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BAULEITER HOCHBAU

S T A T I K / F E S T I G K E I T S L E H R E

12) DURCHLAUFTRAEGER

und GELENKTRAEGER

1) Durchlaufträger (Mehrfeldträger) a) Allgemeines

b) Statisch unbestimmte Systeme

c) Methoden zur Durchlaufträgerberechnung

d) Einflusslinien

e) Ungünstige Laststellungen

f) Beispiel Durchlaufträger

2) Gelenk- oder Gerberträger a) System

b) Berechnung der Schnittkräfte

c) Beispiele

g.bettschen

Statik/Festigkeitslehre - Durchlaufträger und Gerberträger - g.bettschen - Seite 2

1) Durchlaufträger

a) Allgemeines

Ein Durchlaufträger ist ein Mehrfeld- Träger über mehr als zwei Abstützungen. Er kann in der Realität ein Holzträger, eine Betondecke, eine Kranbahn oder ähnliches sein. Der Durchlaufträger kann über beliebig viele Stützen verlaufen bzw. beliebig viele Felder haben. Am linken und rechten Rand können die Trägerenden gelenkig gelagert oder eingespannt sein oder als Kragträger weiter gehen.

Das System ist immer statisch unbestimmt und daher schwieriger zu berechnen als ein statisch bestimmter Einfeldträger. Der Vorteil der Zwischenstützen ist, dass die Stützweite und die Durchbiegung in Feldmitte geringer werden und die Bauhöhe des Trägers niedriger sein kann. Die Bemessung und konstruktive Ausbildung hängt maßgebend vom Baustoff ab. Der Durchlaufträger kann abschnittsweise unterschiedliche Querschnittstypen (Platte, Plattenbalken, Balken) haben. Bei der Bemessung muss beachtet werden, dass die Lasten in ungünstiger Weise feldweise oder einzeln wirken können. Die höchste Beanspruchung ergibt sich nicht automatisch, wenn alle möglichen Lasten (Gleichlasten, Einzellasten, Stützensenkungen, ständige Lasten, Nutzlasten, Wanderlasten, Fahrzeuge) gleichzeitig wirken. Deshalb berechnet man auch Einflusslinien für Durchlaufträger und wertet sie mit Hilfe von EDV aus.

b) Statisch unbestimmte Systeme Ein System ist äusserlich statisch unbestimmt, wenn seine Auflagerkräfte nicht mehr mit den Gleichgewichtsbedingungen der Ebene bestimmt werden können.

Grad der Unbestimmtheit ist die Differenz zwischen den gesuchten Auflagerkräften

und den drei Gleichgewichtsbedingungen der Ebene.

A

BH

F

BV

A BH

F

BV C

AV

F

B AH

MA

A BH

F

BV C D

3 unbekannte Auflagerkräfte

3 Gleichgewichtsbedingungen der Ebene

statisch bestimmt



1-fach statisch unbestimmt







http://de.wikipedia.org/wiki/Kragtr%C3%A4ger

http://de.wikipedia.org/wiki/Statisch_bestimmt

http://de.wikipedia.org/wiki/Bemessung_(Ingenieurwesen)

http://de.wikipedia.org/wiki/Querschnitt_(Mechanik)

http://de.wikipedia.org/wiki/Platte_(Technische_Mechanik)

http://de.wikipedia.org/wiki/Plattenbalken

http://de.wikipedia.org/wiki/Balken_(Bauteil)


c) Methoden zur Durchlaufträgerberechnung Zum Berechnen der Auflagerkräfte bei statisch unbestimmten Systemen müssen also noch zusätzliche Kriterien zu den 3 Gleichgewichtsbedingungen der Ebene herbeigezogen

werden. Man muss deshalb noch die sogenannten Formänderungsbedingungen aufstellen.

Jedes belastete Tragwerk steht unter Spannungen. Diese rufen Formänderungen hervor. Bleiben die Spannungen unterhalb der Elastizitätsgrenze des Baustoffes, so gehen die Formänderungen bei Entlastung vollständig zurück. Man spricht dann von elastischen Formänderungen gegenüber den plastischen oder bleibenden Formänderungen. Formänderungen können Längen-, Winkel- und Gleitwinkeländerungen sein.

Man unterscheidet in der Baustatik zwei Zustände :

Der Belastungszustand gibt die Beziehungen zwischen den äusseren Kräften (Belastung, Temperatur) und den inneren Kräften (Normalkräfte, Momente, Querkräfte) an.

Der Verschiebungszustand beschreibt den Zusammenhang zwischen den For-mänderungen eines Teiles des Systems und denen des Gesamtsystems. Die Verbindung zwischen den beiden Zuständen, das heisst den Zusammenhang von Spannungen und Dehnungen, stellt das Hookesche Gesetz dar. Es gilt für isotrope Baustoffe, und zwar so lange, wie die Spannungen unterhalb der Proportionalitätsgrenze bleiben, das Spannungsdehnungsdiagramm also geradlinig verläuft.

Mit Hilfe von Bedingungen, die der Kontinuität und den Verformungen des Systems gerecht werden, können nun statisch unbestimmte Systeme gelöst werden. Für die Berechnung von Durchlaufträgern stehen unter anderem folgende Methoden zur Verfügung :

Kraftmethode Die Kraftmethode beruht darauf, dass man das statisch unbestimmte Tragwerk in ein statisch bestimmtes Tragwerk umwandelt, an diesem aber Kräfte anbringt, die dem ursprünglichen Zustand wieder gerecht werden

Elastizitätsbedingung : B = 0

A B C

Statisches Grundsystem GS

A XB C X = überzählige Grösse

Bo = Durchbiegung infolge äusserer Belastung

B1 = Durchbiegung infolge x1 = 1

Elastizitätsgleichung :

Bo + x1 B1 = 0

x1 = - Bo / B1

A X1=1

C

B1

A C Bo


q

Dreimomentengleichung

Eine einfache Methode zum Berechnen von Durchlaufträgern soll hier noch etwas genauer gezeigt werden : Aus den Formänderungsbedingungen kann man für die Berechnung von Durchlaufträgern

das Resultat der Ableitungen auf eine einfache Form, der sogenannten “ Clapeyronschen

Dreimomentengleichung “ bringen.

“ Clapeyronsche Dreimomentengleichung “ für I = konstant : L, R : Belastungsglieder der jeweiligen Felder (siehe unten)

Diese Gleichung kann nun für jede Zwischenstütze aufgestellt werden, so dass man gleichviele Gleichungen wie unbekannte Momente hat. Man erhält also ein lineares Gleichungssystem, das am einfachsten mit dem Iterationsverfahren von Gauss oder mit EDV gelöst wird.

Dreimomentengleichung wenn I nur feldweise konstant :

Ic = Vergleichsträgheitsmoment; l’m = Ic/ Im lm ; l’m+1 = Ic / Im+1 l m+1

L und R werden mit den tatsächlichen Längen berechnet

Belastungsglieder Die Werte L und R sind von der Belastung abhängig und wurden für viele vorkommende Belastungsarten berechnet und tabelliert. L = linke Seite und R = rechte Seite vom betreffenden Feld.

Belastungsglieder für häufig vorkommende Lastfälle :

= a/l ; = b/l ; = c/l

Lastfall L R

q l 2 / 4 q l

2 / 4

l

2 / 60 (8q1 + 7q2) l

2 / 60 (7q1 + 8q2)

q c

2 / 4 (2 - )

2 q c

2 / 4 (2 -

2 )

q c

2 / 4 (2 -

2 ) q c

2 / 4 (2 - )

2

5/32 q l

2 5/32 q l

2

MH lm + 2 MJ ( lm + lm+1) + MK lm+1 = - lm Rm - lm+1 L m+1

H J K l m-1 l m l m + 1 l m + 2

Ausschnitt aus Durchlaufträger

Feldlänge l

L R

H J K l m-1 / I m-1 l m / I m l m + 1 / I m + 1 l m + 2 / I m +

2

Ausschnitt aus Durchlaufträger

MH l’m + 2 MJ ( l’m + l’m+1) + MK l’m+1 = - l’m Rm - l’m+1 L m+1

q

q

q

q 1 q 2

l/2 l/2

c

F

c

F


“ Clapeyronsche Dreimomentengleichung “

für I = konstant beim Beispiel 4-feldträger mit Kragarm :

L, R : Belastungsglieder der jeweiligen Felder

1) Momente am Anfang (MA) und Ende (ME) des Balkens bestimmen

2) Belastungsglieder feldweise bestimmen Feld 1: Feld 2: Feld 3: Feld 4:

z.B. bei Gleichlast L = R = g l2 / 4

3) Gleichungen für Stützmomentberechnung aufstellen I) Feld 1 / Feld 2 II) Feld 2 / Feld 3 III) Feld 3 / Feld 4 (Momente mit Vorzeichen einssetzen)

4) Querkräfte und Auflagerkräfte berechnen

a) Querkräfte (feldweise)

V = V0 + (MR – Ml) / l

5) Feldmomente bestimmen

z.B. graphisch (feldweise)

usw.

MA l1 + 2 MB ( l1 + l2) + MC l2 = - l1 R1 – l2 L

2

L1 R

1

Feld l 1

Belastung

L2 R

2

Feld l 2

Belastung

L3 R

3

Feld l 3

Belastung

L4 R

4

Feld l 4

Belastung

Last g in kN/m‘

MB l2 + 2 MC ( l2 + l3) + MD l3 = - l2 R2 – l3 L

3 MC l3 + 2 MD ( l3 + l4) + ME l4 = - l3 R3 – l4 L

4

ML MR

Feld l

Belastung

A B C

Kragarm

D E

Feld l 2 Feld l 3 Feld l 4

Last auf Kragarm

Last auf Feld 1

Last auf Feld 2

Last auf

Feld 3 Last auf Feld 4

Feld l 1

M0 ML MR

Feld l


Beispiel: Berechnung Zweifeldträger mit der ‚Dreimomentengleichung‘


Weitere Möglichkeiten für die Durchlaufträgerberechnung sind zum Beispiel:

Methode Cross

Näherungsberechnung mit Hilfswerten

Tabellenwerke

EDV

d) Einflusslinien Bisher haben wir die Schnittkraftverteilung von festen Lasten über den ganzen Bauteil in Form von Momenten- oder Querkraftflächen aufgezeichnet. Bei beweglichen Lasten möchten wir aber oft den Einfluss der rollenden Last auf eine bestimmte Stelle am Bauteil kennen. Dazu lassen wir eine Last von der Grösse F = 1 über den Balken rollen und berechnen für den ausgezeichneten Schnitt die Schnittkräfte,

diese Werte tragen wir am jeweiligen Standort der Last auf (also nicht wie vorher, an

der Stelle wo die Schnittkraft wirkt). Die Verbindungslinie dieser Punkte nennt man die

Einflusslinien sind also ein Hilfsmittel, um für gewisse ausgezeichnete Schnitte den Einfluss von beweglichen Lasten auf die Schnittkräfte oder auf die Auflager zu bestimmen.

Eine Einflusslinie wird immer für einen bestimmten Punkt konstruiert. Sie zeigt den

Verlauf des Einflusses der äusseren Belastung für die gesuchte Schnittkraft im

betreffenden Punkt.

Beispiel

Einflusslinie für MB :

0.3

-0.51 -0.22

0.6

E i n f l u s s l i n i e

2.00 l1 = 4.50 l2 = 3.00 1.50

A B C

F = 1

B

+

-


e) Ungünstige Laststellungen

Ähnlich wie bei den Trägern mit Kragarmen erhält man auch bei Durchlaufträgern die ungünstigsten Werte für Schnittkräfte und Auflagerreaktionen nicht bei Vollbelastung des ganzen Trägerzuges, sondern bei nur teilweiser Belastung. Am genauesten lassen sich die jeweils ungünstigsten Laststellungen mit Einflusslinien ermitteln. Wir begnügen uns aber, wie im Hochbau üblich, mit feldweise veränderlichen Lasten. Man trennt daher für die Berechnung das ständig vorhandene Eigengewicht g von der wechselnden Nutzlast q, bzw, bei Einzellasten G und Q. Es ergeben sich dann zum Beispiel folgende Belastungszustände :

Eigengewicht ( ständige Last) Diese Lasten sind ständig vorhanden, und daher sind mit ihnen alle Felder voll zu belasten. Die Schnittkräfte dieses Belastungszustandes sind zu den Nutzlasten dazuzuzählen, um die überhaupt ungünstigsten Werte zu erhalten.

Nutzlast

Die grössten Feldmomente ergeben sich durch gleichzeitige Belastung eines Feldes und der übernächsten Felder. In den unbelasteten Feldern entstehen dann gleichzeitig die kleinsten Feldmomente. Die oben aufgezeichnete Belastung im 5-feldträger liefert auch die maximalen Auflagerdrücke A und F.

Das dem Betrage nach grösste negative Stützmoment und gleichzeitig den grössten Stützendruck erhält man durch gleichzeitige Belastung der beiden der Stütze benachbarten Felder und der übernächsten Felder. Die massgebenden Querkräfte an den Auflagern erhält man durch die Lastzustände für die grössten Stützendrücke.

A B C D E F

l 1 l 2 l 3 l 4 l 5

A B C D E F

l 1 l 2 l 3 l 4 l 5

A B C D E F

l 1 l 2 l 3 l 4 l 5


f) Beispiel Durchlaufträgerberechnung:

Einfeldträger:

l = 6.0 m, Eigengewicht gk= 0.83 +1.17 = 2.0 kN/m’, Nutzlast qk = 4.0 kN/m’

zum Vergleich

Durchlaufträger mit 4 Feldern à 6.0 m:

Eigengewicht gk= 0.83 +1.17 = 2.0 kN/m’, Nutzlast qk = 4.0 kN/m

Feldmoment M = 27 kN m

Feldmoment M = 20 kN m Feldmoment M = 14 kN m

Stützmoment M = - 25 kN m


2) Gelenk- oder Gerberträger

a) System

Durchlaufträger sind gegenüber einfachenTrägern wirtschaftlicher, weil sie bei gleichen Stützweiten und gleicher Belastung wegen ihrer geringen Biegemomente im Feld meist kleinere Abmessungen haben. Dagegen sind sie wegen ihrer statisch unbestimmten Lagerung äusserst empfindlich gegen Stützensenkungen.

Dieser Nachteil lässt sich durch Einschalten von Gelenken, welche die

Durchlaufträger wieder in statisch bestimmte verwandeln, vermeiden, ohne dass der

Vorteil kleinerer Momente verlorengeht.

Gelenke können wohl Normal- und Querkräfte, aber keine Biegemomente

aufnehmen. Für jedes Gelenk besteht daher die Bedingungsleichung M = 0. Ein Durchlaufträger auf n - Stützen lässt sich durch Einschalten von n-2 Gelenken statisch bestimmt machen.

Anzahl der erforderlichen Gelenke = Anzahl der vorhandenen Mittelstützen.

Damit die Gelenkträger ( nach ihrem Erfinder auch Gerberträger genannt) stabil bleiben und nicht in sich beweglich werden, dürfen in einem Felde nicht mehr als zwei Gelenke angeordnet werden, die Nachbarfelder müssen dann von Gelenken freibleiben. Da die Endauflager auch als Gelenke aufzufassen sind, darf in einem Endfeld nur ein weiteres Gelenk vorkommen.

Gelenk Gelenk

Durchlaufträger

Gelenkträger

Statik/Festigkeitslehre - Durchlaufträger und Gerberträger - g.bettschen - Seite 11 Es ergeben sich bei verschiedener Felderzahl die nachfolgend dargestellten Möglichkeiten an Gelenkanordnungen :

Man kann auch in jedem Felde mit Ausnahme eines einzigen nur je ein Gelenk anordnen.

Man erhält dann den Koppelträger :

Koppelträger sollten wegen ihrer leicht zu störenden Stabilität möglichst vermieden werden.

Im Hochbau ordnet man die Gelenke meist so an, dass die Feldmomente gleich den Stützenmomenten werden, dass also Momentenausgleich und damit eine gute Ausnutzung der Baustoffe vorhanden ist. In Wohngebäuden und ähnlichen Bauten sind aber Gelenkträger ungeeignet, weil die Gelenke, damit sie frei spielen können, als durchgehende Fugen auszuführen sind. Im Dachbau können dagegen Gelenke meist angeordnet werden, weil die oft dünne, nachgiebige Dachhaut kleine Bewegungen aufnehmen kann.

Aufstellrichtung

Gelenk G 2 Felder :

3 Felder :

4 Felder :

5 Felder oder

mehr Felder:

3 Felder :

Kragträger Schwebeträger


b) Berechnung der Schnittkräfte Die eingehängten Träger ( Schwebeträger) A-G1 und G2-D können wie einfache Balken berechnet werden.

Aus diesen einfachen Balken erhalten wir die Auflagerkraft A (bzw. D) und die Gelenk- kraft G1 ( bzw. G2), die Gelenkkräfte G1 und G2 sind auch Auflagerkräfte am einfachen Balken. Mit diesen Gelenkkräften können wir nun den Kragträger berechnen.

Berechnung der Kragträger siehe ‘ Balken mit Kragarmen’.

c) Beispiele Schlechte Anordnung der Gelenke – sehr grosse Stützmomente

Bessere Anordnung der Gelenke – Stützmomente und Feldmomente ca. gleich gross

Schwebeträger Schwebeträger Kragträger

G1 G2

A C B D l 1’

l 1

l 3’

l 2 l 3

a b

G1 A

l 1’

G2 D

l 3’

G1 G2

C B l 2 a b

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