Uber eine Beziehung zwischen Ordnung und Singularitaten. Seinem verehrten Lehrer Berm ERHARD SCHMIDT zum 2%. Geburtstag gewidmet.

Von OTTO HAUPT in Erlangen.

(Eingegangen am 12.6. 1950.)

§ 1. Einleitung. 1.1. Ein S a t z der d i r ek ten Inf ini tes imalgeotnetr ie . Ausgangspunkt der Betrachtung ist der folgendel)

Satz. Voraussetzung. In der euklidischen Ebene E , sei ein Oval gegeben, das in jedem seiner Punkte (qenau) einen freien Schmiegkreis2) und das nur end- lich viele 8cheiteZ3) besitzt.

13 e h a u p t u n g . Das Oval ha€ mit jedem Kreis hochstens vier Punkte gemeinsam dann und nur dann, wenn das Oval von lceinem Kreis in mehr al-s zwei Punkten beriihrt wird. Dabei ist jeder qeme insame Punkt Q von Oval und Kreis ein- bzw. zwei- bzw. drei- bzw. vierfach zu zahlen, je nachdem Q auf dem Om1 (beziiglich des betrachteten Kreises) nicht Beriihrpunkt bzw. Beriihrpunkt, aber nicht Schmieg- p n k t bzw. Schmiegpunkt, aber nicht Scheitel bzw. Schmiegpnkt u n d ScheiteZ ist ; ferner wird jeder Schmieqpunkt fur z we i B e r ii h r punkte gezahlt (gkichgultig, ob der Schmiegpunkt zugleich Scheitel ist oder nicht).

1.2. Ordnung und Singular i ta t . h13 es sich bei dem eben angegebenen Satz wirklich - wie im Titel vor-

liegender Note angedeutet - um einen Zusammenhang zwischen Ordnung und

I ) I’gl. HAUPT, S.-B. physik.-med. Soz. Erlangen 6; (1934), 279ff.; 6 1 (1935), 13. Beweise sind a. a. 0. nicht mitgeteilt.

a) Unter dem freien Schmiegkreis 5 an das Oval im Punkt P verstehe man den (ein- zigen) weder in einen Punkt noch in eine Gerade ausgeartetm Limes der Kreise durch irgend drei gegen P konvergierende Punkte des Ovals; P heil3e Schmiegpunkt von B. - Not- wendig und hinreichend fur die Existenz dieses freien Schmiegkreises ist die zweimal stetige Differenzierbarkeit von f(z) mit f”(z) 4 0, wenn tj = f(z) eine (stet8 vorhandene) DarsteUung des Ov& in der Umgebung von P beziiglich rechtwinkliger, karteaischer Koordinaten (mit eindeutigem f ( z ) ) bedeutet (vgl. HAUPT-AUYANR-PAUC, Differential und htegrakechnung, 2. Bd. 2. Aufl., Berlin 1950, S. 101). Unter den Voraussetzungen des Textes ist j d e r Kreis, der das Oval schneidend beriihrt, ein Schmiegkreis.

3) Unter einem Scheitel dea Ovals wird hies jeder Ovalpunkt 8 verstanden, in welchem der freie Schmiegkreis zugleich Scheitelkreis, d. h. Limes von Kreisen durch (mindestens) vier gegen S konvergierende Ovalpunkte ist. - Wenn das Oval nur endlich viele Scheitel besitzt, so enthalt es keine Kreisbogen. Unter den im Text iiber das Oval gemachten An- nahmen ist jeder das Oval sttiitzend beriihrende Schmiegkreis ein Scheitelkreis und umgekehrt (vgl. HAUPT, Arch. Math., Karlsruhe 1 (1948), 104-105).

Math. Nachr. lSSO/Sl. Bd. 4, H. 1-0. 6

82 Haupt, uber eine Beziehung zwischen Ordnung und Singularitsten.

Singularitaten handelt, ergibt sich &us den Definitionen : Die Ordnung des Ovals bezuglich des Kreises, kurz zykl i sche Ordnung , wird iiblicherweise erklgrt als die maximaled) Machtigkeit6) der Durchschnitte des Ovals mit den Kreisen. Weiter ist jeder Scheitel ein (ordnungsgeometrisch) s ingularer P u n k t (auf dem Oval) insofern, als befebig kleine Umgebungen des Scheitels auf dem Oval mindestens die zyklische Ordnung 4 besitzen, wahrend ,,im allgemeinen", n&m- lich fur die (ordnungsgeometrisch) ,,reguliiren" Punkte alle hinreichend kleinen Umgebungen von der zyklischen Ordnung 3 (also der kleinstmoglichen Ordnung) sind.

SchlieBlich geben die in mehr als zwei Punkten das Oval beriihrenden lireise AnlaB zu (ordnungsgeometrisch) s ingu la ren P u n k t s y s t e m e n auf dem Oval, insofern namlich - wenn hier der Einfachheit, wegen von Schmiegkreisen abgesehen wird -, als dann Kreise durch sechs Ovalpunkte existieren, von denen je zwei in beliebig kleinen Umgebungen je eines der drei Beriihrpunkte liegen, wahrend ,,im allgemeinen" hochstens zwei solche Paare auf dem Oval vorkommen.

1.3. To pol og i sc h e Ver a1 1 gem ei n e r u n g en. Die in Nr. 1.1 und 1.2 angegebenen Definitionen von Schmiegkreis, Ord-

nung, Scheitel usw. nehmen nicht oder doch nicht unmittelbar Bezug auf metrische Eigenschaften des Kreises; sie stiitzen sich vielmehr im wesentlichen nur auf topologische, namlich darauf, dalj ein Kreis durch drei (beliebige) Punkte ein- deutig festgelegt und daB er eine einfachc (geschlossene) Kurve ist.

Damit erhebt sich die Frage.nach Verallgemeinerungen des in Nr. 1.1 an- gegebenen Satzes in dem Sinne, daB die Kreise ersetzt werden durch einfache Kurven 8, deren jede durch beliebige k Punkte (k 2 3) eindeutig bestimmt wird, und daB dann auch an Stelle des Ovals eine allgemeine Kurve Q tritt.

Unter geeigneten Voraussetzungen uber diese (Grund-) Kurve 0. gibt es in der Tat eine solche Verallgemeinerung]), aus der dann speziell der Satz in Nr. 1.1 gefolgert werden kann. Diese Verallgemeinerung kann durch Kontinuitats- betrachtungen bewiesen werden, wobei vor allem eine gewisse , ,Monotonic- eigenschaft" derjenigen hderungen benutzt wird, welche das System a der gemeinsamen Punkte von Q und 8 erleidet, falls k Punkte des Systems (Y in be- stimmter Weise geandert werden. Djeser Kontinuitiitsbeweis fuhrt aber sogleich zu einer noch weitergehenden Verallgemeinerung. Der Beweis l&Bt niimlich er- kennen, daB auch die Kurven 8 bei unserem Problem entbehrt werden konnen. In der Tat erweisen sich die Kurven 8 nur insofern als wesentlich, als durch ihre Vermittlung eben jene Monotonieeigenschaft der Punktaysteme a gewahrleistet wird. Paraus geht hervor, daB es sich bei unserer Pragestellung letzten Endes urn einen allgemeinen Satz uber ,,KorreqondenZenl."B) auf dem Kreis (der Kreis-

') Falls diesea Maximum existiert. 5, In Nr. 1.1 ist dabei nicht die Miichtigkeit im ublichen Sinnc, sondern eine sozusagen

,,gewogene" Machtigkeit zugrunde gelegt ; ea wird niimlich jeder Punkt des Durchschnittes mit einer gewissen Vielfachheit gezahlt, eben gemiif3 der in Nr. 1.1 gemachten Vorschrift. Die Verwendung der gewohnlichen bzw. einer gewogenen Machtigkeit entspricht dem topo- logiachen bzw. ~nnfiniteaimalqeeometrisehen Standpunkt (vgl. im Text Nr. 1.3).

6, Das heil3t Abbildungen gewisser Systeme aus k Punkten (der Kreisperipherie) auf Systeme von endlich vielen (und mindestens k + 1) Punkten. Vgl. auch FuDnote lo).

Haupt, Uber eine Beziehung zwischen Ordnung und Singularitaten. 83

peripherie) handelt, welche gewissen (Stetigkeits- und) Monotonieforderungen geniigen 7).

Da beim Zuriickgehen auf diese allgemeine Formulierung der Beweis sich wesentlich durchsichtiger gestalten IiiBt, werden wir jenen Satz iiber Korrespon- denzen zuniichst zum Gegenstand der Betrachtung machen. Dieser Wechsel in der Formulierung des Problems zwingt indes noch zur Elimination der in- finitesimlgeometriechen (punktakn) Begriffe (wie des Begriffes Schmiegkreis), genauer gesagt zu ihrer Ersetzung durch Begriffe loknler Natur, wie es ja auch dem topologischen Charakter der Verallgemeinerung entspricht s). Diese Er. setzung ist aber fur den Fall k = 3 schon in Nr. 1.2 durch den Vbergang VOR

den Beriihrpdnkten zu den ,Paaren benachbarter Punkte vorgenommen. Die in Nr. 1.1 uberdies gestellte Forderung der eindeutigen Existenz des freien Schmieg- kreises spielt dort lediglich die Rolle einer Differenzierbarkeit~annahme~) ; eine solche wird aber bei unserer Verallgemeinerung iiberfliissig.

1.4. I n h a l t der nachs t ehenden Pa rag raphen . Aus den Darlegungen in Nr. 1.3. ergibt sich fur die vorliegende Note folgende

Gliederung : Zunachst (8 2) werden die benotigten Stetigkeits- uDd Monotonie- eigenschaften der dem allgemeinen $atz zugrunde Iiegenden Korrespondenzen eingefiihrt und der Satz selbst formuliert (Nr. 2.5). AnschlieBend (§ 3) wird dieser Satz bewiesen. SchlieBJich wird ($4 ) der infinitesimalgeometrische Satz (Nr. 1.1) aus dem topologischen Satz (Nr. 2.5) gefolgert sowie auf weitere ver- wandte, teils schon behandelte, teils noch unerledigte Fragen hingewieeen, die sich auf Zusammenhiinge zwischen Ordnung und Singularitiiten beziehen.

Q 2. Formulicrung des Satzes uber Korrespondenzen. 2.1. Es sei 9 die Kreislinie (Kreisperipherie) vom Umfang 1 . Auf 8 sei ferner

eine Durchlaufungsrichtung (Orientierung) festgelegt ; Punkte Q, E 8, z = 1 , . . . , t ; t 2 3, die bei wachsendem z im Sinne der Orientierung aufeinanderfolgeri, heil3en na t iirlic h angeordnet oder in na t iirlic he r Anordnung (Rei hen - folge) auf 9 .

Es seil0) nun m eine Menge von (nicht geordneten) Komplexen a , ,8, . . . ,

') Zuriickfiihrung ordnungsgeometrischer Satze auf Satze uber Korrespondenzen niit Monotonieeigenschaften schon bei C. JUEL, Danske Vid. Selsk. Skr., Naturv. Afd., 7. R., XI, 2 (1914), 113ff.; ebenso bei E. STENFORS, Comment. phys.-math. SOC. Sci. Fennica I. 27 (1922). Vgl. dazu z. B. noch HAWT, Mh. Math. Physik 40 (1933), 37; Jber. Deutsche Math.- Verein. 49 (1939), 193; Ann. mat. pura appl. Bologna, 1V. S. 21 (1948), 293ff., spez. Nr. 2.1.1 sowie P. SCHERK, Canadian Math. Congress Prcc. Montreal 1946, S. 102.

s, Himichtlich der Begriffe punktal, lokal, global vgl. HAUPT-AUMANN-PAUC, FuBnote a) a. a. O., 1. Bd., 2. Aufl., Berlin 1948, S. 209ff.

s, Vgl. FuBnote e, und s). lo) I m folgenden wird mit (durch k ihrer Punkte bestimmten) Syetemen von Punkten

(Komplexen) gearbeitet anstatt mit den entsprechenden Abbildungen des (topologischen) Produktm von k Kreislinien in das Produkt aus h Kreislinien (betr. die natiirlichen Zahlen k und h, vgl. Nr. 2.3, ( I ) ) . Dadurch nanilich wird es, insbesondere bei den Kontinuitatsbetrach- tungen, moglich, die gberlegungen in einer auf die unmittelbare Anschauung Bezug nehmen- den Form auszudriicken (vgl. hierzu auch HAUPT, J. reine angew. Math. 180 (1939), S. 60, FuDnote l') eowie S. 54). Ubrigens sind die Kontinuitatsbeweise nicht in alle Einzelheiten ausgefiihrt; e8 werde auch in dieser Hinsicht auf die fruheren, eben zitierten Darlegungen verwiesen.

6*

84 Haupt, Uber cine Heziehung zwischmi Ordnung und Singularitaten.

gebildet je aus endlich vielen (verschiedenen) Punkten von R. Sind PI, . . . , P, die Punkte von a, so schreibcn wir auch ,x = (PI, . . . , P,).

2.2. Die Anzahl der Punkte, nus denen ein a E m gebildet wird, sei als die Gliederzahl oder Ordnung O(a) von a bezeichnet, ferner m m O ( a ) , falls

dieses Maximum existiert, als die Ordnung O(m) von m (auf 9) . Die Ord- nung O(a; Z) von a a u f dem Tei lbogen S von 9 wird entsprechend erklart als die Anzahl der zu Z gehorigen Punkte von a, also auch O(a; S) = O(az ) , und O(m; 2) als max OfaS). Als Ordnung O ( P ) = 0 (P; m) des P u n k t e s PE bezuglich m wird definiert min O(m; U ( P ) ) , wobei U(P) alle Urngebungen von P auf R durchlauft.

a e m

a e m

2.3. An m werden Iolgende Forderungenll) gestellt 12) : (1) Die OrdnungO(m) von m i s t besch rank t und mindes tens gleich

(k + 1); d. h.: Es existieren (nur von m abhiingige) natiirliohe Zahlen h, k mit 3 5 k < h derart, daB jeder Komplex a Em mindestens k + 1 Punkte enthalt und hochstens h .

(2) Exis t enz - und E indeu t igke i t s fo rde rung . Irgend k (verschiedene) Punkte von 9 sind in genau einem a E m enthalten.

(3) Ste t igke i t s forderung. 1st a E m beliebig un$ y = (Ql, . . . , &k) ein beliebiger k-gliedriger Teilkomples yon a, also a = (Q1, . . . , &k, . . . , Q ) , wobei k + 1 r , ist ferner U, eine (beliebig kleine) Umgebung von Q1 auf 9, so existiert (gemLB (2)) ein /I E m mit B = (Q;, . . . , Qk, . . . , Qi), wobei die QL E U, beliebig aber verschieden sind, x = 1 , . . . , k ; k + 1 S; t . Zwecks Formulierung der Stetig. keitsforderung unterscheiden wir zwei Falle: E r s t e r Fa l l , Es ist a regular (bezuglich des k-gliedrigen Teilkomplexes ’J

von a); das soll heiRen: Fiir hinreichend kleine U,, x = 1, . . . , k , und fur jedes zugehorige /3 E m der vorstehend beschriebenen Art ist O(a) = O(8) (= r = t ) . Gefordert wird: (.4) Es soll sich u stetig andern mit den Ql, . . . , Qk, d.h. bei geeignet gewahlter Reihenfolge der . . . , Q i liegt jedes Q: beliebig nahe bei Qr, z = k + 1, . . . , t , falls jedes Q: hinreichend nahe bei Q8 Jiegt, x = 1, . . . , k. - (B) 1st a regular beziiglich (mindestens) eines k-gliedrigen Teilkomplexes von a, so soll a reguliir sein beziiglich eines jeden k-gliedrigen Teilkomplexes von a. - (C) Fiir jedes regulare aE m soll sein O(a) = k + 1 mod2. Zweiter Fal l . Jedes nicht-regulare u heil3c i r regular . Geforder t wird: Fiir beliebig kleine U, soll es regulare 0’ = (Q;, . . .) E m und p” = (Q:’, . . .) E m geben mit QiEU,. &YE U,, x = I , . . . , k, und mit O(B’) < O(a) < O(p’f); und uberdies sollen (fur hinreichend kleine U,) die Punkte von 8’ sowohl als von 8’‘ in beliebig kleinen Urngebungen der Q(, E a liegen, e = 1 , . . . , r . - Wir sagen dsnn, es finden beim mergang von oder a zu Pf’ bzw. von 8“ oder a zu 8‘ Gewinne bzw. Ver lus te statt (es werden Punkte gezuonnen bzw. gehen ver- Eoren) .

11) Die Forderungen (1) bis (4) sind z. B. unter den im Satze der Nr. 1.1 gemachten Vor- aussetzungen erfullt, d. h. fur die mindestens vierpunktigen, nur Schnittpunkte enthaltenden Durchschnitte der Kreise (k = 3) mit. dem (stetig gekriimmten) Oval (Beweis hierfur in Xr. 4.1).

l2) Inwieweit die Forderungen (1) hiR (4) unabhangig (also nicht-reduzierbar) sind, wird hier nicht untersucht. Ihre WiderspruchaloRigkeit iet gemal3 FuBnote 11) gesichert.

Haupt, Uber eine Beziehung zwischen Ordnung und Singularitaten. 86

(1) Monotonieforderung. Es sei a = ( P , . . . , , PI). Werden etwa die Punkte Pl, . . . , Pk-1 f ix i e r t (zu F i x p u n k t e n gemacht), d. h. werden diese Punkte festgehalten, und wird z. B. Pk stetig und monoton geiindert, so andern sich auch die ubrigen Pk+l, . . . , P, (soweit sie nicht verlorengehen) sowie alle etwa gewonnenen Punkte stetig und monoton, und zwar letzteres im folgenden Sinne: Sind QL, . . . , Qi die siimtlichen beweglichen, d. h. nicht fixierten Punkte (also die von P,, . . ., Pk-, verschiedenen), und zwar in ihrer natur- lichen Reihenfolge angeschrieben, so bewegen sich je zwei Punkte, die (innerhalb des Komplexes a) durch keine anderen beweglichen Punkte getrennt sind, auf L in entgegengesetzter Richtung.

Anmerkung. GemaB (3) konnen nicht mehr als k- 1 Punkte fixiert werden, wenn bewegliche Punkte auftreten solien. Sind k - 1 Fixpunkte in a vorhanden, so gibt es genau g = O(a) - k + 1 hewegliche Punkte, wobei g = Omod 2 und g 2 2 ist.

Ein den Forderungen (1) bis (4) geniigendes System 111 heiBe ein k-System. Bemerkungen. I. GemaB Forderung (2) besitzt jeder Teilbogen und folglich

jeder Punkt von 9 mindestens die Ordnung k. - I[. Me irregularen Komplexe liegen ,,nirgends dicht"13).

2.4. Jetzt ist noch dasfiir den Fall der Kreise (Nr. 1.1) erwiihnte infinitesimal- geometrische Verbot mehr als doppelter Beruhrung in topologischem Sinne zu verallgemeinern. Zu dem Zweck formulieren wir dieses Verbot dahin, daB z. B . nicht mehr als zwei Paare von Punkten des Durchschnittes des Ovals mit einem Kreise beliebig kleinen Bogen auf dem Oval angehoren diirfen usw. Wir gelangen damit allgemein zur folgenden 14)

Forderung. Es existiert eine feste (nur voin k-System m abhangige) Zahl b > 0, ohne Beschrankung der Allgemeinheit mit 0 < b < 4-l, von nachstehen- der Beschaffenheit: 1st a = (Pl , . . . , Pr) E nr und gibt es fremde (offene) Teil- bogen R,, . . . , Rt von R je von einer Liinge kleiner als b derart, da13 in Rr ins- gesamt qr 1 2 der Pl, . . . , P, enthalten sind, t = 1 , . . . , t , so sol1 gelten:

Wenn qr I k ist fiir jedes z = 1 , . . . , t , dunn ist C(qr - 1) I k - 1 .

Wenn aber qr k + 1 fur (niindestens) ein z, dann ist t = 1 und qt = k + 1 = ql. Ein k-System nt, welches auch der vorstehenden Forderung genugt, heiBe

kon z en t r a t i on s he sc h r Sin k t und b heifle eine Konz en t ra ti onssc h r a n k e von nt.

Folgerungen. Ledjglich d ie Konzen t r a t ionsbesch rank the i t zieht nach sich: I. Wenn qr = k ist fur niindestens ein t, so ist t = 1 . - 11. Wenn z(qr - 1) = k - 1 , so haben die noch ubrigen Punkte von OL zu je zweien eine Entfernung auf R nicht kleiner nls b . - 111. Die Ordnung eines jeden Punktes (von m) ist hochstens k + 1 .

Anmerkizng. Aus der Folgerung 111. ergibt sich15), da13 9 npr endlich viele Punkte der Ordnung k + I besitzt und daB 9 Vereinigung endlich vieler Bogen

13) Vgl. FuBnote lo), a. a. 0. S. 46f. 14) Wie in Nr. 4.1 gezeigt wird, ist diese Porderung crfullt fur die ,,Schnittpunktkom-

plexe" (vgl. Nr. 4.1) des Ovals mit den Kreisen, falls die Voraussetzungen von M. 1.1 gelten.

t

7=1

16) Vgl. HAUPT, Mh. Math. Physik 40 (11)33), Nr. 6.3.

86 Haupt, ttber eine Beziehung zwischen Ordnung und Singularittiten.

ist, deren jeder die Ordnung k besitzt. (Daraus folyt ubrigens die in Nr. 2.3, (1) geforderte Beschrlnktheit von O(m).)

2.5. Zu beweisen ist jetzt der Sah. Ein k-8ycrtern m h i t z t genau d k &dnung k + 1 dann und nur dam,

wenn ea konzentrdimbeechrankt i8t.

Q 3. Beweis des Strtzes iiber Korrespondenzen (vgl. Nr. 2.6).

3.1. Aua O(m) = k + 1 folgt die Konzentratiansbee&rdnk&it von m. 1st nlmlich a einbeliebigerKomplexaus mmit O(a) = crundist cr=ql+**-+it

mit t 2 1 eine beliebige Darstellung von 8 als Summe positiver ganzer Zahlen, so gilt wegen 8 5 k + 1 zuniichst zqz 5 k + 1 . 1st jetzt p; I: k fi ir jedes t=l, ..., t , so gilt ~ ( q t - - I ) ~ k - 1 ; denn fiir t = l ist das trivial, fiir t 5 2 folgt es 8\18 CqI k + 1. 1st dagegen qr 2 k + 1 f i i r ein z, so jst t = 1 und q1 = k + 1. Demnach ist die Konzentrationsforderung (Nr. 2.4) erfullt, und zwar fiir jedes b > 0 als Konzentrationsschranke.

3.1.1. Zu zeigen bleibt also: Aus der Kmmtrationsbeschranktheit von II'I f o w O(m) = k + 1.

Zunlichst sei der Gedankengang d k e a Beweieee angegeben. Zur Abkiirzung bezeichnen wir dabei als (ordnungs-) maximal bzw. als konzentriert jeden Komplex a Em mit O(a) = 0 (m) bzw. derart, deB gewisse ql Punkte von a rnit q1 2 k in einem und dem niimlichen Teilbogen von $ enthalten sind, dessen Liinge kleiner ist als b. Die Beweisschrittele) lassen sich danech 80 formulieren: (A) Zu jedem maximalen Komplex aEm existiert ein konzentrierter Kom- plex %Em von gleicher Ordnung, also O(a) = O(Z) = 0 (m). (B) Es existiert (mindestens) ein konzentrierter Komplexg mit O(8) = k + 1. (C) Alle konzentrierten Komplexe besitzen die gleiche Ordnung p B k + 1.

Wegen(B)und(C)ist p = k+l.Daherfolgtaus(A),daBO(m)=p= k + 1, was zu zeigen war.

Anmerkung. Jeder konzentrierte K m p k x aE m icrt regular; nlimlich : jede stetige hderung (der Punkte) eines konzentrierten a Em, bei welcher die Kon- zentriertheit von a erhalten bleibt, ist ordnungsfeat, d. h. alle im Laufe der Ande- rung entstehenden Komplexe besitzen die gleiche Ordnung wie a. (Wegen der Konzentriertheit konnen in der Tat im La@ der Anderdng keine Gewinne oder Verluste stattfinden.)

3.1.2. Vor Eintritt in den Beweis fiihren wir zur Abkiirzung n*mh folgende Bezeichnung ein: Es sei y'= ( P l , . . . , P,) E m, wobei die Pel e = 1 , . . . , r, naturlich angeordnet 8eien. Unter einem Teilkomplex von y wird dann stets ein System von Punkten aus y verstanden, die (in ihrer natiirliohen Anordnung) inyunmillelbaraufeinanderfolqen. EinTeilkomplexvon y,etwa(Pt+l,. . . , Pt+,) rnit 8 2 2, heiBe s t a r k konzentriert , wenn je zwei benachbarte seiner Punkte eine Entfernung (auf 9) kleiner als bf = (16m)-'b besitzen, wobei m = O(m)

la) Vgl. dazu die Beweisanordnung bei E. STENFORS, FuBnota '), a. a. 0.; ferner E. KIVIKOSEI, Ann. Aced. Sci. Fennicae, A 44 (1936), Nr. 2, wo der betreffende Satz (vgl. im Text weiter upten Nr. 4.4) auf den Fall der Kurven mit Doppelpunkt auagedeht wird.

Haupt, tfber eine Beziehung zwiechen Ordnung und Singularitiiten. 87

und b eine Konzentrationsschranke von m ist; dagegen heil3e der Teilkomplex konzentriert , wenn der alle Pt+,, u = 1 , . . . , s , enthaltende kleinste Teil- bogen von R eine Lginge kleiner als b besitzt. 1st in einem Komplex a Em ein stark konzentrierter, mindeatern k-gljedriger Teilkomplex enthalten, so heiSe a 8e2b8t st a r k ko nz en t ri er t .

Jeder stark konzentrierte Komplex a Em ist konzentriert. Jede Vereinigung von stark konzentrierten Teilkomplexen eines Komplexes aus m ist ein stark kon- zentrierter (Teil-) Komplex, wenn jeder dieser Teilkomplexe von jedem anderen unmittelbar benachbarten eine Entfernung (auf 9) kleiner als b' besitzt (d. h. daD es in jedem der beiden Teilkomplexe einen Punkt gibt, so daB diese beiden Punkte eine Entfernung kleiner als bf besitzen,) ; und zwei klche Teilkomplexe heiI3en ,,unmittelbar benachbart" , wenn in der natiirlichen Anordnung der letzte Punkt des einen und der erste Punkt des anderen der beiden Komplexe durch keine Punkte des Gesamtkomplexes von einander getrennt werden.

Der in Nr. 3.1.1. angegebene Beweis fur O(m) = 6 + 1 bleibt nun ersichtlich ricuig, wenn m n dort ia (A)-(C) iiberall ,,kmzentriert" durch ,,elark h z e n - triert" ersetzt. 1% dieser Form sol1 der Beweis jetzt gefuhrt werden.

3.2. Zuniichst wird Nr. 3.1.1, (A) bewiesen, niimlich (vgl. Nr. 3.1.2) : Jeder maximale Kmplex aEm Z@t sich ordnungsfest (d. h. unter Erha2tung

3.2.1. Vorbemerku ngen. 3.2.1.1. Bei einem monotonen ProzeB Ton der in Nr.2.3, (I) beschriebenen

Art mogen die Punkte R', R" von a Em sich auf SU in entgegengesetzter Rich- tung bewegen. Ferner sei 23' ein von Rf , R" begrenzter Teilbogen von 9, der keine anderen beweglichen Punkte enthhlt. Nimmt dann 114' im Verlaufe des Prozesses zu, so kann in seinem Innern (wiihrend des Prozesses) kein Gewinn stattfinden (und auch kein Verlust); solche Gewinne sind vielmehr nur bei ab- nehmendem 8' moglich17). Ein zunehmender, von beweglichen Punkten freier Bogen heiBe dementsprechend (bestiindig) f r ei.

3.2.1.2. Es sei a E m maximal, aber nicht stark h e n t r i e d . Unterwirft man a einer stetigen bderung (im Sinne von Nr. 2.3, (3)), so konnen (weil O(a) = O(m) und weil O(@) I O(m) fiir jedes @ Em) keine &winne erfolgen, beuw Verlwte stattgefunden haben (a ist somit reguliir). Laesen sich daher im Verlaufe eines auf a ausgeiibten (geeigneten) monotonen Prozesses (im Sinne von Nr. 2.3) Verluste vermeiden, so erfolgt die hderung von a ordnzmngsfest. Eine Folge derartiger (ordnungsfester) monotoner Prozesse, deren Ergebnia ein stark kon- zentrierter Komplex (aus m) ist, wird sogleich (Nr. 3.2. 2) angegeben werden. Damit ist denn die Behauptung in Nr. 3.2 bewiesen.

3.2.2. Voraussetzung. E8 sei a = (Q1, . , . , Qt) E m maximal und nicht slark kunzentriert.

Behauptung. Es exlliert eine Folge vim munotonen Prowsen, venntige &ren a ordnungsfeet in einen stark konzentriehn (maximalen) Komplex E nt uher- gef uhd wird.

seiner Ordnung) in einen stark -kmzentrierten Kmplex tiberfuhren.

17) Vgl. z. B. FuBnote lo), a. a. 0. S. 63.

88 Haupt, uber eine Beziehung zwischen Ordnung und Singularitaten.

Beweis. (I) Entweder (1 . Fall) gibt es stark konzentrierte Teilkomplexe x, = (Qrl, . . . , QTg,) von a, wobei qr 2 2; z = 1 , . . . , t ; t 2 1; oder (2. Fall) es gibt keine solchen Teilkomplexe. Im 1. Fall besagt die Konzentrationsbeschriinkt- heit von a, dal3 q = 2 (qr - 1) S k - 1 ; dabei konnen und sollen diese q, f i i r a stets so gewahlt werden, dab q maxima l ist, in Zeichen q = q(a); wir setzen noch d = k- 1 - q, wobei dann d h O ist. Den 2. Fall (daB keine zc vorhanden sind) kennzeichnen wir durch q = 0 . - Die zu keinem dieser stark konzentrierten Teilkomplexe gehorigen Punkte von a mogen isol ier t heil3en.

(11) Es sei also a = (Q,,.. . . , Q,) E rn maximal, Q,, . . . , Q, seien natiirlich angeordnet und '$I* sei der alIe Q1, , . . , Q, enthaltende Teilbogen von R, welcher Ql und &, als Endpunkte besitzt (wegen r = O(m) 2 3 ist B* eindeutig bestimmt). Wir unterwerfen nun a zuniichst einmal dem folgenden monotonen ProzeB : Fixiert werden irgendwelche 9; - 1 Punkte von xi, z = 1, . . . , t , aul3erdem d beliebige isolierte Punkte (soweit d > 0). Perner werde einer der nicht fixierten Punkte (es gibt stets mindestens zwei solche) so bewegt, daB der k le ins te a l l e beweglichen P u n k t e en tha l t ende Tei lbogen $1 von %* abn immt . Dann ist 'W = 9 - 3 ein freier Bogen (vgl. Nr. 3.2.1.1); es finden also in 8' beim Pro- zeB weder Gewinne noch Verluste statt. Daher braucht lediglich '$I betrachtet zu. werden.

(111) GemiiB Nr. 3.2.1.2 muR eine Polge von monotonen Prozessen der in (TI) erklarten Art so konstruiert werden, dal3 bei keinem dieser Prozesse Verfuste in 91 stattfinden. Siimtliche Verlustmoglichkeiten lassen sich aber wie folgt klassifizieren : Es niihern sich einander (beliebig) 111.1. zwei Punkte des gleichen stark konzentrierten Teilkomplexes x, ; 111.2. zwei isolierte Punkte; 111.3. ein isolierter und ein Punkt, der (wenigstens bei Beginn des Prozesses) zu einem stark konzentrierten Teilkomplex x, gehort ;

111.4. zwei Punkte, die zu verschiedenen stark konzentrierten Teilkomplexen [wenigstens zu Beginn des Prozesses) gehoren, etwa zu x, und x , + ~ .

Beim Auftreten einer dieser Verlustmoglichkeiten brechen wir (zwecks Ver- nieidung solcher Verluste in B) den gemaB (ll) begonnenen ProzeB jeweils in einem geeigneten Stadium (vgl. weiter unten) ab und fahren mit einem geeigneten anderen monotonen ProzeB fort, bei welchem der Bogen B ebenfalls abnimmt (dabei ist % der kleinste alle jeweils beweglichen Punkte enthaltende Bopen). Im einzelnen erfoigt dieses Abbrechen usw. so:

3.2.2.1. Irn F a l l 1II.l sei der fragliche, stark konzentrierte Teilkomplex etwa x = x, = ( K l , . . . , K n ) , n 2 2, und die Punkte K,, . . . , K,, seien schon n a t u d i c h geordnet. Ferner sei c' bzw. ctt das Minimum bzw. Maximum der Ent- fernungen von K , und ICY+, , Y = 1, , . . . , n - 1, also 0 < c' d cft < b'. Es werde nun gesetzt e = min (2-1 ct, 6-' (b' -- eft)) , f = 2-' (b' + dl), so daB f + e 4 3-' (2 b' + c") < 6' und ctt + e < f < b'; infolgedessen bleiben bei den nachstehend beschriebenen Prozessen stark konzentrierte Teilkomplexe stets stark konzentriert .

Der in x bewegliche Punkt sei Ki; dnbei kann ohne Beschrankung der All- gemeinheit angenommen werden, daB sich Ki dem Punkt K i - , nahert (1. Prozep);

Haupt, uber eine Beziehung zwischen Ordnung und Singularitaten. 89

dann mu13 1 < i g n sein. (Man beschte, daB in x genau ein Punkt beweg- lich ist.)

Zunachst sei i < n . Erster Schritt. Der 1. Prozel3 wird abgebrochen, sobald die Entfernung entweder zwischen Ki und Ki+l gleich f oder zwischen Ki und Ki-l gleich e geworden ist. Hierbei und auch im folgenden ist stets vorausgesetzt, dab ein Abbrechen des Prozesses nicht schon fruher erforderlich war infolge friiheren Auftretens, sei es anderer Fiille IIJ.l, sei es von Fiillen UJ.2 bis III.4 (Nr. 3.2.2.ff.); vgl. such weiter unten. Nun wird Ki fixiert, statt dessen K, als beweglich frei- gegeben, jeder andere, bisher fixierte Punkt von a aber a s Fixpunkt beibehalten und (2 Prozep) K,, monoton gegen Kn-l bewegt, also in der gleichen Richtung wie vorher Ki. Bei diesem 2. Prozeb bleibt die Bewegungsrichtung aller beweg- lichen Punkte von a die gleiche wie beim 1. Prozep; und 91 nimmt nicht ab. Der 2. ProzeB wird abgebrochen, wenn die Entfernung zwischen K,-l und K, gleich e geworden ist. Dann wird K,, fixiert und (3. Prozep) Kn-l gegen K,+.2 bewegt. Die Fortsetzung dieses Verfahrens bewirkt, daB schlieBlich (niimlich mit dem ( n - i + 1)-ten ProzeB) die siimtlichen Punkte . . . , K,, bei bestiindig stark konzentriertem x und abnehmendeni Bogen 21 in der urspriinglichen Be- wegungsrichtung von Ki niiher an Ki herangeriickt sind, insbesondere Ki+l in die Entfernung e von Ki. - Zweiter Schritt: Nachdem dies erreicht ist, wird Ki wieder freigegeben, jedes andere K, fixiert sowie die sonstigen, bisher fixierten Punkte als Fixpunkte beibehalten und Ki in die Entfernung e v'on Ki-l ge- bracht (vgl. den ersten Schritt); sodann wird Ki fixiert, Ki-l freigegeben und gegen Ki-, bis in die Entfernung e von Ki-, bewegt usw., bis man bei Kl an- gelangt ist. Sollte der auf a auszuiibende monotone ProzeB alsdann noch nicht vollendet sein, so wird man Kl in der gleichen Richtung wie urspriinglich Ki monoton sich bewegen lassen, bis die Entfernung zwischen Kl und K, gleich dem fiir den neuen Koniplex genommenen f geworden ist, und dann wieder, mit K,, beginnend, den zweiten Schritt wiederholen, usw. (vgl. such den 1. Zusatz weiter unten).

Ist i = n , so braucht nur der zweite Schritt des Falles i < n ausgefiihrt zu werden.

Der Gesamteffekt des Verfahrens ist also - kurz gesagt - dieser: Der atark konzentrierte Teilkmplex x, bewegt sich ccls Ganzes (d. h. jeder Punkt von x, , soweit er nicht dauernd fixiert bleibt) i n der gleichen Richtung wie urspiinglich Ki; dabei bleibt x, bestiindig stark konzentriert und $!I nimmt ab.

Der Fall 111.1 kann gleichzeitig bei mehreren x, auftreten; die fi ir jedes einzelne dieser x, nach dem oben Gesagten vorzunehmenden Operationen sind unabhiingig voneinander, d. h. sie beeinflussen sich gegenseitig nicht.

1. Zusatz. Durch das vorstehend beim ersten Schritt beschriebene Verfahren gelingt es iiberdies, was fiir die weiter unten zu behandelnden Fiille 111.3 und 111.4 von Bedeutung ist, den dark konzentrierten Teilkomplex x = fKl, . . . , K,,) von LY auch dann ah Ganzes stark konzentriert i n einer festen Richtung zu bewegen (vgl. oben), wenn der in x bewegliche Punkt e twc Kl ist und sich bei einem mono- tonen ProzeP von x entfemt, d. h. wenn Kl (hier also der erste Punkt von x ) sich von K, (also von dem (fixierten) zu Kl nachsten Punkt von x) weg bewegt. Sobald niimlich die Entfernung von Kl und K, gleich f geworden ist, wird Kl

90 Haupt, Uber eine Beziehung ewischen Ordnung und Singularitatan.

fixiert, statt dessen K,, freigegeben und bis in die Entfernung e an K,,-i heran- bewegt usw.

2. Zusatz. Im Hinblick auf das im vorstehenden (einschlieBlich des 1. Zu- satzes) Bewiesene kann und sol1 i m folgenden die Annahme gemacht werden: Bei den (fiir die Falle III.1 bis 111.4) in Betracht zu ziehnden monotonen Prozessen bleiben alle ursp,riinglich' vorlndenen stark& konzentrierten Teilkmplexe von u stark kunzentriert und in ihrer aliederzahl unveriindert, a sei dem, da@ einige der- artige T e i l h p l e x e eich einandet hinreichend nahern und eich ohlurch zu einem einzigen etark konzentrierten Teilkmplex von a vereinigen (vgl. Nr. 3.1 .2), dessen Gliederzahl gleich ist det Summe der Qliedemhlen der T e i l h p l e x e .

3.2.2.2. Im Fa l l III.2 wird der urspriingliche monotone ProqeB (erster Schritt) abgebrochen, sobald die Entfernung der einander sich niihernden Punkte kleiner als etwa 2-'bf geworden ist. Dann ist niimlich ein x , + ~ mit qr+l 2 2 neu entstanden (wobei q,+l > 2, falls zwischen den beiden einander sich niihern- den Punkten auch Gewinne erfolgt sind) und q(a) hat sich vergroBert. Man legt nun den so aus u entstandenen neuen Komplex at E m zugrunde und verfiihrt gemiil3 Nr. 3.2.2, (I), (II).

3.2.2.3. I m F a l l III.3 und III.4 wird ohne Einschriinkung der Allgemein- heit angenommen, daB beim ProzeB alle x, als stark konzentrierte erhalten bleiben (im Sinne von Nr. 3.2.2.1, 2. Zusatz). Man verfiihrt im ubrigen wie im Fall 111.2 (Nr. 3.2 2.2); dazu sei bemerkt, daB im Falle III.3 ein qr und damit q(a) zu- nimmt, wiihrend im Falle III.4 zwei stark konzentrierte Teilkomplexe, etwa das qT-gliedrige x, und das qf+l-gliedrige G + ~ sich zu ,einem (n; + qr+*)-gliedrigen stark konzentrierten vereinigen, so daI3 q (a) wieder zunimmt.

3.2.2.4. Alle Fiille III.1 bis III.4 konnen auch gleichzeitig und dabei jeder et'entuell mehrfach auftreten. Die oben (Nr. 3.2.2.1 bis 3.2.2.3) fiir jeden dieser Falle verabredeten Operationen beainflussen sich gegenseitig nicht. Und wenn mindestens einer der Fiille III.2 bis IJI.4 (mindestens) einmal auftritt, liegt nach Abbrechen ein Komplex atEm vor, fur den einerseits O(a) = O ( d ) , anderer- seits q (a) < q(at). Die Fdle III.2 bis III.4 konnen somit nur in beschriinkter Anzahl (einzeln oder zusammen) auftreten, weil ja q(B) d k - 1 fi i r jedes fi Em und weil q(a) in jedem dieser drei Fiille zunimmt. Mit Hive des in Nr. 3.2.2.1 bis 3.2.2.3 entwickelten Verfahrens gelangt man daher mit einer endlichen Folge monotoner Prozesse dahin, daB

entweder [Fall (a)] einmal ein stark konzentrierter Komplex a' mit O(a)=O(d) auftritt ; womit der Satz bewiesen wiire;

&r [Fal l (b)], daB ein nicht- (stark-) konzentrierter Komplex /? vorliegt, fiir welchen - wie im ubrigen auch die ProzeBfolge fortgesetzt wird - nur noch Fiille III.1 auftreten konnen. Dieser Fall (b) erweist sich aber als widerspruchs- voll. Da niimlich alsdann Fall m.4 ausgeschlossen ist, kann zuniichst h&h&ene e i n stark konzentrierkr Teilkomplex i n fi entl l ten sein. In der Tat : (1) Nach dem oben Bewiesenen brauchen wir nur solche monotonen Prozesse zu betrachten, bei denen '8 abnimmt und bei denep sich jeder der (etwa vorhandenen) stark konzentrierten Teilkomplexe als Ganzes monoton verschiebt. (2) Wiiren nun im

Haupt, Ober eine Beziehung z h h e n Ordnung und Singulmitiiten. 91

Fall (b) mindestens zwei solche stark konzentrierte Teilkomplexe vorhanden, 80 diirften zwisohen keinen zweien von ihnen isolierte Punkte liegen, weil min- destens einer dieser isolierten Punkte als beweglich angenommen werden konnte und mithin bei einem zugehorigen monotonen ProzeB Fall III.2 oder III.3 auftreten m u t e . (3) Wiiren daher mehr ale zwei stark konzentrierte Teilkomplexe vorhanden, 80 m u t e n bei jedem monotonen ProzeB (mindestens) zwei benach- barte (gemiiS (2) duroh keine isolierten Punkte getrennten) stark konzentrierte Teilkomplexe sich einander niihern, so daB dann Fall 1II.P eintreten wiirde. (4) Wiiren aber genav zwei stark konzentrierte Teilkomplexe, etwa y' und yII, vorhanden, so muBten sioh y', y" bei jedem monotonen ProzeB voneinander entfernen (wegen (2) und weil FaU m.4 ausgeschlossen ist), es miiSten also, da 'i?l abrrehmen 8011, bewegliche Punkte vorhanden sein, zwisohen denen y', y'l Eegen, von denen i e einer sich yt bzw. y" niihert und die als von y? bzw. y" duroh keinen anderen Punkt getrennt angenommen werden konnen, so da13 Fall III.3 eintreten wiirde. ' Im Fall (b) ist aiso hochstens ein stark konzentrierter Teilkomplex vorhanden; daher ist entweder q(j3) = 0 oder es existiert genau ein stark konzentrierter

weil andernfalls ja B selbst schon stark konzentriert wiire. Man'nehme nun mit f i folgenden monotonen ProzeB vor: Man fixiere die q(p) < k - 1 Punkte von d, sofern x' uberhaupt existiert, sowie weitere d' 5 1 Punkte, die mithin isoliert, im iibrigen aber beliebig eind. Ferner Iasse man den kleinsten alle beweglichen Punkte enthaltenden Bogen % abnehmen. Dann miiBten aber doch noch Falle III.9, oder III.3 auftreten im Widerspruch zur Definition des Falles (b).

3.1). Es ist weiter zu beweisen (vgl. Nr. 3.1.1, (B) , und Nr. 3.1.2) : E8 e&t&M (min&estene) ein 8 b k konzentrie&r Kompkx a E m a!er Ordnung

O(a) = k + 1. Beweis. (I) UemHB Nr. 3.2.2 existieren stark konzentrierte Komplexe a E m; man lege dem FoIgenden ein solohes a zugrunde, etwa a = (PI , . , . , P,) , fiir welohes dam r 3 k + 1 mod2 sowie r 2 k + 1 ist. Filr r = k + 1 ist nichts zu beweisen; es sei daher r 1 k + 3. Da auf R zyklische Vertauschung moglich ist, kann man ohne Einschrlnkung der Allgemeinheit annehmen (nioht nur, daB die Pp natitrlioh engeordnet sind, sondern auoh), daB y = (PI , . . . , P,) oin kgliedriger, stark konzentrierter Teilkomplex von u ist. Die Pk , Pk+, , . . . , P, liefern dann 8 = 2-'(r - k + 1) 2 2 Paare benachbarter Punkte. (II) Nun tibe man auf afolgenden monotonen ProzeB &us: Es werden Px, . . . , fixiert und 88 wird P, gegen P,-l (monoton) bewegt. Dann nimmt der kleinste, alle bewegliohen PQ E a enthaltende Bogen $!I ab;*in 9 - 'i?l gibt es daher (ge- miiB Nr. 3.2.1.1) weder Gewinne noch Verluste. Ferner hat man genau agetrennte Pare beweglicher Punkte derart, daS die Punkte eines jeden Paares sich ein- ander nllhern; zu jedem Paar gehort ein von den Punkten des Paares begrenzter, keine fixierten Punkte enthaltender Bogen b, , u = 1, . . . , 8, und b, nimmt beim PrmeB ab. Der ProzeB kann (wie etwa vollstiindige Induktion im Kontinuum eeigt) fortgeaetzt werden, bis alle b, mit Ausnahme eines einzigen sich je in einen Punkt zusammengezogen heben und dann verlorengegangen sind ; dabei wird benutzt, daB der fixierte Teilkomplex (PI,. . . , Pk-l) stark konzentriert ist und daB daher (wegen der Konzentrationsbeschranktheit vbn m) nie zwei

q'-gliedrigei Teilkomplex x' in p mit q! - 1 = q (/I) ; dabei ist d' = k - 1 - a(&> OJ

92 Haupt, tfber eine Beziehung zwischen Ordnung und Singularitaten.

oder mehr bo gleichzeitig verlorengehen konnen. Der letzte dann noch ubrige Bogen, etwa b,, kann selbst noch beliebig klein gemacht werden; ist seine Liinge kleiner als z. B. 6' geworden, so enthiilt bl aul3er den Begrenzungspunkten keine weiteren Punkte des Komplexes, da andernfalls 2 (ar - 1) > (k - 2) + 1 = k - 1 wiire (im Widerspruch zur Konzentrationsbeschriinktheit von m). Damitistmanzueinem(k $. 1)-gliedrigenKomplexa'= ( P I , . . . , &-I, R, S)Em gelangt, welcher den (k - 1)-gliedrigen, stark konzentrierten Teilkomplex (PI, . .. . , enthillt, sowie den stark konzentrierten zweigliedrigen Teil- komplex (R , rS) . (HI) Man ubt niin auf a' monptone Prozesse aus derart, da13 dabei die Teil- komplexe (PI, . . . , Pk-1) und (A, S ) stark konzentriert bleiben und sich ein. ander bestiindig niihern; dies ist gemiiB Nr. 3.2.2.1, 1. Zusatz moglich. Da bei diersen Prozessen immer Z(p; - 1) = (k - 2) + 1 = k - 1 bleibt, konnen Ge- winne nicht stattfinden (wegen der Konzentrationsbeschriinktheit von m). Andererseits kann man durch eine Folge solcher Prozesse die beiden Teilkom- plexe einander derart nlhern, dal3 sie sich zu einem einzigen, ( k + 1)-gliedrigen, stark konzentrierten, zu m gehorigen Komplex vereinigen. Damit ist alles be- wiesen.

3.4. Schliel3lich ist noch zu zeigen (vgl. Nr. 3.1.1, (C), und Nr. 3.1.2): Irgend zwei atark konzentrierte Kompbxe aua m lassen sich (stetig und) ordnungs-

feet ineiwnder fiberfuhren. Beweis. (I) 1st a stark konzentriert, so existiert ein k-gliedriger, stark kon- zentrierter Teilkomplex y von a. Da a = a(y) durch y eindeutig bestimmt ist (gemiiI3Nr. 2.3, (2)), so genugt es, folgendes zu zeigen: Sirid a, a' beliebige stark konzentrierte Komplexe &us m, sind ferner y , yf stark konzentrierte, k-gliedrige Teillmmplexe von a bzw. a', so liiBt sich y stetig in y' uberfuhren derart, daB a hierbei ordnungsfest geiindert wird, daB also O(a) = O ( d ) ist. (11) Aus der Konzentrationsbeschranktheit von m folgt aber : Wird y unter be- stiindiger Bewahrung seiner starken Konzentriertheit stetig abgelndert, so bleibt cy stets regulilr (Nr,, 3.1.1, Anmerkung), es konnen also weder Gewinne noch Verluste im Verlaufe der hde rung eintreten; daher iindert sich dann a(y) in der Tat ordnungsfeat. (Ill) Die Existenz von Abilnderungen von y im Sinne der Ziffer (n) ergibt sich leicht : Es sei y = (KL , . . . , K k ) und y' = (Xi,. . . , KL); ohne Einschriinkung der AlIgemeinheit (vgl. auch Nr. 3.3, Beweis (I)) kbnnen dabei die K,, bzw. die Ki als natiirlich angeordnet vorausgesetzt werden. Nun la13t sich aber durch stetige h d e r u n g der K, unter Erhaltung der starken Konzentriertheit von y zuniichst erreichen, dell die K,, in einen (beliebig kleinen) Bogen U verlegt werden, der zwisohen K! und K [ liegt, also insbesondere keinen der Punkte K:, . . . , Kg enthiilt. Und von U aus ist stetige Oberfiihrbarkeit in y', wiederum unter Erhaltung der starken Konzentriertheit des abzuiindernden k-gliedrigen Teilkomplexes, hoglich. Damit ist die urspriingliche Behauptung bewiesen.

4. Beispiele. Verwandte Fragen. 4.1. Beweis .des inf ini tes imalgeometr ischen Sa tzes i n Nr. 1.1. Im folgenden sei das Oval mit Q bezeichnet. Es existiere in jedem Punkte

von 6 der freie Schmiegkreis und Q besitze nur endlich viele Scheitel.

Heupt, gber eine Beziehung zwischen Ordnung und Singularitiiten. 93

(I) Es habe Q mit jedem Kreis h6&tens vier Pun& im Sinne der in Nr 1.1 verabredeten Zahlung gemeimam.

Dann gibt es definitionsgemiiB auch keine (im Sinne dieser Ziihlung) mehr als doppelt beriihrende Kreise, womit schon die eine Hiilfte des Satzes in Nr. 1.1 bewiesen ist .

(II) Es sollen jetzt umgekehrt him Kreise exktieren, welch d m Oval in m h r als zwei Punkten im Sinne der in Nr. 1.1 verabredden Zahlung beruhren. Zu zeigen ist, daB das Oval mit jedem Kreise hochstens vier Punkte lim Sinne dieser Ziihlung) gemeinsam hat. (A) Wir bemerken zuniichst : Das Oval Q (oder auch ein Teilbogen von 6) bzw. der Punkt P von Q heiBe von endl icher oder von beschri inkter zyklbchr 0 r d n u ng , wenn die MLchtigkei ten der Durchschnitte von Q bzw. von einer Um- gebung von P auf Q mit allen Kreisen 8 endlich oder beschriinkt sind; andern- falls heifiegbzw. Pvon unendl icher zyklischer Ordnung. Hier, ebenso wie in (3) und (C), wird also die zyklische Ordnung im gewohnlichen (topdogischen) Sinne6) zugrunde gelegt. Ein Bogen von beschrankter zyklischer Ordnung ist auch von endlicher zyklischer Ordnung (aber nicht notwendig umgekehrt) ; ein Bogen von unendlicher zyklischer Ordnung besitzt mindestens einen Punkt von unendlicher zyklischer Ordnung. - Hat der Kreis 8 mit 6 n u r Schnitt- punkte gemeinsam und ist dabei 8% von endlicher Miichtigkeit, etwa von der Machtigkeit r 2 3, so heiBe 80. ein r-gliedriger Schn i t tpunk tkomplex . - Mit 6 werde der Raum?) aller Kreise (der Ebene E,) mit endl ichem, von Null verschiedenem Ridius bezeichnet. (Jeder Kreis durch mindestens zwei ver- schiedene Pankte von G gehort zu 3 , wenn Q keine Strecken enthiilt.) Nun gilt : (a) 1st Q von endlicher iyklisaher ordnung, 8 ein Kreis und enthiilt 36 etwa p 2 3 Pmkte, so gibt eslo) eine zu 8 beliebig benachbarte offene Menge o E j derart, daB 3Q f i i r jedes 8 E o ein mindestens p-gliedriger Schnittpunkt- komplex is:. - (0) DJS System D aller Kreise 3 rnit mindestens dreipunktigem 8% 1st kompaktw Teilraum des Kreisraumes 6. Beweis. Hat man igendeine FolgevonKreisena ED and sind Piy), j = 1,2 ,3 ,Punkteaus3 ,Q, v = 1 , 2 , ..., so gibt es (wepen der Kompsktheit von 6 in sich) eine Teilfolge (8”) von {By} derart, daB P -. lim Pfyr) , j = 1, 2 , 3, existiert. Sind nun die Pf siimtlich gleich, etwa gleich P, so existiert (wegen des Existenz des freien Schmiegkreises an Q in P) lim 8 ., und ist ein Kreis aus fj ; ebenso existiert ein zu 8 gehoriger Hiiufungs- kreis, wenn inindestens zwei der Pi verschiedeq sind. - (c) Falls Q von endlichr zyklischer Ordnung ist, gilt fur das System m aller Schnittpunktkomplexe 4:

Jedes dc E m (ist durch je k = 3 seiner Punkte eindeutig bestimmt und) enthiiIt eine gerade Anzahl (Schnitt.) .Punkte, ferner lindert sich a stetig mit dreien seiner Punkte und es ist die Monotonieforderung (Nr. 2.3, (4,) erfiillt, letzteres weil 8 und 6 geschlossene konvexe Kurven sindaO). (B) Wir zeigen weiter: Es ist 6 (unter den Voraussetzungen von Nr. 1.1) von beschr l ink ter zyklischer Ordnung. Beweis. Zunachst ist 6von e d l i c h r zykli- scher Ordnung. Andernfalls niimlich enthtilt Q mindestens einen, aber nur endlich

f - r-bm

r+x

Vgl. FuBnote a), a. a. 0. Nr. 6.3.4.1. lo) Vgl. FuBnote lo), a. a. 0. S . 47, Nr. 1.24. lo) Vgl. FuBnote lo) , a. a. 0. S. 49.

94 Haupt, ober eine Beziehung zwischen Ordnung und Singularitaten.

viele Punkte unendlicher zyklischer Ordnung; dies folgt aus (A) sowie &us den1 Umstand, daI3 jeder Punkt unendlicher zyklischer Ordnung ein Scheitel und daB die Anzahl der Scheitel endlich ist. Folglich besitzt jeder Punkt P von unend- licher zyklischer Ordnung eine Umgebung U auf 6 derart, daI3 U- (P) von endlicher zyklischer Ordnrrng ist. Da P von unendlicher zyklischer Ord- nung ist, gibt es daher einen Kreis 8 durch P so, daB P isolierter Hkufungs- punkt von 86, also von $U ist. Mithin existieren unendlich viele, zu P und. untereinander fremde, in U enthaltene, abgeschlossene Teilbogen 113, von B Je von endlicher zyklischer Ordnung derart, daB' 8 YPp mindestens vierpunktig ist, wobei !& den (auf 8) offenen Kern von BQ bezeichnet; gemiil3 (A), (a) existiert auf flQ also auch ein mindestens viergliedriger Schnittpunktkomplex. Weil aber die Monotonieforderung f u r BQ (gemaB (A), (c)) erfiillt ist, gilt fur auch der sog. Kontraktionssatz21) und es folgt z z ) die Existenz mindestens eines Scheitels auf BPp, e = 1 , 2 , . . . Die unendlich vielen wiirden also unendlich viele Scheitel liefern in1 Widerspruch z u s Voraussetzung iiber Q. Aus der Endlichkeit der zyklischen Ordnung von K und aus ,der Giiltigkeit des Kontraktionssatzes Iolgt noch 22), dalj ein Teilbogen B von B die zyklische Ordnung 3 besitzt dann und nur dann, wenn '$3 keinen Scheitel enthllt. Daher ist 6 Vereinigung endlich vieler Bogen je von der zyklischen Ordnung 3 und somit von beschrankter zyklischer Ordnung, was zu zeigen war. ((1) Nun ergibt sich, daB fur das System rn der Schnittpunktkomplexe alle Forde- rungen von Nr. 2.3 und 2.4 erfiillt sind. In der Tat : 2 s gilt Nr. 2.3, (1). Denn jeder Kreis 8, der mit 6 mindestens drei Schnittpunkte gemeinsam hat, liefert sogar tnindestens vier Schnittpunkte, da Q und 8 geschlossene (beschrankte) Kirrven sind; ferner ist O(m) beschrankt gemiiB (B). Die Giiltigkeit von Nr. 2.3, (2) his (4) ist in ( A ) , (c) bewiesen SchlieBlich ist Nr. 2.4 erfiillt, weil das Verbot mehr ah doppelter Beriihrung (im Sinne der Zahlung gemiiB Nr. 1.1) nach &ch ziaht, clap m konzentrationsb~chriinkt is t . Dies werde indirekt bewiesen. Angenomnien nanilich, es sei Ronzentrations. beschranktheit nicht vorhanden. 1st dann { E ~ } eine Nullfolge mit E , > 0, so gibt es zu jedem n einen Kreis 8n dernrt, daB &B einen Schnittpunktkomplex liefert, in dem enthalten sind : Entweder mindestens 3 Panre von (Schnitt-) Punkten P,,, Q , , , i = 1 , 2 , 3, derart, daB P,, und Qn, eine Entfernung kleiner als E, besitzen, oder rnindestens r (Schnitt-) Punkte Rr,i, i == 1 , . . , , r ; r 2 3, und s (Schnitt-) Punkte j = 1 , . . . , s ; B 2 2, derart, daB die groBte Ent- fernung je zweier unter den Rni bzw. unter den S, kleiner ist als en. Der Fall, daB mehr als vier Punkte beliebig kleine Entfernung voneinander besitzen, ist, wie die unmittelbar folgende Uberlegung zeigt, unmoglich. GemaB (A), (b) ent- halt nun die Folge {an) eine Teilfolge (83 , die geg n einen Kreis 8 mit endlichem, von Null verschiedenem Radius konvergiert und wobei entweder 0. von 8 in mindestens drei Punkten beriihrt wird oder 8 Schmiegkreis (eventuell sogar Scheitelkreis) ist und 0. von 8 in mindestens einem,, vom Schmiegpunkt ver- schiedenen Punkt beriihrt wird; weil namlich in jedem Punkt P von Q der freie

i

21) Vgl. FuBnote 16), a. a. 0. Nr. 4.4. 22) Vgl. FuDnote ls), a. a. 0. Nr. 5.1.

Haupt, Vber eine Beziehung zwischen Ordnmg und Singularitliten. 95

Schmiegkreis existiert (Nr. 1.1) und weil P gemeineamer Endpunkt zweier Bogen der (zyklischen) Ordnung 3 ist (vgl. (B)), so besitztaa) jeder Punkt des Ovals h6ahstens die (zyklische) Ordnung 4,so daB nicht mehr als vier Punkte von SkQ gegen den gleichen Punkt von 0. konvergieren konnen. Somit ist 8 in jedem Falle ein (im Sinne der Ziihlung gemiil3 Nr. 1.1) mehr als doppelt beruhrender meis , im Widerspruch rnit der Voraussetzung.

(D) GemiiB (C) und Nr. 2.5 besitzt das System aller Schnittpunktskomplexe (fiir das Oval Q unter den Voraussetzungen von Nr. 1.1) die Ordnung k + 1 = 4. Aber such ein Kreis 8,. von welchem Q (in mindestens einem Punkt) beriihrt wird, kann rnit Q nicht mehr als vier Punkte im Sinne der Ziihlung in Nr. 1.1 gemeinsam haben. Zufolge der in Nr. 1.1 gemaohten Voraussetzung konnen niim- lich nicht mehr als zwei Beriihrpunkte vorhanden sein, Wird nun @ von 8 in genau einem bzw. in genau zwei Punkten atiitzend beriihrt und enthlilt 8 Q auDer- dem noch mindestens drei bzw. mindestens einen Schndttpunkt, so gibt es zu 8 beliebig benachbarte Kreise 8' derart, da13 8'6 mindestens fiinf Schnittpunkte enthklt; gemiiB (A), (a) gibt es aber dann Kreise, die mindestens 5-gliedrige Schnittpunktkomplexe mit Q liefern; Widerspruch. Hat ferner ein Schmieg- bzw. Scheitelkreis 8 rnit Q noch mindestens zwej bzw. mindestens einen Schnitt- punkt gemeihsam, so gibt es zu 8 beliebig benachbarte Kreise 8', fiir welche 8'Qrnindestensfiinf Schnittpunkte enthlilt ; gemaiB (A), (a) existieren also wieder mindestens 5-gliedrige Schnittpunktkomplexe. Somit besitzt 6 gensu die zyk- lische Ordnung 4 im Sinne der in Nr. 1.1 vereinbarten Ziihlung, womit der Satz in Nr. 1.1 bewiesen ist.

4.2. Verwand te inf in i tes imalgeometr i sohe Siitze.

Beim Satz in Nr.Il.1 (und entsprechend beim Satz in Nr. 2.5) wird awr p u n k t a l e a *) (bzw. loks len) Eigenschaften uuf eine g loba le Eigenac&42ft ge- schlossen und umgekehrt. Andere $iitze dieser Art sind etwa: (a) Ein Oval mit uberall vorhandenem freiem Schmiegkreis und nur endlich vielen Scheiteln be- sitzt die zyklische Ordnung 4 dann und nur dann, wenn genau vier Scheitel vor- handen sindm). - (a) Ein Konvexbogen mit uberall vorhandenem freiem Schmieg- kreis und von endlicher zyklischer Ordnung besitzt die zyklische Ordnung 3, wenn und nur wenn der Schmiegkreis llings des Bogens monoton sich iindert oder wenn die Schmiegkreise siimtlich ,,gleichartig" zum Bogen liegena6). - (c) Existiert an einem Oval Q in jedem Punkt der freie Schmiegkegelschnitt und besitzen die Echmiegkegelschnitte in den ,,konischen Scheiteln" (sextak- tischen Punkten) von Q slimtlich eine numerische Exzentrizitiit kleiner als e mit e 2 1 , so besitzen die Kegelschnitte durch beliebige fiinf Punkte von Q slimt-

n3) Vgl. HAUPT, Ann. mat. pura appl. Bologna, IV. S. XY (1948), Nr. 2.2, (B), (a),

n4) Vgl. FuBnote Is), a. a. 0. Nr. 1.2. Die Verbindung mit dem Satz in Nr. 1.1 ecgibt sowie Egenzung dam ebends 28 (194s).

ein weiterea Kriterium fur die Existenz von genau vier Scheiteln auf einem Oval. &) Vgl. FuBnote a), a. a. 0. S. 103. Obrigena kann in dieaem Satz die ( i i t a i m a l -

geometriache) Voraueaetzung der Existenz dea freien Schmiegkreises beaeitigt werden (vgl. FuDnote~), a. a. 0.).

96

lich eine numerische Exzentrizitiit kleiner als e29. - (a) Die mit (c) zusammen- hiingenden Siitze von BOHMER, CARLEMAN und MOHRMANN und ihre Verallgemei- nerungen2').

4.3. Veral lgemeinerungen. Wie aus dem Beweis (Nr. 4.1) dea Satzes der Nr. 1.1 hervorgeht, bleibt dieser Satz richtig, wenn man an die Stelle der Kreise geeignete andere Kurven treten IiiOt, deren jede durch drei Punkte eindeutig bestimmt wird; gleichesgilt hinsichtlich der lokalen Fassung des Satzes in Nr. 1.1, also fur diejenige Deutung des Satzes in Nr. 2.5, bei der die dort betrachteten Komplexe reslisiert werden durch Schnittpunktkomplexe, welche von den frag- lichen Kurven auf dem Oval bestimmt sind; statt des Ovals kann natiiflich eine allgemeinere Kurve zugrunde gelegt werden, fiir welche die Schnittpunkt- komplexe den Forderungen in Nr. 2.3, 2.4 genugen. Dariiber hinaus kann man, wie der $atz in Nr. 2.5 zeigt, den $atz in Nr. 1.1 (bzw. seine lokale Fassung) auf den Fall ausdehnena8), dal3 statt der durch je drei Punkte eindeutig bestimm- ten Kurven solche treten, die durch je k Punkte festgelegt werden; Beispiel: die Kegelschnitte. Der Grund f i i r alle diese Verallgemeinerungsmoglichkeiten liegt in dem letzteil Endes topotogischen Charakter der Siitze, wie er vor allem im $atz der Nr. 2.5 zutage tritt.

Entsprechende Bemerkungen gelten fiif die infinitesimalgeometrischen bzw. lokalen Fassungen der in Nr. 4.2 erwiihnten Siitze (a) bis

4.4.. E i n ana loger S a t z i n der p ro jek t iven Ebene. Es sei Q eine geschlossene, einfaahe Kurve mit uberall vorhandener freier

Tangente, deren Punkte maximal die lineare Ordnung 3 besitzen. Dann gilt : Die lineare Ordnung von Q ist gleich 3 dann und nur dann, wenn 6 von keiner Geraden in mehr als einem Punkt beruhrt wirdW). Die Beweislast liegtsl) hier wesentlich auf dem Nachweis, daI3 die Monotonieforderung (Nr. 2.3, (4)) erful! ist; dann ist wieder der Satz in Nr. 2.5 anwendbar. Es erhebt sich unter anderem die Frage nach einer entsprechenden Kenn-

zeichnung der Kurven ( n + 1)-ter linearer Ordnung im projektiven n-dimensio- nalen Raum R,; wir hoffen, auf diese Frage spiiter zuriickzukommen. Fiir die sphiirischen Kurven im R, und allgemeiner fiir Kurven auf glatten konvexen Fliichen liil3t sich ubrigens eine Antwort schon aus dem Satz der Nr. 1.1 bzw. BUS seiner topologischen Verallgemeinerung entnehmen.

Haupt, aber eine Beziehung zwischen Ordnung und Singularitaten.

Verallgemeinerung des Satzes von BOIIMER-MUKHOPADYAYA. Vgl. HAUPT, Math. Ann., Berlin 118 (1943) 629ff. ; dort ist die Forderung der Existenz dea freien Schmiegkegel- schnittes abgeachwiicht zu einer Forderung lokalen Charakters. - Der frek Schmiegkegel- echnilt in P ist der (einzige) nicht-ausgeartete Limes der Kegelsohnitte durch fiinf gegen P konvergierende Punkte von &. Die koniechen &heitel sind die Punkte von mindeatens sechster Ordnung beziiglich der Kegelschnitte.

)') Vgl. Hamr, S.-B. physik.-med. Soz. Erlangen 72 (1940/41), 216ff. 28) Vgl. FuBnote I), a. a. 0. lo) Betr. (c) und (a) vgl. HAUPT, Abh. math. Sem. Hansische Univ. 15 (1943), 130ff.

Betr. den fZbergang von den dort behandelten lokalen Formulierungen der SiLtze zu in- finitesimalgeometrisohen. Vgl. HAUPT, Math. Z., Berlin 61 (1949), 635ff.

STENFORS-KIVIICOSICI, FuSnote la), a. a. 0.; sowie G. v. SZ.-NAGY, Acta Litt. Sci. Univ., Szeged, Sect. Soi. math. 5 (1931), 84, und dazu die Notiz FuBnote I), a. a. 0 . 6 7 (1935). 13.

al) Vgl. STENFORS-KIVIKOSKI, FuBnote I@), a. a. 0.