Notizen zur Vorlesung - analysis-lenz.uni-jena.de · Einfuhrung Hier stellen wir kurz drei...

Notizen zur Vorlesung

C∗-Algebren1

Jena - Wintersemester 2015 / 2016

Daniel Lenz

1Es handelt sich nicht um ein Skriptum zur Vorlesung. Konstruktive Kommen-tare sind willkommen.

Inhaltsverzeichnis

Einfuhrung 5

Kapitel 1. Banachalgebren 91. Grundlagen 92. Invertierbare Elemente in einer Banchalgebra 123. Spektrum und Resolvente 164. Banachalgebren ohne Eins 225. Involutive-Algebren 246. C∗-Algebren 25

Kapitel 2. Kommutative Banachalgebren und Gelfandtheorie 331. Ideale und Charaktere 332. Wann nimmt a den Wert λ an? 403. Die Gelfandtransformation 434. Wichtige Beispiele 455. Das Bild Γ(A) 496. Positive Funktionale und der Satz von Bochner 50

Kapitel 3. Harmonische Analysis gewisser abelscher Gruppen 571. Die Algebra A = `1(Z) und ein Satz von Wiener 572. Abstrakte harmonische Analysis 59

Kapitel 4. Kommutative C∗-Algebren u. stetiger Funktionalkalkul 671. Der Isomorphiesatz fuer kommutative C∗-Algebren 672. Anwendungen auf normale Operatoren 69

Kapitel 5. Etwas kommutative Topologie 75

Kapitel 6. Positive Elemente in C∗-Algebren 85

Kapitel 7. Automatische Stetigkeit und weitere Rigiditaetsaussagen 93

Kapitel 8. Etwas Darstellungstheorie von C∗-Algebren 971. Eine einfache Situation 972. Die Gelfand-Naimark-Segal Konstruktion 983. Konstruktion einer treuen Darstellung 101

Kapitel 9. Spektralsatz und messbares Spektralkalkuel 105

Kapitel 10. Von Neumann Algebren 109

Anhang A. Exkurs - Lokalkompakte abelsche Gruppen 111

3

4 INHALTSVERZEICHNIS

Anhang B. Exkurs - Kompaktheit 115

Einfuhrung

Hier stellen wir kurz drei verschiedene Kontexte vor, in denen C∗-Algebren eine Rolle spielen. Es geht dabei mehr darum, einen Ein-druck und Ueberblick zu geben, als alle vorkommenden Objekte genaudie definieren.

Klassische Mechanik versus Quantenmechanik.In der klassischen Mechanik treten bei der Beschreibung eines Systems(etwa der Bewegung eines Punktteilchen im Phasenraum) die folgendenGroessen auf:

• Die Zustaende des Systems sind Punkte im Phasenraum X,der eine (kompakte) Mannigfaltigkeit ist.• Die Observablen werden beschrieben durch stetige Funktionen

auf X (Ort, Impuls, Energie...). Damit gehoeren die Observa-blen zur kommutativen C∗-Algebra C(X).• Der Wert einer Observablen f bei Zustand x ∈ X des Systems

ist f(x).• Zeitentwicklung des Systems wird durch die Hamiltongleichung

beschrieben.

Grundphaenomene der Quantenmechanik sind die Heisenbergsche Un-schaerferelation und die Diskretisierung der moeglichen Messwerte vonObservablen. Mathematisch spiegelt sich dies in einem Uebergang vonder kommutativen C∗-Algebra C(X) zu einer nichtkommutativen C∗-Algebra von Operatoren auf einem Hilbertraum und der Betrachtungvon selbstadungierten Operatoren wieder. Etwas vereinfacht gesagt:

Heisenbergsche Unschaerferelation < − − −− > Nichtverschwindenvon Kommutatoren.

Diskretisierung der Messwerte < −−−−− > Selbstadjungiertheit derOperatoren zusammen mit geeigneten Randbedingungen.

Konkret ist der mathematische Rahmen der Quantenmechanik wie folgtgegegben:

• Die Zustaende des Systems sind (normierte) Vektoren im Hil-bertraum H.• Die Observablen werden beschrieben durch selbstadjungierte

lineare Operatoren auf H. Damit gehoeren die Observablendann zu einer nicht kommutativen C∗-Algebra L(H).

5

6 EINFUHRUNG

• Die Wahrscheinlichkeit bei Zustand des Systems ξ fuer dieObservable a einen Wert im Interval I zu messen ist gegebendurch 〈ξ, 1I(a)ξ〉. (Dabei ist die Anwendung der charakteri-stischen Funktion von I auf den Operator a, gegeben durch1I(a), in geeigneter Weise zu definieren. Das wird durch einentiefen Satz (Spektralsatz) geloest.)• Die Zeitentwicklung des Systems wird durch die Schroedinger-

gleichung beschrieben.

Nichtkommutative Geometrie und TopologieEs zeigt sich, dass wesentliche Zuege der Topologie (bzw. Geometrie)eines kompakten Raumes X (bzw. einer Mannigfaltigkeit M) durch diekommutative Algebra A = C(X) (bzw. C∞(M)) beschrieben werdenkoennen:

Der Raum X. Jedes x ∈ X liefert ein lineares multiplikatives Funktio-nal

δx : A −→ C, δx(f) = f(x).

Es zeigt sich (Gelfandtheorie), dass auch die Umkehrung gilt. Damitkann also der Raum X aus der Algebra A zurueckgewonnen werden.

Maße auf X. Jedes Mass µ auf X liefert ein positives Funktional

A −→ C, f 7→∫fdµ.

Es zeigt sich (Rieszscher Darstellungssatz), dass auch die Umkehrunggilt.

Zusammenhangskomponenten von X. Ist C eine Zusammenhangskom-ponenten von X, so gehoert die charakteristische Funktion p = 1C zuA und erfuellt: p = p = p2 und es gibt kein ’kleineres’ p mit dieserEigenschaft. Auch hier gilt eine Umkehrung.

Ausgangspunkt der nichtkommutativen Topologie ist es nun, eine belie-bige nichtkommutative Algebra A zu betrachten und die oben genann-ten algebraischen Charakterisierungen als Definitionen fuer entspre-chende Eigenschaften eines (nichtexistenten) zugrundeliegenden nicht-kommutativen Raumes zu nehmen. So ist dann zum Beispiel die Be-schreibung der positiven Funktionale auf A die Bechreibung der ’Massedes zugrundeliegenden nichtkommutitiven Raumes’.In der nichtkommutativen Geometrie muss dann zusaetzlich noch dieDifferenzierbare Struktur der Mannigfaltigkeit geeignet algebraisch ko-diert werden.

Harmonische AnalysisIn der harmonischen Analysis geht es um die Beschreibung von Grup-pen G und ihrer Darstellungen. Dabei spielt die Faltungsalgebra L1(G)und (im kommutativen Fall) die Fouriertransformation eine Rolle. Es

EINFUHRUNG 7

wird dann insbesondere die Gruppe G mittels der Darstellungen vonL1(G) als Operatoren auf einem Hilbertraum studiert.

KAPITEL 1

Banachalgebren

In diesem Abschnitt lernen wir grundlegende Theorie normierter Alge-bren kennen.

1. Grundlagen

Wir beginnen mit dem Konzept von Algebra.

Definition (Algebra). Eine Algebra A ist ein Vektorraum (ueber C)mit einer Multiplikation

A× A −→ A, (x, y) 7→ xy,

so dass gilt:

• a(bc) = (ab)c (Assoziativitaet)• a(b+ c) = ab+ ac (a+ b)c = ac+ bc (Distributivitaet)• und α(ab) = (αa)b = a(αb) (Vertraeglichkeit mit skalarer Mul-

tiplikation)

fuer alle a, b, c ∈ A und α ∈ C.Es heißt A eine Algebra mit Eins, wenn ein e ∈ A existiert mit

• ae = ea = a fuer alle a ∈ A.

Dann wird e als Eins bezeichnet.

Bemerkung. Wenn eine Eins existiert, ist sie eindeutig (klar!).

Definition (Banachalgebra). Eine Algebra A heissst normierte Alge-bra, wenn (A, ‖ · ‖) ein normierter Raum ist und

‖ab‖ ≤ ‖a‖‖b‖sowie (falls A ein Eins hat)

‖e‖ = 1

gilt. Eine Banachalgebra ist eine vollstaendige normierte Algebra.

Bemerkung. Auf einer normierten Algebra ist die Multiplikation A×A −→ A eine stetige Abbildung. (klar!).

Beispiele von Banachalgebren.

Die komplexen Zahlen: C = komplexe Zahlen mit dem Betrag ‖z‖ :=|z| und der ueblichen Eins.

Algebren von stetigen Funktionen:

9

10 1. BANACHALGEBREN

• Sei X kompakt, C(X) := stetige Funktionen auf X mit derSupremumnorm und der Eins f ≡ 1.• Sei X lokal kompakt, Cb(X) = beschraenkte Funktionen aufX mit der Supremumnorm und der Eins e ≡ 1.• Sei X lokal kompakt und nicht kompakt, C0(X) := {f ∈Cb(X) : ...} mit der Supremumnorm. Diese Algebra hat keineEins (da X nicht kompakt ist).Wir setzen allgemein C0(X) = C(X) falls X kompakt ist.Dann hat C0(X) eine Eins genau dann wenn X kompakt ist.

Algebren holomorpher Funktionen:Sei D := {z ∈ C : |z| ≤ 1}. Dann ist die Kreisalgebra gegeben durch

{f ∈ C(D) : f holomporph auf D◦}.

Faltungsalgebren auf Gruppen:

• `1(Z) := {ξ : Z −→ C :∑|ξn| <∞} mit der Multiplikation

ξ ∗ η(n) :=∑m∈Z

ξn−mηm =∑

k,l:k+l=n

ξkηl

und der Norm

‖ξ‖1 :=∑|ξn|.

Dann gilt ‖ξ ∗ η‖1 ≤ |ξ‖1‖η‖1 (Nachrechnen). Diese Algebrahat eine Eins gegeben durch die Funktion δ0 mit δ0(n) := δ0,n

(Uebung). Diese Algebra ist kommutativ. (Nachrechnen)• Sei T := {z ∈ C : |z| = 1}. Fuer f, g ∈ C(T) sei

f ∗ g(z) :=

∫ 2π

0

f(ze−iθ)f(eiθ)dθ

und

‖f‖1 :=

∫ 2π

0

|f(eiθ)|dθ.

Dann ist (C(T), ∗, ‖ · ‖) eine normierte kommutative Algebra.(Uebung). Die Vervollstaendigung ist eine Banachalgebra undwird mit (L1(T), ∗, ‖ · ‖) bezeichnet.

← →Ende der 1. Vorlesung • Die vorangegangenen Beispiele sind Spezialfaelle einer allge-

meinen Konstruktion fuer lokal kompakte (abelsche) Gruppen.Dieser Situation widmen wir einen Exkurs A (2. Vorlesung).

Operatoralgebren:

• Sei (B, ‖ · ‖) eine Banachraum und L(B) der Vektorraum derlinearen beschraenkten Operatoren auf B mit der Kompositionals Multiplikation und der Norm

‖a‖ := sup{‖aξ‖ : ξ ∈ B, ‖ξ‖ ≤ 1}.Dann ist L(B) eine Banachalgebra mit der Identitaet als Eins.

1. GRUNDLAGEN 11

Beweis. Wir zeigen:– Produkte und Summen beschraenkter Operatoren sind

beschraenkt. (Das ist einfach und uns schon aus vorigenVorlesungen bekannt.)

– Die Norm ist submultiplikativ. (Das ist einfach und unsschon aus vorigen Vorlesungen bekannt.)

– Es ist L(B) vollstaendig. (Das ist nicht schwer und unsauch schon aus vorigen Vorlesungen bekannt. Tatsaechlichist der Raum der stetigen linearen Abbildungen L(B,C)vollstaendig, wenn C vollstaendig ist. Ein weiteres Bei-spiel dafuer ist der Dualraum L(B,C).)Bemerkung. Ist B = H sogar ein Hilbertraum mit Ska-

larprodukt 〈·, ·〉, so hat L(H) noch eine zusaetzliche Struktur:Zu jedem a ∈ L(H) gibt es ein eindeutiges a∗ mit

〈aξ, η〉 = 〈ξ, a∗η〉

fuer alle ξ, η ∈ H. In diesem Fall gilt

‖aa∗‖ = ‖a‖2

fuer alle a ∈ L(H). (Beweis geben) Dieser Fall wird uns spae-ter noch beschaeftigen. Es handelt sich naemlich um eine C∗-Algebra und jede C∗-Algebra kann man als Unteralgebra derAlgebra der beschraenkten Operatoren auf einem Hilbertraumerhalten.• Sei B eine Banachraum und K(B) ⊂ L(B) die Menge der

kompakten Operatoren auf B mit der induzierten Norm.

Erinnerung. Ein Operator a auf B heißt kompakt, wenndas Bild aB1(0) der Einheitskugel relativ kompakt ist. Ist Bein Hilbertraum, so ist dies aequivalent dazu, dass a schwachkonvergente Folgen auf konvergente Folgen abbildet. Detailsfinden sich in einem Exkurs B (4. Vorlesung)

Dann ist K(B) eine Banachalgebra.

Beweis: Wir muessen zeigen:– Summe kompakter Operatoren ist kompakt. ((a+ b)B1(0) ⊂aB1(0) + bB1(0) kompakt.)

– Produkt kompakter Operatoren ist kompakt. ( abB1(0) ⊂abB1(0) kompakt).

– K(B) ist vollstaendig. (Sei (an) eine Folge kompakter Ope-ratoren mit ‖an − a‖ → 0. Wir muessen zeigen, dass akompakt ist. Dazu reicht es zu zeigen, dass aB1(0) totalbeschraenkt ist. Sei also ε > 0 beliebig gegeben.Dann existiert eine natuerliche Zahl N mit

‖aN − a‖ < ε/2.


Da aN kompakt ist, existieren weiterhin ξ1, . . . , ξm in Bmit

aNB1(0) ⊂m⋃j=1

Bε/2(xj).

Damit folgt dann insgesamt

aB1(0) ⊂m⋃j=1

Bε(xj)

und das liefert die gewuenschte Totalbschraenktheit.)Es hat K(B) eine Eins genau dann, wenn B endlichdimen-

sional ist (Uebung).• Einen Spezialfall der beiden vorigen Beispiele erhaelt man fuerB = Cn. Dann ist

L(Cn) = K(Cn) 'Mn×n(C) := n× n Matrizen.

Definition (Ideal). Sei A eine Algebra und B ein Unterraum von A.Dann heißt B ein Ideal in A, wenn gilt

• ba ∈ B und ab ∈ Bfuer alle a ∈ A und b ∈ B.

Bemerkung. Jedes Ideal ist auch eine Algebra.

Beispiele.

• Sei X kompakt und U ⊂ X offen. Dann ist C0(U) = {f ∈C(X) : f ≡ 0 auf X \ U} ⊂ C(X) ein Ideal in C(X).• Sei B ein Banachraum. Dann ist K(B) ein Ideal in L(B).

(Denn: Sei a kompakt und b beschraenkt. Dann ist

abB1(0) ⊂ a(bB1(0)) ⊂ aB‖b‖(0) = ‖b‖aB1(0)

kompakt als Bild einer kompakten Menge unter der stetigenMultiplikation mit ‖b‖. Ebenso ist

baB1(0) ⊂ b(aB1(0)) ⊂ baB1(0) = baB1(0)

kompakt als Bild einer kompakten Menge unter dem stetigenb. )

2. Invertierbare Elemente in einer Banchalgebra

In diesem Abschnitt sei stets A eine Banachalgebra mit Eins.

Definition. Ein Element a ∈ A heißt invertierbar, wenn es ein b ∈ Agibt mit

ab = ba = e.

Dann heißt b zu a invers. Die Menge aller invertierbaren Elemente inA wird mit Gl(A) bezeichnet.

2. INVERTIERBARE ELEMENTE IN EINER BANCHALGEBRA 13

Bemerkung. Wenn es existiert, ist das Inverse eines Elementes eindeu-tig bestimmt. Tatsaechlich gilt sogar: Existiert ein Linskinverses undein Rechtsinverses, so sind diese gleich. (vgl. Uebung. Denn: ar = e =la. Dann gilt l = le = l(ar) = (la)r = er = r.)

Behauptung. Die Menge Gl(A) ist eine Gruppe bzgl der Multiplika-tion.Beweis. Nach Definition ist die Multiplikation assoziativ. Offenbar istdie Identitaet ein neutrales Element und die Bildung des Inversen eineInversion. Es bleibt zu zeigen, dass das Produkt von zwei invertierbarenElementen wieder invertierbar ist. Das ist klar. �

Beispiele.

• A = Mn×n(C) : Gl(A) = GL(n,C) = {a ∈ Mn×n(C) : det a 6=0}. (Von diesem Beispiel kommt die Bezeichnung.)• A = L(B): Gl(A) = {a ∈ L(B) : a ist bijektiv}. (Nutzt Satz

von der stetigen Inversen).• A = C(X): Gl(A) = {f ∈ C(X) : f verschwindet nirgends}.• A = `1(Z):Gl(A)

!= {x ∈ `1(Z) : ξ verschwindet nirgends auf T},

wobei ξ(z) =∑ξnz

n. Das ist Gelfands Version von WienersTheorem (s.u.).

Bemerkung. In A = Mn×n(C) sind die folgenden Eigenschaften ae-quivalent:

• a ist invertierbar.• es gibt ein b mit ab = 1 (Surjektiv - Existenz eines Rechtsin-

versen)• es gibt ein b mit ba = 1 (Injektiv - Existenz eines Linksinver-

sen)• es ist 0 keine Eigenwert von a.

Im Falle von Operatoren auf unendlich dimensionalen Raume ist dasim allgemeinen falsch. Zum Beispiel gibt es a, b ∈ L(`2(N)) mit ab = eund a, b sind nicht invertierbar. (Uebung. Hinweis betrachte den ShiftS : δj 7→ δj+1.

Grundlegend fuer die weitere Untersuchung von Invertierbarkeit ist dasfolgende Lemma.

Lemma (Neumann Reihe). Sei a ∈ A mit lim supn→∞ ‖an‖1/n < 1gegeben. Dann ist e− a invertierbar und es gilt

(e− a)−1 =∞∑n=0

an,

wobei die Reihe absolut konvergiert. Insbesondere ist (e− a) invertier-bar, wenn ‖a‖ < 1 gilt.


(Hier: a0 = e.)← →Ende der 3. Vorlesung Bemerkung.

• Geometrische Reihe zur Invertierung von 1− q.• Die Vollstaendigkeit von A liefert Existenz der Summe.• Falls lim supn→∞ ‖an‖1/n < 1 ist auch (e+ a) invertierbar und

es gilt (e+ a)−1 =∑∞

k=0(−a)n.• Die Eins e ist immer invertierbar. In diesem Sinne handelt es

sich um ein Stabilitaetsresultat.

Beweis. Die Ungleichung lim supn→∞ ‖an‖1/n < 1 liefert (nach demWurzelkriterium) absolute Konvergenz der Reihe, d.h.

∞∑n=0

‖an‖ <∞.

Da A eine Banachalgebra ist, existiert dann

∞∑n=0

an = limN→∞

N∑n=0

an.

(Aus absoluter Konvergenz der Reihe folgt Konvergenz wie in AnalysisI fuer Reihen ueber C.) Dann gilt aber

(e− a)∞∑n=0

an =∞∑n=0

an −∞∑n=1

an = a0 = e

und analog

(∞∑n=0

an)(e− a) = . . . = a0 = e.

Zur letzten Aussage: Das folgt aus ‖an‖ ≤ ‖a‖n. �

Theorem (Topologische Eigenschaften von Gl(A) und der Inversion).Die Menge Gl(A) ist offen und die Abbildung Gl(A) −→ Gl(A), a 7→a−1 ist stetig.

Beweis. Sei a ∈ Gl(A) gegeben. Sei b ∈ A nahe an a d.h. ‖b−a‖ klein.Zu zeigen: b−1 existiert und b−1 − a−1 ist klein.

Wir fassen b als Stoerung von a auf und rechnen:

b = b− a+ a

= a+ (b− a)

= (e+ (b− a)a−1)a

2. INVERTIERBARE ELEMENTE IN EINER BANCHALGEBRA 15

Fuer b mit ‖b − a‖‖a−1‖ < 1 d.h. ‖b − a‖ < 1‖a−1‖ gilt dann mit der

Neumann Reihe also, dass b−1 existiert und

b−1 = a−1

∞∑n=0

(−(b− a)a−1)n.

Damit folgt

(∇) b−1−a−1 = a−1

∞∑n=1

(−(b−a)a−1)n = −a−1(b−a)a−1+Terme hoeherer Ord. in (b-a).

Damit folgt

‖b−1 − a−1‖ ≤ ‖a−1‖‖b− a‖‖a−1‖∞∑n=0

(‖b− a‖‖a−1‖)n

≤ ‖b− a‖‖a−1‖2 1

1− ‖b− a‖‖a−1‖.

Das liefert die gewuenschte Stetigkeit. �

Bemerkung. Der Beweis und insbesondere der zweite Teil von (∇)zeigt, dass die Inversion

Inv : Gl(A) −→ Gl(A), b 7→ b−1,

an jedem Punkt a differenzierbar ist mit Ableitung

DaInv : A −→ A, x 7→ −a−1xa−1,

d.h. es gilt

1

‖b− a‖‖Inv(b)− Inv(a)−DaInv(b− a)‖ → 0, b→ a.

Korollar. Es ist Gl(A) eine topologische Gruppe d.h. Multiplikationund Inversion sind stetig.

Beweis. Gruppe: s.o.Multiplikation stetig: s.o.Inversion stetig: siehe Theorem. �

Bemerkung. Die Zusammenhangseigenschaften von Gl(A) sind ein in-teressanter Forschungsgegenstand: Nach dem Theorem hat jeder Punkta eine Umgebung naemlich U = {b : ‖b − a‖ 1

‖a−1‖ < 1}, deren Punkte

durch den Weg mit γ : [0, 1] −→ U, t 7→ a+ t(b− a) verbunden werdenkoennen. Damit ist also Gl(A) lokal wegweise zusammenhaengend. Da-mit sind die Zusammenhangskomponenten gerade die Wegzusammen-hangskomponenten.(Bew: Cx = Wegzusammenhangskomponente von x ist offen, abgschlos-sen und zusammenhaengend. )


Insbesondere sind die Zusammenhangskomponenten also offen und ab-geschlossen. (Ueblicherweise ’nur’ abgeschlossen.) Nach der Theorie vontopologischen Gruppen ist dann also

Gl(A)0 := Zusammenhangskomponente von e

eine normale, offene und abgeschlossene Untergruppe.(Bew: Offen:klar.Normal: xGl(A)0 ist offen und abgeschlossen und wegzusammenhaen-gend und enthaelt x. Damit handelt es sich bei xGl(A)0 um die Weg-zusammenhangskomponente von x. Ebenso ist auch Gl(A)0x die Weg-zusammenhangskomponenten von x.)Damit koennen wir die Quotientengruppe Gl(A)/Gl(A)0 bilden.Welche Eigenschaften von A kann man an dieser Gruppe ablesen? Wasgilt, wenn A = C(X) ist?

Uebungsaufgaben.

• Sind a, b Element einer Banachalgebra mit Eins und sind abund ba inverierbar, so sind auch a und b invertierbar.

3. Spektrum und Resolvente

Sei weiterhin A eine Banachalgebra mit Eins. Wir schreiben

λ− a := λe− a.

Definition. (Spektrum und Resolvente) Sei a ∈ A gegeben. Dannheißt die Menge

σ(a) := σA(a) := {λ ∈ C : λe− a /∈ Gl(A)}das Spektrum von a. Das Komplement ρ(a) := C \ σ(a) heißt die Re-solventenmenge von a. Die Funktion

C ⊃ ρ(a) −→ Gl(A), λ 7→ (λ− a)−1

heißt die Resolvente von a.

Aus den Betrachtungen des vorigen Abschnittes ergibt sich sofort.

Proposition. Das Spektrum ist abgeschlossen und die Resolventen-menge ist offen und die Resolvente ist stetig.

Beweis. Betrachte L : C −→ A, λ 7→ λe− a. Dann ist L stetig. Damitfolgt aus der Offenheit von Gl(A) also die Offenheit von

ρ(a) = L−1(Gl(A)).

Das beendet den Beweis. �

Beispiele.Stetige Funktionen auf einem kompakten Raum C(X):

σ(f) = {λ ∈ C : λ− f verschwindet irgendwo}= {f(x) : x ∈ X} = f(X).

3. SPEKTRUM UND RESOLVENTE 17

Operatoren auf einem endlichdimensionalen Raum Mn×n(C):

σ(a) = {λ ∈ C : det(λ− A) = 0} = {Eigenwerte von a}.

Die Faltungsalgebra `1(Z):

σ(ξ)!

= ξ(T), wobei ξ(z) =∑n∈Z

ξnzn.

(Beweis spaeter.)

Bemerkungen.

• Das Konzept des Spektrum verallgemeinert sowohl das Kon-zept der Eigenwerte einer Matrix (’nichtkommutative Algebe-ra’) als auch das Konzept der Werte einer Funktion (’kommu-tative Algebra’).• In der klassischen Mechanik sind die moeglichen Ergebnisse

von Messungen gerade durch die Funktionswerte der Obser-vablenfunktionen gegeben. In Quantenmechanik erscheint dasSpektrum eines Operators (d.h. die verallgemeinerten Eigen-werte) als die moeglichen Ergebnisse von Messungen der zu-gehoerigen Obervablen. Das entspricht gerade dem Uebergangvom Spektrum einer kommutativen Algebra zum Spektrum innichtkommutativen Algebren.• Zur Bezeichung ’Spektrum’: In Optik, Akustik und harmo-

nischer Analysis ist es ueblich Objekte in Eigenfuktionen (=Wellen) zu Eigenvektoren (= Frequenzen) zu zerlegen. Dasist unter dem Namen Spektralzerlegung oder Frequenzanalysebekannt.• Zur Bezeichnung ’Resolvente’: Ist a ∈ L(b), so ist λ ∈ ρ(a)

genau dann wenn die Gleichung (a − λe)ξ = η fuer alle ηeindeutig aufgeloest ((re)solvere) werden kann.

Theorem (Grundlegende Eigenschaften des Spektrum). Sei a ∈ Agegeben. Dann ist das Spektrum von a nichtleer und kompakt. Die Re-solvente ρ(a) −→ A, λ 7→ (λe− a)−1, ist analytisch (d.h. kann lokal ineiner normkonvergente Potenzreiche entwickelt werden).

Beweis. Resolvente ist analytisch. Sei λ ∈ ρ(a) und µ nahe an ρ(a).Dann gehoert µ zu ρ(a) (da ρ(a) offen ist, s.o.). Wir koennen dannµ− a als Stoerung von λ− a auffassen gemaess:

µ− a = λ− a+ µ− λ = (e+ (µ− λ)(λ− a)−1)(λ− a).

Fuer |µ− λ|‖(λ− a)−1‖ < 1 gilt dann nach Neumanscher Reihe (s.o.)also

(µ− a)−1 =∞∑n=0

(µ− λ)n(−1)n(λ− a)−n−1. (∗)

Das ist die gewuenschte normkonvergente Potenzreihe (um λ).


σ(a) ist kompakt. Da σ(a) abgeschlossen ist (s.o.), reicht es zu zeigen,dass σ(a) beschraenkt ist. Dazu betrachten wir λ− a fuer grosse λ:

λ− a = λ(e− 1

λa).

Nun ist λ und nach Neumannscher Reihe auch e− 1λa invertierbar fuer

|λ| > ‖a‖. Damit gilt also σ(a) ⊂ B(0, ‖a‖) und fuer λ ∈ C \B(0, ‖a‖)gilt nach Neumanscher Reihe

(λ− a)−1 =1

λ

∞∑n=0

(1

λa)n. (∗∗)

Das ist eine normkonvergente Potentzreihe (um ∞).

σ(a) ist nicht leer. Angenommen: σ(a) = ∅. Dann ist λ 7→ (λ − a)−1

auf ganz C analytisch. Damit ist dann nach (∗) also

C −→ C, λ 7→ φ((λ− a)−1),

analytisch d.h. holomorph fuer jedes stetige lineare φ auf A. Weiterhingilt nach (∗∗)

φ((λ− a)−1) = φ(1

λ

∑(1

λa)n)

=1

λ

∑ 1

λnφ(an).

Mit |φ(an)| ≤ ‖φ‖‖a‖n folgt dann

|φ((λ− a)−1)| ≤ 1

|λ|‖φ‖ 1

1− ‖a‖|λ|→ 0, |λ| → ∞.

Mit dem Satz von Liouville folgt dann

φ((λ− a)−1) ≡ 0.

Da φ ein beliebiges stetiges Funktional auf A war, folgt aus dem Satzvon Hahn-Banach also

(λ− a)−1 = 0

fuer jedes λ ∈ C. Widerspruch zu (λ− a)(λ− a)−1 = e 6= 0. �

Bemerkung.

• Es werden Potenzreichenentwicklungen bei λ und bei ∞ ge-nutzt.• Es handelt sich um ein Resultat ’ueber C’. Das ist kein Zufall:

Ueber R ist ein entsprechendes Resultat schon fuer Matrizenfalsch (so hat eine nichttriviale Drehung ueber R2 keinen reel-len Eigenvektor).


• Der Beweis nutzt wesentliche Funktionentheorie (Satz von Lious-ville). Schon fuer Matrizen nutzt man fuer den Beweis der Exi-tenz von Eigenwerten (ueber C) Funktionentheorie in Form desFundamentalsatzes der Algebra. Diesen kann man wiederummittels des Satz von Liouville beweisen.

Folgerung. (Theorem von Gelfand-Mazur) Sei A eine Banachalgebramit Eins, in der jedes Element, das nicht Null ist, invertierbar ist. Dannist

C −→ A, λ 7→ λe,

ein Isomorphismus (d.h. A ' C).

Beweis. Sei a ∈ A beliebig. Dann ist nach vorigem Satz σ(a) nichtleer. Damit existiert also ein λ ∈ C so dass a − λe nicht invertierbarist. Damit folgt a = λe aus der Voraussetzung an A. �

Wir koennen noch mehr ueber den Ort des Spektrums sagen. Dazunoch eine kleine Vorbereitung (die nichts mit Spektraltheorie zu tunhat).

Proposition. Sei α : N −→ [0,∞) submultiplikativ d.h. αn+m ≤αnαm fuer alle n,m ∈ N). Dann gilt

limn→∞

α1/nn = inf

n∈Nα1/nn .

Insbesondere existiert also der Grenzwert limα1/nn .

Bemerkung. Die Aussage der Proposition laesst sich auch aquiva-lent als Aussage ueber subadditive Funktionen fassen in der folgendenForm: Ist β : N −→ R subadditiv (d.h. βn+m ≤ βn + βm), so folgt Exi-stenz von limn→∞

1nβn = infn∈N

1nβn. (Bew. Setze αn := eβn und wende

Proposition an. Setze βn := logαn und wende Aussage zu βn an.)

Beweis. Ist αk = 0 fuer ein k ∈ N, so gilt 0 ≤ αk+n ≤ αkαn = 0 fueralle l ≥ 0. Damit folgt die Aussage.

Wir betrachten nun den Fall, dass αk 6= 0 fuer jedes k ∈ N. Offenbargilt:

inf α1/nn ≤ lim inf

n→∞α1/nn ≤ lim sup

n→∞α1/nn .

Es reicht also zu zeigen

lim supn→∞

α1/nn ≤ s

fuer jedes s > infn α1/nn . Waehle solch ein α. Dann existiert ein m ∈ N

mit

α1/mm < s.

Sei nun n ∈ N beliebig (und gross). Dann gilt

n = km+ r mit k ∈ N und r ∈ Nm mit 0 ≤ r < m.


Aufgrund der Submultiplikativitaet gilt dann

αn ≤ αkmαr

und damitα1/nn ≤ αk/nm α1/n

r .

Es gilt:

- α1/nr → 1, n→∞ (da es nur endlich viele 0 ≤ r < m gibt undαr > 0.

- αk/nm → α

1/mm (wegen k/n = k/(km+ r) = ...).

Damit folgt alsolim supn→∞

α1/nn ≤ α1/m

m < s.

�

Korollar. Sei A eine normierte Algebra. Fuer jedes a ∈ A existiertlimn→∞ ‖an‖1/n.

Beweis. Es ist αn := ‖an‖ submultiplikativ. �

Bemerkung. Keine Vollstaendigkeit der Algebra noetig.

Definition. Sei A eine normierte Algebra. Sei a ∈ A. Dann heißtr(a) := limn→∞ ‖an‖1/n der Spektralradius von a.

Wir kommen nun zum Satz ueber den Ort des Spektrums.

Theorem. (Ort des Spektrum) Sei A eine Banachalgebra mit Eins unda ∈ A beliebig. Dann gilt

max{|λ| : λ ∈ σ(a)} = r(a).

Bemerkung. (a) Es ist also r(a) minimal, so dass σ(a) in Br(0) ent-halten ist. Daher kommt der Name Spektralradius.

(b) Es handelt sich um eine bemerkenswerte Gleichung: Linke Seite :Algebra (Invertierbarkeit). Rechte Seite: Topologie (Norm).

Beweis. Das Spektrum ist kompakt und die Betragsfunktion ist stetig.Daher existiert das Maximum.

Jedes λ ∈ C mit |λ| > r(a) gehoert zur Resolvente. Das folgt direkt ausder Neumannschen Reihe

λ− a = λ(e− 1

λa).

In diesem Fall gilt

λ− a =∞∑k=0

λ−k−1ak.

Jedes r > max{|λ| : λ ∈ σ(a)} erfuellt r ≥ r(a). Sei φ ein beliebigeslineares stetiges Funktional auf A. Dann ist die Abbildung

λ 7→ φ(λn(λ− a)−1)


holomorph ausserhalb von σ(a). Damit existiert also∫|λ|=r

φ(λn(λ− a)−1)dλ

und es gilt∫|λ|=r

φ(λn(λ− a)−1)dλ =

∫|λ|=‖a‖+1


Neumann Reihe =

∫|λ|=‖a‖+1

φ(∞∑k=0

λn−k−1ak)dλ

Glm. Konv. da |λ| = ‖a‖+ 1 =∞∑k=0

φ(ak)

∫|λ|=‖a‖+1

λn−k−1dλ

=∞∑k=0

2πiδn−kφ(ak)

= 2πiφ(an).

(Es gilt also im schwachen Sinne die aus der Funktionentheorie ver-traute Formel ∫

f(λ)

λ− adλ = 2πif(a)

fuer f(λ)λn. Das laesst sich noch verallgemeinern −−− > holomorpherFunktionalkalkuel.) Damit folgt also mit dem Satz von Hahn-Banach

‖an‖ = sup‖φ‖=1

|φ(an)|

=1

2πsup‖φ‖=1

∣∣∣∣∫|λ|=r


∣∣∣∣≤ 1

2πsup‖φ‖=1

∫| . . . |dλ

≤ 1

2πsup ‖φ‖

∫‖λ|=r

|λn|‖(λ− a)−1‖dλ

= rrn sup|λ|=r‖(λ− a)−1‖.

Damit folgt

‖an‖1/n ≤ rr1/nC1/n.

Das liefert die gewuenschte Aussage. �

Uebungsaufgaben

• Resolventenformel• Sind a, b Element einer Banachalgebra mit Eins, so gilt σ(ab)\{0} = σ(ba) \ {0}.


4. Banachalgebren ohne Eins

Nicht alle Banachalgebren haben eine Eins. Es ist aber immer moeglicheine Eins zu adjungieren. Formal wird dabei zur Banachalgebra A dasElement e zugefuegt und man rechnet auf der Menge der Linearkom-binationen a+ λe, a ∈ A, λ ∈ C, wie folgt

(a+ λe)(b+ µe) = ab+ µa+ λb+ λµe.

Um Details geht es in diesem Abschnitt.

Proposition. (+ Definition + Uebung) Sei A eine Banachalgebraohne Eins. Dann ist der der Produktvektroraum

A1 := A× C := {(a, λ) : a ∈ A, λ ∈ C}versehen mit der Norm

‖(a, λ)‖ := ‖a‖+ |λ|und der Multiplikation

(a, λ)(b, µ) = (ab+ λb+ µa, λµ)

eine Banachalgebra mit der Eins e = (0, 1). Die Abbildung

j : A −→ A1, a 7→ (a, 0),

ist ein isometrischer Algebrenhomomorphismus.

Beweis. Es ist einiges zu zeigen. Aber das ist einfach.... �

Bemerkung.

• Das Bild von A in A1 ist eine Ideal (Uebung).• Es ist A1 universell (minimal) in folgendem Sinne. Ist B eine

beliebige Banachalgebra mit Eins und einer injektiven stetigenAbbildung i : A −→ B, so existiert eine eindeutige stetigeAbbildung h : A1 −→ B mit h◦j = i und h(e) = eB. (Uebung)

Beispiele.C0(R) oder allgemeiner C0(X) mit X lokalkompakt aber nicht kompakt.Es handelt sich um eine Algebra ohne Eins (klar!). Es ist

C0(X)1 ' Lin{1, C0(X))} ⊂ Cb(R),

(wobei die Norm etwas verschieden ist).Bew. Offenbar ist die Abbildung (f, λ) 7→ λ1 + f ein surjektiver Alge-brenhomomorphismus. Es bleibt die Injektivitaet zu zeigen. Aus g =λ1 + f laesst sich λ wiedergewinnen als Grenzwert der Funktion g fuergrosse x.

← →Ende der Vorlesung Kompakte Operatoren auf unendlichdimensionalem Hilbertraum K(H).

Es handelt sich um eine Algebra ohne Eins. (Als Eins kommt nur die

4. BANACHALGEBREN OHNE EINS 23

Identitat auf H in Frage; Diese ist nicht kompakt, wie Anwenden aufOrthonormalbasis zeigt. ) Es ist

K1 ' Lin{1,K} ⊂ L(H),

(wobei die Normen etwas verschieden sind).Bew. Ist b = λ1 + a mit kompaktem a, so gilt mit einem beliebigenOrthonormalsystem (en)

λ = limn→∞〈ben, en〉.

Damit kann man λ (und dann im naechsten Schritt auch a) wiederge-winnnen.

Die Faltungsalgebra L1(R). Es handelt sich um eine Algebra ohne Eins.(Waehle approximative Eins δn. Zeige δn ∗ g → g fuer alle g ∈ L1. Seinun f eine Eins. Dann gilt δn = f ∗ δn → f . Das ist ein Widerspruch.)Es laesst sich L1(R) als Teil der Algebra M1(R) der Maße mit endlicherGesamtmasse auffassen. Dann gilt

L1(R)1 ' Lin{δ0, L1(R)}.

Bew. Betrachte die Fouriertransformation: F (λδ0 + f)(x) → λ fuerx→∞.

Definition. Fuer eine Banachalgebra A definieren wir die Algebra A

als A = A falls A eine Eins hat und als A = A1 falls A keine Eins hat.Wir setzen dann

σ(a) := σA(a).

Proposition. Sei A eine Banachalgebra. Dann sind aequivalent:

(i) A hat keine Eins.(ii) Es gilt 0 ∈ σ(a) fuer jedes a ∈ A.

Beweis. (ii)=⇒ (i): Wenn A eine Eins e enthaelt, so gilt 0 /∈ σ(e).

(i)=⇒ (ii): Gaebe es ein a ∈ A mit 0 /∈ σ(a), so waere a invertierbar.Damit folgt also

(a, 0)(b, µ) = (0, 1).

Das ist ein Widerspruch. �

Bemerkenswerterweise kann man das Spektrum eines Elements bestim-men, ohne die Algebra verlassen zu muessen.

Proposition (Adverse). Sei A eine Banachalgebra ohne Eins. Dannsind aequivalent:

(i) Es ist a− e invertierbar.(ii) Es gibt ein b ∈ A mit a+ b− ab = a+ b− ba = 0.

In diesem Fall ist b eindeutig und heißt das Adverse zu a.


Beweis. Invertierbarkeit von a− e bedeutet Existenz eines (b, µ) mit

(b, µ)(a, 0) = (0, 1) = (a, 0)(b, µ)

also(ab+ µa− b,−µ) = (0, 1) = (ba+ µa− b,−µ).

Das ist aequivalent zu Existenz eines b ∈ A mit

ab− a− b = 0 = ba− a− b.Das beendet den Beweis. �

Theorem (Spektrum von a in einer Banachalgebra ohne Eins). Sei Aeine Banachalgebra ohne Eins. Dann gilt:

σ(a) = {0} ∪ {λ 6= 0 :1

λa hat keine Adverse}.

Beweis. Das folgt sofort aus der vorigen Proposition. �

5. Involutive-Algebren

In diesem Abschnitt fuehren wir eine spezielle Klasse von Banachalge-bren ein. Diese werden wir spaeter ausfuehrlich untersuchen.

Definition (Involution). Sei A eine Algebra. Eine Abbildung

∗ : A −→ A, a 7→ a∗,

heißt Involution, wenn gilt

• (a+ µb)∗ = a∗ + µb∗,• (ab)∗ = b∗a∗,• (a∗)∗ = a,

fuer alle a, b ∈ A und µ ∈ C. Eine Involution in einer normiertenAlgebra heißt isometrisch, wenn gilt

• ‖a∗‖ = ‖a‖fuer alle a ∈ A.

Beispiele.Die komplexen Zahlen mit komplexer Konjugation. Diese Involution istisometrisch.

(Die folgenden drei Beispiele verallgemeinern das erste Beispiel ;-)

Die stetigen Funktionen C(X) auf einer kompakten Menge X. Es istf 7→ f eine Involution. Diese Involution ist isometrisch.Die n × n Matrizen Mn×n(C) ueber C. Es ist a 7→ at eine Involution.Diese Involution ist isometrisch (siehe naechstes Beispiel fuer einenBeweis).

Beschraenkte Operatoren auf einem Hilbertraum. Die uebliche Adjung-tion ist eine Involution. Diese Involution ist isometrisch. Denn

‖a∗‖ = sup{|〈a∗ξ, η〉| : ‖ξ‖, ‖η‖ ≤ 1} = ‖a‖.

6. C∗-ALGEBREN 25

Faltungsalgebra `1(Z). Die Abbildung ∗ mit f ∗(n) = f(−n) ist eineisometrische Involution (Klar!).

Definition (Normale, unitaere und selbstadjungierte Elemente). SeiA eine involutive Algebra. Ein a ∈ A heißt normal, wenn gilt

a∗a = aa∗.

Ein a ∈ A heißt selbstadjungiert, wenn gilt a = a∗; es heißt unitaer,wenn gilt a∗ = a−1.

Bemerkung. (a) Unitaere und selbstadjungierte Elemente sind immerauch normal.(b) Ist a normal in A, so ist die von a und a∗ erzeugte Algebra kom-mutativ.(c) In jeder involutiven Algebra sind a∗a und aa∗ selbstadjungiert.(d) (Zerlegung in Real- und Imaginaerteil) In jeder involutiven Algebrakann man zu einem beliebigen Element a den Realteil <(a) := 1

2(a+a∗∗)

und den Imaginaerteil =(a) := 12i

(a − a∗) von a bilden und diese sindselbstadjungiert mit

a = <(a) + i=(a).

(e) (Polarzerlegung - keine Details) Erlaubt eine involutive Algebra dasBilden geeigneter Wurzeln, so kann man auch ein beliebiges a schreibenals a = ru mit sebstadjungiertem r = (aa∗)1/2 und einer partiellenIsometrie u.

← →Ende der Vorlesung

6. C∗-Algebren

Lemma (Einfach Eigenschaften). Sei A eine normierte Algebra miteiner Involution. Dann sind aequivalent:

(i) Es gilt ‖a‖2 ≤ ‖a∗a‖2 fuer alle a ∈ A.(ii) Es gilt ‖a‖2 = ‖a∗a‖ fuer alle a ∈ A.

(iii) Es gilt ‖a‖2 = ‖a∗‖2 = ‖a∗a‖ = ‖aa∗‖ also insbesondere ‖a‖ =‖a∗‖.

Beweis. (iii)=⇒ (ii) =⇒ (i): Klar.

Es ist (i) =⇒ (iii) zu zeigen. Nach (i) und der Normeigenschaft gilt

‖a‖2 ≤ ‖a∗a‖ ≤ ‖a∗‖‖a‖.Damit folgt

‖a‖ ≤ ‖a∗‖fuer alle a ∈ A. Damit folgt (durch Ersetzen von a durch a∗), dannsofort

‖a‖ = ‖a∗‖fuer alle a ∈ A. Damit folgt

‖a‖2 ≤ ‖a∗a‖ ≤ ‖a∗‖‖a‖ = ‖a‖2


also‖a‖2 = ‖a∗a‖.

Zusammennehmen der bisher bewiesenen Aussage liefert auch noch‖a‖2 = ‖a∗‖2 = ‖aa∗‖. �

Definition. (C∗-Algebra). Eine C∗-Algebra ist eine Banachalgebramit einer Involution, so dass gilt

‖a‖2 = ‖a∗a‖fuer alle a ∈ A.

Bemerkung. (a) Die Forderung verknuepft Algebra und Topologie!(b) In einer C∗-Algebra gilt immer ‖a‖2 = ‖a∗‖2 = ‖a∗a‖ = ‖aa∗‖.

Beispiele.Die komplexen Zahlen mit Betrag und komplexer Konjugation.

Die stetigen Funktionen auf einer kompakten Menge mit Konjugation.Mn×n(C) mit Adjunktion (fuer einen Beweis siehe naechtes Beispiel).

L(H) beschraenkte Operatoren auf einem Hilbertraum. Mit der uebli-chen Involution handelt es sich um eine C∗-Algebra. Denn

‖a∗a‖ = sup{‖a∗aξ‖ : ‖xi‖ ≤ 1}≥ sup{〈ξ, a∗aξ〉 : ‖ξ‖ ≤ 1}= sup{‖aξ‖2 : ‖ξ‖ ≤ 1}= ‖a‖2.

Das liefert die Aussage.

Gegenbeispiel. Es ist `1(Z) mit oben eingefuehrter Involution keineC∗-Algebra. (Uebung).

Proposition. Sei A eine C∗-Algebra mit Eins.(a) Ist u ∈ A unitaer, so gilt σ(u) ⊂ T.(b) Ist a ∈ A selbstadjungiert, so gilt σ(a) ∈ R.

Beweis. (a) Wegen 1 = ‖e‖ = ‖u∗u‖ = ‖u‖2 = ‖u∗‖2 und u∗ = u−1

folgt ‖u‖ = ‖u−1‖ = 1. Damit folgt

σ(u) ⊂ B1(0) und σ(u−1) ⊂ B1(0).

Wegen λ ∈ σ(u)⇐⇒ λ−1 ∈ σ(u−1) (Check!) folgt die Behauptung.

(b) Sei a selbstadjungiert. Dann ist eia :=∑∞

k=01n!

(ia)n unitaer. (Zeige

dazu: ea+b = eaeb falls ab = ba sowie (ea)∗ = ea∗.) Damit folgt aus (a)

dannσ(eia) ⊂ T.

Weiterhin gilt fuer λ ∈ σ(a) auch eiλ ∈ σ(eia) (wegen eia − eiλ =(a− λ)

∑(...) =

∑(...)(a− λ)). Damit folgt die Aussage. �

Bemerkung.

6. C∗-ALGEBREN 27

• Die Umkehrung gilt nicht, wie man leicht am Beispiel von ge-eigneten Matrizen sieht. Innerhalb der normalen Operatorengilt aber die Umkehrung (siehe unten).• Im Beweis haben wir fuer beliebige u, a ∈ A gezeigt σ(u−1) =σ(u)−1 und σ(eia) ⊃ eiσ(a).

Das folgende ist eines der fundamentalen Theoreme zu C∗-Algebren.

Theorem (Spektralradius und Norm fuer normale Elemente). Sei Aeine C∗-Algebra mit Eins. Sei a ∈ A normal. Dann gilt ‖a‖ = r(a).

Beweis. Nach dem Satz ueber den Ort des Spektrums gilt

r(a) = limn→∞

‖an‖1/n.

Normalitaet und die C∗-Algebreneigenschaft liefern

‖a(2n)‖ = ‖a‖2n (∗)

fuer jedes n ∈ N (s.u.). Damit folgt die Aussage.

Der Beweis von (∗) wird mit Induktion gefuehrt: Wir verwenden mehr-fach, dass fuer normale a gilt

ak(ak)∗ = ak(a∗)k = (aa∗)k.

n = 0: klar.

n =⇒ n + 1: Wir berechnen das Quadrat der gesuchten Norm unterAusnutzen der C∗-Normeigenschaft

‖a(2n+1)‖2 = ‖a(2n+1)(a(2n+1))∗‖(a normal, (ak)∗ = (a∗)k) = ‖(aa∗)2n(aa∗)2n‖

(C∗-Norm) = ‖(aa∗)(2n)‖2.

Das liefert

‖a(2n+1)‖ = ‖(aa∗)2n‖= ‖a(2n)(a∗)2n‖

(C∗-Norm) = ‖a(2n)‖2

(Induktionannahme) = (‖a‖2n)2

= ‖a‖2n+1

.


Bemerkung. Eventuelle Alternative:- Fuer selbstadjungierte a gilt ‖a2n‖ = ‖a‖2n nach Induktion (wie oben)und damit r(a) = ‖a‖.- Ist b normal so ist bb∗ selbstadjungiert und es folgt

‖b‖2 = ‖b∗b‖ = r(b∗b) ≤ r(b∗)r(b) ≤ ‖b∗‖‖b‖ = ‖b‖2.


Bemerkungen. Fuer nichtnormale Element in einer C∗-Algebra giltdie Aussage im allgemeinen nicht. Betrachte zum Beispiel die 2 × 2Matrix (

0 10 0

). (1)

Dann gilt an = 0 fuer n ≥ 2 also r(a) = 0 aber ‖a‖ = 1.

Das vorangehende Theorem liefert einige Rigiditaetsresultate. So zeigtes, dass die Norm in einer C∗-Algebra komplett durch die algebraischeStruktur bestimmt ist.

Korollar (Algebraische Struktur bestimmt die Norm). Sei A eineinvolutive Algebra mit Eins. Dann gibt es hoechstens eine Norm, die Azu einer C∗-Algebra macht.

Beweis. Sei ‖ · ‖ eine solche Norm. Dann gilt fuer jedes a ∈ A‖a‖2 = ‖a∗a‖ = r(a∗a).

Damit folgt

‖a‖ = r(a∗a)1/2

fuer jedes a ∈ A und die algebraische Struktur bestimmt die Norm. �

Auch liefert es, dass Abbildungen in C∗-Algebren automatisch stetigsind.

Korollar (Automatische Stetigkeit). Sei A eine involutive Banachal-gebra mit Eins und B eine C∗-Algebra mit Eins und φ : A −→ B einHomomorphismus von involutiven Algebren mit Eins. Dann ist φ stetigmit Norm nicht groesser als Eins. Insbesondere sind also Homomor-phismen von C∗-Algebren automatisch stetig.

Beweis. Ist a ∈ A invertierbar (mit Inversem b), so ist offenbar φ(a) inB invertierbar (mit Inversem φ(b)). Daher gilt also σ(φ(a)) ⊂ σ(a) fueralle a ∈ A. Damit koennen wir dann fuer jedes a ∈ A unter Nutzen derNormeigenschaft in C∗-Algebren rechnen

‖φ(a)‖2 = ‖φ(a)φ(a)∗‖= ‖φ(aa∗)‖

(voriges Theorem) = r(φ(aa∗))

= supλ∈σ(φ(aa∗))

|λ|

(Inklusion der Spektren) ≤ supλ∈σ(aa∗)

|λ|

= r(aa∗)

≤ ‖aa∗‖≤ ‖a‖2.


6. C∗-ALGEBREN 29

Zum Abschluss dieses Abschnittes untersuchen wir nun wie man C∗-Algebren ohne Eins mit einer Eins versehen kann.

Theorem. Sei A eine C∗-Algebra ohne Eins. Dann ist A1 := A × Cmit

• (a, λ)(b, µ) = (ab+ λb+ µa, λµ)• (a, λ)∗ = (a∗, λ)• ‖(a, λ)‖ := sup{‖ab+ λb‖ : b ∈ A, ‖b‖ ≤ 1}

eine C∗-Algebra mit Eins e = (0, 1). Die Abbildung j : A −→ A1,a 7→ (a, 0) ist ein isometrischer Algebrenhomomorphismus.

Beweis. Alle Aussagen sind einfach bis auf diejenigen, die die Normbetreffen. Das werden wir jetzt genauer studieren: Definiere dazu dieAbbildung

L : A1 −→ L(A), (a, λ) 7→ L(a,λ),

mit

L(a,λ) : A −→ A, b 7→ ab+ λb(=′ (a+ λe)b′).

Dann ist L linear und es gilt

• L(a,λ)L(b,µ) = L(a,λ)(b,µ) und• ‖(a, λ)‖ = ‖L(a,λ)‖.

Das zeigt sofort, dass ‖ · ‖ eine Halbnorm ist mit

‖xy‖ ≤ ‖x‖‖y‖.

‖ · ‖ ist eine Norm: Zu zeigen ist ‖(a, λ)‖ = 0 =⇒ a = 0, λ = 0. Gilt‖(a, λ)‖ = 0, so folgt

ab+ λb = 0

fuer alle b ∈ A.

Fall 1: λ = 0 Dann gilt also ab = 0 fuer alle b ∈ A. Damit folgt (mitb = a∗)

0 = ‖aa∗‖ = ‖a‖2.

Fall 2: λ 6= 0. Dann gilt also

(−1

λa)b = b

fuer alle b ∈ A. Damit ist eL := − 1λa eine Linkseins in A. Wie man

einfach sieht, ist dann eR := e∗L eine Rechtseins in A. Dann gilt aber

eL = eLeR = eR

und eL ist eine Eins. Widerspruch.← →Ende der Vorlesung


‖ · ‖ ist eine C∗-Norm: Wir rechnen:

‖(a∗, λ)(a, λ)‖ = ‖L(a∗,λ)L(a,λ)‖= sup{‖L(a∗,λ)L(a,λ)b‖ : b ∈ A, ‖b‖ ≤ 1}≥ sup{‖b∗La∗,λ(L(a,λ)b)‖ : b ∈ A, ‖b‖ ≤ 1}= sup{‖L(a,λ)b‖2 : b ∈ A, ‖b‖ ≤ 1}= ‖L(a,λ)‖2

= ‖(a, λ)‖2.

Damit handelt es sich (siehe Lemma) um eine C∗-Norm.

j : A −→ A1, a 7→ (a, 0) ist Isometrie. Es gilt

‖(a, 0)‖ = sup{‖ab‖ : b ∈ A, ‖b‖ ≤ 1} = ‖a‖.

(Hier folgt die letzte Gleichung durch zwei Ungleichungen: ≤ ist klar,und die andere Ungleichung folgt durch Testen mit 1

‖a‖a∗ (falls a 6= 0).

Es ist A1 vollstaendig. Da A vollstaendig ist und j eine Isometrie istj(A) abgeschlossen in A1. Damit ist die Abbildung

p : A1 −→ C, (a, λ) 7→ λ,

stetig (da ihr Kern abgeschlossen ist). Sei nun (an, λn) eine CauchyFolge in A1. Aufgrund der Stetigkeit von p ist dann auch (λn) eineCauchy Folge, also konvergent. Damit ist dann auch (an, 0) = j(an)eine Cauchy-Folge in j(A). Da j eine Isometrie ist, ist also (an) eineCauchy-Folge und also konvergent. Damit folgt die Aussage.

�

Bemerkungen.

• Hat A eine Eins e und fuehrt man obige Konstruktion durch,so ist

J := {x ∈ A1 : ‖x‖ = 0} = {(λe,−λ) : λ ∈ C}

ein Ideal in A1 und es gilt A ' A1/J .• Ist A eine C∗-Algebra ohne Eins, so kann man sowohl die

Banachalgebren-Norm als auch die C∗-Algebrennorm auf A1

betrachten. Dann gilt

‖ · ‖(A1,C∗A) ≤ ‖ · ‖(A1,BA).

Im allgemeinen sind diese Normen nicht gleich. (Frage: Sindsie immer ungleich?).• Die obige Konstruktion verwendet die C∗-Eigenschaft, um si-

cherzustellen, dass ‖ · ‖ nicht ausgeartet ist. Fuer Banachalge-bren wird das im allgemeinen nicht gelten.

Beispiele. (Uebung)

6. C∗-ALGEBREN 31

Stetige Funktionen, die im unendlichen verschwinden - A = C0(R) (all-gemeiner A = C0(X) mit einem lokalkompakten X). Sei 1 die konstanteFunktion mit Wert 1 auf R. Dann ist

A1 ' C0(R) + Lin{1} ⊂ Cb(R), (f, λ) 7→ f + λ1

ein isometrischer Isomorphismus von C∗-Algebren. Mit diesem Beispielsieht man leicht, dass im allgemeinen die Banachalgebrennorm und dieC∗-Norm auf A1 verschieden sind (Uebung).Kompakte Operaratoren - A = K(H), wobei H ein Hilbertraum ist.Dann ist

A1 ' K(h) + Lin{1} ⊂ L(h), (a, λ) 7→ a+ λ1,

ein isometrischer Isomorphismus von C∗-Algebren.

Bemerkung. Spaeter zeigen wir, dass allgemein folgendes gilt: Ist j :A −→ B injektiver Homomorphismus von C∗-Algebren, wobei B eineEins hat, so ist

A1 −→ B, (a, λ) 7→ j(a) + λe,

ein isometrischer Isomorphismus.

KAPITEL 2

Kommutative Banachalgebren und Gelfandtheorie

In diesem Kapitel zeigen wir, dass jede kommutative Banachalgebraeine Darstellung (= Algebrenhomomorphismus) der Form

Γ : A −→ C0(X)

mit einem geeigneten lokalkompakten Raum X und

σ(Γa) = σ(a) (!)

fuer alle a ∈ A erlaubt. Dabei handelt es sich um die sogenannte Gel-fanddarstellung. Die Grundidee ist dabei, fuer X den Charakterraumvon A zu verwenden d.h. die Menge aller nichtverschwindenden Alge-brenhomomorphismen vo A nach C. Es ist Arbeit noetig, um

- diesen Raum mit einer Topologie zu versehen und- (!) zu beweisen.

Das wird auf ein genaues Studium des Charakterraumes hinauslaufen.Kommutativitaet ist fundamental, da es fuer nichtkommutative Alge-bren i.a. gar keine nichttrivialen Charaktere gibt.

Wir bemerken noch, dass C(X) in gewisser Weise die typische kom-mutative Banachalgebra ist und dass fuer jedes Element a eine Ba-nachalgebra natuerlich die von b erzeugte Banachalgebra kommutativist.

1. Ideale und Charaktere

In diesem Abschnitt fuehren wir die grundlegenden Objekte ein.

Wir beginnen mit einer Wiederholung + Uebung. Sei A eine Alge-bra und I ein Ideal in A. Dann ist

A/I := {a+ I : a ∈ A}mit

• (a+ I)(b+ I) = (ab+ I)• (a+ I) + (λ(b+ I) = a+ λb+ I

eine Algebra. (Diese Operationen sind wohldefiniert, da I ein Ideal ist).Sei

π : A −→ A/I, π(a) = a+ I = [a]

die kanonische Projektion. Dann ist π ein Algebrenhomomorphismus.Tatsaechlich sind Addition und Multiplikation gerade so definiert, dass

33

34 2. KOMMUTATIVE BANACHALGEBREN UND GELFANDTHEORIE

π ein Algebrenhomomorphismus wird. Ist A eine Banachalgebra undI ein abgeschlossenes Ideal, so wird A/I eine Banachalgebra mit derNorm

‖[a]‖ := inf{‖a+ j‖ : j ∈ I}und es ist π stetig.Bew. Es ist einiges zu zeigen.‖ · ‖ ist Norm. Dreiecksungleichung und Skalierungseigenschaft sindeinfach. Zur Nichtdegeneriertheit: Es ist ‖[a]‖ = 0 genau dann wenninf{...} = 0 d.h. wenn es eine Folge (jn) in I gibt mit a+ jn → 0, d.h.a ∈ I (da I abgeschlossen).

‖ · ‖ ist Algebrennorm d.h. submultiplikativ. Das ist einfach:

‖[a][b]‖ = inf{‖ab+ j‖ : j ∈ J}≤ inf{‖(a+ i)(b+ j)‖ : i, j ∈ J}= inf{‖a+ i‖‖b+ j‖ : i, j ∈ J}= ‖[a]‖‖[b]‖.

Es ist π stetig. Das ist klar (da im Infimum in der Definition von ‖π(a)‖auch ‖a‖ vorkommt).

Vollstaendigkeit. Sei (xn) eine Cauchy Folge in A/I. Dann gibt es eineTeilfolge (yn) mit ‖yn+1 − yn‖ ≤ 2−n fuer alle n ∈ N. Waehle bn ∈ Amit [bn] = yn. Dann gibt es also jn ∈ I mit

‖bn+1 − bn − jn‖ ≤ 2−n.

Damit existiert also (A Banachalgebra)

b := b1 +∑n

(bn+1 − bn − jn) = b1 + limN→∞

N∑n=1

(bn+1 − bn − jn).

Damit gilt aufgrund eines Teleskopsummenargumentes und der Stetig-keit von π

yN = π(bN) = π(b1 +N−1∑n=1

(bn+1 − bn − jn))→ π(b), N →∞.

Damit hat also die Cauchy-Folge (xn) eine konvergente Teilfolge (naem-lich (yn)) und muss dann also selber konvergent sein.

Ende der Wiederholung.

Es wird uns nun um Ideale gehen, die zwei Eigenschaften haben: Re-gularitaet und Maximalitaet. Diese fuehren wir nun ein. Fuer kommu-tative Banachalgebren werden die Charaktere gerade den regulaerenmaximalen Idealen entsprechen.

1. IDEALE UND CHARAKTERE 35

Wir beginnen mit Regularitaet. Diese Eigenschaft kann als schwacheForm der Existenz einer Eins gesehen werden. Sie ist automatisch er-fuellt, wenn die Algebra eine Eins hat.

Definition (Regulaer). Sei A eine Algebra und I ein Ideal in A. Dannheißt I regulaer, wenn ein u ∈ A existiert mit

a− au, a− ua ∈ Ifuer alle a ∈ A.

Bemerkung.

• Hat A eine Eins e, so ist jedes Ideal regular (da man u = ewaehlen kann).• Auch wenn A keine Eins hat, kann (und wird) es trotzdem

regulaere Ideale geben. Betrachte z.B. in A = C0(R) das Ide-al I der Funktionen die auf [−1, 1] verschwinden. Dann ist Iregulaer. (Waehle fuer u eine beliebige Funktion in A, die auf[−1, 1] konstant den Wert 1 hat.)


Lemma. Sei A eine Algebra und I ein Ideal in A. Dann ist I regulaergenau dann wenn A/I eine Eins besitzt.

Beweis. Das ist einfach:

a− au, a− ua ∈ I ⇐⇒ [a− au] = 0 = [a− ua]

⇐⇒ [a]− [a][u] = 0 = [a]− [u][a]

⇐⇒ [u] ist Eins in A/I.

�

Wir kommen nun zur zweiten Eigenschaft.

Definition (Maximalitaet). Sei A eine Algebra und I ein Ideal in A.Dann heißt I eigentlich (oder echt), wenn I 6= A gilt. Es ist I maximal,wenn I eigentlich ist und jedes eigentliche Ideal, das I enthaelt mit Iuebereinstimmt.

Lemma. Sei A eine Banachalgebra und I ein Ideal in A. Dann gilt:(a) Ist I regulaer und eigentlich, so ist auch I eigentlich (und regulaer).(b) Ist I regulaer und maximal, so ist I abgeschlossen.

Beweis. (a) Aus paedagogischen Gruenden betrachten wir zunaechstden Fall, dass A eine Eins e besitzt: Dann sind alle Elemente aus U1(e)invertierbar (nach Neumann Reihe) und gehoeren also nicht zu I. Da-mit gehoert e auch nicht zu I.

Wir betrachten nun den allgemeinen Fall. Sei u ∈ A mit a−au, a−ua ∈I fuer alle a ∈ A gegeben. Dann gilt

‖u− b‖ ≥ 1 (∗)


fuer jedes b ∈ I. Damit ist also u nicht Element von I und die Aussagefolgt.

Es bleibt (*) zu zeigen: Angenommen ‖b−n‖ < 1. Dann gilt in A, dass

v = e− (u− b)invertierbar ist nach der Neumanschen Reihe. Dann gilt

A = Av−1v = (Av−1)v ⊂ Av ⊂ I.

Hier: Erste Inklusion folgt da A Ideal in A ist. Zweite Inklusion folgtdurch Nachrechnen gemaess

a(e− (u− b)) = a− au+ ab = (a− au) + ab ∈ I.

(b) Ds ist eine direkte Folge von (a): Nach (a) ist J = I eigentlich. DaI maximal ist und I ⊂ J , folgt I = J . �

Bemerkung. (Uebung) Ist A eine kommutative Banachalgebra, sokann man Teil (b) des Lemma verallgemeinern. Dann gilt naemlichfuer ein maximales Ideal I: I regular ⇐⇒ I abgeschlossen. (Bew. EineRichtung wurde schon gezeigt. Die andere Richtung folgt so: Waehleein u ∈ A mit δ := dist(u, I) > 0. Dann existiert ein maximales Ideal

J in A mit J ⊃ I und dist(u, J) = δ (ueblicher Beweis mit Zorn-schem Lemma....). Dieses maximale Ideal ist nach Gelfandtheorie s.u.der Kern eines Charakters γ. Ohne Einschraenkung sei γ(u) = 1. Seiγ die Einschraenkung von γ auf A. Dann ist Kerγ ein Ideal, das Ienthaelt, muss also aufgrund der Maximalitaet von I entweder mit Ioder mit A uebereinstimmen. Wegen dist(u, J) > 0 gehoert u nicht zuKerγ und Kerγ = I folgt. Daher hat u die gewuenschten Eigenschaf-ten (γ(a−au) = γ(a)−γ(a)γ(u) = 0, d.h. a−au gehoert zu Kerγ = Ifuer jedes a ∈ A.)

Lemma. Sei A eine kommutative Algebra und I ein regulaeres Ideal inA. Dann sind aeqiuvalent:

(i) I ist maximal.(ii) Jedes nichtverschindende Element von A/I ist invertierbar.

Beweis. Sei u ∈ A mit a− au, a− ua ∈ I gegeben, also [u] = 1 in A/I.

(i)=⇒ (ii): Sei a ∈ A mit [a] 6= 0 gegeben. Dann gilt a /∈ I. Sei J dasvon a und I erzeugte Ideal in A. Dann gilt also

J ⊃ I J 6= I.

Aufgrund der Maximalitaet folgt also J = A. Weiterhin gilt aufgrundder Kommutativitaet aber

J = {j + ba : j ∈ I, b ∈ A}(Offenbar ist rechte Seite ein Ideal (da kommutativ) und in J enthalten.Weiterhin enthaelt rechte Seite I und wegen a−ua ∈ I auch a.) Damit


folgt alsoA = {j + ba : j ∈ I, b ∈ A}.

Insbesondere giltu = j + ba

fuer geeignete j ∈ I und b ∈ A. Damit folgt

[u] = [b][a] = [a][b]

(zweite Gleichung nutzt Kommutativitaet) Daher ist [a] invertierbar.

(ii)=⇒ (i): Sei I nicht maximal. Dann existiert ein Ideal J mit

I ⊂ J ⊂ A,

wobei beide Inklusionen strikt sind. Dann gilt fuer K := π(J) also

• K ist ein Ideal (da J ein Ideal ist).• K besteht nicht nur aus 0 (da J 6= I).• K enthaelt nicht [u] (sonst waere K = A/I und damit (wegenI ⊂ J) waere J = A).

Da K ein Ideal ist und nicht [u] enthaelt, ist kein nichtverschwindendeElement von K invertierbar. Da es solche nichtverschwindenden Ele-mente gibt, gibt es also nichtverschwindende nichtinvertierbare Ele-mente in A/I. �

Nach dem Studium der Ideale kommen wir nun zu den Charakteren.

Definition (Charaktere). Sei A eine Algebra. Ein Charakter auf Aist ein nichtverschwindender Algebrenhomomorphismus γ : A −→ C.Die Menge aller Charaktere wird Charakterraum von A oder auch ma-

ximaler Idealraum von A genannt und mit A bezeichnet.

Wir kommen nun zu zwei weiteren Eigenschaften, die im folgenden oftgebraucht werden.

Proposition. Ist A eine Algebra mit Eins e, so gilt γ(e) = 1 fuer

jedes γ ∈ A.

Beweis. Es gilt γ(a) = γ(ae) = γ(a)γ(e) fuer jedes a ∈ A. Da γ nichtidentisch verschwindet, folgt die Aussage. �

Proposition. Ist A eine Algebra ohne Eins, so gilt A1 = A ∪ {γ∞}mit

γ∞ : A1 −→ C, (a, λ) 7→ λ

und A ⊂ A1 via γ 7→ γ mit γ(a, λ) = γ(a) + λ.

Beweis. Es gilt ⊃: Nachrechnen liefert, dass γ∞ und γ (fuer alle γ ∈ A)

Elemente von A1 sind. Offenbar gilt γ1 6= γ2 falls γ1 6= γ2.

Es gilt ⊂: Sei ρ : A1 −→ C ein Algebrenhomomorphismus, der nichtverschwindet. Betrachte dann die Abbildung

µ : A −→ A1ρ−→ C.


Fall 1: µ = 0. Da ρ nicht identisch verschwindet, muss gelten ρ(0, 1) = 1und damit folgt dann ρ = γ∞.

Fall 2: Es ist µ 6= 0: Dann sieht man leicht, dass ρ = µ (da ρ und µauf e und auf A uebereinstimmen. �

Wir kommen nun zu dem fundamentalen Resultat ueber kommutativeBanachalgebren.

Theorem (Charaktere entsprechen maximalen Idealen). Sei A einekommutative Banachalgebra. Dann ist

A −→ {Maximale regulaere Ideale in A}, γ 7→ Kerγ,

eine Bijektion.

Beweis. Es ist einiges zu zeigen.

Es ist Kerγ ein maximales regulaeres Ideal.

Ideal: klar (da γ ein Algebrenhomomorphismus ist).

Regulaer: Da γ nicht identisch verschwindet, existiert ein u /∈ Kerγ.Dann gilt also γ(u) 6= 0 und wir koennen ohne Einschraenkung an-nehmen γ(u) = 1. Sei also u ∈ A mit γ(u) = 1 gegeben. Dann giltaber

γ(a− ua) = γ(a)− γ(u)γ(a) = 0

und damit gehoert a− au zu Ker(γ) fuer jedes a ∈ A.

Maximal: Sei wieder u mit γ(u) = 1 gegeben. Fuer jedes a ∈ A giltdann

a = (a− γ(a)u) + γ(a)u

und a− γ(a)u ∈ Kerγ und γ(a)u ∈ Lin{u}. Also gilt

A = Kerγ + Lin{u} (∗).Damit ist dann jeder Unterraum von A, derKerγ echt enthaelt, schongleich A ueberein. Damit ist insbesondere Kerγ maximal.


Die Abbildung ist injektiv. Seien γ1, γ2 ∈ A mit Kerγ1 = Kerγ2 gege-ben. Waehle u ∈ A imt γ1(u) = 1. Dann gilt:a− au ∈ Kerγ1 fuer alle a ∈ A

=⇒a− au ∈ Kerγ2 fuer alle a ∈ A.

=⇒γ2(a) = γ2(a)γ2(u) fuer alle a ∈ A.

=⇒γ2(u) = 1 (da γ2 nicht identisch verschwindet).

=⇒


γ1 = γ2 auf Kerγ + Lin{u} = A (nach (∗)).Die Abbildung ist surjektiv. Sei I ein regulaeres maximales Ideal. Zufinden: γ mit Kerγ = I.

Da I regulaer ist, hat A/I eine Eins [u].DA I maximal und regulaer ist, ist in A/I jedes nichtverschwindendeElement invertierbar (siehe Lemma)Da I maximal und regulaer ist, ist es abgeschossen (siehe Lemma) unddaher ist A/I eine Banachalgebra.

Nimmt man das zusammen, so folgt, dass A/I eine Banachalgebra ist,in der jedes Element (ausser 0) invertierbar ist. Damit folgt aus demSatz von Gelfand/ Mazur, dass

l : C −→ A/I, λ 7→ λ[u]

eine Isomorphismus ist. Dann ist auch

j = l−1 : A/I −→ Cein Isomorphismus. Sei π : A −→ A/I die kanonische Projektion. Be-trachte nun

γ = j ◦ π : A −→ C.Dann gilt:

• γ ist Algebrenhomomorphisms (als Komposition von solchen).• γ(u) = j([u]) = 1, also verschwindet γ nicht identisch.• Kerγ = Kerπ = I (da j Isomorphismus)


Bemerkung. Der Beweis der Surjektivitaet braucht im wesentlichenalles bisher in der Vorlesung bewiesene. (Denn der Satz von Gelfand/Mazurist eine Folgerung aus dem Abschnitt ueber Spektrum).

Korollar (Automatische Stetigkeit der Charaktere). Sei A eine kom-mutative Banachalgebra. Dann ist jeder Charakter stetig.

Beweis. Es istKerγ ein maximales regulaeres Ideal, also abgeschlossen.Damit ist γ stetig. �

Bemerkung. (a) Eine entsprechende Aussage fuer lineare Funktionaleauf einem Banachraum ist voellig falsch!(b) Setzt man voraus, dass A eine Involution hat und betrachtet manCharaktere, die mit dieser vertraeglich sind, so folgt die Aussage auchaus allgemeinen Ueberlegungen zur automatischen Stetitgkeit.

Korollar. Ist A eine kommutative Banachalgebra mit Eins, so ist

A −→ {Maximale Ideale}, γ 7→ Kerγ,

eine Bijektion.

Beweis. Da A eine Eins hat, ist jedes Ideal regulaer. �


2. Wann nimmt a den Wert λ an?

IstA = C(X) mitX kompakt, so gilt: λ ∈ σ(f)⇐⇒ f nimmt Wert λ an.In diesem Abschnitt wird es um eine Verallgemeinerung dieser Eigen-schaft gehen.

Lemma (Fortsetzungsslemma). Sei A eine kommutative Banachalge-bra. Sei I ein eigentliches regulaeres Ideal in A. Dann gibt es ein ma-ximales regulaeres Ideal, das I enthaelt.

Beweis. Sei u mit a− au ∈ I fuer alle a ∈ A gegeben. Sei

F := Familie aller eigentlichen Ideale, die I enthalten.

Dann gilt u /∈ J fuer jedes J ∈ F (da sonst J = A wegen a = (a −au) + au ∈ I + J ⊂ J). Offenbar ist F durch Inklusion angeordnet. Istnun C eine total geordnete Kette in F (i.e. alle J1, J2 ∈ C gilt J1 ⊂ J2

oder J2 ⊂ J1), so ist

JC := ∪J∈CJeine obere Schranke fuer C in F . (Ideal: klar. Enthaelt I: klar. Enthaeltnicht u: klar.) Nach dem Zornschen Lemma folgt die Aussage. �

Theorem (’a nimmt Wert λ an’). Sei A eine kommutative Banachal-gebra mit Eins. Sei a ∈ A, λ ∈ C gegeben. Dann sind aequivalent:

(i) λ ∈ σ(a)(ii) a− λe ist in einem eigentlichen Ideal enthalten.

(iii) a− λe ist in einem eigentlichen maximalen Ideal enthalten.

(iv) Es gibt ein γ ∈ A mit γ(a) = λ.

Beweis. (i)=⇒ (ii): Sei

J := {(a− λe)b : b ∈ A}.

Dann ist J ein Ideal (nutzt Kommutativitaet) und eigentlich (da e /∈ Jwegen λ ∈ σ(a)).

(ii)=⇒ (iii): Das folgt aus dem Fortsetzungslemma.

(iii)=⇒ (iv): Es ist (a − λe) in einem maximalen Ideal I enthalten.

Sei γ ∈ A mit Kerγ = I gegeben (existiert nach Theorem im vorigenAbschnitt). Dann gilt

0 = γ(a− λe) = γ(a)− λγ(e) = γ(a)− λ.

(iv)=⇒ (i): γ(a) = λ impliziert γ(a− λe) = 0. Damit ist also (a− λe)im eigentlichen Ideal Kerγ enthalten und daher nicht invertierbar. (Al-ternative: 1 = γ(e) = γ((a− λe)b) = γ(a− λe)γ(b) = 0 Widerspruch).�

Bemerkung.

2. WANN NIMMT a DEN WERT λ AN? 41

• A = C(X) mit X kompakt:

λ ∈ σ(f) ⇐⇒ λ = f(x) fuer ein x ∈ X⇐⇒ f − λ1 ∈ Ix := {g : g(x) = 0}⇐⇒ δx(f) = λ.

• (iv) =⇒ (iii) =⇒ (ii) =⇒ (i) gelten in jeder Banachalge-bra (auch wenn keine Kommutativitaet vorliegt). Allerdingsmag es im allgemeinen keine nichttrivialen Ideale geben (siehenaechster Punkt).• (Uebung) InMn×n(C) gibt es keine nichttrivialen Ideale. (Idee:

0 6= a ∈ I. Dann ist auch ei,jaek,l in I. Damit gehoert also einer,s zu I. Damit erhaelt man dann alles.)

Korollar. Ist A eine kommutative Banachalgebra mit Eins, so ist Anicht leer.

Beweis. Es enthaelt σ(e) die 1. Damit gibt es also nach dem vorange-

henden Theorem ein γ ∈ A mit γ(e) = 1. �

Bemerkungen.

• Fuer eine beliebige kommutative Banachalgebra kann A durch-aus leer sein: Betrachte z. B. A die Algebra der oberen 2 × 2Dreiecksmatrizen d.h. die Elemente von A sind die Matrizender Form

a =

(0 λ0 0

)mit λ ∈ C. Dann gilt ab = 0 fuer alle a, b ∈ A. Damit ver-schwindet jedes lineare multiplikative τ : A −→ C wegen

τ(a)2 = τ(aa) = τ(0) = 0.

• Allgemeiner laesst sich aus jedem Banachraum b durch diekommutative Multiplikation ξ · η = 0 fuer alle ξ, η ∈ b eineBanachlagebra machen, deren maximaler Idealraum leer ist.

Wir kommen nun zum allgemeinen Fall. Dazu noch ein Stueck Nota-tion: Ist I ein Ideal in A und u ∈ A mit

a− au, a− ua ∈ I

fuer alle a ∈ A, so nennt man u eine relative Eins fuer I.

Theorem (’a nimmt Wert λ an’). Sei A eine kommutative Banachal-gebra. Sei a ∈ A und λ ∈ C mit λ 6= 0 gegeben. Dann sind aquivalent:

(i) λ ∈ σ(a).(ii) Es gibt ein regulaeres eigentliches Ideal mit relativer Eins 1

λa.

(iii) Es gibt ein regulaeres maximales Ideal J mit relativer Eins 1λa.

(iv) Es gibt ein γ ∈ A mit γ(a) = λ.


Beweis. (i)=⇒ (ii): Betrachte

I := {ab− λb : b ∈ A}.

Dann gilt fuer I:

• Ideal: klar.• Relative Eins 1

λa: b− 1

λab = 1

λ(λb− ab) ∈ I.

• Eigentlich: ab− λb = 1λa ist nicht loesbar d.h. 1

λa /∈ I.

(Sonst folgt in A:

(a− λe)(b− 1

λe) = ab− λb− 1

λa+ e = e.

Widerspruch zu λ ∈ σ(a). )

(ii)=⇒ (iii): Das folgt aus dem Fortsetzungslemma.

(iii)=⇒ (iv): Sei γ der Charakter mit Kerγ = J . Da 1λa eine relative

Eins ist gilt dann also

0 = γ(b− 1

λab)

fuer alle b ∈ A. Damit folgt also

γ(b) = γ(b)1

λγ(a)

fuer alle b ∈ A. Da γ nicht identisch verschwindet, folgt

1 =1

λγ(a)

also

λ = γ(a).

(iv)=⇒ (i): Sei γ die Erweiterung von γ auf A1 (falls A keine Eins hat)und sonst sei γ = γ. Dann gilt

γ(a) = λ =⇒ γ(a− λe) = 0 =⇒ a− λe nicht invertierbar.

�

Korollar. Sei A eine kommutative Banachalgebra und γ ∈ A. Dannist γ stetig und ‖γ‖ ≤ 1. Hat A eine Eins, so gilt ‖γ‖ = 1.

Beweis. Nach dem Theorem gilt γ(a) ∈ σ(a) oder γ(a) = 0. Damitfolgt

|γ(a)| ≤ r(a) ≤ ‖a‖.Wenn A eine Eins besitzt, folgt noch γ(e) = 1. Damit ergeben sich dieBehauptungen des Korollar sofort. �


3. DIE GELFANDTRANSFORMATION 43

3. Die Gelfandtransformation

Wir werden jetzt die Betrachtungen des vorigen Abschnittes in einensystematischen Kontext stellen. Das wird dann eine Abbildung

Γ : A −→ C0(A) mit σ(a) = σ(Γa)

fuer alle a ∈ A liefern.

Erinnerung. Sei A ein Banachraum und A′ der Dualraum bestehendaus den stetigen linearen Funktionalen auf A. Dann traegt A

′nicht nur

die Normtopologie induziert von

‖φ‖ := sup{‖φ(a)‖ : a ∈ A, ‖a‖ ≤ 1}sondern auch noch die schwach-∗-Topologie. Diese ist die kleinste To-pologie, die alle Funktionale der Form

(a, ·) : A′ −→ C, φ 7→ (a, φ) := φ(a)

(a ∈ A) stetig macht. Eine Umgebungsbasis von φ in dieser Topologieist gegeben durch

Uε,a1,...,an(φ) = {ψ ∈ A′ : |φ(aj)− ψ(aj)| < ε, j = 1, . . . , n}.Es gilt folgender bemerkenswerter Satz.

Theorem (Alaoglu/Bourbaki). Sei A ein Banachraum und BA′ dieabgeschlossene Einheitskugel in A′ (bzgl. Normtopologie), so ist BA′

kompakt in der schwach-*-Topologie.

Beweisidee: Produkttopologie....Ende der Erinnerung.

Lemma. Sei A eine kommutative Banachalgebra. Dann ist A∪{0} eine(bzgl. der schwach-*-Topologie) abgeschlossene Teilmenge von BA′ . Hat

A eine Eins, so ist sogar A abgeschlossen in BA′ .

Beweis. Es ist A ∪ {0} ist die Menge aller multiplikativen linearenFunktionale auf A.

In einem obigen Korollar hatten wir schon gesehen, dass A in der Ein-heitskugel des Dualraum enthalten ist. Es bleibt also die Aussage ueberdie Abgeschlossenheit zu zeigen. Wir zeigen, dass

(A ∪ {0})c

offen ist. Sei ein γ ∈ (A∪{0})c gegeben. Dann gibt es also a, b ∈ A mit

γ(a)γ(b) 6= γ(ab)

(sonst waere γ linear und multiplikativ). Dann gilt fuer φ nahe γ eben-falls

φ(a)φ(b) 6= φ(ab).

Damit folgt die gewuenschte Offenheit.


Hat A eine Eins, so gilt γ(e) = 1 fuer jedes γ ∈ A. Damit folgt

A = (A ∪ {0}) ∩ {γ ∈ A′ : γ(e) = 1}.

Als Schnitt zweier abgeschlossener Mengen ist dann, A ebenfalls abge-schlossen.

�

Konvention. Von jetzt an werden wir A immer als topologischenRaum auffassen, wobei die Topologie gerade von der schwach-*-Topologieauf A′ induziert wird.

Aus dem vorangehenden Lemma und dem Satz von Alaoglu / Bourbakifolgt sofort:

Folgerung. Sei A eine kommutative Banachalgebra. Dann ist A ein

lokalkompakter Hausdorffraum. Hat A eine Eins, so ist A sogar kom-pakt.

Definition. (+Proposition) Sei A eine kommutative Banachalgebra.Fuer a ∈ A sei die Abbildung a definiert durch

a : A −→ C, a(γ) = γ(a) = (a, γ).

Dann ist a stetig und a ∈ C0(A). Die Abbildung

Γ : A −→ C0(A), a 7→ a =: Γa

ist ein Homomorphismus von Algebren und wird als Gelfandabbildungbezeichnet.

Beweis.Es ist a stetig nach der Definition der Topologie von A (’kleinste To-pologie, die γ 7→ (a, γ) stetig macht). Weiterhin ist

{γ ∈ A : |a| ≥ ε} = {γ ∈ A : |γ(a)| ≥ ε}schwach-∗-abgeschlossen in BA′ )(als Komplement einer offenen Nul-lumgebung) und daher kompakt nach dem Theorem von Banach /

Alaoglu. Damit folgt a ∈ C0(A). Die letzte Aussage ist klar. �


Theorem (Gelfand Abbildung). Sei A eine kommutative Banachalge-

bra mit A 6= ∅. Dann ist

Γ : A −→ C0(A), a 7→ a

ein stetiger Homomorphismus mit Norm nicht groesser als Eins mit

σ(a) =

{σ(a) : falls A eine Eins hat

σ(a) ∪ {0} : sonst.

Insbesondere gilt also

σ(a) \ {0} = σ(a) \ {0}

4. WICHTIGE BEISPIELE 45

undr(a) = ‖a‖∞.

Das Bild Γ(A) von A unter Γ trennt die Punkte von A (d.h. zu belie-

bigen γ 6= % aus A existiert a ∈ A mit γ(a) 6= %(a)).

Beweis. Wir zeigen eine Reihe von Behauptungen.

Homomorphismus. Siehe oben.

Behauptungen ueber σ(a): Folgen aus den Betrachtungen im vorigenAbschnitt (’Wann nimmt a den Wert λ an?’).

Die Aussagen ueber σ(a) (zusammen mit σ(a) = Wertebereich(a))implizieren

r(a) = sup{|λ| : λ ∈ σ(a)} = ‖a‖∞.Das liefert insbesondere

‖Γa‖ = ‖a‖∞ = r(a) ≤ ‖a‖fuer alle a ∈ A und Γ ist normveringernd. �

Bemerkung. Die Gelfandtransformation liefert eine stetige Darstel-lung einer kommutativen Banachalgebra als stetige Funktionen auf ei-ne lokalkompakten Raum. Diese Darstellung erhaelt das Spektrum! Esbleiben jedoch zwei Probleme:

• Die Gelfandtransformation ist i.a. keine Isometrie.• Es kann schwer sein, das Bild von Γ in C0(A) zu bestimmen.

Aus diesen Gruenden reduziert die Gelfandtransformation das Studiumkommutativer Banachalgebren NICHT auf das Studium der AlgebrenC0(X). Fuer kommutative C∗-Algebren wird das dann der Fall sein.

4. Wichtige Beispiele

In diesem Abschnitt untersuchen wir einige Beispiele und Anwendun-gen.

Die Algebra A = C(X) mit X kompakt. Fuer x ∈ X sei δx : A −→C, f 7→ f(x). Dann ist

δ : X −→ A, x 7→ δx,

ein Homeomorphismus und damit wird

Γ : A −→ C(A) = C(X), f(δx) = f(x).

Beweis. Es sind eine Reihe von Behauptungen zu zeigen.

Es bildet δ nach A ab. Offenbar ist δx linear und multiplikativ und

verschwindet nicht und gehoert demnach zu A.

Es ist δ injektiv. Die Abbildung x 7→ δx ist offenbar injektiv (da es zux 6= y nach dem Lemma von Urysohn ein f ∈ C(X) gibt mit f(x) 6= 0und f(y) = 0).


Die Abbildung δ ist surjektiv. (Das ist die Hauptarbeit.) Sei γ : C(X) −→C linear und multiplikativ und nicht das Nullfunktional.

Zwischenbehauptung. Es gibt ein x ∈ X mit f(x) = 0 fuer alle f ∈Ker(γ).Beweis. Angenommen nein. Dann gibt es zu jedem x ∈ X ein f ∈Ker(γ) mit f(x) 6= 0. Wir geben nun zwei Varianten, wie man daszum Widerspruch fuehrt.

Variante 1: Es ist Ker(γ) eine Algebra (klar) mit folgenden drei Eigen-schaften:

• Sie verschwindet nirgends. (Das ist gerade die Annahme.)• Sie trennt die Punkte. (Seien x, y ∈ X mit x 6= y. Dann gibt

es ein f ∈ C(X) mit f(x) = 0 und f(y) = 1. Waehle nun einbeliebiges g ∈ Ker(γ) mit g(y) 6= 0. Dann gehoert h = fg zuKer(γ) und es gilt h(x) = 0 und h(y) 6= 0.• Sie ist selbstadjungiert. (Fuer reellwertige f erhaelt man

γ(f) ∈ σ(f) ⊂ R.

Damit folgt dann fuer ein allgemeines f = u− iv mit reellwer-tigen u, v automatisch

γ(f ∗) = γ(u− iv) = γ(u)− iγ(v) = γ(f).

Damit sind die Charaktere mit Involution vertraeglich und dasliefert leicht die Selbstadjungiertheit.)

Damit ist also nach dem Satz von Stone / Weierstrass Ker(γ) eine dich-te Unteralgebra von C(X). Da jeder Charakter stetig ist, ist Ker(γ)abgeschlossen und stimmt dann mit C(X) ueberein. Das ist ein Wider-spruch, da γ als Charakter nicht das Nullfunktional ist.

Variante 2: Es gibt dann zu jedem x ∈ X auch ein f ∈ Ker(γ) mitf(x) 6= 0 und f ≥ 0. (Betrachte sonst ff und nutze, dass dies auch imKern ist, da γ multiplikativ ist.) Damit gibt es zu jedem x ∈ X eineoffene Umgebung Ux und ein stetiges gx ≥ 0 in Ker(γ) mit gx > 0auf Ux. Die offenen Ux, x ∈ X, bilden dann eine Ueberdeckung deskompakten X und damit ueberdecken dann schon endlich viele X; esgilt also

X = Ux1 ∪ . . . ∪ UxNfuer geeignete x1, . . . , xN ∈ X. Dann ist die Funktion

g :=N∑j=1

gj

stetig und ueberall positiv, also auf dem kompakten X strikt positiv.Damit ist dann f := 1

gebenfalls eine stetige Funktion auf X. Weiterhin

4. WICHTIGE BEISPIELE 47

gehoert g offenbar zum Ker(γ) als Lineaerkombination von Funktionenaus Ker(γ). Das fuehrt auf den Widerspruch

1 = γ(1) = γ(fg) = γ(f)γ(g) = 0.

Damit ist die Zwischenbehauptung bewiesen.

Sei nun ein x ∈ X mit f(x) = 0 fuer alle x ∈ Ker(γ) gewaehlt. Dannstimmen γ und δx auf Ker(γ) und auf Lin{1} ueberein und sind dahergleich: Sei f ∈ C(X) beliebig. Dann gilt

f = (f − γ(f)1) + γ(f)1

mit (f−γ(f)1) ∈ Ker(γ) und γ(f)1 in Lin{1}. Anwenden von δx unterNutzen der charakteristischen Eigenschaft von x liefert

δx(f) = δx(f − γ(f)1) + δx(γ(f)1) = 0 + γ(f) = γ(f).

Das beendet den Beweis der Surjektivitaet.

Es ist δ stetig. Sei U offen in A. Ohne Einschraenkung

U = Uφ,f1,...,fn,ε = {γ : ‖(γ − φ)(fi)| < ε}.Dann ist

δ−1(U) = {x : |fi(x)− φ(fi)| < ε}offen (da jedes fi stetig ist). Damit ist δ stetig.

Es ist δ−1 stetig. Das folgt aus allgemeinen topologischen Erwaegungen.(Uebung: X kpt, Y hd, h : X −→ Y stetig und bijektiv. Dann ist h−1

stetig.)�

Die Algebra A = C0(X) mit X lokal kompakt und nicht kom-pakt.Wieder ist

δ : X −→ A, x 7→ δx,

eine Homeomorphismus und Γ wird dann

Γ : A −→ C0(X), f(δx) = f(x).

Beweis. Das laesst sich unter Nutzen der Einpunktkompaktifizierungauf das vorige Beispiel zurueckfuehren. Wir lassen die Details zur Ue-bung. �

Die von einem a und e erzeugte Banachalgebra A = B(e, a).Sei A eine Banachalgebra mit Eins und a ∈ A mit

A := BA(e, a) := von e und a erzeugte Banachalgebra.

Dann ist ist A kommutativ, und es ist

a : A −→ σ(a)

eine Homeomorphismus.


Beweis. Es gilt nach Vorrausetzung

A = Lin{an : n ∈ N0},(wobei a0 = e). Damit is A also kommutativ. Weiterhin ist a stetig (dadas immer gilt) sowie bijektiv (!). Damit ist es also ein Homeomorphis-mus.!: Surjektiv: Gelfandtheorem in Abschnitt 2.3 (bzw. Aussagen uber animmt Wert λ an in Abschnitt 2.2).

Injektiv: a(φ) = a(ψ) impliziert φ(a) = ψ(a) und damit φ = ψ (da adie Algebra A erzeugt und φ und ψ multiplikativ sind). �

Die von einem a erzeugte Banachalgebra A = B(a).Sei A eine Banachalgebra ohne Eins und a ∈ A mit

A := B(a) := von a erzeugte Banachalgebra.

Dann ista : A −→ σ(a) \ {0}

ein Homeomorphismus.Beweis. Adjungiere Eins. Rechne... �

Sei a ∈Mn×n, A = B(e, a) Dann ist a : A −→ {Eigenwerte von a} einHomeomorphismus.

Die Kreisalgebra A = {f ∈ C(D) : f holomorph in D◦}. (Hier ist D :={z ∈ C : |z| ≤ 1}).Dann gilt

A = B(1, id)

mit 1 : D −→ C, z 7→ 1 und id : D −→ C, z 7→ z, sowie

A = σ(id) = D.

Beweis. Es reicht A = B(1, id) zu zeigen. (Dann folgt A = σ(id) ausdem vorigen Beispiel. Die Gleichheit σ(id) = D ist einfach.)

Wir zeigen also nun, wie man ein f ∈ A durch Polynome gut approxi-mieren kann: Sei f holomorph in D. Dann ist fr := f(r·) holomorph ineiner offenen Umgebung von D fuer jedes 0 < r < 1. Damit gilt

fr =∑

anzn

mit gleichmaessig auf D konvergenter Reihe. Damit ist fr also gleich-maessiger Grenzwert von Polynomen. Weiterhin ist f ein gleichmaes-siger Grenzwert der fr fuer r → 1 (da f stetig und damit auf demkompakten D also gleichmaessig stetig ist). Nimmt man dies zusam-men, so folgt die Aussage. �

Die Gruppenalgebra `1(Z). Diese Algebra (und ihre Verallgemeine-rungen) werden wir in einem eigenen Kapitel untersuchen.

5. DAS BILD Γ(A) 49

5. Das Bild Γ(A)

In diesem Abschnitt untersuchen wir das Bild von A unter der Gel-fandtransformation.

Wir beginnen mit einer Erinnerung:

Satz von Stone/Weierstrass. Sei X lokalkompakt und B eine Un-teralgebra von C0(X) mit folgenden Eigenschaften:

• B trennt die Punkte von X (d.h. zu beliebigen x, y ∈ X mitx 6= y gibt es ein f ∈ B mit f(x) 6= f(y)).• B verschwindet nirgends (d.h. zu jedem x ∈ X gibt es ein f ∈B mit f(x) 6= 0). (Dies gilt automatisch, wenn die konstanteFunktion 1 zu B gehoert.)• Es ist B selbsadjungiert (d.h. mit f ∈ B gilt auch f ∈ B).

Dann ist B dicht in C0(X) bzgl. ‖ · ‖∞. Damit endet die Erinnerung.

Wir betrachten in diesem Abschnitt eine kommutative Banachalgebra

A mit A 6= ∅ und Γ : A −→ C0(A) die zugehoerige Gelfandabbildung.

Proposition. Es trennt Γ(A) die Punkte von A und verschwindetnirgends.

Beweis. Wir zeigen beide Aussagen.

Es trennt Γ(A) die Punkte. Sei γ 6= ρ. Dann existiert also ein a ∈ Amit γ(a) 6= ρ(a) d.h. mit Γa(γ) 6= Γa(ρ).

Es verschwindet Γ(A) nirgends. Sei γ ∈ A. Dann gilt γ 6= 0. Damitexistiert also ein a ∈ A mit γ(a) 6= 0 d.h. mit Γa(γ) 6= 0. �

Die vorangehende Proposition zeigt, dass Γ(A) automatisch zwei derdrei Voraussetzungen des Satz von Stone-Weierstrass erfuellt. Wir un-tersuchen nun das Vorliegen der dritten Voraussetzung.

Lemma. Es habe A noch zusaetzlich eine Involution. Dann sind aequi-valent:

(i) Es gilt σ(a) ⊂ R fuer alle selbstadjungierten a ∈ A.

(ii) Es gilt γ(a) ∈ R fuer alle selbstadjungierten a ∈ A und γ ∈ A.

(iii) Es gilt γ(x) = γ(x∗) fuer alle x ∈ A.

Bemerkung. Die dritte Eigenschaft besagt gerade, dass Γa = Γa∗ .

Beweis. (i)⇐⇒ (ii): Das folgt aus σ(a) ∪ {0} = {γ(a) : γ ∈ A} ∪ {0}.(ii) =⇒ (iii): Das folgt aus

a =1

2(a+ a∗) +

1

2i(ia− ia∗) =

1

2a− i1

2b

mit a, b selbstadjungiert.

(iii) =⇒ (ii): klar. �


Das Lemma beantwortet in gewisser Weise die Frage nach dem Vorlie-gen der dritten Voraussetzung des Satzes von Stone-Weierstrass. Ent-sprechend definieren wir wie folgt:

Definition. Sei A eine kommutative Banachalgebra mit Involution.Dann heißt die Involution symmetrisch, wenn eine der Bedingungendes vorigen Lemma gilt.

Bemerkung. (a) Symmetrische Involution heißt, dass die Involutionmit der Involution in C vertraeglich ist.(b) Fuer uns sind eigentlich nur Banachalgebren mit symmetrischerInvolution interessant und in den Beispielen handelt es sich um solche:Ist A eine C∗-Algebra, so ist die Involution symmetrisch. (Bew. Wirhaben oben schon σ(a) ⊂ R fuer diesen Fall gezeigt.) Auch im Falle vonGruppenalgebren handelt es sich um eine symmetrische Involution.


Folgerung. Sei A eine kommutative Banachalgebra mit A 6= ∅ und

symmetrischer Involution. Dann ist Γ(A) dicht in C0(A).

Beweis. Es sind die Voraussetzungen des Satzes von Stone-Weierstrasserfuellt. �

Die vorangehende Folgerung beantworted die Frage nach einer Art ’Sur-jektivitaet’ von Γ. Fuer die Injektivitaet ist die Lage komplizierter. Eswird eine Definition gegeben.

Definition. Sei A eine kommutative Banachalgebra mit A 6= ∅. Es

heißt A halbeinfach, wenn Γ : A −→ C0(A) injektiv ist.

Bemerkungen.

• Es gibt zwei grosse Klassen halbeinfacher kommutativer Bana-chalgebren: Die kommutativen C∗-Algebren und die Faltungs-algebren kommutativer Gruppen. Details werden weiter untendiskutiert.• Ist Γ eine Isometrie, so ist offenbar A halbeinfach und (falls A

symmetrische Involution hat) Γ eine Bijektion.• Im allgemeinen ist Γ nicht surjektiv (auch wenn es dichtes

Bild hat), wie man am Beispiel von A = `1(Z) sehen kann(Uebung).

6. Positive Funktionale und der Satz von Bochner

In diesem Abschnitt lernen wir einen Satz von Bochner kennnen (derauch mit den Namen Cauchy, Riesz, Herglotz, Raikov und Weyl ver-knuepft ist).

Wieder beginnen wir mit einer Erinnerung.

6. POSITIVE FUNKTIONALE UND DER SATZ VON BOCHNER 51

Satz von Riesz. Sei X lokalkompakt, φ : C0(X) −→ C stetig (d.h. esexistiert C ≥ 0 mit |φf)‖ ≤ C‖f‖∞) und positiv (d.h. φ(f) ≥ 0 fuerf ≥ 0). Dann existiert ein eindeutiges endliches regulares Maß µ aufX mit

φ(f) =

∫fdµ.

Es gilt ‖φ‖ = µ(X).Hier heisst ein Mass regular, wenn fuer alle messbaren E ⊂ X gilt:

• µ(E) = inf{µ(V ) : V offen mit E ⊂ V }. ’µ ist von aussen re-gulaer’• µ(E) = sup{µ(K) : K kompakt mit K ⊂ E}. ’µ ist von innen

regulaer’

Ein solches µ heisst dann Darstellungsmass von φ.

Bemerkung. Der Dualraum von C0(X) ist gegeben durch die Line-arkombinationen von stetigen positiven Funktionalen. Damit existie-ren zu jedem φ aus dem Dualraum existieren endliche regulaere Masseµ1, µ2, µ3, µ4 mit

φ(f) =

∫X

fdµ1 −∫X

fdµ2 + i

∫X

fdµ3 − i∫X

fdµ4

fuer alle f ∈ C0(X).Hier endet die Erinnerung.

Fuer uns wird folgende einfache Konsequenz des Satz von Riesz vonNutzen sein.

Folgerung. Sei X kompakt und B eine selbstadjungierte Unteralge-bra von C(X), die die Punkte trennt und nirgends verschwindet undφ : B −→ C positiv und beschraenkt (d.h. |φ(f)| ≤ C‖f‖∞). Dannexistiert ein eindeutiges positives Maß µ auf X mit

φ(f) =

∫fdµ.

Beweis. Es ist

• B dicht in C(X) nach Stone-Weierstrass und• φ stetig auf B.

Damit kann φ eindeutig zu einem stetigen Funktional auf C(X) fort-gesetzt werden.

Es bleibt zu zeigen, dass φ positiv ist:Sei f ≥ 0. Waehle eine Folge (gn) im dichten B mit gn → f 1/2. Danngilt gn ∈ B (da B selbstadjungiert) und

gngn → f 1/2f 1/2 = f.

Damit folgtφ(f) = limφ(gngn) ≥ 0.



Bemerkung. Ist X kompakt und φ positiv, so ist φ automatisch stetig.(Beweis. Wir muessen C ≥ 0 mit |φ(f)| ≤ C‖f‖∞ finden. Es reichtreellwertige f zu betrachen. Fuer solche f gilt

−‖f‖∞1 ≤ f ≤ ‖f‖∞1.

Anwenden von φ liefert (unter Nutzen der Positivitaet von φ) dann

−‖f‖∞ ≤ φ(f) ≤ ‖f‖∞φ(f)

also

|φ(f)‖ ≤ ‖f‖∞φ(1).

Damit koennen wir C = φ(1) waehlen. Die Kompaktheit brauchen wirum 1 ∈ C(X) zu haben.)

Definition. Sei A eine Banachalgebra mit Involution. Ein linearesFunktional φ : A −→ C heißt positiv, wenn gilt

φ(aa∗) ≥ 0

fuer alle a ∈ A.

Bemerkung. Man kann leicht sehen, dass diese Definition fuer A =C(X) mit der oben gegebenen uebereinstimmt.

Lemma (Positive Funktionale sind stetig). Sei A eine Banachalgebramit Eins und einer stetigen Involution. Dann ist jedes positive Funk-tional auf A stetig.

Bemerkung. Es wird keine Kommutativitaet vorausgesetzt.

Beweis. Die Idee des Beweises ist wie folgt: Fuer selbstadjungierte xmit ‖x‖ < 1 gilt −e ≤ x ≤ e. Damit folgt aus der positivitaet von φdie Beschraenktheit (siehe oben).

Fuer z ∈ C mit |z| < 1 kann man z 7→√

1− z = g(z) in eine konver-gente Potenzreiche entwickeln (da die Funktion holomorph ist). Da dieFunktion auf (−1, 1) nur reelle Werte annimmt, hat die Potenzreihereelle Konsequenzen. Es gilt also

g(z) =∞∑n=1

anzn

mit an ∈ R. Damit folgt dann

(∞∑n=1

anzn)(

∞∑m=1

amzm) = 1− z.

Einsetzen von x ∈ A mit ‖x‖ < 1 liefert dann eine Wurzel y =√e− x

d.h. ein y mit

y2 = e− x.


Ist x selbstadjungiert, so auch y (nach der Reihendarstellung). Damitfolgt

φ(e− x) = φ(yy∗) ≥ 0

oder anders gesagtφ(x) ≤ φ(e)

fuer jedes ‖x‖ < 1. Entsprechend sieht man fuer solche x auch

φ(−x) ≤ φ(e).

Damit folgt|φ(x)| ≤ φ(e)

fuer alle selbstadjungierten x mit ‖x‖ < 1. (Beachte, dass wir hiernebenbei zeigen, dass positive φ reell sind. Das werden wir unten nocheinmal festhalten.)Fuer beliebiges x ∈ A mit ‖x‖ < 1 gilt dann also

|φ(x)| =

∣∣∣∣φ(1

2(x+ x∗)− i1

2(ix− ix∗)

)∣∣∣∣≤ |φ(

1

2(x+ x∗)|+ |iφ(

1

2(ix− ix∗)|

( ), () s.a., ‖ · ‖ < 1 < φ(e) + φ(e)

= 2φ(e).


Wir halten noch folgende Folgerung aus dem Beweis fest.

Folgerung. Sei A eine Banachalgebra mit Eins und stetiger Involu-tion und φ ein positives Funktional auf A. Dann ist φ reell (d.h. es gilt

φ(x) = φ(x∗) fuer alle x ∈ A.

Beweis. Es reicht φ(x) ∈ R fuer alle selbstadjungierten x zu zeigen,da man ein beliebiges x in Realteil und Imaginaerteil zerlegen kann(vgl. Beweis des letzten Lemma im vorigen Abschnitt). Tatsaechlichreicht es sich auf selbstadjungierte x mit ‖x‖ < 1 zu beschraenken(sonst Skalieren). Fuer solche x wurde aber die gewuenschte Aussageim vorangehenden Beweis gezeigt. �

← →Ende der VorlesungDie grundlegende Eigenschaft eines positiven Funktionale φ auf A

ist, dass〈a, b〉 := φ(ab∗)

eine Semiskalarprodukt ist:

• linear im ersten Argument: klar.• konjugiert linear im zweiten Argument: klar.• nichtnegativ auf der Diagonalen: klar.

Damit folgt dann automatisch auch

• Antisymmetrie.


(Uebung: Betrachte 〈a+b, a+b〉 = ... und 〈a+ ib, a+ ib〉...). Natuerlichist Antisymmetrie sowieso klar, wenn A eine Eins hat, da φ reell ist.

Damit folgt dann insbesondere die Cauchy-Schwarz Ungleichung

φ(ab∗) ≤ φ(aa∗)1/2φ(bb∗)1/2.

Hat A eine Eins, so folgt also insbesondere durch Waehlen von b = e

|φ(a)| ≤ φ(e)1/2φ(aa∗)1/2

und es gilt - wie eben gezeigt -

φ(a∗) = φ(a).

Damit sind positive Funktionale Auf einer Algebra mit Eins besondersschoene Objekte. Falls A keine Eins hat, kann man unter Umstaendenein positives Funktional auf A fortsetzen zu einem positiven Funktio-naal auf A1.

Lemma (Fortsetzbarkeit positiver Funktionale). Sei A eine Banachal-gebra (ohne Eins) mit einer Involution. Sei φ ein positives Funktionalauf A. Dann sind aequivalent:

(i) φ kann zu einem positiven Funktional auf A1 fortgesetzt wer-den.

(ii) Es gilt φ(x∗) = φ(x) fuer alle x ∈ A und es gibt ein C ≥ 0 mit|φ(x)|2 ≤ C|φ(xx∗)| fuer alle x ∈ A.

Beweis. (i)=⇒ (ii): Wir wissen schon, dass ein positives Funktional aufeiner Banachalgebra mit Eins reell ist und (nach Cauchy-Schwarz) dieangegebene Ungleichung erfuellt.

(ii)=⇒ (i): Nach Voraussetzung (ii) gilt fuer alle x ∈ A und λ ∈ C

−<(λφ(x) ≤ |λφ(x)| ≤ |λ|C1/2|φ(xx∗)|1/2

und damit dann also

−2|λ|C1/2|φ(xx∗)|1/2 ≤ <(λφ(x).

Wir setzen φ(e) := C (wobei wir die Fortsetzung auch mit φ bezeich-nen.) Dann koennen wir unter Nutzen der eben gezeigten Ungleichungrechnen

φ((x+ λe)(x+ λe)∗) = φ(xx∗) + 2<(λφ(x)) + |λ|2C≥ φ(xx∗)− 2|λ|C1/2|φ(xx∗)|1/2 + |λ|2C= (φ(xx∗)1/2 − |λ|C1/2)2

≥ 0.

Dabei haben wir die Voraussetzung φ(x∗) = φ(x) im zweiten Schrittund die Ungleichung im dritten Schritt benutzt. Das beendet den Be-weis. �


Wir erinnern daran, dass eine Involution auf einer kommutativen Ba-nachalgebra symmetrisch heisst, wenn Γa∗ = Γa gilt.

Theorem (Satz von Bochner). Sei A eine kommutative Banachalgebramit eine symmetrischen Involution. Sei φ ein positives Funktional auf

A, das zu einem positiven Funktional auf A fortgesetzt werden kann.

Dann existiert ein eindeutiges positives Maß µ auf A mit µ(A) < ∞und

φ(a) =

∫Γadµ

fuer jedes a ∈ A.

Zeichnung. φ = µ ◦ Γ. Lift von φ auf C0(A) via Γ.

Bemerkung. Offenbar gilt auch die Umkehrung: Ist µ ein endliches po-

sitives Maß auf A, so ist µ◦Γ ein positives Funktional auf A. Dieses kann

zu einem positiven Funktional auf A fortgesetzt werden (da man, wenn

A keine Eins hat, offenbar µ zu einem Mass aufA = A∪{γ∞} fortsetzen

kann). Damit besteht also insgesamt eins-zu-eins Beziehung zwischenpositiven fortsetzbaren Funktionalen auf A und endlichen Massen auf

A, sogar dann wenn Γ keine Bijektion ist. (Wenn Γ eine Bijektion ist,ist die Aussage nach dem Satz von Riesz natuerlich sowieso klar.)

Beweis. Ohne Einschraenkung habe A eine Eins.

Das Ziel ist es nun die Abbildung φ von A auf C0(A) zu liften. Esstellen sich folgende Probleme:

• Γ ist nicht unbedingt injektiv. (Wir brauchen aber Γa = Γb =⇒φ(a) = φ(b).)• Stetigkeit des Lift?

Definiere〈·, ·〉 : A× A −→ C, 〈a, b〉 := φ(ab∗).

Wie oben diskutiert ist dann 〈·, ·〉 eine positive Sesequilinearform undes gilt die Cauchy-Schwarz Ungleichung und es folgt

|φ(a)|2 = |φ(ae∗)|2 ≤ φ(aa∗)φ(ee∗) = φ(e)φ(aa∗).

Ohne Einschraenkung: φ(e) = 1. (Andernfalls unterscheiden wir zweiFaelle: φ(e) = 0: Dann gilt φ ≡ 0. φ(e) 6= 0: Skalieren.)

Dann gilt also|φ(a)| ≤ φ(aa∗)1/2.

Wir setzen b := aa∗. Dann ist b selbstadjungiert (und es gilt demnachbb∗ = b∗b = b2). Iteriert man nun die Abschaetzung fuer φ so folgt

|φ(a)| ≤ |φ(b)|1/2 ≤ φ(bb∗)1/4 ≤ · · · ≤ φ(b2n)1

2n+1 ≤(‖φ‖‖b2n‖

) 12n+1 .

Bilden des Grenzwertes n→∞ liefert dann

|φ(a)| ≤ r(b)1/2.


Wir berechnen nun

r(b)1/2 = r(Γb)1/2

= r(ΓaΓa∗)1/2

(Involution symmetrisch) = r(|Γa|2)1/2

(Spektralradius selbstadjungierer Operator) = ‖|Γa|2‖1/2∞

= ‖Γa‖∞.Damit gilt also insgesamt

|φ(a)| ≤ ‖Γa‖∞fuer alle a ∈ A. Diese Abschaetzung loest nun ’alle unsere’ Probleme.Genauer koennen wir damit zu φ eine Abbildung

φ : Γ(A) −→ Cfinden mit

• φ(Γa) = φ(a) (φ ist ein Lift)

• |φ(Γa)| ≤ ‖Γa‖∞ (Stetigkeit)

• φ ist positiv. (Positiv)

(Denn:

• Wohldefiniert: Γa = Γb =⇒ Γa−b = 0 =⇒ ‖Γa−b‖∞ = 0 =⇒φ(a − b) = 0 =⇒ φ(a) = φ(b) (Dabei haben wir im vorletzenSchritt die Abshaetzung verwendet;• Stetigkeit : Das folgt direkt aus der Abschaetzung;• Positivietat : Das folgt da die Involution symmetrisch ist und

Γ multiplikativ auf folgende Weise

φ(ΓaΓa) = φ(ΓaΓa∗) = φ(Γaa∗) = φ(aa∗) ≥ 0.

Das beendet diesen Schluss.)

Nach einer schon diskutierten Folgerung des Satzes von Stone-Weiterstrass

gilt ΓA = C0(A). Damit liefert dann die zum Anfang des Abschnittesbesprochene Folgerung aus dem Satz von Riesz das gewuenschte Re-sultat. Das beendet den Beweis. �

KAPITEL 3

Harmonische Analysis gewisser abelscher Gruppen

In diesem Abschnitt wenden wir Gelfandheorie an auf die AlgebraL1(G) fuer eine lokalkompakte abelsche Gruppe G. Das wird zeigen,wie die Fourieranalysis mittels Gelfandtheorie entwickelt werden kann.Dabei werden wir im ersten Abschnitt den Spezialfall G = Z betrach-ten und dafuer einen wichtigen Satz beweisen und im zweiten Abschnitteinen Ueberblick (zum Teil ohne Beweise) ueber Teile der Theorie ge-ben.

1. Die Algebra A = `1(Z) und ein Satz von Wiener

In diesem Abschnitt lernen wir Gelfands einfachen Beweis eines Satzesvon Wiener kennen. Dieser Beweis hat massgeblich dazu beigetragen,Gelfands Theorie popular zu machen.

Erinnerung. Sei A = `1(Z) mit Faltung

ξ ∗ η(n) :=∑k

ξ(n− k)η(k),

Involution

ξ∗(n) := ξ(−n),

und Norm

‖ξ‖ :=∑|ξ(n)|.

Dann istA eine kommutative Banachalgebra mit Eins e = δ0. Weiterhingilt

δn+m = δn ∗ δmfuer alle n,m ∈ Z und damit offenbar

δn = (δ1)n

fuer alle n ∈ Z. Ende der Erinnerung.

Wir bestimmen nun als erstes die Charaktere von A.

Proposition (Charaktere von `1(Z)). Sei A = `1(Z). Die Abbildung

T −→ A, z 7→ γz mit

γz(ξ) :=∑n∈Z

ξnzn

ist ein Homeomorphismus.

57

58 3. HARMONISCHE ANALYSIS GEWISSER ABELSCHER GRUPPEN

← →Ende der VorlesungBeweis. Wir zeigen zunaechst, dass γz tatsaechlich zu A gehoert:

γz ist linear: klar.

γz ist multiplikativ: Kleine Rechnung mit Fubini

γz(ξ ∗ η) =∑n

zn(ξ ∗ η)(n)

=∑n

zn∑k

ξ(n− k)η(k)

(Fubini) =∑k

(∑n

zn−kξ(n− k)

)zkη(k)

= γz(ξ)γz(η).

γz verschwindet nicht: γz(δ0) = 1.

Wir zeigen nun, dass die Abbildung eine Homeomorphismus ist. Da Tund A kompakte Hausdorffraeume sind, reicht es zu zeigen, dass dieAbbildung eine stetige Bijektion ist.

Die Abbildung ist surjektiv. Sei γ ∈ A beliebig. Setze z := γ(δ1). (Etwasanderes bleibt uns gar nicht uebrig, wenn die Aussage gelten soll!) Mit

|γ(δ1)| ≤ ‖δ1‖ ≤ 1, |γ(δ1)−1| = |γ(δ−1)| ≤ ‖δ−1‖ ≤ 1

folgt z ∈ T. Wegen δk := (δ1)k gilt aufgrund der Stetigkeit und Multi-plikativitaet von γ

γ(∑

ξ(k)δk) =∑

ξ(k)γ(δk) =∑

ξ(x)zk.

Die Abbildung ist injektiv: Klar (da z = γz(δ1)).

Die Abbildung ist stetig: Es gelte zn → z. Zu zeigen: γzn(ξ) → γz(ξ)fuer jedes ξ ∈ A. Das ist aber einfach....(Nutzt Summierbarkeit der(ξ(n))...) �

Aufgrund der vorangehenden Proposition koennen und werden (!) wirdie Gelfandtransformation auf A = `1(Z) auch auffassen als die Abbil-dung

A −→ C(T), ξ 7→ ξ = F (ξ)

mit

ξ(z) :=∑

ξnzn.

Diese Abbildung ist aber gerade die sogenannte Fouriertransformation.

Folgerung. Fuer ξ ∈ A gilt

σ(ξ) = Bild von ξ = {∑

ξnzn : z ∈ T}).

2. ABSTRAKTE HARMONISCHE ANALYSIS 59

Beweis. Das folgt sofort, da die Gelfandtransformation das Spektrumerhaelt. �

Fuer jedes f ∈ C(T) definieren wir die Fourierkoeffizienten

fn :=1

2π

∫ 2π

0

f(eiθ)(e−iθ)ndθ.

Fuer ξ ∈ A, sind dann die Fourierkoeffizienten von ξ gerade die ξn(Nachrechnen unter Nutzen der Orthonormalitaet der zn). Weiterhingilt

ΓA = {f ∈ C(T) : Fourierkoeffizienten von f liegen in A}.

Hier die Inklusion ⊂ klar nach dem oben Bewiesenen. Die Inklusion⊃ folgt so: Betrachte zu f ∈ {. . .} die Funktion g :=

∑fnz

n. Dannhaben f und g dieselben Integrale, wenn sie gegen zn, n ∈ Z, integriertwerden. Da die zn, n ∈ Z, eine Orthonormalbasis bilden, stimmen dannf und g in L2(T) ueberein. Damit stimme nsie fast sicher ueberein undaufgrund der Stetigkeit stimmen sie dann ueberall ueberein.

Theorem (Wiener). Wenn h ∈ C(T) nirgends verschwindent und ab-solut summierbare Fourierkoeffizienten hat, so hat auch g := 1/h abso-lut summierbare Fourierkoeffizienten.

Beweis. [Beweis nach Gelfand:] Da die Fourierkoeffizienten von h sum-mierbar sind, gilt nach der dem Theorem vorangehenden Ueberlegung

h = ξ fuer ein ξ ∈ `1(Z). Da h nicht verschwindet und die Gelfandtrans-formation das Spektrum erhaelt, folgt dann

0 /∈ σ(h) = σ(ξ = σ(ξ).

Damit ist ξ invertierbar. Daher existiert also ein η ∈ `1(Z)m mit

ξ ∗ η = δ0.

Anwenden der Gelfandtransformation liefert

hη = 1

also

η =1

h.


2. Abstrakte harmonische Analysis

In diesem Abschnitt stellen wir eine Verallgemeinerung der Betrach-tungen des vorigen Abschnittes auf lokalkompakte abelsche Gruppevor. Teile des Abschnittes werden in der Uebung bzw. einem Appendixgenauer behandelt.


Sei G eine lokalkompakte abelsche Gruppe (d.h. G ist ein lokakompak-ter Raum und eine abelsche Gruppe und die Gruppenoperationen sindstetig).

Beispiele. R, Rd, Z, Zd, T, Td, Z/NZ.

Fuer eine lokalkompakte abelsche Gruppe gibt es ein (bis auf normie-rung) eindeutiges translationinvariantes Maß, das sogenannte HaarscheMaß. Translationinvariant bedeutet, dass gilt∫

ϕ(t+ x)dx =

∫ϕ(x)dx

fuer alle ϕ ∈ Cc(G). Dieses Maß ist dann auch invariant unter Inversion∫f(−x)dx =

∫f(x)dx.

(Fuer allgemeine lokalkompakte Gruppen gibt es eindeutige links- bzwrechts-invariante Maße. Gilt noch Invarianz unter Spiegelung sprichtman von unimodularen Gruppen.)

Beispiel....

Mit diesem Maß kann man dann den Raum L1(G) einfuehren. Mit derFaltung

f ∗ g(x) :=

∫f(x− y)g(y)dy

der Involutionf ∗ (x) := f(−x)

und der Norm

‖f‖1 :=

∫|f(x)|dx

wird L1(G) zu einer kommutativen involutiven Banachalgebra. Es istL1(G) tatsaechlich Teil einer groesseren Banachalgebra, naemlich derBanachalgebra der Maße

MbV := Lin{µ : µ endliches positives regulaeres Mass auf G}.Jedes Element µ aus MbV kann man also schreiben als

µ = µ1 − µ2 + iµ3 − iµ4

mit positiven regulaeren endlichesn Massen µi, i = 1, . . . , 4. Bei MbV

handelt es sich gerade um den Dualraum von C0(G) (nach dem Satzvon Riesz). Durch

µ ∗ ν(φ) :=

∫φ(x+ y)d(µ× ν)

wird eine Multiplikation auf MbV eingefuehrt und durch

µ∗(φ) := µ(φ∗)

eine Involution und durch

‖µ‖ := sup{|µ(φ)| : ‖φ‖∞ ≤ 1}


eine Norm. Dann ist MbV eine Banachalgebra mit Eins, naemlich δ0.Es ist

L1(G) −→MbV , f 7→ fdx

ein Algebrenhomomorphismus. Wir identifizieren L1(G) mit seinemBild in MbV . In dieser Weise kann man insbesondere auch L1

1 leichtals Unterraum von MbV identifizieren und das ist eine sehr nuetzlicheBetrachtungsweise. Das Bild von L1 in MbV ist ein Ideal. Genauer gilt

µ ∗ (fdx) = (µ ∗ f)dx

mit

µ ∗ f(x) =

∫f(x− y)dµ(y).

Dieses Ideal ist ein wesentliches Ideal d.h. ’gross’ in dem Sinne das gilt:Ist µ ∗ f = 0 fuer alle f ∈ L1(G), so gilt µ = 0. (Die zugehoerige kleineRechnung ueberlassen wir als Uebung).

Definition (Charakter). Ein Charakter auf G ist ein stetiger Grup-penhomomorphismus

γ : G −→ T.Die Menge aller Charaktere auf G wird mit G bezeichnet.

Bemerkung. Die Charakterere sind gerade die eindimensionalen uni-taeren Darstellungen der Gruppe. Fuer nichtabelsche Gruppen gibt es(oft) keine nichttrivialen Charaktere (aber hoeherdimensionale unitae-re Darstellungen).

Beispiele.Die Gruppe G = Z. In diesem Fall entsprechend die Charaktere geradeden Elementen von T via

T −→ G, z 7→ (n 7→ zn).

Bew. Offenbar handelt es sich bei den angegebenen Abbildungen umCharaktere der Gruppe und verschiedene z ∈ T entsprechen verschie-denen Charakteren. Umgekehrt ist jeder Charakter auf Z offenbar ein-deutig durch seinen Wert z ∈ T auf 1 ∈ Z bestimmt.

Die Gruppe G = T. In diesem Fall entsprechen die Charactere geradeden Elementen von Z via

T −→ T, (n 7→ (z 7→ zn)).

Bew. Offenbar handelt es sich bei den angegebenen Abbildungen umCharaktere der Gruppe und verschiedene k ∈ R entsprechen verschie-denen Charakteren. Umgekehrt ist jeder Charakter auf Z offenbar ein-deutig durch seinen Wert z ∈ T auf 1 ∈ Z bestimmt.Bemerkung. Wir beobachten also eine gewissen ’Dualitaet’ zwischenZ und T. Das ist kein Zufall (s.u.).


Die Gruppe G = R. In diesem Fall entsprechen die Charactere geradeden Elementen von R via

R −→ R, (k 7→ (x 7→ eikx)).

Bew. Offenbar handelt es sich bei den angegebenen Abbildungen umCharaktere der Gruppe und verschiedenen k entsprechen verschiedeneCharaktere. Umgekehrt erfuellt jeder Charakter auf R die Funktional-gleichung der Exponentialfunktion, ist stetig und nimmt Werte nur inT an. Damit muss er dann die angegebene Form haben.

Die Gruppen Gd. Ist G eine Gruppe mit Characteren G, so hat die

Gruppe Gd in natuerlicher Weise die Menge Gd als Charactere. Wirueberlassen die Details als Uebung.

← →Ende der Vorlesung Damit haben wir nun zwei Mengen von Charakteren auf G definiert,

naemlich G und L1(G). Unser naechstes Ziel ist zu zeigen, dass diese ue-bereinstimmen. Wir fuehren dazu zunaechst die Fouriertransformationein: Mithilfe der Charaktere koennen wir die Fouriertransformation

F : L1(G) −→ Cb(G)

undF : MbV −→ Cb(G)

definieren wie folgt:

Ff(γ) = f(γ) =

∫(γ, x)f(x)dx

bzw.

Fµ(γ) = µ(γ) =

∫(γ, x)dµ(x).

Theorem (Die Charaktere sind die Charaktere). Sei G eine lokalkom-pakte abelsche Gruppe. Dann ist

G −→ L1(G), γ 7→ (f 7→ Ff(γ)),

eine Bijektion.

Beweis. Es ist einiges zu zeigen. Dabei ist bis auf die Surjektivitaetalles mehr oder weniger direkt zu sehen.

Definiere fuer γ ∈ G die Abbildung Cγ : L1(G) −→ C, Cγ(f) =F (f)(γ).

Fuer jedes γ ∈ Γ ist Cγ ein Charakter. Direkte Rechnung zeigt Linea-ritaet und Multiplikativitaet von Cγ. Offenbar verschwindet Cγ nicht(waehle f = γ auf eine kompakten Menge mit offenem Inneren undf = 0 sonst).

Die Abbildung γ 7→ Cγ ist injektiv. Gilt γ 6= %, so gibt es ein t ∈ G mitγ(t) 6= %(t). Damit gilt dann also auch γ(s) 6= %(s) fuer s nahe t. Damit


folgt die gewuenschte Aussage (indem man geeignete f betrachtet, dienahe t getragen sind).

Die Abbildung γ 7→ Cγ ist surjektiv. Sei C : L1(G) −→ C ein Charakter.Dann gibt es (wegen L∞(G) = L1(G)∗) also ein γ : G −→ C mit

C(f) =

∫G

γ(t)f(t)dt

fuer alle f ∈ L1(G). Wir muessen zeigen, dass γ ein Charakter auf Gist. Dazu rechnen wir fuer f, g ∈ L1(G):∫

C(f(· − y))g(y)dy =

∫ ∫f(x− y)γ(x)dxg(y)dy

(Fubini) =

∫ ∫f(x− y)g(y)dyγ(x)dy

= C(f ∗ g)

(C multiplikativ) = C(f)C(g)

= C(f)

∫g(y)γ(y)dy.

Da das fuer alle g ∈ L1(G) gilt, liefert ein Vergleich dann

C(f(· − y)) = C(f)γ(y) (∗)fuer fast alle y ∈ G. Es gilt nun, dass die linke Seite von (∗) stetig vony abhaengt (da y 7→ f(· − y) isometrisch und damit stetig in L1(G) istund C stetig ist). Damit haengt auch die rechte Seite stetig von y ab.Waehlt man nun f mit C(f) 6= 0 (moeglich, da C ein Charakter aufL1(G)), so folgt, dass

γ(y) =C(f(· − y))

C(f)

ohne Einschraenkung stetig in y gewaehlt werden kann und diese For-mel dann fuer alle y ∈ G gilt und alle f gilt, fuer die der Nenner nichtverschwindet. Weiterhin sieht man

γ(0) = 1.

Wir wenden nun (∗) mehrfach an und erhalten

C(f)γ(x+ y) = C(f(· − x− y))

(∗) = C(f(· − x))γ(y)

(∗) = C(f)γ(x)γ(y).

Damit ist γ : G −→ C also multiplikativ mit (siehe oben) γ(0) =1. Damit folgt dann also auch γ(−x) = 1

γ(x). Da γ beschraenkt ist,

muessen dann aber die Werte von γ auf der Einheitskreislinie liegen.Damit sind die gewuenschten Eigenschaften von γ gezeigt. �


Das vorige Theorem liefert einen alternativen Blick auf den Charak-terraum der Algebera L1(G). Das erlaubt weitreichende Folgerungen.Zunaechst bedeutet es, dass man die Fouriertransformation als die Gel-fandtransformation interpretieren kann.

Folgerung. Nach Identifikation von G und L1(G) stimmen Fourier-transformation und Gelfandabbildung ueberein. Insbesondere bildet die

Fouriertransformation nach C0(G) ab (wenn man G mit der Topologie

von L1(G) ausstattet).

Auch koennen wir weitere Informnationen zur Gelfandtransformationgewinnen:

Proposition. Die Involution auf L1(G) ist symmetrisch (d.h. es giltΓf∗ = Γf fuer alle f ∈ L1(G)). Insbesondere hat die Gelfandtransfor-mation dichtes Bild.

Beweis. Das folgt durch direkte Rechnung unter Nutzen der Gleichheitvon Fouriertransformation und Gelfandtransformation:

Γf∗(γ) = F (f ∗)(γ)

=

∫f ∗(y)γ(y)dy

=

∫f(−y)γ(y)dy

=

∫f(y)γ(−y)dy

(γ Charakter) =

∫f(y)γ(y)dy

= F (f)(γ)

= Γf (γ).

Die Aussage ueber die Dichtheit des Bildes folgt aus der Symmetrieund schon bewiesenen Aussagen. �

Schliesslich koennen wir dann folgendes wichtige Resultat beweisen.

Proposition. Es ist L1(G) halbeinfach (d.h. die Gelfandtransforma-tion ist injektiv). Insbesondere ist MbV halbeinfach.

Beweis. Die erste Aussage ist aufwendig. Das Insbesondere folgt dann,da L1 ein wesentliches Ideal ist. �

Durch Zusammensetzen der vorangehenden Aussagen erhaelt man.

Folgerung. Die Gelfandtransformation auf L1(G) ist injektiv mitdichtem Bild.

Bemerkung - Pontryagin Dualitaet. Wir haben also folgende Si-tuation:


• G ist eine abelsche Gruppe (einfach)

• L1(G) ist ein lokalkompakter Raum.

Mit obigem Theorem koennen wir dann G zu einer lokalkompaktenabelschen Gruppe machen. Es gilt folgender bemerkenswerter Sachver-halt:

G = G.

Das ist unter dem Namen Pontryagin Dualitaet bekannt.

Bemerkung - Fouriertransformation auf L2(G). Es ist nach dem

oben diskutierten ΓL1(G) dicht in C0(L1(G)). Man kann zeigen mittelsdes Satz von Bochner, dass die Fouriertransformation auf L1(G)∩L2(G)isometrisch ist und sich zu einer unitaeren Abbildung von L2(G) nach

L2(G) fortsetzen laesst. Wir skizzieren kurz die entsprechenden Schrit-te: Zu g ∈ L1(G) ∩ L2(G) definieren wir das lineare Funktional

φg : L1(G) −→ C, f 7→ g ∗ g∗ ∗ f(0).

Dann ist φg positive, denn es gilt

φg(f ∗ f ∗) = (g ∗ f) ∗ (g ∗ f)∗(0) =

∫|g ∗ f(−y)|2dy ≥ 0

fuer alle f ∈ L1(G). Damit existiert nach dem Satz von Bochner also

ein endliches Mass µg auf L1(G) mit

φg(f) =

∫Γfdµg

fuer alle f ∈ L1(G). Identifiziert man, wie gerade oben gezeigt, G mit

L1(G) und die Fouriertransformation mit der Gelfandtransformation,so gilt also

φg(f) =

∫F (f)dµg

fuer alle f ∈ L1(G). Nun kann man (mit etwas Aufwand) unter Benut-zung von∫

|F (f)|2dµg = φg(f ∗ f ∗) = φf (g ∗ g∗) =

∫|F (g)|1dµf

zeigen, dass µg die Form |F (g)|2dm mit dem Haarmass dm auf G hat.Damit gilt also insgesamt

g ∗ g∗ ∗ f(0) = φg(f) =

∫F (f)|F (g)|2dm

fuer alle f ∈ L1(G). Durch Betrachten eine δ-Folge erhaelt man dann(mit etwas Aufwand)

g ∗ g∗(0) =

∫|F (g)|2dm.


Das zeigt, dass F eine Isometrie auf L1(G)∩L2(G) ist. Da L1(G)∗L2(G)dicht in L2(G) ist, kann man dann F zu einer Isometrie auf L2(G)fortsetzen. Es bleibt zu zeigen, dass F surjektiv ist. Das zeigt man(mit etwas Aufwand) unter Nutzen des dichten Bildes von L1(G) unter

F in C0(G).

KAPITEL 4

Kommutative C∗-Algebren u. stetigerFunktionalkalkul

In diesem Kapitel wenden wir Gelfandtheorie auf kommutative C∗-Algebren and. Es wird sich zeigen, dass dann

Γ : A −→ C0(A)

ein isometrischer Isomorphismus involutiver Algebren ist. In diesemSinne sind also kommutative C∗-Algebren gerade Algebren der FormC0(X) mit lokalkompaktem X. Dies mag erst einmal wie ein speziellesResultat erscheinen. Es hat jedoch starke Konsequenzen auch fuer dienormalen Operatoren in einer beliebigen C∗-Algebra, da diese kommu-tative Unteralgebren erzeugen.

1. Der Isomorphiesatz fuer kommutative C∗-Algebren

In diesem Abschnitt lernen wir den grundlegenden Isomorphiesatz ken-nen: Kommutative C∗-Algebren sind gerade C0(X) fuer geeignete lo-kalkompakte Hausdorffraeume X. Im Beweis kommen zwei SpezielleEigenschaften von C∗-Algebren zum Tragen:

• Die Norm normaler Elemente ist durch den Spektralradius ge-geben (und so Γ isometrisch, da es das Spektrum erhaelt undin einer kommutativen C∗-Algebra jedes Element normal ist).• Das Spektrum selbstadjungierer Elemente ist reell (und da-

her ist Γ mit der Involution vertraeglich und hat dann dichtesBild).

Theorem. Sei A eine kommutative C∗-Algebra mit A 6= {0}. Dann

gilt A 6= {0} und die Abbildung

Γ : A −→ C0(A), a 7→ Γa =: a,

ist ein isometrischer Isomorphismus von involutiven Algebren. Insbe-sondere gilt σ(Γa) = σ(a) fur alle a ∈ A.

Beweis. Wir zeigen eine Reihe von Aussagen.

Es ist A nichtleer. Wegen A 6= {0} gibt es ein a ∈ A mit a 6= 0. Dannexistiert auch ein selbstadjungiertes b mit b 6= 0 (zum Beispiel b = aa∗).Damit gilt dann mit dem Spektralradius r(b) also

0 < ‖b‖ = r(b)

67

68 4. KOMMUTATIVE C∗-ALGEBREN

und damit dann σ(b) 6= {0}. Daher existiert dann (s.o. Betrachtungen

zu ’a nimmt Wert λ an’) ein γ ∈ A mit γ(b) 6= 0.

Es ist Γ eine Algebrenhomomorphismus. Das gilt fuer allgemeine Ba-nachalgebren.

Es ist Γ mit ∗ vertraeglich. Da A eine C∗-Algebra ist, gilt fuer selbstad-jungierte a die Inkulsion σ(a) ⊂ R (s.o.). Damit folgt (wie auch obenschon diskutiert) dann, dass Γ mit ∗ vertraeglich ist. Wir erinnernkurz an die Details. Da der Wertebereich von Γa gerade das Spektrum(bis auf eventuell die 0) ist, nimmt Γa dann fuer selbstadjungierte anur reelle Werte an. Nun laesst sich aber ein beliebiges a schreibenals a = u + iv mit selbstadjungiertem u = <(a) = 1

2(a + a∗) und

v = =(a) = 12i

(a− a∗). Damit gilt dann

Γa∗ = Γu−iv

= Γu − iΓv(Γu,Γv reell) = Γu + iΓv

= Γa.

Das beendet diesen Teil des Beweis.

Es ist Γ isometrisch, also insbesondere injektiv. Sei a ∈ A beliebig.Dann gilt unter Nutzen der C∗ Eigenschaft.

‖a‖2 = ‖a∗a‖2

(a∗a selbstadjungiert) = r(a∗a)

(Γ erhaelt σ) = r(Γa∗a)

(vorige Zwischenbeh.) = r(|Γa|2)

= ‖|Γa|2‖∞= ‖Γa‖2

∞.

Es ist Γ surjektiv. Da Γ mit ∗ vertraeglich ist, hat es (wie oben dis-kutiert) dichtes Bild nach dem Satz von Stone / Weierstrass. Da Γisometrisch ist, muss es dann surjektiv sein. �

Bemerkung. Im Kapitel ueber kommutative Banachalgebren habenwir schon gesehen, dass fuer A = C0(X) mit (lokal)kompaktem Haus-

dorffraum X, der Charakterraum A in natuerlicher Weise mit X iden-tifieziert werden kann, via

δ : X −→ A, x 7→ δx.

In dieser Identifikation wird dann Γ gerade die Identitaet

Γ : C0(X) −→ C0(A) = C0(X),

d.h. es giltΓ(f)(δx) = δx(f) = f(x).

Das vorangehende Theorem besagt, dass dies tatsaechlich die allge-meinste Situation fuer kommutative C∗-Algebren ist.

2. ANWENDUNGEN AUF NORMALE OPERATOREN 69

2. Anwendungen auf normale Operatoren

Das Hauptergebnis des vorigen Abschnittes hat starke Anwendungenfuer normale Operatoren in beliebigen C∗-Algebren. Insbesondere er-laubt es uns, recht allgemeine Funtionen von normalen Elementen zubilden. Das Bilden von Funktionen ist unter dem Namen ’Spektralkal-kuel’ bekannt. Wir werden das im folgenden genauer untersuchen.

Lemma (Mini-Spektralkalkuel). Sei A eine kommutative C∗-Algebramit Eins e, die von e und einem a ∈ A erzeugt wird. Dann gibt es eineneindeutigen isometrischen Isomorphismus von involutiven Algebren

φ : C(σ(a)) −→ A mit φ(1) = e und φ(id) = a.

Bemerkung (Uebung) Sei A eine C∗-Algebra A ohne Eins, die vona erzeugt wird. Dann gibt es einen eindeutigen isometrischen Isomor-phismus von involutiven Algebren

φ : C0(σ(a) \ {0}) −→ A

mit φ(id) = a.

Beweis. Existenz. Wir wissen schon:

• a = Γa : A −→ σ(a), γ 7→ γ(a), ist Homeomorphismus (s.o.).Damit ist dann also

ψ : C(σ(a)) −→ C(A), f 7→ f ◦ a,ein isometrischer Isomorphismus von involutiven Algebren.

• Γ : A −→ C(A) ist isometrischer Isomorphisms involutiverAlgebren (voriges Theorem).

Wir betrachten nun

φ := Γ−1 ◦ ψ : C(σ(a)) −→ A.

Dann ist φ ein isometrischer Isomorphismus involutiver Algebren mit

φ(1) = Γ−1(ψ(1)) = Γ−1(1) = e

undφ(id) = Γ−1(ψ(id)) = Γ−1(a) = Γ−1(Γa) = a.

Das liefert die gewuenschte Existenzaussage.

Eindeutigkeit. Seien φ1, φ2 zwei solche Abbildungen. Zu zeigen φ1 = φ2.Wir definieren die ’gute Menge’ auf der φ1 und φ2 uebereinstimmen undzeigen, dass sie gross ist: Sei

L := {f ∈ C(σ(a))) : φ1(f) = φ2(f)}.Da die φi Algebrenisomorphismen sind, ist L eine Algebra. Weiterhingilt dann

• L ist selbstadjungiert (da φi die Involution respektieren).• L trennt die Punkte (da nach Voraussetzung gilt id ∈ L).• L verschwindet nirgends (da nach Vorausetzung gilt 1 ∈ L).


Damit ist dann nach Stone / Weierstrass also L dicht in C(σ(a)). Wei-terhin ist aber L abgeschlossen, da φ1 und φ2 stetig sind. Es stimmtals L mit C(σ(a)) ueberein. �

Notation. In der Situation des vorangehenden Lemma schreibt manauch

f(a) := φ(f).

Das ist wie folgt motiviert: Ist P ein Polynom in z

P (z) =n∑j=0

cjzj,

so gilt unter Verwendung der charakteristischen Eigenschaften von φ

φ(P ) =n∑j=0

cjφ(z)n =n∑j=0

cjaz =: P (a),

wobei man die naheliegende Definition von P (a) waehlt.← →Ende der Vorlesung

Bemerkung. Im folgenden werden wir immer wieder der von einemnormalen Operator a und er Eins erzeugten C∗-Algebra A begegnen. Esist eine grundlegende Idee, dass wir in dieses Situationen (aufgrund desvorangegangenen Lemma) ohne Einschraenkung annehmen koennen

A = C(σ(a)) und a = id.

Das erlaubt weitreichende Folgerungen.

Unser naechstes Ziel ist es die vorangehende Aussage auf normale Ele-mente in allgemeine C∗-Algebren zu verallgemeinern. (Beachte, dassein beliebiges Element einer kommutativen C∗-Algebra normal ist).Dazu brauchen wir noch eine Permanenzeigenschaft des Spektrum, dieebenfalls aus dem vorigen Theorem folgt.

Theorem (Permanenz des Spektrum). Sei B eine C∗-Algebra mit Einse und a ∈ B normal. Sei A die von e und a erzeugte Unteralgebra vonB. Dann gilt

σA(a) = σB(a).

Bemerkung. Das Ergebnis ist fundamental fuer die Verwendung vonC∗-Algebren in der Quantenmechanik. Dabei werden die Observablendurch selbstadjungierte Operatoren gegeben und die moeglichen Meß-werte sind gerade das Spektrum. Nach dem Theorem haengen danndie moeglichen Messwerte nicht von der Existenz weiterer Observablen(Auwahl der Algebra) ab. (Sie haengen aber im allgemienen von derReihenfolge von Messungen ab, und das spiegelt sich in der Nichtkom-mutativitaet.)

Beweis. Es gilt A ⊂ B. Offenbar folgt dann σB(a) ⊂ σA(a) (denn,wenn in B kein Inverses zur Verfuegung steht, dann erst recht nicht


in A). Wir zeigen nun σA(a) ⊂ σB(a). Sei λ ∈ σA(a). Angenommenλ /∈ σB(a). Dann existiert also ein b ∈ B mit

(a− λe)b = b(a− λe) = e.

Andererseits existiert aber (!) wegen λ ∈ σA(a) zu jedem ε > 0 einbε ∈ A mit

‖bε‖ = 1 und ‖(a− λe)bε‖ ≤ ε.

Damit folgt also

1 = ‖bε‖ = ‖ebε‖ = ‖b(a− λe)bε‖ ≤ ‖b‖ε

fuer alle ε > 0. Das ist ein Widerspruch.Zu (!): Es ist A die von e und a erzeugte C∗-Algebra. Daher koennenwir nach dem Lemma zum Minispektralkalkuel ohne Einschraenkungannehmen A = C(σA(a)) und a = id. Es ist dann aber fuer λ ∈ σA(a)die Funktion id− λ klein bei λ. Waehlt man nun

fε : C −→ [0, 1]

stetig mit fε(λ) = 1 und fε = 0 ausserhalb Uε(λ), so gilt offenbar

‖(id− λ)fε‖∞ ≤ ε.

Das beweist die gewuenschte Aussage. �

Ist A eine Algebra mit Eins, so kann ein Nullteiler d.h. ein s mit st = 0fuer ein t 6= 0 aus der Algebra natuerlich nicht invertierbar sein, da dieExistenz eines Inversen b sonst auf den Widerspruch

0 6= t = (bs)t = b(st) = 0

fuehren wuerde. Ein wesentliches Element im Beweis des Theoremsist eine approximative Version dieses Zusammenhanges fuer normaleElemente von C∗-Algebren. Das liefert die Aequivalenz der ’negativen’Aussage der Nichtexistenz eines Inversen mit der ’positiven’ Aussageder Existenz von beinahe zu Null multiplizierenden Elementen. Dashalten wir noch einmal gesondert fest.

Folgerung. Sei A eine C∗-Algebra mit Eins und a ∈ A normal. Danngilt λ ∈ σ(a) genau dann, wenn zu jedem ε > 0 ein bε ∈ A existiert mit‖bε‖ = 1 und ‖(a− λe)bε‖ ≤ ε.

Beweis. (Das wurde im Beweis des vorigen Theorems mitbewiesen. Hierdie Details: Wenn solche bε, ε > 0, existieren, so kann a − λe nichtinvertierbar sein, denn waere b ein Inverses so folgte der Widerspruch

1 = ‖bε‖ = ‖ebε‖ = ‖b(a− λe)bε‖ ≤ ‖b‖ε.

Gehoert umgekehrt λ zum Spektrum, so gehoert es auch zum Spektrumin der von a und e erzeugten C∗-Algebra und in dieser koennen wir diegewuenschten bε wie im Beweis des Theorem konstruieren.) �


Folgerung. Sei A eine C∗-Algebra mit Eins und a ∈ A normal.(a) a ist selbstadjungiert ⇐⇒ σ(a) ⊂ R.(b) a ist unitaer ⇐⇒ σ(a) ⊂ T.

Beweis. Aufgrund der im vorigen Theorem gezeigten Permanenz desSpektrums, koennen wir ohne Einschraenkung annehmen, dass A dievon e und a erzeugte C∗-Algebra ist. Dann koennen wir nach dem Mini-Spektralkalkuel aber ohne Einschraenkung annehmen A = C(σ(a)) unda = id : σ(a) −→ σ(a), z 7→ z. Damit gilt dann a∗ : σ(a) −→ C, z 7→ z.Damit folgen (a) und (b) einfach:

(a): a = a∗ ⇐⇒ z = z fuer alle z ∈ σ(a) ⇐⇒ σ(a) ⊂ R.

(b): a−1 = a∗ ⇐⇒ z−1 = z fuer alle z ∈ σ(a) ⇐⇒ σ(a) ⊂ T. �

In den vorigen beiden Folgerungen haben wir jeweils die Untersuchungeines normalen a auf Betrachtungen in der von a und e erzeugten C∗-Algebra zurueckgefuehrt. Das ist recht allgemein moeglich, wie folgen-des Theorem zeigt.

Theorem (Stetiger Funktionalkalkuel). Sei A eine C∗-Algebra mitEins e und a ∈ A normal. Dann existiert ein eindeutiger stetiger Ho-momorphismus

φ : C(σ(a)) −→ A

von involutiven Algebren mit φ(1) = e und φ(id) = a. Dieses φ istisometrisch und es ist sein Bild φ(C(σ(a)) die von e und a in A erzeugteC∗-Algebra. Weiterhin gilt

σ(φ(f)) = f(σ(a))

fuer alle f ∈ C(σ(a)).

Beweis. Existenz. Sei B die von a und e in A erzeugte C∗-Algebraund ι : B −→ A die kanonische Einbettung. Nach dem Lemma zumMinispektralkalkuel gibt es einen isometrischen Isomorphismus von C∗-Algebren

φ : C(σB(a)) −→ B

mit φ(1) = e und φ(id) = a. Nach dem Theorem zur Permanenz des

Spektrums gilt σB(a) = σA(a) und wir koennen also φ sehen als Abbil-dung

φ : C(σA(a)) −→ B.

Wenn wir diesen mit der kanonischen Inklusion ι kombinieren erhaltenwir eine Abbildung φ = ι ◦ φ mit den gewuenschten Eigenschaften.

Eindeutigkeit. Das folgt ganz aehnlich wie oben.

Isometrie. Es sind φ und ι isometrisch.

Das Bild von φ ist die von a und e erzeugte C∗-Algebra. Nach demSatz von Stone / Weierstrass ist C(σ(a)) die von 1 und id erzeugteC∗-Algebra. Damit folgt die Aussage einfach.


Die Aussage ueber das Spektrum. Da φ(f) normal ist (da es zu der kom-muntativen C∗-Algebra B gehoert) liefert Permanenz des Spektrum

σA(φ(f)) = σB(φ(f))

(φ Isomorphismus) = σC(σA(a))(f)

(direkt) = f(σ(a)).


Notation. In der Situation des vorigen Theorem schreibt man

f(a) := φ(f).

Folgerung (Komposition von Funktionen). Sei A eine C∗-Algebramit Eins e und a ∈ A normal. Sind f : σ(a) −→ C und g : f(σ(a)) −→C stetig, so gilt

f(g(a)) = (f ◦ g)(a).

Beweis. Wir betrachten die Abbildung

Ψ : C(σ(g(a))) −→ A, f 7→ (f ◦ g)(a).

Dann ist ψ ein Homomorphismus von involutiven Algebren mit folgen-den beiden Eigenschaften:

• ψ(id) = g(a).• ψ(1) = e.

Damit folgt dann aus dem vorigen Theorem

f(g(a)) = ψ(f) = (f ◦ g)(a).


Beispiel. Sei A eine C∗-Algebra und a ∈ A normal und f(z) =∑∞k=0 ckz

k eine auf ganz σ(a) gleichmaessig konvergente Reihe. Danngilt f(a) =

∑∞k=0 cka

k mit einer normkonvergenten Reihe.Bew. Es gilt nach Voraussetzung f = limN→∞ PN gleichmaessig aufσ(a) mit PN(z) =

∑Nk=0 ckz

k. Da φ isometrisch ist, folgt dann

f(a) = φ(f) = limN→∞

φ(PN) = limN→∞

N∑k=0

ckak =

∞∑k=0

ckak.

Dabei haben wir im vorletzten Schritt die oben berechntete Form vonφ auf einem Polynom benutzt.

Beispiel. SeiA die Sei eine n×nMatrix ueber C und normal. Dann gilt(vgl. lineare Algebra, evtl. Details zur ’ueblichen’ Diagonalisierung.)

a =k∑

n=1

λnpn


mit den paarweise verschiedenen Eigenwerten λ1, . . . , λk und orthogo-nalen Projektionen pn mit pnpm = 0 fuer n 6= m und

∑n=1 kpn = I.

Dann gilt

f(a) =k∑

n=1

f(λn)pn

fuer jedes f ∈ C({λ1, . . . , λk}).Bew. Zeige das die angegebenen Abbildung die charakteristischen Ei-genschaften hat:

• Algebrenhomomorphismus der die Involution respektiert. (Dasfolgt leicht, da die pn paarweise orthogonal sind und selbstad-jungiert).

• id(a) = a (das ist gerade die Formel a =∑k

n=1 λnpn).• 1(a) = I (das ist gerade die Formel

∑n=1 kpn = I).

KAPITEL 5

Etwas kommutative Topologie

Die Grundidee der Betrachtungen in diesem Abschnitt ist, dass lokal-kompakte Raeume und stetige Abbildungen zwischen ihnen aequiva-lent sind zu kommutativen C∗-Algebren und stetigen Homomorphis-men zwischen ihnen. Damit kann man dann eine Reihe von Themenin der Erforschung (lokal)kompakter Hausdorffraeume uebersetzten inThemen der Erforschung von kommutativen C∗-Algebren. Man erhaeltdann folgendes Bild:

Kompakter Raum X ←→ C∗-Algebra A = C(X)

Raum ←→ Maximaler Idealraum

Homeomorphismen ←→ Isomorphismen

Offene / abgeschlossene Mengen ←→ Ideale

Kompaktifizierungen ←→ Wesentliche Ideale

Maße ←→ Positive Funktionale.

Untersuchung entsprechender Themen der ’rechten’ Seite fuer nicht-kommutative C∗-Algebren liefern dann ’nichtkommutative Topologie’.

Wir beginnen mit etwas Notation. Ist φ : A −→ B ein einserhaltenderstetiger Homomorphismus von kommutativen C∗-Algebren mit Eins, sodefiniert man die dadurch induzierten Abbildung auf den maximalenIdealraeumen via

φ : B −→ A, % 7→ % ◦ φ.Es ist nicht schwer zu sehen, dass φ stetig ist.Ist α : X −→ Y ein stetiger Abbildung zwischen kompakten Haus-dorffraeumen, so definiert man die dadurch induzierte Abbildung zwi-schen den Raeumen stetiger Funktion via

αT : C0(Y ) −→ C0(X), f 7→ f ◦ α.

Es ist nicht, schwer zu sehen, dass αT ein einserhaltender Homomor-phismus von C∗-Algebren ist. Weiterhin brauchen wir fuer einen kom-pakten Raum X noch die Abbildung

jX : X −→ C(X), x 7→ δx.

Diese Abbildung ist bijektiv, wie in einem vorigen Abschnitt ausfuehr-lich diskutiert wurde (Kapitel 2, Abschnitt 4).

75

76 5. ETWAS KOMMUTATIVE TOPOLOGIE

Theorem. (a) Sind φ : A −→ B und ψ : B −→ C einserhaltendeHomomorphismen kommutativer C∗-Algebren mit Eins, so gilt

(ψ ◦ φ) = ψ ◦ φ.Ist A eine kommutative C∗-Algebra mit Eins, so gilt

idA = idC(A).

X (b) Sind α : X −→ Y und βY −→ Z stetige Abbildungen zwischenkompakten Raeumen, so gilt

(β ◦ α)T = αT ◦ βT .Ist X eine kompakter Raum, so gilt

idTX = idC(X).

(c) Es sind T undzueinander invers in folgendem Sinne: Ist φ : A −→B wie in (a), so gilt

(φ)T = ΓB ◦ φ ◦ Γ−1A .

Ist α : X −→ Y wie in (b), so gilt

(αT ) = jY ◦ α ◦ j−1X .

Bemerkung. Man kann das Theorem so verstehen, dass die Kategorieder kompakten Raeume mit den stetigen Abbildungen und die Katego-rie der kommutativen C∗-Algebren mit den Algebrenhomomorphismenaequivalent sind.

Beweis. Das folgt durch direkte Rechnungen. �

Folgerung. (a) Seien X, Y kompakte Hausdorffraeume. Dann sindX und Y genau dann homeomorph, wenn C(X) und C(Y ) isomorphsind.(b) Sind A,B kommutative C∗-Algebren mit Eins, so sind A und B

genau dann isomorph, wenn ihre maximalen Idealraeume A und B ho-meomorph sind.

Beweis. (a) Ist α : X −→ Y ein Homeomorphismus mit Inversemβ : Y −→ X, so gilt also α ◦ β = idY und β ◦ α = idX . Nach Teil (b)des vorangegangenen Theorem folgt dann fuer αT : C(Y ) −→ C(X)und βT : C(X) −→ C(Y ) also

βT ◦ αT = idC(Y ) und αT ◦ βT = idC(X)

und das liefert die gewuenschte Aussage.Ist umgekehrt φ : C(X) −→ C(Y ) ein Isomorphismus mit Inversemψ, so gilt also φ ◦ ψ = C(Y ) und ψ ◦ φ = C(X). Nach Teil (a) des

Theorems folgt dann fuer φ : C(Y ) −→ C(X) und ψ : C(X) −→ C(Y )also

φ ◦ ψ = idC(X)

und ψ ◦ φ = idC(Y )

5. ETWAS KOMMUTATIVE TOPOLOGIE 77

und das liefert eine Homeomorphie zwischen C(X) und C(Y ). Kombi-niert mit den Homeomorphismen jX und jY liefert diese die gewuensch-te Homeomorphie.

(b) Nach (a) sind A und B homeomorph genau dann, wenn C(A) und

C(B) isomorph sind. Kommbiniert man dies mit den isomorphen Gel-fandabbildungen, so ergibt sich die gewuenschte Aussage. �

Bemerkung. Aus den obigen Betrachtungen lassen sich aehnliche Aus-sagen fuer lokalkompakte Hausdorffraeume und beliebige kommutativeC∗-Algebren folgern. Dabei geht man so vor, dass man aus dem lo-kalkompakten Raum durch die Einpunktkompaktifizierung einen kom-pakten Raum gewinnt und aus der C∗-Algebra ohne Eins eine solchemit Eins durch hinzufuegen gewinnt und dann die obigen Aussagenanwendet. Allerdings ist dabei darauf zu achten, dass man nur solchestetigen Abbildungen zwischen den Raeumen und solche Homomor-phismen zwischen den C∗-Algebren betrachtet, die mit diesen Fortset-zungen vertraeglich sind. Das fuehrt auf die eigentlichen Abbildungen.Hier heisst

• eine stetige Abbildung zwischen lokalkompakten Raeumen ei-gentlich, wenn das Urbild jeder kompakten Menge unter dieserAbbildung wieder kompakt ist,• ein stetiger Algebrenhomomorphismus heisst eigentlich, wenn

er jede approximative Eins auf eine approximative Eins abbil-det.

(Wir werden spaeter noch approximative Einsen diskutieren. Darumverzichten wir hier auf die Details.)

Fuer die (Beweise der) weiteren Ueberlegungen ist es sinnvoll, sich dieGleichung

(φ)T = ΓB ◦ φ ◦ Γ−1A

noch einmal anzuschauen. Da ΓB und ΓA Isomorphismen sind, bedeutetdie Gleichung, dass man beim Umgang mit kommutativen C∗-AlgebrenA und B mit Eins und einem Algebrenhomomorphismus φ : A −→ Bohne Einschrankung annehmen kann:

A = C(A), B = C(B)φ = φT , d.h. φ(f) = f ◦ φ.

Lemma (Dualitaet). Seien A,B kommutative C∗-Algebren mit Einsund φ : A −→ B ein einserhaltender Homomorphismus. Dann gilt:

(a) φ injektiv ⇐⇒ φ surjektiv.

(b) φ surjektiv ⇐⇒ φ injektiv.

Beweis. Sei ohne Einschrankung (vgl. vorangehender Text)

A = C(A), B = C(B), φ = φT d.h. φ(f) = f ◦ φ.


(a) Es gilt

φ injektiv ⇐⇒ φ hat dichtes Bild

⇐⇒ φ surjektiv.

Hierbei ist der erste Schritt einfach und wir nutzen im letzten Schritt,

dass φ(B) kompakt ist als stetiges Bild einer kompakten Menge.← →Ende der Vorlesung

(b) Die Implikation ′ =⇒′ ist klar: Gilt φ(γ) = φ(%), so folgt γ◦φ = %◦φund aus der Surjektivitaet von φ folgt dann γ = %.

Wir zeigen nun die Implikation ′ ⇐=′: Sei g ∈ C(B) beliebig. Es ist die

Existenz eines f ∈ C(A) mit

g = f ◦ φzu zeigen. (Zeichnung.)

Da φ : B −→ A injektiv, existiert also ein

α : φ(B) −→ B

mit

α ◦ φ = idB.

Betrachte g ◦α : φ(B) −→ C und setze es zu einem stetigen f auf ganz

A fort. Dann hat dieses f die gewuenschten Eigenschaft

f ◦ φ = (g ◦ α) ◦ φ = g ◦ (α ◦ φ) = g ◦ idB = g.

Hier nutzen wir im ersten Schritt, dass f und g ◦ α nach Konstruktion

auf dem Bild von φ uebereinstimmen. Das beendet den Beweis. �

Beispiel. Sei B = Cb(R) und

A = {f ∈ B : f(x) = f(x+ 2π) fuer alle x ∈ R}.Dann ist die Inklusion j : A −→ B, f 7→ f, natuerlich injektiv. Damit

wird dann j : B ⊃ R −→ A = R/2πZ = T surjektiv.

Beispiel - dynamisches System. Sei A = C(A) eine kommutativeC∗-Algebra mit Eins. Dann gibt es gibt eine eins-zu-eins Korrespondenz

zwischen C∗-Isomorphismen von A und Homeomorphismen von A.

Folgerung. Seien A und B C∗-Algebren mit Eins. Sei φ : A −→ Bein einserhaltender injektiver Homomorphismus von involutiven Alge-bren. Dann ist φ eine Isometrie.

Bemerkung. Man beachte, dass nicht einmal Stetigkeit von φ vorauss-gesetzt wird (aber natuerlich aus Isometrie folgt). Tatsaechlich sindja Homomorphismen zwischen C∗-Algebren automatisch stetig (sieheoben bzw. siehe unten).


Beweis. Wir betrachten zunaechst den Fall, dass A und B kommutativsind. Sei dann ohne Einschrankung (s.o.)

A = C(A), B = C(B), φ = φT d.h. φ(f) = f ◦ φ.

Da φ injektiv ist, ist φ surjektiv. Damit folgt sofort

‖φ(f)‖∞ = ‖f ◦ φ‖∞ = ‖f‖∞.Im allgemeinen Fall betrachten wir die von b = a∗a und e in A erzeugteC∗-Algebra A′. Diese ist kommutativ und das ist dann auch der B′ :=φ(A′). Sei φ′ die Einschraenkung von φ auf A′. Dann ist φ′ eine injektiveAbbildung zwischen kommutativen C∗-Algebren und nach dem erstenTeil des Beweises ist dann φ′ eine Isometrie. Insbesondere folgt also ausder charakteristischen Eigenschaft der C∗-Norm

‖a‖2 = ‖b‖ = ‖φ(b)‖ = ‖φ(a)∗φ(a)‖ = ‖φ(a)‖2

und das ist die gewuenschte Aussage. �

Wir kommen nun zu einer Beschreibung der offenen bzw. abgeschlos-senen Mengen in X via Idealen in C(X). Wir wissen schon, wie mandie Maximalen Ideale beschreiben kann. Diese entsprechen den Cha-rakteren und damit (s.o.) den Punkten von X via

x ∈ X ←→ δx ←→ {f : f(x) = 0}.Tatsaechlich steckt dahinter eine recht allgemeine Beschreibung derIdeale in C(X).Sei A = C(X) mit einem kompakten X. Dann definiert man fuer B ⊂X

IB := {f ∈ C(X) : f ≡ 0 auf B}.Weiterhin fassen wir fuer ein offenes U ⊂ X die Algebra

C0(U) := {f : U −→ C : stetig mit f−1(Bε(0)) kompakt fuer alle ε > 0

auf als Teilagebra von C(X) (durch Fortsetzung durch 0 auf X \ U).Dann gilt fuer ein abgeschlossenes B offenbar

IB = C0(X \B).

(Hier folgt ⊃, da nach Konstruktion jedes f ∈ C0(X \ B) auf Bverschwindet. Die Inklusion ⊂ folgt da fuer jedes f ∈ IB die Menge{x : |f(x)| ≥ ε} kompakt ist und nach Konstruktion im Komplementvon B d.h. in U enthalten ist.)

← →Ende der VorlesungNach diesen Vorbereitungen koennen wir nun zeigen, wie man offe-

ne / abgeschlossene Mengen eines kompakten hausdorffschen RaumesX algebraisch mittels C(X) fassen kann. Es wird sich zeigen, dass diesgerade ueber die selbstadjungierten Ideale in C(X) moeglich ist. (Erin-nerung: Ein Unterraum I einer Algebra A heisst Ideal, wenn aj, ja ∈ Igilt fuer alle j ∈ I und a ∈ A. Ist A involutiv, so heisst I selbstadjun-giert, wenn mit j ∈ I auch j∗ ∈ I gilt.)


Lemma. Sei A = C(X) mit einem kompakten X. Fuer jedes abge-schlossene B ist dann IB ein abgeschlossenes selbstadjungiertes Idealin A mit

B =⋂f∈IB

{x : f(x) = 0}.

Insbesondere gilt also IB1 ⊂ IB2 ⇐⇒ B2 ⊂ B1.

Bemerkung (Uebung). Ist B ⊂ X beliebig, so gilt

B =⋂f∈IB

{x : f(x) = 0}.

Der Beweis wird als Uebung gelassen.

Beweis. Es ist leicht zu sehen, dass IB ein abgeschlossenes selbstadjun-giertes Ideal ist (und das gilt fuer jedes B ⊂ X). Zur Formel fuer B:Die Inklusion ⊂ ist klar aus der Konstruktion. Nun zur umgekehrtenInklusion: Sei x im angegebenen Schnitt. Angenomnen x /∈ B. Danngibt es nach dem Lemma von Urysohn aber ein f ∈ C(X) mit f = 0auf B aber f(x) 6= 0. Damit kann x nicht im Schnitt liegen. Die letzteAussage folgt direkt aus der Formel fuer B. �

Lemma. Sei A = C(X) mit kompaktem X. Sei I ein abgeschlossenesselbstadjungiertes Ideal und

B :=⋂f∈I

{x ∈ X : f(x) = 0}.

Dann gilt I = IB.

Beweis. Offenbar verschwindet jedes f ∈ I auf B und damit gilt alsof ∈ IB. Wir zeigen nun, dass I eine dichte Unteralgebra von IB =C0(X \B) ist:

• Es ist I offenbar selbstadjungiert (da I selbstadjungiert ist).• Es verschwindet I nirgends auf X \B (nach Konstruktion vonB).• Es trennt I die Punkte von X \B. (Seien x, y ∈ X \B beliebig

und verschieden. Waehle ein f ∈ C(X) mit f(x) = 1 undf(y) = 0. Multipliziere dies mit einem g ∈ I mit g(x) 6= 0.Dann gehoert h = gf zu I (Ideal!) und es gilt h(x) 6= 0 undh(y) = 0.)

Damit ist dann nach dem Satz von Stone / Weierstrass I dicht inC0(X \B). Da I abgeschlossen ist, folgt dann die Gleichheit. �

Bemerkung (Uebung). Man kann auch direkt die Inklusion IB ⊂ Izeigen. Sei f ∈ IB. Sei K eine beliebige kompakte Menge im Komple-ment von B. Wir zeigen, dass ein g ∈ I existiert mit Werten in [0, 1]und g = 1 auf K. Dann gehoert fg zu I (da I ein Ideal ist). Da Ubeliebig war und I abgeschlossen ist, folgt dann f ∈ I. Da K im Kom-plement von B liegt, existiert zu jedem x ∈ K ein gx ∈ I mit gx(x) > 0.


Ohne Einschraenkung sei gx ≥ 0 und gx > 0 auf einer Umgebung vonx. Aufgrund der Kompaktheit von K koennnen wir dann ein g ∈ I fin-den mit g′ ≥ 1 auf K. Definiere h durch h(x) = 1

g′(x)fuer g′(x) ≥ 1 und

h(x) = g(x) sonst. Dann ist h stetig. Damit gehoert dann g = g′h zu Iund erfuellt offenbar g ≡ 1 auf K. Damit folgt dann die gewuenschteAussage.

Aus den beiden vorangehenden Lemmata erhaelt man sofort folgendeAussage.

Folgerung. Sei A = C(X) mit einem kompakten hausdorffschen X.Dann ist die Abbildung

Offene Mengen in X −→ abgeschlossene Ideale in A, U 7→ C0(U),

eine Bijektion mit U ⊂ V ⇐⇒ C0(U) ⊂ C0(V ).

Bemerkung. Die ’maximalen’ Ideale sind dann diejenigen mit ’maxi-malem’ U (bzw. ’minimalem’ B). Das entspricht also gerade denjenigenU , die bis auf einen Punkt gerade X sind (bzw. B die nur aus einemPunkt bestehen). Das liefert die uns schon bekannte Aussage zum Ma-ximalen Idealraum von C(X).

Wir halten nun noch folgende Umformulierung der Folgerung fuer kom-mutative C∗-Algebren fest.

Theorem (Ideale und offene Mengen). Sei A eine kommutative C∗-Algebra mit Eins. Dann ist die Abbildung

Offene Mengen in A −→ Abgeschlossene selbstadjungierte Ideale in A,

U 7→ Γ−1(C0(U)),

eine Bijektion.

Bemerkung. (a) Nicht jedes Ideal ist abgeschlossen, z.B. ist Cc(R) inC0(R) ein nichtabgeschlossenes Ideal(b) Ein abgeschlossenes Ideal in einer (kommutativen) C∗-Algebra istautomatisch selbstadjungiert. (Eine aehnliche Aussage kennen wir schonvon den Charaktereren, die automatisch selbstadjungiert sind.) Wirkoennen also die Forderung der Selbstadjungiertheit in obigen Aussa-gen weglassen.

(Bew: Sei I ein abgeschlossenes Ideal in A = C0(A). Sei I ein abge-schlossenes Ideal und f ∈ I beliebig. Zu zeigen f ∈ I. Die Idee ist nun

die Idealeigenschaft von I und die Gleichung f = fff zu kombinieren.

Da ff

aufgrund moeglicher Nullstellen von f nicht notwendig ueberall

definiert ist, geschweige denn in C(X) liegt, muessen wir etwas arbei-ten. Hier sind die Details:

Sei ε > 0 und Kε := {x ∈ A : |f(x)| ≥ ε}. Betrachte

gε : Kε −→ C, gε(x) =f(x)

f(x).


Dann ist gε stetig mit ‖gε‖ ≤ 1. Damit laesst es sich (Tietze) fortsetzen

zu einem stetigen hε auf A mit ‖hε‖ ≤ 2. Dann gehoert also hεf zu Ifuer jedes ε > 0 und eine kleine Rechnung zeigt

‖hεf − f‖∞ ≤ ‖(gεf − f)|Kε‖∞ + ‖(hεf − f)Kcε‖∞ ≤ 3ε.

(Hier folgt die letzte Ungleichung, da der erste Term Null ist und imzweiten Term sowohl f als auch f aufKc

ε im Betrag durch ε beschraenktsind.) Da I abgeschlossen ist und ε > 0 beliebig, folgt die gewuenschteAussage.

Wir studieren nun, wie man Kompaktifizierungen eines lokalkompaktenRaumes X mittels der Algebra C0(X) fassen kann.

Definition. Sei X lokalkompakt und Hausdorffsch. Ein kompakter

Hausdorffraum X mit X ⊂ X heisst Kompaktifizierung von X, wenngilt

• X ist offen in X und

• X ist dicht in X.

Beispiel. X = (0, 1). Dann sind [0, 1] aber auch T = R/Z Kompakti-fizierungen.

Bemerkumg. Ist X selber schon kompakt, so gibt es (ausser X) keine

Kompaktifizierung. (Bew. Sei X eine Kompaktifizierung. Dann gilt also

X = (X \X) ∪X.Da X kompakt ist, ist es abgeschlossen und aus der Dichtheit von X

in X folgt dann X = X.)

Definition. Sei A eine C∗-Algebra. Dann heisst ein Ideal I von Awesentlich, wenn folgendes gilt:

• Es ist I abgeschlossen und selbstadjungiert.• Gilt fuer ein a aus A die Gleichung aj = 0 fuer alle j ∈ I, so

folgt a = 0.

Theorem (Wesentliche Ideale und Kompaktifizierungen). Sei A ei-ne kommutative C∗-Algebra. Dann liefert jede kommutative C∗-Algebramit Eins, die A als wesentliches Ideal enthaelt, eine Kompaktifizierung

B von A und jede Kompaktifizierung von A entsteht in dieser Weise.

Beweis. Falls A eine Eins hat, so gibt es wie gerade diskutiert (ausser A

selber) keine Kompaktifizierung von A. Es gibt dann aber auch ausser Akeine kommutative C∗-Algebra, die A als wesentliches Ideal enthaelt.(Denn: Waere B eine solche Algebra, dann wuerde fuer jedes b ∈ Bgelten

(b− beA)a = ba− ba = 0

fuer jedes a ∈ A. Aufgrund der Wesentlichkeit folgt dann b− beA = 0,d.h. b = beA ∈ A.)


Sei nun A eine C∗-Algebra ohne Eins. Sei A ein wesentliches Ideal inB. Dann gilt (vgl. voriges Theorem)

A ' C0(U) ⊂ C(B)

mit einem offenen U ⊂ B. Weiterhin gilt (s.o.) U ' A. Es bleibt also

lediglich zu zeigen, dass U dicht in B ist.

Angenommen nein: Dann existiert ein offenes nichtleeres V ⊂ B mitU ∩ V = ∅. Waehle nun ein beliebiges f 6= 0 mit f ∈ C0(V ). Dann giltnatuerlich fg = 0 fuer jedes g ∈ C0(U). Da A ein wesentliches Ideal in

B ist, ist C0(U) ein wesentliches Ideal in C(B) und es folgt f = 0. Dasist ein Widerspruch.

Sei nun umgekehrt X eine Kompaktifizierung von A. Dann ist C0(A)

ein wesentliches Ideal in C(X). �

← →Ende der VorlesungBemerkung. Ist eine kommutative C∗-Algebra A ein wesentliches Ide-

al in der C∗-Algebra B, so ist B auch kommutativ. (Bew. Seien b, c ∈ Bbeliebig. Dann gilt fuer alle a1, a2 ∈ A aufgrund der Kommutativitaetvon A und da A Ideal in B ist:

(bc)a1a2 = b(ca1)a2 = (ba2)(ca1) = (ca1)(ba2) = ... = cba2a1 = cba1a2.

Da A wesentlich ist, folgt dann bc = cb.)

Schliesslich geben wir noch eine Umformulierung des Satzes von Riesz-Markov zur Beschreibung positiver Funktionale auf kommutativen C∗-Algebren. Hier heisst (s.o.) ein lineares Funktional φ : A −→ C aufeiner C∗-Algebra positiv, wenn φ(aa∗) ≥ 0 fuer alle a ∈ A gilt. FuerA = C(X) mit kompaktem X macht man sich leicht klar (s.o.), dassein φ : A −→ C genau dann positiv ist, wenn φ(f) ≥ 0 gilt fuer allef ≥ 0.

Theorem (Riesz-Markov). Sei A eine kommutative C∗-Algebra mitEins. Dann ist die Abbildung

Radonmasse auf A −→ Positive Funktionale auf A

µ 7→∫·dµ,

eine Bijektion.

Bemerkung. Jedes µ induziert eine Darstellung

πµ : A −→ L(L2(A, µ)), πµ(a)φ := aφ.

Diese Darstellungen werden fuer uns spaeter von Interesse sein.

Beispiel - L∞. Ist (X,µ) ein Massraum, so ist L∞(X,µ) eine kom-mutative C∗-Algebra. Der Raum der maximalen Ideale ist riesig (undnicht X).


Beispiel - Riemann-integrierbare Funktionen. Es bilden die Riemann-integrierbaren Funktionen auf einem Interval I mit ‖ · ‖∞ eine kommu-tative C∗-Algebra.

KAPITEL 6

Positive Elemente in C∗-Algebren

In den vorigen Kapiteln hatten wir verschiedentlich Gelegenheit Posi-tivitaet von Funktionalen zu nutzen. In diesem Abschnitt geht es nunum Positivitaet von Elementen in C∗-Algebren.

Hinweis. In den folgenden Betrachtungen werden wir nicht voraus-setzen, dass die C∗-Algebra A eine Eins hat. Entsprechende Aussagensind in der C∗-Algebra A1 zu verstehen, wenn A keine Eins hat. Wirschreiben daher auch meist 1 statt e, um die Eins in A bzw. A1 zubezeichnen.

Definition. Sei A eine C∗-Algebra. Dann heisst ein a ∈ A positiv,wenn a selbstadjungiert ist mit σ(a) ⊂ [0,∞).

Notation. Wir schreiben a ≥ 0 oder 0 ≤ a fuer positive a.

Bemerkung. Gilt SA = C(X), so ist f ≥ 0 im eben definieren Sinnegenau dann, wenn f ≥ 0 im ueblichen Sinne gilt.

Proposition. Sei A eine C∗-Algebra und a ∈ A positiv. Dann gibt esein eindeutiges positives b mit b2 = a.

Beweis. Existenz: Sei√

: [0,∞) −→ [0,∞), x 7→√x, die Wurzel-

funktion. Dann hat b :=√a = φ(

√) nach dem Spektralkalkuel die ge-

wuenschte Eigenschaften. (Denn: φ(√

)φ(√

) = φ(id) = a und σ(√a) =√

σ(a) ⊂ [0,∞).

Eindeutigkeit: Sei c ≥ 0 mit c2 = a. Dann gilt aber nach Spektralkalkuelfuer c mit der Quadratfunktion q

b =√a =√c2 =

√ ◦ q(c) = id(c) = c.


Fuer die weiteren Untersuchungen werden folgende einfache Charakte-risierungen von Positivitaet nuetzlich sein.

Lemma (Charakterisierung Positivitaet). Sei A eine C∗-Algebra unda ∈ A selbstadjungiert. Dann sind aequivalent:

(i) Es gilt a ≥ 0.(ii) Es gilt a = b2 fuer ein b ≥ 0.

(iii) Es gilt ‖R1− a‖ ≤ R fuer alle R ≥ ‖a‖.85

86 6. POSITIVE ELEMENTE IN C∗-ALGEBREN

(iv) Es gilt ‖R1− a‖ ≤ R fuer ein R ≥ ‖a‖

Beweis. Die Implikation (i)=⇒ (ii) wurde schon gezeigt und die Im-plikation (ii)=⇒ (i) folgt sofort aus Spektralkalkuel. Die Implikation(iii)=⇒ (iv) ist klar.(i)=⇒ (iii): Ohne Einschraenkung sei A = C(σ(a)) und a = id. Danngilt aber nach (i)

‖R1− a‖ = sup{|R− λ| : λ ∈ σ(a)} ≤ R.

(iv)=⇒ (i) Ohne Einschraenkung sei A = C(σ(a)) und a = id. Seiλ ∈ σ(a). Dann gilt nach (iv) also |R − λ| ≤ R fuer ein R ≥ ‖a‖. Dasliefert sofort λ ≥ 0. �

Aus der Charakterisierung ergibt sich recht einfach, dass die positi-ven Elemente einen abgeschlossenen Kegel bilden. (Das ist mit derUrsprungsdefinition nicht so leicht zu zeigen.)

Folgerung (Positive Elemente bilden abgeschlossenen Kegel). Sei Aeine C∗-Algebra.(a) Gilt a, b ≥ 0 so folgt a+ λb ≥ 0 fuer λ ∈ R mit λ ≥ 0.(b) Gilt an → a mit an ≥ c, so folgt c ≥ 0.

Beweis. (a) Offenbar gilt λb ≥ 0. Es reicht also a + b ≥ 0 zu zeigen.Seien S,R reell mit ‖a‖ ≤ S und ‖b‖ ≤ R. Dann gilt ‖a+ b‖ ≤ S +Rsowie nach dem vorigen Lemma

‖(S +R)I − a− b‖ ≤ ‖SI − a‖+ ‖RI − b‖ ≤ S +R.

Nach einer weiteren Anwendung des vorigen Lemma folgt dann diegewuenschte Aussage.

(b) Sei R ≥ 0 mit R ≥ ‖a‖, ‖an‖ fuer alle n ∈ N gewaehlt. Dann gilt

‖R1− a‖ = limn→∞

‖R1− an‖ ≤ R

und die gewuenschte Aussage folgt aus dem vorigen Lemma. �

Beispiel - positive Operatoren im Hilbertraum. Sei H ein Hil-bertraum und a ∈ L(H) selbstadjungiert. Dann gilt:

a ≥ 0⇐⇒ 〈ξ, aξ〉 ≥ 0 fuer alle ξ ∈ H.

Bemerkung. Fuer Matrizen ist uns das natuerlich bekannt. (Eineselbstadjungierte n × n - Matrix a hat genau dann nur nichtnegati-ve Eigenwerte (’positiv semidefinit’), wenn 〈ξ, aξ〉 ≥ 0 fuer all ξ ∈ Cn

gilt.

Bew. Sei a ≥ 0. Dann gilt a = b2 mit b ≥ 0 (reicht sogar fuer diesenSchluss mit b selbstadjungiert). Dann folgt

〈ξ, aξ〉 = 〈ξ, b2ξ〉 = 〈bξ, bξ〉 = ‖bξ‖2 ≥ 0.

Es gelte 〈ξ, aξ〉 ≥ 0 fuer alle ξ. Zu zeigen a + αI ist invertierbar fueralle α > 0. (Denn das impliziert σ(a) ⊂ [0,∞).)

6. POSITIVE ELEMENTE IN C∗-ALGEBREN 87

Behauptung. Es gilt ‖(a+ α)ξ‖ ≥ α‖ξ‖.Bew. Fuer ξ = 0 ist das klar. Fuer andere ξ folgt es aus einer direktenRechnung unter Anwendung der Cauchy-Schwarz-Ungleichung

‖(a+ α)ξ‖‖ξ‖ ≥ |〈ξ, (a+ α)ξ〉|= |〈ξ, aξ〉+ α‖ξ‖2|

(beide Terme ≥ 0) = 〈ξ, aξ〉+ α‖ξ‖2

≥ α‖ξ‖2.

Division durch ‖ξ‖ liefert die Behauptung.

Nach der Behauptung ist (a+ α) injektiv. Weiterhin folgt aus der Be-hauptung leicht, dass das Bild (a + α)H abgeschlossen ist. (klar?!) Esreicht also zu zeigen, dass das Bild dicht ist. Das wiederum folgt sofortaus der Behauptung und der Selbstadjungiertheit wegen

Bild(a+ α)⊥ = Kern(a∗ + α) = Ker(a+ α) = {0}.Damit ist die gewuenschte Aussage gezeigt.Durch einfaches Verschieben erhalten wir dann sogar noch die folgendeAussage fuer ein selbstadjungiertes a und λ ∈ R:

λ ≤ inf σ(a)⇐⇒ a− λ ≥ 0⇐⇒ 〈ξ, aξ〉 ≥ λ‖ξ‖2 fuer alle ξ ∈ H .


Fuer die weiteren Untersuchunge halten wir noch folgendes fest.

Proposition (Zerlegung in Positiv- und Negativteil). Sei A eine C∗-Algebra und a ∈ A selbstadjungiert. Dann gibt es positive a+, a− in Amit

a = a+ − a− und a+a− = 0.

Beweis. Sei f : R −→ R, f(x) = x+|x|2

und g : R −→ R, g(x) = −x+|x|2

=f(−x). Dann gilt

f − g = id und fg = 0.

Dann haben a+ := f(a) und a− := g(a) nach dem Spektralkalkuel diegewuenschten Eigenschaften. �

Theorem (a∗a ist positiv). Sei A eine C∗-Algebra. Dann gilt a∗a ≥ 0fuer jedes a ∈ A.

Bemerkung. Fuer Operatoren im Hilbertraum ist das klar. Im allge-meinen Fall ist einiges zu tun. Es passt aber die Aussage gut zur allge-meinen Philosophie, dass naemlich C∗-Algebren die komplexen Zahlenverallgemeinern.

Beweis. Fuer selbstadjungierte a ist die Aussage klar. Denn dann gilta∗a = a2 und σ(a2) = σ(a)2 ⊂ [0,∞). In gewisser Weise werden wirden allgemeinen Fall darauf zurueckfuehren.


Sei b := a∗a. Dann ist b selbstadjungiert. Damit gilt also

b = b+ − b− mit b+, b− ≥ 0 und b+b− = 0.

Zu zeigen: b− = 0.

Setze c :=√b−. Dann gilt

cb+ = 0

(da man die Wurzel durch Polynome mit verschwindendem konstantenTerm approximieren kann). Sei f := ac. Dann gilt

−f ∗f = −ca∗ac= −cbc= −c(b+ − b−)c

(cb+ = 0) = cb−c

= b2−

≥ 0.

(Hier nutzen wir im letzten Schritt σ(b2−) = σ(b−)2 ⊂ [0,∞)). Wir

halten fest(∗) σ(−f ∗f) ⊂ [0,∞).

Weiterhin gilt mit f = x+ iy mit x, y selbstadjungiert, dann nach einerkleinen Rechung

f ∗f + ff ∗ = 2(x2 + y2) ≥ 0.

Addieren von −f ∗f ≥ 0 liefert

0 ≤ (f ∗f + ff ∗) + (−f ∗f) = ff ∗.

Wir halten fest(∗∗) σ(ff ∗) ⊂ [0,∞).

Vergleich von (∗) und (∗∗) unter Nutzen von σ(gh) \ {0} = σ(hg) \ {0}(Uebung) liefert dann

σ(ff ∗) = σ(f ∗f) = 0.

Da f ∗f selbstadungiert ist, folgt dann

0 = r(f ∗f) = ‖f ∗f‖ = ‖b2−|.

Dabei wird im letzten Schritt die erste Rechnung oben genutzt. Dasbeendet den Beweis. �

Folgerung. Sei A eine C∗-Algebra. Dann gilt

b ≥ 0⇐⇒ b = a∗a

fuer ein a ∈ A.

Beweis. Die eine Richtung folgt aus dem Theorem; die andere Richtunghatten wir schon gezeigt (viz b =

√b√b). �

Notation. Wir schreiben a ≤ b falls b− a ≥ 0.


Folgerung. Sei A eine C∗-Algebra und a, b selbstadjungiert in A mita ≤ b. Dann gilt x∗ax ≤ x∗bx fuer alle x ∈ X.

Beweis. Es gilt

x∗bx− x∗ax = x∗(b− x)x = x∗√b− a

√b− ax = c∗c ≥ 0

, dabei haben wir c =√b− ax gesetzt und im letzten Schritt das

vorangehende Theorem benutzt. �

Folgerung. Sei A eine C∗-Algebra mit Eins und 0 ≤ a ≤ b mitinvertierbaren a, b. Dann gilt b−1 ≤ a−1.

Bemerkung. Gilt 0 ≤ a ≤ b und ist a invertierbar, so muss auch binvertierbar sein. (Bew. Tatsaechlich bedeutet ja Invertierbarkeit vona, dass 0 nicht zum Spektrum von a gehoert. Damit gehoert dann aucheine Umgebung von 0 nicht zum Spektrum. Es gilt also 0 < λ ≤ inf σ(a)fuer ein λ ∈ R. Das impliziert dann aber 0 ≤ λe ≤ a (wie man durchBetrachten der von a und e erzeugten C∗-Algebra leicht sieht). Damitmuss dann aber nach Voraussetzung auch gelten 0 ≤ λe ≤ b. DurchBetrachten der von b und e erzeugten C∗-Algebra sieht man dann aber,dass auch gilt λ ≤ inf σ(b). Das liefert die gewuenschte Aussage.)

Beweis. Wir beginnnen mit einer kleinen Vorueberlegung: Gilt 0 ≤ x,so folgt x ≤ e ⇐⇒ ‖x‖ ≤ 1. (In der Tast ist das klar fuer x = id :σ(x) −→ C und folgt damit im allgemeine Fall aus Gelfandtheorie.)

Sei nunx = b−1/2ab−1/2 = c∗c

mit c = a1/2b−1/2. Dann ist x = c∗c positiv nach dem vorangehendenTheorem. Weiterhin gilt

e− x = e− c∗c = b−1/2(b− a)b−1/2 ≥ 0,

wobei wir im letzten Schritt die vorangehende Folgerung benutzt ha-ben. Nach der Vorueberlegung (Richtung =⇒) gilt dann

‖c‖2 = ‖c∗c‖ = ‖x‖ ≤ 1.

Damit folgt ‖c‖ ≤ 1 und das impliziert dann natuerlich

‖cc∗‖ ≤ 1.

Wieder nach der Vorueberlegung (Richtung ⇐=) gilt dann

0 ≤ e− cc∗ = e−√ab−1√a.

Multiplizieren mit a−1/2 und Nutzen der vorangehenden Folgerung lie-fert dann die gewuenschte Aussage. �

Bemerkung. Funktionen f mit 0 ≤ a ≤ b =⇒ f(a) ≤ f(b) heissenoperatormonoton. Nach der vorigen Folgerung ist dann s 7→ −s−1 alsooperatormonoton. Die Quadratfunktion s 7→ s2 ist nicht operatormo-noton (Uebung).


Mit den vorangehenden Ergebnissen koennen wir noch einen neuenBlick auf positive Funktionale werfen.

Folgerung (Charakterisierung positiver Funktionale). Sei A eine C∗-Algebra. Dann sind fuer ein lineares ω : A −→ C aequivalent:

(i) Es ist ω positiv (d.h. es gilt ω(a∗a) ≥ 0 fuer alle a ∈ A.(ii) Es gilt ω(x) ≥ 0 fuer alle x ≥ 0.

Weiterhin halten wir folgende bemerkenswerte Eigenschaft fest.

Proposition. Sei A eine C∗-Algebra und ω : A −→ C linear undpositiv. Dann ist ω stetig mit

‖ω‖ = sup{ω(x) : x ≥ 0, ‖x‖ ≤ 1} <∞.

Beweis. Wir zeigen zunaechst, dass das angegebene Supremum endlichist. Angenommen nein! Dann existiert also zu jedem n ∈ N ein xn ≥ 0mit ‖xn‖ ≤ 1 und ω(xn) ≥ 2n. Setze

x :=∞∑n=1

1

2nxn.

Dann ist die Summe absolut konvergent. Weiterhin gilt mit xN :=∑Nn=1

12nxn fuer N ∈ N offenbar x ≥ xN (da Positivitaet abgeschlossen

unter Konvergenz ist). Damit folgt aufgrund der Positivitaet von ωdann

ω(x) ≥ ω(xN) =N∑n=1

ω(1

2nxn) ≥ N

fuer alle N ∈ N. Widerspruch.

Wir zeigen nun die Aussage zur Norm. Die Ungleichung sup{· · · } ≤‖ω‖ ist klar. Nun zur Ungleichung ‖ω‖ ≤ sup{· · · }: Sei x ∈ A mit‖x‖ ≤ 1. Dann gilt

0 ≤ |ω(x)| = αω(x) = ω(y)

mit α ∈ T und y = αx. Zerlegt man y in Real- und Imaginaerteily = u + iv mit u, v selbstadjungiert, so gilt also ‖u‖, ‖v‖ ≤ 1 undwegen

0 ≤ ω(y) = ω(u)︸︷︷︸∈R

+i ω(v)︸︷︷︸∈R

dann also ω(v) = 0. Insgesamt folgt also |ω(x)| = ω(u) fuer ein selbst-adjungiertes u mit ‖u‖ ≤ 1. Zerlegt man nun u in Positiv- und Nega-tivteil u = u+ − u− mit u± ≥ 0 und ‖u±‖ ≤ 1 so folgt dann

|ω(x)| = ω(u+)− ω(u−) ≤ ω(u+).

Da x ∈ A beliebig war, folgt die gewuenschte Aussage. �



Zum Abschluss des Abschnittes kommen wir noch zum Konzept derapproximativen Eins.

Definition. Ein Netz (ei) in einer C∗-Algebra ist eine ApproximativeEins, wenn gilt

eia→ a und aei → a

fuer jedes a aus der Algebra und weiterhin die Elemente ei selbstadjun-giert sind mit Spektrum in [0, 1] und noch ei ≤ ej gilt fuer i ≤ j.

Bemerkung. Ist (ej) ein Netz selbstadjungierter Operatoren, so giltoffenbar

eja→ a fuer alle a ∈ A ⇐⇒ aej → a fuer alle a ∈ A⇐⇒ eja→ afuer alle a ≥ 0 in A

⇐⇒ aej → afuer alle a ≥ 0 in A.

Theorem. Jede C∗-Algebra besitzt eine approximative Eins.

Beweis. Sei A eine C∗-Algebra und Λ := {a ∈ A : a ≥ 0, ‖a‖ < 1}.(Beachte, dass wir fuer die Norm von a die strikte Ungleichung fordern.Aequivalent kann man natuerlich auch fordern 0 ≤ a < 1, wobei mit 1dann ggf die Eins in der entsprechend vergroesserten Algebra gemeintist.) Sei ≺ die uebliche Halbordnung ≤ auf den selbstadjungierten Ele-menten. Wir zeigen als naechstes, dass ≺ gerichtet ist: Betrachte dieFunktionen

f : [0, 1) −→ [0,∞), t 7→ t

1− t,

g : [0,∞) −→ [0, 1), s 7→ s

1 + s= 1− 1

1 + s.

Dann giltg ◦ f = id[0,1).

Seien nun a, b mit 0 ≤ a, b und ‖a‖, ‖b‖ ≤ 1 gegeben. Dann gilt alsoσ(a), σ(b) ⊂ [0, 1) und damit σ(f(a)), σ(f(b))) ⊂ [0,∞). Insbesonderefolgt

(∗) 0 ≤ f(a), f(b) ≤ f(a) + f(b).

Setzey := f(a) + f(b) und c := g(y) = g(f(a) + f(b)).

Dann gilt also 0 ≤ y und die Definition von g und Nutzen von σ(y) ⊂[0,∞) liefert

0 ≤ c < 1.

Insbesondere gehoert c zu Λ. Wir zeigen, a, b ≤ c: Aus (∗) folgt

1 + f(a) ≤ 1 + y.

Offenbar sind 1 + f(a), 1 + y invertierbar (da ihr Spektrum nicht die 0enthaelt). Nach der Folgerung gilt dann also

(∗∗) (1 + y)−1 ≤ (1 + f(a))−1.


Damit ergibt sich

a = g(f(a))

= 1− (1 + f(a))−1

(∗∗) ≤ 1− (1 + y)−1

= g(y)

= c.

Analog sieht man b ≤ c. Damit ist Λ gerichtet.

Wir zeigen nun xa → x fuer x ≥ 0: Die Idee ist dabei, dass wir nurKonvergenz entlang einer Teilfolge zu zeigen brauchen. Die Gesamt-konvergenz folgt dann aufgrund der Monotonie. Hier sind die Details:Sei an := g(nx). Dann gilt 0 ≤ an und ‖an‖ < 1 und mit

h : [0,∞) −→ [0,∞), h(t) =t2

nt+ 1

folgt

‖x(1− an)x∗‖ = ‖h(x)‖ = ‖h|σ(x)‖∞ ≤‖x‖n→ 0, n→∞.

Damit folgt

lim supb∈Λ

‖x− xb‖2 ≤ supb≥an‖x− xb‖2

= supb≥an‖(x(1− b)2x∗‖

(!) ≤ ‖x(1− an)x∗‖→ 0, n→∞.

Zu (!): Sei 0 ≤ a ≤ b ≤ 1. Dann gilt 1− b ≤ 1− a. Damit folgt

(1− b)2 ≤ 1− b ≤ 1− a.(Hier folgt die erste Abschaetzung wegen σ(1 − b) ⊂ [0, 1].) Aufgrundeiner Folgerung gilt dann aber

x(1− b)2x∗ ≤ x(1− a)x∗

fuer alle x ∈ A. Das liefert (!).

Mit der dem Beweis vorausgehenden Bemerkung sind wir jetzt schonfertig. Wir zeigen trotzdem noch explizit ax→ x fuer beliebige x ∈ A:Es gilt

‖x− ax‖2 = ‖(1− a)x‖2 = ‖(1− a)xx∗(1− a)‖ ≤ ‖xx∗(1− a)‖ → 0.

Hier folgt die Konvergenz gegen Null aus dem schon gezeigten wegenxx∗ ≥ 0. �

KAPITEL 7

Automatische Stetigkeit und weitereRigiditaetsaussagen

Wir kennen schon zwei Rigiditaetsaussagen fuer C∗-Algebren A (mitEins):

• r(a) = ‖a‖ fuer normale Elemente a.• σA(a) = σC∗(a,e)(a).

In diesem Kapitel werden wir noch weitere Aussagen dieses Types ken-nen lernen.

Wir beginnen mit einer Aussage zum Spektrum.

Theorem (Permanenz des Spektrum - II). Sei A eine C∗-Algebra undB ⊂ A eine C∗-Unteralgebra und a ∈ B. Dann gilt

σB(a) \ {0} = σA(a) \ {0}.Falls A eine Eins hat und diese auch zu B gehoert, gilt sogar Gleichheitder Spektren.

Beweis. Es sind mehrere Faelle zu untersuchen. Hier beschraenken wiruns auf den Fall, dass A eine Eins hat und diese auch zu B gehoert.

Ist a normal, so folgt aus zweimaligem Anwenden der uns schon be-kannten Permanenz des Spektrums

σA(a) = σC∗(e,a)(a) = σB(a).

Sei nun a ∈ A beliebig. Wir zeigen zwei Inklusionen:

Sei a−λ invertierbar in B. Dann ist natuerlich a−λ invertierbar in A(da e ∈ B).

Sei A − λ invertierbar in A. (Zu zeigen: Es ist invertierbar in B.) Esist dann auch

c := (a− λ)∗(a− λ)

invertierbar in A. Da c normal ist, folgt aus dem ersten Teil des Be-weises, dass dann auch c in B invertierbar ist. Es gibt also ein d ∈ Bmit

e = dc = d(a− λ)∗(a− λ).

Dann gehoert b = d(a− λ)∗ also zu B und es gilt

b = be = d(a− λ)∗(a− λ)(a− λ)−1 = dc(a− λ)−1 = (a− λ)−1.


93

947. AUTOMATISCHE STETIGKEIT UND WEITERE RIGIDITAETSAUSSAGEN

Bemerkung. Ein solches Resultat gilt fuer allgemeine Banachalgebrennicht. Betrachte zum Beispiel A = `2(Z) und B = `1(N0). Dann sinddie entsprechenden Gelfandtransformationen gegeben durch

ΓA : `1(Z) −→ C(T), ξ 7→∑n∈Z

ξnzn,

und (Uebung - Nachrechnen!)

ΓB : `1(N0) −→ C(D), ξ 7→∑n∈N0

ξnzn

(mit D := {z ∈ C : |z| ≤ 1}. Dann gilt also

σA(δ1) = σ(ΓA(δ1)) = σ(id|T) = T

sowie

σB(δ1) = σ(ΓB(δ1)) = σ(id|D) = D.

Theorem (Automatische Stetigkeit). Sei A eine involutive Banachal-gebra und B eine C∗-Algebra und φ : A −→ B ein Homomorphismusvon involutiven Algebren. Dann ist φ stetig mit ‖φ‖ ≤ 1.

← →Ende der Vorlesung Beweis. Das kennen wir schon fuer den Fall, dass die Algebren eine Eins

haben und φ die Eins auf die Eins abbildet. Wir lassen den allgemeinenFall als Uebung. �

Folgerung. Jede involutionserhaltende Darstellung eine involutivenBanachalgebra als lineare Operatoren auf einem Hilbertraum ist stetig(mit Norm hoechstens Eins).

Theorem (Automatische Isometrie). Seien A,B C∗-Algebren und φ :A −→ B ein injektiver Homomorphismus von involutiven Algebren.Dann ist φ eine Isometrie.

Beweis. Fuer C∗-Algebren mit Eins und einserhaltende Homomorphis-men kennen wir die Aussage schon. Der allgemeine Fall folgt nach Ad-jungieren einer Eins (Uebung). �

Folgerung (Eindeutigkeit der C∗-Norm - II). Sei A eine C∗-Algebramit Norm ‖ · ‖. Sei ‖| · ‖| eine weitere Norm auf A mit

• ‖|a‖| = ‖|a∗‖| und• ‖|aa∗‖| = ‖|a‖|2

fuer alle a ∈ a. Dann gilt ‖ · ‖ = ‖| · ‖|.

Bemerkung. Es wird nicht voraussgesetzt, dass A bzgl. ‖| · ‖| voll-staendig ist. Ist das der Fall, so folgt die gewuenschte Aussage aus deruns schon bekannten Eindeutigkeit.

7. AUTOMATISCHE STETIGKEIT UND WEITERE RIGIDITAETSAUSSAGEN95

Beweis. Sei B die Vervollstaendigung von A bzgl. ‖| · ‖|. Dann ist Beine C∗-Algebra und die Abbildung

j : A −→ B, a 7→ [a],

ist ein injektiver Homomorphismus von C∗-Algebren. Damit ist j eineIsometrie mit (offenbar) dichtem Bild. Damit ist j also ein isometrischerIsomorphismus. �

Folgerung. Sei φ : A −→ B ein involutiver Homomorphismus vonC∗-Algebren. Dann ist φ stetig und φ(A) ist eine C∗-Algebra.

Beweis. Die Stetigkeit von φ folgt nach der automatischen Stetigkeiteines solchen Homomorphismus. Es bleibt zu zeigen, dass das Bild eineC∗-Algebra ist. Dazu reicht es zu zeigen, dass das Bild abgeschlossenist (da die uebrigen Eigenschaften klar sind). Sei nun

I := Ker(φ).

Dann ist I abgeschlossen (da φ stetig ist) und selbstadungiert (da φ mitInvolution vertraeglich ist) und ein Ideal (da φ linear und multiplikativist). Damit ist dann (Uebung) A′ := A/I eine C∗-Algebra. Sei π : A −→A′ die kanonische Projektion. Dann gibt es (nach einem Isomorphiesatz

der Algebra) einen eindeutigen Homomorphismus φ : A′ −→ B mit

φ = φ◦π (Zeichnung). Nach Konstruktion ist φ injektiv. Damit handeltes sich nach dem vorigen Theorem um eine Isometrie. Insbesondere ist

damit Bild(φ) = Bild(φ) abgeschlossen und also eine C∗-Algebra. �

KAPITEL 8

Etwas Darstellungstheorie von C∗-Algebren

Das Ziel in diesem Kapitel ist es fuer jede C∗-Algebra A eine treue d.h.injektive Darstellung als Operatoren auf einem Hilbertraum zu finden.

1. Eine einfache Situation

Sei X lokalkompakt und hausdorffsch und A = C0(X). Zu jedem end-lichen Radonmass µ auf X koennen wir dann den Hilbertraum

L2(X,µ) := {f : X −→ Cmessbar : µ(|f |2) <∞}/ ∼definieren (wobei ∼ Funktionen identifiziert, die µ-fast ueberall ueber-einstimmen). Dann koennen die Elemente aus A als Operatoren aufL2(X,µ) aufgefasst werden mittels

f 7→Mf ∈ L(L2(X,µ)) mit Mfξ = fξ.

Dann ist die Abbildung

M : A −→ L(L2(X,µ)), f 7→Mf ,

ein Homomorphismus involutiver Algebren.Das Spektrum eines Mf ist nicht schwer zu ermitteln. Es gilt naemlich(Uebung)

σ(Mf ) = {λ ∈ C : fuer alle ε > 0 gilt µ(f−1(Uε(λ))) > 0}= f(supp(µ)).

Im Sinne eines abstrakten Verstaendnisses der Situation halten wirfolgende Beobachtungen fest:

• Es entspricht µ gerade einem positiven Funktional auf A.

• Es gilt L2(X,µ) = A‖·‖2

, wobei

‖f‖22 = µ(ff)

gilt.

Ebenso halten wir fest, dass im allgemeinen µ und die Abbildung Meinige Defizite aufweisen:

• Es kann sein, dass µ nicht ganz X sieht.• Es kann sein, dass M nicht injektiv ist.

Tatsaechlich sind diese beiden Schwierigkeiten Ausdruck desselben Pro-blems, denn es gilt (Uebung): M ist injektiv ⇐⇒ µ sieht ganz X.

97

98 8. ETWAS DARSTELLUNGSTHEORIE VON C∗-ALGEBREN

2. Die Gelfand-Naimark-Segal Konstruktion

In diesem Abschnitt lernen wir eine Abstraktion des Argumentes ausdem vorigen Abschnitt kennen.

Definition (Treue Darstellung). Sei A eine C∗-Algebra und h einHilbertraum. Dann heisst ein Homomorphismus π : A −→ L(h) voninvolutiven Algebren eine Darstellung von A. Ist π injektiv, so heisstdie Darstellung treu.

Bemerkung. Dieser Definition (und den Betrachtungen in diesem Ka-pitel) liegt die Idee zugrunde, dass die Operatoren auf einem Hilber-traum besonders ’einfach’ zu verstehen sind. Daher ist es anzustrebeneine abstrakte C∗-Algebra durch solche Operatoren darzustellen.

Erinnerung. Ist A eine C∗-Algebra und ω : A −→ C linear undpositiv, so ist

〈a, b〉 := ωa∗b)

eine Semiskalarprodukt. Insbesondere gilt also

• ω(a∗a) ≥ 0 und ω(a∗b) = ω(b∗a),• |ω(a∗b)| ≤ ω(a∗a)1/2ω(b∗b)1/2.

Wir wissen auch schon, dass ein positives Funktional ω immer stetigist mit

‖ω‖ = sup{ω(x) : x ≥ 0, ‖x‖ ≤ 1}(und ‖ω‖ = ω(e) falls A eine Eins besitzt).

Theorem (GNS-Konstruktion). Sei A eine C∗-Algebra mit Eins undω : A −→ C positiv. Dann gibt es ein Tripel (hω, ξω, πω) bestehend auseinem Hilbertraum hω, einem ξω ∈ hω und einer Darstellung πω : A −→L(hω), so dass gilt:

• Die Menge {π(a)ξω : a ∈ A} ist dicht in hω.• 〈πω(a)ξω, πω(b)ξω〉 = ω(a∗b) fuer alle a, b ∈ A.

Ist (h′ω, ξ′ω, π

′ω) ein weiteres Tripel mit diesen Eigenschaften, so existiert

eine eindeutige unitaere Abbildung u : hω −→ h′ω mit uξω = ξ′ω und esgilt

uπω(a)u∗ = π′ω(a)

fuer alle a ∈ A.

Bemerkung. Das Theorem besagt also Existenz und Eindeutigkeit(bis auf Isomorphie) einer gewissen Abbildung.

Beweis. Wir haben gar nicht viel Wahl, wie die Konstruktion sein muss,wenn die beiden angegebenen Punkte gelten sollen.

Auf A wird durch

〈a, b〉 := ω(a∗b)

2. DIE GELFAND-NAIMARK-SEGAL KONSTRUKTION 99

ein Semiskalarprodukt definiert. Fuer spaeter halten wir folgende we-sentliche Eigenschaft des Semiskalarproduktes fest:

Hilfsbehauptung. Seien a, c ∈ A und R ∈ R mit a∗a ≤ Re (z.b. R =‖a∗a‖). Dann gilt

‖ac‖2 ≤ R‖c‖2.

Bew. Das folgt durch eine direkte Rechnung unter Nutzen der Positi-vitaet von ω wie folgt

〈ac, ac〉 = ω((ac)∗ac) = ω(c∗a∗ac∗) ≤ Rω(c∗c) = ‖c‖2.

Das beendet den Beweis der Hilfsbhauptung.

Im allgemeinen ist A dann aber kein Hibertraum, denn es handelt sichnicht um ein Skalarprodukt und A ist nicht vollstaendig. Diese beidenProbleme werden wir jetzt angehen. Sei

I := {a ∈ A : 0 = ω(a∗a) = ‖a‖2}.

Dann ist I ein Unterraum (wegen Cauchy-Schwarz Ungleichung). Da-

mit wird dann hω := A/I mit

〈a+ I, b+ I〉 := 〈a, b〉

ein Praehilbertraum. Sei hω die Vervollstaendigung von diesem Prae-hilbertraum. Dann ist nach Konsruktion hω ein Hilbertraum. Setze

ξω := [e] := e+ I.

Definiere nun

πω(a)[b] := [ab]

fuer a, b ∈ A. Dann ist πω(a) wohldefiniert (Denn: Seien b, b′ ∈ A mit[b] = [b′] d.h. b = b′ + c mit c ∈ I. Dann gilt also [ab] = [ab′ + ac] undaufgrund der Hilfsbehauptung gilt ‖ac‖2 ≤ R‖c‖2 = 0.) Weiterhin ge-nuegt πω(a) - wieder aufgrund der Hilfsbehauptung der Abschaetzung

‖πω(a)[b]‖2 = ‖ab|2 ≤ ‖a∗a‖‖b‖2.

Damit πω(a) also stetig auf {[b] : b ∈ A} und laesst sich dann eindeu-tig zu einer stetig Abbildung auf ganz hω fortsetzen. Wir bezeichnendiese Fortsetzung auch mit πω(a). Man kann leicht sehen, dass πω eineDarstellung ist (d.h. linear und multiplikativ und mit der Involutionvertraeglich).

Damit haben wir nun ein Tripel (πω, ξω, hω) bestehend aus einem Hil-bertraum hω einer Darstellung πω von A auf hω und einem Element ξωgegeben.

Nach Konstruktion gilt

πω(a)ξω = πω(a)[e] = [ae] = [a].

Damit hat die gewuenschten Eigenschaften:


Zum ersten Punkt: Es ist

{πω(a)ξω : a ∈ A} = {[a] : a ∈ A}

dicht in hω.

Zum zweiten Punkt: Es gilt

〈πω(a)ξω, πω(b)ξω〉 = 〈[a], [b]〉 = 〈a, b〉 = ω(a∗b).


Wir kommen nun zur Eindeutigkeitsaussage: Sei (h′ω, ξ′ω, π

′ω) ein weite-

res Tripel mit den gewuenschten Eigenschaften. Dann definiere wir

u : hω −→ h′ω

auf {[a] : a ∈ A} durch

uπω(a)ξω := π′ω(a)ξ′ω.

Das ist wohldefiniert und isometrisch (!). Damit laesst es sich (nach (i))eindeutig zu einer unitaeren Abbildung fortsetzen. Fuer diese unitaereAbbildung gilt dann nach Konstruktion

u(πω(a)(πω(b)ξω) = uπω(ab)ξω

= π′ω(ab)ξ′ω= π′ω(a)π′ω(b)ξ′ω= π′ω(a)uπω(b)ξ

fuer alle a, b ∈ A. Damit folgt (wieder aus (i)) dann

uπω = π′ωu.

(!) Wohldefiniert: Gilt πω(a)ξω)πω(b)ξω, so folgt πω(a − b)ξω = 0 unddamit

0 = ‖πω(a− b)ξω‖2 = ‖ω((a− b)∗(a− b)).Damit folgt dann aus Eigenschaft (ii)

0 = ‖π′ω(a− b)ξ′ω‖2

und damit dann

π′ω(a− b)ξ′ω = 0

und damit dann

π′ω(a)ξ′ω = πω(b)ξ′ω.

Isometrisch: Es gilt fuer alle a ∈ A

‖uπω(a)ξω‖2 = ‖π′ω(a)ξ′ω‖2 (ii)′

= ω(a∗a)(ii)= ‖πω(a)ξω‖2.


3. KONSTRUKTION EINER TREUEN DARSTELLUNG 101

Folgerung. Sei A eine C∗-Algebra mit Eins und ω : A −→ C positivund (hω, ξω, πω) wie im vorigen Theorem. Sei weiterhin α : A −→ A einAlgebrenisomorphismus mit ω = ω ◦ α. Dann gibt es einen unitaerenOperator uα auf hω mit

πω(αx) = uαπω(x)u∗α

fuer alle a ∈ A.

Beweis. Das folgt aus dem Eindeutigkeitsteil der Aussage des vorigenTheorems: Betrachte dazu h′ω := hω, ξ′ω := ξω und

π′ω := πω(α·).

Dann hat das neue Triple wieder die gewuenschten Eigenschaften (Check!!)und es folgt die Existenz eines Unitaeren uα mit den angegebenen Ei-genschaften. �

Die von uns konstruierten Darstellungen haben eine spezielle Eigen-schaft, der wir jetzt noch einen Namen geben.

Definition. Sei π : A −→ L(H) eine Darstellung einer Algebra Aauf dem Hilbertraum H. Gibt es ein ξ ∈ H so dass

{π(a)ξ : a ∈ A}

dicht in H ist, so heisst ξ ein zyklischer Vektor und π heisst eine zy-klische Darstellung.

Folgerung. Die GNS Konstruktion liefert eine zyklische Darstellung.

3. Konstruktion einer treuen Darstellung

Im vorigen Abschnitt haben wir die Konstruktion einer (zyklischen)Darstellung aus einem positiven Funktional kennen gelernt. In diesemAbschnitt wird es darum gehen durch gleichzeitiges Anwenden der Kon-struktion fuer viele positive Funktionale dann eine treue Darstellungzu finden.

Definition. Sei A eine C∗-Algebra. Dann heisst ein positives Funk-tional ω mit ‖ω‖ = 1 ein Zustand. Die Menge der Zustaende auf Awird mit S(A) bezeichnet.

Auch wenn wir es im folgenden nicht direkt verwenden werden, haltenwir halten folgende Umformulierung des Satzes ueber die GNS Darstel-lung fest, da sie konzeptuell unseren Betrachtungen zugrundeliegt.

Theorem. Sei A eine C∗-Algebra mit Eins. Dann ist die Abbildung

S(A) −→ Zyklische Darstellungen von A/Unitaere Aequivalenz,

ω 7→ [(Hω, ξω, πω)],


bijektiv. Die inverse Abbildung ist gegeben durch die Abbildung [H, ξ, π)] 7→ω mit

ω(a) := 〈ξ, π(a)ξ〉.

Beweis. Es reicht zu zeigen, dass fuer das zu [H, ξ, π)] assoziierte Funk-tional ω mit ω(a) := 〈ξ, π(a)ξ〉 gilt πω ' π. (Dann folgt die Surjektivi-taet und die Aussage zur inversen Abbildung. Die uebrigen Aussagensind sowieso klar.)

Es gilt:

• 〈ξ, π(a)ξ〉 = ω(a) = 〈ξω, πω(a)ξω〉• {π(a)ı : a ∈ A} dicht in H (da zyklische Darstellung) und{πω(a)ξω : a ∈ A} dicht in Hω (s.o.).

Damit folgt aus dem Eindeutigkeitsteil des vorangehenden Theoremsdie gewuenschte Aussage. �

Lemma (J. Voigt). Sei A eine C∗-Algebra mit Eins. Dann ist die Ab-bildung

p : A −→ R, p(x) := max σ(1

2(x+ x∗)),

ein sublineares Funktional und fuer ein lineares φ : A −→ C gilt

φ ∈ S(A)⇐⇒ <φ ≤ p.

Beweis. Es ist p sublinear. Wir zeigen zunachst Sublinaeritaet aufAsa = {a ∈ A : a = a∗}:Sei λ > 0 und x = x∗. Dann gilt

π(λx) = max σ(λx) = maxλσ(x) = λp(x).

Seien x, y ∈ Asa. Dann gilt

p(x)e− x ≥ 0, p(y)e− y ≥ 0.

Damit folgt

(p(x) + p(y))e− x− y ≥ 0.

Damit folgt dann

(x+ y)− (p(x) + p(y))e ≤ 0.

Anwenden von p liefert dann (nach Definition von p)

0 ≥ p ((x+ y)− (p(x) + p(y))e) = p(x+ y)− p(x)− p(y).

Das ist gerade die Dreiecksungleichung. Aus der Sublinearitaet auf Asafolgt leicht die Sublinearitaet auf A.

Es gilt φ ∈ S(A)⇐⇒ <φ ≤ p.′ =⇒′. Sei φ ∈ S(A). Damit ist dann insbesondere φ(x∗) = φ(x). Damitkoennen wir rechnen:

3. KONSTRUKTION EINER TREUEN DARSTELLUNG 103

<(φ(x)) =1

2(φ(x) + φ(x))

( φ ≥ 0) = φ(1

2(x+ x∗))

(1

2(x+ x∗) ≤ p(x)e) ≤ φ(p(x)e)

= p(x)φ(e)

= p(x).

′ ⇐=′: Es gelte <φ ≤ p. Wir zeigen zunaechst φ(x) ∈ R fuer x ∈ Asa.Sei x ∈ A mit −x = x∗. Dann gilt also 1

2(x + x∗) = 0 und daher dann

p(±x) = 0. Damit folgt dann

<φ(x) ≤ p(x) = 0 und <φ(−x) ≤ p(x) = 0.

Das liefert <φ(x) = 0 d.h. φ(x) ∈ iR fuer −x = x∗. Betrachten vonx = ia fuer a = a∗ liefertt dann φ(a) ∈ R fuer a ∈ Asa.Wir zeigen nun φ(x) ≥ 0 fuer x ≥ 0. Sei also x ≥ 0 beliebig. Dann giltp(−x) ≤ 0. Damit folgt

−φ(x) = φ(−x) = <φ(−x) ≤ p(−x) ≤ 0.

Es gilt also φ(x) ≥ 0 fuer alle x ≥ 0. Damit ist φ positiv.Wir zeigen schliesslich ‖φ‖ = 1. Es reicht zu zeigen φ(e) = 1. Das istaber klar wegen

φ(e) ≤ p(e) = 1

undφ(−e) ≤ p(−e) = −1.



Folgerung (Existenz von ω mit ω(x∗x) > 0). Sei A eine C∗-Algebramit Eins. Dann existiert zu jedem a ∈ A mit a ≥ 0 und a 6= 0 einω ∈ S(A) mit ω(a) = ‖a‖ > 0. Insbesondere existiert also zu jedemx ∈ A mit x 6= 0 ein ω ∈ S(A) mit ω(x∗x) > 0.

Beweis. Offenbar reicht es die erste Aussage zu zeigen. Diese folgt ausdem vorigen Lemma und dem Satz von Hahn-Banach: Definiere

ω0 : Lin{a} −→ C, ω0(λa) := λ‖a‖.Dann gilt offenbar ω0(a) = 1 und (mit dem p aus dem vorigen Lemma

<ω0(λa) = (<λ)‖a‖ ≤ maxσ(<(λ)a) = p(λa).

(Hier folgt ≤ leicht durch die Fallunterscheidung <λ ≥ 0; dann gilt =bzw. <λ < 0; dann gilt ≤.) Nach dem Satz von Hahn-Banach hat dannω0 eine Fortsetzung ω auf ganz A mit <ω ≤ p. Diese ist dann nachdem vorigen Lemma ein Zustand. �


Theorem (Treue Darstellung). Jede C∗-Algebra hat eine treue (alsoinsbesondere isometrische) Darstellung auf einem Hilbertraum.

Bemerkung. Das Theorem besagt, dass wir - ohne Einschraenkung -uns C∗-Algebren als Unteralgebren von L(H) vorstellen duerfen.

Beweis. Ohne Einschraenkung habe A eine Eins. Zu jedem ω ∈ S(A)gibt es dann nach der GNS-Konstruktion eine Darstellung (πω, ξω, Hω)mit zyklischen Vektor. Wir betrachten

π : ⊕ω∈S(A)πω : A −→ L(⊕ω∈S(A)Hω)

mitπ(a) := ⊕πω(a).

Als orthognale Summe von Darstellungen (mit Norm ≤ 1) ist dann istπ eine Darstellung (mit Norm ≤ 1). Weiterhin ist π treu: Sie x ∈ Abeliebig mit x 6= 0. Dann existiert nach der vorangehenden Folgerungein ω ∈ S(A) mit ω(x∗x) > 0. Damit gilt dann also

‖πω(x)ξω‖2 = ω(x∗x) > 0.

Insbesondere folgt also πω(x) 6= 0 und damit dann π(x) 6= 0. �

Bemerkung. Die im Beweis des Theorems gegebene Darstellung heisstuniverselle Darstellung. Sie ’enthaelt’ in gewissem Sinne jede Darstel-lung.

Bemerkung - kommutativer Fall. Es ist instruktiv sich den kom-mutativen Fall anzuschauen. Sei A eine kommutative C∗-Algebra mitEins, also ohne Einschraenkung A = C(X) mit einem kompakten Haus-dorffraum X. Dann liefert jedes x ∈ X ein positives Funktional

δx : C(X) −→ C, f 7→ f(x).

(Diese Funktionale sind gerade die Charaktere auf A.) Die zugehoerigeDarstellung πx ist eindimensionals

πx : C(X) −→ L(C), πx(f) = Multiplikation mit f(x).

Bilden der orthogonalen Summe aller dieser Darstellungen liefert dieDarstellung

π : ⊕x∈Xπx : C(X) −→ ⊕x∈XL(C) ⊂ L(`2(X))

mitπ(f)ξ(x) = f(x)ξ(x).

Offenbar ist das eine treue Darstellung.

KAPITEL 9

Spektralsatz und messbares Spektralkalkuel

In diesem Abschnitt werfen wir einen Blick auf die Darstellungstheoriespezieller kommutativer C∗-Algebren. Inbesondere werden wir zeigen,dass jeder normale Operator ein Multiplikationsoperator ist (Spektral-satz).

Definition. Eine Darstellung π : A −→ L(H) heisst nichtausgeartet,wenn

{π(a)ξ : a ∈ A, ξ ∈ H}dicht in H ist.

Bemerkung.

• Gilt e ∈ A mit π(e) = 1, so ist π nichtausgeartet.• Offenbar ist jede zyklische Darstellung nichtausgeartet.• Durch Einschraenken auf H ′ := {π(a)ξ : a ∈ A, ξ ∈ H} kann

man aus jeder Darstellung eine nichtausgeartete Darstellunggewinnnen. (Uebung) In diesem Sinne ist Nichtausgeartetheiteher eine Konvention als eine Eigenschaft ;-)

Theorem. Sei π : A −→ L(H) eine nichtausgeartete Darstellung derC∗-Algebra A. Dann ist π eine orthogonale Summe von zyklischen Dar-stellungen.

Beweis. Das folgt aus dem Zornschen Lemma: Sei ξ ∈ H beliebig. Setze

Hξ := {π(a)ξ : a ∈ A}.Dann gilt H = Hξ ⊕H⊥ξ und Hξ und H⊥ξ sind unter π invariant (d.h.es gilt

π(a)Hξ ⊂ Hξ und π(a)H⊥ξ ⊂ H⊥ξfuer alle a ∈ A. Damit folgt also

π = πHξ ⊕ πH⊥ξmit den Darstellungen

πHξ : A −→ L(Hξ), a 7→ P ◦ π(a) ◦ ιund

πH⊥ξ : A −→ L(Hξ), a 7→ (I − P ) ◦ π(a) ◦ jmit der Projektion P : H −→ Hξ und den kanonischen Einbettungenι : Hξ −→ H und j : H⊥ξ −→ H.

105

106 9. SPEKTRALSATZ UND MESSBARES SPEKTRALKALKUEL

Offenbar ist πHξ eine zyklische (also auch nichtausgeartete Darstel-lung). Nun folgt die gewuenschte Aussage recht einfach aus dem Zorn-schen Lemma. �

Theorem (Spektralsatz fuer normale Operatoren). Sei a ein beschraenk-ter normaler Operator im Hilbertraum H. Dann existiert

• ein lokalkompakter Hausdorffraum X (der eine disjunkte Ver-einigung von Kopien von σ(a) ist)• ein Mass µ auf X• eine stetige beschraenkte Funktion f : X −→ R (die tatsaech-

lich gerade die Identitaet auf jeder Kopie von σ(a) ist)

und eine unitaere Abbildung

U : H −→ L2(X,µ)

mitUaU∗ = Mf .

Bemerkung. Eine entsprechende Aussage gilt fuer allgemeine normaleOperatoren in C∗-Algebren (da man diese ja als Operatoren auf einemHilbertraum auffassen kann). Tatsaechlich kann man leicht eine Versiondes Satzes fuer kommutative C∗-Algebren angeben (Uebung).

Beweis. Sei A die von a und e erzeugte C∗-Algebra. Ohne Einschraen-kung habe A einen zyklischen Vektor ξ (andernfalls zerlegen wir esin Summe von zyklischen Darstellungen gemaess dem vorangehendenTheorem). Dann ist

ω(x) := 〈ξ, xξ〉ein positives Funktional auf A. Denn es ist offenbar

ω(x∗x) = 〈xξ, xξ〉 = ‖xξ‖2

fuer alle x ∈ A. Nach Gelfandtheorie gilt weiterhin A ' C(σ(a)) mitΓa = id. Das Funktional ω ist dann also durch ein eindeutiges positivesMass µ auf σ(a) gegeben, d.h. es gibt ein eindeutiges µ mit∫

Γxdµ = ω(x)

fuer alle x ∈ A. Es gilt dann also

‖Γx‖2 =

∫σ(a)

|Γx|2dµ =

∫σ(a)

Γx∗xdµ = ω(x∗x) = 〈ξ, x∗xξ〉 = ‖xξ‖2

fuer alle x ∈ A. Damit ist die Abbildung

U : {bξ : b ∈ A} ⊂ H −→ L2(σ(a), µ), bξ → Γb,

wohldefiniert und isometrisch. Da sie dichtes Bild und dichten Defini-tonsbereich hat, kann sie (eindeutig) zu einer unitaeren Abbildung

U : H −→ L2(X,µ)

9. SPEKTRALSATZ UND MESSBARES SPEKTRALKALKUEL 107

fortgesetzt werden. Eine direkte Rechnung zeigt nun

UaU∗(Γb) = Uabξ = Γab = ΓaΓb = MidΓb

fuer alle b ∈ A. Damit folgt dann

UaU∗ = Mid.

Das ist die gewuenschte Aussage. �

Folgerung (Messbares Spektralkalkuel). Sei a ein beschraenkter nor-maler Operator im Hilbertraum H. Dann existiert eine eindeutige Ab-bildung

φ : Beschraenkt messbare Funktionen auf σ(a) −→ L(H)

mit folgenden Eigenschaften:

• φ ist linear, multiplikativ und vertraeglich mit der Involution.• φ(id) = a.• φ(hn)ξ → φ(h)ξ falls 0 ≤ hn → h punktweise aufsteigend.

Beweis. Eindeutigkeit. Wir wissen schon die Eindeutigkeit einer Ab-bildung φ mit der ersten und zweiten Eigenschaft auf den stetigenFunktionen. Die dritte Eigenschaft macht die Abbildung nun eindeu-tig auf den messbaren Funktionen. (Hier nutzt man ein Resulat ausder Masstheorie: Die kleinste involutive Algebra von Funktionen, diealle stetigen Funktionen auf σ(a) enthaelt und abgeschlossen ist untermonotoner Konvergenz, enthaelt schon alle messbaren Funktionen.)

Existenz. Sei u wie im vorigen Theorem d.h.

UaU∗ = Mf .

Definiere nunφ(h) := U∗Mh◦fU.

Dann sieht man leicht, dass φ die gewuenschten Eigenschaften hat. �

Mit dem vorigen Theorem koennen wir nun beliebige messbare Funktio-nen von normalen beschraenkten Operatoren bilden. Das ganze laesstsich (mit etwas Aufwand) auch auf geeignete Funktionen von unbe-schraenkten Operatoren erweitern. Aber das ist eine andere Vorlesung.

KAPITEL 10

Von Neumann Algebren

In diesem Kapitel geben wir einen kurzen Ausblick auf von NeumannAlgebren. Wir wissen schon, dass jedes C∗-Algebra als Unteralgebrader stetigen Operatoren auf einem Hilbertraum realisiert werden kann.Nun gibt es fuer einen gegebenen Hilbertraum H auf L(H) nicht nurdie Normtopologie, sondern noch mehrere weitere Toplogien:

• Die starke Topologie induziert durch die Halbnormen

Pξ : L(H) −→ [0,∞), Pξ(a) = ‖aξ‖fuer ξ ∈ H.• Die schwache Topologie induziert durch die Halbnormen

Pξ,η : L(H) −→ [0,∞), Pξ,η(a) := |〈ξ, aη〉|.Fuer ein Netz (aλ) in L(H) gilt dann also

aλ → a in der Normtopologie ⇐⇒ ‖aλ − a‖ → 0,

aλ → a in der starken Topologie ⇐⇒ ‖(aλ − a)ξ‖ → 0 for all ξ ∈ H,

aλ → a in der schwachen Topologie ⇐⇒ |〈ξ, (aλ−a)η〉 → 0 for all ξ, η ∈ H.Offenbar impliziert konvergenz in der Normtopologie die Konvergenzin der starken Topologie und die Konvergenz in der starken Topologieimpliziert Konvergenz in der schwachen Topologie. Es gilt also

Normtopologie ⊃ Starke Topologie ⊃ Schwache Topologie.

Bemerkung. Diese Inklusionen sind strikt.

Definition. Eine von Neumann Algebra ist eine selbtadjungierte Teilal-gebra der beschraenkten Operatoren auf einem Hilbertraum H, die ab-geschlossen ist bzgl. der schwachen Topologie.

Bemerkungen.

• Offenbar ist jede von Neumann Algebra auch eine C∗-Algebra.• Fuer eine von Neumann Algebra M gilt dann

M =Mw=Ms

.

(Dabei nutzt man in der letzten Gleichheit die Konvexitaetder von Neumann Algebra.)

109

110 10. VON NEUMANN ALGEBREN

Definition. Sei H ein Hilbertraum undM eine Teilmenge von L(H).Dann definiert man den Kommutanten M′ von M durch

M′ := {b ∈ L(H) : ab = ba fuer alle a ∈M}.

Proposition. Sei H ein Hilbertraum und M eine Teilmenge vonL(H) mit M = M∗. Dann ist M′ eine von Neumann Algebra (mitEins).

Beweis. Das ist einfach. (Man braucht die Selbstadungiertheit vonMum die Selbstadjungiertheit des Kommutanten zu erhalten). �

Theorem (von Neumanns Bikommutanten Satz). Sei H ein Hilber-traum und M eine Teilalgebra von L(H) mit 1 ∈ M und M = M∗,so gilt

Mw=M′′.

Ist insbesondere M eine von Neumann Algebra, so gilt

M =M′′.

Bemerkung.

• Nach dem Satz entsteht jede von Neumann Algebra als Kom-mutant.• Der Satz liefert eine Beziehung zwischen einer algebraischen

Eigenschaft (Bikommutant) und einer topologischen Eigen-schaft (Abgeschlossenheit in der schwachen Topologie).

ANHANG A

Exkurs - Lokalkompakte abelsche Gruppen

← →2. VorlesungEine mit einer Topologie versehene Gruppe G heißt topologische Grup-

pe, wenn die Abbildungen

• G×G −→ G, (x, y) 7→ xy,• G −→ G, x 7→ x−1,

stetig sind. Eine topologische Gruppe heißt lokalkompakt, wenn einPunkt (jeder Punkt) eine kompakte Umgebung besitzt. Wir werdenhier ausserdem voraussetzen, dass eine lokalkompakte Gruppe auchhausdorffsch ist.

Eine lokalkompakte Gruppe ist standardmaessig mit der (von den of-fenen Mengen erzeugten) Borel-σ-Algebra versehen.

Theorem (Haar). Sei G eine lokalkompakte Gruppe. Dann existiertein (bis auf Normierung) eindeutiges nichttriviales Maß m auf G mit

m(A) = m(xA) ’m ist linksinvariant’

fuer alle x ∈ G und alle messbaren A.

Notation. Ein (nichttriviales) Maß mit der im Theorem angegebenenEigenschaft heißt Haarmaß auf G.

Bemerkung. Analog gilt auch die Existenz eines rechtsinvariantenMaßes. Im allgemeinen stimmen rechts- und linksinvariante Maße nichtueberein. Ist die Gruppe diskret oder abelsch, so stimmen (natuerlich)links- und rechtsinvariante Maße ueberein.

Proposition. Sei G lokalkompakt und m ein regulaeres Maß auf G.Dann sind aequivalent:

(i) Es ist m linksinvariant.(ii) Es gilt

∫Gϕ(s)dm(s) =

∫Gϕ(ts)dm fuer alle ϕ ∈ Cc(G).

Beweis. (i)=⇒ (ii): Aufgrund der Linksinvarianz gilt∫1Adm = m(A) = m(tA) =

∫1tAdm =

∫1A(t−1·)dmu

fuer alle messbaren A und alle t ∈ G. Das liefert dann eine entspre-chende Aussage fuer alle Elementarfunktionen und dann, nach Gren-zuebergang, fuer alle Funktionen aus Cc(G).

111

112 A. EXKURS - LOKALKOMPAKTE ABELSCHE GRUPPEN

(ii)=⇒ (i): Aufgrund der Regularitaet von m reicht es m(K) = m(tK)fuer alle kompakten K zu zeigen. Das folgt aus dem Lemma von Ury-sohn, da - wieder aufgrund der Regulaeritaet- gilt

m(K) = inf{∫ϕdmu : 1K ≤ ϕ ∈ Cc(G)}.


Sei nun ein Haarmaß auf G fixiert. Dann notieren wir die Integrationbzgl. m mit

∫..dx. Wir betrachten

L1(G) := L1(G,m)

mit der Norm

‖f‖1 =

∫G

|f(x)|dx.

Fuer f, g ∈ L1(G) definieren wir die Faltung f ∗ g : G −→ C durch

f ∗ g(x) =

∫f(y)g(y−1x)dy.

Um zu zeigen, dass das in der Tat fuer fast alle x ∈ G definiert istund eine Funktion aus L1(G) liefert, machen wir eine kleine Rechnungunter Nutzen des Satzes von Fubini:∫ ∫

|f(y)g(y−1x)|dydx Fubini=

∫ ∫|f(y)g(y−1x)|dxdy

=

∫|f(y)|

(∫|g(y−1x)|dx

)dy

= ‖f‖1‖g‖1.

Das zeigt, dass in der Tat f ∗ g punktweise fast sicher durch obigeFormel definiert ist und eine Funktion aus L1(G) liefert mit

‖f ∗ g‖1 ≤ ‖f‖1‖g‖1.

Damit ist dann also L1(G) mit Faltung ∗ und Norm ‖ · ‖1 eine Bana-chalgebra.

Beispiele.

• Z,ZN .• R, RN .• T = R/Z, TN := RN/ZN .

Bemerkung. Es gilt folgendes:

• G abelsch ⇐⇒ L1(G) kommutativ.• G diskret ⇐⇒ L1(G) hat eine Eins. (Diese Eins ist dann ge-

geben durch δe : G −→ {0, 1}, δe(x) = δe,x.)

A. EXKURS - LOKALKOMPAKTE ABELSCHE GRUPPEN 113

Fuer die Beweise ist einiges zu tun. Wir vertiefen das hier nicht.

Wir kommen nun zu Darstellungen von G. Genauer werden wir ei-ne Darstellung von G als unitaere Operatoren auf dem HilbertraumL2(G) und ein zugehoerige Darstellung von L1(G) kennenlernen. Wirdefinieren

T : G −→ L(L2(G)), t 7→ Tt,

durchTt : L2(G) −→ L2(G), Ttf = f(t−1·).

Dann gilt:

• Te = I.• Tst = TsTt fuer alle s, t ∈ G wie eine kleine Rechnung zeigt.

(In der Rechnung kommt die - auf den ersten Blick vielleichtueberraschende - Inversion von t in der Definition von Tt zumTragen.)

Damit handelt es sich bei T um eine Darstellung von G (in den be-schraenkten Operatoren auf L2(G)). Insbesondere gilt also

TtTt−1 = I = Tt−1Tt

fuer alle t ∈ G. Damit ist also Tt fuer alle t ∈ G stetig invertierbar mitT−1t = Tt−1 .

Tatsaechlich gilt im vorliegenden Fall noch mehr:

• Tt ist unitaer fuer jedes t ∈ G. (Bew: Wir haben schon gzeigt,dass Tt surjektiv ist. Es reicht also die Isometrie von Tt zuzeigen. Diese folgt sofort, da das zugrundeliegnde Maß links-invariant ist).

Damit handelt es sich um eine unitaere Darstellung von G. Schließlichhat T noch die folgende Eigenschaft:

• Fuer jedes f ∈ L2(G) ist die Abbildung

G −→ L2(G), t 7→ Ttf,

stetig. (Das folgt durch einfache Rechnung fuer f ∈ Cc(G) undergibt sich dann im allgemeinen Fall durch Approximation.)

Damit handelt es sich um eine stark stetige Darstellung von G.

Es gibt noch eine Darstellung von L1(G) in L(L2(G)):

L : L1(G) −→ L(L2(G)), f 7→ Lf ,

mitLfg := f ∗ g.

(In diesem Zusammenhang ist natuerlich einiges zu zeigen:

• f ∗g existiert fast sicher und die entstehende Funktion gehoertzu L2(G),• Es ist Lf ein beschraenkter Operator.• Es gilt fLf∗g = LfLg.

114 A. EXKURS - LOKALKOMPAKTE ABELSCHE GRUPPEN

Die ersten beiden Punkte ergeben sich aus folgender Rechnung:

∫ ∣∣∣∣∫ |f(y)g(y−1x)|dy∣∣∣∣2 dx =

∫ ∣∣∣∣∫ |f(y)|1/2(|f(y)|1/2g(y−1x)|)dy∣∣∣∣2

(Cauchy-Schwartz) ≤∫

(

∫|f(y)|dy)(

∫|f(z)||g(z−1x)|2dz)dx

= ‖f‖1

∫ ∫|f(z)||g(z−1x)|2dzdx

(Fubini) = ‖f‖1

∫ ∫|f(z)||g(z−1x)|2dxdz

= ‖f‖21‖g‖2

2.

Damit folgt nicht nur die Definiertheit von Lfg sondern auch die Abs-chaetzung

‖Lfg‖2 ≤ ‖f‖1‖g‖2.

Damit gilt also‖Lf‖ ≤ ‖f‖1

fuer alle f ∈ L1(G) und das liefert dann sogar

‖L‖ ≤ 1.

Zum letzten Punkt: Wir haben schon gezeigt, dass alles definiert ist.Damit folgt dann nach direkt aus der Assoziativitaet der Faltung

Lf∗g(h) = (f ∗ g) ∗ h = f ∗ (g ∗ h) = LfLg(h).

Bemerkung. Die beiden Darstelllungen T und L stehen miteinanderin Beziehung. Man kann L als eine integrierte Version von T auffassenvia

Lf =

∫f(y)Tydx.

Formal folgt das sofort aus der punktweisen Rechnung

Lfg(x) = f ∗ g(x) =

∫f(y)g(y−1x)dy =

∫f(y)(Tyg)(x)dy.

Um aus dieser punktweisen Rechnung eine korrekte Rechnung zu ma-chen, bedarf es einiger Arbeit.

ANHANG B

Exkurs - Kompaktheit

In diesem Abschnitt lernen wir ein fundamentales Konzept der To- ← →4. Vorlesungpologie kennen naemlich das Konzept der Kompaktheit. Kompaktheit

ist eine ausgesprochen nutzliche Eigenschaft (verlangt aber eine etwasabstrakte Definition).

Definition. Sei (X, d) ein metrischer Raum. Eine Teilmenge K ⊂Mheißt (folgen)kompakt, wenn jede Folge (xn) in K ein Teilfolge (xnk)besitzt, die gegen einen Grenzwert aus K konvergiert.

Bemerkung.

• Das so definierte Konzept ist auch als Folgenkompaktheit be-kannt. In metrischen Raumen stimmt es mit anderen Konzep-ten von Kompaktheit ueberein (s.u.). Da uns nur metrischeRaume interessieren, werden wir nicht zwischen Folgenkom-paktheit und Kompaktheit unterscheiden.• Der Fall K = X in obiger Definition ist natuerlich moglich.

In ’Anwendungen’ hat man es aber oft mit der Situation zutun, dass X nicht kompakt ist, man sich aber fuer kompakteTeilmengen in X interessiert.

Beispiele.

• Sei I = [a, b] ein abgeschlossenes beschranktes Intevall in R.Dann ist I kompakt. (Bew. Nach Bolzano/Weierstrass hat jedeFolge in I eine (in R) konvergente Teilfolge. Da das Intervallabgeschlossen ist, liegt der Grenzwert der Teilfolge in I).• Sei A eine abgeschlossene bzgl. der Euklidischen Metrik be-

schraenkte Menge in RN (oder CN). Dann ist A kompakt. Daswerden wir unten genauer diskutieren.

Kompaktheit ist eine nuetzliche Eigenschaft, wie die folgenden Resul-tate zeigen.

Proposition. Sei (K, d) kompakter metrischer Raum und f : K −→R stetig.

(a) Ist f nach unten beschraenkt, so nimmt f sein Minumum an.Ist f nach oben beschraenkt, so nimmt f sein Maximum an.

(b) Es ist f nach oben und unten beschraenkt.(c) Es ist f gleichmaessig stetig.

115

116 B. EXKURS - KOMPAKTHEIT

Beweis. (a) Wir behandeln nur das Maximum. (Das Minimum kannanalog behandelt werden.) Waehle eine Folge (xn) in K mit

limnf(xn) = sup

x∈Xf(x).

(Hier ist apriori auch die bestimmte Divergenz gegen∞ moeglich.) DaK kompakt ist, hat (xn) eine in K konvergente Teilfolge, d. h. es gibt(xnk)k und x ∈ K mit

xnk → x.

Da f stetig ist folgt dann

f(x) = limkf(xnk) = sup

x∈Kf(x).

Das beendet den Beweis.

(b) Das folgt aus (a).

(c) Sei ε > 0. Zu zeigen: Es gibt ein δ > 0 mit |f(x) − f(y)| < εfuer alle x, y ∈ K mit d(x, y) ≤ δ. Angenommen Nein! Dann existierenalso zu jedem n ∈ N Elemente xn, yn ∈ K mit d(xn, yn) ≤ 1

nund

|f(xn)− f(yn)| ≥ ε. Es hat dann (xn) eine in K konvergente Teilfolge.Ohne Einschraenkung sei xn konvergent gegen x ∈ K. Dann konvergiertauch (yn) gegen x. Damit folgt dann

0 = |f(x)− f(x)| = limn→∞

|f(xn)− f(yn)| ≥ ε.

Das ist ein Widerspruch. �

Bemerkung. Die drei in der Proposition gegebenen Eigenschaften cha-racterisieren sogar Kompaktheit. Genauer gilt folgendes: Sei (X, d) einmetrischer Raum. Dann sind aequivalent: .

(i) Es ist (X, d) kompakt.(ii) Es nimmt jede nach unten beschraenkte stetige Funktion von

X nach R ihr Minimum an.(iii) Es ist jede stetige reellwertige Funktion beschraenkt.(iv) Es ist jede stetige reellwertige Funktion gleichmaessig stetig.

(Beweisideen: (ii)=⇒ (i): Sei (xn) eine Folge in X. Zu zeigen: (xn) hateinen Haeufungspunkt. Betrachte die Funktion:

f : X −→ [0,∞), f(x) := infnd(x, xn) ∨ 1

n.

Dann ist f stetig als Infimum ueber lipschitzstetige Funktionen. Weiter-hin ist f nach unten beschraenkt mit 0 = inf f (wegen inf f ≤ f(xn) ≤1n→ 0, n→∞).

(iii)=⇒ (ii): Sei f eine beliebige stetige nach unten beschraenkte Funk-tion. Ohne Einschraenkung (sonst Addieren einer Konstanten) sei f ≥1. Angenommen f nimmt sein Infimum c nicht an. Dann ist

f =1

f − c

B. EXKURS - KOMPAKTHEIT 117

stetig und unbeschraenkt. Das ist ein Widerspruch zu (iii).

(iv)=⇒ (iii): Zeige: X vollstaendig und total beschraenkt: Vollstaen-dig: Wuerde der Punkt p fehlen, so waere f(x) = 1

d(x,p)nicht gleich-

maessig stetig. Total beschraenkt: Gaebe es abzaehlbar viele disjunkteKugeln vom festen Radius r > 0, so koennte man durch die Funktio-nen 1

d(x,mn)∧ n auf den Kugeln um xn eine nicht gleichmaessig stetige

Funktion konstruieren.Das beendet die Diskussion der Beweisideen.)

Wir kommen nun zur konzeptuellen Untersuchung und Charakterisie-rung von Kompaktheit.

Definition (Total beschraenkt). Sei (X, d) ein metrischer Raum. Ei-ne Teilmenge B ⊂ X heißt total beschraenkt, wenn zu jedem ε > 0 einN ∈ N und x1, . . . , xN ∈ X existieren mit

B ⊂N⋃k=1

Bε(xk).

Bemerkung.

• Natuerlich ist auch der Fall B = X moeglich.• Statt x1, . . . , xN ∈ X kann auch aequvalent x1, . . . , xN ∈ B

gefordert werden.• Statt mit abgeschlossenen Kugeln koennte man auch offenen

Kugeln arbeiten.• Wir wissen schon, dass jede Metrik d zu einer Metrik e ae-

qivalent ist, in der der ganze Raum eine beschraenkte Mengeist (z.B. e = d

1+d). Daher ist Beschraenktheit einer Menge kei-

ne besonders kanonische Eigenschaft. Das Konzept der totalBeschraenktheit ersetzt das Konzept der Beschraenktheit. Istein Raum bgzl. zweier aequivalenter Metriken vollstaendig, sohaben beide Metriken dieselben total beschraenkten Mengen(s.u.).

Beispiel - Total beschraenkte Mengen im RN bzw. CN . Sei RN

mit der Euklidischen Metrik versehen. Dann ist ein B ⊂ RN genaudann total beschraenkt, wenn es beschraenkt ist.Bew. =⇒: Sei B beschraenkt. Betrachte zu % > 0 das Gitter Γ% :=(%Z)N . Dann schneidet B aufgrund der Beschraenktheit (und des ar-chimedischen Axioms) nur endllich viele Maschen des Gitters. Jededieser Maschen kann mit einer Kugel vom Radius Nρ ueberdeckt wer-den. Damit folgt die gewuenschte Implikation (da % > 0 beliebig kleingemacht werden kann).

⇐=: Das ist klar.

Bemerkung. Eine total beschraenkte Menge muss nicht vollstaendigsein. Bsp: (0, 1) mit der ueblichen Euklidischen Metrik.


Notation. Sei (X, d) ein metrischer Raum.

• Ist (xn) eine Folge in X und B eine Teilmenge von X, sosagen wir, dass in B unendlich viele Folgeglieder liegen, wenndie Menge {n ∈ N : xn ∈M} unendlich viele Elemente hat.• Ist B eine Teilmenge von X und sind Uα, α ∈ I, Teilmengen

von X so sagen wir, dass die Uα die Menge B ueberdecken,wenn B ⊂ ∪α∈IUα gilt.

Wir erinnern an den Satz von Bolzano / Weierstrass. Dieser besagt,dass eine Menge I in R genau dann beschraenkt ist, wenn jede Folgeeine konvergente Teilfolge hat. (Hier ist die schwere Richtung die ei-gentliche Aussage des Satzes von Bolzano / Weierstrass und die andereRichtung ist klar). Die total beschraenkten Mengen lassen sich mit fol-gender Variante des Satzes von Bolzano/Weierstrass charakterisieren.

Lemma (Charakterisierung total beschraenkt). Sei (X, d) ein metri-scher Raum und B ⊂ X. Dann sind aequivalent:

(i) Es ist B total beschraenkt.(ii) Jede Folge in B hat eine Teilfolge, die eine Cauchy Folge ist.

Beweis. (i)=⇒ (ii): Sei (xn) eine Folge in B. Wir ueberdecken nun Bdurch endlich viele Kugeln vom Radius 1. In einer von diesen Kugelnmuessen dann uendlich viele Folgeglieder von (xn) liegen.Bezeichne den Schnitt dieser Kugel mit B als B1. Wir ueberdeckennun B1 (das als Teilmenge des total beschrankten B ebenfalls total be-schraenkt ist) durch endlich viele Kugeln vom Radius 1/2. Der Schnitteiner dieser Kugeln mit B1 muss dann unendlich viele Folgeglieder von(xn) enthalten. Nenne diesen Schnitt B2. Induktiv koennen wir so eineFolge von Mengen Bn, n ∈ N, konstruieren mit

• B ⊃ B1 ⊃ . . . ⊃ Bn−1 ⊃ Bn

• supx,y∈Bn d(x, y) =: diamBn ≤ 12n,

• Jedes Bn enthaelt unendlich viele Folgeglieder.

(Vgl. Intervallhalbierungsverfahren zum Beweis des Satzes von Bolzano/ Weierstrass im ersten Semester).Aufgrund der dritten Eigenschaft koennen wir dann eine Teilfolge (xnk)von (xn) konstruieren mit xnk ∈ Bk fuer alle k ∈ N. Aufgrund der erstenbeiden Eigenschaften handelt es sich um eine Cauchy Folge.

(ii)=⇒ (i): Angenommen B ist nicht total beschraenkt. Dann existiertalso ein ε > 0 so dass B nicht mit endlich vielen Kugeln mit dem Radiusε ueberdeckt werden kann. Dann koennen wir induktiv eine Folge (xn),n ∈ N, in B von Kugelmittelpunkten konstuieren mit

xn+1 /∈n⋃k=1

Bε(xn).

n = 1 : Waehle x1 beliebig.


n =⇒ n+ 1: Es wird B nicht von ∪nk=1Bε(xn) ueberdeckt nach Annah-me.

Die Elemente dieser Folge erfuellen

d(xn, xk) ≥ ε

fuer alle n, k ∈ N mit n 6= k. Daher kann diese Folge keine Teilfolgehaben, die eine Cauchy Folge ist. Widerspruch zu (ii). �

Damit koennen wir nun Kompaktheit charakterisieren.

Theorem (Charakterisierung Kompaktheit). Sei (X, d) ein metrischerRaum und K ⊂ X. Dann sind aequivalent:

(i) Es ist K total beschraenkt und vollstaendig.(ii) Jede Folge in K hat eine Teilfolge, die in K konvergiert.

Beweis. Das folgt leicht aus dem vorigen Lemma.

(i)=⇒ (ii): Da K total beschraenkt ist, hat nach dem vorigen Lemmajede Folge in K eine Teilfolge, die Cauchy Folge ist. Aufgrund derVollstaendigkeit von K konvergiert diese dann in K.

(ii)=⇒ (i): Nach (ii) hat insbesondere jede Folge in K eine Teilfolge,die Cauchy Folge ist. Daher ist nach dem Lemma also die Menge Ktotal beschraenkt.Noch zu zeigen: K vollstaendig. (Hier brauchen wir das einzig neueElement des Beweises, das nicht schon aus dem vorigen Lemma folgt.)Sei (xn) eine Cauchy Folge in K. Dann enthaelt (xn) nach (ii) einegegen ein x ∈ K konvergente Teilfolge (xnk). Damit ist nach Standard-schluessen die Folge (xn) selber konvergent gegen x.(Denn es gilt

d(x, xn) ≤ d(x, xnk) + d(xnk , xn).

Es konvergiert nun (d(x, xnk)) gegen 0, da xnk → x und es wird d(xnk , xn)beliebig klein fuer k, n gross, da es sich um eine Cauchy Folge handelt.)�

Beispiel - Kompaktheit in RN bzw. CN . In RN bzw. CN ist eineMenge total beschraenkt genau dann, wenn sie beschraenkt ist. Sie istvollstaendig, genau dann, wenn sie abgeschlossen ist. Damit erhaltenwir folgendes Resultat: Ein K ⊂ RN ist kompakt genau dann, wenn esabgeschlossen und beschrankt ist.

Folgerung. Sei (X, d) ein vollstaendiger metrischer Raum. Sei A ⊂X gegeben. Dann sind aquivalent:

(i) A ist total beschraenkt.(ii) Es ist A kompakt.

Beweis. Man sieht leicht, dass eine Teilmenge A vonX total beschranktist genau dann wenn A total beschrankt ist. Damit konnen wir wie folgtweiterschliessen:


Ist A kompakt, so ist es nach dem vorangehenden Theorem total be-schraenkt. Dann ist auch A total beschraenkt.

Sei umgekehrt A total beschraenkt. Dann ist auch A total beschraenktund vollstaendig (als abgeschlossene Menge eines vollstaedigen Raum-es). Daher ist A nach dem vorangehenden Theorem kompakt. �

Definition. Sei (X, d) ein metrischer Raum. Eine Menge A in Xheißt relativ kompakt, wenn ihr Abschluss kompakt ist.

← →Bonusmaterial: Wir kommen nun zu einer weiteren Charakterisierung von Kompakt-

heit. Diese lasst sich auch fuer allgemeine topologische Raume geben.

Theorem. Sei (X, d) ein metrischer Raum und K ⊂ X. Dann sindaequivalent:

(i) Jede Folge in K hat eine in K konvergente Teilfolge.(ii) Jede offenen Ueberdeckung von K hat eine endliche Teilueber-

deckung. (Das heißt: Zu allen Uα, α ∈ A, offen mit K ⊂ ∪Uαexistiert N ∈ N und α1, . . . , αN mit K ⊂ ∪Nj=1Uαj .) ’K istueberdeckungskompakt’.

Bemerkung.

• Die Eigenschaft (ii) kann auch als Definition von Kompaktheitgenommen werden. Man spricht dann von Ueberdeckungskom-paktheit (oder der Heine-Borel Eigenschaft). Der Satz besagtdann, dass in metrischen Raumen Ueberdeckungskompaktheitaequivalent zu Folgenkompaktheit ist.• In der Eigenschaft (ii) wird kein Bezug auf die Metrik genom-

men sondern nur auf die erzeugte Topologie. Insbesondere ha-ben also zwei Metriken, die dieselbe Topologie erzeugen, die-selben kompakten Mengen.

Beweis. (ii) =⇒ (i): Sei (xn) eine Folge in K. Angenommen (xn)enthaelt keine konvergente Teilfolge. Dann hat (xn) also keinen Haeu-fungspunkt. Dann existiert zu jedem x ∈ K also ein δx > 0 so dass inUδx(x) nur endlich viele Folgeglieder liegen. Dann ist Uδx(x) eine offeneUeberdeckung von K und hat also eine endliche Teilueberdeckung

Uδpj (pj), j = 1, . . . , N.

Da jedes Uδpj nur endlich viele Folgeglieder enthaelt, gibt es also ins-

gesamt nur endlich viele Folgeglieder. Das ist ein Widerspruch.

(i)=⇒ (ii): Sei Uα, α ∈ A, eine offene Ueberdeckung von K. Wir gehenin drei Schritten vor.

Schritt 1: Es gibt ein δ > 0, so dass fuer jedes x ∈ K ein αx ∈ Aexistiert mit x ⊂ Uδ(x) ⊂ Uαx. ’Jede δ-Kugel liegt in einem Uα’.


Bew. Angenommen nein! Dann gibt es also zu jedem n ∈ N (fuerδ = 1/n) ein xn ∈ K sodass U1/n(xn) nicht in Uα enthalten ist fueralle α ∈ A. Aufgrund von (i) hat (xn) eine konvergente Teilfolge. OhneEinschraenkung sei xn → x ∈ K. Dann gibt es ein α ∈ A mit x ∈ Uα.Da Uα offen ist, ist dann auch Ur(x) ⊂ Uα fuer ein geeignetes r > 0.Fuer hinreichend grosse n ist dann aber d(xn, x) < r/2 und 1/n < r/2also

U1/n(xn) ⊂ Ur/2(xn) ⊂ Ur(x) ⊂ Uα.

Das ist ein Widerspruch zur Konstruktion der (xn).

Schritt 2: Zu δ > 0 aus Schritt 1, gibt es ein N ∈ N und x1, . . . , xN ∈ Kmit K ⊂ ∪Nj=1Uδ(xj).Bew. Nach (i) und der Charakterisierung von Kompaktheit, ist K totalbeschraenkt. Damit folgt Schritt 2 (fuer jedes δ > 0).

Schritt 3: Es gilt (ii).Bew. Seien δ > 0 und x1, . . . , xN aus Schritt 2 gegeben. Dann gilt also

K ⊂ ∪Nj=1Uδ(xj).

Nach Schritt 1 ist jedes Uδ(xj) in einem Uαj enthalten und (ii) folgt. �

Theorem (Globale Eigenschaft stetiger Funktionen auf Kompakta).Sei K ein kompakter topologischer Raum und Y ein beliebiger topolo-gischer Raum und f : K −→ Y stetig. Dann ist f(K) kompakt.

Beweis. Das folgt einfach durch Betrachtungen von Ueberdeckungen.(Nutze, dass Uebilder von Ueberdeckungen wieder Ueberdeckungensind.) �

Bemerkung. Das ist eine der beiden globalen ’topologischen’ Ver-traeglichkeitseigenschaften von stetigen Funktionen. Die andere ist dieVertraeglichkeit mit Zusammenhang.

Kompaktheit ist gut mit Abgeschlossenheit vertraeglich.

Proposition. Sei X ein topologischer Hausdorffraum und K ⊂ Xkompakt. Dann gilt:(a) Es ist K abgeschlossen.(b) Ist A ⊂ K abgeschlossen, so ist A kompakt.(c) Ist A ⊂ X abgeschlossen, so ist A ∩K kompakt.

Beweis. (a) Das nutzt die Hausdorffeigenschaft. Wir zeigen, dass X \Koffen ist: Sei dazu x ∈ X \K beliebig. Dann koennen wir x von jedemPunkt von K mit offenen Menge trennen....

(b) Betrachte eine beliebige Ueberdeckung von A. Fuege noch die of-fene Menge X \ A hinzu. Dann ergibt sich eine Ueberdeckung von K.Diese hat eine endliche Teilueberdeckung. Entfernen (falls noetig) derMenge X \ A aus dieser Teilueberdeckung liefert eine endliche Teilue-berdeckung von A.


(c) Das folgt leicht aus (a) und (b). �

Folgerung. Sei K ein kompakter topologischer Rraum und L ein be-liebiger topologischer Hausdorfraum. Sei f : K −→ L stetig. Dannbildet f abgeschlossene Teilmengen von K auf abgeschlossene Teilmen-gen von L ab.

Beweis. Ist A ⊂ K abgeschlossen, so ist A kompakt. Daher ist aufgrundder Stetigkeit von f auch f(A) kompakt (nach dem vorangehendenTheorem). Damit ist nach der vorangehenden Proposition auch f(A)abgeschlossen. �

Folgerung (Automatische Stetitgkeit der Inversen). Sei K ein kom-pakter topologischer Rraum und L ein beliebiger topologischer Haus-dorfraum und f : K −→ L sei bijektiv und stetig. Dann ist die inverseAbbildung g = f−1 : L −→ K stetig.

Beweis. Das folgt sofort aus der vorigen Folgerung. (Denn es reicht zuzeigen: g−1(A) abgeschlossen fuer jedes abgeschlossene A ⊂ K.) �

Bemerkung. Auch hier laesst sich eine zugehoerige Charakterisierungvon Kompaktheit geben. Fuer eine topologischen Raum X sind aequi-valent:

(i) Es ist X kompakt.(ii) Fuer jeden topologischen Hausdorffraum Y , jede stetige Funk-

tion Φ : X −→ Y und jedes abgeschlossene A in X ist Φ(A)abgeschlossen.

(Beweis. Die Implikation (i)=⇒ (ii) ist klar. Um (ii)=⇒ (i) zu zeigen,betrachte die Algebra Cb(X). Das ist eine kommutative C∗-Algebra mitEins und daher gilt Cb(X) ' C(Y ) fuer den kompakten HausdorffraumY der linearen multiplikativen Funktionale auf Cb(X). Die Abbildung

X −→ Y, x 7→ δx,

ist dann stetig. Damit ist nach (ii) ihr Bild Φ(X) abgeschlossen in Yund damit kompakt. Weiterhin ist Φ offenbar bijektiv mit inverser Ψ.Aufgrund von (ii) und einem aehnlichen Schluss wie im Beweis der au-tomatischen Stetigkeit der vorangehenen Folgerung koennen wir dannschliessen, dass Φ−1 stetig ist. Damit ist K = Ψ(Y ) dann kompakt.)

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