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Stationenlernen im Mathematikunterricht des Gymnasiums Unterrichtsbeispiele des letzten Jahres von zwei Referendarinnen

des Studienseminars Göttingen (Folkert Schlichting)

Zur Theorie des Stationenlernens gibt es genug Literatur. In der Praxis des Mathematikunterrichts wird es nach meinen Erfahrungen aber eher zögernd erprobt. Deshalb habe ich einige Unterrichts-beispiele mitgebracht; nicht etwa, weil sie einzigartig und vorbildlich gelungen oder besonders ar-tentypisch sind, sondern, um Materialien auszutauschen, um Erfahrungen zu vergleichen und zu diskutieren.

Die Frage: „Lohnt sich der Aufwand für diesen Methodenzirkus?“ (Man denke etwa an das Grup-penpuzzle mit seiner komplizierten Anordnung von Stammgruppen und Expertengruppen!) muss ich enthusiastisch mit „Ja!“ beantworten.

Es lohnt sich für die Schülerinnen und Schüler, weil sie sichtbar mit größerer Motivation, Selbst-ständigkeit und Intensität arbeiten und vielschichtig lernen, und weil die Organisation der Aufgaben problemlos innere Differenzierung, also ein individuelles Lerntempo, ermöglicht.

Es lohnt sich für die Lehrkraft

- inhaltlich, weil man sich einem Thema unter verschiedenen Aspekten nähern kann und dabei eine geeignete Balance zwischen gründlichem Erarbeiten oder nur informativem oder heuristischem Zu-gang sowie zwischen verschiedenen Darstellungsformen anbieten kann.

- pädagogisch, weil unerwünschte Lehrerdominanz beim Lernen schon durch die Organisationsform verhindert wird, die Beratung im Vergleich zu „normalen“ Schülerarbeitsphasen erheblich verein-facht ist und die damit gewonnene Zeit für inhaltlich-mathematische Beobachtungen der Schüler-ideen und -produkte und für die Beobachtung sozialer Prozesse in der Schülergruppe genutzt wer-den kann.

Wo lässt sich Stationenlernen mit Gewinn einsetzen? Grundsätzlich in jeder Unterrichtsphase von Aneignung bis Übung, aber - wie jede andere Methode - natürlich nicht ständig. Wichtig ist es in der Praxis, die Arbeitsanweisungen (Gruppenzusammensetzung, Arbeitsorganisation) vorab deut-lich anzusagen und konsequent durchzusetzen. Jede Arbeit in Stationen mündet schließlich wieder in einem Plenumsgespräch, das keine Wiederholung beinhaltet, sondern auf sehr unterschiedliche Weise (Präsentationen, Diskussionen, Zusammenfassung, Ergänzung) an die Arbeitsergebnisse der Stationen anknüpft, Gemeinsamkeit herstellt und weiterführt. Es ist erstaunlich, mit welchem Enga-gement sich die Schülerinnen und Schüler an dieser Art von „Zentralunterricht“ (statt „Frontalunter-richt“) beteiligen. Zeitlich beansprucht eine solche Arbeitsform einschließlich Plenum in der Regel zwei Unterrichtsstunden, die aber nicht unbedingt zusammenliegen müssen.

Die drei vorgestellten Beispiele aus dem Sekundarbereich 1 stammen von Frau Ulrike Lange-Kabitz, die inzwischen am Albert-Einstein-Gymnasium in Hameln unterrichtet und ihre guten Er-fahrungen mit Stationenarbeit aus der Ausbildungszeit auch im harten Schulalltag mit voller Unter-richtsbelastung erweitert und an neuen Inhalten erprobt. Die drei Beispiele aus der Kursstufe hat Frau Sandra Wolf entworfen und durchgeführt. Dabei hatte sie als Auszubildende auf die Rahmen-bedingungen des Unterrichts keinen Einfluss. Sie hat zu der gegebenen Unterrichtssituation eine möglichst geeignete Form der Stationenarbeit gewählt, insbesondere die Organisationsform „Grup-penpuzzle“ erwies sich beim Einsatz in der Wiederholungsphase als außerordentlich lerneffektiv.

Übersicht über die Beispiele

SEK 1 SEK 2

SCHWERPUNKT IN DREIECKEN

(Einführung/Erarbeitung, Kl. 7)

• Arbeitsteilige Gruppenarbeit mit 6 verschiedenen Arbeits-stationen

• Zusammenführung der Grup-penergebnisse zum gemein-samen Ziel.

(2 Stunden)

ABLEITUNGSREGELN BEI GEBR. RATIONALEN FUNKTIONEN

(Einführung/Erarbeitung, GK 12)

• Einführung

• Lernzirkel mit 3 Pflicht- und 3 Wahlstationen

• Besprechung und Präsentati-onen

(2 Stunden)

ZUORDNUNGEN / DIAGRAMME

(Einführung, Kl. 7)

• Stationenzirkel zur Daten-sammlung

• Arbeitsteilige Gruppenarbeit: Auswertung der Stationen

• Präsentationen und Ergän-zungen

(3 Stunden)

EIGENSCHAFTEN GEBROCHEN RATIONALER FUNKTIONEN

(Wiederholung, GK 12)

Arbeit im Gruppenpuzzle mit 5 Stationen

(Stammgruppen → Experten-gruppen → Stammgruppen)

(2 Stunden)

POTENZGESETZE

(Einführung Kl. 10)

• Arbeitsteilige Gruppenarbeit mit 5 Stationen (= 5 Gesetze)

KOMBINATORIK

(Erarbeitung LK 12)

• Lernzirkel mit 3 Pflicht- und 1 Wahlstation

• Präsentationen

(2 Stunden) < nicht beige-fügt>

• Zusammenfassung

(2 Stunden)

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1. Didaktische Überlegungen

Die hier beschriebene Stunde ist Teil einer längeren Geometriephase. Es sind Winkelsätze an Geradenkreuzungen sowie am Dreieck behandelt worden, anschließend wurde mit der Einheit „Besondere Linien und Punkte im Dreieck“ begonnen. Dabei ist der Umkreismittelpunkt über ein Einstiegsproblem (Suche eines Punktes mit gleichen Abständen zu allen Dreieckspunkten) entwickelt und der Inkreismittelpunkt über konstruktive Entdeckungen bei Winkelhalbierenden im Dreieck eingeführt worden. Als dritter besonderer Punkt soll nun in dieser Stunde der Schwerpunkt eines Dreiecks ausgehend von dessen physikalischer Bedeutung entdeckt werden. In dieser Stunde zum Schwerpunkt im Dreieck geht es nur um dessen Existenz und Konstruierbarkeit. Der Beweis zu einem gemeinsamen Schnittpunkt der Seitenhalbierenden erfordert entweder eine abbildungsgeometrische Argumentation über Punktspiegelungen und deren Verknüpfung, oder eine Begründung über Flächeninhalte, die so in dieser Klassenstufe noch nicht behandelt wurden, Kenntnisse über Strahlensätze (Klasse 9), Trigonometrie (Klasse 10) oder (am elegantesten) vektorielle Begrifflichkeit der analytischen Geometrie (Sek II). Hier sind deshalb allenfalls Plausibilitätserklärungen über Mitteldreiecke, die sich auf einen Punkt zusammenziehen, möglich. Ebenso sollen bei den Untersuchungen dieser Stunde die physikalischen Hintergründe von Masseschwerpunkt, Schwerelinien als Lotrechte,.. unberücksichtigt bleiben. Neben sich ergebenden Anwendungen und Sicherungen könnte im Anschluss noch der Höhenschnittpunkt und die Eulersche Gerade veranschaulicht werden. Auch lassen sich die Versuche, die in dieser Stunde in einer Gruppe zur Suche der Schwerlinie durchgeführt werden (Gruppe C, Anhang), aufgreifen, um im Weiteren den Flächeninhalt des Dreiecks einzuführen.

Intentionen Das Thema „Schwerpunkt“ im Dreieck ist in den Rahmenrichtlinien, wie der Höhenschnittpunkt, nur als Zusatzstoff vorgesehen. Umkreis und Inkreis sollen verbindlich behandelt werden. Auch das eingeführte Schulbuch behandelt den Schwerpunkt nicht. (Einige neuere Schulbücher wie „Mathematik plus 7 “, „MatheNetz 7 “, oder „mathelive 7“ hingegen führen den Schwerpunkt im Rahmen der besonderen Punkte im Dreieck ein). Diese Auswahl mag ihren Grund darin haben, dass sich für die Mittelsenkrechten und die Winkelhalbierende über deren Ortslinieneigenschaften leicht zeigen lässt, dass sie einen gemeinsamen Schnittpunkt haben, für die Seitenhalbierenden ist es an dieser Stelle auf elementarem Wege nicht zu beweisen. Doch hat gerade dieser besondere Punkt im Dreieck mehr als die anderen eine konkrete Bedeutsamkeit als physikalischer Schwerpunkt und bietet somit Bezüge zu praktischen Anwendungen und Alltagserfahrungen der SuS (Mobiles, Balancieren,..). Nach der Behandlung des Umkreises und Inkreises, wo sehr wohl auf das Besondere der Kopunktabilität dreier Geraden hingewiesen wurde und die Begründung dafür besprochen wurde, scheint es mir durchaus legitim, den Schwerpunkt auch ohne Beweis zu betrachten. Der Akzent der Stunde soll daher auf handlungsorientiertem Entdecken des Schwerpunktes, der Seitenhalbierenden als Schwerelinien und gegebenenfalls des Teilungsverhältnisses 1:2 liegen. Dieses Thema bietet dabei sowohl die Möglichkeit, fächerübergreifend physikalische Argumentationen heranzuziehen (Gruppe E, F), als auch typische mathematische Vorgehensweise zu üben. Indem geometrische Kenntnisse über bereits bekannte Punkte im Dreieck genutzt und überprüft werden (Gruppe A, B), geht es um das Aufstellen und Überprüfen von Hypothesen und eine Einordnung von Eigenschaften gemäß dem Kontrast- bzw. Ausschlussprinzip. Beim Übertragen des Schwerpunktbegriffs von Linearität auf die Fläche findet eine Verallgemeinerung durch Erhöhung der Dimensionalität statt. (Gruppe C).

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Somit erscheint es mir ausgesprochen lohnend, sich auch schon in Klasse 7 mit dem Schwerpunkt zu befassen, da die Möglichkeiten, anhand eines konkreten Gegenstands Modellierungsüberlegungen anzustellen und direkt zu überprüfen sowie die Vernetzung von Geometrie und alltagsrelevanter Physik die mangelnde formale Beweisbarkeit rechtfertigen. Ähnliches gilt, wenn man anschließend die Eulersche Gerade (in jedem Dreieck liegen Höhenschnittpunkt, Umkreismittelpunkt und Schwerpunkt auf einer Gerade), zum Beispiel mittels dynamischer Geometriesoftware zeigt. Dabei ist das Moment der Überraschung (und der Ästhetik) ein für den Mathematikunterricht motivierendes, auch wenn manche Fragen bis zur Oberstufe offen bleiben. Dann aber erweist sich gerade an diesen Beispielen die Wirksamkeit der Werkzeuge der analytischen Geometrie als sehr überzeugend. Im weiteren Verlauf des Geometrieunterrichts der 7.und 8. Klasse bietet die Kenntnis der besonderen Linien und Punkte im Dreieck viele reizvolle Varianten der Aufgaben zur Konstruktion eines Dreiecks aus drei bekannten Größen.

Stundenziele Die SuS sollen den Schwerpunkt als besonderen Punkt im Dreieck kennen lernen und ihn als Schnittpunkt der Seitenhalbierenden entdecken. Im Einzelnen sollen sie (z.T. je nach Arbeitsgruppe ) im kognitiven Bereich: ∇ erkennen, dass es in jedem Dreieck einen Punkt gibt, auf dem es sich balancieren lässt ∇ den gefundenen Schwerpunkt mit bekannten Punkten im Dreieck vergleichen ∇ weitere Dreieckstransversale entdecken ∇ sich in der Gruppenarbeit über mathematische Sachverhalte austauschen ∇ üben, ihr Gruppenarbeitsergebnis knapp zu formulieren und zu präsentieren im instrumentellen Bereich : ∇ Schwerpunktsversuche mit Dreiecken aus Pappe durchführen ∇ bekannte Konstruktionen sauber durchführen ∇ verschiedene Experimente durchführen (balancieren, Lotrechte bestimmen, wiegen) im affektiven Bereich : ∇ im Zweierteam und in der Gruppe Kooperationsfähigkeit üben ∇ Freude und Neugier beim Ausprobieren und Experimentieren erleben ∇ erfahren, dass Geometrie und Mathematik praktische Bedeutung haben ∇ angeregt werden, für Alltagserfahrungen mathematische Modelle zu suchen

2. Methodische Überlegungen

Methodisches Gesamtkonzept

Der Akzent dieser Stunde liegt im eigenständigen Entdecken des Schwerpunktes eines Dreiecks sowie in praktischen Untersuchungen zur Konstruierbarkeit des Schwerpunktes aus den Seitenhalbierenden. Wie in den pädagogischen Intentionen erläutert, kommt es mir besonders auf die Verknüpfung geometrischer Eigenschaften der Figur Dreieck mit ihren physikalischen Eigenschaften an. Die lernpsychologische Forderung, möglichst oft über eigene Erfahrung und eigenes Erarbeiten

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lernen zu lassen, soll durch handlungsorientierte Angebote in dieser Stunde umgesetzt werden, was sicher auch der Arbeitsweise dieser Klasse entgegenkommt. Der erste Schritt, das Experimentieren und Balancieren zur Suche des Schwerpunktes soll dabei von allen SuS gleichzeitig erfolgen, denn die sich ergebende Aussage der Existenz des Schwerpunktes ist Grundlage für weitere Fragen und Untersuchungen und muss daher gemeinsam besprochen werden. Für dieses Ausprobieren werden die SuS Pappdreiecke erhalten, die stabil genug für die Balancierversuche sind, und auf denen sich andererseits mögliche Konstruktionslinien einzeichnen und überprüfen lassen. Es werden verschiedene Dreiecke ausgegeben, um für die am Stundenende oder in der nächsten Stunde anstehende Diskussion um Allgemeingültigkeit eine breitere Beispielbasis zu haben. Das Balancieren und Markieren des Schwerpunktes lässt sich nicht allein durchführen, diese Arbeit erfordert (und fördert) Teamarbeit, die SuS werden deshalb jeweils nur zu zweit ein Dreieck erhalten. Für eine zweite „Experimentierphase“, in der verschiedene Zugänge zur Seitenhalbierenden bearbeitet, sowie mögliche Vorschläge zur Lage des Schwerpunkts durch Vergleich mit bekannten besonderen Punkten im Dreieck überprüft werden sollen, scheint es mir hingegen sinnvoller, den SuS ihr eigenes Tempo und individuelle Arbeitsweise zuzugestehen, statt gleichschrittig über Unterrichtsgespräch oder Demonstrationsversuche vorzugehen. Eine denkbare und sehr reizvolle Variante dafür wäre, die SuS die jeweiligen Bearbeitungsmöglichkeiten in einzelnen Stationen durchlaufen zu lassen. Dagegen spricht, dass damit in dieser Stunde keine Zusammenfassung und Ergebnissicherung mehr möglich wäre, vermutlich würde allein die Stationenarbeit sich über zwei Stunden erstrecken, selbst wenn die Stationen so strukturiert werden, dass nicht alle verpflichtend sind. Für diese besondere Stunde habe ich mich deshalb entschieden, einzelne SuS-Gruppen arbeitsteilig zu einzelnen Themen arbeiten zu lassen. Die dabei zu erarbeitenden Aspekte stellen verschiedene zum Teil parallele Zugänge zum Ergebnis „Schnittpunkt der Seitenhalbierenden“ dar, so dass es für die SuS hinnehmbar ist, die anderen Schritte nur vorgestellt zu bekommen. Das intensivere Verstehen des eigenen Themas erleichtert das Verständnis der Themen der anderen Gruppen. Das Prinzip der Arbeitsteilung bietet außerdem auch einige Vorteile. Alle Gruppen bereiten einen Beitrag vor, der für das Gesamtergebnis wichtig ist, (für die SuS wird das noch angedeutet durch den Ausdruck „Untersuchungskommission“). Die Unmöglichkeit, sich einfach auf die anderen Gruppen verlassen zu können, kann auch ein Beitrag zur Steigerung der Gruppenarbeitskompetenz sein. Das arbeitsteilige Konzept erfordert eine gegenseitige Vorstellung der eigenen Ergebnisse, auch solche Präsentationsfähigkeiten sind als wichtiges Lernziel zu üben. Auf Grund der Altersstufe benötigen die SuS aber noch sehr klare Hinweise und Hilfestellungen zum Vorstellen ihrer Arbeit. Sie erhalten deshalb ein Folienteil, auf dem sie ihr Ergebnis in 1-2 Sätzen notieren sollen, sowie methodische Anregungen zur Darstellung ihres Themenaspekts. Auch für die Anleitung der praktischen Arbeit der Gruppen habe ich mich für klare Arbeitsaufträge und Vorgaben (z.B. bei Gruppe F) entschieden, um während der Gruppenarbeit genügend Zeit für die wirklich notwendigen Hilfestellungen zu haben. Die Gruppen werden deshalb jeweils eine Mappe mit einem Blatt mit ihren Aufträgen, Materialangaben sowie mit den benötigten Materialien erhalten. Die farbliche Kennzeichnung kann dabei die Unterscheidung und Orientierung erleichtern. Weitere Überlegungen zur Konzeption der Gruppenarbeiten finden unten. Aus zeitlichen Gründen ist die Einteilung der Gruppen in der vorhergehenden Stunde überlegt und besprochen worden. Falls einige SuS fehlen, ist das Thema der Gruppe D so konzipiert, dass es auch wegfallen, oder u.U. von einer anderen Gruppe mitbearbeitet werden könnte. Eine andere Möglichkeit zur Komprimierung sind die Gruppen A und B, die vermutlich am wenigsten Zeit benötigen und auch von Zweierteams bearbeitet werden können. Eine Schwierigkeit wird sicherlich der unterschiedliche Zeitbedarf einzelner Gruppen sein. Im „normalen“ Stationenbetrieb würden SuS, die fertig sind, an die nächste Station wechseln. Hier würde

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ich höchstens an besonders schnelle Gruppen einen weiteren Auftrag geben und werde deshalb von jeder Mappe ein Duplikat dabei haben. Ich vermute aber, dass es ausreichend sein wird, über kleine ergänzende Zusatzaufträge (z.B. Übertragen des Ergebnisses von einer Seitenhalbierenden auf die anderen) die Arbeitszeiten der verschiedenen Gruppen annähernd auszugleichen. Der Stundeneinstieg in die Frage nach Balancieren und Schwerpunkt soll – mangels eigener Jonglierkünste – über die Karikatur eines „Tellerdrehers“ , die per Folie gezeigt wird, geschehen. Dass dabei der Mittelpunkt des Kreises der Ansatzpunkt für den Stock ist, wird unbestritten sein, der Jongleur mit einem Dreieck statt Teller in der Hand verknüpft die bislang behandelte Figur Dreieck mit der Frage nach einem „Balancierpunkt“ Da die Erfahrung gezeigt hat, dass ausführlichere Ideenvorstellungen von SuS an der Tafel oder am Tageslichtprojektor auch in der Gefahr stehen, auszuufern, werde ich bei der Vorstellung der Gruppenarbeitsergebnisse zunächst mögliche Unterrichtsgespräche bremsen und auf die Auswertungsphase verschieben, um die Präsentation der Gruppenergebnisse zielgerichtet kurz zu halten. Für das zusammenfassende Gespräch ist dann hilfreich, alle Einzelergebnisse im Überblick zu haben. Deshalb erhalten die SuS kleinere Folienteile für ihre Notizen, die neben dem Zwang zur Beschränkung auch gewährleisten, dass damit alle gleichzeitig projizierbar sind. Die abschließende Bündelung der Einzelergebnisse zu Eigenschaften der Seitenhalbierenden werden an der Tafel vorgenommen, dies ist das Medium , das die Klasse erfahrungsgemäß auf gemeinsames Arbeiten konzentrieren kann. Zur Sicherung der Aussagen über den Schnittpunkt der Seitenhalbierenden sollen die SuS zu Stundenende oder zu Hause diesen für die eingangs verwendeten Pappdreiecke konstruieren. Die Tatsache, dass anfangs jeweils nur für zwei SuS ein Dreieck vorhanden war, kann die Notwendigkeit, das Dreieck noch einmal abzuzeichnen, und den Schwerpunkt dazu zu konstruieren, zusätzlich deutlich machen.. Diese exakten Zeichnungen des Schwerpunktes bieten dann auch den Ausgangspunkt für die nächste „Entdeckungstour“, die Messung der Längenabschnitte auf den Seitenhalbierenden. Die Erkenntnis des Teilungsverhältnisses von 1 : 2 wird sich auf Grund der krummen Zahlen und Ungenauigkeiten wahrscheinlich erst im Überblick über sämtliche verschiedene Dreiecke und Messungen zeigen. Die abgelesenen Ergebnisse ( vermutlich der Hausarbeit) sollen auf Folie zusammengestellt werden.

Methodisch-didaktische Überlegungen zu den einzelnen Gruppen Im folgenden sollen kurz einige Überlegung zu Inhalten und Medien der Gruppenaufträge (s. Anhang) dargestellt werden : Gruppe A und B : Anwendung bekannter Linien/Punkte Diese Gruppen sollen mögliche vorher genannte Hypothesen zum Schwerpunkt als Umkreis- oder Inkreismittelpunkt überprüfen, indem sie auf ihre Pappdreiecke die jeweiligen Linien konstruieren und den Schnittpunkt mit dem experimentell ermittelten Schwerpunkt vergleichen. Dabei ist gefordert, die in den vorigen Stunden erworbene Kenntnis über besondere Linien anzuwenden. Zur Demonstration ihrer konstruierten Linien und um die erhaltenen Schnittpunkte mit dem ausbalancierbaren Schwerpunkt vergleichen zu können, erhalten diese beiden Gruppen zusätzlich ein Dreieck aus durchsichtigem Polystyrol für den Einsatz auf dem Overhead-Projektor.

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Gruppe C : Experimente mit verschieden langen Holzleisten Als Hinführung zur Seitenhalbierenden erhält diese Gruppe mehrere verschieden lange Holzleisten, bei denen der jeweilige Schwerpunkt als Mittelpunkt unmittelbar klar ist. Durch paralleles Aneinanderlegen ergibt sich ein Dreieck, die markierten Schwerpunkte der einzelnen Leisten zeigen die Seitenhalbierende. Fortführende Überlegungen zu gescherten Dreiecken mit gleichen Flächeninhalten bieten sich an. Gruppe D : Balancierübungen mit Dreiecken mit gleicher Seitenhalbierenden Hier wird der Weg von sehr schmalen entarteten Dreiecken, bei denen sich die Seitenhalbierende als Schwerelinie intuitiv anbietet, zu größeren Dreiecken geführt. Zur Demonstration am OHP erhalten die SuS dafür farbige Foliendreiecke, die im Übereinanderlegen die gemeinsame Seitenhalbierende zeigen. Gruppe E : Lotrechte In dieser Gruppe soll die Lotrechte beim hängenden Dreieck ausgenutzt werden, um die gesuchte Schwerelinie (hier identisch) zu finden. Die Aufgabe, die Dreiecke zusammen mit einem beschwerten Faden hängend zu halten, und dabei die Lotlinie einzuzeichnen, setzt Kooperation in der Gruppe voraus, daher sollte diese Gruppe 4 Mitglieder haben. An diese Gruppe geht auch die gezielte Aufforderung, alle drei Linien zu suchen, der Schnittpunkt wird dabei gefunden. Somit liefert diese Gruppe die entscheidende Idee für das zusammenfassende Gespräch am Ende, auf den Schwerpunkt als Schnittpunkt der drei Schwerelinien / Seitenhalbierenden zu kommen. Auch in den anderen Gruppen ist es gut möglich, dass mit der Entdeckung einer Seitenhalbierenden alle drei bestimmt werden und die SuS den Schnittpunkt erhalten, (zumal das durch das ähnliche Vorgehen beim Umkreismittelpunkt und beim Inkreismittelpunkt naheliegt) in dieser Gruppe ist es explizit vorgesehen. Gruppe F : Wägeversuche Um den Balancierübungen eine zusätzliche (messtechnische) Grundlage zu geben, soll diese Gruppe Dreiecksteile, die sich bei verschiedenen Teilungen durch Mittelsenkrechte, Winkelhalbierende, Höhe oder Seitenhalbierende ergeben, wiegen. Allein die Seitenhalbierende liefert dabei zwei Teile gleicher Masse. Für die Darstellung ihrer Ergebnisse erhält die Gruppe eine Tabelle auf Folie. Sicherlich wäre es als weitere Zugangsweise hilfreich gewesen, einer Gruppe auch Entdeckungen zum Schwerpunkt am Computer mit dynamischer Geometrie-software zu ermöglichen. Da die Klasse aber (wegen gerade erst beendeter Umbau – und Erweiterungs-maßnahmen der Computerräume) das in der Schule installierte Programm Geolog während dieser Geometrieeinheit noch nicht hat kennen lernen können, wäre eine Gruppenarbeit mit Geolog für diese Stunde mit angestrebter selbstständiger Erarbeitung nicht angemessen. Je nach weiterem Verlauf ist aber denkbar, bei einer wiederholenden Zusammenfassung der besonderen Linien und Punkte und Fortführung zur Eulerschen Geraden dieses mit dynamischer Geometriesoftware zu demonstrieren. Auf Grund der verschiedenen Aufgabenstellungen und Schwierigkeitsgrade der Aufträge für die Gruppen wäre es durchaus denkbar, die Gruppenzuordnung gemäß Binnendifferenzierung bereits im Vorfeld vorzunehmen. Um Sympathiegruppen nicht auseinanderzureißen, und um auf mögliche SuS-vorschläge reagieren zu können, indem die betreffenden SuS „ihren“ Vorschlag bearbeiten, werde ich das jedoch offenhalten.

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Verlaufsplan

Phase Inhalt Funktionen Die SuS sollen Schüleraktivität

Methode InteraktionsformenMedien

Eröffnung

Begrüßung, Vorstellung der Gäste, der Stunde

sich auf die Stunde einstellen sich konzentrieren

Einstieg Problematisierung I

Jongleur mit Teller wie geht das mit einem Dreieck?

neugierig werden an Vorerfahrungen anknüpfen

Folie mit Karikatur UG

Erarbeitung I

Suche nach dem Schwerpunkt

zu zweit probieren gefundene Punkte markieren

Partnerarbeit mit Pappdreiecken

Problematisierung II

Wie lässt sich der Schwerpunkt konstruieren ?

Zwischenergebnis festhalten Ideen sammeln, Hypothesen aufstellen

UG

Erarbeitung II

arbeitsteilige Gruppenarbeit

Arbeitsaufträge in Gruppen durchführen experimentieren, konstruieren Ergebnisse notieren

Gruppenarbeit Material für die Gruppen Folien

Erarbeitung III

Präsentation der Gruppenarbeit

Ergebnisse vorstellen

UG Folien, Material

Eventualabschluss I

Zusammenfassung Eigenschaften der Seitenhalbierenden

Ergebnisse verknüpfen. schlussfolgern, Neues kennen lernen,

UG,Tafel

Sicherung I (HA) Eventualabschluss II

Konstruktion des Schwerpunktes

Konstruktion anwenden

Stillarbeit

Didaktische Reserve (HA)

Messen der Längenabschnitte auf den Seitenhalbierenden

Stillarbeit Tabelle auf Folie

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Anhang

erwartete Ergebnisse der Gruppenarbeit Tafelanschrieb Folie für den Einstieg Karikaturen von Christoph Buchfink, Göttingen Arbeitsanweisungen für die Gruppenarbeit

Erwartete Aussagen

A : Der Umkreismittelpunkt ist nicht der Schwerpunkt B : Der Inkreismittelpunkt ist nicht der Schwerpunkt C: Der Schwerpunkt jeder Holzleiste liegt genau auf dem Mittelpunkt

Bei zusammengelegten Dreiecken zeigen die markierten Schwerpunkte der einzelnen Leisten eine Schwerelinie, auf der sich die Dreiecke balancieren lassen

D : Die Dreiecke lassen sich balancieren auf der Linie von einer Seitenmitte zur

gegenüberliegenden Seite E : Beim freien Hängen eines Dreiecks geht die Lotrechte (Senkrechte) von der Spitze durch die

Mitte der gegenüberliegenden Seite Die drei Lotrechten schneiden sich in einem Punkt F : Nur die Teilung eines Dreiecks entlang der Seitenhalbierenden liefert zwei Teildreiecke

gleicher Masse.

Tafelanschrieb :

Die Strecke, die den Mittelpunkt einer Dreieckseite mit dem gegenüberliegenden Punkt verbindet, heißt Seitenhalbierende.

Die drei Seitenhalbierenden im Dreieck schneiden sich in einem Punkt. Dieser Punkt ist der Schwerpunkt des Dreiecks.

Untersuchungskommission A Euer Auftrag :

Konstruiert zu euren Pappdreiecken jeweils den Mittelpunkt des Umkreises (...wie war das noch ..?) Ist das der Punkt, den ihr beim Ausprobieren als Schwerpunkt gefunden habt ? Probiert aus, ob man auch auf dem Umkreismittelpunkt das Dreieck balancieren kann!

Ihr sollt nachher euer Ergebnis den Anderen vorstellen. Schreibt dazu eure Erkenntnis in 1-2 Sätzen auf das Folienstück. Ihr habt in eurer Mappe auch ein durchsichtiges Dreieck. Sucht auch dafür den Schwerpunkt durch Ausprobieren. Zeichnet die Konstruktionslinien für den Mittelpunkt des Umkreises auf das durchsichtige Dreieck, um dies auf dem Overhead-Projektor zu zeigen. Ihr braucht also für euren Auftrag : eure Pappdreiecke Zirkel, Geo-Dreieck, Folienstück, Folienstift durchsichtiges Dreieck

Untersuchungskommission B Euer Auftrag : Konstruiert zu euren Pappdreiecken jeweils den Mittelpunkt des Inkreises (...wie war das noch ?..) Ist das der Punkt, den ihr beim Ausprobieren als Schwerpunkt gefunden habt ? Probiert aus, ob man auch auf dem Inkreismittelpunkt das Dreieck balancieren kann! Ihr sollt nachher euer Ergebnis den Anderen vorstellen. Schreibt dazu eure Erkenntnis in 1-2 Sätzen auf das Folienstück. Ihr erhaltet dafür auch noch ein durchsichtiges Dreieck, mit dem ihr euer Ergebnis auch auf dem Overhead-Projektor zeigen könnt. Sucht auch dafür den Schwerpunkt durch Ausprobieren. Zeichnet dann die Konstruktionslinien für den Mittelpunkt des Inkreises auf das durchsichtige Dreieck. Ihr braucht also für euren Auftrag : eure Pappdreiecke Zirkel, Geo-Dreieck, Folienstück, Folienstift durchsichtiges Dreieck

Untersuchungskommission C

Euer Auftrag : Ihr erhaltet mehrere verschieden lange Holzleisten und eine dünnere Leiste zum Balancieren. Sucht für jede Holzleiste den Punkt, auf dem man sie auf dem Finger, auf einem Lineal oder auf der dünnen Leiste balancieren kann. Markiert diesen Punkt mit einem Filzstift auf der Holzleiste. Um welchen Punkt handelt es sich ?

Legt dann die Holzleisten der Größe nach parallel so hin, dass Dreiecke entstehen. Gibt es eine Linie, auf der man das Dreieck, das entstehen würde, wenn man die Leisten zusammenklebt, balancieren könnte? Ihr sollt nachher euer Ergebnis den Anderen vorstellen. Schreibt dazu eure Erkenntnis in 1-2 Sätzen auf das Folienstück. Ihr könnt dann auch eure Balancierversuche mit einzelnen Leisten und dem zusammengelegten Dreieck kurz zeigen. Ihr erhaltet auch kleine Folienstreifen in der Größe der Holzleisten, auf denen ihr eure ermittelten Schwerpunkte einzeichnen könnt und die ihr auf dem Projektor zeigen könnt. Ihr braucht also für euren Auftrag : eure Pappdreiecke Folienstück, Folienstift Holzleisten, Filzstift rote Folienstreifen

Untersuchungskommission D Euer Auftrag : Ihr erhaltet verschiedene Dreiecke, sehr schmale bis „normale“. Beginnt mit dem schmalsten Dreieck und sucht dafür die Linie, auf der man das Dreieck gut auf einem Stift o.ä. balancieren kann. Zeichnet diese Linie ein.

Sucht diese „Balancierlinien“ auch für die anderen Dreiecke. Wie kann man diese Linie einzeichnen ? Legt die Dreiecke übereinander, was fällt euch auf ? Ihr sollt nachher eure Gruppenarbeit den Anderen vorstellen.

Schreibt dazu euer Ergebnis in 1-2 Sätzen auf das Folienstück. Ihr bekommt auch Foliendreiecke, mit denen ihr das, was ihr mit den verschieden “schmalen“ Dreiecken entdeckt habt, kurz zeigen könnt. Ihr braucht also für euren Auftrag : verschiedene Pappdreiecke dünner Stift o.Ä. Folienstück, Folienstift Foliendreiecke

Untersuchungskommission E Euer Auftrag : Haltet eure Pappdreiecke an einer Spitze und lasst sie frei hängen. Wie hängen sie ? Ist dabei die untere Kante parallel zur Tischkante ? Haltet nun gleichzeitig an der Spitze des Dreiecks einen Faden, an dem unten ein kleines Gewicht befestigt ist, fest. Wie hängt der Faden ? Markiert die Linie, die der Faden beim Hängen zeigt, auf dem Dreieck. Welche Punkte des Dreiecks verbindet diese Linie? Wiederholt das mit den anderen Ecken des Dreiecks. Was beobachtet ihr ? Ihr sollt nachher euer Ergebnis den Anderen vorstellen. Schreibt dazu eure Beobachtungen in 1-2 Sätzen auf das Folienstück. Ihr könnt dann auch eure Versuche mit den Dreiecken kurz zeigen. Ihr braucht also für euren Auftrag : eure Pappdreiecke Folienstück, Folienstift Faden mit kleinem Gewicht Stift zum Markieren der Linien

Untersuchungskommission F Euer Auftrag : Ihr sollt eine Linie finden, die ein Dreieck in zwei gleich schwere Teile zerlegt.

Ihr habt dazu verschiedene gleiche Dreiecke . Zeichnet verschiedene besondere Linien, die ihr im Dreieck kennt (Mittelsenkrechte, Winkelhalbierende, Verbindung zwischen Seitenmitte und gegenüberliegendem Punkt, Höhe .....) auf je ein Dreieck . Schneidet diese Dreiecke entlang dieser Linien durch und testet auf der Waage, ob beide Teile die gleiche Masse haben.

Ihr sollt nachher euer Ergebnis den Anderen vorstellen. Schreibt dazu eure Beobachtungen in 1-2 Sätzen auf das Folienstück. Notiert die gewogenen Werte auf der Tabelle auf der Folie Zeigt nachher ein Dreieck, bei dem ihr zwei gleichschwere Teile erhalten habt. Ihr braucht also für euren Auftrag : mehrere gleiche Pappdreiecke Folienstück, Folienstift Waage Schere Folie mit Tabelle

Kommentar zum tatsächlichen Stundenverlauf Wie vermutlich alle Praktiker schon vorher gesagt hätten, bot das hier beschriebene Unterrichtskonzept Stoff für mehr als eine Stunde. Der vorgestellte Verlauf bis hin zur „didaktischen Reserve“ hat die Klasse tatsächlich 2 Stunden intensiv beschäftigt. Zum einen haben die Gruppen sehr eifrig und mit großem Elan und offensichtlicher Freude gearbeitet, dabei aber bei allem Ausprobieren und Balancieren doch mehr Zeit als vorgegeben benötigt, insbesondere auch zum Notieren ihres Ergebnisses. Arbeitsökonomie kann aber auch nur gelernt werden, wenn sie immer wieder geübt wird. Teilweise konnte durch gezielte Vergabe der „Untersuchungsaufträge“ an entsprechende Schülergruppen Differenzierungszielen Rechnung getragen werden (Gruppen A und B, die wiederholende und Kenntnisse über Umkreis- und Inkreismittelpunkt anwendende Aufgaben hatten, gingen an eher schwächere SuS) , trotzdem wird sicher immer die Schwierigkeit unterschiedlichen Zeitbedarfs bleiben. Zum anderen ist die Fähigkeit, ein komprimiertes Ergebnis der eigenen Arbeit verständlich darzustellen, nicht bei allen SuS schon vorhanden. Auch das braucht aber immer wieder Übungsanlässe. Letztlich konnte in der ersten Stunde die Widerlegung der vorher im Gespräche geäußerten Hypothesen, der Balancierpunkt könnte der Umkreis- oder Inkreismittelpunkt des Dreiecks sein, noch abschließend demonstriert werden. Die Gruppen A und B konnten über ihr Plexiglasdreieck auf dem OHP die unterschiedliche Lage der von ihnen ausprobierten Balancierpunkte und der von ihnen konstruierten Umkreis- und Inkreismittelpunkte zeigen. Die Ergebnisse der anderen Gruppen blieben der nächsten Stunde vorbehalten. Damit blieb aber dafür noch sehr viel Spannung, wie sich der Balancierpunkt denn dann finden bzw. konstruieren lässt. Die anderen Gruppen bestanden darauf, auch ihre Experimente des Balancierens oder Lotfällens,.... noch einmal vorzuführen. Faszinierend dabei war, wie sich bei den SuS von Gruppenergebnis zu Gruppenergebnis ein Bild zusammenpuzzelte. Vielen SuS gelang es dabei, das, was sie von anderen hörten, auf das, was sie selber durchgeführt hatten, zu übertragen ( „ die Balancierlinie, die die da zeigen, muss es ja auch sein, wir haben ja gewogen, dass beide Teile gleich schwer sind...“ „Unsere schmalsten Dreiecke sahen ja fast so aus wie die Holzstäbe.....“ „ Es muss ja drei Möglichkeiten geben, ein Dreieck in Streifen zu schneiden und jedes Mal ist die Balancierlinie auf den Mittelpunkten“ ..) . So wurde auch die zweite Stunde, die dem Zusammentragen und Bündeln der Ergebnisse diente, zu einer sehr lebendigen und spannenden, die dieses handlungsorientierte, Mathematik entdeckende Konzept rechtfertigte. Das Interesse der SuS auch an den Ergebnissen der jeweils anderen Gruppen zeigt, dass es auch sehr sinnvoll wäre, mit Hilfe dieser Materialien ( und möglichst auch einer Station „dynamische Geometriesoftware“ am PC im Klassenraum ) eine echte Stationenarbeit durchzuführen. Dabei müssten dann die Arbeitsaufträge in Richtung auf selbstständiges Notieren der Ergebnisse für den eigenen Erkenntnisweg modifiziert werden, eine ausführliche Präsentation der einzelnen Stationen wäre dabei nicht angesagt. Für die zusammenfassende Auswertung ginge es dann nur um das Gesamtergebnis und der Sammlung der „experimentellen Befunde“, die dies Ergebnis stützen.

Stationenarbeit zum Thema „Zuordnungen“

Intentionen Das Thema „Zuordnungen“ steht als erstes Thema für den Jahrgang 7 in Niedersachsen an. Der hier dokumentierte Einstieg sollte zudem die Situation der SuS aufnehmen, die mit der Klasse 7 eine neue Schule besuchen. In dieser Klasse kommen die SuS aus 7 verschiedenen Orientierungsstufen und kennen sich noch kaum untereinander. Als einzige Klasse mit zweiter Fremdsprache Latein konnte die Zusammensetzung auch nicht auf gemeinsame Wohnorte abgestimmt werden. Dies zweite Thema „gegenseitiges Kennenlernen“ sollte dabei sowohl inhaltlich über die Themenstellung der zu erhebenden Daten (wo wohnst du, wie groß ist deine Familie,. mit welchem Bus muss ich eigentlich fahren,..) als auch methodisch über die Arbeit in Kleingruppen vorkommen. Die Kleingruppen habe ich – gegen den Unwillen der Klasse – zufällig nach dem Anfangsbuchstaben des Vornamens zusammengestellt, um auch SuS, die noch nie etwas miteinander zu tun hatten in Kontakt zu bringen (und mir das Namenlernen zu erleichtern) Nach der gemeinsamen Datensammlung sollten aus diesen Daten Diagramme erstellt werden. Wegen der unterschiedlichen Vorkenntnisse aus den verschiedenen Orientierungsstufen ging es dabei um Grundlagen der Darstellung von Zuordnungen, um Wiederholung (bzw. Kennenlernen ) verschiedener Diagrammtypen und um Schaffung von Basismaterial für die weitere Arbeit zu Themen wie Maßstäbe, diskrete oder kontinuierliche Ausgangsmengen, gegenseitige Abhängigkeiten, Proportionalitäten... Verlauf In der ersten Phase haben alle Kleingruppen alle Stationen durchlaufen ( Station A und C, die keine weiteren Hilfsmittel brauchten, waren doppelt vorhanden, um flexiblere zeitliche Reserve zu haben.) Alle Ergebnisse sollten sowohl in den Stationenzettel, der für die zweite Phase wichtig war, eingetragen werden, als auch in den jeweiligen Gruppenlaufzettel, der stärker das Kennlernen der eigenen Gruppe in den Blick nahm. Eine gemeinsame Stunde diente der Begriffsklärung „Zuordnung“, für die jetzt allen SuS einige Beispiele bekannt waren. Verschiedene Darstellungsmöglichkeiten wie Zuordnungsvorschrift, Pfeildiagramm, Tabelle oder Schaubild wurden an Hand dieser Beispiele geklärt. Mit Hilfe der von allen Gruppen gefüllten Stationenzettel wurden in der zweiten Phase aus den erhobenen Daten Diagramme erstellt. Dazu haben jetzt neue Gruppen (meist Tischgruppen) jeweils einen Stationenzettel und einen Arbeitsauftrag zur Diagrammerstellung erhalten. ( Die Stationenzettel und die zugehörigen Arbeitsaufträge waren auf Papier der jeweils gleichen Farbe ausgedruckt, was ohne viel zusätzlichen Aufwand die Orientierung erleichterte) Ziel war, nach ersten Überlegungen und Probieren in der Gruppe ein sauberes Diagramm zu zeichnen. Die verschiedenen Gruppen hatten dabei z.T. spezielle Aspekte zu berücksichtigen (Maßstäbe, Ausschnitte, Sortieren der Ausgangsmenge zur Vergleichbarkeit, Häufigkeitsdiagramm, Piktogramm, Durchschnittswerte,..) Die erstellten Diagramme wurden dann aufgehängt und in der nächsten Stunde im Zuge einer „Besichtigung der Ausstellung“ von den jeweiligen Schülergruppen vorgestellt und kommentiert. Einzelne Aspekte, die bei Gruppen als Besonderheit oder Schwierigkeit auftauchten, wurden als Stichworte notiert und in der nächsten Stunde als Anlass für eine zu notierende Zusammenfassung zum Thema „Diagramme“ genutzt. Andere Messgrößen ließen sich noch einmal überprüfen ( der Größe nach aufstellen ), dabei wurden Messfehler diskutiert. Leider ist bei Gruppe D das Sortieren nach Alphabet nicht durchgeführt worden, so dass der Vergleich von Entfernung zur Schule mit dem Fahrpreis nicht durch Übereinanderlegen der Folie zu sehen war. In der Gruppenarbeit vorher war einigen schon aufgefallen, dass dieser Zusammenhang nicht unbedingt proportional ist ( = „ungerecht“ : der wohnt mehr als doppelt so weit weg und muss nicht das Doppelte zahlen.!.) Um dies Beispiel als Einstieg zum Vergleich von proportionalen und nicht proportionalen Zuordnungen zu nutzen, haben die SuS dann später noch einmal direkt die Zuordnung Entfernung → Fahrpreis dargestellt.

Verlauf

Stunde Thema Methode

1

Organisatorisches (Schulbücher..) 2.Teil . Beginn der Stationenarbeit (Gruppeneinteilung, methodische Erläuterungen , erste Stationen..)

Stationenarbeit

2 Datensammlung in den Gruppen bei der Stationenarbeit Stationenarbeit

3 Info : Zuordnungen und Darstellung von Zuordnungen über Zuordnungsvorschrift, Tabelle, und Graph

Unterrichtsgespräch, Tafel

4 Bearbeitung der gesammelten Daten in Gruppen Diagrammerstellung Gruppenarbeit

5 Ausstellung der Diagramme Präsentation Präsentation

6 Typen von Diagrammen, Regeln,.. Unterrichtsgespräch, Info

Übungen zu Zuordnungen und Darstellungen Eigenschaften von Zuordnungen,... proportionale Zuordnungen.....

Verbesserungsvorschläge Gruppeneinteilung : Da in der Klasse noch zwei SuS mehr als ursprünglich avisiert auftauchten, mussten z. T. Gruppen mit 5 SuS arbeiten. Das ist für manche in dem Alter und der Situation eine Überforderung. Dafür wäre es gut gewesen, noch ein Thema mehr zur Verfügung zu haben. Auf entsprechende Vorschläge freue ich mich ! Themenauswahl Da diese Klasse als Lateinklasse ihre mit dem Klassen/Lateinlehrer erstellten Kennenlernsteckbriefe auf Latein formulierten, ging es dort in erster Linie um sehr einfache Auskünfte (nomen est..) . In anderen Fällen ist sicher eine Absprache mit der Klassenleitung sinnvoll, um Überschneidungen der Themenauswahl zu vermeiden. Stationenarbeit Station B : Auch wenn es nicht so richtig schadet, das eigene Alter in Tagen auch zu Fuß auszurechnen, könnte dabei ein Taschenrechner zur Kontrolle oder für rechenschwächere SuS womöglich noch bereitgestellt werden.. Diagrammerstellung Station F Nicht alle SuS konnten sich unter Diagrammen mit symbolischen Darstellungen etwas vorstellen. Das ein oder andere Beispiel zur Illustration wäre dabei noch hilfreich gewesen. Präsentation Die auf die Arbeitsaufträge aufgeklebten Papiere mit Kästcheneinteilung für die zu zeichnenden Diagramme waren natürlich durch das DIN A4 –Format und die Vorgabe, zunächst im eigenen Heft zu probieren, begrenzt. Für die anschließende Präsentation und die „Ausstellung“ wäre aber ein größeres Format sinnvoll.

Station : A Anzahl der „Familienmitglieder“ Mit wem wohnt ihr zusammen ? Zählt alle Mitglieder eures Haushaltes – auch die nervenden großen oder kleinen Geschwister, sowie alle Haustiere ..... Tragt diese Zahl zu eurem Namen in euren Gruppenzettel und in diese Stationsliste ein ! Name Anzahl der Familienmitglieder

Station : B Körpergröße „lange Bohnenstange“ oder „klein aber oho“ ? die erste Gruppe, die diese Station bearbeitet, befestigt an einer Wand ein großes Stück Papier. Nun könnt ihr euch der Reihe nach an die Wand stellen (Schuhe mit Plateausohlen vorher ausziehen !) die anderen aus eurer Gruppe markieren eure Körpergröße und notieren den Namen dazu. Name Körpergröße

Station : C Alter in Tagen Wie alt seid ihr ? Notiert in dieser Liste euren Geburtstag und rechnet dann aus, wie alt ihr am Tag eurer Einschulung am AEG (10.8.2001) in Tagen wart! Bedenkt dabei, dass die Jahre 1984, 1988, 1992, 1996 und 2000 Schaltjahre waren ! Notiert euer Alter in Tagen in dieser Stationsliste und auf eurem Gruppenzettel!

Name Geburtstag Alter in Tagen am 10.8.2001

Station : E Lieblingsbuch Lest ihr gerne ? Und wenn ja, was ? Welche Bücher sind in eurer Klasse am beliebtesten? Ihr findet hier eine kleine Bestsellerliste Macht hinter dem Buch bzw. der Bücherart, die ihr am liebsten lest, einen Strich und notiert auf eurem Gruppenzettel die jeweiligen Lieblingsbücher! Buch Strichliste TKKG Asterix der Gallier (auf lateinisch ) Asterix der Gallier (auf Deutsch) Harry Potter und der Stein der Weisen Harry Potter und die Kammer des Schreckens Harry Potter und der Gefangene von Askaban Harry Potter und der Feuerkelch elemente der Mathematik Pferdebücher

Station : D Entfernung zur Schule Wo wohnt ihr ? Und wie weit habt ihr es zum AEG ? Ihr habt eine Wanderkarte von Hameln und Umgebung zur Verfügung. ( Geht bitte vorsichtig damit um, wir sind noch ganz neu in Hameln und kennen uns noch fast gar nicht aus, deshalb brauchen wir sie noch!) Habt ihr das AEG gefunden ? Ein Tipp, das Schwimmbad am Einsiedlerbach ist mit blauem Symbol eingezeichnet. Euren Wohnort findet ihr ja auch. Messt mit dem Zentimetermaß die Entfernung (Luftlinie, also die direkte Verbindung) von eurem Wohnort zum AEG ab. 1cm in der Karte entsprechen 500m, also .........km Berechnet die Entfernung eures Schulwegs in km und tragt das in diese Liste und in euren Gruppenzettel ein. Name Entfernung zur Schule in km

Station : F Schuhgröße Wer lebt auf dem größten Fuß ? Nehmt euch ein größeres Stück Papier, stellt euch darauf und zeichnet gegenseitig die Umrisse eurer Füße darauf (Vorsicht bei kitzligen Mitschülerinnen oder Mitschülern!) Notiert den jeweiligen Namen und die Schuhgröße in dem gezeichneten Fußumriss. Tragt die Schuhgröße dann zu eurem Namen in euren Gruppenzettel und in diese Stationsliste ein ! Name Schuhgröße

Station : G Tarifzonen Wie kommt ihr zur Schule ? Zu Fuß oder mit dem Fahrrad? Habt ihr es gut! Oder kommt ihr von weiter her mit dem Bus zum AEG ? Ihr habt dann ja eine Busfahrkarte über die Schule erhalten und braucht euch über das Tarifsystem keine Gedanken zu machen. Hier könnt ihr aber einmal herausfinden, in welcher Tarifzone ihr wohnt und wie teuer eine Busfahrt zur Schule für euch wäre - je nachdem, ob ihr noch 12 oder schon 13 seid ! Sucht im Tarifzonenplan euren Wohnort, (da das AEG in Hameln in der Tarifzone 1 liegt, entspricht eure Tarifzone der Preisstufe) und entnehmt aus der Tabelle den Fahrpreis für eine Einzelfahrt (bis 12 oder ab 13) Tragt die Tarifzone und den Fahrpreis in diese Stationsliste und den Fahrpreis zu eurem Namen in euren Gruppenzettel ein ! Name Tarifzone Fahrpreis für eine

Einzelfahrt

Station : A Anzahl der „Familienmitglieder“ Welche „Familienmitglieder“anzahl kommt wohl am meisten vor ? Gibt es mehr große oder mehr kleine Haushalte in eurer Klasse ? Ist die Liste von Station A vollständig ? Fehlt euch noch ein Wert ? Ihr sollt zählen, wie oft es bei euch einen Haushalt mit 1,2,3,4,5,.......... Mitgliedern gibt. Dazu ist eine Strichliste hilfreich :

Anzahl der Familienmitglieder Strichliste Anzahl der

Familienmitglieder Strichliste

1 11 2 12 3 13 4 14 5 15 6 16 7 17 8 18 9 19

10

20 Nun sollt ihr diese Häufigkeiten (also die Zahl der Striche, die zu einer Anzahl gehört) in einem Gitternetz ( Koordinatensystem ) eintragen. Auf der ersten waagerechten Achse (nach rechts) markiert ihr die genannten Anzahlen von Familienmitgliedern. Auf der zweiten horizontalen Achse (nach oben) tragt ihr die von euch ermittelten Häufigkeiten ein. Probiert in eurem Heft aus, wie euer Graph aussehen wird, wenn ihr euch sicher seid , zeichnet ihr ihn sauber auf diesem Zettel ein

Station : B Körpergröße Ihr erhaltet die Liste mit den gemessenen Körpergrößen und könnt ja auch an dem Wandplakat vergleichen. Ist die Liste von Station B vollständig ? Fehlt euch noch ein Wert ? Ihr sollt nun eure Klasse der Größe nach sortieren ! In welcher Reihenfolge müsste sich eure Klasse aufstellen, um der Größe nach zu stehen ? Dann sollt ihr die Zuordnung Name → Körpergröße in einem Gitternetz (Koordinatensystem ) eintragen. Auf der ersten waagerechten Achse (nach rechts) markiert ihr die Namen in der sortierten Reihenfolge, die ihr eben ermittelt habt. Auf der zweiten horizontalen Achse (nach oben) tragt ihr die gemessenen Körpergrößen ein. Probiert in eurem Heft aus, wie euer Graph aussehen wird, und überlegt, welcher Maßstab sinnvoll ist. Wenn ihr euch sicher seid , zeichnet ihr ihn sauber auf diesem Zettel ein

Station : C Alter in Tagen Ob wohl alle richtig gerechnet haben bei dieser Rechenaufgabe ? Wenn ihr schon 12 geworden seid, dann seid ihr mindestens 12 ⋅ 365 Tage alt plus 3 Tage für die 3Schaltjahre, die es seit 1988 gab. Das wären also mindestens 4383 Tage...... Ihr sollt jetzt für die Zuordnung Name → Alter in Tagen einen Graph in ein Gitternetz (Koordinatensystem ) eintragen. Auf der ersten waagerechten Achse (nach rechts) markiert ihr die Namen der Schülerinnen und Schüler der 7L. Auf der zweiten horizontalen Achse (nach oben) tragt ihr das berechnete Alter in Tagen ein. Besonders schwierig ist dabei für eure Gruppe, dass die Zahlen ja alle ziemlich groß sind (wie gesagt, bei fast allen größer als 4383 Tage) und dass man andererseits ja gerade die Unterschiede zwischen eurem Alter erkennen möchte. Habt ihr eine Idee, wie oder mit welchem Maßstab man das sinnvoll darstellen könnte ? Probiert in eurem Heft aus, wie euer Graph aussehen wird, wenn ihr euch sicher seid , zeichnet ihr ihn sauber auf diesem Zettel ein

Station : E Lieblingsbuch Was hat sich als „Hitliste“ ergeben ? Es sind ja noch ein paar Ergänzungen dazugekommen.. Wieviele Striche müssten denn eigentlich in der Bestsellerliste sein ? Fehlt noch eine Angabe? Eure Aufgabe ist es, diese Wahl in einem Schaubild darzustellen. Aus der OS kennt ihr (hoffentlich ) die Darstellung durch ein Blockdiagramm : Wie sieht das für diese Umfrage aus ? Probiert in eurem Heft aus, wie euer Blockdiagramm aussehen wird, wenn ihr euch sicher seid , zeichnet ihr es sauber auf diesem Zettel ein Vielleicht habt ihr auch schon Tortendiagramme (Kreise mit Einteilungen) gesehen ? Wenn ihr versuchen wollt, diese Umfrage auch als Tortendiagramm darzustellen, hier eine Hilfestellung : Mit mir sind wir 30 Personen, die eine Stimme hatten. Wenn man einen Kreis in 30 Teile teilt, sieht das so aus Für jede Stimme lässt sich also solch ein Tortenstück verteilen Markiert nun farbig zu jedem Büchertitel die entsprechende Stimmenzahl ! Beschriftet euer Diagramm !

Station : D Entfernung zur Schule Einige von euch haben ja wirklich einen langen Schulweg! Ist die Liste komplett oder fehlen noch ein paar Angaben? Ihr sollt die Entfernungen, die ihr der Karte entnommen habt in Zuordnung zu euren Namen in einem Gitternetz (Koordinatensystem ) eintragen. Sortiert dazu eure Vornamen alphabetisch . Auf der ersten waagerechten Achse (nach rechts) markiert ihr die Namen in der alphabetischen Reihenfolge. Auf der zweiten horizontalen Achse (nach oben) tragt ihr jeweils die gemessenen Entfernungen ein. Probiert in eurem Heft aus, wie euer Graph aussehen wird, überlegt, welcher Maßstab sinnvoll ist. Wenn ihr euch sicher seid , zeichnet ihr ihn sauber auf diesem Zettel ein Zusätzlich erhaltet ihr ein Stück Overheadfolie, auf die ihr euren Graphen abzeichnet, damit wir ihn mit dem Graphen von Station G vergleichen können.

Station : F Schuhgröße Manche von euch brauchen ja bald einen guten Schuster, der Schuhe in Übergrößen herstellt...? Ist die Liste komplett oder fehlen noch ein paar Angaben? Vielleicht findet ihr noch auf dem Blatt mit den Umrissen fehlende Werte. Es gibt viele Schaubilder, die das, was sie ausdrücken sollen, auch symbolisch darstellen. (zum Beispiel durch unterschiedlich große Mülltonnen bei einem Diagramm über anfallenden Müll oder durch unterschiedlich viele Kaffeetassen bei einer Umfrage nach dem Kaffeegenuss des Lehrerkollegiums....) Fallen euch Beispiele ein, die ihr schon gesehen habt ? Ihr sollt nun die Zuordnung Name → Schuhgröße durch so ein symbolisches Schaubild darstellen.... Lasst euch etwas einfallen.... Probiert in eurem Heft aus, wie euer Schaubild Graph aussehen wird, überlegt, welcher Maßstab sinnvoll ist. Wenn ihr euch sicher seid , zeichnet ihr ihn sauber auf diesem Zettel ein Wisst ihr schon, was ein Durchschnittswert ist und wie man ihn berechnet ? Wenn ja, berechnet die durchschnittliche Schuhgröße der Jungen und der Mädchen in eurer Klasse.

Station : G Tarifzonen Mittlerweile seid ihr wahrscheinlich schon Profis für die Busfahrt zur Schule ?! Ist die Liste komplett oder fehlen noch ein paar Angaben? Ihr sollt die Fahrpreise , die ihr dem Informationsblatt KVG entnommen habt, in Zuordnung zu euren Namen in einem Gitternetz (Koordinatensystem ) eintragen. Sortiert dazu eure Vornamen alphabetisch . Auf der ersten waagerechten Achse (nach rechts) markiert ihr die Namen in der alphabetischen Reihenfolge. Auf der zweiten horizontalen Achse (nach oben) tragt ihr jeweils die gemessenen Entfernungen ein. Probiert in eurem Heft aus, wie euer Graph aussehen wird, überlegt, welcher Maßstab sinnvoll ist. Wenn ihr euch sicher seid , zeichnet ihr ihn sauber auf diesem Zettel ein Zusätzlich erhaltet ihr ein Stück Overheadfolie, auf die ihr euren Graphen abzeichnet, damit wir ihn mit dem Graphen von Station D vergleichen können.

Gruppe : Datum : Namen :

Station : Station Station Station Station Station Station

gesuchte Größe :

gesuchte Größe

gesuchte Größe

gesuchte Größe :

gesuchte Größe

gesuchte Größe

gesuchte Größe

Name Ergebnis Ergebnis Ergebnis Ergebnis Ergebnis Ergebnis Ergebnis

Gruppe : Namen :

Station : Station Station Station Station Station Station

gesuchte Größe :

gesuchte Größe

gesuchte Größe

gesuchte Größe :

gesuchte Größe

gesuchte Größe

gesuchte Größe

Name Ergebnis Ergebnis Ergebnis Ergebnis Ergebnis Ergebnis Ergebnis

Gruppe A

Berechnet folgende Beispiele : a) 32⋅35 = b) 74⋅73 = c) 1013⋅105 =

und wie sieht das aus, wenn die Basis keine Zahl ist, sondern eine Variable ?

a) a4 ⋅a7 =........... b) x2⋅x5 =

Stellt eine Vermutung auf, wie sich das Produkt zweier Potenzen mit gleicher Basis berechnen lässt!

Versucht, eure Vermutung für eine allgemeine Formulierung :

an⋅ am = zu beweisen, indem ihr die Definition für die Potenzschreibweise nutzt..

Formuliert eine Regel (fürs Merkheft) für die Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis.

Überlegt euch 3 Beispielaufgaben für die anderen.

Gruppe A

Berechnet folgende Beispiele : a) 32⋅35 = b) 74⋅73 = c) 1013⋅105 =


a) a4 ⋅a7 =........... b) x2⋅x5 =

Stellt eine Vermutung auf, wie sich das Produkt zweier Potenzen mit gleicher Basis berechnen lässt!


an⋅ am = zu beweisen, indem ihr die Definition für die Potenzschreibweise nutzt..

Formuliert eine Regel (fürs Merkheft) für die Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis.


Gruppe B

Berechnet folgende Beispiele : a) 45 : 42 = b) 74 : 7 2 = c) 1013 : 105 =


a) a8 : a3 =........... b) x5 : x3 =

Stellt eine Vermutung auf, wie sich der Quotient zweier Potenzen mit gleicher Basis berechnen lässt!


an : am = zu beweisen, indem ihr die Definition für die Potenzschreibweise nutzt..

Formuliert eine Regel (fürs Merkheft) für die Division von Potenzen mit gleicher Basis.


Gruppe B

Berechnet folgende Beispiele : a) 45 : 42 = b) 74 : 7 2 = c) 1013 : 105 =


a) a8 : a3 =........... b) x5 : x3 =

Stellt eine Vermutung auf, wie sich der Quotient zweier Potenzen mit gleicher Basis berechnen lässt!


an : am = zu beweisen, indem ihr die Definition für die Potenzschreibweise nutzt..

Formuliert eine Regel (fürs Merkheft) für die Division von Potenzen mit gleicher Basis.


Gruppe C

Berechnet folgende Beispiele : a) (4 ⋅ 3)5 = b) (7 ⋅ 5 ) 2 = c) (10 ⋅ 3 )4 =


a) (a ⋅ b) 3 =........... b) ( x ⋅ y )5 =

Stellt eine Vermutung auf, wie sich die Potenz eines Produktes berechnen lässt!


( a ⋅ b) n = zu beweisen, indem ihr die Definition für die Potenzschreibweise nutzt..

Formuliert eine Regel (fürs Merkheft) für das Potenzieren eines Produktes.


Gruppe C

Berechnet folgende Beispiele : a) (4 ⋅ 3)5 = b) (7 ⋅ 5 ) 2 = c) (10 ⋅ 3 )4 =


a) (a ⋅ b) 3 =........... b) ( x ⋅ y )5 =

Stellt eine Vermutung auf, wie sich die Potenz eines Produktes berechnen lässt!


( a ⋅ b) n = zu beweisen, indem ihr die Definition für die Potenzschreibweise nutzt..

Formuliert eine Regel (fürs Merkheft) für das Potenzieren eines Produktes.


Gruppe D

Berechnet folgende Beispiele : a) (6 : 3) 4 = b) (8⋅: 5 ) 2 = c) (7 : 10 )5 =


a) (a : b) 3 =........... b) ( x : y )5 =

Stellt eine Vermutung auf, wie sich die Potenz eines Quotienten berechnen lässt!


( a : b) n = zu beweisen, indem ihr die Definition für die Potenzschreibweise nutzt..

Formuliert eine Regel (fürs Merkheft) für das Potenzieren eines Quotienten.


Gruppe D

Berechnet folgende Beispiele : a) (6 : 3) 4 = b) (8⋅: 5 ) 2 = c) (7 : 10 )5 =


a) (a : b) 3 =........... b) ( x : y )5 =

Stellt eine Vermutung auf, wie sich die Potenz eines Quotienten berechnen lässt!


( a : b) n = zu beweisen, indem ihr die Definition für die Potenzschreibweise nutzt..

Formuliert eine Regel (fürs Merkheft) für das Potenzieren eines Quotienten.


Gruppe E

Berechnet folgende Beispiele : a) (6 4 )3= b) (8⋅ 2 ) 5 = c) (10 3)5 =


a) (a 2) 3 =........... b) ( x 3 )4 =

Stellt eine Vermutung auf, wie sich die Potenz einer Potenz berechnen lässt!


( a n) m = zu beweisen, indem ihr die Definition für die Potenzschreibweise nutzt..

Formuliert eine Regel (fürs Merkheft) für das Potenzieren einer Potenz.


Gruppe E

Berechnet folgende Beispiele : a) (6 4 )3= b) (8⋅ 2 ) 5 = c) (10 3)5 =


a) (a 2) 3 =........... b) ( x 3 )4 =

Stellt eine Vermutung auf, wie sich die Potenz einer Potenz berechnen lässt!


( a n) m = zu beweisen, indem ihr die Definition für die Potenzschreibweise nutzt..

Formuliert eine Regel (fürs Merkheft) für das Potenzieren einer Potenz.


Expertenlernen: Ein Rückblick auf das Kurshalbjahr 12.2 eines Grundkurses Mathematik

1. UNTERRICHTSZUSAMMENHANG: Der vorliegende Stundenentwurf ist für eine Doppelstunde konzipiert und soll einerseits das Thema der gebrochen-rationalen Funktionen sowie das gesamte Kursjahr 12.2 eines Mathematik-Grundkurses thematisch abschließen - besonders im Hinblick darauf, dass bis auf zwei Schüler der gesamte Kurs aus stundenplantechnischen Gründen im nächsten Schuljahr auf verschiedene Mathekurse verteilt wird. In den vergangenen Unterrichtsstunden wurde anhand von problemorientierten Anwendungsaufgaben die Funkti-onenfamilie der gebrochen-rationalen Funktionen „unter die Lupe genommen“. Es wurden das Verhalten an Defini-tionslücken, die Untersuchung von Null-, Extrem- und Wendestellen sowie die graphische Darstellung erarbeitet.

2. STUNDEN- UND UNTERRICHTSZIELE: Die SchülerInnen sollen

a) im kognitiven Bereich: die Arbeitsform des Gruppenpuzzles kennen lernen, Kenntnisse über die Symmetrieeigenschaften von gebrochen-rationaler Funktionen erwerben, Kenntnisse über das Verhalten von gebrochen-rationaler Funktionen für x→∞ erwerben,

b) im instrumentellen Bereich:

ihre Fertigkeiten im Lösen von Extremwertproblemen verbessern, ihre Kenntnisse über exponetielle Wachstumsvorgänge auffrischen, ihre Kenntnisse über die Grundlagen der Integralrechnung reaktivieren,

c) im sozial-affektiven Bereich:

Bereitschaft zur Selbstständigkeit und Kooperation sowie Verantwortungsbewusstsein zeigen, indem sie in Teamarbeit sachgerecht an einer Lösung zusammenarbeiten und so den Wissenserwerb bzw. die Vertiefung des bereits vorhandenen Wissens des gesamten Teams optimieren,

in der abschließenden Expertenrunde einander zuhören und konstruktive Fragen stellen können. das Gefühl haben, mit einem „guten Rüstzeug“ in den neuen Mathekurs wechseln zu können.

3. VERLAUF:

Phase Inhalt Funktion Methoden/

Interaktion/ Medien

Einstieg Begrüßung; Vorstellung des Stundeninhalts

Die SuS stellen sich auf das Stundenthema ein und nehmen eine Erwartungshaltung ein.

LV; OHP+Folie

Erarbeitung

„Gruppenpuzzle“: Einteilung in Stammgruppen

Die SuS verstehen die Methode des Gruppenpuzzles. Sie diskutieren in ihrer Stammgruppe die Auswahl der Expertenaufgaben, schätzen dabei ihren Leistungs-stand realistisch ein und verteilen verantwortungs-bewusst (im Interesse der Gruppe) die differenzierten Aufgabenstellungen.

GA ; OHP

Arbeit in den Expertengruppen Die SuS mit den gleichen Aufgaben diskutieren ihr Thema. Sie klären Unklarheiten und erarbeiten gemeinsam Lösungen. Sie bereiten diese Lösun-gen so auf, dass sie diese an ihre Stammgruppen-mitglieder effektiv weitergeben können.

GA; Arbeitsblätter und z.T. ergänzendes Material

Ende der ersten Stunde

Vermittlung des Lernstoffes in den Stammgruppen

Die Experten berichten nacheinander über ihre Aufgabe und stellen Lösungen vor. Die Gruppe klärt offene Fragen und sichert das Verständnis der gesamten Gruppe.

GA; Arbeitsblätter; Hefte

Abschluss Evaluation Die SuS reflektieren die Stunde und geben kritisch Feed-back.

UG; Blitzlicht

4. ORGANISATIONSSCHEMA:

AA

AA B

B

BB C

C

CC

A

BC A

BC A

BC A

BC

Einteilung in Stammgruppen

Arbeit in Expertengruppen

AA

AA B

B

BB C

C

CC Vermittlung des Lernstoffes in Stammgruppen

D DD

D

D D D D

A

BCD

D DD

D

Gruppe Thema Schwierigkeit

Expertengruppe I Symmetrie geb.-rat. Funktionen */**

Expertengruppe II Verhalten für ±∞→x von geb.-rat. Funktionen ***

Expertengruppe III Optimierung von Flächeninhalten **

Expertengruppe IV exponentielles Wachstum *

Expertengruppe V Rotationskörper *

5. ARBEITSBLÄTTER: EXPERTENGRUPPE I SYMMETRIE GEB.-RAT. FUNKTIONEN

Aufgaben: 1. Untersucht die Symmetrie der Funktionen, deren Graphen auf dem Material 1 abgebildet

sind. 2. Wie kann man die Symmetrie von Funktionen untersuchen, deren Graphen noch nicht

bekannt sind. Finde möglichst einfache Untersuchungskriterien! Hinweis: Betrachte zunächst die Symmetrieeigenschaften des Zählerpolynoms und des Nennerpolynoms getrennt.

3. Welchen „Nutzen“ haben Symmetrieuntersuchungen für eine Kurvendiskussion?

x2x7x3x2x- h(x) c)

x2x1012x27x g(x) b)

3xx2x-f(x) a)

35

3

37

210

2

24

−++

=

−++

=

−+

=

7x-2

34x-12x k(x) )e

x-24-x j(x) d)

24

100

++

=

=

4. Welchen „Nutzen“ haben Symmetrieuntersuchungen für eine Kurvendiskussion?

Material I:

a) 1x

x)x(f 2

4

−=

b) 2x

4x2x)x(g 2

23

+−+

=

c) x6x

5x2x4)x(h 3

24

−++

=

e) x4x3x2

x2x)x(k 35

3

++−

=

d) 3x4x3x)x(j 2

5

++

=

EXPERTENGRUPPE B GEB.-RAT. FUNKTIONEN: VERHALTEN FÜR ±∞→x

Aufgaben: 1. Bestimme jeweils die maximale Definitionsmenge sowie die Nullstellen. Wie verhalten sich die Funktionswerte, wenn x

gegen ∞± strebt?

2x34x h(x) c)

x31x6 g(x) b)

x3f(x) a)

2

2

+−

=

−=

=

x3x1x2 k(x) )e

1x2x-3x j(x) d)

2

2

3

++

=

+=

Gibt es Asymptoten? Lies hierzu das beiliegende Material!

2. Skizziere den Graphen der Funktionen f(x) und j(x) für ein genügend großes Intervall. 3. Fasse die drei verschiedenen „Fälle“ zusammen und finde jeweils ein eigenes Beispiel.

EXPERTENGRUPPE C OPTIMIERUNG VON FLÄCHENINHALTEN

Aufgaben: 1. Berechne den Wert der drei Integrale:

a) ( ) ( )∫ ∫−

−+−2

1

1

2

33 dx3x4dxx3x4 b) dxx1x

3

12∫

− c) dx

)1x(x2)1x(21

02∫

−−+

Hinweis: Lies die Informationen zur Integralrechnung auf S. 44 (Schroedel: Mathematik heute, Einführung in die Analysis 2)!

2. Die Graphen der quadratischen Funktionen 2xa1)x(f = und 2ax1)x(g −= schließen eine Fläche A ein (a>0). Wie

muss a gewählt sein, damit die Fläche einen möglichst großen Inhalt annimmt?

EXPERTENGRUPPE D EXPONENTIELLES WACHSTUM Aufgaben:

1. In einem Gebiet vermehrt sich ein Heuschreckenschwarm exponentiell, und zwar wöchentlich um 50%. Man gehe von einem Anfangsbestand von 10.000 Tieren aus. a) Wie lautet die zugehörige Wachstumsfunktion? b) Welcher Zuwachs ist in 6 Wochen zu erwarten? Um wie viel Prozent hat sich der Bestand

dabei vergrößert? 2. Fasse die wichtigsten Eigenschaften von Exponentialfunktionen zusammen! Nimm das Materi-

al und die entsprechenden Seiten im Buch zur Hilfe (Schroedel: Mathematik heute, Einführung in die Analysis 2).

EXPERTENGRUPPE E ROTATIONSKÖRPER Aufgaben:

1. Welcher Körper entsteht bei der Rotation des Graphen a. einer konstanten Funktion b. der Funktion y=x c. eines Halbkreises

um die x-Achse?

2. Durch Rotation des Graphen von f mit 1x)x(f −= um die x-Achse entsteht ein (liegendes) Gefäß. Dieses Gefäß

wird aufgestellt und mit einer Flüssigkeit gefüllt. Bis zu welcher Höhe steht die Flüssigkeit in dem Gefäß, wenn ihr Vo-lumen 18 beträgt?

Stationenlernen: Einführung der gebrochen-rationalen Funktionen 1. UNTERRICHTSZUSAMMENHANG: Der vorliegende Stundenentwurf bietet ein Konzept für eine zweistündige Hinleitung zur Funktionenfamilie der gebrochen-rationalen Funktionen für eine Mathematik-Kurs der Jahrgangstufe 12. 2. STUNDEN- UND UNTERRICHTSZIELE: Die SchülerInnen sollen

a) im kognitiven Bereich: die Arbeitsform des Lernzirkels kennen lernen, die Funktionenfamilie der gebrochen-rationalen Funktionen vielfältig kennen lernen, die Produkt- und Quotientenregel anwenden können, die Zusammenhänge zwischen Graphen (ikonisch) und Funktionsgleichungen (symbolisch) erkennen und

begründen können, indem sie die charakteristischen Merkmale selektieren und (ohne ausführlich zu rech-nen) zuordnen können,

Kenntnisse über die Eigenschaften gebrochen-rationaler Funktionen erwerben und diese in neue Aufgabenstellungen einsetzen können,

b) im instrumentellen Bereich:

Fertigkeiten im Anwenden der bekannten und neu erarbeiteten Differentiationsregeln erlangen und verbessern,


Bereitschaft zur Selbstständigkeit und Kooperation zeigen, indem sie in Partnerarbeit sachgerecht an einer Lösung zusammenarbeiten und eigenständig die Stationen aussuchen.

3. GEPLANTER VERLAUF:

Phase Inhalt Funktion Methoden/ Interaktion/

Medien

Einstieg Begrüßung; Vorstellen eines Anwendungsbei-spiels

Herstellen von Transparenz; Die SuS werden für das neue Thema der gebrochen-rationalen Funktionen motiviert.

LV; OHP+Folie

Erarbeitung Definition gebrochen-rationaler Funktionen

Die SuS konkretisieren ihre Vorstellungen/ Erinne-rungen über gebrochen-rationaler Funktionen und knüpfen an bereits Bekanntes an.

UG; T

Problemati-sierung

Was interessiert euch an der Bau-stellenaufgabe? Was müsst ihr dazu wissen/ können?

Die SuS diskutieren die Aufgabe und machen Vorschläge zu möglichen Fragestellungen? Sie entwickeln mögliche Unterrichtsinhalte für die nächsten Stunden.

UG; OHP, Folie, T

Lernzirkel

Einführung in den Lernzirkel; Stationsbetrieb

Die SuS verstehen die Methode des Lernzirkels. Sie bilden Zweiergruppen, arrangieren die Tische und suchen sich eine erste Station aus. Sie arbeiten selbständig an den Stationen und nehmen ebenso selbständig die Wechsel der Stationen vor.

PA; 6 Lernstationen, Arbeitsblätter, Buch + Heft


Ergebnis-sicherung und Abschluss

Präsentation Die SuS bereiten in Kleingruppen die Ergebnisse an den verschiedenen Stationen vor und präsen-tieren diese anschließend ihren MitschülerInnen. Sie vergleichen und diskutieren möglicherweise das Vorgetragene.

GA; SuS-Vortrag und Gespräch; OHP + Folie

4. ORGANISATIONSSCHEMA:

LAUFZETTEL LERNZIRKEL RATIONALE FUNKTIONEN

Pflichtstationen

Station 1: Funktionen erkennen

Station 2: Produktregel

Station 3: Quotientenregel

Wahlstationen

Station 4: Kurvendiskussion

Station 5: Konservendose

Station 6: Verkehrsproblem

Station 1

Station 1

Station 2

Station 2Station 3

Station 3

Station 4

Station 5Station 6

Tafel

Regeln für das Stationenlernen:

1. Die Pflichtstationen können in beliebiger Reihenfolge bearbeitet werden. 2. Die Pflichtstationen müssen alle bearbeitet werden, bevor du an eine Wahlstation weitergehen kannst. 3. Die Wahlstationen müssen nicht alle bearbeitet werden, jedoch mindestens eine. 4. Nach der Bearbeitung einer Station, bitte wieder alles Material in die Umschläge zurück. Die Arbeitsaufträge

kannst du mitnehmen. 5. ARBEITSBLÄTTER: STATION 1 FUNKTIONSGRAPHEN ERKENNEN UND ZUORDNEN

Aufgabe: Klebt die vier verschiedenen Graphen ins Heft und ordnet jeweils die passende Funktionsvorschrift zu. Lest hierzu im Buch S. 104 Aufgabe a) mit Lösung (Schroedel: Mathematik heute, Einführung in die Analysis 2).

x1)x(f = 2x

1)x(g = 3x

1)x(h+

= 4x5)x(i −= 4x

5)x(j =

STATION 2 PRODUKTREGEL

Aufgabe: Leite die folgenden Funktionen zweimal ab.

xxf(x) b)4)(2x2xf(x) a)

=

−= 1990x9xf(x) d)

2)1)(x-(xf(x) c)

⋅=

−=

Hinweis: Lies hierzu im Buch S. 158, A.1.2 Lösung (Schroedel: Mathematik heute, Einführung in die Analysis 2).

STATION 3 QUOTIENTENREGEL

Um rationale Funktionen (z. B. 1x

2x7x)x(f2

−++

= ) ableiten zu können, benötigt man

die sog. Quotientenregel. Lies hierzu das Material, was an dieser Station ausliegt, schreibe die Quotientenregel in dein Heft und leite anschließend die folgenden Funk-tionen ab:

52xx2x f(x) b)

3xxf(x) a)

−−

=

−=

2x42x f(x) d)

2x7

3x f(x) c)

+−

=

−

+=

STATION 4 KURVENDISKUSSION

Aufgabe: Untersuche den Definitionsbereich, Symmetrie, Extrema und das Verhalten für ±∞→x von der Funktion

1x9x24x)x(f 24

2

−+−

= .

Zeichne den Graphen der Funktion für 4x4 ≤≤− .

STATION 5 KONSERVENDOSE

Aufgabe: Eine zylindrische Fisch-Dose soll ein Volumen von 425 mL haben. Welcher Radius und welche Höhe sind zu wählen, damit der Blechverbrauch möglichst gering ist? Vom Verschnitt beim Ausstanzen und notwendi-ger Ränder soll in diesem Zusammenhang abgesehen werden.

Zur Erinnerung: Oberfläche eines Zylinders A(r, h) = 2πr2+2πrh

Volumen eines Zylinders V(r, h) = πr2h

STATION 6 VERKEHRSPROBLEM Aufgabe: Wenn eine zweispurige Fahrbahn durch eine Baustelle einspurig wird, kommt es meistens zu einem Rückstau der Fahrzeuge. Man hat den Eindruck, dass um so mehr Autos pro Zeit durch die Veren-gung kommen, je schneller die Autos fahren. Dies soll nun untersucht werden. Folgende Modellan-nahmen legen wir dazu zugrunde:

1) Die mittlere Fahrzeuglände beträt 4m. 2) Der einzuhaltende Fahrzeugabstand entspricht dem Anhalteweg d (in m). Dieser hängt von

der Geschwindigkeit v (in km/h) ab gemäß 2

10v

10v3)v(d

+= .

Dabei entspricht 10

v3 dem Reaktionsweg und 2

10v

dem Bremsweg.

a) Zeige: Die Funktion 4v3,0v01,0

v1000)v(f 2 ++= gibt zu jeder Geschwindigkeit v den Verkehrsfluss pro Stunde an.

b) Wie viele Autos passieren eine Stelle innerhalb einer Stunde bei einer Geschwindigkeit von 130 km/h (100 km/h, 80 km/h)?

c) Bei welcher Geschwindigkeit ist der Verkehrsfluss am größten? Stationenlernen: Übungen zur Stochastik 1. UNTERRICHTSZUSAMMENHANG: Der Leistungskurs hatte noch keine Vorerfahrungen mit der Stochastik. In den letzten Stunden wurden Wahr-scheinlichkeiten von Zufallsexperimenten berechnet und Pfaddiagramme erarbeitet sowie geordnete Stichproben mit Hilfe des Urnenmodells systematisiert. Es hat sich herausgestellt, dass in den Stillarbeits- bzw. Partnerarbeits-phasen die Arbeitsgeschwindigkeit der SuS sehr unterschiedlich ist. Aus diesem Grunde habe ich mich mit der vorliegenden zweistündigen Unterrichtskonzeption für das Stationenlernen entschieden, was ein selbstständiges und differenziertes Lernen ermöglicht. 2. STUNDEN- UND UNTERRICHTSZIELE:

Die SchülerInnen sollen

a) im kognitiven Bereich: die Arbeitsform des Lernzirkels kennen lernen und somit ihre Methodenkompetenz erweitern, geordnete und ungeordnete Stichproben unterscheiden können, eine allgemeine Formel für ungeordnete Stichproben mit und ohne Zurücklegen kennen, Kenntnisse über die verschiedenen Urnenmodelle erwerben und diese in neue Aufgabenstellungen ein-

setzen können,

b) im instrumentellen Bereich: Fertigkeiten im Umgang und in der Unterscheidung der bekannten und neu erarbeiteten Urnenmodelle

erlangen und verbessern, die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten mithilfe von Pfaddiagramm verbessern,


Bereitschaft zur Selbstständigkeit und Kooperation zeigen, indem sie in Partnerarbeit sachgerecht an einer Lösung zusammenarbeiten und eigenständig die Stationen aussuchen.

3. GEPLANTER VERLAUF:

Phase Inhalt Funktion Methoden/ Interaktion/

Medien

Einstieg Begrüßung; Vorstellung des Stundeninhalts

Die SuS stellen sich erwartungsvoll auf das Stundenthema ein.

LV; OHP+Folie

Lernzirkel

Einführung in den Lernzirkel; Stationsbetrieb

Die SuS verstehen die Methode des Lernzirkels. Sie bilden Zweiergruppen, arrangieren die Tische und su-chen sich eine erste Station aus. Sie arbeiten selbstständig an den Stationen und nehmen ebenso selbstständig die Wechsel der Stationen vor.

PA; 4 Lernstationen, Arbeitsblätter, Buch + Heft, Lottoschein, Äpfel

Ergebnis-sicherung

Präsentation Die SuS bereiten in Kleingruppen die Ergebnisse an den verschiedenen Stationen vor und präsentieren diese anschließend ihren MitschülerInnen. Sie vergleichen und diskutieren möglicherweise das Vorgetragene.

GA; SuS-Vortrag und Gespräch; OHP + Folie


Abschluss Evaluation Die SuS reflektieren die Stunde und geben kritisch Feed-back.

UG; Blitzlicht

4. ORGANISATIONSSCHEMA: STATIONENLERNEN KOMBINATORIK LK 12

Stationen Schwierigkeit

Station 1: Lotto spielen

Station 2: Kondomtest Station 3: Äpfel essen

1. Die Stationen 1 - 3 können in beliebiger Reihenfolge bearbeitet werden mit der Einschränkung, dass Station 3 erst bearbeitet werden kann, wenn Station 1 bereits erledigt ist.

2. Die Stationen 1 -3 müssen alle bearbeitet werden, bevor du an Station 4 weitergehen kannst.

3. Nach der Bearbeitung einer Station, bitte wieder alles Material in die Umschläge zurück. Die Arbeitsaufträge an den Stationen kannst du mitnehmen. Station 4: Zufällig richtig? -

5. ARBEITSBLÄTTER:

STATION 1 LOTTO SPIELEN

Aufgabe: 1. Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält man beim Zahlenlotto „6 aus 49“ 6 Richtige?

Überlege dir, ob du mit dem Kurs gemeinsam einen Lottoschein für die Ziehung am nächsten Samstag ausfüllen möchtest? Unterschreibe ggf. den Vertrag und lege 1,- DM auf den Tisch! Wir haben bestimmt Glück ☺!

STATION 2 KONDOMTEST

Aufgaben: 1. Wie lautet die Bedingung für ein „zufriedenstellend“ als Testergebnis nach der DIN-Norm? 2. Zeichne ein vollständiges Pfaddiagramm „Kondom dicht bzw. undicht“ für ein Dreierpack

a) bei DIN-Beachtung. b) bei Testnorm-Beachtung.

3. Mit welcher Wahrscheinlichkeit findet sich in einer 20er-Packung mindestens ein perforiertes Kondom a) bei DIN-Beachtung? b) bei Testnorm-Beachtung?

STATION 3 ÄPFEL ESSEN Aufgabe: a) Sechs Äpfel sollen auf drei Kinder verteilt werden. Auf wie viele Arten ist dies möglich?

Ein mögliches Ergebnis könnte wie folgt notiert werden:

1. Kind 2. Kind 3. Kind

x|x|xxxx

b) Verallgemeinere nun diesen Fall und untersuche die Möglichkeiten, n Äpfel auf k Kinder zu verteilen. Formuliere einen Merksatz!

Beachte: Zum Vergleichen bzw. als „letzte“ Hilfsmöglichkeit liegt eine Lösung an der Station aus.

STATION 4 „ZUFÄLLIG RICHTIG?“ Aufgabe: Nimm dir eine Aufgabe aus der Urne. Löse die Aufgabe zunächst spontan (ohne große Rechne-rei). Überprüfe anschließend deine Lösung auf rechnerischem Wege! Nimm die nächste Aufgabe...

Stationenlernen im Mathematikunterricht des … · zeigen lässt, dass sie einen gemeinsamen...

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