Theoretische Berechnung Theoretische Berechnung von EPRvon EPR--ParameternParametern

Hauptseminar SS 2008von André Konopka

ÜÜbersichtbersicht

Was ist EPR?

Elemente relativistischer Quantenmechanik

Berechnung des g-Tensors

Berechnung der Hyperfein-Wechselwirkung

Zusammenfassung

217.07.2008 Übersicht

Was ist EPR?Was ist EPR?

Elektron Paramagnetische Resonanz

17.07.2008 3

Aufspaltung der Energieniveaus durch (externe)

Magnetfelder

Spinsystem im Grundzustand (tiefe Temperaturen)

Resonante Absorption elektromagnetischer Strahlung

(z.B. Mikrowellen)

Was ist EPR?

17.07.2008 4

Einfaches EPREinfaches EPR--SpektrumSpektrum

∑=

+=N

iiiB SAISgBH

1

ˆˆˆµ

Spin-Hamilton-Operator

Parameter:

g-Tensor

Hyperfein-WW

Was ist EPR?

17.07.2008 5

komplexeres EPRkomplexeres EPR--SpektrumSpektrum

Was ist EPR?

Drei (doppel-) Linien

Eine weitere Linie

Woher kommt welche Linie ?

Greulich-Weber, Zur Struktur von Punktdefekte in SiC

17.07.2008 6

Gesucht ist der Zusammenhang zur Gesucht ist der Zusammenhang zur mikroskopischen Strukturmikroskopischen Struktur

Was ist EPR?

Drei verschieden Einbauplätze für N in SiC lassen sich identifizieren

Zwei quasi-kubische (k1&k2)

Ein hexagonaler (h)

Stickstoff auf k1&k2 liefert die 3 (Doppel-)Linien mit großer Aufspaltung und Stickstoff auf h die zusätzliche Linie

Greulich-Weber, Zur Struktur von Punktdefekte in SiC

Elemente relativistischer QMElemente relativistischer QM

17.07.2008 7Elemente relativistischer QM

Notwendigkeit einer relativistischen Beschreibung, da viele Effekte die EPR beeinflussen relativistischer Natur sind

Wechselwirkung der Elektronen mit Kernen auch in

Kernnähe wichtig

Spin-Bahn-Kopplung spielt entscheidende Rolle

17.07.2008 8

Relativistische Grundgleichung ist DiracRelativistische Grundgleichung ist Dirac--GleichungGleichung

{ }Ψ++=∂Ψ∂ Vmcct

i 2βπα

Acep −=πmit (Minimale Kopplung)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

ΨΨΨΨ

=Ψ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

S

L

i

ii E

Eφφ

βσ

σα

4

3

2

1

2

2 ,0

0 ,

00

1

22)(1)(mit

2)(

−

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+=

⋅=

mcrVErS

mcrS LS φπσφKopplung groß &

kleine Komponete

Elemente relativistischer QM

17.07.2008 9

Relativistische und nichtRelativistische und nicht--relativistische relativistische Elektronendichte fElektronendichte füür des 1sr des 1s--OrbitalOrbital

Elemente relativistischer QM

Berechnung des gBerechnung des g--TensorsTensors

17.07.2008 10Was ist EPR?

Nach Foult-Wouthuysen-Transformation erhält man

( ) ( ) ( )πσσσµ×⋅+×∇+⋅∇+⋅+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

= EcmeE

cmicE

cmeBg

m

Acep

H Be 222222

2

48822

ijij BS

Hg

∂∂∂

=22

α∑ ∫

±=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂×∇=

1

3),(2 σ

σσσα rd

BBrjV

Sg

jieff

soij

Berechnung der HyperfeinBerechnung der Hyperfein--WWWW

17.07.2008 11Berechnung der Hyperfein-WW

Kerne können magnetisches Moment haben Ig NNI µµ =

Zusätzliche radialsymetrische B-Felder (bzw. Vektorpotentiale)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∇×−=×∇=rr

rA II 1)( µµ

)()()( rArArA ==

Störungsrechnung 1.Ordnung

17.07.2008 12

Dirac-Gleichung und H1 als Störung ( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −= ππ DD HA

ceHH1

Ψ⋅Ψ−=∆ AeEHF α

Berechnung der Hyperfein-WW

Da Dirac-Gleichung linear in ,p

( )

{ }A

emccemcAcecc

HAceHH DD

α

φβπαφβαπα

ππ

−=

++−⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ++−=

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

22

1

17.07.2008 13

Oder mit großer und kleiner Komponente:

{ }LSSLHF AAeE φσφφσφ ⋅+⋅−=∆

Kopplung von großer und kleiner Komponente zeigt Hyperfein-WW als relativistischen Effekt !

Berechnung der Hyperfein-WW

Entkopplung

17.07.2008 14

1

22)(1)(mit

2)(

−

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+=

⋅=

mcrVErS

mcrS LS φπσφ

( ) ( ) ( )( ) LLHF rSArSAmceE φσπσπσσφ )()(

2⋅⋅+⋅⋅−=∆

Bahnanteil Spinanteil

Berechnung der Hyperfein-WW

( ) ( ){ }( )LLLLHF rSAiAriSArSmceE φπσπσφφπφ )()()(2

2×+×+⋅−=∆

( )( ) baibaba ×⋅+⋅=⋅⋅ σσσmit

Bahnanteil

17.07.2008 15Berechnung der Hyperfein-WW

LLIOrbitHF

ILL

OrbitHF

LrrS

mceE

Lr

pApArSmceE

φφµ

µφφ

3

3

)(

mit)(

−=∆⇒

==⋅⋅−=∆

Für leichte Kerne weniger relevant als für schwere

Bedeutung nimmt über S mit Stärke der Spin-Bahn zu

Spinanteil

17.07.2008 16Berechnung der Hyperfein-WW

( )( )[ ] LLB

LLSpinHF

ArSArS

rSApArSmceE

φσφµ

φσσφ

⋅∇+×∇−=

×⋅+∇×−=∆

)()(

)()(2

( )( )rrrr

r

rA

IBI

I

⋅−−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ×∇×∇=×∇

µµδµπ

µ

31)(3

8

mit

25

dipolHF

contactHF

SpinHF EEE ∆+∆=∆

Spinanteil

17.07.2008 17Berechnung der Hyperfein-WW

dipolHF

contactHF

SpinHF EEE ∆+∆=∆

( )( ){ } LIILBdipolHF rrr

rrSE φµσσµφµ ⋅⋅−=∆ 3)( 25

Dieser Term beschreibt die Dipol-Dipol-WW von Kern- & Elektronenspin (typische r-3-Abhängigkeit)

Ist der anisotrope Anteil der HF-WW und im Experiment bei Drehung der Probe zu beobachten

Spinanteil

17.07.2008 18Berechnung der Hyperfein-WW

dipolHF

contactHF

SpinHF EEE ∆+∆=∆

( )( )[ ] LIILBLILBcontactHF rrr

rS

rrrSE φµσµσφµφδσµφµπ

⋅⋅−⋅∂∂

−⋅−=∆ 24

1)()(3

8

Term I Term II

Der Term II verschwindet im nicht relativistischen Grenzfall, während Term I gerade im bei relativistischer Rechnung wegfällt

Spinanteil

17.07.2008 19Berechnung der Hyperfein-WW

nichtrelativistischer Grenzfall 01)( =∂∂

⇒=rSrS

.....

....,

)()0(mit

)0(3

8

relnrelnreln

relnIBrelncontact

HF

rm

mE

φδσφ

µµπ

=

−=∆

Magnetisierungs-dichte

Falls diese nur in eine Richtung

)0()0()()0( ....↓↑ −== nnrm relnzrelnz φδσφ

( )( )[ ] LIILBLILBcontactHF rrr

rS

rrrSE φµσµσφµφδσµφµπ

⋅⋅−⋅∂∂

−⋅−=∆ 24

1)()(3

8

Spinanteil

17.07.2008 20Berechnung der Hyperfein-WW

relativistisch

( )( )[ ] LIILBLILBcontactHF rrr

rS

rrrSE φµσµσφµφδσµφµπ

⋅⋅−⋅∂∂

−⋅−=∆ 24

1)()(3

8

Für kleine r divergieren die rel. s-artigen Wellenfunktionen221 1mit)( Zrr αλφ λ −=∝ −

In Kernnähe gilt dann mitrZerV

2

)( ≈

rZemcrS

rZeEmc

mcrS r 2

2

022

2 2)(2

2)( ⎯⎯→⎯⇒−+

= →

( ) 0)( 012122 ⎯⎯→⎯∝∝ →−−

rL rrrrS λλφ

Spinanteil

17.07.2008 21Berechnung der Hyperfein-WW

relativistisch

( )( )[ ] LIILBLILBcontactHF rrr

rS

rrrSE φµσµσφµφδσµφµπ

⋅⋅−⋅∂∂

−⋅−=∆ 24

1)()(3

8

( )[ ] rS

rr

mcZer

rrS

ththrmc

E

r

th

th

∂∂

=⇒=++

=∂∂

22

2

22

2

41)(Radius)-(Thomasmit

1 2 πδ

∫=

−=∆

')'()'(mit3

8

3

.,

rdrmrm

mE

thav

avIBrelcontact

HF

δ

µµπ

Spinanteil

17.07.2008 22Berechnung der Hyperfein-WW

Vergleich der beiden Fälle liefert..,

.,

. relncontact

relcontact

rel EEk

∆∆

=

Atom Z krel

Si 14 1,022

Ge 22 1,144

Sn 50 1,421

Pb 82 3,000

Eine (skalar-)relativistische Rechnung wird also schon bei „relativ leichten“ Elementen nötig!

ZusammenfassungZusammenfassung

EPR ist geeignet Defekte in Festkörpern zu identifizierenBerechnung von g-Tensor & HF-WW von modellierten Defekten erleichter diesesHyperfein-WW „relativ leicht“ durch Störungsrechnung zu bestimmenRelativistische Effekte sind von entscheidender Bedeutung

17.07.2008 23Zusammenfassung

Danke fDanke füür die Aufmerksamkeitr die Aufmerksamkeit

17.07.2008 24