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Implicit Regularization for Optimal Sparse Recovery Tomas Vaškevičius 1 , Varun Kanade 2 , Patrick Rebeschini 1 1 Department of Statistics, 2 Department of Computer Science University of Oxford {tomas.vaskevicius, patrick.rebeschini}@stats.ox.ac.uk [email protected] September 11, 2019 Abstract We investigate implicit regularization schemes for gradient descent methods applied to unpenalized least squares regression to solve the problem of reconstructing a sparse signal from an underdetermined system of linear measurements under the restricted isometry assumption. For a given parametrization yielding a non-convex optimization problem, we show that prescribed choices of initialization, step size and stopping time yield a statistically and computationally optimal algorithm that achieves the minimax rate with the same cost required to read the data up to poly-logarithmic factors. Beyond minimax optimality, we show that our algorithm adapts to instance difficulty and yields a dimension-independent rate when the signal-to-noise ratio is high enough. Key to the computational efficiency of our method is an increasing step size scheme that adapts to refined estimates of the true solution. We validate our findings with numerical experiments and compare our algorithm against explicit 1 penalization. Going from hard instances to easy ones, our algorithm is seen to undergo a phase transition, eventually matching least squares with an oracle knowledge of the true support. 1 Introduction Many problems in machine learning, science and engineering involve high-dimensional datasets where the dimensionality of the data d is greater than the number of data points n. Linear regression with sparsity constraints is an archetypal problem in this setting. The goal is to estimate a d-dimensional vector w ∈ R d with k non-zero components from n data points (x i ,y i ) ∈ R d × R, i ∈{1,...,n}, linked by the linear relationship y i = x i , w + ξ i , where ξ i is a possible perturbation to the i th observation. In matrix-vector form the model reads y = Xw + ξ , where x i corresponds to the i th row of the n × d design matrix X. Over the past couple of decades, sparse linear regression has been extensively investigated from the point of view of both statistics and optimization. In statistics, sparsity has been enforced by designing estimators with explicit regularization schemes based on the 1 norm, such as the lasso [46] and the closely related basis pursuit [15] and Dantzig selector [13]. In the noiseless setting (ξ = 0), exact recovery is possible if and only if the design matrix satisfies the restricted nullspace property [16, 17, 19]. In the noisy setting (ξ = 0), exact recovery is not feasible and a natural criterion involves designing estimators w that can recover the minimax-optimal rate kσ 2 log(d/k)/n for the squared 2 error w - w 2 2 in the case of i.i.d. sub-Gaussian noise with variance proxy σ 2 when the design matrix satisfies restricted eigenvalue conditions [9, 48]. The lasso estimator, defined as any vector w that minimizes the objective Xw - y 2 2 + λw 1 , achieves the minimax-optimal 1
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Zielgruppe und VoraussetzungDie Teilnahme am IntelliVue Basiskurs IV 1.x (ehemals MP/MX 1.x) ist Voraussetzung. Andernfalls kann keine Buchung in dem IV 2.x (ehemals MP/MX 2.x) erfolgen.
Techniker und Ingenieure von Philips Krankenhauskunden mit ersten technischen und applikativen Grunderfahrungen am Philips IntelliVue Patientenmonitorsystem und physiologischen Grundkenntnissen. Es werden Kenntnisse in der Patienten- überwachung vorausgesetzt. Der Teilnehmer sollte mit der Gebrauchsanweisung des SupportTools und mit dem Configuration Guide vertraut sein.
Technische Weiterbildungen – Philips IntelliVue Patientenmonitore
Update/Advanced Training + SupportTool Mark2
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Technische Weiterbildungen – Philips IntelliVue Patientenmonitore
Update/Advanced Training + SupportTool Mark2
Kursinhalte► Diskussion der praktischen Erfahrungen
► Vertiefende Applikation MP/MX-Serie
► Transportkonzept
► Systemwerkzeuge und good to know
► Troubleshooting Netzwerke und zentrale Überwachung
► Praktische Übungen zur Fehlersuche und Reparatur
► Detaillierte Übersicht über die Anwendungsmöglichkeiten des IntelliVue Biomed SupportTools Mark2 ▪ Überblick Biomed Lizenz ▪ Unterstützte Produkte ▪ Systemvoraussetzungen ▪ Übersicht der Anwendungsmöglichkeiten ▪ Installation des SupportTools ▪ Einstellungen am PC ▪ Einführung in die SupportTool Oberfläche ▪ Monitor Konfigurationen auslesen und erstellen ▪ Auslesen von Status Logs und Device Reports ▪ Screenshot am Patientenmonitor aufnehmen ▪ Software Up- oder Downgrade durchführen ▪ Ändern der Produkt- und Seriennummer
und Software Reload nach Reparatur
► Praktische Beispiele/Übungen zur Anpassung von Bildschirmlayouts
► Archivieren und Clonen von Einstellungen und Konfigurationen
► Software Reload nach Tausch von Ersatzteilen
► Systempflege durch Firmware & Software Updates der Komponenten
► Möglichkeiten der erweiterten Fehleranalyse und proaktive Systemfernüberwachung
LernzieleDieser Kurs vermittelt den Teilnehmern aufbauendes Know-how zur professionellen Betreuung der installierten Monitorsysteme durch Optimierung der vorhandenen Konfiguration und Erfah-rungsaustausch in Zusammenhang mit wiederkehrenden Fehlerquellen und deren effizienter Beseitigung unter Hilfe- nahme des Philips IntelliVue Biomed SupportTools Mark2.
KonditionenDauer 4 TageTeilnehmer max. 12 PersonenVeranstaltungsort Hamburg*Kursgebühr 2.915,00 € zzgl. MwSt.
Bitte bringen Sie, falls vorhanden, Ihren Laptop mit der SupportTool Software mit. Falls ein eigener Laptop vorhanden ist, kann die Software darauf installiert werden. (Voraussetzung: Administrator Rechte auf dem Laptop). Das SupportTool wird Ihnen ansonsten während des Trainings von uns bereitgestellt. Ihre persönliche IntelliVue SupportTool Lizenz kann nach dem Training beantragt werden.
Kurs-Nr. Termine Zeiten
2020-IV 2.1 23.03.–26.03.2020 Tag 1–3: 09.00–17.00 Uhr Tag 4: 09.00–14.00 Uhr
2020-IV 2.2 12.05.–15.05.2020
2020-IV 2.3 31.08.–03.09.2020
2020-IV 2.4 07.12.–10.12.2020
IntelliVue SupportTool (Biomed Lizenz) Software Gebühren:
Erstlizenz 5.500,00 € zzgl. MwSt.Jede weitere Lizenz 2.000,00 € zzgl. MwSt.
• Die Software muss grundsätzlich immer von einer Gesundheitseinrichtung käuflich erworben werden.
• Beim Kauf einer Software Lizenz erhält der Kunde lebenslangen Support.
• Vertragskunden, bei denen das IVST Bestandteil des Vertrags ist, erhalten Produktsupport über die gesamte Vertragslaufzeit.
• Hinweis: SupportTool Lizenzen sind personen- gebunden. Die Gesundheitseinrichtung ist Eigentümer der Lizenz. Alle Aktivitäten mit dem SupportTool werden gespeichert.
WichtigTeilen Sie uns bei der Buchung bitte folgende Informationen mit: ► Name und Kontaktinformationen► Philips Krankenhauskunde bei dem Sie tätig sind► Rechnungsadresse
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* Der Veranstaltungsort der Termine im vierten Quartal ist noch offen und wird Ihnen bei der Buchung eines Kurses rechtzeitig mitgeteilt.
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