This work has been digitalized and published in 2013 by Verlag Zeitschrift für Naturforschung in cooperation with the Max Planck Society for the Advancement of Science under a Creative Commons Attribution4.0 International License.

Dieses Werk wurde im Jahr 2013 vom Verlag Zeitschrift für Naturforschungin Zusammenarbeit mit der Max-Planck-Gesellschaft zur Förderung derWissenschaften e.V. digitalisiert und unter folgender Lizenz veröffentlicht:Creative Commons Namensnennung 4.0 Lizenz.

Unendliche Darstellungen der Lorentz-Transformation und das Massenproblem

V o n W A L T E R W E S S E L * (Z. Naturforschg. 3a. 559—564 [1948]; eingegangen am 7. September 1948)

In einer Schriftenfolge zum 75. Geburtstage A. S o m m e r f e l d s erlaubte sich der Verfasser ,

einen damals noch sehr unsicheren und im Er -gebnis selbst widerspruchsvollen Beitrag „Über Spin und St rah lungskraf t" vorzulegen, in dem versucht wurde, die Reakt ionskraf t der Strahlung auf ein bewegtes, geladenes Teilchen auch in der Quantentheorie rein mechanisch zu behandeln. Der Widerspruch ließ sich später beheben1 im Rahmen einer rein klassischen Theorie, in der das System der Bewegungsgleichungen auf Pois-son-Klammern gebracht und zu dem Zwecke ein magnetisches Moment der Teilchen als selbstän-dige Variable eingeführt wurde2 . Dieses Pro-gramm ließ sich auch quantentheoretisch durch-führen 3 und hat neuerdings zu einer verheißungs-vollen Anwendung auf das Problem der Massen-quantelung geführt 4 . Verf. ist dankbar f ü r die Gelegenheit, eine Zusammenfassung dieser letzten Arbeiten seinem alten Lehrer zum 80. Geburtstage widmen zu dürfen.

Die Berücksichtigung der St rahlungsdämpfung setzt bekanntlich in der feldmäßigen Behandlung eine Quantelung des Strahlungskont inuums vor-aus. Diese führ t zu Divergenzen, die nicht durch die Endlichkeit der Lichtquanten behoben wer-den, sondern ihren Sitz in der Endlichkeit der Teilchen und ihrer Selbstenergie haben. Das Pro-blem der Quantelung des Kontinuums mit Materie ist dadurch mit dem Massenproblem verknüpft . Versucht man diese Dinge unter Vermeidung der Feldquantelung rein mechanisch zu behandeln, so steht man vor zwei Aufgaben: erstens, in die Eigenwertspektren die nötige Kontinuität hinein-

* Z . Z t . in U S A . 1 W . W e s s e l , Z . N a t u r f o r s c h g . 1, 622 [ 1 9 4 6 ] . 2 D i e s e r G e s i c h t s p u n k t i s t n e u e r d i n g s a u c h in d e r

F e l d t h e o r i e d u r c h m e h r e r e A u t o r e n h e r a u s g e a r b e i t e t J - S c h w i n g e r , P h y s i c . R e v .

iö, 41b [1948J. G a n z k ü r z l i c h i s t a u c h e x p e r i m e n t e l l e i n e A n o m a l i e d e s ^ - W e r t e s g e b u n d e n e r E l e k t r o n e n d u r c h P . K u s c h u . H . M. F o l e y , P h y s i c . R e v . 74. 250 [1948], n a c h g e w i e s e n w o r d e n .

3 W . W e s s e l , im D r u e k be i d e r P h y s i c . R e v .

zubringen, und zweitens, zu zeigen, wie trotzdem die Eigenwerte so weitgehend scharf herauskom-men. Die erste F rage löst sich in unserer Theorie, wie wir im folgenden zeigen, ganz von selbst, wenn wir bei der Quantisierung von der selbst-verständlichen Realität aller Eigenwerte aus-gehen. Die zweite hat f ü r Teilchen mit bewegtem Schwerpunkt noch mathematische Schwierigkei-ten. Nun hat man nach der Entdeckung so vieler instabiler Elementarpartikel alle Ursache, mit B o p p 5 mindestens Gruppen von ihnen als an-geregte Zustände einer einzigen aufzufassen. Da-mit rücken auch die Ruhmassen unter die zu quantelnden Eigenwerte. In der Tat haben auch unsere Teilchen, wie bei Bopp und bei dem in dieser Hinsicht sehr verwandten Partikelmodell von H ö n 1e, eine Art von kinetischer Energie der Bewegung innerer Variablen auch im Ruhsystem. Diese Energie hat neben einem Kontinuum tat-sächlich diskrete Eigenwerte mit einem oberen Häufungspunkt . Ein Kontinuum, d. h. die Mög-lichkeit von Teilchen beliebiger Masse oberhalb einer hinlänglich großen, hat wohl nichts Un-wahrscheinliches und ist übrigens auch schon vorgeschlagen worden7 .

Während die Energiequantelung als solche ein-deutig herauskommt, ist die Quantelung zweier Parameter, die die Energie in ähnlicher Weise mitbestimmen wie der Drehimpuls die Ene rg ie von Teilchen mit bewegtem Schwerpunkt, einst-weilen nicht möglich wegen der Beschränkung auf das Ruhsystem. Die Behandlung bewegter Teilchen setzt eine Kenntnis unendlicher Darstel-lungen der Lorentz-Transformation voraus, die noch nicht in dem erforderlichen Umfange vor-liegt. Wir können zeigen, daß unser Massenspek-

4 E r s c h e i n t v o r a u s s i c h t l i c h e b e n f a l l s in d e r P h y s i c . R e v i e w .

5 F . B o p p , Z . N a t u r f o r s c h g . 1, 196 [1946]. 6 H . H ö n l in z a h l r e i c h e n A r b e i t e n , z u l e t z t Z

N a t u r f o r s c h g . 2 a , 5-37 [1947]. 7 D . B l o k h i n z e w . B u l l . A c a d . Sei . U R S S S e r

p h y s i q u e 11, 72 | 1947 | .

trmn die zur Zeit bestbelegten Mesonenmassen in ihrer allgemeinen Verteilung und bei geeigneter, halbempirischer Wahl der unbestimmten Para-meter auch quantitativ gut wiedergibt. Es muß aber dabei die Existenz einer bestimmten Lorentz-DarStellung vorausgesetzt werden, die bisher noch nicht bewiesen ist. Neuartig sind ferner eine Variante des Korrespondenzprinzips und der WBK-Methode.

Das Teilchen werde, wie früher1 , beschrieben durch seinen Impuls pk, seine Vierergeschwindig-keit uk und seinen Momenten-Sechservektor Mik. (i,k = 1 . . 4 ; die Metrik ist glx = g22 = g33 = 1. g44

= _ i ) . uk w i r d aufgefaßt als jk/l, wobei jk ein zeitartiger Vierervektor ist, dessen vier Kompo-nenten auf drei unabhängige reduziert werden dadurch, daß sein Betrag l durch die Invarianten I und J des Momententensors in der Form

i = V i * - ( 0

ausdrückbar sein soll. Schließlich wird ein raum-artiger Einlieits-Vierervektor 17«' der „zugeordne-ten" Geschwindigkeit gebraucht, der mit Hilfe eines Vektors kl als ¥/l mit derselben Invarian-ten l wie jk ausdrückbar ist. E r ist durch jr und Mrk mitbestimmt durch die Forderung, daß er parallel zu j r M r k sein soll. Die Komponenten k1,k2,k3 spielen eine ähnliche Bolle wie der mechanische Spin bei D i r a c .

Die Hamiltonsche Funktion ist für frei bewegte Teilchen durch den Term cp4 in

ukplc - —m0 c (2)

gegeben, wo m0 als reine Konstante (unabhängig von I und J ) betrachtet wird. Der Grund dafür war1 , daß man damit in den Bewegungsgleichun-gen einen der klassischen Strahlungskraft sehr ähnlichen Ausdruck erhält. Wie weit dieser Aus-druck richtig ist, soll liier nicht weiter theoretisch untersucht werden, sondern ein Ausgangspunkt dieser Arbeit war gerade, ihn unmittelbar an der Er fahrung zu prüfen. Wir übernehmen auch die früheren Poisson-Klammern (P.-K.) als Vertau-schungsrelationen (V.-R.) und eliminieren nur alle Dimensionskonstanten, indem wir die frühe-ren / ,J,f ; /t' , s3JJ,,^ f c in Vielfachen dimensions-loser I .K. t f c ,x ' ,M. ,n , ausgedrückt denken. Gl. (2) lautet dann, wenn man mit / nach (1) durch-multipliziert,

l k f = —m0eV P+ K2. (B)

Die Frage einer rationalen Darstellbarkeit der rechten Seite und die Auflösung der Gleichung nach p4 bei nicht damit vertauschbarem t4 findet man in der ausführlichen Mitteilung erörtert. F ü r die nachher folgende, im wesentlichen halbklas-sische Behandlung braucht man darauf nicht zu achten. Was zunächst interessiert und unmittel-bar die zuerst aufgeworfene Frage beantwortet, ist die Darstellbarkeit der ik und I ,K durch Matri-zen, die den früheren P.-K. als V.-R. genügen. Die bloße Forderung, daß diese Matrizen hermitesch sein sollen, ergibt nämlich bereits kontinuierliche Eigenwertspektren f ü r K und fü r cx, i2 und i3 . Es genüge, die Verhältnisse fü r K zu zeigen. Die nötigen V.-R. sind nach 1 (4,13) und (4,16)

[ K t4 ] = « v ,

D4j<4] = ; k , (4> [ x 4 K J = — i i \

Es halie nun etwa K diskrete Eigenwerte K', K" . . . Die erste und letzte der Relationen lauten dann in K-Darstel lung (mit Weglassung des Index' 4)

( K ' — K " ) l k . k „ = i x K , K . . ,

( K " - K 0 =

und Multiplikation beider Gleichungen ergibt sofort

( K ' _ K " ) 2 = — 1 , (6 )

d. h. die Eigenwerte können nicht reell sein. Dem Schlüsse von (5) auf (6) entgeht man nur, wenn man annimmt, daß die. Eigenwerte von K konti-nuierlich sind, denn dann ist die Ablösung des Klammerfaktors nicht möglich. In der Tat läßt sich eine vollständige hermitesche Darstellung des Systems der P.-K. nach 1 geben, wenn man schon die Ausgangsgleichungen (4,1g)1 als V.-R. ver-stellt ( r ~ /):

Sie sind in dieser Form vereinbar, denn die y? haben als Matrizen die Natur von ip ß

f und yvt (t = transponiert und konjugiert) , und damit folgt das Vorzeichen in (7) aus der bekannten Kegel (ab) f = bfa1-.

Die Ausrechnung und Reduktion dieser Dar-stellungen bildet den Inhalt von3. Die für das Folgende wichtigsten Ergebnisse sind:

1. Alle Matrizen sind unendlich. Fü r die konti-nuierlichen versteht sich das von selbst. In der Tat lassen sich aus den Momentenmatrizen (M(/t) unitäre Darstellungen der Lorentz-Transforma-tion aufbauen, und es ist bekannt, daß diese Dar-stellungen unendlich sind8.

2. Der Spektraleharakter ist symmetrisch ge-teilt. und zwar sind

K ; i j , l2 , i 3 ; x 4 ; H x , ZI2, / I 3 kontinuierlich, I; Xj, x2 , x3; t4; M,, M2 , M3 diskontinuierlich. (8)

Es ist offenbar sehr befriedigend, daß die ge-schwindigkeitsbestimmenden , k = 1 , 2 , 3 kon-tinuierlich, die spinbestimmenden x . und M ., k = 1 , 2 , 3 dagegen diskontinuierlich herauskom-men. Die M^ (magnetischen Momentkomponenten) sind reduzibel nach den Darstellungen der Drehungsgruppe. Die eigentümliche Erscheinung, daß die (elektrische Komponenten) abweichen -den Spektralcharakter haben, obwohl sie mit den

einen Sechservektor bilden, wird dadurch möglich, daß ein M und ein II durch eine Drehung überhaupt nicht, durch eine Lorentz-Transforma-tion niemals vollständig ineinander übergeführt werden. Entsprechendes gilt für die t,. und k = 1 . . 4.

3. Die Eigenwerte von I und c4 lassen sich durch zwei ganze Zahlen zx und z 0 , positiv oder Null, in der Form

1 = J ( z i ~ «*) i <4 = J ( z i + z 2 ) + 1 ( 9 )

darstellen. Mit der Invarianten I , die das Zen-trum im gruppentheoretischen Sinne bildet, wird die gesamte Darstellung entweder ganz oder halb-ganz. Man kann, indem man nach M x.{ und t4

numeriert, alle übrigen Elemente als Übermatri-8 S i e s i n d in d e n l e t z t e n J a h r e n a u s f ü h r l i c h u n t e r -

s u c h t w o r d e n d u r c h V. B a r g m a n n , A n n . M a t h . (2 ) 48, 568 [1947]; H a r i s h - C h a n d r a , P r o c . R o y . Soc . [ L o n d o n ] , S e r . A 189, 372 [1947], u n d I , G e l f a n d u . M. N e u m a r k , B u l l . A c a d . Sei . U R S S , S e r . p h y s i q u e 10, 9-3 [1946]. U n s e r e a u s (7 ) h e r g e l e i t e t e n D a r s t e l -l u n g e n h a b e n V e r t r e t e r in a l l e n K l a s s e n B a r g -m a n n s ( u n s e r F a l l 1 = 0 g e h ö r t s e i n e r K l a s s e C " , u n s e r F a l l 1=1=0 s e i n e m Ck>r a n ) . E s i s t a b e r w a h r -s c h e i n l i c h u n d f ü r d a s F o l g e n d e w e s e n t l i c h , v o r a u s -z u s e t z e n , d a ß u n s e r e D a r s t e l l u n g e n n i c h t a l l e Mög-l i c h k e i t e n e r s c h ö p f e n u n d d a ß i n s b e s o n d e r e n o c h m e h r i k - u n d x ^ - D a r s t e l l u n g e n m ö g l i c h s i n d ( d i e in d i e D a r s t e l l u n g e n d e r L o r e n t z - T r a n s f o r m a t i o n s e l b s t n i c h t e i n g e h e n u n d a u c h n i c h t d u r c h V. -R. d a r a u s ab-z u l e i t e n s i n d ) .

zen bilden und, dank der positiven Definitheit von t4. sogar ganz einfach hinschreiben.

Damit hat man also kontinuierliche Eigenwerte die Fülle, und es ist nur die Frage, wie man sie wieder los wird. Dazu ist zunächst hervorzu-heben, daß eine Funktion einer Matrix mit konti-nuierlichem Spektrum nicht auch eines zu haben braucht. Ein auch sonst aufschlußreiches Bei-spiel ist die Impulsmatrix eines freien Teilchens, das zwischen zwei festen Wänden hin und her reflektiert wird. I-hr Spektrum muß aus Gründen der Unbestimmtheitsrelation kontinuierlich sein, dagegen ist ihr Quadrat als Gesamtenergie natür-lich gequantelt. Die matrizentechnische Behand-lung dieser Probleme ist also heikel, und es ist geraten, die Sache zunächst am Bilde der zugeord-neten klassischen Bewegung zu studieren. Man wird erwarten, diskrete Eigenwerte zu finden, wenn die klassische Bewegung periodisch ist.

Die Verhältnisse werden schon für gleichför-mige Translation etwas tinübersichtlich, und wir beschränken uns daher auf das Ruhsystem px = p., = p:l = 0. Die Hamiltonsche Funktion c p4 sei auch durch ein dimensionsloses H als m(. c2 H ausgedrückt. Nach (3) ist dann (beachte t4 = - t 4 ; der Index 4 an i4 und x4 möge weiterhin fort-bleiben) :

V F -f- K2

• (10) H =

Die konstanten bzw. Eigenwerte von H mögen TJ beißen; die Massen sind dann

m — rj m0 d l )

Wir fassen nun wieder die V.-R. (4) als P.-K. auf und bilden die zeitliche Ableitung z.B. von c

<JH als (Hi) = — (Kt) .Eine Wirkungskonstante, die ci IV

zusammen mit mQc2 die Zeitskala bestimmen würde, sei wieder weggelassen. Die Bewegungs-gleichungen lauten dann, wenn man nach der Differentiation H = tj setzt:

K = L 7) r Y)l ' ' (12)

Sie haben, wrie man auch aus (4) schließen kann, das Integral

>c2 + K5 (13)

nicht notwendig positiv. Mit 7] und q hat man be-reits alle Integrale von (12) bis auf die Zeitkon-

stante. I ist als Zentrum natürl ich auch konstant. Durch Elimination von und x vermittels (10) und (13) läßt sich z. B. die Gleichung f ü r K schreiben:

q 2 + I 2

K 2 V V + K 2 = n2( i - ^ 2 ) . ( 1 4 )

Sie hat die Form des Energiesatzes f ü r ein Teil-chen mit einer Koordinate K. das sich in einem Potentialfelde bewegt. F ü r I2 + q2 < 0 hat man einen Potential -Berg und n u r aperiodische Be-wegung, f ü r I2 + e2 > 0 dagegen eine Potential-Mulde und

periodische aperiodische

Bewegung f ü r 7 ) > 1 (15)

Es gibt also klassisch tatsächlich periodische Be-wegungstypen. die dann auch f ü r x und t gelten, aber sie liegen energetisch über den aperiodischen.

Dieser Sachverhalt kehrt sich gerade um, wenn man zur quantentheoretischen Behandlung über-geht. Wi r setzen dazu mit Hinblick auf (13)

x = sm^Vg2 + t 2 , K = cos <P Vg2 + i2. (16)

Der Winkel <I> ist dann zu c kanonisch konjugiert , ({$) = 1, wie man leicht nachrechnet. E in füh rung von K in (10) liefert die Hamiltonsche Funktion in der Form

H V I 2 + ( q 2 4 - O c o s 2 '/>

( 1 7 )

daraus folgt9 f ü r den kanonischen Impuls t:

2 I 2 + e 2 c o s 2 $ 7 F C O S 2 $

(18)

d. i. mit i = dSß<S? die Hamiltonsche Differential-gleichung. Es ist nun trotz der diskontinuierlichen Eigenwerte von t bei genügend großem, positivem q2 näherungsweise, nämlich bis auf Glieder mit

möglich, auch bei kleinem t die Formeln (16) als eine infinitesimale Darstel lung der V.-R. (4) aufzufassen, indem man

( 1 9 )

setzt. Aus (18) ergibt sich dann die Schrödinger-Gleichung des Problems:

•rp

d<P2 I 2 + o 2 c o s 2 £ >

7 ] 2 — C O S 2 $ ^ (20)

Z u r F r a g e d e s Q i i a d r i e r e n s s i e h e d i e a u s f ü h r l i c h e D a r s t e l l u n g .

Sie hat offenbar — wir kommen noch darauf zu-rück — wegen der Singularität rechterhand bei COS <I> = ±7)

kontinuierliche , tj > 1 diskontinuierliche

Eigenwerte fü r 7 ] < 1 .

(21)

d. h. den aperiodischen Bewegungen entsprechen diskrete Eigenwerte und umgekehrt!

Korrespondenzmäßig läßt sich das verstehen — wenigstens was den ersten Teil der Alternative betrifft —, wenn man bedenkt, daß auch ein „Teil-chen", das, aus dem Unendlichen kommend und dahin gehend, eine „Potentialmulde" im Sinne der Gl. (14) durchläuft , ein wohldefiniertes weiches Fourier-Spektrum hat. wenn man von der über-lagerten gleichförmigen Bewegung absieht bzw. die erste, oder' (aus Konvergenzgründen) besser die zweite Ableitung betrachtet. Die Analyse ist schwer in allgemeiner Form zu geben, weil die zweite Ableitung gegen unwesentliche kinema-tische Feinheiten empfindlich ist: es läßt sich aber durch Ungleichungen ein Fal l abgrenzen, der die Bewegung nicht wesentlich spezialisiert, jedoch i (natürlich nicht K) ständig positiv macht. Das Fourier-Spektrum dieser Beschleunigung ist ver-gleichbar dem Spektrum eines „Impulses" im Sinne der Echolot-Meßtechnik bzw., optisch ge-sprochen. eines Spaltes. Der Impulslänge bzw. Spaltbreite, die die Beugungsfransen bestimmt, entspricht mechanisch, wie wohl auch ohne Wie-dergabe der ausführlichen Rechnung einleuchtet, das Wirkungsintegral, erstreckt über die gesamte aperiodische Bewegung. Diese spielt in der Skala, wie sich aus den mit (17) zu bildenden kano-nischen Gleichungen ergibt, zwischen cos und cos $ = + 7]. Das zwischen diesen Grenzen erstreckte Wirkungsintegral ist aber im Hinblick auf (21) diskontinuierlich zu quantein.

Die Korrespondenz der periodischen Bewegung und der kontinuierlichen Eigenwertfolge f ü r tj > 1 läßt sich nicht *so leicht verstehen, weil Intensität im quantentheoretischen Falle eine Sache der Übergangswahrscheinlichkeit ist. Diese im Ruh-system zu betrachten, dürfte zwecklos sein, weil die Energiedifferenz wohl immer mindestens teil-weise als kinetische Energie auftri t t . Wi r ver-suchen daher auch keine Lebensdauern zu be-rechnen. Die Korrespondenz läßt immerhin ver-muten. daß das quantentheoretische Kontinuum nicht ganz strukturlos ist. vielleicht im Sinne des

Auftre tens von sehr kurzlebigen Teilchen mit un-genau definierter Masse.

Die bisherige halbklassische Methode läßt sich leider nicht auf die Bestimmung von I und 0 aus-dehnen, weil diese Größen erst im Rahmen einer Darstel lung aller 16 Partikelmatrizen (8) fest-gelegt werden. Solche Darstellungen sind fü r den hier betrachteten Fall I2 + Q2 > 0 („Potential-mulde") noch nicht bekannt; die vom Verf. be :

rechneten3 entsprechen vielmehr alle dem Falle l 2 + e 2 < 0 („Potentialberg"). Man erkennt das, wenn man sich an Hand der V.-R. (4) klarmacht, d a ß immer, wenn 1 einen kleinsten Wert t0 hat,

Q2= o ( i — O (22)

ist . Das ist nach (9) der Fall , und damit ist immer l* + Q*=-z1z2-1/a(z1 + z2) <0. Dieser Fal l ist durchaus nicht uninteressant, denn nach dem Pr inz ip der Kreuzkorrespondenz ist ja zu erwar-ten, daß diese stets aperiodischen klassischen Be-wegungstypen auch zu diskreten Eigenwerten f ü h r e n ; doch bilden in diesem Falle die Formeln (16) in Verbindung mit (19) keine zureichende Operatordarstel lung mehr, weil der Radikand g2 -Ki2 nach (22) bis auf cQ heruntergeht. Nun machen es die Existenz der klassischen Bewe-gungstypen und auch gewisse Analogien in B a r g -m a n n s Analyse der Lorentz-Transformation in drei Dimensionen sehr wahrscheinlich, daß Dar-stellungen auch f ü r den Fal l I2 + e2 > 0 möglich sind. W i r müssen aber noch verlangen, daß einer oder wenige I- und 9-Werte darin ausgezeichnet sind, und das ist nicht so wahrscheinlich, weil sie kontinuierl ich sein können. Aber vielleicht ist ge-rade eine gewisse Breite dieser Werte wesentlich f ü r die endliche Lebensdauer der Teilchen, mit denen wrir nachher zu tun haben werden, da die Energiequantelung sonst scharf herauskommt. Wir , wollen also diese Möglichkeit einmal voraus-setzen.

Danach läßt sich die Quantisierung mit Hilfe der WBK-Methode leicht zu Ende führen. Man muß bei ihrer Anwendung berücksichtigen, daß der Fak to r von W in (20) an den Endpunkten der Bewegung nicht Nullstellen, sondern Pole hat. Die Quantenbedingung folgt daher daraus, daß die ty*-Funktion dort Nullstellen hat; sie bekommt zwei überzählige Nullstellen. Das hat zur Folge, daß man die Quantenzahl um zwei Einheiten erhöhen

10 J. G . R e t a l l a c k , P h v s i c . R e v . 72, 742 [ 1 9 4 7 ] ; 73, 532 [1948].

muß. Andererseits erscheint das Residuum V2 wegen der verkehrten Potenz der Verzweigungspunkte mit umgekehrtem Vorzeichen. Die WBK-Bedin-gung lautet also, als Umlaufsintegral geschrieben,

n = 0 , 1 , 2 . . .

(23)

Wir nehmen zunächst 1 = 0 an. In diesem Fal le bekommt nach (20) die ^ - F u n k t i o n eine Wende-tangente im Symmetriepunkte $ = TC/2 ; sie muß also antisymmetrisch sein. Im Integral ist dann natürlich cos $ absolut zu nehmen. Die Integra-tion ist in diesem Fal le a u s f ü h r b a r und liefert, wenn man gleich die Masse m nach (11) einführt und die Zählung von n mit 1 beginnen läßt:

_ 2jt i n l\ , , m n = m0 S a n g — 2 + g-J . (24)

Diese Formel gibt ausgezeichnet die Verteilung der drei Mesonenmassen wieder, die von R e t a l -1 a c k 1 0 bei etwa 225 ± 2 0 m e (we = Elektronew-masse), von G a r d e n e r und L a t t e s 1 1 bei -313 ± 16 m e und von L a t t e s . O c c h i a l i n i und P o w e l l 1 2 bei 375 ± 5 m e gefunden wurden. Wenn man auch ihre numerischen Werte durch (24) darstellen will, so hat es natürl ich keinen Sinn, f ü r q und m() die bestgeeigneten zu wählen, sondern man muß nach Werten suchen, die als ein gruppentheoretischer Parameter und eine Ele-mente rkonstante einige Wahrscheinlichkeit haben, und in der Tat gelingt die Darstel lung gut mit

mn = 4 1 1 m 0 e (25)

Es ergibt sich m i = 228 m e

m2 — 332 m e

m 3 = 380 m e

m o o = 4 1 1 m e

T a b . 1.

tvber deii Wert von Q läßt sich nicht viel mehr sagen, als daß er groß genug ist, um die Verwen-dung der Formeln (16) und (19) zu rechtfertigen, und daß gruppentheoretisch vielleicht ein Wert

11 E . G a r d e n e r u . C. M. G. L a t t e s , S c i e n c e [ N e w Y o r k ] 107, 270 [1948].

12 C. M. G. L a t t e s , G. P . S. O c c h i a l i n i u . C. F , P o w e l l . N a t u r e [ L o n d o n ] 160. 453. 486 [19471.

V 4TT2+ 1/4 ausgezeichnet sein könnte; aber die Zahl 411 = 3-137 paßt vorzüglich hierher, denn sie ist gerade bis auf einen Faktor 2 das Verhält-nis von U und der Konstanten der St rahlungskraf t 2 e 2

d i e i n a l l e n vorangehenden Arbeiten des

Verf. offen oder latent war, weil sich nu r mit ihrer Hilfe die St rahlungskraf t in eine reine Quanten-mechanik einfügen läßt. Der Wert 1 = 0 ließe auf Bose-Statistik schließen.

Eine eingehendere Diskussion ist wohl im Augenblick wegen der Unsicherheit der Massen-bestimmungen sowohl wie der vorliegenden Theo-rie nicht angebracht. Es sei n u r erwähnt, daß wir auch einige Eigenwerte f ü r I = 1/2 direkt aus der Differentialgleichung (20) bestimmt haben. In

diesem Falle gibt es gerade und ungerade Eigen-funktionen. Das Ergebnis zeigt Tab. 2 in Viel-fachen von m e . Die theoretische Ungenauigkeit ist etwa 4%. hauptsächlich wegen der Unsicher-heit der Operatordarstellung. Die beiden letzten Werte sind geschätzt.

g e r a d e u n g e r a d e

m i = 184 m2 = 225 m3 = 318 m4 = 332 rn5 < 380 m6 = 380 .

T a b . 2.

Der erste Wert liegt sehr tief. Es wäre von Interesse, ob man diese Möglichkeit schon sicher ausschließen kann. Eine obere Grenze des dis-kreten Mesonenspektrums bei 411 m e kann wohl als recht wahrscheinlich gelten.

Feldmechanische Begründung der Diracschen Wellengleichung V o n F R I T Z B O P P

A u s d e m I n s t i t u t f ü r t h e o r e t i s c h e P h y s i k d e r U n i v e r s i t ä t M ü n c h e n (Z. Naturforschg. 3 a, 564—573 [1948]; eingegangen am 31. Juli 1948)

W e n n m a n d i e T r ä g h e i t s k r a f t d e s E l e k t r o n s a u s e i n e r v e r a l l g e m e i n e r t e n l i n e a r e n -E l e k t r o d y n a m i k a b l e i t e t u n d d a b e i in d e r E n t w i c k l u n g n a c h d e r R e t a r d i e j - u n g e i n e n S c h r i t t w e i t e r g e h t a l s L o r e n t z , so e r h ä l t m a n e i n e B e w e g u n g s g l e i c h u n g , a u f d ie m. W . H ö n l u n d P a p a p e t r o u e r s t m a l i g h i n g e w i e s e n h a b e n . D a r i n w i r d z w i s c h e n d e m M a k r o -l m p u l s d e s T e i l c h e n s u n d s e i n e r M i k r o g e s c h w i n d i g k e i t u n t e r s c h i e d e n . I n f o l g e v o n E m i s s i o n s - R e a b s o r p t i o n s p r o z e s s e n v e r s c h i e b t s ich s t ä n d i g d e r E n e r g i e m i t t e l p u n k t g e g e n ü b e r d e m L a d u n g s m i t t e l p u n k t , w a s z u e i n e r Z i t t e r b e w e g u n g f ü h r t , d i e e in sp in - -a r t i g e s Z u s a t z m o m e n t e r g i b t . I m f o l g e n d e n w i r d g e z e i g t , d a ß d i e s e s Z u s k t z m o m e n t be i w o h l d e f i n i e r t e r M o d i f i k a t i o n d e r M a x w e l l s c h e n G l e i c h u n g e n m i t dem E l e k t r o n e n s p i n i d e n t i s c h i s t . D i e Q u a n t i s i e r u n g d e r B e w e g u n g s g l e i c h u n g l i e f e r t in d i e s e m F a l l e e i n e W e l l e n g l e i c h u n g , d e r e n L ö s u n g e n a u c h d i e d e r D i r a c s c h e n W e l l e n g l e i c h u n g e n t h a l t e n . D i e D i r a c s c h e W e l l e n g l e i c h u n g h ä n g t a l s o e n g m i t d e r E l e k t r o n e n s t r u k t u r z u s a m m e n .

1. E n t w i c k l u n g d e s P r o b l e m s

Di r a c 1 hat die Maxwellschen Potentiale fü r eine bewegte Punkt ladung in folgender Form

dargestellt. Seien (a?a) = (r Act) die Koordinaten des Aufpunktes und [2 a (s)] = [ r 0 ( s ) , ic t0(s) ] mit zf( = —c~ die der Bahnkurve einer Punkt ladung + e, dann lauten die retardierten Potentiale:

2 e r % (*) = y2 j K (*) f ( a ) ds • (1)

ret,

1 P . A. M. D i r a c , P r o c . R o y . Soc . [ L o n d o n ] , S e r . A 167, 148 [1938]; M. H . L . P r y c e , P r o c . R o y . Soc. [Lon-don! . S e r . A 168. 389 [1938],

Da rin bedeutet o das Quadrat des Abstandvektors' [xa — za(s)]:

° = T T ( 2 >

und die Integration (ret) ist über alle Punkte der Bahnkurve im Kegel vor x zu erstrecken. F ü r die Maxwellsche Theorie gilt speziell

f * = 6 (°) • (3)

Darin ist 8 die Diracsche Punktfunkt ion. Bekanntlich führt dieser Ansatz zu einer un-

endlichen Ruhmasse der Punkt ladung. Die ge-