Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.3-1

3. Impuls und Drall

● Die Integration der Bewegungsgleichung entlang der Bahn führte auf die Begriffe Arbeit und Energie.

● Die Integration der Bewegungsgleichung bezüglich der Zeit führt auf die Begriffe Kraftstoß und Impuls.

● Wie bei konservativen Systemen die Energie eine Erhal-tungsgröße ist, so ist bei Systemen, auf die keine resultie-rende äußere Kraft wirkt, der Impuls eine Erhaltungsgrö-ße.

● Die Suche nach einer weiteren Erhaltungsgröße für Sys-teme, auf die kein resultierendes äußeres Moment wirkt, führt auf den Begriff des Dralls.

Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.3-2

3. Impuls und Drall

3.1 Impuls

3.2 Drall

Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.3-3

3.1 Impuls

● Impuls eines Massenpunktes:

– Das Newtonsche Grundgesetz lautet:

– Integration über die Zeit ergibt

– Die Größe

wird als Impuls des Massenpunkts bezeichnet.

m a=m d vdt

=F

∫t A

tB

m d vdt

dt=m vB−m vA=∫t A

t B

F dt

p=m v

Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.3-4

3.1 Impuls

– Das Newtonsche Grundgesetz besagt, dass die zeitliche Änderung des Impulses gleich der resultierenden äußeren Kraft ist:

– Es wird daher auch als Impulssatz bezeichnet.

– Die Gleichung

wird als integrierter Impulssatz bezeichnet.

p=F

m vB−m vA=∫t A

tB

F dt

Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.3-5

3.1 Impuls

– Die Größe

heißt Kraftstoß. Sie hat die Einheit Ns.

– Wenn keine Kräfte auf den Massenpunkt wirken, ist der Kraftstoß null.

– Dann gilt der Impulserhaltungssatz:

● Wenn keine Kräfte auf einen Massenpunkt einwirken, ändert sich sein Impuls nicht. Sein Impuls bleibt erhalten.

F=∫t A

t B

F dt

m vB=m vA

Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.3-6

3.1 Impuls

● Beispiel: Bremsendes Fahrzeug

– Ein Fahrzeug fährt mit konstanter Geschwindig-keit v eine geneigte Stra-ße hinunter.

– Der Fahrer tritt heftig auf die Bremse, so dass das Fahrzeug mit blockierten Rädern rutscht.

– Nach welcher Zeit kommt das Fahrzeug zum Still-stand?

α

vs

α

G

N

R

s

n

Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.3-7

3.1 Impuls

– Kräfte in Fahrtrichtung:● Gewichtskraft:

● Reibungskraft:

– Zeitpunkt tA: Bremsbeginn

● Impuls:

– Zeitpunkt tB: Bremsende

● Impuls:

Gs=mgsin

R=mg cos

pA=mv

pB=0

pB−pA=GS−R tB−t A

– Integrierter Impulssatz in Fahrtrichtung:

– Ergebnis:

t B−t A=pB−pA

GS−R

=−mv

m gsin −m g cos

=v

g cos −sin

Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.3-8

3.1 Impuls

● Impuls eines Systems von Massenpunkten:

– Der Gesamtimpuls eines Massenpunktsystems ist definiert durch

– Mit der Definition des Schwerpunktes folgt:

– Unter Berücksichtigung des Schwerpunktsatzes folgt durch zeitliche Differenziation des Gesamtimpulses:

p=∑i

pi=∑i

m i vi=∑i

m i r i

∑i

mi r i=m rS=m vS p=m vS

p=F

Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.3-9

3.1 Impuls

– Wie bei einem einzelnen Massenpunkt lautet der integrierte Impulssatz für den Schwerpunkt:

– Wenn die Resultierende der äußeren Kräfte null ist, dann bleibt der Gesamtimpuls eines Systems von Massenpunk-ten konstant:

m vSB−m vSA=∫t A

t B

F dt= F

m vSB=m vSA

Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.3-10

3.1 Impuls

● Beispiel: Stufentrennung einer Rakete

A: vorher B: nachher

2

1

2

1

vA

v2B

v1B

m2

m1

Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.3-11

3.1 Impuls

– Aufgabenstellung:● Die 2. Stufe einer Rakete wird von der 1. Stufe abgetrennt.● Unmittelbar vor der Stufentrennung hat die Rakete die Ge-

schwindigkeit vA.

● Unmittelbar nach der Stufentrennung gilt: v2B = v

1B + Δv

● Bekannt sind die Massen m1 und m

2, die Geschwindigkeit v

A

sowie die Trennungsgeschwindigkeit Δv.

● Gesucht sind die Geschwindigkeiten v1B und v

2B.

Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.3-12

3.1 Impuls

– Lösung:● Die Zeit der Stufentrennung ist so kurz, dass der Kraftstoß

von äußeren Kräften während dieser Zeit vernachlässigt wer-den kann.

● Dann gilt der Impulserhaltungssatz:

● Mit folgt:

● Auflösen ergibt:

m1m2 vA=m1v1Bm2 v2B

v2B=v1Bv

m1m2 vA=m1v1Bm2 v1B v =m1m2 v1Bm2v

v1B=vA−m2

m1m2

v , v2B=vAm1

m1m2

v

Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.3-13

3.1 Impuls

– Zahlenwerte für Trennung der Oberstufe von der Hauptstufe der Ariane 5:

● m1 = 14t (Leermasse der Hauptstufe)

● m2 = 18t (Vollmasse der Oberstufe + Nutzlast)

● vA = 6800m/s, Δv = 1m/s

v1B=6800m /s−18

1418⋅1m / s=6799,4m / s

v2B=6800m /s14

1418⋅1m / s=6800,4m / s

Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.3-14

3.2 Drall

● Der Impuls ändert sich nicht, wenn die Summe der äuße-ren Kräfte null ist. In diesem Fall ist der Impuls eine so genannte Erhaltungsgröße.

● Es wird nun eine weitere Erhaltungsgröße gesucht für den Fall, dass das resultierende Moment der äußeren Kräfte bezüglich eines geeignet gewählten Bezugspunkts null ist.

Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.3-15

3.2 Drall

● Ebene Bewegung:

– Definitionen:● Sei B ein ortsfester

Punkt.● Moment bezüglich B:

● Drall bezüglich B:

M B=xP F y−yP F x

LB=xP p y−yP px

=xP mvy−yP mvx

=m xP vy−yP vx

Fx

Fy

vx

vy

x

x

y

y

xP

xP

yP

yP

B

B

MB

LB

P

P

m

Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.3-16

3.2 Drall

– Zeitliche Änderung des Dralls:

– Drallsatz für die ebene Bewegung:

● Die zeitliche Änderung des Dralls bezüglich eines beliebigen ortsfesten Bezugspunkts B ist gleich dem Moment der am Massenpunkt angreifenden Kraft bezüglich des gleichen Be-zugspunkts B.

LB=m ddt xP v y−yP v x =m xP v y− yP v x xP m v y−yP m vx

=m v x v y−v y v x xP F y−yP F x=MB

LB=M B

Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.3-17

3.2 Drall

– Drallerhaltungssatz für die ebene Bewegung:● Wenn das Moment der an einem Massenpunkt angreifenden

Kraft bezüglich eines beliebigen ortsfesten Bezugspunkts B verschwindet, dann ändert sich der Drall bezüglich dieses Bezugspunkts nicht:

– Der Drall wird auch als Drehimpuls oder Impulsmoment be-zeichnet.

M B=0 LB t A=LB t B

Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.3-18

3.2 Drall

● Räumliche Bewegung:

– Definitionen:● Sei B ein ortsfester Punkt.● Moment bezüglich B:

● Drall bezüglich B:

LB=rBP× p=rBP×m v

M B=rBP×F

F

v

B

B

MB

LB

P

P

m

rBP

rBP

Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.3-19

3.2 Drall

r

vrN

LB

B

m

– Eigenschaften:● Der Drallvektor steht

senkrecht auf der von den Vektoren r und v aufgespannten Ebene.

● Seine Richtung ergibt sich aus der Rechte-Hand-Regel.

● Sein Betrag ist

LB=mr N v

Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.3-20

3.2 Drall

● Im Zeitintervall dt überstreicht der Ortsvektor die Fläche

● Für den Betrag des Dralls gilt also:

● Die Größe

wird als Flächengeschwindigkeit bezeichnet.

r

v dt

dA

B

dA=12∣r×vdt∣

LB=2mdAdt

dAdt

Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.3-21

3.2 Drall

– Zeitliche Änderung des Dralls:

– Drallsatz:

● Die zeitliche Änderung des Dralls bezüglich eines beliebigen ortsfesten Bezugspunkts B ist gleich dem Moment der am Massenpunkt angreifenden Kraft bezüglich des gleichen Be-zugspunkts B.

LB=ddt rBP× p = rBP× prBP× p=v×m vrBP×F=M B

LB=MB

Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.3-22

3.2 Drall

– Drallerhaltungssatz:● Wenn das Moment der an einem Massenpunkt angreifenden

Kraft bezüglich eines beliebigen ortsfesten Bezugspunkts B verschwindet, dann ändert sich der Drall bezüglich dieses Bezugspunkts nicht:

M B=0 LB t A=LB tB

Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.3-23

3.2 Drall

● Beispiel: Geradlinige Bewegung

– Ein Massenpunkt, auf den keine Kräfte einwirken, führt eine geradlinige Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit aus.

– Da das Moment verschwindet, muss der Drall zeitlich kon-stant sein.

v

rrN

B

m

LB=r×m v=rN×m v

Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.3-24

3.2 Drall

● Beispiel: Kreisbewegung

– Der Geschwindigkeitsvek-tor steht senkrecht auf dem Ortsvektor.

– Der Drallvektor bezüglich des Kreismittelpunkts steht senkrecht auf der Kreisbahn.

– Er hat den Betrag

LB=mr v=mr r =mr2

B

m

r

v

LB

– Die Größewird als Massenträg-heitsmoment der Punkt-masse bezüglich Punkt B bezeichnet.

J B=mr 2

Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.3-25

3.2 Drall

– Der Drallsatz lautet:

– Beispiel: Pendel● Moment:

● Drall:

● Drallsatz:

LB=J B =J B =M B

L

m

mg

φB

LB=mL2

M B=−L sin mg

LB=mL2=−mg L sin

gL

sin =0

Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.3-26

3.2 Drall

● Beispiel: 2. Keplersches Gesetz:

Perihel

Aphelr

pr

a

vp

vaF

Sonne

Erde

Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.3-27

3.2 Drall

– Die Wirkungslinie der Anziehungskraft zwischen der Sonne und einem Planeten geht durch den Mittelpunkt der Sonne.

– Das Moment dieser Kraft in Bezug auf den Mittelpunkt der Sonne verschwindet daher.

– Deshalb ist der Drall des Planeten auf seiner Bahn um die Sonne konstant.

– Damit ist auch die Flächengeschwindigkeit konstant.

– Daraus folgt unmittelbar das 2. Keplersche Gesetz:

In gleichen Zeiten überstreicht der Fahrstrahl gleiche Flächen.

In gleichen Zeiten überstreicht der Fahrstrahl gleiche Flächen.

Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.3-28

3.2 Drall

– Im Perihel und im Aphel ist der Geschwindigkeitsvektor senkrecht zum Ortsvektor.

– Für die Geschwindigkeiten folgt daraus:

– Zahlenwerte:

● Für die Erde ist rp = 147,1∙106km und r

a = 152,1∙106km.

● Damit gilt für die Geschwindigkeiten:

mr p v p=mra va

v p

va=

r a

r p

v p

va=

152,1147,2

=1,033

Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.3-29

3.2 Drall

● Massenpunktsysteme:

– Für ein System von Massenpunkten ist der Drall in Bezug auf einen ortsfesten Bezugspunkt B definiert durch

– Die Summe erstreckt sich über alle Massenpunkte des Sys-tems.

– Für die zeitliche Ableitung des Dralls gilt zunächst

LB=∑i

r i×mi v i=∑i

r i× pi

LB=∑i

r i× pi∑i

r i× pi

Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.3-30

3.2 Drall

– Die erste Summe berechnet sich zu

– Mit dem Impulssatz für die einzelnen Massen folgt für die zweite Summe:

F1

F2

F12

F21m

1

m2

Br

1

r2

∑i

r i× pi=∑i

v i×m i v i=0

∑i

r i× pi=∑i

r i×F i∑j

F ij=∑

ir i×F i∑

i∑

jr i×F ij

Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.3-31

3.2 Drall

– Zu jeder inneren Kraft Fij gibt es eine entgegengesetzt

gleich große Kraft Fji, die die gleiche Wirkungslinie hat.

– Die Summe der Momente der inneren Kräfte ist daher null.

– Also gilt:

– Dabei ist MB das resultierende Moment der äußeren Kräfte.

– Damit ist die Gültigkeit des Drallsatzes für Massenpunkt-systeme gezeigt.

∑i

r i× pi=∑i

r i×F i=M B

Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.3-32

3.2 Drall

– Drallsatz für ein Massenpunktsystem:

● Die zeitliche Änderung des Dralls eines Massenpunktsystems in Bezug auf einen ortsfesten Bezugspunkt B ist gleich dem resultierenden Moment der äußeren Kräfte bezüglich dessel-ben Punktes.

– Drallerhaltungssatz für ein Massenpunktsystem:● Wenn das resultierende Moment der äußeren Kräfte ver-

schwindet, dann ist der Drall konstant.

LB=MB

M B=0 LB t A=LB tB

Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.3-33

3.2 Drall

● Beispiel:

– Zwei Massenpunkte der Masse m sind verschiebbar auf einer starren Stange an-gebracht, die sich um die z-Achse dreht.

– Wie ändert sich die Winkel-geschwindigkeit, wenn der Abstand der Massen von r

A

auf rB verändert wird?

r

r

m

m

O

ω

mg

mg

z

Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.3-34

3.2 Drall

– Zustand A:

– Zustand B:

– Das Moment der äußeren Kräfte um die z-Achse ist null.

– Drallerhaltungssatz:

– Winkelgeschwindigkeiten:

– Arbeit der inneren Kräfte:● Die Arbeit der äußeren

Kräfte ist null.● Damit lautet der Arbeits-

satz:

LOzA=2mr A2A

LOzB=2mrB2B

LOzA=LOzB

2 mr A2 A=2mr B

2 B

r A

r B 2

=B

A

EBK−E A

K=W AB

I

Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.3-35

3.2 Drall

● Kinetische Energie im Zustand A:

● Arbeitssatz:

● Kinetische Energie im Zustand B:

EAK=

12

mv1 A2

12

mv2 A2

=mA2 r A

2

EBK=

12

mv1B2

12

mv2B2

=mB2 r B

2

W ABI =m r B

2B

2−r A

2A

2

=mr A2A

2 rB2B

2

r A2 A

2 −1=mr A2A

2 [ r B2

r A2 r A

r B 4

−1]=mr A

2A

2 [ r A

rB 2

−1]=E AK [ r A

rB 2

−1]

Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.3-36

3.2 Drall

● Drall bezüglich eines be-weglichen Bezugspunkts B: LB= r× pr× p

r=rP−rB

r= rP− rB=v−vB

p=m v p=F

LB=v−vB ×m vr×F=−vB× pMB

– Für die zeitliche Ableitung des Dralls gilt:

– Aus folgt nun:

– Mit und folgt weiter:

v

B

LB P

mrvB

rB

rP

O

LB=r× p

Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.3-37

3.2 Drall

– Damit lautet der Drallsatz bezüglich eines beweglichen Be-zugspunkts:

– Für ein System von Massenpunkten gilt entsprechend:

– Dabei ist der Gesamtimpuls des Massenpunkt-systems.

LBvB× p=M B

LBvB× pS=M B

pS=m vS

Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.3-38

3.2 Drall

– Wird als Bezugspunkt der Schwerpunkt S gewählt, dann vereinfacht sich der Drallsatz des Massenpunktsystems zu

● Dynamisches Gleichgewicht für ein System von Massen-punkten:

– Resultierende Trägheitskraft:● Die resultierende Trägheitskraft berechnet sich zu

LS=M S

FT=−∑m i ai=−∑ mi rPi=−m rS=−m aS

Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.3-39

3.2 Drall

● Die resultierende Trägheitskraft wird mit der Beschleunigung a

S des Schwerpunkts berechnet.

● Aus dem Schwerpunktsatz folgt das dynamische Kräfte-gleichgewicht:

– Resultierendes Moment:● Das Moment der Trägheitskräfte um den Schwerpunkt be-

rechnet sich zu

FTF=0

MST=∑ r i×−mi ai =−∑ r i× pi

=−∑ddt r i× pi ∑ r i× pi

=−LS∑ vi−vS × pi

=−LS∑ vi× pi−vS×∑ pi=−LS

mi

S

ri

ai

P

O

rPi

rS

Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.3-40

3.2 Drall

● Aus dem Drallsatz folgt das dynamische Momentengleichge-wicht:

● Bei einer Translation des Massenpunktsystems haben alle Massenpunkte die gleiche Beschleunigung. Dann gilt für das Moment der Trägheitskräfte

wegen für den Schwerpunkt.

– Ergebnis:● Die resultierende d'Alembertsche Trägheitskraft wird mit der

Beschleunigung des Schwerpunkts berechnet.

MSTMS=0

MST=−∑i

r i×mi ai=−∑im i r i×a=0

∑m i r i=0

Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.3-41

3.2 Drall

● Im Allgemeinen erzeugen die Trägheitskräfte ein Moment um den Schwerpunkt.

● Bei einer reinen Translationsbewegung ist das Moment der Trägheitskräfte bezüglich des Schwerpunkts null. In diesem Fall greift die d'Alembertsche Trägheitskraft im Schwerpunkt an.

– Beispiel:

L

L

S

m

m

x

z

ω

a2

a1

α

Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.3-42

3.2 Drall

● Zwei durch eine masselose starre Stange verbundene Mas-sen drehen sich mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit ω um den Schwerpunkt.

● Da der Schwerpunkt in Ruhe ist, ist die resultierende d'Alem-bertsche Trägheitskraft null.

● Für die Ortsvektoren gilt:

● Die Beschleunigungen sind die Zentripetalbeschleunigungen:

r1=L cosexsinez , r2=−L cos exsin ez

a1=−2 L cos ex , a2=

2 L cos ex

Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.3-43

3.2 Drall

● Das Moment der Trägheitskräfte berechnet sich zu

● Dieses Zentrifugalmoment versucht, die Massen waagerecht auszurichten.

MST=−r1×m a1−r2×m a2

=−L cos exsin ez ×−2 L cos m ex

L cos exsin ez ×2 L cos m ex

=22 L2m cossiney=2 L2m sin 2e y