Zur Existenz von Minimall6sungen

zweifach-unendlicher dreigliedriger tinearer Rekursionen

vom PoincareLperronschen Ty_p

DIETER SCHMIDT

Vorgelegt yon J. MEIXNER

O. Einleitung Wir bctrachtcn im folgenden die zweifach-unendliche dreigliedrige lineare

Rekursion

(0.1) ~1,.+iv.+1+~o..V.+~_1,._iv._1=O (n . . . . . - 1 , 0 , 1 .... ).

Die Koeffizienten ~,,. sind komplexe Zahlen. Bei geeignetem asymptotischcn Verhalten der Folgen {~..}.= _+~ (t= - l , 0, I) ffir Inl ~ crh~ilt man mit Hilfe des Poincardschen Satzes in der Thcorie der Differenzcngleichungen (vgl. hicrzu z .B.F.W. SCHAFKE, [4]) eine Typeneinteilung der L6sungen {v,}, = _+~.

Unter den Lfsungen zu (0.1) sind die sogenannten ,,Minimall6sungen" von besonderer Bedeutung. Das Ziel unserer Untersuchung ist die Herleitung eines Kriteriums, das das Auftreten von Minimall6sungen vollsttindig charakterisiert.

Dazu fassen wir die Rekursion (0.1) als homogenes lineares Gleichungssystem auf. Die Koeffizientenmatrix ist eine zweifach-unendliche Tridiagonalmatrix. Unter geeigneten Forderungen an das asymptotische Verhalten der Folgen {~ ~ + o~ beweisen wir die Existenz einer Determinante ftir die Koeffizienten- | , n ) n = - - ~

matrix. Sie wird als Grenzwert einer Folge yon Abschnittsdeterminanten definiert. Zur Frage der Existenz von MinimallSsungen erhalten wit: ,,Eine Minimal-

1/3sung zu (0.1) existiert genau dann, wenn die Determinante der zugehSrigen Koeffizientenmatrix verschwindet".

Determinanten zweifach-unendlicher Matrizen des bier betrachteten Typs sind anscheinend bisher nicht untersucht worden. Sie kSnnen als Verallgemeinerungen entsprechender Hillscher Determinanten fiir zweifach-unendliche Tridiagonal- matrizen angesehen werden (vgl. z .B.E.T.H. WHITTAKER & G. N. WATSON, [6]).

Die hier dargestellten Resultate finden insbesondere Anwendung bei der Unter- suchung von LSsungen spezieller linearer Differentialgleichungen der mathema- tischen Physik. Entwickelt man Floquetsche LSsungen gewisser Klassen linearer Differentialgleichungen nach geeigneten Funktionensystemen, so erfiillen die Entwicklungskoeffizienten dreigliedrige lineare Rekursionen des Typs (0.1). Das Studium dieser Rekursionen liefert Ergebnisse, die zur Beherrschung der LSsungen der betrachteten Differentialgleichung fiihren.

Unter diesem Gesichtspunkt sind die vorliegenden Resultate vom Verfasser zun~ichst in der Theorie der Heunschen Differentialgleichung und ihrer Spezial-

LSsungen dreigliedriger linearer Rekursionen 323

f/ille angewendet worden (vgl. D. SCHMIDT, [5]). Sie linden weiterhin Anwendung bei der Untersuchung der LSsungen einer umfangreichen Klasse linearer Differen- tialgleichungen mit sinusfSrmigen Koeffizienten, wie sie J. PATRY in [3] betrachtet. Dabei geht es im wesentlichen um eine Darstellung der charakteristischen Expo- nenten der jeweiligen Differentialgleichung sowie um die Gewinnung brauchbarer numerischer Verfahren zu ihrer Berechnung. Neue direkte Verfahren, die es ge- statten, die charakteristischen Exponenten mittels dreigliedriger linearer Rekur- sionen zu berechnen, werden unter Verwendung der im folgenden dargestellten Resultate vom Verfasser zusammen mit R. MENNICKEN in [2] erhalten. Die hierbei zum Zuge kommende Methode entspricht der Verwendung Hillscher Determinan- ten in der Theorie der Hillschen Differentialgleichung (vgl. z.B.E.T.H. WHITTAKER & G. N. WATSON, [6]).

Zur Vereinfachung der Darstellung bezeichnen wir im folgenden die Menge der ganzen Zahlen mit Z={ .... - 1 , 0, 1, ...} und die Menge der komplexen Zahlen mit C.

1. Zweifach-unendliche dreigliedrige iineare Rekursionen

Fiir 1 = - 1, 0, 1 und neZ seien ~,,ne~E. Hiermit definieren wir fiir Folgen z

(1.1) a,,[v]=~l,n+lv,,+l+Oto,,V,,+ot_l,,_lvn_l (neZ) .

Durch

(1.2) A Iv] = {an [v]}n ~ z e C z

ist eine lineare Abbildung A: ~EZ ~ ~E z

gegeben. Die Gesamtheit der LSsungen veC z der homogenen Gleichung

(1.3) AM=0 bezeichnen wir mit 91 A. Offenbar ist 9l A ein linearer Teilraum yon 112 z.

Zur Untersuchung der L6sungsgesamtheit 9l A yon (1.3) betrachten wir fiir n, m ~ Z (n >= m) die ,,Abschnittsmatrizen"

/i o. _o \ (1.4) A~=/ 1~11~ 0 C~o,.-, c~-,.~2 ~ ~ :

\ o . . . . . . o I /

Mit diesen definieren wir ,,Abschnittsdeterminanten"

[det A~, (n > m - 1), (1.5) A:=I1 ( n = m - 1 ) ,

to ( n < m - 1 ) .

324 D. SCHMIDT:

Es gilt

Satz 1.6. (i) Bei festem k~Z erfi~llt die Folge {A~}n+~_2fi~r n>k die Rekursion

(1.7) A" An-1 A~-2=0. ZJk--O~O, nZJ k "~1- 0~1, n ~ _ 1, n _ I

(ii) Bei festem k e Z erfi~llt die Folge {A.}n=k k+2_ ~o fiir'" n <k die Rekursion

( 1 . 8 ) k k k An-%,n An+ I ~-0~_1, n 0/1, n+ 1 An+2=O.

(iii) Fi~r n, k, m e Z (n >- k > m) gilt die Zerlegung

(1.9) An __An ,4k-I n k-2 ZJm--~kZJ m ~ O ~ l , k O ~ - l , k - l A k + l Am .

B e w e i s . (i) und (ii) gewinnt man dutch Entwickeln yon An nach der ersten bzw. letzten Spalte. Beziiglich (iii) beachtet man, da$ die Folgen cAn~+| ).ZZkSn=k-l~

An )+oo "k + lY, = k- 1 fiir n_--> k + 1 linear unabh~ngige L6sungen von (1.7) sind. Folglich gilt ffir k > m mit Konstanten 21, 22~C

. _ n ( n ~ k - 1 ) . Am- 21 A~+ 2z Ak+ 1

Mit n = k - 1 folgt _ k-1 2~-A m . Entsprechend erh/ilt man mit n=k fiber (1.7) k - 2

~ 2 ~ - - O ~ l , k ~ - l , k - 1 Am . Zwischen den L6sungen von (1.3) und den Folgen der Abschnittsdeterminanten

besteht ein enger Zusammenhang. Dazu transformieren wir V={lYn}n~Z~f~ A bei festem k ~ Z fiir n > k - 1

v k (n = k - 1), n + l

(1.10) pT,[v]= Vn+l 1--[ (--~1,~) (n>k) r = k + l

und entsprechend fiir n < k + 1

Vk (n = k + 1), k - - I

(1.11) qnk[-V]= V._~ I'I (--Cr (n<k). tO=n-- 1

Offenbar ist {p~ [v]}~+~_ ~ ffir n>k+ 1 L6sung der Rekursion (1.7). Durch Ver- gleich der Anfangswerte best/itigt man

(1.12) p~,[V]=Vkd~,+~_l,k_ 1Vk_id~,+l (n_>-k-1).

,f_k r v l ) k + 1 Ebenso iiberlegt man, dab Lqnt JY . . . . fiir n < k - 1 L6sung der Rekursion (1.8) ist und folglich

(1.13) qk[v]=vkAk+al,k+ 1Vk+ , A k-1 ( n < k + l )

gilt. Ohne spezielle Voraussetzungen fiir die a,,. braucht auBer der trivialen L6sung

keine weitere L6sung zu (1.3) zu existieren. Darum fordern wir:

@ 3n+,n -~Z: cq,.#O (n~_n+), a_l,.~=O (n<n-) .

L6sungen dreigliedriger linearer Rekursionen 325

Wir bezeichnen dann

{ - o 0 , falls ~X,n~0 fiir n e Z , (1.14) n l = max{n~Z: ~ l . .+ l=0} , sonst

und entspreehend

n2 J ' + ~ ' falls ~-1,.4:0 ffir n e Z , (1.15) = [ m i n { n ~ Z : a _ l , . _ i = 0 } , sonst.

Man unterscheidet zweekm~iBigerweise zwei F~ille: (i) nl <n2: Es sei no~Z (nl + 1 <no<n2). Zu beliebigen Werten v.o_x, V.oeC

mit (V.o_ l, V.o)=~ (0, 0) bestimmen wir

n + l

v.+1 I-I (-~a,,,)=v.oA~o+~ (n>no), K=nO + 1

(1.16) . o - ~

v.-1 l--[ ( -~- l ,~)=V.o- lA~ ~ -.A n~ ( n < n o - 1 ) . t O = n - - 1

Die hierdurch definierte Folge v={v,},+z ist eine nichttriviale L6sung zu (1.3). Ist w={w,},+z eine weitere L6sung zu (1.3) mit w,,=v,, (no>n>no-1), so folgt fiber (1.12), (1.13) und (1.16) die Gleichheit v=w. Damit ist im Fall nl<n2 bewiesen:

(1.17) dim TtA = 2.

(ii) nl>nz: Hier sind notwendigerweise nl, n2~Z. Wir betrachten das homo- gene Gleichungssystem in C "1-"2+ 1

(1.18) A,"; ~=0.

Es sei +7=(v.}."1., eine L6sung zu (1.18). Zu beliebigen Werten v,l+l , v.~_l~C mit (v.,+l, v, . . . . . . v,~, v,~_1) 4: (0, 0 . . . . . 0, 0) bestimmen wir

n + l

(1.19) v.+i l--[ (-al,~)=v.~+lAnt+l+~-l,.~v.~A".~+2 (n>=nl+l) t c = n l + 2

und entsprechend

n 2 - 2 n2 -- 1 n2 -- 2 (1.20) Vn-X I-I (--a-a,~)=v.~-xA. +~ ( n < n 2 - 1 ) .

/ r 1

Die hierdurch definierte Folge v={v~},+z ist eine nichttriviale L6sung zu (1.3). Ist w={w,),+z eine weitere L6sung zu (1.3) mit w~=v,(nl+l>n>n2-1), so folgt fiber (1.12), (1.13) und (1.19), (1.20) die Gleichheit v=w. Damit ist im Fall nl >n2 bewiesen:

(1.21) dim Tt a = 2 + d i m ~a~I,

wobei 91a.- ! die Gesamtheit der L6sungen ~eC "~-"'+ t d e r homogenen Gleichung (1.18) bezeichnet.

326 D. SCI--IMIDT"

Setzen wir

(1.22) defA = {0dim ~ . ~

so folgt fiber (1.17) und (1.21)

Satz 1.23. dim 9la=2+defA.

,

(n 1 < n2)

(n l ~ n2),

2. Typenelnteilung der Liisungen Fiir die Koeffizienten ~,,, von (1.1) setzen wir neben ~ zus/itzlich voraus:

3cr ( t = - l , 0 , 1 ) : c r (In[--*~).

Dabei gelte

| % = l + c q ~ _ ~ , I cq~_ t l< l .

Wegen 0 ' ist die Rekursion (1.7) ffir n ~ + ~ und die Rekursion (1.8) fiir n--*- oo vom Poincar6-Perronschen Typ mit jeweils derselben charakteristischen Gleichung

(2.1) ~ z - % ~+~1 cr

Diese hat nach | die betraglich verschiedenen Wurzeln

(2.2) ~ = 1 und ~2=cr162

Beachtet man, dab fiir jedes ve~a rnit beliebigem k e Z die Relationen (1.12) und (1.13) gelten, so ergibt sich unter Beriicksichtigung von G aufgrund des Poincar6schen Satzes (vgl. z .B .F .W. SCH;~FKE, [4], p. 86--89) die folgende Typeneinteilung.

Satz 2.3. Is t v={v,},~z eine L6sung zu (1.3), so liegt fi~r n ~ + Go bzw. n -~ - oo jewei ls einer der unter (i) bzw. (ii) notierten Fiille vor.

O) Fi~r n -~ + ~ exist iert ein N + ~ Z , so daft

(0 +) v.=O (n>N+);

(I +) v .4:0 ( n > N + ) ,

(II +) v.4:0 ( n > N + ) ,

l)n+ 1 ~1,.+1 ~ - 1 ( n ~ + ~ ) ; Vn

Vn+l (n "~ + 00). ~1, n+ 1 - - - - " ~ -- 0~1 (~_ 1 vn

(ii) Fi~r n -~ - oo exist iert ein N - ~ Z , so daft

(0-) v,=0 ( n < N - ) ;

Vn- !..__>__ 1 (I-) v,,~O ( n < N - ) , ~-1,,-1 I) n

(II-) v,,~eO ( n < N - ) , ~ - I , . - I v , , - t "* -~1c~-1 On

( n - ~ - ~ ) ;

(n-~- ~).

Unter Verwendung der Bezeichnungen dieses Satzes definieren wir: wgla heiBt genau dann ,,vom Typ (-4 +, B-)", wenn ffir n--* + ~ der Fall (.4 +) und fiir

LSsungen dreigliedriger linearer Rekursionen 327

n ~ - oo der Fall (B-) aus Satz 2.3 vorliegt. Die Gesamtheit der Elemente v aus Tt A, die weder vom Typ (I +, .) noch vom Typ (., I -) sind, bezeichnen wir mit ~O/a. Offenbar ist 9J/A ein linearer Teilraum von ~/a. Die niehttrivialen Elemente von 9Y/a heiBen ,,MinimallSsungen zu (1.3)".

3. Eine zweifach-unendliche Determinante vom Poincar~-Perronschen Typ

Statt @' fordern wir st~irker:

o(1) @ 3 ~ , , f l , e C (t= - l, 0,1) : a , , , - ~ , - n~Z (Inl--'~).

Mit den ~, gelte | Unter diesen Voraussetzungen beweisen wir fiir die in (1.5) definierten Ab-

schnittsdeterminanten A~ den folgenden Konvergenzsatz:

Satz 3.1. Es existiert tier Grenzwert

A= lim A5, e C . tl-"~ + oO

Wit bezeichnen A als Determinante der zweifach-unendlichen Tridiagonalmatrix A.

Beweis. Setzen wir 1

( 3 . 2 ) �9 =

und hiermit ffir n e Z

(-Po+alP-I +~-lPO

(3.3) t ={ixp ( l z ) ( n*0 ) ,

(n=O). Wir transformieren fi irn e Z

(3.4) ~,,. = t, a, , . (t = - 1, 0, 1).

Mit den 07,,. bilden wir analog (1.4), (1.5) die Abschnittsdeterminanten An. Diese h/ingen mit den A~ fiber

(3.5) ^" 1~ Am= txA~n K=m

zusammen. Bei festem kEZ gilt entsprechend (1.7)

(3.6) zl~- ~o., zt;- l+a~ . , ~_ 1.,_ 1 zt;-2 =0 (n~k)

und entsprechend (1.8)

(3.7) A:--~O,n,~kn+ldt ' -~_l ,n~l ,n+l z~nk+ 2 ~--.~- 0 (/'/--<~ k ) .

Aufgrund von | | und (3.2), (3.3), (3.4) folgt mit

09n=~0, n-- 1 ( n e Z ) ffir n--* + oo

(') al , , a -~ ,~-1=~ + 0 n~

328 D. SCHMIDT :

und fiir n ~ - oo

~= 1'" ~1' s+ 1 =O)ndl" O (n'-~) "

Damit ist (3.6) fiir n -~ + oo und entsprechend (3.7) fiir n -~ - oo vonder Form tier einfach-unendlichen dreigliedrigen linearen Rekursion

u.+l-(l+co.)u.+(co.+r.)u._l=O ( n = 1 , 2 . . . . ) ( 3 . 8 )

mit

(3.8')

Hierzu notieren wir

l imsup I o~. [ < 1,

I r . l<oo .

Hilfssatz 3.9. Zu jeder L6sung {u,},~o yon (3.8). (3.8') existiert tier Grenzwert

u = l i m u . e ~ . n - - ~ O0

Dabei gilt:

(3.10) u # 0 3N>O 'On>N: u,:60, u"+-----L-~l (n-~oo). Un

Dieser Hilfssatz l/il3t sich aus dem allgemeinen Konvergenzsatz yon F.W. SCHDICE in [4], p. 96, herleiten. Die dabei ben6tigte Transformation yon (3.8) auf ein Differenzengleichungssystem ist in [4], p. 100, schon im wesentlichen ange- geben. Einen weiteren Beweis dieses Hilfssatzes erhfilt man dutch eine leichte Modifikation entsprechender Oberlegungen yon R. MENNICKEN in [1], p. 458.

Aufgrund des Hilfssatzes sind die in (3.6) und (3.7) betrachteten Folgen "-'kJ.=k-2 und konvergent. Es existieren die Grenzwerte , . , ~ n J n ~ - - o o

(3.11) 2k= lim A~, 2k= lim A,.̂ k n - - ~ -I- OO ; i - ~ - - O0

Nach (1.9) hat man fiir n, k, meg (n>=k>m)

(3.12) ^. ^ .^k-1 ^ ^ ^ ^k-2 Am----AkAra --(gl,kg-l,k_iA~+lAm �9

Hieraus fliel3t unter Beriicksichtigung von A _ . - A _ . mit (3.11) die Behauptung des Satzes 3.1. Zus~tzlich erh/ilt man die Zerlegung

(3.13) A =z~2~-~-~l,k ~_1,k_1A~+t 2k-2 (keg). Wir stellen noch einige weitere Relationen bereit. Zun~ehst folgt mit (3.12)

und (3.11) 3 . = L ^ ~ - ' ^ - ^ ^ ~ - ~ ( n < _ k ) An --O~l,k~-l,k-iAk+lAn

(3.14) ^, ^ .^k-1 ^ ^ ^, z~k-2 A =AkA --al.kg-l.k-lAk+l (n>k).

Hiermit und mit (3.1 3) erh~t man schliel31ich

(3.15) A = lim zt"= lim zl.= lim Ar.. ^" 11"++00 /I-~ -- O0 ~'-~ "1- O0

m-*-~

LOsungen dreigliedriger linearer Rekursionen 329

4. Zur Existenz yon Minimalliisungen

Es sei im folgenden @, | und | vorausgesetzt. Damit ist insbesondere die Typeneinteilung des Abschnitts 2 gegeben. Wir fragen nach einem Kriterium zur Existenz von Minimallfsungen zu (1.3). Unter Verwendung der Ergebnisse aus Abschnitt 3 beweisen wir

Satz 4.1. Zu (1.3) existiert genau dann eine Minimalli~sung, wenn die Deter- minante A der zugeh&igen zweifach-unendlichen Tridiagonalmatrix A verschwindet:

dim ~0/a > 1 r A = 0.

Beweis. Wir stellen zun/ichst eine Hilfsiiberlegung an. Es sei vegla. Nach (1.12) und (3.5) gilt fiir k e Z

(4.2) t~ pk[V] =VkA k-Ftx_l,k_ 1 Vk_ 1 tkAk+ 1 .

Mithin erfiillt die Folge t~ p~[v die Rekursion (3.6). Ist v yore n = k

Typ (I +, .), so folgt nach (1.10) N r alle ke~g (k>nl + 1)

v.+l p [v] ,1 (n--,+oo). (4.3) -~1, .+1 Vn p~,- 1 [V]

Damit erh/ilt man unter Beriicksichtigung von t.-~ 1 (n -*+ oo) iiber (3.10)

(4.4) Vk Zl'k all- iX- 1, k - 1 V*-I tk,dk+ 1 4=0.

Gilt umgekehrt (4.4) fiir ein kEZ (k>nl + 1), so folgt die Aussage (4.3) wegen t, ~ 1 (n ~ + oo) unmittelbar aus (4.2). Insgesamt haben wir bewiesen:

SV (bzw. 3) k e Z ( k > n t + l ) (4.5) v vom Typ (I +, .) r ~ ^ ^

{flk Ak'~'O~- l ,k - 1 Vk- 1 tk Ak+ l 4=0. Analog zeigt man

fV (bzw. 3) k ~ 7, (k =< n 2 - 1) (4.6) v vom Typ (. , I - ) r 4 [Vk~k+Oq,k+l Vk+l tk~k_14=O.

Im weiteren unterscheiden wir entsprechend Abschnitt 1 zwei F/ille:

(i) nl <n2: Es sei noeZ (n 1 + 1 < n o__<n2). Wir betrachten das homogene Gleichungssystem in r

(4.7) ~.o A.o- I~=O

mit der Koeffizientenmatrix

(4.7') ~.o ( z~"o ~-',"o- 1 t"o'd"o+ ~ ) A / I O - 1 ~ ^ __ "

Ctl,notno-IAn~ 2 ~no-1 Wegen (3.13) gilt

i1 o (4,8) A = det A,o_ ~.

Ist A = 0, so existiert demnach eine nichttriviale L6sung ~ = {v,}~~ 1 e G2 zu (4.7). Diese kann fiber (1.16) eindeutig zu einem nichttrivialen v e ~ a fortgesetzt werden.

330 D. SCHMIDT: L6sungen dreigliedriger linearer Rekursionen

(4.5) und (4.6) zufolge ist v weder vom Typ (I +, .) noch vom Typ (., I - ) , also Minimall6sung zu (1.3). Ist andererseits vefftA MinimaU6sung zu (1.3), so folgt fiber (4.5), (4.6), dab ~={v.}~.0_l e~E 2 eine nichttriviale L6sung zu (4.7) ist. Es

~.0 gilt dann A =det A.o_ 1 =0. Damit ist Satz 4.1 im Fall n: <n2 bewiesen. Genauer gilt:

(4.9) dim 9J/A = dim 9l~-:_, (n: + 1 < no -< n:),

wobei 912~:_, die Gesamtheit der L6sungen ff~E 2 der homogenen Gleichung (4.7) bezeichnet.

(ii) nl >n2: Wir betrachten das homogene Gleichungssystem in C "1-"~+3

(4.10) g2~+? ~=0

rnit der Koeffizientenmatrix

- , , 1 + 1 . . . . . . . . . . ' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . �9

(4.10') A . 2 1 = 1 i A , 2 i I - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ' , . ....?...../

Wegen ~1,.1+1 =a-1 , .2-1 =0 hat man nach (3.13), (3.14)

und folglich nl

(4.11) A= 1-I ~.x+l t~ det A.2_ : �9 ]r

Hieraus flieBt wie unter (i) die Behauptung des Satzes 4.1 im Fall nl = n2. Genauer gilt

(4.12) dim !ff/A = dim ~il/:.-: + 1 (n i => n2),

wobei !l~:~i+_: die Gesamtheit der LSsungen ~'GC "~-"2+3 der homogenen Gleichung (4.10) bezeichnet.

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Mathematiscbes Institut Universit~it KSln

(Eingegangen am 9. Juli, 1968)