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Einleitunglineare Arrays2D ArraysSimulationRouting in NetzenMatthias Rost2. Juli 2009Matthias Rost Routing in Netzen

Einleitunglineare Arrays2D ArraysSimulation De�nitionenArchitekturenÜbersichtDe�nitionenRouting = WegewahlNetze = parallele Architekturen

Matthias Rost Routing in Netzen

Einleitunglineare Arrays2D ArraysSimulation De�nitionenArchitekturenÜbersichtArraysAbbildung: Ein lineares Array mit 4 ProzessorenAbbildung: Ein 2D Array mit 16 ProzessorenMatthias Rost Routing in Netzen

Einleitunglineare Arrays2D ArraysSimulation De�nitionenArchitekturenÜbersichtButter�y

Abbildung: Ein Butter�y der Tiefe 2Matthias Rost Routing in Netzen

Einleitunglineare Arrays2D ArraysSimulation De�nitionenArchitekturenÜbersichtModellStore-And-ForwardQueuesGreedy-Algorithmus

Abbildung: Beispiel QueueMatthias Rost Routing in Netzen

Einleitunglineare Arrays2D ArraysSimulation De�nitionenArchitekturenÜbersichtÜbersicht über den VortragAnalyse desGreedy-Algorithmus aufArraysLaufzeitGröÿe der QueuesDurchschnittlicheVerzögerungWeitere Themenfelder fürArraysSimulationsergebnisse fürArrays Abbildung: Simulation eines ArraysMatthias Rost Routing in Netzen

Einleitunglineare Arrays2D ArraysSimulation TheoremeSätzeTheorem (II.1.)Unter der Annahme des 1:1-Szenarios und unter Verwendung desGreedy-Algorithmus erreichen innerhalb von N − 1 Zeitschritten allePakete ihre Ziele.Beweis.Trivial.Matthias Rost Routing in Netzen

Einleitunglineare Arrays2D ArraysSimulation TheoremeTheorem (II.2.)Seien in einem linearen Array der Gröÿe N maximal N Paketegegeben, so dass jedes Paket ein eindeutiges Ziel hat. Die Laufzeitdes Greedy-Algorithmus unter Verwendung desFarthest-First-Protokolls beträgt maximal N-1 Schritte.Beweis.Betrachten Pakete mit Ziel i, die sich nach links bewegen:Abstand zu Beginn maximal N-imaximale Verzögerung von i-1⇒ benötigte Zeit = N-1


Einleitunglineare Arrays2D ArraysSimulation Greedy-AlgorithmusWorst Case AnalyseAverage Case AnalyseÜbersicht 2D-ArraysGreedy-Algorithmus1 Route Paket in richtige Spalte2 Route Paket in richtige Zeile


Einleitunglineare Arrays2D ArraysSimulation Greedy-AlgorithmusWorst Case AnalyseAverage Case AnalyseÜbersicht 2D-ArraysLaufzeit1. Phase benötigt maximal √N − 1 Schritte gemäÿ TheoremII.1.2. Phase benötigt maximal √N − 1 Schritte gemäÿ TheoremII.2.⇒ Laufzeit insgesamt maximal 2√N − 2.Laufzeit optimal


Einleitunglineare Arrays2D ArraysSimulation Greedy-AlgorithmusWorst Case AnalyseAverage Case AnalyseÜbersicht 2D-ArraysGröÿe der Queues & VerzögerungQueues können O(

√N)Elemente enthalten⇒ Verzögerung kann auchO(

√N) betragenAbbildung: Szenario, in dem eine Queues auf 2√N3 1anwächstMatthias Rost Routing in Netzen

Einleitunglineare Arrays2D ArraysSimulation Greedy-AlgorithmusWorst Case AnalyseAverage Case AnalyseÜbersicht 2D-ArraysMotivation für Average Case AnalyseIm Worst Case istdie Laufzeit optimal, aberdie Gröÿe der Queues und die Verzögerung sind unterUmständen maximal.Average Case Analyse:Queues werden mit groÿer Wahrscheinlichkeit nicht mehr als 4Pakete aufnehmen.Die erwartete Verzögerung ist konstant.Matthias Rost Routing in Netzen

Einleitunglineare Arrays2D ArraysSimulation Greedy-AlgorithmusWorst Case AnalyseAverage Case AnalyseÜbersicht 2D-ArraysAnalyse im Wide-Channel-ModellWide-Channel-Modell: Es können pro Zeitschritt beliebigviele Pakete eine Kante überqueren.Theorem (II.3.)Sei e eine Kante in einer Spalte. Sei X die Zufallsvariable, dieangibt wie viele Pakete die Kante e innerhalb von ∆ Zeitschrittenüberqueren. Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens α∆2 Pakete dieKante e überqueren ist P(X ≥ α∆2 ) = e(α−1−α lnα)∆2 .Matthias Rost Routing in Netzen

Einleitunglineare Arrays2D ArraysSimulation Greedy-AlgorithmusWorst Case AnalyseAverage Case AnalyseÜbersicht 2D-ArraysAbschätzung der Anzahl der möglichen Pakete

Abbildung: Prozessor,der ein Paketenthalten könnte, dasdie rote Kante ineinem ZeitschrittüberquertAbbildung: Prozessoren,die ein Paket enthaltenkönnten, das die roteKante in demübernächsten Zeitschrittüberquert Abbildung:Prozessoren, die einPaket enthaltenkönnten, das die roteKante in dem drittenZeitschritt überquertMatthias Rost Routing in Netzen

Einleitunglineare Arrays2D ArraysSimulation Greedy-AlgorithmusWorst Case AnalyseAverage Case AnalyseÜbersicht 2D-ArraysParameter für Theorem IV.1.Wir betrachten eine Kante zwischen Zeile i und i+1:n = 2i∆ (1)Pk =

√N − iN (2)PΣ = n · Pk = 2i∆√N − iN (3)=

2i(√N − 1)∆N (4)Matthias Rost Routing in Netzen

Einleitunglineare Arrays2D ArraysSimulation Greedy-AlgorithmusWorst Case AnalyseAverage Case AnalyseÜbersicht 2D-ArraysAbschätzung von Bernoulli ZufallsvariablenTheorem (IV.1.)Sei eine Menge an n unabhängigen Bernoulli ZufallsvariablenX1,X2, ...,Xn gegeben, wobei P(Xk = 1) ≤ Pk für 1 ≤ k ≤ n,XΣ =

∑ni=1 Xi , PΣ =∑ni=1 Pi und β > 1, dann istP(X ≥ β · PΣ) ≤ e(1− 1

β−lnβ)β·PΣ .


Einleitunglineare Arrays2D ArraysSimulation Greedy-AlgorithmusWorst Case AnalyseAverage Case AnalyseÜbersicht 2D-ArraysBeweis II.3.Einsetzen der Parameter:β =

αN4i(√N − i) > 1 (5)β · PΣ =

α∆2 (6)P(X ≥ βPΣ) ≤ e(1− 1β−lnβ)βPΣ (7)

⇔ P(X ≥α∆2 ) ≤ e(1− 1

β−ln β)α∆2 (8)

= e(α−1−α−lnα)∆2 . (9)Matthias Rost Routing in Netzen

Einleitunglineare Arrays2D ArraysSimulation Greedy-AlgorithmusWorst Case AnalyseAverage Case AnalyseÜbersicht 2D-ArraysVisualisierung des Ergebnisses0

2

4

6

8

10

02

46

810

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

alphadelta

P

Abbildung: P(X ≥ α∆2 ) ≤ e(α−1−α lnα) ∆2Matthias Rost Routing in Netzen

Einleitunglineare Arrays2D ArraysSimulation Greedy-AlgorithmusWorst Case AnalyseAverage Case AnalyseÜbersicht 2D-ArraysÜbertragung der Ergebnisse auf das Standard-ModellTheorem (II.4.)Für alle T ,∆, x > 0 gilt, dass wenn x Pakete eine Kante e in demZeitfenster [T + 1,T + ∆] mit der Gröÿe ∆ im Standard-Modellüberqueren, so gibt es ein t ≥ 0, so dass mindestens x + t Paketedie Kante e im Zeitfenster [T + 1− t,T + ∆] desWide-Channel-Modells überqueren.Matthias Rost Routing in Netzen

Einleitunglineare Arrays2D ArraysSimulation Greedy-AlgorithmusWorst Case AnalyseAverage Case AnalyseÜbersicht 2D-ArraysTheorem (II.5.)Die Wahrscheinlichkeit, dass α∆2 oder mehr Pakete eine SpaltenKante e in einem Zeitfenster der Gröÿe ∆ überqueren, beträgt imStandard-Modell unter Verwendung des Greedy-AlgorithmusO(e(α−1−α lnα)∆2 ) für 1.5 ≤ α ≤ 2.


Einleitunglineare Arrays2D ArraysSimulation Greedy-AlgorithmusWorst Case AnalyseAverage Case AnalyseÜbersicht 2D-ArraysBeweisBeweis Satz II.5. n = 2i(∆ + t)Pk =

√N − iNPΣ =2i(∆ + t)(√N − i)N

β =(α∆2 + t)N2i(∆ + t)(√N − i)P(X ≥ β · PΣ) ≤ e(1− 1β−ln β)β·PΣ .Matthias Rost Routing in Netzen

Einleitunglineare Arrays2D ArraysSimulation Greedy-AlgorithmusWorst Case AnalyseAverage Case AnalyseÜbersicht 2D-ArraysKonsekutive PaketeTheorem (II.6.)Die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als c · lnN Pakete inaufeinanderfolgenden Zeitschritten eine Kante e überqueren beträgtO( 1N ) für c < 13 .Proof.Verwendung von Theorem II.5. mit α = 2, ∆ = c lnN,c = 52 ln 2−1 < 13P(X ≥ c logN) = O(e(1−2 ln 2) 52 ln 2−1 lnN2 )

= O(e− 5 lnN2 ) = O(N−52 )Matthias Rost Routing in Netzen

Einleitunglineare Arrays2D ArraysSimulation Greedy-AlgorithmusWorst Case AnalyseAverage Case AnalyseÜbersicht 2D-ArraysTheorem (II.7.)Die Wahrscheinlichkeit, dass eine beliebige Queue auf maximal 4Pakete anwächst liegt in 1− O( ln4 N√N ).Beweis.Innerhalb eines Zeitraums der Gröÿe c lnN ist jede Queue mitWahrscheinlichkeit 1− O( 1N ) mindestens einmal leer.In diesem Zeitraum müssen mindestens 4 Pakete aus der Zeileeintre�en, so dass diese alle ein Ziel oberhalb oder unterhalbder zu betrachtenden Spalte haben.Wahrscheinlichkeit für diesen Fall: (c lnN)4√N4 = (c lnN)4N2 .Wahrscheinlichkeit für alle Zeitfenster und alle Queues:O( ln4 N√N ) Matthias Rost Routing in Netzen

Einleitunglineare Arrays2D ArraysSimulation Greedy-AlgorithmusWorst Case AnalyseAverage Case AnalyseÜbersicht 2D-ArraysTheorem (II.8.)Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Paket mindestens δ Zeitschritteverzögert wird, liegt in O(e− δ6 ). Die erwartete Verzögerung für einbeliebiges Paket ist somit konstant.Beweis.Ankunftszeit im Wide-Channel-Modell um δ Zeitschrittegröÿer als im Standard-ModellMindestens δ + 1 konsekutive Pakete auf der letzten(vertikalen) Kante⇒ Wahrscheinlichkeit liegt in O(e− δ6 )⇒ Erwartungswert ist konstantMatthias Rost Routing in Netzen

Einleitunglineare Arrays2D ArraysSimulation Greedy-AlgorithmusWorst Case AnalyseAverage Case AnalyseÜbersicht 2D-ArraysGreedy-Algorithmus ist im Average Case gutDer Worst Case kann jedoch immernoch eintretenAbhilfe scha�enrandomisierte Algorithmen sowie(gute) deterministische Algorithmen.


Einleitunglineare Arrays2D ArraysSimulation Greedy-AlgorithmusWorst Case AnalyseAverage Case AnalyseÜbersicht 2D-ArraysRandomisierter Algorithmus1 Unterteile jede Spalte in logN Intervalle der Gröÿe √NlogN2 Route jedes Paket innerhalb seines Spaltenintervalls zu einembeliebigen Prozessor3 Route jedes Paket innerhalb der Zeile zur richtigen Spalte4 Route jedes Paket innerhalb der Spalte zur richtigen ZeileTheorem (Beweis siehe [2])Die Laufzeit des randomisierten Routing Algorithmus liegt im Falledes 1:1-Routings mit hoher Wahrscheinlichkeit in 2√N + o(√N)und verwendet dabei mit hoher Wahrscheinlichkeit nur Queues derGröÿe O(logN). Matthias Rost Routing in Netzen

Einleitunglineare Arrays2D ArraysSimulation Greedy-AlgorithmusWorst Case AnalyseAverage Case AnalyseÜbersicht 2D-ArraysDeterministischer Algorithmus1 Sortiere Pakete gemäÿ ihrem Ziel in spaltenweiser Ordnung.2 Führe den Greedy-Algorithmus aus.Abbildung: vor dem Sortieren Abbildung: nach dem SortierenMatthias Rost Routing in Netzen

Einleitunglineare Arrays2D ArraysSimulation Greedy-AlgorithmusWorst Case AnalyseAverage Case AnalyseÜbersicht 2D-ArraysDynamisches RoutingIn jedem Zeitschritt wird mit Wahrscheinlichkeit λ < 4√N ineinem Prozessor ein neues Paket erzeugt.Theorem (Beweis siehe [1])Sofern λ < 4

√N und ein Zeitraum von T Zeitschritten imdynamischen Routing betrachtet wird, so ist die Verzögerung fürein Paket mit hoher Wahrscheinlichkeit O(e−cλ), wobei cunabhängig von der Anzahl der betrachteten Zeitschritte undunabhängig von N ist. Mit groÿer Wahrscheinlichkeit wächst keineQueue auf mehr als O(1 + logTlogN ) an.Matthias Rost Routing in Netzen

Einleitunglineare Arrays2D ArraysSimulation MotivationUnsere SimulationErgebnisseSimulation von Routing in NetzenStochastische Analyse liefert oft nur qualitative Ergebnisse.Realitätsnahe verteilte Architekturen können stochastisch(fast) nicht analysiert werden.Simulationen können mit beliebig vielen Details durchgeführtwerdenSimulationen ersetzen die Analyse nicht, ermöglichen jedocheine echte quantitative AnalyseSimulationen erlauben 'Experimente'Matthias Rost Routing in Netzen

Einleitunglineare Arrays2D ArraysSimulation MotivationUnsere SimulationErgebnisseSimulation für ArraysMittels OMNeT++ 4.0 geschriebenEs werden 1:1 und dynamische Szenarien unterstütztErmöglicht verschiedene statistische AuswertungenParameter:S(ize) - Gröÿe des ArraysP(robability) - Wahrscheinlichkeit, dass in einem Zeitschritt einPaket erzeugt wirdT(ime) - Anzahl der Zeitschritte, in denen Pakete erzeugtwerdenR(uns) - Anzahl der Wiederholungen der Simulation (mitanderen Zufallszahlen)Matthias Rost Routing in Netzen

Einleitunglineare Arrays2D ArraysSimulation MotivationUnsere SimulationErgebnisseS = 5,T = 1,P = 1,R = 100

Abbildung: Die über alle 100 Simulationen gemittelten Maximal-, Mittel-und Standardabweichungswerte für die Verzögerung bzw. die Gröÿe derQueues. Matthias Rost Routing in Netzen


Abbildung: Die gemittelte Anzahl an Verzögerungen. Für jeden Prozessorist jeweils links die Häu�gkeit der Verzögerung '0' angegeben. DieVerteilung entspricht den Ergebnissen aus Satz II.8.Matthias Rost Routing in Netzen


Abbildung: Die absolute Anzahl an Verzögerungen für eine Simulation.Für jeden Prozessor ist jeweils links die Häu�gkeit der Verzögerung '0'angegeben. Die Verteilung entspricht den Ergebnissen aus Satz II.8.Matthias Rost Routing in Netzen


Abbildung: Alle Gröÿen der Queues der 100 Simulationen im Überblick.O�ensichtlich wächst keine Queue auf mehr als 2 Pakete an. Diesentspricht den Ergebnissen aus Satz II.7.Matthias Rost Routing in Netzen


Abbildung: Alle Gröÿen der Queues einer Simulation. Die Queueswachsen nicht auf mehr als 1 Element an.Matthias Rost Routing in Netzen


Abbildung: Die über alle 15 Simulationen gemittelten Maximal-, Mittel-und Standardabweichungswerte für die Verzögerung bzw. die Gröÿe derQueues. Matthias Rost Routing in Netzen


Abbildung: Alle Gröÿen der Queues einer Simulation. Die Queueswachsen nicht auf mehr als 2 Element an.Matthias Rost Routing in Netzen

Einleitunglineare Arrays2D ArraysSimulation MotivationUnsere SimulationErgebnisseS = 10,T = 1000,P = 0.3,R = 1Abbildung: Ein dynamisches Routing-Szenario, in dem über 1000Zeitschritte mit Wahrscheinlichkeit 0.3 Pakete erzeugt werden. Währenddie maximale Verzögerung und die maximale Gröÿe der Queues starkzugenommen haben, sind deren Mittelwerte bzw. dieStandardabweichungen recht gering.Matthias Rost Routing in Netzen

Einleitunglineare Arrays2D ArraysSimulation MotivationUnsere SimulationErgebnisseS = 10,T = 1000,P = 0.3,R = 1

Abbildung: Die absolute Anzahl an Verzögerungen für eine dynamischeSimulation. Für jeden Prozessor ist jeweils links die Häu�gkeit derVerzögerung '0' angegeben.Matthias Rost Routing in Netzen


Abbildung: Alle Gröÿen der Queues einer dynamischen Simulation. DieQueues wachsen nur vereinzelt auf mehr als 7 Elemente an.Matthias Rost Routing in Netzen

Einleitunglineare Arrays2D ArraysSimulation MotivationUnsere SimulationErgebnisseS = 10,T = 1000,P = 0.5,R = 1Abbildung: Ein dynamisches Routing-Szenario in dem die Anzahl der injedem Zeitschritt erzeugten Pakete die zulässige Obergrenze von √N4übersteigt. Die Verzögerungen wachsen linear mit der Simulationszeit:Das Mittel der Verzögerungen ist ungefähr die Hälfte des Maximums. Dergleiche Zusammenhang gilt für die Gröÿe der Queues.Matthias Rost Routing in Netzen


Abbildung: Alle Gröÿen der Queues im überlasteten dynamischenRouting-Szenario. Während die zentralen Queues zu Beginn starkanwachsen, wachsen die Queues der äuÿeren Prozessoren erst gegen Endeauf 13 der insgesamt 1000 erzeugten Pakete.Matthias Rost Routing in Netzen

Einleitunglineare Arrays2D ArraysSimulation MotivationUnsere SimulationErgebnisseAndere ArchitekturenButter�y:GreedyPacking, Spreading, Monotone Routingm:1 -Routing (mit / ohne Combining)Allgemein: Oblivious Routing


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