Seminar Geoinformation WS 2000/2001

Seminar Geoinformation WS 2000/2001

Regionalisierte Variablen und Kriging

Referent: Anno Löcher

• Einführung

• Geostatistik

• Variogramme

• Gewöhnliches Kriging

Was ist Kriging?

• Familie von stochastischen Schätzverfahren

•zumeist synonym für „Gewöhnliches Kriging“

•Grundlagen von dem französischen Mathematiker Matheron. Weiterentwicklung des Verfahrens

vorwiegend durch Ingenieure.

•Anwendung zunächst in der Bodenexploration und der Meteorologie, heute in allen

Geowissenschaften•in vielen GIS-Anwendungen als Interpolationswerkzeug implementiert

•Name leitet sich ab von dem südafrikanischen Bergbauingenieur Krige.

Eigenschaften des Verfahrens

Interpolation durch gewogenes Mittel

lineares Verfahren

Genauigkeitsmaß: Kriging-Varianz

Schätzfehler wird minimiert

bester Schätzer

Schätzwert an beprobtem Ort = Beobachtung

erwartungstreues Verfahren

BLUE (Best Linear Unbiased Estimator)

Grundlage des Verfahrens ist das Geostatistische Modell

• Einführung

• Geostatistik

• Variogramme


ε)(ε)m()Z( xxx

Xey Gauß-Markoff-Modell

Ze

gemischtes Modell

Verallgemeinerung

Einführung von Ortsabhängigkeiten

Schreibweise der Geostatistik

ZXy

y

)()()y( xxx

Geostatistisches Modell

Mittelwert

vom Ort abhängige Zufallsvariable(„regionalisierte Variable“)

)(ε)m()Z( xxx ε

Rauschen

Z

x

mε ε

• Einführung

• Geostatistik

• Variogramme


Intrinsische Hypothese

0])Z()Z([E hxx

a) Der Erwartungswert von Z ist im Untersuchungsgebiet

konstant:

)(f]))Z()(Z([E hhxx 2

b) Die Varianz der Differenz zwischen zwei Realisationen

von Z hängt nur vom Abstand ab:

Definition Semivarianz

)(f21

)( hh

Die Semivarianz ist ein Maß für die Korrelation zwischen Z(x) und Z(x + h), ausgedrückt als Funktion des Abstands.

• Einführung

• Geostatistik

• Variogramme


Ansatz für die Schätzung

Abstände geben Korrelationen zwischen Z im Neupunkt und den beobachteten Z vor. Aus den Korrelationen können dann Gewichte abgeleitet werden.

P1

P2

P3 P4

PNEU

P5

• Einführung

• Geostatistik

• Variogramme

• Gewöhnliches Kriging Bei bekanntem (h) Vorhersage

möglich!

Z verhält sich an unbeprobten Orten wie an beprobten.

Vorgehen bei der Schätzung

Stichprobe Z(x1) ... Z(xn)

(h1) ... (hm) aus Stichprobe

(h) aus (h1) ... (hm)

Schätzung von Z(xNEU)

mit (h) aus Stichprobe

empirisches Variogramm

theoretisches Variogramm

Kriging=

• Einführung

• Geostatistik

• Variogramme


Empirisches Variogramm

Schätzung von (h) auf Grundlage der Stichprobe

2n

1iii hxxh ))Z()Z((

n21

)(

•je vorkommendem Abstand Schätzung der Semivarianz mit

Vorgehen:

•Bestimmung der Abstände aller vorkommenden Punktpaare

• Einführung

• Geostatistik

• Variogramme


0 1 2

1

2

03

( 3.0 )

( 5.0 )

4 Punktpaare mit h = 1.0

(1.0) = ( (3 - 4)² + (4 - 7)² + (7 - 5)² + (5 - 3)² ) / 8 = 2.3

( 4.0 )

( 7.0 )

1.0

1.0

1.0

1.0

2 Punktpaare mit h = 1.4

(1.4) = ( (4 - 5)² + (7 - 3)² ) / 4 = 4.3

1.4

1.4

0 1 2

1

2

03

( 3.0 )

( 4.0 )

Normalfall: Jedes Punktpaar hat anderen Abstand.

Entfernungsklassen bilden!

( 6.0 )

( 6.0 )

( 6.0 )

( 3.5 )

( 5.5 )

( 2.5 )

( 7.0 )

( 4.5 )

( 2.0 )

( 3.5 )

( 5.0 )

Paare mit 0.0 h 0.5 (0.25)Paare mit 0.5 h 1.0 (0.75)Paare mit 1.0 h 1.5 (1.25) usf.

Theoretisches Variogramm

Entwicklung einer analytischen Funktion (h)aus dem empirischen Variogramm

•Funktion soll nicht im Widerspruch zu physikalischen Gesetzmäßigkeiten stehen.

Vorgehen: Kurvenanpassung

Anforderungen an die Funktion:

•Zufälligkeiten in den empirischen Daten sollen ausgeglichen werden.

parametrischer Ansatz

• Einführung

• Geostatistik

• Variogramme


Schwelle (sill)

Aussageweite(range)

Nuggeth

(h)

Schwelle : Maximum von (h) ( Varianz der Stichprobe )

Aussageweite: Abstand, bei dem (h) die Schwelle erreicht

Nugget: Achsenabschnitt

DEMO

Kenngrößen des Variogramms• Einführung

• Geostatistik

• Variogramme


( = Schätzung für die Varianz des Rauschens )

Berechnung des Krige-Schätzers

Rechenverfahren folgt aus Forderung an den Schätzer, BLUE zu sein.

Linearität gewogenes Mittel

)Z(v)(Zii0

xx ˆ

Erwartungstreue Schätzfehler Null

0)Z(-)(Z00

xxˆ

Beste Schätzung minimaleVarianz des Schätzfehlers

min))Z(-)(ZVAR( 00 xxˆ

Extremwertaufgabe mit NebenbedingungLösung mit Lagrange-Multiplikator

• Einführung

• Geostatistik

• Variogramme


Lösungsformel in Matrizenschreibweise

Gleichung für die Kriging-Varianz

v = C-1 D

Vektor der Semivarianzen

zwischen Z(x0) und Z(xi)

Vektor der Gewichte

Matrix der Semivarianzen

zwischen den

Z(xi)

Die Höhe der Kriging-Varianz hängt von der Mengeder räumlichen Informationen ab:

• Einführung

• Geostatistik

• Variogramme


(0)2 vCvDv2

kˆ

schwach besetztes Meßnetz hohe Varianz

Messungen Interpolation Kriging-Varianz

Phosphatgehalt einer landwirtschaftlichen Nutzfläche

•Kontrolle der Schätzung durch Kriging-Varianz

•Einzelne lokale Spitzen wirken sich weniger auf die Um-gebung aus als bei anderen Verfahren.

Eigenschaften des Krige-Schätzers

• Güte der Schätzung vom Variogramm abhängig

•Kriging erkennt und meidet redundante Daten: Bei nah beieinanderliegenden Stützpunkten werden die

Gewichtegesenkt und auf entferntere Punkte verteilt.

• Einführung

• Geostatistik

• Variogramme

• Gewöhnliches Kriging •Bei ausgeprägtem Nugget-Effekt oder sehr kleiner

Aussageweite wird das arithmetische Mittel geliefert.

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Regionalisierte Variablen und Kriging

Referent: Anno Löcher

Z(x) und Z(x + h) identisch (h = 0) (0) = 0

]))(ε)(ε([E)( 2hxxh

Zusammenhang Varianz - Kovarianz - Semivarianz:

)(ε)m()Z( xxx ))Z(VAR()(ε xx 2

])(ε)(ε)(ε2)(ε[E 2hxhxxx 2

² ²2 COV ( Z(x) , Z(x + h) )

Z(x) und Z(x + h) nicht korreliert (h) = ²

))Z(),Z(COV()( hxxh 2

• Einführung

• Geostatistik

• Variogramme


Annahme: Z(x) und Z(x + h) haben gleiche Varianzen 2

Kurvenanpassung durch parametrischen Ansatz

Sphärisches Modell

exponentielles ModellGauß-Modell

• Einführung

• Geostatistik

• Variogramme


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