25.10.2004Kirsten Klasen1 Karten II Darstellung diskreter Phänomene.
Martingale in diskreter Zeit || Stoppzeiten und lokale Martingale
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Kapitel 2Stoppzeiten und lokale Martingale
Für die Modellierung stochastischer Systeme ist es wesentlich, Prozesse nicht nurfür feste oder „deterministische“ Zeitpunkte n 2 T zu betrachten, sondern für zu-fällige Zeiten. In diesem Kapitel werden wir dies präzisieren.
Seien .˝;F ; P / ein Wahrscheinlichkeitsraum, T D Œ˛; ˇ� \ Z ein Z-Intervallund F D .Fn/n2T eine Filtration in F . Für n 2 T seien Tn WD fj 2 T W j � ngund T n WD fj 2 T W j � ng.
2.1 Stoppzeiten und gestoppte Prozesse
Eine Abbildung � W ˝ ! T [ f˛; 1g heißt Zufallszeit, falls � F -messbar ist.Bei ˛ > �1 gilt natürlich T [ f˛; 1g D T [ f1g. Mit dem Wert C1 berück-sichtigen wir den Fall, dass der durch � beschriebene Zeitpunkt nie eintritt. Falls˛ D �1, erfasst der Wert �1 den (ziemlich uninteressanten) Fall, dass der durch� beschriebene Zeitpunkt immer wieder eintritt, also „das Spiel gar nicht beginnt“.
Bei der durch F gegebenen Informationsstruktur ist es entscheidend, dass auf-grund der Information Fn zur Zeit n bekannt ist, ob � � n wahr ist oder nicht. Fn
ist dabei die �-Algebra der Ereignisse vor n oder der n-Vergangenheit.
Definition 2.1
(a) Eine Abbildung � W ˝ ! T [ f˛; 1g heißt F-Stoppzeit, falls
f� � ng 2 Fn
für alle n 2 T . Eine F-Stoppzeit � heißt einfach, falls �.˝/ eine endlicheTeilmenge von T ist.
(b) Für eine F-Stoppzeit � heißt
F� WD fF 2 Fˇ W F \ f� � ng 2 Fn für alle n 2 T g� -Algebra der �-Vergangenheit.
H. Luschgy, Martingale in diskreter Zeit, Springer-Lehrbuch Masterclass, 35DOI 10.1007/978-3-642-29961-2_2, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2013
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36 2 Stoppzeiten und lokale Martingale
Das Mengensystem F� ist in der Tat eine �-Algebra, weil aus
F c \ f� � ng D f� � ng n .F \ f� � ng/die Komplementstabilität von F� folgt, und ˝ 2 F� sowie die abzählbare Vereini-gungsstabilität wegen
� 1[j D1
Fj
�\ f� � ng D
1[j D1
.Fj \ f� � ng/
gelten. Eine Stoppzeit ist F -messbar und damit eine Zufallszeit.Die Abhängigkeit des Konzepts der Stoppzeit von der Filtration F wird häufig
nicht mehr angegeben. Man beachte ferner die (nicht explizit angegebene) Abhän-gigkeit der �-Algebra F� von der Filtration.
Nützlich sind die folgenden Charakterisierungen. Im Fall ˇ < 1 sei
F1 WD Fˇ :
Lemma 2.2
(a) Eine Abbildung � W ˝ ! T [ f˛; 1g ist genau dann eine Stoppzeit, wenn
f� D ng 2 Fn
für alle n 2 T [ f˛g gilt, und dann gilt auch f� D 1g 2 Fˇ .(b) Für eine Stoppzeit � gilt
F� D fF � ˝ W F \ f� � ng 2 Fn für alle n 2 T [ f1ggD fF � ˝ W F \ f� D ng 2 Fn für alle n 2 T [ f˛; 1ggD fF 2 Fˇ W F \ f� D ng 2 Fn für alle n 2 T [ f˛gg:
Die beiden letzten Gleichungen in (b) verdeutlichen die wahrscheinlichkeitstheo-retische Idee, dass ein Ereignis F vor � oder in der �-Vergangenheit passiert, wennman zur Zeit � weiß, ob F eingetreten ist.
Beweis (a) Ist � eine Stoppzeit, so gilt für n 2 T
f� D ng D f� � ng n f� � n � 1g 2 Fn;
und im Fall ˛ D �1 gilt
f� D �1g D\
j 2Tm
f� � j g 2 Fm
für alle m 2 T , also f� D �1g 2 Tm2T Fm D F�1. Es folgt dann auch
f� D 1g D\j 2T
f� > j g D\j 2T
f� � j gc 2 Fˇ :
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2.1 Stoppzeiten und gestoppte Prozesse 37
Gilt umgekehrt f� D ng 2 Fn für alle n 2 T [ f˛g, so folgt
f� � ng D[
j 2Tn[f˛gf� D j g 2 Fn
für alle n 2 T , also ist � eine Stoppzeit.(b) Für F 2 F� gilt F \ f� � 1g D F 2 Fˇ und somit F \ f� � ng 2 Fn für
alle n 2 T [ f1g.Für F � ˝ mit F \f� � ng 2 Fn für alle n 2 T [f1g gilt F D F \f� � 1g 2
Fˇ und für n 2 T
F \ f� D ng D .F \ f� � ng/ n .F \ f� � n � 1g/ 2 Fn:
Falls ˛ D �1, gilt
F \ f� D �1g D\
j 2Tm
F \ f� � j g 2 Fm
für alle m 2 T , also
F \ f� D �1g 2 F�1:
Damit gilt auch
F \ f� D 1g D F n .F \ f� < 1g/ D F n� [
j 2T [f˛gF \ f� D j g
�2 Fˇ ;
also F \ f� D ng 2 Fn für alle n 2 T [ f˛; 1g.Für F � ˝ mit F \ f� D ng 2 Fn für alle n 2 T [ f˛; 1g gilt
F D[
n2T [f˛;1gF \ f� D ng 2 Fˇ :
Für F 2 Fˇ mit F \ f� D ng 2 Fn für alle n 2 T [ f˛g gilt
F \ f� � ng D[
j 2Tn[f˛gF \ f� D j g 2 Fn
für alle n 2 T und damit F 2 F� . utDie beiden folgenden Resultate enthalten die zentralen Eigenschaften von Stopp-
zeiten und den assoziierten �-Algebren.
Satz 2.3 (Stoppzeiten) Seien � , � und �1; �2; : : : Stoppzeiten.
(a) Für m 2 T [ f˛; 1g ist � WD m eine Stoppzeit und F� D Fm.(b) � ist F� -messbar.(c) � ^ � ist eine Stoppzeit und F�^� D F� \F� . Insbesondere gilt F� � F� , falls
� � � überall auf ˝ . Ferner ist infk�1 �k eine Stoppzeit.(d) � _ � ist eine Stoppzeit und F�_� D �.F� [ F� / Ferner ist supk�1 �k eine
Stoppzeit.(e) � C � ist eine Stoppzeit, falls ˛ � 0 und ˇ D 1.(f) Für F 2 F�^� ist �1F C�1F c eine Stoppzeit mit � ^� � �1F C�1F c � � _�
überall auf ˝ .
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38 2 Stoppzeiten und lokale Martingale
Beweis (a) Da f� � ng D ; für n < m und f� � ng D ˝ für n � m; n 2 T , ist� eine Stoppzeit, und wegen F \ f� D ng D ; für n 6D m, n 2 T [ f˛; 1g undF \ f� D mg D F gilt mit 2.2 F� D Fm.
(b) Für B � R und n 2 T [ f˛; 1g gilt f� 2 Bg \ f� D ng D f� D ng, fallsn 2 B und f� 2 Bg \ f� D ng D ;, falls n … B , also f� 2 Bg 2 F� nach 2.2. Esfolgt die F� -Messbarkeit von � .
(c) Wegen
f� ^ � � ng D f� � ng [ f� � ng 2 Fn
für alle n 2 T ist � ^ � eine Stoppzeit. Für F 2 F�^� und n 2 T gilt
F \ f� � ng D F \ f� ^ � � ng \ f� � ng 2 Fn;
was F 2 F� impliziert. Durch Rollentausch von � und � folgt auch F 2 F� , alsoF 2 F� \ F� . Umgekehrt gilt für F 2 F� \ F� und n 2 T
F \ f� ^ � � ng D .F \ f� � ng/ [ .F \ f� � ng/ 2 Fn;
also F 2 F�^� .Gilt � � � überall auf ˝ , so folgt
F� D F�^� D F� \ F� � F� :
Ferner ist infk�1 �k eine Stoppzeit wegen
f infk�1
�k � ng D1[
kD1
f�k � ng 2 Fn
für alle n 2 T .(d) Wegen
f� _ � � ng D f� � ng \ f� � ng 2 Fn
für alle n 2 T ist � _ � eine Stoppzeit. Nach (c) gilt F� [ F� � F�_� , also�.F� [F� / � F�_� . Andererseits gilt für F 2 F�_� und n 2 T [ f˛; 1g nach 2.2
F \ f� � �g \ f� D ng D F \ f� � ng \ f� D ngD F \ f� _ � D ng \ f� D ng 2 Fn
und durch Rollentausch
F \ f� � �g \ f� D ng 2 Fn:
Es folgt mit 2.2(b), dass F \ f� � �g 2 F� und F \ f� � �g 2 F� , also
F D .F \ f� � �g/ [ .F \ f� � �g/ 2 �.F� [ F� /:
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2.1 Stoppzeiten und gestoppte Prozesse 39
Ferner ist supk�1 �k eine Stoppzeit wegen
fsupk�1
�k � ng D1\
kD1
f�k � ng 2 Fn
für alle n 2 T .(e) Wegen der Voraussetzungen an ˛ und ˇ ist .T; C/ eine Halbgruppe. Daher
gilt .� C �/.˝/ � T [ f1g und wegen
f� C � D ng D[
j 2Tn
f� D n � j g \ f� D j g 2 Fn
für alle n 2 T ist � C � nach 2.2(a) eine Stoppzeit.(f) Für � WD �1F C �1F c und n 2 T gilt wegen F�^� D F� \ F�
f� � ng D .f� � ng \ F / [ .f� � ng \ F c/ 2 Fn;
also ist � eine Stoppzeit. utFür Unter-�-Algebren G und H von F bedeutet die Relation G � H f.s., dass
für jede Menge G 2 G eine Menge H 2 H mit G D H f.s., also P.G�H/ D 0
existiert.
Lemma 2.4 Seien � und � Stoppzeiten.
(a) f� � �g; f� D �g 2 F�^� , F� \ f� � �g D F�^� \ f� � �g und F� \f� D �g D F� \ f� D �g.
(b) Aus � � � f.s. folgt F� � F� f.s.(c) Für eine quasiintegrierbare Zufallsvariable U W .˝;F/ ! .R;B.R// und n 2
T [ f˛; 1g gelten
E.U jF� / D E.U jFn/ auf f� D ng
und
E.E.U jF�/jF� / D E.U jF�^�/:
Gilt � � � f.s., so folgt die zweite Gleichung von 2.4(c) wegen (b) und A.12(a),(b) aus der Turmeigenschaft. Es ist bemerkenswert, dass diese Gleichung für belie-bige Stoppzeiten richtig ist. Die erste Gleichung von 2.4(c) bedeutet
E.U jF� / DX
n2T [f˛;1gE.U jFn/1f�Dng:
Sie wird in 2.7 noch verallgemeinert.
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40 2 Stoppzeiten und lokale Martingale
Beweis (a) Für F 2 F� und n 2 T [ f˛; 1g gilt
F \ f� � �g \ f� ^ � D ng D F \ f� D ng \ f� � ng 2 Fn
nach 2.2(b). Also gilt F \ f� � �g 2 F�^� wieder nach 2.2(b) und für F D ˝
folgt f� � �g 2 F�^� , also auch f� D �g D f� � �g \ f� � �g 2 F�^� . Damithaben wir F� \ f� � �g � F�^� \ f� � �g gezeigt, und die umgekehrte Inklusionfür die Spur-�-Algebra folgt aus F�^� � F� . Der letzte Teil folgt aus dem zweiten:
F� \ f� D �g D F� \ f� � �g \ f� � �gD F�^� \ f� � �g \ f� � �gD F�^� \ f� D �g
und durch Rollentausch
F� \ f� D �g D F�^� \ f� D �g:(b) Für F 2 F� und A WD f� � �g gilt F D F \ A f.s. wegen P.A/ D 1 und
nach (a) und 2.3(c) gilt F \ A 2 F� . Es folgt F� � F� f.s.(c) Nach (a) und 2.3(a), (c) gelten f� D ng 2 F�^n D F� \ Fn und
F� \ f� D ng D Fn \ f� D ng. Damit folgt die erste Gleichung aus der Lo-kalisierungseigenschaft A.12(c).
Nach (a) und 2.3(c) gelten f� � �g 2 F�^� D F� \ F� und F� \ f� � �g DF�^� \ f� � �g und die Lokalisierungseigenschaft A.12(c) liefert
E.U jF�/ D E.U jF�^�/ auf f� � �g:Damit folgt wieder mit der Lokalisierungseigenschaft
E.E.U jF�/jF� / D E.E.U jF�^�/jF� / D E.U jF�^�/ auf f� � �g:Ferner gilt wegen f� � �g 2 F�^� und F� \ f� � �g D F�^� \ f� � �g mit derLokalisierungseigenschaft und der Turmeigenschaft
E.E.U jF�/jF� / D E.E.U jF� /jF�^�/ D E.U jF�^�/ auf f� � �g: ut
Wichtige Beispiele für Stoppzeiten sind Eintrittszeiten adaptierter Prozesse.
Beispiel 2.5 Seien X ein adaptierter .X ;A/-wertiger Prozess, B 2 A und
�B WD inffn 2 T W Xn 2 Bgmit inf ; WD 1. Dann ist �B wegen
f�B � ng D[
j 2Tn
fXj 2 Bg 2 Fn
für alle n 2 T eine Stoppzeit. Diese Stoppzeit heißt erste Eintrittszeit von X
in B . Im Fall ˇ < 1 geht man häufig zu der Stoppzeit �B ^ ˇ über. Wegen
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2.1 Stoppzeiten und gestoppte Prozesse 41
f�B ^ ˇ D ˇg D f�B D 1g [ f�B D ˇg liefert �B ^ ˇ D ˇ allerdings keineInformation darüber, ob das Ereignis fXn 2 Bg erstmals zur Zeit n D ˇ oder garnicht eingetreten ist. Daher ist es manchmal bequemer, den Wert C1 zuzulassen.
Sei nun � eine Stoppzeit und
�B.�/ WD inffn 2 T W n > � und Xn 2 Bg:
Wegen
f�B.�/ � ng D[
j 2Tn
f� < j g \ fXj 2 Bg 2 Fn
für alle n 2 T ist auch �B.�/ eine Stoppzeit. Ist beispielsweise � D �B , dann ist�B.�/ die zweite Eintrittszeit von X in B oder die erste Rückkehrzeit.
Ist X vorhersehbar, so ist
� WD inffn 2 T W n < ˇ und XnC1 2 Bg
eine Stoppzeit. Wegen f� D ˇg D ; im Fall ˇ < 1 bedeutet hier der Übergang zuder Stoppzeit � ^ ˇ keinen Informationsverlust.
Wenn X reell ist und den Kurs einer Aktie beschreibt, betrachte man zur weiterenVerdeutlichung die Strategie, die Aktie beim Minimalstand des Kurses im ZeitraumT D Œ0; ˇ� \ Z; ˇ < 1 zu kaufen, also zum Zeitpunkt
� WD inffn 2 T W Xn D minj 2T
Xj g:
Dann ist � eine Zufallszeit, aber in der Regel keine Stoppzeit, da
f� � ng D fminj 2Tn
Xj D minj 2T
Xj g … Fn
für n < ˇ.
Die Beobachtung von Prozessen an zufälligen Zeiten wird folgendermaßen prä-zisiert.
Definition 2.6 Seien X D .Xn/n2T ein .X ;A/-wertiger Prozess und � eine Zu-fallszeit.
(a) X� W f� 2 T g ! X mit X�.!/ WD X�.!/.!/ heißt Zustand des Prozesses zurZeit �.
(b) X � D .X �n/n2T mit X �
n W f� > �1g ! X ; X �n WD X�^n heißt der zur Zeit �
gestoppte Prozess X .(c) Es wird stets angenommen, dass X� und X � durch .X ;A/-wertige Zufallsva-
riablen X1 und X�1 auf f� D 1g beziehungsweise f� D �1g fortgesetztsind. Ist X adaptiert, werden X˙1 als F˙1-messbar angenommen. Im Fallˇ < 1 sei stets X1 WD Xˇ gewählt.
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42 2 Stoppzeiten und lokale Martingale
Es gilt demnach lokal für n 2 T [ f˛; 1gX� D Xn auf f� D ng:
Besondere Spezifikationen von X1 und X�1 werden jeweils explizit angegeben,wobei X�1 bei ˛ > �1 nicht gebraucht wird. Dieses Problem entfällt, wennP.� 2 T / D 1.
Im Fall ˇ < 1 spielt der mögliche Wert � D 1 für das Stoppen von Prozessenkeine Rolle: Es gilt X � D X �^ˇ .
Für reelle Prozesse X gilt X �n ! X� überall auf f� < 1g für n ! ˇ. Im Fall
ˇ < 1 bedeutet diese „rechte Randbedingung“ gestoppter Prozesse X �ˇ
D X� auff� < 1g.
Lemma 2.7 Seien X D .Xn/n2T ein .X ;A/-wertiger Prozess, .Un/n2T [f˛;1geine Folge von .R;B.R//-wertigen Zufallsvariablen und � eine Zufallszeit.
(a) X� ist F -messbar.(b) X� ist F� -messbar und X � ist adaptiert, falls X adaptiert und � eine Stoppzeit
ist.(c) Sind Un für alle n 2 T [ f˛; 1g quasiintegrierbar, � eine Stoppzeit und U�
quasiintegrierbar, so gilt für n 2 T [ f˛; 1gE.U� jF� / D E.UnjFn/ auf f� D ng:
Beweis (a) Für B 2 A gilt
fX� 2 Bg D[
n2T [f˛;1g.fX� 2 Bg \ f� D ng/
D[
n2T [f˛;1g.fXn 2 Bg \ f� D ng/ 2 F :
(b) Mit 2.2(a) gilt für B 2 A und alle n 2 T [ f˛; 1gfX� 2 Bg \ f� D ng D fXn 2 Bg \ f� D ng 2 Fn:
Aus 2.2(b) folgt fX� 2 Bg 2 F� und damit ist X� bezüglich F� messbar. Insbeson-dere ist danach X �
n bezüglich F�^n messbar, und es gilt F�^n � Fn nach 2.3(c).(c) Für n 2 T [ f˛; 1g gilt U� D Un auf f� D ng und ferner nach 2.4(a)
f� D ng 2 F� \ Fn und F� \ f� D ng D Fn \ f� D ng. Daher folgt dieBehauptung aus der Lokalisierungseigenschaft A.12(c). ut
Wir zeigen jetzt, dass die Martingaleigenschaft stopp-stabil ist, und für ˛ > �1sind gestoppte reelle Prozesse X h-Transformierte von X .
Man beachte, dass sich die Zuwächse .�X � /n D X �n �X �
n�1 D X�^n�X�^.n�1/
des gestoppten Prozesses X � von dem gestoppten Prozess der Zuwächse .�X/�n D
.�X/�^n D X�^n � X.�^n/�1 auf f� < ng unterscheiden. Im Folgenden werdennur die Zuwächse gestoppter Prozesse eine Rolle spielen und wir schreiben wieder�X �
n für .�X � /n.
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2.1 Stoppzeiten und gestoppte Prozesse 43
Satz 2.8 Seien X D .Xn/n2T ein adaptierter reeller Prozess und � eine Stoppzeit.
(a) Sei ˛ > �1. Der Prozess H WD .1f��ng/n2T ist vorhersehbar und es gilt
X � D X˛ C H � X:
(b) (Optional stopping) Der gestoppte Prozess X � ist ein Martingal, falls X einMartingal ist und X�11f�D�1g 2 L1. .X � /C ist ein Submartingal, falls X einSubmartingal ist und XC�11f�D�1g 2 L1, und X � ist ein Submartingal (Super-martingal), falls X ein Submartingal (Supermartingal) ist, X�11f�D�1g 2 L1
und X �q 2 L1 für ein q 2 T gilt. Letzteres ist erfüllt, falls infn2T EXn > �1
(supn2T EXn < 1).
Für nach unten beschränkte Stoppzeiten � , also P.� � q/ D 1 für ein q 2 T
gilt X �q D Xq1f��qg 2 L1. Im Allgemeinen ist X � für Submartingale X kein
L1-Prozess und damit kein Submartingal: Seien T D �N0; Xn D n und � eineT -wertige Stoppzeit mit Ej� j D 1. Dann gilt für das gestoppte SubmartingaljX �
n j � j� j, also EjX �n j � Ej� j D 1 für alle n 2 T . (Man wähle etwa � WD �Y ,
wobei Y der ganzzahlige Anteil des Betrages einer Cauchy-verteilten Zufallsvaria-ble ist, und Fn WD F für alle n 2 N0.)
Beweis Nach 2.7(b) ist X � adaptiert. Für n 2 T , n > ˛ gilt X �n � X �
n�1 D 0 auff� � n � 1g und X �
n � X �n�1 D Xn � Xn�1 auf f� � ng, also
�X �n .D .�X � /n/ D 1f��ng�Xn:
Ebenso gilt für die Zuwächse von .X � /C D .XC/�
�.XC/�n D 1f��ng�XC
n :
Insbesondere sind die Prozesse der Zuwächse �X � und �.X � /C L1-Prozesse, fallsX ein L1-Prozess beziehungsweise XC ein L1-Prozess ist.
(a) Sei ˛ > �1. Wegen f� � ng D f� � n � 1gc 2 Fn�1 ist H vorhersehbarund für n 2 T gilt
X �n D X˛ C
nXj D˛C1
�X �j D X˛ C
nXj D˛C1
1f��j g�Xj D X˛ C .H � X/n:
(b) Ist X ein Martingal, so gilt mit Taking out what is known für n 2 T; n > ˛
E.�X �n jFn�1/ D 1f��ngE.�XnjFn�1/ D 0
und falls X ein Submartingal ist, gelten
E.�X �n jFn�1/ � 0 und E.�.X �
n/CjFn�1/ � 0;
da auch XC ein Submartingal ist. Es bleibt zu zeigen, dass X � beziehungsweise.X � /C ein L1-Prozess ist. Für ˛ > �1 folgt dies aus (a). (Dann folgen die Be-hauptungen auch aus 1.9)
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44 2 Stoppzeiten und lokale Martingale
Sei ˛ D �1. Es gilt
X �n D Xn1f�>ng C X�1f�1<��ng C X�11f�D�1g:
Ist X ein Martingal, so ist jX j ein Submartingal, und daher für n 2 T
Z
f�1<��ngjX� jdP D
Xj 2Tn
Z
f�Dj gjXj jdP
�X
j 2Tn
Z
f�Dj gjXnjdP D
Z
f�1<��ngjXnjdP;
also
EjX �n j � EjXnj1f�>�1g C EjX�1j1f�D�1g < 1:
Ist X ein Submartingal, so ist XC ein Submartingal, und man zeigt ebenso
E.X �n/C � EXC
n 1f�>�1g C EXC�11f�D�1g < 1:
Ist X ein Submartingal mit X �q 2 L1, so folgt wegen X �
n D �X �n C X �
n�1 und�X �
n 2 L1 für alle n 2 T mit Rückwärts- und Vorwärtsinduktion, dass X einL1-Prozess ist.
Sei nun X ein Submartingal mit infn2T EXn > �1 und Doob-Zerlegung X DM CA. Dann gilt X � D M � CA� mit der Spezifikation M�1 WD X�1. Wie geradegezeigt, sind M � und A� L1-Prozesse, da M ein Martingal und A ein positivesSubmartingal mit A�1 D 0 ist. Also ist X � ein L1-Prozess. ut
Der Wechsel von einem Martingal zu einem anderen an einem zufälligen Treff-zeitpunkt (Kopplungszeit) stört ebenfalls nicht die Martingaleigenschaft.
Satz 2.9 (Optional switching) Seien Y; Z adaptierte reelle Prozesse, � eine Stopp-zeit und für n 2 T
Xn WD Yn1f�>ng C Zn1f��ng:
Dann ist X ein Martingal, falls Y; Z Martingale mit Y� D Z� auf f� 2 T g\f� > ˛gsind. Ferner ist X ein Submartingal (Supermartingal), falls Y; Z Submartingale(Supermartingale) mit Y� � Z� .Y� � Z� / auf f� 2 T g \ f� > ˛g sind.
Beweis Der Prozess X ist offenbar adaptiert. Sind Y und Z Submartingale, so istX wegen EjXnj � EjYnj C EjZnj < 1 ein L1-Prozess und mit Taking out whatis known gilt für n 2 T; n < ˇ
Xn � E.YnC1jFn/1f�>ng C E.ZnC1jFn/1f��ngD E.YnC11f�>ng C ZnC11f��ngjFn/
D E.YnC11f�>nC1g C YnC11f�DnC1g C ZnC11f��ngjFn/:
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2.1 Stoppzeiten und gestoppte Prozesse 45
Wegen
YnC11f�DnC1g D Y�1f�DnC1g � Z�1f�DnC1g D ZnC11f�DnC1g
folgt
Xn � E.XnC1jFn/;
also ist X ein Submartingal. utFür Martingale Y und Z beispielsweise gilt die Gleichung Y� D Z� auf f� 2 T g
für die erste Eintrittszeit
� D inffn 2 T W Yn D Zng D inffn 2 T W 1fYnDZng D 1gebenso wie für die in 2.5 definierten zweiten, dritten etc. Eintrittszeiten der Ereig-nisse fYn D Zng.
Für gestoppte h-Transformierte, die gestoppte Kovariation und den Kompensatorgestoppter Prozesse erhält man die folgenden Gleichungen.
Lemma 2.10 Seien ˛ > �1, H ein vorhersehbarer reeller Prozess, X; Y adap-tierte reelle Prozesse, � eine Stoppzeit und Kn WD 1f��ng für n 2 T .
(a) H � ist vorhersehbar und .H � X/� D HK � X D H � X � D H � � X � .(b) ŒX; Y �� D ŒK � X; Y � D ŒX � ; Y � D ŒX � ; Y � �.(c) hX; Y i� D hK � X; Y i D hX � ; Y i D hX � ; Y � i; falls X; Y L2-Prozesse sind.(d) Ist X ein L1-Prozess und A der Kompensator von X , so ist A� der Kompensator
von X � .
Beweis (a) Wegen H � D H˛ C K � H nach 2.8(a) ist H � vorhersehbar. Wiedernach 2.8(a) gilt
.H � X/� D K � .H � X/ D KH � X
D H � .K � X/ D H � .X � � X˛/ D H � X �
und wegen KH D KH � auch .H � X/� D H � � X � .(b) Für die Kovariation gilt mit 1.19(a)
ŒX; Y �� D K � ŒX; Y � D ŒK � X; Y � D ŒX � � X˛; Y � D ŒX � ; Y �
und wegen K2 D K
ŒX; Y �� D ŒK � X; K � Y � D ŒX � ; Y � �:
(c) Sind X; Y L2-Prozesse, so sind nach 2.8(a) auch X � ; Y � adaptierte L2-Prozesse, und (c) folgt aus 1.19(b) wie (b).
(d) Nach 1.19(c) ist A� D K � A der Kompensator von X � � X˛ D K � X unddamit auch von X � . ut
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46 2 Stoppzeiten und lokale Martingale
2.2 Reguläre Stoppzeiten und Optional sampling
Wir untersuchen jetzt die Frage, ob die Martingaleigenschaft E.XnjFm/ D Xn^m
bei Beobachtung in Zufallszeitpunkten erhalten bleibt. Während bei Optimal stop-ping und Optional switching die Martingaleigenschaft nicht gestört wird, ist dieses„Optional sampling“ problematischer. Wir benötigen reguläre Stoppzeiten.
Definition 2.11 Sei X D .Xn/n2T ein L1-Prozess. Eine Zufallszeit � heißt regulärfür X , falls .X �
n/n2T q für ein q 2 T gleichgradig integrierbar ist, wobei T q D fn 2T W n � qg.
Ist � regulär für einen L1-Prozess X , so ist der gestoppte Prozess X � insbeson-dere ein L1-Prozess wegen der Integrierbarkeit der Zuwächse �X �
n D 1f��ng�Xn,und daher ist .X �
n/n2T q gleichgradig integrierbar für alle q 2 T .Da die Existenz geeigneter Spezifikationen X1 und X�1 erst in Kap. 4 zur
Verfügung steht, werden wir hier gewisse Endlichkeitsbedingungen für die Zufalls-zeiten fordern. Ein allgemeines Resultat findet man in 4.28.
Satz 2.12 (Optional sampling, Doob) Seien � und � Stoppzeiten mit � < 1 f.s.und � > �1 f.s.
(a) Ist X ein Martingal und � regulär für X , so gelten EjX� j < 1,
E.X� jF�/ D X�^� und EX� D EX�^� 2 R:
Insbesondere gelten
E.X� jF� / D X� und EX� D EX� ;
falls � � � f.s.(b) Ist X ein Submartingal und � regulär für XC, so gelten EXC
� < 1,
E.X� jF�/ � X�^� und 1 > EX� � EX�^� :
Es gilt EjX� j < 1, falls X �q 2 L1 für ein q 2 T .
(c) Ist X ein Supermartingal und � regulär für X�, so gelten EX�� < 1,
E.X� jF� / � X�^� und � 1 < EX� � EX�^� :
Es gilt EjX� j < 1, falls X �q 2 L1 für ein q 2 T .
Beweis (b) Wegen P.� < 1/ D 1 gilt X �k
D Xk1f�>kg C X�1f��kg ! X� f.s. fürk ! ˇ und daher XC
� 2 L1 wegen der Regularität von � für XC. Lemma 2.4(c)liefert wegen P.� > �1/ D 1
E.X� jF�/ DX
n2T [f1gE.X� jFn/1f�Dng:
Es reicht also
E.X� jFn/ � X�^n
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2.2 Reguläre Stoppzeiten und Optional sampling 47
für alle n 2 T [ f1g zu zeigen. Für n D 1 folgt dies aus der F1-Messbarkeitvon X� . Der adaptierte Prozess X � ist nicht notwendigerweise ein L1-Prozess..X � /C ist ein L1-Prozess), verhält sich aber sonst wie ein Submartingal: Fürk 2 T; k < ˇ gilt wegen X �
kC1D X �
kC 1f��kC1g�XkC1 die Submartingalbe-
dingung E.X �kC1
jFk/ � X �k
. Für n 2 T und F 2 Fn folgt wegen der Regularitätvon � für XC mit dem Fatou-Lemma A.5(b)
�1 �Z
F
X �ndP � lim
k!ˇ
Z
F
X �kdP �
Z
F
lim supk!ˇ
X �kdP D
Z
F
X�dP;
was nach den Radon-Nikodym-Ungleichungen X �n � E.X� jFn/ impliziert.
Falls X �q 2 L1, zeigt die Wahl von � als � D q, dass 1 > EX� � EX �
q 2 R,also X� 2 L1.
(c) und (a) folgen aus (b) mit 1.3(a). utNach Teil (a) von 2.12 kann man in einem fairen Spiel keinen Gewinn machen
solange man „regulär“ spielt. Ist etwa ˛ D 0, so gilt für reguläre (f.s. endliche)Stoppzeiten EX� D EX0. Im Fall eines positiven Martingals kann man nach (c)auch „irregulär“ nicht gewinnen, denn dann gilt immer EX� � EX0. Gewinnenkann man also nur, falls X auch negative Werte annimmt, man also (große) Verlustein Kauf nimmt.
Für die Gültigkeit von Optional sampling ist die Regularität der Stoppzeit imWesentlichen auch notwendig. Beispielsweise folgt für Martingale X mit EjX� j <
1 aus Optional sampling E.X� jFn/ D X�^n, also ist X � gleichgradig integrierbarwegen A.15.
Die Regularität von Zufallszeiten lässt sich folgendermaßen charakterisieren.
Lemma 2.13 (Reguläre Zufallszeiten) Sei X D .Xn/n2T ein L1-Prozess. Eine Zu-fallszeit � ist genau dann für X regulär, wenn
(i) EjX� j1f�<1g < 1,(ii) .Xn1f�D1g/n2T q ist für ein q 2 T gleichgradig integrierbar,
(iii) limn!ˇ EjXnj1fn<�<1g D 0,
und diese Bedingungen sind äquivalent zu (i) und
(iv) .Xn1fn<�g/n2T q ist für ein q 2 T gleichgradig integrierbar.
Beweis Die Charakterisierung der Regularität folgt aus der Zerlegung
X �n D Xn1fn<�<1g C Xn1f�D1g C X�1fn��g
für n 2 T . Ist � regulär für X , so gelten (i) und X �n1f�<1g
L1
! X�1f�<1g für n ! ˇ
wegen X �n ! X� überall auf f� < 1g. Es folgt für n ! ˇ
Xn1fn<�<1g D .X� � X �n/1f�<1g
L1
! 0;
also (iii). Die Bedingung (ii) folgt aus jXnj1f�D1g � jX �n j.
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48 2 Stoppzeiten und lokale Martingale
Umgekehrt ist .X�1fn��g/n2T wegen (i) und jX� j1fn��g � jX� j1f�<1g gleich-gradig integrierbar. Wegen (iii) ist .Xn1fn<�<1g/n2T q gleichgradig integrierbar.Zusammen mit (ii) ist damit .X �
n/n2T q gleichgradig integrierbar als Summe drei-er gleichgradig integrierbarer Prozesse.
Wegen Xn1fn<�<1g ! 0 überall auf ˝ für n ! ˇ ist ferner die Bedingung(iii) äquivalent zur gleichgradigen Integrierbarkeit von .Xn1fn<�<1g/n2T q für einq 2 T . Damit ist (iv) eine Konsequenz von (ii) und (iii). Umgekehrt folgen (ii) und(iii) aus (iv) wegen jXnj1f�D1g � jXnj1fn<�g und jXnj1fn<�<1g � jXnj1fn<�g. ut
Falls � < 1 f.s. ist die Bedingung (ii) von 2.13 natürlich erfüllt. Ferner ist �
wegen A.3(d), (e) genau dann für X regulär, wenn � für XC und X� regulär ist.Wir geben noch eine Liste hinreichender Bedingungen für die Regularität von
Zufallszeiten und die L1-Beschränktheit gestoppter Prozesse an.
Lemma 2.14 Seien X D .Xn/n2T ein L1-Prozess und � und � Zufallszeiten
(a) � _ � und � ^ � sind regulär für X , falls � und � regulär für X sind. Ist �
regulär für X und � � � f.s. mit EjX� j1f�<1g < 1, so ist � regulär für X .(b) Ist � beschränkt, also P.q � � � k/ D 1 für q; k 2 T , so ist � regulär für X .(c) Gilt E supn2T [f˛g;n�� jXnj < 1, so ist � regulär für X .(d) Sind X ein Submartingal, XC�11f�D�1g 2 L1 und � eine nach oben beschränk-
te Stoppzeit, also P.� � k/ D 1 für ein k 2 T , so ist � regulär für XC, undfalls infn2T EXn > �1 und X�11f�D�1g 2 L1, ist � regulär für X .
(e) Für jedes q 2 T gelten
EXC� 1f�<1g � sup
n2T q
E.X �n/C und EjX� j1f�<1g � sup
n2T q
EjX �n j:
(f) Sind X ein Submartingal und � eine Stoppzeit, so gilt
supn2T
E.X �n/C � sup
n2T
EXCn C EXC�11f�D�1g
und falls infn2T EXn > �1 und X�11f�D�1g 2 L1, gilt
supn2T
EjX �n j � 2.sup
n2T
EXCn C EXC�11f�D�1g/ � c
mit c WD infn2T EX �n > �1.
Beweis (a) Wegen
jX�_� j1f�_�<1g � jX� j1f�<1g C jX� j1f�<1g
gilt 2.13(i) für � _ � und wegen
jXnj1fn<�_�g � jXnj1fn<�g C jXnj1fn<�g
und A.3(d), (e) gilt 2.13(iv) für � _ � , also ist � _ � regulär für X . Die beidenanderen Behauptungen folgen analog.
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2.2 Reguläre Stoppzeiten und Optional sampling 49
(b) Wegen
jX �n j D
kXj Dq
jXj ^nj1f�Dj g �kX
j Dq
jXj j 2 L1
für n 2 T; n � q istPk
j Dq jXj j eine L1-Majorante von .X �n/n�q und � daher
regulär für X .(c) Hier ist � wegen
jX �n j � sup
j 2T
jX �j j D sup
j 2T [f˛gj ��
jXj j 2 L1
für alle n 2 T regulär für X .(d) Da Xn1fn<�g D 0 für n > k, ist die Bedingung (iv) von 2.13 offenbar für
� und X erfüllt. Ferner gilt XC� D .X �
k/C 2 L1, da .X � /C nach Optional stop-
ping 2.8(b) ein Submartingal und damit insbesondere ein L1-Prozess ist. Also ist� für XC regulär. Gilt infn2T EXn > �1, so ist wieder nach 2.8(b) auch X � einSubmartingal, also X� D X �
k2 L1. Damit folgt die Regularität für X aus 2.13.
(e) Wegen X �n ! X� überall auf f� < 1g für n ! ˇ folgt (e) aus dem Fatou-
Lemma.(f) Die erste Ungleichung ist schon im Beweis von 2.8(b) enthalten. (Falls
� > �1 f.s. folgt diese Abschätzung auch aus Optional sampling, wonach XC�^n �
E.XCn jF�^n/.)
Sind infn2T EXn > �1; X�11f�D�1g 2 L1 und X D M C A die Doob-Zerlegung von X mit der Spezifikation M�1 WD X�1, so gilt X � D M � C A� �M � auf T . Da M � nach 2.8(b) ein Martingal ist, folgt c > �1. Damit folgt diezweite Ungleichung aus der ersten und
EjX �n j D 2E.X �
n/C � EX �n � 2E.X �
n/C � c: utBeispiel 2.15 Seien X D .Xn/n2T ein adaptierter L1-Prozess und X�1 2 L1. Fürdie Stoppzeit (erste Eintrittszeit)
� WD inffn 2 T W jXnj > agmit inf ; WD 1 und a � 0 gilt
f� D 1g D fsupn2T
jXnj � ag und f� > ng D f supj 2Tn
jXj j � ag:
Wegen jXnj1f�>ng � a1f�>ng � a für alle n 2 T ist die Bedingung (iv) von 2.13für X erfüllt. Ist beispielsweise X ein L1-beschränktes Submartingal, so gilt wegen2.14(e), (f) und 1.22 auch (i) von 2.13, also ist � regulär für X .
Für die Stoppzeit
� WD inffn 2 T W Xn > ag
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50 2 Stoppzeiten und lokale Martingale
gilt entsprechend XCn 1f�>ng � a und 2.13(iv) ist für XC erfüllt. Ist X ein Submar-
tingal und XC L1-beschränkt, so folgt wie eben, dass � regulär für XC ist.
Die erwartete Dynamik eines adaptierten L1-Prozesses X mit Doob-ZerlegungX D M C A kann man im Fall ˛ > �1 durch EXn D EX˛ C EAn beschreiben.Wir untersuchen jetzt für Submartingale noch die Frage, ob die Gleichung durchStoppzeiten gestört wird.
Lemma 2.16 Seien ˛ > �1; � eine Stoppzeit mit � < 1 f.s. und X ein posti-ves Submartingal mit Kompensator A. Dann gilt EX� � EX˛ C EA� und fallslimn!ˇ EXn1f�>ng D 0, gilt
EX� D EX˛ C EA� :
Ferner ist � genau dann für X regulär, wenn obige Gleichung und EA� < 1gelten.
Beweis Im Fall ˇ < 1 ist � nach 2.14(b) regulär für X und EX� D EX˛ C EA� .Sei ˇ D 1 und X D M C A die Doob-Zerlegung von X . Nach Optional
stopping ist M � ein Martingal mit M �˛ D X˛ und daher
EX �n D EM �
n C EA�n D EX˛ C EA�
n
für alle n 2 T . Wegen X �n ! X� f.s. und A�
n " A� f.s. für n ! 1 gilt mit demFatou-Lemma und monotoner Konvergenz
EX� � limn!1 EX �
n D EX˛ C EA� :
Ist EX� D 1, so gilt Gleichheit. Gilt EX� < 1, so ist � unter der zusätzlichenVoraussetzung nach 2.13 regulär für X und somit EX� D limn!1 EX �
n . Es folgtGleichheit in obiger Ungleichung für X� .
Da � genau dann für X regulär ist, wenn EX� D limn!1 EX �n < 1, folgt die
letzte Behauptung. utFür ein positives Martingal X .A D 0/ und � < 1 f.s. ist danach schon EX� D
EX˛ gleichbedeutend mit der Regularität von � für X . Außerdem gilt die Gleichungin 2.16 für wachsende Submartingale wegen monotoner Konvergenz.
Von besonderem Interesse ist das positive Submartingal X2 für ein L2-Martin-gal X . Hier lassen sich die Bedingungen von 2.16 abschwächen.
Satz 2.17 Seien ˛ > �1; X ein L2-Martingal und � eine Stoppzeit mit � < 1 f.s.Dann gilt
EX2� D EX2
˛ C EhXi� D EX2˛ C EŒX�� 2 RC [ f1g;
falls limn!ˇ EjXnj1f�>ng D 0.Ferner ist � genau dann für X2 regulär, wenn EhXi� < 1, und dann gelten
obige Gleichungen für EX2� .
Man beachte, dass die obige Voraussetzung die Regularitätsbedingung 2.13(iii)für X und nicht für X2 ist. Letztere wäre wegen der Monotonie der Lp-Halbnormen(in p) eine stärkere Voraussetzung.
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2.2 Reguläre Stoppzeiten und Optional sampling 51
Beweis Zum Nachweis der ersten Gleichung können wir nach 2.16 EX2� < 1
annehmen und außerdem ˇ D 1. Dann gilt auch EjX� j < 1, so dass unter obigerVoraussetzung � wegen 2.13 regulär für das Submartingal jX j ist. Mit Optionalsampling gilt für n 2 T
E.jX� j jFn/ � jX�^njund aus der bedingten Jensen-Ungleichung folgt
E.X2� jFn/ � X2
�^n:
Sei X2 D M C hXi die Doob-Zerlegung von X2. Wegen Optional stopping ist M �
ein Martingal mit Anfangswert M �˛ D M˛ D X2
˛ . Wir erhalten
EX2� D EE.X2
� jFn/ � EX2�^n D EX2
˛ C EhXi�^n:
Damit folgt die erste Gleichung aus 2.16 (angewandt auf das positive Submartin-gal X2).
Weil nach 1.16(a) hXi�ŒX� ein Martingal mit Anfangswert 0 ist, gilt EhXi�^n DEŒX��^n wegen Optional stopping, und mit monotoner Konvergenz folgt
EhXi� D EŒX��
für beliebige Stoppzeiten � . Dies liefert die zweite Gleichung.Ist � regulär für X2, so ist � insbesondere regulär für X , und aus der ersten
Gleichung und EX2� < 1 folgt EhXi� < 1. Gilt andererseits EhXi� < 1, so
folgt für n 2 T
EX2�^n D EX2
˛ C EhXi�^n � EX2˛ C EhXi� < 1:
Daher ist X � L2-beschränkt und somit gleichgradig integrierbar. Damit gilt die ersteGleichung, und die Regularität von � für X2 folgt aus 2.16. ut
In 3.24 werden wir sehen, dass EhXi1=2� < 1 hinreichend für die Regularität
von � für X ist.Satz 2.17 ist eine Martingalversion der sogenannten zweiten Waldschen Glei-
chung.
Beispiel 2.18 (Waldsche Gleichungen, Random walk) Seien T D N0 und Y einF-Random walk, Yn D Pn
j D1 Zj mit Y0 D Z0 D 0 und Z1 2 L1. Wir betrachtendas F-Martingal
Xn WDnX
j D1
Zj � nEZ1; n 2 N0;
also den kompensierten F-Random walk Y , und eine Stoppzeit � mit E� < 1. SeiVn WD Pn
j D1 j�Xj j D Pnj D1 jZj � EZ1j und V D M C A die Doob-Zerlegung
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52 2 Stoppzeiten und lokale Martingale
des Submartingals V mit An D Pnj D1 E.j�Xj j jFj �1/ D nEjZ1 � EZ1j, M0 D
A0 D 0. Mit monotoner Konvergenz und Optional stopping folgt
EV� D EA� D E�EjZ1 � EZ1j < 1;
so dass � nach 2.16 für V regulär ist. Wegen jX j � V ist dann � auch regulär für X ,und aus Optional sampling folgt
0 D EX0 D EX� D E� �X
j D1
Zj � �EZ1
�;
also
E� �X
j D1
Zj
�D E�EZ1:
Das ist die erste Waldsche Gleichung. Man zeigt übrigens genauso, dass � für Y
regulär ist.Eine interessante Konsequenz ist E� D 1 für die Stoppzeit
� WD inffn � 1 W Xn > ag
im Fall EZ1 D 0 und a � 0, denn sonst wäre 0 � a < EX� D E�EZ1 D 0.Allerdings ist � fast sicher endlich, falls P.Z1 6D 0/ > 0, denn nach dem Satz vonChung und Fuchs A.21 gilt dann lim supn!1 Xn D 1 f.s. und damit P.� D 1/ DP.supn2T Xn � a/ D 0. Wegen 2.12 (a) und 0 D EX0 < EX� ist � nicht regulärfür X .
Sei nun zusätzlich Z1 2 L2. Dann ist X ein L2-Martingal mit quadratischerCharakteristik hXin D n Var Z1, also
EhXi� D E� Var Z1 < 1:
Wegen 2.17 gilt EX2� D EhXi� und man erhält die zweite Waldsche Gleichung
E� �X
j D1
Zj � �EZ1
�2 D E� Var Z1;
wobei die linke Seite nicht die Varianz vonP�
j D1 Zj ist (außer im Fall EZ1 D 0
oder � deterministisch).Dieses Beispiel wird in 3.25 fortgesetzt.
Im nächsten Beispiel werden die Waldschen Gleichungen eine Rolle spielen undStoppzeiten auftauchen, die nicht regulär sind.
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2.2 Reguläre Stoppzeiten und Optional sampling 53
Beispiel 2.19 (Glücksspiel) In der Situation von Beispiel 1.10 seien Xn D PniD1 Zi
mit X0 D 0 und p D P.Z1 D C1/ 2 .0; 1/; G D H � X der Gewinnprozess füreine Strategie H , K D K0 C G der Kapitalprozess des Spielers und T D N0.
(a) (Verdopplungsstrategie) Der Spieler setzt in der n-ten Spielrunde 2n�1 Euround beendet das Spiel, wenn er erstmals gewinnt, also zur Zeit
� WD inffn � 1 W Zn D C1g:Die Strategie hat dann die Form Hn WD 2n�11f��ng für n � 1. (Online-Casinosbeschreiben diese Strategie ausführlich unter dem Namen „Martingale System“.)Wegen f� D ng D fZ1 D �1; : : : ; Zn�1 D �1; Zn D C1g gilt P.� D n/ D.1�p/n�1p für n 2 N. Die Stoppzeit � ist also geometrisch verteilt mit E� D 1=p,insbesondere � < 1 f.s. Für den Gewinnprozess gilt auf f� D j g mit 1 � j � n
Gn D Gj DjX
iD1
2i�1Zi Dj �1XiD1
2i�1.�1/ C 2j �1.C1/ D 1;
also Gn D 1 auf f� � ng, und auf f� > ng gilt
Gn D �nX
iD1
2i�1 D 1 � 2n:
Man erhält
Gn D .1 � 2n/1f�>ng C 1f��ng
für n 2 N und insbesondere
G� D 1 f.s. und K� D K0 C 1 f.s.
Der Spieler scheint mit dieser Strategie auch aus einem ungünstigen Spiel im Fallp < 1=2 ein günstiges zu machen. Allerdings ist dazu unbegrenztes Kapital erfor-derlich und daher von der Strategie abzuraten.
Wegen EG� D 1 > EG0 D 0 ist die Stoppzeit � nach Optional sampling2.12(a), (c) im Martingalfall p D 1=2 und im Supermartingalfall p < 1=2 nichtregulär für G oder K . Nur im (echten) Submartingalfall p > 1=2 ist � nach 2.13regulär für G und K , denn
EjGnj1f�>ng D .2n � 1/P.� > n/ D .2n � 1/p
1Xj DnC1
.1 � p/j �1
D .2n � 1/.1 � p/n ! 0 für n ! 1;
und dies ist im Einklang mit 2.12(b). Dabei haben wir für 0 < x < 1 die Gleichung
1Xj DnC1
xj �1 D 1
x
� 1Xj D0
xj �nX
j D0
xj�
D 1
x
�1
1 � x� 1 � xnC1
1 � x
�D xn
1 � x
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54 2 Stoppzeiten und lokale Martingale
benutzt. Wegen G� D G bedeutet die Regularität von � für G die gleichgradigeIntegrierbarkeit von G.
(b) (Gewinn oder Ruin?) Mit einem Einsatz von einem Euro pro Spiel und einemAnfangskapital von y D K0 Euro, y 2 N möchte der Spieler einen Gewinn von z
Euro, z 2 N erzielen und dann das Spiel beenden. Wie groß ist die Wahrscheinlich-keit, dass er vorher sein Kapital verspielt hat, also ruiniert ist, und deshalb das Spielbeenden muss?
Mit der Stoppzeit
� WD inffn � 1 W Xn 2 f�y; zggund der Strategie Hn WD 1f��ng für n � 1 ist P.G� D �y/ die gesuchte Ruin-wahrscheinlichkeit, falls � < 1 f.s., wobei nach 2.8(a) G D H � X D X � . DieStoppzeit � ist tatsächlich nicht nur fast sicher endlich, sondern es existieren sogar(von p und y C z abhängende) Konstanten a 2 .0; 1/ und � 2 .0; 1/ mit
P.� > n/ � a�n
für alle n 2 N0. Zum Beweis dieser Abschätzung seien k WD y C z und Uj WDX.j C1/k � Xjk für j 2 N0. Dann gilt für m 2 N
f� > kmg Dkm\iD1
f�y < Xi < zg �m�1\j D0
fUj � k � 1g:
Da U0; U1; U2; : : : unabhängig sind, UjdD Xk für alle j 2 N0 gilt und
P.Xk � k � 1/ � P� k[
iD1
fZi D �1g�
D 1 � P� k\
iD1
fZi D C1g�
D 1 � pk;
folgt
P.� > km/ �m�1Yj D0
P.Uj � k � 1/ D P.Xk � k � 1/m � .1 � pk/m:
Diese Ungleichung gilt natürlich auch für m D 0. Für n 2 N0 wähle man m 2 N0
mit km � n < k.m C 1/. Dann gilt mit a WD .1 � pk/�1 und � WD .1 � pk/1=k
P.� > n/ � P.� > km/ � .1 � pk/m D a�k.mC1/ � a�n:
Insbesondere gilt für r � 1
E�r D r
1Z
0
tr�1P.� > t/dt � r
1XnD0
.n C 1/r�1P.� > n/
� ar
1XnD0
.n C 1/r�1�n < 1:
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2.2 Reguläre Stoppzeiten und Optional sampling 55
Wegen EZ1 D 2p � 1; P.G� D z/ D 1 � P.G� D �y/; G� D X � undG� D X� ist � nach 2.18 regulär für G, die erste Waldsche Gleichung 2.18 liefert
E�.2p � 1/ D EG� D zP.G� D z/ � yP.G� D �y/
D z � .y C z/P.G� D �y/;
und wegen Var Z1 D 4p.1 � p/ gilt nach der zweiten Waldschen Gleichung 2.18
E�4p.1 � p/ D E.G� � �.2p � 1//2:
Im Fall p D 1=2 folgt für die Ruinwahrscheinlichkeit
P.G� D �y/ D z
y C z;
was nicht überrascht, und
E� D EG2� D z2P.G� D z/ C y2P.G� D �y/
D z2 y
y C zC y2 z
y C zD yz:
Im Fall p 6D 1=2 ist der für # WD log..1 � p/=p/ durch
Mn WD e#Xn DnY
iD1
e#Zi ; M0 WD 1
definierte geometrische F-Random walk (1.7(b)) ein Martingal, denn
Ee#Z1 D pe# C .1 � p/e�# D 1:
Wegen
M �n D e#X�^n � ej#j.y_z/
für alle n 2 N0 ist � regulär für M , so dass mit Optional sampling folgt
1 D EM0 D EM� D Ee#G�
D e#zP.G� D z/ C e�#yP.G� D �y/
D�
1 � p
p
�z
.1 � P.G� D �y// C�
p
1 � p
�y
P.G� D �y/;
also
P.G� D �y/ D . 1�pp
/z � 1
. 1�pp
/z � . p1�p
/y:
Außerdem gilt nach der ersten Waldschen Gleichung
E� D z � .y C z/P.G� D �y/
2p � 1:
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56 2 Stoppzeiten und lokale Martingale
Ist beispielsweise y D z D 100 Euro und p D 1=2, so erhält man P.G� D�y/ D 1=2 und E� D 10:000, während für p D 18=37 (Europäisches Roulette,der Spieler setzt auf die Farbe Rot) die Ruinwahrscheinlichkeit P.G� D �y/ D0;9955 : : : und E� � 3666 resultieren, also eine drastische Änderung der Ruin-wahrscheinlichkeit.
(c) (Gewinn?) Wir untersuchen jetzt die Stoppzeit
� WD inffn � 1 W Xn D zgund die Strategie Hn WD 1f��ng für z 2 N. Im für den Spieler günstigen Fallp > 1=2 ist � integrierbar, denn wegen G� D X� gilt mit Optional stoppingE.� ^ n/.2p � 1/ D EG�^n � z und mit monotoner Konvergenz folgt E� Dlimn!1 E.� ^ n/ � z=.2p � 1/ < 1. Daher liefert die erste Waldsche Gleichung2.18 E�.2p � 1/ D EG� D z, also
E� D z
2p � 1:
Nach 2.18 ist � regulär für G.Im Fall p � 1=2 vergleichen wir � mit den Stoppzeiten �y WD inffn � 1 W Xn 2
f�y; zgg für y 2 N. Wegen �1 � �2 � : : : � � und f� < 1g D S1yD1f�y D �g
f.s. folgt mit der Stetigkeit (von unten) von P
P.� < 1/ D limy!1 P.�y D �/ D lim
y!1 P.G�yD z/
D 1 � limy!1 P.G�y
D �y/:
Die Formeln in (b) für die Ruinwahrscheinlichkeiten liefern
P.� < 1/ D(
1; falls p D 1=2;
. p1�p
/z ; falls p < 1=2:
Insbesondere gilt P.� D 1/ > 0 und damit E� D 1, falls p < 1=2, und fürp D 1=2 gilt auch E� D 1 wegen E�y D yz � E� für alle y 2 N. (Der Fallp D 1=2 ist schon in 2.18 enthalten.) Wie im Fall p D 1=2 ist � auch im Fallp < 1=2 nicht regulär für G, weil nach dem starken Gesetz der großen ZahlenXn ! �1 f.s., daher mit Fatous Lemma
1 D 1P.� D 1/ � lim infn!1 EjGnj1f�D1g
und somit 2.13(ii) nicht erfüllt ist.
Im letzten Beispiel wird das Martingal 1.7(d) im Mittelpunkt stehen.
Beispiel 2.20 (Stimmenauszählung) (a) Die Kandidaten A und B stellen sich einerWahl. Dabei können neben A und B eventuell noch andere Kandidaten gewähltwerden. Am Ende der Stimmenauszählung hat A k Stimmen mehr als B , k 2 N.Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass A nach Auszählung der ersten n Stimmenvor B liegt für alle n D 1; : : : ; N , wobei N die Gesamtzahl der Wähler bezeichnet?
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2.2 Reguläre Stoppzeiten und Optional sampling 57
Zur Modellierung seien An und Bn die Anzahl der Stimmen für A beziehungs-weise B nach n ausgezählten Stimmen. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist also
p WD P.Bn < An für alle 1 � n � N jAN D k C BN /:
Definiert man Zi als Votum des i -ten Wählers, wobei Zi D 0, falls Votum fürA; Zi D 2, falls Votum für B; Zi D 1, falls Votum für keinen der beiden ausfällt,und Sn WD Pn
iD1 Zi , so gilt
Sn D n C Bn � An
und damit
p D P
�max
1�n�N
Sn
n< 1
ˇ̌ˇ̌SN D N � k
�:
Nimmt man an, dass Z1; : : : ; ZN unabhängig und identisch verteilt sind, folgt ausder Gleichung in (b)
p D k
N:
Diese Wahrscheinlichkeit ist erstaunlich klein.(b) Sind Z1; : : : ; ZN unabhängige und identisch verteilte N0-wertige Zufallsva-
riable mit Z1 2 L1; N 2 N und Sn WD PniD1 Zi , so gilt
P
�max
1�n�N
Sn
n< 1
ˇ̌ˇ̌SN
�D
�1 � SN
N
�C:
Zum Beweis dieser Gleichung sei D WD fmax1�n�N Sn=n < 1g. Nach 1.7(d) wirddurch
Xn WD S�n
�nfür n 2 T WD f�N; : : : ; �1g
ein F-Martingal definiert mit F D FX . Für die Stoppzeit
� WD inffn 2 T W Xn � 1g ^ .�1/
erhält man
X� C 1D D X�N C .1 � X�N /C DW R;
denn auf D D fmaxn2T Xn < 1g gilt R D 1 und ferner � D �1, also X� D X�1 DZ1 < 1 und damit X� D 0. Auf Dc \ f� D ng für n > �N gilt X� D Xn � 1
und Xn�1 < 1, also �n � S�n � S�nC1. Dies impliziert �n D S�n und damitX� D Xn D 1. Da X�N < 1, gilt auch R D 1. Auf Dc \ f� D �N g gilt
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58 2 Stoppzeiten und lokale Martingale
X� D X�N � 1 und R D X�N . Da die einfache Stoppzeit � regulär für X ist,liefert nun der Optional sampling Satz wegen F�N D �.X�N /
P.DjSN / D P.DjX�N / D P.DjF�N /
D E.X�N C .1 � X�N /C � X� jF�N /
D X�N C .1 � X�N /C � E.X� jF�N /
D X�N C .1 � X�N /C � X�N
D .1 � X�N /C D�
1 � SN
N
�C:
(Durch Übergang zu Zi ^ N kann man übrigens auf die Voraussetzung Z1 2 L1
verzichten.)
Mit Optional Sampling und 2.14(b) folgt EX� D EX� für jedes Martingal X
und einfache Stoppzeiten � und � . Wir zeigen noch, dass diese Bedingung auchhinreichend ist und somit die folgende Charakterisierung gilt.
Satz 2.21 (Martingaltest) Sei ˙ die Menge der einfachen F-Stoppzeiten. Ein adap-tierter L1-Prozess ist genau dann ein Martingal, wenn .EX�/�2˙ konstant ist. X
ist genau dann ein Submartingal, wenn .EX� /�2˙ monoton wachsend ist (im Sinnevon E.X� / � EX� , falls � � � f.s.).
Beweis Wir beweisen den Submartingalfall. Die Notwendigkeit folgt aus Optio-nal sampling, da einfache Stoppzeiten wegen 2.14(b) regulär für L1-Prozesse sind.Seien andererseits n 2 T; n < ˇ und F 2 Fn. Dann ist
� WD n1F C .n C 1/1F c
nach 2.3(f) eine einfache Stoppzeit mit � � n C 1. Wegen X� D Xn1F C XnC11F c
folgt aus der Monotoniebedingung im Satz
0 � EXnC1 � EX� D E.XnC11F � Xn1F /:
Dies gilt für alle F 2 Fn, was E.XnC1jFn/ � Xn zeigt. utBemerkung 2.22 Im nach 2.21 naheliegendem Konzept des asymptotischen Mar-tingals wird die Konstanz von .EX� /�2˙ durch die Konvergenz in R ersetzt. Etwaim Fall ˛ > �1 und ˇ D 1 ist dabei die Menge ˙ durch die partielle Halbord-nung „� � � f.s.“ nach rechts gerichtet (also für alle �; � 2 ˙ existiert ein � 2 ˙
mit � � � f.s. und � � � f.s., etwa � D � _�). Dann sind auch L1-beschränkte Sub-martingale asymptotische Martingale, denn das Netz .EX� /�2˙ ist nach 2.14(e), (f)in R beschränkt und konvergiert gegen sup�2˙ EX� 2 R.
Diese Verallgemeinerung des Martingalkonzepts entfaltet ihre Schönheit aller-dings erst für Prozesse mit Werten in unendlich dimensionalen Banach-Räumen.
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2.3 Lokale Martingale 59
2.3 Lokale Martingale
Die Lokalisierung von Eigenschaften von Prozessen mit Hilfe von Stoppzeiten isteine wichtige Beweismethode. Hier wird die Lokalisierung der Martingaleigen-schaft kurz dargestellt. Sie erlaubt eine elegante Untersuchung von h-Transformier-ten (und findet Anwendung in den Kap. 7 und 8), spielt aber sonst in der Theoriezeitdiskreter stochastischer Prozesse keine große Rolle.
Definition 2.23 Sei ˛ > �1. Ein F-adaptierter reeller Prozess X heißt lokalesF-Martingal, falls es eine fast sicher monoton wachsende Folge .�k/k�1 von F-Stoppzeiten gibt mit P.limk!1 �k D ˇ/ D 1 und der Eigenschaft, dass X �k fürjedes k � 1 ein F-Martingal ist.
Die Folge .�k/k�1 heißt dann lokalisierend. Die einzige Integrierbarkeitsvor-aussetzung für lokale Martingale ist X˛ 2 L1 wegen X
�k˛ D X˛. Martingale sind
lokale Martingale: Man wähle �k D ˇ für alle k oder �k D .k _ ˛/ ^ ˇ. Wir zeigen,dass lokale Martingale unter Integrierbarkeitsvoraussetzungen nur an XC oder X�schon (echte) Martingale sind.
Satz 2.24 (Jacod und Shiryaev) Seien ˛ > �1 und X ein lokales Martingal. Fallsein q 2 T existiert mit X�
n 2 L1 für alle n 2 T q oder mit XCn 2 L1 für alle n 2 T q ,
ist X ein Martingal.
Gilt zusätzlich ˇ < 1, so ist also ein lokales Martingal mit Xˇ � 0 schon ein(echtes) Martingal.
Beweis Wir nehmen zunächst X�n 2 L1 für alle n 2 T q an. Sei .�k/k�1 eine (die
Martingaleigenschaft) lokalisierende Folge von Stoppzeiten für X .1. Es gilt X�
n 2 L1 für alle n 2 T . Dies sieht man durch Rückwärtsinduktion.Für n D q gilt nach Voraussetzung X�
q 2 L1, und falls X�n 2 L1 für ein ˛ < n � q
gilt, folgt wegen der Submartingaleigenschaft von .X �k /� D .X�/�k
EX�n�11f�k�ng D EX�
�k^.n�1/1f�k�ng � EX��k^n1f�k�ng
D EX�n 1f�k�ng � EX�
n < 1:
Wegen 1f�k�ng " 1˝ f.s. für k ! 1 liefert monotone Konvergenz
EX�n�1 D
Zlim
k!1X�
n�11f�k�ngdP D limk!1
EX�n�11f�k�ng � EX�
n < 1:
2. X ist ein L1-Prozess. Wegen XC�k^n ! XC
n f.s. für k ! 1 und
EXC�k^n D EX�k^n C EX�
�k^n D EX˛ C EX��k^n
D EX˛ C E�n�1X
j D˛
X�j 1f�kDj g C X�
n 1f�k�ng�
� EX˛ CnX
j D˛
EX�j
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60 2 Stoppzeiten und lokale Martingale
für alle k � 1 folgt mit dem Fatou-Lemma
EXCn � lim inf
k!1EXC
�k^n � EX˛ CnX
j D˛
EX�j < 1
für alle n 2 T . Zusammen mit 1. erhält man Xn 2 L1 für alle n 2 T .3. X ist ein Martingal. Für n 2 T gilt wegen X
�kn ! Xn f.s. für k ! 1 und
jX �kn j � Pn
j D˛ jXj j 2 L1 mit dominierter Konvergenz X�kn
L1
! Xn für k ! 1.Mit A.13(a) folgt
X�k
n�1 D E.X �kn jFn�1/
L1
! E.XnjFn�1/
für n > ˛, und da auch X�k
n�1
L1
! Xn�1 gilt, impliziert dies E.XnjFn�1/ D Xn�1.Also ist X ein Martingal.
Unter der Voraussetzung XCn 2 L1 für alle n 2 T q , folgt die Behauptung durch
Übergang zu �X , da auch �X ein lokales Martingal ist. utWichtig für uns ist die Anwendung auf h-Transformierte. Die h-Transformierten
von Martingalen sind lokale Martingale, da vorhersehbare reelle Prozesse (abgese-hen vom Anfangswert) lokale L1-Prozesse sind.
Satz 2.25 Sei ˛ > �1. Sind X ein Martingal, H ein vorhersehbarer reeller Pro-zess und M˛ 2 L1.F˛; P /, so ist
M WD M˛ C H � X
ein lokales Martingal.
Beweis Für k 2 N wird nach 2.3 und 2.5 durch
�k WD inffn 2 T W n < ˇ; jHnC1j > kg ^ ˇ
eine Stoppzeit definiert mit
f�k � ng D f sup˛C1�j �n
jHj j � kg
für n 2 T; n > ˛. Die Folge .�k/k�1 ist offensichtlich monoton wachsend überallauf ˝ und wegen f�k � ng " fsup˛C1�j �n jHj j < 1g D ˝ gilt limk!1 P.�k �n/ D 1 für alle n 2 T , also P.limk!ˇ �k D ˇ/ D 1. Für den gestoppten ProzessM �k gilt mit Kn WD 1f�k�ng wegen 2.10
M �k D M˛ C .H � X/�k D M˛ C HK � X:
Da jHnKnj � k für n � ˛ C 1, ist M �k ein L1-Prozess und damit ist M �k einMartingal wegen 1.9. ut
Symmetrische, nicht notwendig integrierbare Random walks sind lokale Martin-gale bezüglich einer geeigneten Filtration. Ferner ist Verkleinerung der Filtrationbei lokalen Martingalen nicht erlaubt. Dies zeigt das abschließende Beispiel.
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Aufgaben 61
Beispiel 2.26 Seien T D N0; .Zn/n�1 eine unabhängige Folge identisch verteilterreeller Zufallsvariablen mit symmetrischer Verteilung P Z1 , also P Z1 D P �Z1 ,und Xn WD Pn
j D1 Zj mit X0 D 0. Ferner seien Yn WD Pnj D1 sign.Zj / mit Y0 D 0
und sign D 1.0;1/ � 1.�1;0/; Hn WD jZnj für n � 1; H0 WD 0 und
Fn WD �.Z1; : : : ; Zn; jZnC1j/mit F0 D �.jZ1j/. Dann ist H F-vorhersehbar und X D H � Y . Wegen
.ZnC1; jZnC1j; Z1; : : : ; Zn/dD .�ZnC1; jZnC1j; Z1; : : : ; Zn/
gilt mit A.12(d) für n 2 N0
E.�YnC1jFn/ D E.sign.ZnC1/jFn/
D E.1.0;1/.ZnC1/jFn/ � E.1.0;1/.�ZnC1/jFn/ D 0:
(Im Fall P.Z1 D 0/ D 0 sind �.sign.ZnC1// und Fn sogar unabhängig und Y istein einfacher symmetrischer F-Random walk auf Z.) Daher ist Y ein F-Martingalund wegen 2.25 ist dann X ein lokales F-Martingal.
Allerdings sind �.ZnC1/ und Fn nicht unabhängig. Sobald für eine FiltrationG � F
X die �-Algebren �.Z1/ und G0 unabhängig sind und Z1 … L1, ist X keinlokales G-Martingal: Für jede G-Stoppzeit � mit P.� D 0/ < 1 gilt
EjX �1 j D E1f��1gjZ1j D P.� � 1/EjZ1j D 1:
Insbesondere ist X kein lokales FX -Martingal, falls Z1 … L1.
Aufgaben
2.1 Seien �1; �2; : : : F-Stoppzeiten. Nach Satz 2.3 sind dann auch � WD infk�1 �k
und � WD supk�1 �k F-Stoppzeiten. Zeigen Sie
F� D1\
kD1
F�kund F� D �
� 1[kD1
F�k
�:
2.2 Seien �1; : : : ; �m Stoppzeiten und fF1; : : : ; Fmg eine Partition von ˝ mitFi 2 F�i
für alle i . Zeigen Sie, dass
� WDmX
iD1
�i1Fi
eine Stoppzeit ist.
2.3 Zeigen Sie, dass jede Stoppzeit erste Eintrittszeit eines adaptierten f0; 1g-wer-tigen Prozesses ist.
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62 2 Stoppzeiten und lokale Martingale
2.4 Zeigen Sie in der Situation von Beispiel 2.19(a) für den Gewinnprozess G
EGn D 1 � .2.1 � p//n
und in der Situation von Beispiel 2.19(b)
EGn D .2p � 1/
nXj D1
P.� � j /:
2.5 Seien ˛ > �1 und X ein positives Supermartingal. Zeigen Sie, dass der Zu-stand 0 „absorbierend“ für X ist, das heißt fXn D 0g � fXnC1 D 0g f.s. für allen 2 T; n < ˇ.
Hinweis: Man untersuche die Stoppzeit � WD inffn 2 T W Xn D 0g2.6 (Simulation, von Neumann) Seien .X ;A/ ein messbarer Raum und Q1; Q2
Verteilungen auf A mit -Dichten f1; f2 für ein �-endliches Maß auf A. Wirnehmen an, dass
f1 � cf2 -f.s.
für eine Konstante c 2 .0; 1/. Seien weiter T D N, .Un; Xn/n�1 eine unabhängieFolge identisch verteilter Zufallsvariablen mit
P .U1;X1/ D U.0; 1/ ˝ Q2
und
� WD inffn � 1 W cUnf2.Xn/ � f1.Xn/g:Zeigen Sie, dass � eine P -fast sicher endliche F.U;X/-Stoppzeit ist mit
P X� D Q1:
Damit lässt sich die Verteilung Q1 simulieren, wenn Q2 simulierbar ist.Hinweis: Für alle A 2 A gilt
E1A.X1/1fcU1f2.X1/�f1.X1/g D Q1.A/
c:
2.7 Seien X ein Martingal und � eine Stoppzeit mit X� 2 L1. Zeigen Sie, dass
.E.X�_njFn//n2T
ein Martingal ist.Hinweis: Optional switching 2.9.
2.8 Seien T D N0 und X ein einfacher symmetrischer F-Random walk auf Z,Xn D Pn
iD0 Zi mit X0 D Z0 D 0 und P.Z1 D C1/ D P.Z1 D �1/ D 1=2.Beweisen Sie, dass
� WD inffn � 0 W Xn > XnC1g:eine fast sicher endliche, für das Martingale X reguläre Zufallszeit ist und EX� D 1
gilt. Insbesondere gilt Optional sampling 2.12 nicht für Zufallszeiten. (Dies zeigtauch die Zufallszeit � WD 1fZ1D1g.)
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Aufgaben 63
2.9 Die integrierbare Stoppzeit in Beispiel 2.19(a) erfüllt die Regularitätsbedin-gung (i) von Lemma 2.13, aber nicht (iii). Zeigen Sie die Existenz einer integrier-baren Stoppzeit und eines Martingals derart, dass (iii) von Lemma 2.13 erfüllt ist,aber nicht (i).
Hinweis: Seien T D N; .Zn/n�1 eine unabhängige Folge reeller Zufallsvariablenmit P.Zn D C2n/ D P.Zn D �2n/ D 1=4 und P.Zn D 0/ D 1=2, Xn WDPn
iD1 Zi und F WD FZ D F
X . Wegen EZn D 0 für alle n � 1 ist X ein Martingal.Untersuchen Sie die Stoppzeit
� WD inffn � 1 W Xn 6D 0g D inffn � 1 W Zn 6D 0g:
2.10 Seien ˛ > �1 und X ein L2-Martingal. Zeigen Sie, dass die Stoppzeit
� WD inffn 2 T W n < ˇ; hXinC1 > ag
für a > 0 regulär für X ist.
2.11 Seien ˛ > �1 und X ein L1-beschränktes Submartingal. Zeigen Sie, dassdie Stoppzeit
� WD inffn 2 T W Xn 2 fa; bgg
für a; b 2 R; a < b regulär für X ist.
2.12 (L1-beschränkter Zuwachsprozess) Seien ˛ > �1; � eine integrierbareStoppzeit und X ein adaptierter L1-Prozess mit supn2T j�Xnj � c f.s. für c 2 RC.Zeigen Sie, dass � regulär für X ist.
2.13 Seien T D No und X ein einfacher symmetrischer F-Random walk auf Z,Xn D Pn
iD0 Zi mit X0 D Z0 D 0 und P.Z1 D C1/ D P.Z1 D �1/ D 1=2.Ferner seien � WD inffn � 1 W jXnj D zg mit z 2 N und für 0 < a < =2z
Mn WD .cos a/�n cos.aXn/:
Zeigen Sie, dass M ein Martingal mit Anfangswert M0 D 1 und � regulär für M
ist.
2.14 (Optional sampling) Seien X ein Martingal und .�k/k�1 eine Folge von T -wertigen, für X regulären Stoppzeiten mit �1 � �2 � : : : überall auf ˝ . Zeigen Sie,dass .X�k
/k�1 bezüglich der Filtration .F�k/k�1 ein Martingal ist.
2.15 (Das Problem der vollständigen Serie) Aus einer Kollektion von N Objektenwird zufällig jeweils ein Objekt gezogen und wieder zurückgelegt, N 2 N. Nachwievielen Zügen (im Mittel) ist jedes Objekt mindestens einmal gezogen worden?
Zur Modellierung seien .Zn/n�1 eine unabhängige Folge auf f1; : : : ; N g iden-tisch Laplace-verteilter Zufallsvariablen, Xn WD N � jfZ1; : : : ; Zngj mit X0 D N ,
� WD inffn � 0 W Xn D 0g;
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64 2 Stoppzeiten und lokale Martingale
F WD FZ mit F0 WD f;; ˝g und f .m/ WD Pn
iD1 1=i mit f .0/ D 0. Zeigen Sie,dass durch
Mn WD f .Xn/ C 1
N
nXj D1
1fXj �1>0g
für n 2 N0 ein Martingal mit Anfangswert M0 D f .N / definiert wird und � einefast sicher endliche, für M reguläre Stoppzeit ist. Bestätigen Sie damit
E� D Nf .N /:
Hinweis: Für n � 2 gilt
jfZ1; : : : ; Zngj D 1 CnX
iD2
1fZi 6DZ1;:::;Zi 6DZi�1g:
2.16 Zeigen Sie in der Situation von Aufgabe 2.15, dass durch
Un WD NXn CnX
j D1
Xj �1
für n 2 N0 ein Martingal mit Anfangswert U0 D N 2 definiert wird und � für U
regulär ist. Folgern Sie daraus mit Optional sampling
E
1XnD0
Xn D N 2:
Hinweis: Aufgabe 2.12.
2.17 (h-Transformierte lokaler Martingale) Seien ˛ > �1, X ein lokales Martin-gal, H ein vorhersehbarer reeller Prozess und M˛ 2 L1.F˛; P /. Zeigen Sie, dass
M WD M˛ C H � X
ein lokales Martingal ist. Dies verallgemeinert Satz 2.25.
2.18 Sei X ein adaptierter reeller Prozess. Zeigen Sie supn2T jXnj < 1 f.s., fallsfX� W � 2 ˙g stochastisch beschränkt ist.