1Technische Universität WienInstitut für Computergraphik und Algorithmen

Wie lösen wir ILPs exakt?

Branch-and-Bound

Schnittebenen-verfahren

Branch-and-Cut

AcyclicSubgraph

TSP

2Technische Universität WienInstitut für Computergraphik und Algorithmen

Zielfunktion

IP Optimum

Ganzzahliges Lineares Programm

Abrunden der optimalenLösung der LP-Relaxierung

ZulässigeLösungen

y

x

Optimum derLP Relaxierung

3Technische Universität WienInstitut für Computergraphik und Algorithmen

Branch-and-Bound

Zerlegung in Teilprobleme Berechnung oberer und unterer Schranken

Löse erste Relaxierung ! obere Schrankezulässig? ! optimal

Sonst: Partitioniere in Teilprobleme • Löse Relaxierung

! Lsg. (a) ganzzahlig oder (b) unzulässig oder (c) neue, evtl. schärfere, obere Schranke

• Fall (c) ! eventuell rekursive Aufteilung

4Technische Universität WienInstitut für Computergraphik und Algorithmen

Branch-and-Bound

Vernünftige Aufteilungsstrategie und endliche Lösungsmenge ! endliche Anzahl Schritte

Ergibt Branch-and-Bound-Baum• Knoten = Teilproblem• Söhne = Partitionierung des

Vaterproblems

Intelligente Enumeration Permanent Gütegarantie, bei

Termination beweisbar optimal

5Technische Universität WienInstitut für Computergraphik und Algorithmen

Branch-and-Bound

Betrachte das folgende ILP:

Max x + y + 2z

Subject to 7x + 2y + 3z 36

5x + 4y + 7z 42

2x + 3y + 5z 28

x, y, z 0, ganzzahlig

(IP0)

LP-Relaxierung

6Technische Universität WienInstitut für Computergraphik und Algorithmen

IP011

511obj

11

15

011

31

z

y

x

IP2 IP1

1x 2x

10obj

402

Bester IP-Wert

Beste IP-Lösung

4.11obj

2.501

402

10/

Integral

IP4 IP3

5z 6z

Unzulässig

3

111obj

53

11

11obj

501

0y 1y

IP6 IP5

/ 11

501

Integral

2.11obj

6.411

IP8 IP7

4z 55 zz

11obj

421

Obj. · bestem gefundenen Wert

11obj

510

Obj. · bestem gefundenem Wert

Branch-and-Bound für ILPs: Beispiel

Löse LP-Relaxierung

Max x + y + 2z

Subject to 7x + 2y + 3z 36

5x + 4y + 7z 42

2x + 3y + 5z 28

x, y, z 0, ganzzahlig

Garantie 87,3%

87,7%

88,2%

98,2%

100%

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Branch-and-Bound

Eingabe: Gemischt-ganzzahliges lineares Programm (A, b, c, N1)

Ausgabe: Lösung von (MIP=) oder Beweis der Unlösbarkeit

8Technische Universität WienInstitut für Computergraphik und Algorithmen

P0 = {x j Ax = b, x ¸ 0, xi ganzzahlig 8 i 2 N1}

U = -1

K := {P0} (Liste der offenen Probleme)

x = NIL (beste Lösung)

ja

K = ;?

Löse Relaxierung von (MIPj

=)(Bounding)

x* ist Optimallö-sung mit Wert c*

c* · U?

U = c*, x = x*

ja

U = -1 ! MIP= hat keine Lösung

U ¸-1 ! x ist Optimallösung mit Wert U

ja

xi* 2 Z

8 i 2 N1?

nein

Wähle Pj 2 K,K = K – {Pj}(Branching)

nein

Wähle i 2 N1 mit x*i Z

K += (Pj Å {x j xi · bx*ic})

+ (Pj Å {x j xi ¸dx*ie})

nein

9Technische Universität WienInstitut für Computergraphik und Algorithmen

Branch-and-Bound

Analyse:• (LMIP=) unzulässig oder unbeschränkt !

B&B bricht ab mit korrektem Ergebnis

• (LMIP=) hat endliches Optimum und P0 ; ! endlich viele Schritte zur Optimallösung

• (LMIP=) hat endliches Optimum und P0 = ; ! Abbruch durch Zusatzrestriktionen

Praxis:• Beschränkung der Baumgröße meist

notwendig• ! Branch-and-Cut ! später