Modellierung und Simulation analoger...

1

MSAS – Modellierung und

Simulation analoger Systeme

Dr.-Ing. Eckhard Hennig <[email protected]>

Technische Universität Ilmenau, Wintersemester 2012/13

14.12.2012

Analoge Schaltungstechnik ...

... ist eine Wissenschaft für sich:

Wie funktioniert die Schaltung?

Wie muss sie dimensioniert werden?

Warum funktioniert sie nicht?

Welche Elemente oder Parameter sind

für das (Fehl-)Verhalten verantwortlich?

Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS 2012/13

MSAS – Modellierung und Simulation analoger Systeme 2

1.0 E0 1.0 E2 1.0 E4 1.0 E6 1.0 E8 1.0 E10

Frequency

-60

-40

-20

0

20

40

60

edutingaM

HBd

L

H@sD ==gm$M2 gm$M6 VIN1

HGds$M2 + Gds$M4L HGds$M6 + Gds$M7L + CC gm$M6 s

M1 M2

M3 M4

M5M8 M7

M6

M9

VDD

VSS

VDD

IBIASCC 0

CL

v+v– vout

M6

Zeit

0s 5us 10us 15us 20us 25us 30us V(OUT) V(Vin1:+)

-2.0V

0V

2.0V

2

... heute besteht die Herausforderung in der Entwicklung komplexer

elektronischer und mechatronischer (heterogener) Systeme.

Ein guter Schaltungsblock ist erst dann von großem Nutzen, wenn er

sich in ein funktionierendes Systemkonzept einbetten lässt.

Aber ...



Q: Infineon

Entwurf komplexer Systeme

Fragen

Wie stelle ich sicher, dass ein Systemkonzept funktioniert?

Wie bekomme ich die Komplexität des Systementwurfs in den Griff?

Wie stelle ich sicher, dass ich alle Anforderungen des Kunden an das zu entwerfende System berücksichtigt habe?

Antwort

Durch hierarchische Modellierung und Simulation (modellbasierter Systementwurf)

– Simulierbare Spezifikation

– Systemarchitektur

– Schrittweise Verfeinerung (Top-Down-Entwurf)

– Komponenten-Entwurf

– Systemverifikation (Bottom-Up-Modellierung)



3

Themen dieser Vorlesung

Systematische Modellierung und Simulation komplexer analoger

elektronischer und heterogener Systeme

Erstellung von simulierbaren Modellen für mechatronische

Systemkomponenten, elektronische Schaltungen und Bauelemente

Aufbau, Funktionsweise, Modellierung und Simulation spezieller

elektronischer Schaltungen und Systeme (PLL, A/D-Wandler)

Wir beschäftigen uns nicht vordergründig mit

– Analogschaltungstechnik auf Transistorebene,

– digitaler Schaltungstechnik, ...

... aber diese Themen betten sich auf natürliche Weise in den

Kontext „Systemmodellierung“ ein.



Lernziele

Kennen lernen

– der Notwendigkeit und der Grenzen des modellbasierten Entwurfs technischer Systeme

– erforderlicher mathematischer Grundlagen zur Modellierung heterogener Systeme

Erlernen einer systematischen Vorgehensweise zur Erstellung simulierbarer Modelle für komplexe dynamische Systeme

– Top-down-Entwurf und Bottom-up-Modellierung

– Vom Systemkonzept bis hinunter auf die Bauelemente-Ebene

Erwerb von Grundlagenkenntnissen zu Modellierungssprachen und Simulationswerkzeugen für analoge elektronische Schaltungen und heterogene Mixed-Signal-Systeme

– VHDL-AMS

– SystemVision



4

Einige Begriffe, mit denen wir uns beschäftigen werden ...



System

analog

digital

mixed-signal dynamisch

Signal N-Tore

verteilt

A/D-Wandler linear

nichtlinear

VHDL-AMS

konservativ nicht-konservativ

diskret

kontinuierlich

Zeit

zeitvariant

zeitinvariant

N-Pole

Umwelt

Element

PLL

Modell

hierarchisch

Domäne

Abstraktion

Simulation

Testbench

Realität

Interaktion

Beschreibungssprache offen

aktiv

geschlossen

heterogen

Kirchhoff-Gleichungen

konzentriert

Stimulus

Signalfluss

Netzwerk

Elementebeziehung

Wert

Zeitbereich

Frequenzbereich

Entwurf

Top-down

Bottom-up

Verhalten Struktur

Flussgröße

Differenzgröße

VCO Filter

Transistor

Modellierung und Simulation analoger Systeme

Was bedeuten diese Begriffe?

– System

– Analog

– Modellierung

– Simulation



5

Was ist ein System?

Der Begriff ist abgeleitet aus dem griechischen Wort

σύστημα (sýstema) = das Gebilde, das Verbundene

Ein System ist eine Menge von Elementen, die miteinander in

Beziehung/Wechselwirkung stehen und gemeinsam eine

Funktionseinheit bilden, die sich von der Umwelt abgrenzen lässt.

System organisieren und erhalten sich durch Strukturen (strukturlose

Mengen von Elementen werden Aggregate genannt).

Struktur bezeichnet das Muster/die Form der Systemelemente

(Elementestruktur) und ihrer Beziehungen (Verbindungsstruktur).

Q: wikipedia.de



System vs. Aggregat

System Aggregat



Umwelt

System

E1

E2

E3

Umwelt

Aggregat

E1

E2 E3

6

Ein Beispiel für ein (sehr) komplexes heterogenes System



Fluggeschwindigkeit Auftrieb

Anströmung Schub

Ruderstellung

Pilot

Fluglage-

regelung Autopilot

Schwerkraft

Ruderservos

Seitenwind

Funk-

kommunikation

Treibstoff-

pumpe

On-Board-

Entertainment Trägheits-

moment

Elektronik

Mechanik

Thermodynamik Hydraulik

Ebenen des Systementwurfs (elektronische Systeme)



Ver-

arbeitung Inputs Outputs

Q: CSR

Q: UC Berkeley

Spezifikationserfassung

Systempartitionierung

(Funktionsblöcke)

Blockdiagramm

(Signalfluss,

elektrische Ebene)

Schaltung

Funktions-konzept

System-architektur

Subsystem

Komponente

Bauelement Transistor

7

Komponente

System-

architektur

Ebenen des Systementwurfs (heterogene Systeme)



Q: modelica.org

Funktions-

konzept

Subsystem

Ein kleineres Beispiel: Ferngesteuertes Flugzeugmodell



Seitenruder

Ruderservo

Funkempfänger

Batterie

8

Seitenruderanlage des Flugzeugmodells



Servo

Rudergestänge

Seitenruder

Lastmoment

(Wind)

Sollposition

(Steuerspannung) Energieversorgung

(Batteriespannung)

Modellbasierter Entwurf

Ein Hardware-Entwurf durch Versuch und Irrtum wäre teuer und

zeitaufwändig modellbasierter Entwurf



Erstellung eines Systemkonzepts

Mathematische Modellierung des Systems und seiner Komponenten

Simulation und Bewertung

Anpassung der Systemparameter

Modellbasierter Entwurf der Funktionsblöcke

Hardware-Entwurf

9

Modellierung und Simulation des Rudersystems (1)

Systemkonzept: Identifikation der Eingangs- und Ausgangsgrößen

und der Systemfunktion



Lastmoment MR2 Steuerspannung Batteriespannung

Ruderwinkel φR

Einstellung des

Ruderwinkels

proportional zur

Steuerspannung

• Steuerspannung

• Batteriespannung

• Last

• Ruderwinkel

Identifikation der Systemkomponenten (Teilsysteme)

„Freischneiden“ der Komponenten, Identifikation der Interfacegrößen




Rudergestänge

Ruder Servo

Lastmoment MR2

Antriebsmoment MR1 Lastmoment MS, Stellwinkel φS

Antriebsmoment MG1

Stellwinkel φG1

Lastmoment MG2

Stellwinkel φG2

Steuerspannung Batteriespannung

Ruderwinkel φR

10

Hierarchische Verfeinerung von Teilsystemen bis zur gewünschten

Detaillierungstiefe




Servo

Lastmoment MS

Stellwinkel φS

Steuer-

spannung

Batteriespannung

+

–

Verstärker

Elektromotor Getriebe

Potentiometer

(Drehwinkelmessung)

Einachsige Mechanik

Mechanisches (Teil-)System, in dem alle Kräfte, Verschiebungen,

Drehmomente, Drehwinkel entlang einer Koordinatenachse

ausgerichtet sind



Q: S. Porter, www.motionsystemdesign.com

11

Rechtskoordinatensystem (Korkenzieherregel)

Positive Referenzrichtungen für Flussgrößen (Momente Mi) an den

Schnittstellen von Elementen: jeweils in das Element hinein zeigend

Positive Referenzrichtung für Differenzgrößen (Winkel φi bzw.

Winkelgeschwindigkeiten ωi): gemäß gewählter Block-

Referenzrichtung

Einachsige rotatorische Mechanik: Referenzrichtungen



x

y

z M, ω, φ

ω1, φ1

M1

ω2, φ2

M2 Welle

Rotatorische Referenz

(„Masse“)

Block-Referenzrichtung

für ω, φ

Referenzrichtungen für M

Mathematische Modellierung der Systemkomponenten:

Rudergestänge

Referenzbepfeilung




Rudergestänge

Antriebsmoment MG1

Stellwinkel φG1

Lastmoment MG2

Stellwinkel φG2

2 1

2 1

G G

G G

M M

Gleiche Schenkellängen,

verlustfreie Übertragung von

Moment und Stellwinkel

φG2

MG2

φG1

MG1

12

Mathematische Modellierung der Systemkomponenten: Ruder

Referenzbepfeilung




R R RM K

Lastmoment durch Luftstrom

proportional zu Ruderwinkel,

Proportionalitätskonstante KR

MR

φR φR

MR

Ruder

Lastmoment MR

Ruderwinkel φR

Wind



Servo Verstärker



0 1 2

1

2

( )

0

0

0

A

A B

u A u u

i i

i

i

+

–

u1

u2

uB

uA

iB

i1

i2

iA

Linearer Spannungsverstärker mit Verstärkungsfaktor A0;

Idealisierung: Betriebsstrom (iB) = Ausgangsstrom (-iA)

13



Servo Elektromotor



22 1 2

11 2 1

M

M

dM K i D J

dt

diu K Ri L

dt

Elektromotor mit Drehmomentkonstante KM,

Trägheitsmoment J, Reibungskoeffizient D,

Windungsinduktivität L, Serienwiderstand R

u1

i1

M2

ω2



Servo Getriebe



2 1

1 2

G

G

K

M K M

Verlustfreies Getriebe mit Übersetzungsfaktor KG;

das Vorzeichen von KG bestimmt, ob An- und Abtrieb gleichsinnig (KG > 0)

oder gegensinnig (KG < 0) laufen.

M1

ω1

M2

ω2 , φ2

21

1 2

G

G

dK

dt

M K M

oder

14


Servo Potentiometer




1

1 0

A Pu K

M

Proportionale Wandlung Drehwinkel Spannung mit

Proportionalitätskonstante KP

φ1

iA

uA

M1

Benennung (Durchnummerierung) der Systemvariablen




i0

u0= UB

+

– u2

u3

u4

u5

i4

i2

i3

i5

u6

i6

M1

ω1

M5

φ5

M6

φ6

M7

φ7

i1

u1= UCtrl

φ4

i7

u7

M4

M2

ω2

M3

φ3

15


Aufstellung der Elementebeziehungen in den Systemvariablen



0

1

5 0 2 3

4 5

2

3

66 1 6

11 6 1

( )

0

0

0

B

Ctrl

M

M

u U

u U

u A u u

i i

i

i

diu K Ri L

dt

dM K i D J

dt

32

2 3

4

7 4

6 5

6 5

7 7

0

G

G

P

R

dK

dt

M K M

M

u K

M M

M K


Aufstellung der strukturellen Zwangsbedingungen

Flussgrößen Differenzgrößen

(Knotengleichungen) (Maschengleichungen)



1 2

0 4

3 7

5 6

1 2

3 4 5

6 7

0

0

0

0

0

0

0

i i

i i

i i

i i

M M

M M M

M M

1 2

0 4

5 6

3 7

1 2

3 4

3 5

6 7

0

0

0

0

0

0

0

0

u u

u u

u u

u u

16


Plausibilitätscheck: Anzahl der Variablen = Anzahl der Gleichungen?

30 Variablen

– i0..7 (8)

– u0..7 (8)

– M1..7 (7)

– ω1..2 (2)

– φ3..7 (5)

30 Gleichungen

– 15 Elementebeziehungen

– 7 Knotengleichungen

– 8 Maschengleichungen




Das vollständige mathematische Modell des Systems ist damit ein

Algebrodifferential-Gleichungssystem (DAE) in 30 Variablen.



0

1

5 0 2 3

4 5

2

3

66 1 6

11 6 1

( )

0

0

0

B

Ctrl

M

M

u U

u U

u A u u

i i

i

i

diu K Ri L

dt

dM K i D J

dt

32

2 3

4

7 4

6 5

6 5

7 7

0

G

G

P

R

dK

dt

M K M

M

u K

M M

M K

1 2

0 4

3 7

5 6

1 2

3 4 5

6 7

0

0

0

0

0

0

0

i i

i i

i i

i i

M M

M M M

M M

1 2

0 4

5 6

3 7

1 2

3 4

3 5

6 7

0

0

0

0

0

0

0

0

u u

u u

u u

u u

17


Zur Simulation des Rudersystems benötigen wir

1. Testkonfiguration (Testbeschaltung und Stimuli)

2. Numerische Werte für die Modellparameter

3. Einen Simulator (Differentialgleichungslöser)

4. Eine Notationsform für die Gleichungen (Beschreibungssprache), die der

Simulator verarbeiten kann

Testkonfiguration

– Hier: in den Modellgleichungen enthalten (Steuerspannung, Lastmoment)

– Anregung:

Parameterwerte



0 sin(2 )CtrlU A ft

2

0

Nm5 V 1Hz K 3 0,5

A

0,1V 1 5 Nms 0,2 V

1000 40 H 1 Nms 0,1N

B M G

C P

R

mU f K

U R D K

A L J K




Mentor Graphics SystemVision: Schaltungs- und Systemsimulation

mit SPICE und VHDL-AMS

Kostenlose Demoversion verfügbar

– Eingeschränkt auf 30 analoge Variablen und 100 digitale Signale

– URL: http://www.mentor.com/products/sm/download/systemvision-eval

18


Beschreibung des Modells in VHDL-AMS



-- RC airplane rudder system library IEEE; use IEEE.math_real.all; entity rudder_system is generic ( A0: real := 1000.0; UB: real := 5.0; R: real := 1.0; L: real := 4.0e-5; Km: real := 3.0e-3; D: real := 5.0e-6; J: real := 1.0e-6; Kg: real := 0.5; Kp: real := -0.2; Kr: real := 0.1; Uc: real := 0.1; freq: real := 1.0 ); end entity rudder_system;

architecture equations of rudder_system is quantity i0, i1, i2, i3, i4, i5, i6, i7 : real; quantity u0, u1, u2, u3, u4, u5, u6, u7 : real; quantity M1, M2, M3, M4, M5, M6, M7 : real; quantity w1, w2, w3 : real; quantity phi3, phi4, phi5, phi6, phi7 : real; begin -- Constitutive equations u1 == Uc*sin(math_2_pi*f*now); u5 == A0*(u2 - u3); i4 + i5 == 0.0; i2 == 0.0; i3 == 0.0; u6 == -Km*w1 + R*i6 + L*i6'dot; M1 == Km*i6 + D*w1 + J*w1'dot; phi3'dot == Kg*w2; M2 == -Kg*M3; M4 == 0.0; u7 == Kp*phi4; M6 == -M5; phi6 == phi5; M7 == Kr*phi7;

-- Node equations i1 + i2 == 0.0; i0 + i4 == 0.0; i3 + i7 == 0.0; i5 + i6 == 0.0; M1 + M2 == 0.0; M3 + M4 + M5 == 0.0; M6 + M7 == 0.0; -- Loop equations -u1 + u2 == 0.0; -u0 + u4 == 0.0; -u5 + u6 == 0.0; -u3 + u7 == 0.0; -w1 + w2 == 0.0; -phi3 + phi4 == 0.0; -phi3 + phi5 == 0.0; -phi6 + phi7 == 0.0; end architecture equations;


Beschreibung des Modells in VHDL-AMS: Deklaration






-- Kommentar

Referenzen auf

Library-Elemente

Interface-Deklaration

(entity)

Parameterliste

Modellparameter mit

Typ-Deklaration und

Default-Wert

Abschluss der

Interface-Deklaration

19


Beschreibung des Modells in VHDL-AMS: Implementierung






Deklaration einer (von

beliebig vielen) Imple-

mentierungen der entity

Deklaration von

zeitkontinuierlichen

Variablen Zeit t

Beginn der Modell-

implementierung

Eine Differential-

gleichung

Abschluss der Modell-

implementierung

Simultane

Gleichungen


Simulationsergebnisse für t = 0 .. 2 s

Alles in Ordnung ... oder vielleicht auch nicht?



20


Simulationsergebnisse für t = 0 .. 2 s bei begrenzter Motorspannung




Die Erstellung bzw. Modifikation des Simulationsmodells für das

Rudersystem auf die gezeigte Weise ist äußerst mühsam und

fehleranfällig.

Besser:

– Komponentenorientierte Modellierung mittels N-Tor-Beschreibungen

– Netzlistenbasierte Strukturbeschreibung des Systems

– Automatische Aufstellung der Erhaltungsgleichungen für die

Verbindungsstruktur (verallgemeinerte Kirchhoff-Regeln) durch den

Simulator

Was das bedeutet und wie das geschieht werden wir im Folgenden

genauer untersuchen.

Aber zunächst zurück zu einigen grundlegenden Begriffen und

Methoden zum Thema „Systeme und Modellierung“ ...



21



– System

– Analog

– Modellierung

– Simulation



Systeme und Signale

Die Interaktion zwischen Komponenten physikalischer (technischer)

System erfolgt über Signale.



Umwelt

System

E1

E2

E3

Eingangssignal

(Input)

Ausgangssignal

(Output)

Interne Signale

22

Signale (1)

Ein Signal ist der (informationstragende) Zeitverlauf einer messbaren

Größe in einem System.

Signale können zeitkontinuierlich oder zeitdiskret sein.



Zeitkontinuierliches Signal Zeitdiskretes Signal

f

t

( );

: ,n

f f t t

f n

( ); ,

: ,

k k

n

f f t k t

f n

f

t tk

fk

Signale können wertkontinuierlich oder wertdiskret sein.

Signale (2)



Wertdiskrete Signale Wertkontinuierliche Signale

f

t tk

fk

f

t

f

t

f

t tk

fk

23

Signale (3)

Wertkontinuierliche Signale werden als analoge Signale bezeichnet.

Analoge Signale können zeitkontinuierlich oder zeitdiskret sein.



Zeitkontinuierliches analoges Signal Zeitdiskretes analoges Signal

f

t

f

t tk

fk

Ein zeit- und wertdiskretes Signal, dessen Wertemenge endlich ist,

heißt n-äres oder digitales Signal.

Ein digitales Signal, dessen Wertemenge aus zwei Elementen

besteht, heißt binäres Signal (oder elementares digitales Signal).

Signale (4)



Binäres Signal

f

t tk

fk

f

t tk

fk

Digitales Signal

24

Definition: analoge und digitale Systeme

Ein System, dessen Komponenten über analoge Signale

interagieren, heißt analoges System.

Ein System, dessen Komponenten über digitale Signale interagieren,

heißt digitales System.

Systeme, die sowohl analoge als auch digitale Signale verarbeiten,

werden in der Elektrotechnik üblicherweise als Mixed-Signal-

Systeme bezeichnet.



Einordnung analoger und digitaler Systeme

Zeit-

Wert-

kontinuierlich diskret

kontinuierlich

diskret



Analoge Systeme

Digitale

Systeme

Signale

25

Modellierung, Modell

Modellierung ist eine zielgerichtete Vereinfachung der Realität durch

Abstraktion.

In unserem Sinne ist ein Modell ist eine formale (mathematische)

Beschreibung eines abstrahierten Systemverhaltens.



Q: B. Binninger, RWTH Aachen, 2005

Definition Modell nach Minsky (1965)




26

Modellbildung durch Abstraktion in zwei Schritten

1. Strukturelle Abstraktion

– Identifikation abgrenzbarer Teile und ihrer Verknüpfungen des

betrachteten Systems

– Qualitatives Wissen

2. Phänomenologische Abstraktion

– Identifikation der physikalischen Vorgänge, welche in den Teilsystemen

und deren Verknüpfungen ablaufen

– Quantitatives Wissen




Definition des Begriffs Simulation

Definition nach VDI-Richtlinie 3633

Simulation ist ein Verfahren zur Nachbildung eines Systems mit

seinen dynamischen Prozessen in einem experimentierbaren

Modell, um zu Erkenntnissen zu gelangen, die auf die Wirklichkeit

übertragbar sind.

Im weiteren Sinne wird unter Simulation das Vorbereiten,

Durchführen und Auswerten gezielter Experimente mit einem

Simulationsmodell verstanden.

Mit Hilfe der Simulation kann das zeitliche Ablaufverhalten

komplexer Systeme untersucht werden.



27



– System

– Analog

– Modellierung

– Simulation



Definitionen: dynamisches System, Zustand

Ein dynamisches System ist ein System, dessen Zustand 𝑠(𝑡) („state“) zu einem zukünftigen Zeitpunkt 𝑡 > 𝑡0 vom aktuellen

Zustand 𝑠(𝑡0) zum Zeitpunkt 𝑡0 abhängig ist.

Der Zustand 𝑠 eines Systems ist ein Punkt in seinem

Zustandsraum 𝑆:

𝑠 ∈ 𝑆

Der Zustandsraum wird aufgespannt durch eine Menge von

unabhängigen Koordinaten, mit denen das Systemverhalten

vollständig beschrieben werden kann.

Mathematische Definition: ein dynamisches System ist eine Regel 𝑅

für die Evolution eines Zustands innerhalb eines Zustandsraums 𝑆

über einer Menge von Zeiten 𝑇.

𝑅: 𝑆 × 𝑇 → 𝑆 𝑠 𝑡 ∈ S; t ∈ 𝑇



28

Eigenschaften dynamischer Systeme

Dynamische Systeme werden durch Anfangswertprobleme

beschrieben, d.h. Differential- bzw. Differenzengleichungen mit

gegebenen Anfangswerten 𝑠 𝑡0 = 𝑠0.

𝐹 𝑠, 𝑠 , 𝑥, 𝑡 = 0

Ein dynamisches System heißt deterministisch, wenn jeder

zukünftige Zustand 𝑠(𝑡), 𝑡 > 𝑡0 eindeutig durch 𝑠(𝑡0), 𝑡 und den

Verlauf der Eingangssignale 𝑥(𝑡) bestimmt ist.

Beobachtung

– Ein dynamisches Systeme hat ein „Gedächtnis“ – sein aktueller Zustand

ist eine Folge der Zustände aus seiner Vergangenheit.

– In physikalischen Systemen wird die Gedächtnisfunktion durch

Speichermedien für potentielle und kinetische Energie repräsentiert

(Kapazitäten, Induktivitäten, Druckspeicher, Federn, Massen, ...)



Dynamisches System: Beispiel RLC-Schwingkreis

Zustandsraum

Zustand

Übergangsregel R

(= Zustandsgleichungen F)



R L

C

iL

uC U0(t)

( ) ( ), ( )C Ls t u t i t

span( , )C LS u i

0

100

11

C C

L L

u ud CU

i idt RL

L L

29

RLC-Schwingkreis: Simulation, Zustandsraum



0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75

V$3 t

-0.75

-0.5

-0.25

0.25

0.5

0.75

I$L t

uC

iL Trajektorie im Zustandsraum

20 40 60 80 100

t

-0.75

-0.5

-0.25

0.25

0.5

0.75

20 40 60 80 100

t

0.25

0.5

0.75

1

1.25

1.5

1.75

20 40 60 80 100t

0.2

0.4

0.6

0.8

1

U0

uC

iL

t

t

t

00.1; 1; 1; ( ) ( 10)

(0) 0; (0) 0c L

R L C U t t

u i

Signaldomänen

Signale, die physikalische Messgrößen im Sinne von Energien bzw.

Energieflüssen repräsentieren, können einer Energiedomäne bzw.

Signaldomäne zugeordnet werden.



Energie-/Signaldomäne Dimensionen

Elektrisch Spannung, Strom, Ladung, magnetischer

Fluss

Mechanisch (translatorisch) Kraft, Weg, Geschwindigkeit

Mechanisch (rotatorisch) Moment, Drehwinkel,

Winkelgeschwindigkeit

Hydraulisch/pneumatisch Druck, Volumenstrom, Speichervolumen

Thermisch Temperatur, Entropiefluss, Wärmefluss

Optisch Lichtstrom, Leuchtdichte, ...

... ...

30

Definition: heterogenes System

Ein System, dessen Komponenten über Signale aus mehreren

Signaldomänen interagieren, heißt heterogenes System.

Beispiel: das Rudersystem für das Modellflugzeug



Mechanische Signale

(rotatorisch) Elektrische Signale

i0

u0= UB

+

–u2

u3

u4

u5

i4

i2

i3i5

u6

i6

M1

ω1

M5

φ5

M6

φ6

M7

φ7

i1

u1= UCtrl

φ4

i7

u7

M4

M2

ω2

M3

φ3

Weitere Systemeigenschaften

Ein System heißt ...

offen, wenn es mit seiner Umwelt interagiert.

geschlossen, wenn es nicht mit seiner Umwelt interagiert.

autonom, wenn es nur Ausgangssignale liefert aber keine Eingangssignale verarbeitet (Beispiel: Oszillator).

konzentriert, wenn seine Signale nur Funktionen der Zeit aber nicht des Orts sind (Beschreibung durch gewöhnliche Differentialgleichungen)

verteilt, wenn seine Signale Funktionen der Zeit und des Orts sind (Beschreibung durch partielle Differentialgleichungen)

zeitvariant/zeitinvariant, wenn sein Verhalten vom Zeitpunkt der Betrachtung abhängt/nicht abhängt.

konservativ/nicht-konservativ (siehe folgende Seiten)



31

Definition: konservatives System (Physik)

Allgemeine Definition in der Physik: ein System heißt konservativ,

wenn es energieerhaltend (nicht-dissipativ; verlustfrei) ist.

Beispiel: ideales Pendel im Vakuum



m

g

φ 1 2 3 4

t

-1

-0.5

0.5

1

Definition: konservatives System (Modellierung)

Ein System heißt konservativ, wenn jedem Anschluss bzw. jedem

Klemmenpaar seiner Komponenten ein Paar von Signalen

zugeordnet ist, deren Produkt eine Leistung (Energiefluss) darstellt,

und das Verbindungsnetzwerk Energie(fluss) erhaltend ist.

Charakteristisch für konservative Systeme ist der bidirektionale

Signalfluss (gegenseitige Rückwirkung von Komponenten)

Beispiele: elektrische und hydraulische Netzwerke



Q: www.free-online-private-pilot-ground-school.com

R

C

i1

u3 U0(t)

i2

u1

i3 u2

k k kP u i

32

Definition: nicht-konservatives System

Repräsentieren die Interaktionen der Komponenten abstrakte

Signalflüsse, so wird ein System als nicht-konservativ bezeichnet.

Charakteristisch für nicht-konservative Systeme ist der

unidirektionale Signalfluss (Rückwirkungsfreiheit der Komponenten)

Das Verbindungsnetzwerk unterliegt keinen Erhaltungsgleichungen.

Beispiele für nicht-konservative Systeme



clock_1

(1 µs, 50%, 2 µs)

clk_1

clock_2

(1.3 µs, 75%,2.5 µs)

clk_2

and2_1

(100 ns) dout

inv_1

(100 ns)

clk_2q

Digitale Logikschaltungen Regelungstechnische

Blockdiagramme

H1(s) X(s)

H2(s)

+ Y(s)

z1 z2 z3

z4

Aufstellung der Modellgleichungen für nicht-konservative

Systeme

1. Weise jedem Knoten k (= Ausgang der k-ten Komponente) eine

eindeutige Variable zk zu.

2. Schreibe alle Ausgangsgrößen zk als Funktion der Eingangsgrößen.

𝑧𝑘 = 𝑓(𝑧ℎ, 𝑧𝑖 , 𝑧𝑗)



f(zh, zi, zj)

zh

zi

zj

zk

33

Beispiel: regelungstechnisches Blockschaltbild

Signalflussdiagramm (nicht-konservatives System)

Gleichungssystem



H1(s) X(s)

H2(s)

+ Y(s)

z1 z2 z3

z4

1

2 1 4

3 1 2

4 2 3

( )

( )

( )

z X s

z z z

z H s z

z H s z

Beispiel: Logikschaltung

Signalflussdiagramm (nicht-konservatives System)

Gleichungssystem



1 clock1

2 clock2

2 2

1 2

clk

clk

clk q clk

dout clk clk q

clock_1

(1 µs, 50%, 2 µs)

clk_1

clock_2

(1.3 µs, 75%,

2.5 µs)

clk_2

and2_1

(100 ns) dout

inv_1

(100 ns)

clk_2q

34

Fluss- und Differenzgrößen in konservativen Systemen

Charakteristisch für konservative Systeme ist die Verknüpfung

jedes Anschlusses (Klemme) eines Elements bzw. Tors des

Verbindungsnetzwerks mit einer Flussgröße Φ und einer

Differenzgröße Δ, für die Erhaltungsgleichungen (Kirchhoffsche

Gesetze) gelten.

Beispiel: elektrisches Netzwerk



R Δ 2 = u 2

Φ2 = i 2

Δ 1 = u 1

Φ1 = i 1

1 2

1 2

0

0

Fluss- und Differenzgrößen

Eine Differenzgröße (effort; across quantity) ist eine Größe, die zwischen zwei Punkten im System bzw. mit Referenz auf einen Bezugspunkt gemessen wird.

Eine Flussgröße (flow; through quantity) repräsentiert Kräfte oder Stofftransporte durch eine Komponente bzw. entlang einer Verbindung zwischen Komponenten; sie kann nur durch das Aufschneiden der Verbindung direkt sichtbar gemacht werden.

Anmerkung: Flussgrößen werden oft indirekt mit Hilfe von Differenzgrößenmessungen bestimmt:

– Messung eines elektrischen Stroms I über die Spannung U an einem Serienwiderstand

– Messung eines Volumenstroms J in einem Rohr über die Durchflussgeschwindigkeit v

– Messung einer Kraft F über die Auslenkung Δx einer Feder

– Messung eines Moments M über den Drehwinkel Δφ einer Torsionsfeder



35

Fluss- und Differenzgrößen in verschiedenen

Energiedomänen

Das Produkt aus korrespondierenden Fluss- und Differenzgrößen

hat die Dimension einer Leistung (power conjugate quantities).



Energiedomäne Flussgröße Φ Differenzgröße Δ Leistung P

[W]

Elektrisch Strom I [A] Spannung U [V] P = UI

Mechanisch

(translatorisch)

Kraft F [N] Geschwindigkeit v [m/s] P = Fv

Mechanisch

(rotatorisch)

Moment M

[Nm]

Winkelgeschwindigkeit ω

[1/s]

P = Mω

Hydraulisch Volumenstrom

J [m3/s]

Druck p [N/m2]

P = pJ

Thermisch Entropiefluss S

[J/(Ks)]

Temperaturdifferenz ΔT

[K]

P = SΔT

Alternative Fluss- und Differenzgrößen-Paare

Aus praktischen Gründen werden für mechanische und thermische

Systeme auch alternative Fluss- und Differenzgrößen-Paare

verwendet

Der Leistungsfluss ergibt sich jedoch nicht aus dem Produkt der

korrespondierenden Fluss- und Differenzgrößen.



Energiedomäne Flussgröße Φ Differenzgröße Δ Leistung [W]

Mechanisch

(translatorisch)

Kraft F [N] Auslenkung Δx [m] P = F dx/dt

Mechanisch

(rotatorisch)

Moment M

[Nm]

Winkel Δφ [1] P = M dφ/dt

(Pseudo-)

Thermisch

Wärmestrom Φ

[J/s]

Temperaturdifferenz ΔT

[K]

P = Φ

36

Themenbereiche für diese Vorlesung

Wir beschäftigen uns in erster Linie mit heterogenen, analogen,

dynamischen Systemen.

Diese können konservativ oder nicht-konservativ sein.



Mathematische Grundlagen der Systemanalyse:

Laplace-Transformation

Motivation: wozu brauchen wir die Laplace-Transformation?

Definition des Begriffs „Transformation“

Definition der Laplace-Transformation

Eigenschaften der Laplace-Transformation (Rechenregeln)

Rücktransformation in den Zeitbereich

Anwendung der Laplace-Transformation auf die Analyse linearer

dynamischer Systeme



37

Laplace-Transformation: Motivation (1)

Lineare zeitinvariante Systeme (LTI-Systeme) werden durch lineare

Differentialgleichungssysteme (bzw. DAE-Systeme) mit konstanten

Koeffizienten beschrieben.

Die Lösung solcher Gleichungen im Zeitbereich ist mühsam

( Diagonalisierung, Eigenwerte, Matrix-Exponentialfunktion, ...)

Mit Hilfe der Laplace-Transformation kann die Lösung eines

linearen Differentialgleichungssystems mit konstanten Koeffizienten

in ein einfaches algebraisches Problem transformiert werden, das

mit den Mitteln der linearen Algebra lösbar ist.



R L

C

iL

uCU0(t)

0

100

11

C C

L L

u ud CU

i idt RL

L L

Laplace-Transformation: Motivation (2)

Die Laplace-Transformation berücksichtigt Anfangsbedingungen und

erlaubt damit die Lösung linearer Anfangswertprobleme:

Die Laplace-Transformation kann als Transformation von

Zeitfunktionen in den Frequenzbereich interpretiert werden. Dies

ermöglicht die Analyse des Frequenzverhaltens von LTI-Systemen

( Übertragungsfunktionen).

Damit ist die Laplace-Transformation eins der wichtigsten

mathematischen Werkzeuge in der Nachrichten- und

Regelungstechnik.



0

100

11

C C

L L

u ud CU

i idt RL

L L

0

0

(0)

(0)

CC

LL

uu

ii

38

Laplace-Transformation: Analyse von LTI-Systemen im

Frequenzbereich



Time domain

Laplace/ Fouriertransform (*)

s/ jw domain

algebraic equations

solution v(t)

V(s)

inverse

transformation

“ frequency domain”

(*) also z-transform

equations

differential

è digital filters

Q: R. Sommer, TU Ilmenau, 2008

Laplace-Transformation: Begriffsdefinitionen (1)

Eine Funktion ist eine eindeutige Abbildung von einer Punktmenge

auf eine andere Punktmenge.

Beispiel:



( )x f x

-1 -0.5 0.5 1

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x

f(x)

2( )f x x

39


Eine Transformation ist eine Abbildung einer Funktion auf eine

andere Funktion.

Beispiel



-1 -0.5 0.5 1

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

( ) ( )f t F

t

f(t) |F(ω)|

-30 -20 -10 10 20 30

-0.1

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

ω

( ) ( ) j tF f t e dt


Eine Funktional ist eine Abbildung einer Funktion auf einen Punkt.

Beispiel



( )f t z

-1 -0.5 0.5 1

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t

f(t)

( )z f t dt

1z

40


Eine Funktion

ist von exponentieller Ordnung σ, wenn

In Worten: Eine Funktion f ist von exponentieller Ordnung, wenn es

eine Exponentialfunktion gibt, die punktweise eine obere Schranke

für den Betrag von f darstellt.



0:f

0

( ) t

M tf t M e

Laplace-Transformation: Voraussetzungen

f(t) ist von exponentieller Ordnung σ

f(t) = 0 für t < 0

f(t) besitzt eine endliche Anzahl von Minima und Maxima in jedem

beliebigen endlichen Intervall innerhalb 0 < t < ∞

f(t) besitzt eine endliche Anzahl von endlichen Unstetigkeiten in

jedem beliebigen endlichen Intervall innerhalb 0 < t < ∞



-1 1 2 3 4 5

-1

-0.5

0.5

1

-1 1 2 3 4 5

-1

-0.5

0.5

1

Q: J. Achenbach, Analoge und digitale Filter und Systeme, 1991

f(t) g(t)

t t

( ) ( 1)f t t ( ) sintg t e t

41

Laplace-Transformation: Transformationsvorschrift

Die (einseitige) Laplace-Transformation von f(t) ist definiert durch

mit komplexer Frequenz

Schreibweise für Transformationsbeziehung zwischen Funktionen im

Zeit- und Frequenzbereich:



0

( ) ( ) ( ) stF s f t f t e dt

;s

s j

( ) ( )f t F s

Laplace-Transformation: Einige Korrespondenzen



1

1

1

0 2 2

0

00 2 2

0

( ) ( ) ( ) ( )

( ) 1

1( )

!( ); 0,1,2,...

1( )

!( )

( )

cos( ) ( )

sin( ) ( )

n

n

at

n at

n

f t F s F s f t

t

ts

nt t n

s

e ts a

nt e t

s a

st t

s

t ts

42

Laplace-Transformation: Rücktransformation

Die Rücktransformation erfordert die Berechnung eines

Kurvenintegrals in der komplexen s-Ebene.

In der Praxis wird für Hin- und Rücktransformation die

Korrespondenztabelle verwendet.

Dazu ist die Kenntnis der Sätze der Laplace-Transformation

notwendig.



1 1

( ) ( ) lim ( )2

jA

st

AjA

f t F s F s e dsj

Laplace-Transformation: Einige Sätze

Linearität

Verschiebung und Streckung im Zeitbereich

Differentiation

Faltung

Integration



1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )af t bf t aF s bF s

1

( ) ( )b

sa

sf at b e F

a a

( 1)

1

( ) ( ) (0)n n

n n k k

nk

df t s F s s f

dt

( ) ( ) ( ) ( )f t g t F s G s

0

1( ) ( )

t

f d F ss

43

Laplace-Transformation: Verknüpfung von Differentiation

und Integration

Es seien D der Differentialoperator und D-1 der inverse

Differentialoperator (Integrationsoperator) im Zeitbereich:

Es sei F(t) eine Stammfunktion von y(t):

Nach den Sätzen der Laplace-Transformation gilt:



1

0

: ; :t

dD D d

dt

1

( ) ( ) (0)

1( ) ( )

D y t sY s y

D y t Y ss

0

( ) ( ) '( ) ( )t

F t y t dt F t y t


und Integration

Verknüpfung der Operationen: Differentiation, danach Integration



1

00

( ) ( ) '( ) ( ) ( ) (0)t

tD D y t y d y y t y

1 (0)

( ) (0) ( ) ( ) (0); 0y

sY s y Y s y t y ts s

44


und Integration

Verknüpfung der Operationen: Integration, dann Differentiation



1

00

( ) ( ) ( ) ( )

( ) (0) ( )

ttd d

D D y t y d Fdt dt

d dF t F y t

dt dt

0

0

1( ) (0) ( ) ( )s Y s F Y s y d

s( ); 0y t t


und Integration; Schlussfolgerungen

Anfangsbedingungen y(0) bzw. F(0) werden in beiden

Verknüpfungsrichtungen korrekt berücksichtigt.

Konsequenz: im Laplace-Frequenzbereich darf mit dem

Differentialoperator s und dem Integrationsoperator s-1 = 1/s

algebraisch gerechnet werden (Multiplikation, Division, Kürzen):

Anmerkung: dies gilt nicht für den D-Operator im Zeitbereich!

Damit können mit Hilfe der Laplace-Transformation lineare

Anfangswertprobleme mit algebraischen Mitteln gelöst werden.



1

1

1

1

1

1

s

s

s s s

s s s

45

Laplace-Transformation: Lösung linearer

Anfangswertprobleme

Gegeben sei das Anfangswertproblem (AWP)

mit



( ) ( 1)

1 1 0

( ) ( )

1 1 0

...

...

n n

n n

m n

m m

a y a y a y a y

b x b x b x b x

( )

,0

( )

,0

(0) ; ; 0...

(0) ; ; 0...

0

i

i i

j

j j

y y a i n

x x b j m

t


Anfangswertprobleme

Unter Verwendung der Sätze zur Linearität und zur Differentiation

lautet die Laplace-Transformierte des AWP:



1

1 1 0 ( 1),0

0 1

1

1 1 0 ( 1),0

0 1

... ( )

... ( )

n in n i k

n n i k

i k

jmm m j k

m m j k

j k

a s a s a s a Y s a s y

b s b s b s b X s b s x

46


Anfangswertprobleme

Lösung des Problems durch algebraische Auflösung der Gleichung

nach Y(s), anschließend Rücktransformation in den Zeitbereich.



1

1 1 0

1

1 1 0

( 1),0 ( 1),010 0 1

1

1 1 0

...( ) ( )

...

...

m m

m m

n n

n n

jin mi k j k

i k j kki j k

n n

n n

b s b s b s bY s X s

a s a s a s a

a s y b s x

a s a s a s a

Übertragungsfunktion H(s)

Laplace-Transformierte der Nullzustandsantwort

Laplace-Transformierte der Nulleingangsantwort


Differentialgleichungssysteme

Gegeben sei ein Differentialgleichungssystem 1. Ordnung:

Die Laplace-Transformation des DGl-Systems ergibt ein lineares

Gleichungssystem (Lösung durch Gauß- Verfahren, Cramersche

Regel, etc.)



1 1 111 12 1

2 21 22 2 2 2

1 2

n

n

n n nnn n n

y y ba a a

y a a a y bx

a a ay y b

y y bA

( ) (0) ( ) ( )

( ) ( ) (0)

s s s X s

s s X s

Y y AY b

E A Y b y

47

Laplace-Transformation: Beispiel Einschaltvorgang

Zustandsgleichungen



1 11 1

2 2

2 2

1 1

2 2

1 1

( )

1 1 0

4 4 4 ( )

1 1 0

C C

C C

C C

C C

RC RCu u I t

u u

RC RC

u u I t

u u

1

2

0

1 0

2

1

1

4

1

( )

(0)

(0) 0

C

C

R

C

C

I t I

u U

u

R

C2

uC2

I0

uC1

C1

t = 0 t = 0


Laplace-Transformation der Zustandsgleichungen

Lösung der linearen Gleichungen, Partialbruchzerlegung



1 1

2 2

4 4 4 ( )

1 1 0

C C

C C

u u I t

u u

1 0

2

4( )4 4

( )1 1 00

(0)( ) ( )

C

C

IU ss U

sU ss

s s syE A Y X

1

1 0

2

1

0 0

2

0 0

2

4( ) 4 4

( ) 1 1 00

(0)( ) ( ) ( )

44 16 16

5 25 25( 5) 5( 5) 5

4 4 4

5 25 25( 5) 5( 5) 5

C

C

IU s s U

sU s s

s s s

U UI I I

s s s s s

U UI I I

s s s s s

yY E A X

48


Rücktransformation in den Zeitbereich unter Verwendung der

Korrespondenztabelle

Bemerkung:



0 0

21

2 0 0

2

44 16 16

( ) 5 25 25( 5) 5( 5) 5

( ) 4 4 4

5 25 25( 5) 5( 5) 5

C

C

U UI I I

U s s s s s s

U s U UI I I

s s s s s

5 50 0

1

5 52 0 0

44 16 16

( ) 5 25 25 5 5

( ) 4 4 4

5 25 25 5 5

t t

C

t tC

U UI I It e e

u t

u t U UI I It e e

1 0

2

(0)

(0) 0

C

C

u U

u

Systematische Aufstellung von Modellgleichungen für

konservative Systeme

Elementebeziehungen: allgemeine n-Tore bzw. n-Pole

Verbindungsnetzwerke

Verallgemeinerte Kirchhoffsche Gesetze

Graphenstruktur konservativer Systeme

Grundlagen der Graphentheorie

Inzidenzmatrizen

Aufstellung der Strukturgleichungen für Verbindungsnetzwerke

Schleifenströme und Knotenpotentiale

Aufstellung von Modellgleichungssystemen mit Hilfe der

modifizierten Knotenpotentialanalyse



49

Allgemeine Darstellung konservativer Systemkomponenten

als n-Tore oder n-Pole



n-Tor-Darstellung n-Pol-Darstellung

1.. 1..( , ) 0n nf

Φ1

Φ1

Δ1

Φ2

Φ2

Δ2

Φ3

Φ3

Δ3

Φn

Φn

Δn

Referenzknoten (Massepotential),

oft nicht explizit herausgeführt!

f: mehrdimensionale

funktionale Abhängigkeit

zwischen den Torgrößen

(Elementebeziehung)

1.. 1..( , ) 0n nfΦ1

Δ1

Φref

Φ2

Δ2

Φ3

Φn

Δ3

Δn

Zweitor- (bzw. Vierpol-)Darstellung des Elektromotors

Beispiel: Elektromotor



Φ1

Φ1

Δ1

Φ2

Φ2

Δ2

1 2 1 2( , , , ) 0f

2 1 2 2

1 2 1 1

0

0

M

M

K D J

K R L

1 1 2 2

1 1 2 2

,

,

i M

umit

u1

i1

M2

ω2

50

Das Verbindungsnetzwerk (rot) verknüpft die b Tore Tk (k = 1, ..., b)

der Komponenten zu einem konservativen System.

Verbindung von n-Toren/n-Polen



Φ1

Φ1

Δ1

Φ7

Φ7

Δ7

Φ8

Φ8

Δ8

Φ9

Φ9

Δ9

Φ10

Φ10

Δ10

Φ3

Φ3

Δ3

Φ4

Φ4

Δ4

Φ5

Φ5

Δ5

Φ6

Φ6

Δ6

Φ2

Φ2

Δ2

f1

f2 f3 f4

f5

f6

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Betrachtet man nur die Tore und das Verbindungsnetzwerk eines

konservativen Systems, so erhält man eine Graphenstruktur.

Das Tor Tk (k = 1, ... , b) wird durch einen Zweig bk repräsentiert, der

mit der Flussgröße Φk und der Differenzgröße Δk verknüpft ist.

Insgesamt enthält das System 2b Unbekannte: Φ1, ..., b, Δ1, ..., b

Graphenstruktur konservativer Systeme (Topologie)



Φ1

Φ1

Δ1

Φ7

Φ7

Δ7

Φ8

Φ8

Δ8

Φ9

Φ9

Δ9

Φ10

Φ10

Δ10

Φ3

Φ3

Δ3

Φ4

Φ4

Δ4

Φ5

Φ5

Δ5

Φ6

Φ6

Δ6

Φ2

Φ2

Δ2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

b1

b2

b3

b4

b5

b6

b7

b8

b9

b10

51

Ein (gerichteter, endlicher) Graph G besteht aus

– einer nichtleeren, endlichen Menge V (Knoten, englisch: vertices),

– einer endlichen Menge E, die mit V elementefremd ist (Kanten oder

Zweige, englisch: edges bzw. branches)

– und einer Inzidenzabbildung Φ, die jeder Kante bk ein geordnetes Paar

von Knoten (vi, vj) zuordnet.

Gemäß obiger Inzidenzabbildung Φ(bk) = (vi, vj) heißt die Kante bk

positiv inzident mit vi und negativ inzident mit vj.

Graphentheorie: Definition Graph



( , , )

:

G V E

V E

E V V

Beispiel: Graph

Knotenmenge

Kantenmenge

Inzidenzabbildung



v1

v2 v3

v4

b4

b1 b2

b3

b5

b6

Graph G 1 2 3 4, , ,V v v v v

1 2 3 4 5 6, , , , ,E b b b b b b

2 1

1 3

2 3

4 2

3 4

4 1

( )

1 ,

2 ,

3 ,

4 ,

5 ,

6 ,

kk b

v v

v v

v v

v v

v v

v v

52

Graphentheorie: Definition Schleife

Eine endliche, alternierende Folge W von Knoten und Kanten in

einem Graphen G heißt ein Weg.

Sind mit Ausnahme des Anfangs- und Endknotens vi1 und vin alle

Knoten in W paarweise verschieden, so heißt W elementarer Weg.

Ist vi,1 = vi,n, so heißt W geschlossener Weg.

Ein elementarer, geschlossener Weg heißt Schleife oder Masche

(englisch: loop).

Anmerkung: da die Inzidenzabbildung bekannt ist, kann eine

Schleife l auch ohne Nennung der beteiligten Knoten dargestellt

werden, ggf. mit expliziter Angabe der Kantenorientierung:



1 1 2 2 1, , , , ... , ,

n ni k i k k iW v b v b b v

1 2 1

( ) ( ) ( ), , ... ,nk k kl b b b

Beispiel: Schleifen

Schleifen

Anmerkung: es gibt noch

andere Möglichkeiten, die

Schleifen zu legen

(welche?)



( ) ( ) ( )

1 1 2 3

( ) ( ) ( )

2 3 4 5

( ) ( ) ( )

3 1 4 6

, ,

, ,

, ,

l b b b

l b b b

l b b b

v1

v2 v3

v4

b4

b1 b2

b3

b5

b6

Graph G

l3

l1

l2

53

Definitionen: Zusammenhang, Teilgraph, Komponente

Ein Graph G = (V, E, Φ) heißt zusammenhängend, wenn es für jedes

Knotenpaar (vi, vj) V × V einen Weg von vi nach vj gibt.

Es sei VT V eine Teilmenge der Knoten von G und ET E die

Menge der mit allen Knotenpaaren (vi, vj) VT × VT inzidenten

Kanten. Der Graph T = (VT, ET, Φ) heißt (knoten-)induzierter

Teilgraph von G.

Ein maximal zusammenhängender Teilgraph eines nicht

zusammenhängenden Graphen G heißt Komponente von G.



Komponenten

K2

K3

Graph G K1

Graphentheorie: Definition Knoteninzidenzmatrix

Es sei n die Anzahl der Knoten und b die Anzahl der Kanten eines zusammenhängenden, gerichteten Graphen G.

Die erweiterte Knoteninzidenzmatrix Aa = [αij] des Graphen G ist definiert als die (n × b)-Matrix mit

Die Zeilen der erweiterten Knoteninzidenzmatrix sind linear abhängig mit Rang(Aa) = n – 1.

Die (reduzierte) Knoteninzidenzmatrix A geht aus Aa durch Entfernen einer beliebigen Zeile hervor; A ist linear unabhängig.

Für einen nicht zusammenhängenden Graphen mit m Komponenten gilt Rang(Aa) = n – m .



ij

1 falls bj mit vi positiv inzident ist

0 falls bj mit vi nicht inzident ist

-1 falls bj mit vi negativ inzident ist

54

Beispiel: Knoteninzidenzmatrix

Erweiterte

Knoteninzidenzmatrix

(Reduzierte)

Knoteninzidenzmatrix

(Zeile 4 von Aa entfernt)



v1

v2 v3

v4

b4

b1 b2

b3

b5

b6

Graph G

1 1 0 0 0 1

1 0 1 1 0 0

0 1 1 0 1 0

0 0 0 1 1 1

aA

1 1 0 0 0 1

1 0 1 1 0 0

0 1 1 0 1 0

A

Graphentheorie: Definition Schleifeninzidenzmatrix

Es sei l die Anzahl der Schleifen und b die Anzahl der Kanten in

einem gerichteten Graphen G.

Die mit den gewählten Schleifen assoziierte Schleifeninzidenzmatrix

B = [βij] ist definiert als die (l × b)-Matrix mit

Der maximale Rang einer Schleifeninzidenzmatrix in einem

zusammenhängenden Graphen ist b – n + 1.

Für einen nicht zusammenhängenden Graphen mit m Komponenten

gilt Rang(B) b – n + m.



ij

1 falls li mit bj positiv inzident ist (gleiche Orientierung)

0 falls li mit bj nicht inzident ist

-1 falls li mit bj negativ inzident ist

(entgegengesetzte Orientierung)

55

Beispiel: Schleifeninzidenzmatrix



v1

v2 v3

v4

b4

b1 b2

b3

b5

b6

Graph G

l3

l1

l2

Schleifeninzidenzmatrix

Anmerkung: B hat den

höchsten möglichen Rang:

Rang(B) = b – n + 1

= 6 – 4 + 1

= 3

1 1 1 0 0 0

0 0 1 1 1 0

1 0 0 1 0 1

B

Erhaltungsgleichungen für Fluss- und Differenzgrößen in

Verbindungsnetzwerken: Kirchhoffsche Gesetze

Flussgrößen: Knotenregel



Differenzgrößen: Maschenregel

0k k 0k k

Φ 1

Φ 2

Φ5

Φ 3

Φ4 Δ3 Δ1

Δ2

σk = ±1 entsprechend der Inzidenz der Zweige mit dem Knoten/der Schleife

56

Zusammenhang Kirchhoffsche Gesetze/Inzidenzmatrizen

Knotenregel (englisch: KCL = Kirchhoff‘s Current Law)

Für alle Knoten vj:

mit

Maschenregel (englisch: KVL = Kirchhoff‘s Voltage Law)

Für alle Schleifen lj:

mit



, , 0 0j k j k

k

Aφ

, , 0 0j k j k

k

Bδ

1( , ... , )Tbφ

1( , ... , )Tbδ

KVL und KCL liefern insgesamt b unabhängige Gleichungen für die

Topologie eines konservativen Systems (b = Anzahl der Kanten)

KCL: n – 1 unabhängige Knotengleichungen

KVL: b – n + 1 unabhängige Maschengleichungen

Summe: b unabhängige topologische Gleichungen

Zusammenfassung zu einem (b × 2b)-Gleichungssystem:

Anzahl der topologischen Gleichungen, Rang des Systems



00

0

A φ

B δ

57

Beispiel: Topologische Gleichungen



Inzidenzmatrizen

Topologische Gleichungen

1 1 1 0 0 0

0 0 1 1 1 0

1 0 0 1 0 1

B

v1

v2 v3

v4

l3

l1

l2

Φ3, Δ3

1 1 0 0 0 1

1 0 1 1 0 0

0 1 1 0 1 0

A

A B

1

6

1

6

01 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0

1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0

0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0

0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0

Zusammenfassung der Zwischenergebnisse,

Beobachtungen

Das Verbindungsnetzwerk eines konservativen Systems mit b Toren liefert b topologische Gleichungen in 2b unbekannten Fluss- und Differenzgrößen Φ1, ..., b, Δ1, ..., b .

Die topologischen Gleichungen lassen sich mit Hilfe der Knoten- und Schleifeninzidenzmatrizen des Netzwerkgraphen aufstellen.

Die topologischen Gleichungen sind immer linear – auch für nichtlineare Systeme!

Um alle Fluss- und Differenzgrößen Φ1, ..., b, Δ1, ..., b eindeutig bestimmen zu können, fehlen noch b Gleichungen. Diese müssen durch die Elementebeziehungen der n-Tore geliefert werden.

Das Aufstellen der topologischen Gleichungen in der bisher gezeigten Form ist nicht effizient.

– Aufstellung der Schleifeninzidenzmatrix ist aufwändig

– Große Matrizen



58

Der Kirchhoff-Raum

Das (b x 2b)-System der topologischen Gleichungen

hat die Form eines linearen Gleichungssystems

Die Lösungsmenge des Gleichungssystems ist ein b-dimensionaler

Vektorraum K; dieser heißt Kirchhoff-Raum:



00

0

xT

A φ

B δ

0T x

dim( ) def( ) 2K b b bT

2ker 0bK T x Tx

Allgemeine Lösung der topologischen Gleichungen

Da K ein Vektorraum ist, existiert eine allgemeine Lösung der

Kirchhoff-Gleichungen in der Form

mit

und

Bemerkung: S ist eine Basis des Kirchhoff-Raums.

Lässt sich die Matrix S in bereits bekannten Größen ausdrücken?



2span( ) bK S x x Sy

2 ,bxb bS y

0, Rang( ) bTS S

Ja ... (siehe folgende Seiten)

59

Multiplikation von Knoten- und Schleifeninzidenzmatrix



Inzidenzmatrizen

Produkt der Inzidenzmatrizen

1 1 1 0 0 0

0 0 1 1 1 0

1 0 0 1 0 1

B

1 1 0 0 0 1

1 0 1 1 0 0

0 1 1 0 1 0

A

v1

v2 v3

v4

b4

b1 b2

b3

b5

b6 l3

l1

l2

1 0 1

1 0 01 1 0 0 0 1 0 0 0

1 1 01 0 1 1 0 0 0 0 0

0 1 10 1 1 0 1 0 0 0 0

0 1 0

0 0 1

TA B

Orthogonalität der Inzidenzmatrizen A und B

Definition: exaktes Matrizenpaar

Ein Matrizenpaar (K, M) mit heißt exakt, wenn

Voraussetzung: Es sei A die Knoteninzidenzmatrix eines Graphen

G und B eine Schleifeninzidenzmatrix von G mit maximalem Rang.

Satz: Das aus A und B gebildete Matrizenpaar (A, BT) ist exakt.

Anmerkung: Der Satz gilt entsprechend für (B, AT).



,n b b mK M

1. 0

2. Rang( ) Rang( ) b

K M

K M

0

Rang( ) Rang( )

T

T b

A B

A B

60

Exaktes Matrizenpaar: Beweis (1)

Betrachte die p-te Zeile von A (korrespondierend mit dem Knoten vp)

und die q-te Zeile von B (korrespondierend mit der Schleife lq).

Die Schleife lq enthält

I. entweder keinen mit dem Knoten vp inzidenten Zweig (trivialer Fall)

II. oder genau zwei mit vp inzidente Zweige bi und bj in einer von vier

möglichen Anordnungen (a, b, c, d).



bi bj

vp

lq

a)

bi bj

vp

lq

b)

bi bj

vp

lq

c)

bi bj

vp

lq

d)


Matrixeinträge



bi bj

vp

lq

IIa)

bi bj

vp

lq

IIb)

bi bj

vp

lq

IIc)

bi bj

vp

lq

IId)

1 1 1 1 0vp lq p

bi bj bi bj

A B ABT

q

1 1 1 1 0vp lq p

1 1 1 1 0vp lq p

1 1 1 1 0vp lq p

61


In allen zu betrachtenden Fällen heben sich die Produkte der

Matrixeinträge gegeneinander auf. Das Gesamtergebnis ist:

Für den Rang der Matrizen gilt

Der Beweis für (B, AT) erfolgt auf die gleiche Weise.



0TAB

Rang( ) Rang( ) Rang( ) Rang( )

( 1) ( 1)

T

n b n

b

A B A B

Eine Basis des Kirchhoff-Raums

Mit Hilfe der Exaktheitsbeziehung von A und B lässt sich eine

allgemeine Lösung der topologischen Gleichungen finden. Wähle

dazu φ und δ als Linearkombinationen der Spalten von AT und BT:

Damit kann eine Basis S für den Kirchhoff-Raum bestimmt werden:



1

1

,

,

T b n

T n

φ B j j

δ A v v

0 0

0 0

0 00

0 0

T

T

T

T

yT S

A φ A B j

B δ B A v

A jB

B vA

62

Knotenpotentiale


Die n – 1 Elemente des Vektors v können als unabhängige

Knotenspannungen (bzw. Knotenpotentiale) interpretiert werden.

Knotenpotentiale erfüllen immer KVL!


Knoten ..... spannung

1 1 2

2 1 3

1

3 2 3

2

4 2

3

5 3

6 1

1 1 0

1 0 1

0 1 1

0 1 0

0 0 1

1 0 0

T

v v

v vv

v vv

vv

v

vv

δ A

v1

v2 v3

v4

Φ3, Δ3

Schleifenströme

Die b – n + 1 Elemente des Vektors j können als Schleifenströme

(bzw. Schleifenflüsse) interpretiert werden.

Schleifenströme erfüllen immer KCL!



j3

j1

j2

Φ3, Δ3

Schleife(n) ..... strom

1 1 3

2 1

1

3 1 2

2

4 2 3

3

5 2

6 3

1 0 1

1 0 0

1 1 0

0 1 1

0 1 0

0 0 1

T

j j

jj

j jj

j jj

j

jj

φ B

63

Satz von Tellegen

Satz: In einem konservativen System gilt

Beweis: Mit φ = ATv und δ = BTj ist

Folgerung: Diese Eigenschaft ist nur von der Topologie des

Systems abhängig. Der Satz gilt daher auch, wenn φ und δ aus zwei

verschiedenen Netzwerken mit identischer Topologie stammen

(siehe Übungsaufgabe 5).



, 0Tφ δ φ δ

0

0T

T T T T Tφ δ A v B j v AB j

10 Ω 10 Ω

10 Ω 150 V 30 V 2 V

1 S

3 S uc

uc 2 A 1 S

, 0a bφ δφa δb

a) b)

Knotenpotentiale und Schleifenströme: Folgerungen

Die Knotenpotentiale und Schleifenströme bilden eine Basis des

Kirchhoff-Raums.

Werden die Modellgleichungen für ein konservatives System in den

Basisvariablen v und j formuliert, so ist keine Aufstellung und

Lösung der topologischen Gleichungen erforderlich, da diese

automatisch erfüllt sind.

Aus dieser Erkenntnis lassen sich effiziente, systematische

Analyseverfahren für konservative Systeme ableiten, z. B. die

Modifizierte Knotenanalyse (engl. modified nodal analysis, MNA).



64

Modifizierte Knotenanalyse (1)

Es seien G = (V, E, Φ) der Graph eines konservativen Systems mit b

Toren und den zugehörigen Elementebeziehungen

Partitioniere E in zwei Teilmengen E1 und E2 mit korrespondierenden

Flussgrößen φ1 und φ2 (Zweige dazu ggf. neu durchnummerieren).

– E1 enthält die b – r Zweige b1 ... bb–r, deren Flussgrößen φ1 nicht als

Steuergrößen für andere Zweige oder Beobachtungsgleichungen dienen

und deren Elementebeziehungen sich in folgender Form schreiben

lassen:

– E2 enthält die übrigen r Zweige bb–r+1 ... bb mit den zugehörigen

Elementebeziehungen



2( , ) 0; : b r rh φ δ h

1 2 1 2 1 2, ,T

E E E E E φ φ φ

2( , ) 0; : b bf φ δ f

1 2( , ); : b r b rφ g φ δ g


Für die Elementebeziehungen gilt damit

Partitioniere die Knoteninzidenzmatrix A von G entsprechend der

Partitionierung von E.

Mit der gewählten Partitionierung folgt aus KCL



1 2

2

( , )( , ) 0 0

( , )

φ g φ δf φ δ

h φ δ

1 2A A A

1

1 1 1 2 22

2

0 0φ

Aφ A A A φ A φφ

65


Multipliziere die zu E1 gehörigen Elementebeziehungen mit A1,

drücke die Zweigdifferenzgrößen durch Knotenpotentialdifferenzen

aus und eliminiere φ1.



1 21

2

1 1 1 2

2

2 2 1 2

2

( , )00

( , )0

( , )0

( , )

( , )0

( , )

T

T

T

T

T

δ A v

φ g φ δA

h φ δE

A φ A g φ A v

h φ A v

A φ A g φ A v

h φ A v

MNA-System: n – 1 + r Gleichungen in n – 1 + r Unbekannten v und φ2.

Elementweise Komposition des MNA-Systems

Betrachte den Zweig bi (entspr. i-ter Spalte von A).

– Fall 1) bi E1 (i = 1, ..., b – r)

– Fall 2) bi E2 (i = b – r + 1, ..., b)

Bestimme die MNA-Beiträge

des Zweigs bi in allgemeiner

Form.



Φi

Δi

vp

Φi

vq

bi

Φ1

Δ1

b1

Φj ≠ i

Δj ≠ i b j ≠ i

Φb

Δb

bb

2( , ) 0i b rh φ δ

2( , )i ig φ δ

2 2 1 2

2

( , )0

( , )

T

T

A φ A g φ A v

h φ A v

Fall 1

Fall 2

66

MNA-Beiträge eines Zweigs: Fall 1

Betrachte die Beiträge des Zweigs bi zu A1 und g:



1 2 2

2

2

1

( , ) ( , )

1

( , )

( , )

T T

i

T

i

T

i

p

q

p

q

g

g

g

A g φ A v φ A v

φ A v

φ A v

i

Betrachte die Beiträge des Zweigs bi zu A2 und h:

MNA-Beiträge eines Zweigs: Fall 2



2 2

1

1

i

i

i

p p

q q

A φ

i – b + r

2 2( , ) ( , )T T

i b rhh φ A v φ A v

i – b + r

67

Beispiel: Modifizierte Knotenanalyse (1)

Gegeben sei das abgebildete nichtlineare, dynamische elektrische

Netzwerk.



RB

UB U0(t)

RC

RE CE

iB β iB


Elementebeziehung der unabhängigen Spannungsquelle

(nicht auflösbar nach dem Zweigstrom i)

Elementebeziehung des linearen elektrischen Widerstands

(auflösbar nach dem Zweigstrom i, sofern R ≠ 0)



u = U0

i

0 00 0i u U u U

1

0 0; 0R i u i u RR

R

i

u

68


Elementebeziehung der linearen Kapazität

(auflösbar nach dem Zweigstrom i)

Elementebeziehung der linearen stromgesteuerten Stromquelle

(engl. current-controlled current source, CCCS)

(auflösbar nach dem Zweigstrom i2)



0du

i Cdt

2 1 0i i

C

i

u

i1

i2 = β i1


Elementebeziehung der Diode

(auflösbar nach dem Zweigstrom i)

mit IS: Sperrsättigungsstrom (engl. reverse-bias saturation current)

Vt: Temperaturspannung (engl. thermal voltage)



/ 1 0tu V

Si I eD

i

u

69


Netzwerkgraph und Partitionierung von Zweigmenge,

Flussgrößenvektor und Knoteninzidenzmatrix



1 1 2 3

8

5

2 6 7

4, , , ,

, ,

E b b b b b

E b b b

1 1 2

2 6

4 5

7

3

8

, , ,

,

,

,T

Ti i i i i

i i iφ

φ

21

1 0 0

0 1 0

0 1 0

0 0 0

0

1 0 0 0 0

1 0 0 0 0

0 1 1 1 0

0 0 0 1 1

0 0 0 0 1 0 1

A A

A

v1

v2

v3

v4

b4

b1

b2 b3

b5

b6

b7

b8

v5

v0

8, 6, 3b n r


Ausdrücken des Differenzgrößenvektors durch Knotenpotentiale



1 2 3 4 5 6 7 8

1 2 3 4 5

, , , , , , ,

, , , ,

T

T

u u u u u u u u

v v v v v

δ

v

1 2

3

1

3

2

4 3

3

4 5

4

1

5

2 3

5

1 1 0 0 0

0 0 1 0 0

0 0 1 0 0

0 0 1 1 0

0 0 0 1 1

1 0 0 0 0

0 1 1 0 0

0 0 0 0 1

T

v v

vv

vv

v vv

v vv

vv

v v

v

δ A v

v1

v2

v3

v4

b4

b1

b2 b3

b5

b6

b7

b8

v5

v0

70


Elementebeziehungen der Partition 1, Ersetzen der

Zweigspannungen durch Knotenpotentialdifferenzen



1 11 1 2

1 12 3

3 31 2

7

1 1

2

4 5

7

5

, ,

B B

E E

C C

R R

R R

TE E

R R

u v v

u v

C C

i

u v

i

u v v

φ g δ g φ Aφ v


Elementebeziehungen der Partition 2, Ersetzen der

Zweigspannungen durch Knotenpotentialdifferenzen



7

2 3

6 0

/

8

1 0

( )/

2 7

5

2 7, 1 0

, 1 0

t

t

u V

S

B

v v VT

S

B

u U

I e

u U

v U

i I e

v

i

U

h δ

h φ A

φ

v

71


Elementweise Aufstellen der MNA-Gleichungen

1. RB

2. RE

3. CE

4. CCCS

5. RC

6. U0

7. Diode

8. UB



2 3

6

7

7

8

1 0

( )

11 2

11 2

13 3 7

17 4 5

1

/

7

5

4 5

0

0

0

0

0

0

0

0

1

B

C

C

t

B

E

R

R

ER

R

v v V

S

R

B

v v

v v

v C

i

i

i

i

v U

v i

i v v

I e

v

v v

i

U

Modifizierte Knotenanalyse (MNA): Zusammenfassung

Die modifizierte Knotenanalyse ist in Bezug auf die zulässigen

Formen von Elementebeziehungen ebenso allgemeingültig wie das

(2b × 2b)-Sparse Tableau.

Die MNA liefert aber ein wesentlich kompakteres System von

n – 1+ r Gleichungen in n – 1 + r Variablen v und φ2.

Die Aufstellung von MNA-Gleichungen kann elementeweise aus

einer Netzlistenbeschreibung eines Systems erfolgen. Eine

Aufstellung von Knoten- und Schleifeninzidenzmatrizen ist nicht

erforderlich.

Die MNA ist das in Netzwerk-Simulationsprogrammen am häufigsten

eingesetzte Verfahren zur Gleichungsaufstellung.



72

Modellierung elektronischer Systeme

Phasenregelschleife (Phase-Locked Loop, PLL)

Top-Down- und Bottom-Up-Modellierung

Switched-Capacitor-Schaltungen

Analog/Digital-Wandler



Phasenregelschleife (PLL)

Eine PLL (Phase-Locked Loop) ist ein nichtlineares elektronisches

Regelungssystem, welches das Ausgangssignal eines gesteuerten

Oszillators in Frequenz und Phasenlage mit einem periodischen

Eingangssignal synchronisiert.



PLL 2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5

-1

-0.5

0.5

1

2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5

-1

-0.5

0.5

1

Eingangssignal mit Eingangssignal

synchronisiertes

Ausgangssignal (blau)

2 4 6 8 10 12

-1

-0.5

0.5

1

PLL 2 4 6 8 10 12

-1

-0.5

0.5

1

73

Typen und Anwendungen von PLL-Systemen

Typen u.a.

– Lineare (analoge) PLL

(LPLL, APLL)

– Digitale PLL (DPLL)

– Software-PLL (SPLL)

Anwendungen u.a.

– Frequenz- und Phasenmodulation/-demodulation in Rundfunk- und

Datenkommunikationssystemen (FM-Radio, WLAN, ...)

– Entstörung von frequenz- und phasenmodulierten Signalen

(Entrauschen, Kompensation von kurzzeitigem Signalverlust, ...)

– Frequenzsynthese (FM-Radio, Mobilfunk, WLAN, ...)

– Takt/Daten-Rückgewinnung in Datenkommunikations- und

Speichersystemen (Festplatten, DRAM, ...)



Quarz-

Oszillator PLL

HF-

Verstärker

IF-

Verstärker X PLL-

Demodu-

lator

Audio-

verstärker

FM-Empfänger

Prinzipieller Aufbau einer PLL



PD F(s) VCO

÷N

Phasendifferenz-

detektor

Schleifenfilter Spannungs-

gesteuerter

Oszillator

Frequenzteiler

Referenz-

frequenz

fref

Ausgangs-

frequenz

fout

Modulationsspannung vm

fout/N

74

Komponenten einer PLL: Phasendifferenzdetektor



PD F(s) VCO

÷N

Phasendifferenz-

detektor


gesteuerter

Oszillator

Frequenzteiler

Referenz-

frequenz

fref

Ausgangs-

frequenz

fout


fout/N

Komponenten einer PLL: Phasendifferenzdetektor

Der Phasendifferenzdetektor liefert ein zur Differenz der

Phasenlagen der Eingangssignale Δθ = θ – θ0 proportionales

Ausgangssignal vp.



0.5 1 1.5 2

-1

-0.5

0.5

1

0.5 1 1.5 2

-1

-0.5

0.5

1

0.5 1 1.5 2

-1

-0.5

0.5

1

-1 -0.5 0.5 1

-1

-0.5

0.5

1

Δθ = θ – θ0

vp

~KP

vp = KP Δθ

θ = θ0 θ < θ0 θ > θ0

75

Komponenten einer PLL: Gesteuerter Oszillator



PD F(s) VCO

÷N

Phasendifferenz-

detektor


gesteuerter

Oszillator

Frequenzteiler

Referenz-

frequenz

fref

Ausgangs-

frequenz

fout


fout/N

Komponenten einer PLL: Gesteuerter Oszillator

Der gesteuerte Oszillator (VCO, voltage-controlled oscillator) erzeugt

ein periodisches Ausgangssignal vo(t) mit einer Frequenz ω, deren

Differenz Δω zur Freilauffrequenz ω0 proportional zu seiner

Steuerspannung vm(t) ist.



2 4 6 8

t

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5 vm

vo

-1 -0.5 0.5 1

-1

-0.5

0.5

1

vm

Δω

~KF

Δω = KF vm

ω = ω0 + KF vm

76

Komponenten einer PLL: Frequenzteiler



PD F(s) VCO

÷N

Phasendifferenz-

detektor


gesteuerter

Oszillator

Frequenzteiler

Referenz-

frequenz

fref

Ausgangs-

frequenz

fout


fout/N

Komponenten einer PLL: Frequenzteiler

Der Frequenzteiler erzeugt ein mit der Oszillatorfrequenz

synchrones periodisches Ausgangssignal, dessen Frequenz um den

Faktor N geringer ist als die Oszillatorfrequenz.

Frequenzteiler können mit Hilfe digitaler Zähler realisiert werden.

Der Frequenzteiler ist nur in PLL-Anwendungen zur

Frequenzsynthese erforderlich, nicht bei Nachlauf-PLL (N = 1).



2 4 6 8 10 12

-1

-0.5

0.5

1

2 4 6 8 10 12

-1

-0.5

0.5

1

Eingangssignal Ausgangssignal (N = 3)

77

Komponenten einer PLL: Schleifenfilter



PD F(s) VCO

÷N

Phasendifferenz-

detektor


gesteuerter

Oszillator

Frequenzteiler

Referenz-

frequenz

fref

Ausgangs-

frequenz

fout


fout/N

Komponenten einer PLL: Schleifenfilter

Der Schleifenfilter bestimmt das dynamische Verhalten einer PLL.

– Stabilität der Regelschleife

– Einschwingverhalten bei sprunghafter Änderung der Referenzfrequenz

bzw. –phase

– Unterdrückung unerwünschter Frequenzkomponenten (HF-Anteile im

Ausgang des Phasendifferenzdetektors, Rauschen)

Die Ausgangsspannung des Schleifenfilters steuert die Frequenz

des Oszillators.

Der Schleifenfilter hat typischerweise Tiefpass-Eigenschaften mit

einer Übertragungsfunktion F(s) der unten stehenden Form; die

Wahl der Koeffizienten (Null oder von Null verschieden) bestimmt die

Ordnung der PLL.



2

1 20 2

1 2

1( )

1

b s b sF s A

a s a s

78

Analoge Nachlauf-PLL (APLL)



PD F(s) VCO

Phasendifferenz-

detektor


gesteuerter

Oszillator

Referenzfrequenz

und -phase

ωref

θref

Ausgangs-

frequenz

und -phase


ωout

θout

Aufbau und Analyse der APLL

Realisierung und Modellierung des Phasendifferenzdetektors

Modellierung des VCO

Bestimmung der Übertragungsfunktion der APLL im eingerasteten

Zustand (locked state)

Realisierung des Schleifenfilters

Ermittlung des zeitlichen Verhaltens der APLL im eingerasteten

Zustand für verschiedene Filterordnungen

– Wie reagiert die PLL auf sprunghafte Änderungen der

Referenzfrequenz?

Ermittlung von Kenngrößen der PLL per Simulation (VHDL-AMS)



Q: wikipedia

79

Realisierung des analoger Phasendifferenzdetektors

Ein analoger Phasendifferenzdetektor kann durch einen

Multiplizierer (Mischer) realisiert werden.

Die Phasendifferenz ergibt sich aus dem Gleichspannungsanteil des

Mischprodukts (Filterung kann im Schleifenfilter erfolgen).

KM: Verstärkungsfaktor des Mischers (engl. mixer gain), [KM] = 1/V



× 2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5

-0.2

0.2

0.4

0.6

2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5

-1

-0.5

0.5

1

v1(t)

v2(t)

vP(t)

1 2( ) ( ) ( )P Mv t K v t v t

Modellierung des Phasendifferenzdetektors

Gegeben seien zwei sinusförmige Signale v1(t) = vref(t)

(Referenzsignal) und v2(t) = vosc(t) (Ausgangssignal des VCO).

Befindet sich die PLL im eingerasteten (d.h. synchronisierten)

Zustand (engl. locked state), so gilt:



1 1 1 1

2 2 2 2

( ) cos ( )

( ) sin ( )

v t A t t

v t A t t2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5

-1

-0.5

0.5

1

1 2

2 1( ) ( ) ( )t t t

Gleiche Frequenz

Phasenabweichung zwischen

Eingangs- und Ausgangssignal

80


Das Mischprodukt von v1(t) und v2(t) ergibt

Unter Verwendung der trigonometrischen Beziehung

ergibt sich



1 2 1 2 1 2( ) ( ) cos ( ) sin ( )v t v t A A t t t t

1

cos sin sin sin2

x y x y x y

1 21 2 1 2 1 2

1 2 1 21 2

( ) ( ) sin 2 ( ) ( ) sin ( ) ( )2

sin ( ) sin 2 ( ) ( )2 2

A Av t v t t t t t t

A A A At t t t

HF-Anteil bei 2ω herausfiltern!


Der HF-Anteil des Mischprodukts bei 2ω kann durch Filterung

eliminiert werden. Wir nehmen kleine Phasendifferenzen Δθ an.

Die Transformation in den Frequenzbereich (Laplace) ergibt

mit



1 21 2

1 2

( ) ( ) ( ) sin ( )2

( )2

p M M

M

A Av t K v t v t K t

A AK t

( ) ( )p PV s K s

1 2

2P M

A AK K

KP

ΔΘ(s) Vp(s)

Laplace-Ersatzschaltbild

81

Modellierung des spannungsgesteuerten Oszillators

Funktion des spannungsgesteuerten Oszillators

Forderung nach realistischem Verhalten: vosc(t) stetig auch bei

sprunghafter Änderung von vm(t) stetiges Argument φ(t) des

Sinus!

Instantane Kreisfrequenz ω(t)



VCO vm(t) vosc(t) sinusförmig mit

ω(t) = ω0 + KF vm (t)

0( ) sin ( ) : sin ( ( ))osc mv t A t A t v t

0 0

0

( ) ( ) ( ) ( )

( )F m

t t t t

K v t

( ) ( ) ( )F mt t K v t

Modellierung des spannungsgesteuerten Oszillators

Wird das Übertragungsverhalten des VCO von einer Änderung der

Steuerspannung vm(t) zur Phasenänderung θ(t) betrachtet, so kann

der VCO als Integrator angesehen werden.



0

( ) ( ) ( ) ( )t

F m F mt K v t t K v d

1

( ) ( )F ms K V ss

KF

Θ(s) Vm(s)

Laplace-Ersatzschaltbild

1

s

82

Laplace-Ersatzschaltbild für den eingerasteten Zustand

Bestimme die Übertragungsfunktion

Bestimmung der Übertragungsfunktion der APLL



ΔΩref(s) + F(s)

KF

Phasendifferenzdetektor

KP

–

1

s

1

s

Θref(s) ΔΘ(s)

Θosc(s)

ΔΩosc(s)

Vm(s) Vp(s)

VCO

Schleifenfilter

( ) osc

ref

H s


Gleichungssystem

Gleichungssystem in Matrixform



1( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

ref ref

ref osc

p p

s ss

s s s

V s K s

( ) ( )1 0 0 0 0 0( ) 01 1 0 0 0 1( ) 00 1 0 0 0

0 0 ( ) 1 0 0 ( ) 00 0 0 1 0 0( )0 0 0 0 1/ 1 0( )

refref

pP

m

F osc

osc

s s ss

V sKF s V s

K ss s

( ) ( ) ( )

( ) ( )

1( ) ( )

m p

osc F m

osc osc

V s F s V s

s K V s

s ss

83


Übertragungsfunktion der PLL

H(s) beschreibt die Änderung der Ausgangsfrequenz infolge einer

Änderung der Referenzfrequenz.

Das dynamische Verhalten der PLL hängt von der

Übertragungsfunktion des Schleifenfilters F(s) ab.

– Ein Filter 0. Ordnung (konstante Verstärkung) ergibt eine

PLL-Übertragungsfunktion 1. Ordnung ( PLL 1. Ordnung)

– Ein Tiefpassfilter 1. Ordnung ergibt eine

PLL-Übertragungsfunktion 2. Ordnung ( PLL 2. Ordnung)



( ) ( )( )

( ) ( )osc P F

ref P F

s K K F sH s

s s K K F s


Filter 0. Ordnung = konstante Verstärkung A0 PLL 1. Ordnung



0

0

( ) ( )P Fosc ref

P F

K K As s

s K K A 0( )F s A

1.0 E 3 1.0 E 2 1.0 E 1 1.0 E0 1.0 E1

Frequency

1.0 E 1

2.0 E 1

5.0 E 1

1.0 E0

2.0 E0

5.0 E0

1.0 E1

edutingaM

F(s)/A0

1.0 E 3 1.0 E 2 1.0 E 1 1.0 E0 1.0 E1

Frequency

1.0 E 1

2.0 E 1

5.0 E 1

1.0 E0

2.0 E0

5.0 E0

1.0 E1

edutingaM

H(s)

0P FK K A

84


1.0 E 3 1.0 E 2 1.0 E 1 1.0 E0 1.0 E1

Frequency

1.0 E 1

2.0 E 1

5.0 E 1

1.0 E0

2.0 E0

5.0 E0

1.0 E1

edutingaM



Tiefpassfilter 1. Ordnung PLL 2. Ordnung

0

2 0

( ) ( )1

P F

osc refP F

K K A

Ts sK K A

s sT T

0( )1

AF s

sT

H(s)

1.0 E 3 1.0 E 2 1.0 E 1 1.0 E0 1.0 E1

Frequency

1.0 E 1

2.0 E 1

5.0 E 1

1.0 E0

2.0 E0

5.0 E0

1.0 E1

edutingaM

F(s)/A0

1

T T

Bestimmung des Verhaltens der APLL im Zeitbereich

Wie reagiert eine PLL 1. Ordnung auf eine sprunghafte Änderung

der Referenzfrequenz ωref?



0

0

0

1( ) ( )

1 1; mit :

P F PLLosc ref

P F PLL

PLL P F

PLL

K K A Ks s

s K K A s K s

K K K As K s

1

( ) ( ) ( )ref reft t ss

( ) 1 ( )PLLK t

osc t e t

85


Sprungantwort der APLL 1. Ordnung

Die Ausgangsfrequenz einer APLL

1. Ordnung folgt einer Änderung der

Referenzfrequenz mit dem zeitlichen

Verlauf einer abklingenden

Exponentialfunktion.

Die Konstante KPLL wird als

Schleifenbandbreite bezeichnet.



( ) 1 ( )PLLK t

osc t e t

2 4 6 8 10t

0.2

0.4

0.6

0.8

1

2 4 6 8 10

t

0.2

0.4

0.6

0.8

1

2 4 6 8 10

t

-1

-0.5

0.5

1

vref(t)

Δωref (t)

Δωosc (t)

1

PLLK


Wie reagiert eine PLL 2. Ordnung auf eine sprunghafte Änderung

der Referenzfrequenz ωref?

Vergleiche Nenner mit charakteristischem Polynom eines

Schwingsystems 2. Ordnung mit D = Dämpfungskonstante,

ωn = Eigenfrequenz der ungedämpften Schwingung:



0

22 0

02

/ 1( ) ( )

1 / /

1/ 1; mit :

/ /

P F

PLLosc ref

P F PLL

PLL P F

PLL

K K AK TTs s

K K A s s T K T ss s

T T

s TK K K A

s s T K T s

2 2 12 ,

2

PLLn n n

PLL

Ks D s D

TK T

86


Für D < 1 lautet die korrespondierende Zeitbereichslösung für das

Schwingsystem

Entsprechend lautet die allgemeine Lösung für die Antwort der APLL

2. Ordnung im Zeitbereich

mit



21, , , , 1

2

PLLi n n d n

PLL

KC D D D

TK T

2 2( ) cos 1 sin 1nD t

n nx t e A D t B D t

1 2( ) 1 cos sin ( )t

osc d dt e C t C t t


Sprungantwort der APLL 2. Ordnung

Die Ausgangsfrequenz einer APLL

2. Ordnung folgt einer Änderung der

Referenzfrequenz mit dem zeitlichen

Verlauf einer gedämpften

sinusförmigen Schwingung

Eine PLL 2. Ordnung bietet mehr

Freiheitsgrade beim Entwurf des

Regelverhaltens als eine PLL

1. Ordnung (u.a. wichtig für Stabilität)



2 4 6 8 10

t

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

2 4 6 8 10

t

0.2

0.4

0.6

0.8

1

2 4 6 8 10

t

-1

-0.5

0.5

1vref(t)

Δωref (t)

Δωosc (t)

1 2( ) 1 cos sin ( )t

osc n nt e C t C t t

87

Weitere Kenngrößen der PLL

Fangbereich (engl. lock-in range, lock range, auch: capture range):

Bereich ω0±ΔωL um die Freilauffrequenz ω0, in dem sich eine nicht

eingerastete PLL innerhalb von einer Periode der Eigenfrequenz ωd

auf eine Referenzfrequenz ωref [ω0-ΔωL, ω0+ΔωL] synchronisiert.

Ausrastbereich (engl. pull-out range): Frequenzbereich ω0±ΔωPO, in

dem eine eingerastete PLL einem Frequenzsprung Δωref innerhalb

von einer Periode der Eigenfrequenz ωd folgen kann.

Ziehbereich (engl. pull-in range): Frequenzbereich ω0±ΔωP, in dem

eine PLL aus dem nicht eingerasteten Zustand immer einrastet (ggf.

langsamer Prozess über mehrere Perioden von ωd).

Haltebereich (engl. hold-in range, hold range): Frequenzbereich

ω0±ΔωH, in dem eine eingerastete PLL auf eine Referenzfrequenz

ωref synchronisiert bleibt (statischer Fall) bzw. einer langsamen

Änderung der Referenzfrequenz folgen kann.



Weitere Kenngrößen der PLL

Es gilt Fangbereich < Ausrastbereich < Ziehbereich < Haltebereich



Q: wikipedia

ω0 +ΔωL -ΔωL +ΔωPO +ΔωP +ΔωH -ΔωPO -ΔωP -ΔωH

88

Simulation von Zieh- und Haltebereich

Anregung der PLL mit hinreichend großer, langsamer, linearer

Aufwärts- und Abwärtsvariation der Referenzfrequenz um ω0.

Bestimmung der Frequenzen, bei denen die PLL

– aus dem unsynchronisierten Zustand einrastet,

– aus dem eingerasteten Zustand heraus die Synchronisation verliert.



PLL

Eingangsfrequenz fref(t) Oszillatorfrequenz fosc(t)

f0

Testbench zur Simulation von Zieh- und Haltebereich

Erzeuge die Variation der Referenzfrequenz mit Hilfe eines VCO und

einem dreieckförmigen Verlauf der Modulationsspannung.

Der Bereich der Modulationsspannung muss so gewählt werden,

dass das resultierende Frequenzintervall des VCO den Haltebereich

der PLL einschließt.



PLL

Modulationsspannung vmod(t)

fosc(t) VCO

89

Simulation von Zieh- und Haltebereich



Ziehbereich

(pull-in range) Haltebereich

(hold range)

Demodulation von FM-Signalen mit einer APLL

Im eingerasteten Zustand erzeugt die PLL eine

Modulationsspannung vm(t), die proportional zur Abweichung der

Referenzfrequenz von der Freilauffrequenz ist.

Das demodulierte FM-Signal kann daher unmittelbar durch Abgriff

der Modulationsspannung gewonnen werden (ggf. noch

Tiefpassfilterung zur Elimination verbleibender HF-Anteile vom PD

notwendig).



PD F(s) VCO

FM-Signal

ωref(t)

Modulationsspannung vm(t)

= demoduliertes FM-Signal

90

Testbench zur Simulation der FM-Demodulation

Erzeuge die Variation der Referenzfrequenz durch einen VCO mit

einer zeitlich variierenden (z.B. sinusförmigen)

Modulationsspannung.



PLL

Modulationsspannung

fosc(t) VCO 2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5

-1

-0.5

0.5

1

mod mod( ) sin 2v t A f t

Demodulation von FM-Signalen mit einer APLL



Modulations-

muster des

Eingangs-

signals

Demodu-

liertes

FM-Signal

91

Demodulation von PM-Signalen mit einer APLL

Phase des VCO:

Demodulation durch Integration der

VCO-Modulationsspannung vm(t)



0

0

( ) ( )

( )

t

F mt t K v d

t = PM-Signal (nicht-elektrisch!)

PD F(s) VCO

PM-Signal

ωref(t)

demoduliertes

PM-Signal

(elektrisch)

∫ vm(t) Ti


Ein reiner Integrator würde durch einen DC-Offset von vm(t) in die

Sättigung getrieben werden, daher Verwendung eines Tiefpassfilters

1. Ordnung mit einer Zeitkonstante Ti, die über der Periodendauer Ts

eines Symbols liegt.

Für Frequenzen ω > 1/Ti verhält sich der Tiefpass wie ein Integrator,

DC-Offsets werden jedoch nicht integriert.



PD F(s) VCO

PM-Signal

ωref(t)

demoduliertes

PM-Signal vm(t)

1

1 isT

92

Testbench zur Simulation der PM-Demodulation

Anwendungsszenario: Datenübertragung per n-PSK (phase-shift

keying mit n Zuständen)

Erzeuge ein PSK-Testsignal mit Hilfe eines Symbolgenerators

(Bitstromgenerator) und eines Quadraturmodulators (I/Q-Modulator).

Beschalte den Ausgang der PLL mit einem Tiefpass mit geeigneter

Zeitkonstante.



Erzeugt Bitstrom

und codiert

diesen in einem

Signal φin(t)

PLL φout(t) I/Q-

Modulator

Symbol-

generator

1

1 isT

Moduliert Phase

eines

HF-Trägersignals

mit φin(t)

Rekonstruiert φin(t)

durch Integration

der Modulations-

spannung der PLL

vm(t) φin(t) f(φ, t)

Detektiert

Phasensprünge

im HF-Signal

Ein I/Q-Modulator erzeugt aus zwei orthogonalen Sinussignalen

cos ωt (in-phase) und sin ωt (quadrature) durch gewichtete

Summation ein Sinussignal mit definierter Phasenlage cos(ωt + φ).

Quadraturmodulator (I/Q-Modulator)



0.5 1 1.5 2

-1

-0.5

0.5

1

0.5 1 1.5 2

-1

-0.5

0.5

1

0.5 1 1.5 2

-1

-0.5

0.5

1 I(t) = cos ωt

Q(t) = sin ωt

I(t) cos φ

Q(t) sin φ

+

cos(ωt + φ)

ω

I

Q

φ

93

Blockschaltbild des Quadraturmodulators

Bestimmung der Gewichtungsfaktoren für I und Q

Blockschaltbild



ω

I

Q

φ

! 0 2 cos sin

cos , sin

jj je Ae Be j A jB

A B

cos(ωt)

sin(ωt)

cos φ

+

cos φ

φ(t)

I

Q

cos(ωt + φ)

Symbolgenerator

Der Symbolgenerator erzeugt Folgen von definierten Phasenlagen.

Konstellationsdiagramm (Beispiel) und zufällige Symbolfolge für

4-PSK (2 Bit pro Symbol)



I

Q

φ 0° = ´00´

90° = ´01´

180° = ´10´

270° = ´11´

2 4 6 8 10 12 14

90

180

270

10 00 11 01 01 10 11 01 00 11 10 01 11 ....

φ

94




Eingangs-

bitmuster

Modulations-

spannung

vm(t)

Ausgang

des

Tiefpasses

(Integrator)

Schaltungstechnische Realisierung der APLL-Blöcke

Schleifenfilter passive oder aktive RC-Filterstruktur

Phasendifferenzdetektor analoger Vier-Quadranten-Multiplizierer

(Gilbert-Zelle)

– Beschreibung des nichtlinearen Verhaltens durch

analytische Bottom-up-Modellierung

VCO

– Beschreibung des nichtlinearen Verhaltens durch

phänomenologische Abstraktion (Black-Box-Modellierung)



95

Schleifenfilter

Realisierung durch passive oder aktive Filterstruktur

Beispiel: aktiver Tiefpass 1. Ordnung



1.0 E 3 1.0 E 2 1.0 E 1 1.0 E0 1.0 E1

Frequency

1.0 E 1

2.0 E 1

5.0 E 1

1.0 E0

2.0 E0

5.0 E0

1.0 E1

edutingaM

0

1( )

1F s A

sT

0( ) /F s A

T

F(s)

i1

u1

i2

u2

+

–

u1 u2

i1

i2

R1

C R2

R3

2

3 1

0

1( ) 1

1

RF s

R sR C

A T

Analoger Vier-Quadranten-Multiplizierer: Gilbert-Zelle



Q: Burns & Bond, 1997

Vorgehensweise:

Analytische

Bottom-up-Modellierung

vom Device-Modell zur

Kennlinienbeschreibung

96

Funktionsweise der Gilbert-Zelle (1)

Analyse der

Funktionsweise des

Grundbausteins der

Gilbert-Zelle:

Differenzpaar (Q1, Q2)

Bestimme

mit



1 1

2 2

( , )

( , )

C EE ID

C EE ID

i f I v

i f I v


1 2ID I Iv v v

Querschnitt durch Bipolartransistoren (NPN und LPNP)




97

Stromkomponenten im NPN-Transistor

Annahme: VBE > 0, VBC < 0




Ersatzschaltbild des Bipolartransistors (Ebers-Moll-Modell)



vBC

vBE

B

iB

C E iC iE R Ci F Ei

/

0 1BEqv kT

EI e /

0 1BCqv kT

CI e

B

C

B

E

IB

IC

IE

VBC

VBE

VCE

//0 0

//0 0

1 11 1

1 11 1

BCBE

BCBE

qv kTqv kTE R CE

F R F R

qv kTqv kTF E CC

F R F R

I Ii e e

I Ii e e

98

NPN-Transistor im Vorwärts-Betrieb

vBE ≈ 0.7 V, vBC < 0, kT/q ≈ 26 mV (bei Raumtemperatur 300 K)

Mit IS := ISE, αF ≈ 1,VT := kT/q,



// /0 0

1 1

:

// /0 0

1 1

:

1 11 1

1 11 1

BCBE BE

SE

BCBE BE

SC

qv kTqv kT qv kTE R CE SE

F R F R

I

qv kTqv kT qv kTF E CC SC

F R F R

I

I Ii e e I e

I Ii e e I e

/ lnBE Tv V C

C E S BE T

S

ii i I e v V

I

C

B

E

IB

IC

IE

VBC < 0

VBE ≈ 0.7 V


Schleife l1



1 1 2 2

1 2 1 2

:

1 2

1 2

1 2

1 2

1

2

/1

2

0

ln ln

ln

ln

ID

ID T

I BE BE I

I I BE BE

v

C CT T

S S

C SID T

S C

CT

C

v VC

C

v v v v

v v v v

i iV V

I I

i Iv V

I i

iV

i

ie

iQ: Burns & Bond, 1997

l1

99


Knoten 1

Vernachlässigung des

Basisstroms

Entsprechend ergibt sich



1 2 0EE E EI i i


1

1 1 2 2

1 2

,

0

E C E C

EE C C

i i i i

I i i

2 /1 ID T

EEC V V

Ii

e

1 2

/

1

1 /1

ID T

ID T

C EE C

V V

EE C

EEC V V

i I i

I i e

Ii

e


Kollektorströme

Ausgangsspannung




1 1

1 1

2 2

5 51 2/ /

6 63 4/ /

5 6/ /

,1 1

,1 1

,1 1

T T

T T

T T

C CC Cv V v V

a b

C CC Cv V v V

b a

EE EEC Cv V v V

c d

i ii i

e e

i ii i

e e

I Ii i

e e

1 2

1 3 2 4

OD C C

C C C C C

v v v

R i i i i

vC2 vC1

100


Ausgangsspannung



1 2 2

1 2 2

1 3 2 4

/ / /

/ / /

1

1 1 1 1

1 1

1 1 1

1 1

1 1 1

tanh2

T T T

T T T

OD C C C C C

EE EE EE EEC

EE C EE C

EE C

v V v V v V

EE C

v V v V v V

OD EE C

T

v R i i i i

I I I IR

ca db cb da

I R I R

a c d b c d

I R

e e e

I R

e e e

vv I R

V

2tanh2 T

v

V

1 1tanh

2 1 1x x

x

e e


DC-Übertragungskennlinie

Für v1, v2 << 2 VT:




1 2tanh tanh2 2

OD EE C

T T

v vv I R

V V

Analytische

Bottom-up-Modellierung

1 22

1 2

:

4

M

EE COD

T

OD M

K

I Rv v v

V

v K v v

tanh

für 1

x x

x

101


Das multiplizierende Verhalten zeigt sich am DC-Übertragungs-

kennlinienfeld für kleine Eingangsspannungen v1, v2 < VT



-0.2 -0.1 0.1 0.2

-1

-0.5

0.5

1

-0.02 -0.01 0.01 0.02

-0.3

-0.2

-0.1

0.1

0.2

0.3

v1

vOD vOD

v1

v2

v2

VCO (1): Current-starved Ring Oscillator

Funktionsweise: Ring aus 2n – 1 Invertern (n = 1, 2, ...)

Steuerung der Oszillatorfrequenz über Inverter-Querstrom ID

– kleine Steuerspannung kleiner Querstrom niedrige Frequenz

– hohe Steuerspannung hoher Querstrom hohe Frequenz))



Q: INSA Toulouse

ID

102

VCO (2): Hochfrequenz-VCO

Funktionsweise: Entdämpfter Schwingkreis (negatives gm)

Steuerung der Frequenz über Varaktordiode (spannungsabhängige

Kapazität)



Q: D. Krauße, VL Analoge CMOS-Schaltungstechnik, 2010

Tuningkurve eines kommerziellen VCOs (MAXIM 2605)

Betriebsspannung typ.VCC = 5 V



Q: MAXIM

103

Modellierung der Tuningkurve

Phänomenologische Modellierung durch numerische Approximation

der Tuningkurve (hier: quadratisches Polynom).



0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

47.5

50

52.5

55

57.5

60

62.5

65

Numerische

„Black-Box“-

Modellierung

Abstraktionsebenen im Y-Diagramm (Gajski)



Schaltungs-

ebene

Architekturebene (Funktionen)

Algorithmische Ebene

RT-Ebene

Logikebene

104

Abstraktionsebenen im Y-Diagramm



Architekturebene (funktionale Ebene): beschreibt ausschließlich das

Eingangs-/Ausgangsverhalten von Systemblöcken (die Funktion),

nicht deren Realisierung.

Algorithmische Ebene: beschreibt den zur Realisierung einer

Funktion verwendeten Algorithmus, aber nicht das genaue

Zeitverhalten seiner Implementierung.

Register-Transfer-Ebene: beschreibt die taktgenaue

Implementierung eines Algorithmus unter Verwendung komplexer

Datentypen, arithmetischer und logischer Operationen (Byte, Wort,

Addition, Multiplikation, ...).

Logikebene: beschreibt das Verhalten einer Schaltung auf der

Ebene von Logikgattern unter Berücksichtigung der Gatterlaufzeiten.

Schaltungsebene: beschreibt das Verhalten einer Schaltung auf der

Bauelemente-Ebene (Transistor-Ebene).


Was sind Switched-Capacitor-Schaltungen?

Funktionsprinzip

Analyse von SC-Schaltungen im Zeit- und Frequenzbereich



p1

p1

p2

p2

reset

reset

2C

2C1..24 C

1..24 C

Chop

VIN

To Digital

Logic

C1

C2

C3

C3

Comparator

OpAmp Vout

+

U01(t) u2

i2

Cint

–

Φ1 Φ2

C1

Integrator

Zoom-A/D-Wandler

(SAR + ΣΔ)

Kapazitiver

Energy

Harvester

105

Switched-Capacitor-Schaltungen – Beispiel

Biquadratischer Filter (biquad)



U01(t)

Schalter

Kondensator

Verstärker

+ u2

CA

–

Φ1

Φ2

C1

Φ1

Φ2 +

CB

–

Φ1

Φ1

C3

Φ2

Φ2

C4

Φ1

Φ2

Φ2

C2

S2 S3

S1 S4 S5

S6 S7

S8

S9

S10

S11

Einschaltphase


Switched-Capacitor-Schaltungen (SC-Schaltungen) bestehen aus

periodisch geschalteten Kondensatoren und Operationsverstärkern.

SC-Schaltungen sind zeitdiskrete analoge Systeme

Anwendungsgebiete

– Verarbeitung (Filterung) niederfrequenter analoger Signale

– Analog/Digital-Wandlung

– Spannungswandlung



106

Switched-Capacitor-Schaltungen – Warum?

Die Verarbeitung niederfrequenter Analogsignale mit aktiven

RC-Filtern erfordert große Integrations-Zeitkonstanten 𝑇𝑖 = 𝑅𝐶

Die hierfür nötigen extrem hohen Widerstands- und Kapazitätswerte

sind in integrierten Schaltungen nicht realisierbar.

Beispiel: Invertierender Integrator mit 𝑇𝑖 = 𝑅𝐶int = 100 ms

→ 𝐶int = 10 pF , 𝑹 = 𝟏𝟎 𝐆𝛀



+ U01(t) u2

i1

i2

R

Cint

–

𝑢2 𝑡 = −1

𝑅𝐶int 𝑈01 𝜏 𝑑𝜏

𝑡

0

𝑈2 𝑠 = −1

𝑠𝑅𝐶int𝑈01 𝑠

Beispiel: Programmable Gain Amplifier (PGA) in SC-Technik

Zweistufiger Verstärker für niederfrequente Sensorsignale

mit programmierbarer Gesamtverstärkung A0 = 1 .. 40



Q: J. Tan, IMMS

107

Layout des PGA (0,35-µm CMOS)



Maßstab

100 µm

5×8 C-Matrix

(Cunit = 2,7 pF)

Zum Vergleich:

10 MΩ Poly-Si-

Widerstand

(Mäander mit

W = 1 µm)

OpAmp

Q: J. Tan, IMMS

Switched-Capacitor-Schaltungen – Funktionsprinzip

Welche Ladungsmenge ΔQ fließt nach dem Schließen

des Schalters in die vorgeladene Kapazität C ?



𝑡 < 0: 𝑄 = 𝐶𝑢𝐶,0 𝑡 ≥ 0: 𝑄 = 𝐶𝑈01 ⇒ 𝜟𝑸 = 𝑪(𝑼𝟎𝟏 − 𝒖𝑪,𝟎)

uC,0 C

t = 0

U01

Q

ΔQ

108

Switched-Capacitor-Schaltungen – Funktionsprinzip

Widerstand: Strom i und

Ladungstransport ΔQ

über einem Zeitintervall T

Kapazität: Landungstransport

ΔQ und mittlerer Strom 𝑖 über

einem Schaltzyklus 𝑇 = 𝑇1 + 𝑇2



𝑖 = 1

𝑅 (𝑈01 − 𝑈02)

Δ𝑄 = 𝑖 𝑑𝑡

𝑇

=𝑇

𝑅(𝑈01 − 𝑈02)

C

U01

ΔQ1

U02

ΔQ2

Φ1 Φ2

R

U01

i, ΔQ

U02

𝜙1: Δ𝑄1 = 𝐶(𝑈01 − 𝑈02) 𝜙2: Δ𝑄2 = 𝐶(𝑈01 − 𝑈02)

𝑖 =Δ𝑄

𝑇=

𝐶

𝑇 (𝑈01 − 𝑈02)

0.5 1 1.5 2 2.5

1

Φ2

T

Φ1

T1 T2

Identisches Verhalten für 𝟏

𝑹 =

𝑪

𝑻

Strukturentwurf von SC-Schaltungen aus RC-Schaltungen

Wähle T gemäß Abtasttheorem (Nyquist) und ersetze Widerstände

in RC-Schaltungen durch periodisch geschaltete Kondensatoren:

Hohe effektive Widerstandswerte mit technisch und

ökonomisch sinnvollen Kapazitätswerten erzielbar!

Beispiel: Invertierender Integrator für 𝑓max = 500 Hz, 𝑇𝑖 = 100 ms



R i, ΔQ ΔQ1 ΔQ2

Φ1 Φ2

𝐶 =𝑇

𝑅

𝐶int = 10 pF, 𝑪 = 𝟎. 𝟏 𝐩𝐅 @ 𝑓𝑠 =1

𝑇= 1 kHz 𝑹 = 𝟏𝟎 𝐆𝛀

109


Bestimme die zu den abgebildeten RC-Schaltungen

äquivalenten SC-Schaltungen



Spannungsteiler Invertierender Integrator

+ U01(t) u2

i1

i2

R

Cint

–

R1

U01

u2 R2


SC-Äquivalent des resistiven Spannungsteilers



𝐶1 =𝑇

𝑅1 𝐶2 =

𝑇

𝑅2

u2

Φ1 Φ2

Φ1 U01 C1 C2

S1 S2

S3

R1 R2

1 2 3

110

SC-Äquivalent des invertierenden RC-Integrators




𝐶1 =𝑇

𝑅1

+ U01(t) u2

i2

C2

– Φ1 Φ2

C1

R1

S1 S2 1 2

3 4

Analyse von SC-Schaltungen – Notation

𝜙𝑖,𝑘 := Zustand des Schalters 𝑆𝑖 in der

k-ten Phase (0 = offen, 1 = geschlossen)

𝑥𝑖,𝑘[𝑛] := Wert der Größe 𝑥𝑖 am Ende

der k-ten Phase des n-ten Schaltzyklus



𝜙𝑖,𝑘 = 1, 𝑖 = 𝑘0, 𝑖 ≠ 𝑘

𝑥𝑖,𝑘 𝑛 = 𝑥𝑖 𝑛 − 1 𝑇 + 𝜏𝑘

Zyklus 𝒏 Zyklus 𝒏 + 𝟏 Zyklus 𝒏 − 𝟏

Zeit t 𝜏1

𝜏2

𝜏𝑁−1

𝜏𝑁 = 𝑇

𝑥𝑖,𝑁[𝑛 − 1] 𝑥𝑖,1[𝑛] 𝑥𝑖,2[𝑛] 𝑥𝑖,𝑁−1[𝑛] 𝑥𝑖,𝑁[𝑛]

𝑡 = (𝑛 − 1)𝑇 𝑡 = 𝑛𝑇

𝜙𝑖,1 𝜙𝑖,2 𝜙𝑖,3..𝑛−1 𝜙𝑖,𝑛

111

Manuelle Analyse von SC-Schaltungen

1. Zeichne das Ersatzschaltbild für jede Schaltphase unter

Berücksichtigung der jeweiligen Schalterzustände

2. Benenne die unabhängigen Variablen in jeder Phase

– Knotenpotentiale 𝑣𝑗,𝑘

– Ladungen 𝑄𝑖,𝑘

wobei j = Knotenindex, k = Phasenindex und i = Index der Kapazität 𝐶𝑖

3. Formuliere die Netzwerkgleichungen in den Variablen 𝑣𝑗,𝑘 und 𝑄𝑖,𝑘

– Elementebeziehungen der unabhängigen Spannungsquellen,

Kapazitäten und spannungsgesteuerten Spannungsquellen (OpAmps)

– Ladungserhaltung bei allen Übergängen zwischen zwei

aufeinanderfolgenden Schaltphasen

4. Löse die Gleichungen nach den zu bestimmenden Größen



Analyse des SC-Spannungsteilers (1)

1. Ersatzschaltbilder für die zwei Schaltphasen Φ1 und Φ2



u2

Φ1 Φ2

Φ1 U01 C1 C2

S1 S2

S3 Q1 Q2

1 2 3

u2,1 U01 C1 C2

1,2

u2,2 U01 C1 C2

2,3 1

Φ1 Φ2

112


2. Benennung der unabhängigen Variablen



Φ1

Φ2

u2,1 U01 C1 C2

Q1,1 Q2,1

v(1,2),1

u2,2 U01 C1 C2

Q1,2 Q2,2

v(2,3),2 v(1),2

Phasenindex

Knotenindex


3. Netzwerkgleichungen



Φ1

Φ2

u2,1 U01 C1 C2

Q1,1 Q2,1

v(1,2),1

u2,2 U01 C1 C2

Q1,2 Q2,2

v(2,3),2 v(1),2

𝑣 1,2 ,1 = 𝑈01

𝑄1,1 = 𝐶1𝑣 1,2 ,1

𝑄2,1 = 0

𝑣 1 ,2 = 𝑈01

𝑄1,2 = 𝐶1𝑣(2,3),2

𝑄2,2 = 𝐶2𝑣 2,3 ,2

Ladungserhaltung am Knoten (2,3):

𝑄1,2 + 𝑄2,2 = 𝑄1,1 + 𝑄2,1

7 Unbekannte, 7 Gleichungen

113


4. Gleichungen lösen nach Ausgangsspannung u2

am Ende des Schaltzyklus



Φ2 u2,2 = v(2,3),2 U01 C1 C2

Q1,2 Q2,2

v(2,3),2 v(1),2

4 ⇒ 𝐶1 + 𝐶2 𝑣 2,3 ,2 = 𝐶1𝑈01

⇒ 𝑣 2,3 ,2 =𝐶1

𝐶1 + 𝐶2𝑈01 =

𝑇𝑅1

𝑇𝑅1

+ 𝑇𝑅2

𝑈01 =

𝑅2

𝑅1 + 𝑅2𝑈01

𝑣 1,2 ,1 = 𝑈01 1

𝑄1,1 = 𝐶1𝑣 1,2 ,1 2

𝑄2,1 = 0 3

𝑄1,2 + 𝑄2,2 = 𝑄1,1 + 𝑄2,1 4

𝑣 1 ,2 = 𝑈01 5

𝑄1,2 = 𝐶1𝑣 2,3 ,2 6

𝑄2,2 = 𝐶2𝑣 2,3 ,2 7


Die Gesamtlösung im Zeitbereich ergibt sich aus der zeitlichen

Verschachtelung der Lösungen der einzelnen Schaltphasen

𝑢2 𝑡 =

𝑢2,1 = 0 für 𝑡 ∈ [𝑛𝑇, 𝑛𝑇 + 𝜏1)

𝑢2,2 =𝐶1𝑈01

𝐶1 + 𝐶2 für 𝑡 ∈ [𝑛𝑇 + 𝜏1, 𝑛𝑇 + 𝜏2)



0.5 1 1.5 2 2.5

1

T

𝜏1

𝜏2 = 𝑇

𝑛 − 1 𝑛 𝑛 + 1

𝑢2,2

𝑢2,1 𝑡

𝑢2(𝑡)

114

Analyse des invertierenden SC-Integrators (1)

1. Ersatzschaltbilder für die zwei Schaltphasen Φ1 und Φ2 im Zyklus n



Φ1 Φ2

+ 𝑈01(𝑡) u2

i2

C2

– Φ1 Φ2

C1

S1 S2 1 2

3 4

+

𝑈01((𝑛 − 1)𝑇 + 𝜏1)

u2,1[n]

C2

–

C1

1,2 3 4

𝑈01((𝑛 − 1)𝑇 + 𝜏2)

+ u2,2[n]

C2

–

C1

1 2,3 4


2. Benennung der unabhängigen Variablen



Φ1

Φ2

+ 𝑈01((𝑛 − 1)𝑇 + 𝜏1) u2,1[n]

C2

–

C1

Q1,1[n]

v(1,2),1[n]

v(3),1[n] v(4),1[n]

Q2,1[n]

C2

𝑈01((𝑛 − 1)𝑇 + 𝜏2) +

u2,2[n]

–

C1

v(1),2[n]

Q1,2[n]

v(2,3),2[n] v(4),2[n] Q2,2[n]

115


3. Netzwerkgleichungen



Φ1

Φ2

𝑣 1,2 ,1 𝑛 = 𝑈01((𝑛 − 1)𝑇 + 𝜏1)

𝑣 3 ,1 𝑛 = 0

𝑄1,1[𝑛] = 𝐶1𝑣 1,2 ,1[𝑛]

𝑄2,1 𝑛 = 𝐶2 𝑣 4 ,1 𝑛 − 𝑣 3 ,1 𝑛

𝑄2,1 𝑛 = 𝑄2,2[𝑛 − 1]

𝑄1,2 𝑛 + 𝑄2,2 𝑛 = 𝑄1,1 𝑛 + 𝑄2,1[𝑛]

𝑣 1 ,2 𝑛 = 𝑈01((𝑛 − 1)𝑇 + 𝜏2)

𝑣 2,3 ,2 𝑛 = 0

𝑄1,2 𝑛 = 𝐶1𝑣 2,3 ,2 𝑛

𝑄2,2 𝑛 = 𝐶2 𝑣 4 ,2 𝑛 − 𝑣 2,3 ,2 𝑛

+

𝑈01((𝑛 − 1)𝑇 + 𝜏1)

u2,1[n]

C2

–

C1

Q1,1[n]

v(1,2),1[n]

v(3),1[n] v(4),1[n]

Q2,1[n]

C2

𝑈01((𝑛 − 1)𝑇 + 𝜏2)

+ u2,2[n]

–

C1

v(1),2[n]

Q1,2[n]

v(2,3),2[n] v(4),2[n] Q2,2[n]


4. Gleichungen lösen nach Ausgangsspannungen 𝑢2,𝑘[𝑛]

𝑢2,1 𝑛 = 𝑣 4 ,1 𝑛 =1

𝐶2𝑄2,2 𝑛 − 1

𝑢2,2 𝑛 = 𝑣 4 ,2 𝑛 = −𝐶1

𝐶2𝑈01( 𝑛 − 1 𝑇 + 𝜏1) +

1

𝐶2𝑄2,2 𝑛 − 1

Mit 𝑄2,2 𝑛 − 1 = 𝐶2(𝑣 4 ,2 𝑛 − 1 − 𝑣 2,3 ,2[𝑛 − 1]) = 𝐶2𝑣 4 ,2 𝑛 − 1

und 𝑈01 𝑛 ≔ 𝑈01( 𝑛 − 1 𝑇 + 𝜏1):

𝑢2,1 𝑛 = 𝑢2,2[𝑛 − 1]

𝑢2,2 𝑛 = −𝐶1

𝐶2𝑈01 𝑛 + 𝑢2,2[𝑛 − 1]



Zeitdiskreter Integrator (= Summierer)

116


Auswertung der Rekursionsvorschrift

𝑢2,2 𝑛 = −𝐶1

𝐶2𝑈01 𝑛 + 𝑢2,2 𝑛 − 1

für 𝐶2 = 2𝐶1, 𝑈01 𝑛 = 1 V und Anfangsbedingung 𝑣(4),2 0 = 0.



0 2 4 6 8 10

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

𝑢2,2[𝑛]

𝑈01[𝑛]

𝑛


Zuordnung der Lösungen aus den einzelnen Schaltphasen zu den

tatsächlichen Zeitintervallen und Darstellung der Gesamtlösung im

Zeitbereich



0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

𝑢2,2[𝑛]

𝑢2,1[𝑛]

𝑈01[𝑛]

𝑈01(𝑡)

𝑢2(𝑡) 𝑇

𝑡/𝑇

𝑛

𝑥𝑖,𝑘[1] 𝑥𝑖,𝑘[2] 𝑥𝑖,𝑘[3]

Zyklus 1 Zyklus 2 Zyklus 3

117

Manuelle Analyse von SC-Schaltungen –

Zusammenfassung

Ersatzschaltbilder für alle Schaltphasen zeichnen

Elementebeziehungen für alle Schaltphasen aufstellen

Übergangsbedingungen zwischen den Schaltphasen

(Ladungserhaltung) formulieren

Gleichungen lösen

è Mühsame und fehlerträchtige Vorgehensweise zur Aufstellung der

Gleichungen, nicht gut geeignet für die Automatisierung

Besser: allgemeingültige Gleichungsformulierung ohne

phasenspezifische Ersatzschaltbilder …



Analyse von SC-Schaltungen mit der MNA

Rückblick: Modifizierte Knotenanalyse für elektrische Netzwerke

(Zweigstromvektor 𝛗 = 𝐢) und Grenzfall 𝐸2 = 𝐸 ⇒ 𝛗2 = 𝐢 (siehe Ü6)

𝐀𝐢𝐡(𝐢, 𝐀𝑇𝐯)

= 0

Wir interessieren uns nicht für Momentanwerte der Ströme 𝐢, sondern für den Ladungstransfer 𝚫𝐐𝑘 in der Schaltphase 𝜙𝑘:

𝚫𝐐𝑘 𝑛 = 𝐢 𝑡 𝑑𝑡

𝑛𝑇+𝜏𝑘

𝑛𝑇+𝜏𝑘−1

Schreibe die MNA für die Analyse von SC-Schaltungen in

integraler Form unter Verwendung von 𝚫𝐐𝑘 = ∫ 𝐢𝑑𝑡 bzw. 𝐢 = 𝚫𝐐 𝑘:

𝐀 ⋅ 𝚫𝐐𝑘 𝑛

𝐡(𝚫𝐐𝑘 𝑛 , 𝐀𝑇𝐯𝑘 𝑛 )= 0



118

MNA für SC-Schaltungen: Elementebeziehungen (1)

Elementebeziehung der unabhängigen Spannungsquelle

Elementebeziehung der linearen Kapazität



𝑣 𝑝 ,𝑘 𝑛 − 𝑣 𝑞 ,𝑘 𝑛 = 𝑈0((𝑛 − 1)𝑇 + 𝜏𝑘)

C u[n]

ΔQk[n]

v(p),k[n]

v(q),k[n]

Δ𝑄𝑘 𝑛 = 𝐶(𝑣 𝑝 − 𝑣 𝑞 )𝑑𝑡

𝑛𝑇+𝜏𝑘

𝑛𝑇+𝜏𝑘−1

= 𝐶 𝑣 𝑝 ,𝑘 𝑛 − 𝑣 𝑞 ,𝑘 𝑛 − 𝑣𝐶0

mit 𝑣𝐶0 = 𝑣 𝑝 ,𝑘−1 𝑛 − 𝑣 𝑞 ,𝑘−1 𝑛 , 𝑘 = 2 …𝑁

𝑣 𝑝 ,𝑁 𝑛 − 1 − 𝑣 𝑞 ,𝑁 𝑛 − 1 , 𝑘 = 1

ΔQk[n]

v(p),k[n]

v(q),k[n]

𝑈0 (𝑛 − 1)𝑇 + 𝜏𝑘


Elementebeziehung des idealen Schalters

Elementebeziehung des idealen Operationsverstärkers

(spannungsgesteuerte Spannungsquelle)



𝜙𝑖,𝑘 𝑣 𝑝 ,𝑘 𝑛 − 𝑣 𝑞 ,𝑘 𝑛 + 1 − 𝜙𝑖,𝑘 Δ𝑄𝑘 𝑛 = 0

mit 𝜙𝑖,𝑘 = 1, 𝑖 = 𝑘0, 𝑖 ≠ 𝑘

u[n]

ΔQk[n]

v(p),k[n]

v(q),k[n]

Φi

+

ΔQk[n] –

v(p),k[n]

v(q),k[n]

v(r),k[n] A

𝑣 𝑝 ,𝑘 𝑛 − 𝑣 𝑞 ,𝑘 𝑛 −1

𝐴𝑣 𝑟 ,𝑘 𝑛 = 0

𝐴→∞

𝑣 𝑝 ,𝑘 𝑛 − 𝑣 𝑞 ,𝑘 𝑛 = 0

119


Elementebeziehung der linearen Kapazität: alternative Notation



C u[n]

ΔQk[n]

v(p),k[n]

v(q),k[n]

Δ𝑄𝑘 𝑛 = 𝐶 𝑣 𝑝 ,𝑘 𝑛 − 𝑣 𝑞 ,𝑘 𝑛 − 𝑣𝐶0

mit 𝑣𝐶0 = 𝑣 𝑝 ,𝑘−1 𝑛 − 𝑣 𝑞 ,𝑘−1 𝑛 , 𝑘 = 2 …𝑁

𝑣 𝑝 ,𝑁 𝑛 − 1 − 𝑣 𝑞 ,𝑁 𝑛 − 1 , 𝑘 = 1

Δ𝑄𝑘 𝑛 = 𝐶 𝑣 𝑝 ,𝑘 𝑛 − 𝑣 𝑞 ,𝑘 𝑛

− 𝜙1,𝑘 𝑣 𝑝 ,𝑁 𝑛 − 1 − 𝑣 𝑞 ,𝑁 𝑛 − 1

− 1 − 𝜙1,𝑘 𝑣 𝑝 ,𝑘−1 𝑛 − 𝑣 𝑞 ,𝑘−1 𝑛

Analyse von SC-Schaltungen mit der MNA

1. Benenne die unabhängigen Variablen unter Verwendung des

Zyklenindex n und eines allgemeinen Phasenindex k

– Knotenpotentiale 𝑣𝑗,𝑘[𝑛]

– Ladungstransfers Δ𝑄𝑖,𝑘[𝑛] durch alle Zweige

wobei j = Knotenindex, i = Zweigindex

2. Formuliere die MNAk in den Variablen 𝑣𝑗,𝑘[𝑛] und Δ𝑄𝑖,𝑘[𝑛]

– Knotengleichungen 𝐀 ⋅ Δ𝐐𝑘 𝑛 = 0

– Elementebeziehungen der unabhängigen Spannungsquellen,

Kapazitäten, Schalter und OpAmps

3. Evaluiere die MNAk für jeden Phasenindex 𝑘 = 1 …𝑁 und fasse die

Ergebnisse zu einem Gleichungssystem zusammen

4. Löse die Gleichungen nach den zu bestimmenden Größen



120


1. Variablen benennen: Knotenpotentiale und Ladungstransfers



+

u2,k[n]

ΔQOP,k[n]

C2

– Φ1 Φ2

C1

S1 S2

ΔQC2,k[n]

ΔQS2,k[n] ΔQS1,k[n]

ΔQU01,k[n] ΔQC1,k[n]

𝑈01((𝑛 − 1)𝑇 + 𝜏𝑘)

V(1),k[n]

V(2),k[n]

V(3),k[n]

V(4),k[n]


2. Netzwerkgleichungen aufstellen (zeitvariante MNAk)

1 Δ𝑄𝑈01,𝑘 𝑛 + Δ𝑄𝑆1,𝑘 𝑛 = 0

2 − Δ𝑄𝑆1,𝑘 𝑛 + Δ𝑄𝐶1,𝑘 𝑛 + Δ𝑄𝑆2,𝑘 𝑛 = 0

3 − Δ𝑄𝑆2,𝑘 𝑛 + Δ𝑄𝐶2,𝑘 𝑛 = 0

4 − Δ𝑄𝐶2,𝑘 𝑛 + Δ𝑄𝑂𝑃,𝑘 𝑛 = 0

𝑈01: 𝑣 1 ,𝑘 𝑛 = 𝑈01 𝑛 − 1 𝑇 + 𝜏𝑘

𝑆1: 𝜙1,𝑘 𝑣 1 ,𝑘 𝑛 − 𝑣 2 ,𝑘 𝑛 + 1 − 𝜙1,𝑘 Δ𝑄𝑆1,𝑘 𝑛 = 0

𝐶1: Δ𝑄𝐶1,𝑘 𝑛 − 𝐶1[𝑣 2 ,𝑘 𝑛 − 𝜙1,𝑘𝑣 2 ,𝑁 𝑛 − 1

− 1 − 𝜙1,𝑘 𝑣 2 ,𝑘−1[𝑛]] = 0

𝑆2: 𝜙2,𝑘 𝑣 2 ,𝑘 𝑛 − 𝑣 3 ,𝑘 𝑛 + 1 − 𝜙2,𝑘 Δ𝑄𝑆2,𝑘 𝑛 = 0

𝐶2: Δ𝑄𝐶2,𝑘 𝑛 − 𝐶2[ 𝑣 3 ,𝑘 𝑛 − 𝑣 4 ,𝑘 𝑛

−𝜙1,𝑘 𝑣 3 ,𝑁 𝑛 − 1 − 𝑣 4 ,𝑘−1 𝑛 − 1

− 1 − 𝜙1,𝑘 𝑣 3 ,𝑘−1 𝑛 − 𝑣 4 ,𝑘−1 𝑛 ] = 0

OP: 𝑣 3 ,𝑘 𝑛 = 0



Zeitvariante

Gleichungen

121


3. MNAk für alle Phasen 𝑘 = 1 …2 auswerten und zu zeitinvariantem

Gleichungssystem zusammenfassen



Δ𝑄𝑈01,1 𝑛 + Δ𝑄𝑆1,1 𝑛 = 0

−Δ𝑄𝑆1,1 𝑛 + Δ𝑄𝐶1,1 𝑛 + Δ𝑄𝑆2,1 𝑛 = 0

−Δ𝑄𝑆2,1 𝑛 + Δ𝑄𝐶2,1 𝑛 = 0

−Δ𝑄𝐶2,1 𝑛 + Δ𝑄𝑂𝑃,1 𝑛 = 0

𝑣 1 ,1[𝑛] = 𝑈01 (𝑛 − 1)𝑇 + 𝜏1

𝑣 1 ,1 𝑛 − 𝑣 2 ,1 𝑛 = 0

Δ𝑄𝐶1,1 𝑛 − 𝐶1 𝑣 2 ,1 𝑛 − 𝑣 2 ,2 𝑛 − 1 = 0

Δ𝑄𝑆2,1 𝑛 = 0

Δ𝑄𝐶2,1 𝑛 − 𝐶2[ 𝑣 3 ,1 𝑛 − 𝑣 4 ,1 𝑛

− 𝑣 3 ,2 𝑛 − 1 − 𝑣 4 ,2 𝑛 − 1 ] = 0

𝑣 3 ,1 𝑛 = 0

Δ𝑄𝑈01,2 𝑛 + Δ𝑄𝑆1,2 𝑛 = 0

−Δ𝑄𝑆1,2 𝑛 + Δ𝑄𝐶1,2 𝑛 + Δ𝑄𝑆2,2 𝑛 = 0

−Δ𝑄𝑆2,2 𝑛 + Δ𝑄𝐶2,2 𝑛 = 0

−Δ𝑄𝐶2,2 𝑛 + Δ𝑄𝑂𝑃,2 𝑛 = 0

𝑣 1 ,2[𝑛] = 𝑈01 (𝑛 − 1)𝑇 + 𝜏2

Δ𝑄𝑆1,2 𝑛 = 0

Δ𝑄𝐶1,2 𝑛 − 𝐶1 𝑣 2 ,2 𝑛 − 𝑣 2 ,1 𝑛 = 0

𝑣 2 ,2 𝑛 − 𝑣 3 ,2 𝑛 = 0

Δ𝑄𝐶2,2 𝑛 − 𝐶2[ 𝑣 3 ,2 𝑛 − 𝑣 4 ,2 𝑛

− 𝑣 3 ,1 𝑛 − 𝑣 4 ,1 𝑛 ] = 0

𝑣 3 ,2 𝑛 = 0

𝑘 = 1 𝑘 = 2


4. Gleichungen lösen nach Ausgangsspannung u2

am Ende des n-ten Schaltzyklus

𝑢2,2 𝑛 = 𝑣(4),2 𝑛

= −𝐶1

𝐶2𝑈01((𝑛 − 1)𝑇 + 𝜏1) + 𝑣 4 ,2 𝑛 − 1 − 𝑣 3 ,2[𝑛 − 1]

Mit 𝑣 3 ,𝑘 = 0 und 𝑈01 𝑛 ≔ 𝑈01((𝑛 − 1)𝑇 + 𝜏1):

𝑣(4),2 𝑛 = −𝐶1

𝐶2𝑈01 𝑛 + 𝑣 4 ,2 𝑛 − 1



122

Z-Transformation

Gegeben sei die Zahlenfolge 𝑥[𝑛] = 0, 𝑛 < 0 𝑥𝑛 ∈ ℝ, 𝑛 ≥ 0

Die (einseitige) Z-Transformation des zeitdiskreten, kausalen

Signals 𝑥[𝑛] ist definiert durch die Laurent-Reihe

𝑋 𝑧 = 𝑍 𝑥 𝑛 = 𝑥 𝑛 𝑧−𝑛

∞

𝑛=0

mit 𝑧 = 𝐴𝑒𝑗Ω; 𝐴, Ω ∈ ℝ bzw. 𝑧 = 𝜎 + 𝑗𝜔; 𝜎, 𝜔 ∈ ℝ

Die Z-Transformation zeitdiskreter Signale ist das Analogon zur

Laplace-Transformation zeitkontinuierlicher Signale



Verschiebungssatz der Z-Transformation

Es gilt der (Rechts-)Verschiebungssatz der Z-Transformation

𝑍 𝑥 𝑛 − 𝑘 = 𝑥 𝑛 − 𝑘 𝑧−𝑛

∞

𝑛=0

= 𝑥 𝑚 𝑧−𝑚−𝑘

∞

𝑚=−𝑘

= 𝑧−𝑘𝑋(𝑧)



1 2 3 4 5 6 7 8

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1 2 3 4 5 6 7 8

0.2

0.4

0.6

0.8

1

…

…

𝑛

𝑛

𝑥 𝑛 𝑋(𝑧)

𝑦 𝑛 = 𝑥 𝑛 − 1 𝑌 𝑧 = 𝑧−1𝑋(𝑧)

𝑥 𝑛

𝑦 𝑛

123

Übertragungsfunktion 𝐻(𝑧)


z-Transformation der Rekursionsvorschrift

𝑣(4),2 𝑛 = −𝐶1

𝐶2𝑈01 𝑛 + 𝑣 4 ,2 𝑛 − 1

𝑉 4 ,2 𝑧 = −𝐶1

𝐶2𝑈01 𝑧 + 𝑧−1𝑉 4 ,2 𝑧

⇒ 𝑉 4 ,2 𝑧 = −𝐶1

𝐶2 1 − 𝑧−1 𝑈01 (𝑧)



Frequenzgang eines zeitdiskreten LTI-Systems

Es sei 𝐻 𝑧 die Übertragungsfunktion eines zeitdiskreten

LTI-Systems und 𝐻(Ω) die auf dem Einheitskreis ausgewertete

Übertragungsfunktion.

𝑌 𝑧 = 𝐻 𝑧 𝑋 𝑧

𝐻 Ω ≔ 𝐻 𝑧 𝑧=𝑗Ω

Die Anregung des Systems mit einer komplexen Exponentialfolge

𝑥 𝑛 = 𝑒𝑗Ω𝑛

ergibt eine Exponentialfolge 𝑦 𝑛 gleicher Frequenz Ω mit vom

Frequenzgang 𝐻 Ω bestimmter Amplitude und Phasenlage.

𝑦 𝑛 = 𝐻 Ω 𝑒𝑗Ω𝑛



124


Frequenzgang des SC-Integrators

𝐻 𝑧 = −𝐶1

𝐶2 1 − 𝑧−1

⇒ 𝐻 Ω = −𝐶1

𝐶2(1 − 𝑒−𝑗Ω)



2 0 2

0

1

2

Ω

H Ω

Analyse von SC-Schaltungen im z-Bereich

Z-transformierte Elementebeziehung der linearen Kapazität



C u[n]

ΔQk[n]

v(p),k[n]

v(q),k[n]

C U(z)

ΔQk(z)

V(p),k(z)

V(q),k(z)

Δ𝑄𝑘 𝑛 = 𝐶 𝑣 𝑝 ,𝑘 𝑛 − 𝑣 𝑞 ,𝑘 𝑛

− 𝜙1,𝑘 𝑣 𝑝 ,𝑁 𝑛 − 1 − 𝑣 𝑞 ,𝑁 𝑛 − 1

− 1 − 𝜙1,𝑘 𝑣 𝑝 ,𝑘−1 𝑛 − 𝑣 𝑞 ,𝑘−1 𝑛

Δ𝑄𝑘 (𝑧) = 𝐶 𝑉 𝑝 ,𝑘(𝑧) − 𝑉 𝑞 ,𝑘(𝑧)

− 𝜙1,𝑘𝒛−𝟏 𝑉 𝑝 ,𝑁(𝑧) − 𝑉 𝑞 ,𝑁(𝑧)

− 1 − 𝜙1,𝑘 𝑉 𝑝 ,𝑘−1(𝑧) − 𝑉 𝑞 ,𝑘−1(𝑧)

125

Analyse von SC-Schaltungen im z-Bereich – Annahmen (1)

Jeder Schaltzyklus ist unterteilt in

N Phasen gleicher Länge 𝜏 = 𝑇/𝑁:




Zeit t 𝜏1 = 𝑇/𝑁

𝜏2 = 2𝑇/𝑁

𝜏𝑁−1 = 𝑁 − 1 𝑇/𝑁

𝜏𝑁 = 𝑇

𝑥𝑖,𝑁[𝑛 − 1] 𝑥𝑖,1[𝑛] 𝑥𝑖,2[𝑛] 𝑥𝑖,𝑁−1[𝑛] 𝑥𝑖,𝑁[𝑛]

𝑡 = (𝑛 − 1)𝑇 𝑡 = 𝑛𝑇


𝜏𝑘 = 𝑘𝜏 = 𝑘𝑇

𝑁

𝑥𝑖,𝑘 𝑛 = 𝑥𝑖 𝑛 − 1 𝑇 + 𝑘𝜏

Analyse von SC-Schaltungen im z-Bereich – Annahmen (2)



Alle unabhängigen Eingangsspannungen 𝑈0𝑖(𝑡) werden zu Beginn

jeder Phase abgetastet und bis zum Ende der Phase gehalten

(engl. sample and hold, S&H):

𝑈 0𝑖 𝑡 = 𝑈0𝑖 𝑛𝑇 + 𝑘𝜏 für 𝑡 ∈ [ 𝑛𝑇 + 𝑘𝜏, 𝑛𝑇 + 𝑘 + 1 𝜏 )

Nach einem Schaltvorgang erfolgt ein instantaner Ladungsausgleich

(vernachlässigbare Einschwingzeit)

0.2 0.4 0.6 0.8 1

1

𝑈 0𝑖 𝑡

𝑈0𝑖 𝑡

𝜏 = 𝑇/𝑁

126

Transformation von Eingangsfolgen in den z-Bereich



𝑈0𝑖,𝑘 𝑛 ≔ 𝑈0𝑖 𝑛 − 1 𝑇 +𝑘 − 1

𝑁𝑇

𝑈0𝑖,𝑘 𝑧 = 𝑧+𝑘−1𝑁 𝑈0𝑖,1 𝑧 ≔ 𝑧

𝑘−1𝑁 𝑈0𝑖 𝑧


Zeit t

𝑈0𝑖(𝑧) 𝑧1𝑁𝑈0𝑖(𝑧)

𝑈0𝑖,𝑁[𝑛]

𝑡 = (𝑛 − 1)𝑇 𝑡 = 𝑛𝑇


𝑧2𝑁𝑈0𝑖(𝑧) 𝑧

𝑁−1𝑁 𝑈0𝑖(𝑧)

𝑈0𝑖,3[𝑛] 𝑈0𝑖,2[𝑛] 𝑈0𝑖,1[𝑛]

𝑡 = 𝑛 − 1 𝑇 +𝑘

𝑁𝑇

Analyse des invertierenden SC-Integrators im z-Bereich (1)

1. Variablen benennen: 𝑉 𝑗 ,𝑘(𝑧) und Δ𝑄𝑖,𝑘(𝑧)

2. Netzwerkgleichungen aufstellen

1 Δ𝑄𝑈01,𝑘 𝑧 + Δ𝑄𝑆1,𝑘 𝑧 = 0

2 − Δ𝑄𝑆1,𝑘 𝑧 + Δ𝑄𝐶1,𝑘 𝑧 + Δ𝑄𝑆2,𝑘 𝑧 = 0

3 − Δ𝑄𝑆2,𝑘 𝑧 + Δ𝑄𝐶2,𝑘 𝑧 = 0

4 − Δ𝑄𝐶2,𝑘 𝑧 + Δ𝑄𝑂𝑃,𝑘 𝑧 = 0

𝑈01: 𝑉 1 ,𝑘 𝑧 = 𝑧𝑘−1

𝑁 𝑈01 𝑧

𝑆1: 𝜙1,𝑘 𝑉 1 ,𝑘 𝑧 − 𝑉 2 ,𝑘 𝑧 + 1 − 𝜙1,𝑘 Δ𝑄𝑆1,𝑘 𝑧 = 0

𝐶1: Δ𝑄𝐶1,𝑘 𝑧 − 𝐶1[𝑉 2 ,𝑘 𝑧 − 𝜙1,𝑘𝑧−1𝑉 2 ,𝑁 𝑧

− 1 − 𝜙1,𝑘 𝑉 2 ,𝑘−1(𝑧)] = 0

𝑆2: 𝜙2,𝑘 𝑉 2 ,𝑘 𝑧 − 𝑉 3 ,𝑘 𝑧 + 1 − 𝜙2,𝑘 Δ𝑄𝑆2,𝑘 𝑧 = 0

𝐶2: Δ𝑄𝐶2,𝑘 𝑧 − 𝐶2[ 𝑉 3 ,𝑘 𝑧 − 𝑉 4 ,𝑘 𝑧

−𝜙1,𝑘𝑧−1 𝑉 3 ,𝑁 𝑧 − 𝑉 4 ,𝑁 𝑧

− 1 − 𝜙1,𝑘 𝑉 3 ,𝑘−1 𝑧 − 𝑉 4 ,𝑘−1 𝑧 ] = 0

OP: 𝑉 3 ,𝑘 𝑧 = 0



127


3. MNAk für alle Phasen 𝑘 = 1 …2 auswerten und zusammenfassen



Δ𝑄𝑈01,1 𝑧 + Δ𝑄𝑆1,1 𝑧 = 0

−Δ𝑄𝑆1,1(𝑧) + Δ𝑄𝐶1,1(𝑧) + Δ𝑄𝑆2,1(𝑧) = 0

−Δ𝑄𝑆2,1(𝑧) + Δ𝑄𝐶2,1(𝑧) = 0

−Δ𝑄𝐶2,1(𝑧) + Δ𝑄𝑂𝑃,1(𝑧) = 0

𝑉 1 ,1 𝑧 = 𝑈01(𝑧)

𝑉 1 ,1(𝑧) − 𝑉 2 ,1(𝑧) = 0

Δ𝑄𝐶1,1(𝑧) − 𝐶1 𝑉 2 ,1(𝑧) − 𝑧−1𝑉 2 ,2(𝑧) = 0

Δ𝑄𝑆2,1 (𝑧) = 0

Δ𝑄𝐶2,1(𝑧) − 𝐶2[ 𝑉 3 ,1(𝑧) − 𝑉 4 ,1(𝑧)

−𝑧−1 𝑉 3 ,2(𝑧) − 𝑉 4 ,2(𝑧) ] = 0

𝑉 3 ,1(𝑧) = 0

Δ𝑄𝑈01,2(𝑧) + Δ𝑄𝑆1,2(𝑧) = 0

−Δ𝑄𝑆1,2(𝑧) + Δ𝑄𝐶1,2(𝑧) + Δ𝑄𝑆2,2(𝑧) = 0

−Δ𝑄𝑆2,2(𝑧) + Δ𝑄𝐶2,2(𝑧) = 0

−Δ𝑄𝐶2,2(𝑧) + Δ𝑄𝑂𝑃,2(𝑧) = 0

𝑉 1 ,2 𝑧 = 𝑧1

2𝑈01 𝑧

Δ𝑄𝑆1,2(𝑧) = 0

Δ𝑄𝐶1,2(𝑧) − 𝐶1 𝑉 2 ,2(𝑧) − 𝑉 2 ,1(𝑧) = 0

𝑉 2 ,2(𝑧) − 𝑉 3 ,2(𝑧) = 0

Δ𝑄𝐶2,2(𝑧) − 𝐶2[ 𝑉 3 ,2(𝑧) − 𝑉 4 ,2(𝑧)

− 𝑉 3 ,1(𝑧) − 𝑉 4 ,1(𝑧) ] = 0

𝑉 3 ,2(𝑧) = 0

𝑘 = 1 𝑘 = 2


4. Gleichungen lösen nach Ausgangsspannungen 𝑉 4 ,𝑘(𝑧)

𝑉 4 ,1 𝑧 = −𝐶1

𝐶2 𝑧 − 1𝑈01 𝑧 = −

𝐶1𝑧−1

𝐶2 1 − 𝑧−1𝑈01 𝑧

𝑉 4 ,2 𝑧 = −𝐶1𝑧

𝐶2 𝑧 − 1𝑈01 𝑧 = −

𝐶1

𝐶2 1 − 𝑧−1𝑈01 𝑧

𝑣 4 ,1 𝑛 = −𝐶1

𝐶2𝑈01 𝑛 − 1 + 𝑣 4 ,1 𝑛 − 1

𝑣 4 ,2 𝑛 = −𝐶1

𝐶2𝑈01 𝑛 + 𝑣 4 ,2 𝑛 − 1



128


Überlagerung der Phasenlösungen zur Gesamtlösung im

Frequenzbereich

𝑋𝑖 𝑧 = 𝑧−𝑘+1𝑁 𝑋𝑖,𝑘(𝑧)

𝑁

𝑘=1

𝑉 4 ,1 𝑧 = −𝐶1𝑧

−1

𝐶2 1 − 𝑧−1𝑈01 𝑧

𝑉 4 ,2 𝑧 = −𝐶1

𝐶2 1 − 𝑧−1𝑈01 𝑧

⇒ 𝑉4 𝑧 = 𝑉 4 ,1 𝑧 + 𝑧−12𝑉 4 ,2 𝑧 = −

𝐶1 𝑧−12 + 𝑧−1

𝐶2 1 − 𝑧−1𝑈01(𝑧)



Switched-Capacitor-Schaltungen – Zusammenfassung

SC-Schaltungen ermöglichen die Verarbeitung niederfrequenter

Analogsignale in integrierter Schaltungstechnik mit hoher Präzision

(Kapazitätsverhältnisse) und Kosteneffizienz (Chipfläche).

SC-Schaltungen sind zeitvariante Systeme. Sie lassen sich mit Hilfe

der MNA und der Z-Transformation systematisch im Zeitbereich und

im Frequenzbereich analysieren.



129

Modellierung und Simulation

von Delta-Sigma ADCs

Eric Schäfer <[email protected]>

Wintersemester 2011/12

Motivation: Analoge vs. Digitale Elektronik

Warum analoge Signale?

– Mensch, Natur und Umwelt (inter-) agieren und mit analogen Größen

– Schnittstelle zu elektronischen Schaltungen (Sensoren, Aktoren)

müssen analog sein

Warum digitale Signalverarbeitung?

– Digitale Signale sind weniger rauschanfällig

– Digitale Signal können beliebig genau verarbeitet werden

– Entwurfsprozess für digitale Systeme ist stärker automatisiert

– Chipfläche skaliert mit Technologiegeneration

Koppelglied zwischen analoger und digitaler Domäne: A/D-Wandler

– Inhärentes Mixed-Signal-System heterogenes System



130

Ziel der nächsten Veranstaltungen

Anwenden des bisher gelernten Methoden unter Nutzung der

kennengelernten Entwurfswerkzeuge zum Verständnis von Delta-

Sigma Analog/Digital-Wandlern (Modellbasierter Entwurf)

Delta-Sigma ADC

– Analog/Digital-Wandler

– Extern: Hohe Auflösung (24 Bit) bei moderaten Abtastraten (100 kHz)

– Intern: ADC mit geringer Auflösung (1 Bit) und hoher Abtastrate (1 GHz)

– Delta-Sigma-Modulation:

„Gegenseitige Umwandlung von Auflösung (Dynamik) und Bandbreite“



Modellierung und Simulation von Delta-Sigma ADCs

Inhaltsverzeichnis

Grundlegende Funktion von A/D-Wandler

Wandlerprinzipien

Quantisierer und Quantisierungsfehler

Frequenzbereichsbetrachtung (DFT)

Nichtideale Quantisierung (DNL/INL)

Überabtastung (Oversampling)

Rauschformungsschleife (Noise shaping)

Delta-Sigma-Modulator

Dezimationsfilter



131

Analog/Digital-Wandler: Architekturebene

N-Bit-A/D-Wandler

Funktion: @start↑ dout := round((2n – 1)*vin/vmax) after tconv;

Nur Funktionsbeschreibung, keine Konkretisierung des

Wandlerprinzips, keine Beschreibung inneren Zeitverhaltens!



A/D

(tconv)

dout<0..n-1>

vin

start

0 1 2 3 4 5

0

1

2

3

4

5

6

7

vin

dout

n = 3

Analog/Digital-Wandler

Wandelt ein werte- und zeitkontinuierliches (analoges) Signals in

ein werte- und zeitdiskretes (digitales) Signal [siehe Folien 41−46]

Funktionen in Stufen:

– 1. Stufe: Abtastung (S/H…Sample and Hold)

– 2. Stufe: Quantisierung (Quantizer)

– 3. Stufe: Kodierung (Coder)



S/H dout[n]

vin(t)

clk

Coder Quantizer

A/D

132


Sample (and Hold)

Funktion:

– @clk↑: vin[n] := k ∙ vin(t);

– zeitkontinuierlich zeitdiskret

Beispiel:



S/H vin(t)

clk

vin[n]

vin[n]

vin(t)

t


Quantizer

Funktion:

– vout[n] := round(vin[n]);

– wertekontinuierlich wertediskret

Beispiel: 3-Bit-Quantizer



Quantizer vin[n] vout[n]

vin[n] vout[n]

t

133


Coder

Funktion:

– dout[n] := coder_table(vout[n]);

– Dezimalzahl Binärzahl

Beispiel: 2er-Komplement (siehe Übung)



Coder dout[n] vout[n]

vin(t)

dout[n]

t

Analog/Digital-Wandler: Wandlerprinzipien

Stufenweise Umsetzer (Zählverfahren)

– Single-Slope-Umsetzer (Sägezahn-/Einrampenverfahren)

– Dual- und Quadslope-Umsetzer (Mehrrampenverfahren)

– Ladungsbilanz-Umsetzer

Rückgekoppelter Umsetzer (Serielles Verfahren)

– Nachlauf-Umsetzer

– Sukzessive Approximation

– Delta-Sigma-Verfahren

Flash-Umsetzer (Paralleles Verfahren)

– Echter Parallelumsetzer

– Pipeline-Umsetzer

Hybrid-Umsetzer



Q: http://de.wikipedia.org/wiki/Analog-Digital-Umsetzer

134

Analog/Digital-Wandler: Wandlerprinzipien (1)

Parallel-Wandler

Auch: Flash-ADC

Wandlung innerhalb von

einem Taktzyklus

Hoher Materialaufwand

(Flächenbedarf) und hohe

Leistungsaufnahme








Zähler-ADC

Wandlungszeit nicht konstant

(abhängig vom Wert der

Eingangsspannung)

135


Successive Approximation

Register (SAR-ADC)

Auch: Wägeverfahren

Wandlung innerhalb von

n Taktzyklen




Q: www.allaboutcircuits.com

n = 5

Analog/Digital-Wandler: Algorithmische Ebene (SAR-ADC)

N-Bit-SAR-ADC

Implementierung des Wandlerprinzips, aber ohne genaue

Beschreibung der inneren Struktur und des Zeitverhaltens!



SAR-ADC

(tconv)

dout<0..n-1>

vin

start

wait for start

d := ´0 ... 0‘

for i = n-1 downto 0

d(i) := ´1´

if analog(d) > vin then

d(i) := ´0´

end if

end for

dout := d after tconv

136

A/D-Wandler: Register-Transfer-Ebene (SAR-ADC)

N-Bit-SAR-ADC

Implementierung des Wandlerprinzips mit

taktzyklengenauem Zeitverhalten!



@start, clk: d := ´0 ... 0‘, i = n

@clk: while i != 0

i := i-1

d(i) := ´1´

if analog(d) > vin then

d(i) := ´0´

end if

end while

@clk: dout := d

Q: http://www.hitequest.com/Kiss/DeltaSigma.htm

Comparator

Integrator Decimation filter

Analog/Digital-Wandler: Wanderprinzipien (4)

Delta-Sigma-ADC

Kontinuierliche (gleitend)

A/D-Wandlung

DSM-Signal entspr. PWM-

Signal mit quantisierter Pulsweite



Dezimationsfilter zur

Summation/Integration

des DSM-Signals Q: http://www.cds.caltech.edu/~murray/amwiki/index.php/Delta-sigma_converter

137

A/D-Wandler: Delta-Sigma ADC

Funktionsprinzip ist im Zeitbereich schwierig zu verstehen

Erklärung im Frequenzbereich ist wesentlich intuitiver

Voraussetzung:

– Signal- und systemtheoretisches Verständnis der Funktion von A/D-

Wandlern

– Mathematische Modellierung von Wandlungseffekten

– Grenzen der mathematischen Modelle und Gültigkeitsbereiche

– Nummerische Simulationen



A/D-Wandler: Einfluss auf das Signal

Abtastung im Zeitbereich mit Abtastrate t0

bewirkt eine Periodisierung im Frequenz-

bereich mit einem Abstand von fp = 1/t0

Bei Einhaltung des Nyquist-Theorems

fp ≥ 2fB werden im Nutzfrequenzband

(-fB, fB) keine ungewollten Störanteile (Alias)

erzeugt. vin(t) kann in diesem Fall mit einem

Interpolationsfilterverlustfrei rekonstruiert werden.

Beispiel: Dreieckförmiges Spektrum:



S/H vin(t)

clk

vin[n]

fB … Maximale Frequenz des Eingangssignals, PSD … Spektrale Leistungsdichte (Power Spectral Density)

PSD{vin(t)}

A0

f fB − fB

PSD{vin[n]}

A0

f fB − fB fp − fp

138


Signaltheoretische Beschreibung der Abtastung im Zeitbereich

– Eingangssignal 𝑥 𝑡 mit dem Zusammenhang: ℱ 𝑥 𝑡 = 𝑋(𝑓)

– Abtastung von 𝑥 𝑡 im Abstand 𝑡0 = 1/𝑓p:

𝑥s 𝑡 = 𝑥 𝑡 ∙ 𝑡0 𝛿 𝑡 − 𝑚𝑡0

∞

𝑚=−∞

= 𝑡0 𝑥(𝑚𝑡0)𝑥[𝑚]

𝛿(𝑡 − 𝑚𝑡0)

∞

𝑚=−∞

– Spektrum des abgetasteten Signals:

𝑋s 𝑓 = 𝑋 𝑓 ∗ 𝛿 𝑓 − 𝜇𝑓p

∞

𝜇=−∞

= 𝑋(𝜑)

∞

𝜑= −∞

𝛿 𝑓 − 𝜇𝑓p − 𝜑 d𝜑

∞

𝜇=−∞

= 𝑋(𝜑) 𝛿 𝜑 − 𝑓 + 𝜇𝑓p d𝜑

∞

𝜇=−∞

=

∞

𝜑= −∞

𝑋(𝑓 − 𝜇𝑓p)𝛿 𝜑 − 𝑓 + 𝜇𝑓p d𝜑

∞

𝜇=−∞

∞

𝜑=−∞

= 𝑋(𝑓 − 𝜇𝑓p)𝛿 𝜑 − 𝑓 + 𝜇𝑓p d𝜑

∞

𝜑= −∞

∞

𝜇=−∞

= 𝑋(𝑓 − 𝜇𝑓p)

∞

𝜇=−∞




Quantisierer:

– Alle Angaben normiert auf 1 LSB

– Quantisierungsfehler wird als additives

Störsignal interpretiert




vin[n] vout[n] +

e[n]

vout[n] = vin[n] + e[n]

vout[n]

vin[n]

N = 3

LSB…Least Significant Bit

139


Quantizer:

– Kennlinie normiert auf 1 LSB

– Quantisierungsfehler wird als additives

Störsignal interpretiert




vin[n] vout[n] +

e[n]


vout[n]

vin[n]

N = 3

e[n]


Beispiel: 3-Bit Quantizer



vout[n]

t

e[n]

t

140

e[n]

vin[n]

Full-Scale Range

(FSR)


Eigenschaften des Quantisierungsfehler:

– Abhängig vom Eingangssignal vin[n]

– Unter der Annahme, dass:

1. der Quantizer nicht übersteuert wird (FSR),

2. die Anzahl an Quantisierungsstufen sehr hoch ist,

3. deren (Zuordnung-)breite in vin[n] sehr klein ist,

4. die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion

von vin[n] flach ist,

lässt sich e[n] als unkorrelierter, weißer

Rauschenprozess E mit einer gleichverteilter

Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion approximieren.



e[n] = vout[n] - vin[n] = f(vin[n])


Eigenschaften des Quantisierungsfehler:

– Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (PDF) von E:

– Leistungsdichtespektrum (PSD) des Fehlersignals:



1

0 0.5 -0.5

pE(e)

e

1 / (12∙fs)

0 0.5 ∙fs -0.5 ∙fs

PSD{E}

f

… …

Var{𝐸} = 𝑒2𝑝E 𝑒 d𝑒∞

−∞

entspricht

Rauschleistung

Var{𝐸} = PSD 𝐸 d𝑓𝑓s/2

−𝑓s/2

=1

12

=1

12

141

A/D-Wandler: Signal-zu-Rauschabstand (SNR)

Wikipedia: „[…] Maß für die technische Qualität eines Nutzsignals

[…], das von einem Rauschsignal überlagert ist.“

Kapazität eines Informationskanals ist abhängig vom SNR

– S … Signalleistung des informationstragengen Signals

– N … Rauschleistung des im

Kanal erzeugten Rauschens



SNR [dB] Audio-/Videoqualität

0 Grenze der Sprachverständlichkeit

40 Gute Hörwiedergabe

40-44 „erkennbares“ Fernsehbild

44-48 „gutes Fernsehbild“

48-54 „sehr gutes“ Fernsehbild

60 Wahrnehmbarkeitsgrenze bei

elektroakustischen Anlagen

98 CD-qualität

SNR

[dB]

Verbindungsqualität

bei DSL

6 Synchronisierungsprobleme

7-10 Ausreichen aber instabil

11-20 Gut und ohne Sync-Probleme

20-28 Sehr gut

> 28 Exzellent

S: VL Hochfrequenztechnik 2, Prof. Hein, TU Ilmenau S: http://www.dslreports.com/faq/16220

A/D-Wandler: SQNR / ENOB

Signal-to-Quantization-Noise Ratio (SQNR)

– Formeln gelten nur unter den in Folie 231 genannten Bedingungen!

Effective Number of Bits (ENOB)

– SQNR kann per Messung oder Simulation bestimmt werden (gilt immer!)

– Ausnutzung der Beziehung zw. χ und N zur Bestimmung der effektiven

Anzahl an Bits (ENOB), die man benötigt um SNR sicherzustellen



N [bit] 1 2 4 8 12 14 16 24

𝝌 [dB] 7.78 13.8 25.84 49.92 74.00 86.04 98.08 146.24

χ = 1/2 ∙ (2N – 1)2 / (1/12) = 3 ∙ 22N – 1 χ = 6.02 dB ∙ N + 1.76 dB

Neff = (χ – 1.76 dB) / 6.02 dB Neff ∈ ℝ+ mit

142

A/D-Wandler: Bestimmung von SQNR/ENOB…

…durch Simulation von vin[n] und vout[n] und anschließender

diskrete Fourier-Transformation (DFT)

Idee: Signal- und Rauschleistung werden durch Integration im

Frequenzbereich bestimmt



vin[n] vout[n] +

e[n]


𝑃s = PSD 𝑣𝑖𝑛 𝑛 d𝑓𝑓s/2

−𝑓s/2

𝑃e = PSD 𝑒 𝑛 d𝑓𝑓s/2

−𝑓s/2

𝜒 = 𝑃s 𝑃e

PSD 𝑣𝑖𝑛[𝑛] = 𝐷𝐹𝑇{𝑣𝑖𝑛 𝑛 } 2

𝑒 𝑛 = 𝑣𝑜𝑢𝑡 𝑛 − 𝑣𝑖𝑛[𝑛] PSD{𝑒 𝑛 } = PSD{𝑣𝑜𝑢𝑡 𝑛 } − PSD{𝑣𝑖𝑛 𝑛 }

A/D-Wandler: Diskrete Fourier-Transformation

Transformiert ein bandbegrenztes, zeitdiskretes, periodisches Signal

in den Frequenzbereich (diskret und periodisch).

Bedingungen:

– Nyquist-Theorem muss erfüllt sein

– Abtastung mit ganzzahliger Anzahl aller Signalperioden

Eigenschaften:

M … Anzahl der Stützstellen,

fp … Periode im Frequenzbereich, f0 … Stützstellenabstand im Frequenzbereich

tp … Periode im Zeitbereich, t0 … Stützstellenabstand im Zeitbereich



𝐷[𝜇] =1

𝑀 𝑑[𝑛]e−j2𝜋

𝜇𝑛𝑀

𝑀−1

𝑛=0

𝑑[𝑛] = 𝐷[𝜇]ej2𝜋𝜇𝑛𝑀

𝑀−1

𝜇=0

DFT: IDFT:

𝑀 = 𝑓p𝑡p =1

𝑡0𝑓0=

𝑓p

𝑓0=

𝑡p

𝑡0

𝐷[𝜇] = 𝑉𝑖𝑛(𝜇𝑓0) 𝑑 𝑛 = 𝑣𝑖𝑛 𝑛𝑡0 = 𝑣𝑖𝑛[𝑛]

𝑓p = 𝑀𝑓0 ≥ 2𝑓B

143

A/D-Wandler: DFT –Parameterwahl für korrekte Analyse

Stützstellenabstand im Zeitbereich t0 = 1/fp

– Nyquist-Theorem muss erfüllt werden: fp ≥ 2fB

Anzahl von Stützstellen M

– Erfassung einer kompletten Periode: M = tp/t0

Auswahl der Fensterung (Rechteck, Hann, …)

– Reckeckfenster wenn oben genannten Anforderungen

erfüllt werden können

– Falls keine komplette Periode abgedeckt werden kann, so kann mit einer

nicht-rechteckförmige Fensterung ein Kompromiss zwischen Auflösung

und Genauigkeit gefunden werden. Szenarien:

Periodendauer des Signals ist unbekannt

Periodendauer des Signal ist so groß, dass eine DFT zu rechenintensiv wäre



Beispiel: DFT zur Berechnung des Spektrums – Fall 1

Abtastung im Zeitbereich mit Erfassung einer kompletten Periode

Ziel: Schätzung des Spektrum von Signal x(t)

– Periode des Signals: tp = 1/f0



x(t)

t / tp

144


Spektrum X(f) von x(t), dass per DFT berechnet werden soll

– Gleichanteil sowie harmonische Signalanteile bei f0, 2f0 und 3f0



|X(f)|

f / f0


1. Schritt: Fensterung des zu transformierenden Signals

– Periodizität nicht mehr vorhanden



x(t)

t / tp

w(t)

t / tp

xW(t)

145


– Faltung von X(f) mit Fourier-transformierter der Fensterfunktion: XW(f)

– Keine Verfälschung an den ursprünglichen Frequenzstützstellen von X(f)




X(f)

f / f0

f / f0

XW(f)


2. Schritt: Abtastung des gefensterten Signals mit M = 7 und t0 = tp/M

– Periodisierung des gefensterten Signals im Frequenzbereich mit fp = 1/t0



xWS(t)

t / tp

xW(t)

XW(f) f / f0

X(f)

XWS(f)

146


3. Schritt: Periodisierung des abgetasteten Signal mit tp: xWSP(t)

– Abtastung im Frequenzbereich mit f0 = 1/tp: XWSP(f)



xWSP(t)

t / tp

x(t)

XWSP(f)

f / f0

X(f)

XWS(f) Exakte Berechnung

des Spektrums!


Abtastung im Zeitbereich mit Erfassung einer kompletten Periode

Ziel: Schätzung des Spektrum von Signal x(t)

– Periode des Signals: 2tp = 2/f0



x(t)

t / tp

147


Spektrum X(f) von x(t), dass per DFT berechnet werden soll

– Gleichanteil sowie harmonische Signalanteile bei f0, 2f0, 2.5f0 und 3f0



|X(f)|

f / f0

Beispiel: DFT zur Berechnung des Spektrums – Fall 2/1





x(t)

t / tp

w(t)

t / tp

xW(t)

148



– Deutliche Verfälschung an den ursprünglichen Stützstellen von X(f)




X(f)

f / f0

f / f0

XW(f)






xWS(t)

t / tp

xW(t)

XW(f) f / f0

X(f)

XWS(f)

149






xWSP(t)

t / tp

P{xW(t)}

XWSP(f)

f / f0

X(f)

XWS(f)

Spektrum sehr ungenau!


Was kann getan werden um das Spektrum korrekt zu berechnen?

Verringerung der Breite der Fensterfunktion im Frequenzbereich



X(f)

f / f0

X(f)

f / f0

150






x(t)

t / tp

w(t)

t / tp

xW(t)



– Deutliche Verfälschung an den ursprünglichen Stützstellen von X(f)




X(f)

f / f0

f / f0

XW(f)

151






xWS(t)

t / tp

xW(t)

XW(f) f / f0

X(f)

XWS(f)






xWSP(t)

t / tp

P{xW(t)}

XWSP(f)

f / f0

X(f)

XWS(f) Exakte Berechnung

des Spektrums!

152

A/D-Wandler: Muss das Signal gefenstert werden?

Diese Frage stellt sich nicht, da bei Anwendung der DFT bereits

inhärent gefenstert wird (mindestens Rechteckfenster).

Leck-Effekt (Spectral Leakage)



S: Richard Schreier, Gabor C. Themes, Understanding Delta-Sigma Data Converters, IEEE Press, Piscataway, NJ, 2005

A/D-Wandler: Fensterfunktionen im Zeitbereich

Multiplikation mit Fensterfunktion w(t) vor der (DFT-) Abtastung

Kann zur Behandlung der Unstetigkeitsstellen genutzt werden

Beispiel: Hann-Fenster

(oft auch Hanning genannt)



w(t)

t / tp

Rechteck

𝑤 𝑡 =1

21 − cos

2𝜋 ⋅ 𝑡

𝑡p

153

Zeitbereich:

Frequenzbereich:

A/D-Wandler: Hann- vs. Rechteckfenster



w(t)

t / tp

Rechteck

W(f) ∙ ej𝜋𝑡p𝑓

f / f0

Rechteck

A/D-Wandler: Fensterfunktion im Frequenzbereich

Multiplikation in Zeitbereich entspricht Faltung im Frequenzbereich

Nicht-rechteckförmiger Fensterung (Hamming, Hann, …):

– Vorteil: Verringerung der Verschmierung (Leck-Effekts/Spectral leakage)

– Nachteil: Verringerung der Auflösung



20∙log10(|W(f)|)

f / f0

154

A/D-Wandler: DFT zur Analyse des Quantisierungsfehlers

Quantisierungsfehler ist bei sinusförmiger Anregung…

– inhärent periodisch (Zeitbereich) mit Grundfrequenz des Sinus, aber

– nicht bandbegrenzt, da viele Oberwellen erzeugt werden.

Quantisierungsfehler ist bei zeitdiskreter sinusförmiger Anregung…

– periodisch (Frequenzbereich) mit der Abtastfrequenz, und daher

– bandbegrenzt.

Aliasing-Effekte: Quantisierungsfehler wird zurückgespiegelt

– Tatsächlich im Signal enthaltener Effekt, kein Artefakt der Analyse (DFT)

– Falls Abtastfrequenz ein vielfaches der Anregungsfrequenz (Sinus) ist,

fallen alle Signalkomponenten in entsprechende Bins (kein Leakage)

Ausgangsignal des Quantisierers: zeitdiskret, bandbegrenzt,

periodisch è DFT ist zur Analyse des Quantisierungsfehler geeignet



A/D-Wandler



Warum kann Neff < N sein?

155

A/D-Wandler: Mid-Tread- vs. Mid-Riser-Quantizer

Mid-Tread-Quantizer:

– Unsymmetrisch

– Flach im Nulldurchgang

Auswahl abhängig von Anwendung (Delta-Sigma ADC Mid-Riser)



Mid-Riser-Quantizer:

– Symmetrisch

– Flanke im Nulldurchgang

dout[n]

vin[n]

N = 3 dout[n]

vin[n]

N = 3

A/D-Wandler: INL und DNL

Integrale Nichtlinearität (INL)

INL und DNL beeinflussen direkt das SQNR/ENOB des Quantisierers



Differentielle Nichtlinearität (DNL)

INL = maxn |vout[n]-voutideal[n]| DNL = maxn |vout[n]-voutideal[n]|

INL

vout[n]

vin[n]

N = 4 Missing

Codes

DNL

vout[n]

vin[n]

N = 4

156

A/D-Wandler: Verstärkungs- und Offsetfehler

Verstärkungs- / FSR-Fehler:

– Abweichung des Anstiegs

– in LSB oder %FSR angegeben

Verstärkungs- und Offsetfehler beeinflussen indirekt SQNR/ENOB

– Einschränkung des FSR, wenn keine Kalibrierung (Referenzmessung)



Offsetfehler:

– „Vertikaler“ Offset

– in LSB angeben

vout[n]

vin[n]

N = 4

vout[n]

vin[n]

N = 4

A/D-Wandler



Warum kann Neff > N sein?

157

A/D-Wandler: Warum kann Neff > N sein?

Wie kann die effektive Anzahl der Bits (SQNR) größer sein als die

tatsächliche Anzahl an Bit (Quantisierungsstufen)?

Quantisierungsrauschleistung im Nutzfrequenzbereich verringern

– Überabtastung (Oversampling)

– Spektrale Formung (Noise shaping) [in Kombination mit Überabtastung]

Bisher: Nyquist-Raten-ADC

– Abtastfrequenz entspricht etwa der doppelten Signalfrequenz: fs ≳ 2fB

– Gesamtes Quantisierungsrauschen liegt im Nutzfrequenzbereich



1 / (12∙fs)

0 0.5 ∙fs -0.5 ∙fs

PSD{E}

f

… … Rauschleistung

Var{E} = 1 / 12

Überabtastung

– Verringerung der Quantisierungsrauschleistung um Faktor R

– R … Überabtastrate/-faktor (Over-Sampling Ratio, OSR)

R-fache Überabtastung des Eingangssignals: fs = R ∙ 2fB

A/D-Wandler: Überabtastung (Oversampling)



… …

1 / (12∙2fB)

0 fB -fB

PSD{E}

f

… … 1 / (12∙R∙2fB)

-R∙fB R∙fB

Abbildungen: R = 2

Var{E} = 1 / 12

158

Filterung des quantisierten Signals mit Tiefpass

Filterung des quantisierten Signals mit Tiefpass




Abbildungen: R = 2

1

0 fB -fB

H(f)

f -R∙fB R∙fB

0 fB -fB

|H(f)|2∙PSD{E}

f

1 / (12∙R∙2fB)

-R∙fB R∙fB

… …

Dezimation um den Faktor R:

– Entnahme jedes R-ten Werts aus einer Folge von Werten

– Verringerung der Abtastrate Verringerung des spektralen Abstands




Abbildungen: R = 2

0 fB -fB

PSD{Edec}

f

1 / (12∙R∙2fB) … …

Var{E} = 1 / (12∙R)

159

A/D-Wandler: SQNR / ENOB bei Überabtastung





R N [bit] 1 2 4 8 12 14 16 24

1 𝝌 [dB] 7.78 13.80 25.84 49.92 74.00 86.04 98.08 146.24

2 𝝌 [dB] 10.79 16.80 28.85 52.93 77.01 89.05 101.09 149.25

4 𝝌 [dB] 13.80 19.90 31.86 55.94 80.02 92.06 104.10 152.26

χ = 3 ∙ 22N – 1 ∙ R = 3 ∙ 2(2N – 1)∙r χ = 6.02 dB ∙ N + 3.01 dB ∙ r + 1.76 dB


R 1 2 4 8 16 32 64 128 256

Neff − N [dB] 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0


Blockdiagramm des Überabtastungs-A/D-Wandler



vin(t)

clk

S/H Quantizer

Deci-

mation

Filter

Coder

dout[n]

Filter Deci-

mator Bitbreite: N

Taktrate: R∙2fB

Bitbreite: Neff

Taktrate: 2fB

⋅ … Aufrundungsoperator

analog digital

160

A/D-Wandler: Zeitdiskrete Systeme im Frequenzbereich

Übertragungsglieder für zeitdiskrete Signal werden im Zeitbereich

mit Differenzengleichung beschrieben vout[n] = f (vin[n], e[n])

Beschreibung im Frequenzbereich über Fourier- oder Laplace-

Transformation Periodische Übertragungsfunktion/Eigenschaften

z-Transformation: „Laplace-Transformation für zeitdiskrete Systeme“

– Ausnutzung der Periodizität, Normierung/Betrachtung einer Periode

– Gleichungsinterpretation ist einfacher als bei Fourier/Laplace

– Standardform zur Beschreibung von zeitdiskreten Systemen



𝑋 𝑧 = 𝒵{𝑥 𝑛 } = 𝑧−𝑛𝑥 𝑛

∞

𝑛=0


Beispiel: Getakteter/zeitdiskreter, verzögernder Integrator

Beschreibung mit Laplace-Transformation:

– Differenzengleichung:

– Laplace-Transformation:

– Übertragungsfunktion:

– Polstellen:



𝑦[𝑛] = 𝑦 𝑛 − 1 + 𝑥[𝑛 − 1]

𝐻 𝑠 =e−𝑠𝑡0

1 − e−𝑠𝑡0

𝑠𝑧,𝑘 = 𝑘 ∙j2𝜋

𝑡0, 𝑘 ϵ ℤ

+ 𝑌(𝑠) 𝑋(𝑠)

𝑌 𝑠 = 𝑌 𝑠 e−𝑠𝑡0 + 𝑋 𝑠 e−𝑠𝑡0

𝒔−𝐣𝟐𝝅𝒕𝟎𝒇

161


Beispiel: Integrator mit Laplace-Transformation



𝑡0𝑓

𝐻(𝑓)

𝐻(𝑠)

𝐻 𝑓 =e−j2𝜋𝑡0𝑓

1 − e−j2𝜋𝑡0𝑓 𝐻 𝑠 =

e−𝑠𝑡0

1 − e−𝑠𝑡0

𝐻 𝑓 = 𝐻 𝑠 𝑠=j2𝜋𝑓


Beispiel: Getakteter/zeitdiskreter, verzögernder Integrator

Beschreibung mit z-Transformation:

– Differenzengleichung:

– z-Transformation:

– Übertragungsfunktion:

– Polstelle:



𝑦[𝑛] = 𝑦 𝑛 − 1 + 𝑥[𝑛 − 1]

𝐻 𝑧 =𝑧−1

1 − z−1

𝑧𝑧 = 1

+ 𝑌(𝑧) 𝑋(𝑧)

𝑌 𝑧 = 𝑌 𝑧 𝑧−1 + 𝑋 𝑧 𝑧−1

𝒛−𝟏

162


Beispiel: Integrator mit z-Transformation



𝑡0𝑓

𝐻(𝑓)

𝐻(𝑧)

𝐻 𝑓 =e−j2𝜋𝑡0𝑓

1 − e−j2𝜋𝑡0𝑓 𝐻 𝑧 =

𝑧−1

1 − z−1

𝐻 𝑓 = 𝐻 𝑧 𝑧=𝑒j2𝜋𝑡0𝑓

A/D-Wandler: Signal- und Rauschübertragungsfunktion

Einführung von Übertragungsfkt:

Signalübertragungsfunktion (STF):

Rauschübertragungsfunktion (NTF):



vin[n] vout[n] +

e[n]


𝐻in 𝑧 =𝑉out 𝑧

𝑉in 𝑧 𝐸 𝑧 =0

𝐻e 𝑧 =𝑉out 𝑧

𝐸 𝑧 𝑉in 𝑧 =0

Beispiel: Quantisierer

– z-Transformation:

– STF, NTF:

𝑣out 𝑛 = 𝑣in 𝑛 + 𝑒[𝑛]

𝑉out 𝑧 = 𝑉in(𝑧) + 𝐸(𝑧)

𝐻in 𝑧 = 1, 𝐻e 𝑧 = 1

𝑉out 𝑧 = 𝐻in 𝑧 𝑉in 𝑧 + 𝐻e 𝑧 𝐸 𝑧

163

A/D-Wandler: Ziel der Spektrale Rauschformung

Änderung der spektralen Verteilung (Färbung) des Quantisierungs-

rauschens ohne Beeinflussung des eigentlichen Signals

Rauschübertragungsfunktion soll zugunsten des SQNR/ENOB

verändert werden

– Verringerung der spektralen Rauschleistungsdichte im

Nutzfrequenzbereich

– Idealerweise soll 𝐻e 𝑧 = 0 gelten

Signalübertragungsfunktion soll unverändert bleiben

– Idealerweise soll 𝐻in 𝑧 = 1 gelten



A/D-Wandler: STF und NTF des freilaufenden Quantisierers

𝐸(𝑧) wird intern erzeugt und kann nicht direkt verwendet werden.

Die Rauschübertragungsfunktion eines freilaufenden Quantisierer ist

daher inhärent immer auf 𝐻e 𝑧 = 1 festgelegt.



vin[n] vout[n] +

e[n]

vout[n] = vin[n] + e[n] ? Wie könnte 𝐻e 𝑧 bzw. das

Quantisierungsrauschen

beeinflusst werden?

164

Rückblick: Analoge Nachlauf-Phasenregelschleife (APLL)



PD F(s) VCO

Phasendifferenz-

detektor


gesteuerter

Oszillator

Referenzfrequenz

und -phase

ωref

θref

Ausgangs-

frequenz

und -phase


ωout

θout

A/D-Wandler: Rauschformungsschleife*



AD F(z) Quantizer

„Amplituden-

differenzdetektor“

Schleifenfilter Quantisierer

zeitdiskrete

Eingangssignal

(Referenzsignal)

Quantisiertes

Ausgangs-

signal 𝑉in(𝑧) 𝑉out(𝑧)

* Noise-Shaping Loop

165

A/D-Wandler: Rauschformungsschleife



+

Differenz

–

𝐹 𝑧 =𝑁(𝑧)

𝐷(𝑧)

Schleifenfilter

𝑉in(𝑧) 𝑉out(𝑧)

Vm(s)

vin[n] +

Quantisierer

𝐸(𝑧)

𝑉1(𝑧) 𝑉2(𝑧)

A/D-Wandler: STF und NTF der Rauschformungsschleife

Signalübertragungsfunktion:

Rauschübertragungsfunktion:

Bedingungen zur Wahl von 𝑁 𝑧 und 𝐷 𝑧 :

– 𝑁 𝑧 = 𝑛0 + 𝑛1𝑧−1 + 𝑛2𝑧−2 + 𝑛3𝑧

−3 + ⋯ + 𝑛𝑖𝑧−𝑖

– 𝐷 𝑧 = 𝑑0 + 𝑑1𝑧−1 + 𝑑2𝑧

−2 + 𝑑3𝑧−3 + ⋯+ 𝑑𝑘𝑧−𝑘

– 𝐻e 𝑧 = 0 für 𝑧 = 1

– 𝐻in 𝑧 = 1 für 𝑧 = ej𝑥 und 𝑥 ∈ ℝ

– Filterordnungen 𝑖 und 𝑘 sollen möglichst klein sein



𝐻in 𝑧 =𝑁(𝑧)

𝐷 𝑧 + 𝑁 𝑧

𝐻e 𝑧 =𝐷(𝑧)

𝐷 𝑧 + 𝑁 𝑧

166

A/D-Wandler: STF und NTF der Rauschformungsschleife

Schleifenfilter 1.Ordnung: Integrator (siehe weiter oben)



𝐹 𝑧 =𝑁(𝑧)

𝐷(𝑧)=

𝑧−1

1 − 𝑧−1

Signalübertragungsfunktion

Rauschübertragungsfunktion

𝐻in 𝑧 = 𝑧−1 𝐻e 𝑧 = 1 − 𝑧−1

𝐻e 𝑓 𝐻in 𝑓

𝑡0𝑓 𝑡0𝑓

A/D-Wandler: Rauschformungsschleife 1. Ordnung



+

Differenzglied

–


Vm(s)

vin[n] +

Quantisierer

𝐸(𝑧)

𝑉2(𝑧)

Integrator

+ 𝒛−𝟏 𝑉1(𝑧)

167

A/D-Wandler: Rauschleistungsdichte am Ausgang

Rauschleistung im gesamten Band hat sich verdoppelt

Rauschleistungsdichte im Bereich um 𝑓 = 0 ist jedoch verringert



𝐻e 𝑓 2

𝑡0𝑓

𝐻e 𝑓 2

0.5

−0.5

d𝑓 = 2

𝐻e 𝑓 2

0.5

−0.5

d𝑓 = 1

Rauschformung:

Einfacher Quantisierer:

A/D-Wandler: Delta-Sigma-A/D-Wandler (DS-ADC)



vin(t)

clk

S/H

Delta-

Sigma

Modu-

lator

Deci-

mation

Filter

Coder

dout[n]

+

Differenzglied

–

+

Quantisierer

e[n] Integrator

+ 𝒛−𝟏 Σ Δ

168

A/D-Wandler: SQNR und ENOB des Delta-Sigma-ADCs

Delta-Sigma-Modulator 1. Ordnung mit R-facher Überabtastung



Rauschübertragungsfunktion:

A/D-Wandler: Approximation der Rauschübertragungsfunktion



𝐻e 𝑓 2

𝑡0𝑓 𝑡0𝑓

𝐻e 𝑓

𝐻e 𝑓 = 2 − 2 cos 2𝜋𝑡0𝑓 = 2 sin 𝜋𝑡0𝑓2 = 2 sin (𝜋𝑡0𝑓)

𝐻e 𝑓 ≈ 2𝜋𝑡0𝑓 für 𝑡0𝑓 ≪ 1

169

A/D-Wandler: SQNR des DS-Modulators 1.Ordnung




R N [bit] 1 2 4 8 12 14 16 24

1 𝝌 [dB] 2.6 8.6 20.7 44.8 68.8 80.9 92.9 141.1

2 𝝌 [dB] 11.6 17.7 29.7 53.8 77.9 89.9 101.9 150.1

4 𝝌 [dB] 20.7 26.7 38.7 62.8 86.9 98.9 111.0 159.1

8 𝝌 [dB] 29.7 35.7 47.8 71.8 95.9 108.0 120.0 168.2

16 𝝌 [dB] 38.7 44.8 56.8 80.9 105.0 117.0 129.0 177.2

32 𝝌 [dB] 47.8 53.8 65.8 89.9 114.0 126.0 138.1 186.2

64 𝝌 [dB] 56.8 62.8 74.9 98.9 123.0 135.1 147.1 195.3

128 𝝌 [dB] 65.8 71.8 83.9 108.0 132.0 144.1 156.1 204.3

256 𝝌 [dB] 74.9 80.9 92.9 117.0 141.1 153.1 165.2 213.3

𝜒 =9

2𝜋2 22𝑁𝑅3 =9

2𝜋2 22𝑁+3𝑟 χ = 6.02 dB ∙ N + 9.03 dB ∙ r − 3.41 dB

A/D-Wandler: ENOB des DS-Modulators 1.Ordnung





R N [bit] 1 2 4 8 12 14 16 24

1 Neff [bit] 0.14 1.14 3.14 7.14 11.14 13.14 15.14 23.14

2 Neff [bit] 1.64 2.64 4.64 8.64 12.64 14.64 16.64 24.64

4 Neff [bit] 3.14 4.14 6.14 10.14 14.14 16.14 18.14 26.14

8 Neff [bit] 4.64 5.64 7.64 11.64 15.64 17.64 19.64 27.64

16 Neff [bit] 6.14 7.14 9.14 13.14 17.14 19.14 21.14 29.14

32 Neff [bit] 7.64 8.64 10.64 14.64 18.64 20.64 22.64 30.64

64 Neff [bit] 9.14 10.14 12.14 16.14 20.14 22.14 24.14 32.14

128 Neff [bit] 10.64 11.64 13.64 17.64 21.64 23.64 25.64 33.64

256 Neff [bit] 12.14 13.14 15.14 19.14 23.14 25.14 27.14 35.14

170

A/D-Wandler: Berücksichtigung von Realisierungsaspekten

Folgendes Beispiel: Realisierung des Rückkoppelzweiges

Ausgang des Quantisierers ist ein digitaler Port

– Repräsentation der Ausgangswerte durch Bitvektor

Unmittelbare Rückführung des Ausgangsignals auf den Eingang

möglich ist nicht möglich, daher: D/A-Wandler im Rückkoppelzweig

– D/A-Wandler weisen ebenfalls Signalverzerrungen auf (INL/DNL)

Neue Fragestellung: Welchen Einfluss haben die nichtidealen

Eigenschaften des D/A-Wandlers auf das Gesamtsystem?



A/D-Wandler: DS-Modulator mit D/A-Wandler in Rückführung



+

Differenzglied

–


Vm(s)

vin[n] +

Quantisierer

𝐸1(𝑧)

𝑉2(𝑧)

Integrator

+ 𝒛−𝟏 𝑉1(𝑧)

Vm(s)

vin[n] +

D/A-Wandler

𝐸2(𝑧) 𝐻e2 𝑧 =𝑉out(𝑧)

𝐸2(𝑧)= −𝑧−1

171

A/D-Wandler: Delta-Sigma-Modulator mit 1-Bit Quantisierer

Verwendung eines 1-Bit Mid-Riser-Quantizer (Komparator)

Komparatoren sind einfach zu realisieren

Komparatoren sind sehr schnell (hohe Taktraten möglich)

1-Bit D/A-Wandler kann mit zwei Schaltern realisiert werden

– Vermeidung von stark variierenden Bauteilen (z.B.: R-2R-Netzwerke)

– Es gibt inhärent keine integralen und differentiellen Nichtlinearitäten



χ = 6.02 dB ∙ N + 9.03 dB ∙ r − 3.41 dB

vin[n]

vout[n]

A/D-Wandler: Dezimationsfilter

Blockdiagramm des Delta-Sigma-A/D-Wandlers



vin(t)

clk

S/H

Delta-

Sigma

Modu-

lator

Deci-

mation

Filter

Coder

dout[n]

Filter Deci-

mator Bitbreite: N

Taktrate: R∙2fB

Bitbreite: Neff

Taktrate: 2fB

⋅ … Aufrundungsoperator

analog digital

172

A/D-Wandler: Dezimator / Dezimation

Entnahme jedes R-ten Wertes am Ausgang des Anti-Aliasing-Filters

– Entspricht einer erneuten Abtastung eines zeitdiskreten Signals

– Verringerung der Taktrate am Ausgang: 𝑓p,out = 𝑓p,in/𝑅

– Periodisierung des Spektrums mit 𝑓p,out

Beispiel anhand eines sinusförmigen Signals (R = 4):



𝑥(𝑡)

𝑡

𝑡p

𝑋(𝑓)

𝑓

𝑓0

𝑓p,out 𝑓p,in


Funktion des Filters:

– Unterdrückung des Quantisierungsrauschens (und des Signals)

außerhalb der Signalbandes

– Entspricht Anti-Aliasing-Filter beim Abtasten

Realisierung als zeitdiskretes System ( Theorie digitaler Filter)



173


Anforderungen an das Dezimationsfilter

– Sehr schnell (bei hoher Überabtastrate)

– Steile Filterflanken (bei hoher Überabtastrate)

Realisierungsaspekte

– Multiplizierer: Sehr aufwändig oder sehr langsam

– Hohe Anzahl von Stufen: Hoher Strom- und Flächenkonsum

Generische FIR/IIR Filter nicht optimal für Dezimationsfilter

Filterung/Dezimation häufig mehrstufig realisiert

– Sinc-/CIC-Filter („Hauptfilter“)

– Halbbandfilter (optional)

– CIC-Kompensationsfilter (optional)



Kaskadierte Struktur bestehend aus Integratoren und Kammfiltern

Beispiel: CIC-Filter 1. Ordnung (1 Integrator + 1 Kammfilter)

Vorteil:

– Ausnutzung der Periodizität

– Keine Multiplikationen nötig, daher sehr effizient zu implementieren

Nachteil:

– Starke Amplitudenverzerrung des Nutzfrequenzbandes

A/D-Wandler: Cascaded Integrator-Comb Filter (CIC-Filter)



Integrator

Kammfilter

Dezimator

174




Übertragungsfunktion des CIC-Filters 1. Ordnung (M = 2, R = 4)

Übertragungsfunktion von Dezimationsfiltern zeigen nur die

Filteranteile. Aliasingeffekte durch die Dezimation (Faltung)

werden nicht berücksichtigt!

Signalband

Abtastfrequenz am Eingang: 𝑅𝑓s

Abtastfrequenz am Ausgang: 𝑓s


Kammfilter: Unterdrückung von Aliasing im Signalband

– Nullstellen bei 𝑘 ∙ 𝑓s/𝑀, 𝑘 ∈ ℤ

Übertragungsfunktion für M = 2, R = 4:



175


Nicht verzögernder Integrator: Unterdrückung der Signalanteile

außerhalb des Signalbandes

– Polstelle bei 𝑘 ∙ 𝑅𝑓s, 𝑘 ∈ ℤ

Übertragungsfunktion:




Kaskadierung von CIC-Filtern 1.Ordnung zur stärkeren

Unterdrückung der Rauschanteile außerhalb des Signalbandes

Effizientere Implementierungsvariante:



176

Q: http://www.hitequest.com/Kiss/DeltaSigma.htm

Comparator

Integrator Decimation filter

Rückblick: Analog/Digital-Wandler: Wanderprinzipien (4)

Delta-Sigma-ADC

Kontinuierliche (gleitend)

A/D-Wandlung

DSM-Signal entspr. PWM-

Signal mit quantisierter Pulsweite



Dezimationsfilter zur

Summation/Integration

des DSM-Signals Q: http://www.cds.caltech.edu/~murray/amwiki/index.php/Delta-sigma_converter

Verhaltensregeln (nach S. W. Golomb, 1970)

Glaube nicht, dass dein Modell der Realität entspricht!

– Ein Modell ist immer eine Abstraktion der Realität unter Vernachlässigung meist vieler Details. Prüfe ständig, ob diese Abstraktion einen signifikanten Einfluss auf das zu beobachtende Verhalten haben kann.

Extrapoliere nie über den Gültigkeitsbereich deines Modells hinaus!

– GIGO-Prinzip („garbage in, garbage out“)

Verbiege nicht die Realität, damit sie zu deinem Modell passt!

– Das bringt nichts. So können wir keine technischen Systeme bauen.

Verwende kein Modell, das wissenschaftlich nicht (mehr) anerkannt ist!

– Die Erkenntnisse aus deinen Simulationen wird dir niemand glauben.

Verliebe dich nicht in dein Modell!

– Wirf es weg, wenn es sich als unbrauchbar erweist. Halte nicht daran fest, nur weil du es selbst entwickelt hast.



177

Weiterführende Literatur (1)

Peter J. Ashenden, Gregory D. Peterson,

Darrell A. Teegarden

The System Designer‘s Guide to VHDL-AMS

Morgan Kaufmann Publishers, San Francisco,

2003

Roland E. Best

Phase-Locked Loops: Design, Simulation, and

Applications, 6th ed.

McGraw-Hill Professional, New York, 2007




Ronny Frevert, Joachim Haase, Roland Jancke,

Uwe Knöchel, Peter Schwarz, Ralf Kakerow,

Mohsen Darianian

Modeling and Simulation for RF System Design,

Springer, Berlin, 2005



Steven R. Norsworthy, Richard Schreier,

Gabor C. Themes

Delta-Sigma Data Converters – Theory, Design,

and Simulation

IEEE Press, Piscataway, NJ, 1997

178


Richard Schreier, Gabor C. Themes

Understanding Delta-Sigma Data Converters

IEEE Press, Piscataway, NJ, 2005



Kishore Singhal, Jiri Vlach

Computer Methods for Circuit Analysis and

Design, 2nd ed.

Van Nostrand Reinhold, New York, 1994



Kontakt

Dr. Eckhard Hennig

IMMS GmbH Tel.: +49 361-663 2510

Ehrenbergstraße 27 Fax: +49 361-663 2501

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http://www.imms.de E-Mail: [email protected]

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