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Vorkurs Mathematik

M.Ed. Cornelius OttoTU Dortmund, Fakultät für Mathematik

Sommersemester 2019

Kapitel 13

Rechenregeln zur Differential- und Integralrechnung

Heute wollen wir die bekannten Regeln zur Differential- und Integralrechnungwiederholen, und einige neue ergänzen.

2/30 M.Ed. Cornelius Otto Vorlesung - Vorkurs Mathematik für BCI/BW/MB

13.1 - Ableitungsregeln

Welche Ableitungsregeln kennt Ihr noch?Wir behandeln heute die folgenden:

� Potenzregel

� Summenregel

� Faktorregel

� Produktregel

� Quotientenregel

� Kettenregel


13.2 - Potenzregel

Wiederholen wir kurz, wie man einzelne Monome ableitet. Monome sind dabeiPolynome, die aus nur einem Summanden bestehe, wie z.B. x3.

Beispiel (13.1)

Nehmen wir das Beispiel von oben, x3. Wollen wir dieses Monom an einer beliebigenStelle x0 ableiten, so ist

limh→0

f (x + h)− f (x)h

= limh→0

(x + h)3 − x3

h= lim

h→0

(x + h)2 · (x + h)− x3

h

= limh→0

(x2 + 2xh + h2)(x + h)− x3

h

= limh→0

x3 + 3x2h + 3xh2 + h3 − x3

h

= limh→0

3x2h + 3xh2 + h3

h= lim

h→03x2 + 3xh + h2 = 3x2.


13.2 - Potenzregel

Ein Monom wird also abgeleitet, indem man mit dem Exponenten multipliziert, undden vorherigen Exponenten um einen reduziert, hier also

(x3)′ = 3 · x3−1 = 3 · x2.

Das heißt für beliebige Monome gilt:

Satz (13.2)

Für n ∈ N und x ∈ R gilt(xn)′ = n · xn−1


13.3 - Summenregel

Die Summenregel ist sehr intuitiv, weil sie absichert, was man vermutlich ohnehin tunwürde.

Beispiel (13.3)

Nehmen wir z.B. das Polynom x3 + x2. Wie wir die einzelnen Monome ableiten wissenwir nun. Die Summe abgeleitet ergibt:

(x3 + x2)′ = 3x2 + 2x

Allgemein also

Satz (13.4)

Für zwei Funktionen f (x) und g(x) gilt:

(f (x) + g(x))′ = f ′(x) + g′(x)

Wir können die Summe von Funktionen also einfach summandenweise ableiten.


13.4 - Faktorregel

Beispiel (13.5)

Als nächstes erinnern wir uns daran, wie man mit einem Faktor vor einerabzuleitenden Funktion umgeht. Nehmen wir z.B.

4 · x3

Wie man x3 ableitet, wissen wir. Für den Faktor gilt

(4 · x3)′ = 4 · 3 · x2 = 12x2

Wir können also allgemein sichern:

Satz (13.6)

Für eine Funktion f (x) und a ∈ R gilt:

(a · f (x))′ = a · f ′(x)


13.4 - Faktorregel

Nun können wir Polynome mit Koeffizienten ableiten. Daran üben wir uns kurz.Berechnet die Ableitung von:

1. f1(x) = −x2 + 4x − 3

2. f2(x) = 2x13 + 3x4 − 3x2 + 14x

3. f3(x) = 5x−2 + 3x

1. f ′1(x) = −2x + 4

2. f ′2(x) = 26x12 + 12x3 − 6x + 14

3. f ′3(x) =−10x3 + 3


13.5 - Produktregel

Die nächste Regel, die wir kennenlernen, ist - anders als die vorangegangenen - nichtintuitiv. Betrachten wir hierzu einmal x2 und x3. Das Produkt daraus ist x5, und(x5)′ = 5x4. Würde man das Produkt x2 · x3 wie oben faktorweise ableiten, käme aber

(x2 · x3)′ = 2x · 3x2 = 6x3

heraus, was nicht mit der richtigen Ableitung übereinstimmt.

Satz (13.7)

Für das Produkt aus zwei Funktionen f (x) und g(x) gilt

(f (x) · g(x))′ = f ′(x)g(x) + f (x)g′(x)


13.5 - Produktregel

Beispiel (13.8)

Wir nehmen wieder unser Produkt von oben. Natürlich ergibt es viel mehr Sinn, dasProdukt erst zu berechnen, und dann abzuleiten, aber zur Veranschaulichung:

(x2 · x3)′ = 2x︸︷︷︸f ′

· x3︸︷︷︸g

+ x2︸︷︷︸f

· 3x2︸︷︷︸g′

= 2x4 + 3x4

= 5x4

Jetzt sehen wir, dass die Ableitung übereinstimmt.


13.6 - Quotientenregel

Mit Hilfe der Quotientenregel lassen sich, wie der Name schon andeutet, Quotienten,also Brüche, von zwei Funktionen ableiten. Theoretisch bräuchte man dafür keineeigene Formel, da Quotienten ja auch eine Art Produkt sind, nämlich das mit demKehrwert. Es ist aber leichter, sich die Formel einzuprägen, als jedes Mal denumständlichen Weg zu gehen.

Satz (13.9)

Für zwei Funktionen f (x) und g(x) mit g(x) 6= 0 ∀x ∈ R gilt(f (x)g(x)

)′=

f ′(x)g(x)− f (x)g′(x)g2(x)

Wir sehen eine gewisse Ähnlichkeit zur Produktregel: Anstelle des „+” steht hier ein „-”im Zähler, der neu dazugekommene Nenner wird einfach quadriert.



Beispiel (13.10)

Nehmen wir die zwei Funktionen f (x) = x3 und g(x) = 2x2 − 8, wobei wir {−2, 2},also die Nullstellen von g(x) ausschließen. Dann gilt

(f (x)g(x)

)′=

(x3

2x2 − 8

)′=

(

f ′︷︸︸︷3x2 ) · (

g︷︸︸︷2x2 − 8)− (

f︷︸︸︷x3 ) · (

g′︷︸︸︷4x1 )

(2x2 − 8)2︸︷︷︸g2

=6x4 − 24x2 − 4x4

(2x2 − 8)2 =2x4 − 24x2

(2x2 − 8)2

Berechnet für f (x) = x und g(x) = x2 − 4, g(x) 6= 0

1. (f (x) · g(x))′

2.(

f (x)g(x)

)′12/30 M.Ed. Cornelius Otto Vorlesung - Vorkurs Mathematik für BCI/BW/MB


1. 3x2 − 4

2.−x2 − 4(x2 − 4)2


13.7 - Kettenregel

Die Kettenregel liefert die Möglichkeit, die Ableitung von Verkettungen zweierFunktionen zu berechnen. Was Verkettungen von Funktionen sind haben wir in derersten Woche gelernt. Manche von Euch werden sich vielleicht noch an denAusspruch „Äußere mal innere Ableitung” erinnern.

Satz (13.11)

Für die Verkettung von zwei Funktionen f (x) und g(x) gilt:

(f (g(x))′ = f ′(g(x)) · g′(x),

wobei der Wertebereich von g im Definitionsbereich von f enthalten sein muss.


13.7 - Kettenregel

Beispiel (13.12)

Berechnen wir mit Hilfe der Kettenregel die Ableitung der Funktion (2x + 1)2.((2x + 1)2

)′= 2 · (2x + 1)︸︷︷︸

f ′(g(x))

· 2︸︷︷︸g′(x)

Berechnet für f (x) = ex und g(x) = 3x2

1. (f (g(x)))′

2. (g(f (x)))′

1. 6x · e3x2

2. 6e2x


13.8 - Integrationsregeln

Nun wollen wir einmal die Integrationsregeln wiederholen bzw. um neue ergänzen. AmEnde kennen wir die folgenden:

� Potenzregel

� Summenregel

� Faktorregel

� Produktintegration bzw. Partielle Integration

� Integration durch Substitution


13.9 - Potenzregel

Für die Potenzregel nehmen wir die folgende Situation als Ausgang: Wir haben eineFunktion f (x) = xn, die die Ableitung einer unbekannten Funktion ist. Wie wird dieseFunktion ausgesehen haben? Wir wissen ja, wie wir eine Funktion ableiten.

Beispiel (13.13)

Wenn x3 unsere Funktion ist, wissen wir, dass der Exponent vorher um 1 höhergewesen sein muss, also c · x4. Ferner wissen wir, dass beim Ableiten der alteExponent als Faktor vor die Funktion geschrieben wird. Da der Faktor unsererFunktion x3 nun 1 ist, muss dieser Exponent bei der Ausgangsfunktion im Nennergestanden haben, also 1

4 x4. Insgesamt gilt

Definition (13.14)

∫xndx =

1xn+1 xn+1 + c


13.10 - Summenregel

Die Summenregel der Integralrechnung ist ebenso intuitiv wie die derDifferentialrechnung, daher schreiben wir die Regel direkt nieder:

Satz (13.15)

Für die Summe zweier integrierbarer Funktionen f (x) und g(x) gilt∫f (x) + g(x)dx =

∫f (x)dx +

∫g(x)dx

Analog zur Regel in der Differentialrechnung werden also auch Summen vonFunktionen hier summandenweise integriert.


13.11 - Faktorregel

Auch die Faktorregel sieht sehr ähnlich aus:

Satz (13.16)

Für a ∈ R und ein integrierbares f (x) gilt∫a · f (x)dx = a ·

∫f (x)dx

Die Ergebnisse können wir nun nutzen, um Polynome zu integrieren, denn

Beispiel (13.17)

∫3x3 + 2x − 4dx SR

=

∫3x3dx +

∫2xdx −

∫4dx

FR= 3

∫x3dx + 2

∫xdx −

∫4dx

= 3 · 14

x4 + 2 · 12

x2 − 4x + c


13.12 - Partielle Integration

Analog zur Differentialrechnung können wir auch bei der Integralrechnung Produktevon Funktionen nicht einfach faktorweise integrieren, sondern brauchen eine spezielleRegel dafür. Die Regel lässt sich über die Produktregel der Differentialrechnungherleiten. Hierbei nutzen wir aus, dass Ableiten und Integrieren „Umkehrungen”voneinander sind:

Bemerkung (13.18)

(f (x)g(x))′ = f ′(x)g(x) + f (x)g′(x)∣∣∣∣Int .

⇔f (x)g(x) =

∫f ′(x)g(x)dx +

∫f (x)g′(x)dx

∣∣∣∣− ∫ f (x)g′(x)dx

⇔∫

f ′(x)g(x)dx = f (x)g(x)−∫

f (x)g′(x)dx



Satz (13.19)

Das Produkt zweier stetig differenzierbarer Funktionen f ′(x) und g(x) wird wie folgtintegriert: ∫

f ′(x)g(x)dx = f (x)g(x)−∫

f (x)g′(x)dx

Beispiel (13.20)

Da diese Regel ziemlich unübersichtlich erscheint, gehen wir das einmal an einemBeispiel durch. ∫

ex · 3xdx

Jetzt schauen wir uns die Bestandteile des Integranden an und sehen∫ex︸︷︷︸

f ′(x)

· 3x︸︷︷︸g(x)

dx



Beispiel (13.20)

Nun versuchen wir die Formel etwas übersichtlicher darzustellen, in einer kleinenNebenrechnung:

f ′ fg g′

Das sind die Bestandteile unserer Formel. Jetzt müssen wir uns nur merken, wo diesein die Formel eingesetzt werden. Diese müssen noch integriert werden:

f ′ = ex f = ex

g = 3x g′ = 3

Das ist der bereits integrierte Teil:

f ′ = ex f = ex

g = 3x g′ = 3



Beispiel (13.20)

Insgesamt ist dann∫f ′(x)g(x)dx =

∫ex · 3xdx = ex · 3x −

∫ex · 3dx

= ex · 3x − 3ex + c

= ex(3x − 3) + c

Ein kleines Bild dazu an der Tafel:

Bemerkung (13.21)

Bei der Aufgabenstellung steht natürlich nie dabei, welche der beiden Funktionen alsf ′, also zu integrierende, und welche als zu differenzierendes g zu wählen ist.Prinzipiell wählt man f ′ so, dass es beim integrieren kein „schwieriger” Ausdruck wird,während das Ableiten g vereinfacht. Wie oben gesehen, sind Polynome meist einegute Wahl für das abzuleitende g.



Einige Übungen:

1.∫

x · sin(x)dx

2.∫

x · ex dx

1. −x · cos(x) + sin(x)+c

2. ex(x − 1)+c


13.13 - Integration durch Substitution

Das Analogon zur Kettenregel der Differentialrechnung ist die Integration durchSubstitution. Sie hilft uns Verkettungen wie z.B. sin(2x) zu integrieren. Dabei ist dieäußere Funktion sin(x), die innere 2x .

Satz (13.22)

Sei g(x) („innere Funktion”) und f (x) („äußere Funktion”) stetig differenzierbar. Dannist ∫

f (g(x)) · g′(x)dx =

∫f (t)dt .

Beispiel (13.23)

Wie wir sehen, ist die innere Funktion g(x) ersetzt worden durch t, dx ist zu dtgeworden. Der g′(x)-Teil ist verschwunden. Wieso das so ist, schauen wir uns aneinem Beispiel an: ∫

sin(2x)dx .



Beispiel (13.23)

Die innere Funktion, die wir substituieren, ist nun t. Damit gilt:

t = 2xt ′ = dt

dx = 2⇔ dx = dt

2

Setzen wir das oben ein, so sehen wir∫sin(2x)dx =

∫sin(t)

dt2

=

∫12sin(t)dt

Die Stammfunktion des Sinus kennen wir, da cos′(x) = − sin(x), also ist∫sin(x)dx = − cos(x) + c. Damit gilt für unser Integral∫

12sin(t)dt = −1

2cos(t) + c.



Beispiel (13.23)

Jetzt steht in unserer Funktion aber noch t , gesucht war aber eine Stammfunktion inAbhängigkeit von x . Da wir zu Beginn Substituiert haben, wenden wir jetzt eineRücksubstitution an.

−12cos(t) + c t=2x

= − 12cos(2x) + c.

Damit ist also insgesamt ∫sin(2x)dx = −1

2cos(2x) + c



Wir halten die Schritte, die wir bei der Integration durchlaufen sind, einmal fest:

� Bestimme g(x) und g′(x)

� Substituiere g(x) = t und g′(x) = dtdx

� Berechnung einer Stammfunktion F von f

� Rücksubstitution.



Übung:

1.∫

sin(3− 7x)dx

2.∫

x√2 + x2

dx

1.17cos(3− 7x) + c

2.√

2 + x2 + c


Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit !


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