Uber die Existenz periodiseher Li~sungen bei gewissen Systemen

gew~hnlicher Differentialgleichungen erster Ordnung.

Herrn KONRAD KNOPP

zum 60. Geburtstag am 22. Juli 1942 gewidmet.

Von

Max MiiUer in Tfibingen.

Die Differentialgleiehung y ' = l(x, y) kann, mul~ aber nicht Integrale mit tier Periode ~, besitzen, wenn die F u n ~ i o n /(z, y) die Peri~izit~ts- bedingung

l(x + ~o, y) = l ( z , y) erfiiUt. Das zeigen schon die allereinfaehsten Beispiele:

Bei der Gleichung y' = cos x haben s~mtliche Integrale y = C + sin z die Periode 2 ~; bei der Gleichung y' = y hat flit beliebiges ~o > 0 nur das Integral y -~ 0 die Periode o~, w~hrend alle iibrigen Integrale y = Ce* (C =~ O) unperiodisch sind; die Differentialgleichung y ' = 1 sehlielllich hat kein einziges periodisehes Integral, obwohl ihre reehte Seite ] (x, y) ~- 1 die obige Periodizitiitsbedingung fiir jedes to > 0 erfiillt.

Die Frage, wann eine Dffferentialgleichung y '= / (x , y), deren reehte Seite die genannte Periodizit~tsbedingung befriedigt, wenigstens ein Integral besitzt, das ebenfalls die Periode co hat, seheint in der Literatur noch nicht behandelt zu sein. Mir ist lediglieh eine Arbeit yon N. W. ADA~OrT bekannt, in. der gezeigt wird, dal~ ein gewisses Iterationsverfahren unter gewissen Voraussetzungen, deren Erfiilltsein iiberdies im Einzelfall nut miihsam fest- gestellt werden kann, ein Integral mit der Periode co liefe~t, falls es iiberhaupt solehe Integrale gibtl).

In der vorliegenden Arbeit soU -- sogleieh fiir ein System gewShnliefier Dffferentialglelehungen -- eine recht aUgemeine Bedingung angegeben werden, die die Existenz mindestens eines periodischen Integrales sicherstellt. Dieses Integral wird mittels eines Verfahrens schrittweiser N~iherungen gewonnen, das eine Veraltgemeinerung des yon Herrn ADAMOrr angegebenen Iterations- verfahrens ist.

1) N. W. ADA~OFI% Sur la recherche des solutions l~riodiques d'une ~quation diff~rentie|le ordinaire du premier ordre par la m~thode des approximations suceessives. Comptes Rendus (Doklady) de l'Aead~mie des Sciences de I'URSS. 19 (1938), S. 17 --22.

M. Miiller, Periodische IAisungen bei Differentialgleichungen 1. Ordnung. 129

w

D e r aUgemeine Satz.

Wit werden folgenden Satz beweisen: Die Funktionen ylo(X) . . . . . y,no(X) sollen [iir -- oo < x < ao stetige

Ableitunge~ erster Ordnun9 besitzen und die Per~ode o haben. In dew, Bereich

~ : -- oo < x < ~ , y a o ( X ) - - a < = y ~ y ~ o ( X ) q - a ( ~ = 1 , . . . , m ; a > 0 )

seien die Funktionen ]l(x, Yl . . . . . Y,,) . . . . . [r~(x, Yl . . . . . y,,) stetig and den ]o~enden Bedingungen unterwor]en :

a) Bs se~; (1) t~(x + m, Yl . . . . . y~) ~-~/~(x, Yi, . . - , Y~) , (/z = ] . . . . . m).

b) Es sei /iir je zwei Stellen (x, Yl . . . . . y,,) und (x, z 1 . . . . . zm) aus und t z = 1 . . . . . m

(2) I/.(x, y~, . . . , y,.) - / ~ , ( x , Zl . . . . . z..) + p . (x) (y . - z~) I < l ~ ( z ) Max [Ya-za l ,

2 = 1 , . . . ~ m

wobei p~(x) /iir alle x stets., I~(x) /iir alle x nicht negativ und iiber das lntervall 0 <~ x <-to (wenigstens uneigentlich) inte~rierbar,

(z) p,.(x + o~) = p,,(x), l~(x + ~) = t~(x), (o

(4) ~ V~,(t) dt ~= 0 o

ist. E8 we~rd~

x

(5) P~,(x) = ~ p~(t) dt, 0

(6) % ( x ) = e-rZ(~){ ~er"(Olt,(t) dt + 1 ~ee~,u)i~,(t)dt}, "o ' {e e ~ ( ~ ) - 1t o

Max e - P # ( ' ) { ~ (7) s = Max ee~(~ y~o(t) . . . . . y . o ( t ) ) - y ~ o ( t ) ] d t + , u ~ l , . . . , m O ~ z ~ - m I

to

+ e P~(')-I 1J eP"(t)[ltt(t' Yl~ . . . . . yvno(t) ) _ y:,o(t) ] ~t}t 2)

gesetzt. Gibt es dann eine Konstante q derart, daft

(8) 0_--<%(x) G q < 1 /iir 0 <~ x <=o~, # = 1 , 2 . . . . . m,

(9) 1 - - q =

~) e ist ein Mall dafiir, wie gut. bereits die Funktionen ylo(x) . . . . , y,~o(x)das DifferentiMgleichungssystem (10) befriedigen.

Mathem a t l s che Ze i t sehr i f t . 48.

1 3 0 M. Miiller.

so hat das System gewShnlieher Di//erentialgleichungen r

(10) y~ =- ]~,(x, Yl . . . . . Y~,) (/~. = 1 . . . . . m)

m'~ndestens ei~ Integral

Yl = y l (x ) . . . . . Ym -= Ym (x)

mit der Periodizitiitseigenscha]t

(11) y . ( x + ~) = y . (x ) (/~ = 1 . . . . . m).

Dasselbe verlauft in ~ und wird aus den Funktionen Ylo(X) . . . . . y,~o(X) dutch den Iterationsproze/3

- - - ~ , ( ~ ) [ ~ P ~ ( 0 r , , . t ' (12) y~.,~+l(x)----y~n(x)~, e , ijo e [l.(r, yln(t) . . . . . Ym~( ))--y~,.(t)]dt-4- ct~

! ' / . . . . . - y.At)] d t

(~ = 1 . . . . . m; ~ ~ 0 , 1 , 2 . . . . ) gewonnen a ).

Beweis . Wir iiberzeugen uns zun~chst, daft die Funk'tionensysteme

= . . . . .

fiir alle Nummern n berechnet werden kSnnen und die folgenden Eigenschaften haben: Jedes y~,n(x) ist ftir aile x stetig differentiierbar, hat die Periode ea und geniigt der Ungleichung

(14) yt, o(x) -- a <= y~,,~(x) <= yt, o(X) § a.

Fiir n ---- 0 trifft dies auf Grund der Voraussetzungen fiber die Funktionen yt.o(X) zu. Haben abet aile Funktionen y,,,(x), deren zweite Ful~marke

~ n ist, diese Eigenschaften, so sind nach (14) und (5) die Integranden

in (12) definiert und stetig; da nach (4) der Nenner e ~:'(~')- 1 =p 0 ist, kSnnen also die Funktionen y:,,,+ l(X) nach der Vorschrift (12) berechnet werden; sie sind fiir a]le x stetig und auch stetig dffferentiierbar, well nach Voraussetzung P,(.~) die stetige Ableitung p~,(x) hat.

Sie haben auch die Periode co; denn wird zur Abkiirzung to

h,,n ---- ~ e pt'(v [/,.(t, "O.(t)) -- y:,~(t)] dt 0

gesetzt und die aus (5) und (3) foigende Beziehung

P . ( x ~- ~o) == ~ p.( t) dt -~- I ~.( t) dt = Pt,(oJ) ~- ~ pt,(t) dt = P . ( w ) -~- P~, (x) 0 (~ 0

a) ])as AI)A.~OFFsche Iterationsverfahren ist fiir n ~ 1 der Sonderfall T(x) ~-k, wok eine positive Konstante ist, also P(x) ~ kx.

Periodische L6sungen bei Differentialgleichungen 1. Ordnung. 131

b e a e h t e t , so fo lg t a u s d e n I n d u k t i o n s a n n a h m e n u n d aus (1), daf t

= Y"" (~) + ' - ~ " ' " - ~ ~ I ~'~'~ [t:(~. ,.(,)) -- y;.(,)] d, + ~ - eP~ (w) __ 1 !

= y~,.(x) -{- { t),~(t))-- y~,,(t)]dt+

y..(~) + ~- ' ."-"'~ +~,, ~,,(~ + o,))-u;,.(~ +~,)] d~ +

= y,..(:o + ~-P'"~ 2",''[t,.(.. ~.(~)) - ~,..(~)] d~ + , , ~ _ ~

= Y , . . + I (x).

F e r n e r i s t n a c h (12) u n d (5) f i i r v ----- 0, 1, 2 . . . . . n - - 1, # ---- ] . . . . . m

r r

y , . . + l ( x ) = y , . (x) + 1,(~.. ~).(x)) - y , . ( x ) -

. . . . -~ . . ( . )1 ? P~(,) . ~, . . - ~-,,~.~e ,- ijo ~ [ t , , ( t , , , ( t ) ) - y , , . ( O ] d t + ,.,.c.:~_-----~j

= t a x , ~ . ( x ) ) - p , . , ( ~ ) [ y . , , , , d x ) - y , , , , (x) ] .

E r s e t z t m a n h i e r i n ~, d u t c h v - - 1, so e r g i b t sich, dal~ f i i r v = 1, 2 . . . . . n ,

[z ----- 1, 2 . . . . . m t

(15) y,.,.(x) =/.~(x, t),,_1(x)) -- p.(x) [y, ,~(x) - - y ~ , , . _ l ( x ) ] .

T r ~ g t m a n d ie s in (12) e in , so b e k o m m t m a n

y , . . ~_ ~ (x) - y , . (x) Z

= e - ~""~'{ f. g " "' it,, (t, , , (t))-- t. (t, ~,_, (0) + P. (t) tY. . ( t ) - y,,.,_, (t)]] dt + 0

o h

+ ~ I~ ~,'(')[/,,(t,,,.(t)) --/,,q, ,,_~(0) + e P u ( ~ ' ) - 1 o

V,,(O [y,.,,(t) - - y: . . . . x (t)]] e/t}. +

Mit R i i c k s i c h t a u f (2) i s t a l so f i i r 0 ~ x ~ co, v ----- 1, 2 . . . . . n

(16) i Y,,, ,,+ I(x) -- Y. ,,(x) [ 2?

t ~

+ [ e P ~ ' ( ~ ) - - 11 ' ;~ = 1 . . . . . .

9 *

132 M. Miiller.

Nun abet ist nach (12), angewandt fiir n = 0, und nach (7) f'fir 0 "< x ~ eo, ~ t = l , 2 . . . . . m

(17) lyal (x) -- yao(X)l ~ e,

also nach (16), (6) und (8) fiir 0 --~ x ~ ~o, f~ ~-- 1, 2 . . . . . m, v = 1, 2 . . . . . n

(18) lY., , ,+I (x ) - y~,(x)[ < 8q',

mithin, wenn man (9) beachtet,

[ y ~ , . + , ( x ) - y . o ( X ) [

ly~l(X) -- y~o(x)l ~-lY.~(x) -- y~, ,(x)l + "" - t - IY~ , , ,~+~ (x) -- y , , , . (x) l 8 < a,

d . h . auch

y~o(X) -- a ~ y~,, n + l (x) ~_ y~,o(x) -t- a

fiir 0 ~ x ~ o~. Weil aUe auftretenden Funkt ionen die Periode co haben, gilt diese Ungleichung nachtr~glich fiir alle x.

Die Funkt ionen y~, ,,+ 1 (x) haben also ebenfalls die Eigenschaften, die wit beim Induktionsschlu~ benutzten. Daher kSnnen al]e Funkt ionen- systeme (13) berechner werden; aUe Funkt ionen y~ . (x) sind fiir -- ~ ~ x < cr stetig differentiierbar, haben die Periode eo und erfiiUen die Ungleichungen (14). ~berdies gilt nach (17) und (18) fiir alle x die Ungleichung

(19) I Y. nCx) -- y. , ~_1 (x) l ~ e qn- 1 (~ = 1 . . . . m; n = 1, 2 . . . . ).

Aus (19) folgt jetzt weiter, weil q <: 1 ist, dal~ jede der m Rei]aen

y , . o ( x ) -~ [y~,l(X) -- y~o(X)] -~ [y~,~(x) - - y ul(x)] -~ ' ' -

fiir alle x gleichm~Big konvergiert. Es existieren daher die Grenzfunktionen

(20) lira y~,n(x) = y~(x) (/~ = 1, 2 . . . . . m);

sie sind stetig, haben die Periode co und erfiiUen nach (14) die Ungleichungen

(21) y~,o(X) -- a ~ yl,(x) ~ yt, o(X) + a (l~ = 1 . . . . . m).

Nach (15) ist

(22) y, , , , (x) ~- y~,,~(O) + ~ ]~,(t, yl, n_ l ( t ) . . . . . ym, n _ l ( t ) ) d t - - 0 ~e

- - i p~,(t) [yF, n(t) -- y.~,,_l(t)] dt. 0

Da p.,(t) stetig und periodisch, alsobeschr~nkt ist, und (19) gilt, ferner nach (14) fiir jede Nummer n die Stelle (t, y l .n_ l ( t ) . . . . . y~,n_l( t )) und nach (21) auch

Periodische L6sungen bei Differentialgleichungen 1. Ordnung. 133

die Stelle (t, y l ( t ) , . . . . y , , ( t ) ) dem Gebiet ~ angehSrt, in welchem infolge der Periodizitiitsvoraussetzung (1) die Funktionen/~ sogar gleichmi~llig stetig sin& ergibt sich aus (22) beim Grenziibergang n - + w, dall

y~,(z) = y~,(O) + ~ /~(t, y~(t) . . . . . y,.(t))dt (~ = 1 . . . . . m). 0

Well hier die Integranden stetig sind, sind die Funktionen y~,(x) fiir aUe x auch dffferentiierbar; es ist

L ( ~ ) = / . ( ~ , y~(~) . . . . . y~,(~)) (~ = 1 . . . . . m);

die l~unktionen yt , (x) bilden also ein Integral des Dffferentialgleichungs- systems (10) mit der Periodiziti~tseigenschaft (11).

Damit ist der Satz bewiesen.

w

Bemerknn~n zu den u und SonderflUle.

Hat )t in ~ stetige partielle Ableitungen erster Ordnung, so ist fiir eine geeignet gewKhlte Zwischenstelle (x, W1 ..... ~1,~)

m

= ~-~ ~/" ix ]$t( x ' Yl . . . . . Ym) - - ]gt( x ' Zl . . . . . Zm) ~'J~O 0 y~" ' 71 . . . . . ~m) (Y~. Z~.),

also fiir jede stetige Funktion p~ (x), die die Bedingungen (3) und (4) effiiUt,

f~(x , Y l . . . . . Ym) - - ]~(x, z 1 . . . . . z,~) -4- p~t(x) (y~ -- z~)

- ~ Z ~a-~ (~' '11 . . . . . n,.) (y~ z~i+ [ ~ (~, , i . . . . . v - ) + p . ( ~ ) ] ( y . - ~,). ~ = . Lay.

Da die Funktion f~ die Periodizitiitseigenschaft (1) ha.t, kann man auch jedes ~ ---- ~h(x, Yl . . . . . y~, Zl . . . . . z~) so wiihlen, daft es in bezug auf x die Periode to hat. Daher gibt es eine Funktion S~,(x), die stetig ist und die Periode to hat, so dab

6 3 ~ ( X ' 71 . . . . . ~m) ------- ~gt(X) (~ = 1, 2 . . . . . m ; ~ :~= ~t), t

0/, (x, 7, . . . . . ~..) + v . ( x ) , < s , . (x)

und daher

I/..(x, y, . . . . . y .J - / , . ( x , zl . . . . . ~..) + v . (~ ) (y . - ~)l

< s . ( ~ ) 27 lY~ - z,I < ms~(~) Max ly~ - ~1. ) .~- I i---~l,..., m

Die Voraussetzung (2) ist also gewil~ mit Ii,(x ) = mS~,(x) erfiillt. Damit mSglichst auch die Voraussetzung (8) erfiillt ist, wird man die Funktion p, (x)

134 M. MRller.

hierbei so zu w~ihlen suchen, dab das nach (6) berechnete ~ ( x ) mSglichst klein bleibt.

Ist p~(x) ~ 0 und gibt es eine nicht-negative Konstante L~ derart, da~

Yl . . . . . y,,) -- t~(x , z 1 . . . . . z~) + p~(x) (y~ - - z~) I

<:L~p~(x) Max lYa--zal, 2 2 1 , . . , ~ m

so kann l~ (x) = L~p~ (x) gesetzt werden; es wird ~ (x) ---- L~; die Bedingung (8) bedeutet dann, daft L~ < 1 sein solL

Ist abet p~ (x) ~ 0 und gibt es eine nicht-negative Konstante L~ derart, dab

I / . ( z , y l . . . . . y, .) - / . ( x , z l . . . . . z.~) + p~(z ) (y~ - z~)l - - L~p., ,(x) Max lye-- zz[,

2 ~ 1 , . . . t ra

so kann i~(x) ~- - - L ~ y ~ ( x ) gesetzt werden; es wird

~ (x) = L,(2 e -P~(~) -- 1),

und die Bedingung (8) ist erfiiUt, wenn zwischen p~ (x) und L~ die Beziehung

L~(2 e -P."(~) -- 1) < 1 besteht.

Fiir n-----1 kann die Bedingung (2) unter Weglassung entbehrlicher FuBmarken gesohrieben werden:

[/(x, y) - - t ( x , z ) + p ( x ) (y - - z)[ < l ( x ) lY - z l ;

sie besagt also, daft fiir y ~

(23) - - p ( x ) - - l (x) ~ / ( x , y ) - - ! (x,z) ~ _ p ( x ) + l (x) y - - z

sein soil. Da l(x) nicht beschr~iukt zu sein braucht, verlangt sie in gewisser Hinsicht weniger als die iibliche Lipschitz-Bedingung, die Beschr~inktheit des Dffferenzenquotienten bedeutet. In anderer Hinsicht verlangt die Be- dingung (2) mehr als die gewShnliche Lipschitz-Bedingung: Nach (23) muff

l ( ~ , ~ ) - 1 (~, ~) = _ p (x ) + O(x, y, z ) l ( x ) y - - z

sein, wo I 0 (x, y, z) l ~ 1. Dabei sind p (x) und 1 (x) an die Bedingungen (4) und

(24) e -P(~) eP(~ d t -~ lee(~) - 1-------/0

gebunden. Man kann also im Fail n = 1 die Bedingungen (2), (4) und (8) so deuten: Der Dffferenzenquotient yon ](x , y) in bezug auf y soil ,,ira Durch- schnitt" [siehe (24)] nicht zu sehr abweichen yon einer Funktion - - p ( x ) , deren Mittelwert im Periodenintervall yon Null verschieden ist [siehe (4)].

Periodische IAisungen bei Differentialgleichungen 1. Ordnung. 135

Fiir p(x) ~ 0, l(x) = Lp(x) geht (23) fiber in

(25) -- (1 -~ L) p (x) _--< ! (x, y) -- / (x, z) __< _ (1 -- L) p (x). y - - z

Daraus folgt insbesondere: Ist /(x, y) in der ganzen (x, y)-Ebene stetig, / (x + eg, y) ~ ](x, y), gibt es eine Konstante L mit 0 g L < 1 und eine stetige Funktion p (x) mit der Periode o), die (4) erffillt, derart, dab (25) gilt, so hat die Differentialgleichung y' -=/(x, y) mindestens ein Integral mit der Periode o). Die Bedingung (25) besagt aber im wesentlichen, dab / (x , y) einen beschr~nkten Differenzenquotienten in bezug auf y haben, eine nicht steigende Fmaktion yon y und ,,ira Mittel ffir aile x eines Periodenintervalles" sogar eine abnehmende Funktion yon y sein so]l.

Dal] die Bedingung (4) nicht entbehrt werden kann, lehrt das dritte der eingangs erwi~hnten Beispiele; denn bei dieser Differentialgleichung y' -~ 1 sind mit p ( x ) = l ( x ) = 0 die Bedingungen (23) und (24), aber nieht die Bedingung (4) erfiillt. Dieses Beispiel zeigt abet auch, daft zur Bedingung (4) noch eine Bedingung fiber 1 (x), wie etwa die Bedingung (24), hinzutreten muB, damit der Satz richtig bleibt; m i t p (x) = l(x) = I sin x I sind n~mlich die Bedingungen (23) und (4) erffillt, ohne dal] periodisehe Integrale vorhanden sin&

(Eingegangen am 21. Januar 1942.)