Simulationsmodelle: Liliputwelten im Computer Peter Fleissner Institut für Gestaltungs- und...
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Simulationsmodelle: Liliputwelten im Computer
Peter FleissnerInstitut für Gestaltungs- und Wirkungsforschung
Simulation
• zur Analyse und Rekonstruktion dynamischer Systeme – Simulationsmodell = Abstraktion des zu simulierenden
Systems– Experimente statt an der Wirklichkeit an einem Modell
durchgeführt, um Erkenntnisse über das modellierte System zu gewinnen.
• eine Widerspiegelungstechnik– Abbildung und Konstruktion der Realität zugleich
• ein Dritter Weg wissenschaftlicher Erkenntnis– Beitrag zur Theorienbildung
• neben Induktion• und Deduktion
Einleitung (1 aus 4)
Theoriebildung
• Induktion– im empirischen Prozess wird Datenmaterial erarbeitet, innere
Strukturen und Gesetzmäßigkeiten werden sichtbar. – positiv verlaufende Experimente sollen diese Strukturen bestätigen
und sind Bausteine einer Verifikation (Beweisführung), die letztlich zur „Wahrheit“ führen.
• Deduktion – durch kreative Akte werden Hypothesen über die Realität erzeugt,
deren Übereinstimmung mit dem Datenmaterial anschließend überprüft wird. Experimente werden mit dem Ziel der Falsifikation (Sir Karl Popper) unternommen.
– Nur in dem Ausmaß wie sich Theorien bewähren (der Falsifikation entziehen), kann relative Sicherheit gewonnen werden.
In der Praxis der Wissenschaft mischen sich induktive mit deduktiven Elementen
Einleitung (2 aus 4)
Warum Simulation?
• Untersuchung am realen System wäre zu aufwändig, zu teuer, ethisch nicht vertretbar oder zu gefährlich. Beispiele: – Crashtest (zu gefährlich in der Realität, vor allem in der sozialen) – Simulation von Fertigungsanlagen vor einem Umbau (mehrfacher
Umbau der Anlage in der Realität wäre zu aufwändig und zu teuer) • Das reale System existiert (noch) nicht.
– Beispiel: Windkanalexperimente mit Flugzeugmodellen• Das reale System lässt sich nicht direkt beobachten
– Systembedingt. Beispiel: Einzelne Moleküle in einer Flüssigkeit – System zu schnell/zu langsam (Schaltkreise/geologische Systeme)
• Für Experimente kann ein Simulationsmodell leichter modifiziert werden als das reale System. – Beispiel: Stadtplanung, Volkswirtschaft
• Gefahrlose Ausbildung. – Beispiel: Flugsimulator
• Spiel und Spaß an simulierten Szenarien.
Einleitung (3 aus 4)
Charakteristika von Simulationen
• Verwendet wie Deduktion explizite Annahmen• Im Unterschied zu Deduktion beweist Simulation keine
allgemeinen mathematischen Sätze
• Erzeugt Daten für die Anwendung induktiver Verfahren, • Im Unterschied zur Induktion sind die Daten unter genau
definierten und bekannten Bedingungen erzeugt worden
-> Simulation ist verschieden von Induktion und Deduktion-> erlaubt ein tieferes Verständnis von Systemen
– durch intensive Beschäftigung mit dem Modell – und durch kontrollierte Computerexperimente
Einleitung (4 aus 4)
• Makroebene (Systemdynamik & Ökonometrie)– Erweiterte Reproduktion– Käpt‘n Petri und die Österreichische Volkswirtschaft– World Dynamics
• Mikroebene (Selbstorganisationssysteme & ABS)– The blind and the lame– Predator-prey-models
Übersicht: Simulationsmethoden
Systemdynamik-Modell: Vier Grundelemente
Simulationsmethoden
STOCK VARIABLE
INFLOW VARIABLE OUTFLOW VARIABLE
AUXILIARY VARIABLE
Systemdynamik-Modelle: Zentrale Begriffe und Vorgangsweisen
Simulationsmethoden
– Abbilder und Entwürfe– Formale Modelle und die Einmaligkeit historischer
Prozesse– Formale Modelle und qualitative Veränderungen– SD und Ökonometrische Modelle
• Grundkonzepte der SD– Zentrale Begriffe und Vorgangsweisen– Causal Loop Diagramme
• Rückkopplungsprozesse– Positive Rückkopplung– Negative Rückkopplung
Lineare Rückkopplung
• Erweiterte volkswirtschaftliche Reproduktion
• Siehe auch
• http://members.chello.at/gre/fleissner/documents/work/work.pdf
Simulationsmethoden
Erweiterte Reproduktion einer Volkswirtschaft
Arbeitskraft
Investitionsgüter
Kapitalgüter
Intermed. Güter Konsumgüter
Intermed. Güter
Simulationsmethoden
Einfaches Wachstumsmodell in Formeln
• Produktionsfunktion (Erzeugung des BIP)
Y = alfa Lbeta K(1-beta)
• Investitionsfunktion
I = dK/dt = (1-beta)Y = (1-beta) alfa Lbeta K(1-beta)
• Konsumfunktion
C = betaY
• Pro-Kopf Lohn
ProKopfLohn = C/L
Simulationsmethoden
Nicht-lineare Rückkopplung
• Exkurs: Intuitive Lösung von Differentialgleichungen– Das Aussterben der Passagiertaube
Simulationsmethoden
Intuitive Lösung von nichtlinearen Differentialgleichungen
dx/dt = f(x)
x0
x
dx/dt
Differentialgleichung darstellbar im (x, dx/dt) Koordinatensystem
Intuitive Lösung von nichtlinearen Differentialgleichungen
x0
x(t)
tTrajektorie im (t , x) Koordinatensystem
Graphische „Lösung“ von nichtlinearen Differentialgleichungen
als Differenzengleichungen
Δx/Δt = f(x)
x0
Δx
Graphische Lösung von nichtlinearen Differentialgleichungen
x0
Δx
Δx/Δt = f(x)
Graphische Lösung von nichtlinearen Differentialgleichungen
x0
Δx
Δx
Δx/Δt = f(x)
Graphische Lösung von nichtlinearen Differentialgleichungen
x0
Δx
Δx
x1= x0+Δx
Δx/Δt = f(x)X2 = ???
Graphische Lösung von nichtlinearen Differentialgleichungen
Stationäre Punkte??
Δx/Δt = f(x)
Graphische Lösung von nichtlinearen Differentialgleichungen
Stationäre Punkte x*: dx/dt = f(x)=0
Graphische Lösung von nichtlinearen Differentialgleichungen
Sind die stationären Punkte stabil?
Was bedeutet Stabilität?
Ein stationärer Punkt x* ist stabil, wenn er bei jeder kleinen Auslenkung wieder angenommen wird
x*
Was bedeutet Stabilität?
Ein stationärer Punkt x* ist stabil, wenn er bei jeder kleinen Auslenkung wieder angenommen wird
x*
stabilinstabil
Ein Anwendungsbeispiel
Die nordamerikanische Passagiertaube:
ausgestorben 1914
Die natürliche Reproduktion der nordamerikanischen Passagiertauben
xSchwarmgröße
dx/dt
http://www.loe.org/series/gap_in_nature/
x
dx/dt
In welchen Bereichen wächst der Schwarm und wo schrumpft er?
Wo sind die stationären Punkte?
Die natürliche Reproduktion der nordamerikanischen Passagiertauben
x
dx/dt
In welchen Bereichen wächst der Schwarm und wo schrumpft er?
Wo sind die stationären Punkte?
Hier wächst der Schwarm
Die natürliche Reproduktion der nordamerikanischen Passagiertauben
x
dx/dt
Stabilität der stationären Punkte?
Hier wächst der Schwarm
Die natürliche Reproduktion der nordamerikanischen Passagiertauben
stabilinstabil
x
dx/dt
Abschussrate
Die Jagd auf die nordamerikanischen Passagiertauben
Reproduktionsrate minus Abschussrate der Passagiertauben
x
dx/dt
x
dx/dt
Reproduktionsrate minus Abschussrate = Nettoreproduktionsrate
x
dx/dt
Erhöhte Abschussrate
x
dx/dt
Erhöhte Abschussrate
x
dx/dt
Erhöhte Abschussrate
x
dx/dt
Erhöhte Abschussrate
Ein einziger weiterer Schussführt (unerwartet) zur Katastrophe:
zum Aussterben des Schwarms
Resultat
Beispiel: Ein Modell der Österreichischen Wirtschaft
• Kombiniertes ökonometrisch-systemdynamisches Simulationsmodell zum Studium der Auswirkungen politischer Massnahmen und technischer Veränderungen
• Datenbasis 1964 – 1987, etwa 350 Gleichungen• Das Gesamtmodell enthält die komplette
Volkswirtschaftliche Gesamtrechnung auf hochaggregierter Ebene und umfasst die Sektoren:– Produktion (Kapazität, Kapital, Arbeit und ihre Remuneration)– Binnennachfrage (Konsum, Investitionen)– Außenhandel (Waren- und Dienste)– Staat (Einnahmen, Ausgaben, Schulden) – Arbeitsmarkt
Simulationsmethoden
System dynamik-
Modell
Beispiel: Produkt-
ions-sektor
FIXED ASSETS
GROSS INVESTMENT SCRAPPINGS
DEMAND FOR LABOUR
INCREASE OF JOBS DECREASE OF JOBS
POTENTIAL OUTPUT
CAPACITY INFLOW CAPACITY OUTFLOW
MARGINAL CAPITAL OUTPUT RATIO
MARGINAL LABOUR INTENSITY
AVERAGE LABOUR INTENSITY
AVERAGE CAPITAL OUTPUT RATIO
UTILIZATION RATE GDP
Simulationsmethoden
„Am Steuerrad der Wirtschaft“
Simulationsmethoden
Forrester‘s World Dynamics (1971): Dynamo-Diagramm
Forrester‘s World Dynamics: Causal Loops Diagram
Forrester‘s World Dynamics: Stella Diagram
Beispiele auf der Mikroebene
• Selbstorganisierende Systeme(Beispiel: „the blind and the lame“)
http://members.chello.at/gre/springer/
• Agentenbasierte Simulationen(Einführende Literatur:
http://www.econ.iastate.edu/tesfatsi/abmread.htm)
ANYLOGIC: http://www.xjtek.com/
Simulationsmethoden Teil 2
„The blind and the lame“
Zwei interagierende Welten …
• Welt A: die physische Welt
(klassische Mechanik)
• Welt B: die Welt der Symbole
(Alphabet ohne Bedeutung)
Simulationsmethoden
…und zwei interagierende Akteure
Akteur 1: Der Blinde• kann
– springen– hören– die Töne, die er hört, interpretieren– und danach handeln (springen)
Akteur 2: Der Lahme• kann
– Die Länge des Hindernisses sehen– Töne verschiedener Höhe erzeugen (mit Trompete)– die Länge des Hindernisses mit der Tonhöhe verknüpfen– Und die Töne mit Bedeutung versehen
http://members.chello.at/gre/springer/
Simulationsmethoden
Agentenbasierte Simulationen
• Auf der Mikroebene spielen sich die Interaktionen der Individuen ab
• Auf der Meso/Makroebene kann neues Verhalten abgelesen werden,
• das nicht aus der bloßen Aggregation der Daten für die einzelnen Akteure gewonnen werden kann
Simulationsmethoden
Vier Arten von Verständnis durch ABS• Empirisch
– Warum haben sich bestimmte Makrophänomene entwickelt (auch wenn keine top-down-Kontrolle existiert)?
• Normativ– Welches Design ist für bestimmte Institutionen optimal?
• Heuristisch– Können Einsichten über die grundlegenden
Kausalmechanismen des Systems gewonnen werden?
• Methodisch– Wie können Theorien mit ABS getestet, erweitert und
verbessert werden (was bisher aus methodischen Beschränkungen nicht möglich war)?
Simulationsmethoden
Agentenbasierte SimulationenAgentenbasierte Simulationen
• Das Softwarepaket ANYLOGIC
Simulationsmethoden
SD-Modelle und ABSSD-Modelle und ABS
• Die Leistungsfähigkeit der Computertechnologie erlaubt es, Probleme, die bisher auf der Aggregatebene analysiert wurden, auf der Ebene der Individuen zu formulieren
• SD-Modelle und ABS können als Endpunkte eines ganzen Spektrums von Modellierungsmöglichkeiten angesehen werden
• Man hat im Prinzip die Wahl zwischen aggregierten und agent based Modellen und deren Kombinationen
• Was sind die Entscheidungskriterien?
Simulationsmethoden im Vergleich
• SD-Modelle und ökonometrische Modelle bestehen aus (nicht)linearen Differenzen- bzw. Differentialgleichungen, die numerisch gelöst werden.
• Relativ wenige Parameter beschreiben die Gleichungen• Positive und negative Rückkopplungsschleifen
bestimmen das Verhalten des Gesamtsystems• Die individuellen Akteure werden in eine (kleine) Zahl
von Clustern (compartments) integriert.• Innerhalb der compartments herrscht Homogenität, • Blindheit des Modells gegenüber dem einzelnen Akteur • Übergänge zwischen den compartments beruhen auf
Erwartungs- oder Durchschnitts (ev. durch stochastische Variablen gestört)
• Einfacher Vergleich mit Realität
Simulationsmethoden im Vergleich
• Beispiele für SD Modelle– Ansteckungsprozesse werden durch eine Diffusionsgleichung
beschrieben; – Räuber-Beute Modelle durch die nichtlineare Lotka-Volterra
Differentialgleichung– Mathematisches Modell einer Volkswirtschaft (siehe oben)
• ABS erlauben es, emergente Phänomene in vielen Anwendungsgebieten zu studieren
• ABS können sehr gut Heterogenität der Akteure und deren individuelle Interaktion abbilden
• Grosse Zahl von Parametern nötig• Hoher Rechenaufwand für die Simulation und
erschwerte Sensitivitätsanalyse• Erschwerter Vergleich mit der Realität
Simulationsmethoden im Vergleich
Danke für Ihre Aufmerksamkeit!
Seminar an der TU-Wien im Wintersemester 06
Mathematische Modellierung und Simulation (187.234)
Website mit Skripten, Terminen, News:http://cartoon.iguw.tuwien.ac.at/zope/lvas/MathMod
e-mail: [email protected]