Quantentheorie - Physikalischer Verein · 2018-02-01 · Quelle: Wikipedia Quelle: 1896 entdeckte...
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Seminar des Physikalischen Vereins
Frankfurt am Main
2018
Rainer Göhring
Quantentheorie
Das Atom-Modell
Atom-Modell von Thomson (1904)
© Dr. R. Göhring [email protected] I 2
Plumpudding- oder Rosinenkuchen-Modell des Atoms
Entdeckung der Radioaktivität
© Dr. R. Göhring [email protected] III 3
Quelle: Wikipedia
ANTOINE HENRI BECQUEREL (1852-1908) entdeckte 1876 bei
seinen Experimenten mit Phosphoreszenz von Uran-
salzen, daß sie eine Strahlung aussenden, die überhaupt
nichts mit Licht – elektromagnetischen Wellen – zu tun
hat. Er nannte diese unbekannte Strahlung
„Uranstrahlung“.
MARIE CURIE (1867-1934) erforschte zusammen mit ihrem Ehemann PIERRE CURIE (1859-1906) die
„Becquerelstrahlung“ an unterschiedlichen Stoffen.
Sie nannten die Stoffe, die Strahlung aussenden
„radioaktiv“. Dabei entdeckten sie die Elemente
Radium und Polonium.
1903 erhielten sie zusammen mit Becquerel den
Nobel-Preis für Physik.
ERNEST RUTHERFORD (1871-1937)
© Dr. R. Göhring [email protected] III 4
Quelle: Wikipedia
ERNEST RUTHERFORD – ein Student von Thomson –
untersuchte das Durchdringungsvermögen der
Uran-Strahlung an hauchdünnen Metallfolien aus
Rauchgold, eine Legierung aus Kupfer und Zink.
1903 teilte er die Radioaktivität in 3 verschiedene
Arten von Strahlung auf:
• Alpha-Strahlen,• Beta-Strahlen und• Gamma-Strahlen
Je nach positiver, negativer oder neutraler
Ablenkung im Magnetfeld.
An dem Element Thorium entdeckte er den
Zerfall in ein anderes Element – Transmutation –
und definierte die „Halbwertszeit“.
1908 erhielt er den Nobel-Preis für Chemie.
Streuversuche mit Alpha-Strahlen
1908 fanden RUTHERFORD und sein Assistent HANS GEIGER (1882-1945) die
Erklärung für die Alpha-Strahlung: sie bestand aus Helium-Atomen, die ihre
Elektronen verloren hatten.
GEIGER erhielt den Forschungsauftrag, die Streuung von Alpha-Teilchen beim
Durchgang durch Goldfolie zu untersuchen.
© Dr. R. Göhring [email protected] I 5
Quelle: www.uniterra.de
Quelle: Wikipedia
Atom-Modell von Rutherford
© Dr. R. Göhring [email protected] III 6
RUTHERFORDs Streuformel enthielt eine Zahl
Z, deren Wert sich bei unterschiedlichen
Materialen als ungefähr halbe Massenzahl A
der Atome herausstellte.
Da Atome (normalerweise) neutral sind,
konnte man schließen, daß die Anzahl der
positiven Ladungen des Kern gleich der
Anzahl der Elektronen im Atom des
Elementes sein muß.Quelle: Wikipedia
Die Stellung eines Elementes im Periodensystem ist demnach nicht durch die
Massenzahl A, sondern durch Kernladungszahl (= Ordnungszahl) Z bestimmt
A 12
Z 6C C und A Z N
Einfluß des Magnetfeldes auf Strahlung
© Dr. R. Göhring [email protected] III 8
Quelle: https://de.slideshare.netQuelle: Wikipedia
1896 entdeckte PIETER ZEEMAN den Einfluß von Magnetfelder auf die Lichtemission, indem
gewisse Spektrallinien aufspalten.
Die dazu von H.A. LORENTZ entwickelte Theorie zeigte, daß die „Elementarzentren der
Strahlung“ Elektronen sein mußten. Man stellte sie sich als „Vibratoren“ vor, die elektro-
magnetische Wellen aussenden.
Als einfachstes Modell solch eines „Vibrators“ stellte man sich ihn als harmonischen Oszillator
vor, mit dessen Modell man zahlreiche optische Escheinungen befriedigend erklären konnte.
Elektromagnetische Strahlung des linearen Oszillators
© Dr. R. Göhring [email protected] III 9
Eine negative Ladung (Elektron) führe um eine sehr große
Masse mit gleicher (absoluter) Ladung Schwingungen aus. Das
System stellt einen harmonischen Oszillator dar und elektrisch
ist es ein Dipol, der elektromagnetische Strahlung der Intensität
I aussendet:2 2
2
3 2
e xI sin
4 c R
Unharmonischer Oszillator
© Dr. R. Göhring [email protected] III 10
Harmonischer Oszillator: mx=-k x
0x(t) a sin t
Unharmonischer Oszillator: x+f(x)=0
0 0 1 0 2 0 3 0x(t) a sin t a sin2 t a sin3 t a sin4 t
Wasserstoff-Spektrum
JOHANN JAKOB BALMER (1825-1898) entdeckte 1885 eine mathematische
Gesetzmäßigkeit in der Anordnung der Spektrallinien des Wasserstoffes, die
die Anordnung der Spektrallinien im sichtbaren Bereich sehr gut wiedergibt:
© Dr. R. Göhring [email protected] I 11
2 o
2
nB mit B 3645,6 A
n 4
Nutzt man statt der Wellenlänge λ deren Kehrwert = Wellenzahl:
2
1 4 1 1n 3,4,5
B 4 n
Mit 4/B =R, der Rydberg-Konstanten, ergibt sich schließlich:
© Dr. R. Göhring [email protected] III 12
Quelle: Spektrum.de
Balmer-Serie: 2 2
1 1R n 3,4,5
2 n
Lymann-Serie (entdeckt 1906) 2 2
1 1R n 2,3,4
1 n
2 2
1 1R n 4,5,6
3 n
Paschen-Serie (entdeckt 1908)
2 2
1 1R n m 1,m 2,m 3
m n
allgemein:
Lange Zeit wurden die Gesetzmäßigkeiten in den Spektren des Wasserstoffatoms als reines Zahlenspiel angesehen; erst NIELS BOHR erkannte, daß sie ein Zeichen für die inneratomaren Vorgänge sein mußten und daß aus ihnen auf die Quanten-gesetze geschlossen werden kann, die den inneren Aufbau der Atome bestimmen.
BOHRsches Atom-Modell
© Dr. R. Göhring [email protected] III 13
NIELS BOHR (1885-1962) publizierte 1913 nach seiner Rückkehr vom RUTHERFORD-Labor einen 3-teiligen Artikel mit dem Titel: „On the Constitution of Atoms and Molecules”, in dem er zwei grundsätzliche Postulate zu seinem Atom-Modell formuliert:
1. Atome und Atomsysteme können für die Dauer nur in bestimmten Zuständen, den stationären Zuständen, existieren.
• In diesen Zuständen haben die Atomsysteme Energiewerte, die eine diskrete Folge E1, E2,. . . En
bilden.• Die stationären Zustände werden durch ihre Stabilität
charakterisiert.• Energieänderungen infolge Absorption oder Emission
elektromagnetischer Strahlung oder infolge von Stößen können nur bei einem Übergang (Sprung) aus einem dieser Zustände in einen anderen erfolgen.
2. Beim Übergang aus einem stationären Zustand in einen anderen emittieren oder absorbieren die Atome nur eine Strahlung bestimmter Frequenz. Die Frequenz wird
durch die Bedingung bestimmt:
m n m nh E E E E
Quelle: Wikipedia
Quantisierung des Bahndrehimpulses
© Dr. R. Göhring [email protected] III 14
Quelle: http://scitech.au.dk
NIELS BOHR erhielt den entscheidenden Anstoß zu
seiner Theorie durch einen Artikel des Mathematikers
J.W. NICHOLSON, in dem er nachwies, daß der Bahn-
Drehimpuls p eines Elektrons bei seiner Bewegung
um den Kern nur diskrete Werte annehmen kann:
hp n n
2
BOHR behandelt die Bewegung eines Elektrons um einen Kern mit Z positiver
Ladung genau wie die eines Planeten um die Sonne, nur daß nicht die
Gravitation für die Anziehung verantwortlich ist, sondern die Coulomb-Kraft.
Die Ladung des Kerns wird als +Z·e angenommen, umkreist von einem
Elektron der Ladung –e, ein wassertoffähnliches Atom.
Atom-Modell
© Dr. R. Göhring [email protected] III 15
Aus der klassischen Physik kommen die Gleichungen für die Bewegung des
Elektrons um den Kern:
Coulomb 2
0
Ze eK
4 a
Die Anziehungskraft des Kerns; a ist der Radius der Bahn und ε0 die
elektrische Feldkonstante:
2
zentrif e
vK m
a
Die Zentrifugalkraft der Bewegung des Elektrons der Masse me und der
Geschwindigkeit v um den Kern:
Als neue Komponente kommt hinzu, daß auf atomarer Ebene der Drehimpuls
nur diskrete Werte annehmen kann:
2
e
hp 2 m a n
2
„Erlaubte“ Bahnen
© Dr. R. Göhring [email protected] III 16
Quelle: http://scitech.au.dk
Nutzt man die bisherigen Formeln, dann erhält
man die Bestimmungsgleichungen „erlaubter“
Bahnen für das Elektron: 2
2 0n 2
e
ha n
m Ze
Eine Beziehung, die nur universelle Konstanten erhält.
Für Z = 1 und n = 1 erhält man daraus den ersten Bohrschen Radius
a0 des Wasserstoffatoms, dessen Wert sich mit den aktuellen Werten
der Konstanten ergibt zu:2
1000 2
e
ha 0,52917721092 10 m
m e
Die n-te Bahn wasserstoffähnlicher Atome ist dann: 2 0
n
aa n
Z
Energiewerte der Bahnen
© Dr. R. Göhring [email protected] III 17
Quelle: http://scitech.au.dk
Die Energie, die ein Elektron auf einer „erlaubten“
Bahn besitzt, wird wieder nach klassischer Manier
bestimmt:
2
kin e
1E m v
2
Mit der Bahngeschwindigkeit vn=an·ω= an·2πν
ergibt sich die kinetische Energie des Elektrons auf der n-ten Bahn zu:
2 4
en 2 2 2
0
m Z e1E
n 8 h
Mit der BOHRschen Frequenzbedingung ergibt sich die BALMER-Formel:
n kE E h hc
2 4
e
2 3 2 2
0
m Z e 1 1
8 h c k n
Rydberg-Konstante
© Dr. R. Göhring [email protected] III 18
2 4
e
2 3 2 2
0
m Z e 1 1
8 h c k n
Der Faktor vor der Klammer ist für den Fall Z = 1, das Wasserstoffatom, die
oben schon erwähnte Rydbergkonstante, die aber nun durch universelle
Konstanten bestimmt wird. In dieser Form wird sie als R∞ bezeichnet:
41e
2 3
0
m eR 10.973.731,568539m
8 h c
Für konkrete spektroskopische Untersuchungen an Wasserstoff muß man
allerdings berücksichtigen, daß der Kern im Verhältnis zum Elektron keine
unendliche Masse hat, es ist vielmehr:
Hh
ee
H
M R1836,15 R
mm1
M
RYDBERG-Energie
© Dr. R. Göhring [email protected] III 19
Wenn das Elektron von n-ten in den k-ten übergeht (n > k), wird die Energie ΔE = En – Ek frei, d.h.
n k 2 2
1 1E E E hcR
k n
Läßt man n gegen ∞ gehen und setzt k = 1, so erhält man den Betrag der
Energie, die frei wird, wenn ein Wasserstoffkern (= Proton) ein freies
Elektron einfängt, oder umgekehrt, die Energie die benötigt wird, um ein
Wasserstoffatom vollkommen zu ionisieren, die Ionisationsenergie, auch
RYDBERG-Energie Ry genannt:
yR hcR 13,60569253eV
Damit ergeben sich die verschiedenen Energieniveaus En, bezogen auf
den Grundzustand, zu
n y 2 2
1 1E R 1 13,6 1
n n
Termschema des Wasserstoffes
© Dr. R. Göhring [email protected] III 20
BOHR-SOMMERFELDsches Atom-Modell
© Dr. R. Göhring [email protected] III 21
Quelle: Wikipedia
Quelle:http://backreaction.blogspot.de/2007/12/hydrogen-spectrum-and-its-fine.html
Verbesserte Spektrographen zeigten bereits 1892, daß die
H -Linie des Wasserstoffspektrums aus 2 Komponenten
besteht (oberer Teil des Bildes).
Verbesserte Experimente wiesen in allen Wasserstoff-
Linien ebenfalls Dubletten nach. Heutige Messungen
zeigen, daß die „Feinstruktur“ der Linien noch komplexer
sind.
Mit dem bisherigen BOHRschen Modell war diese
„Feinstruktur“ nicht zu erklären.
Die Lösung fand ARNOLD SOMMERFELD (1868-1951), indem
er vorschlug, nicht nur Kreisbahnen für das Elektron,
sondern – wie bei Planeten auch – Ellipsen zu
betrachten.
Drehimpuls-Quantenzahl
© Dr. R. Göhring [email protected] III 22
Im Gegensatz zu einer Kreisbahn hat eine
Ellipse 2 Freiheitsgrade r und ; demnach
existieren hier 2 Bedingungen für den
quantisierten Drehimpuls pr und p , d.h. es
muß 2 verschiedene Quantenzahlen nr und n
geben. Für den Drehimpuls p gilt die gleiche
Formel wie bei der Kreisbahn:
hp n n
2
Sommerfeld fand eine Lösung, die die Exzentrizität der Bahn in Abhängigkeit
der Quantenzahlen nr und n beschreibt:
2
2
r2
r
n1 und n n n
n nn ist die Hauptquantenzahl
Azimutale Quantenzahl
© Dr. R. Göhring [email protected] III 23
Weiterhin zeigen SOMMERFELDs Berechnungen, daß die Energie und die
großen Halbachsen der Ellipsenbahnen nur von der Hauptquantenzahl n
abhängen:
22 20 0
n 2
e
h aa n n n 1,2,3,
Zm Ze
2 4
en 2 2 2
0
m Z e1E
n 8 h
Die große Halbachse an ist demnach für die unterschiedlichen Quanten-
zustände proportional zum Quadrat der Hauptquantenzahl n; die kleine
Halbachse wird demnach für die Unterschiede bestimmend sein.
2 0 0n
na ab n n nn
Z n Z
Die Größe der kleinen Halbachse bn bei der Hauptquantenzahl n läßt sich
leicht nach der Formel 2b a 1 berechnen
Entartung
© Dr. R. Göhring [email protected] III 24
Diese azimutalen Quantenzahlen n sind ganze Zahlen und hängen von der Hauptquantenzahl n ab. Für n = n ist die Bahn ein Kreis, für n = 0 entartet die Ellipse zu einer Geraden mit der Folge, daß das Elektron mit dem Kern zusammenstoßen würde. Erlaubte Werte sind demnach:
n 1,2,3, ,n
Aufhebung der Entartung
• Mit Hilfe der Ellipsen für die Bahnen n>1 der Elektronen ist zwar die Entartung der Energieniveaus mit der Hauptquantenzahl n beschrieben, aber da die verschiedenen Elektronenbahnen alle die gleiche Energie haben, ist eine Aufspaltung der Linien nicht möglich.
• Wie die Entartung aufgehoben werden kann, zeigte aber auch wieder SOMMERFELD 1916, indem er auf die Relativitätstheorie zurückgriff, die bekanntlich besagt, daß die Masse von der Geschwindigkeit abhängt:
• Wenn sich Elektronen auf Ellipsen-Bahnen bewegen, dann haben sie in der Nähe des Kerns – wie z.B. der Merkur in der Nähe der Sonne – eine höhere Geschwindigkeit und damit eine höhere Energie. Je exzentrischer die Ellipse desto ausgeprägter der Effekt.
• Damit konnte Sommerfeld die Aufspaltung der Wasserstoff-Linien quantitativ beschreiben. Dabei spielt die „Feinstrukturkonstante“ eine wichtige Rolle:
© Dr. R. Göhring [email protected] III 25
0
2
2
mm(v)
v1
c
2
0
Geschwindigkeit desElektronsauf der1.Bohrschen Bahn
Lichtgeschwindigkeit
e 1
2 hc 137
Zeeman-Effekt
© Dr. R. Göhring [email protected] III 27
Quelle: WikipediaQuelle: https://de.slideshare.net
Magnetische Quantenzahl
© Dr. R. Göhring [email protected] III 28
Die ursprüngliche BOHRsche Theorie konnte die Aufspaltung der Linien bei Anwesenheit eines Magnetfeldes nicht erklären; es war wieder SOMMERFELD, der eine Lösung fand. Bisher wurde die Bewegung des Elektrons nur in einer Ebene betrachtet:2 Freiheitsgrade; tatsächlich findet die Bewegung im Raum statt: 3 Freiheitsgrade!
Sommerfelds Definition der Quantenzahl m: n ·cos = m:
die möglichen Winkel , die z.B. bei gegebenem n = 2 zu ganzzah-ligen Werten von m führen, sind:
cos 1
cos 1 / 2
cos 0
cos 1 / 2
cos 1
m 2
m 1
m 0
m 1
m 2
Zahl der Energiezustände
• Allgemein gilt demnach für die Werte, die die magnetischen Quantenzahl m bei gegebenem n annehmen kann:
• In der Quantenmechanik wird n durch die Drehimpulsquantenzahl l ersetzt und entsprechend m durch die magnetische Quantenzahl ml.
Die Anzahl N der möglichen Energiezustände der Elektronen innerhalb einer Hauptquantenzahl n ist dann:
© Dr. R. Göhring [email protected] III 29
m n , (n 1), ,(n 1),n
lm l, (l 1), ,(l 1),l
n 12
0
N 2l 1 n
n l ml N
1 K 0 s 0 1
2 L 01
sp
0-1, 0, +1
4
3 M 012
sPd
0-1, 0,+1
-2, -1, 0,+1, +2
9
4 N 0123
spdf
0-1, 0,+1
-2, -1, 0,+1, +2-3, -2, -1, 0,+1, +2, +3
16
• Im Jahr 1922 führten OTTO STERN (1888-1969) und WALTHER GERLACH (1889-1979) den Versuch zum Nachweis der Richtungsquantisierung in den Räumen des Physikalischen Vereins durch.
• Es war bekannt, daß ein Silber-Atom ein Valenz-Elektron besitzt und daher ein meßbares magnetischen Moment erzeugen muß.
• Wenn die BOHRsche Theorie stimmt, müßte ein Silberstrahl in einem inhomogenen Magnetfeld aufgespalten werden, denn das magnetische Moment des Elektrons muß quantisiert sein.
• Tatsächlich wurde eine Aufspaltung des Strahl beobachtet und so, unabhängig von spektroskopischen Versuchen, die Quanteneigenschaften von Atomen nachgewiesen.
• Otto Stern erhielt für diese Versuche 1943 den Nobelpreis für Physik.
• Eine Tafel am Haus des Physikalischen Vereins erinnert an den berühmten Versuch.
Stern-Gerlach Versuch
© Dr. R. Göhring [email protected] III 30
Schalen-Modell
© Dr. R. Göhring [email protected] III 31
NIELS BOHR entwickelte 1922 sein „Schalenmodell“ für Atome mit einer Ordnungszahl – Anzahl der Protonen – gößer 1:
• Die chemische Stabilität der Edelgase war für ihn ein Hinweis, daß sich die Elektronen in abgeschlossenen „Schalen“ resp. Energieniveaus befinden müssen.
• SOMMERFELD nannte das Schalenmodell „als den größten Fortschritt im Atombau seit 1913“.
• Die Folge Ordnungszahlen der der Edelgase 2, 10, 18, 36, 54 und 86 - die Anzahl der Protonen im Kern und damit die Anzahl der Elektronen - und nach Bohr der Hinweis auf eine abgeschlossene Schale, ließ sich aber nicht mathematisch erklären , warum sie genau so und nicht anders ist.
• Im gleichen Jahr 1922 erhielt Niels Bohr den Nobel-Preis für Physik.
• 1924 veröffentlichte E.C. STONER (1899-1968) einen Artikel, in dem er die Hypothese aufstellte, daß in einer abgeschlossenen Schale die Zahl der Elektronen doppelt so groß sei, wie die Anzahl der Energiezustände
N = 2·n2
Das PAULI-Prinzip - Ausschließungsprinzip
© Dr. R. Göhring [email protected] III 32
Quelle: Wikipedia
WOLFGANG PAULI (1900-1958) machte dazu einen überraschenden Vorschlag: den Elektronen mußte eine vierte Quantenzahl zugewiesen werden, die aber nur zwei Werte annehmen kann:
• vorläufige Bezeichnung „Zweideutigkeit“ und
• diese neuen Zustände erklärten ihm plötzlich die bislang unerklärlichen Aufspaltungen der Spektrallinien im anomalen Zeeman-Effekt.
• Pauli formulierte aufgrund dieser vierten Quantenzahl das Ausschließungsprinzip, ein wichtiges Naturgesetz, das aussagt, daß in einem Atom keine zwei Elektronen die gleichen vier Quantenzahlen haben können.
• In seiner Veröffentlichung 1925 mit dem Titel „Über den Zusammenhang des Abschlusses der Elektronengruppen im Atom mit der Komplex-struktur der Spektren“ räumt er offen ein: ". . . eine nähere Begründung für diese Regel können wir nicht geben“.
• Er erhielt 1945 den Nobel-Preis für das Ausschließungsprinzip.
Aufbauprinzip
© Dr. R. Göhring [email protected] III 33
Wenn auch nicht erklärbar, so erlaubte es doch, die Regeln für die Besetzung der Elektronenschalen im BOHRschen Atommodell zu beschreiben, die verhindern, daß sich alle Elektronen in der Schale mit der niedrigsten Energie befinden.
• Das Ausschließungsprinzip erklärt dadurch die Reihenfolge der Elemente im Periodensystem, indem nach ihm die Energieniveaus vom niedrigsten angefangen sukzessiv mit Elektronen besetzt werden. Die letzten, nicht vollständig abgeschlos-senen Energieniveaus bestimmen dann die chemischen Eigenschaften des Elementes.
• Das Aufbauprinzip – die Regel für die sukzessive Besetzung der Energieniveaus –unterliegt allerdings komplizierteren Regeln, die mit dem BOHR-SOMMERFELDschenAtommodell inclusive Pauli-Prinzip nicht mehr exakt darstellbar sind; dazu sind die Methoden der Quantenmechanik erforderlich.
Spin-Quantenzahl
© Dr. R. Göhring [email protected] III 34
Quelle: http://www.sciencephoto.com
Was Pauli noch nicht begründen konnte, lieferten 1925 die beiden Doktoranden an der Universität LeidenG.E. UHLENBECK (1900-1988) und S.A. GOUDSMIT (1902-1978) in Form einer verwegenen Idee:
• Sie schlugen vor, daß die von Pauli angenommene Eigenschaft der „Zweideutigkeit“ nicht nur eine zusätzliche Quantenzahl benötigt, sondern daß sie eine inhärente Eigenschaft der Elektronen ist.
• Sie bezeichneten sie als Spin (Drall), ein zusätzlicher Eigendrehimpuls, der dem Elektron selbst zugeordnet ist mit dem Wert der Spin-Quantenzahl ms
• Die Vorstellung eines sich drehenden Elektrons stieß auf entschiedenen Widerspruch nicht zuletzt bei Pauli, denn das Elektron müßte so schnell rotieren, daß die Oberflächengeschwindigkeit ein Vielfaches der Lichtgeschwindigkeit ausmachen würde, oder aber der Elektronenradius müßte unverhältnismäßig groß angenommen werden, was alles im Widerspruch zu physikalischen Tatsachen steht.
s
1m
2
Korrespondenzprinzip
• In BOHRs Artikel von 1918 mit dem Titel „On the quantum theory of line-spectra“ postuliert
er, daß bei großen Quantenzahlen n die nach der klassischen Maxwellschen Theorie
berechnete Strahlungsfrequenz des Elektrons auf der n-ten Bahn gleich sein muß mit der
nach der Quantentheorie für den Übergang von n → n-1 berechneten.
• Nach der klassischen Theorie ist die Strahlungsfrequenz des Elektrons auf der n-ten Bahn
• Es läßt sich zeigen, daß für große Werte von n diese Bedingung tatsächlich erreicht wird:
• Für BOHR ist diese Tatsache – der Übergang von der Quantentheorie zu der klassischen
Theorie – kein Zufall, sondern eine notwendige Verbindung beider Theorien, von ihm
Principle of Correspondence – Korrespondenzprinzip – genannt.
© Dr. R. Göhring [email protected] III 35
2
kl 3
2Z R c
n
22
2 2 n 1 2
qu 2 2 2 32
n n 11 1 2Z R c Z R c Z R c
n nn 1 n 1 n
Korrespondenzprinzip
© Dr. R. Göhring [email protected] III 36
Um am Beispiel des Wasserstoffes zu bestimmen, bei welchem n der Übergang im Sinne des Korrespondenzprinzips stattfindet, berechnet man nach der Maxwellschen Theorie die Frequenzen kl(n) der n-ten und kl(n-1) der (n-1)-ten Bahn. Diese setzen wir jeweils ins Verhältnis zu der quantentheoretisch berechneten qu(n→n-1):
kl kla e
qu qu
(n) (n 1)Q (n) und Q (n 1)
(n n 1) (n n 1)
Korrespondenzprinzip
• Für das Wasserstoffatom bedeutet das z.B., daß erst jenseits des 10.000-fachen ersten Bohrschen Radius a0 beide Betrachtungsweisen gleich werden.
• Das Beispiel zeigt einen allgemeinen Sachverhalt in dem Sinne, daß im Fall sehr kleiner Massen und Abmessungen das Plancksche Wirkungsquantum eine Rolle spielt und der Quantencharakter der Erscheinungen zum Tragen kommt.
• Das bedeutet, daß die physikalische Größe der Wirkung I des Systems in diesem Fall in der gleichen Größenordnung wie die kleinste Wirkung h ist.
• Ist in einem System die Wirkung aber so groß, daß man h ≈ 0 annehmen kann, dann gelten die Gesetze der klassischen Mechanik.
• Das Korrespondenzprinzip fordert, daß jede nichtklassische Theorie im Grenzfall in die entsprechende klassische Theorie übergeht.
© Dr. R. Göhring [email protected] III 37
I Energie Zeit oder Impuls Weglänge
Grenzen des BOHRschen Atom-Modells
© Dr. R. Göhring [email protected] III 38
Der Versuch scheiterte, eine adäquate Theorie für das
Helium-Atom aufzubauen, ein vergleichsweise einfaches
Atom mit einem Kern und zwei Elektronen.
In der klassischen Himmelsmechanik existiert mit
der Störungsrechnung eine erprobte Näherungs-
methode, um ein Dreikörperproblem zu lösen.
An dem Versuch aber mit der BOHRschen Theorie das
Heliumproblem zu knacken, scheiterte schon
WOLFGANG PAULI in seiner Dissertation.
Intensität der Wasserstofflinien
© Dr. R. Göhring [email protected] III 39
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
eV13,53
972,5
4
1025,8
3
1215,6
8
Lym
an-S
erie [
Å]
65
62,7
9
4861,3
3
4340.4
7
4101,7
4
3970,0
7
Balm
er-
Serie [Å
]
Ha Hb Hg Hd H
Paschen
-Serie [Å
]
1
2
3
4
Mittlere Lebensdauer t des
angeregten
Zustandes ≈ 10-7 bis 10-9 sec
Intensität I der Linien I 1/t
Eigenbreite der Linien ≈ 10-4 Å
© Dr. R. Göhring [email protected] III 40
21 cm-Linie des Wasserstoffes
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
eV13,53
972,5
4
1025,8
3
1215,6
8
Lym
an-S
erie [
Å]
65
62,7
9
4861,3
3
4340.4
7
4101,7
4
3970,0
7
Balm
er-
Serie [Å
]
Ha Hb Hg Hd H
Paschen
-Serie [Å
]
1
2
3
4
21 cm
0,00005869 eV
Mittlere Lebensdauer des
angeregten
Zustandes ≈ 107 Jahre