Strahlungsdruck in Laserinterferometern - AEI Hannover · Der harmonische Oszillator Das System, an...

Strahlungsdruck in Laserinterferometern

Diplomarbeit

angefertigt am

Institut fur Atom- und Molekulphysik der Universitat Hannover

unter Anleitung von

Prof. Dr. K. Danzmann

von

Frank Hohls

Hannover, Dezember 1995

Inhaltsverzeichnis

Einleitung 1

1 Der harmonische Oszillator 3

1.1 Antwortfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Dampfungsmechanismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3 Gute des Oszillators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4 Energiedissipation des getriebenen Oszillators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.5 Luftreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.6 Kinetische Gasdampfung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2 Krafte und Fluktuationen 17

2.1 Spektrale Zerlegung fur endliche Meßzeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2 Spektrale Dichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.3 Einfluß des Meßapparates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.4 Strahlungsdruck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.5 Thermische Ausdehnung und Radiometereffekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.6 Thermische Fluktuationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.7 Restgasinduzierte Ortsfluktuationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.8 Vergleich der fluktuierenden Krafte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

iv INHALTSVERZEICHNIS

3 Nichtklassische Lichtzustande 31

3.1 Beschreibung nichtklassischer Lichtzustande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.2 Messung der Quadraturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.2.1 Heterodynmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.2.2 Homodynmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.2.3 Homodyn kontra heterodyn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.3 Erzeugung gequetschter Lichtzustande durch ein Kerrmedium . . . . . . . . . . 39

3.4 Klassische Beschreibung der Amplituden-Phasenkopplung . . . . . . . . . . . . 44

3.5 Der Spiegel als Kerrmedium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.6 Thermisches Rauschen als Grenze der Zustandsmessung . . . . . . . . . . . . . 47

4 Meßapparat 51

4.1 Michelson-Interferometer zur Differenzlangenmessung . . . . . . . . . . . . . . 51

4.2 Rauschen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.2.1 Rauschquellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.2.2 Verminderung des Rauschuntergrunds – Entwicklungsstadien des Aufbaus 55

4.3 Meßverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.3.1 Schmalbandige automatisierte Messung der Spiegelantwort . . . . . . . 57

4.3.2 Messung der Gute der Spiegelresonanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.4 Laser und Frequenzregelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.4.1 Laser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.4.2 Regelschema fur den Interferometerarbeitpunkt . . . . . . . . . . . . . . 62

4.5 Der Aufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.6 Der Spiegel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.6.1 Effektive Masse und Anregung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

INHALTSVERZEICHNIS v

5 Anwendung des Meßapparates und Interpretation der Ergebnisse 69

5.1 Anregung durch thermische Effekte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5.2 Spiegelanregung durch Strahlungsdruck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

5.2.1 Zwei Resonanzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

5.2.2 Gute und effektive Masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

5.2.3 Variation des Anregungsortes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

5.2.4 Interpretation der Resonanzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

5.2.5 Vergleich des Modells mit dem Experiment . . . . . . . . . . . . . . . . 79

5.3 Druckabhangigkeit der Gute . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

5.4 Fluktuationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

5.5 Erreichte Ziele und zukunftige Moglichkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

Zusammenfassung und Ausblick 87

Abbildungsverzeichnis 89

Literaturverzeichnis 91

Einleitung

Die Anstrengungen zur Detektion von Gravitationswellen z.B. durch Michelson-Interferometer oderZylinderantennen fuhren zu immer neuen Rekorden in der Prazision der Meßtechnik. Das ersteGerat, das die notige Empfindlichkeit fur eine direkte Messung von Gravitationswellen erreichenwird, ist der zur Zeit in Ruthe bei Hannover im Bau befindliche GEO600-Gravitationswellende-tektor [5], der auf einem Michelson-Interferometer basiert.Das Grundprinzip eines solchen Gravitationswellendetektors auf Basis eines Michelson-Interfe-rometers ist der Vergleich von zwei Wegen mittels Licht. Dieses Grundprinzip wurde von Mi-chelson und Morley 1881 entwickelt, um die Theorie des Athers zu uberprufen. Doch zwischender Langenauflosung des damaligen Experiments und den zur Zeit im Bau befindlichen Gravi-tationswellendetektoren liegen viele Großenordnungen. Fur die angestrebte Empfindlichkeit vonGEO600 muß das Ortsrauschen der Interferometerspiegel kleiner als 10−19m/

√Hz sein.

Ursachen fur Ortsfluktuationen sind unter anderem Strahlungsdruck und Warme. Thermische Fluk-tuationen verursachen eine der Grenzen, die den zur Zeit geplanten und im Bau befindlichen De-tektoren gesetzt sind. Bei großen Leistungen im Interferometer, die aufgrund der anderen aktuellenEmpfindlichkeitsbegrenzung, dem Schrotrauschen, angestrebt werden, ergibt sich eine neue Emp-findlichkeitsgrenze, die gelegentlich als

”Standard Quantum Limit (SQL)“ bezeichnet wird. Diese

hat ihre Ursache in durch Strahlungsdruck verursachten Fluktuationen. Der zugrundeliegende Me-chanismus dabei ist, daß Licht bei der Reflektion eine zur Intensitat proportionale Kraft ausubt, dieaufgrund des Schrotrauschens fluktuiert und damit Ortsrauschen erzeugt.Eine genauere Untersuchung dieser Rauschquellen ist im Gravitationswellendetektor kaum moglich,da dieser gerade auf die Verminderung dieser Effekte ausgelegt ist und auch die Parameter des Sy-stems nicht einfach zu variieren sind. Viele der Rauschquellen lassen sich aber an entsprechendskalierten Systemen im Labor im Tischaufbau untersuchen. Dazu wird insbesondere die Masseder Spiegel extrem verkleinert, um die so verstarkten Wirkungen der verschiedenen Krafte auf denSpiegel zu untersuchen.Die Spiegel in den Gravitationswellendetektoren werden zur Isolation von Schwingungen und zurReduktion thermischer Effekte als aufgehangte Pendel realisiert und entsprechen damit in ihrer Be-wegung und ihrer Antwort auf Krafte einem harmonischen Oszillator hoher Gute. Die Versuchs-spiegel im Tischaufbau werden daher ebenfalls als mechanische Oszillatoren realisiert, wobei hierdie Konstruktion eher einer Blattfeder gleicht, wodurch die Resonanzfrequenz in einen der Mes-sung gut zuganglichen Bereich verschoben wird.Ein Ziel dieser Arbeit ist es, einen Tischaufbau zur Untersuchung der Strahlungsdruckeffekte aufsolche beweglichen Spiegel hoher mechanischer Schwingungsgute zu entwickeln. Der Meßap-parat soll die Frequenzantwort des Spiegels und seine charakteristischen Parameter, die auch die

2 EINLEITUNG

Starke der Ortsfluktuationen bestimmen, unter Anwendung von Strahlungsdruck als antreibenderKraft messen konnen. Außerdem soll ein prinzipieller Aufbau demonstriert werden, mit dem eineAmplituden-Phasenkopplung des Lichts durch den Spiegel untersucht werden kann.Um ein Anforderungsprofil fur den Aufbau zu gewinnen, wird zunachst ein geeignetes Modell zurBeschreibung der Krafte und Fluktuationen und der Antwort des Spiegels entwickelt. Dieses Mo-dell dient auch zur Interpretation der Meßdaten und ermoglicht die Skalierung der Effekte auf z.B.die im Gravitationswellendetektor verwendeten Spiegel.Desweiteren wird der Einfluß der Wechselwirkung des Lichtes mit dem Spiegel auf den Zustand desLichtes theoretisch untersucht und ein Meßverfahren fur einen solchen Einfluß vorgestellt. DieseWechselwirkung stellt eine zusatzliche Motivation zur Untersuchung von Strahlungsdruck dar, dasie die Erzeugung von nichtklassischen (gequetschten) Lichtzustanden erwarten laßt. Die Großedieser Effekte wird abgeschatzt.Mit den gewonnenen Anforderungen wird ein Meßaufbau realisiert und exemplarisch auf zweiSpiegel angewendet. Hieraus werden Schlußfolgerungen uber die Leistungsfahigkeit und die Mog-lichkeiten der Apparatur gezogen.

Kapitel 1

Der harmonische Oszillator

Das System, an dem im Experiment Strahlungsdruck untersucht werden soll, besteht aus einemSpiegel, der an einem Pendel oder einer Feder befestigt ist. Wird der Spiegel aus seiner Ruhelageausgelenkt, so wirkt eine rucktreibende Kraft. Ein solches System aus Masse und rucktreibenderKraft wird Oszillator genannt.

Die Krafte, mit denen der Spiegel bewegt wird und die im Abschnitt 2.4 quantisiert werden, sindsehr klein. Daher sind auch die Auslenkungen sehr klein, und zwar im Experiment deutlich kleinerals die Wellenlange des Lichtes. Fur solche kleinen Schwingungen kann die Ruckstellkraft linea-risiert werden, und die Bewegung des Spiegels entspricht dann der eines angeregten harmonischenOszillators. Zunachst sollen daher die Theorie des harmonischen Oszillators und seine charakteri-stischen Großen vorgestellt werden. Zum Abschluß dieses Kapitels wird die Dampfung des Oszil-lators untersucht.

1.1 Antwortfunktion

Die Bewegung einer Masse m, die durch eine Kraft F(t) angetrieben wird und einer rucktreibendenKraft FFeder =−kx sowie einer in x und x linearen Dampfung Fdamp(x, x) unterliegt, wird durch dieBewegungsgleichung

mx(t)+ Fdamp(x, x)+ kx(t) = F(t) (1.1)

beschrieben. Besonders einfach laßt sich die Gleichung in ihrer fouriertransformierten Form losen.Die Foruriertransformation und ihre Rucktransformation werden durch

x(ω) =

∞∫−∞

dt e−iωtx(t), x(t) =

∞∫−∞

dω2π

eiωtx(ω) (1.2)

4 1. DER HARMONISCHE OSZILLATOR

0.1 1.0 10ω/ω0

-270

-180

-90

0

Pha

se

0.01

0.10

1.00

10.00A

mpl

itude

Abbildung 1.1: Amplitude und Phase von G fur m=1, ω0=1 und kdamp = ω

definiert. Darstellungen einer Große im Zeit- und Fourierraum werden durch explizite Angabe ei-ner Zeit t oder einer Kreisfrequenz ω unterschieden. Mit den Definitionen

ω20 =

km

(1.3)

kdamp(ω,x(ω)) =Fdamp(ω,x(ω))

ix(ω)(1.4)

erhalt die Bewegungsgleichung ihre fouriertransformierte Form

(−mω2 + ikdamp(ω,x(ω))+ mω20)x(ω) = F(ω). (1.5)

Die Dampfungsfunktion kdamp ist dabei eine reelle Funktion, da imaginare Anteile nicht zur Damp-fung beitragen, sondern sich in die Federkonstante k und damit in die Resonanzfrequenz ω0 inte-grieren lassen. Sie ist so definiert, daß sie als Imaginarteil einer komplexen Federkonstante κ =

k + ikdamp aufgefaßt werden kann. Die Losung laßt sich dann

x(ω) = G(ω)F(ω) (1.6)

1.1 ANTWORTFUNKTION 5

102

103

104

105

106

ω=2πf [Hz]

10-6

10-4

10-2

100

102

|G(ω

)| [m

/N]

Abbildung 1.2: Vergleich der Antwortfunktion fur m=1g, kdamp→0 und Resonanzfrequenzen ω0 = 100,1000,10000Hz

schreiben, wobei hier die Antwortfunktion

G(ω) =1

m(−ω2 + ω20)+ ikdamp

(1.7)

benutzt wird, deren Amplitude und Phase beispielhaft in Abb. 1.1 aufgetragen sind. Die Zeitent-wicklung des Oszillators ergibt sich im allgemeinen aus der Faltung der Antwortfunktion mit dereinwirkenden Kraft:

x(t) = G(t)∗F(t) =

∞∫−∞

dt′G(t′)F(t− t′) (1.8)

Die Antwortfunktion ist nichts anderes als die Greensche Funktion des Oszillators. Da x(t) undF(t) reelle Funktionen sind, muß auch G(t) reell sein. Einsetzen der Rucktransformation aus Gl.(1.2)ergibt dann

G(ω)∗ =

∞∫−∞

dt e−iωtG(t)

∗ =

∞∫−∞

dt eiωtG(t) = G(−ω) (1.9)

Ihre anschauliche Bedeutung zeigt die Antwortfunktion bei einer monochromatischen Anregung.Mit G(ω) = |G(ω)|exp(iφ) gilt:

F(t) = F0 cos(ωmt + ψ)

F(ω) = 2πF0(eiψδ(ω−ωm)+ e−iψδ(ω + ωm)

)x(ω) = G(ω)eiψF(ω) = 2πF0

(G(ωm)eiψδ(ω−ωm)+ G∗(ωm)e−iψδ(ω + ωm)

)x(t) = F0 |G(ω)|cos(ωt + ψ + φ) (1.10)


t > 0 t < 0

ω ω

Abbildung 1.3: Integrationspfade fur eine Fouriertransformation

Der Oszillator folgt der Kraft also monochromatisch mit einer Amplitude x0 = F0 |G(ω)| und einerPhasenverschiebung φ = arg(G(ω)). In Abbildung 1.2 ist die Amplitude der Antwortfunktion furOszillatoren gleicher Masse, aber unterschiedlicher Resonanzfrequenz aufgetragen. Beachtens-wert ist, daß die Amplitude der Schwingungen fur Frequenzen, die sehr viel großer als die Reso-nanzfrequenzen sind, fur alle diese Oszillatoren gleich ist. Die Energie, die in dieser harmonischenSchwingung gespeichert ist, ergibt sich mit Ekin = Epot (Virialsatz fur harmonischen Oszillator [9])zu

E = 2Epot = kx2 = kF20 |G(ω)|2 = mω2

0F20 |G(ω)|2 (1.11)

Hierbei steht E fur die Mittelung von E uber eine Schwingungsperiode, was fur monochromatischeProzesse aquivalent zum Mittel uber alle Zeiten ist.

Eine weitere Bedingung, die die Antwortfunktion erfullen muß, ist die Wahrung der Kausalitat. Esdarf keine Wirkung, also Auslenkung x(t), vor der Kraft F(t) geben. Dies entspricht mit Gl. (1.8)in der Zeitdomane

G(t) = 0 fur t < 0. (1.12)

Daraus laßt sich auch eine Bedingung an G(ω) ableiten. Hierzu soll die Berechnung von G(t) ausG(ω) herangezogen werden:

G(t) =

∞∫−∞

dω2π

eiωtG(ω) =

∞∫−∞

dω2π

eiωt 1m(−ω2 + ω2

0)+ ikdamp(1.13)

Die Integration laßt sich zu einem geschlossenen Wegintegral in der komplexen ω-Ebene erganzen(Abb. 1.3) und mit den Mitteln der Funktionentheorie losen. Dabei wird ein zusatliches Integralerganzt, daß sich bei der Rechnung zu Null ergibt. In Abbildung 1.3 entsprechen diese erganzten

1.1 ANTWORTFUNKTION 7

Integrale den Kreisbogen. In der Abbildung ist auch dargestellt, daß der Bogen fur negative Zeitenin der unteren Halbebene und fur positive Zeiten in der oberen Halbebene geschlossen werden muß,damit der Beitrag des Bogens wirklich Null ergibt. Der Residuensatz [3] besagt nun, daß sich dasIntegral uber einen geschlossenen Weg durch eine Summe von Residuen ausdrucken laßt:

∮dz f (z) = 2πi∑

i

Res [ f (z),zi] (1.14)

Dabei sind die zi die vom Integrationsweg eingeschlossenen Pole der Funktion f (z). Die Pole derAntwortfunktion G(ω) sind

ω1,2 =±

√ω2

0 + ikdamp(ω1,2)

m≈±

(ω0 +

i2

kdamp(ω1,2)

k

)fur kdamp k, (1.15)

wobei die Naherung fur die im Experiment untersuchten Oszillatoren immer erfullt ist. Da ein ge-dampftes System betrachtet wird, liegen alle Pole in der oberen oder unteren Halbebene, jedochkeiner auf der reellen Achse, also dem Integrationspfad. Wie Abb. 1.3 zeigt, tragen fur positiveZeiten nur die Pole in der oberen Halbebene bei, fur negative Zeiten solche in der unteren Halb-ebene. Die Bedingung (1.12), daß G(t) = 0 fur t < 0 gelten muß, fuhrt damit fur G(ω) zu derForderung, daß alle Pole in der oberen Halbebene liegen:

Im(ωi)> 0, ωi Pole von G(ω) (1.16)

Die Pole treten entsprechend Gl. (1.9) immer paarweise auf. Aus den Bedingungen (1.9) und (1.16)folgt nun

kdamp(ω) = kdamp(−ω) mit kdamp(ω)> 0 fur ω> 0. (1.17)

Mit Gl. (1.15) laßt sich nun auch G(t) bestimmen und ergibt sich zu

G(t) = Θ(t)∑i

Res[eiωtG(ω),ωi

]= Θ(t)

(eiω0t

2iω0+ c.c.

)e−

kdamp2k ω0t

= Θ(t)1

mω0e−

kdamp2k ω0t sinω0t. (1.18)


1.2 Dampfungsmechanismen

In den meisten Behandlungen zum harmonischen Oszillator wird eine geschwindigkeitsproportio-nale Dampfung angesetzt:

Fdamp(t) =−γx(t) → kdamp(ω) = γω (1.19)

Beispiele fur diesen Dampfungsmechanismus sind die Bewegung in einem viskosen Medium, ki-netische Gasdampfung oder die Wirbelstrombremse. Auf die Dampfung durch Gase (Luft) wird inin einem spateren Abschnitt noch naher eingegangen.

Die genannten Dampfungsmechanismen funktionieren alle durch Einwirkung von außen. Es wirdaber auch im Oszillator selbst Energie durch anelastische Prozesse dissipiert und damit das Systemgedampft. Diese weisen ein anderes Verhalten auf und fuhren zu neuen Uberlegungen zum Rau-schen empfindlicher Interferometer. Die hier verwendete Beschreibung ist an [22] angelehnt. DerMechanismus, der strukturelle Dampfung genannt werden soll, kann in ein Modell gefaßt werden,in dem die Federkraft, die den Oszillator ruckstellt, der Kraft hinterherhinkt. Dies laßt sich im Fou-rierraum durch einen kleinen (reellen) Winkel φ(ω) darstellen, um den die Ruckstellkraft gedrehtist:

Fint = −k(1 + iφ(ω))x(ω)

→ kdamp(ω) = kφ(ω) (1.20)

Fur die zeitliche Entwicklung der Dampfungskraft gilt

Fdamp(t) =

∞∫−∞

dt′ϕ(t′)x(t− t′) mit ϕ(ω) =−ikφ(ω). (1.21)

Die Dampfung wird also durch die Vergangenheit des Oszillators bestimmt. Dies ist auch genaudas, was bei anelastischen Prozessen zu erwarten ist, da sie eine Art Gedachtnis des Materials er-zeugen.

Die Funktion φ muß nun auch wieder bestimmte Bedingungen erfullen. Sowohl aus dem reellenCharakter der Dampfungskraft Fdamp als auch aus der Bedingung (1.17) folgt, daß φ ungerade in ωist und außerdem positiv fur positive ω sein muß. Außerdem ist φ(ω) uber weite Frequenzbereichekonstant.

Bei Vorliegen mehrerer verschiedener Dampfungsmechanismen konnen fur ein lineares System dieDampfungskrafte einfach aufsummiert werden,

Fdamp = ∑i

Fdamp,i (1.22)

1.3 GUTE DES OSZILLATORS 9

so daß sich mit der Definition der Dampfungskonstante in Gl.(1.3) die Gesamtdampfung durch dieSumme der Dampfungskonstanten ergibt:

kdamp,tot = ∑i

kdamp,i (1.23)

1.3 Gute des Oszillators

Die Gute Q wird durch die Energieverlustrate des harmonischen Oszillators definiert. Wird demOszillator zunachst Energie zugefuhrt und anschließend keine weitere außere Kraft ausgeubt, sogilt fur die Energie

E(t) = E0e−t/τ = E0e−ω0tQ . (1.24)

Die Große Q/2π gibt anschaulich interpretiert die Anzahl der Schwingungszyklen an, innerhalbderer die Energie auf 1/e des anfanglichen Wertes gefallen ist.

Fur die folgenden Uberlegungen geht man von niedriger Dampfung aus, also

Fdamp kx ↔ kdamp(ω0) k. (1.25)

Dies ist bei allen Systemen, die im Experiment untersucht werden sollen, gegeben.

Der Zusammenhang der Zeitkonstante τ bzw. der Gute Q mit den charakteristischen Großen desOszillators, wie sie im Abschnitt 1.1 definiert wurden, laßt sich nun besonders einfach an der Wir-kung eines Kraftstoßes auf den Oszillator darstellen. Ein Stoß F = p0δ(t) ubertragt den Impuls p0

und fuhrt somit dem Oszillator die Energie E0 =p2

02m zu. Die Antwort des Oszillators, wie sie in

Abb. 1.4 zu sehen ist, ergibt sich direkt aus der Antwortfunktion:

x(t) =∫ ∞

−∞dt′G(t

′)F(t− t

′) = p0G(t) = p0

1mω0

e−kdamp

2k ω0t sinω0t

v(t) = x(t)≈p0

me−

kdamp2k ω0t cos ω0t

E(t) =12

kx2(t)+12

mv2(t) =12

(mω20x2(t)+ mv2(t)) =

p20

2me−

kdampk ω0t

→ Q =k

kdamp(1.26)

Sind verschiedene Dampfungsmechanismen am Werk, so besagt Gl.(1.23), daß sich die Guten re-ziprok addieren:

1Qtot

= ∑ 1Qi

(1.27)


0 25 50 75 100t [s]

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0A

mpl

itude

2τ=39.8s

Abbildung 1.4: Abklingen eines Oszillators mit Resonanzfrequenz f0 = 0.2Hz und Gute Q = 25

Die Gute Q zeigt auch einen einfachen Zusammenhang mit der Resonanzbreite des Oszillators.Hierzu wird |G(ω)|2 betrachtet, welches proportional zu der Energie ist, die im Oszillator bei An-regung mit einer monochromatischen Kraft F(t) = F0 sinωt gespeichert ist (vgl. Gl.(1.11)):

|G(ω)|2 =1

m2(ω20−ω2)2 + k2

damp

(1.28)

|G(ω)|2 hat fur geringe Dampfung nahe der Resonanz annahernd Lorentzform mit der vollen Breitebei halber Hohe ∆ωFWHM

1. DieVerwendung von (1.28) ergibt:

∆ωFWHM =kdamp

mω0=

kdampω0

k=

Qω0

→ Q =∆ωFWHM

ω0(1.29)

Mit Gl.(1.19) ergibt sich fur geschwindigkeitsproportionale Dampfung

Q =mω0

γ→ Gstruk(ω) =

1mω2

0

11−ω2/ω2

0 + i/Q(1.30)

1F.W.H.M. = Full Width at Half Maximum

1.4 ENERGIEDISSIPATION DES GETRIEBENEN OSZILLATORS 11

und analog mit Gl.(1.20) fur strukturelle Dampfung

Q =1φ→ Gv(ω) =

1mω2

0

11−ω2/ω2

0 + iω/(ω0Q)(1.31)

In Abb. 1.5 ist der Unterschied von Amplitude und Phase dargestellt, der sich bei zwei Oszillato-ren mit gleichen Parametern m,ω0,Q fur verschiedene Dampfungsmechanismen ergibt. Der Un-terschied wird fur hohe Guten, bei denen nur strukturelle Dampfung dominant auftreten kann, sehrklein. In der Amplitude tritt eine Differenz nur in einem schmalen Intervall der Große ω0/Q umdie Resonanzfrequenz ω0 auf. Und selbst die maximale Amplitudendifferenz ist bezogen auf dieAmplitude deutlich kleiner als 1/Q, so daß anhand der Amplitude die Dampfungsmechanismennicht unterscheidbar sind. Die Phasen konnen durch tanφ = Im(G)/Re(G) bestimmt werden,

tanφstruk =1Q

11−ω2/ω2

0

bzw. tanφv =1Q

ωω0

11−ω2/ω2

0

(1.32)

so daß außerhalb der Resonanz die Phasendifferenz durch

∆φ = φstruk−φv ≈1Q

11 + ω/ω0

fur

∣∣∣∣1− (ωω0

)2

∣∣∣∣ 1Q

(1.33)

gegeben ist. Auf der Resonanz verschwindet diese Phasendifferenz. Die Phase kann daher, sofernsie mit ausreichender Genauigkeit gemessen werden kann, einen Hinweis auf den Dampfungsme-chanismus geben. Da die Meßgroße jedoch reziprok zur Gute ist, wird auch dies fur hohe Gutennicht als Unterscheidungskriterium geeignet sein. In Abbildung 1.5 sind die relative Amplituden-differenz, also die Amplitudendifferenz bezogen auf die Amplitude eines der Oszillatoren, und derBetrag der Phasendifferenz aufgetragen. Da die Frequenzskala in Einheiten der Resonanzfrequenzgewahlt ist und diese Funktionen unabhangig von der Masse sind, ist der Verlauf allein durch dieGute bestimmt.

1.4 Energiedissipation des getriebenen Oszillators

Bisher wurde Energiedissipation nur fur den ungestort abklingenden Oszillator betrachtet. Nun solldie Dissipation fur den angeregten Fall bestimmt werden. Wird der Oszillator mit einer monochro-matischen Kraft F = F0 cos ωt getrieben, so folgt mit Gl.(1.10):

v(t) = x(t) = ωF0 (Im(G(ω))cos ωt−Re(G(ω))sin ωt)

→ PDiss =dWdt

=Fdxdt

= Fv =ω2

Im(G(ω))F20 (1.34)

Dabei ist W die mechanische Arbeit, die das System verrichtet, und PDiss die Leistung, die vom Os-zillator an die Umgebung dissipiert wird. Da die im Oszillator gespeicherte Energie E beim mono-chromtisch getriebenen Oszillator konstant ist, ist dies auch die Leistung, die von der anregenden


0.0 0.5 1.0 1.5 2.0ω/ω0

0e+00

5e-03

1e-02

∆φ [g

rad]

Q = 105

Q = 106

0.99980 0.99990 1.00000 1.00010 1.00020

-1e-6

1e-6

0

2e-6

-2e-6

∆|G

(ω)|

/ |G

(ω)|

Q = 105

Q = 106

Abbildung 1.5: Amplituden- und Phasendifferenz zweier Oszillatoren mit gleichen Parametern m = 1, ω0 = 1, Q = 105

und 105, aber verschiedener Dampfungsmechanismen (strukturell/geschwindigkeitsproportional)

Kraft dem Oszillator zugefuhrt wird. Mit Gl.(1.7) und Gl.(1.11) kann die dissipierte Leistung durchdie gespeicherte Energie ausgedruckt werden:

Im(G(ω)) = −kdamp |G(ω)|2

→ PDiss = −kdampω2

F20 |G(ω)|2 = −

kdamp

kωE (1.35)

1.5 Luftreibung

Zur Abschatzung der zu erwartenden Gute soll zunachst der Dampfungseffekt von Luft unter At-mospharendruck untersucht werden. Dabei ist zunachst zu klaren, ob der Spiegel bei seiner Bewe-gung laminar oder turbulent umstromt wird. Ein gutes Kennzeichen hierfur gibt die ReynoldscheZahl, die wie folgt definiert ist:

R =rρvη

(1.36)

Dabei ist ρ die Dichte, η die Viskositat, r eine typische Abmessung und v die Geschwindigkeit. FurLuft unter einem Druck von 1bar gilt ρ = 1,29kg/m3 und η = 0,0018Ns/m2. Die typische Großen-

1.6 KINETISCHE GASDAMPFUNG 13

ordnung der im Experiment verwendeten Spiegel ist r = 5mm. Aus dem Gleichverteilungssatz laßtsich fur die Mittelwerte von Ort und Geschwindigkeit die Beziehung

〈v2〉= ω20〈x

2〉 (1.37)

ableiten. Die Anregung wird in der Messung auf x< λ/10 beschrankt, um die Messung im linearenBereich zu halten. Bei einer Resonanzfrequenz von 1kHz ergibt sich v < 1 mm/s und damit R <

0.01. In diesem Bereich ist die Stromung laminar.

Bei laminarer Stromung ergibt sich nun fur die dampfende Kraft

Fdamp,visc = Cηrv = γv (1.38)

mit dem Formfaktor C, der fur die meisten Korper einen Wertebereich von 10 bis 30 hat. Hierausergibt sich als Schatzwert fur die Gute bei reiner Dampfung durch Luft die Zahlenwertformel

Qvisc =mω0

γ≈ 2800 ·

ω0

1kHz20C

m100mg

1mmr

η(p)

η(1bar). (1.39)

C ist eine Große, die stark von der Form des Oszillators und der Art seiner Bewegung abhangt.Ohne eine genaue Untersuchung kann diese Zahlenwertformel nur eine Abschatzung der Großen-ordnung bieten.

1.6 Kinetische Gasdampfung

Bei niedrigen Drucken muß statt der Stromung eines Gases das stochastische Verhalten der ein-zelnen Molekule betrachtet werden, die nicht mehr miteinander wechselwirken. Bewegt sich nunder Oszillator, so erfahrt er keine viskose Reibung, sondern tauscht Impuls mit den einzelnen Mo-lekulen aus. Da in seinem jeweiligen Ruhesystem die Molekule auf der einen Seite des Korpers imMittel eine hohere Geschwindigkeit haben als die auf der anderen Seite, und auch die Stoßrate aufbeiden Seiten verschieden ist, erfahrt er eine von seiner Eigengeschwindigkeit abhangige Kraft.

Zur Berechnung der effektiven Kraft auf den Korper wird zunachst die Kraft auf die Vorderseite(z> 0) einer in der xy-Ebene liegenden Platte mit der Geschwindigkeit vz in z-Richtung berechnet.Die Masse des Korpers und damit der Flache ist sehr viel großer als die der Molekule. Ausßerdemsei die mittlere Geschwindigkeit der Gasmolekule wesentlich großer als vz, also

|vz| 〈vmol〉. (1.40)

〈v〉 bezeichnet hierbei das Ensemblemittel uber die Geschwindigkeiten der einzelnen Molekule.


Zunachst soll der Impuls bestimmt werden, den ein sich mit der Geschwindigkeit~vmol bewegendesMolekul auf die Platte ubertragt. Die Geschwindigkeit dieses Molekuls relativ zum Korper ist

~vrel =~vmol + vz~ez. (1.41)

Beim Stoß wird das Molekul von der Flache reflektiert und kehrt die Geschwindigkeitskomponentesenkrecht zur Flache, also die z-Komponente, um. Es ubertragt daher einen Impuls

∆p =−2mmol(~vrel)z (1.42)

Wird der Winkel zwischen ~vmol und der z-Achse mit θ bezeichnet, so gilt

∆p(vz,vmol,θ) =−2mmol(vmol cosθ + vz). (1.43)

Fur die weiteren Rechnungen wird zunachst nur ein Flachenelement dA im Ursprung betrachtet.Ein Molekul am Ort~r sieht das Flachenlelement unter dem Raumwinkel ∆Ω = dA|cosθ|

r2 und hat mitder Wahrscheinlichkeit ∆Ω

4π eine Richtung, die zum Stoß fuhren kann. Es erreicht dA in der Zeitdt, wenn fur seinen Abstand r < rmax = |~vrel|dt gilt. Einsetzen ergibt mit den oben eingefuhrtenBezeichnungen

r2max = ~v2

rel dt2 =(~v2

mol + v2z + vzvmol cosθ

)dt2

→ rmax = (vmol + vz cosθ + O(vz/vmol))dt (1.44)

Mit der Teilchenzahldichte nmol und der Wahrscheinlichkeitsverteilung ρ(v) erreichen insgesamt

dN(v,cos θ)dvd(cos θ)dt =

2π∫0

dφrmax∫0

drr2 ∆Ω4π

nmolρ(v )d(cos θ) dA dv

=12

nmolρ(v)(v + vz cosθ) cosθ dA d(cos θ) dv dt (1.45)

Molekule mit Geschwindigkeit in dv um v und Richtung in d(cos θ) um cosθ in einer Zeit dt dasFlachenelement dA. Dadurch wird eine Kraft

dF(vz) =

∞∫0

dv

1∫0

d(cos θ)dN(v,cos θ)∆p(vz,v,cos θ)

= −nmolmmol dA

∞∫0

dvρ(v)

1∫0

d(cos θ)(vcos θ + vz)(v + zz cosθ)cos θ

= −nmolmmol dA

∞∫0

dvρ(v)

(13

v2 +34

vzv +13

)

= −nmolmmol

(13〈v2〉+

34〈v〉vz +

13

)dA (1.46)

1.6 KINETISCHE GASDAMPFUNG 15

ubertragen. Die Gesamtkraft auf die Vorderseite ergibt sich durch Integration von dF uber die Ge-samtflache, also

Ffront(vz) =−nmolmmolA

(13〈v2〉+

34〈v〉vz +

13

)(1.47)

Die Berechnung der Krafte auf die Ruckseite der Flache entspricht der obigen Rechnung, wobeinur die Richtung der Kraft und der Geschwindigkeit vz sich andert. Diese Kraft ergibt sich daherdirekt zu:

Fback(vz) =−Ffront(−vz) (1.48)

Die Gesamtkraft

F(vz) = Ffront + Fback =−nmolmmol〈vmol〉Avz =−γvz (1.49)

ist linear in der mittleren Teilchengeschwindigkeit 〈vmol〉= 〈|~vmol|〉 und der Geschwindigkeit vz desOszillators und wirkt der Bewegung entgegen. Sie hat den Charakter einer viskosen Dampfung mitder Dampfungskonstante γ.

Die Großen, von denen in Gl.(1.49) die Kraft abhangt, lassen sich fur ein ideales Gas durch denDruck p und die Temperatur T ausdrucken. Die Annahme eines idealen Gases ist fur diese Druckegerechtfertigt. Mit Hilfe der Maxwell-Boltzmann-Verteilung (s. z.B. [16])

ρ(v) = 4π(

mmol

2πkBT

) 32

v2e−mv2

2kBT (1.50)

erhalt man fur die Molekulgeschwindigkeit

〈vmol〉= 2

√2kBTπmmol

. (1.51)

Das ideale Gasgesetz besagt nkBT = p. Damit ergibt sich ein neuer Ausdruck fur die Reibungskraftmit v als Geschwindigkeit des Oszillators:

Fdamp =−γv =−2pA

√2mmol

πkBTv. (1.52)

Die Gute Qkin in Luft ist mit mmol = 28u

Qkin = 1,87 ·103 ω0

1kHz1mbar

pm

100mg1cm2

A. (1.53)

Bei einem Druck von 10−6 mbar, der in den verwendeten Apparaturen fur Experimente zum Strah-lungsdruck noch unterschritten wird, liegt damit die Gutenbegrenzung durch Restgas weit jenseitsder aufgrund anderer Effekte erreichbaren Gute.

Kapitel 2

Krafte und Fluktuationen

In diesem Kapitel sollen die Krafte, die auf den Spiegel wirken, in ihrer Starke und ihrem Verhal-ten beschrieben und die von ihnen verursachte Auslenkung untersucht werden. Die Krafte und ihreWirkungen konnen deterministischen oder stochastischen Charakter haben. Im ersten Fall laßt sicheine direkte Beschreibung im Frequenzraum verwenden. Welche Konsequenzen dabei bei endli-chen Meßzeiten auftreten, wird im ersten Unterabschnitt gezeigt. Im zweiten Fall, also bei stocha-stischem Verhalten, wird vom Mechanismus der spektralen Dichte Gebrauch gemacht, der daher alsnachstes eingefuhrt wird. Danach wird zunachst die Kraft durch Licht auf den Spiegel untersucht.Außer diesem erwunschten Effekt gibt es naturlich auch noch andere Krafte, die den Spiegel be-wegen und eine Messung behindern oder verfalschen konnen. Dies sind insbesondere thermischeFluktuationen, Stoße durch Gasmolekule, die auch in ihrer Wirkung beschrieben werden. Zusatz-lich koppelt auch die Seismik und Akustik der Außenwelt an den Spiegel. Deren Wirkung kannauch durch eine spektrale Dichte beschrieben werden. Sie sind aber kaum analytisch zuganglichund werden daher erst im experimentellen Teil der Arbeit wieder aufgegriffen.

Eine uber den Inhalt dieses Kapitels hinausgehende Beschaftigung mit Fluktuationen in Systemenhoher Gute ist z.B. in den Arbeiten von V. B. Braginsky [2] nachzulesen.

2.1 Spektrale Zerlegung fur endliche Meßzeiten

Gegeben sei das zeitliche Verhalten einer fluktuierenden Große x(t). Die spektrale Zerlegung dieserGroße ist

x(ω) = FTx(t) =

∞∫−∞

dt x(t)e−iωt . (2.1)

Dieses Integral existiert jedoch nur fur die sogenannten quadratintegrablen Funktionen, die im Un-endlichen schnell genug abfallen. Ein Weg, dies zu umgehen, ist die Definition einer Fouriertrans-

18 2. KRAFTE UND FLUKTUATIONEN

formierten uber einem endlichen Zeitbereich:

xT (ω) =

T/2∫−T/2

dt x(t)e−iωt T→∞−→ x(ω). (2.2)

Die formale Transformation zwischen diesen beiden Typen der Fouriertransformation wird durcheine Rechteckfunktion

RT(t) =

1 fur |t| ≤ T

20 sonst

(2.3)

RT(ω) =2ω

sinωT2

T→∞−→ 2πδ(ω) (2.4)

vermittelt. Mit den Regeln zur Faltung gilt

xT (ω) = FTx(t)RT(t) = x(ω)∗RT(ω). (2.5)

Die Rucktransformation ergibt

xT (t) =

∞∫−∞

dω2π

xT(ω) = x(t)RT(t) =

x(t) fur |t| ≤ T

2

0 sonst(2.6)

2.2 Spektrale Dichte

Verhalt sich ein System nicht deterministisch, folgt es also keiner durch die Anfangsbedingungfestgelegten Trajektorie im Phasenraum, oder ist es aufgrund der Menge der Großen und damitder Dimension des Phasenraums nicht sinnvoll, es deterministisch zu beschreiben, kann es immernoch mit den Mitteln der Statistik behandelt werden. Das System wird dann durch die Angabeeines Ensembles moglicher Zustande und der Wahrscheinlichkeit, es in den einzelnen Zustandenzu finden, beschrieben. In der Ableitung der kinetischen Gasdampfung wurde dieser Weg schonbeschritten.

Statt eines determinierten Wertes kann nun einer Große ein Mittelwert zugeordnet werden, der sichbei einer großen Zahl von Messungen ergibt.

〈x(t)〉= ∑ pixi (2.7)

Dabei ist pi die Wahrscheinlichkeit, das System in einem bestimmten Zustand zu finden, und xi derMeßwert in diesem Zustand. Der Mittelwert ist im allgemeinen zeitabhangig. Als nachstes soll

2.2 SPEKTRALE DICHTE 19

eine Moglichkeit geschaffen werden, die Abhangigkeit zweier Großen des Systems voneinanderzu bestimmen. Dies ermoglicht die Korrelationsfunktion

Gxy(t1, t2) = 〈x(t1)x(t2)〉. (2.8)

Insbesondere laßt sich auch das”Gedachtnis“ des Systems fur eine Große bestimmen, namlich die

Korrelation einer Große mit sich selbst, Autokorrelationsfunktion genannt:

Gx(t,τ) = 〈x(t)x(t + τ)〉 (2.9)

Die Fouriertransformierte der Autokorrelationsfunktion

|Sx(ω)|2 = FTGx(τ)=

∞∫−∞

dτ 〈x(t)x(t + τ)〉e−iωτ (2.10)

wird als spektrale Dichte bezeichnet.

Wie man aus der Definition ersieht, ist die auf diese Weise definierte spektrale Dichte symmetrisch,also |Sx(−ω)| = |Sx(ω)|. Außerdem erhalt man durch Rucktransformation wieder die Korrelati-onsfunktion und mit 〈x2〉= Gx(t,0) einen Ausdruck fur das Schwankungsquadrat:

〈x2〉=

∞∫−∞

dω2π|Sx(ω)|2 =

∞∫0

dω2π

2 |Sx(ω)|2 . (2.11)

Beim Vergleich mit gemessenen spektralen Dichten muß beachtet werden, daß in der Literatur ge-legentlich auch 2|Sx(ω)|2 als spektrale Dichte bezeichnet wird.

Fur eine zusammengesetzte Große z(t) = x(t)+y(t) ergibt sich fur unabhangige, also unkorrelierteGroßen x,y aus 〈x(t)y(t′)〉= 0 sofort die einfache Rechenregel

|Sx(ω)|2 = |Sy(ω)|2 + |Sz(ω)|2 . (2.12)

Verschwindet die Korrelationsfunktion von x und y nicht fur alle Zeiten, so ergibt sich mit der De-finition

(Sxy(ω))2 =(

(Syx(ω))2)∗

=

∞∫−∞

dτ 〈x(t)y(t + τ)〉e−iωτ (2.13)

die allgemeine Rechenregel fur die spektrale Dichte zusammengesetzter Großen:

|Sz(ω)|2 = |Sx(ω)|2 + |Sy(ω)|2 + Re((Sxy(ω))2) (2.14)


Nun laßt nicht jedes System eine Ensemblemittelung zu. Um trotzdem Aussagen zu treffen, wirddas Zeitmittel verwendet:

x = limT→∞

1T

T/2∫−T/2

dt x(t) (2.15)

Fur stationare Systeme, in denen sich die Wahrscheinlichkeitsverteilung nicht andert, gilt die Er-godenhypothese

x = 〈x〉= 〈x(t)〉 = 〈x(t′)〉 ∀ t, t′, (2.16)

d.h., daß jede Ensemblemittelung durch eine Zeitmittelung ersetzt werden kann. Im Folgendenwird ein solches stationares System vorausgesetzt. Dann gilt insbesondere

Gxy(t1, t2) = Gxy(τ) = Gxy(−τ) = x(t)y(t + τ)

Gx(t,τ) = Gx(τ) = 〈x(t)x(t + τ)〉 = x(t)x(t + τ)(2.17)

Mit Hilfe dieser Gleichung laßt sich die spektrale Dichte auch durch die Fouriertransformierte derentsprechenden Große darstellen. Dabei werden die im vorherigen Abschnitt definierten Fourier-transformierten fur endliche Zeiten T benutzt, da es sonst zu Divergenzen und mathematisch nichtdefinierten Ausdrucken kommen kann. Es muß fur die Rechnung T τ angenommen werden, wasdurch den anschließenden Grenzubergang T→∞ gesichert ist. Mit dieser Annahme gilt x(t +τ) =

xT (t +τ). Außerdem muß T so groß sein, daß der Grenzubergang RT(ω)→ δ(ω) gemacht werdenkann.

|Sx(ω)|2 =

∞∫−∞

dτ x(t)x(t + τ)eiωτ

=

∞∫−∞

dτ limT→∞

1T

T/2∫−T/2

dt x(t)x(t + τ)e−iωτ

= limT→∞

1T

∞∫−∞

dτT/2∫−T/2

dt

∞∫−∞

dω1

2π

∞∫−∞

dω2

2πxT (ω1)xT (ω2)eit(ω1+ω2)eiτ(ω2−ω)

= limT→∞

1T

∞∫−∞

dω1

2π

∞∫−∞

dω2

2πxT (ω1)xT (ω2)2πRT(ω1 + ω2)2πδ(ω2−ω)

= limT→∞

1T

xT (ω)xT (−ω) = limT→∞

|xT (ω)|2

T(2.18)

Diese Gleichung ist auch unter dem Namen Wiener-Khintchine Theorem bekannt. In der Darstel-lung durch die Fouriertransformierte wird auch die Bedeutung der spektralen Dichte eher anschau-

2.3 EINFLUSS DES MESSAPPARATES 21

lich. Ist x eine Amplitude, so ist x2 eine Intensitat1. Damit ist die spektrale Dichte eine Intensitats-dichte im Fourierraum. Messen laßt sich die spektrale Dichte, indem die Intensitat I nach durchlau-fen eines schmalen Bandfilters der Breite ∆ω und Mittenfrequenz ω gemessen wird. Ist die spek-trale Dichte im Intervall ∆ω um ω in guter Naherung konstant, so gilt I = ∆ω |Sx(ω)|2, ansonstenergibt sich ein Ausdruck durch Faltung von spektraler Dichte und Filterfunktion. Die Filterbreitebestimmt also die Auflosung, mit der die spektrale Dichte so gemessen wird.

Die spektrale Dichte ist das Handwerkszeug, mit dem das Frequenzverhalten statistischer Prozes-se beschrieben werden kann, fur die die spektrale Zerlegung mit Hilfe der Fouriertransformationkeinen Sinn macht. Ein statistischer Prozeß hat keine definierte Phasenlage, jedoch eine spektraleVerteilung seiner Intensitat.

Fur einen speziellen statistischen Prozeß, der haufig auftritt, soll hier noch die spektrale Dichteexplizit angebeben werden. Treten individuelle Ereignisse mit der Rate n auf und entspricht jedemEreignis ein δ-Puls, ist also die Zeitreihe durch

x(t) = ∑ti

δ(t− ti) → x = n (2.19)

gegeben, so gilt fur die spektrale Dichte der Fluktuationen [26]

|Sx(ω)|= n (2.20)

Alle Berechnungen hier wurden fur Kreisfrequenzen ω = 2π f durchgefuhrt. Die spektrale Um-rechnung von spektralen Dichten fur Frequenzen und Kreisfrequenzen wird durch

|Sx(ω)|2 dω = |Sx( f )|2 d f (2.21)

vermittelt. Damit gilt

|Sx(ω)|2 = 2π |Sx( f )|2 . (2.22)

2.3 Einfluß des Meßapparates

Gegeben sei eine spektrale Dichte einer beliebigen Große x(t). Gemessen werde die Große x miteinem geeigneten Meßapparat, der auf die Eingabe x(t) mit einer Ausgabe y(t) antwortet. DieseAntwort laßt sich im linearen Fall durch eine Antwortfunktion g(t) beschreiben. Der Formalismusist vollig analog zu der Beschreibung, wie sie in 1.1 dargestellt wurde. Fur die Fouriertransfor-mierte g(ω) gelten die gleichen Bedingungen, wie sie auch schon in dem entsprechenden Abschnittabgeleitet wurden. Die Ausgabe, die die Messung liefert, kann eine Spannung am Ausgang einer

1Je nach System kann hier der Begriff Intensitat z.B. durch Energie oder Leistung ersetzt werden.


Photodiode, die Auslenkung einer Feder, der Ausschlag eines y-t-Schreibers am Ende einer Meß-apparatur oder vieles mehr sein. Das System muß sich nur in jeder seiner Komponenten linearverhalten.

Die Antwort des Meßapparates sei y(t). Als weitere Bedingung muß die Meßzeit T lang gegenuberdem

”Gedachtnis“ der Meßapparatur sein. Alternativ muß die Meßgroße x(t) außerhalb der Meß-

zeit identisch Null sein. Formal kann die erste Bedingung daher immer dadurch umgangen werden,daß die im vorherigen Abschnitt definierte Große xT (t) als Meßgroße verwendet wird. Dann gilt:

yT(t) =

∞∫−∞

dt′ xT (t− t′)g(t′) = xT (t)∗g(t) (2.23)

yT (ω) = xT (ω)g(ω) (2.24)

Dabei muß g(t) nicht auf das Meßzeitintervall eingeschrankt werden, da durch Verwendung von xT

die begrenzte Meßzeit schon ausreichend berucksichtigt ist. Nun kann auch der Zusammenhangzwischen der spektralen Dichte des Meßwertes y und der Große x mit Hilfe von Gl.(2.18) ermitteltwerden:

|Sy(ω)|2 = limT→∞

|xT(ω)g(ω)|2

T

= |g(ω)|2 limT→∞

|xT (ω)|2

T

= |Sx(ω)|2 |g(ω)|2 (2.25)

Fur den Spezialfall von statistisch unabhangigen Ereignissen mit der Rate n, die jeweils eine Ant-wort g(t− ti) auslosen, ergibt sich mit der Gl.(2.20)

|Sy(ω)|2 = n |g(ω)|2 (2.26)

2.4 Strahlungsdruck

Licht, das von einem Spiegel reflektiert wird, ubertragt einen Impuls auf den Spiegel. Dies ist so-wohl im Bild der elektromagnetischen Welle, in dem sich der Impuls des elektromagnetischen Fel-des aus dem Energie-Impuls-Tensor ablesen laßt, als auch im Teilchenbild, in dem jedes Photoneinen Impuls tragt, einsichtig. Hier soll die Ableitung im Teilchenbild durchgefuhrt werden.

Ein Photon in einem Laserfeld mit Wellenvektor kL hat den Impuls hkL und ubertragt bei senkrech-tem Einfall seinen doppelten Impuls auf den Spiegel. Dies ist nur fur den ruhenden Spiegel exakt,aber da die weiteren Terme in der Ordnung v

c sind und v fur z.B. eine Schwingung des Spiegels bei

2.4 STRAHLUNGSDRUCK 23

1kHz mit einer Amplitude x = 1µm nur 1mm/s betragt, ist es eine gute Naherung. Die Reflektiondes Photons geschieht augenblicklich, so daß jedes Photon einen Kraftstoß

FPhoton = 2hkLδ(t) (2.27)

ausubt.

Eine Intensitat I(t) entspricht einem Photonenstrom I(t)/hωL, wobei ωL die Kreisfrequenz des La-serlichts ist. Mit dem Implulsubertrag 2hk eines Photons ergibt sich die Kraft

F(t) = I(t)2hkL

hω=

2c

I(t) (2.28)

Bei der Berechnung der spektralen Dichte muß nun berucksichtigt werden, daß die Kraft sich ausvielen einzelnen Ereignissen zusammensetzt, eben dem Impulsubertrag durch jeweils ein Photon.Die Ankunftzeiten der einzelnen Photonen sind dabei vollig stochastisch. Die Rate n der auftref-fenden Photonen ergibt sich aus der Intensitat zu

n =I

hωL. (2.29)

Das stochastische Auftreffen der Photonen fuhrt dann mit Gl.(2.26) zu einer fluktuierenden Kraftmit der spektralen Dichte

|SFSchrot(ω)|2 = n |FPhoton|2 =

4c2hωLI (2.30)

Dies ist der Beitrag des sogenannten Schrotrauschens zur Kraftfluktuation. Außerdem kann die In-tensitat im klassischen Sinne schwanken, wenn das Licht keine monochromatische Welle ist, son-dern die Lichtquelle fluktuiert. Im Photonenbild entsprache dies einer variierenden Wahrschein-lichkeit p(t)dt, daß ein Photonstoß in einer Zeit dt stattfindet. Ist die spektrale Dichte der Intensitatdurch technische Rauschprozesse durch |SI(ω)|2 gegeben, so gilt fur die spektrale Dichte der Kraft

|SF(ω)|2 =4c2 |SI(ω)|2 + |SFSchrot(ω)|2 =

4c2

(|SI(ω)|+hωI

)(2.31)

Bei der Bestimmung der Spiegelantwort ist die Verwendung der Kraft (2.28) mit dem Formalis-mus der Antwortfunktion wie in Abschnitt 1.1 nur fur nicht stochastische Anteile sinnvoll. Dahersoll die Intensitat I(t) in einen Modulationsteil IMod, der jede gewollte Zeitabhangigkeit enthalt,und einen Fluktuationsteil IFluk, der alle technischen Rauschprozesse vereinigt, zelegt werden. Mitdiesen ergibt sich dann mit Gl.(2.28) eine modulierte Auslenkung

x(ω) = G(ω)FMod = G(ω)2c

IMod(ω) (2.32)


Dies fuhrt bei einer monochromatischen Modulation mit Kreisfrequenz ωMod bei einer Skalierungauf sinnvolle experimentelle Parameter zu einer Auslenkung

xrms = 3,33 ·10−9m100mg

m(IMod)rms

50mW1kHz2

ω20

1∣∣1− (ω/ω0)2 + ikdamp/(mω20)∣∣ (2.33)

Die Anwendung von Gl.(2.31) und Gl.(2.25) fuhrt auf eine spektrale Dichte der durch Licht indu-zierten Ortsfluktuationen:

|Sxrad(ω)|2 = |G(ω)|2 |SF(ω)|2 = |G(ω)|24c2

(|SIFluk(ω)|2 +hωLI

)(2.34)

Fur einen Nd:YAG-Laser mit λ = 1064nm ergibt dies fur die Ortsfluktuationen durch Schrotrau-schen

|Sx(ω)| (2.35)

= 2,88 ·10−20 m√

Hz

(I

1W

) 12 100mg

m1kHz2

ω20

1∣∣1− (ω/ω0)2 + ikdamp/(mω20)∣∣

und fur den Beitrag des”technischen“ Rauschens

|Sx(ω)| = (2.36)

6,67 ·10−17 m√

Hz|SIFluk(ω)|

√Hz

µW100mg

m1kHz2

ω20

1∣∣1− (ω/ω0)2 + ikdamp/(mω20)∣∣

2.5 Thermische Ausdehnung und Radiometereffekt

Der Spiegel hat keine ideale Reflektion, sondern besitzt eine gewisse Restabsorption a. Dadurcherwarmt sich die Vorderseite des Spiegels, und es stellt sich ein Temperaturunterschied zwischender Vorderseite und der Ruckseite des Spiegels ein. Der Warmeeintrag in die Vorderseite durchLicht der Intensitat I ist

Q = aI. (2.37)

Nach einiger Zeit stellt sich ein statischer Warmegradient zwischen der Vorderseite und der Ruck-seite ein. Die Warmeleitungsgleichung ergibt fur diesen Fall

Q =λAd

∆T, (2.38)

2.5 THERMISCHE AUSDEHNUNG UND RADIOMETEREFFEKT 25

wobei A die Flache und d die Dicke des Spiegels und λ die Warmeleitfahigkeit des Spiegelmaterialsist. Fur Quarzglas, das meist verwendete Material, ist die Warmeleitfahigkeit λ = 1,36W/(K ·m).Die Temperaturdifferenz zwischen Vorder- und Ruckseite ist damit

∆T =adλA

I (2.39)

Auf die Parameter des Experiments skaliert ergibt dies

∆T = 7mK ·a

0,01d

1mm1cm2

AI

100mW. (2.40)

Durch diesen Temperaturunterschied sind zwei Mechanismen der Auslenkung des Spiegels denk-bar:

Erstens fuhrt die Temperaturdifferenz zu verschiedener Warmeausdehnung der Vorder- und Ruck-seite. Dadurch entstehen Spannungen im Material, die zu einer Verformung und damit Auslenkungdes Spiegels fuhren konnen. Die genaue Wirkung dieses Effekts hangt jedoch von der speziellenRealisierung des Spiegels, dem genauen Ort der starksten Erwarmung, Spannungen im Materialund vielem mehr ab. Es ist daher sinnvoll, diesem Effekt fur die realisierten Spiegel im Experi-ment zu uberprufen.

Der zweite Effekt ist die sogennante radiometrische Kraft. Sie entsteht dadurch, daß Gasmolekulebeim Stoß mit der Oberflache des Spiegels einen von der Temperatur der Oberflache abhangigenImpulsbeitrag aufnehmen. Dadurch wird an die Gasmolekule auf der warmeren Vorderseite einhoherer Impuls ubertragen als auf die Ruckseite. Dadurch erfahrt der Spiegel eine Nettokraft inRichtung der kalteren Ruckseite. Eine obere Abschatzung der Kraft ergibt sich fur den Fall, daßdie Gasmolekule nach dem Stoß eine der Oberflachentemperatur entsprechende Geschwindigkeits-verteilung annehmen. Die Kraft betragt dann [11] fur Drucke im Hochvakuumbereich, also beiVernachlassigung der Wechselwirkung zwischen Gasmolekulen,

F =2π

Ap∆TT. (2.41)

Dabei ist T die Umgebungstemperatur und p der Restgasdruck. Einsetzen des Temperaturgradien-ten ergibt die Kraft

F =2adpπλT

I. (2.42)

Damit Strahlungsdruck die Kraft dominiert, muß

2adpπλT

<2c

(2.43)


gelten. Skaliert auf die Dimensionen des im Experiment verwendeten Spiegels wird Strahlungs-druck bei Zimmertemperatur dominieren, wenn

a%

d1mm

p10−3mbar

< 4,4 (2.44)

gilt. Dabei sind der Druck und die Absorption sehr vorsichtig eingeschatzt, so daß im Experimentsich die Beitrage durch radiometrische Kraft vernachlassigen lassen. Dies gilt insbesondere, dadie Temperatur des Spiegels schnellen Modulationen der Intensitat nicht folgen kann und daherdie Effektivitat der radiometrischen Kraft fur die im Experiment verwendeten Frequenzen nochgeringer ist. Dieser Tiefpaßeffekt wird in Abschnitt 5.1 noch naher untersucht.

2.6 Thermische Fluktuationen

Der Spiegel und seine Umgebung haben eine endliche Temperatur T . Temperatur wird uber ge-speicherte Energie definiert; wenn z.B. von der Temperatur T eines Gases gesprochen wird, soheißt dies, das in jedem Molekul eine mittlere Energie kBT/2 pro Freiheitsgrad gespeichert ist. InFestkorpern wird in jedem Schwingungsfreiheitsgrad eine mittlere Energie kBT gespeichert. Ge-nauso enthalt jeder eindimensionale Oszillator auch gerade eine mittlere thermische Energie vonkBT . Mit dem Virialsatz 〈Epot〉= 〈Ekin〉= 1

2E ergibt sich so

〈x2〉=2k〈Epot〉=

1k

kBT =kB

mω20

. (2.45)

Uber die spektrale Dichte macht das Fluktuations-Dissipations-Theorem (FDT) eine Aussage [16]:

|Sx(ω)|2 =2KBT

ωIm(G(ω)) =

2KBTω

kdamp |G(ω)|2 (2.46)

Verwendung von Gl.(2.25) mit der antreibenden fluktuierenden Kraft FFluk ergibt

|Sx(ω)|2 = |G(ω)|2 |SFFluk(ω)|2

→ |SFFluk(ω)|2 = 2kBTkdamp(ω)

ω(2.47)

Dabei ist kdamp die Dampfungskonstante aus Gl.(1.3). Die spektrale Dichte der Fluktuationen hangtdamit direkt mit dem Dampfungsmechanismus zusammen und unterscheidet sich qualitativ erheb-lich fur geschwindigkeitsproportionale Dampfung einerseits und strukturelle Dampfung anderer-seits. Bei gleicher Gute Q fur beide Falle, also nahezu identischer Antwort auf eine außere Anre-gung, gilt mit den Gleichungen aus 1.3

2.6 THERMISCHE FLUKTUATIONEN 27

102

103

104

105

106

ω=2πf [Hz]

10-20

10-18

10-16

10-14

10-12

10-10

|Sx|

[m/√

Hz]

v-Reibungstrukturell

Abbildung 2.1: Ortsfluktuationen im Vergleich fur strukturelle und geschwindigkeitsproportionale Dampfung. Para-meter: m = 100mg, ω0 = 2π f = 10000Hz, Q = 1000

|Sx(ω)|2 = 2mkBTω0

Q|G(ω)|2 geschwindigkeitsproportionale Dampfung (2.48)

|Sx(ω)|2 = 2mkBTω2

0

ωQ|G(ω)|2 strukturelle Dampfung (2.49)

Fur die Temperatur T = 300K ergibt sich als Zahlenwertgleichung fur die Auslenkung eines Spie-gels bei geschwindigkeitsproportionaler Dampfung

|Sx(ω)|= (2.50)

9,07 ·10−14 m√

Hz

(104

Q100mg

m

) 12 ( ω0

1kHz

)− 32 1|(1− (ω/ω0)2 + iω/(ω0Q)|

und bei struktureller Dampfung

|Sx(ω)|= (2.51)

9,07 ·10−14 m√

Hz

ω0

ω

(104

Q100mg

m

) 12 ( ω0

1kHz

)− 32 1|(1− (ω/ω0)2 + i/Q|

In Abb. 2.1 werden die Ortsfluktuationen bei gleichen Parametern, jedoch verschiedenen Damp-fungsmechanismen, verglichen. Es ist recht deutlich zu sehen, daß sich im Regime strukturellerDampfung die Ortsfluktuationen fur Frequenzen oberhalb der Resonanzfrequenz im Vergleich zugeschwindigkeitsproportionaler Dampfung reduzieren.


2.7 Restgasinduzierte Ortsfluktuationen

In Abschnitt 1.6 wurde die Kraft auf den Spiegel durch Restgasstoße berechnet, um die Dampfungdurch diese Stoße zu bestimmen. Da es sich um einen statistischen Prozeß handelt, fluktuiert dieseKraft und induziert Ortsfluktuationen, die in diesem Abschnitt bestimmt werden sollen. Dabei wer-den die Bezeichnungen und Zwischenergebnisse aus Abschnitt 1.6 vewendet. Fur die Berechnungder Fluktuationen wird der Spiegel als ruhend angenommen. Die Beitrage durch eine Geschwin-digkeit vsp 6= 0 des Spiegels sind um einen Faktor vsp/vgas kleiner als die in dieser Naherung berech-neten Krafte. Außerdem werden nur die Fluktuationen der Kraft auf die Vorderseite des Spiegelsberechnet. Da die Stoße auf die Vorderseite ganzlich unabhangig von denen auf der Ruckseite sind,addieren sich die spektralen Dichten beider Krafte, und es gilt aufgrund der Symmetrie von Vorder-und Ruckseite

∣∣SFgas(ω)∣∣2 = 2 |SFFront(ω)|2 . (2.52)

Mit Gl.(1.45) kann zunachst die Anzahl der Gasmolekule, die mit Geschwindigkeit in dv um v undRichtung in d(cos θ) um cosθ pro Zeiteinheit auf die Flache A auftreffen, bestimmt werden:

N(v,cos θ)dvd(cos θ) =12

nmolAcosθvρ(v) dv d(cos θ) (2.53)

Das einzelne Ereignis, also die Kraft durch das Auftreffen eines einzelnen Gasmolekuls, kann durch

F(t) =−2mmolvcos θδ(t) = FEreignisδ(t) (2.54)

beschrieben werden. Damit ergibt sich mit Gl.(2.26) die spektrale Dichte der durch diesesSubensemble verursachten Kraftfluktuationen:

dv,cosθ |SF(ω)|2 = F2Ereignisωn = 4m2

molv2N(v,cos θ)dvd(cos θ)

= 2nmolAm2mol v

3ρ(v)dv cos3θd(cos θ) (2.55)

Jedes Subensemble mit gewissen Geschwindigkeiten und Richtungen ist von jedem anderen Sub-ensemble statistisch unabhangig, da die einzelnen Molekule alle in ihren Auftreffzeiten unkorreliertsind. Daher konnen nach Gl.(2.12) die Beitrage der einzelnen Subensemble zur spektralen Dichteder Gesamtkraft einfach aufaddiert werden, was hier einer Integration uber Gl.(2.55) entspricht.Ein zusatzlicher Faktor 2 berucksichtigt nach Gl.(2.52) die Ruckseite.

|SFGas(ω)|2 = 4nmolAm2mol

1∫0

d(cos θ) cos3 θ∞∫

0

dv v3

= nmolAm2mol 〈v

3〉 (2.56)

2.8 VERGLEICH DER FLUKTUIERENDEN KRAFTE 29

Mit der Maxwell-Boltzmann-Verteilung aus Gl.(1.50) und dem idealen Gasgesetz nmolkBT = p er-gibt sich

〈v3〉 =

∞∫0

dvv3 =4√

π

(2kBTmmol

) 32

(2.57)

→ |SFGas(ω)|2 = 16AnmolkbT

√2mmol

πkBT = 16pA

√2mmol

πkBT (2.58)

Fur Luft bei Zimmertemperatur ergibt dies die Zahlenwertgleichung

|SFGas(ω)|2 = 1,42 ·10−31 N2

Hzp

1mbarA

1cm2 . (2.59)

Die spektrale Dichte der Ortsfluktuationen des Spiegels ist in Zahlen

|Sx(ω)|= |SFGas(ω)| |G(ω)| (2.60)

= 3,77 ·10−18 m√

Hz

(p

1mbarA

1cm2

) 12 100mg

m1kHz2

ω20

1∣∣1− (ω/ω0)2 + ikdamp/(mω20)∣∣ .

2.8 Vergleich der fluktuierenden Krafte

Wenn viele verschiedene unabhangige Mechanismen zu Ortsfluktuationen fuhren, so ergibt sichdie gemessene spektrale Dichte mit Gl.(2.12) aus der Summe der spektralen Dichten der einzelnenBeitrage

|Sx(ω)|2 = ∑i

|Sx(ω)|2i . (2.61)

Ob uberhaupt eine der beschriebenen fluktuierenden Krafte sichtbar wird und die gemessenen Orts-fluktuationen des Spiegels bestimmt, hangt sicher von der Empfindlichkeit des Meßapparates undder Isolierung gegen Storungen von außen wie Seismik und Akustik ab. Diese Beitrage, die sichauch in einer spektralen Dichte zusammenfassen lassen, sollen hier aber nicht weiter betrachtetwerden. Stattdessen sollen die in den vorherigen Abschnitten beschriebenen Mechanismen vergli-chen werden.

Um den Vergleich moglichst allgemein zu halten, werden die Krafte untersucht, die der Ortsfluk-tuation entsprechen:

|Sx(ω)|= |SF(ω)| |G(ω)| (2.62)


Mit den getroffenen Annahmen eines Lasers mit λ = 1064nm, Luft bzw. Stickstoff als Restgas undeiner Temperatur von 300K ergeben sich die Krafte

|SF(ω)|=

2,88 ·10−18 N√

Hz

(I

1W

) 12

Strahlungsdruckrauschen

9,1 ·10−14 N√

Hz

(1Q

ω0

1Hzm1g

) 12

Thermisches Rauschen fur Fdamp(t)∼ v(t)

9,1 ·10−14 N√

Hz

(1Q

ω0

ωω0

1Hzm1g

) 12

Thermisches Rauschen fur Fdamp(ω)∼ k/Q

1,19 ·10−19 N√

Hz

(p

10−6mbarA

10mm2

) 12

Restgasfluktuationen

Nun konnen Parameter bestimmt werden, fur die z.B. Strahlungsdruckfluktuationen der dominie-rende Mechanismus ist. Im Vergleich zu den Restgasfluktuationen bei einem Druck von 10−6mbarund einer Spiegelflache von 10mm2 ist das Strahlungsdruckrauschen bei einer Leistung von 1Wschon eine Großenordnung starker. Gleich starke Fluktuationen durch Strahlungsdruck und ther-misches Rauschen hingegen erfordern auf der Resonanz

I = 1GW1Q

ω0

1Hzm1g

(2.63)

Kapitel 3

Nichtklassische Lichtzustande

Eine besonders interessante Eigenschaft des Spiegels ist, daß er den Zustand des Lichts verandernund insbesondere zu klassisch nicht beschreibbaren Lichtzustanden fuhren kann. Die Beschrei-bung dieser Zustande bedarf jedoch eines geeigneten Formalismus, der zunachst eingefuhrt wird.Außerdem wird ein Instrument benotigt, mit dem diese klassisch nicht beschreibbaren Effekte ge-messen werden konnen. Ein Mechanismus zur Erzeugung nichtklassischer Lichtzustande, der Kerr-effekt, wird zum Schluß vorgestellt und mit dem Spiegel in Zusammenhang gebracht. Es zeigtsich, daß auch die Wechselwirkung zwischen Licht und Spiegel zu sogenanntem gequetschen Lichtfuhren kann.

Die formale Beschreibung macht von einer quantenmechanischen Beschreibung des Lichts Ge-brauch, die hier nur ansatzweise eingefuhrt werden kann. Daher sei hier fur eine ausfuhrliche undgenaue Behandlung auf Lehrbucher [24, 18, 25] verwiesen.

3.1 Beschreibung nichtklassischer Lichtzustande

Das elektromagnetische Feld laßt sich analog zum harmonischen Oszillator quantisieren, wobeijede Feldmode formal einem Oszillator mit einer bestimmten Frequenz ωL entspricht. Eine zentraleRolle hierbei haben die Erzeuger a und Vernichter a† zusammen mit ihrer Kommutatorrelation

[a,a†]= 1. (3.1)

Ihre anschauliche Bedeutung finden sie in der Erzeugung oder Vernichtung eines Feldquants, al-so eines Photons. Sie entsprechen selber jedoch keiner physikalischen Große. Allerdings lassensich alle das Licht betreffenden physikalischen Großen durch Kombinationen von Erzeugern undVernichtern darstellen. So entspricht der Energie der Hamiltonoperator

H =hωL(a†a +12

), (3.2)

32 3. NICHTKLASSISCHE LICHTZUSTANDE

dem elektrischen Feld der Feldoperator

E = i

(hωLO

2Vε0

) 12 (

ae−iωLt−a†eiωLt) . (3.3)

V ist das Quantisierungsvolumen. Im weiteren sei hωL/(2Vε0) = 1. Bei Bedarf kann diese Erset-zung ruckgangig gemacht werden, indem jedem Erzeuger und Vernichter ein entsprechender Termzugeordnet wird. Nun soll die Analogie zum harmonischen Oszillator noch weiter getrieben wer-den. Beim harmonischen Oszillator ergeben sich der Orts- und Impulsoperator durch

q =

√h

2ω(a + a†), p = i

√hω2

(a−a†) (3.4)

Dies inspiriert zur Definition zweier hermitescher Operatoren

X1 = a + a†, X2 =1i(a−a†). (3.5)

Daß diese so definierten Zustande auch wirklich einer Messung zuganglich sind, wird in Abschnitt3.2 dargestellt werden. Aus Gl.(3.1) ergibt sich

[X1,X2] = 2i. (3.6)

Mit Hilfe dieses Kommutators kann das Analogon zur Heisenbergschen Unscharferelation ∆q∆p≥h/2 fur die Quadraturamplituden bestimmt werden:

∆X1∆X2 ≥|〈[X1,X2]〉|

2= 1 (3.7)

Die Bedeutung der Quadraturamplituden erschließt sich am leichtesten durch ihre Verwendung beider Beschreibung eines koharenten Zustands. Ein koharenter Zustand |α〉 wird durch den Parame-ter α = |α|eiθ charakterisiert. Formal definieren laßt er sich als Eigenzustand des Vernichters:

|α〉= α |α〉 (3.8)

Der koharente Zustand ist das quantenmechanische Analogon zur monochromatischen Ebenen Wel-le. Dies zeigt sich bei der Berechnung des Felderwartungswertes:

〈E〉= 2 |α| sin(~k~r−ωt + θ). (3.9)

3.1 BESCHREIBUNG NICHTKLASSISCHER LICHTZUSTANDE 33

X2

Y1

X2

1X

Y

X

Y∆ 1

∆ 1

2

< >

Abbildung 3.1: Phasenraumdiagramm eines gequetschten Lichtzustandes mit Unscharfeflache im ursprunglichen Ko-ordinatensystem Xi und im Hauptachsensystem Yi

Fur diesen koharenten Zustand gilt:

〈X1〉 = 2 |α|cos θ (3.10)

〈X2〉 = 2 |α|sinθ (3.11)

∆X1 = ∆X2 = 1 (3.12)

Der koharente Zustand ist also ein Zustand minimalen Unscharfeproduktes. Stellt man den koharen-ten Zustand durch einen Punkt α in der komplexen Ebene dar, so entsprechen die Quadraturen X1

und X2 der reellen und imaginaren Achse und die Erwartungswerte geben die Projektion des Zu-standes auf die Achsen an. Fur θ = 0 finden sich die Schwankungen der Quadraturamplituden inden klassischen Schwankungen von Ampltiude und Phase wieder.

Die Ebene, die durch die Quadraturen aufgespannt wird, ist der Phasenraum des Systems. Ein klas-sischer Zustand entsprache einem Punkt am Ort α. Quantenmechanisch kann es keinen einzelnenPunkt geben, da dies einer gleichzeitigen scharfen Messung von X1 und X2 entsprache. Da X1 undX2 nicht kommutieren, ist dies nicht moglich. Es kann stattdessen nur eine Wahrscheinlichkeit an-gegeben werden, einen betimmten Meßwert zu erhalten. Eine Moglichkeit, diese Wahrscheinlich-keit anzugeben, ist eine Quasiwahrscheinlichkeitsverteilung im Phasenraum. Diese Quasiwahr-scheinlichkeitsfunktion ist charakteristisch fur einen Zustand. Der Begriff Quasiwahrscheinlich-keitsverteilung wird verwendet, da die diese Verteilung auch negative Werte annehmen kann, wasein besonderes Kennzeichen nichtklassischer Zustande ist. Sie widersetzt sich somit der ublichenWahrscheinlichkeitsinterpretation Durch Projektion auf einen Schnitt durch den Phasenraum, dereiner beliebigen Quadratur entspricht, gelangt man zu einer Wahrscheinlichkeitsverteilung ebendieser Quadratur mit der ublichen Normierung und Interpretation. Eine Darstellung dieser Quasi-wahrscheinlichkeitsverteilung ist die Wignerfunktion.


Eine etwas reduzierte Information uber den Zustand enthalt die Fehlerflache, die sich formal alsHohenlinie der Wignerfunktion ergibt. Sie hat jedoch eine direkte, der Messung zugangliche Be-deutung. Die Messung einer beliebigen Quadratur X(φ) = X1 cosφ+X2 sinφ entspricht der Projek-tion der Fehlerflache auf eine durch den Winkel φ bestimmte Achse. Der Schwerpunkt entsprichtdem Erwartungswert, und die Gesamtbreite der Projektion, anschaulich der Schattenwurf, gibt dasSchwankungsquadrat ∆X . Die Fehlerflache konnte also durch die Messung der Schwankung inallen moglichen Projektionen vermessen werden. Fur einen koharenten Zustand ware dies aberwenig ergiebig, da die Fehlerflache hierfur eine Kreisscheibe ist.

Die Wahl der Quadraturen X1 und X2 als Basis des Phasenraums ist nicht die einzige mogliche Wahl.Ein ganzer Satz von moglichen Basen kann durch eine lineare Transformation gewonnen werden.Eine langen- und winkelerhaltende Transformation ist

Y1 + iY2 = (X1 + iX2)e−iφ. (3.13)

Diese Transformation stellt eine Drehung der Koordinatenachsen dar und erhalt die Fehlerflache,also ∆Y1∆Y2 ≥ 1.

Ein besonders interessantes Ergebnis dieser Betrachtung ist die mogliche Existenz von gequetsch-tem Licht. Von gequetschtem Licht kann man sprechen, wenn eine der moglichen Quadraturmes-sungen eine Schwankung ∆Y1 < 1 aufweist, wobei dann zum Ausgleich die hierzu senkrechte Qua-dratur Y1 entsprechend unscharf wird.1 Zur Erzeugung solcher Zustande kommen alle Mehrpho-tonenprozesse, klassisch nichtlineare Polarisationen beliebiger Ordnung, in Frage, wobei die Zwei-und Dreiphotonenprozesse aufgrund ihrer hoheren Wahrscheinlichkeit die bisher großten Unscharfe-reduktionen ergeben haben. Einphotonenprozesse hingegen konnen nur reine Drehungen im Pha-senraum vermitteln und verandern daher die Fehlerflache nicht. In Abb. 3.1 ist ein Beispiel furden Phasenplot eines gequetschten Zustands mit den beschriebenen Projektionen der Fehlerflachein verschiedenen Koordinatensystemen.

Entspricht in einem Meßinstrument, z.B. einem Gravitationswellendetektor, eine solche Quadra-tur verminderter Unscharfe der Meßgroße, so laßt sich die Empfindlichkeit unter die sogenannteSchrotrauschgrenze drucken. Einige Ideen zur Erhohung der Empfindlichkeit solcher hochemp-findlicher Instrumente setzten daher auf die Erzeugung solcher gequetschten Lichtzustande [4, 13,21].

3.2 Messung der Quadraturen

Die einzige Messung, die an Licht durchgefuhrt werden kann, ist eine Intensitatsmessung, da allebekannten Meßverfahren auf der Wechselwirkung einzelner Photonen mit dem Meßapparat basie-ren. Daher ist auch die einzige Fluktuation, die direkt zuganglich ist, die Intensitatsfluktuation. Um

1There is no free lunch. In den meisten Experimenten zum”Squeezing“ ist die Fehlerflache des gequetschten Zu-

stands deutlich großer als die des koharenten Zustands

3.2 MESSUNG DER QUADRATUREN 35

Auskunft uber weitere Eigenschaften des Lichtes zu gewinnen, muß ein Verfahren gefunden wer-den, mit dem sich diese Eigenschaften auf die Intensitat des Lichtes ubertragen. Eine Moglichkeit,die sich bei Licht bietet, ist das Mischen des Signallichts mit einer monochromatischen Referenz-quelle, dem Lokaloszillator. Fur die Erzeugung des Lokaloszillators wird eine idealerweise mono-chromatische Lichtquelle verwendet, so daß sich der Lokaloszillator durch einen koharenten Zu-stand beschreiben laßt. Die Mischung geschieht durch die Uberlagerung der Felder des Signals unddes Lokaloszillators mittels eines Strahlteilers. Als Signal wird hier das Licht bezeichnet, dessenZustand vermessen werden soll. Wird nun eine Intensitatsmessung des gemischten Lichts durch-gefuhrt, so ergeben sich Mischterme aus dem Produkt beider Feldamplituden, so daß sich aus demIntensitatssignal Informationen uber die komplexe Signalamplitude extrahieren lassen.

Die folgende Rechnung verwendet das Heisenbergbild. Die Zeitabhangigkeiten sind also in denOperatoren enthalten. Beide Felder seien monochromatisch und haben die gleiche Polarisation, sodaß nur jeweils eine Feldmode betrachtet werden muß. Der koharente Zustand des Lokaloszillatorswird durch den komplexen Amplitudenparameter

αLO = |αLO|ei(φ−π/2), aLO |αLO〉= αLO |αLO〉 (3.14)

beschrieben. Die Bezeichnung der Felder vor und nach dem Strahlteiler wird wie in Abb. 3.3gewahlt. Die Vernichter des Signals heißen aSig und die des Lokaloszillators aLO. Fur die Aus-gangsfelder lauten die Vernichter entsprechend b1 und b2. Die Feldoperatoren des einlaufendenLichts schreiben sich im allgemeinsten Fall unterschiedlicher Frequenzen

ELO(~r, t) = iaLOei(~k~r−ωLOt) + h.c. (3.15)

ESig(~r, t) = iaLOei(~k~r−ωSigt) + h.c.. (3.16)

Der Erzeugeranteil des Feldoperators E wird mit E(−) und der Vernichteranteil mit E(+) = (E(−))†

bezeichnet, so daß E = E(+) + E(−) = E(+) + h.c. gilt. Den auslaufenden Feldern entsprechenfur einen Strahlteiler mit der reellen Amplitudenreflektivitat r =

√R und -transmitivitat t =

√T =√

1− r2 die Feldoperatoren

E(+)1 = tE(+)

Sig + irE(+)LO (3.17)

E(+)2 = irE(+)

Sig + tE(+)LO . (3.18)

Dabei wurde zur Vereinfachung der Rechnung statt eines Phasensprungs von π zweimal π/2 ver-teilt, positiv fur Reflektion und negativ fur Transmission. Die Intensitat des Lichts wird durch denOperator

I = ε0cE(−)E(+) (3.19)

ausgedruckt. Im weiteren wird auch cε0 = 1 definiert.


r

E Sig

E LO

LASER

E

PD

I

Phasenschieber

ReferenzΩ

Ι OUT

Abbildung 3.2: Schema einer Heterodynmessung mit einem phasenstabilisierten Laser als Lokaloszillator

Bei den folgenden Messungen werden die Auswirkungen von Photodioden endlicher Ansprechzeitund Quanteneffizienzen η < 1 nicht berucksichtigt. Insbesondere eine geringe Quanteneffizienzbeeinflußt die Messung erheblich und fuhrt bei der Messung einer gequetschten Quadratur zu einerzu hohen gemessenen Varianz.

3.2.1 Heterodynmessung

Von einer Heterodynmessung wird gesprochen, wenn die Frequenzen von Signal und Lokaloszil-lator sich um eine Frequenz Ω unterscheiden. Sie mussen jedoch uber eine feste Phasenbeziehunganeinandergeknupft sein. Im Experiment wird dafur der Lokaloszillator durch eine geeignete Re-gelung auf die Frequenz Ω+ωSig stabilisiert. Die Differenzfrequenz Ω = ωLO−ωSig wird im all-gemeinen im Radiofrequenzbereich gewahlt. Hier soll der Fall einer Heterodynmessung mit nureinem Ausgang des Strahlteilers untersucht werden, wie sie in Abb. 3.2 dargestellt ist. Mit E = E1

gilt fur~r = 0 am Ort der Photodiode:

I = Ta†SigaSig + Ra†

LOaLO− rt(

ia†LOaSigeiΩt + h.c.

)(3.20)

Der Intensitatserwartungswert ergibt sich mit der Definition der Quadratur Xζ = ae−iζ+h.c. undmit Gl.(3.14) zu

〈I(t)〉 = T〈ISig〉+ R〈ILO〉− rt√〈ILO〉〈Xφ+Ωt〉 (3.21)

Die Meßgroße, also die Quadratur, entspricht einem mit der Frequenz Ω oszillierenden Anteil. Diesist leicht zu verstehen: Eine Messung der Quadratur Xφ+Ωt entspricht der Messung der Signalam-plitude in einem mit der Frequenz Ω rotierenden Koordinatensystem. Dies ist aquivalent zur Mes-sung der Quadratur Xφ in einem festen Koordinatensystem und rotierender Signalamplitude. Da

3.2 MESSUNG DER QUADRATUREN 37

die Quadraturmessung einer Projektion des Amplitudenvektors auf die Xφ-Achse entspricht, ergibtsich ein oszillierender Term. Dieser laßt sich durch eine elektronische Mischstufe mit der Radio-frequenz Ω und der Phasenbeziehung ζ weiter abmischen. Das Ausgangssignal ergibt sich aus demErwartungswert der gemischten Intensitat Iout = I1 cos(Ωt + ζ) zu

Iout(t) =−rt√〈ILO〉〈Xφ+ζ〉+

(T〈ISig〉+ R〈ILO〉

)cos(Ωt + ζ) (3.22)

Aus diesem Signal laßt sich nun durch Zeitmittelung die Quadratur extrahieren. Die Varianz derQuadratur ergibt sich aus der Varianz der Intensitat. Fur den quadratischen Erwartungswert ergibtsich nach Zeitmittelung der mit Ω oszillierenden Term:

〈I2out〉 =

12

R2〈a†LOaLO + aLOaLO + a†

LOaLO〉+ T2〈a†Siga†

SigaSigaSig + aSigaSig〉

+RT〈2a†LOaLOa†

Siga+Siga†

LOaLO + a†SigaSig〉

−RT4〈(a†

LO)2a2Sige−2iζ−h.c.〉

= 〈Iout〉2 +

R2

2nLO +

T2

2nSig + RTnLO

(〈X2

φ+ζ〉−〈Xφ+ζ〉2)

(3.23)

Fur die Varianz des Ausgangssignals gilt also

∆2Iout = R2∆2nLO + T2∆2nSig + RTnLO∆2Xφ+ζ (3.24)

Sie setzt sich aus einem Schrotrauschbeitrag entsprechend der Gesamtintensitat auf der Photodiodeund aus der mit der Intensitat des Lokaloszillators skalierten Varianz der Quadratur zusammen. Dasich die Schrotrauschbeitrage kalibrieren lassen, steht so ein Instrument zur Verfugung, um Qua-draturerwartungswert und -unscharfe zu messen. Insbesonders laßt sich die Phase der Quadraturdurch die Phase der Referenzfrequenz am Mischer wahlen.

Der besondere Vorteil des heterodynen Verfahrens ist, daß die Rauschbeitrage des Lokaloszilla-tors beim Mischen von der Frequenz Ω auf Frequenz Null gemischt werden. Daher muß der Laser,der als Lokaloszillator verwendet wird, nur bei Frequenzen um Ω schrotrauschbegrenzt sein. Diesist wesentlich leichter zu realisieren als ein fur niedrige Frequenzen schrotrauschbegrenzter Laser.Außerdem konnen Storungen im Versuchsaufbau nicht einkoppeln, da fast alle unerwunschten Ef-fekte nur bei niedrigen Frequenzen und nicht im Radiofrequenzmeßfenster stattfinden.

3.2.2 Homodynmessung

Oft ist es einfacher, Licht der gleichen Frequenz als Lokaloszillator zu verwenden. So kann dasExperiment mit nur einem Laser realisiert werden, dessen Licht zu einem Teil als Lokaloszilla-tor verwendet und zu einem anderen Teil einer Wechselwirkung unterworfen wird, deren Resultat


E Sig

E LO

E 1

E 2PD 1

PD 2

I 1

I 2

I OUT

r

Abbildung 3.3: Schema einer Homodynmessung unter Benutzung beider Ausgange des Strahlteilers (balanced homo-dyne detection)

in Form des Signallichts untersucht werden soll. Diese Messung ist prinzipiell auch mit nur ei-nem Ausgang des Strahlteilers moglich. Dabei ergibt eine Rechnung fur die Varianz einen Aus-druck, der der Gl.(3.24) aus der Heterodynmessung entspricht. Allerding geht hier die Varianz desReferenzlasers bei niedrigen Frequenzen ein, und auch alle niederfrequenten Storungen im Ver-suchsaufbau koppeln durch.

Ein Teil der Storungen kann jedoch eliminiert werden, indem auch der zweite Ausgang eines sym-metrischen Strahlteilers mit r = t = 1/

√2 benutzt wird und die Signale zweier idealer Photodioden

voneinander abgezogen werden. Der Versuchsaufbau ist in Abb. 3.3 schematisch dargestellt. DerAbstand der Photodioden vom Strahlteiler sei gleich.

Fur die Felder in den Ausgangen des Strahlteilers ergibt sich mit ω = ωLO = ωSig der Ausdruck

E1,2 = ia1,2e−iωt + h.c., (3.25)

wobei sich die Vernichter aus den Vernichtern von Lokaloszillator und Signal ergeben:

b1 =1√

2(aSig + iaLO), b1 =

1√

2(iaSig + aLO) (3.26)

Fur die Intensitaten gilt mit Gl.(3.19)

I1,2 = a†1,2a1,2 (3.27)

Das Ausgangssignal entspricht der Differenz der Intensitaten

Iout = I2− I1

3.3 ERZEUGUNG GEQUETSCHTER LICHTZUSTANDE DURCH EIN KERRMEDIUM 39

= b†2b2−b†

1b1 = i(a†LOaSig−a†

SigaLO)

→ I2out = −(a†

Sig)2a2LO− (a†

LO)2a2Sig + 2a†

LOaLOa†SigaSig + a†

LOaLO + a†SigaSig (3.28)

Die Erwartungswerte berechnen sich mit αLO = |αLO|ei(φ−π/2) aus Gl.(3.14) und der QuadraturXφ = aSige−iφ+h.c. zu

〈Iout〉 = |αLO| 〈Xφ〉 (3.29)

〈I2out〉 = |αLO|

2 〈X2φ〉

→ ∆2Iout = |αLO|2 ∆2X2

φ . (3.30)

Das Ausgangssignal ist also direkt proportional zur Quadratur Xφ, die durch die Phasendifferenzzwischen Lokaloszillator und Signal am Strahlteiler gewahlt wird. Insbesondere gilt auch

∣∣SXφ(ω)∣∣= |αLO| |SIout(ω)| . (3.31)

3.2.3 Homodyn kontra heterodyn

Der Vorteil der Homodynmessung mit zwei Ausgangen ist, daß das Ausgangssignal direkt die ge-wunschte Meßgroße ist. Der große Nachteil des Homodynverfahrens ist jedoch der Frequenzbe-reich, in dem die Messung stattfindet. Die Anforderungen an den als Lokaloszillator verwendetenLaser werden dadurch wesentlich hoher, und auch die Stabilitat des Aufbaus ist kritischer als beider Heterodynmessung. In vielen Fallen konnen aber diese Probleme auch bei der Homodynmes-sung umgangen werden, namlich immer dann, wenn es genugt, die hochfrequenten Bereiche derspektralen Dichte

∣∣SXφ(ω)∣∣ zu untersuchen, da das Spektrum z.B. uber weite Spektralbereiche kon-

stant ist. Dann kann die Messung wieder fur Frequenzen durchgefuhrt werden, bei denen der Laserschrotrauschbegrenzt ist und der Aufbau keine Storungen einkoppelt.

3.3 Erzeugung gequetschter Lichtzustande durch ein Kerrmedium

Der Kerreffekt ist ein nichtlinearer Effekt 3. Ordnung. Fur die induzierte Polarisation gilt in 3.Ordnung allgemein

P(3)i (ω1 + ω2 + ω3)/ε0 = χ(3)

i jkl(ω1,ω2,ω3)E j(ω1)Ek(ω2)El(ω3) (3.32)

Fur den speziellen Fall ω1 = ω2 =−ω3 = ω und einem isotropen Medium gilt

P(3)i (ω)/ε0 = AEi(ω)

∣∣∣~E(ω)∣∣∣2 +

12

BE∗i (−ω)E j(ω)E j(ω). (3.33)


Dies laßt sich als intensitatsabhangiger Brechungsindex fur rechts und linkszirkulares Licht schrei-ben. Ein solches Medium, dessen Brechungsindex von der Intensitat abhangt, wird Kerrmediumgenann. Wird zusatzlich B = 0 angenommen, dann ergibt sich eine orientierungsunabhangige Bre-chunsindexanderung

∆n =χ(ß)

cε0n0I (3.34)

Dabei ist n0 der Brechungsindex fur I = 0 bzw. χ(3) = 0. Durchlauft monochromatisches Licht derWellenlange ωL und Intensitat I ein Medium der Lange l, so sammelt es eine zusatzliche Phasen-verschiebung

∆φ = ∆nkll = χ(3) lkL

cε0n0I = χ(3) kLτc

cε0I (3.35)

Eine quantenmechanische Rechnung ergibt, daß koharentes Licht, wenn es ein Kerrmedium durch-lauft, in seiner Statistik verandert wird und unter bestimmten Bedingungen gequetschtes Licht zuerwarten ist. Dies soll im folgenden dargelegt werden. Der effektive Hamiltonoperator fur denBeitrag des Kerrmediums lautet [24]:

H =hχ2

(a†)2a2. (3.36)

Der Hamiltonoperator zeigt auch, daß es sich beim Kerreffekt um Dreiphotonenprozesse handelt.Zur Motivation dieses Hamiltonoperators kann die Betrachtung der Energie im klassischen Falldienen. Die Energiedichte des elektrischen Feldes in einem χ(3)-Medium lautet

u =12~E~D =

12

(ε0~E2 +~E~P) =

12

ε0(~E2 + χ(3)~E2~E2). (3.37)

Die elektrischen Felder im Zusatzterm konnen mit der Beziehung

I = cε0~E2 (3.38)

durch die Intensitat ausgedruckt werden. Die Intensitat laßt sich ihrerseits durch die Photonenzahln ausdrucken:

I =hωLc

Vn (3.39)

Bezogen auf das gesamte Wechselwirkungsvolumen V ergibt sich durch das Kerrmedium ein Ener-giebeitrag

W = uV =1

2c2ε0χ(3)I2 =

h2ω2L

2Vε0χ(3)n2 (3.40)


X2

X1

Abbildung 3.4: Drehung und Scherung der Unscharfeflache durch ein Kerrmedium

Nun gilt n2 = 〈: n2 :〉 = 〈a†a†aa〉, so daß der Hamiltonian aus Gl.(3.36) die klassisch abgeleiteteEnergie als Erwartungswert ergibt, wenn χ geeignet gewahlt wird:

χ =hω2

L

ε0Vχ(3) (3.41)

Aus dem Hamiltonoperator kann die Zeitentwicklung des Vernichters bestimmt werden:

dadt

=1ih

[a,H ] =−iχa†aa. (3.42)

Die Losung der Differentialgleichung ist

a(t) = e−iχa†aa(0). (3.43)

Dabei bleibt der Kommutator von Erzeuger und Vernichter konstant:

[a(t),a†(t)

]= 1 (3.44)

Fur einen koharenten Anfangszustand α (reell) gilt nach Durchlaufen des Kerrmediums mit derWechselwirkungszeit τ und der Bezeichnung θ = χτ [24]

〈a(θ)〉 = αe−α2(1−cosθ)−iα2 sinθ (3.45)


Der Mittelwert der Feldamplitude wird also fur kleine Wechselwirkungen θ um einen Winkel ∆φ =

α2θ gedreht und gleichzeitig gestaucht. Einsetzen der Gleichungen (3.41) und (3.38) zeigt, daßdiese Phasenverschiebung der klassischen Erwartung in Gl.(3.35) entspricht.

Die Quadratur Xζ, die um den Winkel ζ gegen X1 gedreht ist, kann in den Erzeugern und Vernich-tern dargestellt werden:

Xζ = 2Re(

ae−iζ)

= ae−iζ + a†eiζ = ae−iζ + h.c. (3.46)

Der Erwartungswert der Quadratur ist mit Gl.(3.45) und der Bezeichnung ψ = α2 sinθ + ζ

〈Xζ(θ)〉 = 〈a(θ)〉e−iζ + c.c. = 2αe−α2(1−cosθ) cos(ψ) (3.47)

Fur die Varianz der Quadratur gilt

∆2Xζ(θ) = 〈X2ζ (θ)〉−〈Xζ(θ)〉2. (3.48)

Einsetzen der Vernichter und Erzeuger ergibt

〈X2ζ (θ)〉 = 〈a(θ)a(θ)e−2iζ + a†(θ)a(θ)+ a(θ)a†(θ)+ a†(θ)a†(θ)e2iζ〉

=(〈a(θ)a(θ)〉e−2iζ + c.c.

)+ 2〈a†(θ)a(θ)〉+ 1 (3.49)

Der vorletzte Term ist die Photonenzahl. Die 1 entspricht dem Schrotrauschen des koharenten Zu-stands. Die interessante Information steckt im ersten Term. Unter Verwendung von

a(a†a) =([a,a†]+ a†a

)a = (a†a + 1)a

→ a(a†a)n = (a†a + 1)na

→ ae−iθa†a = a∞

∑n=0

(−iθa†a)n

n!=

(∞

∑n=0

(−iθ(a†a + 1)

)n

n!

)a

= e−iθe−iθa†aa (3.50)

und der Gl.(3.45) kann dieser Term berechnet werden:

〈a(θ)a(θ)〉 = e−2iζ〈e−iθa†aa(0)e−iθa†aa(0)〉

= α2e−2iζ−iθ〈e−i2θa†a〉 (3.51)

= α2e−2iζ−iθe−α2(1−cos2θ)−iα2 sin2θ (3.52)

Damit ergibt sich mit der Definition ψ′ = ζ + α2 sin2θ

〈X2ζ (θ)〉 = 2α2e−α2(1−cos2θ) cos2ψ′+ 2α2 + 1 (3.53)


Die Varianz ist durch

∆2Xζ = 〈X2ζ (θ)〉−〈Xζ(θ)〉2 (3.54)

definiert und ergibt sich damit fur θ 1 und α2θ 1 zu

∆Xζ ≈(

1−2θαe−α2θ22sin2ψ + 2α2(1− e−α2θ2

)) 1

2

≈ 1−θα2

2sin2ψ + α4θ2 (3.55)

mit ψ = ζ+α2θ. Fur kleine Wechselwirkungsfrequenzen θ 1 und θα2 1 ist also fur ψ = π/4eine Verminderung der Quadraturunscharfe um θα2 zu erreichen. Dies kann man mit Gl.(3.38) und(3.41) umschreiben zu:

∆Xmin = 1−ωL

cε0χ(3)τI (3.56)

In der gewahlten Naherung tritt diese minimale Unscharfe fur ζ≈ π/4 auf. Bei der Interpretationdieser Gleichung ist es aber wichtig, sich immer den Gultigkeitsbereich der Naherungen zu verge-genwartigen. Insbesondere die Naherung θn = ∆φ 1 muß im Einzelfall uberpruft werden. MitGl.(3.47), (3.53) und (3.54) konnen auch allgemeingultige Ausdrucke abgeleitet und ausgewertetwerden.

Es gibt auch eine anschauliche Moglichkeit, um die Wirkung des Kerrmediums auf die Unscharfeder Quadraturen einzusehen. Hierfur betrachtet man die Wirkung des Kerrmediums auf die einzel-nen Phasenraumzellen. Dazu laßt sich Gl. (3.43) als Abbildung der Phasenraumzellen auffassen.Parametrisiert man den Phasenraum durch eine komplexe Zahl β, so gilt die Transformation

β′(β) = βe−iχ|β|2 (3.57)

Mit dieser Gleichung kann die Wirkung auf die Fehlerflache im Phasenraum untersucht werden.Zum einen vermittelt Gl.(3.57) eine Drehung der Flache als ganzes um den Ursprung. Da nunder Drehwinkel fur eine Phasenzelle von ihrem Abstand vom Ursprung abhangt, wird die Flachegleichzeitig geschert. Diese Wirkung ist in Abb. 3.4 veranschaulicht. Auf analoge Weise kannauch die Wignerfunktion transformiert werden. Das Volumen der Phasenzellen bleibt unter derTransformation invariant. Daher sind Konturlinien vor der Transformation auch nach punktweiserTransformation wieder Konturlinien der transformierten Wignerfunktion. Die auf diesem Wegeabgeleiteten Ergebnisse sind aquivalent zu der oben beschriebenen Rechnung. In Abb. 3.5 ist dieEntwicklung der Wignerfunktion anhand ihrer Konturlinien dargestellt. Die Verformung der Feh-lerflache, die einer der Konturlinien entspricht, tritt hier deutlich zutage. Es ist zu erkennen, daßfur großere Werte von θα2 auch die Amplitude eine verminderte Unscharfe aufweist, wahrend inder Naherung θα2 1 diese Quadratur nahezu unbeeinflußt bleibt.


0 5 100

5

10

Abbildung 3.5: Wirkung eines Kerrmediums auf die Konturlinien der Wignerfunktion eines koharenten Zustands. Ge-gen den Uhrzeigersinn gelesen: θ = 0; θ = 0,05; θ = 0,1; θ = 0,15

Bei allen Betrachtungen wurde davon ausgegangen, das χ(3) eine Konstante ist. Die Polarisationfolgt also instantan dem Feld. Dadurch wird der poissonsche Charakter des Lichts nicht verandert,und die spektrale Dichte der Quadraturen ist weiß, also konstant uber den gesamten Frequenzbe-reich.

3.4 Klassische Beschreibung der Amplituden-Phasenkopplung

Der Spiegel zeige in seinem Ort ein Zeitverhalten x(t) mit 〈x〉= 0. Die reflektierte Welle wird vorder Reflektion am Ort x = 0 durch

Ein(t) = Ein(t)ei(ωt+φ(t)) (3.58)

beschrieben. Dabei ist E die Amplitude des Lichts, mit der sich die Intensitat I ∼ E2 ergibt, undφ(t) die Phase. Beide Großen seien reell und zeitabhangig. Nach der Reflektion gelte

Eout(t) = Eout(t)ei(ωt+φ(t)+∆φ(t)). (3.59)

3.4 KLASSISCHE BESCHREIBUNG DER AMPLITUDEN-PHASENKOPPLUNG 45

Die durch den Spiegel verursachte Phasendifferenz ist

∆φ(t) = 2kLx(t) = 2ωL

cx(t) (3.60)

Mit den durch das Licht selber verursachten Ortsauslenkungen gilt dann mit Gl. (2.28) und Gl.(1.8)

∆φ(t) =2kL

c

∞∫−∞

dt′G(t− t′)I(t′)

∆φ(ω) =2kL

cG(ω)I(ω) (3.61)

Fur die Verwandlung von Amplitudenrauschen in Phasenrauschen gilt mit Gl.(2.34)

∣∣S∆φ(ω)∣∣ = kL |Sxrad(ω)|=

2kL

c|G(ω)| |SI(ω)| (3.62)

Die Intensitat des Lichts wird auch in einem klassischen Bild beeinflußt, wie die Rechnung in [10]zeigt, die hier kurz vorgestellt werden soll. Die Rechnung basiert auf relativistischen Effekten:Dazu muß bei der Betrachtung der Reflexion die Intensitat, die einem Photonenstrom bestimmterDichte entspricht, zunachst in das Spiegelsystem, daß sich mit einer Geschwindigkeit v = x gegendas Laborsystem bewegt, transformiert werden. Dort wird instantan der Impuls umgedreht. Eineanschließende Rucktransformation in das Laborsystem ergibt

Iout(t +xc

) =1− v/c1 + v/c

Iin(t−xc

). (3.63)

Anschaulich wird ein Volumenelement aus dem Photonenstrom gedehnt oder gestaucht und da-durch die Photonendichte erniedrigt oder erhoht. Aus dieser Argumentation ergibt sich außerdem,daß der Spiegel eine geschwindigkeitsabhangige Kraft erfahrt. Dadurch ergibt sich eine zusatzli-che intensitatsabhangige Dampfungskraft Fdamp =−γradv mit γrad = 4hωLI/(mc2) , die in der Ant-wortfunktion berucksichtigt werden muß. Die Dampfungskonstante des Spiegels ergibt sich durchAddition γ = γrad + γM, wobei γM die Dampfungskonstante des Spiegels ohne außere Krafte ist.

Wird die Lichtquelle als schrotrauschbegrenzt angenommen, und ist außerdem der Strahlungsdruckdie einzige den Spiegel antreibende Kraft, so ergibt sich [10]

|SIout(ω)|2 =(

1− γrad(2γ− γrad)m2ω20 |ImG(ω)|2

)|SIout(ω)|2 (3.64)

Die Intensitatsfluktuationen werden also verringert, die Amplitude ist gequetscht! Allerdings istdieser Mechanismus sehr ineffizient. Fur die Masse wird sicher m>1mg und fur die Gute Q< 108


gelten. Bei einer Intensitat I =10kW bei 1µm Wellenlange ergibt sich γrad ≈ 10−31/m< 10−22 undγM = mω2

0/Q > ω20 ·10−17 γrad und damit in SI-Einheiten:

γrad(2γ− γrad)m2ω20 ≈ 2≈ γradγm2ω2

0 ≈ 10−31 mω20

Q. (3.65)

Auf der Resonanz ergibt sich damit

|SIout(ω)| ≈ (1−10−31) |SIin(ω)| . (3.66)

Da dieser beste erreichbare Wert jenseits allem zur Zeit Meßbaren liegt, ist dieser klassische Me-chanismus der Amplitudenquetschung fur das Experiment nicht von Interesse. Brauchbare Wertefur die Rauschreduktion sind erst zu erreichen, wenn die Strahlungsdampfung die Damfpung domi-niert, wie es bei den Parametern in [10] der Fall war. Dies ließe sich durch Spiegelmassen m< 1µgerreichen, die dann noch bei einer Resonanzfrequenz von einigen Hertz Guten in der Großenord-nung 107 aufweisen mußten.

3.5 Der Spiegel als Kerrmedium

Die Wirkung des Spiegels ahnelt der eines Kerrmediums. Durch die intensitatsabhangige Auslen-kung des Spiegels wird wie beim Kerrmedium eine intensitatsabhangige Phasenverschiebung ver-ursacht. Es gilt Gl.(3.4)

∆φ(ω) =2kL

cG(ω)I(ω).

Ein Vergleich mit Gl.(3.35) ergibt

χ(3)(ω)τ =2ε0

cG(ω). (3.67)

Der Spiegel wirkt also wie ein Kerrmedium mit einer frequenzabhangigen komplexen Polarisier-barkeit. Daher wird er auch, ahnlich wie das ideale Kerrmedium, den Charakter des Lichts beein-flussen.

Allerdings ist die Wirkung auf einen Lichtzustand durch die Frequenzabhangigkeit der Polarisier-barkeit nicht mehr so einfach wie im vorherigen Abschnitt zu losen. Die Antwort des Kerrmediumsist nicht mehr instantan. Stattdessen bekommt das Medium ein Gedachtnis. Dadurch wird auchdie spektrale Dichte der Quadraturen nicht mehr weiß sein, sondern eine mit der AntwortfunktionG(ω) zusammenhangendes Frequenzverhalten zeigen. Damit ist auch die Zahlstatistik bei einergeeigneten Quadraturmessung nicht mehr poissonartig.

3.6 THERMISCHES RAUSCHEN ALS GRENZE DER ZUSTANDSMESSUNG 47

Auf langen Zeitskalen, die Frequenzen ω< ω0 entsprechen, antwortet der Spiegel in guter Nahe-rung

”instantan“ mit der Antwortfunktion G(ω)≈ 1

mω20. In diesem Frequenzbereich kann daher als

Abschatzung das Ergebnis des vorherigen Abschnitts benutzt werden. Unter der Vorraussetzung

∆φ =2kL

cmω20

I 1 (3.68)

ergibt sich mit (3.56) und (3.67) die minimale Unscharfe fur Xζ mit ζ = π/4 zu

|SXmin(ω)|= 1−2kL

c1

mω20

I = 1−∆φ fur ω< ω0. (3.69)

Fur eine Wellenlange von λ = 1064nm ergibt sich die Zahlenwertgleichung

∆φ = 0,04 ·100mg

m100Hz2

ω20

I100mW

. (3.70)

Mit 100mW im Frequenzbereich von einigen Hertz schrotrauschbegrenzter Laserleistung ließe sichalso an einem Spiegel mit 100mg Masse und 15Hz Resonanzfrequenz bei Frequenzen f < 15Hzeine um 4% verminderte Unscharfe in einer Quadratur erreichen.

Starkere Wechselwirkung und damit bessere Werte fur die Unscharfe lassen sich nicht in dieseneinfachen Naherungen beschreiben. Fur deren Beschreibung muß ein effektiver Hamiltonian un-ter Berucksichtigung der Frequenzabhangigkeit aufgestellt werden, um die Zeitentwicklung derErzeuger und Vernichter zu finden. Aus dieser Zeitentwicklung kann dann wieder die Transfor-mation der Wignerfunktion abgelesen werden, wobei die Transformation zeitabhangig wird. Al-ternativ kann aus den fouriertransformierten Erzeugern und Vernichtern die spektrale Dichte derQuadraturen bestimmt werden.

Eine vollstandig quantisierte Beschreibung eines Systems bestehend aus Licht und einem Fabry-Perot-Resonator mit einem beweglichen Endspiegel ist in [6, 19] nachzulesen. In [17] wird auchein etwas allgemeinerer Hamiltonian abgeleitet. Diese Behandlungen machen jedoch alle von einerQuantisierung der Resonatormoden Gebrauch und sind daher nicht auf die Wechselwirkung beieinfacher Reflektion anwendbar.

3.6 Thermisches Rauschen als Grenze der Zustandsmessung

Zur Messung eines gequetschten Lichtzustands muß die Unscharfe, oder besser die spektrale Dich-te der Quadratur, in der eine Veranderung zu erwarten ist, gemessen werden. Damit die Anderungsichtbar wird, durfen alle anderen Quellen von Rauschen wie z.B. thermische Effekte maximaleinen etwa gleich großen Effekt verursachen. In diesem Abschnitt soll untersucht werden, wie derEinfluß thermischer Effekte ist.


Der Effekt von thermischen Fluktuationen ist die Vortauschung von Phasenrauschen. Das verur-sachte Phasenrauschen hat fur geschwindigkeitsproportionale Dampfung mit Gl.(2.48) die Große

∣∣Sφ(ω)∣∣ = kL |Sx(ω)|= kL

(2mkBT

ω0

Q

) 12

|G(ω)| . (3.71)

Die Quadraturunscharfe wird durch eine Homodynmessung bestimmt. Bei jeweils gleicher Inten-sitat I von Signal und Lokaloszillator und einer Phasedifferenz φ zwischen beiden Amplituden er-gibt sich fur koharentes Licht ein phasenunabhangiges Schrotrauschen von

|SIOUT(ω)|2 =√

2hωLI. (3.72)

Fur die Differenzintensitat gilt

IOUT = 2I cos φ (3.73)

Fluktuiert nun die Phasenbeziehung zwischen Lokaloszillator und Signal, so ergibt dies mit

cosφ = cos(φ + δφ(t)) = δφ(t))sin φ + cosφ (3.74)

fur das Differenzsignal eine zusatzliche spektrale Dichte:

|SIOUT(ω)|2 (φ) = 2I2∣∣Sφ(ω)

∣∣2 sin2 φ (3.75)

Das Rauschen kann kann nun in Einheiten des Schrotrauschens ausgedruckt werden, was einer Um-skalierung in Einheiten der Quadraturamplituden bedeutet. Das durch Phasenfluktuationen vor-getaschte Quadraturrauschen ist dann:

|SX(ω)|2φ−Fluktuationen = I

√2∣∣Sφ(ω)

∣∣2 sin2 φhωL

|SX(ω)|2schrot (3.76)

Dieser Faktor, der sich so ergibt, soll nun kleiner als der Faktor der Quetschung sein, damit einEffekt nachweisbar ist. Dabei sind die Quadrate der spektralen Dichte zu vergleichen.

Mit diesem Handwerkszeug kann der Effekt der thermischen Fluktuationen mit der im vorheri-gen Abschnitt abgeleiteten Reduktion der Unscharfe fur φ = π/4 und

”kleine“ Wechselwirkungen

θ 1 verglichen werden. Dort ergab sich fur ω ω0 eine reduzierte spektrale Dichte

|SX(ω)|2 ≈

(1−

4kL

cmω20

)|SX(ω)|2schrot (3.77)

3.6 THERMISCHES RAUSCHEN ALS GRENZE DER ZUSTANDSMESSUNG 49

Sichtbare Reduzierung der Unscharfe ergibt sich in der Naherung ω ω0 bei Berucksichtigungthermischer Flunktuationen damit fur:

I√

22kBT

mω30Q

k2L

2hωL<

4kL

cmω20

I

→

√2kBTmω0Qh

< 1 (3.78)

Skaliert auf Zimmertemperatur und sinnvolle Parameter ergibt sich die Gleichung

555 ·108

QT

300K1kHz

ω0< 1 (3.79)

Diese Bedingung ist durch niedrige Temperaturen und hohe Resonanzfrequenzen zu erfullen. Dadie Effizienz der Unscharfereduktion wiederum mit 1/ω2

0 skaliert, muß dann jedoch die Intensitatentsprechend erhoht werden.

Die Sichtbarkeitsbedingung kann auch als eine Bedingung fur die Ortsauflosung in einem interfe-rometrischen Aufbau umformuliert werden. Die Bedingung der Sichtbarkeit ist dann

I|Sx(ω)|2 k2

L√2hωL

<4IkL

cmω20

→ |Sx(ω)|2 <4√

2h

mω20

(3.80)

In Zahlenwerten ergibt dies

|Sx(ω)|< 2 ·10−16(

10mgm

) 12 100Hz

ω0. (3.81)

Diese Grenzen werden fur hohe Intesitaten und extrem kleine Spiegel gunstiger sein. Dort brechenjedoch die Naherungen des vorherigen Abschnittes zusammen, so daß im Rahmen dieses einfachenModells keine Aussage getroffen werden kann. Insbesondere sagen Rechnungen fur den Kerref-fekt auch fur starkere Wechselwirkung Amplitudenquetschung voraus. Bei der Messung des Am-plitudenrauschens tragt aber Phasenrauschens in erster Ordnung nicht bei. Amplitudenquetschungsollte daher sichtbar sein.

Eine Moglichkeit, so hohe Intesitaten zu erreichen, ist die Uberhohung in einem Resonator Vor-aussagen zur Sichtbarkeit in einem solchen System sind in [6] zu finden.

Kapitel 4

Meßapparat

4.1 Michelson-Interferometer zur Differenzlangenmessung

Die praziseste Moglichkeit zur Messung einer Langendifferenz ist eine interferometrische Mes-sung. Zwei Wege werden miteinander verglichen, indem Licht einer Lichtquelle aufgeteilt wird,jeder Teil einen der Wege durchlauft, und anschließend das Licht wieder vereinigt und zur Interfe-renz gebracht wird.

Die moglichen Instrumente fur diese Messung sind das Michelson- und das Mach-Zehnder-Interfe-rometer, beides Zweistrahlinterferometer, in denen das eingestrahlte Licht auf zwei unterschiedli-che Wege gebracht und anschließend wieder uberlagert wird. Der Spiegel, dessen Auslenkung ausseiner Ruheposition gemessen werden soll, wird nun einfach als Endspiegel des Michelson oderals Umlenkspiegel in einem Mach-Zehnder-Interferometer verwendet.

Das Experiment wurde mit einem Michelson-Interferometer realisiert. Dieses laßt sich sehr einfachmit großen Armlangenunterschieden realisieren, wahrend dies beim Mach-Zehnder einer aufwen-digeren Strahlfaltung bedarf. Der Armlangenunterschied ermoglicht es, wie spater gezeigt wird,den Arbeitspunkt des Interferometers durch die Laserfrequenz zu wahlen. Die Laserfrequenz laßtsich bei dem verwendeten Lasersystem sehr einfach stellen. So wird keine mechanische Langen-anderung der Interferometerarme durch eine Piezokeramik benotigt, was den Aufbau des Interfe-rometers im Vakuum erleichtert.

Eine Forderung an das Michelson ist, daß beide Ausgange benutzt werden konnen, da der prinzi-pielle Aufbau auch fur Quadraturmessungen geeignet sein soll und so außerdem auf Modulations-schemen verzichtet werden kann. Prinzipiell stehen zwei Moglichkeiten zur Verfugung: Die eineist, den Strahlengang ein wenig zu verkippen, so daß der in Richtung Laser zurucklaufende Strahlabsepariert werden kann. Dies fuhrt jedoch bei unterschiedlich langen Armen zu einer Verminde-rung des Interferenzkontrasts. Die andere Moglichkeit ist, den in Richtung Laser zurucklaufendenStrahl zu separieren, was durch einen Faradayisolator moglich ist, der fur das einlaufende Licht ausdem Laser auf Transmission justiert ist. Dieser Aufbau ist in Abbildung 4.1 dargestellt.

52 4. MESSAPPARAT

E 1

I1E

E I2

FaradayIsolatorω L

E 2

Weg 1

S 1

PD 2

Regler

∆ I Signal

x

∆ s

S 2

ST

Weg2

PD 1

Abbildung 4.1: Michelson-Interferometer mit zwei Ausgangen

Im folgenden soll die Antwort des Interferometers auf Langendifferenzen dargestellt werden. Daseinlaufende Licht hat die Frequenz ωL = 2π fL. Die Reflektion und Transmission der Amplitudenam Strahlteiler seien r und t. Außerdem seien die Verluste in den Armen durch γ1 und γ2 gegeben.Das einlaufende Licht laßt sich als monochromatische ebene Welle beschreiben:

Ein = E0ei(kLz−ωLt) (4.1)

Dabei ist kL = ωL/c die Wellenzahl des Lichts. Die Intensitat des Lichtes ist

Iin = ε0c |E0|2 (4.2)

Der Ort des ersten Strahlteilers wird als z = 0 angenommen. Die Bezeichnungen werden wie inAbbildung 4.1 verwendet. Fur die Felder des in die Arme hineinlaufenden Lichtes gilt direkt nachdem Strahlteiler

EI1(→) = tE0e−iωLt

EI2(→) = −rE0e−iωLt (4.3)

Dabei wurde angenommen, daß die Reflektion im Strahlteiler an der Eintrittsflache stattfindet, sodaß bei dieser Reflektion ein Phasensprung von π stattfindet, da dies eine Reflektion am optisch

4.1 MICHELSON-INTERFEROMETER ZUR DIFFERENZLANGENMESSUNG 53

dichteren Medium ist. Der Pfeil→ soll das in die Arme laufende Licht verdeutlichen. In den Ar-men durchlauft das Licht jeweils zweimal die Armlange und erfahrt gewisse Intensitatsverluste γi.Zuruck am Strahlteiler, aber noch vor der Reflektion, gilt

EI1(←) =√γ1tE0ei(2kLl1−ωLt)

EI2(←) = −√γ2rE0ei(2kLl2−ωLt).

(4.4)

Bei der zweiten Reflektion am Strahlteiler ST erfahrt nur das Licht, daß den Weg 2 durchlaufenhat, bei der Reflektion eine Phasenverschiebung, und es gilt:

E1 = tEI1(←)− rEI2(←)

E2 = rEI1(←)+ tEI2(←)(4.5)

Der Messung zuganglich sind nur die Intensitaten. Mit den Intensitatsreflektionen R = r2 und -transmissionen T = t2 und der Langendifferenz ∆l = l2− l1 gilt fur die Intensitaten

I1 = ε0c |E1|2 = Iin

(T2γ1 + R2γ2 + RT

√γ1γ2 cos(2kL∆l))

I2 = ε0c |E1|2 = Iin

(TRγ1 + RTγ2−RT

√γ1γ2 cos(2kL∆l)) (4.6)

Der Kontrast eines Interferometers wird durch das Verhaltnis von minimaler zu maximaler Hellig-keit definiert:

k =Imax− Imin

Imax + Imin(4.7)

Fur die Ausgange des Michelson-Interferometers ergibt dies

k1 =√γ1γ2RT/(T2γ1 + R2γ2)

k2 =√γ1γ2/(γ1 + γ2)

(4.8)

Der Kontrast im Ausgang 2 ist also unabhangig von der Reflektivitat des Strahlteilers, da da fur bei-de moglichen Lichtwege jeweils eine Reflektion und eine Transmission notig ist. Mit der zusatz-lichen Definition Ii = (Ii,max + Ii,min)/2 laßt sich die Intensitat an den Ausgangen durch

Ii = Ii (1± ki cos(kL∆l)) (4.9)

ausdrucken. Fur den Vergleich beider Ausgange ist I1 = I2 und k1 = k2 wunschenswert. Diese For-derungen sind in dem hier vorgestellten Modell aquivalent und werden durch R = T = 1/2 erfullt.Dies entspricht auch der Forderung, die im vorherigen Kapitel bei der Beschreibung der Homodyn-detektion abgeleitet wurde. Fur die Intensitatsdifferenz ergibt sich mit ∆l = ∆s + x der Ausdruck

∆I = ∆I0 cos 2kL(∆s + x) = ∆I0 cos(∆φ0 + 2kLx) (4.10)

54 4. MESSAPPARAT

Dabei ist ∆φ0 der Arbeitspunkt des Interferometers, der die Antwort des Interferometers auf dieLangenanderung x bestimmt. Der ideale Arbeitspunkt fur die Messung von x ist

∆φ0 = kL∆s = (n +12

)π. (4.11)

Fur kleine Auslenkungen x gilt damit

∆I = ∆I0 cos(∆φ0 + 2kLx) = ∆I0 sin(2kLx)≈ 2∆I0kLx. (4.12)

Die Wahl des Arbeitspunktes, also der Phase ∆φ0 geschieht durch die Laserfrequenz.

4.2 Rauschen

Da die Signale sehr klein sind, ist eine Analyse und Reduktion der Rauschquellen wichtig, um einakzeptables Signal-Rauschverhaltnis (SNR) zu erreichen.

4.2.1 Rauschquellen

Die Quellen fur echte oder scheinbare Ortsfluktuationen sind von großer Vielfalt. Sie konnen zu-nachst in solche unterteilt werden, die ihre Ursache im zu untersuchenden System haben, und sol-che, die durch den gewahlten Meßaufbau verursacht werden. In die erste Gruppe sollen die imKapitel 2 untersuchten Fluktuationen gezahlt werden, also Strahlungsdruckrauschen durch Schrot-rauschen oder technisches Laserrauschen, thermische Fluktuationen und auch Fluktuationen durchRestgasatome. All diese Effekte wirken in direkter, vorhersehbarer und in ihren Parametern beein-flußbarer Weise auf den Spiegel. Diese Effekte stellen bei der Untersuchung des Spiegels zunachstauch ein

”Signal“ dar.

Zu der zweiten Gruppe von Fluktuationen sollen all jene Effekte gezahlt werden, die von außeneingekoppelt werden und nicht Teil des zu untersuchenden Systems sind. Dies waren zunachst di-rekte seismische und akustische Einkopplungen in das Interferometer. Das Spektrum der Seismik,wobei unter diesen Begriff jegliche uber den Boden eingekoppelte Bewegung gefaßt werden soll,steigt insbesondere zu niedrigen Frequenzen unterhalb von einigen Hertz stark an. Allerdings istdie Seismik in dem auf einem schwingungsisolierten Tisch aufgebauten Experiment bei den Meß-frequenzen f > 10Hz kein begrenzender Faktor.

Sehr starke Kopplung gerade im Frequenzbereich von 10Hz bis 10kHz, in dem die Messungendurchgefuhrt werden, ergibt sich jedoch fur die Akustik. Diese greift insbesondere an Schwin-gungsmoden der Spiegelhalter und anderer Komponenten an, regt aber auch die Tischplattenreso-nanzen an, wie Tests mit einem Lautsprecher ergaben (Abbildung 4.2). Als besondere Gerausch-quelle erweist sich dabei die im Labor installierte Vorvakuumpumpe, die außerdem trotz Isolierungdurch Wellschlauche direkt Schwingungen in das Vakuumgefaß und den Tisch einkoppelt.

4.2 RAUSCHEN 55

0 200 400 600 800 1000f [Hz]

10-4

10-3

10-2

10-1

100

101

x [n

m]

Lautsprecher auf TischLautsprecher im Raum

Abbildung 4.2: Antwort eines Interferometers im Tischaufbau auf akustische Einkopplung von”Zimmerlautstarke“

f

Akustik

schwingungsisolierter Tisch

Interferometer

f

Seismik

Tisch RTV

1/f

100 Hz

Vakuumtopf

RTV-Puffer

Transferfunktion der Schwingungen

Abbildung 4.3: Isolation des Interferometers gegen seismische und akustische Storungen

Eine weitere potentielle Rauschquelle ist elektronisches Rauschen in der Photodiode, der Nach-weiselektronik oder der Regelung, die das Interferometer auf seinem Arbeispunkt stabilisiert.

Zur Beschreibung des Langenrauschens wird die spektrale Dichte verwendet, die im Abschnitt 2.2eingefuhrt wurde.

4.2.2 Verminderung des Rauschuntergrunds – Entwicklungsstadien des Aufbaus

Zunachst wurden alle elektronischen Rauschquellen soweit reduziert, daß ihre Effekte die Messungnicht beeinflussen. Das Eigenrauschen der Photodiode liegt unterhalb des Schrotrauschens, das dasLicht auf der Photodiode verursachen wurde, wenn es schrotrauschbegrenzt ware. Die Nachwei-selektronik hat ein Eingangsrauschen von der gleichen Große. Um Einkopplung von Rauschendurch die Regelung und die Stellelemente zu verhindern, wird die Regelung auf niedrige Frequen-zen ( f < 150 Hz) begrenzt und die hochfrequenten Rauschbeitrage durch einen Tiefpaß 2. Ordnung

56 4. MESSAPPARAT

gedampft. Die Summe aller verbleibenden elektronischen Rauschbeitrage liegt deutlich unter demverbliebenen Rauschuntergrund durch andere Ursachen.

Das Interferometer muß moglichst gut von der Seismik entkoppelt werden und in sich moglichststarr sein. Der erste Schritt war daher, ein Interferometer mit sehr kurzen Wegen auf einem schwin-gungsisolierten optischen Tisch zu realisieren. Zur zusatzlichen Verminderung der Schwingungender Spiegel gegeneinander wurden die Komponenten moglichst direkt auf dem Tisch befestigt,und auf Pfosten, die langere Hebelarme bedeuten, wurde verzichtet. Die mit diesem Aufbau er-reichte Ortsempfindlichkeit ist in Abbildung 4.4 durch 1 bezeichnet. Dieser Aufbau enthalt auchnoch nicht den Testspiegel, der durch akustische Einkopplung auf seiner Resonanzfrequenz einenRauschpegel ergibt. Mit dieser Auflosung und vor allem der starken akustischen Einkopplung aufder Spiegelresonanz ist eine Messung der Spiegelantwort auf Strahlungsdruck nicht zu realisieren.

Im zweiten Schritt wurde das Interferometer in ein Vakuumgefaß eingebaut, so daß direkte akusti-sche Einkopplung in die Komponenten vermieden wird. Dieser Schritt war außerdem notig, umdie viskose Dampfung durch Luft zu reduzieren. Das Vakuumgefaß steht zur seismischen Isolati-on auf einem schwingungsisolierten Tisch. Um die Einkopplung von Seismik und auch indirekteEinkopplung von Akustik uber die Wande des Vakuumgefaßes zu minimieren, ist das Interferome-ter auf einer 15mm-Aluminiumplatte montiert, die auf drei Gummifußen aus RTV gelagert wird.Die Gummifuße bilden zusammen mit der Platte einen uberdampften Oszillator. Uberdampft heißt,daß die Dampfung starker als im aperiodischen Grenzfall ist. Ein solches System zeigt in seinerTransferfunktion bei Frequenzen f deutlich uber der Resonanzfrequenz der Schwingungsisolationeinen Abfall proportional 1/ f . Dadurch wird insbesondere die Einkopplung akustischer Frequen-zen reduziert. Das Schema dieses Aufbaus und der sich ergebenden Isolation ist in Abbildung 4.3dargestellt. Die Empfindlichkeit dieses Aufbaus mit eingbautem Probespiegel, dessen Resonanzbei 1450Hz sich im Rauschen deutlich durchpragt, wird in Abb. 4.4 durch 2 bezeichnet.

Der dritte Schritt zur Reduktion des Rauschens ist das Abschalten der Vakuumpumpen und samtli-cher weiterer Gerauschquellen. Das Vakuumgefaß halt ohne Pumpe einen Druck von weniger als10−3 mbar uber eine Stunde und einen Druck von 10−2 mbar uber mehrere Stunden. Ein solchesVakuum, bei dem die mittlere freie Weglange der Restgasmolekule noch in der Großenordnung derGefaßdimension ist, genugt zur akustischen Isolation. Der so erreichbare Rauschuntergrund ist inAbb. 4.4 durch 2 gekennzeichnet. Die verbliebene Empfindlichkeit des Aufbaus gegen akustischeStorungen ist gut daran zu erkennen, daß z.B. schon der Lufter eines in der Nahe des Aufbaus ste-henden Gerates durch seine Gerauschentwicklung das Rauschen nahezu verdoppelt.

Weitere Informationen uber Schwingungsisolationssysteme sind in [23] zu finden.

Das restliche Ortsrauschen von 10−5nm/√

Hz bei Frequenzen ab 2 kHz wird durch eine nicht per-fekte Gleichtaktunterdruckung bei der Differenz der Intensitaten aus beiden Ausgangen verursacht.Die Gleichtaktunterdruckung ist ein Maß dafur, wie empfindlich das Interferometer auf Amplitu-denschwankungen des Lichts reagiert. Verandert sich die Intensitat des in das Interferometer ein-gestrahlten Lichts, so sollte dies zu einer gleich hohen Intensitatserhohung in beiden Ausgangenfuhren. Bei der Differenzbildung sollten sich im idealen Falle diese Intensitatserhohungen gegen-seitig eliminieren. In der Praxis bleibt jedoch ein kleiner Beitrag uber, so daß eine Intensitasande-rung ein Differenzsignal verursacht und damit eine Phasenanderung vortauscht. Dadurch erzeugt

4.3 MESSVERFAHREN 57

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0f [kHz]

10-6

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

|Sx|

[nm

/√H

z]123

Abbildung 4.4: Spektrale Dichte des Ortsrauschen in verschiedenen Entwicklungsstadien des Interferometers

technisches Rauschen der Laserintensitat am Ausgang des Interferometers ein erhohtes Phasenrau-schen.

4.3 Meßverfahren

4.3.1 Schmalbandige automatisierte Messung der Spiegelantwort

Um ein moglichst hohes Signal-Rauschverhaltnis zu erreichen, soll der Spiegel monochromatischmit einer Frequenz f = ω/2π angeregt und die resultierende Ortsauslenkung des Spiegels schmal-bandig bei dieser Frequenz mit einem Lock-In-Verstarker detektiert werden. Fuhrt man diese Mes-sung fur viele Frequenzen durch, erhalt man die Antwortfunktion des Spiegels. Das Schema einerautomatisierten Messung der Spiegelantwort ist in Abb. 4.5 dargestellt. Oszillator und Lock-In-Verstarker sind dabei in der Praxis in einem Gerat vereinigt. Dieses kann vom Computer mit Hilfeeiner GPIB-Schnittstelle gesteuert und ausgelesen werden. Der Rechner stellt jeweils die Frequenzund liest anschließend nach einer von der Integrationskonstante des Lock-In-Verstarker abhangi-gen Zeit die Antwort des Systems aus. Der Vorgang wird durch ein Programm mit wahlbarem Fre-

58 4. MESSAPPARAT

Laser AOM

U = K xout

Dump0.

Interferometer

x

1.Ordnung

Lock-In

x φf

Computer

I 0

Abbildung 4.5: Aufbau zur Messung der Antwortfunktion G(ω) des Spiegels an einem Frequenzpunkt f = ω/2π

quenzbereich, Meßpunktezahl, linearem oder logarithmischem Stutzstellengitter, Integrationskon-stante, Anregungsstarke und Dynamikbereich automatisiert.

Das Interferometer, mit dem die Ortsauslenkung gemessen wird, sei zunachst einmal ein nicht wei-ter differenziertes Meßgerat, das als Ausgangssignal eine Spannung Uout gibt, die den Ort des Spie-gels angibt:

Uout(t) = Kx(t) (4.13)

Die Anregung des Spiegels soll mit moduliertem Licht der Intensitat

I(t) = IS(1 + cosωt), (4.14)

also maximal moglicher Modulation, geschehen. Der Index S steht dabei fur den Spitzenwert derSchwingung und hangt mit ISS, dem Spitze-Spitze Wert, durch IS = ISS/2 zusammen. Entsprechen-des gilt auch fur die Großen U und x. Dies wird durch einen AOM realisiert, dessen Strahl 1.Ord-nung mit der Frequenz f moduliert wird. Die Reaktion des Spiegels ist fur diese kleinen Auslen-kungen linear, so daß seine Bewegung monochromatisch bei der gleichen Frequenz stattfindet:

x(t) = xS cos(ωt + φ) (4.15)

Dabei wurde der Nullpunkt der Ortskoordinate x des Spiegels derart gewahlt, daß 〈x〉= 0 gilt.

4.3 MESSVERFAHREN 59

Die Ausgangsspannung des Interferometers Uout(t) wird mit Hilfe eines Lock-In-Verstarkers ana-lysiert. Dieser mischt das Signal mit der Modulationsfrequenz und filtert das Signal anschließendmit einem Tiefpaß, dessen Breite durch die Zeitkonstante des Lock-In-Verstarkers bestimmt ist.Fur das monochromatische Signal

Uout(t) = US cos(ωt + φ) (4.16)

ergibt eine Mischung mit cosωt bzw. sinωt die Signale

X = US cosφY = US sinφ

(4.17)

Nun ist das Signal aus dem Michelson-Interferometer verrauscht und weist eine spektrale Dich-te |SUout( f )| auf. Der Effekt, den dieses Rauschen auf den Ausgangswert des Interferometers hat,hangt von der Filterbandbreite des Lock-In-Verstarkers ab. Um diese zu beschreiben, wird dieaquivalente Rauschbandbreite (ENBW) ∆ fENBW eingefuhrt. Sie laßt sich durch die Wirkung beiweißem Rauschen definieren:

|SU( f )|= |SU |= konst. → ∆2X = ∆2Y = ∆ fENBW |SU | (4.18)

Sie ist, anschaulich gesprochen, die Breite eines aquivalenten Rechteck-Filters. Der Fehler bei derQuadraturmessung ist damit fur Rauschbandbreiten, innerhalb derer die spektrale Dichte |SUout( f )|nicht wesentlich fluktuiert, durch

∆X = ∆Y =√

∆ fENBW |SUout( f )| (4.19)

gegeben. Amplitude und Phase des Signals ergeben sich durch

US =√

X2 +Y2

φ = arg(X + iY)(4.20)

Die Fehler in US und φ sind Funktionen von X und Y bzw. φ und US. Der großte absolute Fehlerergibt sich, wenn X und Y die gleiche Große haben. Zur Veranschaulichung stelle man sich einrechtwinkliges Dreieck vor, dessen zueinander senkrechter Seiten in der Lange variieren. Der Ef-fekt auf die Hypothenuse ist gerade fur gleiche Seitenlangen am großten. Damit ergibt sich dieAbschatzung

∆US ≤√

2∆X∆φ ≤

√2∆X/US

(4.21)

60 4. MESSAPPARAT

Die Ortsauslenkung und spektrale Dichte der Ortsfluktuationen ergeben sich mit dem gleichen Ska-lenfaktor

xS = US/K|Sx( f )| = |SUout( f )|/K

(4.22)

Damit ergibt sich der Fehler fur die Amplituden- und Phasenmessung:

∆xS ≤√

2∆ fENBW |Sx( f )|∆φ ≈ ∆xS/xS

(4.23)

Das Signal-Rauschverhaltnis (SNR) ist damit fur Amplitude und Phase

SNR≤xS√

∆ fENBW |Sx( f )|(4.24)

4.3.2 Messung der Gute der Spiegelresonanz

Die Gute der Spiegeloszillation laßt sich durch die Abklingzeit bestimmen. Der Zusammenhangzwischen Abklingzeit und Gute wurde in Abschnitt 1.3 dargestellt. Zur Messung wird der Spiegelzunachst auf der Resonanzfrequenz angeregt und dann die Anregung ausgeschaltet. Der Spiegelschwingt mit einer exponentiell abklingenden Amplitude auf seiner Resonanzfrequenz, wie es inAbb. 1.4 dargestellt ist. Aus der Zeitkonstanten des Abfalls ergibt sich mit den Bezeichnungen ausAbschnitt 1.3 die Gute.

Q = 2π f0τE = π f0τA (4.25)

Dabei ist τE die Zeitkonstante der Energie E und τA die Zeitkonstante der Amplitude xS

E(t) = E(0)e−t/τE bzw. xS(t) = xS(0)e−t/τA (4.26)

Um die Genauigkeit der Messung zu erhohen, wird jeweils ein komplettes Abklingen zeitaufgelostaufgenommen und die Abfallzeit durch Regression bestimmt. Der Meßaufbau entspricht dem Sche-ma aus Abbildung 4.3.1 mit einer Erganzung: Die Verbindung zwischen Oszillator und AOM kanndurch einen vom Computer zu bedienenden elektrischen Schalter blockiert werden. Dies ist notig,um die Anregung auszuschalten. Die Frequenz des Oszillators muß sehr genau auf die Resonanz-frequenz abgestimmt werden, damit bei der Detektion der Schwingungsamplitude mit dem Lock-In-Verstarker die Signal- und Referenzfrequenz ubereinstimmen. Außerdem muß die Integrati-onskonstante des Lock-In-Verstarkers sehr viel kleiner sein als die Abklingzeit, damit beide Zeit-konstanten entkoppeln. Durch die Messung mit Hilfe des Lock-In-Verstarkers wird das Signal-Rauschverhaltnis im Vergleich zu einer vollstandig zeitaufgelosten Messung erhoht und außerdemdie aufzunehmende Datenmenge reduziert.

4.4 LASER UND FREQUENZREGELUNG 61

Eine Einzelmessung besteht dann aus einem Anregungszeitraum, der ein mehrfaches der Abkling-zeitkonstante τ betragt, damit der Spiegel seine Maximalamplitude erreicht, und einer vergleichbargroßen Abklingzeit. Dabei wird außer der Amplitude auch die Phase protokolliert, da sich mit ihrkontrollieren laßt, ob die Referenzfrequenz mit der Eigenfrequenz des Spiegels ubereinstimmt. DiePhase wandert wahrend des Abklingens proportional zur Frequenzdifferenz:

φ(t) = φ(0)+ t( fRef− f0) (4.27)

Diese Einzelmessungen sind automatisiert und werden mit einer Rate von zwei bis vier Messungenpro Sekunde wiederholt. Dadurch ergibt sich eine große Datenbasis zur Bestimmung der Gute, undaußerdem kann die Stabilitat der Gute uber einen langeren Zeitraum gepruft werden.

4.4 Laser und Frequenzregelung

Der Laser und die Regelung sind hier in einen Zusammenhang gebracht, weil die Frequenz desLasers das Stellelement fur die Regelung des Interferometers ist. Daher sollen zunachst die Ein-flußmoglichkeiten am Laser geschildert werden, um anschließend das Konzept der Regelung zuerlautern.

4.4.1 Laser

Der verwendete Laser ist ein diodengepumpter nichtplanarer Nd:YAG-Ringlaser mit einer Wel-lenlange von 1064nm und einer Ausgangsleistung von 660mW. Er wurde am Laserzentrum Han-nover auf Grundlage von Ideen von T. J. Kane und R. L. Byer [14] entwickelt und wird in dieserForm als MISER bezeichnet. Detailierte Informationen uber dieses Lasersystem sind in der Dis-sertation von Dr. I. Freitag [8] nachzulesen.

Hier von Interesse ist die Moglichkeit, die Frequenz des Lasers zu beeinflussen. Der Laserresonatordes Systems ist monolithisch in einem Kristall ausgefuhrt. Die Temperatur des Kristalls kann durchein Peltier-Element beeinflußt werden. Hierdurch wird der Brechungsindex und die geometrischeAbmessung des Kristalls verandert. Da der optische Weg Lopt = nLGeo die Frequenz bestimmt,fuhrt dies zu einer Frequenzanderung

dωL

dT=−2π ·3,1

GHzK

(4.28)

Die Temperatur laßt sich auf einem geeignet gewahlten Arbeitspunkt uber 2,8 Grad modensprung-frei durchstimmen. Die Kristalltemperatur laßt sich allerdings nur relativ langsam stellen und folgteiner Modulation nur auf Sekundenzeitskalen. Eine Regelung kann an der Temperatur also nur beiRegelfrequenzen unterhalb von 1Hz angreifen, hat dort aber einen großen Frequenzstellbereich.

62 4. MESSAPPARAT

Temperatur-kontrolle HV-Verstärker1:1000

ω Lω L

Kristall

Laser

Piezo-Sollwert

Interferometer-

Interferometer

∆ I

keramikPiezo-Peltier-

element

0.5Hz 150Hz

G=1 G=1

k ∆ sL∆φ =

Ausgangssignal

Regler Regler

Arbeitspunktoffset (optional)

Abbildung 4.6: Regelschema zur Stabilisierung des Interferometers auf den Arbeitspunkt durch Stimmen der Laserfre-quenz

Zusatzlich kann der Kristall durch eine aufgeklebte Piezokeramik verformt werden. Auch diesandert die Lange des Resonators und stellt so die Frequenz. Da die erste Piezoresonanz erst beica. 95kHz auftritt, ergibt sich fur dieses Stellelement eine deutlich hohere Bandbreite, als fur dasbeschriebene Experiment notig ist. Die erreichbare Frequenzverschiebung ist durch

dωL

dU≈ 2π ·1

MHzV

, (4.29)

gegeben, wobei die an der Piezokeramik angelegte Spannung U einen Stellbereich von null bisfunfhundert Volt hat.

4.4.2 Regelschema fur den Interferometerarbeitpunkt

Der im Interferometer realisierte Armlangenunterschied betragt 2∆s = 15cm. Damit bewirkt eineFrequenzanderung ∆ωL eine Phasenverschiebung der Lichtfelder von

∆φ = ∆k ∆s =∆ωL

c∆s = 3.14 ·10−3 rad

∆ f1MHz

. (4.30)

Durch die Piezokeramik auf dem Laser laßt sich somit die Phase um etwa 1rad stellen. Dies genugt,um das Interferometer uber etwa eine Stunde am Arbeitspunkt zu halten. Fur die meisten Messun-gen ist dies ausreichend.

4.5 DER AUFBAU 63

Allerding sind einige Messungen uber mehrere Stunden gelaufen. Aufgrund thermischer Driftendes Interferometers und des Lasers muß der Stellbereich fur solche Langzeitmessungen erweitertwerden. Dazu wird auch die Kristalltemperatur in die Regelung einbezogen und gestellt. Fur dieRegelung der Temperatur muß dabei beachtet werden, daß sie ein starkes Totzeit- und Tiefpaßver-halten zeigt und daher der Regelkreis nur unterhalb von 0,5 Hz verstarken darf.

Das vollstandige Regelschema ist in Abbildung 4.6 dargestellt. Das Ausgangssignal des Michelson-Interferometers, das zur Wahl des Arbeitspunktes optional mit einem Offset versehen werden kann,wird uber einen PI-Regler und einen Hochspannungsverstarker auf die Piezokeramik gegeben. Ausder an der Piezokeramik angelegten Spannung wird durch Abziehen eines Offsets ein Fehlersignalfur die Temperaturregelung erzeugt. Die Temperaturregelung sorgt so auf langen Zeitskalen dafur,daß die Piezokeramik immer auf dem gleichen Arbeitspunkt gehalten wird.

Die Regelung hat einen gesamten Frequenzstellbereich von ca. 1GHz und kannn daher Phasen-driften von 3000rad bzw. Weganderungen von 500µm auf langen Zeitskalen ausgleichen.

4.5 Der Aufbau

In Abbildung 4.7 ist der komplette Aufbau dargestellt und sind die schon beschriebenen einzelnenKomponenten in ihren Gesamtzusammenhang gebracht worden.

Das linear polarisierte Licht des Lasers durchlauft zunachst einen Faraday-Isolator, der Ruckreflexedurch die Komponenten in den Laser verhindert. Anschließend kann durch ein λ/2-Plattchen diePolarisation verdreht werden. Damit bestimmt man, wie die Intensitat durch den nachfolgendenPolarisationsstrahlteiler in den Meßzweig und den Anregungszweig aufgeteilt wird.

Der Meßzweig entspricht dem in Abschnitt 4.1 beschriebenen Michelson-Interferometer, allerdingsmit einer Anderung: Der Faraday-Isolator wurde durch einen 50%-Strahlteiler ersetzt. Dadurchergeben sich Einbußen an Lichtintensitat im Interferometer. Dies stellt fur das Experiment jedochkeine Einschrankung dar, da der begrenzende Faktor die maximal vertragliche Intensitat auf derPhotodiode ist, die auch mit diesem Aufbau erreicht wird. Der Aufbau konnte so schneller mit denvorhandenen Komponenten realisiert werden.

Der Faradayisolator wird erst dann wirklich notwendig, wenn die Quantenstatistik detektiert wer-den soll, was in zukunftigen Experimenten mit einem solchen Aufbau ein Ziel sein wird. Dannmussen die Verluste zwischen Erzeugung und Detektion der Lichtzustande minimiert werden.

Der Anregungszweig und die Signalverarbeitung mit Lock-In-Verstarker und Computer entspre-chen dem in Abschnitt 4.3.1 vorgestellten Schema zur Messung der Spiegelantwort. Die Rege-lung des Arbeitspunktes, die das Differenzsignal der Photodioden zu einem Stellsignal der Laser-frequenz verarbeitet, ist in Abschnitt 4.4.2 ausfuhrlich vorgestellt.

644.

ME

SS

AP

PAR

AT

ω LLaserFaraday

Isolator

λ/2

AOM ∆ s

∆ I

ST

PD PD

x

Pol ST

Anregung

Vakuumgefäß

50%

Lock-In

Computer

x

φ

f

Dump

Regler

Offset

I

Abbildung

4.7:S

chema

deskom

plettenA

ufbaus

4.6 DER SPIEGEL 65

Abbildung 4.8: Realisierung des Spiegels, Langenangaben in mm

4.6 Der Spiegel

Die Anforderungen an den Spiegel ergeben sich aus den Parametern der Antwortfunktion. Dieseist nach Gl. (1.7) durch

G(ω) =1

m(−ω2 + ω20)+ ikdamp

(4.31)

gegeben. Der Spiegel sollte also eine moglichst geringe Masse und Dampfung aufweisen, um ei-ne moglichst große Amplitude der Schwingung zu erreichen. Die Wahl des letzten Parameters,der Resonanzfrequenz, stellt hingegen einen Kompromiß dar: Mit niedrigen Resonanzfrequenzengewinnt man, wie sich gut in Abbildung 1.2 erkennen laßt, eine großere Antwort des Spiegels.Bei niedrigen Resonanzfrequenzen nimmt jedoch die Einkopplung außerer Storungen zu, da dieSchwingungsisolation des Interferometers schlechter und der Schwingungsuntergrund großer wird.Abbildung 4.4 zeigt, daß der Rauschuntergrund unterhalb von etwa 700 Hz stark ansteigt.

Die geringe Masse wird realisiert, indem der Spiegel relativ klein und dunn gehalten wird. Dazuwird der Spiegel aus einem 1mm dicken Suprasilplattchen hergestellt. Suprasil ist ein synthetischer

66 4. MESSAPPARAT

Quarz mit guten optischen Eigenschaften. Aus diesem Plattchen wird die Spiegelform herausge-schnitten, wie sie in Abbildung 4.9 gezeigt ist. Die rechteckige Flache bildet die Spiegelflache,die Breite und Lange des Stegs bestimmt die Resonanzfrequenz. Das Ende des Stegs wird zur Be-festigung des Spiegels an ein 1cm langes 2,54 cm durchmessendes Stuck Quarzrohr angeschmol-zen. Dadurch fungiert der Steg als eingespannte Blattfeder mit der Spiegelmasse am freien Ende.Durch die monolithische Verbindung von Feder (Steg) und Spiegel und durch das Verschmelzenauch Feder und Quarzrohr wird die Energiedissipation und damit die Dampfung gering gehalten.Eine Ansicht des so entstandenen Spiegels ist in Abbildung 4.8 zu sehen. Die eigentliche Spiegel-flache hat mit ihrer Abmessung von 5mm Breite, 10 mm Hohe und 1mm Dicke bei einer Dichtevon 2,2g/cm2 ein Gewicht von 110 mg.

Das Quarzrohr wird zur Halterung in einen Spiegelhalter eingespannt, der eine Dreipunktlagerungrealisiert.

4.6.1 Effektive Masse und Anregung

Die Ableitung der Antwortfunktion in Abschnitt 1.1 basierte auf einem idealen System: Die dortgewahlte Beschreibung entspricht einer reinen Translation der Masse und einer am Schwerpunktder Masse angreifenden Kraft. Die Bewegung des Spiegels entspricht jedoch zunachst der einerrealen, massebehafteten Feder mit einer zusatzlichen freien Masse am Ende. Wird eine Kraft aufdas freie Ende der Feder ausgeubt, so wird die Feder auf ihrer ganzen Lange verbogen. Zur analy-tischen Berechnung der Auslenkung der Feder durch eine statische Kraft muß das Biegemoment inAbhangigkeit des Ortes auf der Feder bekannt sein. Fur die Dynamik der Bewegung ist ein Wissenuber die Massenverteilung auf der Feder notig. Die Behandlung einer solchen Kantileverfeder, wieeine fest eingespannte Blattfeder auch genannt wird, ist z.B. in [7] nachzulesen.

Diese Beschreibung laßt sich auf ein ideales Drehpendel zuruckfuhren, dessen Drehpunkt, Ruck-stellkraft F =−kφφ und Tragheitsmoment sich auf den vollstandigen Parametersatz zuruckfuhrenlassen. Fur das Beispiel einer langen Feder mit einem uber die gesamte Lange konstanten Biegemo-ment liegt dieser virtuelle Drehpunkt auf halber Lange. In Abbildung 4.9 ist dieser Fall dargestellt.Die Differentialgleichung des Drehpendels ist

Iφ(t)+ Fdamp(φ, x)+ kφφ(t) = M(t) (4.32)

mit dem Drehmoment M und dem Tragheitsmoment I. Die Losung ergibt sich wie in Abschnitt 1.1durch Fouriertransformation zu

φ(ω) =M(ω)

I(ω20−ω2)+ ikφ,damp

(4.33)

Wird die Kraft in einem Abstand lF vom Drehpunkt ausgeubt, was ein Drehmoment M = FlF ergibt,und die Auslenkung im Abstand lM vom Drehpunkt gemessen (vgl. auch Bezeichnungen in Abb.4.9), so gilt fur die Auslenkung

x(ω) = lFφ(ω) =F(ω)

I(ω2−ω20)/(lF lM)+ ikdamp

. (4.34)

4.6 DER SPIEGEL 67

F

real

F

ideales Drehpendel

x

Anregung

Meßstrahl

φ

l llF

MS

Abbildung 4.9: Idealisierung des verwendeten Spiegels als Drehpendel

Mit der Definition

meff =I

lFlM(4.35)

lassen sich nun alle im Kapitel 1 abgeleiteten Ergebnisse auf dieses System ubertragen. Fur denidealen Fall, daß die Feder masselos ist, ergibt sich mit einer Spiegelmasse m und dem Abstand lSdes Schwerpunktes vom Drehpunkt das Tragheitsmoment I = ml2

S und die effektive Masse

meff =l2S

lFlM. (4.36)

Die effektive Masse, die sich aus der Antwortfunktion des Spiegels ergibt, hangt also mit einemFaktor der Großenordnung 1 mit der realen Masse des Spiegels zusammen, wobei dieser Faktorvon der Positions des Messtrahls und des Anregungsstrahls auf dem Spiegel abhangt. In diesemeinfachen Modell ist die Abhangikeit der effektiven Masse einfach reziprok von dem Anregungsortabhangig. Damit ergibt sich fur die Effektivitat der Anregung eine Abhangigkeit

x∼1

meff∼ lF . (4.37)

Ist die Feder, also der Steg, mit dem der Spiegel befestigt ist, relativ steif und das Biegemomentdes Spiegels selber nicht mehr vernachlassigbar, ergeben sich auch nichtlineare Terme:

x∼ lF + al2F + . . . (4.38)

Die effektive Masse ist, anders als die Resonanzfrequenz und die Gute, kein direkt zuganglicherParameter, da die gemessene Anregung immer von der Kraft und der effektiven Masse abhangt:

x∼F

meff(4.39)

68 4. MESSAPPARAT

Ist die anregende Kraft bekannt, so kann die effektive Masse aus der durch die Kraft verursachtenAuslenkung bestimmt werden. Dies laßt sich aber auch umkehren, um etwas uber die Kraft zuerfahren und ein Modell fur die Kraft, also z.B. Strahlungsdruck, zu uberprufen. Dazu wird dieeffektive Masse mit Hilfe des Kraftmodells aus einer Messung gewonnen und außerdem mit demDrehpendelmodell berechnet. Stimmen die gewonnenen Ergebnisse ausreichend uberein, ist diesein gutes Indiz fur das Modell der Kraft. Die Ubereinstimmung wird dabei davon abhangen, wieweit der reale Spiegel von dem Drehpendelmodell abweicht.

Kapitel 5

Anwendung des Meßapparates undInterpretation der Ergebnisse

Ziel des Meßaufbaus ist die Anregung und Charakterisierung von beweglichen Spiegeln durch Strah-lungsdruck. Nun ist Strahlungsdruck nicht der einzig denkbare Mechanismus, durch den einge-strahltes Licht Krafte auf den Spiegel ausuben kann. Insbesondere thermische Effekte durch Ab-sorption von Licht und daraus folgende Erwarmung des Spiegels sollten auch auf den Spiegel wir-ken. Um diesen Mechanismus zu verstehen und die Große dieses Effekts einzuordnen, wird da-her zunachst ein Spiegel mit relativ hoher Absorption untersucht. Die so gewonnenen Erkenntnis-se wurden anschließend verwendet, um einen durch Strahlungsdruck dominierten Spiegel herzu-stellen. Dieser wird charakterisiert. Anhand der Messungen konnen thermische Effekte fur die-sen Spiegel ausgeschlossen und die Modelle fur die Antwort des Strahlungsdrucks uberpruft undbestatigt werden. An diesem Spiegel konnen auch die theoretischen Vorhersagen fur Dampfungdurch Restgas uberpruft werden. Abschließend wird der erreichte Meßaufbau charakterisiert, diezu erwartenden prinzipiellen Rauschquellen und Effekte in ihrer Große eingeordnet und ein Aus-blick auf mogliche weitere Anwendungen einer verbesserten Apparatur gegeben.

5.1 Anregung durch thermische Effekte

Der erste Spiegel zum Einsatz im Experiment erhielt eine Spiegelschicht aus Gold. Diese zeigteine Absorption von 7% und ist so das geeignete Mittel, um thermische Effekte durch Absorptionvon Licht zu untersuchen. Der erwartete Mechanismus zur Anregung ist, daß durch die einseitigeErwarmung der Vorderseite ein Temperaturgradient zwischen der Vorderseite und der Ruckseitedes Spiegels entsteht. Da sich die Ausdehnung des Materials mit der Temperatur andert, ergibtsich ein ahnlicher Effekt wie beim Bimetall, nur hier durch verschiedene Temperaturen in einemMaterial: Die Vorder- und die Ruckseite streben eine unterschiedliche Lange an und der Spiegelkrummt sich, was durch die geringe Dicke des Spiegels von 1 mm unterstutzt wird.

70 5. ANWENDUNG DES MESSAPPARATES UND INTERPRETATION DER ERGEBNISSE

1440 1442 1444 1446 1448 1450f [Hz]

-270.0

-180.0

-90.0

0.0

φ [g

rad]

1440 1442 1444 1446 1448 14500.0

0.5

1.0

1.5

2.0

XR

MS[n

m]

Abbildung 5.1: Spiegelantwort des goldbeschichteten Spiegels in der Nahe der Resonanz bei Anregung mit 5,2 mWrms

Die Goldschicht hat gegenuber einer Aluminiumschicht, die noch großere Absorption zeigen wurde,den Vorteil, daß die Warme vom Fleck des Strahls aus besser verteilt wird und so der Effekt sichstarker auspragen kann.

Die mechanischen Daten des Spiegels sind

• Resonanzfrequenz f0 = 1446 Hz

• Gute Q = 5000,

wobei die Gute durch die im vorherigen Kapitel beschriebene Abklingmessung gewonnen wurde.

Bei der Anregung auf der Resonanz fur die Abklingmessung fallt die eine große Amplitude auf.Durch sie konnte Strahlungsdruck als Anregungsmechanismus sofort ausgeschlossen werden, dader Spiegel hierfur eine effektive Masse meff = 2 mg aufweisen mußte, wahrend sich aus den Uber-legungen in Abschnitt 4.6.1 mit der schweren Masse m = 110 mg des Spiegels eine effektive Massemeff ≥ 50 mg ergibt. Die Effektivitat der Anregung konnte sogar noch vergroßert werden, indemder Anregungsstrahl auf den Steg, der den Spiegel mit dem Quarzring verbindet, fokussiert wurde.Auch die in Abschnitt 2.5 beschriebenen Radiometrischen Effekte konnen damit ausgeschlossenwerden, da diese Kraft fur die realisierten Parameter einen noch geringeren Effekt als der Strah-lungsdruck verursacht.

Daß Licht die Ursache ist, steht außer Zweifel, da der Spiegel auf der Modulationsfrequenz desLichts schwingt und seine Amplitude bei einer Veranderung der Modulation linear folgt.

Ein weiterer Einwand konnte sein, daß Streulicht die Anregung nur vorgetauscht haben konnte.Dies ist jedoch aus mehreren Grunden ausgeschlossen: Streulicht zeigt kein Nachklingen nach Ab-

5.1 ANREGUNG DURCH THERMISCHE EFFEKTE 71

-0.1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5t [s]

-10.0

0.0

10.0

20.0

30.0

40.0

50.0

60.0

70.0-x

[nm

] AuslenkungFitAnregung

Abbildung 5.2: Sprungantwort des Spiegels auf das Anschalten der Anregungsintensitat

schaltung der Anregung. Es kann keine Phasenverschiebung ungleich 0 oder 180 Grad verursa-chen. Und es skaliert nicht mit der Intensitat im Interferometer. Da alle drei Effekte nachgewiesenwurden, kann Streulicht als Signalquelle ausgeschlossen werden.

Nach Ausschluß aller anderen Moglichkeiten muß die Ursache der Bewegung in der Absorptionvon Licht und damit Erwarmung des Spiegels liegen. Dieser Effekt soll nun naher untersucht undcharakterisiert werden.

Der nachste Schritt ist die Untersuchung der Antwortfunktion des Spiegels auf Licht. Eine Mes-sung im Frequenzbereich der Resonanz ist in Abbildung 5.1 dargestellt. Es fallt auf, daß die Phaseder Antwort vor der Resonanz um -90 Grad gegen die Anregung und nach der Resonanz um -270Grad verschoben ist. Der Phasenverlauf ist also gegenuber dem fur einen Oszillator erwartetenVerauf, wie er in Abbildung 1.1 dargestellt ist, um -90 Grad phasenverschoben. Dies bedeutet, daßdie angreifende Kraft der Intensitat um 90 Grad nachlauft, ein Verhalten, das dem eines Tiefpassesgleicht.

Die Zeitskala, auf der sich die Warme im Material ausgleicht, liegt fur einen ausgedehnten Spiegelauf der Basis eines Substrats mit 1 Zoll Durchmesser im Bereich von Sekunden [20]. Bei gleicherWarmeleitfahigkeit, aber gleichzeitiger Verkleinerung der linearen Dimensionen um eine Großen-ordnung, ist daher fur den hier untersuchten Spiegel eine Zeitskala in der Großenordnung von 100ms zu erwarten. Wird nun durch eine statische Lichtintensitat eine konstante Warmeleistung in dieVorderseite des Spiegels eingetragen, stellt sich auf dieser Zeitskala ein statisches Temperaturfeldim Spiegel ein und verkrummt dadurch den Spiegel durch die unterschiedlichen thermischen Aus-dehnungen auf beiden Seiten. Die maximale Krummung findet dabei am Ort des Warmeeintragsstatt. Daher ist eine Anregung am Steg am effektivsten, weil zum einen an diesem Punkt die Warme


1 10 100 1000 10000f [Hz]

-360.0

-270.0

-180.0

-90.0

0.0

φ [g

rad]

1 10 100 1000 1000010

-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

101

102

Am

plitu

de [n

m]

MessungModell

Abbildung 5.3: Antwort des goldbeschichteten Spiegels auf eine Anregung von 35 mW und Vergleich mit dem Modellthermischer Anregung eines harmonischen Oszillators

am schlechtesten abfließt und sich dadurch der hochste Temperaturgradient einstellt, und zum an-deren eine Verkrummung an dieser Stelle durch den langen

”Hebelarm“ die großte Auslenkung des

Spiegels bewirken kann. Im statischen Fall gleichen sich Warmeeintrag in die Oberflache, Trans-port in die Ruckseite und die Befestigung und Abstrahlung genau aus. Das dynamische Verhaltenzur Erreichung des Gleichgewichts kann durch die Sprungantwort des Spiegels gemessen werden.Die Sprungantwort ist die Auslenkung des Spiegels nach plotzlichem Einschalten des Lichts. DieMessung der Sprungantwort ist in Abbildung 5.2 dargestellt. Die Schwingung mit einer Periodevon 2 ms, die auf der Antwort liegt, stammt von einer durch die Vorpumpe angeregten Resonanzeiner optischen Komponente. Entscheidend ist das exponentielle Erreichen einer Gleichgewichts-lage, die hier als Nullpunkt gewahlt wurde. Dies entspricht dem fur Warmeleitung erwarteten Zeit-verhalten. Die durch Regression bestimmte Zeitkonstante des Systems ist τ = 75 ms. Wird eineAnderung der Intensitat auf langsamen Zeitskalen gegenuber der Zeitkonstante τ durchgefuhrt, sofolgt das System der Anderung ohne Verzogerung. Bei schnellen Anderungen der Intensitat hinge-gen kann sich die Erwarmung nicht mehr schnell genug ausbreiten, um die maximale Auslenkungzu erreichen. Dies ist besonders einfach bei einer sinusformigen Intensitatsmodulation einzusehen.Dort kann nur die Energie einer Halbwelle in thermische Ausdehnung verwandelt werden, bevordie Intensitat wieder abnimmt und damit auch die Temperaturdifferenz wieder abnehmen muß. Da-her ist fur schnelle Modulationen die Ausdehnung proportional zur Periodendauer bzw. reziprokzur Frequenz.

5.2 SPIEGELANREGUNG DURCH STRAHLUNGSDRUCK 73

Das beschriebene Zeitverhalten der Kopplung von Intensitat und Kraft entspricht dem eines Tief-passes. Dieser zeigt auch die gleiche Sprungantwort. Daher kann die Abhangigkeit der Kraft vonder Intensitat durch einen Tiefpaß der Zeitkonstante τ und damit Grenzfrequenz fG = 1/(2πτ) =

2,1Hz modelliert werden:

Ftherm(ω) =K

1 + iω/ωGI(ω) (5.1)

Mit der nun bekannten Kraft und der in Kapitel 1 eingefuhrten Antwortfunktion G(ω) kann dieAntwort des Systems auf eine monochromatische Anregung mit der Frequenz f = ω/(2π) undIntensitat I(ω) beschrieben werden:

x(ω) = G(ω)Ftherm(ω) =A

1 + iω/ωG

11− (ω/ω0)2 + i/Q

I(ω). (5.2)

Die Parameter A = K/(mω20), ωG, ω0 und Q konnen dabei aus der Sprungantwort und der Abkling-

messung abgeleitet werden.

Abbildung 5.3 zeigt den Vergleich des Modells mit der gemessenen Antwortfunktion des Spiegels.Es zeigt sich eine gute Ubereinstimmung. Auch die gemessenen Phasen werden durch die Phasen-verschiebung des Tiefpasses erklart, und der Abfall der Anregung x∼ 1/ω3 fur ωω0 ergibt sichdurch die reziproke Abhangigkeit der Kraft von der Frequenz.

Mit diesem Modell ist nun auch das Handwerkszeug gegeben, um thermische Effekte in anderenMessungen zu identifizieren. Besonders empfindliches Kennzeichen ist, wenn die Phase von derfur Strahlungsdruck erwarteten Phase (0 Grad vor der Resonanz und -180 Grad nach der Resonanz)abweicht. Bei Dominanz von thermischen Effekten ist die Abweichung -90 Grad, bei gleicher Kraftdurch beide Effekte 45 Grad.

5.2 Spiegelanregung durch Strahlungsdruck

Der nachste Schritt ist die Untersuchung eines durch Strahlungsdruck dominierten Systems. Umthermische Effekte zu verhindern, werden die Erfahrungen des vorherigen Kapitels bei der Herstel-lung des Spiegels verwendet: Die thermischen Effekte sind proportional zur Absorption, also wirdeine dielektrische Schicht geringer Absorption verwendet. Die dielektrische Schicht hat außerdemeine sehr viel geringere Warmeleitfahigkeit als Gold, so daß weniger Warme in den Steg geleitetwird, der bei Erwarmung die maximale Auslenkung produzieren wurde. Durch diese Maßnahmenist eine Reduktion thermischer Effekte um mehr als drei Großenordnungen zu erwarten, so daß diethermischen Krafte sehr viel kleiner als die erwarteten Strahlungsdruckkrafte sein sollten.

Die Positionierung von Anregungs- und Teststrahl fur die Messung ist in Abbildung 5.4 darge-stellt. Die Flecken sind raumlich getrennt, um Streuung des anregenden Lichts in den Strahlwegdes Interferometers und damit in die Ausgange des Interferometers zu verhindern. Das Streulicht


TeststrahlAnregung

5mm

10mm6.5mm 9mm

Abbildung 5.4: Position von Anregungsstrahl und Meßstrahl

der Anregung ist auf der Anregungsfrequenz moduliert und wurde damit, wenn es auf die Photo-dioden in den Ausgangen des Interferometers gelangt, ein Ausgangssignal des Interferometers mitder Anregungsfrequenz erzeugen. Dies simuliert eine durch das anregende Licht induzierte Orts-auslenkung des Spiegels, da auch die Ortsauslenkung zu einem Signal auf der Anregungsfrequenzfuhrt. Da jedoch die Ortsauslenkung in Phase und Amplitude von der Anregungsfrequenz abhangt,das Streulicht jedoch immer die gleiche Amplitude und Phase φ = 0 im Ausgangssignal erzeugt,konnen die Effekte unterschieden werden.

5.2.1 Zwei Resonanzen

Auffallig ist zunachst, daß der Spiegel zwei nahe beieinander liegende Resonanzen zeigt, wie inAbbildung 5.5 dargestellt ist. Die Resonanzen liegen bei f1 = 1360,7 Hz und f2 = 1388,0 Hz.Beide Resonanzen zeigen einen Phasensprung von jeweils 0 Grad vor der Resonanz auf -180 Gradnach der Resonanz.

Dies deutet auf zwei nicht gekoppelte Oszillatoren hin. Bei gekoppelten Oszillationen, bei denendie Auslenkung des ersten Oszillators die Anregung des zweiten Oszillators darstellt, ergibt sich dietotale Transferfunktion durch Multiplikation der einzelnen Antwortfunktionen, so daß fur die zwei-te Resonanz ein Sprung von -180 Grad auf -360 Grad beobachtet werden wurde. Fur unabhangigeOszillatoren ergibt sich hingegen die totale Antwortfunktion durch Addition der einzelnen Ant-wortfunktionen.

Auch der Einbruch der Spiegelantwort zwischen den Resonanzen ist Beweis fur die Unabhangig-keit, da dort destruktive Interferenz der um 180 Grad gegeneinander verschobenen Antworten derResonanzen zu beobachten ist, was sich durch ein additives Verhalten zweier Oszillatorantwortenerklaren laßt. Ein dritter Beweis fur die Unabhangigkeit ist ein beobachteter 1/ f 2-Abfall ( f istdie Anregungsfrequenz) der Spiegelantwort nach der zweiten Resonanz, wahrend fur gekoppelteOszillatoren das Produkt der Antwortfunktionen einen 1/ f 4-Abfall erwarten laßt.

Die analytische Beschreibung dieses Systems zweier unabhangiger Oszillatoren geschieht mit ei-


1350 1360 1370 1380 1390 1400f [Hz]

-180

-90

0

Pha

se [g

rad]

1350 1360 1370 1380 1390 140010

-5

10-4

10-3

10-2

10-1

Am

plitu

de [n

m]

SpiegelantwortRauschuntergrund

Abbildung 5.5: Antwort des zweiten Spiegels bei 25 mW Anregung sowie der Rauschuntergrund ohne Anregung

ner Gesamtantwortfunktion

G(ω) = G1(ω)+ G2(ω), (5.3)

wobei G1(ω) und G2(ω) die Antwortfunktionen der einzelnen Oszillatoren sind und sich mit demin Kapitel 1 eingefuhrten Formalismus behandeln lassen.

5.2.2 Gute und effektive Masse

Die Gute und die effektive Masse werden mit Hilfe der automatisierten Abklingmessung, die in Ab-schnitt 4.3.2 beschrieben wurde, gewonnen. Diese Messung liefert sowohl die Amplitude auf derResonanz als auch die Gute. Das Protokoll einer solchen Messung ist in Abbildung 5.6 abgebildet.Die Phase ist mitprotokolliert, da sie ein gutes Kennzeichen dafur ist, ob sich die Resonanzfrequenzwahrend der Messung verschiebt. Als Nullpunkt wurde hier die Phase genau im Zentrum der Re-sonanz gewahlt. Die beobachtete Drift entspricht einer Drift der Resonanzfrequenz von wenigerals 1 mHz wahrend der Messung.

Der zeitliche Verlauf einer einzelnen Abklingmessung ist in Abbildung 5.7 aufgetragen.


0 10 20 30t [min]

0.0

1.0

2.0

φ [g

rad]

0 10 20 300.00

0.25

0.50

x [n

m]

0 10 20 307500

8000

8500

Q

Abbildung 5.6: Ergebnisse einer Abklingmessreihe fur Spiegel 2 auf der Resonanz bei 1388Hz, Anregung durch 50mW

Weitere bekannte Großen sind die Anregungsintensitat und die Resonanzfrequenz. Die Antwortdes Spiegels auf Strahlungsdruck ist auf der Resonanz

x =Q

meffω20

2Ic. (5.4)

Mit den gemessenen Großen x, ω0, Q und I laßt sich so die effektive Masse bei Anregung durchStrahlungsdruck bestimmen. Damit ergeben sich die charakteristischen Großen der Resonanzen:

1. Resonanz

• Resonanzfrequenz f1 = 1360,7 Hz

• Gute Q = 1000

• Effektive Masse meff = 50 mg

2. Resonanz

• Resonanzfrequenz f2 = 1388,0 Hz

• Gute Q = 7800

• Effektive Masse meff = 150 mg


0 1 2 3 4 5t [s]

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

rela

tive

Am

plitu

de

Abbildung 5.7: Abklingen der Resonanz f2 = 1388Hz: Messung und Theorie mit Q = 7450

Die gemessenen Guten sind durch die Halterung des Quarzrohres im Spiegelhalter begrenzt. NeueExperimente mit verbesserten Spiegelhaltern [1] haben eine erhebliche Steigerung der Gute erge-ben. Die Begrenzung bei der hier verwendeten Dreipunkthalterung erklart sich dadurch, daß derQuarzring nicht vollig starr fixiert ist. Bei hoherem Druck der Auflagepunkte bricht das Rohr je-doch. Durch die Schwingung des Spiegels wird ein Drehmoment auf den Ring ausgeubt, das zukleinen Verschiebungen des Spiegels in seinen Auflagepunkten fuhrt. Diese Verschiebung ist mitReibung verbunden und dissipiert so Energie.

Mit Hilfe der effektiven Massen kann nun auch das Modell von Strahlungsdruck als Kraftmecha-nismus uberpruft werden. Mit den Betrachtungen aus Abschnitt 4.6.1 ergibt sich fur das idealisierteDrehpendel mit den Langen aus Abbildung 5.4 und der schweren Spiegelmasse m = 110 mg eineeffektive Masse von

meff,ideal =mlslMlF

= m(7,5)2

11,5 ·9= 60 mg. (5.5)

Dies zeigt insbesondere fur die erste Resonanz eine gute Ubereinstimmung mit der fur Strahlungs-druck gemessenen effektiven Masse.

Die Unterschiede in Gute und effektiver Masse zwischen den beiden Resonanzen sind in der unter-schiedlichen Kopplung der beiden Schwingungsmoden an den Spiegelhalter begrundet. Die Inter-pretation der zwei Resonanzen bedarf jedoch zunachst weiterer Meßdaten zur Anregungseffizienzund wird in Abschnitt 5.2.4 durchgefuhrt.


-0.50 -0.25 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00Z [cm]

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

norm

iert

e A

mpl

itude 1. Resonanz

2. Resonanz

Anregung

Teststrahlz

y

Abbildung 5.8: Ortsabhangigkeit der Anregung

5.2.3 Variation des Anregungsortes

Ein Kennzeichen dafur, welche der denkbaren Schwingungsmoden angeregt wird, gibt die Abhangig-keit der gemessenen Amplitude vom Anregungsort, also vom Ort, an dem die Kraft angreift. InAbbildung 5.8 ist ein Koordinatensystem zur Beschreibung des Anregungsortes dargestellt. Furdie einfachste mogliche Mode, die einfache Biegeschwingung, wurde in Abschnitt 4.6.1 das Mo-dell eines Drehpendels eingefuhrt. Es sagt eine lineare Abhangigkeit der Anregungseffizienz, al-so der reziproken Masse, vom Abstand zum Drehpunkt voraus. Diesem entspricht eine lineare z-Abhangigkeit. Fur eine reale Schwingung werden sich Korrekturterme hoherer Ordnung ergeben.Hohere Moden der Biegeschwingung besitzen Schwingungsknoten, so daß es Orte verschwinden-der Anregung gibt. Eine Torsionsschwingung wird eine y-Abhangigkeit aufweisen, hingegen ge-gen Veranderung von z relativ unempfindlich sein.

Das Experiment ergibt, daß Variation der y-Koordinate praktisch keinen Einfluß auf die Anregunghat. Die z-Abhangigkeit der Anregung ist in Abbildung 5.8 dargestellt. Sie zeigt fur beide Reso-nanzen die fur die einfache Biegeschwingung erwartete Abhangigkeit.

5.2.4 Interpretation der Resonanzen

Die Untersuchung der Anregungseffizienz in Abhangigkeit vom Ort der Anregung auf dem Spie-gel in Abschnitt 5.2.3 zeigt fur beide Resonanzen gleiches Verhalten. Dies bedeutet, das die Formder Schwingung, also die Bewegung der einzelnen Spiegelpunkte, sich sehr ahnlich sein muß. Ins-besondere deutet die Messung fur beide auf eine einfache Biegeschwingung des Spiegels hin. DieVermutung einer verwandten Form der Schwingungsmoden wird auch durch die geringe Differenzder Resonanzfrequenzen unterstutzt.


Große Unterschiede zeigen die beiden Resonanzen jedoch in ihren Guten, wie in Abschnitt 5.2.2quantifiziert wird. Da diese durch die Verluste in der Halterung des Quarzringes dominiert werden,mussen sich die beiden Resonanzen in der Kopplung an den Quarzring unterscheiden. Die Massedes Quarzrings und seine Steifheit ist groß im Vergleich zum eigentlichen Spiegel, so daß die sichergebende Frequenzverstimmung klein ist. Dies stimmt auch mit der gemessenen Aufspaltung, die28 Hz groß ist und damit etwa 2,5% der Resonanzfrequenz entspricht, qualitativ uberein.

Hieraus ergibt sich das Bild einer Schwingungsmode des eigentlichen Oszillators, also der einge-spannten Feder mit dem Spiegel am Ende, die durch Kopplung an den Quarzring aufgespalten wird.Die Große der Aufspaltung wird durch die Beweglichkeit des Anschmelzpunktes und des Quarz-ringes bestimmt. Die entstehenden zwei Normalmoden des Systems fuhren zu unterschiedlichenBewegungen des Quarzringes und damit verschieden starker Reibung an den Auflagepunkten. Jestarker die Bewegung gegen die Auflagepunkte, desto großer ist die Reibung und damit die Ener-giedissipation und desto schlechter die Gute. Fur eine starre Befestigung wird eine solche Aufspal-tung nicht auftreten.

Der erste Spiegel hat die Aufspaltung nicht gezeigt. Dies zeigt, wie empfindlich die Aufspaltungvon der genauen Position der Auflagepunkte, dem Anpreßdruck und auch der Oberflache des Quarz-rohres am Auflagepunkt abhangt.

5.2.5 Vergleich des Modells mit dem Experiment

Die in den vorherigen Abschnitten entwickelte Modellvorstellung soll noch einmal zusammenge-faßt werden: Die Antwort des Spiegels auf eine außere Kraft laßt sich durch zwei unabhangigeOszillatoren beschreiben, deren Antworten sich summieren. Diese Oszillatoren entsprechen dereinfachen Biegeschwingungsmode (vgl. Abschnitt 4.6.1), die durch Ankopplung an die Befesti-gung des Spiegels aufgespalten ist.

In diesem Modell gilt fur die Antwort des Spiegels

x(ω) = (G1(ω)+ G2(ω))2c

I(ω), (5.6)

wobei die Antwortfunktionen Gi durch die Parameter der Oszillation bestimmt werden:

Gi =1

mi,eff ω2i

11− (ω/ωi)2 + i/Qi

(5.7)

Die Antwort des Modells bei Parametern, wie sie aus den Abklingmessungen gewonnen wurden,wird in Abbildung 5.9 mit der gemessenen Antwort verglichen. Modell und Messung zeigen eineAbweichung beim Ubergang von der ersten zur zweiten Resonanz. Diese Abweichung entstehtdurch einen Fehler im Verhaltnis der effektiven Massen, die aus den Abklingmessungen gewonnenwurden. Ansonsten zeigt sich eine gute Ubereinstimmung.


500 1000 2000 5000200f [Hz]

-270

-180

-90

0

Pha

se [g

rad]

500 1000 2000 500020010

-7

10-6

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

Am

plitu

de [n

m]

MessungModell

1320.0 1340.0 1360.0 1380.0 1400.0 1420.0f [Hz]

-270

-180

-90

0

Pha

se [g

rad]

1320.0 1340.0 1360.0 1380.0 1400.0 1420.010

-4

10-3

10-2

10-1

Am

plitu

de [n

m]

MessungModell

Abbildung 5.9: Modell und Messung der Antwort des zweiten Spiegels auf 50 mW Anregung

Die Storungen bei Frequenzen f < 1kHz entstehen durch nicht vollstandig unterdruckte akustischeAnregung der Komponenten des Interferometers. Der Abfall bei Frequenzen f > 2kHz entstehtdurch Streulicht: Die Auslenkung des Spiegels verursacht eine Modulation der Intensitat auf derPhotodiode. Das Streulicht der Anregung, das in die Ausgange des Interferometers gelangt, verur-sacht ebenfalls eine solche Modulation, wenn es nicht vollig gleichmaßig auf beide Photodiodengelangt. Durch ungleichmaßige Verteilung des Streulichts auf die Photodioden ergibt sich ein eineOrtsauslenkung vortauschendes Differenzsignal. Je nachdem, in welchen Ausgang mehr Licht ge-streut wird, ist das vorgetauschte Signal in Phase oder um 180 Grad phasenverschoben gegen dieAnregung. Dieses Signal interferiert nun mit dem echten Ortssignal und fuhrt je nach Phasenbezie-

5.3 DRUCKABHANGIGKEIT DER GUTE 81

10-4

10-3

10-2

10-1

100

101

102

p [mbar]

-1e-05

0e+00

1e-05

2e-05

1/Q

= γ

/mΩ

MessungFitkin. Theorie

kinetisches Verhalten viskoses Verhalten

Abbildung 5.10: Dampfung durch Restgas nach Abzug der druckunabhangigen Beitrage, Fit fur kinetische Gasdamp-fung im Bereich p< 0,1 mbar

hung zu einer zu starken oder zu schwachen gemessenen Auslenkung. Um den gemessenen Effektzu verursachen, muß etwa 1ppm der Anregungsleistung in einen einzelnen Ausgang gestreut wor-den sein. Bei aufeinanderliegenden Flecken von Test- und Anregungsstrahl ware der Effekt nochgroßer gewesen, da die verwendete Schicht noch relativ große Streuverluste zeigt.

5.3 Druckabhangigkeit der Gute

In Abschnitt 1.6 wurde die Dampfung durch das Restgas vorhergesagt. Als Begrenzung der Gutedurch diesen Dampfungsmechanismus wird durch diese Theorie fur die zweite Resonanz bei einemDruck von z.B. 0,01 mbar ein Wert von Q = 5 ·106 vorhergesagt. Das System ist also noch sehrweit von der Begrenzung durch Gasdampfung entfernt. Bei einer ausreichend genauen Messungder Gute in Abhangigkeit vom Druck sollte es trotzdem moglich sein, den Einfluß des Restgaseszu messen. Mit Gl.(1.23) im Abschnitt 1.2 gilt fur die Dampfung

γ = γ0 + γp(p) →1Q

=1

Q0+

1Qp(p)

. (5.8)

Mit dieser Gleichung kann der Effekt durch Gasdampfung aus den Messungen der gesamten Gutebestimmt werden. Da die einzelne Gutemessung mit einem zu großen Fehler behaftet ist, mußeine große Zahl von Messungen herangezogen werden, um durch Mittelung die Fehler zu redu-zieren. Statt einer Mittelung vor der Auswertung kann auch eine Regression mit den Rohdatendurchgefuhrt werden. In Abbildung 5.10 ist das Ergebnis dieser Messung an der zweiten Reso-nanz des zweiten Spiegels dargestellt. Der Offset 1/Q0 wurde durch lineare Regression der ge-messenen 1/Q-Werte bestimmt und zur Darstellung abgezogen. Die dargestellte reziproke Gute


ist damit der Wert fur reine Gasdampfung. Die negativen Werte ergeben sich durch das Abziehendes großen statischen Offsets, der die Grafik um 1/Q0 = 1,3 ·10−4 nach oben verschieben wurde.

Die Dampfung durch Gas laßt sich in zwei verschiedene Mechanismen zerlegen: Dampfung durchviskose Reibung (vgl. Abschnitt 1.5) und Dampfung durch

”dopplerverschobenen“ Impulsuber-

trag von einzelnen Restgasmolekulen (vgl. Abschnitt 1.6). Der erste Mechanismus ist bei hohenDrucken p > 1 mbar und damit hohen Dichten dominant, da er durch die Krafte zwischen denMolekulen bestimmt wird. Diese Krafte (van-der-Waals-Krafte) bestimmen das viskose Verhal-ten. Der zweite Mechanismus wird dominant, wenn das Verhalten der einzelnen Molekule nichtmehr durch Wechselwirkungen mit den anderen Molekulen, sondern durch Stoße mit den Wandenund dem Inhalt des Vakuumgefaßes bestimmt wird. Dies ist bei Drucken p < 0,1 mbar der Fall.Zwischen diesen Druckbereichen gibt es einen Ubergang, in dem beide Mechanismen etwa gleichstark wirken.

Die Dampfung im kinetischen Regime kann gut berechnet werden (Abschnitt 1.6) und mit der ge-messenen Abhangigkeit in diesem Druckbereich verglichen werden:

• Experiment: Qp p = 68000 mbar

• Theorie: Qp p = 50000mbar

Die Ubereinstimmung ist in Anbetracht der Streuung der Meßwerte gut. Diese Messung zeigt auch,daß fur die Messungen der Transferfunktionen und der Gute von Spiegeln durch Strahlungsdruckder Restgasdruck p < 10−3 mbar keinen wesentlichen Einfluß auf das Meßergebnis hat. Fur diezweite Resonanz mit einer Gute von 7800 betragt der verursachte relative Fehler 10 ppm. Da derFehler außerdem systematisch und bei bekanntem Druck vorhersehbar ist, kann auch dieser Feh-ler noch reduziert werden, so daß auch bei Spiegeln mit sehr hohen Guten eine prazise Messungmoglich ist.

5.4 Fluktuationen

In Kapitel 2 wurden die erwarteten Ortsfluktuationen durch thermische Anregung, Restgas undStrahlungsdruckrauschen dargestellt. Beim Strahlungsdruckrauschen ist zu beachten, daß der La-ser ein im untersuchten Bereich weißes technisches Rauschen mit der spektralen Dichte

|SI(ω)| = 6 ·10−7I (5.9)

aufweist (vgl. Abbildung 5.12). Das großte”Signal“ durch diese Fluktuationen ist auf der Reso-

nanz zu erwarten. Ein Vergleich der vorhergesagten Fluktuationen mit den gemessenen Ortsfluk-tuationen zeigt jedoch, daß die durch andere Storungen (hauptsachlich Akustik) verursachten Orts-fluktuationen diese Effekte uberdecken (Abbildug 5.11). Die Auflosung ist also noch nicht durchdiese Effekte limitiert, sondern wird durch die Apparatur bestimmt.

5.5 ERREICHTE ZIELE UND ZUKUNFTIGE MOGLICHKEITEN 83

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5f [kHz]

10-15

10-12

10-9

10-6

10-3

100

|Sx|

[nm

/√H

z]aktuelles Ortsrauschentechnisches Laserrauschenthermisches RauschenSchrotrauschen, I=100mWRestgasfluktuationen

Abbildung 5.11: Vergleich der erreichten Auflosung mit den vorhergesagten Ortsfluktuationen durch thermische Effek-te, Restgas, technisches Laserrauschen des unstabilisierten Lasers (200mW im Interferometer) und Schrotrauschen

5.5 Erreichte Ziele und zukunftige Moglichkeiten

Es ist gelungen, einen Meßapparat aufzubauen, mit dem die Antwort eines Spiegels auf Anregungdurch Licht uber einen weiten Frequenzbereich der Anregung gemessen werden kann. Der Rausch-untergrund der Apparatur wurde soweit reduziert, daß sich bei Strahlungsdruckmessungen ein dy-namischer Meßbereich fur die Amplitude von fast vier Dekaden ergibt. Fur thermische Effektekonnte sogar ein dynamischer Bereich von mehr als 5 Großenordnungen in der Amplitude erreichtwerden.

Die nun noch dominierenden Rauschquellen sind in ihrer Ursache erkannt und in ihrer Wirkungcharakterisiert. Der Einfluß des Restgasdruckes konnte experimentell betimmt werden und stimmtmit der theroretischen Vorhersage uberein, so daß der Einfluß des Meßapparates auch fur Probenhoher Gute bestimmt und separiert werden kann.

Die moglichen Mechanismen zur Anregung der Spiegel durch Licht, also Strahlungsdruck undthermische Effekte verschiederner Art, konnen durch die Messung der Antwortfunktion unterschie-den und charakterisiert werde und sind in ihrem Verhalten verstanden.

Gleichzeitig ist der realisierte Aufbau als Option fur die Zukunft auf die homodyne Messung vonQuadraturen und ihre Unscharfe ausgelegt.


0 500 1000 1500 2000f [Hz]

-130

-120

-110

-100re

l. S

chw

anku

ng [d

B/√

Hz]

Abbildung 5.12: Technisches Rauschen des Lasers, Quantenrauschgrenze fur 500mW ist -184dB/√

Hz

Zukunftige Anwendungen neben der Charakterisierung von Spiegeln und ihren Anregungsmecha-nismen kann die Untersuchung von thermischem Rauschen und von Quanteneffekten sein. Ab-bildung 5.11 zeigt, welche Verbesserung der Ortsauflosung hierfur noch notig ist. Um diese Orts-auflosung zu erreichen, kann an drei Stellen angegriffen werden:

Eine Grenze ist das technische Rauschen der Lichtquellen, das in das Phasensignal einkoppelt. Die-se Einkopplung wird zur Zeit durch die nicht perfekte Gleichtaktunterdruckung verursacht. Dieselaßt sich durch zusatzliche Abstimmoglichkeiten bei der Detektionselektronik verbessern, da sodie Streuung der Widerstande und Photodioden ausgeglichen werden kann. Um thermisches Drif-ten der verwendeten Prazisionsmeßwiderstande zu verhindern, kann eine zusatzliche thermischeStabilisierung der Meßelektronik eingefuhrt werden.

Die Einkopplung von Schwingungen, die die Empfindlichkeit im niederfrequenten Bereich undauf den Spiegelresonanzen begrenzen, kann durch ein mehrstufiges Isolationssystem mit niedrigenResonanzen reduziert werden. Solche Isolationssysteme werden in Gravitationswellendetektoren[5] oder bei der Untersuchung interner Spiegelschwingungen fur ausgedehnte Spiegel [23] schoneingesetzt.

Eine weitere Ursache von Fluktuationen bildet die Lichtquelle, die zur Zeit fur Frequenzen f <20 kHz durch technisches Rauschen begrenzt wird, das noch 60dB uber der Schrotrauschgren-ze bei der verwendeten Intensitat von 500mW liegt (Abb. 5.12). Zum einen gibt es keine per-fekte Gleichtaktunterdruckung, so daß auch nach Verbesserung der Gleichtaktunterdruckung tech-

5.5 ERREICHTE ZIELE UND ZUKUNFTIGE MOGLICHKEITEN 85

nisches Rauschen die Phasenempfindlichkeit begrenzt. Zum anderen konnen nur mit Hilfe einerschrotrauschbegrenzten Lichtquelle die Quanteneffekte wie Strahlungsdruckrauschen durch Schrot-rauschen und nichtklassische Lichtzustande untersucht werden.

Die Untersuchung und Erzeugung von nichtklassischen Lichtzustanden wird in einem so verbesser-ten Experiment durch eine resonante Uberhohung der Lichtintensitat auf dem Spiegel moglich sein.Der notige Schritt in diese Richtung ist die Realisierung des verwendeten Michelson-Interferometersmit Fabry-Perot-Resonatoren in den Armen.

Zusammenfassung und Ausblick

Im Rahmen der Diplomarbeit wurde ein Modell entwickelt, mit dem sich die Bewegungen einesals mechanischer Oszillator ausgefuhrten Spiegels vorhersagen und charakterisieren laßt. Außer-dem wurden die sich durch Restgas und Warme ergebenden Krafte und Fluktuationen sowie derEinfluß der Apparatur auf die gemessenen Parameter bestimmt.Der realisierte Meßaufbau erfullt die an ihn gestellten Anforderungen: Durch geeignete Unter-druckung der Rauschquellen erlangte er die notige Empfindlichkeit, um die Anregung des Spiegelsdurch Strahlungsdruck uber einen weiten Frequenzbereich zu messen. Diese Empfindlichkeit wur-de durch seismische und akustische Isolation und Minimierung der elektronischen Rauschbeitrageerreicht.Bei der Messung konnte Strahlungsdruck demonstriert werden. Alle weiteren moglichen erwunsch-ten oder unerwunschten Krafte durch Licht sind analysiert und in ihrer Großenordnung bestimmtworden. Insbesondere thermische Ursachen wurden untersucht und durch ein Modell beschrieben.Fur die Untersuchung von Strahlungsdruck konnen mit den so gewonnenen Erkenntnissen gezieltSpiegel konstruiert werden, fur die thermische Effekte vernachlassigbar sind. Mit dem Phasen-verlauf der Antwortfunktion wurde insbesondere ein empfindliches Kennzeichen aufgezeigt, umthermische Effekte aufzuspuren oder auszuschließen.Die Messung der Antwort eines Spiegels auf Strahlungsdruck wurde mit dem aufgestellten Modellverglichen, wobei sich eine gute Ubereinstimmung zeigte. Dabei konnte die Antwort des Spiegelsim Frequenzbereich uber mehr als eine Dekade bestimmt werden. Die notigen Parameter fur denVergleich wurden ebenfalls mittels Strahlungsdruck – aber unabhangig von der Transferfunktion –durch Abklingmessungen bestimmt.Im Experiment konnten auch die Vorhersagen fur den Einfluß des Restgases bestatigt werden. Dasomit der Einfluß des Meßapparates auf die Messung der Gute bekannt ist, konnen auch Systemesehr hoher Gute oder niedriger Resonanzfrequenz in ihren Parametern mit hoher Genauigkeit be-stimmt werden.Die Ursachen fur das verbliebene Ortsrauschen bei der Detektion des Spiegelortes, das bei Fre-quenzen f > 1 kHz unter 10−14m/

√Hz liegt, sind bekannt. Wird die Empfindlichkeit des Auf-

baus durch eine mehrstufige Schwingungsisolation, eine noch prazisere Detektionselektronik undeine quantenrauschbegrenzte Lichtquelle noch weiter verbessert, laßt sich in zukunftigen Experi-menten mit dem demonstrierten Aufbau auch thermisches Rauschen untersuchen. Wird zusatzlichnoch die Intensitat auf dem Spiegel durch Uberhohung in einem Resonator deutlich vergroßert, sokann mit diesem Experiment in das Regime der Quanteneffekte vorgestoßen und die Veranderungvon Lichtzustanden gezeigt werden.

Abbildungsverzeichnis

1.1 Anwortfunktion des Oszillators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Vergleich von Antwortfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 Integrationspfad fur komplexe Wegintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4 Abklingen eines Oszillators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.5 Vergleich unterschiedlicher Dampfungsmechanismen . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.1 Thermische Ortsfluktuationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.1 Unscharfeflache eines Zustands im Phasenraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.2 Heterodyndetektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.3 Homodyndetektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.4 Wirkung eines Kerrmediums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.5 Entwicklung der Wignerfunktion im Kerrmedium . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.1 Michelson-Interferometer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.2 Akustische Einkopplung beim Tischaufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.3 Schwingungsisolation des Interferometers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.4 Rauschuntergrund des Interferometers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.5 Messung der Antwortfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.6 Regelschema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.7 Schema des kompletten Aufbaus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

90 ABBILDUNGSVERZEICHNIS

4.8 Realisierung des Spiegels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.9 Der Spiegel als Drehpendel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5.1 Resonanz des ersten Spiegels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5.2 Sprungantwort bei thermischer Anregung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5.3 Antwort des ersten Spiegels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

5.4 Strahlpositionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

5.5 Resonanzen des zweiten Spiegels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

5.6 Gute- und Amplitudenmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

5.7 Abklingen der Oszillation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

5.8 Einfluß des Anregunsortes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

5.9 Transferfunktion des zweiten Spiegels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

5.10 Messung der Dampfung durch Restgas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

5.11 Vergleich erwarteter Fluktuationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

5.12 Technisches Rauschen des Lasers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

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[26] A. VAN DER ZIEL: Noise. Prentice-Hall, 1970.

Danksagung

Zunachst mochte ich allen Menschen meinen Dank ausrichten, die mich in den Jahren meines Stu-diums begleitet und diesen Zeitraum so lebenswert gemacht haben.

Fur die Moglichkeit, mein Studium mit der Arbeit in dieser speziellen Arbeitsgruppe zu been-den, und fur die Begeisterung fur die verschiedensten Bereiche der Physik, die er immer wiederzu wecken vermag, mochte ich ganz besonders Herrn Prof. Karsten Danzmann danken.

Mit Rat und Tat standen mir wahrend des letzten Jahres besonder Olliver Jennrich und Benno Will-ke zur Seite: Vielen Dank hierfur.

Fur die Versorgung mit zerbrechlichen Versuchsobjekten haben Stefan Trager und Andreas BockSorge getragen, denen ich auf diesem Wege noch einmal danken mochte. Entschuldigt die Streckean zersprungenem Glas, die ich hinterlassen habe.

Fur das gute Klima im Institut, das mir sehr behagte, sind alle Angehorige diese Institus und naturlichauch der Außenstelle zusammen verantwortlich, und ich mochte allen fur dieses Jahr herzlich dan-ken.

Meinen Eltern verdanke ich, daß mir dieses Studium uberhaupt moglich war. Ihnen gehort meinebesondere Dankbarkeit.

Danken mochte ich auch den Freunden, die mich in der letzten Zeit oft mit viel Geduld ertragenmußten. Und ganz besonderen Dank fur die Aufmunterung und Geduld in der letzten Zeit schuldeich Sonja Weinbrecht.

Hannover im Dezember 1995

Selbstandigkeitserklarung

Hiermit versichere ich, die vorliegende Arbeit selbstandig und nur mit den angegebenen Hilfsmit-teln erstellt zu haben.

Hannover, den 14. Dezember 1996

(Frank Hohls)

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