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Partikeltr¨ agheit im turbulenten Feld Ingolf Aschenbrenner Seminararbeit 1997 Institut f¨ ur Meteorologie und Klimaforschung Universit¨ at Karlsruhe/Forschungszentrum Karlsruhe

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  • Partikeltragheit im turbulenten Feld

    Ingolf Aschenbrenner

    Seminararbeit1997

    Institut fur Meteorologie und KlimaforschungUniversitat Karlsruhe/Forschungszentrum Karlsruhe

  • Inhaltsverzeichnis

    1 Einleitung 2

    2 Die Bewegungsgleichung von Tropfen 6

    3 Die raumliche Verteilung von Tropfen 10

    4 Die Relativbewegung von Tropfen 134.1 Stromung mit konstanter Scherung . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.2 Periodisch fluktuierende Stromung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

    5 Ergebnisse numerischer Simulationen 21

    6 Stabilitatsanalyse der Tropfenbewegung 286.1 Die Tropfenbewegung als dynamisches System . . . . . . . . . . . 296.2 Gescherte und periodisch fluktuierende Stromung . . . . . . . . . 32

    6.2.1 Scherungsfreie Stromung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336.2.2 Scherungsbehaftete Stromung . . . . . . . . . . . . . . . . 356.2.3 Tropfenschwingungen in Scherungsschichten . . . . . . . . 36

    7 Zusammenfassung 39

    8 Literaturverzeichnis 41

    1

  • 1 Einleitung

    In den meisten bisherigen Turbulenzstudien zum Problem des Koagulations-wachstums wird der Einflu der Turbulenz auf die Relativbewegung fur Abstandeder Tropfen untereinander analysiert, die kleiner als einige Tropfenradien sind.Bei groeren Abstanden wird die Relativgeschwindigkeit schlichtweg mit der Dif-ferenz der Fallgeschwindigkeiten gleichgesetzt. Deshalb wird auch vorausgesetzt,da groere Tropfen grundsatzlich schneller fallen als kleinere. Zusammenstoekonnen nach dieser Vorstellung nur in vertikaler Richtung und nur aufgrund un-terschiedlicher Fallgeschwindigkeiten erfolgen. Die stationare Fallgeschwindigkeitwiederum hangt nur von der Tropfenmasse ab. Die Koaleszenzwirksamkeit wirdals proportional zur Differenz der Fallgeschwindigkeiten und zur sogenanntenKoagulationseffektivitat vorausgesetzt. Dabei wird angenommen, da die Trop-fentragheit gegenuber den Effekten im Schwerefeld der Erde vernachlassigbargering ist. Die Horizontalgeschwindigkeit samtlicher Tropfen wird vernachlassigt.Es treten also keine Relativbewegungen und damit auch keine Kollisionen in derHorizontalen auf [Pinsky und Khain (1996)].

    Es soll nun kurz die gangige Vorstellung bezuglich des Kollisionsvorgangesdargelegt werden. Der Zusammensto von Teilchen lat sich allgemein wie folgtbeschreiben: Wird ein Tropfen im Stromungsfeld der restlichen Tropfen mit derAnzahldichte n herausgegriffen, so gilt fur die Anzahl der Stoe N dieses Tropfensmit anderen Tropfen pro Zeiteinheit

    dN

    dt=dN

    dV

    dV

    dt= nAeff

    dx

    dt= nAeff vrel

    Dabei ist Aeff der effektive Querschnitt zweier sich aufeinander zu bewe-gender Tropfen parallel zur Richtung ihrer Verbindungsachse, und vrel stellt dieRelativgeschwindigkeit dar, mit der sich die Tropfen aufeinander zu bewegen(Abbildung 1).

    In der derzeit gangigen Koaleszenztheorie (siehe allgemeine Darstellungenzur Wolkenphysik1) bleibt die Anzahldichteverteilung n der Tropfen im Raumschlichtweg unberucksichtigt oder wird bestenfalls in Ermangelung besserenWissens als durchgangig homogen angenommen. Der effektive Querschnitt Aeffbeim Sto zweier Tropfen wird ublicherweise rein geometrisch aus der Summe derRadien ri und rj der beiden beteiligten Tropfen gema Aeff = (ri + rj)

    2 gebil-det. Dieser Vorstellung liegt die Annahme zugrunde, da Tropfen, die sich aufein-ander zu bewegen, mit Sicherheit kollidieren werden, falls sich ihre als geradlinigvorausgesetzten Trajektorien im weiteren Verlauf uberlagern. Der Abbildung 1liegt der Grenzfall zugrunde, da sich die beiden Tropfen im Vorbeifliegen ge-rade noch streifen. Selbstverstandlich bleiben bei diesem vereinfachten Modelljegliche Wechselwirkungen der Tropfen bei der Annaherung aneinander in der

    1z. B. Pruppacher und Klett (1978) oder Rogers und Yau (1989)

    2

  • Abbildung 1: Schematische Darstellung der Tropfenkoaleszenz (Erlauterungen imText)

    Grenzschicht Wasser-Luft sowie bei erfolgter Beruhrung an der Tropfenoberflacheauen vor. Um die theoretische Beschreibung der Koaleszenz zu erleichtern, gehtman davon aus, da in dem nach einer Anpassungszeit erreichten stationarenZustand die unbeschleunigte Fallgeschwindigkeit der Tropfen als Gleichgewichtzwischen Schwerkraft und ihr entgegenwirkender Reibungskraft den etwa vorhan-denen horizontalen wie vertikalen Translationskomponenten in der Groen-ordnung uberlegen ist. Insbesondere bleiben turbulente Effekte in der Stromungunberucksichtigt. Die Relativgeschwindigkeit vrel zweier Tropfen wird dann durchdie Differenz ihrer unbeschleunigten Fallgeschwindigkeiten WS ersetzt. Die Tat-sache, da die Fallgeschwindigkeit WS mit der Groe r der Tropfen monoton zu-nimmt, hat zur Konsequenz, da in diesem Modell nur Tropfen unterschiedlicherGroe koagulieren konnen, indem der kleinere der beiden Tropfen vom groerenTropfen wahrend der Fallbewegung im Schwerefeld der Erde eingeholt wird. DieRelativgeschwindigkeit vrel = |WS,i WS,j| ist umso groer, je ausgepragter derGroenunterschied der beiden Tropfen ist. Die Annahme geradliniger Trajektori-en hat den Ausschlu von Tragheitskraften aus der ublicherweise angewendetenKoaleszenztheorie zur Folge.

    Bei der Koaleszenz von Wassertropfen interessiert weniger, in welcher Haufig-keit die Stoe auftreten, als vielmehr der zeitliche Massenzuwachs der Tropfendurch die Kollisionen mit anderen Tropfen. Der Massenflu, also die Massenande-rung M des groeren Tropfens mit dem Radius ri beim Einfangen des kleinerenTropfens mit dem Radius rj, kommt in der Koaleszenzrate Kij zum Ausdruck,die im laminaren Fall wie folgt definiert ist:

    Kij =dM

    dt=dM

    dV

    dV

    dt= %j Aeff Eij vrel = %j (ri + rj)

    2 Eij |WS,i WS,j|

    3

  • Dabei stellt %j die gesamte Massendichte aller kleineren Tropfen im betrachte-ten Luftvolumen V dar, die im allgemeinen wesentlich geringer als die Dichte dereinzelnen Wassertropfen in erster Naherung diejenige von Wasser %W = 1 g/cm

    3

    sein wird! Desweiteren wurde ein zusatzlicher, dimensionsloser Faktor Eij ein-gefugt, die sogenannte Kollisionseffizienz. Dieser Faktor beschreibt die Wahr-scheinlichkeit dafur, da bei Annaherung der beiden Tropfen bis auf einen be-stimmten Abstand auch wirklich ein Zusammensto unter dauerhafter Vereini-gung der beiden Tropfen zu einem groeren Tropfen stattfindet. Mit diesem Fak-tor kann auch der Deformation Rechnung getragen werden, der vor allem dasStromungsfeld der kleineren Tropfen im turbulenten Fluid innerhalb der Wir-belzellen ausgesetzt ist. Durch in dichter Abfolge auftretende kleinraumige Ge-schwindigkeitsschwankungen in der turbulenten Stromung werden die Tropfenhin- und hergerissen und uberdecken wahrend ihres Fluges durch das Feld deranderen Tropfen einen groeren Volumenbereich als im laminaren Fall. Ein der-artiges Anwachsen des Uberlappungsbereichs der Tropfentrajektorien sollte einhaufigeres Auftreten von Zusammenstoen der Tropfen miteinander nach sichziehen. Bildlich gesprochen

    fegt ein groer Tropfen wahrend einer Zeiteinheit

    einen bestimmten Volumenbereich der kleineren Tropfchen leer. In turbulenterStromung erfat er dabei mehr Tropfchen, weil bedingt durch Geschwindigkeits-fluktuationen sich eine groere Anzahl dieser Tropfchen eine bestimmte Zeit langinnerhalb dieses Volumenbereiches aufhalten.

    Der theoretischen Beschreibung des Koagulationsvorganges steht die Beob-achtung des Anwachsens von Wolkentropfen in der Atmosphare und der dadurchmoglichen Bildung von Regentropfen gegenuber. Die Theorie sollte diese in derNatur ablaufenden Vorgange einigermaen schlussig erklaren konnen. Beobachtetwird unter anderem folgendes:

    Ein ursprunglich schmales Tropfengroenspektrum verbreitert sich inkurzer Zeit und kann ohne Beteiligung der Eisphase zur Bildung von

    warmem Regen fuhren. Die Kondensation alleine ist nicht in der

    Lage, Tropfen zu erzeugen, die gro genug sind, um als Regen aus derWolke zu fallen. Das Diffusionswachstum ist ein zu langsamer Proze,denn es wird ungefahr 1 h zur Bildung vergleichsweise groer Tropfenmit 30 m benotigt, die fahig sind, durch Koagulationsprozesse raschanzuwachsen. In Wolken durchgefuhrte Messungen zeigen aber, dadie Regenbildung und damit notwendigerweise auch die Verbreiterungdes Tropfengroenspektrums in warmen Wolken schon in der sehr vielkurzeren Zeit von 1520 min moglich ist [Pinsky und Khain (1996)].

    Es wird in den Wolken eine deutliche Korrelation zwischen den Gebie-ten ausgepragter Turbulenz und denjenigen hoher Tropfenkonzentra-tion beobachtet. In diesen turbulenten Gebieten findet die beobach-tete rasche Verbreiterung des Tropfenspektrums statt. Die Strukturder Windfluktuationen in den Wolken ist extrem inhomogen: Wolken-

    4

  • teile mit starkerem Wind existieren neben Bereichen relativ geringerLuftbewegung. Am Rand von Wolken ist die Turbulenz besonders aus-gepragt. Turbulenz in der Wolke ist offenbar ursachlich fur die rascheVerbreiterung des Tropfengroenspektrums und begunstigt gleichzei-tig das Auftreten von Anomalien hinsichtlich der Regenrate [Pinskyund Khain (1995a)].

    In Cumuli, aber auch in stratiformen Wolken, wird eine hochgradiginhomogene Verteilung der Konzentration der Wolkenpartikel beob-achtet. Die raumliche Skala dieser Inhomogenitaten reicht von eini-gen 10 cm bis zu 100 m. Im groraumigen Bereich sind die Inho-mogenitaten der Tropfenkonzentration mit den Inhomogenitaten derNiederschlagsrate korreliert. Weil die Koagulationswirksamkeit direktproportional zur Konzentration der beteiligten Teilchen ist, bestehtdarum in Gebieten erhohter Konzentration auch eine hohere Wahr-scheinlichkeit dafur, da ein Tropfen uber eine mittlere Groe hin-weg anwachst, so da es zu einem raschen Koagulationswachstummit Bildung sehr groer Tropfen kommen kann. Dadurch wird einewesentliche Beschleunigung gegenuber dem Verhalten bei Homoge-nitat