VL Finanzwissenschaft I - Universität Heidelberg · Anreizwirkungen des Steuer-Transfer-Systems...

VL Finanzwissenschaft I5. Die Okonomik der staatlichen Sozialversicherung

PD Dr. Jan Schnellenbach

Lehrstuhl fur FinanzwissenschaftRuprecht-Karls-Universitat Heidelberg

Der Wohlfahrtsstaat in der PraxisEin Grundmodell staatlicher Versicherung

Staatliche Sozialversicherungen: praktische Probleme

Uberblick

Der Wohlfahrtsstaat in der PraxisZeitreihen fur OECD-LanderQuerschnittsdaten fur OECD-LanderSchwerpunkte nach AusgabenartenTypen von Wohlfahrtsstaaten

Ein Grundmodell staatlicher VersicherungAnnahmen des ModellsEin Steuer-Transfer-SystemAnreizwirkungen des Steuer-Transfer-Systems

Staatliche Sozialversicherungen: praktische ProblemeEin GrundmodellAdverse SelektionMoralisches Risiko

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Zeitreihen fur OECD-LanderQuerschnittsdaten fur OECD-LanderSchwerpunkte nach AusgabenartenTypen von Wohlfahrtsstaaten

Gesamte Sozialausgaben 1980-2001

Quelle: Willem Adema & Maxime Ladaique, Net Social Expenditure. 2005

Edition, Paris: OECD

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Was ist darin enthalten?



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Offentliche Sozialausgaben 2003 in Prozent des BIP

Quelle: OECD, Social Expenditure Database 2007.

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Offentliche Sozialausgaben 2003 in Prozent des BIP

Quelle: OECD, Social Expenditure Database 2007.

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Offentliche Sozialausgaben nach Ausgabenarten


Edition, Paris: OECD8 / 56




Typen von Wohlfahrtsstaaten

I sozialdemokratische Variante (insbesondere Skandinavien)I umfassende SozialleistungenI wahrgenommenes Recht des einzelnen Burgers auf diese

LeistungenI Betonung aktiver ArbeitsmarktpolitikI finanziert vor allem durch Steuern

I liberale Variante (z.B. USA, Großbritannien)I residualer Wohlfahrtsstaat: Versicherung gegen extreme RisikenI strikte Prufung der Bedurftigkeit im EinzelfallI haufig Bezug von Sachleistungen

I korporatistische Variante (z.B. Deutschland, Frankreich)I Finanzierung von Sozialleistungen durch BeitrageI gemeinsame Finanzierung durch Arbeitnehmer und ArbeitgeberI starke Belastung von Arbeitseinkommen

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Typen von Wohlfahrtsstaaten

Zwei Funktionen von Wohlfahrtsstaaten:

I Versicherung gegen Risiken

I Umverteilung von Einkommen

I Hier zunachst: Konzentration auf den Versicherungsaspektsozialer Sicherungssysteme

I allerdings: klare Trennung beider Funktionen in der Realitatunrealistisch

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Annahmen des ModellsEin Steuer-Transfer-SystemAnreizwirkungen des Steuer-Transfer-Systems

Annahmen des Modells

I Unsicherheit der Einkommen der Burger (uber die gesamteLebenszeit gerechnet)

I individuell kontrollierbare Einflusse, z.B.I Investitionen in eigenes HumankapitalI individuelles Bilden von ErsparnissenI individuelles Arbeitsangebot

I nicht individuell kontrollierbare Einflusse, z.B.I konjunkturelle EinflusseI unterschiedliche Nachfrage nach spezifischem HumankapitalI Einkommensschicht der Eltern

I Risikoaversion der Burger

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Einfaches Modell:

I alle Individuen erhalten die gleiche Ausstattung h mitHumankapital

I alle Individuen mussen mit einem stochastischen Schock εrechnen

I Individuen erwirtschaften Einkommen in Hohe von y = h + εmit E [ε] = 0

I die Individuen maximieren E [u(c)]I ohne Versicherung: c = yI mit Versicherung: c = (1− t)y + z

I strikt konkave Nutzenfunktion: u′(c) > 0 > u′′(c)

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Einfaches Modell:

I vereinfachende Annahme: ε ∈ {ε0, ε1} mit ε0 < 0 < ε1.

I Eintrittswahrscheinlichkeit fur ε1: p

I erwarteter Konsumnutzen ohne Wohlfahrtsstaat:

E [u(c)] = pu(c1) + (1− p)u(c0) (1)

I und wegen Risikoaversion gilt:

u(E [c]) = u(pc1+(1−p)c0) > pu(c1)+(1−p)u(c0) = E [u(c)](2)

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aus: Corneo (2007), S. 106.

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Ein Steuer-Transfer-System

Annahmen:

I lineares Steuer-Transfer-System mit proportionalem Steuersatzt

I einheitlicher Pauschaltransfer z (ahnlich Meltzer & Richard1981)

Fragestellung: welche Politik (t∗, z∗) ist effizient?

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aus: Corneo (2007), S. 107.

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Wirkung des Steuer-Transfer-Systems:

I Bei einer großen Zahl von Individuen entspricht dasDurchschnittseinkommen dem Erwartungswert

E [y ] = h (3)

I so daß t ·E [y ] = t ·h und bei ausgeglichenem Budget z = t ·h.

I Fur den einzelnen Burger gilt

c = (1− t)y + th = y + t(h − y) (4)

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Wirkung des Steuer-Transfer-Systems:

I ex post: Nur Individuen mit y < h profitieren vom System →keine Paretoverbesserung aus dieser Perspektive!

I ex ante: Unsicherheit uber das eigene Einkommen mußberucksichtigt werden. Erwartungsnutzen eines Burgers:

E [u((1− t)(h + ε) + th)] (5)

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Das optimale Steuer-Transfer-System:

I Bedingung erster Ordnung:

dE [u]

dt= −E [(h + ε) · u′((1− t) · (h + ε) + th]

+h · E [u′((1− t) · (h + ε) + th] = 0 (6)

⇒ −{E [y · u′(c)]− E [y ] · E [u′(c)]

}= 0

⇒ −Cov [y , u′(c)] > 0 (7)

I notabene:Cov [X1,X2] = E [(X1 − µ1)(X2 − µ2) = E [X1X2]− µ1µ2

I Also: maximaler Steuersatz ist optimal → (t∗, z∗) = (1, h)

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Problem des Grundmodells in dieser Version:

I h, ε sind exogen

I keinerlei Verhaltensanpassung der Individuen an dasSteuer-Transfer-System

I realistischer: endogene Investition in das individuelleHumankapital

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Ein Modell mit Anreizwirkungen

I Modell mit zwei Phasen

U = u(c1) + E [u(c2)] (8)

Achtung: Index ist nun ein Zeitindex!

I Individuen verfugen in der ersten Phase uber eineAnfangsausstattung

k = c1 + h (9)

I Einkommen in der zweiten Phase ergibt sich wie imGrundmodell.

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Ein Modell mit Anreizwirkungen: Laissez-faire

I Mit rationalen Individuen gilt c2 = y und

U = u(k − h) + E [u(h + ε)] (10)

I Maximierung fuhrt dann zu

−u′(c1) + E [u′(c2)] = 0 (11)

I so daß fur jedes effiziente h gilt

u′(k − h) = E [u′(h + ε)] (12)

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Was ware die effiziente Losung?

I Nutzenfunktion erfordert fur ein Maximum die perfekteGlattung des Konsums: c∗1 = c∗2 .

I unter Sicherheit ware c∗2 = h∗.

I und somit

h∗ =k

2(13)

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Ein Vergleich:

I Keine Ubereinstimmung zwischen (12) und (13): OptimaleInvestitionen in Humankapital unter Laissez-faire undUnsicherheit fuhren nicht zu einer perfekten Glattung desKonsums.

I Bei sinkender absoluter Risikoaversion R(c) = −u′′(c)u′(c) wird

zuviel in individuelles Humankapital investiert.

I Grund: individuelle”Versicherung“ gegen ungunstiges ε.

I Mit sinkendem R(c): Asymmetrie zwischen positiven undnegativen Abweichungen vom Erwartungswert.

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Ein Modell mit Anreizwirkungen: Wohlfahrtsstaat

I Lineares Steuer-Transfer-System (t, z) wie oben.

I Erwarteter Nutzen:

u(k − h) + E [u((1− t)(h + ε) + z) (14)

I ...und die Bedingung erster Ordnung:

u′(k − h) = E [u′((1− t)(h + ε) + z) · (1− t)] (15)

I ...oder mit Berucksichtigung von z = th

u′(k − h) = E [u′(h + (1− t)ε) · (1− t)] (16)

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Ein Modell mit Anreizwirkungen: Wohlfahrtsstaat

Was bedeutet dies?

I Individuen passen h an den Steuersatz an: h = h(t)

I Investition in Humankapital sinkt mit steigendem SteuersatzI t = 1 ist nicht mehr die optimale Losung

I hier: sofortiger Konsum der Anfangsausstattung in der erstenPhase

I Konsumglattung ist nicht mehr moglich

I Form von moral hazard: Burger reagieren auf Besteuerung(Versicherung) mit einer verborgenen Handlung (Reduktionihrer Investition)

I Ohne dieses Problem konnte der Staat ein optimales h∗

einfach verordnen.

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Ein GrundmodellAdverse SelektionMoralisches Risiko

Eine einfache Versicherung

I Individuen konnen Einkommen y2 < y1 erzielen

I Eintrittswahrscheinlichkeit des”guten“ Zustandes: (1− π)

I Nutzenfunktion der Invdividuen:

U = (1− π)u(c1) + πu(c2) (17)

I mit c1 = y1 − qv und c2 = y2 − qv + v

I q: Versicherungspramie; v : vertraglich vereinbarte Zahlung imKrankheitsfall

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I Dies fuhrt zu

U = (1− π)u(y1 − qv) + πu(y2 + v(1− q)) (18)

I und zur Bedingung erster Ordnung:

−(1− π)qu′(y1 − qv) + π(1− q)u′(y2 + v(1− q)) = 0 (19)

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Die Angebotsseite des Marktes:

I risikoneutrale Versicherer

I vollstandige Konkurrenz

I π ist den Anbietern bekannt

I Versicherer hat aus einem Vertrag Einnahmen qv und zahltmit einer Wahrscheinlichkeit π die Entschadigung v aus.

I Nullgewinnbedingung: qv = πv

I versicherungsmathematisch fairer Pramiensatz: q = π

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Das Marktgleichgewicht:

I Einsetzen von q = π in die Bedingung erster Ordnung fuhrtzu: c1 = c2

I und damit y1 − qv = y2 + v(1− q)

I daraus folgt v = y1 − y2

I und schließlich c1 = c2 = y1 − π · (y1 − y2)I Also:

I vollstandige Versicherung des RisikosI Pramie entspricht dem erwarteten Schaden π · (y1 − y2)

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Wieso staatliche Sozialversicherungen?

Folgen von Informationsasymmetrien: adverse Selektion

I wahres Schadensrisiko einzelner Individuen nicht beobachtbar

I Versicherer formulieren ein einheitliches Angebot fur alleNachfrager

I Individuen mit geringem Schadensrisiko versichern sich nicht

I nur schlechte Risiken bleiben in der Versicherung zuruckI keine pareto-effiziente Losung:

I gute Risiken konnen ihr Risiko nicht zu akzeptablen Pramienversichern

I schlechte Risiken zahlen zu hohe Pramien

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Wieso staatliche Sozialversicherungen?

Folgen von Informationsasymmetrien: adverse Selektion

Mogliche Gegenmaßnahmen:I Differenzierte Versicherungsvertrage, z.B. mit Selbstbehalten

I screening der Versicherten durch Wahl passender VertrageI Quersubventionierung zwischen Versichertengruppen begrenzt

moglichI Problem: Risiko wird in geringerem Ausmaß uber die

Gesamtpopulation gestreut

I Abschluß von Vertragen, bevor Individuen selbst uber ihrRisiko informiert sind

I Versicherungszwang

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Das Versicherungsmodell mit asymmetrischer Information

I Zwei Gruppen von Individuen mitSchadenswahrscheinlichkeiten πB > πA

I Bei unterschiedlichen Risikoklassen in einem perfektenVersicherungsmarkt also qA = πA und qB = πB

I Asymmetrische Information:I Zugehorigkeit der Individuen zu A und B ist fur den

Versicherer nicht beobachtbarI Lediglich die Verteilung beider Typen in der Bevolkerung ist

bekanntI Es existiert also nur ein Preis fur den Versicherungsschutz

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I Konsumniveaus in den beiden Zustanden: c1 = y1 − qv undc2 = y2 + (1− q)v

I nach Einsetzen: c2 = y2 + (1− q)y1−cy

q ...

I ...und nach einigem Sortieren:

(1− q)c1 + qc2 = (1− q)y1 + qy2

⇒ c1 +

(1− q

q

)c2 = y1 +

(1− q

q

)y2 (20)

I1− q

qals

”Preis“der Ausweitung des Konsums im schlechten

Zustand, gemessen in Einheiten des Konsums im gutenZustand.

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aus: Corneo (2007), S. 126. In Z : v = 0, in P: v = y1 − y2

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I Aus den Nutzenfunktionen der Individuen mit T ∈ {A,B}folgt mittels impliziter Differentiation

uT = (1− πT )u(c1) + πTu(c2) = uT

⇒ dc2

dc1= −

(1− πT

πT

)· u′(c1)

u′(c2)(21)

I Indifferenzkurven sind fallend und konvex

I Steigung bei c1 = c2 ist stets 1−πTπT

I An jedem Punkt (c1, c2) ist die Indifferenzkurve von Typ Asteiler als die von Typ B (single crossing property)

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aus: Corneo (2007), S. 126.

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Das Versicherungsmodell mit asymmetrischer InformationWas passiert bei einem einheitlichen Versicherungsvertrag?

aus: Corneo (2007), S. 128.

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Wie verhalten sich die Anbieter?

I Gesamtnachfrage auf dem Markt: V = V A + V B . JederVersicherer j versichert Vj Einheiten Einkommen

I j erhalt Einnahmen in Hohe von qVj

I j erwartet Ausgaben in Hohe von V A

V VjπA + V B

V VjπB

I mit der Nullgewinnbedingung folgt dann

q =V A

V A + V BπA +

V B

V A + V BπB (22)

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Adverse Selektion

I Zum Einheitspreis q kaufen die Individuen der Gruppe Bzuviel Versicherung

I”Uberversicherung“: Konsum im Schadensfall ist hoher als im

Nicht-Schadensfall

I Individuen der Gruppe B sind relativ zur Losung mitdifferenzierten Marktpreisen unterversichert

I Ist ein volliges Verdrangen der guten Risiken moglich?I Beispiel: Abb. VI.4I Randlosung in A fur Individuen der Gruppe AI q = πB bleibt als versicherungsmathematisch fairer Pramie fur

die verbleibenden Versicherten

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Adverse Selektion

aus: Corneo (2007), S. 128.

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Adverse SelektionIst das Marktgleichgewicht mit adverser Selektion effizient?

I Durchschnittseinkommen in der Gruppe A:

γA ≡ (1− πA)(y1 − qvA) + πA(y2 + (1− q)vA)

= (1− πA)cA1 + πAcA

2 (23)

I Das Durchschnittseinkommen ist (bei hinreichend großer Zahlvon Individuen) keine Zufallsvariable mehr

I Umverteilungsmoglichkeiten:

cA2 =

γA

πA−

(1− πA

πA

)cA1 (24)

I Umverteilung innerhalb von A von Individuen mit gutem zuIndividuen mit schlechtem Zustanz moglich.

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Adverse Selektion

aus: Corneo (2007), S. 129.

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VertragswettbewerbWas passiert, wenn die Versicherer doch unterschiedliche Vertrageanbieten?

I Ein Vertrag j bestehen ausI einer Pramie Pj , die im Fall eines hohen Einkommens vom

Versicherten gezahlt wirdI einer Entschadigung Ej , die im Fall des niedrigen Einkommens

an den Versicherten gezahlt wird

I Vertrage sind ausschließbar: nur eine Entschadigung istmoglich

I Betrand-Wettbewerb: Anbieter legen Konditionen ihrerVertrage fest, Nachfrager entscheiden sich

I Definition eines Wettbewerbsgleichgewichtes:I Jeder Vertrag erzielt einen Gewinn von NullI Kein nicht angebotener Vertrag konnte einen positiven

(erwarteten) Gewinn erbringen, wenn er gleichzeitig mit denbereits angebotenen Vertragen angeboten wird.

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Vertragswettbewerb

I Konsummoglicheiten der Individuen bei Vertragsabschluß:

c1 = y1 − P; c2 = y2 + E (25)

I Zur Erinnerung: bei nur von einer Gruppe nachgefragtenVertragen entspricht die Nullgewinnbedingung derversicherungsmathematisch fairen Pramie fur diese Gruppe

I Abbildung 6: Screening durch ein zusatzlichesVertragsangebot {P ′,E ′}

I Problem: Anbieter fahrt Gewinne ein!

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Adverse Selektion

aus: Corneo (2007), S. 132.

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Adverse SelektionNicht-Existenz eines Pooling-Gleichgewichtes:

aus: Corneo (2007), S. 133.

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Adverse SelektionAlso: Wenn ein Gleichgewicht existiert, dann muß es eintrennendes Gleichgewicht sein.

aus: Corneo (2007), S. 135.48 / 56




Adverse Selektion

Aber: mogliche Nicht-Existenz eines Gleichgewichtes

I Aggregierte Wahrscheinlichkeit eines niedrigen Einkommens inder gesamten Bevolkerung:

π = λπA + (1− λ)πB (26)

mit λ als Anteil der guten Risiken in der Bevolkerung.

I Steigt λ, so dreht sich die Gerade mit der Steigung−(1− π)/π nach rechts...

I ...und schneidet irgendwann die durch A verlaufendeIndifferenzkurve der guten Risiken

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Adverse Selektion

aus: Corneo (2007), S. 136.

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Adverse Selektion

Aber: mogliche Nicht-Existenz eines Gleichgewichtes

I In der schraffierten Flache konnen Vertrage angebotenwerden, die das trennende Gleichgewicht aufheben

I Diese Vertrage sind mit Gewinnen verbunden: impliziter Preisq ist hoher als π

I Diese Situation kann allerdings kein Gleichgewicht sein

I Resultat: der Versicherungsmarkt bricht zusammen

I Individuen konnen sich letztendlich gar nicht mehr versichern

I Losung: Staatlicher Versicherungszwang und Angeboteiner fur die Gesamtbevolkerung fairen Losung S

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Adverse SelektionBei Existenz eines trennenden Gleichgewichtes:

aus: Corneo (2007), S. 140.Effiziente staatliche Quersubventionierung der schlechtenRisiken

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Adverse SelektionBei Existenz eines trennenden Gleichgewichtes:

aus: Corneo (2007), S. 140.Effiziente staatliche Grundsicherung mit privaterZusatzversicherung

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Ein weiteres Problem: moralisches Risiko

Folgen von Informationsasymmetrien: ex ante moral hazardI Beispiel: Arbeitslosenversicherung

I Risiko der Arbeitslosigkeit ist nicht exogenI freiwillige Arbeitslosigkeit ist grundsatzlich moglich

I Problem nimmt mit dem Grad der Absicherung gegen dasversicherte Risiko zu

I Folge bei privaten Vertragen: geringeres Ausmaß derAbsicherung relativ zu einer Welt ohne ex ante moral hazard

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Ein weiteres Problem: moralisches Risiko

Folgen von Informationsasymmetrien: ex post moral hazard

I Die wahren Kosten sind beim Eintritt des Schadensfalls furden Versicherer nicht perfekt kontrollierbar

I Beispiel: angebotsinduzierte Nachfrage im Gesundheitswesen

I Problem: Kosten der Versicherung sind hoher als die eigentlichversicherungsmathematisch gerechtfertigte Pramie(Zusammenspiel mit adverser Selektion)

I Losungen: z.B. managed care, andere Formen vertikalerIntegration, Fallpauschalen

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Fazit

Adverse Selektion, ex post und ex ante moral hazard:

I graduelles Problem: bei allen versicherten Risiken mehr oderweniger vorhanden

I besonders problematisch allerdings bei typischerweise vomStaat versicherten Risiken

I ArbeitslosigkeitI Krankheit, PflegeI Alter?

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