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Seite 1 von 33 90 ° A B C c a b A B1 C1 c1 a1 b1 C2 C3 B2 B3 a2 a3 Trigonometrie Sinus, Kosinus und Tangens für spitze Winkel Aufgabe: Zeichne ein rechtwinkliges Dreieck aus: b = 5 cm; = 90 ° ; a = 7 cm (1) Berechne das Seitenverhältnis a a zu c : c . Berechnung von c: Seitenverhältnis 2 2 2 2 2 c a b a:c 7 : 8,6023 c 7 5 a:c 0,8137 c c 8,602 m 74 3c (2) Verlängere die Seite b um 1 cm (b = 6 cm). Messe dann die neue Seite a und die neue Seite c und berechne dann das Seitenverhältnis 2 2 2 2 a a zuc : c in dem neuen Dreieck. (3) Verlängere die Seite b nochmals um 1 cm (b = 7 cm). Messe dann die neue Seite a und die neue Seite c und berechne dann das Seitenverhältnis 3 3 3 3 a a zuc : c in dem neuen Dreieck. b2 b3
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90 °
A B
C
c
ab
A B1
C1
c1
a1b1
C2
C3
B2 B3
a2a3
Trigonometrie
Sinus, Kosinus und Tangens für spitze Winkel
Aufgabe:
Zeichne ein rechtwinkliges Dreieck aus: b = 5 cm; = 90°; a = 7 cm
(1) Berechne das Seitenverhältnis a
a zu c :c
.
Berechnung von c: Seitenverhältnis 2 2 2
2 2
c a b a : c 7 : 8,6023
c 7 5 a : c 0,8137
c
c
8,602 m
74
3 c
(2) Verlängere die Seite b um 1 cm (b = 6 cm). Messe dann die neue Seite a und die neue Seite c und
berechne dann das Seitenverhältnis 22 2
2
aa zu c :
c in dem neuen Dreieck.
(3) Verlängere die Seite b nochmals um 1 cm (b = 7 cm). Messe dann die neue Seite a und die neue
Seite c und berechne dann das Seitenverhältnis 33 3
3
aa zu c :
c in dem neuen Dreieck.
b2
b3
Seite 2 von 33
A B
C
c
ab
zu (2):
22 2
2
a 8,4a zu c :
c 10,30,
2 837
281
zu (3):
33 3
3
a 9,8a zu c :
c 12,00,
4 337
381
MERKE:
In jedem rechtwinkligen Dreieck gilt:
Bei gleichem Winkel ist das Verhältnis (Quotient) von a zu c gleich. Dieses Seitenverhältnis a:c bezeichnet man als den Sinus des Winkels und schreibt:
a Gegenkathetesin
c Hypotenuse
Diese Kenntnis benutzt man, um aus vorgegebenen Seiten Winkel zu berechnen.
Berechnung des Winkels :
1
Gegenkathete a 7sin
Hypotenuse c 8,6023
sin 0,8137 / si
0,8137
54
T
,4
n )
6
( R
Berechnung des Winkels :
1
Gegenkathete b 5sin
Hypotenuse c 8,6023
sin 0,5812 / si
0,5812
35
T
,5
n )
4
( R
Gegenkathete zu Winkel
Ankathete zu Winkel
Ankathete zu Winkel
Gegenkathete zu Winkel
Seite 3 von 33
cd
e f
gh
s
t
r
x
yz
Aufgaben zur Bestimmung des Sinus eines Winkels:
Gib zu jedem der folgenden Dreiecke das Seitenverhältnis an, das den Sinus des Winkels ausdrückt der nicht 90° beträgt:
Dreieck 1
Dreieck 2
Dreieck 3
Dreieck 4
sin
sin
edcd
sin
sin
hg
fg
sin
sin
srtr
sin
sin
yzxz
1 2
3 4
Seite 4 von 33
A B
C
c1
a1b1
30 ° 60 °
90 °
A1 B1
C1
c1
a1b1
30 ° 60 °
90 °
B2
C2
a2
60 °
90 °
Der Kosinus und der Tangens eines Winkels
Aufgabe:
Zeichne ein rechtwinkliges Dreieck aus: c = 8 cm; = 30°; = 60°
Mit Hilfe der Winkelfunktion Sinus lassen sich jetzt fehlende Seiten des Dreiecks berechnen:
1 1
1
1 1
1
1 1
1
1
Gegenkathete Gegenkathetesin sin
Hypotenuse Hypotenuse
a bsin30 / 8 sin60 / 8
8 8sin30 8 a sin60
4 cm a 6,9282 cm b
a
c
b
b
c
8
Die Länge der drei Dreieckseiten beträgt also:
a1 = 4 cm; b1 = 6,9282 cm; c1 = 8 cm
Verlängere nun die Seite c um 2 cm:
Auch hier lassen sich mit Hilfe der Winkelfunktion Sinus fehlende Seiten des Dreiecks berechnen:
2 2
2 2
2
2
2
2
2
2
Gegenkathete Gegenkathetesin sin
Hypotenuse Hypotenuse
a bsin30 / 10 sin60 / 10
10 10sin30 10 a sin60
5 cm a 8,6603 cm b
a b
c
10 b
c
Die Länge der drei neuen Dreieckseiten beträgt also:
a2 = 5 cm; b2 = 8,6603 cm; c2 = 10 cm
b2
c2
Seite 5 von 33
cd
e f
gh
s
t
r
x
yz
Nun lassen sich auch andere Seitenverhältnisse auf ihre Größe hin untersuchen. Berechne dazu folgende Seitenverhältnisse:
Die Seitenverhältnisse sind dabei immer bezogen auf den Winkel
1 1
1 1
2 2
2 2
1
1
a bGegenkathete 4 Ankathete 6,92821.) 2.)
c Hypotenuse 8 c Hypotenuse 8
a bGegenkathete 5 Ankathete 8,6603c Hypo
0,5 0,86603
0,5 0,86tenuse 10 c Hypotenuse 10
a Gegenkathete 43.)
b Ankathete
603
0,5776,
49282
2
2
a Gegenkathete 5b Ankathete 8,66
0, 73
7 30
5
Offensichtlich gilt:
MERKE:
In allen rechtwinkligen Dreiecken ( = 90°) sind folgende Seitenverhältnisse gleich:
Sinus des Winkels
Cosinus des Winkels
Gegenkat(sin )
(cos
hete1.)
Hypotenuse
Ankathete2.)
Hypotenuse
Gegenkathete3.) Tangens de
Ankas Win
)
(tan )thete
kels
Aufgaben zur Bestimmung des Sinus eines Winkels:
Gib zu jedem der folgenden Dreiecke das Seitenverhältnis an, das den Sinus, den Kosinus und den Tan-gens des Winkels ausdrückt der nicht 90° beträgt:
1 2
3 4
Seite 6 von 33
Dreieck 1
Dreieck 2
Dreieck 3
Dreieck 4
sin
sin
cos
c
edcdcde
os
ta
d
n
t
ecce
an
sin
sin
cos
c
hg
fg
fg
hos
ta
g
n
t
hffh
an
sin
sin
cos
c
srtrtrs
os
ta
r
n
t
stts
an
sin
sin
cos
c
yzxzxzy
os
ta
z
n
t
yxxy
an
Seite 7 von 33
65.0 ° 25.0 °
48.0 °
42.0 ° 56.7 °
33.3 °
54.5 °
35.5 °
4.713 cm
5.200 cm
2.198 cm
3.658 cm
5.129 cm
6.300 cm
5.200 cm
6.222 cm
3.416 cm
6.576 cm
4.400 cm
4.887 cm
Sinus, Kosinus, Tangens am rechtwinkligen Dreieck
Bestimme die jeweils angegebenen Werte. Runde, wenn nötig, auf vier Stellen nach dem Komma:
Dreieck 1:
cos 65° = Dreieck 2:
sin 35,5° =
sin 25° = cos 35,5° =
tan 65° = tan 35,5° =
sin 65° = tan 54,5° =
tan 25° = cos 54,5° =
cos 25° = sin 54,5° =
Dreieck 3:
tan 42° = Dreieck 4:
sin 56,7° =
cos 48° = sin 33,3° =
sin 48° = cos 56,7° =
tan 48° = cos 33,3° =
cos 42° = tan 56,7° =
sin 42° = tan 33,3° =
3
1
2
4
Seite 8 von 33
A B
C
6.500 cm
2.809 cm
A B
C
1.936 cm
0.686 cm
A B
C
6.600 cm
3.954 cm
D
D
D
Berechne die fehlenden Seiten und Winkel des jeweiligen Dreiecks. Überprüfe dann die gefundenen Werte durch Nachmessen an der Zeichnung:
= = = 90°
b = p = q = hc = <BCD = <ACD =
= 90° = =
a = b = c = ha = <DAB = <CAD = CD =
= = 90° =
a = b = hb = <CBD = <DBA = AD = CD =
Seite 9 von 33
65.0 ° 25.0 °
48.0 °
42.0 ° 56.7 °
33.3 °
54.5 °
35.5 °
4.713 cm
5.200 cm
2.198 cm
3.658 cm
5.129 cm
6.300 cm
5.200 cm
6.222 cm
3.416 cm
6.576 cm
4.400 cm
4.887 cm
Sinus, Kosinus, Tangens am rechtwinkligen Dreieck (Lösungen)
Bestimme die jeweils angegebenen Werte. Runde, wenn nötig, auf vier Stellen nach dem Komma:
Dreieck 1:
cos 65° = 0,4227 Dreieck 2:
sin 35,5° = 0,5806
sin 25° = 0,4227 cos 35,5° = 0,8141
tan 65° = 2,1442 tan 35,5° = 0,7132
sin 65° = 0,9063 tan 54,5° = 1,4021
tan 25° = 0,4664 cos 54,5° = 0,5806
cos 25° = 0,9063 sin 54,5° = 0,8141
Dreieck 3:
tan 42° = 0,9003 Dreieck 4:
sin 56,7° = 0,8357
cos 48° = 0,6691 sin 33,3° = 0,5490
sin 48° = 0,7432 cos 56,7° = 0,5490
tan 48° = 1,1107 cos 33,3° = 0,8357
cos 42° = 0,7432 tan 56,7° = 1,5222
sin 42° = 0,6691 tan 33,3° = 0,6569
3
1
2
4
Seite 10 von 33
A B
C
6.500 cm
2.809 cm
A B
C
1.936 cm
0.686 cm
A B
C
6.600 cm
3.954 cm
D
D
D
Berechne die fehlenden Seiten und Winkel des jeweiligen Dreiecks. Überprüfe dann die gefundenen Werte durch Nachmessen an der Zeichnung:
= 25,6° = 64,4° = 90°
b = 5,9 cm p = 1,2 cm q = 5,3 cm hc = 2,5 cm <BCD = 25,6° <ACD = 64,4°
= 90° = 70,5° = 19,5°
a = 6,2 cm b = 5,8 cm c = 2,1 cm ha = 1,9 cm <DAB = 19,5° <CAD = 70,5° CD = 5,5 cm
= 36,8° = 90° = 53,2°
a = 4,9 cm b = 8,2 cm hb = 4 cm <CBD = 36,8° <DBA = 53,2° AD = 5,3 cm CD = 2,9 cm
Seite 11 von 33
90 °
Sinus, Kosinus und Tangens im Einheitskreis
In der Zeichnung ist ein Viertelkreis mit dem Radius 10 cm gezeichnet. Mit Hilfe dieses Viertelkreises kann man nun die Entwicklung von Sinus, Kosinus und Tangens im Bereich von 0° bis 90° )900(
verfol-
gen. Zeichne dazu die Winkel von 0° bis 90° in 10°-Schritten ein und verlängere sie, wenn möglich, bis zur senkrecht nach oben verlaufenden Linie. (Klebe dieses Arbeitsblatt ins Merkheft ein!)
sin
cos
tan
0°
10°
20°
30°
40°
50°
60°
70°
80°
90°
Beziehungen zwischen Sinus, Kosinus und Tangens:
1.) cos =
2.) sin =
3.) tan =
4.)
AnkatheteteGegenkathe
tan
HypotenuseAnkathete
cos
HypotenuseteGegenkathe
sin
Seite 12 von 33
90 °
Sinus, Kosinus und Tangens im Einheitskreis
In der Zeichnung ist ein Viertelkreis mit dem Radius 10 cm gezeichnet. Mit Hilfe dieses Viertelkreises kann man nun die Entwicklung von Sinus, Kosinus und Tangens im Bereich von 0° bis 90° )900(
verfol-
gen. Zeichne dazu die Winkel von 0° bis 90° in 10°-Schritten ein und verlängere sie, wenn möglich, bis zur senkrecht nach oben verlaufenden Linie. (Klebe dieses Arbeitsblatt ins Merkheft ein!)
sin
cos
tan
0° 0 1 0
10°
0,17 0,98 0,18
20°
0,34 0,94 0,36
30°
0,5 0,87 0,58
40°
0,64 0,77 0,84
50°
0,77 0,64 1,19
60°
0,87 0,5 1,73
70°
0,94 0,34 2,75
80°
0,98 0,17 5,67
90°
1 0 n.d.
Beziehungen zwischen Sinus, Kosinus und Tangens:
1.) cos = sin(90 )
2.) sin = cos(90 )
3.) tan = sin, für 90
cos
4.) 2 2(sin ) (cos ) 1
AnkatheteteGegenkathe
tan
HypotenuseAnkathete
cos
HypotenuseteGegenkathe
sin
Seite 13 von 33
10 20 30 40 50 60 70 80 90
02
04
06
08
1
Beweise für die Zusammenhänge zwischen Sinus, Kosinus und Tangens:
zu 3.) Beweis:
Gegenkathete
sin GegenkatheteHypotenuseHyp
HypotenuseAnkathetecos Ankathete
Hypotenus
Gegenkathetetan tan tan tan q.e.d.
oten Ankatheuse te
e
zu 4.) Beweis:
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
2
2
Gegenkathete Ankathete1
Hypotenuse Hypotenuse
Gegenkathete Ankathete1
Hypotenuse Hypotenuse
Gegenkathete Ankathete1
Hypotenuse
Hypotenuse1
Hypoten
sin c
us
1
e
o
1
s
1
Die Funktionen sin , cos , tan für 0°
90°
Aufgabe:
Zeichne die Funktionen y1 = sin ; y2 = cos und y3 = tan für 0°
90° in ein Koordinatensystem ein. Denke zuvor über die Achseneinteilung und den notwendigen Bereich nach!
Seite 14 von 33
70 °
60m x
y
250m180m
42 °
102m
FT
Anwendung sin, cos, tan
Aufgabe:
Eine 60 m lange Feuerwehrleiter wird mit einem Neigungswinkel ( ) von 70° an eine Hauswand gelehnt.
a.) Wie hoch reicht die Leiter? b.) In welchem Abstand von der Hauswand befindet sich der Fußpunkt der Leiter?
zu a.)
Gegenkathete xsin sin70
Hypotenuse 60
xsin70
60sin70
x 56,38 m
60 x
zu b.)
2 2 2
2 2
Ankathete ycos cos70 oder :
Hypotenuse 60
ycos70 y 60 56,38
60
cos70 60
y 20,52 m y 20,53
y y 60
Pythag
56,38
o :
m
ras
Aufgabe:
Eine Seilbahn überwindet auf einer ersten Teilstrecke von 250 m Länge eine Höhe von 180 m. Wie groß ist der Steigungswinkel ?
Gegenkathetesin
Hypotenuse
180sin
250sin 0,72
46,05
Der Steigungswinkel beträt 46,05°.
Aufgabe:
Aus einer Entfernung von 102 m sieht man die Spitze eines Fernsehturmes unter einem Höhenwinkel von 42°. Wie hoch ist der Turm?
Gegenkathete FTtan tan42
Ankathete 102FT
tan42102
tan42 102 FT
FT 91,84 m
Seite 15 von 33
6,5 cm 6,5 cm
30 °
hc
hahb
A B
C
ab
c
A
B
C
D
a
e
f
5 cm
9 cm
Aufgabe:
Gegeben ist ein gleichschenkliges Dreieck mit:
a = b = 6,5 cm; = 30°;
= = 75°
Berechne c; ; ; ha; hb; hc; A; u des Dreiecks
c2sin
2 6,5c
sin 6,52 230
sin 6,5 2 c2
sin15
c 3,4
6 5
m
c
c
, 2
a a
a
a b
a
h hsin sin 75
c 3,4h
sin 753,4
sin75
h h 3,3 cm
3,4 h
c c
c
c
c
h hsin sin 75
a ah
sin 756,5
sin75 6,5 h
h 6,3 cm
2
g hA u a b c
23,4 6,3
A u 2 6,5 3,
A 10,71cm u 16,4 c
42
m
Aufgabe:
Gegeben ist eine Raute mit e = 5 cm und f = 9 cm.
a.) Zeichne die Raute. b.) Berechne die Seitenlänge a der Raute, alle Winkel und den Flächeninhalt der Raute.
2
58,1
58,1 12
e2,52tan tan tan 0,5 29,05
f2 2 4,5 2 22
wenn 58,1 dann dann dann
e e2,52 2sin a a
2 a sin29,05sin2
e f 5 9A A
1,9 121,9
a 5,2 cm
A 22,5 cm2 2
Seite 16 von 33
M
r
s
a
100 ° 4 cm
A B
C
a
ha
60 °
Aufgabe:
Zeichne einen Kreis mit r = 4 cm. Zeichne in den Kreis zwei Radien (r) ein, die einen Winkel ( ) von 100° am Mittelpunkt (M) bilden. Verbinde die Endpunkte der beiden Radien durch eine Sehne (s).
a.) Wie lang ist die Sehne (s)? b.) Wie groß ist der Abstand (a) der Sehne vom Kreismittelpunkt (M)? c.) Wie groß sind der Flächeninhalt (A1) und der Umfang (u) des Kreises? d.) Wie groß ist der Flächeninhalt (A2) des Dreiecks? e.) Wie viel Prozent der Fläche des Kreises beträgt die Fläche des Dreiecks?
zu a.) zu b.)
s2sin
2 4s
sin 42 2100
sin 4 2 s2
sin5
s 6
0
,
4 2 s
1cm
acos
2 4
cos 4 a2100
cos 4 a2
cos50
a 2,6
4
cm
a
zu c.)
1
2
21
2
1
A r u 2 r
A 4 u 2
A 50,27 cm u 25,1c
4
m
zu d.)
2
2
22
g hA
26,1 2,6
A2
A 7,93 cm
2
1
A 100p
A
7,93 100p
50,27p 15,8%
Zusatzaufgabe:
Beweise mit Hilfe von Pythagoras und der entsprechenden Winkelfunktion in einem gleichseitigen Dreieck, dass folgendes gilt:
1a.) sin60 3
2
b.) tan60 3
22 2 a a
a
22 2
2 2a
a
a
h hah a sin60 tan60
a2 a2
a a3 3a 2 2h a sin60 tan60
a4 a2
3 a 3 a 2 3h a sin60 tan6
1
04 2
sin60 3 tana
60 32
h 3
a 2 a
2
Seite 17 von 33
12m
100m
x450m
Spezielle Anwendung des Tangens
Aufgabe:
Auf einem Verkehrsschild findet man die Angabe: 12% Steigung.
Wie groß ist der Steigungswinkel ?
12% Steigung bedeutet: Auf einer waagerechten Länge von 100 Metern steigt die Straße um 12 Meter an.
12tan tan 0,12 6,8
100
Der Steigungswinkel beträgt 6,8°.
Wie groß müsste die Steigung in Prozent auf dem Schild eigentlich angegeben sein, wenn man die tatsäch-lichen Verhältnisse auf dem Verkehrsschild betrachtet?
Hinweis: Verkehrsschild ist ein gleichseitiges Dreieck! x
tan30 tan30 100 x100
x 57,7%
Die Steigung in Prozent müsste 57,7% sein!
Aufgabe:
Der Steigungswinkel der angeblich steilsten Straße der Welt im neuseeländischen Ort Duneddin beträgt 31°.
a.) Wie groß ist die Steigung dieser Straße in Prozent? b.) Welcher Höhenunterschied (h) wird auf einer Fahrbahnstrecke von 450 Metern überwunden? c.) Wie groß wäre der Steigungswinkel bei einer Steigung von 100%?
zu a.) x
tan31 tan31 100 x100
x 60,1%
Die Steigung in Prozent beträgt 60,1%.
zu b.)
xsin31 sin31 450 x 231,77x
450m
zu c.)
100tan ta 4
005n 1
1
Seite 18 von 33
a
h
r
45 °
Regelmäßige Vielecke
Aufgabe:
Ein regelmäßiges Achteck besitzt die Seitenlänge a = 5 cm.
a.) Berechne die Fläche des Achtecks (A8). b.) Berechne die Fläche des Umkreises (AK). c.) Um wie viel Prozent ist die Fläche des Umkreises größer als die Fläche des Achtecks? d.) Berechne den Umfang (u) des Inkreises. e.) Um wie viel Prozent ist der Umfang des Inkreises kleiner als der Umfang des Achtecks?
zu a.)
a a2,52 2tan h h
2 h tan22,5tanh
2
6 cm
882
8a h 5 6
A 8 A 8 A 120 cm2 2
zu b.)
a a2,52 2sin r r
2 r sin22,5sin2
r 6,5 cm
K K2
K2 2A r A 6,5 A 132,73 cm
zu c.)
Pw 100 132,73 100p p
G 1p 110,6% also um 10,6%
20
zu d.)
u 2 r u 2 u 37,7 cm6
zu e.)
Pw 100 37,7 100p p
G 40p 94,25% also um 5,75%
Seite 19 von 33
Regelmäßige Vielecke
1.) Die Seitenlänge (s) eines regelmäßigen Zehnecks beträgt 4,5 cm.
a.) Berechne seinen Flächeninhalt (AV). b.) Berechne den Radius (ru) seines Umkreises. c.) Berechne den Radius (ri) seines Inkreises. d.) Bestimme den Flächeninhalt (AKR) des Kreisringes aus Um- und Inkreis. e.) Um wie viel Prozent kleiner ist der Umfang (Ui) des Inkreises als der Umfang (Uz) des Zehnecks? f.) Um wie viel Prozent größer ist der Umfang (Uu) des Umkreises als der Umfang (Uz) des Zehnecks? g.) Um wie viel Prozent kleiner ist die Fläche (Ai) des Inkreises als die Fläche (Az) des Zehnecks? h.) Um wie viel Prozent größer ist die Fläche (Au) des Umkreises als die Fläche (Az) des Zehnecks?
Beschrifte das für die Berechnung wichtige Dreieck mit den Angaben s, ru und ri und führe die Berechnungen im Hausheft durch. Benutze dazu die in den Aufgaben angegebenen Abkürzungen. Da das Zehneck in den Originalmaßen gezeichnet wurde, kannst du deine Werte durch Messen vergleichen.
Seite 20 von 33
Regelmäßige Vielecke
i
i
i
i
i
s2a.) tan18r
stan18 r
2s
r2 tan18
4,5r
2 tan18r 6,9 cm
2
10
i10
10
10 s rA
210 4,5 6,9
A 155,25
A
c
2
m
i
u
u
u i
iu
u
rb.) cos18
r
r cos18 r
rr
r 7,3 c
cos186,9
rcos1
m8
ic ) r. 6,9 cm
2 2KR u i
2 2KR
2KRA 17,84
d.) A (r r )
A (7,3 6
m
)
c
,9
i
i i
i
e.) U 2 r
U 2 6,9
U 43,4 cm
i
z
U 100p
U
43,4 100p
1096,44% al
4,5so um 3,56%
u
u u
u
f.) U 2 r
U 2 7,3
U 45,9 cm
u
z
U 100p
U
45,9 100102% also um 2p
10 4%
,5
2i
2i i
2i
g.) A r
A 6
A 149,57 cm
,9
i
z
A 100p
A
149,57 100p
1596,34% als
5o um 3,66%
,25
2u
2u u
2u
h.) A r
A 7
A 167,42 cm
,3
u
z
A 100p
A
167,42 100p
15107,84% als
5o um 7,84
,25%
allgemein:
18sin2s
r
18tan2s
r
u
i
2 s 100 10e.) p
10 s 2 tan18 tan182 s 100 10
f.) p10 s 2
96,
si
6883%
n18
also um 3,3117%
101,6641% also um 1,6sin18
641%
2 2
22
2 2 2
2
ss 100100s 100 4 tan182 tan18 4 (tan18)
g.) p10 s s 10 s 4 (tan18) 1
96,6883% also um 3,3117% (siehe Umfang!)
106,8959% also
0 s2 2 t
um 6,89
an18 4 tan1810
ptan18
10 tan18h.) p
(sin18% (s
)59 iehe Umfang!)
Seite 21 von 33
a
d
e
Winkelfunktionen in Körpern
Aufgabe:
Gegeben ist ein Würfel mit der Kantenlänge a = 5cm. Wie groß ist der Winkel, den die Raumdiagonale (e) des Würfels
a.) mit einer Kante des Würfels bildet (Winkel )? b.) mit der Diagonalen (d) einer Seitenfläche bildet (Winkel )? c.) (Führe die Berechnung für alle Würfel mit der Kantenlänge a durch.)
zu a.)
2 2 2
2 2 2
d 7,
Berechnung der Flächendiagonalen d :
B
d a a
d 5 5
dtan
a7,1
tan
e
5tan 1,4
rec
1cm
54,
hnung n
8
:
2
vo
zu b.)
2 2 2
2 2 2
e 8,
Berechnung der Raumdiagonalen e :
Berechnung von
e a d
e 5 7,1
asin
e5
si
7 c
n8
,,7
5
:
m
3 1
zu c.)
2 2 2
2 2 2
Berechnung der Flächendiagonalen d : Winkel :
Berechnung der Raumdiagonale
dd a a tan
a
a 2tan 2
a
ae a d sin
d a 2
54,7356
e a 3
35,26
n e : W
ea 1 1
s
inke
in 33a 3 3
4
l :
4
Seite 22 von 33
a
s
hah
Winkelfunktionen in Körpern
1.) Die Grundfläche einer quadratischen Pyramide mit der Grundkante a = 6cm bildet mit jeder ihrer Seiten-
flächen einen Winkel von 60°.
a.) Berechne das Volumen (V) und die Oberfläche (O) der Pyramide. b.) Wie lang ist die Seitenkante (s) der Pyramide? c.) Wie groß ist der Winkel zwischen einer Seitenkante (s) und der Grundfläche? d.) Wie groß ist der Winkel zwischen einer Seitenfläche und der Höhe (h)? e.) Wie groß ist der Winkel zwischen einer Seitenkante (s) und der Grundkante (a)? f.) Wie groß ist der Winkel zwischen der Höhe (h) und der Seitenkante (s)?
Klebe dieses Arbeitsblatt in dein Merkheft ein!
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Winkelfunktionen in Körpern (Lösungen) zu a.)
22
aa
22
3a
2
a
a
ah a h2tan cos V O a 2 a ha h 32
aa 6 4,22tan h h V O 6 2 6 62 cos 3
3tan60 3 h h
cosV 62,4 cm O 108 cm
h 5,2 cm h 6 m60
c
zu b.) zu c.) zu d.) zu e.) zu f.)
22 2 a
a
2 2 2
aha h h2s h sin tan tan cosa2 s h s2
5,2 3 6 5,2s 6 3 sin tan tan cos
6,7 5,2 3 6,7s 6,7 cm 50,9 30 63,4 39,1
Seite 24 von 33
Sinus, Kosinus und Tangens
1. Aufgaben aus der Geometrie
Hinweis: Fertige zu jeder der Aufgaben eine übersichtliche Skizze an und benenne die Stücke entsprechend
der Aufgabenstellung.
1.) In einem rechtwinkligen Dreieck ( = 90°) ist gegeben: q = 2,5 cm ; = 35°.
Berechne a, b, c, p, hc ; .
2.) In einem Rechteck schneiden sich die beiden Diagonalen unter einem Winkel von
=110°. Jede Diago-nale ist 7,2 cm lang. Berechne die Seiten a und b des Rechtecks und den Winkel , unter der die Diago-nale die Seite a schneidet.
3.) In einem gleichschenkligen Dreieck (a = b) ist gegeben: hc = 4,6 cm ; = 56°.
Berechne a, b, c, , .
4.) In einem symmetrischen Trapez (b = d) ist gegeben: a = 6 cm; c = 4 cm; = 60°. Berechne b, d, h, , und den Flächeninhalt A.
5.) In einem Kreis hat eine Sehne mit der Länge s = 5,5 cm einen Abstand a = 2,5 cm vom Mittelpunkt M des Kreises. Berechne den Radius r und den Mittelpunktswinkel dieses Kreises?
6.) In einem Kreis mit dem Radius r = 20 cm ist ein Zwölfeck einbeschrieben. Berechne den Flächeninhalt dieses Zwölfecks.
7.) Einem Kreis mit dem Radius r = 8 cm ist ein Achteck einbeschrieben und umbeschrieben. Wie groß ist der Unterschied der beiden Flächeninhalte?
8.) Eine Gerade verläuft durch die Punkte A(2/5) und B(4/1). Unter welchem Winkel schneidet die Gerade die x-Achse ( ) und die y-Achse ( )?
Lösungen in nicht geordneter Reihenfolge: (Alle Angaben ohne Gewähr!)
Winkel 56° 95,4° 120° 63,4° 55° 68° 35° 26,6° 120°
Längen (cm)
10,4 19,3
4,3 3,7
2,2 7,4
3,1 6,1
3,8 6,6
1,3 1,8 5,8 5,5 6,2 1,7 2,0 2,0
Flächen (cm2)
1158
8,5 211,2
180,56 30,6
1204,32
2. Anwendungsaufgaben
Hinweis: Fertige zu jeder der Aufgaben eine übersichtliche Skizze an in der das Bestimmungsdreieck deut- lich erkennbar ist. Berechne dann mit Hilfe der Winkelfunktionen oder mit Pythagoras.
1.) Der Bewegungsmelder einer Außenleuchte wird montiert. Er wird in einer Höhe h = 1,80 m angebracht und soll die Grundstücksbreite e = 6,50 m überwachen. Wie groß muss der Neigungswinkel des Bewegungsmelders sein?
2.) Von der 6,20 m hohen Kaimauer eines Hafens wird ein Schiff mit einem Theodolit angepeilt. Der Theo-dolit ist 1,50 m hoch. Das Schiff erscheint unter einem Tiefenwinkel = 2,6°. Wie groß ist die Entfernung e des Schiffes von der Kaimauer?
3.) Die Bugwelle eines Schiffes hat immer einen Öffnungswinkel von etwa 40°. Ein Schiff fährt in der Mitte eines 160 m breiten Flusses. Wie weit ist sein Bug vom Auftreffpunkt der Welle am Ufer entfernt?
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4.) Der Amazonas hat von seinem Eintritt in die Tiefebene bis zur Mündung in den Atlantik auf etwa 4800 km Länge ein Gefälle von 106 m. Wie groß ist der durchschnittliche Gefällwinkel ?
5.) Die steilste Straße der Welt soll im neuseeländischen Ort Duneddin sein. Sie besitzt den Steigungswin-kel = 31°.
a.) Wie viel Prozent Steigung sind das? b.) Welcher Höhenunterschied h besteht auf einer 450 m langen Strecke?
6.) Die Rohrleitung eines Wasserkraftwerkes fällt um 450 m. In einer Karte mit dem Maßstab 1:25000 ist sie 4,2 cm lang eingezeichnet. Berechne den Neigungswinkel und die Länge e der Leitung.
7.) Bei einer Stehleiter (Grundform ist ein gleichschenkliges Dreieck) mit 3m langen Holmen ist der Öff-nungswinkel = 30°.
a.) Wie hoch befindet sich die Leiterspitze über dem Boden? b.) Wie weit stehen die beiden Holme auseinander? c.) Um wie viel cm kommt die Leiterspitze tiefer, wenn sich von 30° auf 40° vergrößert?
Lösungen in nicht geordneter Reihenfolge: (Alle Angaben ohne Gewähr!)
Winkel 25,4° 74,5° 0,0013° 60%
Strecken 2,90 m 231,77 m
169,57 m
233,9 m 1050 m 1,55 m 8 cm
3. Körperberechnungen
Hinweis: Fertige zu jeder der Aufgaben eine übersichtliche Skizze an in der das Bestimmungsdreieck deut- lich erkennbar ist. Berechne dann mit Hilfe der Winkelfunktionen oder mit Pythagoras.
1.) In einer quadratischen Pyramide beträgt die Länge der Seitenhöhe ha = 8,5 cm. Der Winkel
zwischen einer Seitenfläche und der Grundfläche der Pyramide beträgt 65°.
a.) Berechne das Volumen (V) und die Oberfläche (O) dieser Pyramide. b.) Wie groß ist der Winkel
zwischen der Seitenkante (s) und der Grundseite (a) dieser quad-ratischen Pyramide?
2.) Körniges Material lässt sich zu einem Kegel aufschütten. Die Größe des dabei entstehenden Bö-schungswinkel
ist vom angeschütteten Material abhängig (siehe Tabelle). Berechne die fehlenden Werte dieser Tabelle:
a.) b.) c.)
Material Kohle Sand Erde
Böschungswinkel ( ) 45° 25° 37° Kegeldurchmesser (d) 18 m
Umfang der Grundfläche (u) 36 m
Kegelhöhe (h)
Kegelradius (r)
Seitenlinie des Kegels (s) 4,5 m
Grundfläche (A)
Mantelfläche des Kegels (M)
Kegelvolumen V
3.) Berechne die Größe der Winkel ,
zwischen den Flächendiagonalen (e, f, g) und der Raumdiagona-len (d) in einem Quader mit den Seitenlängen a = 10 cm, b = 3 cm und c = 6 cm.
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A B
C
c
abhc
q p
A B
CD
a
b
A B
C
c
abhc
A B
CD
a
b
c
d h
Sinus, Kosinus und Tangens Geometrie (Lösungen)
zu 1.)
2 2 2 2cc c
22 2 2 c
c
2
c
2 2 2
2
c
2 2
htan b h q h p q
q
hh tan q b 1,8 2,5 p
q
1,8h tan35 2,5 p
2,5
c p q
b 3,1cm
h 1,8 cm p 1,3 c
a c b
c 1,3 2,5 a 3,8 3
m
55
c 3,8 cm a 2,2 c
,
m
1
zu 2.)
2 2 2
2 2 2
bsin a e b
e
b sin e a 7,2 4,3
b sin3
35
a 5,8 cm
b 4
5 7,
,3 cm
2
zu 3.)
c
c
ch 2sin cosb b
h cb cos b
si
56 68
b
n 24,6
b c cos5
a 5,5 cm c 6,
6 5,5 2sin5
c6
2 m
zu 4.)
2
1 hcos sin
b b1
b h sin bcos
1 (6 4) 1,7b h sin60 2 A
cos
60
120
b d 2,0 cm h 1,7 cm A 8,5 cm
60 2
Seite 27 von 33
r
s
a
M
r
h
s
M
a1
h
r
45 °
a2
zu 5.)
22 2
2 2 2
ss2tan r a
2 a 2
2,75tan r 2,5 2,7
95,5 r 3,7 c
52 2,5
m
zu 6.)
2
sh 12 s h2cos sin A
2 r 2 r 2
h cos r s sin r 2 A 6 10,4 19,32 2
h cos15 20 s sin A 1204,32 cm
h 19,3 cm s 10,
15 20 2
4 cm
zu 7.)
1
i
1
1
2
a
2
2i
1
2a
i
2
2
a
A 180,56 cm
h 7,4 cm a 6,1cm
h r 8 cm
A 211,2 cm
a 6,6 c
ah 8 6,1 7,42cos sin A
2 r 2 r 2
h cos r a sin r 22 2
h cos22,5 8 a sin22,5 8 2
a8 6,6 82tan A
2 h 2
a tan h 22
a tan22,
A A A
A 211,2 1
2
0
8
m
5
82
,56
A 30,64 cm
Seite 28 von 33
1 2 3 4 5
1
2
3
4
5
6
A
B
4
2
e
h
eS
S
x
160m
zu 8.)
4tan 90
2tan 2 90 63,
63,4 2 ,
4
6 6
Sinus, Kosinus und Tangens Anwendungsaufgaben (Lösungen)
zu 1.)
etan
h6,5
tan1
74,5,8
zu 2.)
etan87,4
6,2 1,5e tan87,4 7
e 169,5
,7
7 m
zu 3.)
80sin20
x80
xs
xin20
233,90 m
87,4°
1,5
6,2
Seite 29 von 33
4800km106m
450mh
e450m
3mh
s
zu 4.)
0,106sin
480,0
0013
0
zu 5.)
zu a.) zu b.) x h
tan31 sin31100 450
x tan31 100 h sin31 4
x 60,1% h 231,77
50
m
zu 6.)
450e 4,2 cm 25.000 sin
1050e 105.000 cm 25,4
e 1050 m
zu 7.)
zu a.) zu b.)
sh 2cos15 sin153 3
h cos15 3 s sin1
h 2,90 m s 1,5
5 3
5
2
m
zu c.)
hcos20 a 2,90 m 2,82 m
3h cos20 3 a 290 cm 282 cm
h 2,82 m a 8 cm
Seite 30 von 33
a
s
ha
h
Sinus, Kosinus und Tangens Körperberechnungen (Lösungen)
zu 1.)
zu a.)
2 22
3
a
2
2
ah 2sin65 cos65
8,5 8,5h sin65 8,5 a cos65 8,5 2
a h 7,2 7,7V O a 2 a h
3 3
O 7,2 2
h 7,7 cm a 7,2 cm
V 133,056 cm
O 174,2
7,
4
8
m
,
c
2 5
zu b.)
22 2
a
2 2 2
aa2cos s h
s 2
3,6cos s 8,5 3,6
9,66,96 s 9, cm
22
zu 2.)
zu a.)
2 2 2
2
2
2
3
2 2
2 2
2 2
u 56,55 m
s 1
u d u 18
htan s h r
r
h tan r s 9 9
h tan45 9
A
2,73 m
h 9 m
A 254,47 m
M 359,93 m
V 76
r A 9
M r s M 9 12,7
3,40
3
r h 9 9V V
37
3m
h
r
s
Seite 31 von 33
zu b.)
2 2 2
2 2 2
2 2
2
2
2
2
3
u 36d d
htan s h r
r
h tan r s 2,67 5,73
h tan25 5,73
A
d 11,46 m r 5,73 m
s 6,32 m
h 2,67 m
A 103,15 m
M 113,77 m
V 91,80
r A 5,73
M r s M 5,73 6,32
r h 5,73 2,61m
7V V
3 3
zu c.)
22
2 2
2
3
2
r 3,59 m d 7,18 m
u 22,56 m
h 2,71
rcos r s cos r 4,5 cos37
s
u d u 7,18
hsin
sh sin s
h sin37 4,5
A r A
m
A 40,49 m
M 50,75 m
V 36,
3,59
M r s M 3
57
,59 4,5
r h 3,59 2,71V V
3 35 m
h
r
s
h
r
s
Seite 32 von 33
a
b
c
d
e
a
b
c
d f
a
b
c
d
g
zu 3.)
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
e 1
e a b d e c
e 10 3 d 10,4 6
ecos
d10,4
cos
0,4 cm d 12,0 cm
1229,9
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
f 6,7 cm d 12,0 cm
f b c d e c
f 3 6 d 10,4 6
fc
56
osd6,7
cos12
,1
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
g 1
g a c d e c
g 10 6 d 10,4 6
gcos
d11,7
cos
1,7 cm d 12,0 cm
1212,8
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Verschiedene Winkelarten
Höhenwinkel
Tiefenwinkel
Steigungswinkel Gefällwinkel
Öffnungswinkel
45 °
45 °
Neigungswinkel
Böschungswinkel
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