Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS 2002 1 zu 2.2.2...

Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS 2002 1

zu 2.2.2 Varianz-Kovarianz-Ansatz mit Renditen

Risikofaktoren bestimmen auf lineare Weise den Marktpreis eines Portfolios: Delta-Normal-Methode

Annahme unproblematisch bei originären Finanzprodukten

Annahme problematisch bei einigen derivativen Finanzprodukten z.B. Aktienoptionen Änderung des Optionswertes abhängig von der Höhe des Kurses des Underlying nicht-linearer Fall: Delta-Gamma-Methode

...)S(dS

Vd61)S(

dSVd

21S

dSdV)S(V 3

3

32

2

2

SdSdV)S(V

Taylor-Reihe: Wertänderung V in Umgebung von S0 durch Ableitung von V nach S in S0


Taylor-Approximation: Option ( c = Delta der Option)

Berechnung des VaR

SSSVc c

Wertänderung der Optionsposition entspricht ungefähr der Wertänderung einer Position aus c Einheiten des Underlying

Option Position aus c Aktien = Deltaäquivalent Ä

)(ÄVaR rPFrPFn

n

- Anteilsvektor der Deltaäquivalente äT = (ä1, ä2, ..., äN) mit

-

-

N,...,2,1n,Ä

Ää

nn

nn

rPFT

rPF ä M

ää rPFT

rPF Σ

SÄ c


< 2.4 > Portfolio aus 2 Positionen:

1. 500 europäische Calls auf ein Underlying mit derzeitigem Kurs von 30 DM, einem Strikepreis von 29 DM, einer impliziten Volatilität von 25% p.a., einer Restlaufzeit von 4 Monaten und einem Zins von 5% p.a.. Der Wert einer dieser Optionen beträgt 2,53 DM. Die Option hat ein Delta von 0,6627.

2. Shortposition mit 330 Einheiten des Underlyings. Die Rendite des Underlyings hat einen Erwartungswert von r = 0 und eine Standardabweichung von r = 1,5%.

Betrachtet wird ein Konfidenzniveau von 97,5 %.


2.3.2 Exponentielles Glätten

Verfahren zur Prognose aus Zeitreihen

Annahme: zeitlich jüngere Werte einer Zeitreihe geben mehr Information über die Zukunft als die zeitlich älteren Werte

Stärkere Gewichtung der jüngeren Werte

Mittelwerte, Volatilitäten und Korrelationen schwanken im Zeitablauf!

},...,{ 00 t)1B(t

},...,{ 00 t)1B(t

Elemente der geglätteten Zeitreihe t*

...)1()1( 2t2

1ttt

0jjt

jt )1(

(Summe der Gewichtungen = 1, wenn obere Summationsgrenze )


theoretische Anforderung: unendlich viele Beobachtungen!!

Rekursionsformel: jedes Zeitreihenglied kann aus dem letzten exponentiell geglät- teten Wert korrigiert um einen Anteil des „Fehlers“ der letzten Periode gebildet werden

Bestimmung des nächsten geglätteten Wertes basiert nur auf letztem geglättetem Wert und der neuesten Beobachtung !

...)1()1( 2t2

1ttt

...))1(()1( 2t1tt 1t)1(t

)( 1tt1t

1tt


Varianz der glätteten Zeitreihe

bei Liquidationsdauer von 1 Tag sehr klein t

2jt

0j

j2 )()1( 1t

0t

Volatilität

als Volatilität der Vorperiode korrigiert um einen Anteil des „Fehlers“

...)1()1( 22t

221t

2t

2t

21t

2t )1(

*)(* 22t

21t1t

22t 1t


< 2.5 > Wechselkurs DEM/FRF

Als Parameter wird die tägliche Rendite aus dem Halten der Währung definiert. Das Beispiel stammt aus einer Zeit, in der das Europäische Währungssystem unter Spannungen stand. Die Tabelle zeigt den Kurs des FRF gegenüber der DEM, die tägliche Rendite, die Schätzung einer empirischen Standardabweichung der letzten 90 Tage und die Schätzung durch exponentielles Glätten mit = 0,03.

Datum Kurs Rendite(%) Emp. Standard-

abweichung (%)

Volatilität bei

exponentieller Glättung

20.02.1995 28,7360

21.02.1995 28,7020 -0,1183 0,1014 0,1144

22.02.1995 28,6200 -0,2857 0,1026 0,1231

23.02.1995 28,6640 +0,0839 0,1017 0,1221

24.02.1995 28,5190 -0,4364 0,1107 0,1420

27.02.1995 28,3190 -0,70048 0,1315 0,1856

28.02.1995 28,3730 +0,1942 0,1335 0,1859


Vorteile bessere Reaktion auf Änderungen der Volatilität als empirische

Standardabweichungen

Bei Extremwerten (Schock) : Exponentielle Glättung: Vola-Schätzung steigt schnell an und fällt langsam ab Empirische Standardabweichung: Vola-Schätzung steigt langsam an und fällt schnell ab


Korrelationsschätzung (bei Mittelwert von 0)

Schocks werden zeitnaher abgebildet.

0201

00

t,t,

21t21t

),(Cov),(

),(Cov 21t

...)()1()()1()( 2t,22t,12

1t,21t,1t,2t,1

).(voC)1()( 2,11tt,2t,1

aber auch exponentielle Glättung bildet Leptokurtosis der (Rendite-)Verteilungen und Volatility Clustering nicht ab


2.3.3 ARCH und GARCH Modelle an Finanzmärkten häufig beobachtete zeitliche Häufung von

starken oder geringen Kursveränderungen bedingt autoregressives Verhalten der Volatilität (des Underlyings)

z.B. auf einen großen Kursanstieg folgt tendenziell wieder eine große Kursveränderung mit nicht prognostizierbarem Vorzeichen

ARCH (Autoregressive Conditional Heteroscedasticity) bzw. GARCH (Generalized ARCH) : Heteroskedastizität - zeitvariable Varianzen Autoregression - Annahme, daß Volatilität abhängig von den

Kursschwankungen der Vergangenheit leptokurtische Verteilung - „fatter tails“ und stärkere Wölbung als

Normalverteilung empirische Verteilung wird treffender approximiert ?!


2.3.4 Implizite Volatilitäten Schätzung der Volatilität = Problem!

Schätzung von Volatilitäten bei Preisfindung von Optionen (Preisfindungsformel von Black&Scholes) bei effizienten Märkten: alle Parameter und Optionspreis sind

beobachtbar

Nachteile: Implizite Volas nur für Produkte, auf die Optionen an Börsen

gehandelt werden bei komplizierteren Optionen ist implizite Vola abhängig von

zugrunde gelegtem Optionspreismodell ...

Schluß von Optionspreis auf zugrundeliegende Voaltilitäts-schätzung = implizite Volatilität


2.4 Historische Simulation Neubewertung des Portefolios anhand von historischen

Veränderungen der Marktfaktoren über einen bestimmten Zeitraum Ergebnis Wahrscheinlichkeitsverteilung, für die das -Quantil als Value at Risk bestimmt werden kann

Vorgehensweise Festlegung der Prämissen Ermittlung aller relevanten Marktparameter für jeden Zeitpunkt

der ausgewählten Vergangenheitsperiode Bewertung des Portfolios pro Stichtag Berechnung des VaR

Keine Annahme über Verteilung nötig, da Veränderungen der Marktparameter aus historischen Daten gewonnen !


Festlegung der Prämissen Identifikation der relevanten Marktparameter Bewertungsfunktionen für Finanztitel des Portfolios

auf der Basis beobachteter Realisationen Erfassung der Marktparameter für jeden Zeitpunkt

),...( M,1

),...,( 00 t,mBt,m

auf der Basis absoluter oder relativer Änderungen über die Haltedauer

Lbt,mbt,mb,m 00

Lbt,m

Lbt,mbt,mb,m

0

00

(mit m = 1,…, M; b = 0,1,…, B-1)


Vektor der Beobachtungen zu einem Stichtag

alle Beobachtungsvektoren zusammen

B,...,1b),...( bt,Mbt,1 00 bS

Bt,MBt,1

1t,M1t,11

00

00

BS

S

Bewertung des Portfolios),...,(fV M1

Vektor der Portfoliowerte auf der Basis der Beobachtungs-werte zu den ausgewählten Stichtagen

TB1 )V,...,V()(f V


Berechnung des Value at Risk

Tägliche Gewinne und Verluste als Differenz zwischen dem mit den veränderten Marktparametern bewerteten Portfoliowert und dem auf der Basis der aktuellen Marktdaten ermittelten Portfoliowert

Anordnung der Werte entsprechend ihrem Wert

empirische Häufigkeitsverteilung

Berechnung des VaR durch Quantilsbildung

B

1

t

t

B

1

V

V

V

V

V

V)f

0

00tV(ΔV

bei 5%-Quantil und einem Beobachtungszeitraum von 100 Tagen entspricht der fünftniedrigste Wert dem VaR


keine Verteilungsannahme der Marktparameter (Schiefe +/o. Leptokurtosis wird berücksichtigt)

universell einsetzbar: Einbeziehung von Derivaten und allen entscheidenden Parametern relativ unproblematisch

Vor-/Nachteile

sehr hoher Rechenaufwand durch häufige Neubewertung des Portfolios

bei jeder Änderung des Portfolios muß der Wert des Portfolios für alle Stichtage neu berechnet werden


2.5 Monte Carlo-Simulation Neubewertung des Portefolios anhand von Zufallszahlen

Vorgehensweise Festlegung der Prämissen Bestimmung der hypothetischen Verteilung für die Marktparameter (Wiederholte) Simulation der Marktparameter durch Zufallszahlen (Wiederholte) Bewertung des Portfolios für die verschiedenen

Simulationen Berechnung des VaR unter Berücksichtigung des Konfidenzniveaus

Zufallszahlen = Realisierungen von Zufallsvariablen, die einer vorgegebenen Verteilung genügen müssen


Verteilungsannahmen der Parameter hypothetische Verteilung basiert in der Regel auf - Vergangenheitsinformationen über Varianzen und Kovarianzen - subjektiver Schätzung

unabhängige Verteilungsannahme für jeden Marktparameter vs. multivariate Verteilung der Faktoren

< 2.6 > Europäische Call-OptionCall auf ein Underlying mit derzeitigem Kurs von 30 DM, einem Strikepreis von 29 DM, einer impliziten Volatilität von 25% p.a., einer Restlaufzeit von 4 Monaten und einem Zins von 5% p.a.. Der Wert dieser Optionen beträgt 2,53 DM. K, t, rRF fix, lediglich die Entwicklung von S und ist risikobehaftet.Haltedauer = 1 Tag, Konfidenzniveau von 97,5 %.


Verteilungsannahmen für S und :

S: absolute Werte der Veränderung der Werte von S sind normalverteilt, Schätzung = 0 und = 0,10

Volatilität : subjektive Schätzung der Verteilung

20% 22,5% 25% 27,5% 30%

p() kum. 0,1 0,3 0,7 0,9 1,0


Simulation der Marktparameter - Erzeugung (0,1)-gleichverteilter Zufallszahlen - Güte der Pseudozufallszahlengeneratoren - Transformation in anders verteilte Zufallszahlen

Erzeugung (0,1)-gleichverteilter Zufallszahlen Zufallszahlengeneratoren: echte Zufallszahlen erzeugt durch das Werfen eines Würfels,

Lottoziehungsgeräte, Roulettespiel etc. nur geeignet für kleine Stichprobenumfänge

Pseudozufallszahlen erzeugt mit der Hilfe mathematischer Bildungsvorschriften

Produktion möglichst vieler verschiedener Zufallszahlen aus einem Startwert mit Hilfe einer Rekursionsformel Problem: Zyklen, Entartungen


Mid-Square-MethodeAlgorithmus: Quadrierung eines n-stelligen Startwertes neuer Wert mit maximal 2n Stellen (bei weniger als 2n Stellen Ergänzung mit führenden Nullen) mittlere n Stellen = Nachkommastellen der neuen Zufallszahl

< 2.7 > n = 4

x1 = 5643 x12 = 31843449 xneu,1 = 0,8439

x2 = 8434 x12 = 71132356 xneu,2 = 0,1323

x3 = 1323 x12 = 01750329 xneu,3 = 0,7503 ....

Problem: häufig zu kurze Periodenlängen und Nullfolgen

Startwert: 1600, 5600, 3600, 9600, 1600

Startwert: 7662 - nach 6 Rekursionen Nullfolge


Kongruenzverfahren (Lehmergeneratoren)rekursive Bildungsgesetz:

< 2.8 > a = 21, x0 = 7, c = 3, m= 17

x1 = (217+3) mod 17 = 150 mod 17 = 14 z1 = 0,823529

mmod)cxa(x i1i

n mod m: Rest, der entsteht, wenn n durch m dividiert wird

neue Zufallszahl ergibt sich als Rest der Division durch die Konstante m

weitere Division durch m ergibt (0,1)-gleichverteilte Zufallszahlen

x2 = (2114+3) mod 17 = 297 mod 17 = 8 z2 = 0,823529 ....

maximale Periodenlänge von 4


Güte der Pseudozufallszahlen

Algorithmus muß schnell arbeiten und wenig Speicherplatz benötigen

Folge der Zufallszahlen muß bei gleicher Startbedingung reproduzierbar sein

Zufallszahlen müssen der Gleichverteilung im Intervall [0, 1] genügen

erzeugte Zufallszahlen müssen voneinander unabhängig sein

aufgrund der Begrenztheit der Zufallszahlen können nicht alle Werte angenommen werden, aber alle Bereiche der Verteilung sollten gleich dicht besetzt sein (große Periode!)

statistische Tests (2-Anpassungstest, Kolmogorov-Smirnov-Anpassungstest etc.)


Transformation (0,1)-gleichverteilter Zufallszahlen in anders verteilte Zufallszahlen

Erzeugung von beliebig verteilten Zufallszahlen durch 1. Erzeugung von (0, 1)-gleichverteilten Zufallszahlen2. Transformation in die gewünschte Verteilung durch Anwendung der

Umkehrfunktion dieser Verteilung auf die Zufallszahlen aus 1.

F sei die monotone Verteilungsfunktion der zu erzeugenden Zahlen, d.h. F besitzt eine Umkehrfunktion

Transformation erfolgt

durch Inversion:


bei sehr kleinem Stichprobenumfang oder bei unzureichender Güte der (0,1)-gleichverteilten, generierten Zufallszahlen evtl. „Klumpenbildung“

Teilung des Wertebereichs [0, 1] der Verteilungsfunktion in gleich große Intervalle

per Zufall Auswahl eines Intervalls, aus dem zufällig eine Probe entnommen wird

Wiederholung des Vorgangs so lange, bis aus jedem Intervall ein Zufallswert vorliegt

Latin-Hypercube-Methode bei gleicher Anzahl von Stichproben bessere Annäherung an die gewünschte Verteilung:

Schichtung der Verteilungen der gleichverteilten Zufallszahlen


„Probenerhebung ohne Rückstellung“

gleichmäßigere Verteilung der Zufallszahlen auf das Intervall [0,1] , weniger Lücken, Erhöhung der Güte


Zusammenfassung der Vektoren in Szenario-Matrix, z.B.

1000,

1,

1000,S

1,S

S

S

S

S

Bewertung des Portfolios

Vektor der möglichen Portfoliowerte auf der Basis der Zufallszahlen der ausgewählten D Durchführungen

TD1 )V,...,V()(f V


Berechnung des Value at Risk (vgl. Historische Simulation)

Tägliche Gewinne und Verluste als Differenz zwischen dem mit den veränderten Marktparametern bewerteten Portfoliowert und dem auf der Basis der aktuellen Marktdaten ermittelten Portfoliowert

Anordnung der Werte entsprechend ihrem Wert

empirische Häufigkeitsverteilung

Berechnung des VaR durch Quantilsbildung (aufgrund der hohen Stichprobe ist simulierte Verteilung

wesentlich robuster als Verteilung nach der historischen Simulation)

D

1

t

t

D

1

V

V

V

V

V

V)f

0

00tV(ΔV

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