SB III Kol 2 MuLoe · sd = 435 MPa • Betonüberdeckung. c. nom = 55 mm. Aufgabe. Bemessen Sie die...

Stahlbeton III

15.11.2018 ETH Zürich | Prof. Dr. W. Kaufmann | Vorlesung Stahlbeton III 1

Kolloquium 2

Kolloquium 2

ETH Zürich | Prof. Dr. W. Kaufmann | Vorlesung Stahlbeton III 2

Freier RandEinfache Lagerung

Legende:10.00

60°60°

xz

y

dq

Übung 2

c) Bemessen Sie die Platte mit Hilfe derStreifenmethode.

d) Bemessen Sie die Platte mit Hilfeeiner elastischen FEM-Berechnung(z.B. mit CEDRUS-7, [4]).

f) Bestimmen Sie mit Hilfe derFliessgelenklinienmethode einenoberen Grenzwert der Traglast.

• FEM-Anwendung:Anwendung in der Praxis

• Streifenmethode:Vorbemessung / Überprüfungvon FEM-Berechnungen

• Transformationschiefe Bewehrung

→ Fliessbedingungen in Kolloquium 2

15.11.2018

Kolloquium 2


Exkurs: Bemessen mit FEM

Dokumentation / Kontrolle von:

• Geometrie (Interaktion CAD)• Lasten• Resultatkombinationen und Grenzwertspezifikationen• Durchbiegungen (Achtung: elastisch → Endzustand Faktor 3-4)• Reaktionen• Schnittkräften• Bewehrungsquerschnitten → Bewehrungsskizzen

15.11.2018

Kolloquium 2


Bewehren: Prinzipien

• Stellvertretende Rahmen→ 2 bis 3 Abstufungen für typische Decke

• Wiederholungen suchen

• Spitzen müssen nicht zwingend abgedecktwerden, Ausmittelung möglich, es resultiert jedoch genau genommen kein unterer Grenzwert

• Vorsicht bzgl. Ausmittelung bei grossenQuerkräften (Durchstanzen)

• Leichte Überdimensionierung besser beiFeldbewehrung als bei Stützenbewehrung

-21.704

-11.000

Cedrus-7: axt [cm2/m] an [cm2/m]

Referenzlinie 5 cm2/m, Äquidistanz 2 cm2/m

-21.704

Schnitt


15.11.2018

Kolloquium 2


Bearbeiteter Ausschnitt aus Bewehrungsplan


Bewehren: Prinzipien

• Stellvertretende Rahmen→ 2 bis 3 Abstufungen für typische Decke

• Wiederholungen suchen

• Spitzen müssen nicht zwingend abgedecktwerden, Ausmittelung möglich, es resultiertjedoch genau genommen kein untererGrenzwert

• Vorsicht bzgl. Ausmittelung bei grossenQuerkräften (Durchstanzen)

• Leichte Überdimensionierung besser beiFeldbewehrung als bei Stützenbewehrung

15.11.2018

Kolloquium 2


Kolloquium 2

Grundlagen

• h = 0.45 m• Beton C30/37

→ fcd = 20 MPa• Betonstahl B500B

→ fsd = 435 MPa• Betonüberdeckung

cnom = 55 mm

Aufgabe

Bemessen Sie die Platte mit Hilfe der abgegebenen elastischen FEM-Berechnung→ hier nur Biegung Legende:10.00


60°60°

xz

y

( )3 2

2 2

1.35 0.45 m 25 kN m 3 kN m

1.5 15 kN m 42 kN mdq = ⋅ ⋅ +

+ ⋅ =

Legende:

15.11.2018

Kolloquium 2


FEM-Berechnung mit Referenzlast

F1p=-100 kN/m2I1:

h=0.45mIsotrop

10.00

yx

3.75

42 0.42100

dqp= =Faktor 6 210 kN mAuflager : Einsenksteifigkeit

15.11.2018

Kolloquium 2


w 1

-1

w 2

-1

7.50

3.75 10.00

X-Richtung

Y-R

icht

ung

Lage

rung

: Ein

senk

unge

n St

eifig

keit 1

e-6

kN/m

2, R

otat

ionen

frei

Lage

rung

: Ein

senk

unge

n St

eifig

keit 1

e6 kN

/m2,

Rot

ation

en fr

ei

Lage

rung

: Ein

senk

unge

n St

eifig

keit 1

e -6

kN/m

2, R

otat

ione

n fre

i

Lage

rung

: Ein

senk

unge

n St

eifig

keit 1

e -6

kN/m

2, R

otat

ione

n fre

i

250.0 500.0

-28.4

750.0

-62.9

953.4

-80.0

750.0

-99.2

750.0

-99.2

-80.0

953.4

-62.9

-31.6

250.0 0.0

x


1

2 34

5

6

7

8

9

10

11

12y

[kNm/m]xm 390365335323438

kNm m00

280235175110

xm

− − =

Äquidistanz: 50 kNm/m

15.11.2018

w 1

-1

w 2

-1

7.50

3.75 10.00

X-Richtung

Y-R

icht

ung

Lage

rung

: Ein

senk

unge

n St

eifig

keit 1

e6 kN

/m2,

Rot

ation

en fr

ei

Lage

rung

: Ein

senk

unge

n St

eifig

keit 1

e -6

kN/m

2, R

otat

ione

n fre

i

Lage

rung

: Ein

senk

unge

n St

eifig

keit 1

e -6

kN/m

2, R

otat

ione

n fre

i

Lage

rung

: Ein

senk

unge

n St

eifig

keit 1

e -6

kN/m

2, R

otat

ione

n fre

i

0.00.0

99.5

-100.0

-291.3

85.4

85.4

-291.3

99.5

-100.0

Kolloquium 2


x


1

2 34

5

6

7

8

9

10

11

12y

3500657517

kNm m008274617

ym

− − − = − −


[kNm/m]ym

15.11.2018

w 1

-1

w 2

-1

7.50

3.75 10.00

X-Richtung

Y-R

icht

ung

Lage

rung

: Ein

senk

unge

n St

eifig

keit 1

e6 kN

/m2,

Rot

ation

en fr

ei

Lage

rung

: Ein

senk

unge

n St

eifig

keit 1

e -6

kN/m

2, R

otat

ione

n fre

i

Lage

rung

: Ein

senk

unge

n St

eifig

keit 1

e -6

kN/m

2, R

otat

ione

n fre

i

Lage

rung

: Ein

senk

unge

n St

eifig

keit 1

e -6

kN/m

2, R

otat

ione

n fre

i

20.2

-50.0

18.4 -150.0

-200.0

-50.0

-250.0

-250.0

-100.0

-300.0

-307.4

-150.0

-250.0

-324.5

-300.0

-200.0

-307.4

-250.0 18.4

20.2

Kolloquium 2


x


1

2 34

5

6

7

8

9

10

11

12y

13592130215313

kNm m8412511010788

xym

− − − −

− − =

− − − −


[kNm/m]xym

15.11.2018

w 1

-1-1

w 2

-1-2

Kolloquium 2


Berechnung von schiefen Platten

Hauptmomente

15.11.2018

Kolloquium 2


Bewehrung 1./2. Lage


Legende:10.00

60°

,x ξz

y

26 ( 100 mm)26 ( 100 mm)26 ( 100 mm)14 ( 200 mm)14 ( 200 mm)14 ( 200 mm)14 ( 200 mm)14 ( 200 mm)26 ( 100 mm)26 ( 100 mm)26 ( 100 mm)26 ( 100 mm)

inf

ssssssssssss

ξ

= = =

= =

= ∅ = =

= = = = =

201414141414

mm mm141414141414

infη

∅ =

η

1. Lage: ξ-Richtung:

2. Lage: η-Richtung:

1 1450 mm 2 382 mmnomd c= − −∅ =

2 1 2450 mm 2 359 mmnomd c= − −∅ −∅ =

1

2 3

5

6

7

910

11

12

8

4

s η=

200

mm

15.11.2018

Kolloquium 2


Bewehrung 3./4. Lage


Legende:10.00,x ξz

y

14 1414 1414 1414 1414 1414 14

mm mm14 1414 1414 1414 1414 1414 14

sup supξ η

∅ = ∅ =

η

4. Lage: ξ-Richtung:

3. Lage: η-Richtung:

4 4450 mm 2 388 mmnomd c= − −∅ =

3 4 3450 mm 2 374 mmnomd c= − −∅ −∅ =

1

2 3

5

6

7

910

11

12

8

4

60°

s η=

200

mm

s ξ=

200

mm

15.11.2018

Kolloquium 2


Biegewiderstände in schiefen Bewehrungsrichtungen

, 1

, 2

, ,

2

2

749749749127127127

kNm/m127127749749749749

untere Bewehrung:

s ,inf sdu inf s ,inf sd

cd

s ,inf sdu inf s ,inf sd

cd

u inf u inf

a fm a f d

f

a fm a f d

f

m m

ξξ ξ

ηη η

ξ η

⋅ = ⋅ − ⋅

⋅ = ⋅ − ⋅ = =

234118118118118118

kNm/m118118118118118118

,, , 4

,, , 3

, ,

2

2

127 1127127127127127

kNm/m127127127127127127

obere Bewehrung:

s sup sdu sup s sup sd

cd

s sup sdu sup s sup sd

cd

u sup u sup

a fm a f d

f

a fm a f d

f

m m

ξξ ξ

ηη η

ξ η

⋅ = ⋅ − ⋅

⋅ = ⋅ − ⋅ = =

22122122122122122

kNm/m122122122122122122

15.11.2018

Kolloquium 2


Transformation der Biegewiderstände in die globalen x, y Koordinaten

0 , 60ξ ηβ = ° β = °2 2

, , ,

2 2, , ,

, , ,

cos cos

sin sin

sin cos sin cos

xu inf u inf u inf

yu inf u inf u inf

xyu inf u inf u inf

m m m

m m mm m m

ξ ξ η η

ξ ξ η η

ξ ξ ξ η η η

= β + β

= β + β

= β β + β β

Untere Bewehrung:

, , ,

807 175 101778 89 51778 89 51157 89 51157 89 51157 89 51

kNm/m kNm/m157 89 51157 89 51778 89 51778 89 51778 89 51778 89 51

xu inf yu inf xyu infm m m

= = =

kNm/m

,x ξ

y

η

ηβ

1

sinym ηβsinxym ηβ

cosyxm ηβ

cosxm ηβ, ,infumη

15.11.2018

, , ,

158 92 53158 92 53158 92 53158 92 53158 92 53158 92 53

kNm/m kNm/m158 92 53158 92 53158 92 53158 92 53158 92 53158 92 53

xu sup yu sup xyu supm m m

= = =

kNm/m

2 2, , ,

2 2, , ,

, , ,

cos cos

sin sin

sin cos sin cos

xu sup us up u sup

yu inf u sup u sup

xyu inf u sup u sup

m m m

m m mm m m

ξ ξ η η

ξ ξ η η

ξ ξ ξ η η η

= β + β

= β + β

= β β + β β

Obere Bewehrung:

Kolloquium 2


Transformation der Biegewiderstände in die globalen x, y Koordinaten

0 , 60ξ ηβ = ° β = °

,x ξ

y

η

ηβ

1

sinym ηβsinxym ηβ

cosyxm ηβ

cosxm ηβ, ,infumη

15.11.2018

Kolloquium 2


Kontrolle der Fliessbedingung

6060°

,x ξz

y

η

1

2 3

5

6

7

910

11

12

8

( ) ( )( ) ( )2 2, , ,

2742161936524

139572036616469

kNm/m 0120431168192087581

5630251331

für die positiven Biegewiderstände :

für die neg

inf xyu inf xy xu inf x yu inf yY m m m m m m

− − − − − − = − − − − = ≤ − −

− − − −

( ) ( )( )2

, , , ...

ativen Biegewiderstände

sup xyu sup xy xu sup x yu sup yY m m m m m m= + − + + =

4

15.11.2018

Herleitung Normalmomenten-Fliessbedingung für orthogonale Bewehrung

Biegebeanspruchung in beliebige Richtung n (Winkel ϕ von x-Richtung gemessen)

mn ϕ( ) mx cos ϕ( )2 my sin ϕ( )2 mxy sin 2 ϕ( )=

Biegewiderstand in beliebige Richtung n

mnu ϕ( ) mxu cos ϕ( )2 myu sin ϕ( )2=

Bedingung (muss für alle ϕ gelten), obere Gleichungen eingesetzt

mnu ϕ( ) mn ϕ( ) mxu mx cos ϕ( )2 myu my sin ϕ( )2 mxy sin 2 ϕ( ) 0

Massgebende Richtung (Minimum) Variante 1

ϕmnu

dd ϕ

mndd

0=ϕ

mxu mx cos ϕ( )2 myu my sin ϕ( )2 mxy sin 2 ϕ( )

dd

0=

2 cos ϕ( ) sin ϕ( ) mxu mx 2 mxy cos 2 ϕ( ) 2 cos ϕ( ) sin ϕ( ) myu my 0=Auflösen nach (m.xu-m.x) resp. (m.yu-m.y)

2 cos ϕ( ) sin ϕ( ) myu my mxu mx 2 mxy cos 2 ϕ( )=

myu my mxu mx 2 mxy cot 2 ϕ( )=

myu my mxu mx 2 mxy cot 2 ϕ( )=

mxu my myu my 2 mxy cot 2 ϕ( )=

Einsetzen in Bedingung m.nu = m.n (m.yu-m.y substituiert), vereinfachen


mxu mx cos ϕ( )2 mxu mx 2 mxy cot 2 ϕ( ) sin ϕ( )2 mxy sin 2 ϕ( )

mxu mx mxy sin 2 ϕ( ) 2 cot 2 ϕ( ) sin ϕ( )2 = tan ϕ( ) mxy 2 cos ϕ( )2cos ϕ( )2 sin ϕ( )2

sin ϕ( )sin ϕ( )

=

mxu mx tan ϕ( ) mxy 2 cos ϕ( )2 cos ϕ( )2 1 cos ϕ( )2 =

mxu mx mxy tan ϕ( ) mxu mx mxy tan ϕ( )=

Einsetzen in Bedingung m.nu = m.n (m.x-m.x substituiert), vereinfachen


myu my 2 mxy cot 2 ϕ( ) cos ϕ( )2 myu my sin ϕ( )2 mxy sin 2 ϕ( )

myu my mxy cot ϕ( ) myu my mxy cot ϕ( )=

Multiplikation der beiden Beziehungen

mxu mx myu my mxy2= tan ϕ( )

mxu mx mxy

=mxy

myu my=

mxu mx

myu my=

Massgebende Richtung (Minimum) Variante 2

ϕmnu

dd ϕ

mndd

=ϕ

mnudd

2 myu cos ϕ( ) sin ϕ( ) 2 mxu cos ϕ( ) sin ϕ( )

ϕmn

dd

2 mxy cos 2 ϕ( ) 2 mx cos ϕ( ) sin ϕ( ) 2 my cos ϕ( ) sin ϕ( )

2 mxy cos 2 ϕ( ) 2 mx cos ϕ( ) sin ϕ( ) 2 my cos ϕ( ) sin ϕ( ) 2 myu cos ϕ( ) sin ϕ( ) 2 mxu cos ϕ( ) sin ϕ( )=

2 mxy cos 2 ϕ( )

2 cos ϕ( ) sin ϕ( )mx my myu mxu=

mxu mx myu my 2 mxy cot 2 ϕ( ) 0= (1)

mxu mx cos ϕ( )2 myu my sin ϕ( )2 mxy sin 2 ϕ( ) 0 (2)

mxu mx cos ϕ( )2 myu my sin ϕ( )2 mxy 2 cos ϕ( ) sin ϕ( )( ) 0

mxu mx cot ϕ( )2 myu my mxy 2 cot ϕ( ) (2) / sin ϕ( )2

mxu mx 1 cot ϕ( )2 mxy 2 cot ϕ( ) 2 mxy cot 2 ϕ( )= (2) / sin ϕ( )2 - (1)

mxu mx 1 cot ϕ( )2 mxy 2 cot ϕ( ) mxycot ϕ( )2 1

cot ϕ( )= mxy cot ϕ( ) mxy tan ϕ( )=

mxu mx 1 cot ϕ( )2 mxy 2 cot ϕ( ) mxycot ϕ( )2 1


mxu mx 1 cot ϕ( )2 mxy cot ϕ( ) tan ϕ( )( )= mxy tan ϕ( ) 1 cot ϕ( )2 =

mxu mx mxy tan ϕ( )= mxu mx mxy tan ϕ( )

mxu mx myu my tan ϕ( )2 mxy 2 tan ϕ( ) (2) / cos ϕ( )2

myu my 1 tan ϕ( )2 mxy 2 tan ϕ( ) 2 mxy cot 2 ϕ( )= (2) / cos ϕ( )2 +(1)

myu my 1 tan ϕ( )2 mxy 2 tan ϕ( ) mxycot ϕ( )2 1


myu my 1 tan ϕ( )2 mxy cot ϕ( ) tan ϕ( )( )= mxy cot ϕ( ) 1 tan ϕ( )2 =

myu my mxy cot ϕ( )= myu my mxy cot ϕ( )

mxu mx myu my mxy2= tan ϕ( )

mxu mx mxy

=mxy

myu my=

mxu mx

myu my=

SB III Kol 2 MuLoe · sd = 435 MPa • Betonüberdeckung. c. nom = 55 mm. Aufgabe. Bemessen Sie die...

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