Trigonometrische Funktionen

Gliederung

1. Definition der Winkelfunktionen am rechtwinkligen Dreieck und am Einheitskreis; Komplementärbetrachtungen

2. Sätze über Winkelfunktionen: Sinussatz und Cosinussatz

3. Additionstheoreme4. Der Tangenssatz

a) am rechtwinkligen Dreieckb) am Einheitskreis; c) Komplementärbetrachtungen

1. Definition der Winkelfunktionen

a) Definition der Winkelfunktionen am rechtwinkligen Dreieck

HypotenuseteGegenkathe

ca sin

90 ° A

a

B

c

Cb

AnkatheteteGegenkathe

ba tan

HypotenuseAnkathete

cb cos

teGegenkatheAnkathete

ab cot

b) Definition der Winkel-funktionen am Einheitskreis

sin : Ordinate (y-Wert) des zu gehörenden Punktes auf dem Einheitskreis

cos : Abszisse (x-Wert) des zu gehörenden Punktes auf dem Einheitskreis

tan : Länge des Abschnittes der senkrechten Tangente im Punkt P(1/0) bis zum „freien“ Schenkel des Winkels . Für Winkel über 90° hinaus muß dieser Schenkel „rückwärts“ verlängert werden

cot : Länge des Abschnittes der waagrechten Tangente im Punkt T(0/1) bis zum „freien“ Schenkel des Winkels

c) Komplementbeziehungen

sin = a/c = cos sin = cos (90°-)cos = b/c = sin cos = sin ( 90°-)tan = a/b = cot tan = cot (90°-)cot = b/a = tan cot = tan (90°-)

c

C

b

A

a

B

90 °

d) Definition der trigonometrischen Funktionen

cot:)cot(

tan:)tan(

cos:)2cos(

sin:)2sin(

k

k

k

k

20 und kfür Z

2. Sätze über Winkelfunktionen

a)Sinussatz b)Cosinussatz

Allgemeiner Sinussatz

Ist R der Radius des Umkreises des Dreiecks ABC mit Winkeln , so ist

RABAC

2sinsinsin

BC

Beweis:

A B

C

90 °

M

A B

C

M

A'

'90 °

Sinussatz

In einem Dreieck gilt:

cba sinsinsin

Beweis:

A B

C

ab

c H

h

Folgerung aus dem Sinussatz

Ein Dreieck hat den Flächeninhalt abc/4R, wobei R der Umkreisradius ist.

Beweis:

A B

C

ab

c H

hMR

Cosinussatz

Im Dreieck ist das Quadrat der einen Seite gleich der Summe der Quadrate der beiden anderen Seiten, vermindert um das doppelte Produkt aus diesen beiden anderen Seiten und dem Cosinuswert des eingeschlossenen Winkels.

a² = b²+c²-2bc cos b² = a²+c²-2ac cos   c² = a²+b²-2ab cos

Beweis:

A

B

C

a

b

c

H

hq

p

A

B

C

a

b

c

H

qh

p

Folgerung aus dem Cosinussatz

In einem Dreieck gilt:

coscos cba

3. Additionstheoreme (1)

sinsincoscos)cos(

sincoscossin)sin( b)

1²cos²sin a)

Beweis:

A B

C

D A''

1. Für spitze Winkel

2. Für stumpfe Winkel

A B

C

DA'

Additionstheoreme (2)

tantan1

tantan)tan( c)

2sin

2sin2coscos 4.

2cos

2cos2coscos 3.

2sin

2cos2sinsin 2.

2cos

2sin2sinsin 1. d)

cos³sin8cossin4)4sin( 3.

³sin4sin3)3sin( 2.

cossin2)2sin( 1. e)

coscos21

sinsin f)

2)2cos(1

²sin g)

Additionstheoreme (3)

4. Tangenssatz

baba

2tan

2tan

In einem Dreieck gilt: