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  • Mathematische Kontrolltheorie II: Nichtlineare Systeme

    Lars Grüne Mathematisches Institut

    Fakultät für Mathematik und Physik Universität Bayreuth

    95440 Bayreuth lars.gruene@uni-bayreuth.de

    www.math.uni-bayreuth.de/∼lgruene/

    Vorlesungsskript

    Sommersemester 2006

  • Vorwort

    Dieses Skript ist im Rahmen einer gleichnamigen Vorlesung entstanden, die ich als zweiten Teil eines zweisemestrigen Zyklus im Sommersemester 2006 an der Universität Bayreuth gehalten habe.

    Im Gegensatz zum ersten Teil dieses Skriptes wurde der Text zumeist auf Basis von Origi- nalarbeiten und eigenen Ausarbeitungen erstellt, teilweise wurde allerdings auch auf Dar- stellungen aus dem Lehrbuchs [15] zurück gegriffen. Herzlich bedanken möchte ich mich bei allen aufmerksamen StudentInnen, die mich auf Fehler und Ungenauigkeiten hingewiesen haben.

    Elektronische Versionen beider Teile dieses Skripts sowie die zugehörigen Übungsaufgaben finden sich im WWW auf der Seite http://www.math.uni-bayreuth.de/∼lgruene/ unter dem Link “Lehrveranstaltungen”.

    Bayreuth, August 2006 Lars Grüne

    i

  • Inhaltsverzeichnis

    Vorwort i

    1 Einführung 1

    1.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

    1.2 Ein Existenz– und Eindeutigkeitssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

    2 Stabilität nichtlinearer Differentialgleichungen 5

    2.1 Vergleichsfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

    2.2 Stabilität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

    2.3 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

    2.4 Ljapunov–Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

    2.5 Ljapunov–Funktion ⇒ Asymptotische Stabilität . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.6 Asymptotische Stabilität ⇒ Ljapunov–Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . 14

    3 Asymptotische Kontrollierbarkeit. . . 21

    3.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

    3.2 Brocketts Bedingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

    3.3 Beispiel: Artsteins Kreise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

    4 Linearisierung 31

    4.1 Die linearisierte Differentialgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

    4.2 Approximation der Lösungstrajektorien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

    4.3 Stabilität und Linearisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

    4.4 Feedback–Stabilisierung mittels Linearisierung . . . . . . . . . . . . . . . . 35

    4.5 Tracking Kontrolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

    5 Kontroll–Ljapunov–Funktionen 41

    5.1 Definition und alternative Darstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

    5.2 Ljapunov–Funktion ⇔ asymptotische Kontrollierbarkeit . . . . . . . . . . . 45

    iii

  • iv INHALTSVERZEICHNIS

    6 Konstruktive nichtlineare Methoden 51

    6.1 Sontags Universelle Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

    6.2 Backstepping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

    7 Stabilisierung mit Abtastfeedback 61

    7.1 Abtast–Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

    7.2 Stabilität und Abtastung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

    7.3 Abtastung und Ljapunov–Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

    7.4 Existenz von Abtast–Ljapunov–Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

    7.5 Schematische Übersicht der Stabilitäts–Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . 68

    8 Stabilität gestörter Systeme 69

    8.1 Input–to–state Stabilität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

    8.2 Ein ISS–Anwendungsbeispiel: Stabilität von Kaskaden . . . . . . . . . . . . 71

    8.3 Gestörte Kontrollsysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

    8.4 Praktische Stabilität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

    9 Stabilität unter Digitalisierung 79

    9.1 Konsistenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

    9.2 Einbettung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

    9.3 Stabilität unter Digitalisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

    10 Digitale Regelung mittels approximativer Systeme 91

    10.1 Ein einfaches numerisches Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

    10.2 Approximative Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

    10.3 Beispiele für Stabilitätsverlust . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

    10.4 Einbettung und Robustheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

    10.5 Stabilität approximationsbasierter Feedbacks . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

    10.6 Hinreichende Bedingungen für ISS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

    11 Stabilität unter Messfehlern 107

    11.1 Messfehler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

    11.2 Stabilität unter Messfehlern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

    Literaturverzeichnis 110

    Index 113

  • Kapitel 1

    Einführung

    Diese Vorlesung ist eine Fortsetzung des ersten Teils “Mathematische Kontrolltheorie I: Li- neare Systeme” (www.math.uni-bayreuth.de/∼lgruene/kontrolltheorie0506/). Wie im ersten Teil werden wir uns mit kontinuierlichen Kontrollsystemen beschäftigen. Statt der im ersten Teil betrachteten linearen Dynamik werden wir nun allerdings allgemeine nichtlineare Systeme betrachten. Wir werden die zu betrachtende Systemklasse zunächst formal definieren.

    1.1 Definition

    Definition 1.1 (i) Ein Kontrollsystem in kontinuierlicher Zeit t ∈ R mit Zustand x ∈ Rn, n ∈ N, ist gegeben durch die gewöhnliche Differentialgleichung

    d

    dt x(t) = f(x(t), u(t)), (1.1)

    wobei f : Rn × U → Rn ein parameterabhängiges stetiges Vektorfeld ist. (ii) Die Menge U ⊆ Rm heißt Kontrollwertebereich, und definiert die Werte, die u(t) für t ∈ R annehmen darf. (iii) Mit U bezeichnen wir den Raum der zulässigen Kontrollfunktionen, also

    U := {u : R → U |u zulässig}

    Welche Klassen von Funktionen wir als ”zulässig“ definieren, werden wir im folgenden Abschnitt festlegen.

    Bemerkung 1.2 Statt ” d

    dt x(t)“ werden wir meist kurz ”ẋ(t)“ schreiben.

    Wir wollen diese Definition mit einem klassischen mechanischen Beispiel illustrieren.

    Beispiel 1.3 Wir betrachten ein auf einem Wagen befestigtes umgedrehtes starres Pendel, vgl. Abb. 1.1.

    1

  • 2 KAPITEL 1. EINFÜHRUNG

    M

    m

    u

    φ

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