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FEM: Fehlerquellen und Fehler

• Die Studierenden sollen Fehlerquellen bei FEM kennen und Möglichkeiten zur Fehlerminimie-rung nutzen können.

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Vom physikalische Problem zum Rechenmodell

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Quelle: S. Bischoff, Stuttgart

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FE-Methode

• Systemzerlegung und Zusammenbau• Element- und Systemsteifigkeiten• Lasten und Randbedingungen• Lösung des Gleichungssystems und

Rückrechnung

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Approximationen

• bei der Aufgabenstellung– Die Wahl der einzelnen finiten Elemente bedingt die

Form des Gebietes (z.B. FE bei Kreisscheibe)

• bei der Lösung– Formfunktionen– isoparametrisches Konzept– numerische Integration

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Isoparametrische Konzept

Die Geometrie und die Verschiebungen, also die unverformte und die verformte Geometrie werden mit denselben Formfunktionen approximiert.

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Prinzip vom Minimum der potentiellen Energie

Prinzip der virtuellen Verschiebungen Wenn sich ein Körper im Gleichgewicht befindet, ist

für beliebige, infinitesimal kleine, virtuell auf den Körper einwirkende Verschiebungen, die die Auflagerbedingungen erfüllen, die gesamte innere virtuelle Arbeit gleich der äusseren virtuellen Arbeit.

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Anforderungen an die Ansätze der FEM

• Konsistenz = Vollständigkeit + Kompatibilität• Stabilität = ausreichende Integrationsordnung +

reguläre Elementformen

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Konvergenzrate und Genauigkeit

• Konvergenzrate: sagt aus, wie schnell eine bestimmte Fehlergrösse mit Netzverfeinerung gegen Null strebt.

• Genauigkeit: Der absolute Fehler sollte bei erträglichen Rechenzeiten unterhalb einer bestimmten Grenze liegen.

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Locking

bezeichnet das Phänomen einer von einem bestimmten Parameter abhängenden, reduzierten Konvergenzrate bei groben Netzen.

reduzierte Konvergenzrate: bei Netzverfeinerung ist die Verbesserung der Lösung geringer, als es die mathematische Theorie vorhersagt.

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FEM-Näherungslösungen

• Die FEM-Näherung ist bei gleichmässiger Elementgrösse im Bereich geringerer Spannungsgradienten besser als im Bereich höherer Spannungsgradienten.

• Die Elementspannungen sind in Elementmitte deutlich genauer als am Elementrand.

• Der Spannungssprung zwischen zwei Elementen ist ein Mass für die Genauigkeit an der betreffenden Stelle.

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Fehlermöglichkeiten bei Stabwerkberechnungen

• Fehler im Berechnungsmodell• Eingabefehler• numerische Fehler• Programmfehler

(Werkle S. 157)

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Kontrolle von Stabwerksberechnungen

• Grobkontrolle– Graphische Darstellung des Systems– Kontrolle der Summe der Lasten jedes Lastfalls– graphische Darstellung der Verformungen– graphische Darstellung massgebender Schnittgrössen

• Prüfung der Eingabedaten auf Vollständigkeit• Kontrollen bei singulärer Steifigkeitsmatrix• Feinkontrolle

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Dokumentation der BerechnungenEingabewerte:• alle relevanten Eingabewerte• Numerierung der Knotenpunkte und Elemente• Knotenpunktkoordinaten• Querschnitts-, Material- und Bemessungskennwerte• Auflager- und Gelenkdefinitionen• Lasten• graphische Darstellung aller Lastfälle• Summe der Lasten• Vorschrift zur Lastfallüberlagerung

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Dokumentation der BerechnungenErgebnisse:• Auflagerkräfte (einzeln und Summe

lastfallweise)• graphische und tabellarische Darstellung der

Schnittgrössen• graphische und tabellarische Darstellung der

Durchbiegungen• Bemessungskennwerte und Bemessung bzw.

sonstige statische Nachweise

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Näherungscharakter der FEM

Lesen und bearbeiten Sie im Buch Werkle FEM die Kapitel:

– 4.3.1 Eindimensionales Erläuterungsbeispiel– 4.3.2 Analytische Lösung– 4.3.3 FEM-Näherungslösung mit linearem

Verschiebungsansatz

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Fachwerkstab mit veränderlicher Querschittsfläche

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Analytische Lösung

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FEM-Näherungslösung mit linearem Verschiebungsansatz

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Vergleich FEM-Näherung und exakte Lösung

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Beispiel 4.2

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Forderung an exakte Lösung

• An der Grenzlinie benachbarter Elemente müssen die Verschiebungsgrössen beider Elemente übereinstimmen.

• An der Grenzlinie müssen die Kraftgrössen beider Elemente die Gleichgewichtsbedingungen erfüllen.

• An gelagerten Rändern sind die Auflagerbedingungen zu erfüllen.

• An freien Rändern ist das Gleichgewicht zwischen Randlasten und Schnittgrössen zu erfüllen.

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FEM-Näherungslösungen

• Die FEM-Lösung nähert die exakte Lösung an. Ihre Genauigkeit wird durch eine Vergrösserung der Elementzahl bzw. eine Verringerung der Elementgrösse erhöht.

• Elemente mit höheren Ansatzfunktionen sind genauer als Elemente mit niedrigeren.

• Bei Finiten Elementen, die ausschlieslich auf Verschiebungsansätzen beruhen, sind die angenäherten Knotenverschiebungen im Mittel zu klein, d.h. das System verhält sich aufgrund des Näherungsansatzes zu "steif".

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Eigenschaften der FEM-Näherungslösung

• Genauigkeit wird durch Vergrösserung der Elementzahl erhöht.

• Elemente mit höhern Ansatzfunktionen sind genauer.• Bei Verschiebungsansätzen sind die

Knotenverschiebungen im Mittel zu klein.• bessere Genauigkeit im Bereich geringer

Spannungsgradienten.• Elementspannungen in der Mitte genauer als am Rand.• Spannungsprung zwischen zwei Elementen ist Mass für

die Genauigkeit.

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Eigenschaften der FEM mit Verschiebungsansätzen

• Verschiebungsgrössen stimmen an den grenzen benachbarter Elemente überein.

• Die Gleichgewichtsbedingungen für Kraftgrössen werden an den Grenzlinien nicht erfüllt.

• Die Auflagerbedingungen werden an gelagerten Rändern erfüllt.

• An freien Rändern wird das Gleichgewicht zwischen Randlasten und Schnittgrössen nicht erfüllt.

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Numerische Integration

Für die Berechnung der Elementsteifigkeitsmatrix K und des Vektors F der konsistenten Knotenlasten müssen Integrale gelöst werden.In FEM-Programmen wird die Integration in der Regel numerisch ausgeführt, meist nach Gauss. Dabei wird das Integral durch eine Summe von Funktionswerten multipliziert mit einem Gewichtsfaktor ersetzt.

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Numerische Integration nach Gauss-Legendre

1-dimensional

2- dimensionale Gebiete€

f (ξ )−1

1

∫ dξ = f (ξ i)i=1

n

∑ ⋅ωi

€

f (ξ ,η )−1

1

∫−1

1

∫ dξdη ≈ f (ξ i,η j )j=1

nη

∑i=1

nξ

∑ ⋅ωi ⋅ω j

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Kondition einer Matrix

Abhängigkeit der Lösung eines Problems von der Störung der Eingangsdaten. Die Konditionszahl stellt ein Mass für diese Abhängigkeit dar; sie beschreibt den Faktor, um den der Eingangsfehler im ungünstigsten Fall verstärkt wird. Sie ist unabhängig von konkreten Lösungsverfahren.

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Kondition einer Matrix

Eine positiv definite Matrix hat nur positive Eigenwerte k , k = 1 . . . n. Die Konditionszahl einer solchen Matrix ist der Quotient von grösstem und kleinsten Eigenwert:

Ist k gross, so ist die Matrix schlecht konditioniert. €

k = λ max

λ min

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Faustregel

Die Grössenordnung der Konditionszahl gibt die Anzahl der Stellen in den Ergebnissen angibt, die nicht mehr genau berechnet werden können. Ist beispielsweise k ≈ 107 , dann kann bei einem real*4-Ergebnis mit 8 Stellen nur eine Ziffer sinnvoll ausgewertet werden.

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Bandbreite von Matrizen

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Bandbreite von Matrizen

Die Matrix K ist meist schwach besetzt, d.h. bis auf die Hauptdiagonale und wenige Nebendiagonalen besteht die Matrix nur aus Nullelementen. -> Bandmatrix, entsteht nur bei günstiger, d.h. fortlaufender Numerierung der Knoten.Charakteristisch ist die halbe Bandbreite einer n n-Matrix. Sie ist

o(i) = Position des ersten Nichtnullelements der i-ten Zeile

€

max2≤ i≤n

i − o i( )( )

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Iterative Lösungsverfahren für Gleichungssysteme

• Jakobi-Verfahren• Gauss-Seidel-Verfahren• konjugiertes Gradientenverfahren

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Weitere Probleme

• Thermische Veränderungen– Temperaturgradient– unterschiedliches Materialverhalten