Ralf Kampmann Muster & Strukturen in der Grundschule ... · Rathgeb-Schnierer 2007). Struktur...

Ralf Kampmann

Muster &

Strukturen in der

Grundschule Klasse 1–2

Musterfolgen

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Muster & Strukturen in der Grundschule

Klasse 1–2Musterfolgen

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Muster und Strukturen im Mathematik-unterricht der Grundschule

Einführung von Miriam M. Lüken

Muster und Strukturen sind ein grundlegendes Prinzip des Mathematikunterrichts, insbesondere der Grundschule (vgl. Wittmann & Müller 2007). Deshalb finden wir sie in allen Schuljahren und in allen Inhaltsbe reichen. Wo genau Muster und Strukturen zu entdecken sind und warum sie für das Mathematiklernen so bedeutsam sind, wollen wir in dieser Aufgabensammlung aufzeigen.

1 Muster und Strukturen – Begrifflichkeiten

Lassen Sie uns zu Anfang überlegen, was wir unter einem „mathematischen Muster“ und unter „Struktur“ eigentlich verstehen. Die Begriffe scharf zu definieren ist schwer, da sie in Alltag und Mathematikunter-richt häufig synonym gebraucht werden. Möglicherweise hilft hier die Beschreibung von Eigenschaften weiter. So verbinden wir mit einem mathematischen Muster Merkmale wie Ordnung, Regelmäßigkeit, Wiederholung sowie Vorhersagbarkeit (vgl. Rathgeb-Schnierer 2007). Struktur beschreibt eher den Auf-bau, die Art und Weise, wie mathematische Objekte in Beziehung zueinander stehen.Noch fassbarer werden die Begriffe, wenn wir sie in die Sprache von Grundschülern übersetzen: Beim Mustererkennen entdecken Kinder Gemeinsamkeiten, beschreiben eine Regel, finden Wiederholun-gen, treffen Vorhersagen oder erkennen eine Anordnung als bekanntes Muster (z. B. Würfelfünf) wieder. Beim Strukturieren ordnen Kinder Plättchen, teilen Muster in (gleiche / überschaubare) Teile, stellen Beziehungen zwischen diesen Teilen her, beschreiben den Aufbau von geometrischen Mustern oder schönen Päckchen oder bringen Ziffernfolgen oder Aufgabenfolgen in eine Reihenfolge.Deutlich wird an dieser Auflistung auch, dass Muster und Strukturen eng verbunden mit dem „Tun“ sind. Strukturieren und Muster erkennen entsprechen damit den allgemeinen mathematischen Kompetenzen, die „sich in der lebendigen Auseinandersetzung mit der Mathematik [aller Inhalts-bereiche] zeigen und auf die gleiche Weise, in der tätigen Auseinandersetzung, erworben“ werden (KMK 2005, S. 7).

2 Warum sind Muster und Strukturen so wichtig?

Muster und Strukturen entlasten das Gedächtnis

Das Betrachten einzelner Zahlen, geometrischer Bilder und das Rechnen mithilfe von Zählstrategien beanspruchen das Gedächtnis stark. Wenn Strukturen innerhalb von Anzahlen erfasst, Muster in geometrischen Bildern erkannt und z. B. in einer Aufgabe wie 6 + 7 die Aufgabe 6 + 6 gesehen und dabei die Beziehung „1 mehr“ hergestellt werden kann, entlastet dies das Gedächtnis. Dass das Zu-sammenfassen (und damit das Strukturieren) von Dingen sowie das Erkennen und Bilden von Mustern nützlich ist, können Sie sich leicht am Beispiel von Telefonnummern verdeutlichen. Wie würden Sie sich die Nummer 585858 merken?Wahrscheinlich als 58 58 58 und eher nicht als 585 858. Im Gegensatz dazu macht es bei der Num-mer 588588 Sinn, sie in 588 588 zu gliedern, anstatt in 58 85 88, oder? (vgl. Philipp 2015)

Muster- und Strukturfähigkeiten und arithmetische Leistung hängen zusammen

Es wird vermutet, dass leistungsstärkere Kinder gerade deshalb so gut in Mathematik sind, weil sie von sich aus strukturieren, Muster entdecken und Beziehungen herstellen. Kinder mit Schwierigkei-ten beim Rechnen sind hingegen weniger gut in der Lage, Muster und Strukturen zu erkennen und zu nutzen. Diesen Zusammenhang zeigen auch mehrere aktuelle Studien. Als Beispiel sei hier die Untersuchung von Lüken (2012) angeführt, die zeigt, dass Schulanfänger mit schwachen Muster- und Strukturfähigkeiten nach zwei Jahren Unterricht auch zu den schwächsten Rechnern gehören. Mustererkennungs- und Strukturierungsfähigkeit sind also grundlegende Fähigkeiten zum Rechnen-

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Lernen. Das Gute ist: Muster- und Strukturfähigkeiten lassen sich fördern und führen gleichzeitig zu einer Verbesserung der Rechenkompetenz (siehe dazu die Studie von Kampmann & Lüken, in Druck).

3 Welchen mathematischen Mustern und Strukturen begegnen Kinder in der Grundschule?

Betrachten wir die mathematischen Inhalte durch eine Musterbrille, entdecken wir überall Muster und Strukturen. Um sie einfacher ausmachen und zuordnen zu können, unterscheiden wir sie im Fol-genden in die drei Bereiche Musterfolgen, Muster und Strukturen in Zahldarstellungen sowie Muster und Strukturen beim Rechnen.

3.1 Musterfolgen

Musterfolgen sind meist lineare Anordnungen aus Gegenständen, geometrischen Formen, farbigen Objekten oder Symbolen. Sie lassen sich unterscheiden in die sich wiederholenden und die wachsen-den Musterfolgen.

Abbildung 1: Sich wiederholende Musterfolge

Bei der sich wiederholenden Musterfolge in Abb. 1 besteht die Struktur aus dem Grundmuster Kreis–Dreieck, das unverändert immer wiederholt wird und so die Musterfolge erzeugt. In diesem Sinne sind beispielsweise auch die Tage der Woche, die Jahreszeiten, ein Bandornament und viele Mosaike sich wiederholende Musterfolgen. Das Grundmuster ist die kleinste Einheit der Elemente einer Mus-terfolge, es besitzt eine bestimmte Länge. Die Musterfolge ABABAB … beispielsweise hat wie die Musterfolge in Abb. 1 ein Grundmuster der Länge 2 (AB), die Musterfolge ABCABC … hingegen besitzt ein Grundmuster der Länge 3 (ABC).Musterfolgen mit der gleichen Struktur sind miteinander „verwandt“. Die Musterfolge Kreis, Dreieck, Kreis, Dreieck, … ist z. B. verwandt mit rot, blau, rot, blau, …. Eine „Übersetzung“ einer Musterfolge von einer Darstellungsform in eine andere verändert nicht ihre entscheidende strukturelle Beschaf-fenheit (vgl. Lüken 2011).Neben dem Beschreiben, Fortsetzen, Reparieren und Erfinden von Musterfolgen ist das Übersetzen in andere Darstellungsformen (z. B. von Farben in Formen, von realen Gegenständen auf Papier oder das Darstellen von Mustern mithilfe von Bewegungen) eine bedeutsame Aktivität beim Vergleichen und Entdecken struktureller Verwandtschaft von Mustern. Damit Kinder mithilfe von Musteraktivi-täten lernen zu verallgemeinern, Beziehungen zu erkennen, Vorhersagen zu treffen und Regeln zu abstrahieren, ist es ganz wichtig, dass die Kinder das Grundmuster der Musterfolge wahrnehmen. Lassen Sie das Grundmuster explizit benennen, einkreisen, von den Kindern erklären und verglei-chen Sie verschiedene Musterfolgen in Bezug auf ihr Grundmuster. Eine Sprechweise wie „immer ein Dreieck, ein Quadrat und ein Kreis“ ist für eine Grundmuster-Sichtweise sehr viel hilfreicher als „nach Kreis kommt Quadrat, nach Quadrat kommt Dreieck, nach Dreieck kommt Kreis usw.“. Dies hat auch wieder etwas mit Gedächtnisentlastung zu tun. Es benötigt sehr viel weniger Merkprozesse, sich die (drei) Objekte des Grundmusters zu merken, als die wechselseitigen Beziehungen zwischen den Objekten in einer schwer überschaubaren Reihenfolge zu reproduzieren.Eine Grundmuster-Sichtweise wird in der mathematikdidaktischen Forschung übrigens in einen Zusammenhang gebracht mit der Fähigkeit zum Zählen in Schritten sowie einem Verständnis von Multiplikation und Messen (vgl. Ginsburg et al. 2006; Mulligan & Mitchelmore 2009).Bandornamente und Parkette sind weitere Beispiele für sich wiederholende Musterfolgen. Aber auch in achsen- oder drehsymmetrischen Figuren lässt sich ein Grundmuster identifizieren und durch Um-klappen an einer Achse oder Drehen um einen Punkt die Gesamtfigur, das Muster, erzeugen.Übungen mit sich wiederholenden Musterfolgen finden Sie in den Aufgaben 1, 2, 3, 9 und 11.

Abbildung 2: Wachsende Musterfolge

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Muster, deren Folgenglieder systematisch bei jeder Wiederholung wachsen, nennt man wachsende Musterfolgen. Das wachsende Muster in Abb. 2 ist eine geometrische Darstellung der Folge der na-türlichen Zahlen. Zahlenfolgen wie 1, 3, 5, 7, … sind weitere typische Beispiele. Bei den wachsenden Musterfolgen liegt das Augenmerk weniger auf dem Grundmuster als Baustein, sondern auf der Beziehung aufeinanderfolgender Glieder und dem Vergleich ihrer Veränderung, um die Regel der Veränderung zu finden. Eine arithmetische Analyse der Folgenglieder ist hierfür unumgänglich. Der Musterfolge in Abb. 2 liegt als Regel „Immer 1 mehr“, bzw. „Immer +1“ zugrunde.Ein früher Umgang mit Zahlenfolgen zielt langfristig auf ein Verständnis von Algebra und Funktionen. Übungen mit wachsenden Musterfolgen finden sich in den Aufgaben (11), 14 und 17.

3.2 Muster und Strukturen in Zahldarstellungen

Im Mathematikunterricht nutzen wir Muster auch, um Zahlen zu veranschaulichen. Zahlbilder wie Würfelbilder, Fingerbilder, Punktefelder etc. versuchen, die den Zahlen innewohnenden Strukturen abzubilden. Gleiches gilt für die dekadisch gegliederten Anschauungsmittel (Zwanzigerfeld, Hunder-terfeld, Zahlenstrahl …), die besonders dekadische Strukturen veranschaulichen. Bei diesen Mustern sind die Objekte durch unterschiedliche Abstände, Farben oder andere äußere Merkmale gegliedert. Wir sagen, diese Muster besitzen eine geometrische Anordnung bzw. sind räumlich strukturiert. Vor allem sind sie so aufgebaut, dass sie quasi simultan erfassbar sind, also leicht in überschaubare Teile zerlegt werden können. Dazu muss jedoch die vorgegebene Ordnung erkannt werden. Dies fällt nicht allen Kindern leicht, weil die Struktur eines Musters eben nicht durch einfaches Hinschauen erfasst werden kann. Die Besonderheit mathematischer Beziehungen besteht ja gerade darin, dass sie abs-trakt verstanden und in die Muster hineingedeutet werden müssen. Lassen Sie uns das am Beispiel des Zahlbildes der 7 verdeutlichen. Ich strukturiere mir die geometrische Anordnung in Abb. 3 als 6 + 1. Jemand anderes mag die 7 eher als 3 + 4 sehen. Ein Erstklässler sagte mir bei dieser Anordnung, er sähe 2 + 2 + 2 + 1.

Abbildung 3: mögliches Zahlbild der 7

Zahlen zu verstehen heißt also auch, kompetent mit den Mustern und Strukturen umzugehen, die Zahldarstellungen (und auch Stellenwertdarstellungen) innewohnen. Diese räumlichen Struk-turierungen wahrzunehmen ist notwendig, um mit mathematischen Anschauungsmitteln sinnvoll umgehen zu können. Veranschaulichungen von Zahlen sind nur dann eine Hilfe für Lernende, wenn ihre Struktur verstanden wird. Um dies zu lernen – damit Schüler sozusagen die Musterbrille aufsetzen können – wird eine Anleitung durch den Lehrer und ein Austausch mit Mitschülern über verschiedene Sichtweisen benötigt. Vor allem müssen die innewohnenden Strukturen der genutzten Anschauungsmittel immer wieder thematisiert werden. Dies gilt sowohl für die visuell-geometrisch sichtbaren, räumlichen Beziehungen, wie Kongruenz, Parallelität, die Bedeutung größerer Abstände, Anordnung und Farbe von Kugeln etc., als auch für die numerischen Strukturen. Exemplarisch für den Rechenrahmen (siehe Aufgaben 7 und 8) sind immer wieder zu klärende Fragen „Wo / wie siehst du Zehner (Fünfer, …)?“; „Welcher Teil wiederholt sich?“; „Wo (bei welcher Anordnung) erkennst du sechs (neun, …) am schnellsten?“; „Wie helfen dir die Farben (Reihen, …) dabei?“. Die strukturierte Darstellung von Einheiten und Untereinheiten ist ebenfalls in standardisierten Messinstrumenten wie Lineal oder Uhr zu finden.

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3.3 Muster und Strukturen beim Rechnen

Beim Rechnen spielen Muster und Strukturen immer dann eine große Rolle, wenn man es sich mög-lichst einfach machen möchte und „geschickt“ rechnet. Rechenstrategien basieren auf den Zahlen zugrunde liegenden Strukturen und den Beziehungen zwischen Aufgaben. Bei Aufgaben wie 6 + 7 muss ich nicht nur die Aufgabe 6 + 6 sehen, sondern beide Aufgaben auch in Beziehung zueinander setzen, um den Zusammenhang „1 mehr“ herstellen zu können. Ein klassisches Beispiel für Muster und Strukturen beim Rechnen sind – so sagt es ja bereits der Name – strukturierte Aufgabenfolgen, auch „schöne“ oder produktive Päckchen genannt. Beim Päckchen in Abb. 4 können erster und zwei-ter Summand getrennt voneinander im Sinne von wachsenden (bzw. schrumpfenden) Musterfolgen betrachtet und auch fortgesetzt werden. Werden die Summanden und das Ergebnis jedoch in Bezie-hung gebracht, können bereits Kinder Einsichten in mathematische Gesetzmäßigkeiten erlangen. In Abb. 4 ist das die Gleichheit des Ergebnisses beim gegensinnigen Verändern der Summanden: Wenn man den einen Summanden verringert, muss man den anderen Summanden um denselben Betrag erhöhen, damit die Summe gleich bleibt. Kinder können hier die Erfahrung machen, dass sie nicht alle Aufgaben einzeln rechnen müssen, wenn sie Muster erkennen und Strukturen nutzen.

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Abbildung 4: Produktives Aufgabenpäckchen

Die Bildungsstandards nennen im Inhaltsbereich Muster und Strukturen als eine Kompetenz „Funk-tionale Beziehungen erkennen, beschreiben und darstellen“ (KMK 2005, S. 11). Hierbei geht es um das bewusste Wahrnehmen und Beschreiben von Zusammenhängen. „Kinder kennen bei Schuleintritt bereits eine Fülle von Zusammenhängen, sie wissen, dass man mit zunehmendem Alter größer wird, viele Süßigkeiten mehr kosten als wenige, je länger man rennt, umso mehr kommt man außer Puste, je länger man schläft, um so ausgeruhter ist man (sagen zumindest die Eltern).“ (Lorenz 2011, S. 14) In Aufgaben zum funktionalen Zusammenhang werden Beziehungen zwischen zwei Größen herge-stellt. Das gleichzeitige Betrachten von Veränderungen in zwei Mengen ist für viele Kinder am Schul-anfang jedoch noch schwierig. Die Anzahl der einen Menge und die der anderen Menge mag zwar von den Kindern erfasst werden, aber einen (funktionalen) Zusammenhang kann man nicht sehen. Die Abhängigkeit der zwei Mengen ist eine eigenständige Konstruktion, die durch hypothetisches Denken entsteht (vgl. ebd., S. 16). Bei kombinatorischen Aufgabenstellungen können mögliche Lösungen zunächst durch Probieren gefunden werden. Anschließend müssen diese jedoch in Beziehung zueinander gebracht und nach einem bestimmten Muster geordnet werden, um einen Überblick über alle Lösungsmöglichkeiten erhalten zu können.

Struktur dieser Aufgabensammlung

Die Aufgabensammlung befasst sich in den ersten Aufgaben mit der Begriffsbildung: Was ist ein Grundmuster? Wie ist es aufgebaut? Was ist das Grundmuster eines Musters? Was kann ich mit Mus-tern alles machen?Der kindliche Muster-Begriff wird also zunächst aufgebaut und dann im Laufe der Aufgaben in un-terschiedlichen Darstellungsformen vertieft. Dabei beziehen sich die Musteraufgaben auf sämtliche inhaltsbezogenen Kompetenzbereiche.Es empfiehlt sich, die Aufgaben in der abgedruckten Reihenfolge mit den Kindern durchzuführen.

Mathematische Muster dürfen nicht als fest Gegebenes angesehen werden, das man nur betrachten und reproduzieren kann. Ganz im Gegenteil: Es gehört zu ihrem Wesen, dass man sie erforschen, fortsetzen, ausgestalten und selbst erzeugen kann. (Wittmann 2003)

Viel Erfolg und Freude beim Aufsetzen der Musterbrille!

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Muster erfinden1

Kompetenzen

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� Kommunizieren � Problemlösen � Modellieren � Argumentieren � Darstellen von Mathematik

� Zahlen und Operationen � Raum und Form � Größen und Messen � Daten, Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit

Kompetenzerwartungen bezüglich Muster und Strukturen

� Muster selbst entwerfen � das Grundmuster erkennen � aus einem Grundmuster das Muster entwickeln

Material

� pro Kind jeweils 2 x 10 Perlen in unter-schiedlichen Farben (z. B. blau und rot) mit ca. 1 cm Durchmesser. Hinweis: Aus diesen bauen die Kinder in Aufgabe 7 ihren eigenen 20-er-Rechen-rahmen. Kaufen Sie die Holzspieße am besten jetzt schon mit und achten Sie darauf, dass sich die Perlen leicht schieben lassen. Tipp: „Pony Beads“ haben sich wegen des großen Innendurchmessers bewährt. � pro Kind: 2 kleine Kabelbinder, 10 cm lang � Schälchen für die Perlen und Kabelbinder � Kopien von AB 1 � Hinweis: Perlen und Kabelbinder werden noch in weiteren Aufgaben benötigt.

Vorbereitung

� In die Schälchen die farbig gemischten Perlen sowie die Kabelbinder verteilen.

Beschreibung der Aufgabe

Die Kinder stecken eigene Muster aus den Perlen auf die Kabelbinder. An den Mustern der Kinder wird der Begriff Grundmuster und der Aufbau eines sich wiederholenden Musters erarbeitet.Anschließend übertragen die Kinder die gesteckten Muster auf das AB 1 und kreisen das Grund-muster ein. Hinweis: Auf AB 1 sind mehr Perlenformen gezeichnet, als auf dem Kabelbinder der Kinder Perlen Platz haben. Zusätzliche Aufgabe hier: „Wie geht es weiter?”

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Durch die Musterbrille betrachtet

Wenn die Kinder ohne Auftrag mit den Perlen konfrontiert werden, fangen viele von sich aus an, sich wiederholende Muster auf die Kabelbinder zu stecken. Diese können zum Anlass genommen werden, die Begriffe Muster und Grundmuster einzuführen und den Aufbau von sich wiederholen-den Mustern zu betrachten sowie von anderen Musterfolgen (z. B. wachsenden) zu unterscheiden. Das Augenmerk in dieser Übung liegt auf den sich wiederholenden Musterfolgen. Achten Sie bitte unbedingt auf eine gute Sprechweise wie „immer eine rote Perle, blaue Perle, blaue Perle”, siehe Abschnitt 3.1 in der Einführung.

Impulse, Differenzierung und Weiterführung

� „Wie geht es weiter?” � „Was wiederholt sich?” � „Finde den Fehler” (siehe Bsp. unten) � In Partnerarbeit: � „Zeige / sage dem Partner das Grundmuster deines Musters.” Der Partner baut das Muster aufgrund des Grundmusters nach.

� „Verändere dein Grundmuster so, dass das Muster gleich bleibt.“ � Den Kindern eine dritte Perlenfarbe geben. � Den Kindern eine (Mindest-)Länge des Grundmusters vorgeben, siehe Einführung, Abschnitt 3.1.

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Muster übersetzen2

Kompetenzen

allgemein

inhaltsbezogen




� Grundmuster erfinden, erkennen, benennen und fortsetzen � Muster in eine andere Darstellungsform (Papier, Steckwürfel) übersetzen � das Grundmuster zum Finden der Übersetzungsregel nutzen

Material

� pro Kind jeweils 2 x 10 Perlen in zwei unter-schiedlichen Farben (aus Aufgabe 1) � Schälchen für die Perlen und Kabelbinder � Kopien von AB 1 � pro Kind jeweils 2 x 10 Steckwürfel in zwei unterschiedlichen Farben (andere Farben als die Perlen)

Vorbereitung

� In die Schälchen die farbig gemischten Perlen sowie die Kabelbinder verteilen. � Die Steckwürfel in Behältern auf den Tischen verteilen.


Die Kinder stecken die Perlen zu einem sich wiederholenden Muster auf den Kabelbinder, übertragen es auf das AB 1 und kreisen das Grundmuster ein (wie in Aufgabe 1). Im Anschluss übersetzen die Kinder das Perlenmuster nach einer Übersetzungsregel in ein Muster aus Steckwürfeln (z. B. aus blau wird rot und aus grün wird gelb).


Durch Impulsfragen, wie z. B.

� „Was ist das Muster?” � „Was ist das Grundmuster?” � „Was wiederholt sich?”

sollen die Begriffe Muster und Grundmuster gefestigt werden. Das Überset-zen des Musters in eine andere Darstellungsweise (hier andersfarbige Steck-würfel) hilft den Kindern, von äußeren Merkmalen wie Farbe und Material zu abstrahieren und die Struktur des Musters zu verstehen. Die Übung hilft, einen „Grundmuster-Blick” zu entwickeln.

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Tipp: Die Übersetzungsregel kann gut mit farbiger Kreide auf die Tafel gemalt werden.

� „Knipse das Grundmuster von deiner Steckwürfelreihe ab.“ � „Schiebe dein abgeknipstes Grundmuster an der Steckwürfelreihe entlang. Kontrolliere, ob sich das Grundmuster immer wiederholt.“

� „Baue mit dem Grundmuster der Steckwürfelreihe deines Partners sein Perlenmuster nach.“ � „Kannst du dir noch andere Übersetzungen vorstellen?“(z. B. klatschen = gelb, nicken = rot.)Erfinde deine Übersetzungsregel.

� „Erstelle ein Perlenmuster und übersetze es nach deiner eigenen Übersetzungsregel in eine Steckwürfelreihe. Wer findet deine Übersetzungsregel?“

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Beispiele:

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Muster reparieren3

Kompetenzen

allgemein

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� Grundmuster identifizieren � Wissen über den Aufbau von sich wiederholenden Mustern nutzen � mit Bezug auf das Grundmuster begründen, welche Elemente fehlen

Material

� Kopien von AB 2, 3 und 4 auf dickerem Papier, diese in Buchstabenkarten zerschneiden � Kopien von AB 5

Hinweis: Die Buchstabenkarten werden später weiterverwendet.

Vorbereitung

� Auf den Tischen stehen Schälchen mit den Buchstaben-karten A und B.


In Partnerarbeit: Ein Kind erfindet aus den Buchstabenkarten A und B ein Muster mit der Grund-musterlänge 3 und entfernt anschließend zwei (drei) Buchstaben aus dem Muster oder baut einen Fehler ein, tauscht z. B. ein paar Buchstaben. Das Partnerkind schaut währenddessen weg und soll anschließend das Muster reparieren und sein Vorgehen begründen.


Die Einführung in die Aufgabe erfolgt mit einem Muster der Grundmuster-länge 2 und den Buchstabenkarten A und B. Beim Reparieren muss gro-ßer Wert auf die Begründung gelegt werden, damit die Kinder ihr Wissen über den Aufbau von Mustern und Strukturen aktivieren:„Woher weißt du, dass hier ein A (B) hingehört?“Anschließend arbeiten die Kinder in Partnerarbeit weiter und wechseln sich ab. Der Gesprächsanlass des Begründens muss unbedingt genutzt werden. Beim gegenseitigen Erklären und Begründen üben sich die Kin-der nicht nur in der mathematischen Fachsprache, sondern entwickeln und festigen ihr Verständnis für sich wiederholende Muster. Nach der Begründung übertragen die Kinder das Muster auf das AB 5 und kreisen das Grundmuster ein. Die Kinder schulen hier noch einmal ihre Wahrneh-mung des Grundmusters sowie der daraus resultierenden Musterfolge und lernen, Beziehungen zu erkennen.

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Die Grundmusterlänge sollte beschränkt werden, weil ansonsten eini-ge Kinder nur ein beliebiges Muster (ohne erkennbares Grundmuster) legen. Spannend ist es zu entdecken, dass ein Muster Fehler oder Lü-cken an mehreren Stellen haben und trotzdem repariert werden kann.

Achtung: Es gibt den Punkt, ab dem das Grundmuster nicht mehr eindeutig zu identifizieren ist und somit das Muster nicht mehr wieder-hergestellt werden kann.

� „Kreise das Grundmuster ein.” � „Wie lang ist das Grundmuster? Schreibe die Länge über das eingekreiste Grundmuster.“

� „Lasse das Muster von deinem Partner fortsetzen.” � „Was kommt vor dem ersten Buchstaben?” � „Nimm anfangs nur einen Buchstaben weg. Nimm dann immer einen Buchstaben mehr weg.”

� „Nimm Buchstaben an verschiedenen Stellen weg.” � „Baue in das Muster einen / mehrere Fehler ein.” � „Kann man das Muster immer reparieren? Erstelle die größtmögliche Lücke / die meisten möglichen Fehler.“

� „Erstelle dein Muster mit den Buchstaben A, B und C.”ten m

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Bandornamente fortführen9

Kompetenzen

allgemein

inhaltsbezogen




� das Grundmuster in Bandornamenten erkennen � ein Bandornament fortsetzen � ein Grundmuster für ein Bandornament selbst erfinden, verändern und fortführen

Material

� Kopien von AB 6 und 7 � Folie von AB 6 und Tageslicht projektor � das Mathe-Heft der Kinder

Vorbereitung

keine


Die Kinder suchen das Grundmuster in Bandornamenten und setzen es fort.


Bandornamente gehören zu den sich wiederholenden Musterfolgen, das Grundmuster kann im Gegensatz zu Perlen o. Ä. komplexer sein. In ihm können mehrere Formen, Farben und Füllungen enthalten sein. Zudem zeichnet sich das Grundmuster durch seinen größeren Umfang aus. Das Grundmuster wird entlang einer festen Richtung (Friesrichtung) immer wieder aneinandergesetzt, um ein Bandornament zu bilden. Wie bei den sich wiederholenden Musterfolgen können unterschied-liche Grundmuster dasselbe Bandornament erzeugen (siehe unten).

mögliches Grundmuster

mögliches Grundmuster

Beispiele für Bandornamente

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Bandornamente sind den Kindern bekannt, aber vermutlich haben sie diese noch nicht bewusst wahrgenommen oder darüber gesprochen. Durch das Sprechen und Arbeiten mit Bandornamenten werden die Kinder zunehmend ihre Umwelt durch die Bandornamentbrille sehen.


Bandornamente sind praktisch überall zu finden und die Suche im Klassenraum ist ein guter Einstieg. Um den richtigen Umgang mit den Übungen und den Impulsen mit den Kindern zu besprechen, ist eine gemeinsame Erarbeitung auf dem Tageslichtprojektor zweckmäßig.

� „Markiere das Grundmuster.” � „Setze das Muster fort.” � „Beschreibe deinem Nachbarn das Grundmuster.” � „Verändere bei dem fertigen Muster das Grundmuster. Führe die Veränderung im Muster fort.“

Bei den Grundmustern ohne Füllung:

� „Färbe das Grundmuster mit deiner Lieblingsfarbe. Setze die Veränderung im Muster fort.“ � „Färbe das Grundmuster mit mehreren Farben und setze die Veränderung fort.“ � „Erfinde ein eigenes Grundmuster. Male es in dein Heft und setze es fort.” � „Erfinde für deinen Tischnachbarn ein Grundmuster.“ � „Erfinde ein größeres Grundmuster mit mehreren Formen.“hrere ormen.“

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Name: Bandornamente fortführen AB 6

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Name: Bandornamente fortführen AB 7

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Grundmuster fortsetzen und reparieren11

Kompetenzen

allgemein

inhaltsbezogen




� das Grundmuster erkennen, die Länge bestimmen und fortführen � das Muster in Ziffern übertragen � das Grundmuster aus einem unterbrochenen Muster zusammenstellen und das Muster reparieren � eigene Grundmuster aus geometrischen Formen und Ziffern erfinden und Lücken einbauen

Material

� Kopien von AB 8, evtl. Folie von AB 8 � geometrische Formen, Ziffernkarten � einfarbige Notizzettel

Vorbereitung

keine


Die Kinder erkennen das Grundmuster in der Folge der Formen, kreisen es ein, bestimmen seine Länge und übersetzen es in Ziffern. Anschließend führen sie es fort bzw. reparieren es.


Die Kinder müssen mehrere Aufgaben gleichzeitig lösen: � das Grundmuster erkennen, einkreisen, die Länge bestimmen, es fortführen � es in eine andere Darstellungsform (Ziffern) übersetzen � das Muster mit dem Wissen des Grundmusters reparieren

Achten Sie bei der Einführung und der Beschreibung des Grundmusters auf die gute Sprechweise der Kinder (siehe Einführung, Kapitel 3.1), sie sollen das Grundmuster anhand der geometrischen Formen beschreiben: „Immer ein Viereck, ein Dreieck”. Gleichzeitig wird das Grundmuster zu einem Muster in Ziffern: „Immer Eins, Zwei.”Durch die von Aufgabe zu Aufgabe zunehmenden Lücken in den Mustern müssen die Kinder das Grundmuster aus mehreren verteilten Informationen zusammensetzen. Die letzte Übung ist ein wachsendes Muster, sie soll als Gesprächsanlass über sich wiederholende / wachsende Muster dienen.

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� „Kreise das Grundmuster ein, schreibe die Länge über das Grundmuster und führe es fort.“ � „Schreibe zu den geometrischen Formen die entsprechenden Ziffern.”

Hilfestellung: Die Kinder malen die geometrischen Formen auf Notizzettel und legen das Muster nach.

� „Erfinde ein eigenes Grundmuster aus Ziffern oder geometrischen Figuren und male es in dein Heft.”

� „Erfinde geometrische Grundmuster mit anderen Formen und male sie farbig an.” � „Erfinde Muster mit einer wachsenden Struktur.” � „Erstelle Übungen mit Lücken für deinen Partner.“

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Name: Grundmuster fortsetzen, reparieren

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Lösungen Grundmuster fortsetzen, reparieren

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Ginsburg, H., Cannon, J., Eisenband, J. & Pappas, S. (2006). Mathematical Thinking and Learning. In K. McCartney & D. Phillips (Hg.), Blackwell Handbookon Early Childhood Development (S. 208–230). Malden, MA: Blackwell.

Kampmann, R. & Lüken, M. M. (in Druck). The influence of fostering children‘s pattern and struc-ture abilities on their arithmetic skills in grade 1. Veröffentlicht im Rahmen des 13th International Congress on Mathematical Education, Hamburg, 24–31 July 2016.

KMK: Sekretariat der Ständigen Konferenz der Kultusminister der Länder in der Bundesrepublik Deutschland (Hg.) (2005). Bildungsstandards im Fach Mathematik für den Primarbereich (Jahr-gangsstufe 4). München, Neuwied: Wolters Kluwer.

Lorenz, J. H. (2011). Proportionale Zusammenhänge verstehen lernen. Grundschule Mathematik, H. 29, S. 14–17.

Lüken, M. M. (2011). „Wie geht‘s weiter?“ Zur Kompetenz des Fortsetzens eines geometrischen Mus-ters. Mathematik differenziert, H.1, S. 36–40.

Lüken, M. M. (2012). Muster und Strukturen im mathematischen Anfangsunterricht. Grundlegung und empirische Forschung zum Struktursinn von Schulanfängern. Münster: Waxmann.

Mulligan, J. T. & Mitchelmore, M. (2009). Awareness of Pattern and Structure in early mathematical development. Mathematics Education Research Journal, 21(2), S. 33–49.

Philipp, K. (2015). Muster und Strukturen. In J. Leuders & K. Philipp (Hg.), Mathematik Didaktik für die Grundschule. Berlin: Cornelsen.

Rathgeb-Schnierer, E. (2007). Kinder erforschen arithmetische Muster. Grundschulunterricht, 54 (2), S. 11–19.

Wittmann, E. Ch. (2003). Was ist Mathematik und welche pädagogische Bedeutung hat das wohlver-standene Fach für den Mathematikunterricht auch in der Grundschule? In M. Baum & H. Wielpütz (Hg.), Mathematik in der Grundschule. Ein Arbeitsbuch. Seelze: Kallmeyer.

Wittmann, E. Ch. & Müller, G. N. (2007). Muster und Strukturen als fachliches Grundkonzept. In G. Walther, M. van den Heuvel-Panhuizen, D. Granzer & O. Köller (Hg.), Bildungsstandards für die Grundschule: Mathematik konkret (S. 42–65). Berlin: Cornelsen

Literatur

tik ko

terrule. Ein

7). Muster unzen, D. Granze. 42–

elche päduch in der Greitsbuch. See

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Must

dagogischendschuze

r. Gru

Bed

Mathe

ndschulun

n early mathe

matik Didaktip (

leg

ematica

Wittmannstandene

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Wittmann, WaltheG

E. Ch. (2003)Fach für dehematik

trukt: Cornelsen

. (2007). Kinder e

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uren. In J. Leu

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Autor: Ralf KampmannIllustrationen: Corina Beurenmeister

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