1

Vorlesung vom 14. Dezember 2006Astronomisch, Physikalische und Mathematische Geodäsie II

Torsten Mayer-Gürr

Vorlesung vom 14. Dezember 2006Astronomisch, Physikalische und Mathematische Geodäsie II

Torsten Mayer-Gürr

Das freie Randwertproblem von StokesDas freie Randwertproblem von Stokes

2

Beobachtungsgleichungen

Geoidundulationen (Formel von Bruns)Geoidundulationen (Formel von Bruns)

0T

N

0 0

1

0

),(),(n

n

mnmnmnmnm

n

SsCcr

R

R

GMN

Schwereanomalien (Fundamentalgleichung)Schwereanomalien (Fundamentalgleichung)

r

T

r

Tg 2

0 0

2

2),(),()1(

n

n

mnmnmnmnm

n

SsCcr

Rn

R

GMg

Schwerestörungen:Schwerestörungen:

r

Tg

0 0

2

2),(),()1(

n

n

mnmnmnmnm

n

SsCcr

Rn

R

GMg

Gravitationsgradienten (2. Radiale Ableitung)Gravitationsgradienten (2. Radiale Ableitung)

0 0

3

3),(),()2)(1(

n

n

mnmnmnmnm

n

rr SsCcr

Rnn

R

GMT

2

2

r

TTrr

3

Weitere Beobachtungsgleichungen

Geoidundulationen (Formel von Bruns)Geoidundulationen (Formel von Bruns)

0T

N

Schwereanomalien (Fundamentalgleichung)Schwereanomalien (Fundamentalgleichung)

r

T

r

Tg 2

Schwerestörungen:Schwerestörungen:

r

Tg

Gravitationsgradienten (2. Radiale Ableitung)Gravitationsgradienten (2. Radiale Ableitung)

2

2

r

TTrr

4

Die spektralen Beziehungender Funktionale des Störpotentials

(Gradvarianzen)

Die spektralen Beziehungender Funktionale des Störpotentials

(Gradvarianzen)

5

Approximation durch Kugelfunktionen

Grad, Ordnung n, m

Anzahl der Koeffizienten

4 25

8 81

16 289

30 961

60 3721

120 14641

240 58081

0 0

2

2),(),()1(

n

n

mnmnmnmnm

n

SsCcr

Rn

R

GMg

6

Approximation durch Kugelfunktionen

Grad, Ordnung n, m

Anzahl der Koeffizienten

4 25

8 81

16 289

30 961

60 3721

120 14641

240 58081

0 0

2

2),(),()1(

n

n

mnmnmnmnm

n

SsCcr

Rn

R

GMg

7

Approximation durch Kugelfunktionen

Grad, Ordnung n, m

Anzahl der Koeffizienten

4 25

8 81

16 289

30 961

60 3721

120 14641

240 58081

0 0

2

2),(),()1(

n

n

mnmnmnmnm

n

SsCcr

Rn

R

GMg

8

Approximation durch Kugelfunktionen

Grad, Ordnung n, m

Anzahl der Koeffizienten

4 25

8 81

16 289

30 961

60 3721

120 14641

240 58081

0 0

2

2),(),()1(

n

n

mnmnmnmnm

n

SsCcr

Rn

R

GMg

9

Approximation durch Kugelfunktionen

Grad, Ordnung n, m

Anzahl der Koeffizienten

4 25

8 81

16 289

30 961

60 3721

120 14641

240 58081

0 0

2

2),(),()1(

n

n

mnmnmnmnm

n

SsCcr

Rn

R

GMg

10

Approximation durch Kugelfunktionen

Grad, Ordnung n, m

Anzahl der Koeffizienten

4 25

8 81

16 289

30 961

60 3721

120 14641

240 58081

0 0

2

2),(),()1(

n

n

mnmnmnmnm

n

SsCcr

Rn

R

GMg

11

Approximation durch Kugelfunktionen

Grad, Ordnung n, m

Anzahl der Koeffizienten

4 25

8 81

16 289

30 961

60 3721

120 14641

240 58081

0 0

2

2),(),()1(

n

n

mnmnmnmnm

n

SsCcr

Rn

R

GMg

12

Kugelflächenfunktionen

Grad n = 4Grad n = 4

Grad n = 20Grad n = 20

Grad n = 40Grad n = 40

13

Auflösung

Störpotential

mit den Basisfunktionen

Störpotential

mit den Basisfunktionen

1

0 0

( , ) ( , )n n

nm nm nm nmn m

GM RT c C s S

R r

- Erdumfang am Äquator: U = 40.000 km

- Ordung m hat m Schwingungen entlang des Äquators

- Wellenlänge:

- Auflösung (halbe Wellenlänge):

Beispiel für

- Erdumfang am Äquator: U = 40.000 km

- Ordung m hat m Schwingungen entlang des Äquators

- Wellenlänge:

- Auflösung (halbe Wellenlänge):

Beispiel für

( , ) cos( ) (cos )

( , ) sin( ) (cos )

mnm n

mnm n

C m P

S m P

U

m

360 55 km 360n m

14

SchwereanomalienSchwereanomalien

Glatt <--> Rau

GeoidGeoid

GravitationsgradientGravitationsgradient

15

Varianz des Störpotentials:Varianz des Störpotentials:

Signalgehalt

2 2

1

1( ) ( , )

N

i ii

T TN

2 2

1

1( , )

4

N

i i ii

T

Anbringen von Flächengewichten:

2 21( , )

4T d

Übergang auf das Integral:

16

Signalgehalt

Störpotential:Störpotential:

0 0

1

),(),(n

n

mnmnmnmnm

n

SsCcr

R

R

GMT

Varianz des Störpotentials:Varianz des Störpotentials:

2 21( , )

4T d

22 2 2 2 2

0 0

1( , ) ( , )

4

n

nm nm nm nmn m

GMc C d s S d

R

Einsetzten unter Ausnutzungder Orthogonalität der Kugelflächenfunktionen

17

Signalgehalt

Varianz des Störpotentials:Varianz des Störpotentials:

2 21( , )

4T d

2

2 2 2 2

0 0

1( , ) ( , )

4

n

nm nm nm nmn m

GMc C d s S d

R

Für vollständig normierte Kugelflächenfunktionen gilt:

2 2( , ) ( , ) 4nm nmC d S d

22 2 2

0 0

n

nm nmn m

GMc s

R

Varianz des Störpotentials:

18

Signalgehalt

2

0

( ) ( )nn

T T

Störpotential2 2

0

( )n

n nm nmm

GMT c s

R

19

Signalgehalt

2 2

0

( )n

n nm nmm

GMT c s

R

2 2

0

( )n

n nm nmm

N R c s

2 22

0

( ) ( 1)n

n nm nmm

GMg n c s

R

2 22

0

( ) ( 1)n

n nm nmm

GMg n c s

R

2 23

0

( ) ( 1)( 2)n

n rr nm nmm

GMT n n c s

R

2

0

( ) ( )nn

T T

Geoidundulationen 2

0

( ) ( )nn

N N

2

0

( ) ( )nn

g g

Schwerestörungen

2

0

( ) ( )nn

g g

Schwereanomalien

Gravitationsgradient 2

0

( ) ( )rr n rrn

T T

Störpotential

20

Gradvarianzen

[m]

Geoid: EGM96 - GRS80

2 2

0

( )n

n nm nmm

N R c s

21

Gradvarianzen

[m]

Geoid: EGM96 - GRS80

10

4

10(2 1)n R n

n

Kaula

2 2

0

( )n

n nm nmm

N R c s

22

Gradvarianzen

[m]

Geoid: EGM96 - GRS80

2 2

0

( )n

n nm nmm

N R c s

23

Gradvarianzen

[m]

2 2

0

( )n

n nm nmm

N R c s

Geoid: EGM96 - GRS80

2 2

0

1( )

n

n nm nmm

GM ng c s

R R

Anomalien: EGM96 - GRS80

[mGal]

24

Gradvarianzen

[m]

2 2

0

n

n nm nmm

R c s

Geoid: EGM96 - GRS80

2 2

0

1 n

n nm nmm

GM nc s

R R

Anomalien: EGM96 - GRS80

[mGal]

25

Meissel-Schema

2n

R

1n

R

( )nT R

r

2

2

( )nT R

r

( )nT R

26

Meissel-Schema

2n

R

1n

R

( )nT R

r

2

2

( )nT R

r

( )nT R

27

Meissel-Schema

2n

R

1n

R

( )nT R

r

2

2

( )nT R

r

( )nT R

28

Meissel-Schema

2n

R

1n

R

1nR

r

2nR

r

3nR

r

2n

r

1n

r

( )nT r

r

2

2

( )nT r

r

( )nT r

( )nT R

r

2

2

( )nT R

r

( )nT R

29

Gradvarianzen

Satellitenhöhe (250 km):

: Erdoberfläche (0 km)

30

Gradvarianzen

: Erdoberfläche (0 km)

31

Gradvarianzen

Satellitenhöhe (250 km):

: Erdoberfläche (0 km)

32

Gradvarianzen

Satellitenhöhe (250 km):

: Erdoberfläche (0 km)

33

Gradvarianzen

Satellitenhöhe (250 km):

: Erdoberfläche (0 km)

34

Gradvarianzen

Satellitenhöhe (250 km):

: Erdoberfläche (0 km)

35

Gradvarianzen

Satellitenhöhe (250 km):

: Erdoberfläche (0 km)

36

Vorteile der Kugelfunktionen:

- Einfache Beobachtungsgleichungen

- Fortsetzung nach oben/unten ist leicht

- Direkte Umrechnung in die verschiedenen Funktionale (Geoidundulationen, Schwereanomalien)

Vorteile der Kugelfunktionen:

- Einfache Beobachtungsgleichungen

- Fortsetzung nach oben/unten ist leicht

- Direkte Umrechnung in die verschiedenen Funktionale (Geoidundulationen, Schwereanomalien)

Kugelfunktionen

Nachteile der Kugelfunktionen:

- Kugelfunktionen sind global

- Beobachtungen müssen global und gleichmäßig verteilt sein

- Sehr hohe Auflösungen sind praktisch nicht zu realisieren

Nachteile der Kugelfunktionen:

- Kugelfunktionen sind global

- Beobachtungen müssen global und gleichmäßig verteilt sein

- Sehr hohe Auflösungen sind praktisch nicht zu realisieren

37

Beispiel Deutschland

- Punktabstand: 10 km

- Entspricht einer Kugelfunktionsentwicklung von n = m = 2.000

- Anzahl der unbekannten Koeffizienten: ca. 4.000.000

- Größe der Normagleichungsmatrix: ca. 128 TeraByte

- Sind die Daten in dieser Auflösung nicht global gegeben, ist das Gleichungssystem nicht lösbar

- Punktabstand: 10 km

- Entspricht einer Kugelfunktionsentwicklung von n = m = 2.000

- Anzahl der unbekannten Koeffizienten: ca. 4.000.000

- Größe der Normagleichungsmatrix: ca. 128 TeraByte

- Sind die Daten in dieser Auflösung nicht global gegeben, ist das Gleichungssystem nicht lösbar

38

Alternative Schwerefelddarstellungen

39

Sphärische Splines

Darstellung des Störpotentials durch Linearkombination von lokalen Basisfunktionen

Lokale Basisfunktionen:

Die Koeffizienten legen die Form der Basisfunktion fest

Darstellung des Störpotentials durch Linearkombination von lokalen Basisfunktionen

Lokale Basisfunktionen:

Die Koeffizienten legen die Form der Basisfunktion fest

),()(1

i

N

iiaT rrr

0

1

)(cos)(n

n

n

n Pr

Rk

R

GM

nk

40

Sphärische Splines

Darstellung des Störpotentials durch Linearkombination von lokalen Basisfunktionen

Lokale Basisfunktionen:

Die Koeffizienten legen die Form der Basisfunktion fest

Darstellung des Störpotentials durch Linearkombination von lokalen Basisfunktionen

Lokale Basisfunktionen:

Die Koeffizienten legen die Form der Basisfunktion fest

),()(1

i

N

iiaT rrr

0

1

)(cos)(n

n

n

n Pr

Rk

R

GM

nk

41

Sphärische Splines

Darstellung des Störpotentials durch Linearkombination von lokalen Basisfunktionen

Lokale Basisfunktionen:

Die Koeffizienten legen die Form der Basisfunktion fest

Darstellung des Störpotentials durch Linearkombination von lokalen Basisfunktionen

Lokale Basisfunktionen:

Die Koeffizienten legen die Form der Basisfunktion fest

),()(1

i

N

iiaT rrr

0

1

)(cos)(n

n

n

n Pr

Rk

R

GM

nk

42

Alternative Schwerefelddarstellungen

Repräsentation des Schwerefeldes:

- Kugelfunktionen

- Sphärische Splines

- Wavelets

- Punktmassen (Mascons)

- Blockmittelwerte

- Direkte Lösung (Integralgleichung)

Repräsentation des Schwerefeldes:

- Kugelfunktionen

- Sphärische Splines

- Wavelets

- Punktmassen (Mascons)

- Blockmittelwerte

- Direkte Lösung (Integralgleichung)

43

Direkte Lösung der freien Randwertaufgabe

Direkte Lösung der freien Randwertaufgabe

44

Randwertaufgaben der Potentialtheorie

Gesucht ist das (Stör-)potential im Außenraum

- gemessenen sind Funktionale auf der Kugeloberfläche

- Das Potential ist harmonisch (quellenfrei) im Außenraum

- Das Potential ist regulär im Unendlichen

Gesucht ist das (Stör-)potential im Außenraum

- gemessenen sind Funktionale auf der Kugeloberfläche

- Das Potential ist harmonisch (quellenfrei) im Außenraum

- Das Potential ist regulär im Unendlichen

1. Randwertaufgabe

2. Randwertaufgabe

3. Randwertaufgabe

1. Randwertaufgabe

2. Randwertaufgabe

3. Randwertaufgabe

T( , )f

( , )f

( , )f

T

r

2T T

r r

g

g

45

Lösung der 1. Randwertaufgabe in Kugelfunktionen

Gemessen:

Lösung der 1. Randwertaufgabe in Kugelfunktionen

Gemessen:

3. Übergang auf die

Randfläche

3. Übergang auf die

Randfläche0 0

( , , ) ( , ) ( , )n

nm nm nm nmn m

GMT R c C s S

R

Randwertaufgaben der Potentialtheorie

1. Entwicklung der Messwerte

nach Kugelflächenfunktionen:

1. Entwicklung der Messwerte

nach Kugelflächenfunktionen:0 0

( , ) ( , ) ( , )n

nm nm nm nmn m

GMT a C a S

R

2. Störpotential

im Außenraum:

2. Störpotential

im Außenraum:

0 0

1

),(),(),,(n

n

mnmnmnmnm

n

SsCcr

R

R

GMrT

T

46

Lösung der 1. Randwertaufgabe in Kugelfunktionen

Gemessen:

Lösung der 1. Randwertaufgabe in Kugelfunktionen

Gemessen:

3. Übergang auf die

Randfläche

3. Übergang auf die

Randfläche0 0

( , , ) ( , ) ( , )n

nm nm nm nmn m

GMT R c C s S

R

Randwertaufgaben der Potentialtheorie

1. Entwicklung der Messwerte

nach Kugelflächenfunktionen:

1. Entwicklung der Messwerte

nach Kugelflächenfunktionen:0 0

( , ) ( , ) ( , )n

nm nm nm nmn m

GMT a C a S

R

T

47

Lösung der 1. Randwertaufgabe in Kugelfunktionen

Gemessen:

Lösung der 1. Randwertaufgabe in Kugelfunktionen

Gemessen:

3. Übergang auf die

Randfläche

3. Übergang auf die

Randfläche0 0

( , , ) ( , ) ( , )n

nm nm nm nmn m

GMT R c C s S

R

Randwertaufgaben der Potentialtheorie

1. Entwicklung der Messwerte

nach Kugelflächenfunktionen:

1. Entwicklung der Messwerte

nach Kugelflächenfunktionen:0 0

( , ) ( , ) ( , )n

nm nm nm nmn m

GMT a C a S

R

T

4. Koeffizientenvergleich4. Koeffizientenvergleichnm nm

nm nm

a c

b s

5. Einsetzen5. Einsetzen 1

0 0

( , , ) ( , ) ( , )n n

nm nm nm nmn m

GM RT r a C b S

R r

48

Lösung der 2. Randwertaufgabe in Kugelfunktionen

Gemessen:

Lösung der 2. Randwertaufgabe in Kugelfunktionen

Gemessen:

4. Übergang auf die

Randfläche

4. Übergang auf die

Randfläche

0 0

),(),()1(),,(

n

n

mnmnmnmnm SsCc

R

n

R

GM

r

RT

3. Beobachtungsgleichung3. Beobachtungsgleichung 1

0 0

( 1)( , ) ( , )

n n

nm nm nm nmn m

T GM n Rc C s S

r R r r

Randwertaufgaben der Potentialtheorie

r

Tg

1. Entwicklung der Messwerte

nach Kugelflächenfunktionen:

1. Entwicklung der Messwerte

nach Kugelflächenfunktionen:0 0

( , ) ( , ) ( , )n

nm nm nm nmn m

GMg a C a S

R

2. Störpotential

im Außenraum:

2. Störpotential

im Außenraum:

0 0

1

),(),(),,(n

n

mnmnmnmnm

n

SsCcr

R

R

GMrT

49

Lösung der 2. Randwertaufgabe in Kugelfunktionen

Gemessen:

Lösung der 2. Randwertaufgabe in Kugelfunktionen

Gemessen:

4. Übergang auf die

Randfläche

4. Übergang auf die

Randfläche

0 0

),(),()1(),,(

n

n

mnmnmnmnm SsCc

R

n

R

GM

r

RT

Randwertaufgaben der Potentialtheorie

r

Tg

1. Entwicklung der Messwerte

nach Kugelflächenfunktionen:

1. Entwicklung der Messwerte

nach Kugelflächenfunktionen:0 0

( , ) ( , ) ( , )n

nm nm nm nmn m

GMg a C a S

R

50

Lösung der 2. Randwertaufgabe in Kugelfunktionen

Gemessen:

Lösung der 2. Randwertaufgabe in Kugelfunktionen

Gemessen:

4. Übergang auf die

Randfläche

4. Übergang auf die

Randfläche

0 0

),(),()1(),,(

n

n

mnmnmnmnm SsCc

R

n

R

GM

r

RT

Randwertaufgaben der Potentialtheorie

r

Tg

1. Entwicklung der Messwerte

nach Kugelflächenfunktionen:

1. Entwicklung der Messwerte

nach Kugelflächenfunktionen:0 0

( , ) ( , ) ( , )n

nm nm nm nmn m

GMg a C a S

R

4. Koeffizientenvergleich4. Koeffizientenvergleich 1nm nm

nm nm

a cnb sR

5. Einsetzen5. Einsetzen 2

0 0

( , , ) ( , ) ( , )1

n n

nm nm nm nmn m

GM r RT R a C b S

R n r

51

Lösung der 3. Randwertaufgabe in Kugelfunktionen

Gemessen:

Lösung der 3. Randwertaufgabe in Kugelfunktionen

Gemessen:

3. Beobachtungsgleichung3. Beobachtungsgleichung 1

0 0

( 1)( , ) ( , )

n n

nm nm nm nmn m

T GM n Rc C s S

r R r r

Randwertaufgaben der Potentialtheorie

1. Entwicklung der Messwerte

nach Kugelflächenfunktionen:

1. Entwicklung der Messwerte

nach Kugelflächenfunktionen:0 0

( , ) ( , ) ( , )n

nm nm nm nmn m

GMg a C a S

R

2. Störpotential

im Außenraum:

2. Störpotential

im Außenraum:

0 0

1

),(),(),,(n

n

mnmnmnmnm

n

SsCcr

R

R

GMrT

r

T

r

Tg 2

4. Übergang auf die

Randfläche

4. Übergang auf die

Randfläche

0 0

),(),()1(

2n

n

mnmnmnmnm SsCc

R

n

R

GM

r

T

r

T

52

Lösung der 3. Randwertaufgabe in Kugelfunktionen

Gemessen:

Lösung der 3. Randwertaufgabe in Kugelfunktionen

Gemessen:

4. Übergang auf die

Randfläche

4. Übergang auf die

Randfläche

Randwertaufgaben der Potentialtheorie

1. Entwicklung der Messwerte

nach Kugelflächenfunktionen:

1. Entwicklung der Messwerte

nach Kugelflächenfunktionen:0 0

( , ) ( , ) ( , )n

nm nm nm nmn m

GMg a C a S

R

r

T

r

Tg 2

0 0

),(),()1(

2n

n

mnmnmnmnm SsCc

R

n

R

GM

r

T

r

T

4. Koeffizientenvergleich4. Koeffizientenvergleich 1nm nm

nm nm

a cnb sR

5. Einsetzen5. Einsetzen 2

0 0

( , , ) ( , ) ( , )1

n n

nm nm nm nmn m

GM r RT R a C b S

R n r

53

Lösung der 3. Randwertaufgabe: mit dem Stokes-Pizetti-KernLösung der 3. Randwertaufgabe: mit dem Stokes-Pizetti-Kern

Lösung der 2. Randwertaufgabe: mit dem Hotine-KernLösung der 2. Randwertaufgabe: mit dem Hotine-Kern

Randwertaufgaben der Potentialtheorie

Lösung der 1. Randwertaufgabe: mit dem Abel-Poisson-KernLösung der 1. Randwertaufgabe: mit dem Abel-Poisson-Kern

dTPR

T )'()',(4

)( rrrr3

22

)',(l

RrP

rr

)cos1(

cosln

2)',(

r

rRl

l

RH rr

r

Rrl

r

Rl

l

RS

2

cosln35cos3

2)',(

2

rr

dgHR

T )'()',(4

)( rrrr

dgSR

TT )'()',(4

)()( 1 rrrrr

54

Stokes-Pizetti-Kern:Stokes-Pizetti-Kern:

Hotine-Kern:Hotine-Kern:

Randwertaufgaben der Potentialtheorie

Abel-Poisson-Kern:Abel-Poisson-Kern:

3

22

)',(l

RrP

rr

)cos1(

cosln

2)',(

r

rRl

l

RH rr

r

Rrl

r

Rl

l

RS

2

cosln35cos3

2)',(

2

rr

0

1

)(cos12

nn

n

Pr

R

R

n

0

1

)(cos1

12

nn

n

Pr

R

n

n

0

1

)(cos1

12

nn

n

Pr

R

n

n

55