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Mikrookonomik B1. Intertemporale Entscheidung

Paul Schweinzer

23. April 2009.

Mikro B - 1.1 Intertemporale Entscheidung

Budget Budgetmenge Praferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion

Intertemporale Entscheidung

◮ Literaturangaben:◮ Varian (2007), Kapitel 10, 11 und 30.3.

◮ Ausgangspunkt: Konsumententheorie, d.h.Konsumentscheidung uber die Zusammensetzungverschiedener Guterbundel.

◮ Alternative Interpretation: Entscheidung uberKonsumzeitpunkte (Intertemporale Entscheidungstheorie).

◮ Anwendungen: Investitions- und Sparentscheidungen, Finanz-und Kreditmarkte, Makrookonomie.

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Notation

◮ Es gebe T ∈ N verschiedene Zeitperioden.

◮ xt bezeichnet Anzahl an Einheiten eines Gutes in Periode t.

◮ Es wird nur ein (beliebig teilbares) Gut betrachtet, es konntez.B. stellvertretend fur einen Warenkorb stehen.

◮ Der Vektor x = (x1, x2, . . . , xT ) ist ein Konsumplan.

◮ Die Konsummenge X beschreibt die Menge aller moglichenKonsumplane, d.h. es gilt: x ∈ X . X beschreibt dieKonsummoglichkeiten eines Konsumenten.

◮ Eigenschaften: X sei eine abgeschlossene, beschrankte undkonvexe Teilmenge des R

T+ und enthalte 0.

◮ Ublicherweise Einschrankungen beim tatsachlichen Konsumz.B. durch begrenztes Budget ⇒ Budgetmenge.

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Budgetmenge

◮ Analog zur Konsumententheorie kann Konsument nur solcheKonsumplane wahlen, deren Gesamtpreis das verfugbareEinkommen des Konsumenten nicht ubersteigen.

◮ Preis: pt > 0 bezeichnet den Preis des Gutes in Periode t.

◮ Einkommen: mt ist das exogen gegebene monetareEinkommen eines Konsumenten in Periode t.

◮ Formal heißt das, der Konsument kann nur solcheKonsumplane x wahlen, die in der Budgetmenge B liegen.B enthalt alle xtpt , die kleinergleich dem zum Zeitpunkt t

verfugbaren Einkommen sind.

◮ B wird davon abhangen, ob Einkommen in Periode t inandere Perioden ubertragen werden kann.

◮ D.h., welche Instrumente der Kapitalmarkt bereitstellt (z.B.Sparkonten, Kredite, Renten. . . ).

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Budgetmenge ohne Kapitalmarkt

◮ Annahme: Ein Kapitalmarkt existiert nicht, Perioden-Einkommen mt kann nur in Periode t ausgegeben werden.

◮ Was ist die Budgetmenge B?

◮ Alle Konsumplane x , so dass die Kosten das Einkommen injeder Periode t nicht ubersteigen:

B = {x ∈ X : p1x1 ≤ m1, p2x2 ≤ m2, . . . , pT xT ≤ mT}.

◮ Das Optimierungsproblem ist trivial:Falls mehr Konsum besser ist, fallt der optimale Konsumplanmit dem verfugbaren Einkommen zusammen.

◮ Ist dieses Szenario realistisch?

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Zwei-Perioden-Fall graphisch

Konsum in Periode 1 x1

Ko

nsu

m in

Pe

rio

de

2 x

2

Budgetmenge B

m2/p

2

m1/p

1

(m1/p

1,m

2/p

2)

m2/p

2 +

(1+r)m1/p

2

(m2/(1+r)+m

1)/p

1

Anfangs-Einkommen m1

und m2 bestimmen einenKonsumplan x1 = m1/p1

und x2 = m2/p2, der in derBudgetmenge liegen muß.

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Ko

nsu

m in

Pe

rio

de

2 x

2

Budgetmenge B

m2/p

2

m1/p

1

(m1/p

1,m

2/p

2)

m2/p

2 +

(1+r)m1/p

2

(m2/(1+r)+m

1)/p

1

Budgetmenge beiEinkommen m1 und m2

ohne Zugang zumKapitalmarkt: x1 ≤ m1/p1

und x2 ≤ m2/p2.

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Budgetmenge mit Kapitalmarkt

◮ Annahme: ein Sparmarkt existiert, in jeder Periode kann zumZinssatz 1 + r Einkommen fur die Dauer von einer Periodeangelegt werden. Es gibt keine Kredite.

◮ Falls ein Betrag y in Periode t angelegt wird, steht in Periodet + 1 ein Betrag von (1 + r)y zur Verfugung.

◮ Manchmal wird 1 + r Brutto-Zinssatz und r derNetto-Zinssatz genannt.

◮ Was ist die Budgetmenge B?

B = {x ∈ X : p1x1 ≤ m1,

p2x2 + (1 + r)p1x1 ≤ m2 + (1 + r)m1, . . . ,T∑

t=1

(1 + r)T−tptxt ≤T∑

t=1

(1 + r)T−tmt}.

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Ko

nsu

m in

Pe

rio

de

2 x

2

Budgetmenge B

m2/p

2

m1/p

1

(m1/p

1,m

2/p

2)

m2/p

2 +

(1+r)m1/p

2

(m2/(1+r)+m

1)/p

1

-(1+r)p1/p

2

Einkommen in t = 1 kannnach t = 2 ubertragenwerden, aber nichtumgekehrt.

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Budgetmenge

◮ Annahme: vollstandiger Kapitalmarkt, in jeder Periode kannzum Zinssatz 1 + r Einkommen fur die Dauer von einerPeriode angelegt oder ausgeliehen werden.

◮ Einkommen kann vorwarts und ruckwarts durch die Zeitreisen.

◮ D.h., wir haben relative Preise fur Periodeneinkommen undkonnen das Lebens-Einkommen in allen Perioden auch inEinkommen in einer beliebigen Periode t ausdrucken.

◮ Z.B. in t = 1 Einkommen:

y = m1 +m2

1 + r+

m3

(1 + r)2+ . . . +

mT

(1 + r)T−1.

◮ y nennt man auch Barwert (Gegenwartswert) desEinkommensstroms m1,m2, . . . ,mT .

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Budgetmenge

◮ Nachdem Perioden-Einkommen beliebig in andere Periodentransferiert werden kann, ergibt sich die Budgetmenge zu

B =

{

x ∈X : p1x1 +p2x2

1+r+ . . . +

pT xT

(1+r)T−1≤

T∑

t=1

mt

(1+r)t−1

}

.

◮ Das bedeutet: Der Barwert der Kosten eines Konsumplans x

darf den Barwert des verfugbaren Lebenseinkommens nichtubersteigen.

◮ Analogie zur Konsumentscheidung bei mehreren Gutern ineiner Periode, falls das Einkommen durch eineAnfangsausstattung an Gutern gegeben ist. Wie dort wird hierdas Einkommen endogenisiert.

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Ko

nsu

m in

Pe

rio

de

2 x

2

Budgetmenge B

m2/p

2

m1/p

1

(m1/p

1,m

2/p

2)

m2/p

2 +

(1+r)m1/p

2

(m2/(1+r)+m

1)/p

1

-(1+r)p1/p

2

Einkommen in t = 1 kannnach t = 2 ubertragen werden,und umgekehrt. Budgetmengebestimmt durch

x1p1 +x2p2

1 + r≤ m1 +

m2

1 + r.

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Praferenzen uber intertemporale Konsumplane

◮ Wie uber Guterbundel hat ein Konsument auch Praferenzenuber intertemporale Allokation, also Konsumplane.

◮ Ubliche Annahme: die Praferenzen uber Konsumplane einesKonsumenten sind darstellbar durch eine Nutzenfunktionu(x1, x2, . . . , xT ).

◮ Meist machen wir die folgenden Annahmen◮ konvexe Praferenzen: Fur alle Konsumplane x , x ′ ∈ X ist die

Bessermenge {x ′ ∈ X : u(x ′) ≥ u(x)} konvex,◮ monotone Praferenzen: mehr Konsum eines Gutes ist

(schwach) besser als weniger.

◮ Intuition: Kombination von zwei gleich guten Konsumplanenwird gegenuber jedem der beiden Konsumplane praferiert.

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Konvexe Praferenzen graphisch

x1

x2

x'

xu(tx+(1-t)x') > u(x) = u(x')

Indi!erenzkurve

Besser-Richtung

Jede positive Mischungder Konsumplane x undx ′ liegt in der Besser-menge von x .Ausgewogene Konsum-plane werden praferiert.

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Optimale intertemporale Konsumentscheidung

◮ Analog zur Konsumententheorie maximiert der Konsumentseinen Nutzen uber alle Konsumplane in der Budgetmenge:

maxx∈X

u(x) s.d. x ∈ B .

◮ Unter monotones Praferenzen und vollstandigem Kapitalmarktist das Optimierungsproblem

maxx∈X

u(x) s.d.

T∑

t=1

ptxt

(1 + r)t−1=

T∑

t=1

mt

(1 + r)t−1.

◮ Bezeichne die Losung dieses Problems mit x∗.

◮ Graphisch: x∗ ist Tangentialpunkt von Budgetmenge undIndifferenzkurve.

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Konsum in Periode 1

Ko

nsu

m in

Pe

rio

de

2

x1

*

m2

m1

x2

* x*

m

Bg

I

Optimaler Konsumplan x∗

ist Tangentialpunkt vonBudgetgerade Bg undIndifferenzkurve I . Wennx∗

1 > m1/p1, dann ist derKonsument Kreditnehmer.

(Vereinfachende Annahme in der Graphik: p1 = p2 = 1.)

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◮ Ubliche Annahme: Exponentielles Diskontieren

u(x) = u(x1) + δu(x2) + δ2u(x3) + . . . + δt−1u(xt).

◮ δ ist der Diskontfaktor, mit dem zukunftiger Nutzen bewertetwird.

◮ δ mißt Ungeduld eines Konsumenten: je hoher δ, destowichtiger ist dem Konsumenten zukunftiger Konsum imVergleich zu gegenwartigem Konsum.

◮ Vorteil dieser Formulierung: Verhalten des Konsumenten istkonsistent uber die Zeit.

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◮ Optimierungsproblem mit zwei Perioden:

maxx1,x2

u(x1) + δu(x2) s.d. p1x1 +p2x2

1 + r= m1 +

m2

1 + r.

◮ Aus der Budgetgleichung folgt x2 = (1+r)(m1−p1x1)+m2

p2.

◮ Einsetzen ergibt die Bedingung erster Ordnung

∂u(x1)

∂x1= (1 + r)

p1

p2δ∂u(x2)

∂x2.

◮ Das bedeutet, der Grenznutzen einer Einheit zukunftigenKonsums entspricht genau dem Grenznutzen einer Einheitgegenwartigen Konsums zum Preis (1 + r)p1

p2.

◮ Bedingung erster Ordnung auch hinreichend?

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Veranderung des Zinssatzes

◮ Was passiert bei Anderung des Zinssatzes 1 + r?

◮ Die Kosten fur Kreditaufnahme bzw. die Ertrage ausErsparnissen verandern sich.

◮ D.h. der Preis fur zukunftigen Konsum verandert sich imVergleich zum Preis fur gegenwartigen Konsum.

◮ Dadurch verandert sich die Budgetmenge:◮ Bei einer Zinssenkung kommen kreditfinanzierte Konsumplane

hinzu, ersparte fallen weg.◮ Bei einer Zinserhohung fallen kreditfinanzierte Konsumplane

weg, ersparte kommen hinzu.

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Komparative Statik im Zwei-Perioden-Fall graphisch

Konsum in Periode 1

Ko

nsu

m in

Pe

rio

de

2

m

x*

x**

B(r1)B(r

2)

−(1 + r1)p1p2

Ausgangssituation:Optimale intertemporaleKonsumentscheidung x∗

bei Einkommen m undZinssatz 1 + r1. K istKreditnehmer in t = 1.

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Konsum in Periode 1

Ko

nsu

m in

Pe

rio

de

2

m

x*

x**

B(r1)B(r

2)

−(1 + r2)p1p2

Zinssatz erhoht sich aufr2 > r1.Neue Budgetgerade istDrehung der alten um m.x∗ ist nicht mehr in derBudgetmenge enthalten.

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Konsum in Periode 1

Ko

nsu

m in

Pe

rio

de

2

m

x*

x**

B(r1)B(r

2)

Optimaler Konsumplan istnun x∗∗. Zinserhohung be-wirkt Konsumverlagerungvon Periode 1 nach 2—hier so stark, dass KKreditgeber wird.

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◮ Im graphischen Beispiel bewirkt die Zinserhohung, daßzukunftiger Konsum billiger wird und der Konsument dengegenwartigen Konsum einschrankt.

◮ Muss der gegenwartige Konsum immer sinken, wenn derZinssatz steigt?

◮ Um diese Frage zu beantworten, konnen wir dieSlutsky-Gleichung benutzen.

◮ Zur Erinnerung: Die Slutsky-Gleichung besagt, dass dieNachfrage-Anderung nach einem Gut im eigenen Preis sich inSubstitutionseffekt und Einkommenseffekt aufteilen laßt.

◮ Der Substitutionseffekt ist der Preisanderung entgegengesetzt.

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◮ Eigener Preis: Preis fur eine Einheit x1 ist p1(1 + r) gemessenin monetarem Einkommen in Periode 2.

◮ Slutsky-Gleichung formal:

∂x∗

1

∂p1(1+r)︸︷︷︸

=∂xh

1

∂p1(1+r)︸︷︷︸

+

(m1

p1− x∗

1

)∂x∗

1

∂m︸︷︷︸

,

Nachfrageanderung = Substitutions- + Einkommenseffekt

◮ Einkommenseffekt: Anderung von 1 + r wirkt auf Einkommenm1 und Konsum x1, Nettoeffekt ist entscheidend.

◮ Falls Zinssatz steigt und Konsum ein normales Gut:Substitutionseffekt ist negativ und Einkommenseffekt positiv.

◮ D.h. Kreditnehmer werden ihren gegenwartigen Konsumverringern, Kreditgeber konnten ihn auch erhohen.

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Slutsky-Gleichung im Zwei-Perioden-Fall graphisch

Konsum in Periode 1

Ko

nsu

m in

Pe

rio

de

2

x**

1x

*

1

x*

x**

B(r1)B(r

2)SE

EE

m

m1

xh

1

Ausgangssituation:optimale intertemporaleKonsumentscheidung x∗ beiEinkommen m und Zins r1.Konsument ist Kreditgeber.

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Konsum in Periode 1

Ko

nsu

m in

Pe

rio

de

2

x**

1x

*

1

x*

x**

B(r1)B(r

2)SE

EE

m

m1

xh

1

Zinserhohung auf r2 > r1,neue Budgetgerade istDrehung der alten um m.

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Konsum in Periode 1

Ko

nsu

m in

Pe

rio

de

2

x**

1x

*

1

x*

x**

B(r1)B(r

2)SE

EE

m

m1

xh

1

Substitutionseffekt xh1 − x∗

1 :Budget wird so angepasst,dass der alte Nutzen geradeerreicht wird, ergibt xh

1 .

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Konsum in Periode 1

Ko

nsu

m in

Pe

rio

de

2

x**

1x

*

1

x*

x**

B(r1)B(r

2)SE

EE

m

m1

xh

1

Neuer optimaler Konsum-plan x∗∗ bei r2 ergibt Ein-kommenseffekt x∗∗

1 − xh1 .

Gesamteffektx∗∗

1 − x∗

1 = SE + EE .

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Inflation

◮ Preis des Konsumgutes in Periode t ist gegeben mit pt .

◮ D.h. Guterpreise konnen im Zeitablauf steigen (Inflation) odersinken (Deflation).

◮ Bezeichne die Preissteigerung von einer Periode t auf Periodet + 1 mit 1 + π = pt+1

pt.

◮ Wir nennen π die Inflationsrate.

◮ Fur jede Einheit des Konsumsgutes, die in t gespart wird,erhalt man in t + 1

pt

pt+1(1 + r) =

1 + r

1 + π≡ 1 + ρ

Einheiten des Gutes.

◮ Wir nennen ρ den Realzinssatz und r den Nominalzinssatz.

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Inflation

◮ Der nominale Zinssatz r gibt den monetaren Zinsertrag an,wahrend ρ den Zinsertrag in Guter-Einheiten angibt.

◮ Zusammenhang:

1 + r = (1 + ρ)(1 + π),

ρ =r − π

1 + π≈ r − π.

◮ Wer profitiert von steigender Inflation, Kreditnehmer oderKreditgeber?

◮ Bei steigender Inflation erfordern monetare Zahlungs-versprechen in der Zukunft weniger Einsatz von realen Gutern(z.B. Arbeit), also profitieren Schuldner.

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Barwert

◮ Bewertung von zukunftigem Einkommen?

◮ Zum Beispiel zwei beliebige Einkommensstromem = (m0, . . . ,mT ) und m′ = (m′

0, . . . ,m′

T ).

◮ Annahme: vollstandiger Kapitalmarkt, Zinssatz fur einePeriode ist 1 + r und bleibt konstant uber alle Perioden.

◮ Einfache Methode, um m und m′ zu vergleichen: Den Wertbeider Zahlungsstrome in einer vorgegebenen Periode t zuvergleichen.

◮ Der Barwert ist der Wert in der ersten Periode t = 0:

BW (m) = m0 +m1

1 + r+

m2

(1 + r)2+ . . . +

mT

(1 + r)T.

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Barwert & Zukunftswert

◮ Der Wert eines Einkommenstroms in einer Periode t > 1 istein Zukunftswert:

ZWt(m)=(1+r)tm0+(1+r)t−1m1+. . .+(1+r)t−T mT .

◮ Falls BW (m) > BW (m′), dann

- gilt dasselbe fur alle Zukunftswerte ZWt(m) > ZWt(m′),

t = 1, 2, . . . ,T und- jeder Konsument mit monotonen Praferenzen (d.h. mehr

Konsum ist besser) wird m gegenuber m′ vorziehen.

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Barwert einer ewigen Rente (Annuitat)

◮ Betrachten wir eine unendliche Folge von gleich hohen Aus-zahlungen m, z.B. aus Landwirtschaft, am Periodenende.

◮ Kann man auch diesen (Haushalts-)Einkommensstrom mittelsBarwertes bewerten und vergleichen?

◮ Bei konstantem Zinssatz 1 + r ergibt sich der Barwert zu

BW (m)=0 +m

1+r+

m

(1+r)2+

m

(1+r)3+ . . .

BW (m)=1

1+r

(

m +m

1+r+

m

(1+r)2+ . . .

)

=m + BW (m)

1+r.

◮ Also ist der Barwert der ewigen Rente m: BW (m) =m

r.

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Beispiel

◮ Angenommen Sie erhalten das Angebot, 10 Euro sofort zubekommen und dafur den Rest des Semesters pro Woche 1Euro zuruckzahlen (TG hatte noch 11 Wochen).

◮ Zahlungsstrom:m = (10,−1,−1,−1,−1,−1,−1,−1,−1,−1,−1,−1).

◮ Ist das ein gutes Geschaft?

◮ Dispositionkredit hat Zinssatz von ca. 1 % im Monat, alsoetwa 0, 25 % pro Woche.

◮ Barwert:

BW (m) = 10 −

11∑

t=1

1

(1, 0025)t= −0, 84.

◮ Angebot impliziert Zinssatz von mehr als 1, 7 % pro Woche.

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Wertpapiernachfrage

◮ Finanzinstrumente darstellbar als Zahlungsstrome der Art(m0,m1, . . . ,mT ).

◮ m mit m0 ≫ 0 und mt < 0 fur t > 0 kann z.B. einenRaten-Kredit darstellen.

◮ Bei Anleihen gilt das Gegenteil, z.B. m0 ≪ 0, mt > 0 fur0 < t < T und mT ≫ 0 (m0 ist Kaufpreis in t = 0).

◮ Falls Kapitalmarkt vollstandig mit Zinssatz 1 + r , sindZahlungsstrome anhand ihrer Barwerte vergleichbar.

◮ BW (m) > BW (m′) impliziert, dass Budgetmenge unter m dieunter m′ strikt enthalt. Also zieht jeder Konsument mit strengmonotonen Praferenzen m gegenuber m′ strikt vor.

◮ Man sagt, m dominiert m′.

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Arbitrage

◮ Annahme: Zahlungsstrom m eines Wertpapiers dominiert deneines anderen m′. Was folgt fur die Wertpapiernachfrage?⇒ m′ wird nicht nachgefragt.

◮ Angenommen Konsumenten konnen Zahlungsstrome auchverkaufen (man denke z.B. an Kredite).

◮ Was halten Sie von folgenden Plan: Zahlungsverprechen m′

abgeben und Einkommensstrom m akzeptieren.

◮ Barwert dieses Planes: BW (m) − BW (m′) > 0, egal obBW (m) positiv oder negativ.

◮ D.h. jeder Konsument wird gleichzeitig m nachfragen und m′

anbieten, sooft wie moglich.

◮ Also konnen m und m′ nicht beide gehandelt werden.

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Arbitrage

◮ Allgemein: Falls sich durch geschicktes Kombinierenverschiedener Zahlungsstrome mit Sicherheit ein positiverBarwert erreichen laßt, nennt man dies eine Moglichkeit furArbitrage.

◮ Wir erwarten, dass fur alle Wertpapiere, die tatsachlichgehandelt werden, keine solche Arbitragemoglichkeit existiert(Arbitragefreiheit).

◮ Tatsachlich sorgen beispielsweise Hedge-Fonds furArbitragefreiheit auf Kapitalmarkten.

◮ Theoretische Implikation: Alle sicheren Zahlungsstrome, diegehandelt werden, mussen den gleichen Barwert haben!

◮ Annahme dabei: keine Transaktionskosten.

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Diskussion

◮ Intertemporale Konsumentscheidung entspricht Wahl zwischenGutern ”Konsum heute”und ”Konsum morgen”.

◮ Gangige Annahme: Praferenzen der Form

u(x) =T∑

t=0

δtu(xt).

◮ δ nennt man Diskontfaktor, kann als Geduld interpretiertwerden:

◮ δ < 1: zukunftiger Konsum wird niedriger bewertet alsheutiger,

◮ δ > 1: zukunftiger Konsum wird hoher bewertet als heutiger.

◮ Falls Realzinssatz 1 + ρ = 1/δ, wird im Optimum in allenPerioden gleichviel konsumiert.

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Diskussion

◮ Wichtige Eigenschaft dieser Praferenzen: δ ist konstant uberdie Zeit (exponentielles Diskontieren).

◮ Vorteil: Optimale Konsumplane sind konsistent.

◮ Beispiel: 3 Perioden, Zinssatz 1 + r und stabile Preise pt = 1.

◮ Grenzrate der Substitution zwischen Periode 1 und 2:

GRS12 =δ ∂u(x2)

∂x2

∂u(x1)∂x1

.

◮ Grenzrate der Substitution zwischen Periode 2 und 3:

GRS23 =δ2 ∂u(x3)

∂x3

δ ∂u(x2)∂x2

= GRS12.

◮ Optimierungsproblem sieht in jeder Periode ”gleich” aus.

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