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OQM © 2018 von E. Spenhoff am 17.10.2018 Folie 1

Operatives QualitätsmanagementMischungsanalysen der angewandten Statistik


Wegbereiter von Mischungsexperimenten

• Scheffé hat als erster einen Artikel zur Mischungsanalyse Experiments withMixture (1958) veröffentlicht.

• Snee bereitete die Mischungsanalyse für die Praktiker auf, dazu veröffentlichte er von 1971 bis 1979 acht Artikel.

• Das Standardwerk zur Mischungsanalyse stammt von Cornell, in seinem Buch Experiments with Mixture (1. Auflage 1981, 3. Auflage 2002) findet man alle Details zur Mischungsanalyse.

Henry Scheffé

1907-1977

John A. Cornell

1941-2016

Ronald D. Snee

1945


Allgemeine Restriktion

• Mischungsanalysen ergeben sich aus der allgemeinen Restriktion.

• Dabei muss beachtet werden, dass die Zielgröße abhängig von der Mischung der Komponenten ist und nicht von der Menge.

• So ist der Geschmack eines Cocktail abhängig von der Mischung und den Anteilen der Zutaten. Wieviel Blutalkohol man dagegen hat, hängt von der Anzahl leer getrunkener Gläser ab.

• Die Klopffestigkeit von Benzin hängt ab von der Mischung der Kohlenwasserstoffe und Additive aber nicht von der Menge.

• Die Adhäsion eines Kleber hängt nicht von der Menge, ausreichende Benetzung der Oberfläche mit Klebstoff vorausgesetzt, sondern von der Mischung der Anteile ab.

Summe aller Komponenten = 1


Anwendungsgebiete

• Optimierung der Wirksamkeit von Mehrkomponentenmedikamenten in der Pharmazie zur Ausnutzung verstärkender Effekte.

• Verbesserung der Eigenschaften von Mischgeweben in der Textilindustrie.• Erhöhung der Oktanzahl von Benzin oder Verbesserung der

Schmiereigenschaften von Motorölen in der Mineralölindustrie.• Änderung von Adhäsion und Scherfestigkeiten eines Klebstoffes in der

chemischen Industrie. • Verbesserung von Druckfestigkeit und anderen Eigenschaften des Betons in

der Bauindustrie.• Erstellung optimaler Backmischungen oder schmackhafter

Fruchtsaftmischungen in der Lebensmittelbranche.• Entwicklung neuer Legierungen mit definierten Eigenschaften in der

Metallerzeugung.


Synergismus und Antagonismus

• Das Ziel von Mischungsexperimenten ist immer die Bestimmung einer Regressionsfunktion zwischen den Anteilen der Mischungskomponenten und den Eigenschaften der Mischung. Dabei ist das Aufspüren verstärkender (Synergismus) bzw. abschwächender (Antagonismus) Effekte von besonderer Bedeutung. Wenn in einem Medikament mehrere Wirkstoffe kombiniert werden, macht dies nur dann Sinn, wenn die Nebenwirkungen abgeschwächt (Antagonismus) und die gewünschte Wirkung verbessert (Synergismus) wird.

X2X1

Nebenwirkung

Antagonismus

X1X

2

Wirkung

Synergismus


Klassische Versuche versus Mischungsversuch

• Die Anwendung klassischer Versuchspläne ist bei der Durchführung von Mischungsexperimenten nicht sinnvoll.

• Dies soll an einem Beispiel verdeutlicht werden. Der Geschmack eines Fruchtsafts, der die Komponenten Orangensaft (X1), Nektarinensaft (X2) und Aprikosensaft (X3) enthält, soll optimiert werden. Das Minus-Niveau aller Komponenten betrage 2 g und das Plus-Niveau 6 g Konzentrat.

X1 X2 X3 X1 X2 X3

-1 -1 -1 2 2 21 -1 -1 6 2 2

-1 1 -1 2 6 21 1 -1 6 6 2

-1 -1 1 2 2 61 -1 1 6 2 6

-1 1 1 2 6 61 1 1 6 6 60 0 0 4 4 4

Normierte Komponenten Natürliche Komponenten

X1 X2 X3

0.33 0.33 0.330.60 0.20 0.200.20 0.60 0.200.43 0.43 0.140.20 0.20 0.600.43 0.14 0.430.14 0.43 0.430.33 0.33 0.330.33 0.33 0.33

Relative Komponenten

1

1 mit 0 für 1,2, ,q

i i

i

x x i q

K


Ternäre Grafik der Mischung

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

Komponente C

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

Komponente A

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

Komponente B

Komponente A: x1=0.24

Komponente B: x2=0.16

Komponente C: x3=0.60

x11

0

x2

x3

1

100

1

1 mit 0 für 1,2, ,q

i i

i

x x i q

K


Arten von Mischungsanalysen• Standard-Simplex-Konstruktion

Diese Konstruktion wird für Versuchspläne angewendet bei denen die Komponenten keine vorgegebenen Unter- oder Obergrenzen besitzen, d.h., jede Komponente kann auch zu 100% verwendet werden (z.B. Fruchtsäfte).

• Pseudo-Simplex-KonstruktionDie Konstruktion mit Pseudokomponenten wird angewendet, wenn mindestens eine der Komponenten eine definierte Untergrenzen besitzt. Eine Sonderform der Pseudo-Simplex-Konstruktion ergibt sich bei einer konstanten Trägerkomponente, wie z.B.:

• Bei einem Imprägnierungsmittel besteht das Trägermaterial aus destilliertem Wasser. Nur die Wirkstoffe werden als Mischungskomponenten betrachtet, denn vom Trägermaterial geht keine Wirkung aus.

• Bei einer Salbe besteht das Trägermaterial aus der Salbengrundlage, die häufig keinerlei Wirkung besitzt. Auch hier werden in Mischungsexperimenten nur die Wirkstoffe betrachtet.

• Extremwert-KonstruktionFür wirksame Obergrenzen der Komponenten ergibt sich der Versuchsraum als ein unregelmäßiges Polyeder und man bevorzugt diese Konstruktion.

• Ratio-KonstruktionWill man Mischungskomponenten und Prozessvariable gleichzeitig analysieren, dann wird bei der Planung von Versuchsplänen meist diese Konstruktion angewendet.

• Faktorielle, teilfaktorielle oder zentral zusammengesetzte VersuchspläneWenn eine Hauptkomponente mit einem Anteil > 90% existiert, können die restlichen Komponenten mit faktoriellen, teilfaktoriellen oder zentral zusammengesetzten Versuchsplänen analysiert werden.


Standard-Simplex-Konstruktion I.

• Bei der Versuchsplanung eines Standard-Simplex sind zwei Modelle in der Anwendung:

• Das Simplex-Zentroid Modell (Centroid) ohne und mit hinzufügen innerer Punkte (Augment).

• Das Simplex-Gitter Modell (Lattice) ohne und mit hinzufügen des Zentroid, innerer Punkte oder beidem (Augment).

• Auf den ersten Blick unterscheiden sich die Versuchspläne nicht, dies liegt daran, dass wir 3 Komponenten haben und für das Simplex-Gitter den 2. Grad gewählt haben.

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

Komponente C

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

Komponente A

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

Komponente B

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

Komponente C

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

Komponente A

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

Komponente B

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

Komponente C

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

Komponente A

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

Komponente B

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

Komponente C

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

Komponente A

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

Komponente B


Standard-Simplex-Konstruktion II.

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

Komponente C

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

Komponente A

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

Komponente B

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

Komponente C

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

Komponente A

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

Komponente B

Lattice1

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

Komponente C

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

Komponente A

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

Komponente B

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

Komponente C

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

Komponente A

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

Komponente B

Lattice2

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

Komponente C

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

Komponente A

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

Komponente B

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

Komponente C

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

Komponente A

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

Komponente B

Lattice3

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

Komponente C

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

Komponente A

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

Komponente B

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

Komponente C

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

Komponente A

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

Komponente B

Lattice4


Standard-Simplex-Konstruktion III.• Die Standard-Simplex-Konstruktion kann nur dann

angewendet werden, wenn keinerlei Grenzen existieren, d.h. wenn für jede Komponente Anteile zwischen 0 bis 1 möglich sind.

• Die Standard-Simplex- Konstruktion ist für die Praxis von Bedeutung, da auch Mischungen mehrerer Komponenten wie eine einzelne Komponenten behandelt werden können.

• Um eine Wirkungsfläche über einem vollständigen Simplex zu untersuchen, sollten die Versuchspunkte gleichmäßig über dem Versuchsraum verteilt sein.

• Die Versuchspunkte bei einem derartigen Gitterliniennetz sind abhängig vom Grad des zu schätzenden Polynoms.

• Bei einem Modell g-ten Grades sind die g+1 unterschiedlichen Anteile jeder Komponente durch die folgenden Koordinaten gegeben:

Grad des Polynoms Gitterpunktabstände

empfohlene Einstellung der

1 0, 1 1/q2 0, ½, 1 1/q3. red. 0, 1/3, ½, 1 1/q3 0, 1/3, 2/3, 1 1/q4. red. 0, ¼, ½, 1 1/q4 0, ¼, ½, ¾, 1 1/q

g. 0, 1/g, 2/g, …, (g-1)/g, 1 1/q

1 2 10, , , , ,1

für 1, ,

i

gx

g g g

i q

K

K


Standard-Simplex-Konstruktion IV.

• Die Anzahl der Versuchspunkte im Gitternetz und damit die Anzahl zu schätzender Regressionskoeffizienten M hängt von der Anzahl der Komponenten q und dem Grad des gewählten Regressionspolynoms g ab und berechnet sich wie folgt:

q 1. G

rad

2. G

rad

3. G

rad

red.

3. G

rad

4. G

rad

red.

4. G

rad

2 2 3 - 4 - 53 3 6 7 10 9 154 4 10 14 20 22 355 5 15 25 35 45 706 6 21 41 56 81 1267 7 28 63 84 133 2108 8 36 92 120 204 3309 9 45 129 165 297 495

10 10 55 175 220 415 715

1g qM

g


Modelle der Mischungsanalyse

1

i i

i q

b x

1. Grad (linear):

2 2 2

1 1 1 1 1

2

1 1 1

( ) ( )

i i i j i j i jk i j k i j h i j k i j h i j k

i q i j q i j k q i j k q i j k q

i j i j i j i j i j i j i j h l i j k l

i j q i j q i j k l q

b x b x x b x x x b x x x b x x x

c x x x x d x x x x b x x x x

4. Grad (quartic):

2 2 2

1 1 1 1 1

i i i j i j i j k i j k i j h i j k i j h i j k

i q i j q i j k q i j k q i j k q

b x b x x b x x x b x x x b x x x

4. Grad (reduziert):

1 1 1 1

( )i i i j i j i j k i j k i j i j i j

i q i j q i j k q i j q

b x b x x b x x x c x x x x

3. Grad (cubic):

1 1 1

i i i j i j i j k i j k

i q i j q i j k q

b x b x x b x x x

3. Grad (reduziert, special cubic):

1 1

i i i j i j

i q i j q

b x b x x

2. Grad (quadartisch):


Standard-Simplex-Konstruktion V.

Design 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Centroid 3 7 15 31 63 127 255 511 1023Centroid erweitert 5 10 19 36 69 134 263 520 1033

Lattice 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10erweitert um Zentralpunkt 3 4 5 6 7 8 9 10 11erweitert um Axialpunkte 4 6 8 10 12 14 16 18 20erweitert um Zentral- und Axialpunkte 5 7 9 11 13 15 17 19 21




1. Grad 2 3 4 5 6 7 8 9 102. Grad 3 6 10 15 21 28 36 45 553. Grad reduziert ( special cubic ) - 7 14 25 41 63 92 129 1753. Grad ( full cubic ) 4 10 20 35 56 84 120 165 2204. Grad reduziert ( special quartic ) - 9 22 45 81 133 204 297 4154. Grad 5 15 35 70 126 210 330 495 715

Anzahl der Komponenten


Pseudo-Simplex-Konstruktion I.

• Die Pseudo-Simplex-Konstruktion wird angewendet, wenn die Komponenten durch Untergrenzen beschränkt sind. In diesem Fall ergeben sich gleichseitige Simplizia. Sind die Untergrenzen abhängig von anderen Komponenten, so ergeben sich beliebige Dreiecke, Tetraeder oder Hypertetraeder. Zur Analyse sind die Originalkomponenten in Pseudokomponenten zu überführen. Die Transformation in Pseudokomponenten hat einige Vorteile bei der Analyse und Interpretation der Versuchsergebnisse:

• Eine höhere numerische Genauigkeit bei der Analyse.• Grafische Darstellung des wirklich untersuchten Bereiches.• Einfache Umrechnungsalgorithmen zwischen Originalkomponenten und

Pseudokomponenten. • Erfüllung der Optimalitätskriterien.• Anwendung der Standardregeln und Standardversuchspläne.


Pseudo-Simplex-Konstruktion II.

• Für gleichseitige Dreiecke, Tetraeder etc. benötigt man folgende Gleichungen. Die Anteile der Originalkomponenten werden mit xi, die Anteile der Pseudokomponenten mit zi und die Untergrenzen mit ui bezeichnet. Sind untere Grenzen vorhanden, gilt allgemein für q Komponenten:

• Bedingung für die Existenz des Simplex-Unterbereiches:

• Die Verknüpfung zwischen den Original- und Pseudokomponenten ermöglicht die Hilfsgröße U. Man erhält die Pseudokomponenten durch:

• Umgekehrt erhält man die Originalkomponenten durch:

0 für 1,2, ,i iu x i q K

1

1q

i

i

U u

1

i ii

x uz

U

1i i ix u U z


Pseudo-Simplex-Konstruktion III.

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

Komponente C

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

Komponente A

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

Komponente B

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

Komponente C

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

Komponente A

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

Komponente B

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

Pseudo-

Komponente C

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

Pseudo-Komponente A

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

Pseudo-

Komponente B

Grenzen X1 X2 X3 U

ui 0.15 0.20 0.10 0.45

oi 0.70 0.75 0.65

Nr. Z1 Z2 Z3 X1 X2 X3

1 1.000 0.000 0.000 0.700 0.200 0.100

2 0.000 1.000 0.000 0.150 0.750 0.100

3 0.000 0.000 1.000 0.150 0.200 0.650

4 0.500 0.500 0.000 0.425 0.475 0.100

5 0.500 0.000 0.500 0.425 0.200 0.375

6 0.000 0.500 0.500 0.150 0.475 0.375

7 0.333 0.333 0.333 0.333 0.383 0.283

Pseudokomponenten Originalkomponenten

1

i ii

x uz

U

1i i ix u U z


Pseudo-Simplex-Konstruktion IV.

• Bei ungleichseitigen Simplizia ist ein anderes Verfahren notwendig. Dabei ist es erforderlich, die Eckpunkte zu kennen und Linear-kombinationen daraus zu bilden, welche die Überführung in Pseudokomponenten und umgekehrt ermöglichen. Dies soll mit den Daten aus Tabelle dargestellt werden.

• Aus den Eckpunkten des unregelmäßigen Simplex wird die transponierte Matrix Tgebildet.

• Die Vektoren der Original- und Pseudo-komponenten X und Z sind definiert durch:

• Die Lösung für die Berechnung von Original-und Pseudokomponenten ergibt sich aus:

X1 X2 X3

1 0.8 0.1 0.1

2 0.2 0.7 0.1

3 0.2 0.3 0.5

Nr. der

Eckpunkte

Anteil der Komponenten

0.8 0.2 0.2

0.1 0.7 0.3

0.1 0.1 0.5

T

1

2

3

x

X x

x

1

2

3

z

Z z

z

1Z T XX TZ


Pseudo-Simplex-Konstruktion V.

• Die Planung beginnt mit der Entwicklung eines Versuchsplanes nach der Standard-Simplex-Konstruktion. Die realen Komponentenanteile werden bestimmt nach Gleichung für X. Somit können die Originalkomponenten für das Beispiel wie folgt berechnet werden:

• Die Ergebnisse des Versuchsplans zweiten Grades sind in der Tabelle enthalten.

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

Pseudokom

ponente Z2

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

Pse

udok

ompo

nent

e Z

3

Pseudokomponente Z1

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

Komponente X1

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

Kom

pone

nte

X 3

Kom

ponente X2

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0 0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

Nr. Z1 Z2 Z3 X1 X2 X3

1 1.000 0.000 0.000 0.800 0.100 0.1002 0.000 1.000 0.000 0.200 0.700 0.1003 0.000 0.000 1.000 0.200 0.300 0.5004 0.500 0.500 0.000 0.500 0.400 0.1005 0.500 0.000 0.500 0.500 0.200 0.3006 0.000 0.500 0.500 0.200 0.500 0.3007 0.333 0.333 0.333 0.400 0.366 0.233

Pseudokomponenten Originalkomponenten1 1 2 3

2 1 2 3

3 1 2 3

0.8 0.2 0.2

0.1 0.7 0.3

0.1 0.1 0.5

x z z z

x z z z

x z z z


Berechnungen mit EXCEL

A B C Z1 Z2 Z3

0.8 0.1 0.1 0.8 0.2 0.2 1.0000 0.0000 0.0000

0.2 0.7 0.1 0.1 0.7 0.3 0.0000 1.0000 0.0000

0.2 0.3 0.5 0.1 0.1 0.5 0.0000 0.0000 1.0000

0.5000 0.5000 0.0000

0.5000 0.0000 0.5000

0.0000 0.5000 0.5000

1.3333 -0.3333 -0.3333 0.3333 0.3333 0.3333

-0.0833 1.5833 -0.9167

-0.2500 -0.2500 2.2500

1.0000 0.0000 0.0000 0.5000 0.5000 0.0000 0.3333 X1 X2 X3

0.0000 1.0000 0.0000 0.5000 0.0000 0.5000 0.3333 0.8000 0.1000 0.1000

0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.5000 0.5000 0.3333 0.2000 0.7000 0.1000

0.2000 0.3000 0.5000

0.5000 0.4000 0.1000

0.5000 0.2000 0.3000

0.8000 0.2000 0.2000 0.5000 0.5000 0.2000 0.4000 0.2000 0.5000 0.3000

0.1000 0.7000 0.3000 0.4000 0.2000 0.5000 0.3667 0.4000 0.3667 0.2333

0.1000 0.1000 0.5000 0.1000 0.3000 0.3000 0.2333

Vektoren X

{=Mult($E$3:$G$5,A15:A17)}

Versuchsplan Originalkomponenten

{=Mtrans(A21:G23)}

{=Minv(E3:G5)}

Versuchsplan Pseudokomponenten

{=Mtrans(I3:K9)}

Vektoren Z

{=Mtrans(A3:C5)}

tranponierte Matrix TMatrix des Dreiecks

inverse Matrix T-1


Extremwert-Konstruktion I.

• Ein Verfahren, das bei wirksamen Obergrenzen angewendet wird, ist die sogenannte Extremwert-Konstruktion.

• Bei dieser Methode müssen zur Konstruktion des Versuchsplanes zunächst die Extrempunkte ermittelt werden.

• Für drei Komponenten sind die Extrempunkte auch grafisch leicht zu ermitteln. Dies ist für mehr als drei Komponenten nicht möglich.

• Bei drei Komponenten und drei wirksamen Obergrenzen stellt sich der Versuchsraum als Sechseck und allgemein als Polyeder oder Hyperpolyeder dar.

Komponente Untergrenze ui Obergrenze oi

X1 0.10 0.40

X2 0.20 0.70

X3 0.05 0.60

Kom

pone

nte

X3

Kom

ponente X2

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0 0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

Komponente X1

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

1

2

3

4

5

6


Extremwert-Konstruktion II.

• Zur Definition der Extrempunkte werden die Kombinationen der q-1 Komponenten in einem faktoriellen Versuchsplan dargestellt.

• Die q-te Komponente wird, falls möglich, zu eins ergänzt. Damit sind alle möglichen Extrempunkte gefunden.

• Falls mit dem beschriebenen Algorithmus gleiche Extrempunkte gefunden werden, werden diese wie ein einzelner Extrempunkt behandelt. Die Extrempunkte bilden die Basis aller weiteren Versuchspunkte des Versuchsplans.

Nr.X1 X2 x1 x2 x3 Bemerkung

- - 0.10 0.20 --- nicht möglich1 + - 0.40 0.20 0.402 - + 0.10 0.70 0.20

+ + 0.40 0.70 --- nicht möglich


- - 0.10 --- 0.05 nicht möglich3 + - 0.40 0.55 0.054 - + 0.10 0.30 0.60

+ + 0.40 --- 0.60 nicht möglich


- - --- 0.20 0.05 nicht möglich5 + - 0.25 0.70 0.056 - + 0.20 0.20 0.60

+ + --- 0.70 0.60 nicht möglich


Extremwert-Konstruktion III.

• Für einen Versuchsplan dritten Grades ist die Anzahl der Extrempunkte im vorliegenden Beispiel zu gering.

• Es sind weitere Versuchspunkte aus den Extrempunkten zu bilden. Als erstes wird immer der Schwerpunkt berechnet, er ist der Mittelwert der Extrempunkte.

• In unserem Fall reicht dies aber nicht, weil mindestens 11 Versuchspunkte erforderlich sind. Deshalb müssen die Linienschwerpunkte berechnet werden.

Kom

pone

nte

X3

Kom

ponente X2

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0 0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

Komponente X1

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13


Extremwert-Konstruktion IV.

• Es ist erkennbar, dass die Linienschwerpunkte aus jeweils zwei Extrempunkten gebildet werden.

• Diese zwei Extrempunkte müssen so ausgewählt werden, dass die Eckpunkte für q-2 Komponenten identische Anteile haben.

• So findet man beispielsweise die Extrempunkte 1 und 3 mit dem Anteil 0.4 für die Komponente X1 oder die Extrempunkte 4 und 6 mit dem Anteil 0.6 für die Komponente X3. Auf diese Art und Weise lassen sich weitere Versuchspunkte entwickeln.

Nr. x1 x2 x3 gebildet aus:

1 0.400 0.200 0.4002 0.100 0.700 0.2003 0.400 0.550 0.0504 0.100 0.300 0.6005 0.250 0.700 0.0506 0.200 0.200 0.6007 0.242 0.442 0.316 1; 2; 3; 4; 5; 68 0.400 0.375 0.225 1;39 0.100 0.500 0.400 2; 410 0.300 0.200 0.500 1; 611 0.175 0.700 0.125 2; 512 0.325 0.625 0.050 3; 513 0.150 0.250 0.600 4; 6


Extremwert-Konstruktion V.

• Sollten weitere Versuchspunkte notwendig sein, können diese durch den Mittelwertvektor zwischen dem Schwerpunkt und den Extremwerten gebildet werden.

• Für vier Komponenten gibt es Grenzflächen, für die q-2 Komponenten gleiche Anteile besitzen.

• Ab fünf Komponenten ergeben sich Grenzpolyeder und ab sechs Komponenten ergeben sich Grenzhyperpolyeder, deren Schwerpunkte man bei Bedarf errechnen kann, um weitere Versuchspunkte zu definieren.

3 4 5 6

Grenzlinien q-2 --- --- ---Grenzflächen q-3 q-2 --- ---Grenzpolyeder q-4 q-3 q-2 ---Grenzhyperpolyeder q-5 q-4 q-3 q-2

Anzahl der Komponenten mit gleichen Anteilen

Schwerpunkt


Extremwert-Konstruktion VI.

• Auch bei der Extremwert-Konstruktion wird der Versuchsplan mit Hilfe der bekannten Gleichungen in Pseudo- bzw. Originalkomponenten transformiert.

• Entsprechend dem vollständigen Versuchsplan werden die Versuche mit den realen Anteilen der Originalkomponenten durchgeführt und die Analyse der Messergebnisse wird mit den Pseudokomponenten gerechnet und interpretiert.

• Die Extremwert-Konstruktion ist immer einsetzbar, erfordert jedoch einen nicht zu unterschätzenden Planungsaufwand, der bei manueller Planung besonders fehlerträchtig ist. Aus diesem Grunde sollte die Planung solcher Versuchspläne nur rechnergestützt durchgeführt werden.

z1 z2 z3 x1 x2 x3

1 0.462 0.000 0.538 0.400 0.200 0.4002 0.000 0.769 0.231 0.100 0.700 0.2003 0.462 0.538 0.000 0.400 0.550 0.0504 0.000 0.154 0.846 0.100 0.300 0.6005 0.231 0.769 0.000 0.250 0.700 0.0506 0.154 0.000 0.846 0.200 0.200 0.6007 0.218 0.372 0.409 0.242 0.442 0.3168 0.462 0.269 0.269 0.400 0.375 0.2259 0.000 0.462 0.538 0.100 0.500 0.40010 0.308 0.000 0.692 0.300 0.200 0.50011 0.115 0.769 0.115 0.175 0.700 0.12512 0.346 0.654 0.000 0.325 0.625 0.05013 0.077 0.077 0.846 0.150 0.250 0.600

Pseudokomponenten Originalkomponenten

Nr.

Pseudokomponente Z 1

Pse

udok

ompo

nent

e Z

3

Pseudokom

ponente Z2

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0 0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13


Extremwert-Konstruktion VII.

• Für das Modell dritten Grades werden aber nur 11 Versuchspunkte benötigt. Dieser Überschuss ist akzeptabel, er kann aber auch zu groß werden.

• Man wird dann so viele Versuchspunkte streichen, bis eine geeignete Anzahl von Versuchspunkten erreicht ist. Es werden immer Versuchspunkte gestrichen, die nahe bei anderen Versuchspunkten liegen.

• Um die Versuche festzulegen existieren zwei Verfahren:

• Distanz basierendDieses Verfahren ist immer einzusetzen.

• D-optimalAufgrund schlecht konditionierter Matrizen kann die Anwendung dieses Verfahren unmöglich werden.

z1 z2 z3 z1 z2 z3

1 0.462 0.000 0.538 1 0.462 0.000 0.5382 0.000 0.769 0.231 2 0.000 0.769 0.2313 0.462 0.538 0.000 3 0.462 0.538 0.0004 0.000 0.154 0.846 4 0.000 0.154 0.8465 0.231 0.769 0.000 5 0.231 0.769 0.0006 0.154 0.000 0.846 6 0.154 0.000 0.8467 0.218 0.373 0.409 7 0.218 0.373 0.4098 0.462 0.269 0.269 8 0.462 0.269 0.2699 0.000 0.462 0.538 9 0.000 0.462 0.53810 0.308 0.000 0.692 10 0.308 0.000 0.69212 0.346 0.654 0.000 11 0.116 0.769 0.116

Nr.

D-optimal Distanz basierend

Nr.

Pseudokomponente Z1

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13


Ratio-Konstruktion I• Ratio-Konstruktion erlaubt aufgrund seiner Struktur die gleichzeitige Analyse von Mischungskomponenten und

Prozessvariablen.

• Ratio-Konstruktion wird häufig dann eingesetzt, wenn das Mengenverhältnis bedeutend ist, z.B. Klebstoffherstellung (Verhältnisse von Polymeren), Glasherstellung (Verhältnisse zwischen Sand und Kalk).

• In diesen Fällen können teil-, vollfaktorielle oder zentral zusammengesetzte Versuchspläne zur Analyse verwendet werden. Die Faktoren sind die Verhältnisse der Komponenten.

• Mit q Komponenten lassen sich q-1 Verhältnisse bilden und analysieren. Diese Verhältnisse sollten nach sachlichen Erwägungen gebildet werden, prinzipiell ist aber jedes Verhältnis zu analysieren. Eine Bedingung für die Anwendung von Verhältnissen ist es, dass alle Komponenten in den Verhältnissen enthalten sind.


Ratio-Konstruktion I.

• Ratio-Konstruktion erlaubt aufgrund seiner Struktur die gleichzeitige Analyse von Mischungskomponenten und Prozessvariablen.

• Ratio-Konstruktion wird häufig dann eingesetzt, wenn das Mengenverhältnis bedeutend ist, z.B. Klebstoffherstellung (Verhältnisse von Polymeren), Glasherstellung (Verhältnisse zwischen Sand und Kalk).

• In diesen Fällen können teil-, vollfaktorielle oder zentral zusammengesetzte Versuchspläne zur Analyse verwendet werden. Die Faktoren sind die Verhältnisse der Komponenten.

• Mit q Komponenten lassen sich q-1 Verhältnisse bilden und analysieren. Diese Verhältnisse sollten nach sachlichen Erwägungen gebildet werden, prinzipiell ist aber jedes Verhältnis zu analysieren. Eine Bedingung für die Anwendung von Verhältnissen ist es, dass alle Komponenten in den Verhältnissen enthalten sind.


Ratio-Konstruktion II.

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

Faktor C

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

Faktor A

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

Faktor B

A B C

0.4 0.2 0.4

0.3 0.2 0.5

0.2 0.3 0.5

0.2 0.4 0.4

A B C r1=a/b r2=a/c

0.2 0.4 0.4 0.500 0.500

0.4 0.2 0.4 2.000 1.000

0.2 0.3 0.5 0.667 0.400

0.4 0.2 0.4 2.000 1.000

r1 r2 A B C

0.500 0.400 0.18182 0.36364 0.45455

2.000 0.400 0.25000 0.12500 0.62500

0.500 1.000 0.25000 0.50000 0.25000

2.000 1.000 0.40000 0.20000 0.40000

1.500 0.700 0.32308 0.21538 0.46154

0.500 0.700 0.22581 0.45161 0.32258

2.000 0.700 0.34146 0.17073 0.48780

1.500 0.400 0.24000 0.16000 0.60000

1.500 1.000 0.37500 0.25000 0.37500


Ratio-Konstruktion III.• Die gefundene Lösung ist

nicht ideal.• Der Versuchsbereich geht

deutlich über den gewünschten Versuchsbereich hinaus.

• Engere Strahlen schränken zwar den Versuchsbereich ein, aber füllen den gewünschten Versuchsbereich nicht mehr aus.

• Durch Bildung anderer Verhältnisse lässt sich der gewünschte Versuchsbereich nahezu perfekt abbilden. 0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

Faktor C

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

Faktor A

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

Faktor B

A B C

0.4 0.2 0.4

0.3 0.2 0.5

0.2 0.3 0.5

0.2 0.4 0.4

A B C r1=a/b r2=c/(a+b)

0.2 0.4 0.4 0.500 0.667

0.4 0.2 0.4 2.000 0.667

0.2 0.3 0.5 0.667 1.000

0.4 0.2 0.4 2.000 0.667

r1 r2 A B C

0.500 0.667 0.20000 0.40000 0.40000

2.000 0.667 0.40000 0.20000 0.40000

0.500 1.000 0.16667 0.33333 0.50000

2.000 1.000 0.33333 0.16667 0.50000

1.500 0.700 0.35294 0.23529 0.41176

0.500 0.700 0.19608 0.39216 0.41176

2.000 0.700 0.39216 0.19608 0.41176

1.500 0.667 0.36000 0.24000 0.40000

1.500 1.000 0.30000 0.20000 0.50000


Ratio-Konstruktion IV.

• Der Entwickler legt anhand von Verhältnissen der Komponenten untereinander den Versuchsraum fest.

• Daraus ergibt der Versuchsplan und die Versuchseinstellungen gemäß:

R1 R2

Min A/C = 0.10 B/C = 1.0Zentrum A/C = 0.25 B/C = 1.5Max A/C = 0.40 B/C = 2.0

R1 R2 A B C

0.10 1.00 0.047619 0.476190 0.4761900.25 1.00 0.111111 0.444444 0.4444440.40 1.00 0.166667 0.416667 0.4166670.10 1.50 0.038462 0.576923 0.3846150.25 1.50 0.090909 0.545455 0.3636360.40 1.50 0.137931 0.517241 0.3448280.10 2.00 0.032258 0.645161 0.3225810.25 2.00 0.076923 0.615385 0.3076920.40 2.00 0.117647 0.588235 0.294118


Ratio-Konstruktion V.

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

Faktor B

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

Faktor C

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

Faktor A


Ratio-Konstruktion VI.

• Welche Verhältnisse sind ideal ?

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

B


Ratio-Konstruktion VII.

• Die idealen Verhältnisser1 = a/(b+c)

r2 = c/(a+b)

a = r1/(r1+1),

b = -(r1*r2-1)/(r1*(r2+1)+r2+1),

c = r2/(r2+1)

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

B


Ratio-Konstruktion VIII.

• Es sind einige Versuche durchgeführt worden, die nun in einen auswertbaren Versuchsplan überführt werden sollen.

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

B

A B C0.36 0.40 0.240.36 0.45 0.190.38 0.48 0.140.41 0.35 0.240.41 0.48 0.110.42 0.42 0.160.47 0.44 0.090.48 0.32 0.200.48 0.38 0.140.53 0.38 0.090.54 0.31 0.150.57 0.26 0.170.58 0.33 0.090.64 0.24 0.120.68 0.26 0.06


Ratio-Konstruktion III

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

B

X1-0.789-0.983-1.000-0.355-0.875-0.615-0.5070.052

-0.231-0.0670.2990.6770.3131.0000.968

X2-0.879-0.4690.149

-1.0000.694

-0.3201.000

-0.917-0.2680.611

-0.645-0.9590.287

-0.6840.676

R1 =ln(A/B)-0.105-0.223-0.2340.158

-0.1580.0000.0660.4050.2340.3330.5550.7850.5640.9810.961

R2 =B/C

1.6672.3683.4291.4584.3642.6254.8891.6002.7144.2222.0671.5293.6672.0004.333


Ratio-Konstruktion IX.

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

B

X1-0.789-0.983-1.000-0.355-0.875-0.615-0.5070.052

-0.231-0.0670.2990.6770.3131.0000.968

X2-0.879-0.4690.149

-1.0000.694

-0.3201.000

-0.917-0.2680.611

-0.645-0.9590.287

-0.6840.676

R1 =ln(A/B)-0.105-0.223-0.2340.158

-0.1580.0000.0660.4050.2340.3330.5550.7850.5640.9810.961

R2 =B/C

1.6672.3683.4291.4584.3642.6254.8891.6002.7144.2222.0671.5293.6672.0004.333


Ratio-Konstruktion III

• Während die Komponenten A, B, C folgende Korrelationen haben,

• A zu B = -0.839• A zu C = -0.618• B zu C = 0.090

zeigen die Ratios eine Korrelation von• X1 zu X2 = -0.114

• Die Ratios sind nahezu orthogonal, eine unverzerrte Schätzung der Wirkungen ist möglich.

A B C R1 =ln( A/B) R2 = B/C X1 X2

0.360 0.400 0.240 -0.105 1.667 -0.789 -0.879

0.360 0.450 0.190 -0.223 2.368 -0.983 -0.469

0.380 0.480 0.140 -0.234 3.429 -1.000 0.149

0.410 0.350 0.240 0.158 1.458 -0.355 -1.000

0.410 0.480 0.110 -0.158 4.364 -0.875 0.694

0.420 0.420 0.160 0.000 2.625 -0.615 -0.320

0.470 0.440 0.090 0.066 4.889 -0.507 1.000

0.480 0.320 0.200 0.405 1.600 0.052 -0.917

0.480 0.380 0.140 0.234 2.714 -0.231 -0.268

0.530 0.380 0.090 0.333 4.222 -0.067 0.611

0.540 0.310 0.150 0.555 2.067 0.299 -0.645

0.570 0.260 0.170 0.785 1.529 0.677 -0.959

0.580 0.330 0.090 0.564 3.667 0.313 0.287

0.640 0.240 0.120 0.981 2.000 1.000 -0.684

0.680 0.260 0.060 0.961 4.333 0.968 0.676

-1.000

0.000

1.000

-1.000 0.000 1.000


Ratio-Konstruktion X

• Während die Komponenten A, B, C folgende Korrelationen haben,

• A zu B = -0.839• A zu C = -0.618• B zu C = 0.090

• zeigen die Verhältnisse eine Korrelation von• X1 zu X2 = -0.114

• Die Verhältnisse sind nahezu orthogonal, eine unverzerrte Schätzung der Wirkungen ist möglich.

A B C R1 =ln( A/B) R2 = B/C X1 X2

0.360 0.400 0.240 -0.105 1.667 -0.789 -0.8790.360 0.450 0.190 -0.223 2.368 -0.983 -0.4690.380 0.480 0.140 -0.234 3.429 -1.000 0.1490.410 0.350 0.240 0.158 1.458 -0.355 -1.0000.410 0.480 0.110 -0.158 4.364 -0.875 0.6940.420 0.420 0.160 0.000 2.625 -0.615 -0.3200.470 0.440 0.090 0.066 4.889 -0.507 1.0000.480 0.320 0.200 0.405 1.600 0.052 -0.9170.480 0.380 0.140 0.234 2.714 -0.231 -0.2680.530 0.380 0.090 0.333 4.222 -0.067 0.6110.540 0.310 0.150 0.555 2.067 0.299 -0.6450.570 0.260 0.170 0.785 1.529 0.677 -0.9590.580 0.330 0.090 0.564 3.667 0.313 0.2870.640 0.240 0.120 0.981 2.000 1.000 -0.6840.680 0.260 0.060 0.961 4.333 0.968 0.676

-1.000

0.000

1.000

-1.000 0.000 1.000


Vollständiges Beispiel I

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

Resin

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

Oil

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

Rubber

Einflussgrößen min max

Rubber 0.30 0.40Resin 0.45 0.60Oil 0.05 0.15Webspeed 290 330RPM-Extruder 165 185Temperature 150 190

Beste Ratios

R1 = a / (b+c)R2 = c / (a+b)


Vollständiges Beispiel II

• Es empfiehlt sich für die Verhältnisse und deren Lösungen eine geeignete Software (Mathematica, Maxima) einzusetzen, weil sie fehlerfrei sind. Dies ist vor allen Dingen bei mehr als drei Komponenten hilfreich.


Vollständiges Beispiel III

Nr R1 R2 Speed RPM Temp Nr R1 R2 Speed RPM Temp Rubber Resin Oil

1 0.488095 0.083591 290 165 150 1 0.666667 0.052632 290 165 150 0.400 0.550 0.0502 0.547619 0.052632 290 165 150 2 0.428571 0.176471 290 165 150 0.300 0.550 0.1503 0.666667 0.052632 290 165 150 3 0.428571 0.114551 330 165 150 0.300 0.597 0.1034 0.428571 0.114551 290 165 150 4 0.666667 0.176471 330 165 150 0.400 0.450 0.1505 0.547619 0.114551 290 165 150 5 0.547619 0.052632 330 175 150 0.354 0.596 0.0506 0.666667 0.114551 290 165 150 6 0.428571 0.114551 290 185 150 0.300 0.597 0.1037 0.428571 0.176471 290 165 150 7 0.666667 0.176471 290 185 150 0.400 0.450 0.1508 0.547619 0.176471 290 165 150 8 0.547619 0.114551 310 185 150 0.354 0.543 0.1039 0.666667 0.176471 290 165 150 9 0.666667 0.052632 330 185 150 0.400 0.550 0.050

10 0.488095 0.083591 310 165 150 10 0.428571 0.176471 330 185 150 0.300 0.550 0.15011 0.547619 0.052632 310 165 150 11 0.547619 0.114551 330 165 170 0.354 0.543 0.10312 0.666667 0.052632 310 165 150 12 0.547619 0.052632 290 175 170 0.354 0.596 0.05013 0.428571 0.114551 310 165 150 13 0.666667 0.114551 310 175 170 0.400 0.497 0.103… … … … … … 14 0.547619 0.052632 330 185 170 0.354 0.596 0.050

234 0.666667 0.176471 310 185 190 15 0.428571 0.114551 290 165 190 0.300 0.597 0.103235 0.488095 0.083591 330 185 190 16 0.666667 0.176471 290 165 190 0.400 0.450 0.150236 0.547619 0.052632 330 185 190 17 0.547619 0.052632 310 165 190 0.354 0.596 0.050237 0.666667 0.052632 330 185 190 18 0.666667 0.052632 330 165 190 0.400 0.550 0.050238 0.428571 0.114551 330 185 190 19 0.428571 0.176471 330 165 190 0.300 0.550 0.150239 0.547619 0.114551 330 185 190 20 0.547619 0.114551 330 175 190 0.354 0.543 0.103240 0.666667 0.114551 330 185 190 21 0.666667 0.052632 290 185 190 0.400 0.550 0.050241 0.428571 0.176471 330 185 190 22 0.428571 0.176471 290 185 190 0.300 0.550 0.150242 0.547619 0.176471 330 185 190 23 0.428571 0.114551 330 185 190 0.300 0.597 0.103243 0.666667 0.176471 330 185 190 24 0.666667 0.176471 330 185 190 0.400 0.450 0.150

Vollständige Ausgangsmatrix Endgültige D-optimale Versuchsmatrix Mischungsmatrix


Vollständiges Beispiel IV

Nr R1 R2 Speed RPM Temp Rubber Resin Oil W1 W2 W3 W4 W5

1 0.666667 0.052632 290 165 150 0.400 0.550 0.050 21.33 21.82 21.87 21.94 20.582 0.428571 0.176471 290 165 150 0.300 0.550 0.150 25.15 24.56 26.80 24.73 26.043 0.428571 0.114551 330 165 150 0.300 0.597 0.103 4.60 5.95 4.90 5.83 4.714 0.666667 0.176471 330 165 150 0.400 0.450 0.150 37.40 38.19 39.19 38.65 38.575 0.547619 0.052632 330 175 150 0.354 0.596 0.050 16.15 15.14 13.57 15.94 16.106 0.428571 0.114551 290 185 150 0.300 0.597 0.103 11.72 11.84 10.41 12.30 12.187 0.666667 0.176471 290 185 150 0.400 0.450 0.150 26.86 27.49 23.96 26.39 26.978 0.547619 0.114551 310 185 150 0.354 0.543 0.103 19.41 18.51 19.84 20.38 18.139 0.666667 0.052632 330 185 150 0.400 0.550 0.050 19.95 19.14 19.07 21.42 20.2210 0.428571 0.176471 330 185 150 0.300 0.550 0.150 34.23 34.99 34.14 35.48 34.5211 0.547619 0.114551 330 165 170 0.354 0.543 0.103 16.41 15.80 17.23 17.43 18.4312 0.547619 0.052632 290 175 170 0.354 0.596 0.050 18.78 19.79 19.46 19.21 19.6313 0.666667 0.114551 310 175 170 0.400 0.497 0.103 17.71 17.59 16.73 18.46 16.4414 0.547619 0.052632 330 185 170 0.354 0.596 0.050 15.08 14.39 14.80 15.65 13.7915 0.428571 0.114551 290 165 190 0.300 0.597 0.103 8.12 7.87 6.57 8.85 8.1316 0.666667 0.176471 290 165 190 0.400 0.450 0.150 25.43 27.40 25.34 26.93 26.0817 0.547619 0.052632 310 165 190 0.354 0.596 0.050 19.08 17.67 17.95 18.39 19.1018 0.666667 0.052632 330 165 190 0.400 0.550 0.050 20.56 21.00 22.00 21.28 21.0219 0.428571 0.176471 330 165 190 0.300 0.550 0.150 26.12 25.99 26.84 27.00 25.8020 0.547619 0.114551 330 175 190 0.354 0.543 0.103 16.15 16.93 14.36 15.93 14.7321 0.666667 0.052632 290 185 190 0.400 0.550 0.050 22.33 23.07 21.91 22.52 22.4722 0.428571 0.176471 290 185 190 0.300 0.550 0.150 26.23 25.84 27.24 27.32 26.2623 0.428571 0.114551 330 185 190 0.300 0.597 0.103 6.55 5.62 6.51 5.46 5.1324 0.666667 0.176471 330 185 190 0.400 0.450 0.150 32.30 29.87 30.57 31.52 30.95

Realisierte AdhäsionswerteEndgültige D-optimale Versuchsmatrix Mischungsmatrix


Vollständiges Beispiel V.

420-2-4

99.9

99

90

50

10

1

0.1

N 120

AD 0.495

p-Wert 0.211

Standardisiertes Residuum

Pro

zent

40302010

2

0

-2

-4

Angepasster Wert

Sta

nd

ard

isie

rtes

Resi

duum

210-1-2-3

20

15

10

5

0

Standardisiertes Residuum

Häufi

gkeit

1201101009080706050403020101

2

0

-2

-4

Beobachtungsreihenfolge

Sta

nd

ard

isie

rtes

Resi

duum

Wahrscheinlichkeitsnetz für Normalverteilung Residuen vs. Anpassungen

Histogramm Residuen vs. Reihenfolge

Residuendiagramme für Peel

• Die Analyse der Residuendiagrammezeigt keine besonderen Auffälligkeiten

• Die Normalverteilung der Residuen wird durch den ausgezeichneten Anderson-Darling-Test bestätigt.

• Ein Residuum scheint als möglicher Ausreißer verdächtig.

• Die Modellanpassung zeigt keine Auffälligkeiten, weil die Residuen sich zufällig zu beiden Seiten der Nulllinie verteilen.

• Auch Autokorrelation scheint kein Problem zu sein, weil die Grafik bzgl. der Reihenfolge zufällig erscheint.


Vollständiges Beispiel VI.

• Die Varianzanalyse zeigt signifikante Ergebnisse für lineare und quadratische Regressions-koeffizienten, sowie ebenfalls für die Wechselwirkungen. Es gibt, wie gewünscht, ein signifikantes Regressionsmodell.

• Der Anpassungsfehler ist nicht signifikant, dass Regressions-modell kann verwendet werden.

• Der mögliche Ausreißer (Beobachtung 59) ist ein normaler Extremwert.

Response Surface Regression: Adhäsion versus R1, R2, Speed, RPM, Temp

Varianzanalyse für Adhäsion

Quelle DF SS Kor SS Kor MS F-Wert p-Wert

Regression 20 7979.44 7979.44 398.972 595.24 0.000

Linear 5 4228.80 2601.69 520.338 776.31 0.000

Square 5 2459.49 1847.39 369.479 551.24 0.000

Interaction 10 1291.14 1291.14 129.114 192.63 0.000

Fehler 99 66.36 66.36 0.670

Anpassung 3 3.70 3.70 1.235 1.89 0.136

Reiner Fehler 96 62.65 62.65 0.653

Total 119 8045.79

Anpassungen und Bewertung für ungewöhnliche Beobachtungen

Beob Peel Anpassung Resid Std. Resid

59 23.960 26.324 -2.364 -3.23 R

78 18.430 16.785 1.645 2.19 R


Vollständiges Beispiel VII.

• Die Analyse der Regressions-koeffizienten zeigt ein Modell mit vielen Signifikanzen, nur fünf Wirkungen sind nicht signifikant.

• Die Varianz-Inflation-Faktoren (VIF) sind durchgängig kleiner als 4, somit kann das Modell als weitgehend unverzerrt geschätzt werden. Die Regressionskoeffizienten sind zur Beschreibung der Abhängigkeiten geeignet.

• Das Bestimmtheitsmaß ist sehr hoch und dies gilt auch für alle weiteren R2.

• Der Versuchsfehler ist von üblicher Größe.

Response Surface Regression: Adhesion versus R1, R2, Speed, RPM, Temp

Kodierte Koeffizienten

Term Koef SE Koef t-Wert p-Wert VIF

Konstante 17.166 0.29174 58.84 0.000

R1 4.8336 0.13482 35.85 0.000 2.30

R2 8.3128 0.13780 60.33 0.000 2.27

Speed 0.2106 0.08514 2.47 0.015 1.12

RPM 0.3957 0.08398 4.71 0.000 1.05

Temp -0.7297 0.08398 -8.69 0.000 1.05

R1*R1 -4.7364 0.26071 -18.17 0.000 2.51

R2*R2 8.5644 0.21297 40.21 0.000 1.80

Speed*Speed -0.4568 0.28191 -1.62 0.108 1.56

RPM*RPM 0.1656 0.24216 0.68 0.496 1.46

Temp*Temp 0.3677 0.24216 1.52 0.132 1.46

R1*R2 -3.7039 0.15594 -23.75 0.000 2.06

R1*Speed 1.5975 0.09515 16.79 0.000 1.08

R1*RPM -1.3690 0.09570 -14.30 0.000 1.09

R1*Temp 0.0445 0.09570 0.46 0.643 1.09

R2*Speed 2.9914 0.10389 28.79 0.000 1.20

R2*RPM -0.1254 0.11178 -1.12 0.265 1.30

R2*Temp -1.0807 0.11178 -9.67 0.000 1.30

Speed*RPM -0.0955 0.09247 -1.03 0.304 1.15

Speed*Temp -0.7570 0.09247 -8.19 0.000 1.15

RPM*Temp -0.6043 0.09436 -6.40 0.000 1.18

Zusammenfassung des ModellsS = 0.818698 PRESS = 97.3696R-Sq = 99.18% R-Sq(pred) = 98.79% R-Sq(adj) = 99.01%


Vollständiges Beispiel VIII.• Die Verhältnisse R1 und R2

haben den größten Einfluss und damit die Mischungsanteile.

• Die Mischung, Speed und RPM können exakt eingestellt und geregelt werden.

• Die Temperatur hat einen Regelbereich von 5 K. Deshalb muss dies genauer betrachtet werden.

• Das Ergebnis der Optimierung zeigt, dass das Prognoseintervall kleiner als die geforderten Grenzen ist. Ein ausgezeichnetes Ergebnis.

AktHoch

Tief

D: 1.000

Optimal

Prognose

d = 1.0000

Ziel: 10.0

Peel

y = 10.0

150.0

190.0

165.0

185.0

290.0

330.0

0.0526

0.1765

0.4286

0.6667R2 Speed RPM TempR1

[0.480] [0.060] [310.0] [175.0] [171.4154]

Zielgrößenoptimierung: Peel

Variable Einstellung

R1 0.48

R2 0.06

Speed 310

RPM 175

Temp 171.415

Antwort Anpassung SE Anpassung 95%-KI 95%-PI

Peel 10.000 0.295 (9.415, 10.585) (8.278, 11.722)


Vollständiges Beispiel IX

• Das Konturdiagramm für die Adhäsion in Abhängigkeit von Temperatur und Drehzahl einen stabilen Bereich ergibt.

• Die Schalthysterese der Temperatur hat nur einen geringen Einfluss auf die Adhäsion. Auch Temperaturen kleiner als die untere Hysterese-grenze sind ohne Bedeutung.

11.2

10.8

10.4

10.0

9.6

9.2

8.8

8.4

RPM

Te

mp

185180175170165

190

180

170

160

150

R1 0.465

R2 0.08

Speed 295

Hold Values

Contour Plot of Adhesion vs Temp, RPM

R1 0.48

R2 0.06

Speed 310

Haltewerte

11.25

11.00

10.75

10.50

10.25

10.00

9.75

9.50

9.25

9.00

8.75

RPM

Tem

p

185180175170165

190

180

170

160

150

Konturdiagramm von Peel vs. Temp, RPM

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