1

Schachmathematik

Graphentheorie auf dem Schachbrett

Arsen Abrahamyan

Q3/4

Lessing-Gymnasium

2

Vorwort

Schach ist eines der ältesten Spiele der Welt. Bis heute begeistert es Millionen von Menschen

und ist eine Mischung aus Sport, Wissenschaft und Kunst.

Dass Schach ein Sport ist, merkt man spätestens dann, wenn man mehrere Stunden lang

hochkonzentriert auf einem Stuhl sitzend, die Stellung analysiert und probiert, den Gegner zu

überspielen.

Dabei wird der physikalische Faktor des Spiels sehr oft unterschätzt. Während die meisten

Menschen sich Schach als ein Taschenspiel vorstellen, das ältere Herren mit sich herumtragen

und in öffentlichen Parks zur Belustigung spielen, ist eine Turnierpartie mit einer Bedenkzeit

von mehr als sechs Stunden, bei der es zu zahlreichen Zeitnotsituationen kommt und auch

noch um den Turniersieg geht, alles andere als eine entspannte Runde unter Freunden. Nicht

umsonst sind die meisten Top-Schachspieler körperlich fit und haben eine sehr starke Aus-

dauer.

In dieser Arbeit wird es um den Aspekt der Wissenschaft gehen. Es werden Verbindungen zur

Mathematik hergestellt, jedoch nicht die typischen Schachaufgaben gelöst. Dennoch lässt sich

der wissenschaftliche Aspekt mit der vielfältigen Literatur und den vielen Meistern und

Großmeistern auf der einen Seite und den Schachcomputern auf der anderen Seite belegen.

Die Schachcomputer sind heutzutage dem Menschen überlegen und besitzen ausgeklügelte

Algorithmen zur Berechnung der Varianten. Es gibt auch Schachcomputer, die gegeneinander

antreten. Einzelne Personen – meist sehr starke Schachspieler, wenn nicht Meister – pro-

grammieren ihre eigenen Engines1 oder modifizieren schon vorprogrammierte, um ein opti-

males Ergebnis zu erzielen. Es sei erwähnt, dass viele Schachgroß- und Weltmeister auch

außerhalb des Brettes eine überdurchschnittliche Intelligenz aufweisen. Dr. Emanuel Lasker

war Mathematiker und Philosoph sowie bis heute der am längsten amtierende Schachwelt-

meister der Geschichte mit insgesamt 27 Jahren. José Raúl Capablanca war Diplomat. Ale-

xander Aljechin war Jurist.2

Schach als Kunst ist schon etwas schwieriger vorstellbar, jedoch nicht ganz so abwegig, wie

es auf dem ersten Blick scheint. Schach ist an sich ein kompliziertes Spiel und es bedarf lang-

jähriger Erfahrung und Übung, um die Kunst, von der die Rede ist, nachzuvollziehen und

möglicherweise das eine oder andere Manöver auf seinem Brett zu vollführen. Mit Kunst

meine ich die Schönheit mancher Stellungen, oder genauer die Züge und Ideen, die zu diesen

schönen Manövern führen.

1 Teil des Schachprogramms, das die Varianten und Züge berechnet. 2 Gik, J., „Schach und Mathematik“, 1983, S.10f.

3

INHALT

1. Einleitung………………………………………………….4

a. Einführung in die Problematik………………………………...4

b. Einführung in die Schachprobleme……………………………6

2. Graphentheorie…………………………………………...13

a. Grundlagen…………………………………………………...13

b. Kantenzüge.………………………………….....………….....16

c. Eulersche Graphen…………………………………………...17

d. Hamiltonsche Graphen……………………………………….22

3. Schachprobleme………………………………………….24

a. Turmprobleme………………………………………………..25

b. Springerproblem……………………………………………...31

4. Fazit……………………………………………………....33

5. Anhang………………………………………………...…35

4

1. Einleitung

a. Einführung in die Problematik

Schach ist mit der Mathematik - historisch betrachtet - von Beginn an verknüpft. Der Ur-

sprung des Schachspiels ist stark umstritten, doch eine Legende - egal wie unrealistisch sie

auch sein mag - hat sich bis heute verbreitet und ist eine schöne Geschichte über die Verbin-

dung beider Gebiete. Die Rede ist von der Weizenkornlegende.

Im vierten Jahrhundert nach Christus hat ein Herrscher in Indien, um von den Problemen des

Landes abzulenken, einem Bediensteten befohlen, ein Spiel für ihn zu erfinden. Dieser würde

im Gegenzug eine Belohnung erhalten. Der Bedienstete erfand das Schachspiel, jedoch wur-

den viele Regeln im Laufe der Zeit geändert. Die Forderung des Bediensteten, nach der Erfin-

dung des Schachspiels war, auf jedes der 64 Felder die doppelte Anzahl an Körnern zu legen

wie auf das vorherige, wobei auf das erste eins gelegt werden sollte. Dabei kommt man auf

die riesige Anzahl von 18.446.744.073.709.551.615 (264

-1) Körnern, was den Vorrat des ge-

samten Landes übersteigen würde.

Dies ist eine schöne Einführung in das Gebiet der Schachmathematik doch bei weitem kein

komplexes Problem, um die es in dieser Arbeit gehen soll. Es gab nicht nur Mathematiker, die

sich für Schach stark interessiert hatten, sondern auch sehr viele professionelle Schachspieler

und Weltmeister, die ein großes mathematisches Interesse hatten oder sogar ein Studium bzw.

eine Ausbildung in diese Richtung abgeschlossen hatten. Der erste Schachweltmeister Wil-

helm Steinitz war ambitionierter Mathematiker. Dr. Emanuel Lasker war professioneller Ma-

thematiker und hat eine Dissertation über unendliche Reihen verfasst. Max Euwe war Leiter

eines Rechenzentrums in den Niederlanden und Anatoli Karpow ist Goldmedaillenträger an

einer mathematischen Schule und Gewinner zahlreicher Matheolympiaden. Auch Gauß hat

sich mit dem Problem der acht Damen beschäftigt.3

Es gibt viele Fragen, die man sich im Zusammenhang mit Schach und Mathematik stellen

kann. Angefangen mit der Anzahl aller möglichen Stellungen bis hin zu Zugmöglichkeiten

von Fantasiefiguren auf vergrößerten oder verkleinerten Brettern. Die Vielfalt von mathemati-

schen Problemen im Schach ist groß. Man kann z. B. überlegen, wie man acht Damen auf

dem Schachbrett so positioniert, dass keine Dame die andere bedroht. Diese Aufgabenstellung

3 Gik, J., „Schach und Mathematik“, 1983, S.10f.

5

kann man auch auf größeren oder kleineren Brettern durchführen. Eine weitere Möglichkeit

wäre es, ein rechteckiges Brett (bspw. 6x4 Brett) für diese Aufgabenstellung zu nehmen und

diese zu wiederholen. Noch ein Beispiel wäre das Springerproblem, welches auch in Variati-

onen in dieser Arbeit behandelt wird. Bei diesem Problem wird ein Springer auf ein irgendein

Feld (bei der bekanntesten Variante in die Ecke) gestellt und die Aufgabe ist es, jedes der 64

Felder einmal zu begehen, ohne dabei auf einem zweimal aufzutauchen. Wenn man dies an

einem Schachbrett ausprobiert, merkt man schnell, dass das gar nicht so einfach ist, wie es

anfangs zu sein scheint. Eine erweiterte Aufgabenstellung dieses Problems ist es, genau auf

das Feld zurückzukehren, von welchem man gestartet ist. Auch hier gibt es Varianten mit

anderen Brettern und Fantasiefiguren.

Klar ist, dass viele dieser Probleme keineswegs trivial sind und einige sind bis heute ungelöst.

In dieser Arbeit soll es speziell um Probleme gehen, die mit einem Teilgebiet der Mathematik

gelöst werden: der Graphentheorie. Dabei ist es nicht zwangsläufig ersichtlich, ob ein Prob-

lem mit der Graphentheorie als Modell gelöst werden kann. Während der genauen Betrach-

tung des Aufgabenkontextes kommt man möglicherweise zu dem Schluss, dass sich die Gra-

phentheorie für diese Aufgabe nicht eignet. Grob kann man immer dann, wenn es um Wege

von Figuren geht, versuchen, das Problem als Graph darzustellen und zu lösen.

6

1. Dh6+ 1… Kg8 2. Dg7#

b. Einführung in die Schachprobleme

Das Kernthema der Arbeit sind die Schachprobleme, die mit Hilfe von einem Modell gelöst

werden. Doch letztlich sollen Fragestellungen bezüglich Schachproblemen beantwortet wer-

den. Es handelt sich hierbei um ganz spezielle Schachprobleme, die im Folgenden näher er-

läutert werden.

Man kann Schachaufgaben in zwei grundlegende Segmente unterteilen. Die herkömmlichen

Schachaufgaben, die zur Stärkung und Verbesserung der Spielstärke dienen, und den wissen-

schaftlichen bzw. mathematischen Aufgaben, die mit dem Spiel wenig zu tun haben und meist

schöne und komplexe Probleme als Fragestellung haben (z. B. Anzahl aller möglichen Stel-

lungen4).

Aufgaben, die rein auf das Schachspiel bezogen sind, haben oft eine ähnliche Form. Es wird

aus verschiedenen Partien, meist Großmeisterpartien, da diese taktisch nahezu einwandfrei

spielen, in einer bestimmten Stellung angehalten bzw. abfotografiert und es wird die Aufgabe

gestellt, ein Matt in einem Zug zu suchen. Dabei muss es sich nicht zwangsläufig um ein Matt

handeln, es kann sich auch um Gabeln, Fesselungen, Spieße, Abzugsschachs, Hinlenkungen

und Ablenkungen5 handeln. Ebenfalls muss die Lösung nicht einzügig sein. Es kann auch ein

Matt in fünf Zügen gefragt sein. Die schwereren Aufgabenstellungen sind allgemeiner ge-

stellt, in denen wird nur nach einem Gewinn für Weiß oder Schwarz in einer unbekannten

Anzahl von Zügen gefragt. Dies wäre ein Beispiel für solch eine Aufgabe.

Die Aufgaben zur Verbesserung der Spielstärke kann man ebenfalls in taktische, strategische,

Studien etc. unterteilen, jedoch werde ich

hier nicht weiter darauf eingehen, sondern

die mathematischen Probleme behandeln,

die für einen Schachspieler außer ihrer

Schönheit nicht sonderlich relevant sind.

Die Lösung dieser Aufgabe ist rein schach-

lich und wird höchstwahrscheinlich umso

schneller gelöst, je besser die jeweilige

Person Schach spielen kann.

4 Diese Fragestellung ist bis heute ungeklärt, jedoch sind sich nahezu alle Wissenschaftler einig, dass die Anzahl

der möglichen Stellungen, durch die Beschaffenheit des Spiels, endlich ist. 5 Bei diesen Fachbegriffen handelt es sich um taktische Manöver, die zur Stellungsverbesserung dienen.

7

Die Probleme, mit denen ich mich beschäftige, sind reiner Neugier entsprungen. Die Intention

dieser ist nicht, das Schachspiel an sich, sondern die mathematischen Strukturen im Schach-

spiel wiederzuentdecken, die es der Mathematik erst ermöglichen, scheinbar ferne Aufgaben-

stellungen mit ihren charakteristischen Mitteln zu lösen.

Acht-Damen-Problem

Aufgabenstellung:

Stellen Sie die acht Damen so auf

das Brett, dass sie sich nicht ge-

genseitig bedrohen. Hierbei sei

nicht zu beachten, dass alle Damen

dieselbe Farbe haben. Es kann

theoretisch eine jede Dame eine

jede andere bedrohen. Man beach-

te nur, dass die Zugmöglichkeiten

der Damen sich nicht überschnei-

den. Es gibt mehrere Lösungen.

8

Lösung:

Diese Aufgabe ist keine rein mathematischen Ursprungs, jedoch auch keine, die das Schach-

spiel betrifft und aus einer Stellung entsprungen ist wie die vorherige. Selbst Laien ist klar,

dass es auf einem Brett nicht acht Damen einer Farbe ohne Könige geben kann. Demnach

spricht man in diesem Fall von Fantasieaufgaben. Damit ist gemeint, dass diese nicht zwangs-

läufig mit den Schachregeln konform sein müssen. Eine Aufgabe, die ein wenig mehr mit

Mathematik zu tun hätte, wäre die Frage, wie viele es von diesen Stellungen gibt, sodass acht

Damen auf dem Brett stehen und sich nicht gegenseitig bedrohen.

Nun haben wir Beispiele für Schachaufgaben im direkten Sinne gesehen. Nämlich all jene, die

das Spiel ausmachen und für den Spieler gedacht sind, dementsprechend von stärkeren Spie-

lern schneller gelöst werden als von Schwächeren. Des Weiteren gibt es Aufgaben, wie das

„Acht-Damen-Problem“, das nicht zur Verbesserung der Spielstärke dient, jedoch auch nicht

auf ein mathematisches reduziert wird oder zumindest so einfach ist, dass es nicht auf ein ma-

thematisches reduziert werden muss. Im Folgenden wird die dritte - und für diese Arbeit

wichtigste - Art von Problemen beschrieben. Diese Probleme sind, ähnlich dem „Acht-Da-

men-Problem“, jedoch so komplex, dass man zwangsläufig – bzw. aus zeitlichen Gründen –

andere Modelle zur Lösung dieser Probleme zu Rate zieht. Wenn man bspw. die Anzahl aller

möglichen Stellungen herausfinden möchte, wäre es sehr müßig, sich jede einzelne Stellung

auf dem Brett anzugucken, daher werden mathematische Schätzungen basierend auf Compu-

terprogrammen durchgeführt und bis heute ist die Zahl ungeklärt. Eines der bekanntesten

Probleme, wie oben beschrieben, ist das Springerproblem, um das es nun gehen soll.

9

Das Springerproblem hat mit dem Schachspiel ebenso wenig zu tun wie das Acht-Damen-

Problem. Bei diesem geht es in der klassischen Variante darum, einen, wie wir später sehen

werden, speziellen Kantenzug zu finden, wenn man es auf ein Problem der Graphentheorie

reduziert. Schachlich geht es um den Springer. Dieser wird auf eines der 64 Felder des Brettes

gestellt, meist jedoch auf ein Eckfeld. Die Aufgabe besteht nun darin, mit dem Springer jedes

Feld einmal zu durchkreuzen, ohne dabei auf ein Feld zweimal zu ziehen.

Die Kreuze zeigen in diesem Fall die Felder, auf die der Springer im nächsten Zug ziehen

darf. Obwohl es üblicherweise mit dem Springer in der Ecke dargestellt wird, ist es auch mög-

lich eine Lösung von dieser Stellung zu finden. Wenn man das einmal selber auf dem

Schachbrett probiert, merkt man schnell, dass es nicht so einfach ist, wie man anfangs viel-

leicht vermutet. Man muss immer schon das nächste, wenn nicht das übernächste oder über-

übernächste Feld im Auge behalten. Da das ein sehr bekanntes Problem ist, gibt es demnach

auch viele Lösungen. Nochmals zur Erinnerung: Die Grundaufgabenstellung, mit welcher

sich die nächsten Seiten auseinandersetzten, lautet, den Springer von einem Eckfeld über das

gesamte Schachbrett zu ziehen, d. h. jedes Feld einmal zu bespringen, ohne auf ein Feld

zweimal zu gelangen. Dabei ist es nicht wichtig, auf einem bestimmten Feld oder gar dem

Anfangsfeld anzukommen.

10

Aufgabenstellung:

Die Aufgabe besteht darin, den

Springer über alle 64 Felder zu

ziehen, ohne dabei auf ein Feld

zweimal zu gelangen.

Lösung:

Bei dieser Lösung soll nicht der Punkt,

sondern der Pfeil als Startfeld gesehen

werden und dementsprechend der Punkt

als Zielfeld. Der Springer startet von d4

und bewegt sich über e2, …, nach d1.

Die Bedingung, dass kein Feld zweimal

besucht werden darf, wurde ebenfalls

erfüllt. Jedoch ist diese nicht die einzige

Lösung für das Problem und auch nicht

für diese Stellung. Es sind viele andere

denkbar.

11

Eine andere Aufgabe ist es, mit dem Turm ebenfalls über jedes Feld zu ziehen, ohne auf eines

doppelt zu gelangen. Hierbei zieht der Turm – falls es unbekannt sein sollte – ausschließlich

horizontal oder vertikal.

Auf diesem Bild wird angezeigt,

wohin der schwarze Turm auf a8

ziehen kann. Der Turm kann sich

demnach entlang der gesamten

Linie a oder aber entlang der ge-

samten Reihe 8 bewegen.

Man muss kein Schachexperte sein, um die Lösung des Turmproblems vorauszuahnen. Allein

wegen der Art der Zugmöglichkeiten eines Turms ist die Aufgabe deutlich leichter auf einem

Schachbrett zu lösen, aber mathematisch gesehen keineswegs eindeutig. Wie unschwer zu

erkennen, ist die Lösung dieses Problems wie folgt.

12

Genauso könnte man hier die Aufgabenstellung erweitern und herausfinden, ob es einen Weg

gibt, mit dem Turm über alle Felder genau einmal zu ziehen und auf das Ausgangsfeld zu-

rückzukehren. Wieder gibt es hier ebenso wie in den vorausgegangenen Aufgabenstellungen

mehrere Lösungen.

Diese Art von Aufgaben kann man auf verschiedenste Weisen variieren. Eine Möglichkeit

besteht darin, das Brett zu modifizieren. Beispielsweise kann man ein größeres oder kleineres

nxn Brett verwenden und möglicherweise zwischen n (wobei ∀ 𝑛 ∈ ℕ) gerade und ungerade

unterscheiden. Des Weiteren ist es möglich ein rechteckiges mxn (wobei ∀ 𝑚, 𝑛 ∈ ℕ) Brett zu

verwenden. Eine andere Möglichkeit ist es, das Brett durch „Abschneiden“ von Feldern zu

verkleinern (bspw. zwei jeweils gegenüberliegende Eckfelder). Neben dem Brett können auch

die Gangarten der Figuren verändert oder komplett neue Figuren hinzugedacht werden.

13

2. Graphentheorie

In diesem Bereich wird die Einarbeitung in das mathematische Thema dokumentiert und zu-

sammengefasst.

Graphen sind ein Modell zur Beschreibung abstrakter oder realer Strukturen. Dabei geht es

um die Verknüpfung von einzelnen Objekten und den Strukturen, die dabei entstehen. Ob-

wohl es für Schüler ein sehr unbekanntes Teilgebiet der Mathematik ist, ist sie aus unserer

heutigen Welt nicht mehr wegzudenken. Beispielsweise basieren nahezu alle Navigationssys-

teme auf der Graphentheorie.

a. Grundlagen

Graphen sind Objekte, die zur Modellierung abstrakter oder realer Sachverhalte dienen. Sie

bestehen aus zwei verschiedenen Grundbausteinen: Ecken und Kanten. Im Folgenden ist solch

ein Graph dargestellt.

Das Viereck mit den Diagonalen und – man könnte meinen – zu großen Eckpunkten ist kein

geometrisches Quadrat in dem Sinne, sondern ein Graph. Dieser Graph hat 4 Ecken (auch

Kanten), wobei hier die Ecken nicht als geometrische Ecken eines Quadrats, sondern als die

Ecken eines Graphen zu sehen sind, und 6 Kanten. Bei einem Graph müssen die Kanten nicht

gerade sein. Die Verbindungslinie zwischen zwei Ecken kann auch kurvenförmig sein, hierbei

ist lediglich wichtig, dass deutlich wird, dass eine Verbindung besteht. Man könnte diesen

Graphen als ein 2x2 Schachbrett sehen, wobei in diesem Fall die Zugmöglichkeiten der Dame

von jedem der vier Felder betrachtet werden.

Die Dame könnte demnach von einem beliebigen Feld aus auf jedes andere Feld, da sie hori-

zontal, vertikal und diagonal ziehen kann. Der obige Graph verdeutlicht genau dies. Hierbei

sind die einzelnen Ecken als die Felder des Brettes und die Kanten als Züge der Dame zu se-

hen.

Ecke

Kante

14

Ein Graph kann noch andere Eigenschaften haben. Die wichtigste Eigenschaft zur schnellen

Orientierung bei Graphen ist der „Grad“ einer Ecke. Der Grad gibt an, wie viele Kanten von

dieser Ecke weg- bzw. zu dieser Ecke hinführen. Im Folgenden ist ein Graph mit den jeweili-

gen Graden abgebildet.

In diesem Fall hat jede Ecke denselben Grad, jedoch ist das keineswegs die Regel. Für das

2x2 Schachbrett mit der Dame bedeutet das, dass die Dame von jedem Feld aus genau drei

Zugmöglichkeiten hat.

Dieser Graph mag auf den ersten Blick recht ungewöhnlich aussehen, ist jedoch eine umge-

wandelte Variante des vorherigen Graphen. Bei genauem Betrachten fällt auf, dass der Graph

die gleiche Anzahl an Ecken und Kanten hat. Der Unterschied besteht darin, dass die Kanten

dieses Graphen nicht geradlinig verlaufen. Trotzdem hat jede Ecke den Grad drei und jede

Ecke ist mit jeder verbunden. Man bezeichnet diese zwei Graphen als isomorph. Die beiden

vorgestellten Graphen können auf dieselbe Problemstellung mit dem verkleinerten Schach-

brett und der Dame angewandt werden, lediglich die Darstellung des zweiten Graphen ist

komplizierter. Es können demnach sehr komplexe Graphen, die auf dem ersten Blick nichts

miteinander gemeinsam haben, isomorph zueinander sein. Ein Beispiel hierfür sind die ver-

schiedenen Variationen vom Petersen-Graph6.

6 Das ist ein Graph mit 15 Kanten und zehn Ecken, wobei jede Ecke den Grad drei hat.

3 3

3 3

15

Graphen können auch verschiedene Sondereigenschaften haben. Eine davon ist die Schlinge.

Eine Schlinge ist eine Kante, die eine Ecke mit sich selbst verbindet.

Dieser Graph hat zwei Ecken und zwei Kanten, von denen eine eine Schlinge ist, da sie die

rechte Ecke mit sich selbst verbindet; da dies von beiden Richtungen aus gesehen werden

kann, erhöht sich der Grad einer Ecke durch eine Schlinge um zwei.

Die nächste Besonderheit sind die Mehrfachkanten (oder parallele Kanten). Parallele Kanten

sind vorhanden, wenn es mehrere Möglichkeiten gibt, von einer Ecke A zu einer anderen

Ecke B zu gelangen.

Es fällt auf, dass der Graph zwei Ecken mit den Graden drei hat, wobei von jeder Ecke aus

drei Kanten zur anderen führen (Mehrfachkanten).

Weitere Arten von Graphen sind bspw. nicht zusammenhängende Graphen.

Graphen, die nicht zusammenhängend sind, bestehen aus mehreren Graphen, die durch keine

Kanten miteinander verbunden sind und daher in keiner Beziehung zueinander stehen.

Der unspektakulärste Teil von Graphen sind die isolierten Ecken. Bei solchen Graphen gibt es

eine Ecke, an die keine Kanten angrenzen.

1 3

3 3

16

b. Kantenzüge

„In der Graphentheorie bezeichnet Weg, Pfad, Kantenzug oder Kantenfolge eine Folge von

Knoten, in welcher jeweils zwei aufeinander folgende Knoten durch eine Kante verbunden

sind.“7

Einfach ausgedrückt ist ein Kantenzug eine „Folge von aneinanderstoßenden Kanten“8.

Beim Graphen (s.o.) sehen wir einen Kantenzug (grün). Dieser geht über die Ecken A, B, C,

D, E und endet wieder in A. Man kann diesen Kantenzug zeichnen ohne den Stift abzusetzen

und in diesem Fall stimmen Anfangs- und Endknoten überein. Diese Kantenzüge nennt man

geschlossen.

Kantenzüge sind ein wichtiger Bestandteil der Graphentheorie und werden auch in dieser Ar-

beit des Öfteren vorkommen. Man kann sich diese Kantenzüge in vielen praktischen Zusam-

menhängen vorstellen. Es könnte eine Karte von fünf Städten A, B, C, D und E sein und der

Kantenzug AB → BC → CD → DE → EA eine Reise durch diese fünf Städte mit den jewei-

ligen Zugverbindungen. Es gäbe auch die Fahrtmöglichkeiten BD, BE, CE, DB, EB, EC, je-

doch wurden diese nicht für den gegebenen Kantenzug verwendet. Ein Kantenzug muss nicht

alle Kanten eines Graphen enthalten. Es gibt auch spezielle Kantenzüge, die eben diese Ei-

genschaften des Durchlaufens aller Kanten haben.

7„Weg (Graphentheorie) Bearbeitungsstand: 26. Januar 2015, 15:40 UTC.

URL:http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Weg_(Graphentheorie)&oldid=138187383 (Abgerufen: 10.

März 2015, 10:48 UTC) 8 Vgl. Nitzsche, M., „Graphen für Einsteiger“, 3.Auflage, 2009, S.21

17

c. Eulersche Graphen

Es gibt in der Graphentheorie prominente Mathematiker, die sich mit diesem Bereich der

Wissenschaft intensiv befasst haben. Ganz prägend für die Graphentheorie – besonders was

ihren Anfang betrifft – war Leonhard Euler.

Ihm gelang es im Jahre 1736 eine damals, so dachte man, von der Mathematik nicht sonder-

lich betroffene Aufgabe, durch die Graphentheorie zu lösen9. Die Rede ist vom Königsberger

Brückenproblem. Bei dieser Aufgabe handelt es sich um ein alltägliches Problem der Bürger

von Königsberg. Hierzu muss man sich einen alten Stadtplan von Königsberg mit dem Fluss

und den sieben Brücken anschauen.

Oben ist ein vereinfachter Stadtplan der Stadt Königsberg im 18. Jahrhundert dargestellt.

Hierbei stellen die mit den Buchstaben markierten Gebiete A, B, C und D die einzelnen Stadt-

teile von Königsberg dar, während die schwarzen Striche die sieben Brücken symbolisieren.

Die Idee von manchen Bürgern war es, einen Spaziergang durch die Stadt zu machen und

dabei über jede der sieben Brücken genau einmal zu gehen. Eine Erweiterung der Frage war:

Ist es möglich, über jede Brücke genau einmal zu gehen und wieder an den Anfangspunkt

(Stadtteil) zurückzukehren?

Durch die Reduktion dieses Problems auf einen Graphen, den man schon aus dem Stadtplan

fast erahnen kann, gelang es Euler, diese Frage zu beantworten. Durch seine Arbeiten zur

Graphentheorie wurde eine bestimmte Art von Graphen nach ihm benannt.

Da dieses Problem mithilfe der Graphentheorie gelöst werden soll und es sich hierbei um ei-

nen Spaziergang über alle Brücken handelt, wird schnell klar, dass in diesem Fall ein beson-

derer Kantenzug gesucht ist. Bei dem Kantenzug müssen alle Kanten (Brücken) des Graphen

enthalten sein und keine Kante darf doppelt auftauchen. Bei erweiterter Problemstellung müs-

sen Anfang und Ende des Kantenzuges (Spaziergang) übereinstimmen.

9 Nitzsche, M., „Graphen für Einsteiger“, 3. Auflage, 2009, S.19

18

Im Folgenden ist der Stadtplan von Königsberg als Graph mit dem jeweiligen Grad jeder

Ecke dargestellt.

Die Ecken des Graphen stehen für die jeweiligen Stadtteile, während die Kanten die Brücken

zu dem entsprechenden Stadtteil symbolisieren. Beispielsweise gibt es von Stadtteil C aus drei

Brücken zu den Stadteilen A bzw. D. Zum Stadtteil A führen zwei Brücken – im Graph durch

parallele Kanten dargestellt – und zum Stadtteil D führt eine Brücke. Wichtig ist hierbei, dass

jede Ecke einen ungeraden Grad hat. Das mag zu Beginn etwas unschlüssig klingen, wenn

man sich jedoch überlegt, wie ein Kantenzug entstehen kann, bei dem jede Kante durchlaufen

wird und wieder der Anfangspunkt erreicht wird, wird deutlich, dass es für den Knoten zu

Beginn und damit auch das Ende einen geraden Grad geben muss, da sonst eine Kante nicht

durchlaufen, oder der Anfangsknoten nicht erreicht wird. Das ist eine grundlegende Proble-

matik bei Kantenzügen, die dort enden sollen, wo sie anfangen. Sobald man vom Knoten B

die erste Kante durchläuft, bspw. zu A, dann von A zu D und wieder zu B, bleibt einem nur

noch eine Kante, nämlich die parallel zur ersten verlaufenden Kante BA. Durchläuft man die-

se Kante, hat man alle Kanten, die zu B führen können, schon durchlaufen und es gibt keine

Möglichkeit mehr zum Knoten B zu gelangen, ohne eine Kante zweimal zu durchlaufen, und

dies widerspricht der Aufgabenstellung.

C

A

B

D

19

Zur Verdeutlichung ist hier noch einmal die Problematik der ungeraden Grade der Ecken mit

den jeweiligen Kantenzügen dargestellt.

Man starte vom Knoten B und gehe eine Kante zu A, dabei spielt es keine Rolle, welche man

wählt. Von A aus gehe man eine Kante zu D. Nun gibt es zwei Wege. Entweder man setzt den

Weg, wie oben gezeigt, fort, oder man geht von D aus nach C. Man wird schnell merken, dass

es keinen Unterschied machen wird. Geht man von D aus weiter zu B, hat man von B nur

noch eine Möglichkeit weiterzugehen, nämlich über die zweite Kante (Brücke) nach A und

damit sind alle Kanten, die zu B führen bzw. zurückführen konnten schon durchlaufen und

man kommt nicht mehr zum Startknoten. Zusammengefasst bedeutet dies, dass bei einem

ungeraden Grad einer Ecke niemals die Situation auftreten kann, dass bei einem Kantenzug

über alle Kanten (genau einmal) der Anfangsknoten erreicht wird. Wenn man von B startet,

muss man irgendwie wieder zu B zurück, da es mehr als eine Kante zu B hin bzw. von B weg

gibt. Ist man jedoch wieder bei B, muss man durch die dritte Kante wieder von B weg, da man

alle Kanten durchlaufen muss. Demnach ist es nicht möglich, einen Spaziergang in Königs-

berg zu machen, bei dem man von einem Stadtteil startet, über alle Brücken genau einmal

läuft und wieder im selben Stadtteil ankommt. Für den Fall, dass man von A startet, gilt genau

dasselbe, da von A fünf Brücken wegführen. Hier ist nur ein Teil eines möglichen Weges ge-

zeigt, jedoch wird deutlich, dass es nicht möglich ist (1) jede Kante genau einmal zu durchlau-

fen, (2) alle Kanten des Graphen zu durchlaufen und (3) genau am Anfangsknoten anzukom-

men.

20

Diese Art von Kantenzügen, nach denen wir beim Königsberger Brückenproblem gesucht

haben, sind nach Euler benannt. Ein Kantenzug mit folgenden Eigenschaften:

(1) Der Kantenzug enthält keine Kante doppelt.

(2) Der Kantenzug enthält sämtliche Kanten des Graphen.

(3) Anfang und Ende des Kantenzugs stimmen überein.

nennt man eine eulersche Tour. Von einer Tour spricht man, wenn der Kantenzug die erste

Eigenschaft hat. Graphen, die eine eulersche Tour haben, nennt man eulersche Graphen.10

Wichtig ist ebenfalls zu fordern, dass der Graph zusammenhängend sein muss, da sonst keine

geschlossenen Kantenzüge entstehen können.11

Da wir gesehen haben, dass Graphen mit Ecken ungeraden Grades keine eulerschen Touren

haben, ist es naheliegend zu fragen, welche Eigenschaften ein Graph haben muss, um eulersch

zu sein. In diesem Zusammenhang hilft die Eigenschaft (3). Wenn Anfang und Ende des Kan-

tenzuges übereinstimmen müssen und man theoretisch von jeder Ecke aus anfangen kann,

muss jede Ecke einen geraden Grad haben, da man sonst in die Problematik des Nicht-

geschlossenen-Weges kommt.12

Um von jedem möglichen Startpunkt aus eine eulersche Tour

zu finden, müssen alle Ecken einen geraden Grad haben.

Das ist ein Beispiel für einen eulerschen Graphen. Die eulersche Tour kann man ebenfalls

schnell finden, indem man probiert, von einer Ecke aus das gesamte Gebilde zu zeichnen.

10

Vgl. Nitzsche, M., „Graphen für Einsteiger“, 3. Auflage, 2009, S.21 11

Ebd. S.23 12

Vgl. S.22

2

2

4

4

4

4

21

Eine Möglichkeit, eine eulersche Tour einzuzeichnen, sieht wie folgt aus.

Der Startknoten ist in diesem Fall das grüne Viereck. Von dort aus wird der komplette Graph

bzw. jede Kante durchlaufen, ohne dass dabei eine Kante doppelt oder gar nicht durchlaufen

wird. Demnach sind alle Bedingungen für eine eulersche Tour erfüllt und da der Graph eine

eulersche Tour hat und zusammenhängend ist, ist dieser ein eulerscher Graph.

2

3 4

5

1 10

6

7

8

9

22

d. Hamiltonsche Graphen

William Rowan Hamilton (1805-1865) war ein irischer Mathematiker und gilt neben Euler als

einer der Wegweiser der Graphentheorie. Er befasste sich während seiner Forschung mit Al-

gebra, aber auch Physik, und stellte in beiden Disziplinen fundamentale Neuerungen auf.13

Hamiltonsche Graphen sind laut ihrer Definition den eulerschen Graphen sehr ähnlich und

deshalb – so scheint es zu Beginn – auch nicht wesentlich schwerer als diese zu verstehen

oder zu berechnen bzw. zu finden. Dem ist aber nicht so, da Hamiltonsche Graphen nicht ein-

deutig mit einfachen Kriterien, wie das bei den eulerschen Graphen der Fall war, nachzuwei-

sen sind.

„Im Gegensatz zum leicht lösbaren Eulerkreisproblem, bei dem alle Kanten genau einmal

durchlaufen werden, ist das Hamiltonkreisproblem NP-vollständig.“14

Mit NP-Vollständigkeit ist gemeint, dass selbst Computer das Problem nicht effizient lösen

können.15

Die Zeit, die Computer benötigen, um ein NP-vollständiges Problem zu lösen, lässt

sich mit einer Polynomfunktion darstellen. Es lässt sich also – anders als bei eulerschen Gra-

phen – keine Bedingung für hamiltonsche Graphen aufstellen.

Bei einem Hamiltonkreis ist erneut ein spezieller Kantenzug gesucht. Diesmal sollen jedoch

nicht alle Kanten genau einmal durchlaufen werden, sondern alle Ecken. Dabei spielt es keine

Rolle, ob eine Kante mehrmals oder auch gar nicht durchlaufen wird, wichtig ist nur, dass

jede Ecke genau einmal durchlaufen wird und Startecke und Zielecke übereinstimmen. Ein

Hamiltonkreis ist demnach ein geschlossener Kantenzug bei dem jede Ecke genau einmal

durchlaufen wird.

Dieser Graph wäre – wie man anhand der Grade feststellen kann – nicht eulersch, jedoch ha-

miltonsch.

13

Nitzsche, M., „Graphen für Einsteiger“, 3. Auflage, 2009, S.40 14

„Hamiltonkreisproblem“. Bearbeitungsstand: 6. Dezember 2014, 18:14 UTC.

URL: http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Hamiltonkreisproblem&oldid=136527279 (Abgerufen: 10.

März 2015, 18:36 UTC) 15

„NP-Vollständigkeit“. Bearbeitungsstand: 8. Oktober 2014, 17:12 UTC.

URL: http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=NP-Vollst%C3%A4ndigkeit&oldid=134715296 (Abgerufen:

10. März 2015, 18:40 UTC)

23

Der hamiltonsche Kreis ist im Folgenden eingezeichnet. Hierbei ist das Viereck wieder der

Startknoten und, da es sich um einen hamiltonschen Kreis handelt, ist es auch der Endknoten,

weil ein derartiger Kantenzug immer geschlossen ist.

Es fällt hierbei auf, dass obwohl alle Ecken durchlaufen werden, einige Kanten ungeachtet

bleiben. Dies wäre nur für eulersche Touren wichtig, jedoch nicht für hamiltonsche Kreise.

Man kann bei diesem Graph probieren, eine eulersche Tour zu finden. Wie wir aus b) wissen,

brauchen wir dazu den Grad jeder Ecke und müssen überprüfen, ob es gerade oder ungerade

Zahlen sind. Des Weiteren muss gewährleistet sein, dass der Graph zusammenhängend ist.

Man kann schnell sehen, dass es sich hierbei um einen zusammenhängenden Graphen handelt.

Anhand der Grade können wir nun feststellen, ob es in diesem Graphen eine eulersche Tour

gibt oder nicht. Da für eine eulersche Tour der Grad jeder Ecke gerade sein muss, existiert für

diesen Graphen keine eulersche Tour und demnach ist der Graph auch nicht eulersch.

Da bei einem hamiltonschen Graphen die Ecken im Vordergrund stehen, werden solche Gra-

phen oftmals für Navigationssysteme oder Reisen etc. verwendet, um von einem Ort, der

demnach durch eine Ecke symbolisiert wird, zum nächsten zu kommen.

24

3. Schachprobleme

Die schachmathematischen Probleme in diesem Abschnitt werden verschiedenster Art sein.

Es werden Wege bzw. kürzeste Wege gesucht, Anzahlen von Möglichkeiten bestimmt etc.

Manche der Probleme sind schon gelöst bzw. bekannt, jedoch wird oftmals entweder ein an-

derer Lösungsweg oder eine variierte Version des Problems dargestellt. Dies können verän-

derte Bretter sein, die größer bzw. kleiner sind, andere Figuren usw.

Viele Schachprobleme sind ungelöst und an vielen wird noch geforscht und versucht mit

Computern und Algorithmen eine Lösung zu finden. Das Springerproblem wird heutzutage

von vielen Wissenschaftlern durch selbstgeschriebene Programme gelöst, erweitert und er-

forscht. Die Verbindung zur Informatik ist bei der Graphentheorie – vor allem in Verbindung

mit Schach – sehr stark, da Graphen sich sehr dazu eignen, in Computerprogramme einge-

bunden zu werden. Ganz klassisches Beispiel für Graphen in Computern sind Routenplaner

oder Navigationssysteme. Wobei oftmals die Knoten als Städte bzw. Ziele und die Kanten als

die Strecken zwischen den Städten gesehen werden.

Man kann sich ebenfalls sehr gut ein Schachbrett als Graph vorstellen. Dort wären die Ecken

des Graphen die Felder des Brettes und die Kanten würden die Zugmöglichkeiten von einem

zum nächsten Feld verdeutlichen.

25

a. Turmprobleme

Das erste Problem, das ich vorstellen möchte, ist das Turmproblem. Es handelt sich hierbei

um ein anderes Problem als das Turmproblem aus der Einleitung. Es wird im Folgenden auch

erweitert und eine möglichst allgemeine Lösung vorgeschlagen.

Zur Erinnerung ist rechts die

Gangart des Turms vom Feld

d4 aus dargestellt. Der Turm

kann beliebig viele Felder,

solange keine eigene bzw.

gegnerische Figur dazwischen

ist, vertikal und horizontal

ziehen.

Grundgedanke: Positionieren Sie acht Türme derart auf dem Schachbrett, dass sie sich nicht

gegenseitig bedrohen.

26

Eine Lösung dieses Problems ist relativ einfach und schnell zu finden.

Im Folgenden ist noch eine Lösungsmöglichkeit aufgezeigt.

Diese beiden Lösungen lassen einige neue Aspekte aufkommen. Es leuchtet schnell ein, dass

dieses Problem auf jedem beliebigen nxn-Brett eine Lösung hat. Selbstverständlich muss auch

die Anzahl der Türme jeweils auf n reduziert bzw. erhöht werden. In der gesamten Problema-

tik wurden ausschließlich weißfarbige Türme verwendet. Dies sollte in diesem Zusammen-

hang keine Auswirkungen auf das gegenseitige Bedrohen haben. Man geht davon aus, dass

jeder Turm jeden bedrohen kann, obwohl im Schachspiel sich diese Türme schützen.

Die Türme werden auf der großen Dia-

gonale a1 – h8 aufgestellt und jeder

Turm bedroht somit eine Linie und eine

Reihe. Linien werden beim Schach mit

Buchstaben, Reihen mit Zahlen ge-

kennzeichnet. Im Grunde ist es eine

vereinfachte Variante des „Acht-

Damen-Problems“.

Hier werden die Türme ebenfalls in

Diagonalen aufgestellt und im Grunde

auf zwei kleinere Bretter mit 5x5 und

3x3 reduziert.

27

Aufgabenstellung: Wie viele Möglichkeiten gibt es, acht Türme auf einem Schachbrett (8x8)

so zu positionieren, dass sie sich nicht gegenseitig bedrohen?

Um dieses Problem zu betrachten, sind einige Erklärungen bzw. Definitionen notwendig. Es

gilt hierbei, dass (1) sich gleichfarbige Türme, anders als beim Schachspiel, auch bedrohen

können. (2) Des Weiteren ist es irrelevant, welcher der Türme nun auf welchem Feld steht.

Die Türme sind also nicht nummeriert. Das kann man sich am einfachsten klar machen, wenn

man ein kleineres quadratisches 2x2-Brett zur Hilfe nimmt.

Wenn man dieselbe Aufgabe auf dieses Brett überträgt, dann wird verständlich, warum (2) in

diesem Fall gefordert wird.

Bei dieser Betrachtung gibt es vier Möglichkeiten die Türme auf dem Schachbrett aufzustel-

len, ohne dass sie sich gegenseitig bedrohen. Jedoch sieht man hier sehr gut, dass es zweimal

zu derselben Aufstellung kommt und lediglich die Türme 1 und 2 vertauscht sind. So hätte der

Turm 1 2² = 4 Felder und der Turm 2 nur noch 1² = 1 Felder, auf die man ihn positionieren

kann, da aber die Stellungen A und C sowie B und D von ihre Konstellation her gleich sind,

betrachtet man in diesem Fall nur die 2! = 2 * 1 = 2 Möglichkeiten.

Demnach kann man für diese Betrachtung davon ausgehen, dass jeder Turm auf einer Hori-

zontalen steht und das Problem auf die Betrachtung der Vertikalen reduzieren (siehe (2)). Es

gibt acht Möglichkeiten den ersten Turm hinzustellen und demnach bleibt für den nächsten

Turm nur noch ein 7x7 Brett übrig. Auf diesem gibt es nur noch sieben Möglichkeiten einen

Turm auf der Horizontalen zu positionieren. So kann man das fortführen, bis nur noch eine

Position für den letzten Turm übrig bleibt. Es gibt demnach

8 ∗ 7 ∗ 6 ∗ 5 ∗ 4 ∗ 3 ∗ 2 ∗ 1 = 8! = 40320

Möglichkeiten, acht Türme auf einem 8x8-Brett aufzustellen.

1

2

A B C D

28

Das nächste Turmproblem ist eines, das sich mithilfe der Graphentheorie und den eingeführ-

ten Begrifflichkeiten, wie Kantenzügen, Kreisen und hamiltonschen Graphen, lösen lässt.

Hierbei werden die Zugmöglichkeiten bzw. die Abfolge von Zügen des Turms betrachtet. Die

Fragestellung lautet:

Kann man mit einem Turm so über ein Schachbrett ziehen, dass man über jedes Feld genau

einmal zieht und wieder am Anfangsfeld endet?

Betrachten wir hierfür das Schachbrett als einen Graphen, wobei die Ecken des Graphen die

Felder des Brettes symbolisieren und die Kanten die Zugmöglichkeiten von jedem Feld.

Da der Turm theoretisch vom Knoten unten rechts (Feld a1) direkt zum Knoten oben rechts

(a8) ziehen kann, ohne auf den Knoten davor zu sein, gehen wir hier der Einfachheit halber

davon aus, dass der Turm in Ein-Feld-Schritten zieht, damit er auf jedem Feld einmal steht

und nicht über die Felder hinwegzieht. Wie wir aus der Einleitung schon wissen, hat dieses

Problem eine Lösung. Im Folgenden wird versucht, die Fragestellung mit Hilfe der Graphen-

theorie zu beantworten. Da nach einer Abfolge von Zügen gefragt ist, suchen wir im Graphen

einen Kantenzug, der jedoch einige Besonderheiten aufweisen muss. Der Kantenzug muss, da

der Turm über jedes Feld genau einmal ziehen soll, jede Ecke genau einmal enthalten. Zusätz-

lich muss der Kantenzug dort enden, wo er anfängt. Das bedeutet, dass nach einem hamilto-

nschen Kreis16

gesucht ist.

16

Vgl. S.23

29

Einen dieser hamiltonschen Kreise findet man auch recht schnell.

Es fallen jedoch einige Sachen bei diesem Graphen und dem Kantenzug auf. Zunächst einmal

sind nicht alle Kanten für den Weg verwendet worden. Das bedeutet, dass es keine eulersche

Tour war. Wenn man wieder die Ecken und die dazugehörigen Grade betrachtet, fällt auf,

dass die Randfelder – alle Eckfelder ausgenommen – einen ungeraden Grad (3) haben und

damit ist der Graph nicht eulersch. Durch den hamiltonschen Kreis hingegen hat man gezeigt,

dass der Graph hamiltonsch ist.

Des Weiteren erkennt man durch diesen Lösungsweg, dass die Lösung ausschließlich bei nxn-

Brettern funktioniert, wobei 𝑛 = 2 ∗ 𝑚, ∀𝑚 ∈ ℕ. Da bei ungeraden n der letzte Teil des Kan-

tenzugs in die zum Startpunkt entgegengesetzte Richtung verlaufen würde.

Hier sieht man, dass ein 3x3-Schachbrett kein Hamiltonkreis für den entsprechenden Graphen

zu finden ist. Wenn man dem Turm wieder ermöglicht, seine ursprüngliche Gangart anzu-

nehmen (in den vorherigen Betrachtungen durfte der Turm nur in 1er-Schritten gehen), näm-

lich beliebig viele Schritte auf der Horizontalen oder Vertikalen, auf der er sich zum Zeit-

punkt des Zuges befindet, dann gäbe es einen Hamiltonkreis. Eine weitere Erklärung für die

Existenz von Hamiltonkreisen bei Graphen, die Bretter mit geradem n beschreiben, ist die

Anzahl der Züge, die ein Turm macht, wenn er über das gesamte Brett zieht.

30

Bei einem gewöhnlichem Brett mit 64 Feldern, zieht der Turm bei unserem Problem über alle

64 Felder. Durch die Beschaffenheit des Schachbretts und die Gangart des Turms wechselt er

bei jedem Zug die Farbe des Feldes, auf das er zieht. Wenn man nun ein Brett mit geradem n

hat, so ist auch die Anzahl der Felder gerade. Hierzu ein kleiner Beweis.

z. z. 𝑛 gerade ⇒ 𝑛2 gerade, ∀ n ∈ ℕ

𝑛 = 2𝑘, ∀ 𝑘 ∈ ℕ

𝑛2 = (2𝑘)2 = 4 ∗ 𝑘2 = 2 ∗ 2 ∗ 𝑘2

q.e.d.

Da jede Zahl mit zwei oder auch mit vier multipliziert eine gerade Zahl ergibt, ist gezeigt,

dass das Quadrat jeder geraden natürlichen Zahl n ebenfalls gerade ist. Im Gegensatz dazu

steht das Quadrat für ungerade n.

z. z. 𝑛 ungerade ⇒ 𝑛2ungerade, ∀ n ∈ ℕ

𝑛 = 2𝑘 + 1, ∀ 𝑘 ∈ ℕ

𝑛2 = (2𝑘 + 1)2 = 4𝑘2 + 4𝑘 + 1

Jede gerade Zahl, zu der eins addiert wird, ist ungerade. ⇒ n² ist ungerade,

wenn n ungerade ist.

q.e.d.

Aus dieser Tatsache kann man wieder einiges folgern. Bei Brettern mit einem geraden n ist

die Anzahl der Felder auch gerade. Bei ungeraden entsprechend ungerade. In Verbindung mit

den Zugmöglichkeiten des Turms und den damit verbundenen Farbwechseln der Felder kann

man sagen, dass der Turm bei einem geraden n nach n² Zügen wieder auf dem Ursprungsfeld

sein kann. Auf einem herkömmlichen Brett zieht der Turm genau 64 Mal. Das bedeutet, er

wechselt die Farbe so oft, dass er beim letzten Zug wieder auf einem Feld der Ursprungsfarbe

landen kann. Hat ein Turm bspw. nur neun Felder, so steht er nach Ausführen des letzten Zu-

ges auf einem Feld einer anderen Farbe. Bei einer ungeraden Anzahl von Zügen, die bei Bret-

tern mit einer ungeraden Anzahl von Feldern auftauchen, die wiederum bei Brettern mit unge-

radem n vorhanden sind, kann der Turm nicht auf das Startfeld zurück.17

17

Nitzsche, M., „Graphen für Einsteiger“, 3. Auflage, 2009, S.49

gerade

31

b. Springerproblem

Das nächste und auch über die Schachwelt hinaus bekannteste Problem ist das Springerprob-

lem. Dieses ist eine Aufgabe, die dem Turmproblem sehr ähnelt. Es geht wieder darum, einen

Weg über das Brett zu finden und wieder muss jedes Feld genau einmal erreicht und zum

Ausgangsfeld zurückgekehrt werden. Da es, entsprechend der Bekanntheit dieses Problems,

zahlreiche Erklärungen, Arbeiten und Lösungen gibt, wurde das Problem erweitert, indem

statt eines herkömmlichen Brettes ein 6x6-Brett verwendet wird.

Schon nach kurzer Betrachtung mancher Lösungen leuchtet ein, dass es viele Möglichkeiten

gibt, einen sogenannten Rösselsprung zu finden - und bis heute ist die Zahl der möglichen

Varianten ungeklärt.18

Durch die Komplexität dieses Problems wird mit Hilfe einer Lösungsidee für die Springerwe-

ge versucht, die Aufgabe auf ein größeres Brett zu übertragen und zu lösen. Durch folgende

Methode soll es stets gelingen, einen geschlossenen Weg, wie die Aufgabenstellung vermuten

lässt, zu finden. Diese Idee besagt, dass man stets den Zug mit dem Springer ausführen soll,

nachdem man die geringste Anzahl an Fortsetzungen hat.19

Übertragen auf die Graphentheo-

rie heißt das, dass man den Kantenzug so fortsetzt, dass man zu der Ecke gelangt, die den

kleinsten Grad hat.

18

Ahrens, W., „Mathematische Spiele“, Anaconda Verlag, 2008, S.74 19

Ebd. S.75

32

Nun gilt es einen Weg zu finden, der durch alle Ecken des Graphen genau einmal führt und

dort endet, wo er anfängt. Das sind die Eigenschaften eines hamiltonschen Weges und daher

gilt zu überprüfen, ob es sich hierbei um einen hamiltonschen Graphen handelt. Es gilt hierbei

die Idee für einen solchen Weg20

zu belegen. Da es den Rahmen übersteigen würde, jeden

Schritt grafisch zu dokumentieren, wie man das nächste Feld, auf das man springt, aussucht,

wird gleich die Endgrafik mit dem Hamiltonkreis dargestellt.

Da der Weg geschlossen ist, kann man von jedem Knoten bzw. Feld beginnen und eine Rich-

tung, in die man ziehen sollte, gibt es nicht, da es sich hierbei um einen hamiltonschen Kan-

tenzug handelt. Der Springer ändert, genau wie der Turm21

, nach jedem Zug die Farbe des

Feldes, auf dem er steht. Das bedeutet, dass man auf einem Brett mit gerader Feldanzahl ge-

nauso viel Züge braucht, wie es Felder auf dem Brett gibt und durch die eben beschriebene

Eigenschaft kann man folgern, dass Hamiltonwege22

beim Springerproblem überhaupt nur bei

Brettern mit geradem n möglich sein können.

20

Vgl. S.32 21

Vgl. S.31 22

Es sei daran erinnert, dass hierbei Anfang und Ende übereinstimmen müssen.

33

4. Fazit

Zwei interessante Gebiete zu vereinen, ist den Schachmathematikern gelungen, und bis heute

birgt eines der ältesten Spiele der Welt viele Rätsel. Vieles im Schach wäre ohne Mathematik

überhaupt nicht möglich. Die Graphentheorie ist ein Gebiet der Mathematik, das auf Schach

angewandt werden kann, jedoch ist Kombinatorik keineswegs weniger wichtig. Von der Stär-

ke der Figuren bis zu den Regeln für einzelne Turniermodi ist alles mathematisch durchdacht.

Dass Mathematik ohne Schach existieren kann, ist nicht von der Hand zu weisen, da die Ma-

thematik noch viele andere große Dinge, neben der Schachmathematik, leistet. Ebenso wenig

zu leugnen ist, dass beide Gebiete eine Sprache zu sprechen im Stande sind, die so schön und

gleichzeitig kompliziert ist, dass nur Experten und Meister diese verstehen können. Wenn

man die Schachregeln nicht kennt und taktisch nicht stark ist, kann man die Schönheit von

Kombinationen, Ideen und Manövern nicht nachvollziehen. In der Mathematik sind es die

Formeln, Algorithmen23

und Beweise, die diese Geisteswissenschaft zu der Schönheit verhel-

fen, die ihr gebührt.

Die Probleme, die mit Hilfe der Mathematik oder auf dieser basierenden Methoden gelöst

werden, sind nahezu unbegrenzt. Viele sind der menschlichen Fantasie entsprungen. Es ist

klar, dass nicht alle Probleme24

lösbar oder gelöst sind und dass es bei manchen noch eine

ganze Menge zu erforschen gibt.

Neben den vielen – teilweise bis heute noch – ungelösten Problemen, die sich aus einer Kom-

bination von Schach und Mathematik ergeben, gibt es eine große Reihe an bearbeiteten und

gelösten Fragestellungen. Ein zentrales Beispiel hierfür ist das Acht-Damen-Problem25

, wobei

man in diesem Fall die erweiterte Fragestellung mitbetrachten sollte, bei der es wichtig ist,

eine Anzahl an Möglichkeiten für die gefragte Aufstellung zu finden. Wichtig ist, dass neben

der Graphentheorie in der Schachmathematik auch die Kombinatorik26

eine große Rolle spielt

und bei Simulationen und Schachprogrammen27

verwendet wird.

Die Graphentheorie ist ein in der Schule eher unbekanntes, jedoch umso interessanteres Teil-

gebiet der Mathematik mit vielen Anwendungsbeispielen, wie Reiserouten und die daraus

entstandenen Navigationssysteme. Es finden sich auch immer wieder Verbindungen zwischen

Graphentheorie und Kombinatorik. Bei der Suche nach bestimmten Kantenzügen kann es

immer wieder mal sinnvoll sein, nach der Anzahl dieser zu fragen, und sobald eine Anzahl

von Möglichkeiten gefragt ist, trifft man zwangsläufig auf die Kombinatorik.

23

Das bezeichnet eine Abfolge von bestimmten Rechenoperationen zur Lösung eines Problems. 24

Beispiele hierfür sind die Anzahl aller möglichen Stellungen etc. 25

Vgl. S.7f. 26

Vgl. S.28 27

Vgl. S.2

34

Wie man am Beispiel des Springerproblems28

gesehen hat, sind die Schachprobleme sehr

kompliziert und allein schon auf eine mögliche Lösung zu kommen, erscheint schwierig, je-

doch kann man auch nach allen möglichen Lösungen fragen und das Problem auf eine voll-

kommen neue, wesentlich komplexere und zeitlich aufwändigere Ebene bringen. Zu dem bis

heute noch unvollständigen Springerproblem sei noch erwähnt, dass die Anzahl aller mögli-

chen Kantenzüge, die die Aufgabenstellung29

erfüllen, noch nicht bestimmt ist.

Das Turmproblem ist im Gegensatz zum Springerproblem deutlich einfacher und überschau-

barer. Die Wege des Turms können auch in absehbarer Zeit auf dem Brett gefunden werden,

während man dasselbe beim Springerproblem nicht behaupten kann. Jedoch bleibt auch hier

die Frage nach allen Möglichkeiten für solche Kantenzüge ungeklärt.

Ein weiterer nennenswerter Aspekt ist die Implementierung30

von solchen Problemen in

Computerprogramme bzw. die Programmierung von diesen. Wenn man einem Computer das

Springerproblem als Aufgabenstellung gäbe, wäre dieser in kürzester Zeit fertig, zumal Gra-

phen und die für Kantenzüge notwendige Algorithmen sehr geeignet für die Einbindung in

Programme sind. Die Verbindung zur Informatik ist klar gegeben und bei den komplizierten

Aufgabenstellungen unausweichlich. Für viele der aufgezählten Schachprobleme werden die

dazugehörigen Programme geschrieben, um diese zu lösen.

Die Perspektiven liegen nicht nur bei den Mathematikern, sondern auch bei Informatikern,

weil Computer um einiges effizienter derartige Probleme bewältigen, sofern es gelingt, die

Aufgaben in eine für Computer verständliche Sprache zu verwandeln und derart in ein Pro-

gramm einzubauen, dass es sich möglichst zeitnah lösen lässt.

Man kann demnach festhalten, dass es noch viel Ungeklärtes in diesem Fachbereich gibt, je-

doch ist der Vielfalt an Problemen keine Grenze gesetzt. Sowohl in der Mathematik als auch

in der Informatik kann es in der Zukunft zu zahlreichen interessanten Durchbrüchen kommen

und möglicherweise werden die zurzeit noch ungelösten Fragestellungen eines Tages beant-

wortet.

28

Vgl. S.32 29

Vgl. S.10 30

Dieser Begriff bezeichnet die Einbindung einer Operation(folge) in ein Computerprogramm.

35

Abkürzungsverzeichnis

bspw. – beispielsweise

bzw. – beziehungsweise

d.h. – das heißt

ebd. – ebenda

etc. – et cetera (lat. für „und weitere“)

f. – folgende

ff. – fortfolgende

lat. – lateinisch

o.Ä. – oder Ähnliches

q.e.d. – quod erat demonstrandum (lat. für „was zu zeigen war“)

S. – Seite

s.o. – siehe oben

usw. – und so weiter

vgl. – vergleiche

z.B. – zum Beispiel

36

Literaturverzeichnis

Graphen für Einsteiger, Manfred Nitzsche, 3. Auflage, 2009

Schach und Mathematik, Gik J., 1983

Mathematische Spiele, Wilhelm Ahrens, Anaconda Verlag, 2008

„Hamiltonkreisproblem“. Bearbeitungsstand: 6. Dezember 2014, 18:14 UTC.

URL: http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Hamiltonkreisproblem&oldid=13652

7279 (Abgerufen: 10. März 2015, 18:36 UTC) „NP-Vollständigkeit“. Bearbeitungsstand: 8. Oktober 2014, 17:12 UTC.

URL: http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=NP-

Vollst%C3%A4ndigkeit&oldid=134715296 (Abgerufen: 10. März 2015, 18:40 UTC) „Weg (Graphentheorie) Bearbeitungsstand: 26. Januar 2015, 15:40 UTC.

URL:http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Weg_(Graphentheorie)&oldid=13818

7383 (Abgerufen: 10. März 2015, 10:48 UTC)

37

Versicherung

Hiermit versichere ich, Arsen Abrahamyan, dass ich die vorstehende besondere Lernleis-

tung selbstständig und ohne weitere Hilfsmittel als die von mir angegebenen erstellt habe.

Ort Datum Unterschrift