Übungen zur Mathematik I & II im WS 2014/2015 · Übungen zur Mathematik I & II im WS 2014/2015 3...

FAKULTÄT FÜR MATHEMATIK,CAMPUS ESSEN

Dirk PaulyFrank Osterbrink

Übungen zur Mathematik I & II im WS 2014/2015

Aufgabe 1Handelt es sich um Aussagen im mathematischen Sinne? Welchen Wahrheitswert haben siegegebenenfalls?

(a) Keine Ursache!

(b) Borneo ist die drittgrößte Insel der Welt.

(c) Die Zahl√2 ist irrational.

(d) Lernen, lernen, popernen!

(e) Mathematik ist sinnlos.

Aufgabe 2Bilden Sie die Negation der Allaussage „Alle Männer müssen sich rasieren“ und die Negationder Existenzaussage „Es gibt SchülerInnen, die nicht fleißig genug sind“.

Aufgabe 3Drücken Sie die folgenden Aussagen mit Quantoren aus:

(a) An jedem Tag gibt es einen Ort auf der Erde an dem es nicht regnet.

(b) Alle Primzahlen, die größer als 2 sind, sind ungerade.

(c) Jede Person in der Vorlesung versteht zumindest etwas von den behandelten Themen.

(d) Eine natürliche Zahl ist genau dann durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbarist.

(e) Die Leistungen werden durch zusätzlichen Unterricht oder durch intensiveren Unterrichtbesser.

(f) Zu jeder reellen Zahl r gibt es eine reelle Zahl −r für die gilt: −r + r = 0.

(g) Manche Menschen sagen manchmal die Wahrheit.

(h) Jede gerade natürliche Zahl kann als Summe zweier Quadratzahlen geschrieben werden.

(i) Wenn Kinder an einem Fußgängerüberweg spielen und nicht auf den Verkehr achten, somüssen die Autofahrer besonders vorsichtig fahren

(j) Jede reelle Zahl wird von einer natürlichen Zahl übertroffen.

1

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Aufgabe 4Gegeben seien folgende Aussagen:

B(x, y) : x besiegt yF (x) : x ist Fußball-Nationalmannschaft

T (x, y) : x ist Torwart von y

und folgende Bezeichnungen:

de : deutsche Nationalmannschaftbr : brasilianische Nationalmannschaftus : Nationalmannschaft der USA.

Drücken Sie folgende Aussagen in der Prädikatenlogik aus:

(a) Jede Fußball-Nationalmannschaft hat einen Torwart.

(b) Wenn de gegen us gewinnt, dann verliert de nicht jedes Spiel.

(c) br schlägt jedes Team, gegen das de verliert, mit Ausnahme von sich selbst.

Aufgabe 5Seien p, q und r drei Aussagen. Konstruieren Sie Wahrheitstaffeln für folgende Formeln:

(a) ((p −→ q) −→ p) −→ p

(b) p ∨ (¬(q ∧ (r −→ q)))

(c) (p ∧ q) −→ (p ∨ q)

(d) ((p −→ ¬q) −→ ¬p) −→ q

(e) (p −→ q) ∨ (p −→ ¬q)

(f) ((p ∨ q) −→ r) −→ ((p −→ r) ∨ (q −→ r))

(g) (p −→ q) −→ (¬p −→ ¬q)

Aufgabe 6Die Suche nach Iasons Goldenem Vlies führt Indiana Jones zu einem verborgenen Tempel.Der Öffnungsmechanismus des Eingangs wird von drei Hebeln gesteuert, die sich in der Wandbefinden. Aus seinem Studium der griechischen Mythologie weiß Indiana, dass er

• mindestens einen Hebel ziehen muss.

• Hebel 1 nicht ziehen darf, wenn er nicht ebenfalls Hebel 2 oder Hebel 3 zieht.

• auf keinen Fall beide Hebel 1 und Hebel 3 ziehen darf.

• Hebel 2 und Hebel 3 entweder beide ziehen muss oder beide nicht ziehen darf.

Stellen Sie eine aussagenlogische Formel auf, die die Regeln für die Öffnung des Tempels be-schreibt. Finden Sie die Hebelkonstellation, die zur Öffnung des Tempels führt.


Knobelaufgabe:Sie stehen vor zwei verschlossenen Türen. Hinter der einen Tür ist ein Schatz, hinter der an-deren eine Ziege. Zwischen den beiden Türen sitzt ein Zwerg, der weiß, wo der Schatz ist. DerZwerg hat die Eigenart, stets zu lügen oder stets die Wahrheit zu sagen. Er ist allwissend, undinsbesondere weiß er, ob er ein Lügner ist oder nicht.

Sie dürfen dem Zwerg genau eine aussagenlogische Frage stellen, die er Ihnen mit „ ja“ oder mit„nein“ beantworten wird. (z. B. „Ist der Schatz links, wenn er rechts ist ?“) Welche Frage stellenSie, um zu erfahren, hinter welcher Tür der Schatz liegt ?

Knobelaufgabe:Eines Tages kommt die Katze des Dorflehrers mit einem rosa Hut auf dem Kopf nach Hause.Der Lehrer empört: „Das waren bestimmt wieder einige der acht Lausbuben in meiner Klasse!“Im Dorf läuft ihm Simon über den Weg, von dem er erfährt: „Wenn Detlev an der Aktionbeteiligt war, dann auch Rolf!“ Als er gerade den Laden betreten will, sieht er Michel.Der beteuert: „Wenn Friedl mitgemacht hat, dann hat aber Detlev nichts mit der Sache zu tun.“Im Laden trifft er Detlev, welcher bekundet: „Das hat Simon angezettelt.“ Auf dem Heimwegbegegnet er schließlich Tobias und erfahrt von diesem: „Klaus hat nichts mit der Sache zu tun!“Am nächsten Morgen, bevor der Unterricht anfängt, begegnet der Lehrer im Schulhof Friedl,der sagt: „Wenn Tobias unschuldig ist, dann war Michel daran beteiligt!“ In der großen Pausenimmt er sich der Reihe nach Klaus und Rolf vor.Klaus: „Wenn Rolf dabei war, dann auch Simon!“Rolf: „Torsten war’s!“Fehlt nur noch Torsten, der muss ohnehin heute nachsitzen. Eine gute Gelegenheit, um auchihn zu befragen. Ergebnis: „Soweit ich weiß, war Klaus einer von denen, die der Katze den Hutaufgebunden haben.“ Die Schuldigen haben natürlich gelogen, die anderen nicht. Wer war’s?

Knobelaufgabe:Eine Gruppe von Rittern und Lügnern ist unterwegs zu einem Turnier. Nachdem sie ihre Zelteam Ende eines langen Tages aufgeschlagen hatten, fing Thomas (der mit Abstand beste Kochvon allen) an, den Eintopf am Lagerfeuer anzurühren, während alle anderen sich im Kreis umdas Feuer niederließen und ihm zuschauten. Ihm fiel auf, dass jeder im Kreis die beiden Perso-nen neben sich zu kennen schien. Thomas aber kannte niemanden außer seinem guten FreundRichard. An dieser Stelle sollte man bemerken, dass Ritter wegen ihres Ehrenkodexes immerdie Wahrheit sagen und Lügner immer verlässlich lügen. Ritter und Lügner unterscheiden sichnicht äußerlich, aber wenn sich zwei Leute kennen, wissen sie voneinander, ob sie Ritter oderLügner sind.

Um die Runde etwas näher kennenzulernen, fragte Thomas nun eine Person im Kreis: ”Du unddie beiden, die neben dir sitzen: ist eine ungerade Zahl von Lügnern in dieser kleinen Menge?”

Die Person antwortete. Thomas fragte eine andere beliebig gewählte Person und erhielt die glei-che Antwort. Wen er auch fragte, er erhielt immer wieder diese Antwort. Schließlich, nachdemer bereits alle anderen gefragt hatte, wandte er sich mit derselben Frage an Richard. Überra-schenderweise war dessen Antwort anders als all die anderen.

Thomas hielt einen Moment inne und fragte dann Richard: ”Sitzt du zwischen zwei Rittern?”,worauf ihm Richard abermals so antwortete. Nickend erklärte Thomas: ”So, dann sind die Lüg-ner hier in der Überzahl”, und kümmerte sich wieder um das Essen.

Falls n die Zahl der Leute auf dem Camping-Ausflug ist, wie viele davon sind Ritter bzw.Lügner, und was sind Thomas und Richard? Gibt es Einschränkungen an mögliche Zahlen n?


Knobelaufgabe:In Mathesia gibt es einen Wohnblock aus fünf Häusern mit je einer anderen Farbe in denenjeweils eine Person einer anderen Nationalität wohnt. Jeder Hausbewohner bevorzugt ein be-stimmtes Getränk, raucht eine bestimmte Zigarettenmarke und hält ein bestimmtes Haustier.Aber keiner der fünf Personen trinkt das gleiche Getränk, raucht die gleichen Zigaretten oderhält das gleiche Tier wie einer seiner Nachbarn. Ferner sind Ihnen die folgenden Informationenbekannt:

Der Brite lebt im roten Haus.

Der Schwede hält einen Hund.

Der Däne trinkt gerne Tee.

Das grüne Haus steht links vom weißen Haus.

Der Besitzer des grünen Hauses trinkt Kaffee.

Die Person, die Pall Mall raucht, hält einen Vogel.

Der Mann, der im mittleren Haus wohnt, trinkt Milch.

Der Besitzer des gelben Hauses raucht Dunhill.

Der Norweger wohnt im ersten Haus.

Der Marlboro-Raucher wohnt neben dem, der eine Katze hält.

Der Mann, der ein Pferd hält, wohnt neben dem, der Dunhill raucht.

Der Winfield-Raucher trinkt gerne Bier.

Der Norweger wohnt neben dem blauen Haus.

Der Deutsche raucht Rothmans.

Der Marlboro-Raucher hat einen Nachbarn, der Wasser trinkt.

Wem der fünf Hausbesitzer gehört der Fisch?

(Zur Info: Einstein verfaßte dieses Rätsel im letzten Jahrhundert. Er behauptete, 98% der Weltbevöl-kerung seien nicht in der Lage, es zu lösen. Es gibt keinen Trick bei diesem Rätsel, nur pure Logik.)

Aufgabe 7Geben Sie die folgenden Mengen durch Aufzählen ihrer Elemente an:

A := { x ∈ N | 0 < x < 4, 8 } ,B := { t ∈ N | t ist Teiler von 24 } ,C := { z ∈ Z | z ist positiv, durch 3 teilbar und kleiner als 21 } ,D :=

{y ∈ R | y2 − 1 = 0

},

E :={x ∈ R | x2 = 25 und 2 · x = 8

},

F := { t ∈ Z | |t− 2| = 3, 4 } ,G := { x ∈ N | x ist Primzahl und kleiner als 30 } ,H := { y ∈ Z | |2y − 3| < 8 und |y| 6= 1 } .


Aufgabe 8Stellen Sie die vollständige Liste aller Teilmengen von M := {2, 3, 4} auf.

Aufgabe 9Welche Elemente und welche Teilmengen besitzt die Menge { ∅, { ∅, { ∅ } } } ?

Aufgabe 10Sei D die Menge aller Dreiecke. Untersuchen Sie die Beziehungen zwischen den folgendenTeilmengen von D:

G : Die Menge aller gleichseitigen Dreiecke.

S : Die Menge aller gleichschenkligen Dreiecke.

R : Die Menge aller rechtwinkligen Dreiecke.

F : Die Menge aller Dreiecke, die mindestens einen Winkel der Größe 45◦ besitzen.

Stellen Sie die Beziehungen graphisch in einem Venn-Diagramm dar.

Aufgabe 11Gegeben seien die Mengen A := {1, 2}, B := {1, 2, 3}, C := {2} undM := {1, A,B,C}. WelcheAussagen sind richtig?

1 ∈ B, A ⊆ B, A ∈M , A ⊆M , 2 ∈M , {C} ∈M ,

1 ∈M , ∅ ∈ C, ∅ ⊆M , C ∈ B, 1 ⊆M , ∅ ⊆ {C},

{1} ∈M , C ⊆ A, C ⊆M , C ∈M , {C} ⊆M , C ∈ A.

Aufgabe 12Seien M und N zwei beliebige Mengen. Zeigen Sie:

(M ∩N)C =MC ∪NC .

Gilt eine der beiden Aussagen (N \M) ∪M = N und (N ∪M) \M = N ?Beweis oder Gegenbeispiel.

Aufgabe 13Vereinfachen Sie oder formen Sie um:

(i) [−1 , 0] ∪ [−2 , 0) (iv) (−∞ , 1 ]\(−2 , 2]

(ii) (−2 , 1] ∩ (−1 , 1) (v) [1 , ∞)\(2 , 3]

(iii) (−∞ , −√2 ] ∪ [−3 , 5] ∪ (5 , ∞)

Aufgabe 14Stellen Sie die folgenden drei Mengen grafisch in der kartesischen Ebene dar. Welche (mengen-theoretischen) Beziehungen können Sie zwischen den Mengen erkennen?

K := [−2 , 2]× [0 , 4] , L := [1 , 5]× [2 , 5] , M := [3 , 4]× (2 , 5) .


Aufgabe 15Sei M := {2, 3, 4} und N := {1, π, 4, 5}. Stellen Sie die Liste der Elemente von

M ×N und (M ×N) ∩ (N ×M)

auf.

Aufgabe 16Welche der folgenden Zahlen sind Primzahlen?

(a) 72 (b) 86 (c) 111 (d) 37 (e) 71 (f) 10 (g) 52

Aufgabe 17Ausmultiplizieren:

(a) (2a+ b)(3a+ 2b) (b) (−2n− t)(2n− t) (c) (x− 2)(x+ 2)(x− 3)

(d) (7x+ 3y)(3x2 − x+ 1) (e) (x+ y√2)(x− y

√2) (f) (2a+ 3b− c+ d2)2

Ausklammern:

(a) yx2 + xy2 + 3xy (b) ax− by + cx− cy − ay + bx (c) x2 − y2

(d) x1y2 + x1x2 + y1x2 + y1y2 (e) 16a2 − 9 (f) p2 + 49− 14p

Aufgabe 18Lösen Sie die Klammern auf.

(a) 7a− 3b+ (−a+ 2c)− (3c− 4b)− (6a− 2c) (b) − x(x− y − z)

(c) 3(a+ b+ c)(2b+ c) (d) (9x− 4y)(2x+ y)(3x− 4y)

(e) (7a− 5b)(3a+ 4b)− (5a− 9b)(3a+ 2b) (f) (x+ 4)(x− 2) + (x+ 2)(x− 1)

(g) (√ab− 1)(−1−

√ab)(a+ b) (h) (a+ b− c− d)2

(i) (x+ 4)(x− 2) + (x+ 2)(x− 1) (j) (x2 + y2)2 − (x2 − y2)2

Aufgabe 19Klammern Sie gemeinsame Faktoren aus.

(a) a2b2 + ab− ab2 (b) − (x3 − x2)(2x− 2x2)

(c) 3ac− 3bc− 2ad+ 2bd+ 4ac (d) (−5x− 3b)2 − (−5x+ 3b)2

(e) 8(7x− 5y)− 5z(49x2 − 25y2) (f) (x+ 4)(x− 2) + (x+ 2)(x− 1)

(g) 39p2q − 65p2q3 + 13p3q2 − 26p4q (h) 3x(4y − b)− b− 4y

(i) 7xy + 45− 9y − 35x (j) (4x+ 3y)2 − (4x− 3y)2


Aufgabe 20Faktorisieren Sie

(a)4

9a2 + ab+

9

16b2 (b) − (4a+ 12

√ab+ 9b)

(c) 81a2 − 16(4− 3b)2 (d) 63cx+ 14ac+ 27x2 + 6ax

(e) y2 + 7y + 12 (f) a2 − a− 30

(g) 6ab+ 4a2 + 18b2 + 12ab (h) x2 − 2x− 8

Aufgabe 21Bestimmen Sie:

(a) (10a2 − 2ab+ 16ac) : (2a) (b) (1536b3 + 375a3) : (25a2 + 64b2 − 40ab)

(c) (3x2 + 5xy + 2y2) : (x+ y) (d) (x4 − x3 − 5x2 − 40x+ 7) : (x2 + 3x+ 9)

(e) (25ab− 40b2) : (−5b) (f) (13x2y + 4y3 − xy2 + 10x3) : (2x+ 3y)

(g) (a3 − b3) : (a− b) (h) (2a2 − a+ ab− b2 + 2b− 2) : (2a− b− 1)

Aufgabe 22Auf einer Landkarte ist als Maßstab angegeben: 4 cm für 600 km. Welche Entfernung habenzwei Orte, die auf der Karte 5,5 cm entfernt sind?

Aufgabe 23Frau Marten erhält auf ihr Sparguthaben 4% Zinsen. Am Jahresende liegt der Kontostand bei2158e Zinsen. Wieviel Geld hatte Frau Marten zu Beginn des Jahres?

Aufgabe 24Drei Pflasterer benötigen für eine Hofeinfahrt 11,5 Stunden. Wie lange brauchen 5 Pflasterer?

Aufgabe 25Ein 8m2 großes Kupferblech, 4mm dick hat ein Gewicht von 325,4 kg. Wie viel wiegt ein 6mmdickes Kupferblech, das eine Fläche von 5m2 hat? Es ist auf ganze Kilogramm zu runden.

Aufgabe 26Die Reparatur eines Computers kostet mit Mehrwertsteuer (19%) 346e. Was kostet sie ohneMehrwertsteuer? Runden Sie auf die zweite Nachkommastelle.

Aufgabe 27Zwölf Einschaler haben bei neunstündiger Arbeitszeit in 7 Tagen 390m2 Betonschalung herge-stellt. Wie viel Einschaler sind bei gleicher Leistung einzusetzen, wenn in insgesamt 21 Tagen2340m2 Betonschalung hergestellt werden müssen und die tägliche Arbeitszeit statt der neun,nur noch 8 Stunden beträgt?

Aufgabe 28Für die Zerlegung und Sortierung von 7,2 t Schweinehälften zu Frischfleisch und Verarbeitungs-fleisch brauchen 14 Arbeiter 8 h. Welcher Zeitaufwand ist anzusetzen, wenn 6 t von 10 Arbeiternzerlegt und sortiert werden müssen?.


Aufgabe 29Ein Arbeiter benötigt für eine Arbeit 12 Tage, ein anderer nur 9 Tage. Wie lange benötigen Siegemeinsam?

Aufgabe 30Eine Gurke mit einem Gewicht von 100 g und einem Wassergehalt von 99% wird getrocknetund hat anschließnd einen Wassergehalt von 98%. Wie viel bleibt dabei von der Gurke übrig?

Aufgabe 31Die Reparatur eines Autos kostete 475,89e. Hinzu kommen 19% Mehrwertsteuer und dannein Barzahlungsrabat von 2%. Wie viel war am Ende zu bezahlen?

Aufgabe 32Jemand kauft einen Kühlschrank und erhält wegen einer Lackbeschädigung 5% Preisnachlass.Da er bar bezahlt, werden ihm weitere 2% Skonto gewährt. Er muss letztlich 139,65 ebezahlen.Wie teuer war der (unbeschädigte) Kühlschrank ursprünglich?

Aufgabe 33Ein Arbeiter erhält einen Stundenlohn von 15e. Durch zwei gleich hohe prozentuale Steigerun-gen soll der Lohn nach zwei Jahren 16e pro Stunde betragen. Wie hoch ist der Prozentsatz?

Aufgabe 34Bestimmen Sie den „größten gemeinsamen Teiler“ der Zahlen

(a) 372 und 496 (b) 63 und 90 (d) 249 und 441 (e) 322 und 483

(f) 46 und 92 (g) 372 und 496 (h) 236 und 354 (i) 12756 und 486

(k) 46 und 69 (l) 204 und 408 (m) 252 und 378 (n) 310 und 465

Aufgabe 35Bestimmen Sie das „kleinste gemeinsame Vielfache“ der Zahlen

(a) 8 und 158 (b) 63 und 90 (d) 18 und 351 (e) und 483

(f) 46 und 92 (g) 27 und 243 (h) 24 und 160 (i) 20 und 152

(k) 22 und 41 (l) 11 und 484 (m) 252 und 376 (n) 35 und 75

Aufgabe 36Das Produkt zweier Zahlen ist 412776, ihr ggT beträgt 42. Wie groß ist ihr kgV?

Aufgabe 37Ein Autobus der Verkehrsbetriebe fährt immer nach 11 Minuten wieder vom Bahnhofplatz weg.Ein zweiter Autobus bedient eine andere Strecke und fährt alle 21 Minuten weg. Beide fahrenmorgens um 1:01 Uhr zum ersten Mal ab. Um welche Zeit treffen sie sich das nächste Mal amBahnhofsplatz?

Aufgabe 38Kisten der Höhe 17 cm werden neben Kisten der Höhe 101 cm gestapelt. Ist es möglich, innerhalbeiner Lagerhalle mit einer Höhe von 25.86m die Kisten so zu stapeln, dass beide Stapel diegleiche Höhe haben?


Aufgabe 39Schreiben Sie die folgenden Zahlen als Brüche und kürzen Sie sie soweit wie möglich:

(a) 0, 124 (b) 24, 236 (c) 1, 17 (d) 0, 125 (e) 7, 12 (f) 152, 375

(g) 0, 758 (h) 0, 1208 (i) 1, 302 (j) 7, 118 (k) 0, 948 (l) 12, 016

(m) 0, 2783 (n) 2, 135 (o) 1, 1120 (p) 0, 16 (q) 3, 0206 (r) 32, 155

Aufgabe 40Kürzen und Erweitern. Füllen Sie die Lücken:

(a)4

5=

15(b)

54

72=

3(c)

5=

350

490(d)

7

9=

135(e)

16

24=

4

(f)5

6=

96(g)

25

45=

5(h)

27

36=

3(i)

42=

2

3(j)

6

11=

55

(k)3=

36

48(l)

75

125=

5(m)

168=

4

3(n)

5=

35

49(o)

13

5=

52

Aufgabe 41Ordnen Sie die Zahlen der Größe nach:

(a)1

8,3

4,4

5,2

9(b)

3

15,2

3,

4

75,1

2(c)

3

8,1

4,

4

12,2

5

(d)7

12,3

8,3

5,5

9(e)

4

25,

3

100,1

5,2

3(f)

6

7,

3

49,4

5,2

9

(g)10

21,4

9,13

28,2

3(h)

11

13,3

4,4

7,

8

52(i)

1

82,5

9,

4

49,2

3

(j)2

15,

1

27,

3

20,4

5(k)

7

8,15

32,14

28,1

2(l)

15

28,3

7,34

56,3

4

Aufgabe 42Bestimmen Sie die Lösungen und geben Sie das Ergebnis als Bruch und als Dezimalzahl (ge-rundet auf vier Nachkommastellen) an.

(a)3

7− 2

3(b)

1

6:3

42(c) 3, 2− 3

4(d)

4

26+

2

3(e)

5

8· 1675

(f)1

6− 2, 6 (g) 5 :

25

16(h) − 3

8· 25

(i) 3, 5 :5

3(j)

3

2− 3, 25

(k) 2, 125 + 43

4(l) − 3, 24 · 1, 96 (m) 2

4

3− 7

3(n)

5

7− 4, 2 (o) 2

3

5− 3

5

6

Aufgabe 43Für die Gesamtkapazität C zweier in Reihe geschalteter Kondensatoren mit Kapazität C1 undC2 gilt:

1

C=

1

C1

+1

C2

.

Lösen Sie die Gleichung nach R auf.


Aufgabe 44Kürzen Sie:

(a)10a

5ab, (b)

15ac

35b, (c)

ab+ a

24abc, (d)

5c+ 10

3c+ 6,

(e)3a− 6b

2a2 − 8b2, (f)

x+ 1

x2 − 1, (g)

x2 − x− 2

x2 − 4x+ 4, (h)

1− 1

a1

a− 1

a2

.

Aufgabe 45Kürzen Sie soweit wie möglich:

(a)a−√ab

b−√a, (b)

25x2 − 130xy + 169y2

25a− 65b,

(c)ax+ x

b− a

y− 1

by

1b+ a

, (d)(x2 − y2)2 − (x2 + y2)2

xy(x+ y),

(e)

(4a+ 1

4b− 2

√ab)(

2√a+ 1

2

√b)

2√a− 1

2

√b

, (f)(32a3b2x− 18ax3y2) · 3by(12ab2y + 9bxy2) · 2ax

,

(g)(a+ 1)2 − b2

a2 + 2ab+ b2 + 2a+ 2b+ 1, (h)

a4 − b4

(a+ b)2(a− b).

Aufgabe 46Fassen Sie folgende Brüche zusammen:

(a)1

3+

3

4+

1

3· 6− 12

8, (b)

6

p+ q− 5

q,

(c)(a− b)3

2ab− (a+ b)3

2ab, (d)

a+ 1

a− a

a− 1− 1− a

a,

(e)15

64− 77

96+

1

243− 3− 8

24+ 3 +

1

1296, (f)

u

v+v

u− u2 + v2

2uv− 1,

(g)t2√7− 1

− t2√7

6, (h)

3

r− 2

1 + r+

1

2− r.

Aufgabe 47Vereinfachen Sie soweit wie möglich:

(a)1

2 +1

2 +1

1 +1

2

, (b)x+ y

x2 − xy− x− yx2 + xy

+4x

x2 − y2, (c)

a+ 14b

a− 14b−a− 1

4b

a+ 14b

1 +b2

16a2 − b2

.


Aufgabe 48Fassen Sie soweit wie möglich zusammen:

(a) 12a2b− 6ab2 − 15a2b+ 6ab2 − 7a2b (b)3an+16x2n+49bx−1

2x2n4bx+23a

(c)an−xb3n+x

an+2x2b3n−x· x

2n+4yn+1

y3n+6x2n−4(d) 4(a− b)2 + 2(b− a)2 − 3(a− b)2

(e)

(45b2y3

24a3x

)2(x36b

9ay3

)3(75b3x3

y36a4

)2

(f)a5x−2y

b6m−1:a4x+y

bm−2

Aufgabe 49Vereinfachen Sie den folgenden Term so weit wie möglich:

(a+ b)2 − 4ab

a2 − b2+

b2 − a2

2ab+ 2b2 − 3a− 3b:a+ b

2b− 3

Aufgabe 50Berechnen Sie bzw. vereinfachen Sie die folgenden Ausdrücke

(a)3√17

3√3 (b) 4

√u

4√u2

8√u2 (c)

√15

24:

√9

25

(d)

√√√√a2

8+

√(a2

8

)2

+a4

8(e) 3√

(a− b)3(a+ b)4 (f)

√3√a6b12

(f)a√b+ 2

a√b+ 4

a√b2 (g)

√125√5

(h)√0, 01a4b2

Aufgabe 51Vereinfachen Sie den folgenden Term so weit wie möglich:

a+ b√a+√b:

(a+ b√ab

+b

a−√ab− a√

ab+ b

)

Aufgabe 52Entscheiden Sie, welche Zahl größer ist.

(a)√7 oder

√26−

√12 (b) 316 oder 1563 (c)

√5 +√3 oder

√46−

√15

(d) 2513 oder 5

34 (e) 5444 oder 4558 (f)

√3

7oder

√5

9

(g) 3 oder 10− 4√3 (h) 3

12 oder 2

13 (i)

√10 +

√2 oder

√20


Aufgabe 53Formen Sie folgende Brüche so um, dass ihre Nenner rational werden, d. h. nur noch rationaleZahlen enthalten.

(a)1

9√x17

(b)y2x√x3y

(c)16

3−√5

(d)3 +√6√

3 +√2

(e)16

3√5− 2

√7

Aufgabe 54Fassen Sie soweit wie möglich zusammen:

(a)4a2y6

5n3(x− 2)2· 15n3x2

20n(x− 2)3(n+ 4)(b)

(2xb3

3ya3

)3(15x2a3

8y3b

)2

:

(12y4a

25x3b3

)2

(c)27x−5y−6z−1

42x−3y−4z−3· 49x

−2y−3z−1

45x−4y−5z0(d)

(√ab− ab

(a+√ab)−1)

:2√ab− 2b

a− b

(e)

√2v2 − v

√6v2 −

(v√2)2

(f)45xa3 · 9yn(a− 1)2

9yb3 · 30xn(a+ 1)2:9yyn−1(1− a)3

24xn+1(1 + a)2

Aufgabe 55Vereinfachen Sie soweit wie möglich.

(a)3√x4 · 4√x5 (b)

x23

3√x· 3x

53

x · 3√x

(c) 2√a+ 3

√a−√a

(d)√√

x−√y ·√√

x+√y (e) x4y−6(x−2y3 + y6) (f) 12x2y − 6xy2 − 15x2y + 8xy2

(g)(x− y)3

2xy− (y + x)3

2xy(h)

x

y+y

x− xy (i)

√a5b2c

d3:

√ad

b2c3


(a) 3√

(0, 000027)−1 (b)(3u4v−1)2

(9u−2v−3)−1

(c)26 · 5m − 5m

5m+2(d)

(15x2y−3)−4

(25x3y−6)−2

(e)2x3 − x2 + 2

xn+1− x5 − 1

xn+3+

2− xxn−1

(f)

(a2b

cd3

)3

:

(ab2

c2d2

)4

(g)x 3√y2 − y 3

√x2

3√x2y2

(h)uy+1v2y+3w−y−4

u−2y−1vy+1w1−y :u3y−1v−y+1wy−3

u2yv−3w3−2y

Aufgabe 57Entscheiden Sie, welche Zahl größer ist.

(a)√47 oder

√26 +

√6 (b) 32222 oder 23333 (c)

√17 +

√13 oder

√26 +

√6


Aufgabe 58Formen Sie folgende Brüche so um, dass ihre Nenner rational werden, d. h. nur noch rationaleZahlen enthalten.

(a)2√

5 +√3

(e)1

1 +√2 +√5

(b)1

a−√b

(f)12 + 2

√3√

3− 6

√1

3+

√48√

3− 1

(c)1√

a+√b

(g)6−√5

2 +√5+ 8

√1

5− −2 + 3

√5√

5

(d)2 +√a2 − 2

2−√a2 − 2

(h)2 +√3

√2 +

√2 +√3+

2−√3

√2−

√2 +√3


(a)184 · (a2b)2

273 · (2a√ab)2

(b)x(2r2 − 4x2)√

r2 − x2− 8x

√r2 − x2

(c)h2 +

(c− c

2

)2 − (c+ c2

)2√h2 +

(c− c

2

)2 −h2 + c2

2√h2 + c2

2

(d)x+ 1

2√1− x

+√1− x

(e)(4a2 − 9b2)2

(3a2 − 2ab)2·(9a2 − 4b2

2a2 + 3ab

)2

(f)

6√a5

3√a2

3

√a2 6√a4:

√a3

9√a7

9√a7√a

(g)

√(a− b)2 + a2 + b2 − 2ab√

2(a2 + b2)(a2 − b2)(h) 2

√(x− k)2 + x2 − (2x− k)2√

2x2 − 2kx+ k2

Aufgabe 60Beweisen Sie für a, b ∈ R

(a) |a · b| = |a| · |b|, (b) |a+ b| ≤ |a|+ |b|, (c) ||a| − |b|| ≤ |a+ b|.

Aufgabe 61Lösen Sie die folgenden (Un-)Gleichungen:

(a) 17 + x = 25 (b) x2 − 11x+ 20 = x− 15 (c) 5(x+ 2) > 4(1− x)

(d) x2 − 6x = 40 (e) x3 = 5x− x2 (f) 3x+ 7 > 5x

(g) x2 − 2x+ 1 ≥ 5

2x− 1 (h) x+

1

x= 2 (i)

√3x+ 5 =

√x

(j)x

6+

6

x=

5(x− 1)

4(k) x4 − 13x2 = −36 (l)

2x− 1

2x+ 1+

3x+ 1

x− 2> 4


Aufgabe 62Lösen Sie die folgenden Betrags(un-)gleichungen:

(a) |x− 5| < 3 (b) |x2 − 2x− 8| = 7 (c)

∣∣∣∣x+ 3

1− x

∣∣∣∣ > 3

(d) |x+ 3|+ |x+ 4| < 9 (e) |x2 − 6x+ 8| ≥ 3 (f) |2x2 − 3| ≤ x+ 1

Aufgabe 63Für welche Werte von c hat die Gleichung

x2 − (2c− 1)x+

(c− 1

2

)= 0

genau eine Lösung?

Aufgabe 64Bestimmen Sie die Lösungsmenge der folgenden Gleichungen:

(a) 9x3 + 5x2 = 5− 10x (b)√3x+ 4 +

√3x− 5 = 9 (c)

1√x+

1

x=

3

4

Aufgabe 65Bestimmen Sie die Lösungsmenge der folgenden Gleichungen:

(a) x2 + 5x = 0 (b) (3x− 15)(x+ 8) = 0 (c)√x+ 5 = x− 1

(d) 4x2 + 8x+ 4 = 0 (e) |x− 1|+ |x− 2| = 5 (f) 2 + x =1

2+

1

x

(g)5− r2r − 1

=15− 4r

3r + 1(h) x2 = x+ 42 (i) (x+ 2)(6x− 1) = (2x− 1)(3x+ 4)

(j)√9 + x2 − 1 = x (k) − x3 + 3x2 − 4 = 0 (l) x4 + x3 = 9x2 − 11x+ 4

Aufgabe 66Für welche reellen Zahlen x sind folgende Ungleichungen erfüllt? Kennzeichnen Sie das Ergebnisauf der Zahlengeraden!

(a) 7x+ 15 ≤ −22 (b) |x− 3| < 1 ∧ |x+ 4| ≥ 2 (c)1

x< x

(d) x2 − x > 0 ∧ x2 − 6x+ 10 < 0 (e) |x− 2| > x (f)x

x− 5≥ 0

Aufgabe 67Beweisen Sie, dass die Gleichung

x2 − (a+ b)x+ ab− c2 = 0

für alle Parameter a, b, c ∈ R mindestens eine Lösung besitzt. Für welche Parameter a, b, c be-sitzt die Gleichung genau eine Lösung?

Aufgabe 68Für welche Parameter a ∈ R ist die Ungleichung

ax2 + 4x > 1− 3a

für alle x ∈ R erfüllt?


Aufgabe 69Bestimmen Sie ein Beispiel für eine quadratische Gleichung, deren Nullstellen durch

(a) 4 und 2 (b) − 2 +√5 und − 2−

√5 (c)

√3 und −

√3

(d)1 +√2

3und

1−√2

3(e)

1

4−√π und

1

4+√π (f) − 1

4und

2

7

gegeben sind.

Aufgabe 70Zeigen Sie, dass die Normalparabel eine Multiplikationsmaschine ist, d. h. genauer formuliert:

Der y-Wert des Schnittpunktes der Verbindungsgeraden durch zwei beliebige PunkteP1 = (x1, y1) und P2 = (x2, y2) auf der Normalparabel (einer links, einer rechts) mit der

y-Achse liefert das Produkt |x1x2| der x-Werte der beiden Punkte.

P2 = (x2, y2)

P1 = (x1, y1)

|x1x2|

Aufgabe 71Beispiele für Gleichungen, bei deren Lösung naheliegende Umformungen nicht immer äquiva-lente Umformungen sind:

(a)x2 − 2x

x2 + x− 6= 0, (b) x− 1 =

√2x+ 1, (c) 3

√9x+ 10−

√3x+ 4 = 0.

Diskutieren Sie die möglichen Vorgehensweisen, wenn bei einer wünschenswerten Umformungkeine Äquivalenz, sondern nur die Implikation „⇒“ in der Schreibrichtung gilt. Welche Bezie-hung besteht dann zwischen der Zahlenmenge, die man schließlich erhält, und der Lösungsmengeder Gleichung? Was bedeutet es im Grunde, wenn man von einer erforderlichen „Probe“ spricht?Lässt sich unter Umständen zeigen, dass eine Umformung doch eine äquivalente Umformungist, wenn man sich auf die Betrachtung des Definitionsbereiches der Gleichung beschränkt?

Aufgabe 72Lösen Sie die folgenden Ungleichungen:

(a)2x+ 1

x− 2>

x+ 4

2x+ 5(b) |x− 1|+ |x+ 1| < 4 (c)

√(x+ 1

3− 2x

)2

> 1.


Aufgabe 73Beweisen Sie die folgenden Ungleichungen für alle positiven Zahlen a und b :

(i)a

b+b

a≥ 2, (ii)

√a2 + b2

2≥ a+ b

2, (iii)

2√ab

√a+√b≤ 4√ab.

Aufgabe 74Berechnen Sie:

(a) (x− 1)7 (b)5∑i=1

(2i− 1) (c)

(12

3

)(d)

5∑j=1

2−(j+1)

(e)

(8

3

)(f) (u− 2v)5 (g)

6∑k=3

(−1)k−1 · k2 (h)1125∑k=1

1

k(k + 1)

(i)12∑k=0

k2, (j)5∑

k=0

(5

k

), (k)

(n+ 1)!

(n− 2)!(l)

10∑k=0

k3

Aufgabe 75Schreiben Sie mit Hilfe des Summenzeichens:

(a) 1 + 4 + 7 + 10 + . . .+ 49 + 52 (b)2

1+

3

2+

4

3+

5

4+

6

5

(c) a+ 1 + a+ 3 + a+ 5 + a+ 7 (d) 1− 1 +4

3− 2 +

16

5− 16

3+

64

7

(a)1

2 · 3+

4

5 · 6+

7

8 · 9+ . . .+

25

26 · 27(b) 2 +

5

3+

10

5+

17

7+ . . .+

50

13+

65

15

(c) 1− x2 + x4 − x6 + x8 − . . .− x22 + x24 (d) 10 + 5 +10

3+

5

2+ 2 +

5

3+ . . .+

10

111

Aufgabe 76Berechnen Sie:

(a)30∑i=1

(8− 6i) +30∑i=1

(2i− 3)−30∑i=1

(4− 4i),

(b)50∑k=1

(k

k + 1+

1

k

)+

50∑j=1

(k

k − 1+

1

k

),

(c)10∑i=1

(i2 + 2i− 3) +10∑i=1

(3i2 + 5i+ 8)−10∑i=1

(4i2 + 6i− 10),

(d)n+1∑i=0

(4 + 5xi)−n∑k=1

(xk − 1)− 2n∑j=0

(3xj + 2).


Aufgabe 77Schreiben Sie die Summen mit dem Summenzeichen und berechnen Sie ihre Werte:

(a) 1 +1

5+

1

25+ . . .+

1

510, (b) 2− 1 +

1

2− 1

4± . . .+ (−1)n 1

2n−1.

Aufgabe 78Für a ∈ R und n ∈ N0 definieren wir die n-te Potenz von a rekursiv durch

a0 := 1, an+1 := ana.

Zeigen Sie mit vollständiger Induktion, daß für a, b ∈ R und m,n ∈ N die folgenden Regelngelten:

(i) an+m = anam und (an)m = anm

(ii) (ab)n = anbn und (a/b)n = an/bn (für b 6= 0)

(iii) 0 < a < b =⇒ 0 < an < bn (für n ≥ 1)

Aufgabe 79Finden Sie heraus, für welche n ∈ N0 die Aussage

2n > n2

gilt, und beweisen Sie diese mit vollständiger Induktion.

Aufgabe 80Beweisen Sie mit vollständiger Induktion

n∑k=0

(−1)kk2 = (−1)nn(n+ 1)

2, n ∈ N.

Aufgabe 81Finden Sie mit dem Trick aus der Vorlesung einen Ausdruck für

(a)N∑n=1

n3, N ∈ N und (b)N∑n=1

n4, N ∈ N,

in dem kein Summenzeichen mehr erscheint. Belegen Sie sodann Ihre Vermutung mit vollstän-diger Induktion.

Aufgabe 82Zeigen Sie mit Hilfe vollständiger Induktion für n ∈ N und x1, . . . , xn ∈ R+(

n∑`=1

x`

)(n∑k=1

1

xk

)≥ n2.

Aufgabe 83Zeigen Sie durch Induktion über N ∈ N

N∏n=1

(1 +

1

n

)n=

(N + 1)N

N !.


Aufgabe 84Zeigen Sie für n, k ∈ N per Induktion über k(

nk

)1/nk ≤ 1/k!.

Aufgabe 85Bestimmen Sie für n ∈ N0

(a)n∑k=0

(nk

), (b)

n∑k=0

(nk

)(−1)k, (c)

n∑k=0

(nk

)k.

Aufgabe 86Bestimmen Sie für N ∈ N

(a)N∑`=1

1

`(`+ 1), (b)

N∏m=1

(1 + 1/m)2

und beweisen Sie ihre Vermutung.

Aufgabe 87Zeigen Sie, daß für alle k, n ∈ N gilt:

(a) 2(√

k + 1−√k)<

1√k

und1√k< 2(√

k −√k − 1

)(b) 2

√n+ 1− 2 < 1 +

1√2+

1√3+ · · ·+ 1√

n< 2√n

Aufgabe 88Jemand spart für eine Rente und legt dafür zu Beginn jedes Jahres 3000eauf ein Konto. Dasmacht er 35 Jahre lang und am Ende des 35. Jahres bekommt er das Geld mitsamt Zins undZinseszins ausbezahlt. Wie viel Geld bekommt er, wenn man eine Verzinsung von 2% pro Jahrvoraussetzt?

Aufgabe 89Durch fortgesetzte Halbierung der Seiten ei-nes Quadrats erhält man eine unendlicheKette von Quadraten:

(a) Wie groß ist der Flächeninhalt desQuadrates der 17. Halbierungsstufe,wie groß die Summe der Flächen bis zur20. Halbierungsstufe?

(b) Kann die Summe der Quadratflächenbeliebig groß werden? Wenn nicht, wel-chen Grenzwert strebt sie an?

1.

a

a

2.a2

a2 3.

a4

a4


Aufgabe 90Wir definieren für n ∈ N rekursiv

xn+1 := 3xn − 2xn−1, x0 := 0, x1 := 1.

Zeigen Sie durch Induktion über n

xn = 2n − 1 ∀ n ∈ N0.

Aufgabe 91Geben Sie für die angegebenen Zahlenfolgen jeweils eine rekursive Vorschrift an.

(a) 3; 5; 7; 9; 11; . . . , (b) 4; 5; 9; 14; 25; 39; 64; . . . ,

(c) 1;1

3;

1373

;17157

;1153115

;1316331

; . . . , (d) 1; −1

2;1

4; −1

8;

1

16; . . . ,

(e) 1; 0; 3; −2; 5,−4; 7; . . . , (e) − 13; −12; −10; −7; −3; 2; . . . .

Aufgabe 92Bestimmen Sie den Grenzwert der Folge {an}n∈N mit

(a) an =2n+ 5

3n+ 2, (b) an =

n2

n2 + 10, (c) an =

√n+ 1−

√n.

Von welchem n ∈ N an kann man garantieren, dass an weniger als 10−3 vom Grenzwert ab-weicht?

Aufgabe 93Untersuchen Sie die Folgen {an}n∈N auf Monotonie, Beschränktheit und Konvergenz:

(a) an =2n− 1

3n+ 1, (b) an =

n2

2n− 1, (c) an =

1 + 6n+ n2

(n+ 3)n,

(d) an = 1 +n− 1

(2n− 1)2, (e) an =

n2 + 2

n2 + 3n+ 1, (f) an =

3n− n2

(n+ 3)2.

Aufgabe 94Untersuchen Sie die Folgen {an}n∈N auf Konvergenz:

(a) an =√n2 + n− n, (b) an =

n4 − 2

n2 + 4+n3(3− n2)

n3 + 1, (c) an =

n2 + 4n− 1

n(n− 3),

(c) an = 6− 6 + n2

n, (d) an =

4n3 + 6n− 3

(7n2 − 2)(2n2 − 3n)− 14n4, (e) an =

n∑k=1

1

k(k + 1),

(f) an =n∑i=3

1

3i−2, (g) an =

√n(√n+ 1−

√n) (h) an = (−1)n+16n

2 + 13n

5n3 + 7.


Aufgabe 95Bestimmen Sie für die Zahlenfolge {an} mit

an =n∑k=1

k2

n3 + k

den Grenzwert mithilfe des „Sandwich“-Lemmas. Zur Erinnerung:

n∑k=1

k2 =1

6n(n+ 1)(n+ 2).

Aufgabe 96Bestimmen Sie den Grenzwert der Folge {an}n∈N mit

(a) an =n√3n2 + 1, (b) an =

2n

n!, (c) an = n

√4 +

n− 1

n+ 1,

(d) an =3n

3n, (b) an =

(n+ 3

n+ 2

)3n−5

, (c) an = n√3n + 4n,

(d) an =k!

nk

(nk

), (e) an =

(n− 2

n− 1

)n, (f) an =

√n+√n−

√n−√n.

Aufgabe 97Berechnen Sie den Grenzwert der Folge {an}n∈N definiert durch

(a) a1 = 1, an+1 :=6(1 + an)

7 + an, (b) a1 = 1, an+1 =

anan + 2

.

Knobelaufgabe:Folgendes Paradoxon hat Zenon von Elea ca. 500 vor Christus formuliert:

Achilles und eine Schildkröte laufen um die Wette. Da Achilles zehnmal so schnell wie dieSchildkröte läuft, bekommt die Schildkröte einen Vorsprung von einem Meter. Eigentlich

müsste Achilles die Schildkröte schon bald überholen. Zenon argumentiert, dass das aber nichtpassieren kann; Achilles wird die Schildkröte niemals überholen.

Zenon begründet das folgendermaßen: Wenn Achilles den Startpunkt s1 der Schildkröte erreichthat, dann hat sich die Schildkröte zum Punkt s2 weiterbewegt, hat also immer noch einen Vor-sprung vor Achilles. Sobald Achilles den Punkt s2 erreicht, ist die Schildkröte wieder ein Stückweiter zum Punkt s3 gelaufen und so geht es weiter. Achilles kann niemals an der Schildkrötevorbeikommen, denn immer, wenn Achilles den Punkt erreicht, an dem die Schildkröte vormalswar, ist sie schon wieder ein Stück weiter.

Die Erfahrung sagt uns deutlich, dass Achilles die Schildkröte schon sehr bald leichtfüßig über-holen müsste. Andererseits stellt Zenon eine Argumentationskette auf, nach der das nicht mög-lich ist. Jetzt gibt es zwei Möglichkeiten: Zenon hat Unrecht, oder die Mathematik weist einengehörigen inneren Widerspruch auf. Welche dieser Möglichkeiten trifft zu? Und warum?


Aufgabe 98Für c ∈ R sei die Folge {zn}n∈N definiert durch

z0 = 0, und zn+1 =n2z2n + c

n+ 1.

(a) Stellen Sie für c = −2 eine Vermutung für eine explizite Formulierung von {zn}n∈N abn ≥ 2 auf. Beweisen Sie anschließend ihre Vermutung und zeigen Sie, dass die Folgekonvergiert. Was ist der Grenzwert ?

(b) Zeigen Sie, dass die Folge für c = 1 monoton wächst und vergleichen Sie sie mit der Folge{vn}n∈N gegeben durch vn = (4/3)n−2. Was folgt daraus für die Konvergenz der Folge{zn}n∈N mit c = −1?

Diese Folge zeigt für unterschiedliche Parameter c sehr unterschiedliches Verhalten und es wirdnoch vielfältiger, wenn wir c ∈ C zulassen. Zeichnet man jeden Punkt c ∈ C an dem die zugehö-rige Zahlenfolge {zn}n∈N konvergiert in die Gaußsche Zahlenebene und färbt sie entsprechendihrer Konvergenzgeschwindigkeit ein, erhält man das sogenannte „Apfelmännchen“:


Aufgabe 99Werden durch die folgenden Zuordnungsvorschriften Funktionen definiert?

1. Jedem Einwohner Essens wird sein Nachname zugeordnet.

2. Jedem Einwohner der Bundesrepublik Deutschland, der einen rechten Daumen besitzt,wird der Fingerabdruck desselben zugeordnet.

3. Jedem Patienten eines Krankenhauses wird seine Körpergröße oder sein Gewicht zuge-ordnet.

4. Jedem PKW in der BRD wird sein KFZ - Kennzeichen zugeordnet.

5. Jedem x ∈ [−1, 1] wird eine Lösung der Gleichung x2 + y2 = 1 zugeordnet.

Aufgabe 100Ein Sparbrief mit einer Einlage von 6000 Euro und zehn Jahren Laufzeit werde die gesamteLaufzeit lang fest mit 8 Prozent pro Jahr verzinst.

(a) Wie groß ist der Zinsgewinn (vor Steuer) in Euro, den man am Ende der Laufzeit erhält?

(b) Was passiert, wenn viermal pro Jahr mit 2 Prozent verzinst wird?

(c) Was passiert, wenn x-mal pro Jahr mit 8/x Prozent verzinst wird? Was passiert fürx −→∞?

Aufgabe 101Zeichnen Sie die Schaubilder folgender Funktionen:

(a)f : R −→ R

x 7−→ −2x+ 1und

F : R −→ Rx 7−→ |f(x)|

(b)y : R −→ R

x 7−→ y(x)mit

x

3+y

5= 1

(c)b : R −→ R

x 7−→ b(x)mit b(x) := |x− 1|+ |x+ 4|

Wo schneiden die Graphen die x- bzw. y-Achse?

Aufgabe 102Liegen die Punkte auf einer Geraden?

(a) (1, 1), (−3,−2), (2,−5) (b) (−2, 1), (5, 7), (3, 2) (c) (2, 5), (−3, 4), (1, 0)

(e) (3,−2), (−1,−5), (7, 1) (f) (−3, 1), (2, 2), (0, 0) (g) (0, 1), (−1, 3), (5, 4)

Aufgabe 103Gegeben Sind die Funktionen f1, f2 und f3 mit

f1(x) = x2 + 4, f2(x) =√x, f3(x) = ex

Bestimmen Sie die Funktionen g, h und k mit (Fill-In)

g(x) = f3(f1(x) + f2), h(x) = f2(f3(x)) + f1(x), k(x) = f2(f3(f1(x)))


Aufgabe 104Bestimmen Sie die Schnittpunkte der folgenden Funktionen:

(a)f : R −→ R

x 7−→ x2 + 4x+ 1und

g : R −→ Rx 7−→ 2x+ 3

(b)f : R −→ R

x 7−→ 1

2x2 − 2x− 1

undg : R −→ R

x 7−→ 2x2 + 2x+ 1

(c)y : R −→ R

x 7−→ −|x+ 3| − 2und

g : R −→ R

x 7−→ −1

4x2 + 3x+ 1

Aufgabe 105Kevin möchte sich beim Mobilfunkanbieter F-Minus ein Handy beschaffen. Er überlegt nun,ob er sich ein Kartenhandy oder eines mit Vertrag anschaffen soll, wobei der Preis des Gerätesselbst keine Rolle spielt. Die laufenden Kosten stellen sich wie folgt dar:

Vertrag Prepaid-KarteGrundgebühr pro Monat 9,95 e 0,- e

Minutenpreis 0,49 e 0,77 e

Ab wie vielen Gesprächsminuten pro Monat lohnt sich das Vertragshandy?

Aufgabe 106Bestimmen Sie die Gleichung der Geraden durch die Punkte

(a) (1,−2) und (3, 2), (b) (−3, 2) und (3,−4), (c) (−1,−1) und (2, 4).

Bestimmen Sie die Gleichung der Geraden f die normal zur Geraden

(a) g : y = −2x+ 4 (b) g : y =1

4x− 2

und durch den Punkt P = (−1, 1) verläuft.

Aufgabe 107Die Versorgung eines Haushaltes mit elektrischer Energie kann zu zwei alternativen Tarifenerfolgen:

Tarif I Grundgebühr: 30,- e/Monat; Arbeitspreis: 0,25 e/kWh.Tarif II Grundgebühr: 12,- e/Monat; Arbeitspreis: 0,40 e/kWh.

(a) Man ermittle für jeden der beiden Tarife die Gleichung der Kostenfunktion, die die mo-natlichen Gesamtkosten K in Abhängigkeit des monatlichen Energieverbrauchs x angibt.Man zeichne beide Kostenfunktionen in dasselbe Koordinatensystem.

(b) Man berechne den monatlichen Energieverbrauch, für den sich in beiden Tarifen dieselbenKosten ergeben. Für welche Verbrauchswerte ist Tarif I günstiger als Tarif II ?

Aufgabe 108Untersuchen Sie die folgenden Funktionen auf Surjektivität, Injektivität und Bijektivität:

(a)f : [1,∞) −→ R

y 7−→√y − 1

, (b)g : { 2n : n ∈ N } −→ { 2n− 1 : n ∈ N }

m 7−→ m+ 1.


Aufgabe 109Zeigen Sie, dass folgende Abbildungen f : R −→ R bijektiv sind:

(a) f(x) =

1− x , 0 < x < 1 ,

x , sonst ., (b) f(x) =

x für x ∈ Q ,

x+ 1 für x 6∈ Q ..

Aufgabe 110Bringen Sie die folgenden Funktionsgleichungen auf die Form y(x) = a(x−x0)2+ y0 und gebenSie jeweils die Scheitelpunktskoordinaten sowie ihre Eigenschaften (Form und Verschiebung)an.

(a) y(x) := x2 − 6x+ 10, (b) y(x) :=1

4x2 − x+ 4, (c) y(x) := −2

3x2 + x

(d) y(x) := −1

2x2 + 2x− 2, (e) y(x) := 2x2 + 6x (f) y(x) := −1

5x2 + 4.

Aufgabe 111

−6 −4 −2 2 4 6

−2

2

f

Bestimmen Sie die Parameter a und b so, dass der Graph der Funktion f mit

f(x) = a · sin(b · x)

dem Graphen in der Abbildung entspricht.

Aufgabe 112Berechnen Sie die folgenden Zahlen.

(a) log8

(log4

(log2 16

))(b) lg

(lg

√5√10

)(c) 49

2−1

2log7 25

(d) lg(7− log2

(log3

8√3))

(e) log3 2 · log4 3 · log5 4 (f) ln

(e2x

e5x

)

(g) ln(0, 5)− 1

2ln(4) +

1

2ln(16) (h) log6 5 · log7 6 · log8 7

Aufgabe 113Seien a, b, c > 0 und a, b 6= 1. Beweisen Sie, dass

(a)5∑

k=1

1

logak b= 15 logb a , (b) bloga c = cloga b.


Aufgabe 114Lösen Sie:

(a) 2x−3 = 34−x (b) log9

(2x

x+ 1

)= 0, 5 (c) log2 x+ log2(2 + x) = 3

(d) ex − 4e−x = 0 (e) xy = 1 und xln(y) =1

e(f)

(7

9

)3x+7

=

(9

7

)3x−5

(g) e2x + ex − 2 = 0 (h) 6 lg(√1 + x) = 2 + lg(1 + x)

Aufgabe 115Bestimmen Sie die folgenden Zahlen.

(a) log100 40, wenn log2 5 = a, (b) log6 16, wenn log12 27 = a

Aufgabe 116Eine Seerose verdopple ihre Blattoberfläche in jeweils 10 Tagen. Dieses Wachstum wird be-schrieben durch die Funktion o mit

o(t) := eat−b

mit den unbekannten Parametern a und b, wobei die Zeit t in Tagen gemessen wird. Nach wieviel Tagen hat sie ihre Blattoberfläche jeweils verdreifacht?

Aufgabe 117Seien a, b, c > 0 und a 6= 1 und b2 + c2 = 7bc. Beweisen Sie, dass

logab+ c

3=

1

2(loga b+ loga c) .

Die Basen seien so gewählt, dass alle Logarithmen existieren.

Aufgabe 118Entscheiden Sie, welche Zahl größer ist:

log 12

√3 oder log 1

3

√2

Aufgabe 119Vereinfachen Sie die folgenden Formeln.

(a) (loga b+ logb a+ 2) (loga b− logab b) logb a− 1 (b)1− (loga b)

3

(loga b+ logb a+ 1) loga

(ab

) .Die Basen seien so gewählt, dass alle Logarithmen existieren.

Aufgabe 120Bestimmen Sie die Lösungsmenge der folgenden Gleichungen

(a) lg(5− 2x) + lg(1− x) = 2− lg 5 (b) log2(x2 − 2) = log 1

a(a−2) + log 4√3 1

(c) loga

√a5x−2

ax−4− loga

3√a4x =

2

3x+ 1 (d) ln(x− 2) + ln(x+ 3) = ln(x2 + x− 6)

(e) 2x−2 = 2x+1 − 14 (f)2x√33x+2 =

3x√32x+3


Aufgabe 121Cholera wird durch den von Robert Koch (1843-1910) entdeckten Bazillus Vibrio choleraehervorgerufen. Zur Zeit t = 0 wird eine Kolonie dieses Bazillus in einer Nährflüssigkeit gebracht.30 Minuten später besteht sie bereits aus 329 Bakterien und 60 Minuten nach Beginn aus 2684.

(a) Bestimmen Sie die Konstanten a und c, so dass die Funktion f gegeben durch

f(t) = c · at,

die Anzahl der Keime zur Zeit t beschreibt.

(b) Wie viele Bakterien waren zu Beginn des Experimentes vorhanden?

(c) Wie viele Mitglieder hat die Kolonie 5 Stunden nach Beginn des Experiments? (Die Er-gebnisse lassen verstehen, warum in früheren Zeiten ein Cholerakranker sehr rasch seinemLeiden erlag.)

(d) In welcher Zeitspanne verdoppelt sich immer die Zahl der Keime?

Aufgabe 122Auch die Erwärmung eines Weizenbieres in einem Biergarten im Sommer kann mit Hilfe vonExponentialfunktionen beschrieben werden. Wir betrachten die Funktion f gegeben durch dieFunktionsgleichung

f(t) = 22− 16 ·(1

2

)t/15,

die die Temperatur (in ◦C) zur Zeit t (in min.) angibt.

(a) Welche Temperatur hat das frisch eingeschänkte Bier?

(b) Erstellen Sie eine Wertetabelle und skizzieren Sie das Schaubild der Funktion f .

(c) Wie viele Minuten nach dem Einschenken hat das Bier eine Temperatur von 15◦C?

Aufgabe 123Gegeben ist die Funktion f mit

f(x) =√16− x2

Welchen Definitions- und wertebereich hat f? Skizzieren Sie das Schaubild von f . Besitzt f eineUmkehrfunktion f−1? Wie lautet gegebenenfalls der Funktionsterm und wie sieht das Schaubildvon f−1 aus?

Aufgabe 124Für welche x haben die folgenden Funktionen Definitionslücken? Überlegen Sie, ob es an diesenStellen x einen Grenzwert gibt? Beweisen Sie ihre Behauptung. Kann man die Funktionen durchgeeignete Zuweisung eines Funktionswertes für die Definitionslücken zu stetigen Funktionenmachen?

(a) f(x) =4x2 − 1

2x+ 1, (b) f(x) =

x+ 2

x− 2+

1

x+ 1, (c) f(x) =

1

x,

(d) f(x) = 4 +1

x2, (e) f(x) =

|x− 1|x+ 1

, (f) f(x) =1

1−√|x|.


Aufgabe 125Bestimmen Sie die maximalen Definitions- und Wertebereiche der folgenden Funktionen:

(a) f(x) = x3 − 4x+ 1 (b) g(x) =x− 1

x2 − 4(c) h(x) =

√x− 2

x

(d) k(x) =ln(x− π)x2 − 64

(e) m(x) = sin(x+

3π

2

)+ cos(x) (f) n(x) = tan(x)

Aufgabe 126Für x −→∞ strebt f gegeben durch

(a) f(x) =2x+ 1

x2 + x(b) f(x) =

5x

x+ 3(c) f(x) =

3x2

ex + x

(d) f(x) = −x2 + 3x− 5 (e) f(x) = x · e−3x+2 (f) f(x) = ln(x− 2) · x−1

gegen...

Aufgabe 127Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte:

(a) limx→1

x2 − 1

x2 + 1, (b) lim

x→0

sin(2x)

sin(x), (c) lim

x→−3

x2 − x− 12

x+ 3.

Aufgabe 128Ist die Funktion f : R −→ R definiert durch

(a) f(x) = 7x2 + x− 4, (b) f(x) =

x für x ≤ 0 ,

x− 2 für x > 0 .,

(c) f(x) =

x3 − 1

x− 1für x 6= 1 ,

3 für x = 1 .

, (d) f(x) =x− 4

x2 + 1,

(e) f(x) =

2x3 − x2 − 1

x− 1für x 6= 1 ,

4 für x = 1 .

, (f) f(x) =

sin

(1

x

)für x 6= 0 ,

0 für x = 0 .

.

stetig? Beweisen Sie ihre Antwort.

Aufgabe 129Zeigen Sie mit Hilfe des Zwischenwertsatzes, dass die Funktion f : R −→ R gegeben durch

(a) f(x) = x3 − 3x2 +1

2x− 5

2im Intervall [2, 5],

(c) f(x) = x4 − 4x3 − 23x2 + 98x− 60 im Intervall [0, 1],

mindestens eine Nullstelle besitzt.


Aufgabe 130Sei f : [a, b] −→ R eine stetige Abbildung mit f([a, b]) ⊆ [a, b]. Zeigen Sie, dass f einen Fixpunktbesitzt, d. h. dass es ein ξ ∈ [a, b] gibt mit f(ξ) = ξ.

Aufgabe 131Rechnen Sie Grad- in Bogenmaß bzw. umgekehrt um:

(a) 90◦ (b) − 72◦ (c)5

6π (d)

5

4π (e) 35◦

(f) 15◦ (g) 1 (h) 115◦ (i)3

5(j) − 1

8π

(a) 35◦ (b)3

8π (c) − 52◦ (d)

7

12π (e) 142◦

Aufgabe 132Vereinfachen Sie:

(a) cos2(α) tan2(α) + cos2(α) (b)1

1− sin(φ)+

1

1 + sin(φ)

(c)1− cos2(φ)

sin(φ) cos(φ)(d)

tan(α)

1 + tan2(α)

(e) 1− 1

cos2(φ)(f)

sin(α + β) + sin(α− β)cos(α + β) + cos(α− β)

(g) sin(α) sin(2α) + cos(α) cos(2α)

Aufgabe 133Bestimmen Sie die folgenden Zahlen mit Hilfe der Additionstheoreme.

(a) sin( π12

)cos( π12

)(b) cos

( π12

)(c) sin

(5

8π

)Hinweis zu (c):

5

8π =

1

2π +

1

2· 14π.

Aufgabe 134Bestimmen Sie:

(a) sin(x) und cos(x), wenn cot(x) = −2 und 0 < x < π.

(b) sin(x) und tan(x), wenn cos(x) = −3

5und π < x < 2π.

Aufgabe 135Berechnen Sie ohne Taschenrechner die Zahlen

cos(α), tan(α), sin(2α)

für α mit sin(α) = 0, 6 und 0 < α < 90◦, und ferner

sin(π/12), cos(π/12).

Hinweis: 1/12 = 1/3− 1/4


Aufgabe 136Zeigen Sie:

sin(α) + sin(β) = 2 sin

(α + β

2

)cos

(α− β2

)Hinweis: Was ist die Summe, was die Differenz von (α + β)/2 und (α− β)/2?

Aufgabe 137Zeichnen Sie die Graphen der Funktionen:

(a) sin(x) (b) cos(x− π

4

)(c) sin(2x)

(d) | cos(x)| (e) sin(x+

π

2

)(f) sin(x) + 2 cos(x)

Benutzen Sie in (a) bis (e) keinen Taschenrechner oder gar Computer!

Aufgabe 138Beweisen Sie die folgenden Aussagen.

(a) tan2(α2

)=

1− cos(α)

1 + cos(α),

(b) tan(α + β) =tan(α) + tan(β)

1− tan(α) tan(β)

(c)cos2(2α)

cot(α)− tan(α)=

sin(4α)

4,

(d)sin(4α)

1 + cos(4α)· cos(2α)

1 + cos(2α)= tan(α),

(e) cos( π65

)cos

(2π

65

)cos

(4π

65

)cos

(8π

65

)cos

(16π

65

)cos

(32π

65

)=

1

64

Dabei sei α so gewählt, dass die Terme existieren.

Aufgabe 139Bestimmen Sie

5 sin(x) + 7 cos(x)

6 cos(x)− 3 sin(x),

wenn tan(x) =4

15ist.

Aufgabe 140Bestimmen Sie ohne Taschenrechner:

(a) tan

(5

3π

)(b) arccos(−1) (c) cos(x) = −1

2

√3 (d) arccos

(−1

2

)

Aufgabe 141Berechnen Sie jeweils c und ϕ mit

(a) − 4 sin(x) + 3 cos(x) = c sin(x+ ϕ) (b) 6 sin(2t) + 8 cos(2t) = c sin(2t+ ϕ).


Aufgabe 142Bestimmen Sie die Lösungen der Gleichungen

(a) cos(x) cos(2x) = cos(2x), (b) 2 sin3(x)− 3 sin(x) cos(x) = 0,

(c) 2 sin(x2

)− cos(x) = −1, (d)

√2 sin(2x) + 2 sin(x) = 0.

Aufgabe 143Wir wissen, dass tan(x) + cot(x) = 3. Bestimmen Sie:

(a) tan2(x) + cot2(x) (b) tan3(x) + cot3(x).

Aufgabe 144Zeigen Sie:

tan(2t) =2 tan(t)

1− tan2(t), t ∈ R \ { π/4 + kπ/2 | k ∈ Z } .

Aufgabe 145

Seien a = 3 cm und b = 4 cm. Be-stimmen Sie die noch fehlenden Grö-ßen p, q, c, hc, α, β.

q

p

c

b

ahc

A

B

C

Aufgabe 146

s s

α

Gegeben sind α = 6◦ und s = 5 cm. Be-stimmen Sie den Flächeninhalt des Drei-ecks.

Aufgabe 147Berechnen Sie die Schnittpunkte zwischen dem Kreis mit Mittelpunkt (6, 4) und Radius r = 6und der Geraden durch die Punkte (2, 3) und (8, 6).

Aufgabe 148Gegeben sind ein Kreis um den Ursprung mit dem Radius r = 3 cm und ein Punkt P = (6, 0).Konstruieren Sie eine Tangente an den Kreis, die durch P verläuft.


Aufgabe 149Das Wassermolekül ist ein Dipol. Die beteiligten Atome bilden ein gleichschenkliges Dreieckmit einem Öffnungswinkel von 104◦. Der Abstand jedes Wasserstoffatoms vom Sauerstoffatombeträgt 0.0958 nm. Wie groß ist der Abstand zwischen den beiden Wasserstoffatomen?

Aufgabe 150

a

b

c

d1

d2

αβ

Berechnen Sie die Längen der Raum-diagonalen eines Quaders mit denKantenlängen

a = 17 cm, b = 6 cm, c = 4 cm.

Welchen Winkel schließen die Raum-diagonalen mit den Grundflächen ein?

Aufgabe 151Aus einer Entfernung von e = 60m erblickt Tim die Spitze eines Turmes unter dem Erhe-bungswinkel von α = 27◦. Wie hoch ist der Turm, wenn die Augenhöhe Tims a = 1, 50mbeträgt?

Aufgabe 152Ein quaderförmiges Glasgefäß hat die Höhe h = 30 cm und eine quadratische Grundfläche mitKatenlänge 14 cm. Berechnen Sie die Einfüllhöhe, wenn 3,5 Liter in das Gefäß gegossen werden.

Aufgabe 153Seien a = 5 cm, b = 2 cm und c = 1, 5 cm.

a

b

h

(a) Berechne Sie das Volumen des Prisma.

(b) In das zunächst leere, senkrecht stehende Prisma wird Wasser mit der konstanten Zufluss-rate von 5 cm3 pro Minute gegossen. Wie hoch ist der Flüssigkeitsspiegel nach 4 Minuten?

(c) Welche Zuordnung beschreibt die Höhe des Flüssigkeitsspiegels in Abhängigkeit von derZeit?

(d) Wie groß müsste a gewählt werden, damit das Volumen des Prismas 100 cm3 beträgt?


Aufgabe 154Gegeben sei ein Dreieck ABC mit den Seitenlängen a = 4, 2 cm, b = 5, 2 cm und c = 6, 3 cmund den Innenwinkeln α, β und γ.

(a) Konstruieren Sie die Mittelsenkrechten zu den Seiten a und b.

(b) Konstruieren Sie den Inkreis des Dreiecks.

Aufgabe 155Der Außendurchmesser eines Hohlzylinders ist dreimal so groß wie der Innendurchmesser. SeineHöhe beträgt 12 cm, das Volumen 480 cm3. Wie groß ist der Innendurchmesser? Runden Sie aufzwei Nachkommastellen.

Aufgabe 156

h

α

Von einem Kegel sind gegeben: r = 4 cm undα = 52◦. Ermitteln Sie das Volumen und dieMantelfläche. Runden Sie dabei auf zwei Nach-kommastellen.

Aufgabe 157Ein Korken hat die Form eines Kegelstumpfes mit r1 = 24mm, r2 = 18mm und h = 32mm.Wiegroß ist das Gewicht von 100 Stück dieser Korken, wenn die Dichte von Kork ρ = 0, 24 g/cm3

beträgt?

Aufgabe 158Ein Seil wird straff um den Äquator gespannt und anschließend um einen Meter verlängert.Wie hoch kann man das Seil nun an einer Stelle ziehen, bis es wieder straff wird, wenn man fürden Radius der Erde eine Länge von 6378 km annimmt?

Aufgabe 159Vor einer Blende mit einer Öffnung vom Radius 1 befindet sich im Abstand x eine Glühbirne(punktförmige Lichtquelle). Wie groß muß der Abstand x gewählt werden, damit auf einem 3Einheiten hinter der Blende befindlichen Schirm ein Lichtfleck vom Radius y erzeugt wird?

Aufgabe 160Gegeben seien die Punkte P = (−2, 5) und Q = (−7/2, 1). Die Strecke PQ soll so zu einemQuadrat PQRS ergänzt werden, dass der Koordinatenursprung im Innern des Quadrats liegt.Geben Sie die Koordinaten von R und S an.

Aufgabe 161Es soll die Länge der Luftlinie zweier Geländepunkte A und B bestimmt werden. Von einemdritten Punkt C, dessen Abstand zu A 420m und zu B 335m beträgt, werden beide Punkteunter einem Winkel von 64◦ beobachtet.


Aufgabe 162Bestimmen Sie z1 + z2, z1 · z2 und z1/z2, wobei:

(a) z1 = 2 + 5i, z2 =2

5− 7i, (b) z1 =

√2−√3i, z2 =

√2 +√3i,

(c) z1 = 3e−iπ, z2 =1

4+ 2i, (d) z1 =

3√2eiπ4 , z2 = −ei

34π

(e) z1 = 2 + i, z2 = 4− i, (f) z1 = 3i, z2 =1

5e−i

35π.

Aufgabe 163Bestimmen Sie die folgenden Zahlen:

(a) z =2− i1 + i

, (b) z = 9 · 5 + 3i+ (1− i)2

2 + 3i+

(1− 11i) · (1 + i)

2,

(c) z =(1 + 2i)2 − (1− i)3

(3 + 2i)3 − (2 + i)2, (d) z = (3− 4i) · (2− i)

5 + 2i,

(e) z = (1 + 2i)2, (f) z =(2− 4i)2 − (3i− 4)2

(4 + i)(2− i)+ 3e−i

π4

5i√2(1− i)

,

(g) z =13 + 12i

6i− 8+

(2i+ 1)2

i+ 2, (h) z = e−π+2 2 + i

4− 3i.

Aufgabe 164Zeichnen Sie die folgenden Zahlen zunächst in ein kartesisches Koordinatensystem. BestimmenSie dann die Polarkoordinaten der jeweiligen Zahl:

(a) z = 2− 2i, (b) z =1 +√3i+ 2e−i

π6

eiπ2 (1− i)

, (c) z = 5

(d) z =2− i3 + 2i

, (e) z =1 +√3i

2, (f) z =

1− i1 + i

,

(g) z = −3i, (h) z =√2 +√2i, (i) z =

(1 + i)8

i.

Aufgabe 165Skizzieren Sie folgende Mengen in der Gauß‘schen Zahlenebene:

(a) M1 ={z ∈ C | | arg((1 + i)z)| ≤ π

4

}, (b) M2 =

{z ∈ C | Re

{1

z

}<

1

2

},

(c) M3 ={z ∈ C | |z2| ≤ 2 ∧ Im{z2} ≤ 0

}, (d) M4 = { z ∈ C | |z − 2| = 1 } ,

(e) M5 =

{z ∈ C | z3 ≤ 1 ∧ Re{z} ≥ −1

2

}, (f) M6 =

{z ∈ C |

∣∣∣∣z + 1

z − 1

∣∣∣∣ ≤ 1

}.


Aufgabe 166Bestimmen Sie |z|, Re{z}, Im{z}, arg(z) und die komplex konjugierte Zahl z zu

(a) z = 1− i, (b) z =√3− i, (c) z = i2014, (d) z = (1− i)99,

(e) z =(1 + i)13

(1− i)7, (f) z =

3

2e−i

π3 , (g) z = 3 + 3

√3i, (h) z = −5,

(i) z =(√

3− i)101

, (j) z = −6i (k) z = (1 + 7i)−2, (l) z =5− 5i

2 + i

Aufgabe 167Zeigen Sie für z ∈ R:

(a) cos(z) =1

2(z + z), (b) sin(z) =

1

2i(z − z),

(c) cos(iz) = cosh(z), (d) sin(iz) = i sinh(z).

Aufgabe 168Bestimmen Sie die folgenden komplexen Zahlen:

(a)

√√3 + i, (b) 3

√−1− i, (c) 4

√−16, (d)

8√1, (e).

Aufgabe 169Lösen Sie in der Menge der komplexen Zahlen die folgenden Gleichungen:

(a) z2 + 3z + 3 = 0, (b) (1 + 2i)z + 2 + i = z, (c) z2 − 20z + 92 + 6i = 0,

(d) z · z = z + z, (e)1− iz1 + iz

=1 + i

1− i, (f) z2 − 2iz − 5 = 0.

Aufgabe 170Beweisen Sie die Additionstheoreme

cos(z + w) = cos(z) cos(w)− sin(z) sin(w)

sin(z + w) = sin(z) cos(w) + cos(z) sin(w)

für z, w ∈ R mit Hilfe der Exponentialfunktion und zeigen Sie darüber hinaus, dass für z =x+ iy ∈ C

cos(z) = cos(x) cosh(y)− i sin(x) sinh(y)sin(z) = sin(x) cosh(y) + i cos(x) sinh(y)

Aufgabe 171Lösen Sie die folgenden Gleichungen

(a)

(−3 + 11i

3− i+−11 + 10i

1− 4i

)z = 24− 10i, (b)

z − 3

z − i+z − 4 + i

z − 1= 2 · −3 + 2i

z2 − (1 + i)z + i

in der Menge der komplexen Zahlen.


Aufgabe 172Zeigen Sie für z, w ∈ C: ∣∣∣∣ z − w1− wz

∣∣∣∣ = 1 =⇒ |w| = 1 ∨ |z| = 1.

Aufgabe 173Bestimmen Sie Betrag und Argument aller z ∈ C, die im zweiten Quadranten liegen, das heißtfür die Re{z} ≤ 0 und Im{z} ≥ 0 gilt und die folgende Gleichung lösen

z5 = −243i.

Aufgabe 174Gegeben sei das Quadrat Q mit den Ecken 0, i, 1+ i, 1 in der Gauß’schen Zahlenebene. Nimmtman nun die Funktion

f : C −→ Cz 7−→ e−i

π4

(z − 1

2(1 + i)

)hinzu und skizziert das Bild des Quadrates Q unter der Funktion f , so ergibt sich ein um−1/2(1 + i) verschobenes und dann um π/4 nach links gedrehtes Quadrat.

i

1−1

−i

fi

1−1

−i

Skizzieren Sie sorgfältig und beschreiben Sie auf ähnliche Art undWeise den Effekt der folgendenFunktionen auf Q.

(a)f : C −→ C

z 7−→ z2, (b)

f : C −→ C

z 7−→ 1

z + 1

, (c)f : C −→ C

z 7−→ −zi

.

Aufgabe 175Zeigen Sie für z, w ∈ C die sogenannte „Parallelogrammgleichung“:

|z − w|2 + |z + w|2 = 2 ·(|z2|+ |w2|

).

Knobelaufgabe:Zeigen Sie, dass es nicht möglich ist die komplexen Zahlen anzuordnen. Genauer: Es gibt keineOrdnungsrelation > in C, die die aus der Vorlesung bekannten Eigenschaften

1. Für alle z, w ∈ C mit z 6= w gilt z > w oder w > z,

2. Für alle z, w, v ∈ C mit z > w gilt z + v > w + v,

3. Für alle z, w, v ∈ C mit z > w und v > 0 gilt zv > wv,

erfüllt. Hinweis: Ist i > 0 möglich?

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