Ausgewählte Fragen der Geldtheorie
und -politik
Prof. Dr. Jochen Michaelis
Wintersemester 2014/2015
Appendix A: Herleitung Phillips Kurve (PC)
Ausgewählte Fragen der Geldtheorie und –politik - WS 2014/2015 Prof. Dr. Jochen Michaelis
Appendix A: Herleitung PC
Gali, Jordi (2008): Monetary Policy, Inflation, and the Business Cycle, Chap. 3
zwei Schritte:
1. Bestimmung des gewinnmaximalen Preises bei Calvo-Kontrakten
2. Herleitung der Güterangebotskurve (Phillips Curve PC)
ad 1.: Nominale Preisrigiditäten à la Calvo (1983)
• Die Unternehmen müssen bei der Gewinnmaximierung beachten, dass sie ihren
Preis nur mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit in der nächsten Periode ändern
können (Calvo Pricing).
• zu jedem Zeitpunkt darf ein Unternehmen seinen Preis mit einer Wahrscheinlich-
keit von 1 − 𝜃 anpassen („Lotterie“); mit der Wahrscheinlichkeit 𝜃 bleibt er
konstant, es gilt der Preis der Vorperiode.
• 𝜃 = Maß für den Grad der Preisrigidität (sog. Calvo-Parameter)
• 𝑃𝑡∗ = optimaler Preis im Fall der Preisanpassung
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Appendix A: Herleitung PC
Ziel der folgenden Überlegungen:
(A.1) 𝜋𝑡 = 𝛽𝐸𝑡𝜋𝑡+1 +(1−𝜃)(1−𝛽𝜃)
𝜃∙ (𝑚𝑐𝑡𝑟𝑒𝑎𝑙 + 𝜇)
mit 𝜇 als mark up
Ausgangspunkt: Gewinnfunktion
(A.2) 𝐺𝑡 𝑖 = 𝐸𝑡 (𝛽𝜃)𝑠−𝑡 𝑃𝑡∗ 𝑖 𝑌𝑠 𝑖 − 𝑊𝑠𝑁𝑠(𝑖)
∞𝑠=𝑡
Zeitindex beachten!
Technologie:
(A.3) 𝑌𝑡 𝑖 = 𝑁𝑡(𝑖)
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Appendix A: Herleitung PC
Einsetzen in Gewinnfunktion:
(A.4) 𝐺𝑡 𝑖 = 𝐸𝑡 (𝛽𝜃)𝑠−𝑡 𝑃𝑡∗ 𝑖 𝑌𝑠 𝑖 − 𝑊𝑠𝑌𝑠(𝑖)
∞𝑠=𝑡
Nominale Grenzkosten:
(A.5) 𝑀𝐶𝑠 = 𝑊𝑠
Summe ausformulieren:
(A.6)
𝐺𝑡 𝑖 = 𝑃𝑡∗ 𝑖 𝑌𝑡 𝑖 − 𝑀𝐶𝑡𝑌𝑡 𝑖 + 𝐸𝑡 𝛽𝜃 𝑃𝑡
∗ 𝑖 𝑌𝑡+1 𝑖 − 𝑀𝐶𝑡+1𝑌𝑡+1 𝑖 +
+𝐸𝑡(𝛽𝜃)2 𝑃𝑡∗ 𝑖 𝑌𝑡+2 𝑖 − 𝑀𝐶𝑡+2𝑌𝑡+2 𝑖 +…
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Appendix A: Herleitung PC
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Nachfragefunktion:
(A.7) 𝑌𝑠 𝑖 =𝑃𝑡∗(𝑖)
𝑃𝑠
−𝜀
𝑌𝑠
Einsetzen in Gewinnfunktion:
(A.8)
𝐺𝑡 𝑖 = 𝑃𝑡∗ 𝑖 − 𝑀𝐶𝑡 𝑌𝑡𝑃𝑡
𝜀𝑃𝑡∗ 𝑖 −𝜀 + 𝛽𝜃𝐸𝑡 𝑃𝑡
∗ 𝑖 − 𝑀𝐶𝑡+1 𝑌𝑡+1𝑃𝑡+1𝜀𝑃𝑡∗ 𝑖 −𝜀 +
+(𝛽𝜃)2𝐸𝑡 𝑃𝑡∗ 𝑖 − 𝑀𝐶𝑡+2 𝑌𝑡+2𝑃𝑡+2
𝜀𝑃𝑡∗ 𝑖 −𝜀 +
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Appendix A: Herleitung PC
Maximiere den Gewinn durch Wahl von 𝑃𝑡∗ 𝑖 :
(A.9) 𝜕𝐺𝑡(𝑖)
𝜕𝑃𝑡∗ 𝑖= 1 − 𝜀 𝑃𝑡
∗ 𝑖 −𝜀 + 𝜀𝑀𝐶𝑡𝑃𝑡∗ 𝑖 −𝜀−1 𝑌𝑡𝑃𝑡
𝜀 +
𝛽𝜃𝐸𝑡 1 − 𝜀 𝑃𝑡∗ 𝑖 −𝜀 + 𝜀𝑀𝐶𝑡+1𝑃𝑡
∗ 𝑖 −𝜀−1 𝑌𝑡+1𝑃𝑡+1𝜀 +
(𝛽𝜃)2𝐸𝑡 1 − 𝜀 𝑃𝑡∗ 𝑖 −𝜀 + 𝜀𝑀𝐶𝑡+2𝑃𝑡
∗ 𝑖 −𝜀−1 𝑌𝑡+2𝑃𝑡+2𝜀 +⋯ = 0
Division durch (1 − 𝜀) und durch 𝑃𝑡∗ 𝑖 −𝜀−1:
(A.10) 𝑃𝑡∗ 𝑖 −
𝜀
𝜀−1𝑀𝐶𝑡 𝑌𝑡𝑃𝑡
𝜀 + 𝛽𝜃𝐸𝑡 𝑃𝑡∗ 𝑖 −
𝜀
𝜀−1𝑀𝐶𝑡+1 𝑌𝑡+1𝑃𝑡+1
𝜀 +
(𝛽𝜃)2𝐸𝑡 𝑃𝑡∗ 𝑖 −
𝜀
𝜀 − 1𝑀𝐶𝑡+2 𝑌𝑡+2𝑃𝑡+2
𝜀 +⋯ = 0
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Appendix A: Herleitung PC
Umformulierung von (A.7) führt zu:
𝑌𝑠𝑃𝑠𝜀 = 𝑌𝑠 𝑖 𝑃𝑡
∗ 𝑖 𝜀 für 𝑠 = 𝑡, 𝑡 + 1, 𝑡 + 2,…
Einsetzen:
(A.11)
𝑃𝑡∗ 𝑖 −
𝜀
𝜀−1𝑀𝐶𝑡 𝑌𝑡 𝑖 𝑃𝑡
∗ 𝑖 𝜀 + 𝛽𝜃𝐸𝑡 𝑃𝑡∗ 𝑖 −
𝜀
𝜀−1𝑀𝐶𝑡+1 𝑌𝑡+1 𝑖 𝑃𝑡
∗ 𝑖 𝜀 +
(𝛽𝜃)2𝐸𝑡 𝑃𝑡∗ 𝑖 −
𝜀
𝜀 − 1𝑀𝐶𝑡+2 𝑌𝑡+2 𝑖 𝑃𝑡
∗ 𝑖 𝜀 +⋯ = 0
Division durch 𝑃𝑡∗ 𝑖 𝜀:
(A.12) 𝑃𝑡∗ 𝑖 −
𝜀
𝜀−1𝑀𝐶𝑡 𝑌𝑡 𝑖 + 𝛽𝜃𝐸𝑡 𝑃𝑡
∗ 𝑖 −𝜀
𝜀−1𝑀𝐶𝑡+1 𝑌𝑡+1 𝑖 +
(𝛽𝜃)2𝐸𝑡 𝑃𝑡∗ 𝑖 −
𝜀
𝜀 − 1𝑀𝐶𝑡+2 𝑌𝑡+2 𝑖 + ⋯ = 0
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Appendix A: Herleitung PC
Vereinfachen:
(A.13) 𝐸𝑡 (𝛽𝜃)𝑠−𝑡 𝑃𝑡∗ 𝑖 −
𝜀
𝜀−1𝑀𝐶𝑠
∞𝑠=𝑡 𝑌𝑠 𝑖 = 0 Gali, S. 44
Nächster Schritt: log-Linearisierung von (A.13) um Steady State
(A.14)
𝑃𝑡∗ 𝑖 −
𝜀
𝜀 − 1𝑀𝐶𝑡 𝑌𝑡 𝑖
𝑑𝑌𝑡 𝑖
𝑌𝑡 𝑖+ 𝑌𝑡 𝑖 𝑃𝑡
∗ 𝑖𝑑𝑃𝑡∗ 𝑖
𝑃𝑡∗ 𝑖− 𝑌𝑡 𝑖
𝜀
𝜀 − 1𝑀𝐶𝑡𝑑𝑀𝐶𝑡𝑀𝐶𝑡
+𝛽𝜃𝐸𝑡 𝑃𝑡∗ 𝑖 −
𝜀
𝜀 − 1𝑀𝐶𝑡+1 𝑌𝑡+1 𝑖
𝑑𝑌𝑡+1 𝑖
𝑌𝑡+1 𝑖+ 𝛽𝜃𝐸𝑡 𝑌𝑡+1 𝑖 𝑃𝑡
∗ 𝑖𝑑𝑃𝑡∗ 𝑖
𝑃𝑡∗ 𝑖
−𝛽𝜃𝐸𝑡 𝑌𝑡+1 𝑖𝜀
𝜀 − 1𝑀𝐶𝑡+1𝑑𝑀𝐶𝑡+1𝑀𝐶𝑡+1
+⋯ = 0
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Log-Linearisierung um Zero-inflation Steady State heißt, dass die jeweiligen
Ableitungen an der Stelle des Steady States zu bewerten sind.
Im Steady State gilt:
1. Der optimale Preis der Firma i ist gleich dem aggregiertem Preisniveau:
𝑃𝑡∗ 𝑖 = 𝑃𝑡
∗ = 𝑃𝑡 = 𝑃
2. Der Preis ist ein Markup auf die nominalen Grenzkosten:
𝑃 =𝜀
𝜀−1𝑀𝐶
3. Der Output einer Firma ist in allen Perioden gleich:
𝑌𝑡 𝑖 = 𝑌𝑡+1 𝑖 = 𝑌(𝑖)
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Damit vereinfacht sich (A.14) zu:
(A.15) 𝑃 −𝜀
𝜀−1𝑀𝐶 𝑌 𝑖
𝑑𝑌𝑡 𝑖
𝑌𝑡 𝑖+ 𝑌 𝑖 𝑃
𝑑𝑃𝑡∗
𝑃𝑡∗ − 𝑌 𝑖
𝜀
𝜀−1𝑀𝐶𝑑𝑀𝐶𝑡
𝑀𝐶𝑡
+𝛽𝜃𝐸𝑡 𝑃 −𝜀
𝜀 − 1𝑀𝐶 𝑌 𝑖
𝑑𝑌𝑡+1 𝑖
𝑌𝑡+1 𝑖+ 𝛽𝜃𝐸𝑡 𝑌 𝑖 𝑃
𝑑𝑃𝑡∗
𝑃𝑡∗
−𝛽𝜃𝐸𝑡 𝑌 𝑖𝜀
𝜀 − 1𝑀𝐶𝑑𝑀𝐶𝑡+1𝑀𝐶𝑡+1
+⋯ = 0
Noch einfacher: (!)
𝑌 𝑖 𝑃𝑃𝑡∗ − 𝑌 𝑖 𝑃𝑀𝐶𝑡 + 𝛽𝜃𝐸𝑡 𝑌 𝑖 𝑃𝑃𝑡
∗ − 𝛽𝜃𝐸𝑡 𝑌 𝑖 𝑃𝑀𝐶𝑡+1 +⋯ = 0
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Appendix A: Herleitung PC
Division durch 𝑌 𝑖 𝑃:
𝑃𝑡∗ −𝑀𝐶𝑡 + 𝛽𝜃𝑃𝑡
∗ − 𝛽𝜃𝐸𝑡 𝑀𝐶 𝑡+1 +⋯ = 0
𝑃𝑡∗ 1+ 𝛽𝜃 + 𝛽𝜃 2 +⋯ = 𝑀𝐶 𝑡 + 𝛽𝜃𝐸𝑡 𝑀𝐶 𝑡+1 + 𝛽𝜃
2𝐸𝑡 𝑀𝐶 𝑡+2 +⋯
(A.16) 1
1−𝛽𝜃𝑃𝑡∗ = 𝑀𝐶𝑡 + 𝛽𝜃𝐸𝑡 𝑀𝐶 𝑡+1 + 𝛽𝜃
2𝐸𝑡 𝑀𝐶 𝑡+2 +⋯
Tilda-Variablen (prozentuale Abweichungen vom Steady State) entsprechen der
Differenz der logarithmierten Werte:
1
1 − 𝛽𝜃𝑙𝑛𝑃𝑡∗ − 𝑙𝑛𝑃 = 𝑙𝑛𝑀𝐶𝑡 − 𝑙𝑛𝑀𝐶 + 𝛽𝜃𝐸𝑡 𝑙𝑛𝑀𝐶𝑡+1 − 𝑙𝑛𝑀𝐶 +
𝛽𝜃 2𝐸𝑡(𝑙𝑛𝑀𝐶𝑡+2 − 𝑙𝑛𝑀𝐶) + ⋯
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Logarithmierte Werte werden mit Kleinbuchstaben geschrieben:
1
1 − 𝛽𝜃𝑝𝑡∗ − 𝑝
= 𝑚𝑐𝑡 −𝑚𝑐 + 𝛽𝜃𝐸𝑡 𝑚𝑐𝑡+1 −𝑚𝑐 + 𝛽𝜃2𝐸𝑡(𝑚𝑐𝑡+2 −𝑚𝑐) + ⋯
1
1 − 𝛽𝜃𝑝𝑡∗ − 𝑝 = −𝑚𝑐(1 + 𝛽𝜃 + 𝛽𝜃 2 +⋯) + (𝛽𝜃)𝑠−𝑡
∞
𝑠=𝑡
𝐸𝑡𝑚𝑐𝑠
1
1 − 𝛽𝜃𝑝𝑡∗ − 𝑝 = −
𝑚𝑐
1 − 𝛽𝜃+ (𝛽𝜃)𝑠−𝑡∞
𝑠=𝑡
𝐸𝑡𝑚𝑐𝑠
(A.17) 𝑝𝑡∗ − 𝑝 = −𝑚𝑐 + (1 − 𝛽𝜃) (𝛽𝜃)𝑠−𝑡∞
𝑠=𝑡 𝐸𝑡𝑚𝑐𝑠
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Appendix A: Herleitung PC
Formuliere den Steady State in logarithmierten Werten:
𝑃 =𝜀
𝜀−1𝑀𝐶 𝑙𝑛𝑃 = 𝑙𝑛
𝜀
𝜀−1+ 𝑙𝑛𝑀𝐶
(A.18) 𝑝 = 𝜇 +𝑚𝑐 mit 𝜇 ≡ 𝑙𝑛𝜀
𝜀−1
Einsetzen in (A.17) liefert den gesuchten optimalen Preis:
(A.19) 𝑝𝑡∗ = 𝜇 + (1 − 𝛽𝜃) (𝛽𝜃)𝑠−𝑡∞
𝑠=𝑡 𝐸𝑡𝑚𝑐𝑠
Der optimale Preis ist ein Markup auf die gewichtete Summe der laufenden und der
erwarteten zukünftigen nominalen Grenzkosten.
Für später alternative Formulierung:
(A.20) 𝑝𝑡∗ = 𝜇 + (1 − 𝛽𝜃) 𝛽𝜃 𝑠−𝑡∞
𝑠=𝑡 𝐸𝑡(𝑚𝑐𝑠𝑟𝑒𝑎𝑙 + 𝑝𝑠) Gali, S. 45
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Appendix A: Herleitung PC
ad 2. Herleitung der PC
Ausgangspunkt: Definition des Preisindex (vgl. Gali S. 62)
(A.21) 𝑃𝑡 = 𝑃𝑡−1(𝑖)1−𝜀𝑑𝑖 + 𝑃𝑡
∗(𝑖)1−𝜀1
𝜃𝑑𝑖
𝜃
0
1
1−𝜀
𝑃𝑡1−𝜀 = 𝜃𝑃𝑡−1
1−𝜀 + (1 − 𝜃)𝑃𝑡∗1−𝜀
Division durch 𝑃𝑡−11−𝜀:
𝑃𝑡
𝑃𝑡−1
1−𝜀= 𝜃 + (1 − 𝜃)
𝑃𝑡∗
𝑃𝑡−1
1−𝜀
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(A.22) Π𝑡1−𝜀 = 𝜃 + (1 − 𝜃)
𝑃𝑡∗
𝑃𝑡−1
1−𝜀
Gali, S. 62, Gl. (34)
Log-Linearisieren:
1 − 𝜀 Π𝑡−𝜀𝑑Π𝑡 = 1 − 𝜃
1
𝑃𝑡−1
1−𝜀1 − 𝜀 𝑃𝑡
∗−𝜀𝑑𝑃𝑡∗ +
(1 − 𝜃)(𝜀 − 1)𝑃𝑡∗1−𝜀𝑃𝑡−1
𝜀−2𝑑𝑃𝑡−1
(A.23) Π𝑡1−𝜀Π 𝑡 = 1 − 𝜃
𝑃𝑡∗
𝑃𝑡−1
1−𝜀
𝑃𝑡∗ − (1 − 𝜃)
𝑃𝑡∗
𝑃𝑡−1
1−𝜀
𝑃 𝑡−1
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Im Steady State gilt:
- Π𝑡 = 1
- 𝑃𝑡−1 = 𝑃𝑡∗ = 𝑃
Damit vereinfacht sich (A.23) zu:
𝑙𝑛Π𝑡 − 𝑙𝑛Π = 1 − 𝜃 𝑙𝑛𝑃𝑡∗ − 𝑙𝑛𝑃 − (1 − 𝜃)(𝑙𝑛𝑃𝑡−1 − 𝑙𝑛𝑃)
𝑙𝑛Π𝑡 = 1 − 𝜃 𝑙𝑛𝑃𝑡∗ − 𝑙𝑛𝑃𝑡−1
(A.24) 𝜋𝑡 = 1 − 𝜃 𝑝𝑡∗ − 𝑝𝑡−1 Gali, S. 62, Gl. (35)
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Appendix A: Herleitung PC
Eine Periode vordatieren:
(A.25) 𝜋𝑡+1 = 1 − 𝜃 𝑝𝑡+1∗ − 𝑝𝑡
Erwartungswert bilden:
(A.26) 𝐸𝑡𝜋𝑡+1 = 1 − 𝜃 𝐸𝑡𝑝𝑡+1∗ − (1 − 𝜃)𝑝𝑡
Für den optimalen Preis hatten wir abgeleitet (vgl. A.19):
𝑝𝑡∗ = 𝜇 + (1 − 𝛽𝜃) (𝛽𝜃)𝑠−𝑡∞
𝑠=𝑡 𝐸𝑡𝑚𝑐𝑠
(A.27) 𝑝𝑡∗ = 𝜇 + (1 − 𝛽𝜃) 𝑚𝑐𝑡 + 𝛽𝜃𝐸𝑡𝑚𝑐𝑡+1 + (𝛽𝜃)
2𝐸𝑡𝑚𝑐𝑡+2 +⋯
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Appendix A: Herleitung PC
Eine Periode vordatieren und Erwartungswert bilden:
(A.28) 𝐸𝑡𝑝𝑡+1∗ = 𝜇 + (1 − 𝛽𝜃) 𝐸𝑡𝑚𝑐𝑡+1 + 𝛽𝜃𝐸𝑡𝑚𝑐𝑡+2 + (𝛽𝜃)
2𝐸𝑡𝑚𝑐𝑡+3 +⋯
Einsetzen von (A.28) in (A.27):
𝑝𝑡∗−𝜇
1−𝛽𝜃= 𝑚𝑐𝑡 + 𝛽𝜃 𝐸𝑡𝑚𝑐𝑡+1 + 𝛽𝜃𝐸𝑡𝑚𝑐𝑡+2 +⋯
𝑝𝑡∗−𝜇
1−𝛽𝜃= 𝑚𝑐𝑡 + 𝛽𝜃
𝐸𝑡𝑝𝑡+1∗−𝜇
1−𝛽𝜃
𝑝𝑡∗ − 𝜇 = (1 − 𝛽𝜃)𝑚𝑐𝑡+𝛽𝜃 𝐸𝑡𝑝𝑡+1
∗ − 𝜇
𝑝𝑡∗ = 1 − 𝛽𝜃 𝑚𝑐𝑡 + 1 − 𝛽𝜃 𝜇 + 𝛽𝜃𝐸𝑡𝑝𝑡+1
∗
𝑝𝑡∗ = (1 − 𝛽𝜃)(𝑚𝑐𝑡
𝑟𝑒𝑎𝑙 + 𝑝𝑡 + 𝜇) + 𝛽𝜃𝐸𝑡𝑝𝑡+1∗
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Umformulieren:
(A.29) 𝐸𝑡𝑝𝑡+1∗ =1
𝛽𝜃𝑝𝑡∗ −1−𝛽𝜃
𝛽𝜃𝑝𝑡 −1−𝛽𝜃
𝛽𝜃(𝑚𝑐𝑡𝑟𝑒𝑎𝑙 + 𝜇)
Einsetzen von (A.29) in (A.26):
𝐸𝑡𝜋𝑡+1 =
1 − 𝜃
𝛽𝜃𝑝𝑡∗ −1 − 𝜃 1 − 𝛽𝜃
𝛽𝜃𝑝𝑡 −1 − 𝜃 1 − 𝛽𝜃
𝛽𝜃(𝑚𝑐𝑡𝑟𝑒𝑎𝑙 + 𝜇) − (1 − 𝜃)𝑝𝑡
𝐸𝑡𝜋𝑡+1 =1 − 𝜃
𝛽𝜃(𝑝𝑡∗ − 𝑝𝑡) −
1 − 𝜃 1 − 𝛽𝜃
𝛽𝜃(𝑚𝑐𝑡𝑟𝑒𝑎𝑙 + 𝜇)
(A.30) 𝐸𝑡𝜋𝑡+1 =1−𝜃
𝛽𝜃(𝑝𝑡∗ − 𝑝𝑡−1 − (𝑝𝑡 − 𝑝𝑡−1)) −
1−𝜃 1−𝛽𝜃
𝛽𝜃(𝑚𝑐𝑡𝑟𝑒𝑎𝑙 + 𝜇)
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Appendix A: Herleitung PC
Aus (A.24) folgt 𝑝𝑡∗ − 𝑝𝑡−1 =
𝜋𝑡
1−𝜃 und gemäß Definition der Inflationsrate gilt
𝜋𝑡 = 𝑝𝑡 − 𝑝𝑡−1. Damit vereinfacht sich (A.30) zu:
𝐸𝑡𝜋𝑡+1 =1 − 𝜃
𝛽𝜃
𝜋𝑡1 − 𝜃− 𝜋𝑡 −
1 − 𝜃 1 − 𝛽𝜃
𝛽𝜃(𝑚𝑐𝑡𝑟𝑒𝑎𝑙 + 𝜇)
𝐸𝑡𝜋𝑡+1 =1
𝛽𝜋𝑡 −1 − 𝜃 1 − 𝛽𝜃
𝛽𝜃(𝑚𝑐𝑡𝑟𝑒𝑎𝑙 + 𝜇)
Neu-Keynesianische Phillips-Kurve:
(A.31) 𝜋𝑡 = 𝛽𝐸𝑡𝜋𝑡+1 +1−𝜃 1−𝛽𝜃
𝜃(𝑚𝑐𝑡𝑟𝑒𝑎𝑙 + 𝜇) (vgl. A.1)
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Unter Beachtung von (A.18):
𝜋𝑡 = 𝛽𝐸𝑡𝜋𝑡+1 +1−𝜃 1−𝛽𝜃
𝜃(𝑚𝑐𝑡𝑟𝑒𝑎𝑙 + 𝑝 −𝑚𝑐)
𝜋𝑡 = 𝛽𝐸𝑡𝜋𝑡+1 +1−𝜃 1−𝛽𝜃
𝜃(𝑚𝑐𝑡 −𝑚𝑐)
(A.32) 𝜋𝑡 = 𝛽𝐸𝑡𝜋𝑡+1 +1−𝜃 1−𝛽𝜃
𝜃𝑚𝑐 𝑡 Gali, S. 47, Gl. (16)
Inflation steigt mit Inflationserwartungen und mit gap der nominalen Grenzkosten
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Appendix A: Herleitung PC
Formulierung der PC in Abhängigkeit der Output gap
Nominale Grenzkosten (siehe A.5):
(A.32) 𝑀𝐶𝑡 = 𝑊𝑡
Reale Grenzkosten in log-Termen:
(A.33) 𝑚𝑐𝑡𝑟𝑒𝑎𝑙 = 𝑤𝑡 − 𝑝𝑡
In Abweichungen vom Steady State:
(A.34) 𝑚𝑐 𝑡 = 𝑚𝑐𝑡𝑟𝑒𝑎𝑙 −𝑚𝑐 = 𝑤 𝑡 − 𝑝 𝑡
Optimale Arbeitsangebotsentscheidung der Haushalte:
(A.35) 𝑤𝑡 − 𝑝𝑡 = 𝜎𝑐𝑡 + 𝜂𝑛𝑡
(A.36) 𝑤 𝑡 − 𝑝 𝑡 = 𝜎𝑐 𝑡 + 𝜂𝑛 𝑡
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Appendix A: Herleitung PC
Unter Berücksichtigung von Gütermarktgleichgewicht 𝑦 𝑡 = 𝑐 𝑡 und Technologie
𝑦 𝑡 = 𝑛 𝑡 folgt:
(A.37) 𝑤 𝑡 − 𝑝 𝑡 = 𝜎 + 𝜂 𝑦 𝑡
Unter Beachtung von (A.34) folgt für PC:
(A.38) 𝜋𝑡 = 𝛽𝐸𝑡𝜋𝑡+1 +1−𝜃 1−𝛽𝜃
𝜃𝜎 + 𝜂 𝑦 𝑡 Gali, S.49, Gl. (21)
Inflation steigt mit positiver Output gap, weil
- mit steigendem Output die Beschäftigung steigt,
- eine höhere Beschäftigung gemäß Arbeitsangebot einen höheren Lohnsatz erfordert
- ein höherer Lohnsatz die Grenzkosten steigert
- steigende Grenzkosten den gewinnmaximalen Preis der Unternehmen, die in Periode t den
Preis anpassen können, erhöht
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