tRCRC

tg

RCsRC

sG1

e1 = )( 111 = )(

��<

��

Bild 4.31 zeigt den Verlauf der Sprungantwort h(t) und der Impulsantwort g(t) des RC-Glieds von Beispiel 4.12.

( )g t ( )h t1

RC

t t

0 0a) b)

1

Bild 4.31 a) Impulsantwort g(t) b) Sprungantwort h(t)


i(t) Cue(t) ua(t)

R L

Bild 4.32 Schwingkreis

Beispiel 4.13 Es sollen die Übertragungsfunktion G(s) und die Impulsantwort g(t) des in Bild 4.32 darge-stellten Schwingkreises berechnet werden.

a) Übertragungsfunktion G(s)

11 =

)(1

)(1

= )()( = )( 2e

a��#

$%

&'( �� RCsLCssI

CsLsR

sICs

sUsUsG

b) Impulsantwort g(t)

Die Impulsantwort g(t) erhält man durch inverse Laplace-Transformation aus der Übertra-gungsfunktion G(s). Für die Partialbruchzerlegung der echt gebrochen rationalen Bild-funktion G(s) wollen wir diese zuerst noch umformen.

Mit der Kennkreisfrequenz LC1 = 0� und der Abklingkonstanten

LR

2 = 6 folgt

)()( =

2 = )( 22

02

20

20

2

20

6�6

�

�6

�

�� ssssG

Wir unterscheiden die folgenden drei Fälle:

1. Periodischer Fall: 1 < radDämpfungsg 0, > 220 A6� �

Mit 220 = 6�� erhalten wir für die Übertragungsfunktion

22

20

)( = )(

�6

�

��ssG

und durch inverse Laplace-Transformation die Impulsantwort

)sin(e = )(20 ttg t �� 6�

2. Aperiodischer Grenzfall: 1 = radDämpfungsg 0, = 220 A6� �

tttgs

sG 6�6

� ��<�

e = )( )(

= )( 202

20 �


3. Aperiodischer Fall: 1 > radDämpfungsg 0, < 220 A6� �

Nun sei 20

2 = �6� � . Damit erhalten wir für die Übertragungsfunktion

22

20

)( = )(

�6

�

��ssG

und durch inverse Laplace-Transformation die Impulsantwort

)sinh(e = )(20 ttg t �� 6�

Bild 4.32 zeigt den Verlauf der Gewichtsfunktionen für verschiedene Dämpfungsgrade A .

Bild 4.33 Gewichtsfunktionen

Beispiel 4.14

Für die im Bild 4.34 a, b dargestellten Übertragungsglieder sollen die Übertragungsfunktionen bestimmt werden.

iR

iCue(t) ua(t) ue(t) ua(t)

C

C

CR

R

R

iC + iRa)

b)

Bild 4.34 Übertragungsglieder zu Beispiel 4.14


a) Für das in Bild 4.34 a dargestellte Übertragungsglied gelten im Bildbereich die Gleichungen

)(2 = )( und )(1 = )( ea sICs

R+sUsICs

R+sU � �

��

� �

��

Für die Übertragungsfunktion folgt hieraus

21 =

)(2

)(1

= )()( = )(

ea

+RCs+RCs

sICs

R+

sICsR+

sUsUsG

� �

��

� �

��

b) Das Übertragungsglied in Bild 4.34 b hat die Übertragungsfunktion

a

e

( ) ( )( )( ) = =

( ) 2 ( ) ( )

R C

R C

R I s I sU sG s

U s R I s I s

� ��

� ��

Mit der Nebenbedingung

)(= )( )(1 = )( sIs RCsIsICs

sIR RCCR +

erhalten wir für die Übertragungsfunktion

� ��

( ) 1 1( ) = 2( ) 2

R

R

I s RCs RCs +G sRCs +I s RCs

��

�

Die beiden hier betrachteten Übertragungsglieder haben also die gleiche Übertragungsfunktion G(s). Sie stimmen daher in ihrem Übertragungsverhalten überein.

Beispiel 4.15 Für das Übertragungsglied von Bild 4.35 soll die Übertragungsfunktion

)()()(

ea

sUsUsG � berechnet werden.

i2(t)>

i1(t)>

ue(t) ua(t)

R

RR

C

C Bild 4.35 Übertragungsglied

Für die Bildströme I1(s) und I2(s) erhält man die folgenden Gleichungen:


0 = )(22 + )(1(2)

)( = )(1 )(12 (1)

21

e21

sICs

RsICs

R

sUsICs

RsICs

R

#$%

&'( �#

$%

&'( ��

#$%

&'( ��#

$%

&'( �

Zur Berechnung von )()( 2a sIRsU � benötigen wir den Bildstrom )(2 sI .

Wir erhalten mit der Cramer’schen Regel:

)(13

=

221

112

01

)(12

= )( e

e

2 sURCs+

Cs

CsR

CsR

CsR

CsR

CsR+

sUCs

R+

sI

�#$%

&'( ��

#$%

&'( ��

#$%

&'(�

Die Laplace-Transformierte der Ausgangsspannung lautet damit

)(13

= )( = )( e2a sU+RCs

RCssIRsU

Für die gesuchte Übertragungsfunktion folgt daraus

)(313 =

)()( = )(

31

e

a

RCs+s=

RCs+RCs

sUsUsG

Beispiel 4.16

Für das in Bild 4.36 skizzierte lineare Über-tragungsglied sollen die Übertragungsfunkti-on G(s), die Sprungantwort h(t) und die Im-pulsantwort g(t) bestimmt werden.

R

i(t) R

C

ue(t) ua(t)


a) Übertragungsfunktion G(s):

( ) ( ) 1( ) 11( ) 2 1 22 ( )2

a

e

U s R I s RCs sG sU s RCs sR I s

RCCs

� � � ��( % ��& #

' $

In einfachen Fällen, in denen mit einem gemeinsamen Strom i(t) � � < I(s) gearbeitet werden

kann, ist die Übertragungsfunktion durch das Widerstands-verhältnis )()( = )( a

sZsZsG gegeben.


( )h t

0,5

t

0

Bild 4.37 Sprungantwort h(t)

c) Sprungantwort h(t):

RCss

sGsH

21

121 = 1)( = )(

�

tRCth 21

e21 = )(

�+

c) Impulsantwort g(t):

Die Impulsantwort g(t) erhält man durch inverse Laplace-Transformation aus der Übertra-gungsfunktion G(s). Polynomdivision der unecht gebrochen rationalen Übertragungsfunktion G(s) ergibt

tRC

RCttg

RCsRC

RCs

ssG 21

e4

1)(21)(

21

12

1121

212

1 = )(�

��<

��

�

��

�

��

�6�

Will man mit Gleichung 4.13 die Impulsantwort g(t) als Ableitung der Sprungantwort h(t) bestimmen, so führt die "übliche" Ableitung

tRC

RCdttdh 2

1

e4

1 = )( ��

zu einem falschen Ergebnis. Das richtige Ergebnis für die Impulsantwort g(t) liefert die verall-gemeinerte Ableitung

tRC

RCtthD 2

1

e4

1)(21 = )(

��6 .

Wegen der Unstetigkeit der Sprungantwort h(t) an der Stelle t = 0 mit der Sprunghöhe 0,,5 liefert die verallgemeinerte Ableitung der Sprungantwort zur Impulsantwort g(t) den zusätzli-chen Anteil 0,5 )(t6 . An den Eingang des Übertragungsgliedes liegt ein kurzer Spannungsimpuls. Man erkennt, dass am Ausgang ein ebenso kurzer Spannungsimpuls halber Größe liegt. Der durch den Span-nungsimpuls verursachte Stromimpuls hat den Kondensator geladen, der anschließend wieder entladen wird.

Beispiel 4.17 Gegeben ist das lineare Übertragungsglied von Bild 4.38. Bestimmt werden sollen die Übertra-gungsfunktion G(s), die Impulsantwort g(t) und die Sprungantwort h(t).

ue(t)

i1(t)>

i2(t)>

ua(t)

R

RR

C

Bild 4.38a Übertragungsglied

4.4 Übertragungsverhalten von Netzwerken 141 a) Übertragungsfunktion

1. Bestimmung von G(s) durch Berechnung des Maschenbildstromes I2(s)

Aus den Maschengleichungen

0)(12)(1(2)

)()(1)(12(1)

21

e21

�#$%

&'( ��#

$%

&'( ��

�#$%

&'( ��#

$%

&'( �

sICs

RsICs

R

sUsICs

RsICs

R

folgt für den gesuchten Maschenstrom

) * )(23

1=

121

112

01

)(12

= )( e

e

2 sU+RCsR

+RCs

CsR

CsR

CsR

CsR

CsR

sUCs

R

sI

#$%

&'( �#

$%

&'( ��

#$%

&'( ��#

$%

&'( �

#$%

&'( ��

#$%

&'( �

231 =

)()( = )()(

231 = )( = )(

ea

e2a +RCs+RCs

sUsUsGsU

+RCs+RCssIRsU ++

Da die Übertragungsfunktion G(s) die Laplace-Transformierte der Impulsantwort g(t) ist, kann in den Maschengleichungen direkt 2 3( ) ( ) 1eU s t6� �L eingesetzt werden. Man erhält dann (in diesem Beispiel)

.sIRsUsG )()()( 2a ��

2. Bestimmung von G(s) durch das Bildwiderstandsverhältnis )()( = )( a

sZsZsG

Am Ausgang des Übertragungsgliedes liegt die Parallelschaltung der Bildwiderstände R und

#$%

&'( �

Cs1R . Damit folgt für die Übertragungsfunktion

231

112

1

=

12

1

12

1

= )(+RCs+RCs =

CsR+R

CsR+R

CsR+R

CsR+

CsR+R

R+

CsR+

CsR+R

sG#$%

&'(�#

$%

&'(

#$%

&'(

#$%

&'(

#$%

&'(

Man spart sich so die Berechnung des Bildstromes 2 ( )I s , muss aber stattdessen einen verschachtelten Bruch vereinfachen.


b) Impulsantwort

Die Übertragungsfunktion G(s) ist eine unecht gebrochen rationale Funktion. Durch Polynom-division erhält man

��

�

��

�

��

�

��

�

��

�

� ��<

tRCRC

tt

RCs

RC

RCs

RCs

sG 32

e3

1)(31 = )g(

32

31

131 =

32

1

31 = )( 6�

c) Sprungantwort

tRCth

RCss

RCss

RCs

ssGsH 3

2

e61

21 =)(

32

1611

21=

32

1

31=1)( =)(

��

��

#$%

&'( �

��< �

Man erkennt (auch am Schaltbild) +1 1( 0) und ( ) =3 2

h h� .

Bemerkung:

Man könnte zuerst die Sprungantwort h(t) berechnen und dann die Impulsantwort einfacher als Ableitung von h(t) berechnen. Wie man leicht erkennt, führt hier die übliche Ableitung zu einem falschen Ergebnis. Der Grund ist wie im Beispiel 4.16 die Unstetigkeit der Sprungant-wort h(t).

Die Sprungantwort h(t) ist wegen ( 0) 0h � � und +1( 0)3

h � an der Stelle t = 0 unstetig ist mit

der Sprunghöhe +1( 0) .3

h �

Es ist daher die verallgemeinerte Ableitung zu verwenden, in der die Unstetigkeit von ( )h t an

der Stelle t = 0 den Anteil 1 ( )3

t6 zur Folge hat.

Die Impulsantwort g(t) ergibt sich hier also als verallgemeinerte Ableitung der Sprungantwort ( )h t richtig zu

231 1( ) D ( ) ( )

3 9

tRCg t h t t e

RC6

��

t

0

1

9RC

1( )

3t6

( )g t

Bild 4.38b Gewichtsfunktion von Beispiel 4.17


4.4.4 Pol-Nullstellenplan einer Übertragungsfunktion

Satz 4.7

Die Polstellen ( 1,2, , )is i m� � der Übertragungsfunktion G(s) eines RCL - Netzwerks liegen im Inneren der linken Halbebene, d.h., es gilt für alle i

0Re �is .

Beweis: Ein RCL-Netzwerk ist ein passives Netzwerk, es antwortet auf ein impulsförmiges Eingangs-signal mit einem zeitlich abklingenden Ausgangssignal. Die Impulsantwort g(t) ist daher eben-falls eine abklingende Zeitfunktion. Ihre Laplace-Transformierte, die Übertragungsfunktion G(s), hat daher, wie wir im Abschnitt 4.3.7 gesehen haben, nur Pole, deren Realteile negativ sind. Die Lage der Pole eines passiven Netzwerks spielt für weitere Überlegungen eine wichti-ge Rolle. Wir wissen, dass aus der Lage der Pole einer Bildfunktion wichtige Rückschlüsse auf den Verlauf der zugehörigen Zeitfunktion gezo-gen werden können.

Der durch ein impulsförmiges Eingangs-signal (z. B. Störimpulse) verursachte Aus-gleichsvorgang klingt dabei schneller ab, wenn die Pole weiter links im Polstellenplan liegen.

Einem Paar konjugiert komplexer Pole mit einem negativen Realteil entspricht dabei im Zeitbereich eine gedämpfte Schwingung.

0>>

>

>

>

>

>

>

�

7

Bild 4.39 Polstellenplan einer Übertragungsfunktion

Ergänzend dazu sei gezeigt, dass aus der Lage konjugiert komplexer Pole mit negativen Real-teilen auch eine Aussage über den Dämpfungsgrad gemacht werden kann.

Betrachten wir das Übertragungsglied von Bild 4.40, welches folgende Übertragungsfunktion hat:

i(t) C

R

ue(t)

L

ua(t)


2

20

2 2 20

1( ) = 1

( )

G s LCs RCs

� =

s+ �6 6

� �

� �


Im Falle schwacher Dämpfung, bei einem Dämpfungsgrad 1 < A , hat die Übertragungs-funktion G(s) ein Paar von konjugiert komplexen Polen mit negativem Imaginärteil.

Polstellen: ) * 1,22 2 2 2 2

0 00 = j .s s6 � 6 6 � 6� � � � + � " � Wegen

2 20 0

0 1 folgt < 06A 6 � � 6�

� � + � 5 .

Der Radikand der Quadratwurzel ist daher positiv. Es handelt hier sich um ein Paar von kon-jugiert komplexen Polstellen.

*

*

�

j�

7

P1

P2

6

0

220 6� �

Bild 4.41 Polstellenplan

Bild 4.41 zeigt die Lage der Polstellen

1 22 20 = j,s .6 � 6� " �

Im Polstellenplan liegen diese Pole symmet-risch zur reellen Achse und haben vom Koor-dinatennullpunkt die Entfernung

2 2 21 2 0

0

OP = OP = + ( )=

6 � 6

�

�

Mit dem in Bild 4.41eingeführten Winkel � erhält man

A�6� = = cos0

(4.17)

Einem in der linken Halbebene gelegenen Paar von konjugiert komplexen Polstellen ent-spricht im Zeitbereich eine gedämpfte Schwingung mit einem Dämpfungsgrad A , der gleich dem Kosinus des Winkels ist, den die Verbindungslinie einer Polstelle mit dem Ursprung einerseits und der negativen reellen Achse andererseits miteinander einschließen.

Das durch einen impulsförmigen Störimpuls verursachte Ausgangssignal klingt umso schnel-ler ab je weiter links die Polstellen der Übertragungsfunktion G(s) liegen. m Falle einer gedämpften Schwingung ist der Dämpfungsgrad A umso größer, je kleiner der Winkel � ist, den die Verbindungslinien der entsprechenden konjugiert komplexen Pole mit dem Ursprung bilden.

Dadurch sind "günstige Bereiche" bestimmt, in denen die Polstellen einer Übertragungsfunkti-on liegen sollten.


4.4.5 Stabilität von LTI-Systemen

1. Stabilitätskriterium im Zeitbereich: Reagiert ein System auf ein beschränktes Eingangssignal B x(t) B � N � mit einem be-schränkten Ausgangssignal B y(t) B � M � so bezeichnet man es als stabil. Diese Stabilitätsdefinition wird auch als BIBO-Stabilität bezeichnet. Die Abkürzung BIBO bedeutet: bounded input � bounded output. Kriterium: Ein LTI-System ist dann stabil, wenn seine Impulsantwort g(t) absolut integrierbar ist.

( ) K | |g t dt�

�

� � �

Beweis: Wir betrachten ein beschränktes Eingangssignal B x(t) B � N � Die Beschränkung des Ausgangssignals ist dann gegeben, wenn gilt:

B y(t) B = B g(t)>x(t) B � ( ) ( N ( ) M | | | |g x t d g d9 9 9 9 9� �

� �

� * � � ��

wobei M = N K: gesetzt ist.

2. Stabilitätskriterium im Bildbereich:

Zur Überprüfung der Stabilität wird der PN-Plan herangezogen.

Ein LTI-System ist stabil, wenn alle Pole der Übertragungsfunktion G(s) in der offenen, lin-ken Halbebene des PN-Plans liegen.

Es ist grenzstabil, wenn auf der imaginären Achse nur einfache Pole auftreten, alle weiteren Pole aber in der linken Halbebene des PN-Plans liegen.

Es ist instabil, sobald nur ein Pol der Übertragungsfunktion G(s) in der offenen, rechten Halb-ebene des PN-Plans auftritt, oder wenn ein mehrfacher Pol auf der imaginären Achse liegt.


4.4.6 Übertragungsfunktion und Frequenzgang Die Systemantworten,

)},(S{ = )(ort Sprungantwund )}(S{ = )( ortImpulsantw

tthttg

46

sind wichtige Kenngrößen eines Übertragungssystems. Wir wollen nun untersuchen, wie ein RCL-Netzwerk auf ein periodisches Eingangssignal ant-wortet. Dabei interessiert insbesondere die Antwort des Systems auf ein sinusförmiges Ein-gangssignal.

Satz 4.8

Ein RCL-Netzwerk antwortet auf ein periodisches Eingangssignal x(t) nach Abklingen des Einschwingvorganges mit einem stationären periodischen Ausgangssignal )(st ty der glei-chen Periodendauer. Ist das Eingangssignal x(t) im Sonderfall sinusförmig, so ist das stationäre Ausgangssig-nal )(st ty ebenfalls sinusförmig mit der gleichen Frequenz wie das Eingangssignal.

Beweis: Ein T-periodisches Eingangssignal x(t) hat, wie im Satz 4.12 gezeigt wurde, eine Laplace-Transformierte

.sXsXsT�� e1

)( = )( 0

Hierbei ist X0(s) die Laplace-Transformierte einer nur im Zeitintervall von 0 bis T von Null verschiedenen Zeitfunktion, deren periodische Fortsetzung x(t) ergibt. Für die Laplace-Transformierte des Ausgangssignals erhalten wir mit der Übertragungsfunktion G(s)

.ssGsYsT�� e1

)(X)( = )( 0

Wir wollen uns nun die Lage der Pole von Y(s), der Laplace-Transformierten des Ausgangs-signals Y(s), betrachten. Der erste Faktor G(s) hat nach Satz 4.7 nur Pole mit negativem Realteil, die links von der ima-

ginären Achse liegen. Der zweite Faktor, nämlich sTsX�� e1

)(0 , hat abgesehen von den Polen

von X0(s), die nicht in der rechten Halbebene liegen, falls x0(t) beschränkt ist, was angenom-men werden kann, noch die Pole, die durch die Gleichung

0 e1 �� Ts

bestimmt sind. Die Lösungen dieser Gleichung j�2e = 1 = e

ksT "� sind


0j = �2j = �kT

ks ""

(k = 0,1,2,3, ... ).

Hierbei ist 0� die Kreisfrequenz des periodi-schen Eingangssignals x(t). Neben den Polen der Übertragungsfunktion G(s) und der Laplace-Transformierten X0(s), die im Inneren der linken Halbebene liegen, gibt es noch die Polstellenpaare

0j = �ks " auf der imaginären Achse.

>>

>

>

>

>

>>>>

>>>>

�

7

0

Bild 4.42 Lage der Polstellen von ( )Y s

Den Polen in der linken Halbebene entsprechen im Zeitbereich abklingende Anteile.

Da nun jedem Polstellenpaar 0j �ks "� im Zeitbereich eine stationäre harmonische Schwin-gung der Kreisfrequenz 0�k entspricht, stellt die Summe dieser harmonischen Schwingungen, ihre Konvergenz vorausgesetzt, die Fourierreihe eines periodischen stationären Ausgangssig-nals )(st ty der Grundkreisfrequenz 0� dar.

Ist im Sonderfall das Eingangssignal x(t) sinusförmig, d.h.

22 = )()sin( = )(�s

E�sXtEtx�

<�� ,

so ist die Laplace-Transformierte des Ausgangssignals

22)( = )(�s

E�sGsY�

Da wir jetzt nur ein Polstellenpaar �j"�s auf der imaginären Achse haben, ist das Aus-gangssignal nach dem Abklingen der flüchtigen Anteile ebenfalls sinusförmig, eine Tatsache, von der in der Wechselstromlehre ständig Gebrauch gemacht wird.

Definition 4.8

Unter dem Frequenzgang F eines Übertragungsglieds versteht man

�jeEAF � (4.18)

Dabei ist A die Ausgangsamplitude des stationären sinusförmigen Ausgangssignals bei ei-nem sinusförmigen Eingangssignal der Eingangsamplitude E und � die Phasenverschiebung des stationären Ausgangssignals ys(t) gegen das Eingangssignal x(t).


( ) sin( )y t E t� �� Übertragungs- system ( ) sin( )x t A t��

Der Frequenzgang ist im Allgemeinen ein komplexer Zeiger, der die Amplitudenvergrößerung und die Phasenverschiebung des sinusförmigen Ausgangssignals im eingeschwungenen Zu-stand gegenüber dem sinusförmigen Eingangssignal angibt. Neben der Impulsantwort g(t) und der Sprungantwort h(t) ist der Frequenzgang F eine wich-tige Kenngröße eines Übertragungsgliedes.

Satz 4.9

Ist G(s) die Übertragungsfunktion eines Übertragungsgliedes, so gilt für den Frequenzgang

)(j = �GF (4.19)

Beweis: Zur Vereinfachung sei als Eingangssignal die komplexe Schwingung

�sE sXEtx t

j= )(e = )( j

�<��

verwendet.

Mit der reellen Schwingung j2ee = )sin( = )(

jj ttEtEtx

��

�� verläuft der Beweis analog.

Mit dem Eingangssignal tEtx �je = )( erhält man als stationäres Ausgangs-signal

�

��

je = )(e = )(

jst

)+j(st �

<�sAsYAty t �

Da sich das Ausgangssignal y(t) aus einem stationären und einem flüchtigen (zeitlich abklin-genden) Anteil zusammensetzt, gilt

)(j

e = )()( = )( flj

flst sYsAsYsYsY ��

��

�

Andererseits folgt mit der Definition der Übertragungsfunktion

�j)( = )()( = )(

�sEsGsXsGsY

Daraus ergibt sich

)(je = )( )(j

e = j

)( flj

flj

sYE

sEAsGsY

sA

sEsG �

��

� ��+�

��

Setzt man in die letzte Gleichung für s den Wert �j�s ein, so folgt schließlich

j( j ) e AG FE

�� .


Wir wissen, dass die Übertragungsfunktion ( ) ( j )G s G 7 �� die Laplace-Transformierte der Impulsantwort (Gewichtsfunkion) g(t) ist. Der Frequenzgang )(j�G ist die Fourier-Transformierte (Spektralfunktion) der Gewichtsfunk-tion g(t).

2 3( ) ( )F G j g t�� = F

Wir haben im Abschnitt 2.2 festgestellt, dass der Realteil der Spektralfunktion einer reellwerti-gen Zeitfunktion eine gerade, der Imaginärteil eine ungerade Funktion ist. Auf den Frequenzgang )(j�G als Spektralfunktion der Gewichtsfunktion g(t) übertragen, be-deutet dies

)(jIm = )j(Im und )j(Re = )(jRe �� GGGG �� +

)(jG = )(jjIm)(jRe = )j(jIm)j(Re = )j( �� >�� GGGGG

( j )G �� ist also die konjugiert komplexe Zahl zu ( j )G � . Da das Produkt von konjugiert kom-plexen Zahlen das Quadrat ihres Betrages ergibt, folgt daraus die Aussage

)j()(j = )(j �� GGG (4.20)

Beispiel 4.18

Man bestimme für das Übertragungsglied in Bild 4.43

a) die Übertragungsfunktion G(s) b) die Impulsantwort g(t) und c) die Ortskurve des Frequenzgangs F

R

C

i1>

Rue(t) ua(t)i2>


1. Bestimmung von G(s) durch Berechnung des Maschenbildstromes I2(s)

Aus den Maschengleichungen

0)(1)(1(2)

)()(1)(1(1)

21

e21

�#$%

&'( ��

��#$%

&'( �

sICs

RsICs

sUsICs

sICs

R

folgt für den gesuchten Maschenstrom


) *

1 e1

2 e1 1

1 1

( )0 1( ) = = ( )

+2

Cs

Cs

Cs Cs

Cs Cs

R U s

I s U sR RCsR

R

��

� ��

2+1 =

)()( = )()(

2+1 = )( = )(

ea

e2a RCssUsUsGsU

RCssIRsU ++

2. Bestimmung von G(s) durch das Bildwiderstandsverhältnis )()( = ( a

sZsZ)sG

2

1 = (

1

1

1

1

+RCs=

R+

RR

+R

R

)sG

Cs

Cs

Cs

Cs

###

$

%

&&&

'

(�

###

$

%

&&&

'

(

Impulsantwort: t

RCRC

tg

RCsRCRCs

)sG2

e1)(211

21(

��

��

�� < �

Frequenzgang: 2j

1)(j�

��

�RC

GF .

Die Ortskurve von ��

RCG

j2)(j

1�� ist für 0�� eine Halbgerade mit dem konstanten

Realteil .G

2)(j

1Re �##$

%&&'

(�

Durch Inversion dieser Halbgeraden (Bild 4.44 a) erhält man den durch den Ursprung verlau-fenden Halbkreis (Bild 4.44 b).

Bild 4.44 Ortskurve des Frequenzgangs F


4.4.7 Berechnung des stationären Anteils des Ausgangssignals bei nichtsinusförmigen periodischen Erregungen Wie im Abschnitt 4.3.3, Satz 4.12 gezeigt wird, hat ein T-periodisches Eingangssignal x(t) die Laplace-Transformierte

sTsXsX��

�e1

)()( 0

0 ( )X s ist hierbei die Laplace-Transformierte einer nur im Zeitintervall von 0 bis T von Null verschiedenen Zeitfunktion 0 ( )x t , deren periodische Fortsetzung x(t) ergibt. Nach Satz 4.8 antwortet das System nach Abklingen des flüchtigen Anteils ) *fy t des Ausgangssignals mit einem stationären Anteil )(stat ty der ebenfalls T-periodisch ist. Eine Zerlegung der Laplace-Transformierten ( )Y s des Ausgangssignals in einen flüchtigen Anteil )(f sY und einen stationären Anteil )(stat sY ergibt

f stat( ) ( ) ( ) ( ) ( )Y s G s X s Y s Y s� � �

Für die Laplace-Transformierte des stationären Anteils folgt daraus

stat f( ) = ( ) ( ) ( )Y s G s X s Y s�

Die Laplace-Transformierte f ( )Y s des flüchtigen Anteils des Ausgangssignals ist durch die im Inneren der linken Halbebene gelegenen Pole der Übertragungsfunktion G(s) bestimmt. Da das stationäre Ausgangssignal stat ( )ty eine T-periodische Funktion ist, genügt es

ostat

definiert für 0 ( ) =


t Ty t

� ��

zu berechnen. Das gesuchte stationäre Ausgangssignal stat ( )y t entsteht dann durch periodi-

sches Fortsetzen von stato ( )y t .

Beispiel 4.19 Auf das RC-Glied von Bild 4.45a wirke eine doppelweggleichgerichtete Sinus-spannung ue(t) nach Bild 4.45b als Eingangssignal x(t). Es soll der stationäre Anteil uast(t) der Ausgangsspannung berechnet werden.

a)ue(t) ua(t)

R

C

Bild 4.45 RC - Glied und Eingangsspannung ue(t)


Die periodische Eingangsspannung ue(t) entsteht durch periodisches Fortsetzen der Spannung

00

sin( ) für 0 ( ) = 2


TU t tu t

��

Diese Spannung u0(t) setzt sich nach Bild 4.46 zusammen aus

�

��

#$%

&'( �

0/.

��

#$%

&'( ��

22sin)sin( = )( 00

TtTttUtu 4��

Bild 4.46 Spannung u0(t) (a) und ihre Zerlegung in Teilspannungen (b)

Wir erhalten daher mit dem Verschiebungssatz die Korrespondenz

00 0 2 2

2( ) ( ) = 1 esT

Uu t U s

s�

�

� ��

� � �� <��

und daraus die Laplace-Transformierte der 2T -periodischen Eingangsspannung

0 22 2

0e

2 2

1 e( )

( ) = =

1 e 1 e

sT

sT sT

UsU s

U s

��

�

� �

��

� �

Mit der Übertragungsfunktion des RC-Glieds

1 1( ) = 1

G sRC s+

RC

folgt für die Laplace-Transformierte der Ausgangsspannung

202 2

2

11 e( ) = 11 e

sT

a sTU �RCU s

s �s+RC

�

�

�( %& #

�' $�


Polstellen von ( )aU s : 11. = 2. = j s s

RC�� "

2 2�3. 1 e = 0 = 2�j = j2 j2 , 0,1,2,32

sTsT k s k k k

T�

�� + " + " " � �

An den Stellen s = j �" überlagern sich jeweils eine einfache Polstelle und eine einfache Nullstelle, die sich gegenseitig aufheben. An der Lage der Polstellen erkennt man, dass die Ausgangsspannung ua(t) den durch die bei s

= RC1

� liegende Polstelle bestimmten flüchtigen Anteil

1

afl 1( ) e RCt

u t A�

� hat. Die auf der imaginären Achse liegenden Pole bei = j2s k�" bestimmen die Fourierreihe des stationären Anteils der Ausgangsspannung, auf die wir hier jedoch nicht näher eingehen wol-len, da ein geschlossener Ausdruck gesucht ist.

Für die Laplace-Transformierte der Ausgangsspannung erhält man

1a afl ast ast( ) = ( ) ( ) = ( )

1A

U s U s U s U ss+

RC

� �

Der Zähler A1 ist nach Gl. (4.46) gegeben durch

1

220 01 2 2 2 2 2

2 2

1 1 e 1 e = = 1

1 e 1 eRC

TsTRC

sT TRC

s

U � U �RCA

RC s � � R C

�

�

��

��

� ��

Für die Laplace-Transformierte des stationären Anteils folgt damit

20 1ast a af 2 2

2

1 1 1 e( ) = ( ) ( ) = 1 1

1 e

sT

l sTU � A

U s U s U sRC s �s+ s+

RC RC

�

�

��

��

1A hat hierbei den bereits bestimmten Wert. Mit der Summenformel einer unendlichen geo-metrischen Reihe folgt

30 12 2 2ast 2 2 1

1 1( ) = 1 e 1+e e e 1

sT sT sTsT

RC

U AU sRC sss+

RC

��

� � ��( %( %& #& #� � � � �& #& # �� ' $' $

�

Ausmultiplizieren der beiden Klammern ergibt


30 12 2ast 2 2 1

1 1( ) = 1+2e 2e 2e 1

sT sTsT

RC

U AU s

RC sss+RC

�

�

� ��

�

bzw.

0 1ast 2 2

30 2 2

2 2

1 1( ) = + 1 1

21 1+ e e e 1

sT sTsT

U AU s

RC ss+ sRC RC

URC ss+

RC

�

�

�

�

� ��

��

��

�

Dieser verhältnismäßig komplizierte Ausdruck vereinfacht sich ganz wesentlich, wenn wir uns bei der Betrachtung des stationären Anteils der Ausgangsspannung auf das Zeitintervall

02Tt � � beschränken.

Da die periodische Eingangsspannung ue(t) in diesem Beispiel die Periodendauer 2T hat, ist

die stationäre Ausgangsspannung uast(t) periodisch mit der gleichen Periodendauer. Es genügt

daher die Berechnung des stationären Ausgangssignals für das Zeitintervall 2

0 T t �� durch-

zuführen . Die Glieder der Laplace-Transformierten des stationären Anteils der Ausgangsspannung

stat ( )U s mit den Faktoren 2 23

e , e e , sT sT

sT ,� �� liefern aber im Zeitbereich Anteile, die

nach dem Verschiebungssatz in dem betrachteten Zeitintervall 0

2Tt � � identisch Null sind.

Durch eine Beschränkung auf dieses Zeitintervall erhalten wir im Zeitbereich eine Spannung )(o

ast tu , deren periodische Fortsetzung uast(t) ergibt und deren Laplace-Transformierte durch den wesentlich einfacheren Ausdruck

o 1ast 2 2

1 1( ) = 1 1

oU AU s

RC ss+ sRC RC

�

��

� �

gegeben ist.

Da 1A einen bereits berechneten Wert hat, genügt die Partialbruchzerlegung des ersten Terms

0 2 1 22 2 2 2

1 1 = 1 1

U A B s B + RC s s �s s+

RC RC

�

��

� ��

Die Konstanten A1, B1 und B2 berechnen sich zu


0 0 02 1 22 2 2 2 2 2 2 2 2 = , = ,

1 1 1U RC U RC U �

A B B = R C R C � R C

� �

� ��

� � �

Zusammenfassend erhalten wir

2

2

o 2 1 1 2ast 2 2

0 02 2 2 2 2 2 2 2

(s) = 1

( )2e 1 1 + 11 1e 1

TRC

TRC

A A B s BU + s �s

RC

U RC U RCR C R C ss

RC

� � �

� � �

� �

��

� ��

� � ��

Dieser Bildfunktion entspricht im Zeitbereich die Spannung

� �2

2

o oast 2 2 2 2 2 2

2 e( ) = + sin( ) cos( )1 1e 1

TtRC

RCTRC

oU RC Uu t e t RC t

R C R C�

� � ��

��

� ��

Wir haben somit mit den Mitteln der Laplace-Transformation einen geschlossenen Ausdruck

für den stationären Anteil der Ausgangsspannung im Zeitintervall 2

0 T t �� gefunden.

Die Ausgangsspannung enthält noch einen ein zur Zeit t = 0 einsetzenden flüchtiger Anteil 1

afl 1( ) e RCt

u t A�

� , der jedoch schnell abklingt.

Durch periodisches Fortsetzen dieser Spannung )(oast tu erhält man die stationäre periodische

Ausgangsspannung ast ( )u t . In Bild 4.47 ist für �RC = 1 eine Periode des stationären Anteils der Ausgangsspannung dargestellt.

Mit wachsender Kapazität C wird die Spannung mehr geglättet und im Grenzfall C �

erhält man �

oast

2 = )( Utu , d.h. eine ideal geglättete Ausgangsspannung mit einer Spannung,

die sonst als Mittelwert auftritt.

Bild 4.47 Verlauf der stationären Ausgangsspannung uast(t) für k > 5


Aufgaben zu Abschnitt 4.4 (Ergebnisse im Anhang):

Aufgabe 4.14 Es sollen a) die Sprungantwort h(t) und b) die Impulsantwort g(t) des in Bild 4.48 dargestellten Übertragungsgliedes berechnet werden.

ue(t)

R

C

C

ua(t)

RR

C

ue(t) ua(t)

Bild 4.48 Übertragungsglied Bild 4.49 Übertragungsglied

Aufgabe 4.15 Man berechne für das Übertragungsglied in Bild 4.49 a) die Übergangsfunktion h(t) b) die Gewichtsfunktion g(t).

Aufgabe 4.16

a)C ua(t)ue(t)

R1

R2

Man bestimme für die in Bild 4.50 a, b und c dargestellten Übertragungsglieder die Über-tragungsfunktionen

G(s) =)()(

ea

sUsU .

b)

L

Rue(t) ua(t)C

c)

ua(t)ue(t)R

C R

C

Bild 4.50 a, b, c Übertragungsglieder zu Aufgabe 4.16

Aufgabe 4.17

R

Cue ua

R

i2(t)i1(t)C


Für das Übertragungsglied in Bild 4.51 mit den Maschenströmen )(1 ti und )(2 ti berechne man

a) die Übertragungsfunktion G(s) b) die Gewichtsfunktion g(t). c) die Übergangsfunktion h(t)

4.4 Übertragungsverhalten von Netzwerken 157 Aufgabe 4.18 Gegeben ist ein Netzwerk mit der Übertragungsfunktion

3+1 = )(

RCssG

a) Man berechne die Impulsantwort g(t) und die Übergangsfunktion h(t).

b) Für die in Bild 4.52 dargestellte Ein-gangsspannung e ( )u t soll die Aus-gangsspannung a( )u t berechnet wer-den .

U0

0

t

9

ue(t)

Bild 4.52 Eingangsspannung e ( )u t Aufgabe 4.19

Gegeben ist ein Serienschwingkreis nach Bild 4.53a im aperiodischen Grenzfall. Im aperiodischen Grenzfall gilt

LCLR 1 =

2.

a) Man bestimme die Übertragungsfunktion

)()( = )(I sU

sIsG

des Serienschwingkreises von Bild 4.53 a

R L C

( )u t ( )i t

Bild 4.53 a Serienschwingkreis

b) Für die Spannungen u(t) nach Bild 4.53 b und Bild 4.53 c sollen die Ströme i(t) berechnet werden.

u(t)

U0

0

t

9

Bild 4.53 b Eingangsspannung

u(t)

U0

0

t

9

Bild 4.53 c Eingangsspannung

Aufgabe 4.20 Für das Übertragungsglied in Bild 4.54 bestimme man a) die Übertragungsfunktion G(s) b) die Ausgangsspannung bei � �)1()()( 0e �� ttUtu 44 c) die Impulsantwort g(t)

ue(t) ua(t)R C

C



Aufgabe 4.21

ue(t) ua(t)

R

L

RR


Für das Übertragungsglied in Bild 4.55 bestimme man

a) die Übertragungsfunktion G(s), b) die Impulsantwort g(t) und c) die Sprungantwort h(t).

Aufgabe 4.22

R R

RC

e( )u t a ( )u t

<<

< <


Gegeben ist das in Bild 4.56 skizzierte Übertragungsglied.

Man berechne

a) Die Übertragungsfunktion G(s),

b) die Gewichtsfunktion g(t), und

c) die Übergangsfunktion h(t).

Aufgabe 4.23

ue(t) ua(t)

R

RC


Für das Übertragungsglied von Bild 4.57 sollen die Übertragungsfunktion

)()( = )(

ea

sUsUsG

und die Ortskurve des Frequenzgangs F bestimmt werden

4.5 Zusammenschaltung von LTI-Systemen 159

4.5 Zusammenschaltung von LTI-Systemen

LTI-Systeme sind lineare und zeitinvariante Systeme (siehe Abschnitt 4.4). Graphisch wird ein System, bzw. ein Übertragungsglied durch einen Block dargestellt, in dem die Systemfunktion angegeben ist.

Durch Kombination von einzelnen Systemen lassen sich weitere, komplexere Systeme auf-bauen. Die Teilsysteme können dabei auf mehrere Arten, z. B. in Reihe, parallel oder durch Rückkopplung zu einem Gesamtsystem verbunden werden. In den folgenden Abschnitten werden die Berechnungen zum Übertragungsverhalten zusam-mengeschalteter Systeme mit der L-Transformation durchgeführt. Dabei werden die Zeitsigna-le durch die Korrespondenzen ( ) ( )x t X s�<� und ( ) ( )y t Y s�<� ersetzt.

4.5.1 In Reihe geschaltete Systeme:

Bild 4.58 Reihenschaltung von 2 Teilsystemen

Durch die Kopplung beider Systeme wird das Ausgangssignal Y1(s) von G1(s) zum Eingangs-signal von G2(s). Dafür gilt:

1 1( ) ( ) ( )Y s G s X s� und 2 1( ) ( ) ( )Y s G s Y s�

Nach dem Zusammenschalten beider Teilsysteme erhält man:

2 1 2 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )Y s G s Y s G s G s X s� : � : :

Aus dem Verhältnis von Ausgangs- zu Eingangssignal ergibt sich die Gesamtsystemfunktion:

2 1 1 2( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

Y s G s G s G s G s G sX s

� � : � : (4.21)

In G(s) darf die Reihenfolge der Teilsysteme vertauscht werden. Voraussetzung für die Gültigkeit der Beziehung (4.21) ist die rückwirkungsfreie Kopplung der Teilsysteme. Eine rückwirkungsfreie Kopplung erreicht man mit einem Impedanzwandler (auch Trennver-stärker genannt). Dieser wird zwischen G1(s) und G2(s) geschaltet und bewirkt die Entkopp-lung der Teilsysteme.

y(t) y1(t) x(t) G1(s) G2(s)

X(s) Y1(s) Y(s)


v = 1

Durch diese Eigenschaften wird erreicht, dass Teilsystem 1 vom nachfolgenden Teilsystem 2 nicht belastet wird. Die Verstärkung v = 1 gewährleistet, dass das Zwischensignal originaltreu, d. h. ohne Verstärkung oder Abschwächung dem nächsten Teilsystem zugeführt wird. Da in der Theorie zusammengeschalteter Systeme rückwirkungsfreie Kopplung Voraussetzung ist, werden in den Block-Schaltbildern die Impedanzwandler nicht mit eingezeichnet.

Allgemein gilt für n in Reihe geschaltete Teilsysteme:

Bild 4.60 Reihenschaltung von n Teilsystemen

Gesamtsystemfunktion (Übertragungsfunktion):

1 2 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )

k

nnG s G s G s G s G sk�

� : : : : : � C (4.22)

Bei mehreren rückwirkungsfrei in Serie geschalteten Teilsystemen ist die Gesamtsystemfunk-tion gleich dem Produkt der Übertragungsfunktionen der Teilsysteme.

Die Beziehung (4.22) ist kommutativ. Die Reihenfolge der Teilsysteme darf bei der Kopplung beliebig vertauscht werden.

Bemerkung: Werden Teilsysteme ohne Entkopplung, also direkt zusammen geschaltet kann die obige Berechnung nicht angewendet werden. Das Gesamtsystem ist dann nach der Metho-de aus Abschn. 4.3 zu berechnen, die insbesondere bei mehreren Teilsystemen aufwendig ist.

Beispiel 4.20 Zwei Teilsysteme 1.Ordnung, ein Hochpaß und ein Tiefpaß werden rückwir-kungsfrei in Reihe geschaltet. Welche Übertragungsfunktion ergibt sich für das Gesamtsys-tem?

Bild 4.61 Hochpaß und Tiefpaß in Reihe

Impedanzwandler haben

< einen hohen Eingangswiderstand < einen niedrigen Ausgangswiderstand < die Verstärkung v = 1

Bild 4.59 Symbol eines Impedanzwandlers

y(t) x(t) G1(s) Gn(s) G2(s)

y(t) x(t) 1 1( )

R C

sG ss

�� 2

1

1( ) RC

RCG s

s�

�

4.5 Zusammenschaltung von LTI-Systemen 161 Nach Gl. (4.21) erhält man

) *22 2

1

1 1 1 2 1( )

( )RC RC RC

RC RC RC RC RC

s ssG s

s s s s s� : � �

� � � � �

Aus der Reihenschaltung von Hoch- und Tiefpaß ergibt sich die Übertragungsfunktion für einen Bandpaß. Es handelt sich dabei um ein System 2. Ordnung, da der Nenner von G(s) ein Polynom 2. Grades ist. Bemerkung: Wird ein Hoch- und ein Tiefpaß ohne Entkopplung, also direkt zusammen ge-schaltet, wird dem ersten System vom nachfolgenden System Energie entzogen. Für diesen Fall zeigt die Übertragungsfunktion eine Abweichung gegenüber der rückwirkungsfreien Kopplung. Den Unterschied sehen wir bei Aufgabe 4.16c. Bei G(s) steht dort im Nenner der Term 3s/RC gegenüber 2s/RC nach obiger Berechnung. Die Auswirkungen des „kleinen Un-terschiedes“ sehen wir im nächsten Beispiel.

Beispiel 4.21 Welches Signal erscheint am Systemausgang von Beispiel 4.20, wenn am Ein-gang das Signal x(t) nach Bild 4.62 anliegt

x(t) kann dargestellt werden als Überlagerung zweier Sprungfunktionen ( ) ( ) ( 1)� �� x t t t4 4 .

Es gilt die Korrespondenz

( ) ( ) ( 1)� �� x t t t4 4 1 ( ) ��

seX s s

Als Ausgangssignal erhält man bei rückwirkungsfreier Kopplung und RC = 1:

2 2 2

1 e e1( ) ( ) ( ) ( 1) ( 1) ( 1)

s ssY s G s X s ss s s

� �� : � ��

Rücktransformation unter Beachtung des Verschiebungssatzes ergibt das Ausgangssignals y(t)

2 2

1 1 e1( ) ( 1) ( 1)

sy t

s s

�� . � . � �� / � /� � � 0 � 0

L L

( 1)( ) e �( ) ( 1)e �( 1)� � �� t ty t t t t t

Nach Aufgabe 4.16c gilt bei nicht rückwirkungsfreier Kopplung

) *22 3 1( ) RC

RC RC

sG s

s s�

� �

Mit RC = 1 ergibt sich als Ausgangssignal:

2 2 21 e e1( )

3 1 3 1 3 1

s ssY sss s s s s s

� �� : � �

� � � � � �

1

1 0 t

x(t)


t 1

y(t)

Bild 4.62a Systemantwort y(t)


Die Rücktransformation zum Ausgangssignal y(t) bei nicht rückwirkungsfreier Kopplung ergibt

3 32 2

( 1)5 52 2

2( ) sinh( )�( ) sinh( ( 1))�( 1)5

t ty t t t t te e

� � �( %� � � �& #

' $

Der zeitliche Verlauf beider Ausgangssignale ist ähnlich, jedoch erreicht im rückwirkungsfrei-en Fall der y(t)-Verlauf einen höheren Amplitudenwert. Der Unterschied im Amplitudenwert ist proportional zum Energieverlust der durch die Rückwirkung von System 2 auf System 1 verursacht wird.

4.5.2 Parallel geschaltete Systeme: Beide Teilsysteme erhalten das gleiche Eingangssignal. Die Ausgangssignale y1(t) und y2(t) werden über ein Summierglied zum Gesamtsignal y(t) addiert.

Bild 4.63 Parallelschaltung zweier Systeme

Aufgrund der Linearität der Systeme gelten folgende Beziehungen: Y(s) = Y1(s) + Y2(s) = G1(s)X(s) + G2(s)X(s) Y(s) = [G1(s) + G2(s)] X(s)

Aus dem Verhältnis von Ausgangs- zu Eingangssignal ergibt sich wieder die Gesamtsystem-funktion:

1 2( ) ( ) ( )G s G s G s� � (4.23)

Allgemein gilt für n parallel geschaltete Teilsysteme:

1 2 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )

n

kknG s G s G s G s G s�

� � � :: : � � D (4.24)

Die Gesamtsystemfunktion ist gleich der Summe der Übertragungsfunktionen der Teilsysteme. Umgekehrt gilt: Kann von einer Systemfunktion eine Partialbruchzerlegung durchgeführt wer-den, so kann das System in eine Parallelschaltung einfacherer Teilsysteme aufgespalten wer-den.

y2(t)

y1(t)G1(s)

y(t)D

G2(s)

x(t)


4.5.3 Rückgekoppelte Systeme Allgemein spricht man von Rückkopplung (feedback), wenn das Ausgangssignal von einem System über ein zweites System auf den Eingang zurückgeführt wird.

Bild 4.64 Rückgekoppeltes System Das rückgeführte Signal r(t) kann an der Additionsstelle entweder zum Eingangssignal x(t) addiert oder subtrahiert werden. Das + Zeichen an der Additionsstelle bedeutet Mitkopplung, das – Zeichen Gegenkopplung. Nach der Additionsstelle erscheint das Signal

( ) ( ) 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) U s X s R s X s G s Y s� ��

U(s) ist das Eingangssignal von G1(s). Es erscheint am Ausgang als

� �( )

21 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Y s G s U s G s X s G s Y s��

Nach Separation der Variablen ( ) 11 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 G s G s Y s G s X s� : � : ��

erhält man für das Gesamtsystem

( )

1

1 2

( ) ( )( )

( ) 1 ( ) ( )

Y s G sG sX s G s G s�

� �� :

Vorzeichen: � bei Mitkopplung, + bei Gegenkopplung

(4.25)

Rückgekoppelte Systeme sind weit verbreitet. Man findet sie nicht nur in technischen Anwen-dungen, wie der Elektronik, der Regelungstechnik oder der Automatisierungstechnik, sondern auch in biologischen Systemen, in der Ökonomie (Wirtschaftskreislauf), sowie der Ökologie (Umweltverhalten), ja sogar in der Psychologie. Mitgekoppelte Systeme neigen durch oszillatorisches Aufschaukeln zur Instabilität. Gegengekoppelte Systeme sind in der Regel stabil. Die stabilisierende Wirkung der Gegen-kopplung spielt in der Regelungstechnik eine zentrale Rolle.

+ �

y(t)D

x(t) u(t) G1(s)

G2(s) r(t)


Beispiel 4.22 Für das rückgekoppelte System nach Bild 4.65 ist die Übertragungsfunktion zu bestimmen. Welches Signal erscheint am Ausgang, wenn am Eingang die Sprungfunktion x(t) = 4(t) anliegt?

Bild 4.65 System in Gegenkopplung

An der Additionsstelle wird das Eingangssignal X(s) vom Ausgangssingnal Y(s) subtrahiert. Das Differenzsignal gelangt an den Eingang von G(s) und erscheint danach als:

� �1( ) ( ) ( )( 2)Y s X s Y ss s� ��

Umformung 1 11 ( ) ( )( 2) ( 2)Y s X ss s s s ��

ergibt die Gesamtübertragungsfunktion des Systems

2( ) 1 1( ) ( ) ( 1)11 ( 2)( 2)

Y sG sX s ss ss s

� � �( % �� & #�' $

Eingangssignal Sprungfunktion 4(t) 1s

Systemantwort 2 21 1 1( ) ( )

( 1) ( 1)Y s X s

ss s� � :

� �

Rücktransformation (Tabelle) in den Zeitbereich ergibt die

Sprungantwort 21( ) 1 (1 )e

( 1)L ty t t

s s�E �� . � � � �� /

� � 0

4.5.4 Elementare Übertragungsglieder

Bei zusammengeschalteten und rückgekoppelten Systemen werden häufig Basiselemente ein-gesetzt, die bestimmte Standardaufgaben erfüllen, wie lineare Verstärkung bzw. Abschwä-chung eines Signals, oder Integrieren und Differenzieren eines Signalverlaufs.

Im folgenden werden einige elementare Übertragungsglieder näher betrachtet und deren Ei-genschaften zusammengestellt.

Y(s)

�

X(s) �D

1( ) ( 2)G s s s��


t

h(t)

1) P-Glied: Proportional-Glied, z. B. elektrischer Spannungsteiler, linearer Verstärker, etc.

Beziehung im Zeitbereich Bildbereich

y(t) = kPx(t) Y(s) = kPX(s) Übertragungsfunktion P P( ) �G s k , kP = Proportionalitätskonstante

Bild 4.66 P-Glied

2) I-Glied: Integrier-Glied, auch als Integrator bezeichnet. Realisierung: Operationsverstärker-Schaltung als Integrator.


I0

( ) = ( ) �t

y t k x t dt I( ) = ( )kY s X ss

Übertragungsfunktion II ( ) =

kG ss

, I

1= Integrationszeitkonstante

k

Bild 4.67 I-Glied

3) D-Glied: Differenzier-Glied, auch als Differenzierer bezeichnet.

Realisierung: Operationsverstärker-Schaltung als Differenzierer.


D( ) = ( )dy t k x tdt

D( ) = ( )Y s k s X s

Übertragungsfunktion D D( ) �G s k s , kD = Differenzierzeitkonstante

Bild 4.68 D-Glied

h(t) �(t) GD(s)

h(t) �(t) GI(s)

h(t) �(t) GP(s)

h(t)

t

h(t)

t

kP


4) PI-Glied: Parallelschaltung eines P- und eines I-Gliedes.

Realisierung: Operationsverstärker-Schaltung als PI-Glied


P I0

( ) ( ) + ( ) � �t

y t k x t k x t dt IP( ) = ( ) + ( )

kY s k X s X ss

Übertragungsfunktion IPI P( ) = +

kG s ks

Bild 4.69 PI-Glied

5) PID-Glied: Parallelschaltung eines P-, I- und D-Gliedes.


0

( )( ) ( ) ( )t

p I Ddx ty t k x t k x t dt k

dt� � �� ( ) ( ) ( ) ( )I

P DkY s k X s X s k sX ss

� � �

Übertragungsfunktion ( ) IPID P D

kG s k k ss

� � �

Bild 4.70 PID-Glied

6) PT1-Glied: Verzögerungsglied 1. Ordnung, wird beschrieben durch eine Differentialglei-chung 1. Ordnung mit T als Zeitkonstante. Ein typisches PT1-Glied ist ein RC-Tiefpaß, mit der Zeitkonstante T = RC


PT ( ) ( ) = ( ) �y t y t k x t PT ( ) ( ) = ( ) �sY s Y s k X s

Übertragungsfunktion 1PT

P( ) = 1 + T

kG ss

h(t) �(t) GPID(s)

h(t)

t

h(t) �(t) GPI(s)

h(t)

t

4.6 Arbeiten mit Block-Diagrammen 167

Bild 4.71 PT1-Glied

4.6 Arbeiten mit Block-Diagrammen Die Zusammenschaltung von einzelnen Teilsystemen zu einem Gesamtsystem stellt man in einem Block-Diagramm dar. Die Teilsysteme können durch Reihenschaltung, Parallelschal-tung oder Rückkopplung miteinander verbunden sein. Durch die Kombination entstehen Sys-teme mit oft gänzlich neuen Eigenschaften.

Schon vor über 2000 Jahren formulierte der griech. Philosoph Aristoteles einen Satz, dessen Gültigkeit sich hier erneut bestätigt:

„Das Ganze ist mehr als die Summe seiner Teile“

4.6.1 Von der Netzwerkgleichung zum Block-Diagramm Von einem LTI-System sei die Netzwerkgleichung in Form einer Differentialgleichung im Zeitbereich bekannt.

0 1 2 0 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) � � � ::: � � � ::: a y t a y t a y t b x t b x t (4.26)

Durch L-Transformation erhält man aus der Netzwerkgleichung eine algebraische Gleichung im Bildraum.

20 1 2 0 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) � � � :: : � � � :::a Y s a sY s a s Y s b X s b sX s (4.27)

Durch geeignete Umformung der Funktionsterme und unter Einbeziehung elementarer Über-tragungsglieder (Abschnitt 4.5.4), kann aus der transformierten Netzwerkgleichung eine Blockstruktur entworfen werden. Beispiel 4.23 Die Netzwerkgleichung für ein System 2. Ordnung lautet:

2( ) 2 ( ) ( ) ( )I I Iy t k y t k y t k x t� � � ,

mit kI als reziproker Zeitkonstante. Für die Anfangsbedingungen (0) (0) (0) 0� � �y y x erhält man mit der L-Transformation:

2 2( ) 2 ( ) ( ) ( )I I Is Y s k sY s k Y s k sX s� � � (4.28)

Umformung ( ) ( ) (2 ) ( )( %� � � :& #' $

I Ik kY s X s Y ss s

h(t) �(t) GPT1(s)

h(t)

t


Unter Verwendung des Basiselements ( ) � II

kG ss

ergibt sich die Form

) *( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( )I IY s X s G s Y s G s �� (4.29) In Gl. (4.29) kann man den Term 2 + GI(s) auffassen als Parallelschaltung eines Proportional-gliedes GP(s) mit der Verstärkung kP = 2 und eines Integierglieds GI(s). Über dieses Parallel-glied, das wir mit GR(s) = 2 + GI(s) bezeichnen, wird das Ausgangssignal Y(s) in Gegenkopp-lung auf den Eingang zurückgeführt. Nach der Additionsstelle läuft das Signal

) *( ) ( ) 2 ( ) ( )IU s X s G s Y s� � � über das zweite Integrierglied in Gl. (4.29) und wird zum Ausgangssignal GI(s)U(s) = Y(s). Dazu kann folgendes Blockdiagramm entworfen werden:

Bild 4.72a Block-Diagramm der Netzwerkgleichung mit Basiselementen Alternativ kann das Block-Diagramm auch aus der Übertragungsfunktion, die man aus Gl. (4.28) erhält, entworfen werden.

2 2( 2 ) ( ) ( )I I Is k s k Y s k sX s� � � , daraus 2 2( )2

I

I I

k sG ss k s k

��

Umformung auf elementare Übertragungsglieder

( )( ) 1 ( ) ( ) 1 2

II

I I I R

kG ssG s

k k G s G ss s

� �� :( %� �& #

' $

(4.30)

Ein Vergleich von Gl (4.30) mit Gl (4.25) identifiziert G(s) als rückgekoppeltes System, mit Bild 4.72b als zugehöriges Block-Diagramm, das mit Bild 4.72a identisch ist.

Bild 4.72b Rückgekoppeltes System

x(t) y(t)

�

D

( ) II

kG s

s�

D u(t)

( ) 2PG s �

( ) II

kG s

s�

x(t) y(t)

�

( ) 2RIk

G ss

� �

( ) II

kG s

s�D


4.6.2 Vom Block-Diagramm zur Übertragungsfunktion und Netzwerkgleichung

Um von einem gegebenen Strukturbild zur Netzwerkgleichung zu kommen, sollen zwei Me-thoden erläutert werden, nach denen man vorgehen kann. Bei der Signalanalyse verfolgt man schrittweise den Weg des Signals vom Eingang bis zum Ausgang des Systems. Dabei sind sämtliche Signalumwandlungen durch die Teilsysteme zu beachten. Hat man den funktionalen Zusammenhang von Ausgangs- und Einganssignal ermit-telt, kann in gewohnter Weise die Übertragungsfunktion berechnet, bzw. die Netzwerkglei-chung angegeben werden. Bei der Systemanalyse werden einzelne Teilblöcke zu übergeordneten Blöcken zusammenge-fasst. Dabei werden die Methoden der Reihen-, Parallelschaltung und Rückkopplung ange-wandt. Das ursprüngliche System wird so auf ein reduziertes System zurückgeführt, das man leichter überschauen kann. Durch sukzessives Einsetzen der vorher zusammengefassten Terme ergibt sich die Systemfunktion G(s) und daraus dann wieder die Netzwerkgleichung.

Nach beiden Methoden erhält man letztlich eine Gleichung der Form 4.27. Nach Rücktrans-formation in den Zeitbereich wird eine Netzwerkgleichung der Form 4.26 erhalten.

Beispiel 4.24 Für das angegebene Blockdiagramm soll die Übertragungsfunktion bestimmt werden.

Bild 4.73 Block-Diagramm

Signalanalyse: Wir betrachten die L-transformierten Signale. An der ersten Additionsstelle wird das Eingangssignal X(s) vom rückgekoppelten Signal G5(s)Y(s) subtrahiert. Das Differenzsignal U(s) = X(s) – G5(s)Y(s) durchläuft G1(s) und erscheint als G1(s)U(s) am Eingang der zweiten Additionsstelle. Dort wird es vom rückgekoppelten Signal G4(s)W(s) subtrahiert und gelangt als

V(s) = G1(s)U(s) – G4(s)W(s) an den Eingang von G2(s).

Schließlich wird W(s)=G2(s)V(s) über G3(s) als Ausgangssignal Y(s) = G3(s)W(s) ausgegeben.

Es gelten die Gleichungen: V(s) = G1(s)U(s) – G4(s)W(s) = G1(s)U(s) – G4(s)G2(s)V(s)

w(t)v(t)u(t)

�

x(t)

�

y(t) DG1(s) D

G4(s)

G5(s)

G2(s) G3(s)


daraus folgt 1

2 4

( )( ) ( )1 ( ) ( )

��

G sV s U sG s G s

und � �3 2 13 3 2 5

2 4

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 ( ) ( )

G s G s G sY s G s W s G s G s V s X s G s Y sG s G s

� � � ��

Nach Separation der Variablen

[1 + G2(s)G4(s) + G1(s)G2(s)G3(s)G5(s)]Y(s) = G1(s)G2(s)G3(s).X(s)

erhalten wir die Übertragungsfunktion

1 2 3

2 4 1 2 3 5

( ) ( ) ( )( )( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

� ��

G s G s G sY sG sX s G s G s G s G s G s G s

(4.31a)

Systemanalyse: In Bild 4.73 kann G2(s) und G4(s) als rückgekoppeltes System nach Gl. (4.25)

zu 224

2 4

( )( ) 1 ( ) ( )

��

G sG sG s G s

zusammengefasst werden, so dass sich Bild 4.73a als Ersatzsys-

tem ergibt:

Bild 4.73a Erstes reduziertes Ersatzsystem

Im Ersatzsystem Bild 4.73a sind G1(s), G24(s) und G3(s) in Reihe geschaltet, was nach Gl.(4.22) dem Produkt der 3 Teilsysteme G14(s) = G1(s)G24(s)G3(s) entspricht, womit das System weiter reduziert werden kann.

Bild 4.73b Zweites reduziertes Ersatzsystem

�

x(t) y(t) G1(s) D

G5(s)

G24(s) G3(s)

�

x(t) y(t) G14(s) D

G5(s)

4.6 Arbeiten mit Block-Diagrammen 171 Für das verbleibende Ersatzsystem in Bild 4.73b erhält man erneut mit Gl. (4.25):

14

14 5

1 2 3

2 4 1 2 3 5

( ) ( ) ( ) ( )( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 ( ) ( )

� ��

G s G s G s G sG sG s G s G s G s G s G sG s G s

(4.31b)

Beide Systemfunktionen nach Gl. (4.31a) und Gl. (4.31b) stimmen überein und zeigen die Gleichwertigkeit beider Methoden.

Beispiel 4.25 Das in Bild 4.74 gezeigte Block-Diagramm ist ein LTI-System mit den Systemparametern

1 1 und 2� �ILk d R CLC

Es ist zu bestimmen a) die Netzwerkgleichung im Zeitbereich die das System beschreibt, b) die Systemstabilität.

Bild 4.74 Block-Diagramm

Zu a) Zusammenfassen der Parallelterme 2 Ik ds � mit dem nachfolgenden Integrierglied Iks

und Anwendung der Rückkopplung Gl. (4.25) ergibt die Signalgleichung

( ) (2 ) ( ) ( )I Ik kX s d Y s Y ss s� � � .

Nach Separation der Variablen und Einsetzen von kI und d erhält man:

2 21 1 ( ) ( )s s Y s s X sRC LC

�� : �� (4.32)

Unter der Bedingung (0) (0) = 0 und (0) (0) = 0y y x x� � ergibt Gl. (4.32) nach Rücktrans-formation die Netzwerkgleichung im Zeitbereich

2 3 2 3 2 3 2 32 21 1 1 11 1( ) ( ) ( ) ( )s Y s sY s Y s s X sRC LC� � � �� L L L L

1 1( ) ( ) ( ) ( )� � � y t y t y t x tRC LC

y(t) x(t) D 1

Iks

D

Iks

2d

�


Zu b) Stabilität. Aus Gl. (4.32) erhält man 2

2( ) 1 1

��

sG ss sRC LC

.

Das Nennerpolynom 2 1 1 0� � �s sRC LC hat die Polstellen

21/ 2

41 1 1 2 �

� � " ��

R Cs RC L

Da sämtliche in der Praxis verwendeten Bauteilwerte R, C, L > 0 sind, liegen alle Pole von G(s) in der linken Halbebene des PN-Plans. Das System ist stabil.

4.6.3 Stabilisierung durch Rückkopplung Wir betrachten ein System mit der Übertragungsfunktion

11

( ) , ,

G s a as a

� ! 5 1�

�

G1(s) hat einen Pol s = a in der rechten Halbebene des PN-Plans und ist daher instabil. Durch Gegenkopplung mit einem P-Glied (Abschnitt 4.5.4), GP(s)= kP, , 0,p pk k! �� soll das System stabilisiert werden.

Bild 4.75 Stabilisierung durch Rückkopplung

Nach Gl. (4.25) gilt für das rückgekoppelte System

1

1

1( ) 1( ) 11 ( ) ( ) 1 P PP

G s s aG sG s G s s a kks a

�� : � �� :

�

G(s) besitzt jetzt einen Pol bei ps a k� �

Für kP = 0 ist die Rückkopplung nicht wirksam und der Pol liegt weiterhin bei s = a in der rechten Halbebene (RHE) des PN-Plans. Mit zunehmenden Werten von kP wandert der Pol aus der rechten Halbebene nach links und befin-det sich für kP > a in der linken Halbebene (LHE) des PN-Plans.

�

y(t)�D

x(t) 1

1( ) ��

G s s a

GP(s)= kP

0

kP >a kP =0

a

Im(s)

Re(s)

RHE LHE

Bild 4.76 PN-Plan

4.6 Arbeiten mit Block-Diagrammen 173 Für das ursprünglich instabile System konnte durch eine geeignete, proportionale Rückführung Stabilität erreicht werden.

Instabile Systeme höherer Ordnung erfordern einen größeren Aufwand um Stabilität zu erreichen. Wir betrachten dazu ein System 2. Ordnung, das beschrieben wird durch die Über-

tragungsfunktion 1 2 2( ) , , ,

� ! 5 1�

�bG s a b a bs a

G1(s) besitzt zwei Pole s1/2 = ± a, wovon einer in der rechten Halbebene des PN-Plans liegt. Das System ist daher instabil. a) Versuch einer Stabilisierung durch Rückkopplung mit einem P-Glied.

Bild 4.77 Proportionale Signalrückführung

Als Übertragungsfunktion nach Bild 4.77 erhält man

2 2

2 22 2

( ) 1

�� :

�PP

bbs aG s b s a bkk

s a

Die Polstellen s2� a2+ bkP = 0 liegen bei 21/ 2 � " � Ps a bk

Für2

0 Pak b� �� liegt stets eine Polstelle in der RHE des PN-Plans, das System bleibt instabil.

Für 2

Pak b�� liegt eine Polstelle bei s = 0, alle weiteren liegen auf der imaginären Achse des

PN-Plans. Es kann nur Grenzstabilität (s. Abschnitt 4.4.5) erreicht werden.

b) Stabilisierung durch Rückkopplung mit einem PD-Glied: Ein Proportional-Differential PD-Glied hat die Übertragungsfunktion ( )PD P DG s k k s� � . Damit soll das System erneut auf Stabilität untersucht werden.

Bild 4.78 Signalrückführung mit einem PD-Glied

�

y(t) �D

x(t)

kP

1 2 2( )

��bG s

s a

�

y(t)�D

x(t)

kP+ kDs

1 2 2( )

��bG s

s a


Als Übertragungsfunktion nach Bild 4.78 erhält man

2 2

2 22 2

( ) 1 ( )

�� : �

�D PP D

bbs aG s b s bk s bk ak k s

s a

Die Polstellen des Nennerpolynoms s2 + bkDs + bkP � a2 = 0 liegen bei

2 21/ 2

1 ( ) 4( )2 �� " � �� D D Ps bk bk bk a

Damit alle Polstellen in der linken Halbebene des PN-Plans liegen, müssen zwei Bedingungen erfüllt sein: (1) bkD 5 0, mit kD � 0. Für kD = 0 würde aus dem PD-Glied ein P-Glied werden.

(2) 2 2 ( ) 4( ) �� " � � ��1� �� D D Pbk bk bk a .

Aus Gleichung (2) erhält man �4(bkP – a2) � 0 + 2

5��Pak b

Eine Stabilisierung des ursprünglich instabilen Systems gelingt unter der Bedingung kD 5 0

und 2

Pak b5�� .

4.6.4 Versetzen von Strukturelementen in Blockschaltbildern

In Blockschaltbildern können Strukturelemente nach bestimmten Regeln versetzt werden, ohne dass dabei die Systemfunktion geändert wird.

1. G(s) über eine Additionsstelle vorwärts schieben.

Der G(s)-Block in Bild 4.79a soll über das D-Glied nach rechts verschoben werden. Bild 4.79b zeigt die gleichwertige Struktur nach der Verschiebung. Bild 4.79a Bild 4.79b

Beweis: Nach Bild 4.79a gilt Y(s) = G(s)X1(s) + X2(s)

Nach Bild 4.79b gilt 1 2 1 21( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

��

� Y s G s X s X s G s X s X s

G s

Die Übereinstimmung beider Gleichungen zeigt die Gleichwertigkeit beider Strukturen.

x2(t)

y(t) x1(t)

+

1/G(s)

D G(s)

x2(t)

y(t) x1(t)

+ D G(s)

4.6 Arbeiten mit Block-Diagrammen 175 2. G(s) über eine Additionsstelle rückwärts schieben.

Der G(s)-Block in Bild 4.80a soll über das D-Glied nach links verschoben werden. Bild 4.80b zeigt die gleichwertige Struktur nach der Verschiebung.

Bild 4.80a Bild 4.80b

Beweis: Nach Bild 4.80a gilt Y(s) = G(s).[X1(s) + X2(s)]

Nach Bild 4.80b gilt Y(s) = G(s)X1(s) + G(s)X2(s)

Die Übereinstimmung beider Gleichungen zeigt die Gleichwertigkeit beider Strukturen.

3. G(s) über eine Verzweigungsstelle vorwärts schieben. Die Identität wird wie oben gezeigt.

4. G(s) über eine Verzweigungsstelle rückwärts schieben.

5. Rückkopplungskreis zusammenfassen. Identität siehe Abschn. 4.5.3

x(t) y(t)

y(t)

G(s)

x2(t)

y(t) x1(t)

+

D G(s)

x2(t)

y(t) x1(t)

+

D G(s)

G(s)

1�G

Gy(t) x(t)

x(t) y(t)

+ G

–

y(t)

y(t)

x(t)

G(s)

G(s)

x(t) G(s) y(t)

x(t)

x(t)

1/G(s)

G(s)

x(t)

y(t)


Aufgaben zum Abschnitt 4.5 (Ergebnisse im Anhang) Aufgabe 4.24 Ein Integrier-Glied erhält am Eingang eine Sinus-Spannung x(t) = sin(�t). Welches Signal wird am Ausgang erhalten?

Bild 4.81 Integrierglied

Aufgabe 4.25 Das Blockschaltbild 4.82 zeigt ein rückgekoppeltes System zweier Integrier-Glieder, mit den Zeitkonstanten T1 und T2. An den Ausgängen dieser Schaltung können drei verschiedene Filterarten abgegriffen werden. Es ist zu zeigen: 1. Ausgang (a) ist ein Tiefpaß-Filter 2. Ordnung 2. Ausgang (b) ist ein Bandpaß-Filter 2. Ordnung 3. Ausgang (c) ist ein Hochpaß-Filter 2. Ordnung

Bild 4.82 Mehrfachfilter Aufgabe 4.26 Für das in Bild 4.83 gezeigte Block-Diagramm bestimme man a) die Übertragungsfunktion des Gesamtsystems. b) Für 1

11G s�

�und 2

1G s a��

bestimme man, für welche a � � das System stabil ist.

Bild 4.83 Blockdiagramm mit Mehrfachrückführung

a x(t)

- D

1

1sT

2

1sT

-

b

c

y(t) x(t) I

Ik( )=s

G s

u(t) x(t) y(t)

� G1(s) G2(s)

D

D


Aufgabe 4.27 Das System 21( ) ( 2) 1

��

sG ss

hat zwei Polstellen s1/2 = 2 ± j in der rechten

Halbebene des PN-Plans und ist daher instabil. Es erhält zur Stabilisierung eine Proportional-rückführung GP(s) = kP, mit dem Verstärkungsfaktor kP � 0. a) Bestimmen Sie das zugehörige Block-Diagramm. b) Für welche Werte kP gelingt eine Stabilisierung? Aufgabe 4.28 Das gegebene Blockschaltbild zeigt den Entwurf eines LTI-Systems, mit zwei P-Gliedern a, b � 0 und einem DT1-Glied mit der Zeitkonstanten T 5 0. Es ist zu bestimmen: a) Die Übertragungsfunktion des Systems b) Für welche Werte von a, b wird Stabilität erreicht? c) Die Systemantwort auf die Eingangsfunktion x(t) = 4(t)

Bild 4.84 Entwurf eines LTI-Systems

x(t) +

+ 1

sTsT�

a

b

y(t) DD

5 Die z-Transformation (ZT)

Die in diesem Abschnitt behandelte z-Transformation ist eine Methode zur Lösung von Diffe-renzengleichungen und zur Beschreibung diskreter Signale und Systeme. Dieses Berechnungsverfahren ist ebenso leistungsfähig wie die Verwendung der Laplace- und Fouriertransformation bei kontinuierlichen Systemen. Wichtige Begriffe wie Übertragungsfunktion, Frequenzgang, PN-Plan und Stabilität können mit der z-Transformation auf diskrete Signale und Systeme übertragen werden. Eine bedeutende Anwendung der ZT ergibt sich aus der Verarbeitung abgetasteter Zeitfunkti-onen. Durch Abtastung entsteht aus dem kontinuierlichen Signalverlauf eine fortlaufende Fol-ge diskreter Funktionswerte. Mit Hilfe der ZT wird die Folge in eine Bildfunktion umgesetzt. Die Systembeschreibung mit der ZT im Bildbereich kann dadurch oft wesentlich vereinfacht werden.

5.1 Diskrete Funktionen und Signale Wir betrachten eine kausale, stetige Funktion x(t), die auch als Zeitsignal x(t) bezeichnet wird. Das kontinuierliche Signal x(t) soll zu äquidistanten Zeitpunkten t = kT abgetastet werden. Dabei ist T das Abtastintervall und k der Laufindex k = 0, 1, 2, …

Kausale Signale sind nur für Zeiten t � 0 defi-niert, d. h. es gilt x(t) = 0 für t < 0.

Für die abgetasteten Funktionswerte wählen wir die Notation:

( ) | ( ) [ ]t kTx t x kT x k� � �

Im Ausdruck x[k] wird T im Argument der Einfachheit weggelassen, da T für eine äqui-distante Abtastung konstant ist.

Zur mathematischen Beschreibung der Abtastung verwenden wir die �-Funktion.

Per Definition gilt: 1 0

[ ]0 0

für kk

für k6

��

Mit der �-Funktion kann von einem stetigen Funktionsverlauf ein beliebiger Funktionswert ausgeblendet werden, so dass an der Stelle t = kT vom gesamten Funktionsverlauf nur der Funktionswert x[k] übrig bleibt. Es gilt:

( ) ( ) [ ] ( )x t t kT x k t kT6 6: � � : �

Wenn der Funktionsverlauf x(t) äquidistant abgetastet werden soll, muss die �-Funktion mehr-fach angewendet werden. Für das Abtastsignal ( )Ax t ergibt sich dann:

0 0( ) ( ) ( ) [ ] ( )A

k kx t x t t kT x k t kT6 6

� �� : � � : ��

( )x t

0

t

T 2T

Bild 5.1 Abtastung eines kontinuierlichen Signals


5.2 Definition der z-Transformation (ZT) 179

Auf das Abtastsignal ( )Ax t soll nun die Laplace-Transformation angewendet werden:

0 k=00 0

( ) [ ] ( ) [ ] ( ) ( )Ast st

kx t x k t kT e dt x k t kT e dt X s6 6

� �

�

2 3 � � � � �� L

Mit Hilfe der Ausblendeigenschaft der �-Funktion kann das Integral im zweiten Summenterm leicht berechnet werden. Es gilt:

0

( ) st sTkt kT e dt e6

� ��

Damit erhalten wir ) *0 0

( ) [ ] [ ]ksTk sT

k kX s x k e x k e

��

� ��

Den Term sTe z� definieren wir als neue Variable. Die Eigenschaften von z werden wir in Abschn. 5.4 genauer untersuchen.

5.2 Definition der z-Transformation (ZT) Mit der neuen Variablen z lautet die z-Transformation für kausale, diskrete Folgen x[k]:

0

[ ] [ ] ( )k

kx k x k z X z

�

�2 3 � �� (5.1)

Wenn die Reihe konvergiert, existiert �{x[k]} und wir erhalten die Korrespondenz

� � ( )k X zx <��

Die z-Transformation ordnet einer diskreten Folge x[k] eine Bildfunktion X(z) zu. Man nennt x[k] die Originalfolge, X(z) die zugehörige Bildfunktion.

Für jede Transformation nach Gl. (5.1) muss der Konvergenzbereich von �{x[k]} ermittelt werden.

5.3 Eigenschaften der z-Transformation Da die Bildfunktion X(z) eine Potenzreihe der komplexen Variablen 1/z ist, folgt aus den Ei-genschaften der Potenzreihen im Komplexen, dass es eine reelle Zahl r (den Konvergenzradi-us) gibt, so dass X(z) für |z| > 1/r konvergiert und für |z| < 1/r divergiert. Weiter gilt: Ist x[k] z-transformierbar für |z| > 1/r, dann ist die zugehörige Bildfunktion X(z) eine analytische Funktion und gleichzeitig die einzige Bildfunktion von x[k]. Für die Umkehrung gilt: Ist X(z) eine analytische Funktion für |z| > 1/r, dann gibt es zu X(z) genau eine Originalfolge x[k]. Für alle weiteren Betrachtungen in diesem Kapitel gehen wir davon aus, dass �{x[k]} existiert und eindeutig ist.

180 5 Die z-Transformation (ZT)

5.4 Übergang von der s-Ebene auf die z-Ebene Die Variablen s und z sind komplexwertige Variable, d. h. gilt s, z � �.

Die Beziehung sTz e� stellt den Zusammenhang her, wie die komplexe s-Ebene auf die kom-plexe z-Ebene abgebildet wird. Für beide Variablen wählen wir die Darstellung

s j7 �� und z jF G� �

Die Beziehung sTz e� lautet damit in ausführlicher Schreibweise

� �( ) cos( ) sin( )j T Tj e e T j T7 � 7F G � ��

Daraus erhalten wir die Abbildungsgleichungen

cos( )Te T7F �� : und sin( )Te T7G �� :

Für ein konstantes s erhält man einen Kreis mit dem Radius 2 2 Te� � � 7H F G

Für s = 0 ist das ein Kreis mit dem Radius r = 1.

Mit variierendem s und � wird die gesamte s-Ebene auf die z-Ebene abgebildet.

jT�

jT�

�

Im( )z G�Im( )s ��

Re ( )s 7� Re (z) F�0 11�

Ebenes � Ebenez �

0

Bild 5.2 Abbildung der s-Ebene auf die z-Ebene

Im Detail ergeben sich folgende Abbildungseigenschaften:

1. Die linke s-Halbebene (s < 0, � beliebig) wird zyklisch in das Innere des Einheitskreises der z-Ebene abgebildet.

2.

Die Im(s)-Achse (s = 0, � beliebig) wird zyklisch auf den Rand des Einheitskreises abgebildet.

3. Die rechte s-Halbebene (s > 0, � beliebig) wird zyklisch in den Außenbereich des Ein-heitskreises abgebildet.

4. Der Ursprung (s = 0, � = 0) und die Punkte � = "j2p/T, "j4p/T, … der Im(s)-Achse werden auf den Punkt z = +1 abgebildet.

5.5 z-Transformation elementarer Signalfolgen 181

� �k6

k

0 1 2 3 41�2�

1

5. 6. 7.

Die Punkte � = "jp/T, "j3p/T, … der Im(s)-Achse werden auf den Punkt z = �1 abge-bildet.

Pole und Nullstellen der linken s-Halbebene werden in das Innere des Einheitskreises der z-Ebene abgebildet. Pole und Nullstellen der rechten s-Halbebene werden in den Außenbereich des Einheits-kreises der z-Ebene abgebildet.

5.5 z-Transformation elementarer Signalfolgen

5.5.1 Sprungfolge

1 0[ ]

0 0für k

kfür k

4��

� � ��

Ausführen der z-Transformation (ZT):

� �k4

k

0 1 2 3 41�2�

1

Bild 5.3 Sprungfolge

) * 20 0

1 1 11

1[ ] [ ] 1 ... 11

kk

k k

zk k zzz z z z

4 4

�

� �

2 3 � � � � � � ��

��

Die Summe über k entspricht der geometrischen Reihe 0

11

k

k

qq�

�

�� mit 11/q z� ��

Es gilt die Korrespondenz: � �1

zkz

4�

�<� Konvergenzbereich: 1z 5

5.5.2 Deltaimpuls

1 0[ ]

0 0für k

kfür k

6��

� � ��

Bild 5.4 Deltaimpuls

Ausführen der ZT: 0

0

[ ] [ ] 1 1k

k

k k z z6 6

�

�

2 3 � � : ��

Es gilt die Korrespondenz: � � 1k6 <�� Konvergenzbereich: alle z


5.5.3 Verschobener Deltaimpuls

1 [ ]

0 für k i

k ifür k i

6��

� � � ��

Ausführen der ZT:

0

[ ] [ ] k i

k

k i k i z z6 6

� �

�

2 � 3 � � ��

Korrespondenz: � � ik i z6 �� <� Konvergenzbereich: alle z

5.5.4 Exponentialfolge:

� � � �, mit kx k a k a4� !�

Ausführen der ZT unter Berücksichtigung der geometrischen Reihe

� �0 0

1

1

kk k k

k k

a za k a z az z az

4

�

� �

( %2 3 � � � �& # �' $ ��

Die Summe konvergiert für / 1a z � oder a z� . Das sind alle Werte von z, die in der

z-Ebene außerhalb des Kreises mit dem Radius a liegen.

Korrespondenz: [ ]k za kz a

4�

<�� Konvergenzbereich: z a��5��

Spezialfall: Für 1a � erhält man das Ergebnis der Sprungfolge [ ]k4 . 5.5.5 Rechteckimpuls der Länge N:

Ein diskreter Rechteckimpuls der Länge N hat die Form

� � 1 00 >N

für k Nrect k

für k N� ��

� ��

� �rect k

k

0 1 2 N

1

N+1

. . .


Ausführen der ZT:

� �0 0

1 1[ ] 1 1 . . . N

Nk k

N Nk k

rect k rect k z zz z

� �

� �

2 3 � � : � � � �� .

k 0 1 2 3 4 1� 2�

1

�[k�3]

Bild 5.5 Verschobener Deltaimpuls

5.5 z-Transformation elementarer Signalfolgen 183 Die Summenglieder entsprechen mit q = 1/z der endlichen, geometrischen Reihe

1

0

1 , 11

N Nk

k

qq qq

�

�

��

�� .

Wir erhalten � �) * 111

1 11

NN

Nz zzrect k

zz

��

2 3 � ��

�

Korrespondenz: � �1

N

Nz zrect k

z

��<

�� Konvergenzbereich: 1z ��B B

Bemerkung: Man kann rectN[k] auch als Differenz zweier Sprungfolgen darstellen: rectN[k] = �[k] � �[k �(N+1)]. Die Berechnung der ZT wird in Aufgabe 5.1 durchgeführt. 5.5.6 Folge der abgetasteten cos(�t) - Funktion

k0

1�

1

cos( )t�

t

21

3 4

Bild 5.7 Abtastung der cos-Funktion

Die mit t = kT abgetastete cos-Funktion hat die Darstellung

0 0[ ] cos( ) ( ) cos( ) ( )

k kx k t t kT kT t kT� 6 � 6

� ��

Im zweiten Summenterm kam die Ausblendeigen-schaft der �-Funktion zur Anwendung (siehe Abschn. 5.1).

Explizit lauten die Folgenglieder für k = 0, 1, 2, . . .

2 3 2 3[ ] cos( ) cos(0),cos( ),cos(2 ), . . . x k kT T T� � ��

Ausführen der ZT unter Berücksichtigung von ) *1cos( ) 2j kT j kTkT e e� ��

) *0 0

1( ) cos( ) 2k j kT j kT k

k kX z kT z e e z� ��

� � �

� ��

) * ) *0 0

1 1 1( ) 2 2 2j T j T

j T j T

k kk k

k k

z zX z e z e zz e z e

� ��

��

� �

� �

( %� � � �& #� �' $

� �) *

2

cos( )( )

2 cos( ) 1

z z TX z

z z T

�

�

��

� �

Korrespondenz: ) *

2

cos( )cos( )

2 cos( ) 1 z z T

kTz z T

��

�

�

� ��<� Konvergenzbereich: zB B�5�E


Spezialfälle: 1) Für T� �� erhält man die alternierende Folge: cos( ) 1, 1, 1, 1, 1, . . . k�2 3 � 2 � � 3

mit der Korrespondenz: [ ] cos( )1

( ) zx k kz

X z�� 2 3��

�< ��

2) Für 2

T �� erhält man die Folge: 2cos( ) 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, . . . k�2 3 � 2 � � 3

mit der Korrespondenz: 2

22[ ] cos( )1

( ) zx k kz

X z��2 3��

�< ��

3) Für 3

T �� erhält man die Folge: 31 1 1 1cos( ) 1, , , 1, , , 1, . . . 2 2 2 2k�2 3 � 2 � � � 3

mit der Korrespondenz: 23( 1/ 2)[ ] cos( )

1 ( ) z zx k k

z zX z �

� 2 3��

�< ��

5.6 Wichtige Sätze zur z-Transformation Für die folgenden Betrachtungen sei x[k] eine kausale, diskrete (Abtast-)Folge und

�{x[k]} = X(z) sei existent. Weiter ist zu beachten, dass Rechenoperationen mit z-Transformierten nur sinnvoll sind, wenn sich die Konvergenzgebiete überschneiden. 5.6.1 Linearität: Für zwei Folgen x1[k] und x2[k] mit den z-Transformierten X1(z) und X2(z) und a, b � �� gilt:

� � � �1 2 1 2 ( ) ( ) ax k bx k aX z bX z� ��<� (5.2)

Beweis: 1 2 1 2 1 20 0 0

[ ] [ ] ( [ ] [ ]) [ ] [ ]k k k

k k kax k bx k ax k bx k z a x k z b x k z

� � �

� � �2 � 3 � � � ��

1 2( ) ( )aX z bX z� � 5.6.2 Verschiebungssatz: Die Folge wird um i-Schritte (Takte) nach rechts verschoben. Das entspricht einer Verzöge-rung um mehrere Takte bei Abtastsignalen. Es gilt:

� � ( ) ix k i z X z�� <� (5.3)

Beweis:

0 0 0[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ( )k k n i i n i

k k i n nx k i x k i z x k i z x n z z x n z z X z

� � � � � � �

� � � �2 � 3 � � � � � � ��

Die 2. Summe beginnt bei k = i, da nach obiger Voraussetzung für kausale Folgen x[k-i] = 0 ist, für k < i. Bei der 3. Summe wurde die Substitution n = k – i verwendet.

5.6 Wichtige Sätze zur z-Transformation 185 5.6.3 Dämpfungssatz: Multiplikation der Folge x[k] mit einer Exponentialfolge ka . Es gilt:

� � ) * k za x k X a�<� (5.4)

Beweis: ) *0 0

[ ] [ ] [ ] ( ); für kk k k

k k

z z za x k a x k z x k Xa a a 5 ��

� �2 3 � � � E� ��

5.6.4 Multiplikationssatz: Multiplikation der Folge x[k] mit k. Dafür ist auch der Ausdruck Zeitmultiplikation gebräuch-lich oder die Bezeichnung Differentiation der Bildfunktion. Es gilt:

� � ( )dkx k z X zdz�< �� (5.5)

Beweis: Mit 1 1

0 0 0

k k k

k k k

d z kz z kzdz

� � � � �

� � �� ergibt sich für die ZT

0 0

[ ] [ ] [ ] ( )k k

k k

d dkx k kx k z z x k z z X zdz dz

� �

� �2 3 � � � � ��

5.6.5 Faltungssatz: Der Multiplikation zweier z-Transformierten im Bildbereich entspricht der Faltungsmultiplika-tion (Faltungsprodukt) beider Folgen im Originalbereich.

Sei � �1 1 ( )x k X z�<� und � �2 2( )x k X z�<� , dann gilt

� � � �1 2 1 2* ( ) ( ) x k x k X z X z:�<� (5.6)

wobei das Faltungsprodukt auf folgende Weise gebildet wird:

1 2 1 20

[ ]* [ ] [ ] [ ]i

x k x k x i x k i

�� : �� (5.7)

Beweis des Faltungssatzes:

1 2 1 2 1 20 0 0

[ ]* [ ] ( [ ]* [ ]) [ ] [ ]k k

k k ix k x k x k x k z x k x k i z

� �

� � �

( %2 3 � � : �& #& #

' $� � ��

Umformung nach der Produktformel von Cauchy:

( )1 2 1 2 1 2

0 0 0 0

1 2

[ ]* [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

( ) ( )

k k i k k

k i k kx k x k x k z x k i z x k z x k z

X z X z

� � � � �

� � � �

( % ( % ( %2 3 � : � � :& # & # & #& # & # & #

' $ ' $ ' $

� :

� � � ��


Ergänzung: Die Faltung einer Folge x[k] mit �[k] ergibt wieder die Folge selbst, d. h.

� �k6 ist das Neutralelement der Faltung. 0

[ ]* [ ] [ ] [ ] [ ]i

x k k x i k i x k6 6

�� : � �� .

Weiter gilt: � � � � � �* x k k i x k i6 � � � . Die Faltung einer Folge mit � �k i6 � bewirkt eine um um i-Schritte verschobene Folge, was einer Taktverzögerung um i-Schritte entspricht.

5.6.6 Differenzenbildung:

Es gilt: � � � � z 1 1 ( )z x k x k X z�� < :� (5.8)

Beweis: 1 1 1[ ] [ 1] ( ) ( ) (1 ) ( ) ( )zx k x k X z z X z z X z X zz� � �2 � � 3 � � � � ��

5.6.7 Summenbildung:

Es gilt: 0

z[ ] ( )z 1 n

kx k X z

��< :� � (5.9)

Beweis: Es sei die Folge der Partialsumme 0

[ ] [ ] [0] [1] ... [ ]n

ks n x k x x x n

��

Dann gilt 1

0 0[ ] [ 1] [ ] [ ] [ ]

n n

k ks n s n x k x k x n

�

� �� . Mit [ ] ( )s n S z2 3 �� und

1[ 1] ( )s n z S z�2 � 3 �� folgt 1[ ] [ 1] [ ] ( ) ( ) ( ) s n s n x n S z z S z X z�� <�

Ergibt ( ) ( )1zS z X zz� �

5.6.8 Periodische Abtastfolge:

Wir betrachten eine periodische, stetige Funktion x(t) mit der Periodendauer Tp, die in p glei-che Abtastintervalle T eingeteilt werden kann, mit p � �.

Die Abtastfolge lautet:

2 30 1 2 1 1 2 2 1 2 2 1 2 2[ ] , , , . . . ; , , , . . . ; , , , . . . p p p p p p p px k x x x x x x x x x x x� � � � � ��

Da für eine periodische Funktion x(t+pT) = x(t) gilt, wiederholt sich die Abtastfolge nach p Schritten, das heißt es gilt xp = x0, xp+1 = x1, usw.

2 30 1 2 1 0 1 2 1 0 1 2[ ] , , , . . . ; , , , . . . ; , , , . . . p px k x x x x x x x x x x x� ��

5.6 Wichtige Sätze zur z-Transformation 187

� �x k

pTT 2T

pT pT�

0

0x

1x

2x

kT

t

Bild 5.8 Abtastung einer periodischen Funktion

Die ZT der Folge x[k] ergibt sich unter Berücksichtigung des Verschiebungssatzes

0 1 2 ( 1)0 1 2 1

( 1) (2 1)0 1 1

2 (2 1) (3 1)0 1 1

( ) . . . +

. . . +

. . . +

. . . .

pp

p p pp

p p pp

X z x z x z x z x z

x z x z x z

x z x z x z

� � � � ��

� � � � ��

� � � � ��

� � �

� � �

� � �

�

�

Durch Ausklammern erhält man, wobei 00 0x z x� � ersetzt wurde

) *) *) *

1 2 ( 1)0 1 2 1

1 2 ( 1)0 1 2 1

2 1 2 ( 1)0 1 2 1

( ) 1 . . . +

. . . +

. . . +

. . . .

pp

p pp

p pp

X z x x z x z x z

z x x z x z x z

z x x z x z x z

� � � ��

� � � � ��

� � � � ��

: � � �

� : � � �

� : � � �

�

�

Zusammenfassen der Terme ergibt

) * ) *1 2 ( 1) 20 1 2 1( ) . . . + 1 . . . .p p p

pX z x x z x z x z z z� � � � � �� : � � �

Der letzte Klammerausdruck ist eine geometrische Reihe mit der Summe 1

1 pz��für 1/ 1z ��

Als Ergebnis erhalten wir für eine p-periodische Folge:

( 1)1 2

0 1 2 1 . . . ( )

1

pp

px x z x z x z

X zz

� ��

�

� � � ��

� für 1z �5� (5.10a)

Erweitert man Zähler und Nenner mit zp so erhält man die folgende gebräuchliche Form:

1 2 1

0 1 2 1 . . . ( )

1

p p pp

px x x xz z z z

X zz

� ��

��

für 1z �5� (5.10b)


Beispiel 5.1 Gesucht ist die ZT der alternierenden Folge x[k] = {1, �1, 1, �1, . . . }

� �x k

k

0 1 2 3 4

1

1�

Bild 5.9 Alternierende Folge

Die gegebene Folge kann analytisch dargestellt werden durch [ ] ( 1) [ ]kx k k4� � Anwendung der ZT ergibt:

) *0 0

1[ ] ( ) ( 1) [ ]kk k

k kx k X z k z z4

�

� �2 3 � � � � ��

) * 2 3 40

1 1 1 11( ) 1 . . .k

kX z z z z z z

��

Die Summe entspricht einer geometrische Reihe ) *1( )

1 11

zX zz

z

� ��

, für zB B�5�E

Beispiel 5.2 Es ist die ZT für die ansteigende Folge � � � �x k k k4� : zu berechnen.

Für die Sprungfolge gilt

� � ( )1

zk E zz

��

�<�4

Auf die ansteigende Folge wird der Multiplikati-onssatz angewendet:

[ ] [ ] ( ) ( )dx k k k X z z E zdz

� �< � ��4

� �x k

k

0 2 3 4

1

1

Bild 5.10 Ansteigende Folge

2 21( ) ( )

1 1 ( 1) ( 1)d d z z zX z z E z z zdz dz z z z z

( %( %� � � � � � � �& #& # & #� �' $ � �' $

Wir erhalten die Korrespondenz: � � 2( 1)zk k

z ��<�4 für zB B�5�E

Beispiel 5.3 Abtast-Verzögerung.

x[k] sei die Folge einer abgetasteten, kausalen Funktion, mit der existierenden Transformierten X(z). Wird die Abtastung um einen Schritt (Takt) verzögert, so erhält man die Folge x[k-1]. Durch z-Transformation und Anwendung des Verschiebungssatzes erhalten wir

1

1[ 1] [ 1] ( )k

kx k x k z z X z

� �

�2 � 3 � � ��

5.6 Wichtige Sätze zur z-Transformation 189 Die Verschiebung einer Folge um einen Schritt entspricht im Bildbereich einer Multiplikation mit z�1. Das Blocksymbol mit z�1 wird als Eintakt-Verzögerungsglied bezeichnet. Bild 5.11 Eintakt-Verzögerungsglied Mehrfache Verzögerungsglieder bewirken ein um mehrere Takte verschobenes Eingangssig-nal.

Bild 5.12 Dreitakt-Verzögerungsglied

Beispiel 5.4: Gesucht ist die ZT der periodisch abgetasteten Dreiecksfunktion.

4pT T�

4T2TT0

1

1�

0x

1x

2x

3x

0x

3T 5T

t

Bild 5.13 Abgetastete Dreiecksfunktion

Die periodischen Abtastwerte (p = 4) sind

x0 = 0, x1 = 1, x2 = 0, x3 = �1

Anwenden der ZT für periodische Abtast-folgen ergibt:

4 3 2

40 1 0 1( )

1z z z zX z

z: � : � : � :�

�

234 2 2 2

( 1)( )1 ( 1)( 1) 1

z z zz zX zz z z z

��

Ergänzung: Das gleiche Ergebnis erhält man auch durch elementare ZT der Abtastfolge

0 1 2 3 4 5[ ] 1,0, 1; 0,1,0, 1; . . . ( ) 0 1 0 1 0 +1 + . . . . x k X z z z z z z z� � � � �� 21I � � 3 � : � : � : � : � : :�<�

1 3 5 72 4 6

1 1 1 1( ) + . . . . 1 + . . . .X z z z z zz z z z

� � � � ( %� � � � � : � � �& #' $

Der Klammer-Term ist eine geometrische Reihe mit q = �1/ z2 und der Summe 21

1 1/ z�

Man erhält das gleiche Ergebnis wie oben: 221 1( )

11 1/zX z

z zz� : �

��

X(z) Y(z) = z�1X(z) z�1

x[k] y[k] = x[k�1]

x[k] y[k] = x[k�3] z�1

z�1 z�1

Y(z) = z�3X(z)X(z)


5.7 Methoden der Rücktransformation Durch Rücktransformation einer gegebenen Bildfunktion X(z) wird die zugehörige Original-folge x[k] erhalten. Dazu gibt es mehrere Methoden.

5.7.1 Inverse z-Transformation (ZT �1) Der mathematische Weg aus einer Bildfunktion X (z) die zugehörige Originalfolgen x[k] zu erhalten erfolgt durch die komplexe Umkehrformel, die als inverse z-Transformation. bezeich-net wird:

1 112} [ ] ( ) k

jX(z) x k X z z dz�� 2 � � :�� (5.11)

Wie die ZT ist auch die inverse ZT eine lineare Transformation. Die Berechnung des Integrals ist über eine geschlossene Kurve C im Konvergenzgebiet von X(z) zu führen. Dieser Weg der Rücktransformation einer Bildfunktion wird für die ingeni-eurmäßige Handhabung eher selten verwendet.

5.7.2 Praktische Handhabung der Rücktransformation

In der Praxis werden zur Rücktransformation einer Bildfunktion in die Originalfolge haupt-sächlich Korrespondenz-Tabellen verwendet. Dies erfolgt in gleicher Weise wie bei der Laplace- bzw. Fourier-Transformation. In der Regel beschränken sich die Korrespondenztabellen auf die wichtigsten Basisfunktionen. Bei Bildfunktionen X (z) die in den Tabellen nicht enthalten sind, versucht man durch geeigne-te Umformungen, X (z) auf Tabellenfunktionen zurückzuführen. Häufig kommen dafür folgende Verfahren zum Einsatz:

< Anwendung der Partialbruchzerlegung < Anwendung der Sätze zur z-Transformation < Entwicklung in eine Laurent-Reihe < Entwicklung in eine Taylor-Reihe < Verwendung der Residuen-Methode

Die praktische Durchführung der Rücktransformation soll anhand einiger Beispiele gezeigt werden.

5.7 Methoden der Rücktransformation 191

Beispiel 5.5 Für die Bildfunktion 0 1 2 3 4( ) 4 3 0,5 1,5 2X z z z z z z� � � � ��

ist durch Rücktransformation die Originalfolge x[k] zu bestimmen. Lösung: Es gelten die Korrespondenzen

� � � � � �0 1 21 ; 1 ; 2 ; usw.z k z k z k6 6 6� � �� < < <� � ��

Die Rücktransformation von X(z) kann wegen der Linearität der inversen ZT gliedweise vor-genommen werden.

X(z) <�� [ ] 4 [ ] 3 [ 1] 0,5 [ 2] 1,5 [ 3] 2 [ 4]x k k k k k k6 6 6 6 6� � � � � � � � �

oder als Folge geschrieben

x[k] = {4, 3, 0.5, �1,5, �2}

Anmerkung: Sind die Folgenglieder der Folge x[k] die Abtastwerte einer stetigen Funktion x(t), so hat die Bildfunktion X(z) die Form eines Polynoms in z�k.

Bild 5.14 Abtastfolge x[k]

Beispiel 5.6 Durch Rücktransformation der Bildfunktion

) *3 2 21 ( 2)( ) +

4 41z z zX z

z z zz e

��

� ��

ist die zugehörige Folge x[k] zu bestimmen.

Lösung: Mit der ZT-Korrespondenztabelle (Anhang) findet man für die einzelnen Terme von X(z)

33

1 [ 3]z kz

6�� <��

) *2

2 2 [ ]1

kz z e kz ez e

4��

��<��

2( 2) 2 [ ]

( 2)4 4kz z z k

zz z4�

��

<��

Wir erhalten die Folge

) *2 2[ ] [ 3] [ ] 2 [ ] [ 3] 2 [ ]k k k kx k k e k k k e k� �� 6 4 4 6 4

0

k

� �x k

( )x t

1 2 3 4

2


Aufgaben zu Abschnitt 5.6 und 5.7 (Ergebnisse im Anhang)

Aufgabe 5.1 Man bestimme die ZT für den Rechteckimpuls der Länge N als Differenz zweier Sprungfolgen.

rect[k] = �[k] � �[k �(N+1)]

� �rect k

k

0 1 2 N

1

N+1

. . .

Bild 5.15 Rechteckimpuls der Länge N

Aufgabe 5.2 Gesucht ist die ZT der periodischen Folge 2 3[ ] sin( )3x k k�� , k = 0, 1, 2, . . .

Bestimmen Sie die Periodenlänge p von [ ]x k und verwenden Sie zur Berechnung Gleichung (5.10b).

Aufgabe 5.3 Man berechne die ZT der quadratischen Folge

� � � �2x k k k4�

mit Hilfe des Multiplikationssatzes.

k

0 1 2 3

� �x k

1

Bild 5.16 Quadratische Abtastfolge

Aufgabe 5.4 Anwendung des Faltungssatzes

Für die beiden Folgen ) * � �11[ ] 2

kx k k� 4 und � �2[ ]x k k4� ist

a) das Faltungsprodukt � � � �1 2[ ]x k x k x k� > im Originalbereich zu berechnen und davon die Bildfunktion X(z) zu bestimmen.

b) die Bildfunktion 1 2( ) ( ) ( )X z X z X z� : durch Anwendung des Faltungssatzes direkt zu bestimmen.

5.8 Anwendungen der z-Transformation 193 Aufgabe 5.5 Man berechne die ZT der Folge

� �1 1 1 1 1[ ] 1 1, , , , ,2 3 4 5

x k kk4 � .� � � � /

� 0�

Hinweis: Die Folge entspricht der Abtastung der Funktion ( ) Tx t für t Tt� � mit dem Abtastintervall T.

T 2T 3T 4T

1

0

� �x k

k

Bild 5.17 Abtastfolge für x(t)=T/t

Aufgabe 5.6 Durch Rücktransformation der Bildfunktion 2

2 3 12 2

( ) zX zz z

��

ist die zugehö-

rige Originalfolge x[k] zu bestimmen, a) nach der Methode der Partialbruchzerlegung, b) durch Anwendung des Faltungssatzes.

5.8 Anwendungen der z-Transformation

5.8.1 Lineare Differenzengleichungen

Viele diskret zu behandelnde Aspekte naturwissenschaftlich-technischer Systemanwendungen werden durch Differenzengleichungen beschrieben. Die Standard-Aufgabe besteht darin, eine möglichst analytische Lösung des Problems zu erhalten. Von ganz wesentlicher Bedeutung jedoch ist die Berechnung der Systemeigenschaften wie etwa die Impuls- und Sprungantwort, oder der Frequenzgang. Die z-Transformation ist ein geeignetes Verfahren, womit lineare Differenzengleichungen gelöst, sowie die Übertragungseigenschaften von Systemen berechnet werden können.

Eine lineare Differenzengleichung n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten ,i ia b !� hat die allgemeine Form

0 1 0[ ] [ 1] . . . [ ] [ ] . . . [ ]n ma y k a y k a y k n b x k b x k m� � � � � � � � � , mit 0 0a � (5.12)

In Kurzform: 0 0

[ ] [ ]n m

i ii ia y k i b x k i

� �� , 0 0a � (5.12a)

Da wir mit kausalen Systemen und Funktionen arbeiten gelten für k = 0 die Anfangsbedingun-gen y[-i] = 0 für 1 i n und x[-i] = 0 für 1 i m. Gl. (5.12) soll nun mit der z-Transformation gelöst werden.

Die Differenzengleichung (5.12) wird unter Beachtung des Verschiebungssatzes gliedweise z-transformiert. Dadurch entsteht eine algebraische Gleichung im Bildbereich.


10 01( ) ( ) . . . ( ) ( ) . . . ( )n m

n ma Y z a z Y z a z Y z b X z b z X z� � ��

Ausklammern und auflösen nach Y(z) ergibt: 1

0 01( . . . ) ( ) ( . . . ) ( )n mn ma a z a z Y z b b z X z� � ��

10

10

1

1

. . . ( ) ( ) . . .

m

nm

n

b b z b zY z X za a z a z

� �

� ��

� :� � �

Sofern eine Rücktransformation existiert, lautet die gesuchte Lösungsfunktion 1[ ] }y k Y(z)�� 2� . Beispiel: Gesucht ist die analytische Lösung einer Differenzengleichung 1. Ordnung.

[ ] 0,2 [ 1] 0,5 [ ]y k y k x k� � �

Für k = 0 gilt nach Voraussetzung der Anfangswert [ 1] 0y � � Durch z-Transformation erhält man

1( ) 0,2 ( ) 0,5 ( )Y z z Y z X z��

Auflösen der Gleichung nach Y(z) ergibt 10,5( ) ( ) 0,5 ( )

0,21 0,2zY z X z X z

zz��

��

Somit lautet die Lösung der Differenzengleichung für ein beliebiges Eingangssignal X(z)

1 1[ ] } 0,5 ( )}0,2zy k Y(z) X z

z� �� 2 � : 2 :

��

Als Eingangssignal wählen wir ) * � �[ ] 0,3 kx k k4� mit der Korrespondenz ( )0,3zX z

z�

�

Wir erhalten die Lösung ) *2

1 1 1[ ] 0,5 (0,3) ( 0,2) [ ]( 0,2)( 0,3)

k kzy k kz z

4� � �� . � : � � �� /� � � 0� ,

wobei Korrespondenz Nr. 16 von Tabelle 6.6 verwendet wurde.

5.8.2 Systembeschreibung und z-Übertragungsfunktion

Wie erwähnt werden diskrete Systeme durch Differenzengleichungen beschrieben. Von be-sonderer Bedeutung sind diskrete Systeme, die linear und zeitinvariant (time-invariant) sind. Sie werden als diskrete LTI-Systeme bezeichnet.

Bild 5.18 Diskretes LTI-System mit Ein- und Ausgangsfunktion

Diskrete LTI-Systeme werden in völliger Analogie zu kontinuierlichen Systemen beschrieben. Im Zeitbereich durch Differenzengleichungen, Impulsantwort und Sprungantwort. Im Bildbereich durch die z-Übertragungsfunktion, Frequenzgang und PN-Plan.

x[k] y[k] Diskretes LTI-System

5.8 Anwendungen der z-Transformation 195 Zur Beschreibung eines diskreten LTI-Systems verwenden wir die allgemeine Differen-zengleichung (5.12), bzw. deren Kurzform-Schreibweise (5.12a). Ausgehend von Gl. (5.12a) wiederholen wir die oben durchgeführten Schritte der z-Transformation um die Übertragungs-funktion zu erhalten.

0 0

[ ] [ ]n m

i ii ia y k i b x k i

� �� 0 mit 0a � (5.12a)

Ausführen der z-Transformation unter Beachtung des Verschiebungssatzes

0 0

( ) ( )n m

i i

i ii ia z Y z b z X z� �

� ��

Ausklammern von Y(z) und X(z)

0 0

( ) ( )n m

i i

i ii iY z a z X z b z� �

� �: � :� �

Der Quotient aus Y(z) und X(z) definiert die System- oder z-Übertragungsfunktion

1

0 0 11

0 1

0

. . . ( )( ) = ( ) . . .

mi

min n

i

i

im

ni

b zb b z b zY zG z

X z a a z a za z

��

��

�

�

� � ��

� � �

�

� (5.13)

Die Koeffizienten in Zähler und Nenner von Gl. (5.13) entsprechen den Koeffizienten der Differenzengleichung. Zu beachten ist m � n. Der Zählergrad m darf höchstens gleich dem Nennergrad n sein, sonst enthält das System akausale Anteile.

Zur Berechnung der Systemreaktion auf ein beliebiges Eingangssignal wird Gl. (5.13) um-gestellt. Es gilt

( ) ( ) ( )Y z G z X z� : (5.14)

Ist die Übertragungsfunktion G(z) des Systems bekannt, erhält man die Lösung der Differen-zengleichung im Bildbereich für ein beliebiges Eingangssignal durch gewöhnliche Multiplika-tion von G(z) mit X(z). Zur Berechnung der Systemreaktion im Zeitbereich (= Originalbereich) ist die Rücktransfor-mation auszuführen

1 1[ ] } }y k Y(z) G(z) X(z)� �� 2 � 2 :� � (5.15a)

Existiert die Korrespondenz G(z)<��g[k], so kann das Ergebnis y[k] als Faltungsprodukt angegeben werden.

[ ] [ ] [ ]y k g k x k� > (5.15b)

Per Definition wird 1[ ] }g k G(z)�� 2� als Impulsantwort (oder Gewichtsfunktion) des Systems bezeichnet.


Für ein diskretes LTI-System gilt: Die Impulsantwort g[k] ist die Reaktion des Systems auf den Deltaimpuls �[k] am Eingang.

Bild 5.19 Impulsantwort des Systems

Zum Beweis wählen wir den Deltaimpuls �[k] als Eingangssignal was im Bildbereich der Funktion X(z) = 1 entspricht. Nach Gl. (5.14) erhalten wir als Ausgangssignal: ( ) ( ) 1Y z G z� : Durch Rücktransformation in den Zeitbereich ergibt sich 1[ ] ( ) [ ]y k G z g k�� 2 3 �� , also die Impulsantwort. Als Ergebnis halten wir fest: Die Korrespondenz G(z) <�� g[k] besagt, sowohl die Übertra-gungsfunktion als auch die Impulsantwort beschreiben mit Gl. (5.14) bzw. Gl. (5.15b) völlig gleichwertig das Ein- und Ausgangsverhalten eines diskreten LTI-Systems. Das Systemverhalten wird durch G(z) im Bildbereich und durch g[k] im Original- oder Zeitbe-reich charaktersisiert.

Bild 5.20 Systemreaktion auf ein beliebiges Eingangssignal im Zeit- und Bildbereich

Beispiel 5.7 Ein diskretes LTI-System wird durch folgende Differenzengleichung beschrieben

12[ ] [ 1] [ 2] [ ] [ 1]y k y k y k x k x k� � � � � � �

Zu berechnen ist die Systemfunktion G(z) und die Impulsantwort g[k]. Lösung: Mit der Voraussetzung über die Anfangswerte [ 1] [ 2] [ 1] 0y y x� � � � � � erhält man nach Ausführen der ZT: 1 2 11

2( ) ( ) ( ) ( ) ( )Y z z Y z z Y z X z z X z� � ��

Ausklammern ) * ) *1 2 1121 ( ) 1 ( )z z Y z z X z� � ��

Systemfunktion 1 2

1 2 2

1 12 21( )( )

( ) 1 1

z z zY zG zX z z z z z

�

� �

� ��

� � � �

Für die Impulsantwort 1[ ] ( )g k G z�� 2 3� bringen wir G(z) auf die Form 2

12( )

( )1

z zG z

z z

��

� �

und verwenden die Korrespondenz aus Abschn. 5.5.6: ) * 2

1( )2cos 3 1

z zk

z z� �

� ��<�

Das ergibt ) * 2 312

1( )2 1 1 1 1[ ] cos [ ] 1, , , 1, , , 1, . . . 3 2 2 2 21

z zg k k k

z z� 4�

� .� � � � � � � � � �� /� � � 0

�

g[k] �[k] Diskr. LTI-System

x[k] y[k] = g[k]* x[k] Diskr. LTI-System Y(z) = G(z)X(z) X(z)

5.8 Anwendungen der z-Transformation 197

0 1

0 1

. . . ( ) ( ) . . .

j T

j T jm T

z e j T jn Tm

n

b b e b eG z F ja a e a e

�

� �

� ��

� � ��

� ��

B

Bild 5.21 Symmetrische Rechteckimpulsfolge

k

0�1 1 N

1

N+1

. . . . . .

�N

xN[k]

5.8.3 Frequenzgang F(j�)

Bei den kontinuierlichen Systemen ergab sich der Frequenzgang aus der Übertragungsfunktion G(s) indem die Variable s durch j� ersetzt wurde (Abschn. 4.4.6). Dies besagt: Der Frequenz-gang G(j�) ist die Übertragungsfunktion eingeschränkt auf die j�-Achse der s-Ebene ( = 0). Mit der z-Transformation erhält man über die Zuordnung sTz e� mit s j7 �� in gleicher Betrachtungsweise (Abschn. 5.4) das Frequenzverhalten diskreter Systeme. Ersetzt man in der Übertragungsfunktion G(z) die Variable durch j Tz e � erhält man den Fre-quenzgang oder das Frequenzspektrum eines diskreten LTI-Systems. Es gilt mit Gl. (5.13):

Frequenzgang (5.16)

Neben der Übertragungsfunktion und Impulsantwort ist der Frequenzgang eine weitere wichti-ge Kenngröße eines diskreten LTI-Systems.

Die Aufspaltung von F(j�) in Betrag 2 2( ) ( ) Re ( ) Im ( )F j F F j F j� � � �� B B�

und Phase ) * Im ( )( ) arg ( )Re ( )

F jF jF j

��

� � ergibt Gl. (5.16) in der Form

Frequenzgang arg ( )( ) ( ) ( )j F j jF j F j e F e� �� (5.16a)

Diese Form erlaubt es den Frequenzgang des Systems als Ortskurve graphisch darzustellen. Man bezeichnet F(�) als den Amplitudengang oder das Betragsspektrum und (�) als den Phasengang oder das Phasenspektrum.

Ergänzung: Das Frequenzspektrum einer beliebigen Bildfunktion X(z) wird in gleicher Weise durch die Variablensubstitution j Tz e �� erhalten. Es gilt

( ) ( )j T xz eX z F j� �� B (5.17)

Beispiel 5.8 Frequenzspektrum einer diskreten, symmetrischen Rechteckimpulsfolge. Die symmetrische Rechteckimpuls- folge wird dargestellt als Differenz zweier Sprungfolgen:

[ ] [ ] [ ( 1)]Nx k k N k N4 4� � � � �

Ausführen der ZT ergibt

) *( 1) ( 1)[ ] ( )1 1 1

N NN N N Nz z zx k X z z z z z

z z z� � � ��

� � ��<�


Der Übergang auf die Frequenzvariable = j Tz e � liefert das Spektrum:

) *( 1)( ) ( ) 1 1 1

j TN N

j T jN T jN TjN T j N T

z e j T j T j Te e eX z F j e e

e e e�

� � ��

� � ��

� ��

� � �B

) *( 1) ( 1)(1 ) (1 ) ( ) ( )( )

2 1 cos( )(1 )(1 )N

jN T j T jN T j T jN T jN T j N T j N T

j T j Te e e e e e e eF j

Te e

� � � � � � � �

� ��

� � � � � �

��

� ��

) *) *

( ) sin (2 1)cos( ) cos( 1 )( ) 1 cos( ) sin

2

2N

NN T N TFT

T

T� ��

�

�

��

� ��

5.8.4 Systemstabilität

Reagiert ein diskretes LTI-System auf ein beschränktes Eingangssignal x[k] mit einem be-schränktem Ausgangssignal y[k], so ist das System stabil. Diese Aussage kann verwendet werden um ein Stabilitätskriterium herzuleiten, das nur die Kenntnis der Impulsantwort des Systems erfordert.

Sei [ ]x k� ��J��B B� , mit N � � ein beschränktes Eingangssignal.

Dann gilt für das Ausgangssignal:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]i i i

y k g k x k g i x k i g i x k i g i� � �

�� > � : � � � : � ��J :B B�� B B�� B B B B� B BB B� � �

Wie man sieht ist y[k] genau dann beschränkt, wenn die Impulsantwort des Systems absolut summierbar ist, wenn also gilt [ ] M mit M = N K, Ky k� �� : !B B� �

FN(�)

�T

Bild 5.22 Spektrum einer diskreten Rechteckimpulsfolge für N = 5

5.8 Anwendungen der z-Transformation 199

–1 1 Re(z)

Im(z)

Bild 5.23 PN-Plan

Stabilitätskriterium im Zeitbereich: Ein diskretes LTI-System ist genau dann stabil, wenn seine Impulsantwort absolut summierbar ist.

[ ]k

g k�

��K��B B� (5.18)

Für kausale Systeme ist g[k] = 0 für k< 0. Die Summation in Gl. (5.16) erfolgt dann ab k = 0. Ein gleichwertiges Stabilitätskriterium im Bildbereich ergibt sich aufgrund des PN-Planes.

5.8.5 Pol-Nullstellen-Plan (PN-Plan) Zur anschaulichen Beschreibung dynamischer Systemeigenschaften, wie z. B. der Stabilität hat sich der PN-Plan bewährt. Dazu ist die Systemfunktion G(z), die nach Gl. (5.13) eine Poly-nomfunktion in z�k ist, in die Produktform umzuwandeln. Durch Multiplikation von Zähler und Nenner mit zn erhält man die Form:

1 1

0 1 0 11 1

0 1 0 1

( . . . ) ( . . . )( ) ( . . . ) ( . . . )

m n m mn m

n n n nm m

n n

b b z b z z b z b z bG z za a z a z z a z a z a

� � ��

� � �� : � � �

� � :� � � : � � �

(5.19)

Nach dem Fundamentalsatz der Algebra kann durch getrenntes Aufsuchen der Nullstellen des Zähler- und Nennerpolynoms die Produktform von G(z) erhalten werden. Ni = Nullstellen des Zählerpolynoms, i = 1, . . . ,m Pi = Nullstellen des Nennerpolynoms = Polstellen von G(z), i = 1, . . . ,n

0 1 2

0 1 2

( )( ) . . . . ( )( ) ( )( ) . . . . ( )

n mm

n

b z N z N z NG z za z P z P z P

�� : :

� � � (5.20)

Der PN-Plan entsteht dadurch, dass die Pole und Nullstellen von G(z) in die z�Ebene einge-tragen werden. = Nullstellen = Pole Wie in Abschn. 5.4 erläutert transformieren sich die Pole und Nullstellen der stabilen Systeme in das Innere des Einheitskreises. Die Pole und Nullstellen der instabilen Systeme in das Äußere des Einheitskreises. Stabilitätskriterium im Bildbereich

Ein diskretes LTI-System ist < stabil, wenn alle Pole von G(z) innerhalb des Einheitskreises liegen, < grenz- oder quasistabil, wenn alle Pole innerhalb des Einheitskreises liegen und

auf dem Rand nur einfache Pole liegen. < instabil, sobald ein Pol außerhalb des Einheitskreises liegt, oder ein mehrfacher

Pol auf dem Einheitskreis liegt. Die Nullstellen von G(z) spielen für die Stabilität des Systems keine Rolle.


Beispiel 5.9 Ein diskretes LTI-System hat die Übertragungsfunktion 21( )

2,5 1zG z

z z�

��

Gesucht ist die Impulsantwort g[k], der PN-Plan, die Stabilität des Systems und der Frequenzgang F(j�). Lösung: Die Impulsantwort g[k] ergibt sich aus der Rücktransformation von G(z). Um eine Partialbruchzerlegung durchführen zu können wird G(z) in die Produktform umge-wandelt. Dazu werden die Nullstellen des Nenners (= Pole von G(z)) aufgesucht.

2 2,5 1 0z z� � � ergibt die Polstellen 1 212 und 2z z� � ;

Partialbruchzerlegung: 1( ) 1 12( 2)( 2 2)z A BG z

zz z z�

� � ��

mit A = 2 und B = �1

Rücktransformation: ) * 1k 12 1 1[ ] 2 2 [ 1] [ 1]22 1/ 2k

g k k kz z

4 4��E �� .� � � : � � �� /� �� 0

�

Impulsantwort ) * 11[ ] 2 [ 1]2kkg k k4�( %� � �& #

' $

PN-Plan und Stabilität. Polstellen von G(z): 1 2

12 und 2P Pz z� �

Nullstelle des Zählers: 1 1Nz � � Da eine der beiden Polstellen, zP1

= 2 außerhalb des Einheitskreises liegt ist das System instabil.

Frequenzgang 21 1( )

2,5 1 2,5

j T j T

j T j T j T j Te eF j

e e e e

� �

� � � ��

��

� ��

Amplitudengang 1 1 cos( ) sin( )

( ) ( ) 2cos( ) 2,52,5

j T

j T j T

e T j TF j F

Te e

�

� �

� ��

�

�

�

� � ��

��

) *

2 2

2

(1 cos( )) sin ( ) 2 2cos( )( )

2cos( ) 2,5 2cos( ) 2,5

T T TF

T T

� � ��

� �

� � ��

� �

–1 1 Re(z)

Im(z)

2 0,5

Bild 5.24 PN-Plan von Beispiel 5.9

F(�)

�T

Bild 5.25 Amplitudengang von Beispiel 5.9

5.9 Blockdiagramme diskreter LTI-Systeme 201

5.9 Blockdiagramme diskreter LTI-Systeme Die Zusammenschaltung diskreter LTI-Systeme kann in übersichtlicher Weise durch Block-diagramme dargestellt werden. Werden mehrere Teilsysteme zu einem Gesamtsystem kombi-niert, so gibt es (wie bei den kontinuierlichen Systemen) drei grundsätzliche Arten der Zu-sammenschaltung. Das Gesamtsystem wird dann nur durch eine Systemfunktion beschrieben. Wenn es sich bei den Teilsystemen um LTI-Systeme handelt, ist das Gesamtsystem wieder ein LTI-System.

5.9.1 Reihen-Schaltung Es werden n LTI-Teilsysteme Gi(z) rückwirkungsfrei in Serie zu einem Gesamtsystem zusam-men geschaltet.

Bild 5.26 Reihenschaltung von n Teilsystemen

Für das Ein- / Ausgangsverhalten der Einzelsysteme gilt:

11

( )( )( )

Y zG zX z

� , 22

1

( )( )( )

Y zG zY z

� , . . . . ,1

( )( )( )n

n

Y zG zY z�

�

Das Ausgangssignal der gesamten Reihenschaltung wird erhalten durch sukzessives Einsetzen der Zwischensignale:

1 1 2 1 2 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n n n n n nY z G z Y z G z G z Y z G z G z G z G z X z� � � �� : � : : � : : : : : :

Der Quotient Y(z)/ X(z) ist nach Definition die Gesamtsystemfunktion G(z), die gleich dem Produkt der Übertragungsfunktionen der Teilsysteme entspricht.

1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) kk

n

nG z G z G z G z G z�

� : : : : : � C (5.21)

5.9.2 Parallel-Schaltung Die n LTI-Teilsysteme Gi(z) erhalten das gleiche Eingangssignal, die einzelnen Ausgangssig-nale Yi(z) werden über ein Summierglied zum Gesamtsignal Y(z) addiert.

y[k] G1(z)

x[k] G2(z) Gn(z)

Y1(z) G1(z)

G2(z) Y(z) Y2(z) X(z)

D

Gn(z) Yn(z)

Bild 5.27 Parallelschaltung von n Teilsystemen


Das Gesamtsignal nach dem Summierglied ist 1 2( ) ( ) ( ) . . . . ( )nY z Y z Y z Y z� � � � Für jedes Teilsystem gilt ( ) ( ) ( )i iY z G z X z� , i = 1, … ,n

Es folgt 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . . . . ( ) ( )nY z G z X z G z X z G z X z� � � �

Ausklammern 1 2( ) [ ( ) ( ) . . . . ( )] ( )nY z G z G z G z X z� � � � :

Das Verhältnis von Ausgangssignal Y(z) zu Eingangssignal X(z) ergibt G(z) als Summe der Übertragungsfunktionen der Teilsysteme.

1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )kk

n

nG z G z G z G z G z�

� � : : : : � � D (5.22)

5.9.3 Rückgekoppelte Systeme Allgemein spricht man von Rückkopplung (feedback), wenn das Ausgangssignal Y(z) über ein Systemglied G2(z) auf den Eingang zurückgeführt wird.

Bild 5.28 Rückgekoppeltes System

Das rückgeführte Signal kann an der Additionsstelle entweder zum Eingangssignal addiert oder subtrahiert werden. Entsprechend spricht man beim Vorzeichen (�) von Gegenkopplung, beim Vorzeichen ( +) von Mitkopplung. Ausgangssignal 1 2( ) ( ) [ ( ) ( ) ( )]Y z G z X z G z Y z� : " Nach Separation der Variablen gilt 1 2 1[1 ( ) ( )] ( ) ( ) ( )G z G z Y z G z X z: �

Für die Gesamtsystemfunktion G(z) = Y(z) /X(z) erhält man

1

1 2

( )( ) 1 ( ) ( )

G zG zG z G z

�:

(5.23)

Da nach Separation der Variablen die Vorzeichen vertauscht sind, gilt in Gl. (5.23) das Vor-zeichen (+) für die Gegenkopplung, das Vorzeichen (�) für die Mitkopplung

+ �

Y(z) D G1(z)

G2(z)

X(z)

5.9 Blockdiagramme diskreter LTI-Systeme 203 Beispiel 5.10 Das vorliegende System besteht aus einer Parallel- und Reihenschaltung dreier Teilsysteme

1( ) , mit zG z az a

� !�

�

2 ( ) aG zz a

��

3 2( )( )

azG zz a

��

Gesucht ist die Übertragungsfunktion G(z), die Impulsantwort g[k], der Frequenzgang F(j�) und die Differenzengleichung die das Gesamtsystem beschreibt.

Lösung: Die Gesamtübertragungsfunktion ergibt sich aus der Kombination von Parallel- und Reihenschaltung der Teilsysteme.

) *1 2 3 2 3( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )z a az az z aG z G z G z G z

z a z a z a z a�( %� � : � � : �& #� �' $ � �

Impulsantwort: 2 31 1 23

( )[ ] ( ) [ ]( )

kaz z ag k G z k a kz a

4� � � .� � � �� /� � 0

� �

Frequenzgang:

) *

� �

2 2

3 3

cos ( ) cos( ) sin ( ) 2sin( )cos( ) sin( )( )( ) ( ) cos( ) sin( )

j T j T

j T

a T a T T j T T a Tae e aF je a T a j T

� �

�

� � � � � ��

� �

��

Die Differenzengleichung ergibt sich über die Beziehung Y(z) = G(z)X(z)

1 2 2

3 1 2 2 3 3( )( ) ( ) ( )

( ) 1 3 3az z a az a zY z X z X z

z a az a z a z

� �

� � ��

� ��

Separation in Y- und X-Anteil

) * ) *1 2 2 3 3 1 2 21 3 3 ( ) ( )az a z a z Y z az a z X z� � � � ��

Durch gliedweise Rücktransformation unter Beachtung des Verschiebungssatzes erhält man die Differenzengleichung des Gesamtsystems.

2 3 2[ ] 3 [ 1] 3 [ 2] 3 [ 3] [ 1] [ 2]y k ay k a y k a y k ax k a x k� � � � � � � � � �

G1

G2

X(z) Y(z) + G3

Bild 5.29 System aus Parallel- und Reihenschaltung


Aufgaben zu Abschnitt 5.8 und 5.9 (Ergebnisse im Anhang)

Aufgabe 5.7 Es ist zu überprüfen ob das vorliegende System mit dem Übertragungsverhalten Y(z) = X(z/c) ein diskretes LTI-System ist.

, 0c c! ��

Bild 5.30 Übertragungsverhalten eines diskreten Systems Aufgabe 5.8 Man bestimme das Blockdiagramm für ein System mit der Impulsantwort

[ ] [ ],kg k a k4� , a a! 5 1� Aufgabe 5.9 Das Blockdiagramm zeigt ein diskretes LTI-Systems mit linearer Rückführung.

1( )/ 2

zG zz a

��

, a!�

) *22

3 / 2( )

( / 2)a

G zz z a

��

3( ) azG z

z e��

�

Bild 5.31 Rückgekoppeltes System Für das Gesamtsystem ist zu bestimmen a) die Systemfunktion G(z) b) die Impulsantwort g[k] c) der PN-Plan für 1a � d) die Systemstabilität

X(z) Y(z) = X(z/c) Diskr. System

–

X(z) D

Y(z)

G3(z)

G1(z)

G2(z)

D

6 Anhang

6.1 Ergebnisse der Aufgaben

Lösung 1.1

0�kb (gerade Funktion), 012

a � (Mittelwert),

2 = sin2ka k

k�

�( %& #' $

. Für 02 �+� kank

1 2 cos(3 ) cos(5 ) cos(7 ) cos(9 ) cos(11 )( ) = cos( )2 3 5 7 9 11

x x x x xf x x� ��

�

Lösung 1.2 a0 = 0,5; ak = 0; k

bk ��

1 = ; �

��

�1

)sin(0,5 = )(k

kxkxf

Lösung 1.3 bk = 0 (gerade Zeitfunktion),

2 = ; = 10AaAa

�;

2

0 = 2 +1

sin (1 ) = 2 2 2

1

k

k n

ka nA k = n

k

�

�

� �� !� � ��

�

Lösung 1.4

0 1 2 1 22 2 23 2 1 2 1 1, , , , 8 2

a a a b b�

� � � � � � � � ��

Lösung 1.5 158860)e1 (21;

j1e1

21 2

1102

,baak

ck ��

��

��

��

Lösung 1.6 0 13 2 (Mittelwert) 0 (gerade Funktion)8 ka a b�

��

Lösung 2.1 �

��

�#

$%

&'( 1

2cos2j = )( TF �

��

Lösung 2.2 222 = )(

�aaF�

� ; 0)(Im ��F gerade Zeitfunktion

Lösung 2.3 ��

�

��

�� dt

T

TUtfT

TUF )cos(2

cos14 = )(

2cos14 = )(

022 �

#$%

&'(�

��

��

#$%

&'(�

Lösung 2.4 22 2( ) j sin( )F � ��

�� : ��

�

H. Weber, H. Ulrich, Laplace-, Fourierund z-Transformation, DOI 10.1007/978-3-8348-8291-2,© Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2012

206 6 Anhang

Lösung 2.5 2cossin1)(

tttttf �

��

Lösung 3.1 a) 2 j2

W

dzz

� �� b) 1 =

21Res

2 = 0/.

��

�zz

Lösung 3.2 2 3 2 3

81 = )(Res

81 = )(Res

1 = 1 = zfzf

zz�

�

Lösung 3.3 tttf 2ee = )(a) �� ttttf �� e2e = )(b) )sinh( = )e(e

21 = )(c) ttf tt �� ttt,t,tf 323 e)1951354( = )(d) ��

ttttf �� e2e+2 = )(e) t )sin(3)cos(22e = )(f) tttf t ��

Lösung 3.4 !)1(

1 1

�

��<

nt

s

n

n �

Lösung 3.5 � �)(cos)sin(21

)1(1

22 ttts

��

�< �

Lösung 3.6 � �)2cos()2cosh(81

164 tts

s�

��< �

Lösung 3.7 5

42

3556245624)(a)

sss

ssssF ��

��

)3)(2(198

35

23)(b)

��

��

��

�ss

sss

sF

1

32)(c) 2 �

��

sssF

5014)(d) 3 ,ss

sF�

��

22)(e)

asasF�

� 22)(f)as

ssF�

�

Lösung 3.8 42473

6531)(a) ttttf �� tttf 25 e8e6)(b) ��

t,tf t, 3e50)(c) 52 �� )sin(3)cos(5)(d) tttf ��

)51sin(52)51cos(50)(e) t,,t,,tf ��

Lösung 3.9 3

e2 = )(a)s

sFs�

2

3e1 = )(b)s

sFs��

1e+1 = )(c) 2 �

��

ssF

s

ssss

sF 22 e1)e1(1)(d) ��

)e(e1)e21(1)(e) 2

2sss

sssF ��

6.1 Ergebnisse der Aufgaben 207

Lösung 3.10 #$%&

'( �

�� 21 ee = )(tsts

sAsF

Lösung 3.11 )2(e)2()2()2(22

= )( )2( �� tAtAttAtAtf t 444

1

ee)e1(2

= )(22

22 �

��

�s

As

AsAsF

sss

Lösung 3.12 � � )()(sin )sin( = )()e(1 = )( 22 TtTtttfs

sFsT

��

� �<�

4��

� �

Lösung 3.13

��

2 < 0 2 2

= )(a)ttt

tf ) * �

��

5 0

55 = )(b)

361

t <

t ttf

) *� � �

��

�

��

2

22 < 0 5cos

= )(c)ttt

tf �

��

5��

2)1(2250 = )(d)

2

tt tt,tf

�

��

5�

��

��

��

1ee

10e1)1()e1()e1()(e)

2)1(2

2)1(22

t

tttf

tt

ttt 4

3 2( 1)3 2( 1)

0 1f) ( ) ( 1) e ( 1)

( 1) e 1t

t

tf t t t

t t4� �

� �

��

2( 1)

1 0 1g) ( )

e 1t

tf t

t� �

� �� 5�

�

�

�

5

��

�� 2e

21110

)(h))2(2 t

ttt

tft

Lösung 3.14

35)+(2 = )(a)

ssF 53)(

24 = )(b)�s

sF

22)( = )(c)

�6

6

�s++ssF

342

12)(2 = )(d) 22 ��

��

�

sss+

sssF

32 )2(2

1)+(21 = )(e)

��

ssssF

54e = )(f) 2 ��

�

sssF

s

208 6 Anhang Lösung 3.15

tttf �e = )(a) )2sin(e21=)(b) 2 ttf t�

)2cosh(e = )(c) ttf t� atttf �e21 = )(d) 2

�

�

��

� ��

2 < 0

2 e2

)2( = )(e)

)2(2

t

tttf

t

� � �

��

3 < 0

3 3)2(sine21

= )(f))3(

t

tttf

t

�

��

5��

��

�

33)e(e

3 e = g)

3)2(2

2

ttt

tt)t(f

tt

t tttf 3e2 = )(h) �

Lösung 3.16 tttf 32 ee2 = )(a) ��

ttt ,,tf 322 e20e250e0,05 = )(b) ��

ttt,t,tf 323 e)1951354( = )(c) ��

ttttttf 2ee3e8e7 = )(d) ��

tttttf �� e2e+2 = )(e)

� � tt t,t,ttf 4e)sin(80)cos(60e0,6)( = )(f) ��

)sin(3)cos(22e = )(g) tttf t ��

)3(sin3)3(cos25e = )(h) tttf t ��

tttf 22e = )(i) � Zähler konstant, keine Partialbruchzerlegung

tttfs

sF ��<�

�� e+)( = )(1

11)(k) 6�

F(s) unecht gebrochen rational

�

��

5�

�� 1e21

1)(l) )1( t

tttf t

ttttf ��

�� e32

21)(m) 2

Lösung 3.17 � �)cos()sin(21 = )(cos)(cos = )( ttttttf �>


Lösung 3.18

212121

21

2122

1

1

21

21

2121

21

ee = ))((

eRes))((

eRes = )(c)

e = ee = )(b)

ee = )(= )(a)

sssssssssstf

ssetf

sstf

ssA

ssA

sF

tstsst

s=s

st

s=s

tstststs

tsts

��

0

/.

�

��

��

0

/.

�

��

��

��

>

��

��

��< �

Lösung 3.19 � �)(cos)sin(

8t = )(sin)sin(

21 = )( tttttttf �>

Lösung 3.20

�

�

�

�

�

�

�

��

��

��

��

0=2

2

2

6

2

4

2

2

20

2

4

2

3

2

2

23

0=

1714118520=

1421171395

)!2(1)( =

)!6()!4()!2(1 = )(d)

)!()1( =

)!4()!3()!2(1 = )(c)

!)23(1)( =

!17!14!11!8!5!2t = b)

!)14(1)( =

!21!17!13!9!5 = )(a)

k

kk

k

k

k

k

k

k

k

kk

ktttttf

kttttttf

ktttttt)t(f

kttttttttf

�

�

�

�

Lösung 3.21

)1(e1)(

1

)e1(1)(

1

22 ��

��

�

�

�

�

<

<

taaass

aass

ta

ta

�

�

Lösung 3.22

#$%

&'(

sssF 1arctan1 = )(a)

3

2 +8b) ( ) = ( +3)

sF ss s

Lösung 3.23 20a) ( ) = (1 e )sU

F s� s

9��

02

2 3b) ( ) (1 e e e )s s sUF s

s9 9 9

9� � ��


0 = )( lima)0

tft�

0 = )( lim tft �

0 = )( limb)0

tft�

Endwertsatz nicht anwendbar, Polstelle bei 1s � � .

2 = )( limc)0

tft�

1 = )( lim tft �

0 = )( limd)0

tft�

2 = )( lim �

�tf

t

0 = )( lime)0

tft�

1 =)( lim tft �

�

= )( limf)0

tft

0 = )( lim tft �

Lösung 3.25

22 )1(2 = )(a)�sssF 32

2

)1(26 = )(b)

�

�

sssF

42

24

)1(6366 = )(c)

�

��

ssssF 22

2

)4(412 = )(d)

�

��

ssssF

22 )1(

1 = )(e)�s

sF (siehe Aufgabe 3.5)

Lösung 3.26 ( ) 1 e( ) ( ) = 1

t

tdF s tf t f tds s t

e�

�� < � � � +�

��

Lösung 3.27

11ln = )(a)�s

s+sF #$%

&'(

ss+sF 1ln = )(b)

21

2

22

2ln = )(c)

a+s

a+ssF

Lösung 3.28 a) ln 0,25 = � 1,38629... b) ln 3 = 1,09861...

Lösung 4.1 ttttf 2e41e

43

21 = )(a) ��

)2(sin3)2(cos4e4e15 = )(b) ttttf tt ��

233 3c) ( ) = e 3e 2 e et t ttf t t � ��

��

�

��

##$

%&&'

(�#

#$

%&&'

(�� tttf t,t

23cos

23sin

3311ee2 = )(d) 50


Lösung 4.1 (Fortsetzung)

�

�

�

5#$%

&'( �

��#

$%

&'( ��

��#$%

&'( ��

��

�

2e41

22e

41

2

20e41

241

)(e))2(22

2

ttt

tt

tftt

t

Lösung 4.2 � �)3(sin)3(cosee2 = )( 5 tBtAtf tt ��

Lösung 4.3

##

$

%

&&

'

(��

�

�

�

5��

�

��

�

��

��

�

��

�

�

�

�

��

�

RCt

kRCtktu

tU

tU

tu

a

tRC

tRC

tRC

a

e1 = )(b)

ee

0e1

)(a))(11

0

1

0

9

9

9

Lösung 4.4 x(t) = 8t + 2 � 2cos(t) � 3sin(t); y(t) = � 4t + 1 + 2sin(t)

Lösung 4.5

)e3(e = )cosh(36 = )(

)ee1(31= )3cosh(

32

31 = )(

33

33

tt

tt

tty

ttx

�

�

�

��

Lösung 4.6 tttt ty,tx 44 e2e5 = )( e3e5 = )( ��

Lösung 4.7

22

020

0

= 1 = 2

1 =

)sin()cos(e = )(

6��6

��6�6

�

� �

��

,LC

,RC

ttR

Uti tC

Lösung 4.8 ��

�

��

�

� tLR

RUti 2e1 = )( 2

10

Lösung 4.9 ##

$

%

&&

'

(�

�RCt

e1 = )( kRCtuR


> eeee0,447

0 ee0,447

= )()()(0

0

2 618,2382,0618,2382,0

618,2382,0

�

�

�

��

�

��

��

��

�

��

�

��

��

9

9

99t

RU

tR

U

titttt

tt

RCRCRCRC

RCRC

Lösung 4.11 .L

RLC 2

= und 1 = sei Es 20 6�

a) aperiodischer Fall: #$%

&'( �

�

�t

LUti

t20

220

20 sinhe = )( �6

�6

6

b) aperiodischer Grenzfall: 0( ) = e tU

i t tL

6�

c) periodischer Fall: #

$%

&'( �

�

�t

LUti

t22

0220

0 sine = )( 6�6�

6

Lösung 4.12 2

2( )2

0

0

0

2 1 e 0 4

a) ( ) = 2 e e >

4

lim ( ) = 2

tRC

ttRC RC

t

U C t tRC

i tU C

tRC

Ui t

R

9

99

9 99

�

�

� �

�

� ��

0 = )(lim

> e2

ee4

0 e124

= ))(b))(2

0)(22

0

20

ti

tR

UCU

tRC

tCU

ti

t

RCt

RCt

RCt

RCt

�

��

��

�

�

�

�

��

�

��

�

��

��

�

��

�

��

99

99

99

Lösung 4.13

a) ###

$

%

&&&

'

(��

�� tRC

tRC Utu

RUti

20

a

20 e1

2)(e)(


Lösung 4.13 (Fortsetzung)

b)

LRsLRssUsRIsUsU

RRLsRLssI

25

2

2)()()()(

522)( e

2ae22�

��+

�

��

tLR

LRttu

LRsL

RsUsU

25

a

vision)(Polynomdiae

e4

)(21)(

25

12

121)(1)(1)

��+

��

�

��

�

��+�

6

��

�

��

�

��+

��

�

��

�

��+�

� tLR

,,Utu

LRs

,s,UsU

sUsU

25

0a

ng)uchzerlegu(Partialbr0a0

e

e1040)(

251040)()(2)

Lösung 4.14 a) ###

$

%

&&&

'

(�

�RC

t

th

2

e121 = )( b) RC

t

eRC

ttg2

1)()(�

�� 6

Hinweis zu b): Polynomdivision von G(s) oder verallgemeinerte Ableitung von h(t)

Lösung 4.15

RC

tgthRC

t

RCt

22

e = )(b) e121 = )(a)

��

###

$

%

&&&

'

(�

Lösung 4.16 1)(1 = )(a)

212

��CsRR

CsRsG

#$%

&'( ��

LCs

RCsLCs

LRLCs

sG11

1 = 1

1 = )(b)22

2 2 2 22 2

c) ( ) = 3 13 1

sRCs RCG s sR C s RCs s

RC R C

��

Lösung 4.17 13

1 = )(a) 222 �� RCssCRsG


(Fortsetzung) ��

�

��

�

��

�� tt

RC,tg RC

,RC, 61823820

ee4470)(b)

t,

tth

RC,

RC, 6182

e1710e1,1711 = )(c)3820 ��

��

Lösung 4.18 �

��

�

��

�

�

�� RCt

RCt

thRC

tg

33

e131 =)( ;e1 = )(a)

�

�

�

��

�

��

�

��

��

�

��

�

��

��

9

9

9

> ee3

e13

= )(b) )(330

30

a

tU

tU

tuRCt

RCt

RCt

Lösung 4.19

� �

�

�

�

5��

��

�

��

��

��

�

��

��

�

�

�

��

�

�

��

��

��

��

��

�

99

69

6669

96669

99

9

66

96

9696

66

66

966

6

ttL

U

ttLU

ttLU

ti

tttL

U

ttL

U

ti

LR

s

sL

sG

to

tt

tt

tt

o

tt

t

für)e(

eee1e

für e1e1

= )(c)

> für e)(e

für )e( = )(b)

2 = mit

)(

1 = )(a)

)(

)(2

)(

20

22

)(0

0

2I

Lösung 4.20 a)

� �

��

��

��

RCs

sRCsRCs

sUsUsG

21212)(

)()(ea

b) ��

�

��

�

��

��)1(ee

2)(

)1(2

12

10

a tUtut

RCt

RC 4

c) t

RCRC

ttg 21

e4

1)(21)(

�� 6


Lösung 4.21 a) #$%

&'( �

��

��

�

LR,s

LRs

RLsRLssG

51232)(

b) t

LR,

LR,t,tg

51e250)(50)(�

�� 6

c) 31)(

21)0(e

61

31)( aa2

3

��

u;utht

LR

Lösung 4.22

a) 1 1 1( )32 3 2

G sRCs RC s

RC

� ��

b) 3

21( ) e2

RCt

g tRC

��

c) 3

21 1( ) 1 e , (0) 0, ( )3 3

RCt

h t h h� �

� ��

Lösung 4.23

RCs+

RCs+

sG 2

1

= )(a)

2j1+j = b)

�RCRCF

�� Re F

Im F

0 0,5 1

0��

RC

2��

Ortskurve des Frequenzgangs

Lösung 4.24

Korrespondenz: x(t) = U0sin�t 0 2 2( ) U��

X sx

��

Ausgangssignal I0 2 2

k( ) ( ) ( ) = U��IY s G s X s

s s��

Rücktransformation in den Zeitbereich

2 3

I 0 2 2

I 0

( ) = ( ) = k U( )

k U( ) = (1 cos )

�E �E � .� /

�� 0

��

y t Y ss s

y t t

��

��

L L

Das Ausgangssignal y(t) beschreibt den Verlauf der Integration einer sin-Funktion von t = 0 an, bis zu einem beliebigen Zeitpunkt t.

216 6 Anhang Lösung 4.25 Aus Bild 4.81 liest man folgende Systemgleichungen ab:

Yc(s) = X(s) � Ya(s) – Yb(s) (1)

Yb(s) = Yc(s)1

1sT = [X(s) � Ya(s) – Yb(s)]

1

1sT (2)

Ya(s) = Yb(s)2

1sT (3)

Einsetzen von Gl. (3) in Gl. (2) ergibt:

Yb(s) = [X(s) � Yb(s)2

1sT

– Yb(s)]1

1sT

21 11 2

1 1 1 ( ) 1 ( )bY s X ssT sTs T T

��

� ��

1 22

1 2 221 1 2

1( )

( ) ( ) 11 11

bb

Y s sT sTG sX s s T T sT

sT s T T

� � � � � ��

� ��

Die Übertragungsfunktion Gb(s) zeigt einen BP 2. Ordnung. Aus Gl (3) ergibt sich mit Yb(s):

22 1 2 2

11 ( ) ( ) ( ) 1

a bY s Y s X ssT s T T sT

� ��

21 2 2

( ) 1 ( ) ( ) 1

aa

Y sG s

X s s T T sT� �

� �

Die Übertragungsfunktion Ga(s) zeigt einen TP 2. Ordnung. Schließlich ergibt sich aus Gl. (1)

22 2

1 2 2 1 2 2

1 ( ) ( ) ( ) ( )1 1

csTY s X s X s X s

s T T sT s T T sT� � ��

� � � � 2

1 22

1 2 2

( ) ( )

( ) 1c

cY s s T TG sX s s T T sT

� ��

Die Übertragungsfunktion Gc(s) zeigt einen HP 2. Ordnung. Für T1 = T2 = T erhält man im Bode-Diagramm symmetrische Filtercharakteristiken.


Lösung 4.26 a) Das 2. Summierglied führt das Signal G1(s)U(s) + Y(s) in Gegenkopplung auf das 1. Sum-mierglied zurück. Damit ergeben sich folgende Systemgleichungen:

(1) U(s) = X(s) � [G1(s)U(s) + Y(s)] (2) Y(s) = G1(s) G2(s)U(s)

Nach Umformung erhält man [1 + G1(s) + G1(s) G2(s)]U(s) = X(s)

Einsetzen in (2) ergibt die Übertragungsfunktion:

1 2

1 1 2

( ) ( ) ( )( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( )

Y s G s G sG sX s G s G s G s

� ��

b) Für die angegebenen Übertragungsglieder G1(s) und G2(s) erhält man für

21( )

( 2) 2 1G s

s a s a�

� � � �

G(s) hat die Polstellen 21/ 2

1 ( 2) ( 2) 1)2s a a a �� " � � L), ��

Für a E5 �,

ist das System stabil. Sämtliche Polstellen liegen in der linken, offenen Halbebene

des PN-Plans.

Für a E� �,

ergibt sich eine Polstelle bei s = 0, das System ist grenzstabil.

Für a E� �,

ist das System instabil, da für jedes a eine Polstelle in der rechten Halbebene des

PN-Plans liegt. Lösung 4.27

a) Block-Diagramm b) Für das rückgekoppelte System gilt

21

21 P PP2

( ) ( 2) 1( )

1 ( ) ( ) (k 4) 5 1+ k( 2) 1

� �� : � � �:

� �

sG s ssG s sG s G s s s

s

�

y(t) D

x(t) 1( )G s

Pk

218 6 Anhang

mit den Polstellen 1/ 22

P P1 (4 k ) (k 4) 202 �� " � ��

s

Eine Stabilisierung gelingt für 4 � kP � . Lösung 4.28 a) Eine Signalanalyse von Bild 4.83 ergibt die Systemgleichung

� �( ) ( ) ( ) ( )1

sTX s bY s aX s Y ssT

� : � ��

1 ( ) ( )1 1

sT sTb Y s a X ssT sT

� ��

(1 )( )(1 ) 1

sT a aG ssT b

� ��

� �

b) Polstellen von G(s): sT(1� b) + 1 = 0 + 11

(1 )s

T b� �

�

Das System ist stabil für b � 1, a beliebig. c) Sprungantwort

1 1 11 1 11( ) ( ) 11 T(1 ) 1T(1 ) T(1 )

� � �

� .� . � . �� : � �� / � / � /� � �� 0 �� 0 �� 0

a ah t G s b bs s s sb b

L L L

) * T(1 )1( ) e1

tbabh t a b

��

� für t � 0.

Lösung 5.1

Aufgrund der Linearität der ZT gilt:

� �2 3 � �2 3 � �2 3 ( 1)( 1)1 1 1

NNz z z zrect k k k N z

z z z

�� ( %� � � � � � �& #� � �' $

� � �4 4

Korrespondenz � � 1

Nz zrect k

z

��

�<�

Lösung 5.2 Die Folge hat die Periodenlänge p = 6 mit der expliziten Darstellung

2 3 3 3 3 30, , , 0, , ; . . . . 2 2 2 2

[ ] sin( )3x k k� � �� .

� � � /� 0

Nach Gleichung (5.10b) erhält man:

) * ) *) * ) *

6 5 4 3 2 2 2

6 2 4 2

3 3 3 3 30 0 1 12 2 2 2 2( )1 1 1

z z z z z z z z z zX z

z z z z

: � : � : � : � : � : � � ��

� � � �

Umformung: ) * ) *4 2 2 21 1 1z z z z z z� � � � � � � .


Einsetzen und Kürzen von Zähler und Nenner ergibt:

2 3 2

32[ ] sin( ) ( )3 1

z

x k k X zz z

��

�<�

Ergänzung: Das gleiche Ergebnis erhält man mit Hilfe der Korrespondenz-Tabelle (Anhang)

2sin( )sin( ) [ ]

2 cos( ) 1 T

TzTk k

z z::

� ��<� �

�� 4 .

Setze / 3T� �� dann gilt: 23

32sin( ) [ ]

1

zk k

z z� 4:

� ��<�

Lösung 5.3 Wir schreiben die Folge � � � �2x k k k4� in der Form � � � �1x k kx k� mit � � � �1x k k k4�

Mit der Korrespondenz 1 1 2[ ] [ ] ( )( 1)

zx k k k X zz

4� ��

�<�

ergibt sich die ZT der Folge x[k] mit dem Multiplikationssatz

1 1 2 3( 1)[ ] [ ] ( ) ( )

( 1) ( 1)z zd d zx k kx k X z z X z zdz dz z z

( % �� & #� �' $�<�

Lösung 5.4

a) Faltungsprodukt: � � ) * � � � � ) *1 20

1 1[ ] [ ] [ ] [ ]2 2k i

ix k x k x k k k i k i4 4 4 4

�� > � > � : ��

) * ) * ) *1

0

11 21 1[ ] 22 1 21 2

kk i k

ix k

�

�

( %�& #

� � � �& #�& #& #

' $

�

ZT: ) * ) *0 0 0 0

1 1[ ] ( ) [ ] 2 22 2 k kk k k k

k k k kx k X z x k z z z z

� � � �

� � � �

( %� � � � �& #

' $�< � � � ��

2( ) 2 1 11 ( 1)( )2 2

z z zX zz z z z

� � ��

b) Für beide Folgen gelten die Korrespondenzen (siehe ZT-Tabelle im Anhang )

) * � �1 11[ ] ( )2 1

2

k zx k k X zz

4� ��

�<� und � �2 2[ ] ( )1

zx k k X zz

4� ��

�<�

Anwendung des Faltungssatzes

� �2

1 2 1 2[ ] ( ) ( ) 1 1( 1)( ) ( 1)( )2 2 z z zx k x k X z X z

zz z z> � : �

�� <�

in Übereinstimmung mit dem Ergebnis unter a)


Die ZT der Folge � �1[ ] 1x k kk4� � ergibt

� � 20 1

1 1 1 1 1( ) 1 . . . . . . .2

kk n

k kX z k z

k zk z z nz4

�

� ��

:� �

Diese Potenzreihe entspricht der Reihenentwicklung von

21 1 1 1 1ln( ) . . . . . .

2

nx x xxx x n x� � �( % ( % ( %� � � � �& # & # & #

' $ ' $ ' $ , gültig für x > 1/2

Setze 1

zxz

��

dann gilt

21 1 1ln . . . . . .

1 2 nz

z z z nz( % � � � � �& #�' $

für | z | > 1

Wir erhalten die Korrespondenz � �1 1 ln1

zkk z4 ( %� & #�' $

�<�

Lösung 5.6

a) X(z) ist eine unecht gebrochen rationale Funktion, da der Zählergrad gleich dem Nennergrad entspricht. Durch Polynomdivision reduzieren wir den Zählergrad um eins:

2 22

3 12 23 1 : ( ) 1 1 ( )2 2 3 1

2 2

zz z z R z

z z

��

� �

Bei dem Restglied R(z) handelt es sich um eine echt gebrochen rationale Funktion, die durch Aufsuchen der Nullstellen des Nenners in die Produktform umgewandelt wird. Anschließend führen wir eine Partialbruchzerlegung durch:

3 1 122 2 2( ) 1 1( 1)( 1)( ) ( )2 2

zR z

zz z z

��

��

Die Bildfunktion X(z) hat nun folgende Darstellung: 12

12

2( ) 1 ( ) 1( 1) ( )

X z R zz z

� � � � ��

Gliedweise Rücktransformation nach der ZT-Tabelle ergibt

) * ) *11 1 1( ) [ ] [ ] 2 [ 1] [ 1] 2 [ ]2 2 2 k k

X z x k k k k k� ( %� � : � � � � � :& #

' $<�� 6 4 4 4

wobei die Identität [ ] [ ] [ 1]k k k4 6 4� � � verwendet wurde.

b) X(z) kann in eleganter Weise auch durch Anwendung des Faltungssatzes zurück transfor-miert werden.

Es gilt 2

2( ) 13 1 ( 1) ( )22 2

z z zX zz zz z

� � :� ��

.


Mit den Korrespondenzen ) *1 [ ]1 22

kz kz

4�

<�� und [ ]1

z kz

4�

<�� ergibt sich mit dem

Faltungsprodukt

) * ) * ) *0 0

1 1 1( ) [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]1 2 2 2( 1)( )2

kk i i

i i

z zX z x k k k i k izz

4 4 4 4

� �� : � > � : � �

��<� � ��

Die Summe über i ist eine endliche, geometrische Reihe mit q = ½ und dem Ergebnis

) * ) * ) *1

0

11 21 1[ ] 212 21 2

kk i k

ix k

�

�

��

�� für k � 0,

oder gleichwertig in anderer Schreibweise

) *1[ ] 2 [ ]2k

x k k4( %� �& #' $

Lösung 5.7 Dem Übertragungsverhalten entnimmt man die Korrespondenz

( ) [ ] [ ] kY z y k c x k�<��

Linearität: Sei 1 2[ ] [ ] [ ]x k ax k bx k� � . Dann folgt

) *1 2 1 2 1 2[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]k k k ky k c x k c ax k bx k ac x k bc x k ay k by k� � � � � � � Linearität erfüllt

Zeitinvarianz: Sei '[ ] [ ]x k x k i� � . Dann folgt

'[ ] '[ ] [ ] [ ]k ky k c x k c x k i y k i� � � � �

Es müsste sich ergeben '[ ] [ ] [ ]k iy k c x k i y k i�� Die Zeitinvarianz ist nicht erfüllt. Das System ist kein diskretes LTI-System

Lösung 5.8 Die Impulsantwort [ ] [ ]kg k a k� 4 hat als Übertragungsfunktion ( ) zG zz a

��

.

Umformung 11( )

1zG z

z a az��

� �.

Wir erhalten ein rückgekoppeltes System aus G1(z) =1 und 1

2( )G z az�� , d. h. einem Verzögerungsglied mit dem Verstärkungsfaktor a in Mitkopplung. Blockdiagramm für G(z)

X(z)

z –1

DY(z)

a


a) Das Gesamtsystem besteht aus einem rückgekoppelten System G1(z) und G2(z), das mit G3(z) parallel geschaltet ist.

Für das rückgekoppelte System aus G1(z) und G2(z) gilt: 1

1 2

( )( )1 ( ) ( )R

G zG zG z G z

��

Die Parallelschaltung mit G3(z) ergibt 1

3 31 2

( )( ) ( ) ( ) ( )1 ( ) ( )R

G zG z G z G z G zG z G z

� � � ��

Mit den angegebenen Funktionen der Teilsysteme erhält man

) *2 2 2( / 2)( / 2)( )

3 / 21

( / 2) ( / 2)

a a

zz z z a zz aG z

z e z za a z eazz a z z a

� ��

� � � �� :

� �

b) Die Impulsantwort ergibt sich aus 1[ ] ( )g k G z�� 2 3� Eine geeignete Korrespondenz für den 1. Term von G(z) ist

) *2 2

cos( )cos( ) [ ]

2 cos( ) k z z a T

a kT kz za T a

�

� ��<� �

� 4�

Setze �T = p/3 dann gilt: 2 2( / 2) cos( ) [ ]3 kz z a a k k

z za a� 4�

� �<��

Für den 2. Term gilt die Korrespondenz [ ] aka

z e kz e

4��

<��

Damit erhält man für die Impulsantwort ) *[ ] cos( ) [ ]3k akg k a k e k� 4��

c) Für den PN-Plan suchen wir die Pol- und Nullstellen von G(z).

Für 1a � gilt: 2 1( 1/ 2)( )

1z z zG zz z z e�

��

� � �

Die Nullstellen des Zählers sind: 1 0Nz � und 2 1/ 2Nz �

Die Nullstellen des Nenners sind die Pole von G(z): 2

1 21 1 1 11=0 3, 32 2 2 2P Pz z z j z j� � + � � � �

1 130 0,368Pz e z e� �� + � �

PN-Plan d) Sämtliche Polstellen des Systems liegen für 1a � im Inneren des Einheitskreises. Das System ist stabil.

–1 1 Re(z)

Im(z)

0,5

6.2 Eigenschaften der Deltafunktion 223

6.2 Eigenschaften der Deltafunktion

1. 00

0

für( )

0 fürt t

t tt t

6 ��

� � � ��

Definition

2. 00

( ) 1t t dt6

� ��

Normierung

3. 2 3 00 0( ) , 0stt t e t6 �� L Laplace-Transformierte

4a. 0 0 0( ) ( ) ( ) ( )f t t t f t t t6 6� � � Ausblendeigenschaft

4b. 0 00

( ) ( ) ( )f t t t dt f t6

� �� Ausblendeigenschaft

5. 0 0( ) ( )t

t t t t dt4 6�

� � ��

Sprungfunktion

6. ( ) ( )D t t4 6� verallgemeinerte Ableitung der Sprungfunktion

7. 0 0( ) ( )t t t t6 6� � � Symmetrie

8. 1( ) ( )at ta

6 6� Skalierung

9. ( ) ( ) ( )f t t f t6> � Neutralelement der Faltung

10. 0 0( ) ( ) ( )f t t t f t t6> � � � Zeitverschiebung

224 6 Anhang

6.3 Sätze zur Laplace-Transformation

Bei den folgenden Sätzen ist die Gültigkeit der Korrespondenzen

)()( bzw. )()( sFtfsFtf ii << ��

vorausgesetzt.

Additionssatz: ��

<�n

i

n

isFatfa

1ii

1ii )()( �

Verschiebungssatz: 0e)()()( 00ts

sFttttf�<�� 4

Dämpfungssatz: )(e)( asFtf at �<��

Faltungssatz: � <��>t

sFsFdtfftftf0

212121 )()()()()()( �999

Integrationssatz für die Originalfunktion: � <�

tsF

sdf

0

)(1 )( �99

Differentiationssatz für die Originalfunktion:

)0(

)0()0()( )(

)0()0()( )(

)0()()(

)1(

21)(

2

��

��

��

��

�

��<

<

<

�

��

n

nnnn

f

'fsfssFstf

'ffssFst''f

fsFst'f

�

�

�

��

Differentiationssatz für die Bildfunktion 2 3( ) = ( 1) ( )

nn n

nd F s t f t

ds� L

Integrationsssatz für die Bildfunktion ( )( ) =

s

f tF s dst

� .� /� 0� L

6.4 Korrespondenzen der Laplace-Transformation 225

6.4 Korrespondenzen der Laplace-Transformation

A) Einige Bildfunktionen F(s) und ihre zugehörigen Zeitfunktionen )( tf

Nr. F(s) )( tf

1 1 )( t6

2 s1 )( t4

3 )4321( 1 �,,,,nsn �

!)1(

1

�

�

ntn

4 reell)1,>( 1�n

sn )(

1

ntn

=

�

5 s1

t�

1

6 ss1

�t

2

7 ssn1 2

1

!)2(!4

�

�

n

tn

nn

8 as �1

ta�e

9 22 �

�

�s )(sin t�

10 22 ��ss

)(cos t�

11 22 ��

�

sbas )(sin)(cos tbta �

��

226 6 Anhang

Nr. F(s) )( tf

12 22 �

�

�s )(sinh t�

13 22 ��ss )(cosh t�

14 )(

1ass �

) *taa

�� e11

15 ))((1

21 ssss ��

21

21 eess

tsts

��

16 ))(( 21 sssss

��

2121

21 eessss

tsts

��

17 0

0

2 2

2 2

12

0

s s6 �

� 6

� �

� 5

22

0e

ee

)sin(e1

6��

��

6

��

� tt

18 0

0

2 2

2 2

12

0

s s6 �

� 6

� �

� �

20

2e

ee

)sinh(e1

�6�

��

6

��

� tt

19 2)(

1as �

tat

�e

20 2)( as

s�

) * tata

�� e1

21

0

)2(1

220

20

2

5�

��

6�

�6 sss 2 3

220

20

)cos()sin(e11

6��

��6��

6

��

��

�

��

��

�tt

t


Nr. F(s) )( tf

22 0

)2(1

220

20

2

��

��

6�

�6 sss

2 3

20

2

20

)cosh( )(sinhe11

�6�

��6��

6

��

��

�

��

��

�tt

t

23 1( )( )( )

s a s b s c

a b c

� � �

� �

))((e

))((e

))((e

bcac

cbabcabatc

tbta

��

��

��

24 ( )( )( )

ss a s b s c

a b c

� � �

� �

))((e

))((e

))((e

bcacc

cbabb

cabaa

ct

tbta

��

��

��

25 2

( )( )( )

ss a s b s c

a b c

� � �

� �

))((e

))((e

))((e

2

22

bcacc

cbabb

cabaa

tc

tbta

��

��

��

26 )(1

22 ��ss � �)cos(11

2 t��

�

27 )(1

22 ��ss � �1)(cosh1

2 �t��

28 )4(

222

2

�

�

�ss )(sin2 t�

29 )4(

222

22

�

�

�

�

sss

)(cos2 t�

30 222

3

)( �

�

�s

� �)cos()(sin21 ttt ��

228 6 Anhang

Nr. F(s) )( tf

31 222

3

)( �

�

�s � �)(sinh)cos(

21 ttt ��

32 222 )( �

�

�ss

)(sin

21 tt �

33 222 )( �

�

�ss

)(sinh

21 tt �

34 222

2

)( �

�

�ss

� �)cos()(sin

21 ttt ��

35 222

2

)( �

�

�ss

� �)cosh()(sinh

21 ttt ��

36 222

3

)( ��ss

)sin(

2)(cos ttt ��

37 222

3

)( ��ss

)(sinh2

)(cosh ttt ��

38 222

22

)( �

�

�

�

ss

)(cosh tt �

39 #$%

&'(

s�arctan

tt)(sin �

40 ##$

%&&'

(

��

ssln

t

t)(sinh �

41 ##$

%&&'

(��

21ln

asas

t

tata 12 ee��

�

42 ###

$

%

&&&

'

(

�

�21

2

22

2ln

�

�

s

s

t

tt )cos()cos( 21 ��


B) Einige Einzelimpulse, bzw. periodische Zeitfunktionen und ihre Laplace-Transformierten

Nr. )( tf F(s)

1 0

t

t0

A)( tf

� �

��

� 0e1ts

sA

2 0

t

t2t1

A

)( tf

� �

��

�� 21 eetsts

sA

3

tt0A

�A

0

)( tf

2

20

e1��

�

��

�

�

�ts

sA

4

tt1

A

�A0

t2

)( tf

2

2221

ee��

�

��

�

�

��tsts

sA

5 0

t

t0

A

)( tf

2

220

0e112

��

�

��

�

�

�ts

stA

6

0

tA

t2t1

)( tf

2

22212

21

ee12

��

�

��

�

�

�

��tsts

sttA

230 6 Anhang

Nr. )( tf F(s)

7

0

t

t0

A

)( tf

00 ee112o

ts

sA

stA ts �

��

��

�

8

0

tA

t2t1

)( tf

2

21

e

ee1212

ts

stts

sA

sttA

�

��

�

��

��

�

9

0

tA

T

)( tf

Periodische Funktion

2e1

1sTs

A

��

10

0

tA

T

)( tf

��A Periodische Funktion

2

2

e1

e1sT

sT

sA

�

�

�

�

11

Einmalige Sinushalbwelle

��

�

��

�

�

�

�2

22 e1

sT

sA�

�

12

„Einweggleichrichtung“

222

e1

1sTs

A

��

��

�


Nr. )( tf F(s)

13

“Doppelweggleichrichtung“

2

222

e1

e1sT

sT

sA

�

�

�

�

��

�

14

0

tA

T 2T

)( tf

2

22

e1

e112sT

sT

sTA

�

�

�

�

15

0

t

A

T 2T

)( tf

„Sägezahnkurve“

� �sT

sTsTTs

A�

�

�

��

e1e11

2

16

0

t

A

TTM

)( tf

sT

sT

TsA

�

�

�

��

�

��

�

�

e1

e12

2

2

2

M

M

17

0

tA

TTM

)( tf

� �sT

sT

TsTs

A�

�

�

��

e1e

2MMM

232 6 Anhang

6.5 Sätze zur z-Transformation

Voraussetzung: � �x k ist eine kausale, diskrete Zeitfolge und � �2 3 ( )Z x k X z� existiert

Additionssatz (Linearität): � � � �1 2 1 2( ) ( )ax k bx k a X z bx z� �< ��

Verschiebungssatz: � � ( )ix k i z X z�� <�

Dämpfungssatz: � �k za x k Xa

( %� < & #' $

�

Multiplikationssatz � � ( )dk x k z X zdz

: � < ��

Faltungssatz � � � �1 2 1 2( ) ( )x k x k X z X z> � < :�

Differenzenbildung � � � � 11 ( )zx k x k X zz�

� � �<�

Summenbildung � �0

( )1

k

i

zx i X zz�

�<��

6.6 Korrespondenzen der z-Transformation Sämtliche Formeln sind nur für die zulässigen Definitionsmengen zu verstehen.

Nr. x[k] X(z)

1 6[k] 1

2 6[k – i] iz�

3 4[k] 1z

z�

4 4[k – i] izzz

�:�E

5 [ ]k k4: (z

z ,�E*

6 2 [ ]k k4: ( 1)

(z zz -�

�E*

6.6 Korrespondenzen der z-Transformation 233

Nr. x[k] X(z)

7 [ ]ake k4� : az

z e��

8 [ ]akke k4� : 2)(aa

zez e

��

9 [ ]ka k4: z

z a�

10 [ ]ka k4�E : �E 1

z a�

11 [ ]kka k4: ( )za

z a ,�

12 [ ]kka k4E� : ( )z

z a ,�

13 ( [ ]kk a k4�E�E* : �E 1

( )z a ,�

14 2 [ ]kk a k4 3( )

( )az z a

z a�

�

15 [ ]k ika k i

i4�( %

�& #' $

1( )iz

z a ��

16 ) *1 1

[ ] k ka b

k a ba b

4� ��

��

2

( )( )z

z a z b� �

17 � � � �1 1k kk4 4� : ln

1z

z( %& #�' $

18 sin( ) [ ]kT k� 4: 2 1sin( )

2 cos( )z T

z z T��

19 cos( ) [ ]kT k� 4: 2]

1[ cos( )2 cos( )

z z Tz z T

��

��

20 sin( ) [ ]ka kT k� 4: 2 2sin( )

2 cos( )za T

z za T a��

21 cos( ) [ ]ka kT k� 4: 2 2[ cos( )]2 cos( )

z z a Tz za T a

��

�

� �

22 [ ]Nrect k 1Nz z

z�

��

234 6 Anhang

6.7 Literatur

[ 1 ] Ameling, W.: Laplace-Transformation, 3. durchges. Aufl. Düsseldorf 1990

[ 2 ] Brauch, W. / Dreyer, H.-J. / Haacke, W.: Mathematik für Ingenieure des Maschi-nenbaus und der Elektrotechnik, 11. Aufl. Wiesbaden 2006

[ 3 ] Braun, A.: Grundlagen der Regelungstechnik, Leipzig 2005

[ 4 ] Doetsch, G.: Einführung in die Theorie und Anwendung der Laplace- Transforma-tion, 3. Aufl. Basel 1976

[ 5 ] Doetsch, G.: Anleitung zum praktischen Gebrauch der Laplace-Transformation und der Z-Transformation, 5. Aufl. München 1985

[ 6 ] Föllinger, O / Kluwe, M.: Laplace-, Fourier- und z-Transformation, 9. Aufl. Heidelberg 2007

[ 7 ] Frey, Th. / Bossert, M.: Signal und Systemtheorie, 2. Aufl. Wiesbaden 2008

[ 8 ] Girod, B. / Rabenstein, R. /Stenger, A.: Einführung in die Systemtheorie, 4. Aufl. Wiesbaden 2007

[ 9 ] Mildenberger, O.: Übertragungstechnik, Braunschweig 1997

[ 10 ] Müller-Wichards, D.: Transformationen und Signale, Teubner 1999

[ 11 ] Papula, L.: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler, Bd. 2, 10. Aufl. Braunschweig 2001

[ 12 ] Scheithauer, R.: Signale und Systeme, 2. Aufl. Wiesbaden 2004

[ 13 ] Schumny, H.: Signalübertragung, 2. Aufl. Braunschweig 1987

[ 14 ] Unger, J.: Einführung in die Regelungstechnik, 3. Aufl. Wiesbaden 2004

[ 15 ] Weißgerber, W.: Elektrotechnik für Ingenieure, Bd. 3, 4. korrigierte Aufl. Braun-schweig 2008

[ 16 ] Werner, M.: Signale und Systeme, 3. Aufl. Braunschweig 2008

Sachwortverzeichnis

Ableitung, verallgemeinerte 59, 91

Abtastfolge 186 Abtastintervall 178 Abtastverzögerung 188 Additionssatz 45 Additionsstelle 162, 167, 174 Amplitudenspektrum 7 Anfangswertsatz 94 Blockdiagramm 167, 201 Cauchy´sche Integralformeln 32 Cauchy´scher Integralsatz 31 Dämpfungsgrad 112 Dämpfungssatz 59 Deltafunktion 55 Differentialgleichungen

� gewöhnliche mit konstanten Koeffizienten 102 � Systeme von 109

Differenzengleichungen 193 Dimension der Laplace-Trans- formierten 27 Dirac´sche Deltafunktion 55 Dirichlet´sche Bedingung 2 Duhamel´sches Integral 134

Eindeutigkeitssatz 30 Elementare Übertragungsglieder 164 Endwertsatz 95

Faltungssatz 76 Fourierintegral 15

� in der komplexen Form 17 � in der reellen Form 18 � Übersicht 19, 20

Fourierreihe � reelle Fourierreihe 1 � komplexe Fourierreihe 10

Fouriertransformation 15, 22 Frequenzgang 146, 197 Funktion, reguläre 31

Gammafunktion 44 Gegenkopplung 163 Gewichtsfunktion 132

Impedanzwandler 160 Impulsantwort 132, 195 Integralsinus 82 Integrationssatz

� für die Bildfunktion 99 � für die Originalfunktion 83

inverse Laplace-Transformation 29

Kausale Zeitfunktion 26 Komplexe Fourierreihe 10 Komplexe Umkehrformel 29 Konvergenzabszisse 27 Korrespondenz 40

Mitkopplung 163

H. Weber, H. Ulrich, Laplace-, Fourierund z-Transformation, DOI 10.1007/978-3-8348-8291-2,© Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2012

236 Sachwortverzeichnis

Netzwerkgleichung 167

Parallelschaltung 162, 202 Partialbruchzerlegung 62 Pol n-ter Ordnung 33 Pol-Nullstellen-Plan

� einer echt gebrochen rationalen Bildfunktion 73

� einer Übertragungsfunktion 143 � einer z-Übertragungsfunktion 199

periodische Zeitfunktion 49

RCL-Netzwerke 116 Reihenentwicklung der Bildfunktion 79 Reihenschaltung 159, 201 Residuum 34 Residuensatz 34 Rückgekoppelte Systeme 163, 202 Rücktransformation 29, 190 Signalanalyse 169 Signalfolgen 181 Spektralfunktion 16 Sprungantwort 132 Stabilisierung durch Rückkoppelung 172 Stabilität 145, 198 Symbolischer Widerstand 118 Systemanalyse 169 Systemfunktion 194 Systeme von Differentialgleichungen 109

Trennverstärker 159

Übertragungsfunktion 132, 194 Übertragungsglieder, elementare 164

Verallgemeinerte Ableitung 59, 91 Versetzen von Strukturelementen 174 Verschiebungssatz 48 Verzweigungsstelle 175

Zeitinvariantes Übertragungsglied 131 Zeitfunktion, kausale 31 z-Transformation 178 z-Übertragungsfunktion 194

Laplace-, Fourier- und z-Transformation: Grundlagen und Anwendungen f¼r Ingenieure und...

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