~f. ~THY. ~bor das Prinzip der ~kktion. 169

Uber das Prinzip der Aktion und ~iber die Klasse mechanischer Prinzipien, tier es angeh6r~.

Yon

Dr. ~IORIWZ R~TEr aus Budapest*).

Ich babe der ung. wissenseh, hkademie in den Jahren 1895--96 drei Arbeiten vorgelegt, die ich auch in den Berichten aus Ungarn und in den Ma~. Annalen publizier~e; ich babe in diesen Arbeiten die GHtigkei~ des Prinzips der Ak~ion und seine volle Aquivalenz mi~ dem Hamil~n- schen im Bereieh der ganzen geehanik bewiesen. Herr Hglder publizierte im Jahre 1896 in den G~ttinger gelehrten Anzeigen eine Arbei~ fiber das Prinzip der Aktion, jedoch in anderer Fassung. Es sehein~ abet, dab bei dieser Formulierung das gegenseitige Verh~ilfalis der genannben Prinzipien, und auch die eindeutige Umkehrbarkeit des yon Hglder bewiesenen Satzes nicht deuflich genug hervor~itt. Diese Fragen werden in w 1, I dieser Arbei~ behandelt.

Seitdem ist auger den Arbeifen des Herrn Kgnigsberger , die das Prinzip auf gr'~f%e hgherer Ordnung ausdehnen, meines Wissens nur eine Arbeit fiber diesen Gegenstand erschienen: die ebenfalls in den Ggtt4nger gelehrten Anzeigen im Jahre 1900 l~ublizier~e Note des Herrn A. Voss, die meinem Interesse aus zwei Ursachen begegnete. Die eine Ursaehe ist rein pers~nlicher Na~ur: Herr Voss seheint n~mlich yon meinen Arbei~en keine Kenntmis genommen zu haben. Die zweite Ursaehe is~ objek~iver Natur: die Wendnng n~imlich, die bei seiner Fassung der Grenzbedingung der Variation in Erscheinung ~rit~, is~ neu; hingegen ist die Umkehrbarkeit des yon ibm ausgesprochenen Satzes noch zu bespreehen. Diese Note gab den !mpuls zur vorliegenden Untersuehung, die auch auf K.r~'~e

*) I)iese Arbeit is~ die Zusammenfassung einer Abhandlung und einer ku.vzen No~e, die ich der math. naturwiss. Klasse der ungarischen Akademie der Wissen- schaf~en am 21. April 1902, resp. am 16. Februar 1903 vorgelegt babe. Erschienen in ,,Math. ~s Term. ~ e s i t ~ " 1902, 1903.

170 M. R ~ .

h~iherer Ordnung ausgedelmg wird. Das haupts~ehliehsb l~sul~at 1~$~ sich far den Fall yon KriifCen in gewShnliehem Sinn, in rein analyfiseher Fassung, wie folg~ aussprechen:

dq~ 1. Es miigen f, f~, a~ Funktionen der q~, dt ' t, (k = 1, �9 �9 v), dx ( i = - 1 , - - - , n), trod d'x die Operaiion dx---3- /dt bezeiehnen; und es

sei Q~ eine beliebige GriiBe; t o und t~ zwei lest gegebene Zei~punlde. Die Forderung, daft die simul~nen Yaria~ioasgleiehungea Bestand

haben, tt

(~) ~ f ti d~ = O; to

fE 2, (b) d ' ( f - - f~ ) + Q,6"q d r = O , 1

to

Of (c) e t + ~ ' q = o , I . ] to

(a) ~ ~,~'~, = o, (k = i , . . . , ~) 1

ist~ ~iquivalent; damit b dab das System der q~ das Sysbm gewghMieher Differen~ialgleiehungen befriedig~

~f d ~f Z (~) q, + ~ , e, ~q: + i~a~, = o , (i = i , . . . , n). 1

2. Werden simtliche Forderungen aufrecht erhalbn, die Variations- bed_ingungen (b) und (c) ausgenommen, an deren Sblle die Forderung bitt, dab

n

(b')

(~')

d

1 1

I -]to

sei, wo die a~ beliebige analytische Funk~ionen yon t bedeu~en, soUen ferner die Grenzzeiten t o und t 1 beliebig verschiebbar sein: so geschieht simtlichen Forderungen nut durch das simultane Gleichungssysbm (e) Geniige; es w~'e denn, dab

( ~ 7 - , f~)

t~ber clas Prinzip der Air,ion. 171

entweder an und ffir sich oder infolge des Gleiehungssys~ems (d) ver- sehwindeL in welchem Fall es auger dem System (e) auch noch andere LSsungen geben kann.

In w 1 wird nach einem Riickblick auf die erste Fassung des Prinzips bei Lagrange, ein abgektirzter Beweis des Sat~es des Herrn Voss gegeben und dieser Satz besprochen. In w 2 wird nach Ableitung der voran- gestellten SKtze eine Klasse yon mechanischen Prinzipien en~wickelt, welche das Prinzip der Albion enth~. w 3 ist der Jacobischen Transformation des Prinzips der Aktion gewidmet. In w 4 ist die Verallgemeinerung auf kinetische Potentiale h~herer Ordnung angedeutet.

w

Die Variation yon f Tdt. I. Es sei die lebendige Kraf~ T des Sys~ms eine homogene quadra~isehe

Funktion der Gesehwindigkei~en q~', deren Koeffizienten Funktionen blo$

der q~ sind; trod es bedeute ~ eine Variation ftir ~t-~ 0, w~ihrend mit ~

eine Variation bei der Festsetzung ~t = 0 bezeichnet sei. Man hat dann

(1) Es bestehen n'~mlich

(3)

o ( 2 r a o - ( o r + o,r) at.

(Tdt) = ~Td t + T~dt,

(rdt) --- ,rat-

Die Identits (2) ist unmitt~lbar evident; die Identit~t (3) ist eine Folge davon, dab T eine quadratische homogene Funldion der q~' ist, also

Z , , .~aljdqidqj T dt = a~q~ qj dt = dt '

wo die a~ yon den ~i nicht aber yon t abh~ngen. (2) = d (3) folg~ (1).

Man schreibe die Iden~it~t (1) in der Form

Dutch Addition yon

(4) ~(2Tdt) -- ~ r - - QiOq, d t - - ,T + Q,~q, dt , 1 1

und mit~els Integration yon t o bis t l in der Form

(5) Tdt ~ T -- Q~ dt ,T+ (J~ tit.

to % to

172 M. l~wz.

Bedeu~en die Qi die auf die Koordina~en q~ wirkenden Krfifte, so is~ die rech~ Sei~ dieser Gleichung das yon Hamilton im Jahre 1835 enfAeclr~e Integral~ welches die Bewegungsgleichungen des materiellen Systems liefert, sobald man fortieth, dab es fiir alle lrontinuierlichen virirueUen Verschie- bungen ~q~ verschwinde, deren Wer~ zur Zeit t o und zur Zeit t 1 ver- schwinden.

Das erste Integral zur Linken in der Identi~t (5) ist die ersf~ Variation der Aktion des materiellen Systems. Fordert man, wie L a g r a n g e in ,,Miscellanea Tanrinensia" 1760--1761, dab diese Variation verschwinde f'tir alle soeben festgesetzten ~q~, vorausgesetzt nur, dab man aus ihr vorerst ~t mittels der Gleichung

~t

(c) O,@, 1

e l i m i n i e r ~ , - was man doeh am einfachsten mit Anwendung der Iden- t i~ t (4) erreieht, - - so ist diese Forderung, wie aus (5) ersichtlich, identisch mit der Hamiltonschen Forderung*), Die beiden Ausspriiche unterscheiden sich eben nur formal.

II. Es sei �9 eine Funktion der qi, q~', t , und ~" das Operat/ons-

zeichen ffir ~.--__d. ~t, sodal~ z. B. d t

dq (6) cq=_ Aus dieser Identitiit folgt

dS"q = d6fl dq" ~ t dq d S t d t - - d t d t d t d t '

d. i. dtY q

(7) d t - - ~ q ' - - - -

Man hat ferner

t~Odt ~-

d ~[ t~t----- ~'q' .

d t

1

dt + Oq~ dr/ 1

daher hat man aus diesen Formeln mittels Subtraktion und bei Heran- ziehung yon (7),

*) Vergl. A. Mayer, Geschichte der kleinsten Akron, 1877, pag. 29. Rdtshy, Princip tier kleins~n Action. Berichte aus Ung~rn, 1895, Bd. XIII, pagg. 1 u. 2 Fugno~.

~"ber das Prinzip eler Alton. 173

(s) d . i .

(9)

OO d t - - d O Ot = ~ [ 1

�9 ~Oq~)dt. l

Ich schreibe diese Identit~iit (9) noch in folgenden vier Formen:

(10) 0O dO 0t ~_ 0 q~ + - - d-u - ~ i ~ q; d t '

1

(10") 0 ' r ~ ~ qi + ~q; d t , 1

�9 0O d (11) O(*d t ) - -d (OOt ) - - :Z[~ eYq,)dt \Oqi Oq~ dt '

1

~ ' ~* ~ ~r ~'q,~t. (11"), 0 ( r , O t + ~-~.#q, ~ at 1 1

III. Indem man die nut" formal verschiedenen Identitiiten (11) und (11") addiert, und an Stelle yon �9 die lebendige K_rafl; T des materiellen Systems setzt, erhiilt man die IdentiK4t:

( 2 ) ( ~ r o'q, =_ o" r + ~',, l ~ T d (12) O(2Ydt)--d 2TOt+ -~ L_J~,-~ dt-~ eYqi dt, 1 1

wo zur Rechten 0 'T eine abgekiirzte Bezeichmmg ist im Sinne yon (10"). Aus dieser Identit~t (12) folgt nun aber der u Satz: Betrachtet man die Gleiehungen

(v) ~ ' r = ~ Q,o'q,,

~T (v~) o = r o t + t'

als Vaz~tionsvorschrift f'4/r die v i r ~ Verr~kungen #'q~ und f'dr die t t tl

~u den Zeiten t o und tl, so verschwind~ O, f 2Tdt jedenfa~, soba2d die to

B e w e ~ des ~ i e l l ~ S ~ m s die natii~'~ ia.

174 M. R ~ r .

Infolge yon (12)

der Vorschrift (V) ist n~mlich die GrSBe zur Reehten

~T

1

eine GrSBe, die im Sinne des D'hlembertschen P r ~ i p s fiir alle t ver- schwindet, sobald die Bewegung die nattirliche ist. Daher verschwindet ffir diese Bewegungen die GrSBe zur Linken yon (12) ffir alle Zeitouak~e des Intervalls t o bis tl; uad man hat aus ihr die Gleichung

t~

(13) T d t = 2 T ~ t + , w - ~ ~q~ 1 to

to

eine Gleiehung, deren reehte Seite laut der Variationsvorschrift (V~) ver- schwindet. Der Sutz ist also bewiesen.

Be~aehtet man den speziellen Fall, wo U das Potential der Kr~fte Q~ ist und wohl yon t nieht aber yon den qi' abhiingt, so nimmt (V) die Form an

~ ' r = ~'u,

eine Gleichang, die im Sinne der aus (10) und (10") entspringenden Identit~t

~ ' ( z - V) -- ~ ( r - U) - [~ ( r - V)] ~t, die Form a~nimmt

(14,) ~ ( r - v) - [ ~ ( r - v)] ~ = 0.

Die Variationsvol~chrift (V) ist also in diesem SpezialfaI1, wenn man die Ener~e des Systems mit F bezeietmet, identisch mit

dle (14) d . i . (14") ~ ' F = 0.

Herr Voss seheint ~icht bemerl~ zu haben, dab in meiner oben genann~en Arbeit gerade diese Gleichung als Variationsvorschrift dient. Es verdient abet auch hervorgehoben zu werden~ dab der Vossische Satz nicht um- kehrbar, da~er keinesfa~s als Vera]]gemeLuerung des oben genannten Lagrangeschen umkehrbaren Satzes zu bezeictmen isk Sind nKmlieh die allgemelnen Vossisehen Bedingungsgleichungen der Bewegung

(15) 2 ~ a~dq~ + a~odt ~- O, (k -~ 1, 2 , . . . , ~) , 1

[~oer das Prinzip der hk~ion. 175

so hat man zu setzen

(16)

also

(16")

• aki~(i ~ + ako~t = O, 1

,•a•i(Yq• = O. 1- tt

Die Forderung, dab 8 f 2 T d t bet Einhaltung der u to

schrift~n (V) u~d (Vx) versehwinde, ist iiquivalent mit der einzigen Forderung

tl

(17) f (o, + o to

Da nun in dieser Gleiehung (17) die 0'q~ keiner anderen Bed~ngung unterliegen, als den dutch das Gleichungssystem (16") und der Gleichung (14") auferlegten, so kSnnten die Bewegungsgleiehungen des materiellen Systems z. B. wohl yon der Form sein

(18) Q~ + ~q~ dt ~q~ "~k~at:i+ '~o ~_v Oq~ dt 1

wo F ~ T - - U die Energie des materiellen Systems bedeutet, 9l o aber keiner anderen Bedingung unterliegr als zur Zeit t o and zur Zeit t 1 zu ver- schwinden. (S. pag. 179).

Soll der Satz des Herrn Voss amkehrbar seth, so muB eine neue Vorschrift hinzukommen; eine solehe ist z. B. die Forderung, dab bet beliebiger u der Zeitptmk~e t o ~ t 1 innerhalb der ZeiMauer der Bewegtmg die Variation der Ak~ion bleibend verschwinde, wenn nur die oben genannten Varia~ionsvorschrifCen eingehalten werden. Dies soU spiiter bewiesen werden; sicher ist abet, da~ (]as Prinzip der Aktion in der Vossisehen Form nicht iiquivalent ist dem Hamfltonschen Priazip, we]ches die nar Bewegung, ohne jedwecle Verriickang der Zeit- panl~e t o and ti, eindeulig ausscheidet.

IV. Man kann abex an S ~ l l e tier Vossischen Variationsvorschri~ (V, VI) eine andere setzen, die eine wahre VeraUgemeinerung der La- grangeschen Vorschrii% (U) is~;, ~ eine solehe m~nlich, bet deren Ein- haltung das Verschwinden der A~l~ion selbst ohne Verldicktmg der Zeib- punkh~ t o und t 1 die nattirliche Bewegnn__g aus der Maani~t~gkei~ aller anderen eindeutig ausscheidet.

176 :M:. R~rmr.

Eine solche Vorschrif~ bildet z. B. diese Cxleichung:

(19) d 2 r ~ t + - ~ - , ~ ' T - g,~' dr=0; 1 1

oder auch diese:

(20) a ( r e t ) - o,o~,et = o; n o'q = o ,

oder eine Gldchung, die aus (19) und (20) auf die Weise entsteht, dab man zur linken Seite ~'.Tdt mul~iplizier~ mi~ einer Konstanten hinzuftigt.

Das Prinzip wird dann, falls (19) als Vorschrift dient, yore D'Alem- bertschen~ falls (20) als Vorsehri~ dien~ yore Hamiltonschen bloB in Betreff der Umstandlichkei~ des Ausdrucks verschieden. Diese Vorschriften stiramen niimlieh mi~ der Lagrangesehen (U) darin iiberein, dab sie ebensowenig eine Abhi~ngigkeit zwischen den ~'q~ fes~setzen, als die Vorschrift (U) eine soIche zwischen den dq~ bedingt; wohl abet ordnen sie dem System der Zeitfunktionen 8'qi eine ganz bestimmte Zeitfunk~ion dt zu. Man iiberzeugt sich leicht, dab die Vorschrift (IS) eigenflich die folgende Fest- setzung aussprieht:

e t = ~ to + 1 -G, q'j,o t

to

Die Vorschrift (19) lautet dem analog

a~ ae~ 1

Q,) ~'q,d~ = 0

uad die ers~e der Cxleichungen (20), wie fo!g~: \

1 to

Q,@,at= o.

fiber ass l ~ i p der/~ion. 177

w

Die Mannigfaltigkeit der mit dem Hamiltonschen ~iquivalenten Integralprinzipien; Formen des Aktionsprinzips.

V. Man substituiere in der Identit~t (11") an Stelle yon �9 das Hami l tonsche f = T + U~ wo U eine Funktion der qi, q[, t sei; und integriere nach t. Man hat danu

~ ~'q - L,a'q, dt, (21) dr-- ~ t + 1 J t o e ] 1

to to

wo zur A b l ~ z u n g gesetzt ist

~f a ~f

Man zerlege f behebig in additive Tefle

f - f ~ +5; es besteht ftir fx and f~ je eine Identitii,t yon der Form (21).

Ieh setze fest~ dab die (~renzwerte yon dt der Vorschrffr nnterliegen

0f d (22) o - - ~t + 1 to"

Dann geht die Identitiit (21) in die folgende Gleichung fiber:

(2~) to to

Wirken auf das materielle System, dessen lebendige ]~raft T ist~ auBer den zum Potential U gehSrigen keine anderen ~ , so ist

L~'q~=O. Bei der Festsetzung (22) ist daher die natiirliche Be- 1

wegung des Systems derart, dag Nr alle vir~ellen Verrfick~ge~ ~q~

(24) # ? f dt -- [f~ tt]~ = 0 to

wird~ eine C~leichnng~ die sich aueh in der Form sehreiben l~g~: tl tl

to to

Ma~hematiache . ~ m a ~ , L ' V I ~ 12

178 M. R~m~.

Man lint n~.mlieh

to to to

d.i .

df~ ~t) dt d t

to to

Die Gleiehtmg (24*) sprieht demnaeh den Satz alas: Zerlegt man f in zwei additive Te~Te /'1 und f~, und brifft beziiglich

der Grenzwerte yon dt die Festsetzung (22), so ist die Summe gebildet aus der Variation yon f fl dt und aus dem Zeitintegral yon ~'['~ gleich s fiir siimtliche virtuellen Verriickungssysteme ~'qo sobald nut die Bewegung des Systems die vom t~otential U bewirkte natiirliche ist.

Dieser allgemeine Satz l~il~ sieh abet aueh~ wie folgr umkehren: Zerlegt man f in ~wei additive Teile fl und f~, trifft beziiglich der

Grenzwerte yon 6t die Festsetzung (22), und fordert, daft die Summe ge- bildet aus der Variation yon f fl dt und aus dem Zeitintegral yon d'f~ f#r s~'mtliche virtuellen Verriickungssysteme iVq~ verschwinde, so ist die Be- wegung des materiellen Systems jedenfalls die dutch das t~otential U be- wirkte natiirliehe Bewegung, und nut diese.

Da n~rnlich die Gleichung (23), bei Rficksich~ahme auf die Identit~it (25), die Form annimmt

tl t l tx

1 to to to

da ferner die CTleiehtmg (23), also aueh diese Gleiehung (23*), eine Folge der Identit~t (21) ist, sobald nor im Sinne der Pr~imissen die Variations- vorsehrif~ (22) eingehalten wird; da endlieh im Sinne der Pr~missen die linke Sei~e der Gleiehung (23*) ~ r alle virtmellen tVq~ Systeme = 0 sein soil: so muB ffir diese aueh die Reehte yon (23*) versehwinden. Man hat also

tl

(23**) ] at = o, " - 1 1 to

wenn nut die #'q~ ein System virtueller Verrfiektmgen bflden. Damns $$

dab der Integraxtd 2 L~tVq~ versehwindet. Die Gesamtheit der folgt, 1

Forderungen ergibt d~her die Forderung des D'Member~sehen Prlnzips.

~Poer das Pldnzip der A~ion. 179

VI. Der SchhBsatz folgt aber aus (23**) nicht mehr, wen. nicht

die Summe zur Linden yon (24*), sondern auch f~'fsdt far sich n u r

to

verschwinden soll. Mit Rticksich~ahme auf die Identi~t (10") wird t~

nidmlieh so gefordert, dal~ ~ff~dt nur dann verschwinde, wenn die Yer- to

rfiekungen d'q~ virtueil sind, die Vorschrii~ (22) eingehalten wird, und die d'q~ au~erdem noch der Gleichung

t~

'

~-~-~ ~ q~ + ~ t ~" 1 to

entsprechend gewiihlt werden. Diese Gleichung (26) bfldet abet fiir die 6'q~ eine neue B e s c ~ n , g .

Ich unterscheide zwei F~ille: A) Ich fordere, da~ die d'q~ gemi~ der Gleichung

uq 1 1

bestimmt sind, wo die a s gegebene Funktionen bedeuten; dabei soil an S~elle yon (22) die Grenzbedingung treten:

(27.) 1 to

Unter diesen Fall subsummiert sich der bisher ausschliel~lich in Betracht gezogene Spezialfall, wo s~mtliche a t ~ 0 sind.

tx

Ich fordere ganz allgemein, dab 5ffldt ffrr fixe to, t 1 und ffir B) to

alle vir~ellen ~q~ und ~t verschwinde, die den Gleichungen (26) und (22) gemiil~ gewiihlt sin&

Ad A). Solange keine femere Bedingung hinzutrif~, entspricht s~nt- lichen Forderungen eine je4e Bewegung, die den Gleichungen

( i = 1, ---, n)

gem~i~ verl~uft, wenn nut die Zeihennlc~ion ~ zu den 6renzzeiten t o and t 1 verschwindet.

I 2 "

180 M. P~m~.

Man hat n~mlieh bei Rfieksiehtnahme auf (16") die Gleiehung

1 1

1

Da das ersie Glied zur Rechien dieser Gleiehl~ng laut (27) versehwindet, so hat man aus ihr miitels Integralion naeh der Zeit

t l

f 2 1 2 o,)J L,,~ q, d t = ~o ~ - o' = o , 1 1 _Jto

to

da doeh 2o zu den C~renzzeiten verschwindet, q. e. d.

Leh r sa t z . Tritt hingegen ats fernere Bedingung hinzu, daft den lXorderungen bei beliebig verschiebbaren Grenzzeiten t o und t 1 Geniige ge- schehen sol~, so entspricht den Forderungen im Allgemeinen einzig und allein die natiirliche t~ewegung des materi~en Systems; eine Ausnahme bildet nut der ~all~ wenn

1

entweder an und fiir sich oder in Folge der Bedingungsgleichwngen (15), (16) verschwindet.

Wenn wir n~flieh diesen Ausnahmefa!! ausschlieBen~ so l~Bt sieh �9 '~ mitiels der genannten Bedingungsgleichungen jedenfalls anf die Form br~mgen

1 1

wo die ~'qi freie virtueUe Verrtielrungen bedeuten, and wo die N~ weder an and flit sieh noeh mittels der Bedingungsgleiehungen (15) versehwinden. Die Gleiehung (27) reduzier~ sieh dann auf

9 $ ~ r

, a ~,q,)= o. 1

Es sei N~ einer der nieht versehwindenden Koeffizienten; dann seize man d'qi als yon 0 versehieden voraus, w~ihrend alle fibrigen ~'q versehwinden. Dann folgt aus der Gleiehtmg (27**)

d ~ ' q ~ + zr ~ xq~= o.

t~ber alas P d n z i p der Akkion. 181

Daher is~ (29) w o

~ - r c, t ", e G j ~"% Loq~Jto ,

to

endlieh ist. Man hat daher ffir dieses System viriuel]er Verrfickungen

n

a a % = [a qj] , 1

und gem~i6 der Gleichung (23**)

(30) O = f ~ L,~'q, dt = [lfqj]tf ~,eaJ dt. to to

Es is~; aber [dq~]to eine beliebige Konstaute, ferner e ar posiiiv und nichL = 0, und die Gleichung sou ftir beliebig nahe gelegene t o und t 1 gtiltig sein. Daher is~ notwendigerweise (30*) % = 0.

Es sei ferner N o einer der verschwindenden Koeffizienten N~; dn.nn seize man $'q und auch ~qo als yon 0 versehieden vorau% w~hrend aUe tibrigen d'q verschwinden. Dann folg~ aus der Gleiehung (27**)

Moa'qo "k- Mj6"q~ + N ~ t a'q~ = 0;

es isL daher a'qo ganz beliebig; man kann n~.m]ich alas dieser Gleiehung a'q~ immer dem beliebig gegebenen a'q0 gem~l~ bestimmen.

Da nun s~imtliche ~j verschwinden (30*), und nur noch r yon 0 verschieden is~, so hat man gem~B der CTleichung (23**)

tl tl

0 Z i a'eli dt a'qo dr. to to

Aus der WillkiirliehkeiL yon a'qo folg~ daher, da~ aueh

(30*) ~ o = 0 ist. Man hat demnaeh bei Einf/ihrung der b"q

1 1

d. h. fiir das materielle System besteh~ das D'Atembertsche Prinzip.

182 ~ . t ~ .

Ad B.) Ich beweise den Sa~z mRtels der in A) eingefiihr~n Funk- fionen a~, die ieh den Beschr'~kungen unterwerfe, dab

weder an und ffir sich noch infolge der Bedingungsgleichungen ref-

und da~ ferner ~ a~ ~ '~ zu den res in Zeiten t o und tl einen schwinde, 1

und denselben Wer~ annehme. Da die erste Beschriinkung n - r - 1 Un- gleichungen iiquivalent, und die zweite sich nur auf die Grenzwerte der a~ bezieht, so kann diesen Bedingtmgen auf unendlich mannigfaltige Weise en~sprochen werden. Dann sind aber die Schlfisse in (Ad A)) nicht nur his zur Gleichung (30) erlaubt, sondern man kann welter sehliel~en, dab die G~ yon der Wahl der a~ abh~ngen, daher Funktionen yon t sind, die je naeh Wahl der a~ yon t o an bis t~ ebensogut wachsen wie abnehmen k~innen. Daher sind die ~ = 0; ebenso versehwinden auch die ~o; also is~ das D'Alember~sche Prinzip eine Folge der in B) gestetlten Forderungen.

VII. Die Forderung, dag die 2V~ nieh~ s~mtlich verschwinden, ist zum Beweis des Satzes in VI. ad A) wesentlich. Hat man den entgegen- gese~z~en Fall vor Augen, dab also

@1) t l

ist, falls war die q/ und ~'q~ den Bedingungsgleichungen des ma~eriellen Systems gem~B sind, so gehen die Gleichungen (27) und (27*) fiber in

(31") ~ aoi~'qi = 0; ao~ =

Es sind zwei F~i~e mbglich: entweder is~ zur Erftillung der Gleichung (31") anch noch die Heranziehung der zu bes~immenden Differen~ialglei- chungen der Bewegung notwendig; oder es gentigen zu ihrer Efffiltung schon die Bedingn_ugsgleichungen fiir sich.

Im letz~eren Fall ist die Bewegung no~wendigerweise die natiirliche. Da n~.mJich die Variationsvorschrif~ (27**) ftir siimfliche vh~uellen Ver- riickungen erffill~ ist, wie anch sonst die Bewegungsgleichungen beschaffen sind, an St~lle yon (22) abet die Vorschri~ (31"*) ~rRt, die bloB eine Beziehung zwischen ~t o und ~t 1 fes~s~ellt, so ist die Gleiehung (23**) f~dr s~mfliche vir~ellen Verrtickungen ~'q~ zu e ~ n . Daraus folgt~ selbs~

0ber d~s Pr;mzip de, r Akt~on 183

wean t o mad t~ fixe Zei~punkbe bedeuten, dab die Bewegung des Systems notwendigerweise die natiirliche ist.

Im ersteren Fall ist hingegen die Bewegung nich~ notwendigerweise die naitirliche. In diesem Fall is~ niimlich die Gleichung (31") als neue Bedingungsgleichung zu betTachten~ die fiir die Wa]ll der d'q~ eine neue Beschriinkung bildet. Daher sind die Bewegungsgleichungen yon der Form

"V

(32) L, + ,~oao, + ~ X~ak~ = O, (i= 1,... ,n), I

wo ~o ein Lagrangescher Koeffizient isis. Als Beispiel fiir diesen Fall

~s ist~ ffir siimtliehe i 1, . n. diene, weml a~ ~ ~q~. -~ -, n

Der Koeffizient 2 o liil~ sich n~her bes~immen, falls n u r ~ ao~qi' von 1

Null versehieden is~. Subs~i~uier~ man n'~mlich in (31") ~'f f~ ~q~--q[~t, so nimmt~ sie die Form atl

d. 1.

75

1 1

$*

S t = 2 A o ~ $ q ~ ; A o ~ - ~a~

1

Fiikr~ man dieses (~t in den Vossischen Bedingungsgleichungen (16) ein, so hat~ man fiir diese

5$

(16.,) + a oAo3 = 0 .

Ebenso geht~ die Gleiehung (23**) fiber in diese

d . i.

�9 F ~ L~Oq~ -- qs ~q~ dt-~ O,

to

tl

1 to

184 M. l ~ t ~ .

Da nun bier die d q~ im Zeitin~rvall t o bis t~ blo$ den Gleiehungen (16"*) unterliegen, so folgt aus dieser Gleiehung, selbst bei festen t o and t~, fiir die Bewegungsgleichungen die Form:

d . i . 1 1

= 0 ;

a ~ s o

( ~ * ) ,~o ~ . , �9 = . - - q~ + Jt~a~o . 1 1

das ist~

0~*)

Die Bewegtmg des Systems ist daher gar nicht die na~iirliche, es wiixe denn dab zu den Forderungen des Varistionsproblems noch die Giiltigkeit des Satzes yon der lebendigen Kraft hinzukgme; dann is~; n~m- lich '~o = O.

VIII. Es seien die Gleichungen

(15) a~o + aklql' + ak~q~' + " " + ak,,q,,'= O, (k= 1,...,,,)

die Bedingungsgleichungen des msteriellen Systems; e 1, c 2,-. ., c,, ein solehes nur yon den a~i abh~ingiges partikuliires LSsungssysh~m dieser Gleichungen, dab die Co siimtlich verschwinden, wenn die ako s~znflich verschwinden. Dann bfldei das System

~'q, = (c,-- q,')6t; ( i = 1 , - - . ,n ) ein parfikulgres System yon virtmellen Verriickungen. W~ire also f2 von der Eigenschaft, dab bei entsprechenden Koeffizienien It

( 3 3 ) �9 ' 7~ ~-6T, 6 qi + lk a~irS q~=-- O 1 1 1

ist, d ~ n wgro such

1 1 1

" 2, (o 2 ) 2 ~ - q ~ + o + a~q~ - - c ~ q ; - 1 1 \ 1 1

2 )+2 a o l . �9

\ 1 Z ., 1 1 % q)

t]'ber das Prinzip tier Akf~on. 185

Bedenk~ man dies, so folgt aus dem Lehrsatz in VI, pag. 180 der

L e h r s a t z . Ist f~ =- f -- f~ yon .d~ Eigenschaft, daft die ~.~ ~-~ q~' 1

mittels der linearen Substitution (15) nicht auf die Form ~ c ~ ~f~ gebracht 1

werden kann, wo die c~, falls die Gleichungen (15) homogen, s~imgich ver- schwira~ und auch sonst unabhiingig yon den q{ sind: so ist die trorderung, daft die simultanen Gleichungen

t 1

d f f ~ d t ~ O, to

~ ' ( f - f~ ) = O,

[f~ " 1' o, 1 _l t o

~ a , ~ #'q~ = O, (k= 1, ..., v)

2.

i. fl = ~r, f~=u-~,

~f d ~f ~ .~ ~qi at ~q~ + ~ . ~ Z~a,~ = 0, ( i = I,---,n) 1

wo die Zl, 2~, . . . , 2~ Lagrangesche Koeffizienten sind. IX. Zerlegr man demnach T-{ -U in zwei beliebige additive Tefle fl

und f~ so erh~ilt man bei Anwendung der in VII bewiesenen S~itze Variationssiitz% die dem ~[amiltonschea Satz iiquivalent sin&

Wirken auf das System aueh K_r~h~e ohne Potmnlial, so erleidet das

Variationsprinzip die Modifikation, da$ an S~elle yon f d ' f ~ d t der Aus-

f(2 ) druek 8"~ + ~q~ dt ~rit~. 1

Die bisher untersuehten F~ille sind:

f~ = ~ ~ q,, s = f -- N q, = - - - - E .

1 1

Herr Voss ha~ den Fail 1., wie oben erw~m~ wurde, nur in dem Fall

1

a~o + a~i q~ ~ O, ,, 1

fiir bdiebig verschiebbare t o und t I Bestand haben, iiquivalent damit, daft die q~ das System gewShnlicher Differentialgleichunge~ befriedigen

186 M. I ~ .

un~ersucht, wenn U yon den q~' unabh~ngig ist. Bei der Beschr~nlmng

~ f - - 0 wurde der Fall 2. yon Herrn A. Mayer untersucht; ohne dieser

Beschr~inkung yon mir. Aus der unendlichen Mannigfaltigkeit m6glicher Zerlegungen sind hervorzuheben

3. f ~ = ~ , f ~ = r ; 4. f~ = f , • = 0 .

Die Funtr~onen fl und f~ sind natiirlich auch umkehrbar. Die Um- k ehrung yon 1. fiihrg auf ein Prinzip, welches der Herzschen Forn~*) gtmelg, yon dieser aber im Grunde genommen ganz verschieden ist. Die Zerlegung yon f in

5. f~ = T - ~, s gibt ebenfalls ein Prinzip yon solcher Form; diese, wie auch die Um- kehrung yon 3., n~imlieh

6. A = T , s liefern ein Beispiel fiir den Ausnahmef~ VII, a), wenn das System nur yon Kr'~%en angegriffen wird, denen ein yon Geschwindigkeiten unab- h~ngiges Potential zukommt. Der Ausdruck des dem Hamiltonschen ~iquivalenten Prinzips laute~ n~imlich im FaU 6. wie folgt: Die Variation

:i

~fTtlt i s t = 0 b e i Einhal~ung der Variationsvorschriften to

o(r+ u) ~" U= O, T~t + ~q~ Uq~ = O,

I _Jto

~ a,,i = = 1,..., v) ~'q~ O, 0, 1

fiir die na~iirliche Bewegung und.nur fiir diese, falls fiir die Bewegung die Erhalhmg des Prinzips der lebendigen Kraf~ gfilfig sein soil Man erh~lt

5. eri, p: j'(r-u)dt= o, onn :o

an Stelle der zweiten Vorschrif~ diese komm~

O ( r + U') ~ = 0 ( r - ~ ) ~ t + ~ 1 ~ t o

w~ihrend alIes iibrige unveKinder~ bleibt. Die Zerlegung 5. auf das Theorem VI, im Fail B) angewand~ ftihrt

auf einen korrekten a_ritkme~ischen Ausdruck des vielumstri~tenen Os~wald- schen Prinzips. Forder~ man niimlieh~ dab die Variationsgleichungen

*) C~sammel~ Werke Bd. S, pag. 36a.

Ober das Prinzip der Aki~on. 187

% tl

= ' (2- -U)dt O, r ~ t + ~ .q,j,o=O dt O, -= to to

ffir jedes virtuelle Verschiebungssystem ~'r Besf.~zld haben, so entspricht diesen Forderungen ausschlieBlich nur die n~tfirliche Bewegtmg des Systems. T trod U kSnnen ihre Rollen auch vorf~uschen, was dem Sinne des Ostwaldschen Ausspruchs gemgt~ ist.

Ad 1. Ich bezeiehne im Falle 1. das f f l dt mit A1, also %

l l = f 2Tdt; to

es isis dies die Aktion des materiellen Systems im gewShnlichen Sprach- gebraueh.

In diesom Falle bestehis ffir die C~renzwerte yon 8t im Sinne yon (22)

(221) 2 T ~ t + ~ ~" = 0 . 1 -J~o

g Is~ U unabh~ngig yon den q~, so geht diese in die Vosssche Grenz- gleichung fiber. Sind au~erdem noch die Bedingangsgleichungen der Be-

Z~T g wegung unabh~ngig yon der Zeiis, also ~ = 2T~ so geht (221) fiber

in die bekannte Form

.~7~. ~ _.o=~ Ad 2. Ieh bezeiehne im FMle 2. das f f l dt miis A~, also

%

q, at;

to

ieh habe dieses /_n~egral in meinen oben genznnten Arbeiisen mit dem Namen ,-M~ion des Sysisems" beleg~; ieh werde es bier A k t ~ ~ nennen. Ffir diesen Namen sprieh~ der Umstaad, dab das Integr~ im einfa~here- Fall, we die Bedingtmgsgleiehtmgen der Bewegtmg unabh~ingig sind yon der Zeit, trod das Potential oaabh'~agig is~ yon de6 Gesehwindigkeiten, identiseh isis mit A~. Shad abet die Bewegungsgleiehungen der Bewegtmg aueh yon der Zeit abh~ingig, so ist dies dem Ums~aade zuzusehreiben~ dal~ das Sys~m mit~ ~u$ern bewegliehen Massen in Verbindung sbeh~; diesem volls~ndigen System kommt daher eine lebendige Kraf~ zu, die auger tier Summe der lebendigen K~ff~ der beiden Sys~me aaeh noch additive Glieder en~il t , in denen die Geschwind~gkei~en des innern Systems

188 1~. I ~ .

linear vorkommen. Enth~lt endlieh das Potential aueh die Gesehwindig- kei~en des Sys~ems~ so ist das nach Helmholtz der Bewegung verborgener Massen zuzuschreibe% mi~ den,en das eigenfliehe System zu erg~nzen is~: daher steh~ an S~elle yon T die Summe T + U.

Zwisehen den Grenzwerben yon St und den d'q~ besteh~ in diesem Fa~e die Gleiehung

I2 4" ~f ~" ~- O,

das is~:

( ~ ) ~ =- o .

to

Es gibt kaam eine andere wirkliche Zerlegung yon f, zu der eine solch' einfaehe (]reazg|eiehung geh6r~.

Diese Zerlegung zeichne~ sieh aueh dureh andere EigenschafCen aus. Zu diese~ gehSrt die Eigensehafb da6 die Ftmk~ion

1

die beim Aussprueh des Prinzips eine wich~ige Rolle sl~ielt , nut in singu- l~ren Punk~en der nattirlichen Bewegung verschwindet. Es is~ n~imlich, da f~ = f - - f~,

' " ' '

"" - - ~ - ~ q i = f l q i , 1 1 1 1

also

, ~ , % , ~ , f , ,

1 1

Es is~ demnach ~ . a , wenn man die ~ t ~ als Koeffizienten auffaB~,

eine quadrat~ische Fu~kt~ion der Gesehwindigkeit~skomponent~en; und die De~erminante dieser qua&-atisehen Funkgion is~ die Funktionaldegerminante yon f~ n~,mlich

~ f ~ f t o 6

~2f ~ f ~q~ ~q~ ' , 0 q~'~ q~'

dieselbe De~erminan~e, die bet der LSsung der Differentialgleichu~gen der zu f ~ T- l -U gehSrigen nat~irlichen Bewegung eine so wichtige Rolle spielt~ die im F_~!l_e U" das Poten~iaI yon ~ e n ist, wie sie in der Natur

~oer das Prinzip der Aktion. 189

vorkommen, und das materielle System, wie auch deren Bedingungsglei- chungen natiirliche sind, hSchstens in isolierCen Pun]~n, nie abet identisch

verschwinden kann. Dasselbe kann also auch beztiglich ~ ~ aus-

gesprochen werden~ auch diese verschwinde~ hSchstens in isolier~en Punkten. Bei dieser Zerlegung ist also f2 yon der im Lehrsatz zu ~ (pag. 185) vorausgesetzten Eigenschaf~, da sonst, sobald die Bedingungsgleichungen (15) in homogene fibergehen, die FunkCionalde~erminant~ verschwinden miii~te.. JBei dieser Zerlegung ent@richt daher den im Zehrsatz aufgestellten Forderungen nut die natiirliche Bewegung des materiellen Systems. Der Lehrsatz umfaBt demnach das Prinzip der kleinsten A.kCion, wenn man mit le~zteren Namen das Integral

tl

q,'dt to

belegt. hd 4. In diesem Fall besteht zwischen den Grenzwerten yon ~t und

yon den ~q~ die Gleichang

und bei Einhaltung dieser ei~igen Variat;ionsvorseln'i~ liefe~ die Gleich~g

~ dt -~ 0 to

die natfirliehe Bewegamg, trod nut diese. Ist; hingegen fl = 0, fg.----f, so besteht die Gre~gleiehtmg

[27 und bei EinhM~m~g dieser ei~igom Yaria~ionsvorsehrift; liefe~ die Forderung

h

f 'fdt=o die natiirliche Bewegtmg, und nut diese.

Dies ist das Hamfl~onsehe Prin~.ip. X. Aus der Ident i~ (21) folg~ mit;tels (25) die Iden~it~t

to to

190 Y[. R ~ z .

Aus dieser folgen die S~tze: tl

1. Fordere ich, dab affl dt = 0 sei fiir jades virtuelle Sysh~m a'qi, to

vorausgesetzt nur~ dab zwischen at und den a'qi zu jeder Zeit die Gleichung

d ~ - 7 ~ f d

1 1

als Variationsvorschrift gilt, so ist die Bewegung notwendigerweise and ausschlieBlich die zum kinetischen Potential f = T § U und dam Krii~o- system Qi gehtirige natiirliche Bewegtmg.

2. Dasselbe gilt auch, wenn die Variationsvorschrift (19") dutch die folgenden zwei Gleichungen ausgedrtickt wird:

3. Diese Variationsvorschrfft ]~ann ebenso ersetzt warden durch

(20**) ~'f~ = ~ - - ~ F ~ . q" -- 1 1

[ 2 ~ q,J*" a = 0 .

jto

Diese Vorschriften bestimmen n~im]ich (auf dieselbe Weise, wie (19) trod (20) in IV) die Variation at, welche dam System der Zeiheunktionen ~'q~ im Verlauf der ganzen Bewegtmg zugeordnet wird. Demzufolge sind diese Aussprfiche des Prinzips vom D'Alembertschen resp. Hamiltonschen bloB dutch ihre Wei~schweifigkeit verschieden.

XI. Bemerkung zur Methode der Lagrangeschen Multiplikatoren. Be- handelt man das Problem, alle Systeme yon Differentialgleichungen zu finden~ fiat welche bei beliebig verschiebbaren t o und t 1 die Variation

tl a/fldt = 0 ist, falls f~ = einer gegebenen Zeitfunktion ist und zwischen

to

den Grenzwerten yon at und ~q~ die Gleichung (22) bestehen soU, initials der Methode der Lagrangeschen Multiplikatoren, so kommt man zu den- selben Resul~aten. Diese Met~hode l~it~ sieh aber auf das in VI. behandelte allgemeinere Problem nicht auwenden. Dies ist die Ursaehe, weshalb ich yon der genannten Methode bier keinen Gebrauch gemacht habe.

~ber das Pri.wzip der /klr~ion. 191

w

Die Jaeobische Transformation der lktion As.

XU. Es sei f= T+ U eine quadratische F t m ~ o n der q~'. schreibe f in der Form

(34) f ~_ rio) + f(1) + fl~) ~ o di~ h d ~ (0), (1), (2) den ~ d d ~ m i ~ d ~ hat so

a { , f , ) (a5) f, - ~ g g q, - + 2f(,), 1

~ l e r

(a6) f~ - f - fi = txo~ - f(,). Demnaeh ist die Energie

�9 ST, o f , (37) F =_~_j ~ q, - f 1

mid

f(~) __ f(o),

(38) A,a ~ f (2f (2~ + f(~)) at.

Ich schrdbe

dqi 2f(~)~- Jbi, J at a t , (39) fo) = b, d-Y' 1 1

ferner die Gleichungen (37) und (38) in der Form

d~ i.

( ~

1 ~jb~ 1 ~ at' =-rio) + F;

frxb'~aa'% + ~b, aa, 1 A~ = J L a7

dt -~ ~ dq~dqj r ~ o % ~ ,

and mit s e i n e nieht zu variierende Variable bezeictmet

Ich

(41)

sl

z, 2.) A~ (f(o) + F) b,~q,q~ + b,~ ds.

in ~ ' bedeuten. Man

192 ~[. R ~ .

Diese nach der Jacobischen Methode transformierte Form der h~rtion A~ hat nun die Eigenschaft, dab sie formal zu den natiirlichen Bewegungs- gleichungen ffihr~, wenn man fordert, dat~ ihre bet der Supposition dt-~ 0, ~ F ~ 0 gebildete Variation verschwinde, sobald nur die Grenzwer~e der dq~ versehwinden. Ich setze, um dies zu beweisen

(42) 1

daun ist

a,=1/ i as ~ ( g o ) + F ) '

Man hat

1

=- f (Ve(f~ 4 so

P) + ++) ds.

2 V2 d V ( f (~ + ~,)~(2) = d_s dtq~(2 ~ + 2 ~ &f(o). d t a s " - -

Nun ist bet Rticksichtnahme auf (42) und (39)

ds ds ds dt = 2~,f(~)dt. O~P(~) d-t ds = ~tcp (~) d t d t

Da endlich 5r = 5~f(1)dt,

ds. V ~ 6]/(f(o) + F ) ~p<~) = (d,f(~) + d,f(~ dr,

so hat man als Ausdruck der ersten Variation der Aktion A~ bet der ge- naunhm Supposition

(43) 6

dA~ = f S, f dt.

Die Forderung, dab dieses ~A~ verschwinde, wenn die Grenzwerte der ~q~ verschwinden, ist demnach mit dem Hamiltonschen Prinzip formal ~iquivalent; sie f'tihr~ daher zu denselben Differentialgleichungen der Bewegung. Die Rechnungen h(iren abet auf, rein formale zu sein, und haben reeUe Be- deuhmg, wenn man das Problem wie folgt anffa6t:

Man denke sich, F = E(t) als numerische FunCtion gegeben, so wie sie bet der wahren Bewegung, bet den nnmerisch gegebenen A nfangslagen -and AnCangsgeschwindigkeiten zum Vorschein kommt; aus /7'___ E(t) die numerisch feste Zeiffunktion t - -z(~ ' )berechuet ; und in den b~, bo, f(o) an S~elle yon t fiberall diese Zei~nnktion geset~. Man betrachte alsdann die Oleichung (40) a]s DefinRionsgleichung ftir dr, und frage nach dem System yon Differentialgleichungen, die der A~ion

F,

{~ber das Prlnzip der Aktion. 193

ihren gr51~ten oder kleinsten Wer~ versclaaffen, wean F die unabh~ngig variable ist, und die Anfangs- und Endwerte der 6qi versehwinden.

Die LSsung dieses Problems ist ein System yon Differentialgleiehungen, die sich yon den Bewegangsgleiehungen der Dynamik nur dadurch unter- scheiden, dab an Stelle der im kinetischen Potential explizit vorkommen- den Zeit t die Zeitfunktionen z ( F ) zu stehen kommt. Es sind dies die- selben Gleichungen, zu denen ich dutch die Interpretation des Hehnholtz- schen Veffahrens gelangt bin; die Gleichungen, yon denen ich gezeigt habe, dal~ nut ihre yon jenen numerisch gegebenen Anfangslagen und Anfangsgesehwindigkeiten ausgehenden partikuliiren L5sungen mit den wahren Bewegamgen des materiellen Systems sieh decker. Demzufolge gehen diese Cxleiehungen, wenn man hinzufiig~, dab nur yon diesen partikul~iren LSsungen die Rede ist, in die Lagrangeschen Bewegungs- gleichungen tiber*).

w V e r a l l g e m e i n e r u n g f a r k ine t i sehe P o t e n t i a l e h i ihere r Ordnung .

XIII. Es set f eine beliebige Funktion der Variablen

t , q , , q S ' . ", q , ( 5 . . ., q , + ) ( i= 1,...,r); und es set q~ mit q~(O) bezeietmet. Man hat dann

~ - ~ a f d ~ (47) 5"q~ . 0

Es ist n~ianlieh, wie bekannt,

~,~ ~f 1)St)all; ~f dt -- d f~ t ~ ~ - ~k) (~q~@)--q'@+ 0

aus dieser folgt der Satz (47), wenn man die Gleichung (7) in der Form sehreibt d

~t ~ ' an Stelle yon q~ die Differentialquotienten q~@-1), . . . substituiert und so die Identit~ten verKiziert:

__ d ~ = . . . . ~=o'-..

d t ~

*) Siehe w 3 und w 6 meines in den Math. Ann. Bd. 48 erschienenen Aufsatzes. Ich bemerke, daft pag. 526 Z. 6 v. u. und pag. 529 Z. 8 v. o. an Stelle yon ,,dtq?, zu schreiben ist ,6q~ und 6t"~ pag. 529 Z. 19 v. o. s ind die V~rorte ,~nothwendige und" zu streichen; pag. 530 Z. 7 v. u. ist an Stelle yon ,,des Satzes (2)" zu schreiben ,der S~tze (1) und (2)%

Mathematische A,~.l~n. LVIII , 13

194 M. R ~ . ~bex d ~ Prinzip der •

(49) w o

Da felaler 6"f dt ~ ~ f d t - d f dt ~ ~ ( fd t ) -- d ( f~ t ) ,

so erh~lt man yon (47) aus auf bekanntem Wege

6 ( f d t ) ~ d t + Z L ~ - ~ z 6 " q ~ + L,~I'q~dt, 1 0 1~

~f d 3f (_1).~ d '~' ~f

_ ~ f L~l, -- ~ a~k + 1)

d ~ f + . . . + ( _ _ 1 ) ~ _ ~ _ x d ~'~-k-1 3 f d t ~q(~+~) d t m - ~ - i ~q~m)

(50)

• (49) folgr mittels Integration tl tl

o to 1 to to

eine Identitiit, die sich yon der yon Heram K 5 n i g s b e r g e r znm Aus- gangspunk~ genommenen Form nut dadurch unterscheidet, dag bier die Variationen ~'qi eingefiihrt sin&

Man zerlege f in zwei beliebige additive Teile fl und ~ und treffe ftir die Grenzwerte der 3"t and 3'q~ die Festsetzung

+ = o .

1 1 .2to

Die Gleichung (50) liigt sich dann mit Rficksichtnahme auf die Identitiit (25) in der Form schreiben

h ti tl

(52) dt " dt L,~'q, d t . 1

to to to

Diese Gleichung ist der iiugern Form nach mit (23*) identisch; da die Idenfitiit (47) blog eine Verallgemeinertmg der Form (10") bildet, wie auch die beztiglich der Grenzwerte getroffene Festsetzung (51) blog eine Verallgemeinertmg yon (22) ist, so ergeben sicll die Verallgemeinerungen dot in w 2 ausgesprochenen und bewiesenen Si~?~ze yon selbst.