MECHANIK IIArbeit, Energie, LeistungImpulsRotationen

M h ik IIMechanik II

Flaschenzug

M h ik IIMechanik II

• Flaschenzug• Flaschenzug: beobachte:  F1 kleiner als F2 (Gewichtskraft),

aber: r größer als raber:  r1 größer als r2

F F

genauer:                      ,  Produkt aus Kraft Weg ist konstant

1 1 2 2F r F r

F1r1 ähnliches auch bei:

schiefer Ebeneschiefer EbeneHebelFahrradübersetzung....

F2, r2

physikalische Größe

M h ik II 1 3 Arbeit Energie LeistungMechanik II 1.3 Arbeit, Energie, Leistung

• mechanische Arbeit W F • mechanische Arbeit

Einheit b k l ( hl) k k b bh

W F r 2 2[ ] (Joule)W Nm kgm s J

Arbeit ist Skalar (Zahl), kein Vektor, aber abhängig von Winkel zwischen Kraft und Weg

fü k ü t St k l ScosW F r F r

für gekrümmte Strecken als Summe (Integral) über Teilstrukturen.

Änderung der Bewegung Arbeit zuführen/entnehmen Arbeit zuführen/entnehmen

Energie: Fähigkeit Arbeit zu verrichtenz.B. Änderung der Bewegung zu verursachen

M h ik II BeispieleMechanik II Beispiele

• wirksame Kraft nur in Richtung der Bewegung (hier horizontal F )• wirksame Kraft nur in Richtung der Bewegung (hier horizontal FH)

• bei Arbeit im Schwerefeld der Erde: W=mgh; Hilfsmittel um notwendige

cos( )HF F

bei Arbeit im Schwerefeld der Erde: W mgh; Hilfsmittel um notwendige Kraft zu reduzieren: schiefe Ebene, Flaschenzug etc., Weg länger, Kraft geringer sin( )h l

( )1 sin( )GF F

0W

• keine (mechanische) Arbeit bei horizontaler Bewegung

M h ik IIMechanik II

• allgemein:allgemein: Kraftfeld                    Kraft hängt nur von ab.

( )F F r

rKraft hängt nur von     ab.r

grad GradientE

F Er

Kraft auf MP ergibt sich aus Änderung der Energie W=0  für geschlossene Wege Experiment:  Pendel

• allgemeines Konzept:  Potential g p(Energiefeld) (z.B. Schwerefeld der Erde)

M h ik II EnergieMechanik II Energie 

• Energie für Massepunkte (MP)• Energie für Massepunkte (MP)• MP in Bewegung: v

Berechne Arbeit W, die notwendig ist, um MP auf v zu beschleunigen: Kraft wirkt auf MP während bestimmter Zeit t, bzw. über best. Strecke r (z.B.  bei Auto)( )

2

0 02

2

2, für 0 g

( )

ilt

2 2

at

F W

rr v t v t at

f d t A b it

02( ) 2 2 F W

m mvv at ra r

mvW E2

• aufgewendete Arbeit:

kinetische Energie

2 kinmvW E

kinetische Energie

M h ik IIMechanik II

• MP in Höhe h (Schwerkraft wirkt)• MP  in Höhe h (Schwerkraft wirkt) potentielle Energie: B i i l Kö f Höh h 0 it A f h i di k it h

potE mgh Beispiel: Körper auf Höhe h=0 mit Anfangsgeschwindigkeit v0 nach 

oben (entgegengesetzt zur Kraft)  Körper wird abgebremst bis             dann gilt:

0v

0 b0 0 0

2 20

, 0 : , .

2 2

v v gt wenn v v gt bzw t v g

x at gh v

220

, ,02pot t kinmv

E mgh E

wenn Körper zur Ruhe kommt (Zeit t), hat er potentielle Energie (= kinetische Energie bei t=0). Diese kann ihm wieder zugeführt werden i d f A höh b h i dindem er auf Ausgangshöhe gebracht wird.

M h ik IIMechanik II

• Pendel• Pendel: Umwandlung potentielle Energie 

kinetische Energie kinetische Energie• Energiesatz: Energie ist in abgeschlossenem System konstant

M h ik IIMechanik II

• Versuch Pendel• Versuch: Pendelasymmetrisches Pendel

Höhe links und rechts gleich Energie bleibt erhalten

0

21

: 0,

: 0, /2kin pot

pot kin

P E E mgh

P E E mv

2

max maxaus Energieerhaltung: /2 2mgh mv v gh

M h ik IIMechanik II

• Pendel• Pendel: Umwandlung potentielle Energie 

kinetische Energie kinetische Energie• Energiesatz: Energie ist in abgeschlossenem System konstant

• Leistung:  Energieänderung pro ZeiteinheitP W t F r t F v

Einheit 

P W t F r t F v2 3[ ] (Watt)P J s kgm s W

M h ik II 1 4 Stoß und ImpulsMechanik II 1.4 Stoß und Impuls

stoßende Kugeln

Stöße auf der Luftkissenschiene

M h ik IIMechanik II

in Kräfte freiem abgeschlossenem System gilt: in Kräfte freiem, abgeschlossenem System gilt:(Geschwindigkeit konst.)

allgemeiner:0dv

dtF ma m

allgemeiner: (Produkt von Geschw. und Masse bleibt erhalten!)

• Impuls:

( ) 0d mvdtF

p mv • Impuls: 

mehrere Massen  m1, m2, ....p mv

1... 1...i i i

i n i n

p p mv

ohne äußere Kräfte bleibt Impuls konstant

für Analyse von Stößen definiere Schwerpunkt:  “Zentrum“ vieler Massen

1..S i i

i n

mr m r

M h ik II StoßgesetzeMechanik II Stoßgesetze

Stoß: vorher m v m v Stoß:   vorher    m1, v1, m2, v2,....nachher   m1, v'1, m2, v'2,....

Randbedingungen:Randbedingungen: Impulserhaltung: Energieerhaltung:

1 1 2 2 1 1 2 2... ...m v m v m v m v 2 2 2 2

1 1 2 2 1 1 2 2... ...m v m v m v m v

für elastische Stöße:                  ,   sonst <1I l üb

1 1 2 2 1 1 2 2

2

2 1uv

2 i

nur bei elastischen Stößen!

Impulsübertrag:• z.B.: Rakete (Düsenantrieb):

tößt äh d tM it G h i di k it

22 sinp m v u mv

stößt  während tMasse µmit Geschwindigkeit w aus, d.h. mit Impuls µw. Gesamtimpuls konst. Rakete nimmt Impuls auf, der ihr v erhöht:

w µ t m v t ma

M h ik IIMechanik II

• Versuch elastischer inelastischer Stoß• Versuch: elastischer – inelastischer Stoß

v1v2

vorher nachher

1 1 2 2 1 1 2 2m v m v m v m v

Vorzeichen beachten !

v1 v2v1 v2

v'1 =v'2=v'1 1 2 2 1 2( )m v m v m m v

vorher nachher

M h ik II StoßgesetzeMechanik II Stoßgesetze

Stoß: vorher m v m v Stoß:   vorher    m1, v1, m2, v2,....nachher   m1, v'1, m2, v'2,....

Randbedingungen:Randbedingungen: Impulserhaltung: Energieerhaltung:

1 1 2 2 1 1 2 2... ...m v m v m v m v 2 2 2 2

1 1 2 2 1 1 2 2... ...m v m v m v m v

für elastische Stöße:                  ,   sonst <1I l ä d

2

2 1vv

2 i

nur bei elastischen Stößen!1 1 2 2 1 1 2 2

Impulsänderung:• z.B.: Rakete (Düsenantrieb):

tößt äh d tM it G h i di k it

22 sinp m v v mv entspricht Kraftwirkung!

stößt  während tMasse µmit Geschwindigkeit w aus, d.h. mit Impuls µw. Gesamtimpuls konst. Rakete nimmt Impuls auf, der ihr v erhöht:

w µ t m v t ma

M h ik II R t tiMechanik II Rotationen

M h ik II 1 5 RotationenMechanik II 1.5 Rotationen

• Kreisbahn neue Koordinaten!• Kreisbahn:                          neue Koordinaten!

.... Bahngeschwindigkeit k l d k h

v rv

....  Winkel unter dem Massepunkt gesehenwird, ändert sich mit der Zeit t.

Wi k l h i di k it [1/ ]2 1( ) ( )t t d

Winkelgeschwindigkeit  [1/s] (Drei‐Finger‐Regel)

U l f it

2 1 2 1t t dtt t

v r v r

Umlaufzeit (Zeit innerhalb der Winkel von 2 überstrichen wird)

Einschub: Winkel Einheit: Radiant (° Grad)

2 2rvT

Einschub: Winkel     Einheit:   Radiant   ( Grad)   

(Bogenmaß: Länge des Kreisbogens mit Einheitsradius)     

60/3 90/2 1202/3 180 3602

M h ik II ZentripedalkraftMechanik II Zentripedalkraft

• evtl konstant aber nicht geradlinigv evtl. konstant, aber nicht geradlinig

Änderung von      nur wenn Kraft wirkt, bzw. Beschleunigung 

vv

g gAnalyse über ähnliche Dreiecke

v vAB rr r vv

vtv

r r

v a

Beschleunigung durch eine, auf das Zentrum gerichtete KraftZentripedalkraft

r r vv tr v

2 2 2va r F m r Zentripedalkraft nach actio = reactio gibt es eine Gegenkraft:   Zentrifugalkraft in rotierendem Bezugssystem weitere Kraft:  

ra r F m r

g yKugel aus Zentrum kommend bewegt sich geradlinig,im rot. System wird sie aber abgelenkt  Kraft vergleiche Ablenkung mit 2 2/2at v t 2a v vergleiche Ablenkung mit                             

Corioliskraft    /2 Kat v t 2c Ka v

2cF m v

M h ik II

ResumeeMechanik II

• Kreisbahnen erfordern Zentripetalkraft• Kreisbahnen erfordern Zentripetalkraft

G it ti k ft i kt l Z t i t lk ft• Gravitationskraft wirkt als Zentripetalkraft (Planeten)

M h ik IIMechanik II

• Zentripedalkraft notwendig um MP auf Kreisbahn zu halten sie ist aber• Zentripedalkraft notwendig, um MP auf Kreisbahn zu halten, sie ist aber nicht Ursache für Rotation  andere Größe ! 

• Betrachte Energie eines rotierenden Körpers (Summe von MP): Energie eines MP    Ekin=mv2/2,  vi=ri,

2 2 21 12 2rot i i i i

i i

E mv m r wenn mit v identifiziert wird, muss Summe mit Masse identifiziert werden.

• Trägheitsmoment:   (               )  [kg m2]

i i

2i iJ m r 2 ( )r r dV

Massenteile wirken sich bei Rotation umso mehr aus, je weiter sie von Drehachse entfernt sind

Satz von Steiner: Trägheitsmoment um bel Achse ist Summe des TMSatz von Steiner: Trägheitsmoment um bel. Achse ist Summe des TM um Achse durch Schwerpunkt und Trägheitmoment eines Massepunkts mit Gesamtmasse im Schwerpunkt A S ASJ J Md

• Drehmoment:                             (            )       [Nm]• Drehimpuls:    

ddtT rF J

T r F

i i iL m r v

2i i i i im r r m r J

M h ik II Analogie zwischen Translation u RotationMechanik II Analogie zwischen Translation u. Rotation

• Bei Kraft F wird Körper beschleunigt und legt in Zeit tWeg r• Bei Kraft F wird Körper beschleunigt und legt in Zeit tWeg rzurück

• Bei Drehmoment T wird Körper beschleunigt rotiert und überstreicht in Zeit t einen Winkel überstreicht in Zeit t einen Winkel 

M h ik II RotationsenergieMechanik II Rotationsenergie

• unterschiedliche Körper mit gleicher• unterschiedliche Körper mit gleicher Masse rollen über schiefe Ebene

• Energieerhaltung: E E const Energieerhaltung:aber:

pot kinE E const ( ) ( )kin t ranslation rot ationE E E

2

212

Hohlzylinder

Vollzylinder

J mr

J mr

vor Versuch: am Ende der schiefen Ebene:

potE E mgh 2 21 1

2 2kinE E mv J 22

5

2 23

y

Kugel

H hlk l

J mr

J mr

2 22

3Hohlkugel

JJ

J

c

mr

mr

2 21 12 2

22 212

2

vJ r

mgh mv J

mgh m v c r

je größer cJ, desto kleiner v

2

21

2 1

J

J

ghc

gh v c

v

M h ik II RotationsenergieMechanik II Rotationsenergie

• unterschiedliche Körper mit gleicher• unterschiedliche Körper mit gleicher Masse rollen über schiefe Ebene

• Energieerhaltung: E E const Energieerhaltung:aber:

pot kinE E const ( ) ( )kin t ranslation rot ationE E E

2

212

Hohlzylinder

Vollzylinder

J mr

J mr

vor Versuch: am Ende der schiefen Ebene:

potE E mgh 2 21 1

2 2kinE E mv J 22

5

2 23

y

Kugel

H hlk l

J mr

J mr

2 22

3Hohlkugel

JJ

J

c

mr

mr

2 21 12 2

22 212

2

vJ r

mgh mv J

mgh m v c r

je größer cJ, desto kleiner v

2

21

2 1

J

J

ghc

gh v c

v

• Maxwell‐Rad, Jo‐Jo: fällt "langsam", da pot. Energie in Et+Erot aufgeteilt wird     

M h ik IIMechanik II

M h ik II BeispieleMechanik II Beispiele

Zentrifuge: Zentrifuge: Wäschezentrifuge: auf Wasser wirkt keine Zentripedalkraft, fliegt raus.Laborzentrifuge: Fm  Teilchen mit hoher Dichte =m/V nach außen

Gleichgewichtsorgan: Bogengänge empfindlich auf Rotationen (träge Masse der Flüssigkeit drückt auf GalertpfropfenFlüssigkeit drückt auf Galertpfropfen und dehnt Sinneshärchen)

Foucault'sches PendelPendel schwingt frei, aus rotierendem Systembetrachtet ändert es kontinuierlich seine Schwingungsebene (Corioliskraft)g g

komplexere Bewegungen (Kreisel, Planeten)

M h ik II Drehmoment und Starre KörperMechanik II Drehmoment und Starre Körper

• Ungleiche Gewichte stehen im• Ungleiche Gewichte stehen im Gleichgewicht in Abständen, die sich umgekehrt verhalten wie gdie Gewichte.  (Archimedes, um 250 v. Chr.)

Ist eine belasteter Hebel im Gleichgewicht, so liegt sein Schwerpunkt über/unter der Achse

• Gleichgewicht (Körper in Ruhe) wennGleichgewicht (Körper in Ruhe), wenn Summe aller angreifenden  Kräfte und Drehmomente verschwindet

" f f "1.. 1..

0 und 0i ii n i n

F T

"Kraft x Kraftarm = Last x Lastarm"

M h ik II HebelgesetzeMechanik II Hebelgesetze

0 und 0i iF T

• Balkenwaage1.. 1..i n i n

• Stehaufmännchen

• "folgsame Rolle":  Jo‐Jo am Boden aufrollen/abrollenRollenachse ist nicht Drehachse! Auflagepunkt am Boden !Rollenachse ist nicht Drehachse!  Auflagepunkt am Boden ! Drehmoment um diesen Punkt entscheidet über Drehrichtung

M h ik II HebelgesetzeMechanik II Hebelgesetze

0 und 0i iF T

• Drehmomente beim Fahrrad

1.. 1..i n i n

• Drehmomente beim Fahrrad

Bi b t t kt• Bizeps gebeugt – gestrecktKraft FBs größer als Last F wegen kürzerem Hebelaufzuwendende Kraft FB noch größer, wenn Arm gestreckt 

M h ik II ZusammenfassungMechanik II Zusammenfassung

• Arbeit Energie Leistung• Arbeit, Energie, Leistung unterschiedliche Energieformen (kinetische, potentielle ...)

h l b hl ( d l) Energieerhaltung in abgeschlossenen Systemen (Pendel)

• Impuls Impulserhaltung Stoßgesetze, Rückstoß

• Rotation Winkel – Winkelgeschwindigkeit – Drehmoment g g Trägheitsmoment Drehimpulsp