PrufungsausarbeitungStatistik und Wahrscheinlichkeitstheorie

Wintersemester 2014/15

helmi77

28. Juni 2015

Inhaltsverzeichnis

Musterprufung 2Aufgabe 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2Aufgabe 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3Aufgabe 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4Aufgabe 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6Aufgabe 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7Aufgabe 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8Aufgabe 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10Aufgabe 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

Prof. Gurker (28/01/2015) 12Aufgabe 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12Aufgabe 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14Aufgabe 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Prof. Gurker (11/03/2015) 16Aufgabe 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16Aufgabe 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17Aufgabe 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18Aufgabe 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19Aufgabe 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20Aufgabe 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21Aufgabe 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23Aufgabe 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1

Musterprufung

Aufgabe 1

Die folgenden Daten sind Beobachtungen einer stochastischen Große:

-0.42, -1.27, 0.79, 1.42, 0.58, 0.61, -1.06, -1.69, 2.07, 1.18

(a) Zeichnen Sie die empirische Verteilungsfunktion F .

−2 −1 0 1 2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x

Fn(

x)

(b) Bestimmen Sie x, S2 und S.

x =1

n

n∑i=1

xi (1)

x = 0.221 (2)

2

S2 =1

n− 1

n∑i=1

(xi − x)2 (3)

S2 = 1.589654 (4)

S =√S2 (5)

S =√

1.589654 (6)

S ≈ 1.261 (7)

(c) Bestimmen Sie den Median und die Hinges.

-1.69, -1.27, -1.06, -0.42, 0.58, 0.61, 0.79, 1.18, 1.42, 2.07

x =

{x((n+1)/2) n ungerade12

[x(n/2) + x((n+1)/2)

]n gerade

(8)

x =1

2(0.58 + 0.61) (9)

x = 0.595 (10)

x0.25 = min{x ∈ R : Fn(x) ≥ 0.25} (11)

x0.25 = −1.06 (12)

x0.75 = min{x ∈ R : Fn(x) ≥ 0.75} (13)

x0.75 = 1.18 (14)

(d) Bestimmen Sie das 0.8-Quantil (Typ 2).

x0.8 =1

2(x(8) + x(9)) (15)

x0.8 =1

2(1.18 + 1.42) (16)

x0.8 = 1.3 (17)

Anmerkung : Bei Typ 2 wird im Falle einer Unstetigkeit gemittelt. Im obigen Beispiel trittdieser Fall ein, da die Stelle y = 0.8 unstetig ist (siehe Abbildung oben), daher wird dasMittel der beiden fraglichen Werte (1.18 und 1.42) als 0.8-Quantil gewahlt.

Aufgabe 2

Ein fur eine Krankheit entwickelter Bluttest zeigt in 99.5% der Falle das korrekte Ergebnis, beiErkrankten und bei nicht Erkrankten. Weiter ist bekannt, dass ca. 0.2% der Bevolkerung dieseKrankheit hat.

(a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist bei einer zufallig ausgewahlten Person der Test positiv?

X . . . Test einer zufallig ausgewahlten Person ist positiv (18)

P (X) = (0.002 ∗ 0.995) + (0.998 ∗ 0.005) (19)

P (X) = 0.00698 (20)

3

¬krank

negativpositiv

0.005 0.995

krank

negativpositiv

0.995 0.005

0.002 0.998

(b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist eine zufallig ausgewahlte Person, deren Test positiv ist,tatsachlich erkrankt?

X . . . Person ist krank (21)

Y . . . Test ist positiv (22)

P (X | Y ) =P (Y | X)P (X)

P (Y )(23)

P (X | Y ) =0.995 ∗ 0.002

0.00698(24)

P (X | Y ) ≈ 0.285 (25)

(c) Geben Sie eine Erklarung fur die (unerwartet?) kleine Wahrscheinlichkeit von (b).

Die kleine Wahrscheinlichkeit konnte sich dadurch erklaren, dass nur ein sehr kleiner Teilder Bevolkerung wirklich von der Krankheit betroffen ist.

(d) Wie lautet fur (b) die Odds–Form der Bayes’schen Formel?

P (H | A)

P (H | A)=P (H)

P (H)× P (A | H)

P (A | H)(26)

P (X | Y )

P (X | Y )=P (X)

P (X)× P (Y | X)

P (Y | X)(27)

0.285

0.715≈ 0.002

0.998× 0.995

0.005(28)

0.399 ≈ 0.399 (29)

Aufgabe 3

Die Dichte der sG X sei gegeben wie folgt:

f(x) =

{4e−4(x−1) wenn x ≥ 1

0 wenn x < 1

4

(a) Bestimmen Sie den Erwartungswert von X.

E(X) =

∫ ∞−∞

xf(x)dx (30)

E(X) =

∫ ∞1

x4e−4(x−1)dx (31)

E(X) =

∫ ∞1

x4e−4xe4dx (32)

E(X) = 4e4∫ ∞1

xe−4xdx (33)∫f ′(x)g(x)dx = f(x)g(x)−

∫f(x)g′(x)dx (34)∫ ∞

1xe−4xdx =

(−1

4e−4xx

)∣∣∣∣∞1

−∫ ∞1−1

4e−4xdx (35)∫ ∞

1xe−4xdx =

(−1

4e−4xx

)∣∣∣∣∞1

−(

1

16e−4x

)∣∣∣∣∞1

(36)∫ ∞1

xe−4xdx =1

4e−4 +

1

16e−4 =

5

16e−4 (37)

E(X) = 4e45

16e−4 =

5

4(38)

(b) Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion von X (plus Skizze).

F (x) =

∫f(x)dx (39)

F (x) =

∫4e−4(x−1)dx (40)

F (x) =

∫4e−4xe4dx (41)

F (x) = 4e4∫e−4xdx (42)

F (x) = 4e4−1

4e−4x + c (43)

F (x) = −e4−4x + c (44)

F (1) = 0⇔ −e0 + c = 0⇔ c = 1 (45)

F (x) =

{−e4−4x + 1 wenn x ≥ 1

0 wenn x < 1(46)

(c) Wie kann man mit Hilfe eines uniformen Zufallszahlengenerators Realisationen von X ∼ ferzeugen?

X := F−1(U) (47)

P (X ≤ x) = F (x) (48)

P (F−1(U) ≤ x) = F (x) (49)

P (F ◦ F−1(U) ≤ F (x)) = F (x) (50)

P (U ≤ F (x)) = F (x) (51)

5

0 1 2 3 4

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x

y

Aufgabe 4

Die Dichte der sG X sei gegeben durch:

f(x) =

{x2/9 wenn 0 < x < 3

0 sonst

Betrachten Sie die Transformation Y = X2.

(a) Wie lautet die Jacobian?

J =dx

dy=dg−1(y)

dy=

1dg(x)dx

(52)

Y = X2 ⇒ g(x) = x2 (53)

g−1(y) =√y (54)

dg−1(y)

dy=

1

2√y

= J (55)

(b) Bestimmen Sie mittels Transformationssatz die Dichte von Y .

fY (y) = fX(g−1(y))

∣∣∣∣dg−1(y)

dy

∣∣∣∣ (56)

fY (y) =

(√y)2

9

1

2√y

=

√y

18(57)

6

(c) Berechnen Sie - nach Definition und mittels LotUS - den Erwartungswert von Y .

E(X) =

∫ ∞−∞

xf(x)dx (Definition) (58)

E(Y ) =

∫ 32

0y

√y

18dy =

∫ 32

0

y32

18dy (59)

E(Y ) =

(y

52

45

)∣∣∣∣320

=35

45(60)

E(Y ) =

∫ ∞−∞

g(y)fX(y)dy (LotUS) (61)

E(Y ) =

∫ 3

0

y4

9dy =

(y5

45

)∣∣∣∣30

=35

45(62)

Aufgabe 5

Die Lebensdauern von drei in Serie geschalteten Komponenten seien unabhangige Exponenti-alverteilungen mit λ1 = 0.003, λ2 = 0.010 und λ3 = 0.008. Bestimmen Sie fur die LebensdauerX des Seriensystems:

(a) die Verteilungsfunktion.

X1,X2, X3 unabhangig (63)

Xi ∼ Fi(x), i = 1(1)3 (64)

X = min{X1, X2, X3} (65)

FX(x) = P (X ≤ x) (66)

= P (min{X1, X2, X3} ≤ x) (67)

= 1− P (min{X1, X2, X3} > x) (68)

= 1− P (X1 > x,X2 > x,X3 > x) (69)

= 1− P (X1 > x)P (X2 > x)P (X3 > x) (70)

= 1− (1− P (X1 ≤ x))(1− P (X2 ≤ x))(1− P (X3 ≤ x)) (71)

= 1−3∏i=1

(1− P (Xi ≤ x)) (72)

= 1−3∏i=1

(1− Fi(x)) (73)

Fi(x) = 1− e−λix (74)

FX(x) = 1−3∏i=1

(1− (1− e−λix)) = 1−3∏i=1

e−λix (75)

FX(x) = 1− e−∑3

i=1 λix (76)

Anmerkung : In Schritt 69 wird der Umstand ausgenutzt, dass samtliche sGs grosser odergleich x sein mussen, sobald das Minimum grosser oder gleich x ist. In Schritt 70 wirdweiters die Unabhangigkeit der sGs X1, X2, X3 verwendet.

7

(b) die Dichte. (Um welche Verteilung handelt es sich?)

fX(x) =3∑i=1

λie−

∑3i=1 λix (77)

Es handelt sich erneut um eine Exponentialverteilung.

(c) den Erwartungswert, die Varianz und die Streuung.

E(X) = σ =1

λ=

1

λ1 + λ2 + λ3=

1

0.021(78)

σ2 =1

λ2=

1

0.000441(79)

(d) den Median und das 90%-Quantil.

F (x0.5) = 0.5 (80)

1− e−λx0.5 = 0.5 (81)

−e−λx0.5 = −0.5 (82)

−λx0.5 = ln(0.5) (83)

x0.5 =− ln(0.5)

λ(84)

x0.5 ≈ 33 (85)

F (x0.9) = 0.9 (86)

x0.9 =− ln(0.1)

λ(87)

x0.9 ≈ 109.65 (88)

Aufgabe 6

Die Dichte der stochastischen Grosse X sei gegeben wie folgt:

f(x; θ) = θxθ−1I(0,1)(x) fur θ > 0

Fur n unabhangige Beobachtungen x1, x2, . . . , xn von X:

8

(a) Bestimmen Sie die (Log-) Likelihoodfunktion.

L(θ) =n∏i=1

f(xi; θ) =n∏i=1

θxθ−1i I(0,1)(xi) = θnn∏i=1

xθ−1i (89)

ln(L(θ)) = l(θ) = ln

(θn

n∏i=1

xθ−1i

)(90)

= ln(θn) + ln

(n∏i=1

xθ−1i

)(91)

= n ln(θ) +

n∑i=1

ln(xθ−1i ) (92)

= n ln(θ) +n∑i=1

(θ − 1) ln(xi) (93)

= n ln(θ) + (θ − 1)n∑i=1

ln(xi) (94)

(b) Bestimmen Sie den ML-Schatzer von θ.

dl(θ)

dθ=n

θ+

n∑i=1

ln(xi) (95)

= n+ θn∑i=1

ln(xi) (96)

dl(θ)

dθ= 0 (97)

n+ θn∑i=1

ln(xi) = 0 (98)

θn∑i=1

ln(xi) = −n (99)

θ =−n∑n

i=1 ln(xi)(100)

(c) Bestimmen Sie auf Basis der folgenden funf Beobachtungen den ML-Schatzwert von θ.

0.34, 0.58, 0.80, 0.32, 0.83

θ =−5

ln(0.34) + ln(0.58) + ln(0.80) + ln(0.32) + ln(0.83)≈ 1.576 (101)

(d) Bestimmen Sie auf Basis der Beobachtungen (c) den ML-Schatzwert fur den MittelwertE(X) von X. (Hinweis: Invarianz; vgl. Skriptum S 260.)

9

E(X) =

∫ 1

0xθxθ−1dx = θ

∫ 1

0xθdx (102)

= θ

(xθ+1

θ + 1

)∣∣∣∣10

=θ

θ + 1(103)

g(θ) =θ

θ + 1(104)

g(θ) = g(θ) =θ

θ + 1(Invarianz) (105)

g(θ) =

−n∑ni=1 ln(xi)

−n∑ni=1 ln(xi)

+ 1=

−n∑ni=1 ln(xi)

−n+∑n

i=1 ln(xi)∑ni=1 ln(xi)

(106)

=−n∑n

i=1 ln(xi)∑ni=1 ln(xi)(−n+

∑ni=1 ln(xi))

(107)

=n

n−∑n

i=1 ln(xi)(108)

g(θ) =5

5− (ln(0.34) + ln(0.58) + ln(0.80) + ln(0.32) + ln(0.83))(109)

g(θ) ≈ 0.6118 (110)

Aufgabe 7

Zwolf Personen werden dazu aufgefordert, eine bestimmte Aufgabe nach zwei Methoden zuerledigen, wobei die dazu benotigte Zeit (in Minuten) gemessen wird. Die Ergebnisse sind wiefolgt:

Zeit (min)

Person Methode 1 Methode 2 Diff.

1 17 18 -12 16 14 23 21 19 24 14 11 35 18 23 56 24 21 3

Zeit (min)

Person Methode 1 Methode 2 Diff.

7 16 10 68 14 13 19 21 19 2

10 23 24 -111 13 15 -212 18 20 -2

Man kann davon ausgehen, dass die Beobachtungen aus einer (bivariaten) Normalverteilungstammen. (Hinweis: Beachten Sie, dass es sich um verbundene Stichproben handelt, betrachtenSie die Differenzen der Beobachtungen; vgl. Skriptum 7.3.5.)

10

(a) Bestimmen Sie ein 95%-Konfidenzintervall fur die Differenz µd = µ1−µ2 der Ausfuhrungszeiten.

Xn =1

n

n∑i=1

xi (111)

Xn =2

3(112)

S2n =

1

n− 1

n∑i=1

(xi −Xn)2 (113)

S2n =

290

33(114)

Sn =√S2n (115)

KI :

(Xn − tn−1;1−α/2

Sn√n,Xn + tn−1;1−α/2

Sn√n

)(116)

KI :

(2

3− t11;0.975

√290

396,2

3+ t11;0.975

√290

396

)(117)

KI : (−1.217, 2.550) (118)

(b) Lasst sich die Behauptung vertreten, dass Methode 2 schneller zum Ziel fuhrt? Testen Siedazu (mit α = 5%) H0 : µd = 0 gegen H1 : µd > 0. (Vgl. Skriptum 7.4.5.)

H0 : µd = µ0 = 0 (119)

T0 =Xn − µ0Sn/√n

(120)

T0 =Xn

Sn/√n

(121)

T0 =2√

198

3√

145≈ 0.779 (122)

H1 : µd > 0 =⇒ H0 verwerfen, falls T0 > tn−1;1−α

t11;0.95 = 1.796 (123)

T0 < t11;0.95 (124)

Folgerung : H0 halt Stand.

Aufgabe 8

Ein Hemdenhersteller behauptet, dass 91% der Produkte”beste“ Qualitat (1. Klasse) sind, 8%

sind”zweite Wahl“ (2. Klasse) und nur 1% sind Ausschuss (3. Klasse). Um diese Behauptung

zu testen, werden 500 Hemden zufallig ausgewahlt und gepruft, mit dem folgenden Ergebnis:

434 beste Qualitat, 48 zweite Wahl und 18 Ausschuss

11

(a) Lasst sich die Behauptung des Herstellers auf dem Niveau α = 5% verwerfen? (Hinweis:χ2–Anpassungstest)

Klasse Xi pi0 npi0 (Xi − npi0)2/npi01 434 0.91 455 0.9692 48 0.08 40 1.63 18 0.01 5 33.8

Summe 500 1 500 36.369

H0 verwerfen, falls Qk−1 > χ2k−1;1−α

Qk−1 =k∑i=1

(Xi − npi0)2

npi0(125)

Q2 = 36.369 (126)

χ22;0.95 = 5.991 (127)

Q2 > χ22;0.95 (128)

Folgerung : H0 wird verworfen.

(b) Wie lautet ein passender R–Code zum obigen Test?

(c) Der p–Wert des obigen Tests betragt 1.266e-08. Was bedeutet dieser Wert? Wie wird erberechnet?

(i) Der p-Wert einer H0 ist der grosste Wert von α, fur den die H0 nicht verworfen wird.

(ii) Berechnung

p-Wert = P (χ2(k − 1) ≥ Qk−1) (129)

F (x; k) =γ(k/2, x/2)

Γ(k/2)(130)

Γ(t) =

∫ ∞0

xt−1e−xdx (131)

Γ(n) = (n− 1)! ∀n > 0 (132)

γ(s, x) =

∫ x

0ts−1e−tdt (133)

p-Wert = F (36.369, 2) =γ(1, 18.185)

Γ(1)(134)

p-Wert = 1.26640 . . .× 10−8 (135)

Prof. Gurker (28/01/2015)

Aufgabe 6

Die folgende Tabelle ist die Zusammenfassung einer Stichprobe der Grosse n = 60 von X ∼ P (λ)(Poisson-Verteilung):

12

x 0 1 2 3 4 5 6

Haufigkeit 1 6 10 24 9 8 2

(a) Bestimmen Sie den Momentschatzwert von λ.

E(X) =1

n

n∑i=1

Xi (136)

λ = E(X) =186

60=

31

10(137)

(b) Bestimmen Sie den ML-Schatzwert von λ (mit Herleitung).

f(k;λ) =λke−λ

k!(138)

L(λ) =n∏i=1

f(xi;λ) (139)

L(λ) =n∏i=1

λxie−λ

xi!(140)

l(λ) =n∑i=1

ln

(λxie−λ

xi!

)(141)

l(λ) =n∑i=1

(ln(λxie−λ)− ln(xi!)

)(142)

l(λ) =n∑i=1

(ln(λxi) + ln(e−λ)− ln(xi!)

)(143)

l(λ) =n∑i=1

(xi ln(λ)− λ− ln(xi!)) (144)

l′(λ) =n∑i=1

(xiλ− 1)

(145)

l′(λ) = 0⇔n∑i=1

(xiλ− 1)

= 0 (146)

1

λ

n∑i=1

xi − n = 0⇔ λ =1

n

n∑i=1

xi (147)

λ =1

n

n∑i=1

xi (148)

13

(c) Sind die beiden obigen Schatzer erwartungstreu und konsistent? Warum?

Eθ(θn)?= θ (Erwartungstreue) (149)

E(λ) = E

(1

n

n∑i=1

xi

)(150)

=1

nE

(n∑i=1

xi

)(151)

=1

n

n∑i=1

E(xi) (152)

=1

n

n∑i=1

λ = λ (153)

E(λ) = λ � (154)

1

n

n∑i=1

XiP−→ E(X) (GGZ) (155)

θnP−→ θ (Konsistenz) (156)

λ =1

n

n∑i=1

xi (157)

λP−→ λ � (158)

Aufgabe 7

Aus einem Produktionslos werden n = 1000 Gluhlampen zufallig ausgewahlt und auf ihreFunktionsfahigkeit uberpruft. Dabei stellt man fest, dass 19 Lampen defekt sind.

(a) Wie lautet der (ML-) Schatzwert fur den Defektanteil p?

p = Xn =1

n

n∑i=1

Xi (Bernoulli Vert.) (159)

Xn =19

1000= 0.019 (160)

(b) Bestimmen Sie ein 95%-Konfidenzintervall fur den Defektanteil p. (Hinweis: Nehmen Siedas Standardintervall.)

p± z1−α/2

√p(1− p)

n(161)

z0.975 = 1.960 (162)

KI : p± 0.00846 (163)

KI : (0.0105, 0.0275) (164)

(c) Lasst sich behaupten, dass der Defektanteil grosser als 1.5% ist? Testen Sie dazu (mitα = 5%) H0 : p = 0.015 gegen H1 : p > 0.015. (Hinweis: Nehmen Sie den approximativen

14

Test fur grosse Stichproben; vgl. Skriptum S 303.)

Y =n∑i=1

Xi ≈ N(np, np(1− p)) (165)

Z0 =Y − np0√np0(1− p0)

(Teststatistik) (166)

H0 : p = 0.015 gegen H1 : p > 0.015 (167)

H0 verwerfen, falls Z0 > z1−α (168)

Z0 = 1.041 und z0.95 = 1.6449 (169)

Z0 6> z0.95 ⇒ H0 halt stand (170)

(d) Der exakte p-Wert des Tests von (c) ist 0.1789. Was bedeutet dieser Wert? Wie wird erberechnet?

(i) Der p-Wert einer H0 ist der grosste Wert von α, fur den die H0 nicht verworfen wird.

(ii) Berechnung

Aufgabe 8

Fur zwei Typen von Batterien ergaben sich die folgenden Kapazitaten (in Ah):Typ 1: 158, 162, 134, 135, 155, 146, 156

Typ 2: 208, 207, 212, 206, 211, 187, 199

Die Daten stammen aus unabhangigen Normalverteilungen: N(µ1, σ21), N(µ2, σ

22)

(a) Bestimmen Sie Schatzwerte fur die Parameter.

X =1

n

n∑i=1

Xi (171)

X =1046

7(172)

Y =1430

7(173)

S2 =1

n− 1

n∑i=1

(Xi −X)2 (174)

S2X =

891

7(175)

S2Y =

1594

21(176)

(b) Ermitteln Sie – unter der Voraussetzung σ21 = σ22 – ein 95% Konfidenzintervall fur die

15

Differenz ∆ = µ2 − µ1 der mittleren Kapazitaten.

X − Y ± tm+n−2;1−α/2 Sp

√1

m+

1

n(177)

S2p =

(m− 1)S2X + (n− 1)S2

Y

m+ n− 2(178)

S2p =

4267

42(179)

t12;0.975 = 2.179 (180)

X − Y ± 11.74 (181)

KI : (−66.597,−43.117) (182)

(c) Wie lauten fur (b) die Standard R-Commands?

> x = c(158, 162, 134, 135, 155, 146, 156)

> y = c(208, 207, 212, 206, 211, 187, 199)

> t.test(x,y,var.equal=TRUE)$conf.int

[1] -66.59591 -43.11837

attr(,"conf.level")

[1] 0.95

Prof. Gurker (11/03/2015)

Aufgabe 1

Die folgenden (bereits geordneten) Daten sind Ausfallzeiten von n = 25 Komponenten:

28.8 44.2 58.4 66.0 74.3 78.5 81.8 83.1 85.7 89.890.3 91.9 92.4 94.2 98.9 99.2 103.5 105.1 108.4 108.7

113.0 119.6 120.9 129.5 140.9

(a) Bestimmen und zeichnen Sie das Histogramm der relativen Haufigkeiten auf Basis der Klas-seneinteilung: [20, 40], (40, 60], . . . , (140, 160].

(b) Bestimmen Sie x, s2 und s. (Hinweis:∑xi = 2307.1 und

∑x2i = 228508.2)

x =1

n

n∑i=1

xi =2307.1

25= 92.284 (183)

s2 =1

n− 1

n∑i=1

(xi − x)2 =1

n− 1

n∑i=1

(x2i − 2xxi + x2

)(184)

=1

n− 1

(n∑i=1

x2i − 2x

n∑i=1

xi + nx2

)= 649.99 (185)

s =√s2 = 25.495 (186)

(c) Bestimmen Sie das 0.8-Quantil (Typ 1 oder 2).

x0.8 = x(20) = 108.7 (187)

16

Histogramm

Wert

Häu

figke

it

20 40 60 80 100 120 140 160

0.00

00.

005

0.01

00.

015

0.02

0

Aufgabe 2

Die folgenden (bereits geordneten) Daten sind Ausfallzeiten von n = 25 Komponenten:

28.8 44.2 58.4 66.0 74.3 78.5 81.8 83.1 85.7 89.890.3 91.9 92.4 94.2 98.9 99.2 103.5 105.1 108.4 108.7

113.0 119.6 120.9 129.5 140.9

(a) Bestimmen Sie den Median und die Hinges.

x0.5 = x((n+1)/2) = x(13) = 92.4 (188)

x0.25 = x(7) = 81.8 (189)

x0.75 = x(19) = 108.4 (190)

(b) Bestimmen Sie die Fences (Skriptum S. 27)

LF = Q1 − 1.5(Q3 −Q1) = x0.25 − 1.5(x0.75 − x0.25) = 41.9 (191)

UF = Q3 + 1.5(Q3 −Q1) = x0.75 + 1.5(x0.75 − x0.25) = 148.3 (192)

(c) Bestimmen und zeichnen Sie den Boxplot. (Gibt es Ausreisser?)

Der Wert 28.8 ist ein Ausreisser (siehe Boxplot unten).

17

4060

8010

012

014

0Boxplot

Aufgabe 3

Die Dichte einer sG X ist gegeben wie folgt:

f(x) =

{4/x5 x ≥ 1

0 x < 1

Bestimmen Sie:

(a) die Verteilungsfunktion von X.

F (x) =

∫ x

−∞f(s)ds (193)

=

∫ x

14s−5ds =

(−s−4

)∣∣∣∣x1

(194)

= 1− 1

x4(195)

(b) die Wahrscheinlichkeit, dass X > 2.

P (X > 2) = 1− P (X ≤ 2) = 1− F (2) (196)

= 1−(

1− 1

16

)=

1

16(197)

18

(c) den Erwartungswert von X.

E(X) =

∫ ∞−∞

xf(x)dx (198)

=

∫ ∞1

x4x−5dx = 4

∫ ∞1

x−4dx (199)

= 4

(−1

3x3

)∣∣∣∣∞1

=4

3(200)

(d) die Varianz von X.

Var(X) = E(X2)− E(X)2 (201)

=

∫ ∞1

x24x−5dx− 16

9(202)

=

(−2

x2

)∣∣∣∣∞1

− 16

9= 2− 16

9=

2

9(203)

(e) Wie kann man auf Basis von U ∼ U(0, 1) Beobachtungen von X generieren?

Mittels Inversionsmethode (F−1(x) berechnen).

Aufgabe 4

Ein Seriensystem besteht aus 5 Komponenten. Die Lebensdauern Xi der Komponenten fol-gen unabhangigen Exponentialverteilungen mit Mittelwert 120 Stunden. Bestimmen Sie fur dieLebensdauer X des Seriensystems:

(a) die Verteilungsfunktion (mit Herleitung).

Xi ∼ Fi(x), i = 1(1)5 (204)

X = min{X1, X2, X3, X4, X5} (205)

FX(x) = P (X ≤ x) (206)

= P (min{X1, X2, X3, X4, X5} ≤ x) (207)

= 1− P (min{X1, X2, X3, X4, X5} > x) (208)

= 1− P (X1 > x,X2 > x,X3 > x,X4 > x,X5 > x) (209)

= 1− P (X1 > x)P (X2 > x)P (X3 > x)P (X4 > x)P (X5 > x) (210)

= 1−5∏i=1

(1− P (Xi ≤ x)) (211)

= 1−5∏i=1

(1− Fi(x)) (212)

Fi(x) = 1− e−λix, λi =1

τi=

1

120(213)

FX(x) = 1−5∏i=1

(1− (1− e−λix)) = 1−5∏i=1

e−λix (214)

FX(x) = 1− e−∑5

i=1 λix = 1− e−x/24 (215)

19

(b) die Dichte. (Um Welche Verteilung handelt es sich?)

Es handelt sich um eine Exponentialverteilung.

fX(x) = λe−λx =1

24e−x/24 (216)

(c) den Erwartungswert, die Streuung und den Median.

E(X) = σ =1

λ= 24 (217)

F (x0.5) = 0.5 (218)

1− e−x/24 = 0.5 (219)

e−x/24 = 0.5 (220)

−x24

= ln(0.5) (221)

x0.5 = −24 ln(0.5) = 16.636 (222)

(d) Wie lautet ein R-Code zur Erzeugung von 10 Lebensdauern des Seriensystems (ausgehendvon generierten Lebensdauern der Komponenten)?

n = 10

x = numeric(n)

for (i in 1:n) {

k = rexp(n = 5, rate = 1 / 120)

x[i] = min(k)

}

Aufgabe 5

(a) Die gemeinsame Dichte von X und Y sei gegeben durch:

f(x, y) =

{4xy 0 < x < 1, 0 < y < 1

0 sonst

fx(x) =

∫ 1

0f(x, y)dy =

(2xy2

)∣∣∣∣10

= 2x (223)

fy(y) =

∫ 1

0f(x, y)dx =

(2x2y

)∣∣∣∣10

= 2y (224)

f(x, y) = fx(x)fy(y) = 4xy (225)

Dann sind X und Y :

2� unabhangig

2� unkorreliert

� nicht unabhangig aber unkorreliert

� weder unabhangig noch unkorreliert

20

(b) Fur zwei sGn X und Y gelte Y = aX + b (mit a > 0). Dann ist der Korrelationskoeffizientρxy von X und Y gegeben durch:

� ρxy = a 2� ρxy = 1 � ρxy = 0 � ρxy = −1

(c) X1, X2, . . . , Xn seien iid sGn mit Verteilungsfunktion F . Dann ist die Verteilungsfunktiondes Maximums der sGn gegeben durch:

� [1− F (x)]n � 1− Fn(x) � 1− [1− F (x)]n 2� Fn(x)

(d) X und Y seien bivariat normalverteilt: (X,Y ) ∼ N2(0, 0, 1, 1, ρ = 1/2). Dann sind diebedingten Erwartungswerte gegeben durch?

E(Y | x) = µ2 + ρσ2σ1

(x− µ1) =x

2(226)

E(X | y) = µ1 + ρσ1σ2

(y − µ2) =y

2(227)

(e) X1, X2, . . . , Xn sei eine Stichprobe aus einer Verteilung mit Mittelwert µ und Varianz σ2.Fur grosses n gilt nach dem ZGVS fur den Stichprobenmittelwert X = 1

n

∑ni=1Xi:

� X ≈ N(µ, σ2) � X ≈ N(nµ, nσ2) 2� X ≈ N(µ, σ2/n

)Aufgabe 6

Die folgenden Werte sind (unabhangige) Beobachtungen einer exponentialverteilten sG X ∼Exp(τ) (mit Mittelwert τ):

29.4 3.6 14.3 4.8 8.1 3.4

(a) Wie lautet der Momentschatzer von τ?

τ =1

n

n∑i=1

Xi =63.6

6= 10.6 (228)

21

(b) Bestimmen Sie den ML-Schatzer von τ (mit Herleitung).

f(x) =1

τe−x/τ (229)

L(τ) =

n∏i=1

f(xi; τ) =

n∏i=1

1

τe−xi/τ (230)

=

(1

τ

)n n∏i=1

e−xi/τ =

(1

τ

)ne−

∑ni=1(xi/τ) (231)

=1

τne(−1/τ)

∑ni=1 xi (232)

l(τ) = ln (L(τ)) = ln

(1

τn

)+ ln

(e(−1/τ)

∑ni=1 xi

)(233)

= −n ln(τ)− 1

τ

n∑i=1

xi (234)

l′(τ) =−nτ

+1

τ2

n∑i=1

xi (235)

l′(τ) = 0 =⇒ −nτ +

n∑i=1

xi = 0⇐⇒ τ =1

n

n∑i=1

xi (236)

(c) Ist der ML-Schatzer erwartungstreu und konsistent? (Begrundete Antworten!)

(i) Erwartungstreue

E(τ) = τ (237)

E(τ) = E

(1

n

n∑i=1

xi

)=

1

nE

(n∑i=1

xi

)(238)

=1

n

n∑i=1

E(xi) =1

n

n∑i=1

τ =nτ

n(239)

= τ (240)

(ii) Konsistenz

τnP−→ τ fur n −→∞ (241)

1

n

n∑i=1

XiP−→ E(X) (GGZ) (242)

τn =1

n

n∑i=1

XiP−→ E(X) = τ (243)

(d) Bestimmen Sie auf Basis von (b) einen Schatzer fur den Median von X.

F (x0.5) =1

2(244)

1− e−x/τ =1

2⇐⇒ x0.5 = τ ln(2) (245)

x0.5 = x = 7.347 (246)

22

Aufgabe 7

Die folgenden n = 8 Beobachtungen stammen von einer Normalverteilung N(µ, σ2) mit unbe-kanntem Mittelwert µ und unbekannter Varianz σ2:

123 127 127 110 111 138 124 115

(a) Bestimmen Sie die Schatzwerte fur µ und fur σ2. (Hinweis: Nehmen Sie unverzerrte Schatzer.)

µ = x =1

n

n∑i=1

xi (247)

=975

8= 121.875 (248)

σ2 = s2 =1

n− 1

n∑i=1

(xi − x)2 (249)

=624.875

7= 89.268 (250)

(b) Bestimmen Sie ein 90%-Konfidenzintervall fur den Mittelwert µ.

KI : Xn ± tn−1;1−α/2Sn√n

(251)

t7;0.95 = 1.895 Sn = 9.448 (252)

KI : 121.875± 1.895× 9.448√8

(253)

KI : (115.545, 128.205) (254)

(c) Bestimmen Sie ein 90%-Konfidenzintervall fur die Streuung σ.

KI :

(√(n− 1)S2

n

χn−1;1−α/2,

√(n− 1)S2

n

χn−1;α/2

)(255)

χ7;0.95 = 14.067 χ7;0.05 = 2.167 (256)

KI :

(√624.875

14.067,

√624.875

2.167

)(257)

KI : (6.665, 16.981) (258)

(d) Lasst sich behaupten, dass der Mittelwert grosser als 120 ist? Testen Sie dazu die folgendenHypothesen (zum Niveau α = 10%):

H0 : µ = 120 gegen H1 : µ > 120

H0 verwerfen, falls T0 > tn−1;1−α (259)

T0 =Xn − µ0Sn/√n

t7;0.9 = 1.415 (260)

T0 =1.875

3.340= 0.561 (261)

T0 < t7;0.9 =⇒ H0 nicht verwerfen (262)

Die Behauptung lasst sich nicht vertreten.

23

Aufgabe 8

Die folgende Tabelle ist die Zusammenfassung einer Stichprobe der Grosse 50 von einer sG Xmit Merkmalraum M = {0, 1, 2, 3}.

x 0 1 2 3

Haufigkeit 12 20 14 4

(a) Ist die Binomialverteilung mit n = 3 und p = 1/2 ein geeignetes Modell? Nehmen Sie denChiquadrat-Anpassungstest mit α = 10%.

p(k) =

(n

k

)pk(1− p)n−k (Binom. Vert.) (263)

Klasse Xi pi0 npi0 (Xi − npi0)2/npi00 12 0.125 6.25 5.29

1 20 0.375 18.75 0.083

2 14 0.375 18.75 1.2033 4 0.125 6.25 0.81

Summe 50 1 50 7.387

Qk−1 =

k∑i=1

(Xi − npi0)2

npi0(264)

Q2 = 7.387 (265)

H0 verwerfen, falls Qk−1 > χ2k−1;1−α

χ22;0.9 = 4.605 (266)

Q2 > χ22;0.9 (267)

H0 wird verworfen, es handelt sich nicht um ein geeignetes Modell.

(b) R-Code zum obigen Test?

dat = c(rep(0, 12), rep(1, 20), rep(2, 14), rep(3, 4))

class.2 = cut(dat, breaks = c(-1,0,1,2,3))

result = chisq.test(table(class.2), p = dbinom(c(0, 1, 2, 3), 3, 1/2))

(c) Der p-Wert des obigen Tests betragt 0.061. Was bedeutet dieser Wert? Wie wird er berech-net?

(i) Der p-Wert einer H0 ist der grosste Wert von α, fur den die H0 nicht verworfen wird.

24

(ii) Berechnung

p-Wert = P (χ2(k − 1) ≥ Qk−1) (268)

F (x; k) =γ(k/2, x/2)

Γ(k/2)(269)

Γ(t) =

∫ ∞0

xt−1e−xdx (270)

Γ(n) = (n− 1)! ∀n > 0 (271)

γ(s, x) =

∫ x

0ts−1e−tdt (272)

p-Wert = F (7.387, 3) =γ(3/2, 7.387/2)

Γ(3/2)(273)

p-Wert = 0.0605 (274)

25