mathe online · Title: Microsoft Word - Kreistangenten.docx Author: Christian Created Date:...
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Lernpfad Kegelschnitte Christian Kathrein http://www.mathe-online.at/lernpfade/Lernpfad995/ 25.01.2016 Kreistangenten Wir überlegen uns, wie man Tangenten von einem Punkt an einen Kreis legen kann. Dazu betrachten wir zwei Fälle: 1.) Der Punkt liegt auf dem Kreis 2.) Der Punkt liegt außerhalb des Kreises Tangente von Punkt auf Kreises Wir kennen den Kreis mit Mittelpunkt ܯൌ ሺ ݔெ ݕ|ெ ሻ und einen Punkt ൌ ሺ ݔ ݕ| ሻ, welcher auf dem Kreis liegt. Gesucht ist die Gerade ݐ, sodass ݐeine Tangente von ist und durch verläuft. Wir wissen, dass ܯ ሬ ሬ ሬ ሬ ሬ ሬ റ ٣ ݐsteht und setzen in die Normalvektordarstellung der Geraden ݐein: ܯ ሬ ሬ ሬ ሬ ሬ ሬ Ԧ ∙ റ ൌ ܯ ሬ ሬ ሬ ሬ ሬ ሬ റ ∙ ቀ ݔ െ ݔெ ݕ െ ݕெ ቁቀ ݔ ݕቁൌቀ ݔ െ ݔெ ݕ െ ݕெ ቁቀ ݔ ݕ ቁ ݔሺ ݔ െ ݔெ ሻ ݕሺ ݕ െ ݕெ ሻൌ ݔ ሺ ݔ െ ݔெ ሻ ݕ ሺ ݕ െ ݕெ ሻ Nach Umformen und herausheben erhalten die Tangentengleichung: ሺ ݔ െ ݔெ ሻሺ ݔെ ݔ ሻ ሺ ݕ െ ݕெ ሻሺ ݕെ ݕ ሻൌ0
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Lernpfad Kegelschnitte Christian Kathrein http://www.mathe-online.at/lernpfade/Lernpfad995/ 25.01.2016 Kreistangenten Wir überlegen uns, wie man Tangenten von einem Punkt an einen Kreis legen kann. Dazu betrachten wir zwei Fälle:
1.) Der Punkt liegt auf dem Kreis 2.) Der Punkt liegt außerhalb des Kreises
Tangente von Punkt auf Kreises Wir kennen den Kreis mit Mittelpunkt | und einen Punkt | , welcher auf dem Kreis liegt. Gesucht ist die Gerade , sodass eine Tangente von ist und durch verläuft.
Wir wissen, dass steht und setzen in die Normalvektordarstellung der Geraden ein:
∙ ∙
Nach Umformen und herausheben erhalten die Tangentengleichung:
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Lernpfad Kegelschnitte Christian Kathrein http://www.mathe-online.at/lernpfade/Lernpfad995/ 25.01.2016 Wenn wir nun zu dieser Gleichung addieren, erhalten wir:
Wir formen weiter um:
Und wir erhalten die sogenannte Spaltform der Tangentengleichung:
Tangente von einem Punkt außerhalb des Kreises Wir kennen den Kreis mit Mittelpunkt | und einen Punkt | , welcher außerhalb des Kreises liegt (d.h. | | ). Gesucht ist die Gerade , sodass eine Tangente von ist und durch verläuft. Um dieses Problem lösen zu können, müssen wir uns den Satz des Thales in Erinnerung rufen: Liegt der Punkt eines Dreiecks auf einem Halbkreis über der Strecke , dann hat das Dreieck bei immer einen rechten Winkel. Wir wollen folgendes Ergebnis erhalten:
Da wir den Satz des Thales kennen und wissen, dass jeder Tangente eines Kreises normal zum Radiusvektor steht, können wir mithilfe eines Kreises durch und mit Durchmesser | | folgendes erkennen:
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Aufgrund des Satz des Thales, können wir erkennen, dass die Schnittpunkte dieser beiden Kreise ( und ) die Berührpunkte der beiden Tangenten sind. Diese Berührpunkte und
brauchen wir nur mehr in die Spaltform der Tangentengleichung einsetzen und wir sind fertig. Wir stellen die Gleichung von auf. Wir wissen, dass und
| | und daraus folgt:
: 12 1
2 14
14
Nach ausmultiplizieren und umformen erhalten wir: : 0
Um die Kreise zu schneiden setzen wir mit : 0 gleich:
Nach einigen weiteren Umformungen (Übung!) kommen wir auf folgende Form:
Obige Gleichung beschreibt die Gerade durch die beiden Berührpunkte und . Diese Gerade ist nun nur mehr mit dem Kreis zu schneiden.
