Elementares Rechnen

1 Dreisatz - proportionale und antiproportionale Zuordnungen 7 2 Darstellung von proportionalen Zuordnungen 9 3 Prozentrechnen 11 4 Zinsrechnen 13 5 Verteilungs- und Mischungsrechnen 16 6 Vermischte Aufgaben 17

II Ganzrationale Funktionen

1 Zuordnungen darstellen und interpretieren 22 2 Der Begriff der Funktion 24 3 Lineare Funktionen 26 4 Anwendungen zu linearen Funktionen 29 5 Einfache quadratische Funktionen und Gleichungen 31 6 Die allgemeine quadratische Funktion 33 7 Nullsteilen von quadratischen Funktionen 36 8 Anwendungen zur quadratischen Funktion 39 9 Potenzfunktionen 42

10 Einführung ganzrationaler Funktionen - Symmetrie 44 11 Nullsteilen ganzrationaler Funktionen 46 12 Schnittpunkte von Graphen 48 13 Bestimmung von Funktionstermen 50 14 Funktionen aus der Betriebswirtschaft 51 15 Vermischte Aufgaben 53

Exkursion: Lineare Regression 60

111 Einführung in die Differenzialrechnung

1 Änderungsrate und Steigung 61 2 Ableiten, Ableitungsfunktion 63 3 Tangente und Normale 65 4 Monotonie - höhere Ableitungen 67 5 Extremwerte 69 6 Wendepunkte von Graphen 73 7 Extremwertaufgaben 77 8 Extremwerte in der Betriebswirtschaft 80 9 Bestimmung einer ganzrationalen Funktion 85

10 Das NEWTON-Verfahren zur Berechnung von Nullsteilen 87 11 Anwendungen aus Alltag und Technik 87 12 Bestimmung von Kostenfunktionen 90 13 Vermischte Aufgaben 93

Inhaltsverzeichnis

3

Inhaltsverzeichnis

IV Integralrechnung

1 Deutung von Flächeninhalten und Berechnungen 101 2 Integral und Integralfunktion 102 3 Integral- und Stammfunktion - Hauptsatz 103 4 Flächen zwischen Graph und x-Achse 105 5 Flächen zwischen zwei Graphen 108 6 Weitere Anwendungen der Integration 110 7 Vermischte Aufgaben 112

Exkursion: Rauminhalte von Rotationskörpern 115

V Exponentialfunktionen

1 Die Funktion f mit f (x) = k · a• 116 2 Die eulersche Zahl e und die e-Funktion 117 3 Ableiten und Integrieren der Exponentialfunktion 118 4 Natürlicher Logarithmus - Exponentialgleichungen 120 5 Berühren - Untersuchungen der Exponentialfunktionen 121 6 Exponentielle Wachstums- und Zerfallsprozesse 123 7 Vermischte Aufgaben 127

Exkursion: Bevölkerungsentwicklung 130

VI Trigonometrische Funktionen

1 Die Funktionen sin und cos 131 2 Amplituden und Perioden von Sinusfunktionen 131 3 Verschieben von Graphen von Funktionen 132 4 Trigonometrische Gleichungen 134 5 Ableiten trigonometrischer Funktionen 135 6 Untersuchungen an Sinusfunktionen 137 7 Vermischte Aufgaben 141

Exkursion: Funktionsanpassung bei Sinusfunktionen mit dem GTR 145

VII Gebrochenrationale Funktionen

1 Potenzfunktionen mit negativen Exponenten 147 2 Eigenschaften gebrochenrationaler Funktionen 149 3 Ableitungen und �nwendungen 151

Exkursion: Weitere Ableitungsregeln 154

VIII Stochastik

1 Zufallsexperimente 156 2 Ereignisse- Zufallsvariable 157 3 Relative Häufigkeiten und ihre Darstellung 158 4 Das Gesetz der großen Zahlen 161 5 Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten 162 6 Die Pfadregel 163 7 Mittelwert - Erwartungswert 165 8 Varianz und Standardabweichung 168 9 Hilfsmittel zum Bestimmen von Anzahlen - Kombinatorik 169

10 BERNOULU-Experimente, BERNOULU-Ketten 172 11 Formel von BERNOULU - Binomialverteilung 173 12 Hilfsmittel bei Binomialverteilungen 174 13 Erwartungswert, Standardabweichung, Sigmaregeln 175 14 Vermischte Aufgaben 177

IX Vektorgeometrie

1 Räumliche Darstellungen 180 2 Punkte und Vektoren 182 3 Addieren und Subtrahieren von Vektoren 185 4 Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl 188 5 Betrag eines Vektors 190 6 Gleichung der Geraden 192 7 Spurpunkte von Geraden - Projektionen 195 8 Gegenseitige Lage von Geraden 197 9 Skalarprodukt von Vektoren, Größe von Winkeln 198

10 Schnittwinkel von Geraden 201 11 Flächenberechnung an Dreiecken und Vierecken 201 12 Volumenberechnungen 205 13 Anwendungen in der Physik 207 14 Vermischte Aufgaben 208

Inhaltsverzeichnis

5

Inhaltsverzeichnis

X Gleichungen - Matrizen - Verflechtungen

1 Lineare Gleichungssysteme und Lösungsverfahren 214 2 Lösungsmengen linearer Gleichungssysteme 216 3 Beschreibung von Vorgängen durch Matrizen 217 4 Addition und $-Multiplikation von Matrizen 217 5 Multiplikation von Matrizen 218 6 Quadratische und inverse Matrizen 219 7 Rechnen mit quadratischen Matrizen 220 8 Einfache Produktionsprozesse 222 9 Zweistufige Produktionsprozesse 224

10 Einführung in das LEONTIEF-Modell 227 11 Das LEONTIEF-Modell - Fortsetzung 229 12 Vermischte Aufgaben 232

Exkursion: Maikäfer und Matrizen 238

Schülerbuch Seite 151

5. 151 6

7

3

J1 2 27 [ 1 3]3 27 9 27 1 . . 27 t· y = 3x - 4 5· A = -x dx - - = -x - - = - - - = 1-· dabe1 1st - der lnhalt des • , , 2 8 6 0 8 2 8 8' 8 0 Dreiecks, den die Tangente mit x-Achse und der negativen y-Achse bildet:

A = .! · 1 5 · 4 5 = ll 2 , , 8 . a) Vgl. Fig. 1 f(x) = -x2; f'(x) = -2x, damit f'(1) = - 2 und Steigung der Normalen ist m = l 1 n: y = 2x - 1,5.

1

A = -J<- x2) dx + t - 2 · 1 = 1� 0 b) Vgl. Fig. 2

f(x) = x3; f'(x) = 3 x2, damit f'(1) = 3 und Steigung der Normalen ist m = -l n: y = -�x + �-

1

A = Jx3 dx + .! · 3 · 1 = 1 i 2 4 0

-4

- ·-·· ·

-3 -2

II.

I -y 1

Q 1 1\

4 \ � ,.�/i - 3-

I L -�-- 4--I-

· ·-·1-

I y I

� r-... .... } I I

� r-... .... I vt i ;--...

/,,." T f"'" I 3 1\ -3 -2 .;ro �--�-�--�-1-4--, � ll T \ I A } L L I I I / I I I I I I :::::-:"'-

x-

..... � Fig. 1 Fig. 2

-12 8 a) Wendepunkt W(O I O); f'(0) = 1; Normale: y = -x. A = 2 · J (f(x) - n (x)) dx = 2

0 vr:s

b) Wendepunkt W(O I O); f'(0) = 2; Normale: y = -tx. A = 2 · J (f(x) - n (x)) dx 0

= 2 . � = ?f = 9�.

9 Man zeichnet die Funktion h (x) = f(x) - g(x), bestimmt die Nul lsteilen -1,302776; 1; 1 2,302776

2,302 776 und berechnet die Integrale J h (x) dx (Fig. 3) und J h (x) dx (Fig. 4). -1,302776 1

Ihre Differenz ist der gesuchte Inhalt A :::: 6,083 33

ff(X)dx= -uBB&6

Fig. 3 Fig. 4 IV Integralrechnung 109

Schülerbuch Seite 151-153

5. 151 9 b) Graph der Differenzfunktion mit Nul lsteilen -1,27245 und 1,27245 (Fig. 1). A == 41,290 38 (Fig. 2)

Ztr<� ll=1.�n't't6B V= "3.�[ ·1�

Fig. 1 Fig. 2 10 Graph der Differenzfunktion hat die Nullsteilen -1 und 1 (Fig. 3).

Flächeninhalt A = 3,999 98 == 4,000

6 Weitere Anwendungen der Integration

5. 152 1 a) Die Grenzkostenfunktion ist die Ableitung der Kostenfunktion. K(x) = 2x3 - 18x2 + 72x + 200; K'(x) = 6x2 - 36x + 72. Aus K'(x) erhält man die Funktion K.,(x) = 2x3 - 18x2 + 72x + c.

Fig. 3

Man kann also aus der Grenzkostenfunktion die Kostenfunktion nicht eindeutig ermit­teln; sie ist nur eindeutig bis auf die Fixkosten. Aus dem naturwissenschaftlichen Bereich

5. 153 2 Nach dem Beispiel 2 ergibt sich aus v = 9,81 · t (t in s; v in W> bei einer Fal lzeit T für die Fallhöhe H:

T

H = J 9,81 · tdt = 4,905 • T2. Aus 300 = 4,905 • T2 erhält man die Fal lzeit in Sekunden: T = � == 7,82.

3 a) v(t) = 20 - 9,81 • t (t in s; v in W.>. Damit gilt bei einer Steigzeit T für die Höhe H: T

H = J<20 - 9,81 • t)dt = 20 • T - 4,905 • T2. Für T = 3 erhält man H = 15,855. 0 Höhe nach 3 Sekunden ca. 16m. b) v (t) = v0 - 9,81 · t; daraus h (T) = v0 • T - 4,905 • T2. Es muss gelten h (4) = 0, d. h. v0 • 4 - 4,905 • 42 = 0, also v0 = 4,905 · 4 = 19,62. An der höchsten Stelle ist v(t) = h'(t) = 0. Damit gilt v(t) = 19,62 - 9,81 • t = 0, also t = 2. H (2) = 19,62 • 2 - 4,905 • 22 = 19,62. Abwurf mit 19,62W ; damit erreichte Höhe 19,6m.

110 IV Integralrechnung