Übung BWL I SS 2016 - rsf.uni-greifswald.de · Universität Greifswald Lehrstuhl für BWL; insb....

Universität Greifswald Lehrstuhl für BWL; insb. Marketing

Ernst-Moritz-Arndt-Universität Greifswald Rechts- und Staatswissenschaftliche Fakultät Lehrstuhl für Betriebswirtschaftslehre, insbesondere Marketing

Friedrich-Loeffler-Straße 70 Tel: +49 (0) 38 34 - 86 2459 17489 Greifswald [email protected]

Übung BWL I SS 2016

Tabea Schüller


2

Termine für die Übung

Gruppe 1 Gruppe 2 1 07.04. 14.04 2 21.04 28.04 3 12.05 26.05 4 02.06 09.06 5 16.06 23.06 6 30.06 07.07

Tabea Schüller

Daniel Hunold


3 3

Literaturempfehlungen

Böcker, F. (2003): Marketing, 7. Auflage, Stuttgart.

• S. 298 – 321. (Allgemeine Grundlagen zur PAF) Pechtl, H. (2005): Preispolitik, Stuttgart.

• S. 61 – 67. (Allgemeine Grundlagen zur PAF) • S. 88 – 105. (Umsatz-/ Gewinnfunktion)

Schmalen, H./ Pechtl, H.(2013): Grundlagen und Probleme der Betriebswirtschaft, 15. Auflage, Stuttgart.


4

Gliederung der Übung

1.) Preis-Absatz-Funktionen 2.) Preiselastizität 3.) Umsatzfunktion 4.) Kostenfunktion 5.) Gewinnfunktion 6.) Wiederholungsfragen und Klausuraufgaben


Theoretischer Ausgangspunkt

Produkt Anbieter Nachfrager optimale Preisfestsetzung

Markt innerbetriebliche Produktion

[Konkurrenz] Konsumenten Kostenfunktion

PAF Preiselastizität

Umsatzfunktion

Gewinnfunktion

Preis

1 2

3

4

5

5


“Of all the tools available to the markets, none is more

powerful than price.“ Han et al. 2001

Pricing

6


7

Thema 1

Preis-Absatz-Funktionen


8 8

Lineare Preis-Absatz-Funktion

PAF

Absatzmenge pro Periode (x)

Absatzpreis (p) p (x) = a- b*x


PAF: ×=× (𝑝𝑝) Formale Abbildung der Beziehung zwischen Angebotspreis u. Verkaufsmenge eines Produkts

𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑

< 0

zu welchem Preis wird wie viel verkauft bzw. welche Menge lässt sich zu welchem Preis absetzen? ×= 𝑥𝑥 𝑝𝑝 𝑝𝑝 = 𝑝𝑝(𝑥𝑥) Unternehmen legt Preis fest Unternehmen legt Absatz-/ und erwartet eine bestimmte Produktionsmenge fest, die Absatzmenge. PAF zeigt zu welchem Preis sie sich gerade noch absetzen lässt. Der Preis ist Die Menge ist Entscheidungsparameter. Entscheidungsparameter.

9


10 10

Ansatzpunkte der Preispolitik

Entscheidungsparameter

Preis Menge

Erwartungsparameter ist die Menge

Erwartungsparameter ist der Preis

( )

βα

βα−⋅=

⋅−==

pxpx

pxx

:z.B.

( )xbap

xpp⋅−=

= :z.B.


c. p. Bedingung der PAF: Im einfachsten Fall wird unterstellt, dass nur der Preis des Anbieters Einfluss auf die Absatzmenge hat.


< 0 𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓 ×=× 𝑝𝑝

×= 𝛼𝛼 − 𝛽𝛽 ∙ 𝑝𝑝 ×↑ ↔ 𝑝𝑝 ↓ Gesetz der Nachfrage

𝑑𝑑𝑝𝑝𝑑𝑑𝑥𝑥

< 0 𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓 𝑝𝑝 = 𝑝𝑝 𝑥𝑥

𝑝𝑝 = 𝑎𝑎 − 𝑏𝑏 ∙ 𝑥𝑥 p↑ ↔ ×↓ Es werden keine anderen Produkte oder Konkurrenten betrachtet! Monopolfall

11


×= × 𝑝𝑝 = 𝛼𝛼 − 𝛽𝛽 ∙ 𝑝𝑝 𝑝𝑝 = 𝑝𝑝 × = 𝑎𝑎 − 𝑏𝑏 ∙× 𝑝𝑝 = 𝑎𝑎 − 𝑏𝑏 ∙× ↷ nach x umstellen | − 𝑎𝑎 𝑝𝑝 − 𝑎𝑎 = −𝑏𝑏 ∙× |: 𝑏𝑏 𝑑𝑑

𝑏𝑏− 𝑎𝑎

𝑏𝑏= −× |: (−1)

Beispiel für die PAF

12


×= −𝑝𝑝𝑏𝑏

+𝑎𝑎𝑏𝑏

×= − 1𝑏𝑏

∙ 𝑝𝑝 + 𝑎𝑎𝑏𝑏

×= 𝑎𝑎𝑏𝑏

− 1𝑏𝑏

∙ 𝑝𝑝 Es muss gelten: Parameterrelationen

𝛼𝛼 𝛽𝛽 𝛼𝛼 = 𝑎𝑎𝑏𝑏

und 𝛽𝛽 = 1𝑏𝑏

13


𝑝𝑝 = 200 − 0,2 ∙× |−200 −0,2 ∙×= 𝑝𝑝 − 200 |: −0,2 ×= −5 ∙ 𝑝𝑝 + 1.000 ×= 1.000 − 5 ∙ 𝑝𝑝 ×= 𝛼𝛼 − 𝛽𝛽 ∙ 𝑝𝑝

𝛼𝛼 =𝑎𝑎𝑏𝑏

=2000,2

= 1.000

𝛽𝛽 =1𝑏𝑏

=1

0,2= 5

Zahlenbeispiel einer PAF

14


15 15

Lineare Preis-Absatz-Funktion (p- Entscheidungsparameter)

PAF

Prohibitiv-preis

Sättigungsmenge

Absatzmenge pro Periode (x)

Absatzpreis (p)

𝑥𝑥(p) = α − β ∙ p


Arten der PAF Extrempunkte: Prohibitivpreis und Sättigungsmenge ①lineare PAF: Bspl. Prohibitivpreis: ×= 𝛼𝛼 − 𝛽𝛽 ∙ 𝑝𝑝 (p - Entscheidungsparameter) 0 = 𝛼𝛼 − 𝛽𝛽 ∙ 𝑝𝑝 | + 𝛽𝛽 ∙ 𝑝𝑝 𝛽𝛽 ∙ 𝑝𝑝 = 𝛼𝛼 |: 𝛽𝛽

𝑝𝑝 =𝛼𝛼𝛽𝛽

×= 1.000 − 5 ∙ 𝑝𝑝 ×= 0 0 = 1.000 − 5 ∙ 𝑝𝑝 |+5 ∙ 𝑝𝑝 5 ∙ 𝑝𝑝 = 1.000 |: 5

𝑝𝑝 = 200

→

16


Arten der PAF

Bspl. Sättigungsmenge: ×= 𝛼𝛼 − 𝛽𝛽 ∙ 𝑝𝑝 → p = 0 ×= 𝛼𝛼 − 𝛽𝛽 ∙ 0

×= 𝛼𝛼 ×= 1.000 − 5 ∙ 𝑝𝑝 → 𝑝𝑝 = 0 ×= 1.000 − 5 ∙ 0

×= 1.000

17


Zusammenhang zwischen ⍺, β und a, b

Prohibitiv-preis

Sättigungsmenge x

p p (x) = a- b*x a

ab

Prohibitivpreis

x

p

x (p) = α- β*p α

αβ

Sättigungs-menge

Sättigungsmenge = ab

= α Probitivpreis = a = αβ

Achtung: bei der Cobb-Douglas Funktion gibt es keinen Zusammenhang zwischen 𝛂𝛂, 𝛃𝛃 und a, b!

18


Warum ist die Sättigungsmenge bei der lineare PAF nicht unendlich groß? • Negativer Grenznutzen (mit wachsender Menge sinkt die

Nutzenstiftung)

• Existenz von Beschaffungs- und Transaktionskosten

• Informationsdefizite der Nachfrager

19


20 20

Preis-Absatz-Funktion vom Cobb-Douglas-Typ

p

x Sättigungsmenge

Prohibitivpreis

×= α ∙ pβ , mit a > 0; β < −1

xSätt = a ∗ 0β = unendlich

0 = α ∗ 𝑝𝑝𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑏𝑏β; 𝑝𝑝𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑏𝑏 = 𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑑𝑑𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢


②Cobb – Douglas – Typ: ×= 𝛼𝛼 ∙ 𝑝𝑝𝛽𝛽 → 𝛽𝛽 < − 1; 𝛼𝛼 > 0 𝑝𝑝 = 𝑎𝑎 ∙×𝑏𝑏 𝑏𝑏 < − 1; 𝑎𝑎 > 0 𝑝𝑝 > 0 ×= 10.000 ∙ 𝑝𝑝−2 → 𝑝𝑝 = 8 ×= 10.000 ∙ 8−2

×= 156,25 ≈ 156

21


Bspl. Prohibitivpreis: ×= 𝛼𝛼 ∙ 𝑝𝑝𝛽𝛽 → 𝛽𝛽 < −1; α > 0 0 = 𝛼𝛼 ∙ 𝑝𝑝𝛽𝛽 ×= 0 0𝛼𝛼

= 𝑝𝑝𝛽𝛽

0 = 𝑝𝑝𝛽𝛽 → „Error“ kein Prohibitivpreis Bspl. Sättigungsmenge: ×= α ∙ 𝑝𝑝𝛽𝛽 → 𝛽𝛽 < −1; α > 0 ×= 𝛼𝛼 ∙ 0𝛽𝛽 𝑝𝑝 = 0

„Error“ keine Sättigungsmenge

Arten der PAF

22


Hausaufgabe

𝑝𝑝 × = 12 − 0,03 𝑥𝑥 × 𝑝𝑝 = 15.035 − 800 𝑝𝑝 a) Funktion zeichnen b) Funktion umstellen (Entscheidungsparameter tauschen) c) Sättigungsmenge und Prohibitivpreis ausrechnen.

d) Definition Preiselastizität

23





Tabea Schüller

Termin 2

24


Hausaufgabe vom 1. Termin

𝑝𝑝 × = 12 − 0,03 𝑥𝑥 × 𝑝𝑝 = 15.035 − 800 𝑝𝑝 a) Funktion zeichnen b) Funktion umstellen (Entscheidungsparameter tauschen) c) Sättigungsmenge und Prohibitivpreis ausrechnen.

d) Definition Preiselastizität

25


Thema 2

Preiselastizität

26


Die 1. Ableitung

𝑥𝑥 = 𝛼𝛼 − 𝛽𝛽 ∗ 𝑝𝑝 𝑥𝑥 = 5 − 0,5𝑝𝑝

𝑥𝑥′ =𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑝𝑝

= −𝛽𝛽

𝑥𝑥′ =𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑝𝑝

= −0,5

𝑥𝑥 = 𝛼𝛼 ∗ 𝑝𝑝𝛽𝛽 𝑥𝑥 = 10000 ∗ 𝑝𝑝−2

𝑥𝑥′ =𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑝𝑝 = 𝛽𝛽 ∗ 𝛼𝛼 ∗ 𝑝𝑝𝛽𝛽−1

𝑥𝑥′ = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑

= −2 ∗ 10000 ∗ 𝑝𝑝−3 x′ (p=3) = -740 x′ (p=5) = -160

27


Preiselastizitäten

Ausgangsfragestellung:

Welche Absatzmengenänderung ∆ × tritt auf, wenn sich der Verkaufspreis um eine bestimmte Höhe (∆𝑝𝑝) verändert?

Gesetz der Nachfrage 𝑝𝑝 ↑ → ×↓ Formale Darstellung:

Umfang der Absatzänderung: ∆ ×=×2 − ×1 mit ×1=× (𝑝𝑝1) und ×2=× (𝑝𝑝2) Umfang der Preisänderung: ∆𝑝𝑝 = 𝑝𝑝2 − 𝑝𝑝1

28


29

Bsp.: ×= 300 − 5 ∙ 𝑝𝑝 𝑝𝑝1 = 40 → 𝑝𝑝2 = 35

Wie groß ist die Mengenänderung? ∆𝑝𝑝 = −5 × 𝑝𝑝1 = 300 − 5 ∙ 40 = 100 × 𝑝𝑝2 = 300 − 5 ∙ 35 = 125 Preissenkung von 5 GE führt zu einer Absatzsteigerung von 25 PE

∆ ×= 25

Einführungsbeispiel Preiselastizität


Das Konzept der Preiselastizitäten

Erweiterung der Ausgangslage: • Zweckdienlich Erfassung beider Veränderungen (∆𝑝𝑝; ∆ ×) in

einer Kenngröße

• Relative Veränderungen sind besser als absolute Konzept der Preiselastizität der Nachfrage

30


1. Bogen- bzw. Streckenelastizität:

ε = 𝑃𝑃𝑟𝑟𝑟𝑟𝑎𝑎𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑀𝑀𝑟𝑟𝑀𝑀𝑀𝑀𝑟𝑟𝑀𝑀ä𝑀𝑀𝑑𝑑𝑟𝑟𝑃𝑃𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑃𝑃𝑟𝑟𝑟𝑟𝑎𝑎𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑟𝑟𝑟𝑟𝑃𝑃ä𝑀𝑀𝑑𝑑𝑟𝑟𝑃𝑃𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀

𝜀𝜀 =∆××1∆𝑝𝑝𝑝𝑝1

= ∆×∆𝑑𝑑

∙ 𝑑𝑑1×1

Sind Preis 𝑝𝑝1 bzw. Menge ×1 das Ausgangsniveau ist die obige Formel anwendbar.

Vereinfacht: um wie viel Prozent verändert sich die Absatzmenge (∆× ×

) bei einer Preisänderung um einen gewissen Prozentsatz?

Arten von Preiselastizitäten I

31


Bsp. Bogenelastizität

Bsp.: 𝑝𝑝1= 40 , 𝑝𝑝2 = 35 ∆𝑝𝑝 = −5 ×1= 100 ,×2= 125 ∆ ×= 25

𝜀𝜀 =25

100−540

= −2

32


2. Punktelastizität: = gibt die Preiselastizität für eine bestimmte Preis-/Mengenkombination (p; x) auf der PAF an.

Vereinfacht: um wie viel Prozent ändert sich die Absatzmenge, wenn sich der Preis um ein Prozent verändert?

𝜀𝜀 = 𝑑𝑑×𝑑𝑑𝑑𝑑

∙ 𝑑𝑑×

p 𝑑𝑑×𝑑𝑑𝑑𝑑

bzw. 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑×

x

Arten von Preiselastizitäten II

33


① 𝜀𝜀 = −∞ p

vollkommen elastisch x

② 𝜀𝜀 < −1 p

sehr elastisch

x

③𝜀𝜀 = −1 p

proportional elastisch

x

Bedeutung der Preiselastizitäten I

34


④ −1 < 𝜀𝜀 < 0 p

unelastisch

x

⑤ 𝜀𝜀 = 0 p

vollkommen unelastisch

x

⑥ 𝜀𝜀 > 0 p

anormal elastisch

x

Bedeutung der Preiselastizitäten II

35


Rechenbeispiel: ×= 1.000 − 5 ∙ 𝑝𝑝 𝑝𝑝 = 80

×= 1.000 − 5 ∙ 80 ×= 600

𝑑𝑑 ×𝑑𝑑𝑝𝑝

= −5

𝜀𝜀 =𝑑𝑑 ×𝑑𝑑𝑝𝑝 ∙

𝑝𝑝×

𝜀𝜀 = −5 ∙80

600 = −0,6667

Preiselastizität bei der linearen PAF:

×= 𝛼𝛼 − 𝛽𝛽 ∙ 𝑝𝑝

𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑝𝑝 = 1. 𝐴𝐴𝑏𝑏𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝐴𝐴𝑢𝑢𝑢𝑢𝐴𝐴 𝑑𝑑𝑢𝑢𝑓𝑓 𝑃𝑃𝐴𝐴𝑃𝑃 𝜀𝜀 =

𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑝𝑝 ∙

𝑝𝑝× ≤ 0

Beispiel zu Preiselastizitäten

36


1) Lineare PAF mit der Form: ×= 𝛼𝛼 − 𝛽𝛽 ∙ 𝑝𝑝

𝑑𝑑 ×𝑑𝑑𝑝𝑝

= −𝛽𝛽

Prohibitivpreis: ×= 𝛼𝛼 − 𝛽𝛽 ∙ 𝑝𝑝 → ×= 0 0 = 𝛼𝛼 − 𝛽𝛽 ∙ 𝑝𝑝 | + (𝛽𝛽 ∙ 𝑝𝑝) 𝛽𝛽 ∙ 𝑝𝑝 = 𝛼𝛼 |: 𝛽𝛽 𝑝𝑝𝑑𝑑𝑃𝑃𝑃𝑃𝑝 = 𝛼𝛼

𝛽𝛽 ; ×= 0

𝜀𝜀 = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑

∙ 𝑑𝑑×

= −𝛽𝛽 ∙𝛼𝛼𝛽𝛽

𝑑𝑑𝑥𝑥= −∞

Sättigungsmenge: 𝑥𝑥𝑆𝑆ä𝑟𝑟𝑟𝑟 = 𝛼𝛼 − 𝛽𝛽 ∙ 𝑝𝑝 → 𝑥𝑥𝑆𝑆ä𝑟𝑟𝑟𝑟 = 𝛼𝛼 ; 𝑝𝑝 = 0


∙ 𝑑𝑑×

= −𝛽𝛽 ∙ 𝑥𝛼𝛼

= 0

Beispiel lineare Preis – Absatz - Funktion

37


Sättigungsmenge: 𝑝𝑝 = 𝑎𝑎 − 𝑏𝑏 ∙× → 𝑝𝑝 = 0 0 = 𝑎𝑎 − 𝑏𝑏 ∙× |+(𝑏𝑏 ∙×) 𝑏𝑏 ∙×= 𝑎𝑎 |: 𝑏𝑏 𝑥𝑥𝑃𝑃ä𝑟𝑟𝑟𝑟 = 𝑎𝑎

𝑏𝑏

Punktelastizität: 𝑝𝑝 = 0 ; ×= 𝑎𝑎𝑏𝑏


∙ 𝑑𝑑×

𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑×

= −𝑏𝑏1

𝐾𝐾𝑢𝑢𝑢𝑓𝑓𝐾𝐾𝑢𝑢𝑓𝑓𝐴𝐴: 𝑑𝑑×𝑑𝑑𝑑𝑑

= − 1𝑏𝑏

𝜀𝜀 = − 1𝑏𝑏

∗ 𝑥𝑎𝑎𝑏𝑏

= 0

X = Entscheidungsparameter

38


p Prohibitivpreis

𝑝𝑝 = 𝑎𝑎 − 𝑏𝑏 ∙ 𝑥𝑥 𝜀𝜀 = 𝑑𝑑×𝑑𝑑𝑑𝑑

∙ 𝑑𝑑×

x Sättigungsmenge

𝑝𝑝(𝑥𝑥) = 100 − 5 ∙× → ×= 8 p(8) = 100 − 5 ∙ 8 = 60

→ 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑×

= −𝑏𝑏 = −51

→ 𝐾𝐾𝑢𝑢𝑢𝑓𝑓𝐾𝐾𝑢𝑢𝑓𝑓𝐴𝐴: 𝑑𝑑×𝑑𝑑𝑑𝑑

= − 1𝑏𝑏 = − 1

5

Punktelastizität: 𝑝𝑝 = 60 ; ×= 8


∙ 𝑑𝑑𝑑𝑑

= − 15

∙ 6𝑥8

= − 1,5

X ist Entscheidungsparameter

39


Selber rechnen

𝒑𝒑(𝒙𝒙) = 𝟖𝟖𝟖𝟖 − 𝟒𝟒 ∙× ×= 𝟏𝟏𝟏𝟏

40


2) Cobb-Douglas-PAF mit der Form: ×= 𝛼𝛼 ∙ 𝑝𝑝𝛽𝛽 → 𝛼𝛼, 𝑎𝑎 > 0 𝑝𝑝 = 𝑎𝑎 ∙×𝑏𝑏 → 𝑏𝑏, 𝛽𝛽 < −1

Herleitung von 𝜀𝜀: ×= 𝛼𝛼 ∙ 𝑝𝑝𝛽𝛽 → 𝛽𝛽 < −1

𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑝𝑝

= 𝛽𝛽 ∙ 𝛼𝛼 ∙ 𝑝𝑝𝛽𝛽−1

𝜀𝜀 =𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑝𝑝

∙𝑝𝑝×

Preis – Absatz – Funktion vom Typ Cobb – Douglas

41


𝜀𝜀 = 𝛽𝛽 ∙ 𝛼𝛼 ∙ 𝑝𝑝𝛽𝛽−1 ∙𝑝𝑝×

× (𝑝𝑝) = 𝛼𝛼 ∙ 𝑝𝑝𝛽𝛽

𝜀𝜀 = 𝛽𝛽 ∙ 𝛼𝛼 ∙ 𝑝𝑝𝛽𝛽−1 ∙𝑝𝑝

𝛼𝛼 ∙ 𝑝𝑝𝛽𝛽

𝜀𝜀 = 𝛽𝛽∙𝛼𝛼∙𝑑𝑑𝛽𝛽−1∙𝑑𝑑𝛼𝛼∙𝑑𝑑𝛽𝛽 𝑝𝑝𝛽𝛽−1 ∙ 𝑝𝑝1 = 𝑝𝑝𝛽𝛽

𝜀𝜀 = 𝛽𝛽 ∙ 𝛼𝛼∙𝑑𝑑𝛽𝛽

𝛼𝛼∙𝑑𝑑𝛽𝛽 = β

𝛽𝛽 < −1 → 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑢𝑢𝑘𝑘𝐴𝐴𝑎𝑎𝑢𝑢𝐴𝐴𝑢𝑢 𝑃𝑃𝑓𝑓𝑢𝑢𝑢𝑢𝑘𝑘𝑢𝑢𝑢𝑢𝑎𝑎𝑘𝑘𝐴𝐴𝑢𝑢𝑃𝑃𝑢𝑢𝐴𝐴ä𝐴𝐴 sog. isoelastische Preis - Absatz - Funktion

42


43

Preiselastizität der Nachfrage

0dpdx

<⋅=xpε

Preiselastizität im Umsatzmaximum f𝑓r p=a-bx

1

2

2b1

−=⋅−=

ba

a

ε

Preiselastizität im Prohibitivpreis f𝑓r p=a-bx

−∞=⋅−=0b

1 aε

Preiselastizität bei der Sättigungsmenge f𝑓r p=a-bx

00b1

=⋅−=

baε

43


44

Vergleich zwischen Cobb-Douglas- und linearer PAF: Grafik x(p)

p

probpβ=

α

α=sättx

pβx(p) ⋅−= α

Quelle: Böcker (1996), S. 245

× (𝑝𝑝) = 𝛼𝛼 ∙ 𝑝𝑝𝛽𝛽

44


45

PAF px(p) ⋅−= βα βp x(p) ⋅= α Sättigungs-menge α=Sättx ∞→ Sättx Grenz-absatz

β−=dpdx

1−⋅⋅= ββα pdpdx

Elastizität pp

px ⋅−⋅−

=βαβε , βε =px,

Prohibitiv- preis β

α=probp ∞→ probp

Vergleich zwischen Cobb-Douglas- und linearer PAF: Kennzahlen

Quelle: Böcker (1996), S. 245

45


Hausaufgabe Bestimmen Sie die folgenden Elastizitäten:

𝑥𝑥(𝑝𝑝) = 4 ∙ 𝑝𝑝−2

𝑥𝑥 𝑝𝑝 = 8 ∙ 𝑝𝑝−1,5

𝑥𝑥 𝑝𝑝 = 100 − 20 𝑝𝑝 𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓 𝑝𝑝 = 1; 𝑝𝑝 = 4 p 𝑥𝑥 = 5000 − 40𝑥𝑥 𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓 𝑝𝑝 = 20; 𝑝𝑝 = 100

Preiselastizität berechnen für: × (𝑝𝑝) = 𝛼𝛼 ∙ 𝑝𝑝−𝛽𝛽 (𝛼𝛼 > 0; 𝛽𝛽 >1) 𝑝𝑝 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎 ∙ 𝑥𝑥𝑏𝑏 (𝑎𝑎 > 0; 𝑏𝑏 <− 1)

46





Tabea Schüller

Termin 3

47


Kehrwert herleiten

Geg: 𝑝𝑝 = 𝑝𝑝 × = 𝑎𝑎 − 𝑏𝑏 ∙× Ges: 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑

; 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑


= −𝑏𝑏

𝑝𝑝 = 𝑎𝑎 − 𝑏𝑏 ∙× ↷ nach x umstellen | − 𝑎𝑎 𝑝𝑝 − 𝑎𝑎 = −𝑏𝑏 ∙× |: 𝑏𝑏 𝑑𝑑𝑏𝑏

− 𝑎𝑎𝑏𝑏

= −× |: (−1)

×= −𝑝𝑝𝑏𝑏 +

𝑎𝑎𝑏𝑏

×= −1𝑏𝑏 ∙ 𝑝𝑝 +

𝑎𝑎𝑏𝑏

×= 𝑎𝑎𝑏𝑏

− 1𝑏𝑏

∙ 𝑝𝑝 Es muss gelten: Parameterrelationen 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑

= − 1𝑏𝑏 𝛽𝛽 = 1

𝑏𝑏

48


Hausaufgaben aus dem 2. Übungstermin

49


Zum Verständnis

sehr elastisch proportional elastisch unelastisch

𝑥𝑥𝑃𝑃ä𝑟𝑟𝑟𝑟

𝑝𝑝𝑑𝑑𝑃𝑃𝑃𝑃𝑝

𝑥𝑥𝑃𝑃ä𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑥𝑥𝑃𝑃ä𝑟𝑟𝑟𝑟

𝑝𝑝𝑑𝑑𝑃𝑃𝑃𝑃𝑝 𝑝𝑝𝑑𝑑𝑃𝑃𝑃𝑃𝑝 p

p

p

x x x

𝜀𝜀 = 0

𝜀𝜀 = −1

𝜀𝜀 = −∞

großer elastischer Bereich

𝜀𝜀 = 0

𝜀𝜀 = −1

𝜀𝜀 = −∞

0 > 𝜀𝜀 > −1 unelastisch

−1 > 𝜀𝜀 > −∞ elastisch

𝜀𝜀 = 0

𝜀𝜀 = −1 𝜀𝜀 = −∞

großer unelastischer Bereich

50


Thema 3

Umsatzfunktion

51


Umsatzfunktion

Umsatz gibt an, welche Erlöse bzw. Einnahmen der Anbieter aus dem Verkauf der Menge (x) zum Preis (p) erzielt. Umsatzfunktion kennzeichnet den Umsatz, den ein Anbieter bei einer bestimmten Absatzmenge (x) zu einem bestimmten Preis (p) erzielt. U = U(p) = x(p)*p oder U = U(x) = p(x)*x

52


𝑈𝑈 × = 𝑎𝑎 − 𝑏𝑏 ∙× ∙× = 𝑎𝑎 × −𝑏𝑏 ×2

𝑈𝑈 𝑝𝑝 =× 𝑝𝑝 ∙ 𝑝𝑝

𝑈𝑈 𝑝𝑝 = 𝛼𝛼 − 𝛽𝛽 ∙ 𝑝𝑝 ∙ 𝑝𝑝 = 𝛼𝛼 ∙ 𝑝𝑝 − 𝛽𝛽 ∙ 𝑝𝑝2

→ Prohibitivpreis, wenn ×= 0 𝑈𝑈 = 𝑝𝑝 ∙× 𝑈𝑈 = 𝑝𝑝 ∙ 0 = 0 → Sättigungsmenge, wenn p = 0 𝑈𝑈 = 𝑝𝑝 ∙× 𝑈𝑈 = 0 ∙ 𝑥𝑥 = 0 Der Umsatz ist sowohl beim Prohibitivpreis als auch bei der Sättigungsmenge gleich 0.

Umsatzfunktion

53


𝑝𝑝 = 𝑎𝑎 − 𝑏𝑏 ∙× 𝑈𝑈 = 𝑎𝑎 − 𝑏𝑏 ∙× ∙× 𝑈𝑈 = 𝑎𝑎 ∙× −𝑏𝑏 ∙×2

1. Ableitung: 𝑑𝑑𝑈𝑈𝑑𝑑𝑥𝑥

= 𝑈𝑈′ = 𝑎𝑎 − 2 ∙ 𝑏𝑏 ∙×

0 = 𝑎𝑎 − 2 ∙ 𝑏𝑏 ∙× | + 2 ∙ 𝑏𝑏 ∙× 2 ∙ 𝑏𝑏 ∙×= 𝑎𝑎 |: 2 ∙ 𝑏𝑏 ×∗=

𝑎𝑎2 ∙ 𝑏𝑏

Achtung: 𝑝𝑝 = 𝑎𝑎 − 𝑏𝑏 ∙× ×𝑃𝑃ä𝑟𝑟𝑟𝑟 → 𝑝𝑝 = 0 0 = 𝑎𝑎 − 𝑏𝑏 ∙× ×𝑃𝑃ä𝑟𝑟𝑟𝑟= 𝑎𝑎

𝑏𝑏

Berechnung des Umsatzmaximum:

×∗=×𝑃𝑃ä𝑟𝑟𝑟𝑟

2 ×𝑃𝑃ä𝑟𝑟𝑟𝑟= 2 ∙

𝑎𝑎2 ∙ 𝑏𝑏

U

x

54


𝑈𝑈 = 𝑎𝑎 ∙× −𝑏𝑏 ∙×2 → 𝑚𝑚𝑎𝑎𝑥𝑥 ×∗=

𝑎𝑎2𝑏𝑏

𝑈𝑈𝑚𝑚𝑎𝑎𝑑𝑑 = 𝑎𝑎 ∙𝑎𝑎

2𝑏𝑏− 𝑏𝑏 ∙

𝑎𝑎2𝑏𝑏

2

𝑈𝑈𝑚𝑚𝑎𝑎𝑑𝑑 =𝑎𝑎𝑎2𝑏𝑏

−𝑏𝑏 ∙ 𝑎𝑎2

4𝑏𝑏2

𝑈𝑈𝑚𝑚𝑎𝑎𝑑𝑑 =12

∙𝑎𝑎2

𝑏𝑏−

14

∙𝑎𝑎2

𝑏𝑏

𝑈𝑈𝑚𝑚𝑎𝑎𝑑𝑑 =𝑎𝑎𝑎4𝑏𝑏

Berechnung des Umsatzmaximum:

55


Konzept des Grenzumsatzes Um wie viel verändert sich der Umsatz, wenn sich der Entscheidungsparameter (Preis bzw. Menge) marginal verändert?

Zusätzlicher Umsatz, den man erzielt, wenn man eine Mengeneinheit mehr verkauft Grenzumsatz (x= Entscheidungsparameter)

𝑈𝑈 = 𝑝𝑝 ∙×= 𝑎𝑎 ∙× −𝑏𝑏 ×2


= 𝑎𝑎 − 2 ∙ 𝑏𝑏 ∙×

56


Grenzumsatz (p= Entscheidungsparameter)

𝑃𝑃𝐴𝐴𝑃𝑃: ×= 𝛼𝛼 − 𝛽𝛽 ∙ 𝑝𝑝 𝑈𝑈 =×∙ 𝑝𝑝 = 𝛼𝛼 ∙ 𝑝𝑝 − 𝛽𝛽 ∙ 𝑝𝑝2


= 𝛼𝛼 − 2 ∙ 𝛽𝛽 ∙ 𝑝𝑝

Umsatzmax.= 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑

oder 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑

= 0

Kann der Grenzumsatz auch negativ sein? p ↑ → U ↓ U

𝐩𝐩∗ = 𝛂𝛂𝟏𝟏𝛃𝛃

und 𝐩𝐩𝐩𝐩𝐩𝐩𝐩𝐩𝐩𝐩𝐩𝐩𝐩𝐩𝐩𝐩𝐩𝐩𝐩𝐩𝐩𝐩 = 𝛂𝛂𝛃𝛃

p 𝒑𝒑∗ 𝑈𝑈′ > 0 𝑈𝑈𝑈 < 0

Konzept des Grenzumsatzes

57


58

Die Umsatzermittlung im Monopol

1U

1x

1p

1U

Absatzpreis (p) / Umsatz (p*x)

Absatzmenge (x)

58


Daten von 80.000 Lieferungen in 13 Jahren Bagels Preis Umsatzentw. Elastizität (approx)

Anfang: 60 Cents August 1993: 75 Cents ? August 1998: 85 Cents ? Mai 2003: $1 ? Donuts Anfang: 50 Cents März 2005: 60 Cents ? „Estimates suggest that the firm missed out 30 percent of the revenue.“ Prof. Levitt

What The Bagel Man Saw

59


→ 𝜀𝜀 beträgt im Umsatzmaximum ? 𝑈𝑈 = 𝑎𝑎 ∙× −𝑏𝑏 ∙×2 𝑑𝑑𝑈𝑈𝑑𝑑𝑥𝑥

= 𝑎𝑎 − 2𝑏𝑏 × 0 = 𝑎𝑎 − 2𝑏𝑏 × ×∗=

𝑎𝑎2𝑏𝑏

→ 𝑢𝑢𝑢𝑢 𝑝𝑝 𝑥𝑥 𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑘𝑘𝑢𝑢𝐴𝐴𝑃𝑃𝑢𝑢𝑢𝑢

𝑝𝑝 = 𝑎𝑎 − 𝑏𝑏 ∙𝑎𝑎

2𝑏𝑏= 𝑎𝑎 −

𝑎𝑎2

𝑝𝑝∗ =

𝑎𝑎2

Preiselastizität im Umsatzmaximum bei linearer PAF

60



∙𝑝𝑝𝑥𝑥

𝑝𝑝 = 𝑎𝑎 − 𝑏𝑏 ∙×


= −𝑏𝑏

↷ Kehrwert bilden: 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑

↔ − 1𝑏𝑏

𝜀𝜀 = −1𝑏𝑏

∙𝑎𝑎2𝑎𝑎

2𝑏𝑏

𝜀𝜀 = − 1𝑏𝑏

∙ 𝑎𝑎2

∙ 2𝑏𝑏𝑎𝑎

= −1


Was macht man bei einem Doppelbruch?

61


Wie ist die Preiselastizität im Umsatzmaximum,

wenn p Entscheidungsparameter

ist? 62


→ 𝜀𝜀 beträgt im Umsatzmaximum ? 𝑈𝑈 = α ∙ 𝑝𝑝 − β ∙ 𝑝𝑝2 𝑑𝑑𝑈𝑈𝑑𝑑𝑥𝑥

= α − 2β𝑝𝑝 0 = α − 2β𝑝𝑝 𝑝𝑝∗ =

α2β

→ 𝑢𝑢𝑢𝑢 𝑥𝑥 𝑝𝑝 𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑘𝑘𝑢𝑢𝐴𝐴𝑃𝑃𝑢𝑢𝑢𝑢

𝑥𝑥 = α − β ∙α

2β= α −

α2

𝑥𝑥∗ =

α2


63



∙𝑝𝑝𝑥𝑥

𝑥𝑥 = α − β ∙ 𝑝𝑝

𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑝𝑝

= −β

𝜀𝜀 = −β ∙

α2βα2

𝜀𝜀 = −β ∙ α2β

∙ 2α

= −1


64


Zusammenhang Sättigungsmenge/ Prohibitivpreis / Umax

𝑥𝑥𝑑𝑑𝑚𝑚𝑎𝑎𝑑𝑑 = α2; 𝑥𝑥𝑑𝑑𝑚𝑚𝑎𝑎𝑑𝑑 = 𝑎𝑎

2𝑏𝑏 Sättigungsmenge?

𝑥𝑥𝑆𝑆ä𝑟𝑟𝑟𝑟 = α =𝑎𝑎𝑏𝑏

𝑝𝑝𝑑𝑑𝑚𝑚𝑎𝑎𝑑𝑑 = α2β

; 𝑝𝑝𝑑𝑑𝑚𝑚𝑎𝑎𝑑𝑑 = 𝑎𝑎2

Prohibitivpreis?

𝑝𝑝𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑝 = 𝑎𝑎 =αβ

65


What The Bagel Man Saw IV

x

U; p

𝛆𝛆𝐪𝐪,𝐩𝐩 > −𝟏𝟏 𝐮𝐮𝐮𝐮𝐮𝐮𝐮𝐮𝐮𝐮𝐮𝐮𝐩𝐩𝐩𝐩𝐮𝐮𝐮𝐮𝐩𝐩

𝜺𝜺𝒒𝒒,𝒑𝒑 < −𝟏𝟏 𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆

𝑞𝑞∗

𝛆𝛆𝐪𝐪,𝐩𝐩 = −𝟏𝟏 ∙ ∎ 𝑃𝑃𝑓𝑓𝑢𝑢𝑢𝑢𝑘𝑘𝑎𝑎𝑏𝑏𝑘𝑘𝑎𝑎𝐴𝐴𝑃𝑃𝑓𝑓𝑢𝑢𝑢𝑢𝑘𝑘𝐴𝐴𝑢𝑢𝑘𝑘𝑢𝑢

𝑈𝑈𝑚𝑚𝑘𝑘𝑎𝑎𝐴𝐴𝑃𝑃𝑓𝑓𝑢𝑢𝑢𝑢𝑘𝑘𝐴𝐴𝑢𝑢𝑘𝑘𝑢𝑢

66


Thema 4

Übungsaufgaben

67


Übungsaufgabe 1

Von einer Preis-Absatz- Funktion der Form ist bekannt, dass bei einer Menge von x=500 und dem Preis

p=3000 die Preiselastizität der Nachfrage beträgt. Fragen: a) Was ist in der obigen Preis-Absatz-Funktion

Entscheidungs- bzw. Erwartungsparameter? b) Wie hoch sind Sättigungsmenge und Prohibitivpreis?

xbap ⋅−=

3−=ε

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Übungsaufgabe 2

Von einer linearen Preis-Absatz-Funktion ist bekannt, dass das Umsatzmaximum von bei einer Menge von

erreicht ist. Wie lautet diese Preis-Absatz-Funktion, wenn die

Absatzmenge der Entscheidungsparameter ist?

80000max =U2000max =ux

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Übungsaufgabe 3

Von einer linearen Preis-Absatz-Funktion, in der der Preis der Entscheidungsparameter ist, weiß man, dass bei einer Absatzmenge von 1500 die Preiselastizität der Nachfrager -1 beträgt. Bei einem Preis von 100 werden 1000 Einheiten verkauft.

Wie lauten die Parameter der Preis-Absatz-Funktion?

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Übungsaufgabe 4

Die Preis-Absatz-Funktion vom Cobb-Douglas-Typ lautet: Wie hoch sind die Preis-Elastizität und der Umsatz bei einem

Preis von p=10?

2000.100 −⋅= px

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HAUSAUFGABE

Löst bitte Übungsaufgabe 2 bis 4.

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