Transformationen

Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil

Transformationen

• Transformationsmodelle

• Anwendung von Transformationen

• Robuste Transformationen

• Nachbarschaftstreue Anpassung


Transformationen in der Geodäsie

• Aufgabe: Übergang von einem Koordinaten-system in ein anderes Koordinatenystem

• Häufiger Fall: Von lokalem System in globales System und umgekehrt

• z.B.: freie Stationierung, Abstecken

• Bedeutung wächst mit GPS und GIS (länderübergreifende Auswertungen in EU)


2D-Transformationen

• Einfach und anschaulich

• Übergang lokal global und umgekehrt

• Ausreichend für einfache Vermessung

• Nicht mehr ausreichend für Wechsel des Bezugssystems, Photogrammetrie


Situation bei Transformation

• Ausgangskoordinatensystem A

• Zielkoordinatensystem B• n Punkte in A gegeben, davon m auch in B

• Unterscheidung: A Kleinbuchstaben, B Großbuchstaben, also (x,y,z) (X,Y,Z)

• Gesucht: Koordinaten aller Punkte in B

• Besteht aus 2 Schritten


Bestimmung der Transformations-funktion und -Parameter

• Voraussetzung: Genügend viele idente Punkte (in beiden Systemen bekannt) = Passpunkte

• Transformationsfunktion für diese Punkte:(X,Y)= F(x,y)

• Funktion abhängig von Problemstellung und Anzahl der Passpunkte


Durchführung der Transformation

• Umrechnung aller Punkte

• Umrechnung der Passpunkte liefert Kontrolle

• Anzahl kann sehr groß sein, also eventuell entsprechende Funktionen verwenden


Bekannte Parameter

• Bei Standardaufgaben oft Parameter bekannt

• z.B.: Umrechnung von GPS-Koordinaten ins Landessystem

• Problem: lokale Abweichungen (Klaffung)

• Können mit weiterer (einfacher) Transformation bereinigt werden


Ähnlichkeitstransformation (1)

• Auch: konforme Transformation oder (wenn überbestimmt) Helmert-Transformation

• 4 Unbekannte: 2x Translation a und b, Maßstab m, Rotation um um z-Achse

• Transformationsgleichungen separat für X und Y: ymxmaX sincos

ymxmbY cossin



• Matrizenschreibweise

• Rotationsmatrix:

• führt zu

y

xm

b

a

Y

X

cossin

sincos

cossin

sincosR

y

xm

b

a

Y

XR



• Manchmal sinnvoll: Weglassen des Maßstabes 3-Parameter-Transformation (z.B. freie Stationierung)

• Ähnlichkeitstransformation erhält die Gestalt transformierter Figuren, also– Gerade bleiben Gerade– Kreise bleiben Kreise– Parallele bleiben parallel– Winkel bleiben unverzerrt


Affin-Transformation (1)

• Erweiterung der Ähnlichkeitstrans-formation durch– Unterschiedliche Drehwinkel für die Achsen– Unterschiedliche Maßstäbe für die Achsen

• Anwendung: Digitalisieren alter Pläne oder Karten (ungleichmäßiger Papierverzug)

• Transformationsgleichungen: ymxmaX yx sincos ymxmbY yx cossin


Affin-Transformation (2)

• Transformationsparameter: 2x Translation a und b, 2x Maßstab mx und my, 2x Rotation um z-Achse und

• Form von Figuren bleibt nicht erhalten

• Erhalten bleiben Geradlinigkeit und Parallelität

• Vereinfachung: Nur ein Drehwinkel 5-Parameter-Transformation


Polynomiale Transformation

• Transformationsformel

• Parameter sind geometrisch nicht zu deuten

• Sinnvoll bei komplexen Verzerrungen

• Problem: Wann wird abgebrochen?

24

23210 yaxayaxaaX

24

23210 ybxbybxbbY


3D-Ähnlichkeitstransformation (1)

• Wichtig in Photogrammetrie, Koordinaten-transformation zwischen verschieden gelagerten Ellipsoiden, 3D-Messverfahren

• Ausgangspunkt 3D-Koordinatensätze

• Transformationsparameter: 3x Translation, 3x Rotation, 1x Maßstab

z

y

x

m

Z

Y

X

Z

Y

X

321

0

0

0

,,1 R



• Zerlegung der Rotationsmatrix

• Mit

123321 ,, xyz RRRR

100

0cossin

0sincos

cos0sin

010

sin0cos

cossin0

sincos0

001

33

33

3

22

22

2

11

111

z

y

x

R

R

R



• Ausmultipliziert ergibt sich komplizierte 3x3-Matrix

• Rotationsmatrix abhängig von der Drehreihenfolge! Angegebene Formeln: erst um x, dann um y, dann um z.

• Auch bezeichnet als 7-Parameter-Transformation (Bursa-Wolf-Modell bei Übergang auf Schwerpunktskoordinaten)



• Bei kleinen Drehwinkeln Vereinfachung• sin x = x, cos x = 1, sin x . sin x = 0

• Ergibt

1

1

1

12

13

23

R


3D-Affin-Transformation

• Transformationsgleichungen

• 12 Unbekannte, also 4 Passpunkte nötig• Erhält Gradlinigkeit, Parallelität, Verhältnis• Ändert Form von Figuren• Kann Näherungswerte für Ähnlichkeitstrans-

formation liefern

z

y

x

aaa

aaa

aaa

Z

Y

X

Z

Y

X

333231

232221

131211

0

0

0


Anwendung

• Für Standardaufgaben Parameter bekannt (z.B. WGS84 GK M-34)

• Problem: lokale Abweichungen nicht berücksichtigt lokale Parameter bestimmen

• Mehr Passpunkte als notwendig Ausgleichungsaufgabe


Helmert-Transformation (1)

• Formelapparat

• Parametervektor

dycxaymxmaX sincos cydxbymxmbY cossin

sin

cos0

0

m

m

Y

X

d

c

b

a

x



• Annahme: n Punkte im Ausgangssystem bekannt, davon p (≤ n) auch im Zielsystem bekannt (= Passpunkte)

• Koordinaten im Zielsystem entsprechen den Beobachtungen Beobachtungs-gleichungen

• Formal: vermittelnde Beobachtungendxcy

dycx

b

a

v

v

Y

X

ii

ii

y

x

i

i

i

i



• 4 Gleichungen: eindeutig = einfache Koordinatentransformation

• >4 Gleichungen: überbestimmte Koordinatentransformation (Helmert)

• Koeffizientenmatrix

pp

pp

xy

yx

xy

yx

xy

yx

10

01

10

01

10

01

22

22

11

11

A



• Klassischer Fall: Gleiche Genauigkeit der Passpunkte P=I

• Lösung bekannt:

• Schätzwert für Varianzfaktor

• Qualität des Modells: Mittlere Klaffung des Punktes

lAAAx TT 1ˆ

1 AAQ T

xx

lAxv

4220

ps

T vv

02 ssP



• Genauigkeitsangaben für m und : Schwieriger weil gemeinsam bestimmt

• Qxx liefert Varianzen für a bis d

• m und über Fehlerfortpflanzungsgesetz

• Besondere Struktur der A-Matrix Normalgleichungen können sofort angeschrieben werden

c

ddcm tan,22



iiii

iiii

i

i

ii

ii

ii

ii

XyYx

XxYy

Y

X

yx

yx

xyp

yxp

n

N

22

22 0

0


Kovarianzen für Helmert-Trafo

• Kovarianzen für Passpunkte• Darf nicht singulär sein (z.B. aus freier

Ausgleichung)• Weitere Rechnung nach Schema• Nur im Zielsystem so möglich• Kovarianzen im Ausgangssystem: Wolf

schlägt vor zu verwenden (nur Näherung, liefert aber brauchbare Ergebnisse)

xxxxll Q20

xyXYll


Prüfung der Ergebnisse

• Hauptprobe (Gleichungen und Berechnung)

• Berechnung der Klaffungen (Passpunkte)

• Statistischer Test für grob falsche Passpunkte – Punkteverschiebung, -Verwechslung (Lenzmann 1984)


Statistischer Test

• Ausgeglichene Zielkoordinaten L+v=Ax

• Fehlerhafter Passpunkt Pi führt zu L+v=Ax+Hiyi

• v, x: neue Werte

• Hiyi: Zuschlag zur Lösung

• Prüfgröße:

Fisher-verteilt mit f1=d und f2=n-u-d

vPv

yQyT

iiiTi

d

dunT

1


3D-Helmert-Transformation (1)

• 7-Parameter-Transformation mindestens 3 Passpunkte notwendig (z.B. 2x Voll-, 1x Höhenpasspunkt)

• Bei Überbestimmung: Näherungswerte kritisch

• Lösung: Variante von Horn (1987), Gröbner-Basis

• Vereinfachung: Kleine Rotationswinkel und kleine Maßstabsänderung



• Näherung für Rotationsmatrix: Einheitsmatrix• Näherung für Maßstab: 1• Näherungswert für Translation aus

beliebigem Passpunkt• Designmatrix für einen 3D-Punkt

• Unbekanntenvektor:

0100

0010

0001

iii

iii

iii

i

XYZ

XZY

YZX

A

321000 mdZdYdXT dP



• Matrix Ai für jeden Passpunkt aufgestellt und in Systemmatrix A zusammengefasst

• Größere Drehwinkel: Verwendung der exakten Matrix notwendig komplexe Ableitungen

• Näherungswerte für Maßstab und Rotationen oft über affine Transformation – 4 Vollpasspunkte notwendig


Transformationen für GPS

Mathematisch korrekter Lösungsweg für Transformation ins Landessystem

• Landeskoordinaten 3D-Koordinaten

• Freie Ausgleichung der GPS-Messungen WGS-84-Koordinaten

• Bestimmung der Transformationsparameter

• Transformation der GPS-Punkte

• Umrechnung ins Landessystem


Robuste Transformation

• Bisher vorausgesetzt: Keine groben Fehler bei den Koordinaten der Passpunkte im Zielsystem

• Robuste Verfahren können somit mit Punktverwechslungen u.ä. umgehen

• Diskussion von– L1-Schätzung– LMS-Schätzung


L1-Schätzung

• Verlustfunktion mit s=1

• Leider nicht effizient Elimination der Fehler durch L1, dann L2

• Minimumsproblem

• Praktische Umsetzung:Simplex-Algorithmus

s

ii vv

min1

n

ii

Ti lxa


LMS-Schätzung (1)

• Forderung• n Beobachtungen aus den u Unbekannten

gewählt, sodass eindeutige Lösung möglich

alle Verbesserungen berechnet, Median bestimmt

• Lösung mit minimalem Wert ist gesuchte Lösung

minmed 2 iv


LMS-Schätzung (2)

• Vorteile:– Frei von Einflüssen der Geometrie– Bis zu 50% fehlerhafte Daten möglich

• Nachteil– Extrem hoher Rechenaufwand von

Lösungen

• Effiziente Algorithmen reduzieren Anzahl der zu berechnenden Lösungen

u

n


Nachbarschaftstreue Anpassung

Methoden, bei denen auch bei Überbestimmung keine Klaffungen in den Passpunkten auftreten

• Maschenweise Affin-Transformation

• Abstandsgewichte

• Multiquadratische Interpolation


Maschenweise Affin-Transformation (1)

• Zerlegung des Transformationsgebietes in Dreiecke

• Passpunkte sind Eckpunkte der Dreiecke

• Jeder zu transformierende Punkt wird einem Dreieck zugeordnet


Maschenweise Affin-Transformation (2)

• Jedes Dreieck hat 6 Bestimmungsstücke (3 Eckpunkte)

• Affin-Transformation hat 6 Parameter

• Daher eindeutige Lösung vorhanden keine Klaffungen

• Nachteil 1: Keine Kontrolle!

• Nachteil 2: Linien zwischen Dreiecken verschieben sich


Abstandsgewichte

• Anpassungsbetrag für jeden Punkt in x- und y-Richtung

• Berechnet aus Klaffungen der Passpunkte

• Abstandsgewicht pij meist überbestimmt mit k=1 oder 1,5 oder 2

• Versagt bei ungleichmäßiger Verteilung

n

iYij

ijY

n

iXij

ijX

ij

ij

vpp

u

vpp

u

1

1

1

1

kijij sp


Multiquadratische Interpolation

• Beruht auf n Interpolationsflächen vom Grad 2 (Hyperboloide)

• Anpassungsbetrag

• Produkt S-1v nur ein mal bestimmt, dann nur mehr eine Multiplikation pro Punkt

• Trotzdem hoher Aufwand wenn viele Punkte

vSs 1 Tjju

Abstandsvektor des Punktes j

Stützpunktmatrix

Restklaffungen


Problem für die Zukunft

Homogenisierung des Katasters

• Komplexe Verzerrungsgeometrie

• Topographie muss erhalten bleiben

• Mindestgrößen sollten erhalten bleiben (Bauflächen, Wald - Eigenjagd)

• Bezug zwischen homogenen Vermes-sungen und inhomogenem Kataster?

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