Extremwertaufgaben

1. Aus einem Draht der Länge l = 72 cm soll ein Kantenmodell eines Quaders

hergestellt werden, der eine quadratische Grundfläche und ein möglichst

großes Volumen haben soll.

Bestimmen Sie die Länge der Kanten des Quaders.

2. Aus einem rechteckigen Kartonblatt mit den Seiten 32 cm und 20 cm sollen

an den Ecken kongruente Quadrate herausgeschnitten werden.

Durch Aufklappen der entstehenden Rechtecke soll eine oben offene

Schachtel mit maximalem Volumen entstehen.

Berechnen Sie die Seite der herausgeschnittenen Quadrate und den

Maximalwert des Volumens.

3. Aus einer kreisförmigen Rasenfläche mit dem Radius r = 5 LE soll für ein Blumenbeet

eine rechteckige Fläche mit den Seiten a und b so ausgestochen werden, dass dieses

Rechteck dem Kreis einbeschrieben ist (siehe Skizze).

Die von a abhängige Maßzahl des Flächeninhalts des Rechtecks wird mit A(a) bezeichnet.

Berechnen Sie, wie lang die Seite a sein muss, damit die Größe g(a) = (A(a))2 (und damit

auch A(a)) den absolut größten Wert annimmt und ermitteln Sie auch die absolut größte

Flächenmaßzahl. Interpretieren Sie das Ergebnis geometrisch.

(Teilergebnis: 42100)( aaag -= ) (Abitur NT 1999 A II)

4.0 Bei zylinderförmigen Behältern mit Höhe h und Radius r (Seitenansicht siehe

nebenstehende Skizze) ist QR=12 dm konstant. (Einheiten bleiben unberücksichtigt.)

4.1 Stellen Sie die Maßzahl des Volumens V(h) des Behälters in Abhängigkeit von der Höhe

h dar und geben Sie eine sinnvolle Definitionsmenge DV der zugehörigen Funktion V an.

(Mögliches Teilergebnis: )364

()(3

hh

hV +-×=p )

4.2 Bestimmen Sie h ( VDhÎ ) so, dass das Volumen den absolut größten Wert annimmt.

Bestimmen Sie für diesen Fall auch den Radius r des Behälters sowie das maximale

Volumen Vmax (Abitur NT 2002 A II).

5. Der Kelch eines Eisbechers soll die Form eines auf der Spitze stehenden geraden

Kreiskegels erhalten (siehe Skizze des Achsenschnittes; die Dicke der Glaswand

werde vernachlässigt). Die Längenmaßzahl der Mantellinie s des Kegels beträgt 12.

Stellen Sie die Volumenmaßzahl V(h) des Kegels in Abhängigkeit von der Kegelhöhe

h dar und geben Sie die Definitionsmenge DV der Funktion )(: hVhV ® an.

Weisen Sie nach, dass die Volumenmaßzahl V(h) für 341 =h ihren absoluten

größten Wert annimmt. Zeigen Sie außerdem, dass in diesem Fall die Längenmaßzahlen

von Radius r1 und Höhe h1 des Kegels im Verhältnis 1:2 stehen (Abitur NT 2000 AI).

(Mögliches Teilergebnis: ÷ø

öçè

æ +-= hh

hV 483

)(3

p )

6.0 Ein Gewächshaus soll in Form eines Quaders mit aufgesetztem Halbzylinder aufgebaut werden und einen vorgegebenen Rauminhalt V haben. Der Radius des Halbzylinders wird mit r bezeichnet, die Grundfläche ist ein Rechteck mit Breite 2r und der Länge 4r (siehe Skizze). Die von r abhängige Maßzahl der gesamten Außenfläche wird mit A(r) bezeichnet (Abitur T 2002 AII).

6.1 Zeigen Sie, dass bei vorgegebenem Volumen V gilt:

A(r) =3V2r

+ 2 × p × r 2

6.2 Für das Gewächshaus steht ein Heizgerät für ein Volumen mit der Maßzahl 300 zur Verfügung. Berechnen Sie den Radius r, für den das geplante Gewächshaus mit diesem Volumen die absolut kleinste Außenfläche besitzt. 7.0 Eine Firma stellt Pflanztröge aus Holz her. Diese haben die Form eines oben offenen geraden Prismas, dessen Grundfläche ein regelmäßiges Sechseck mit der Seitenlänge a in cm ist (siehe Skizze). Das Volumen eines solchen Trogs beträgt 100 Liter. Die gesamte Innenfläche soll mit einer wasserdichten Folie bezogen werden (Abitur T 2003 AI).

7.1 Zeigen Sie, dass für den von a abhängigen Flächeninhalt A(a) dieser Folie gilt:

A(a) =3

2× 3 × a2 +

400000

3 × a

7.2 Berechnen Sie a so, dass die Folie des Troges die minimale Fläche hat. Runden Sie ihr Ergebnis auf eine Nachkommastelle. 8.0 Die Abmessungen einer oben offenen zylinderförmigen Tonne sollen so gewählt werden, dass bei festem Volumen V der Tonne der Materialverbrauch möglichst gering wird. Die Dicke des Materials ist vorgegeben und wird bei der Rechnung nicht berücksichtigt. Der Radius der kreisförmigen Grundfläche wird mit r, die Höhe der Tonne mit h bezeichnet. (Abitur 2004 AII) 8.1 Ermitteln Sie die Formel für die äußere Oberfläche O in Abhängigkeit vom Radius r und geben Sie eine sinnvolle Definitionsmenge von O(r) an.

(Teillösung: O(r) = r 2p +2Vr

)

8.2 Bestimmen Sie den Radius r0 so, dass die Oberfläche O(r0) ein absolutes Minimum annimmt. 8.3 Berechnen Sie auf Millimeter gerundet die Abmessungen der Tonne mit minimalem Materialverbrauch, deren Volumen 100 Liter beträgt. 9.0 Häufig werden Getränke in quaderförmige Behälter abgefüllt, deren Grundfläche ein Quadrat mit der Seitenlänge a ist und deren Höhe mit h bezeichnet wird. Ein solcher Behälter wird aus einem rechteckigen Stück Karton, wie es nebenstehend skizziert ist, hergestellt. Zunächst wird dazu ein an beiden Enden offener Quader gefaltet. Dann werden aus den überstehenden Stücken der Boden und das Oberteil gefalzt. Aus Stabilitätsgründen werden durch den grau dargestellten Streifen der Breite 1,0 cm Überlappungen erzeugt. Es soll ein Behälter mit dem Volumen V = 1000 cm3 hergestellt werden, für den der Materialverbrauch, d.h. der Flächeninhalt des skizzierten Kartons, minimal ist. Die Größen a und h sollen dabei die Einheit cm haben; bei den folgenden Berechnungen soll auf die Mitführung der Einheiten jedoch verzichtet werden. (Abitur 2005 AI)

9.1 Zeigen Sie, dass für den in Abhängigkeit von a dargestellten Flächeninhalt F(a) des

skizzierten Kartons gilt: F(a) = 4a2 + 9a+ 2 +4000

a+

1000

a2 mit a Î R Ù a > 0.

9.2 Zeigen Sie, dass der Ansatz dF (a)

da= 0 zu folgender Gleichung führt:

8a4 + 9a3 - 4000a- 2000 = 0 9.3 Zeigen Sie unter der Annahme, dass es keine weitere positive Lösung dieser Gleichung gibt (Nachweis nicht erforderlich), dass für a » 7,75 der Flächeninhalt F(a) seinen absolut kleinsten Wert annimmt. Berechnen Sie für diesen Fall auch die Höhe h des Behälters sowie die Abmessungen des skizzierten Kartons. 10.0 Eine Rinne soll aus drei gleichen Brettern bestehen und ihr Querschnitt die symmetrische Form wie in der Skizze haben. Die vorgegebene Breite jedes dieser Bretter wird mit b bezeichnet, h ist die Höhe dieser Rinne und der Winkel, den die seitlich angebrachten Bretter mit der Waagrechten einschließen. Die von abhängige Querschnittsfläche der Rinne wird mit A(bezeichnet. Dabei wird die Brettstärke vernachlässigt und es gilt: 0° < < 90° (Abitur T 2005 AII).

10.1 Bestimmen Sie A() und zeigen Sie, dass gilt: dA()

d= b2 × [2 × (cos)2 + cos -1]

10.2 Ermitteln Sie unter Verwendung der Substitution u= cos den Winkel , für den der Querschnitt und damit das Fassungsvermögen der Rinne möglichst groß werden. 11.0 Eine geradlinige Straße führt von einem Punkt A zu einem Punkt C. Vom Punkt C aus erreicht man auf kürzestem, aber unbefestigtem Weg eine Waldhütte im Punkt D. Für die Entfernungen gelten: l = AC und s = CD. Ein Wanderer möchte in möglichst kurzer Zeit von A nach D gelangen. Zunächst wandert er ein Stück auf der Straße mit der konstanten Geschwindigkeit v1. An einer Stelle B verlässt er dann die Straße und geht von dort auf geradlinigem Weg unter dem Winkel e zur ursprünglichen Wegrichtung quer durchs Gelände nach D und zwar mit der konstanten Geschwindigkeit v2 (siehe Skizze). (Abitur 2007 AII)

11.1 Zeigen Sie, dass für die von der Stelle B und dem zugehörigen Winkel e abhängige Gesamtzeit T(e), die man für diesen Weg von A über B nach D benötigt, gilt:

T(e) = l

v1

-s× cosev1 × sine

+s

v2 × sine

11.2 Zeigen Sie, dass für die Ableitungsfunktion von T(e) gilt:

dT(e)de

=s

v1 × v2

×v2 - v1 × cose

(sine)2

Die vorliegenden Wegstrecken bzw. Geschwindigkeiten betragen

l = 7,1 km, s= 4,1 km, v1 = 5,0kmh

und v2 = 2,5kmh

11.3 Berechnen Sie jeweils, wie lange die Wanderung von A nach D dauern würde, wenn der Wanderer die Straße schon im Punkt A bzw. erst im Punkt C verlassen würde. 11.4 Bestimmen Sie, für welchen Winkel e0 die Zeit T(e) ihren absolut kleinsten Wert annimmt und berechnen Sie T(e0).

12.0 Der Kelch eines Eisbechers soll die Form eines auf der Spitze stehenden geraden Kreiskegels erhalten (siehe Skizze). Das vorgegebene Innenmaß der Mantellinie wird mit s und der „halbe“ Öffnungswinkel mit bezeichnet.

Für gilt 0° < < 90° (Abitur 2008 AII). 12.1 Stellen Sie die Volumenmaßzahl V() des Kelchs in Abhängigkeit von dar.

(Mögliches Ergebnis: V() =p3× s3 × (sin)2 × cos)

12.2 Bestimmen Sie ohne Verwendung der zweiten Ableitung den Winkel so, dass der Kelch das größtmögliche Volumen besitzt. 13.0 Mit Hilfe einer Konvexlinse (Sammellinse) wird von einem selbstleuchtenden, links von der Linse stehenden Gegenstand auf einem Schirm rechts von der Linse ein reales, scharfes Bild erzeugt. Der Abstand des Gegenstands von der Linsenmitte heißt dabei Gegenstandsweite g, der Abstand des Schirms von der Linsenmitte heißt Bildweite b.

Der Zusammenhang zwischen diesen Größen ist durch die Linsenformel 1

g+

1

b=

1

f

gegeben, wobei mit f die Brennweite der Linse bezeichnet wird. Um ein reales Bild zu erzeugen, muss die Gegenstandsweite größer als die Brennweite sein. Der Versuchsaufbau soll in einem Schaukasten einer Schule gezeigt werden. Die Brennweite der verwendeten Linse beträgt f = 50 mm. Die Einheit kann für die Berechnungen weggelassen werden. (Abitur 2011 AII) 13.1 Zeigen Sie, dass für den gesamten Platzbedarf a = g + b in Abhängigkeit von der

Gegenstandsweite g folgender funktionaler Zusammenhang besteht: a(g) =g2

g- 50.

13.2 Bestimmen Sie eine geeignete Definitionsmenge Da, wenn der Platzbedarf a durch die Länge des Schaukastens mit 3000 mm begrenzt ist. 13.3 Beweisen Sie, dass es eine Gegenstandsweite g0 gibt, für die der Platzbedarf a minimal wird, berechnen Sie g0 sowie den minimalen Platzbedarf a(g0) und ermitteln Sie, welcher besondere Zusammenhang zwischen g0 und der zugehörigen Bildweite b0 besteht.

Lösungen

1. baVQuader ×= 2

abbaQuadersdesUmriss 2187248 -=Þ=+=

322 218)218( aaaaV -=-×=Þ [9;0]Îa Bestimmung des maximalen Volumens:

600)6(60636636)( 22 ==Þ=-Þ=-Þ-= aundaaaaaaa

da

adV

d2V(a)

da2= 36 -12a Þ

d2V

d2a(0) > 0 und

d2V

d2a(6) < 0

Þ Maximum für a = 6 Die Funktion V(a) hat im Bereich ]0;9[ nur einen relativen Hochpunkt, also tritt keine weitere Änderung des Monotonieverhaltens auf Þ a = 6 ist absolutes Maximum; Der Quader hat die Kanten a = 6 cm und b = 6 cm und sein Volumen beträgt 216 cm3.

2. aaaaaaaaVQuader ×+--=×-×-= )46440640()220()232()( 2

aaa 6401044 23 +-= [10;0]Îa

Bestimmung des maximalen Volumens:

3

113406402081264020812

)( 22 ==Þ=+-Þ+-= aundaaaaada

adV

d2V(a)

da2= 24a - 208 Þ

d2V

d2a(4) < 0

ÞMaximum für a = 4 Die Funktion V(a) hat im Bereich ]0;10[ nur einen relativen Hochpunkt, also tritt keine weitere Änderung des Monotonieverhaltens auf Þ a = 4 ist absolutes Maximum; Die Seitenlänge der herausgeschnittenen Quadrate beträgt 4 cm und das maximale

Volumen beträgt 33 11524)4220()4232( cmcm =××-××-

3. baA ×= Mit dem Satz von Pythagoras (im rechtwinkligen Teildreieck) folgt:

] [

50500

0)50(4042004200)(

10;0100)(:5

)4()())((4)(

4)2(

321

233

42

222222

2222

-===Þ

=-Þ=-Þ-=

=-==Þ

-×==-×=

-=-=

aaa

aaaaaada

adg

DaaAgrmit

araagaAaraaA

ararb

g

a1 und a3 sind nicht im Definitionsbereich

d2g(a)

da2= 200 -12a2 Þ

d2g

d2a( 50) = 200 -12 ×50 = -400 < 0

ÞMaximum für a = 50

Die Funktion g(a) hat im Definitionsbereich nur ein Extrema (Hochpunkt), somit tritt keine weitere Änderung des Monotonieverhaltens im angegebenen Bereich auf und damit ist das relative Maximum auch das absolute Maximum für g(a) und damit auch für A(a).

Absolut größter Flächeninhalt: 505010050)50( =-×=A

Geometrische Interpretation: Das Rechteck mit der absolut größten Flächenmaßzahl 50 ist ein Quadrat mit der

Seitenlänge 50 .

4.1 Volumenmaßzahl V des Zylinders: hrV ××= p2 Mit dem Satz von Pythagoras ergibt sich:

pp ×+-=××-=Þ

-=Þ-=Þ=+

)364

()4

36()(

436144412)2(

32

2222222

hh

hh

hV

hrhrhr

Definitionsmenge: V(h) muss größer Null sein

] [12;0:0

12121214401440

0)144(4

0)364

(

22

23

=>

<<-Þ<Þ<Þ>+->Þ

>+-Þ>×+-

VDgilthwegen

hhhhundh

hh

hh p

4.2

3448344848

0)364

3(0)36

4

3()36

4

3(

)(

21

2

222

-=-===Þ=Þ

=+-Þ=×+-Þ×+-=

hhh

hhhdh

hdV pp

h2 ist nicht im Definitionsbereich

d2V(h)

dh2= -

6

4h ×p Þ

d2V

d2h(4 3) = -

6

4×4 3 ×p < 0

ÞMaximum für h = 4 3

Die Funktion V(h) hat im Definitionsbereich nur einen Extrempunkt (Maximum), somit tritt keine weitere Änderung des Monotonieverhaltens im angegebenen Bereich auf und damit ist das relative Maximum auch das absolute Maximum. Berechnung des größten Volumens:

37,522396)34364

)34(()34(

3

»×=××+-= ppV

Für den zugehörigen Radius gilt:

6224

242412364

4836

4

)34(36

22

==Þ

±=Þ=-=-=-=

r

rr

5. hrVKegel ×= )(3

1 2p

Mit dem Satz des Pythagoras ergibt sich: 222 shr =+

Mit s = 12 folgt 22 144 hr -=

)144(3

1)144(

3

1)( 32 hhhhhV +-=×-=Þ pp

Definitionsmenge: V(h) muss größer 0 sein

] [ )0(12;0

1212121440144 22

>=Þ

<<-Þ<Þ>Þ>+-

hdaD

hhhh

V

)(3434

344848

014430)1443(3

1)1443(

3

1)(

21

2

222

VDhh

hh

hhhdh

hdV

Ï-==Þ

==Þ=Þ

=+-Þ=+-Þ+-= pp

d2V(h)

dh2=

1

3p(-6h) Þ

d2V

d2h(4 3) =

1

3p(-6 × 4 3) < 0

ÞMaximum für h = 4 3

Die Funktion V(h) hat im Definitionsbereich nur einen Extrempunkt (Maximum), somit tritt keine weitere Änderung des Monotonieverhaltens im angegebenen Bereich auf und damit ist das relative Maximum auch das absolute Maximum.

64969648144144: 1

2

1

2

1

2

1 ==Þ=-=Þ-= rrhrgiltEs

)0,642 >-= rdamöglichnichtr

Verhältnis: 1

2

3

32

3

6

34

64

1

1 =×

===h

r

6.1

A = 2 × 4r × h+ 2 × 2r × h+ r 2p + rp × 4r =12rh+ 5r 2p

V =VQuader +VHalbzylinder = 4r × 2r × h+1

2× r 2p × 4r = 8r 2h+ 2r 3p

V = 8r 2h+ 2r 3p Þ 8r 2h =V - 2r 3p Þ h =V - 2r 3p

8r 2

Þ A(r) =12r ×V - 2r 3p

8r 2 + 5r 2p =3V - 6r 3p

2r+ 5r 2p =

3V2r

- 3r 2p + 5r 2p =3V2r

+ 2r 2p

6.2

V = 300 Þ A(r) =900

2r+ 2r 2p =

450

r+ 2r 2p

dA(r)dr

= -450

r 2 + 4rp

Þ-450

r 2+ 4rp = 0 Þ -450 + 4r 3p = 0 Þ r 3 =

225

2p Þ r =

225

2p 3 » 3,3

Art des Extremums :

d2A(r)dr 2

= 900

r 3+ 4p Þ d2A(r)

dr 2r = 225

2p 3 > 0 Þ relatives Minimum für r =

225

2p 3

Da A(r) nur einen relativen Extremwert (Minimum) besitzt, tritt keine weitere Änderung

des Monotonieverhaltens auf und damit ist r =225

2p 3 absolutes Minimum.

7.1

A = ASech seck + 6 × ARechteck =32a2 3 + 6 × a× h (ASechseck siehe Formelsammlung)

V =3

2a2 3 × h Þ h =

2V

3 3 × a2

Þ A(a) = 32a2 3 + 6 × a× 2V

3 3 × a2= 3

2a2 3 + 4V

3 × a

Þ A(a) =3

2a2 3 +

400000

3 × a mit a > 0 (100 Liter =100dm3 =100000cm3)

7.2

dA(a)

da= 3 3 × a-

400000

3 × a2

Þ 3 3 × a-400000

3 × a2= 0 Þ 9a3 - 400000 = 0 Þ a=

4000009

3 » 35,4

Art des Extremums :

d2A(a)

da2 = 3 3 +800000

3 × a3

Þ d2A(a)da2

a= 4000009

3 > 0 Þ Minimum für a= 4000009

3

Da A(a) nur einen relativen Extremwert (Minimum) besitzt, tritt keine weitere Änderung

des Monotonieverhaltens auf und damit ist a=400000

93 absolutes Minimum.

8.1

O= r 2p + 2rph

V = r 2ph Þ h =Vr 2p

ÞO(r) = r 2p + 2rp × Vr 2p

= r 2p +2Vr

DO : r > 0

8.2

dO(r)dr

= 2rp -2Vr 2

Þ 2rp -2Vr 2 = 0 Þ 2r 3p - 2V = 0 Þ r =

Vp

3

Art des Extremums :

d2O(r)dr 2

= 2p +4Vr 3

Þ d2O(r)dr 2

r = Vp

3 > 0 Þ relatives Minimum für r = Vp

3

Da O(r) nur einen relativen Extremwert (Minimum) besitzt, tritt keine weitere Änderung

des Monotonieverhaltens auf und damit ist r =Vp

3 absolutes Minimum.

8.3

r0 = r =

100

p3 = 3,17dm= 317mm

h =V

r02p

=100

(3,17)2 × p= 3,17dm= 317mm

9.1

F = (4a+1) × (h+ 2 × 0,5a+ 2 ×1) = (4a+1) × (h+ a+ 2)

V = a2 × h Þ h =V

a2=

1000

a2

Þ F(a) = (4a+1) × (1000

a2+ a+ 2) =

4000

a+ 4a2 + 8a+

1000

a2+ a+ 2 =

4a2 + 9a+ 2 +4000

a+

1000

a2 mit a Î R Ù a > 0

9.2

dF(a)

da= 8a+ 9 -

4000

a2 -2000

a3

Þ 8a+ 9 - 4000

a2- 2000

a3= 0 Þ 8a4 + 9a3 - 4000a- 2000 = 0

9.3

dF(a)

da= 0 Þ a » 7,75 einziges Extremum nach Voraussetzung

Art des Extremums :

d2F(a)

da2= 8 +

8000

a3+

6000

a4

Þd2F(a)

da2 a= 7,75 > 0 Þ relatives Minimum für a = 7,75

Da F(a) nur einen relativen Extremwert (Minimum) besitzt, tritt keine weitere Änderung

des Monotonieverhaltens auf und damit ist a= 7,75 absolutes Minimum.

Þ h =1000

(7,75)2 »16,65

Abmessungen des Kartons : l = 4 × 7,75 +1 = 32cm b =16,65 + 7,75 +2 = 26,4cm

10.1

ATrapez =a+ c

2× h a= b c = b+ 2 ×b× cos

Þ A() =b+ b+ 2bcos

2× h = (b+ bcos) × bsin = b2(1+ cos) × sin

ÞdA()

d= b2 × -sin × sin + (1+ cos) × cos[ ] = b2 × -(sin)2 + cos + (cos)2[ ]

mit (sin)2 + (cos)2 =1 folgt : - (sin)2 = (cos)2 -1

ÞdA()

d= b2 × (cos)2 -1+ cos + (cos)2[ ] = b2 × 2(cos)2 + cos -1[ ]

10.2

ÞdA()

d= b2 × 2(cos)2 + cos -1[ ] = 0 Þ 2(cos)2 + cos -1= 0

Substitution : u = cos

Þ 2u2 + u-1= 0 Þ u1 =1

2 u2 = -1

Resubstitution : 1) cos =1

2 Þ = 60° ( = 300°) Ï DA

2) cos = -1 Þ ( =180°) Ï DA

Art des Extremums :

d2A()d 2

= b2 × 4 cos × (-sin) - sin[ ]

Þd2A()

d 2 = 60° < 0 Þ relatives Maximum für = 60°

Da A() in DA nur ein relatives Extremum (Maximum) hat,

tritt keine weitere Änderung des Monotonieverhaltens auf und

somit ist = 60° absolutes Maximum

11.1

Es gilt : v =Ds

Dt ÞDt =

Dsv

T(e) =ABv1

+BDv2

=l - BCv1

+BDv2

=lv1

-BCv1

+BDv2

s= BD × sine Þ BD =s

sine

BC = BD × cose = ssine

× cose = s× cosesine

Þ T(e) = l

v1

-s× cosev1 × sine

+s

v2 × sine

11.2

dT(e)de

= 0-sv1

×-sine × sine - cose × cose

(sine)2+sv2

×0 -1× cose

(sine)2=

=sv1

×(sine)2 + (cose)2

(sine)2-sv2

×cose

(sine)2=sv1

×1

(sine)2-sv2

×cose

(sine)2=

=s× v2 - s× v1 × cosev1 × v2 × (sine)2 =

sv1 × v2

×v2 - v1 × cose

(sine)2

11.3

TA =

AD

v2

=l 2 + s2

v2

=(7,1)2 + (4,1)2

2,5» 3,3h

TC =lv1

+sv2

=7,1

5,0+

4,1

2,5» 3,1h

11.4

dT(e )

de= 0 Þ v2 - v1 × cose = 0 Þ cose =

v2

v1

=2,5

5,0=

1

2 Þe = 60°

T(60°) =7,1

5,0-

4,1 × cos60°5,0 × sin 60°

+4,1

2,5 × sin 60°» 2,8h

TA » 3,3h T(90°) » 3,1h

Da die Funktion T(e ) im Bereich [emin;90°] (emin ist wegen s < l kleiner als 60°)

nur ein Extremum hat, tritt in diesem Bereich keine weitere Änderung

des Monotonieverhaltens auf Þe=60° ist absolutes Minimum

12.1

VKegel =13× r 2 × p × h

sin =rs

Þ r = s× sin cos =hs

Þ h = s× cos

ÞV() =1

3× (s× sin)2 × p × (s× cos) =

p3× s3 × (sin)2 × (cos)

12.2

dV()d

= p3× s3 × [2sin × cos × cos + (sin)2 × (-sin)] =

p3× s3 × sin × [2(cos)2 - (sin)2] =

p3× s3 × sin × [2(cos)2 - (1- (cos)2)] =

p3× s3 × sin × [3(cos)2 -1]

dV()

d= 0 Þ 3(cos)2 -1= 0 sin ¹ 0,weil 0°< < 90°

Þ (cos)2 =1

3 Þ cos = ±

3

3 Þ » 54,74° wegen 0°< < 90°

Skizze von dV()

d:

p3× s3 × sin positiv für 0°< < 90°

Skizze von 3(cos)3 -1:

Þ = 54,74° ist Maximum

Da V() im Bereich 0°< < 90° nur ein Extremum (Maximum) besitzt,

tritt in diesem Bereich keine weitere Änderung des Monotonieverhaltens

auf Þ absolutes Maximum für = 54,74°

13.1

1

g+

1

b=

1

f Þ

1

g+

1

b=

1

50 Þ

1

b=

1

50-

1

g

Þ1

b=g- 50

50 × g Þ b =

50 × gg- 50

Þ a(g) = g+50 × gg- 50

=g × (g- 50)+ 50g

g- 50=g2 - 50g+ 50g

g- 50=

g2

g- 50

13.2

g > 50 damit b > 0 gilt

g2

g- 50< 3000 Þ g2 < 3000(g- 50) Þ g2 - 3000g+150000 < 0

g2 - 3000g+150000 = 0 Þ g1/2 =3000 ± 9000000 - 600000

2»

3000 ± 2898,28

2 Þ g1 » 2949,14 g2 » 50,86

Skizze von (g2 - 3000g+150000) :

Þ Da = 50,86;2949,14] [

13.3

da(g)

dg=

2g × (g- 50)- g2 ×1(g- 50)2

=g2 -100g

(g- 50)2

da(g)

dg= 0 Þ g2 -100g = 0 Þ g(g-100) = 0 Þ (g1 = 0)ÏD g2 = 100

Skizze von da(g)

dg: Nenner immer positiv

Skizze von (g2 -100g) :

Þ g = 100 ist Minimum

Da a im Bereich 50,86;2949,14] [ nur ein Extremum (Minimum) aufweist,

tritt in diesem Bereich keine weitere Änderung des Monotonieverhaltens auf

Þ absolutes Minimum für g = 100

a(g0 ) = a(100) =1002

100 - 50= 200

b0 =50 ×100

100 - 50= 100 Þ b0 = g0

Die Linse steht also für diesen Fall genau in der Mitte zwischen

Gegenstand und Bildschirm.