Post on 18-Jan-2016
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(10) ThermodynamikErster Hauptsatz
Spezifische Wärmekapazität
Meteorologie und Klimaphysik
Meteo 150
Thermodynamik
Meteo 151
In der Thermodynamik betrachten wir ein System (das von Materie umgeben wird, die selbst nicht zum System gehört).
Offenes System – tauscht mit der Umgebung Masse und Energie aus.Geschlossenes System – tauscht mit der Umgebung Energie aus, aber
keine Masse (z.B. das Klimasystem der Erde).Abgeschlossenes System – tauscht mit der Umgebung weder Energie
noch Masse aus (isoliertes System)
Der Zustand eines Systems wird durch makroskopische Zustandsgrößen beschrieben (z.B. p, V, T), die durch eine Zustandsgleichung miteinander verknüpft sind (z.B. durch das Gasgesetz).
Zustandsgrößen hängen nur vom momentanen Zustand des Systems ab, und nicht vom Weg, auf dem er erreicht wurde.
Thermodynamik
Meteo 152
Wenn das System im thermodynamischen Gleichgewicht ist, sind die Zustandsgrößen zeitlich konstant (nicht sehr spannend).
Zwei System, die miteinander im thermischen Gleichgewicht sind, haben die gleiche Temperatur (folgt ~ aus dem „Nullten Hauptsatz“):
Nullter Hauptsatz: „Es gibt eine Zustandsgröße, die Temperatur. Ihre Gleichheit ist Bedingung des thermischen Gleichgewichtes zweier Systeme“ oder „Stehen zwei Systeme jeweils mit einem dritten im thermischen Gleichgewicht, so stehen sie auch untereinander im Gleichgewicht“.
Extensive Zustandsgrößen sind von der Größe des Systems abhängig – z.B. die Teilchenzahl oder das Volumen.
Intensive Größen sind nicht von der Größe des Systems (bzw. von der Stoffmenge) abhängig – z.B. der Druck oder die Temperatur (zwei Kugeln Eis sind nicht doppelt so warm wie eine).
Zustandsänderungen
Meteo 153
Für ein ideales Gas gibt es Spezialfälle von Zustandsänderungen, bei denen jeweils eine Zustandsgröße konstant bleibt. Wenn sich die Stoffmenge nicht ändert gibt es folgende Möglichkeiten:
Bei einer isobaren Zustandsänderung bleibt der Druck gleich, und
const. T
V
co n s t. p V
const. T
p
Bei einer isothermen Zustandsänderung bleibt die Temperatur gleich,
Bei einer isochoren Zustandsänderung bleibt das Volumen gleich,
Boyle-Mariotte Gesetz Robert Boyle (1662) Edme Mariotte (1676)
Gay-Lussacsches Gesetz Joseph Louis Gay-Lussac (1802)
Gesetz von Amontons Guillaume Amontons (1699)
Zustandsänderungen
Meteo 154
Im thermodynamischen Diagramm (p-V-Diagramm) sieht die Sache (schematisch) so aus (Bild: U. Langematz):
1. Hauptsatz
Meteo 155
In der Thermodynamik wird die kinetische Energie durch die Bewegung des Systems als Ganzes und die Änderung seiner potentiellen Energie im äußeren Feld nicht betrachtet.Die Energie eines Systems ist also in der Thermodynamik gleich seiner inneren Energie.
δ Wδ Qd U
Erster Hauptsatz der Thermodynamik
Für abgeschlossene Systeme gilt der Satz von der Erhaltung der Energie. Die innere Energie U kann sich nur durch den Transport von Energie in Form von Arbeit W und/oder Wärme Q über die Grenze des Systems ändern,
[Weder Arbeit noch Wärme sind Zustandsgrößen (für die wir das totale Differential d verwenden würden), deshalb verwenden wir für sie das Differentialzeichen δ ]
1. Hauptsatz
Meteo 156
Volumenarbeit – Bei der Kompression eines Gases muss (äußere) Arbeit (gegen den inneren Druck) verrichtet werden (ausprobieren). Verschieben wir den Kolben langsam (reibungsfrei, quasistatisch, reversibel, ..) nach innen (pa > pi) so wird das Volumen verringert (dV < 0). Die dafür nötige, von außen zugeführte Arbeit ist positiv definiert – damit haben wir wieder einmal ein
Minus „hergezaubert“ (Bild: U.Langematz).
pAdx Fdx δW
pdV δW
Mit „Arbeit ist Kraft mal Weg“ und „Kraft ist Druck mal Fläche“ erhalten wir:
Adx ist aber genau das infinitesimale Volumen dV:
1. Hauptsatz
Meteo 157
Volumenarbeit – Bei der Expansion eines Gases (dV > 0) verrichtet dieses Arbeit gegen den äußeren Druck. Das System leistet Arbeit, die äußere Arbeit ist negativ.
Die Geschwindigkeit spielt bei der Berechnung der Arbeit keine Rolle (da drängen sich natürlich sofort Assoziationen auf, die man keinesfalls in ein Skriptum schreiben kann), damit kann man sie (formal) auch unendlich langsam ansetzen. Dadurch wird der Prozess quasistatisch (pa pi). Das dauert zwar seine Zeit, aber dafür ist der Prozess reversibel, das System kann wieder in den Ausgangszustand zurückkehren kann, ohne dass in seiner Umgebung irgendwelche Veränderungen eingetreten sind.Wenn Luft über ein Gebirge strömt, ohne dass es dabei zu Wolkenbildung kommt, ist diese Annahme z.B. auch in der richtigen Welt sehr gut erfüllt. Bei Aufstieg dehnt sich die Luft aus und kühlt sich ab, beim Abstieg geht alles wieder zum Ausgangszustand zurück („Z.K. macht‘s wieder gut …“).
Wärmekapazität
Meteo 158
Ein thermisch isoliertes System kann keine Wärme mit seiner Umgebung austauschen (δQ = 0). Jede Zustandsänderung in einem solchen System heißt adiabatisch.
Wird einem System Energie in Form von Wärme zugeführt, so erfolgt eine Änderung seines Zustands, die als Temperaturänderung in Erscheinung tritt.Für kleine Änderungen ist der Temperaturanstieg proportional zur Wärmemenge. Der Proportionalitätsfaktor ist die Wärmekapazität C.
C d T δ Q
Je höher die Wärmekapazität eines Stoffes, desto mehr Wärme muss zugeführt werden, um die Temperatur um dT zu erhöhen.
Die Wärmekapazität ist also stoffabhängig. Sie hängt aber auch davon ab, unter welchen Bedingungen dem System Wärme zugeführt wird.
Wärmekapazität
Meteo 159
Bei konstantem Volumen kann das System keine Arbeit leisten. In diesem Fall haben wir es mit der isochoren Wärmekapazität, bzw. mit der Wärmekapazität bei konstantem Volumen, CV, zu tun:
d TC δ Q V
Bei konstantem Druck kann sich das System bei Erwärmung ausdehnen. Ein Teil der zugeführten Energie wird dabei für die Volumenarbeit benötigt, und steht daher nicht zur Temperaturerhöhung zur Verfügung. Die isobare Wärmekapazität, bzw. Wärmekapazität bei konstantem Druck, Cp, ist daher typischerweise höher als die isochore.
d TC δ Q p Vp C C
Spezifisches
Meteo 160
In der Meteorologie ist es üblich mit spezifischen Größen zu rechnen, wobei „spezifisch“ meint, dass die jeweilige physikalische Größe auf die Masse bezogen ist (damit sind natürlich auch die Einheiten anders). [Sinnvoll ist das natürlich nur für extensive Größen].
Spezifische Wärme(menge):
kg
J
m
Q q
kg
J
m
U u
Spezifische Innere Energie:
Spezifisches Volumen
Meteo 161
Spezifisches Volumen (Kehrwert der Dichte !):
kg
m1 3
ρm
V v
Kkg
J
m
C c
Spezifische Wärmekapazität:
ACHTUNG ! „Spezifische Wärme“ meint praktisch immer „Spezifische Wärmekapazität“ c
Thermodynamisches Diagramm
Meteo 162
Ein thermodynamisches Diagramm (p-v-Diagramm), etwas weniger schematisch als zuletzt (und ganz korrekt mit dem spezifischen Volumen) (Bildquelle: www.energie.ch).
Die Isothermen sind Hyperbel-Äste.
Spezifischer 1. Hauptsatz
Meteo 163
Der 1. Hauptsatz sieht in spezifischen Größen so aus:
p d vδ qd u
dT
dvp
dT
du
dT
δq
dT
dvp
dT
duc
Umstellen und Division durch dT gibt:
Der erste Term ist aber die spezifische Wärmekapazität, daher:
Spezifische Wärmekapazität
Meteo 164
Bei einer isochoren Zustandsänderung ändert sich das Volumen nicht,
v ist konstant und
dT
ducv
0dT
dv
Die Spezifische Wärmekapazität bei konstantem Volumen ist daher:
[Da bei idealen Gasen die innere Energie nur von der Temperatur abhängt, ist das „d“ hier auch wirklich ein totales Differential]
Spezifische Wärmekapazität
Meteo 165
Allgemein ist die spezifische Wärmekapazität eines idealen Gases, mitdaher:
vcdT
du
dT
dvpcc v
LRdT
dpv
dT
dvp
dT
pv)d
(dT
dpvR
dT
dvp L
Den letzten Term schreiben wir um, dafür differenzieren wir die allgemeine Gasgleichung nach T (Produktregel),
dT
dpvRcc Lv
und setzen oben ein:
Bei einer isobaren Zustands-änderung ist aber dp = 0 und der letzte Term verschwindet.
Trockene Luft
Meteo 166
Die Spezifische Wärmekapazität bei konstantem Druck ist damit:
Rcc vp
11
11
11
KkgJ287
KkgJ717
KkgJ1004
L
v
p
R
c
c
vp ccR
cp und cv sind also nicht voneinander unabhängig, wenn eine bestimmt wurde, kann man die andere ausrechnen.Für trockene Luft sind die Werte: