Thema: Parabeln

[ein Bindeglied zwischen Geometrie und Algebra ]

Dr. Neidhardt 14.11.03

Referent: Christian Schuster

Gliederung:• Anwendungsgebiete und Vorkommen

von „Parabel“ – Erscheinungen in der Natur

• Parabeln: Definition, geometrische und physikalische Charakterisierung

• Parabeln – Ein Bindeglied zwischen Geometrie und Analysis

• Möglichkeiten der geometrischen Konstruktion von Parabeln undderen Interpretation

– Konstruktion mit Hilfe des Strahlensatzes– Konstruktion durch den Höhen- Kathetensatz– Konstruktion mit dem Sehnensatz

• Anwendungsgebiete und natürliche Vorkommenvon „Parabel“ – Erscheinungen

Wie oft die Parabel wird in unserem Alltag auftritt, wird uns meist nicht bewusst.

Zum Beispiel ist die Laufbahn beim Werfen eines Balles eine Parabel. Der Ballfällt vom höchsten Punkt in einer Kurve, dem Scheitel, in derselben Formwieder zurück, wie er nach oben geworfen wurde. Beide Bögen bilden dieParabel.

senkrechter Wurf (Annäherung) schiefer Wurf

Auch bei Springbrunnen fliegen die Wassertropfen auf Parabelbahnen

Beim Feuerwerk sieht man ganze Parabelfamilien…

Die Parabel ist eine ebene Kurve, die zu den Kegelschnitten gehört…

Jedoch schneidet die Ebenehier –

im Gegensatz zur Hyperbel

– nur einen der Kegel

Die Reflexionseigenschaft der Parabel wird in vielen optischen Geräten wie beiAntennen (Parabolspiegeln) ausgenutzt.

Auch bei Solarkraftwerken wie hier im Death Valley kommt die Parabelformzum Einsatz

Wenn ein Wasserglas rotiert, steigt das Wasser an den Rändern höher als innen,der Querschnitt der Wasserfläche bildet eine Parabel

Wenn ein Wasserglas rotiert, steigt das Wasser an den Rändern höher als innen,der Querschnitt der Wasserfläche bildet eine Parabel

Geometrische Charakterisierung einer Parabel:Eine Parabel besteht definitionsgemäß aus genau allen Punkten P, deren Abstand voneinem festen Punkt F (Brennpunkt) und einer festenGeraden L (Leitlinie) gleich ist.

Physikalische Charakterisierung einer Parabel:Ein Lichtstrahl, der parallel zur x-Achse einfällt, wird an der Parabel so reflektiert,dass er durch den Brennpunkt geht.

•Parabeln: Definition, geometrische und physikalische Charakterisierung

Thema 1. Stunde

Die Gleichung einer Parabelrelation:

Der Punkt F heißt Brennpunkt der ParabelDie Gerade L heißt Leitlinie der Parabel

pxy 22 =

Die Gleichung einer Parabelrelation:

Der Punkt F heißt Brennpunkt der ParabelDie Gerade L heißt Leitlinie der Parabel

pxy 22 =

Die Gleichung einer Parabelrelation:

Der Punkt F heißt Brennpunkt der ParabelDie Gerade L heißt Leitlinie der Parabel

pxy 22 =

• Parabeln – Ein Bindeglied zwischen Geometrie und Analysis

• Parabeln – Ein Bindeglied zwischen Geometrie und Analysis

• Parabeln – Ein Bindeglied zwischen Geometrie und Analysis

• Parabeln – Ein Bindeglied zwischen Geometrie und Analysis

• Parabeln – Ein Bindeglied zwischen Geometrie und Analysis

• Parabeln – Ein Bindeglied zwischen Geometrie und Analysis

• Parabeln – Ein Bindeglied zwischen Geometrie und Analysis

• Parabeln – Ein Bindeglied zwischen Geometrie und Analysis

• Parabeln – Ein Bindeglied zwischen Geometrie und Analysis

• Parabeln – Ein Bindeglied zwischen Geometrie und Analysis

• Parabeln – Ein Bindeglied zwischen Geometrie und Analysis

Möglichkeiten der geometrische Konstruktion von Parabeln und deren Interpretation

a) Parabelkonstruktion mit Hilfe des Höhen- und Kathetensatzes

Höhensatz:

Pythagoras:

222 bac +=daraus hergeleitet –der Höhensatz:

pqh =2

und –der Kathetensatz:

cpa =2 cqb =2,

pqh =2

x

y d

dyx =⇒ 2

21 xd

y =⇒

xSC =yAS =dSB =

eine Parabelgleichung⇒

21 xd

y = ⇒ d ( ) ist die Konstante, welche die Parabelöffnung festlegt.x und y werden jeweils durch den Punkt P1 abgetragen, welcher sich natürlich senkrecht über dem X-Achsen-abschnitt befinden muss.Daher die Hilfskonstruktion des Rechtecks SAP1C

x

y p

SB

• Zeichne mit Hilfe des Höhensatzes den Graph der quadratischenFunktion, die folgende Gleichung hat:

Aufgabe:

19122 2 +−= xxy

• Wo liegen in diesem Falle die Leitlinie L und der Brennpunkt F ?

• Zeichne mit Hilfe des Höhensatzes den Graph der quadratischenFunktion, die folgende Gleichung hat:

Aufgabe:

19122 2 +−= xxy21 x

dy =

• Wo liegen in diesem Falle die Leitlinie L und der Brennpunkt F ?

• Zeichne mit Hilfe des Höhensatzes den Graph der quadratischenFunktion, die folgende Gleichung hat:

Aufgabe:

19122 2 +−= xxy

• Wo liegen in diesem Falle die Leitlinie L und der Brennpunkt F ?

)1,3(S21 xd

y =

• Zeichne mit Hilfe des Höhensatzes den Graph der quadratischenFunktion, die folgende Gleichung hat:

Aufgabe:

19122 2 +−= xxy

• Wo liegen in diesem Falle die Leitlinie L und der Brennpunkt F ?

)1,3(S2112 =⇒= d

d21 x

dy =

• Zeichne mit Hilfe des Höhensatzes den Graph der quadratischenFunktion, die folgende Gleichung hat:

Aufgabe:

19122 2 +−= xxy

• Wo liegen in diesem Falle die Leitlinie L und der Brennpunkt F ?

)1,3(S2112 =⇒= d

d

75,0=yLeitlinie L

21 xd

y =

• Zeichne mit Hilfe des Höhensatzes den Graph der quadratischenFunktion, die folgende Gleichung hat:

Aufgabe:

19122 2 +−= xxy

• Wo liegen in diesem Falle die Leitlinie L und der Brennpunkt F ?

)1,3(S2112 =⇒= d

d21 x

dy =

Leitlinie L 75,0=y )25,1;3(F

b) Parabelkonstruktion mit Hilfe des Sehnensatzes

Sehnensatz

Schneiden sich zwei Sehnen im Kreis,dann ist das Produkt der beidenAbschnitte auf einer Sehne gleichdem Produkt der beiden Abschnitteauf der anderen Sehne.

ZCDZZEFZ ∗=∗

ZCDZZEFZ ∗=∗

In dem Spezialfall nun mit :

xZEFZ ==

dDZ =yZC =

und

y

x

x

d

ydx ∗=⇒ 2

21 xd

y =⇒ eine Parabelgleichung⇒

21 xd

y =

Mit Hilfe einer kleinenHilfskonstruktion [K1(S,x1); K2(R,y)]werden nun die jeweiligen X- bzw. Y-Achsenabschnitte der Sehensatz-konstruktion durch die Spur vonP1, P2 oder P3, P4 ins Koordinatensystem übertragen.

e

Aufgabe:

• Wo liegen in diesem Falle die Leitlinie L und der Brennpunkt F ?

e

• Was bewirkt eine Veränderung von e?

Aufgabe:

• Wie kann ich beim Sehnensatz die Lage der Leitlinie L bzw. desBrennpunktes F herausfinden ?

e

• Was bewirkt eine Veränderung von e?

e entspricht dem Sehnenabschnitt p,der die Parabelöffnungskonstante darstellt. Verlängert man die Strecke e, wird die Parabelöffnung größer, da d in der Parabelformel als Kehrwert eingeht.

21 xd

y =

Gleichung aus Sehnensatz: allgemeine Parabelgleichung:

Aufgabe:

• Wie kann ich beim Sehnensatz die Lage der Leitlinie L bzw. desBrennpunktes F herausfinden ?

e

• Was bewirkt eine Veränderung von e?

e entspricht dem Sehnenabschnitt d,der die Parabelöffnungskonstante darstellt. Verlängert man die Strecke e, wird die Parabelöffnung größer, da d in der Parabelformel als Kehrwert eingeht.

21 xd

y =

21 xd

y =Gleichung aus Sehnensatz:

pxy 22 =allgemeine Parabelgleichung:

Aufgabe:

• Wie kann ich beim Sehnensatz die Lage der Leitlinie L bzw. desBrennpunktes F herausfinden ?

e

• Was bewirkt eine Veränderung von e?

e entspricht dem Sehnenabschnitt p,der die Parabelöffnungskonstante darstellt. Verlängert man die Strecke e, wird die Parabelöffnung größer, da d in der Parabelformel als Kehrwert eingeht.

21 xd

y =

21 xd

y =Gleichung aus Sehnensatz:

pxy 22 =allgemeine Parabelgleichung:

pd 2=⇒ )41,0(_ dFBrennpunkt⇒ dyLeitlinie

41_ −=⇒

b) Parabelkonstruktion mit Hilfe des Strahlensatzes

d

Der Strahlensatz:

EG HD

A

die Strahlensatzfigur gibt uns zwei Parallelen[ || ] wobei D,E sogewählt wurden, dass sie auf einem Kreis Kum A liegen.dies ermöglicht uns in der Strahlensatzformel

AHAE

ADAG

= mit yAHxADpAG === ,,

zu sagen, dass und somit

gilt ; nach y aufgelöst ergibt sich:

- eine Parabelgleichung!!

xADAE ==

yx

xp=

21 xp

y =

Nun haben wir einen x- und einen y-Achsenabschnitt und könnenebenfalls wieder mit einerHilfskonstruktion aus K1(0, ) um denUrsprung dieX-Koordinate unserer Parabelfestlegen.

AD

Mit Hilfe zweier weitererKreise K2(+X, ) und K3(-X, )um jeweils diese X-Koordinaten habenwir die Y-Spurlinie und damit denGraphen unsererkonstruierten Parabel.

Durch bewegen des Punktes D imProgramm GeoNext, werden dieParabeläste gezeichnet.

AH AH

Aufgabe: 1. Welche Eigenschaft muss die Strahlensatzkonstruktion aufweisen, damit Parabelkonstruktion überhaupt ermöglicht wird?

2. Wie verhält sich die Parabel, wenn der Neigungswinkel, den die Parallelen in der Strahlensatzkonstruktion zur Grundlinie einnehmen verändert wird, wie wenn d verkleinert bzw. vergrößert wird?

Aufgabe: 1. Welche Eigenschaft muss die Strahlensatzkonstruktion aufweisen, damit Parabelkonstruktion überhaupt ermöglicht wird?

E,D müssen auf einem Kreis um A liegen => Parabelgleichung

2. Wie verhält sich die Parabel, wenn der Neigungswinkel, den die Parallelen in der Strahlensatzkonstruktion zur Grundlinie einnehmen verändert wird, wie wenn d verkleinert bzw. vergrößert wird?

Aufgabe: 1. Welche Eigenschaft muss die Strahlensatzkonstruktion aufweisen, damit Parabelkonstruktion überhaupt ermöglicht wird?

E,D müssen auf einem Kreis um A liegen => Parabelgleichung

2. Wie verhält sich die Parabel, wenn der Neigungswinkel, den die Parallelen in der Strahlensatzkonstruktion zur Grundlinie einnehmen verändert wird, wie wenn d verkleinert bzw. vergrößert wird?

wenn d durch Bewegen von a geändert wird, verändert sich die Parabelöffnung

Aufgabe:3. Welche Besonderheit muss in der Strahlensatzkonstruktion vorliegen, damit eine Normalparabel entsteht?

4. Wie finde ich meine Leitlinie bzw. meinen Brennpunkt?

3. Welche Besonderheit muss in der Strahlensatzkonstruktion vorliegen, damit eine Normalparabel entsteht?

4. Wie finde ich meine Leitlinie bzw. meinen Brennpunkt?

Aufgabe:

21 xd

y = 2xy = 111=⇒= d

d

3. Welche Besonderheit muss in der Strahlensatzkonstruktion vorliegen, damit eine Normalparabel entsteht?

4. Wie finde ich meine Leitlinie bzw. meinen Brennpunkt?

Aufgabe:

21 xd

y = pxy 22 =

21 xd

y = 2xy = 111=⇒= d

d

Parabel aus dem Strahlensatz

allgemeine Para-belgleichung

2

21 xp

yxy =⇒⇔

3. Welche Besonderheit muss in der Strahlensatzkonstruktion vorliegen, damit eine Normalparabel entsteht?

4. Wie finde ich meine Leitlinie bzw. meinen Brennpunkt?

Aufgabe:

21 xd

y = pxy 22 =

21 xd

y = 2xy = 111=⇒= d

d

Parabel aus dem Strahlensatz

allgemeine Para-belgleichung

2

21 xp

yxy =⇒⇔

dpdppd 2

12211

=⇒=⇒= und F und L liegen jeweils

bei bzw.

auf dem Lot auf x durch S

p21 p

21

−

Diese Konstruktion einer Parabel durch den Strahlensatz ist nur möglich,indem ich mir geeignete Strecken günstig wähle und gewisse Parameter(Einschränkungen) in Kauf nehme...

hier:

Die Punkte E,D liegen auf einem Kreis um A, wodurch sich eineParabelgleichung aufstellen lässt.