3.4 Das computerunterstützte UnterrichtskonzeptDr. Helmut Heugl

2. Einfluss auf das Lehren

1.1 Das White Box/Black Box Prinzip

1.2 Das Black Box/White Box Prinzip1.3 Das Modulprinzip

3. Einfluss auf das LernenDie Buchbergersche Kreativitätsspirale

Helmut Heugl

4. Workshop Funktionen

1. Verschiedene Rollen(Abläufe) von Mathematik

Modellieren

InterpretierenO

perie

ren

Problem Mathemat. Modell

Mathemat.lösung

Mathematik Problemlösen durch Schließen

concrete phase 1

abstract phase

concretephase 2

concretephase 3

concretephase 4

concretephase n

The 2 stepconcept of

mathematics abstractingconcretising

The power of mathematics is the power of concretising

X = Y . Z

areaA = a.b

priceP = p.n

workW = F.s

powerP = U.I

proceedsE = p.x

distances = v.t

massM = ρ.V

Riemannsumsin traditional

mathematics educationExample 2.3:

Calculate the definite integral

using the definition of the definite integral e.g. use the idea of „midsums“.

2b

a

x dx

Riemannsums in technology supported classes

concretephase 1

concretephase 2

concretephase 3

concretephase 4

concretephase n

mathematicsis not only

mathematizing!

Das White Box/Black Box Prinzip

Phase 1: Die White Box Phase Phase des verstehenden Lernens

•Formulieren des Problems,•Finden einer Vermutung,•Entwickeln von Begriffen oder Algorithmen,•Begründen, Beweisen,•Rechnen ausreichend vieler Übungsaufgaben ohne CAS,•Nutzen von Black Boxes die in früheren White Boxes erforscht wurden.

Phase 2: Die Black Box Phase

•Entscheidung für ein Konzept, für einen einen Algorithmus•Ausführung durch das CAS als Black Box•Testen und Interpretieren•Ab und zu in die Box hineinschauen – „Glasbox“

Phase des erkennenden und begründeten Anwendens

2. Einfluss auf das Lehren

Das White Box/Black Box Prinzip in der Algebra

Strukturerkenneung

Termboxwhite

Gleichungsbox White

TermboxBlack

Das White Box/Black Box Prinzip in der Algebra

Das White Box/Black Box Prinzip in der Algebra

Gleichungssysteme, WHITE

Gleichungsbox BLACK

TermboxBLACK

(I) 3.x - 2.y = 12│+2.y(II) 7.x + 2.y = 8_______________________(I) 3.x = 12 + 2.y│:3(II) 7.x + 2.y = 8_________________________(I) x = (12 + 2.y)/3(II) 7.(12 + 2.y)/3 + 2.y = 8│.3_____________________________(II) 84 + 14.y + 6.y = 24│-84(II) 20.y = -60│:20(II) y = -3

Arbeiten IN den Gleichungen

Arbeiten MIT den Gleichungen

Arbeiten MIT DEM NAMEN der Gleichungen

Veränderung der Kognition durch CAS

Das White Box/Black Box Prinzip in der Algebra

Anwendungsbox, WHITE

GleichungssystemeBLACK

Gleichungsbox BLACK

TermboxBLACK

Integrieren

Differenzieren

Das Modulprinzip

Module sind Wissenseinheiten,

• in denen (komplexes) Wissen komprimiert wird, und

• in denen Operationen durch diese Kapselung als Ganzes abrufbar und einsetzbar

werden.

(1) Module, die von den Schülern entwickelt wurden

(2) Module, welche die Lehrer zur Verfügung stellen

(3) Module die das CAS zur Verfügung stellt

Phasen des modulorientierten Arbeitens

“Arbeiten mit Modulen führt zum modularen Denken” [E. Lehmann, 2002]

Definieren von Modulen

Analysieren von Modulen, Nutzen für experimentelles Arbeiten

Entwickeln eines “Modulpools” als Werkzeugkasten für das Problemlösen

Nutzen von Modulen als Black Box

Verknüpfung von Modulen (selbstgebaute mit Modulen des CAS)

Problem

Vermutung

Theoret. Absicherung

Algorithmus

Problemlösung

Neues Problem

3. Einfluss auf das Lernen

Problem

Vermutung

Theoret. Absicherung

Algorithmus

Problemlösung

Neues Problem

Heuristische,experimentelle

Phase

ExaktifizierendePhase

Anwendungs-phase

Die heuristische, experimentelle Phase

Beispiel 2: Extremwertaufgaben in der 5. Klasse

Beispiel 1: Schuldentilgungspläne in der 4. Klasse

Beispiel 4: Kollision von Schiffen in der 5. Klasse

Beispiel 3: Die Idee der „Linearisierung“ in der 7. Klasse

Beispiel 4: Kollision von SchiffenEin besseres Verständnis für Parameter durch Experimentieren

[Wheeler, 1998]Die Kurse zweier Schiffe kreuzen einander. Sie befinden sich auf

einem rechteckigen Radarschirm in folgender Position: Die USS Arlington befindet sich am unteren Rand des Schirms (x‑Achse) 900 mm von der linken Ecke entfernt, die USS Heights erscheint am linken Rand (y-Achse) 100 mm von der unteren Ecke entfernt. Eine Minute später beobachtet man folgende Position: Die USS Arlington hat sich 3mm nach Westen und 2 mm nach Norden bewegt, die USS Heights 4 mm nach Osten und 1 mm nach Norden.

Mögliche Fragen:• Werden die Schiffe kollidieren?• Mit welcher Geschwindigkeit sind sie unterwegs?• Wie groß ist ihr geringster Abstand?

Die exaktifizierende Phase: Riemann Summen

Berechne mit Hilfe von „Zwischensummen“2b

ax dx

Planet Entfernung(in mil. km)

Umlaufzeit in Tagen

Merkur 57.9 88

Venus 108.2 225

Erde 149.6 365

Mars 227.9 687

Jupiter 778.3 4392

Saturn 1447.0 10753

Uranus 2870.0 30660Neptun 4497 60150

Pluto 5907 90670

Die Anwendungsphase: Das 3. Keplersche Gesetz

Zusammenfassung der Ergebnisseder österreichischen Technologieprojekte

Mehr schülerzentriertes, experimentelles Lernen

Mehr anwendungsorientierte Mathematik

Verschiebung der Tätigkeit vom Ausführen zum Planen

Verschiebung der Tätigkeit vom Rechnenzum Modellieren, Interpretieren und Begründen

Der Computer unterstützt nicht nur Kognition,er wird zu einem Teil der Kognition

Homepage: www.acdca.ac.at

Example 4.1: The module „difference quotient“

Step 1: Defining a module „diffq“

( ) ( ) ( , )f x h f x diffq x hh

Step 2: Using the module for experimental learning

( , ) 1, 0.5, 0.1, 0.1, 0.5, 1Graph diffq x h h

Step 3: Connecting modules produced by the students with modules offered by the CAS

Using modules – a chance and a danger:

Example 4.4: The program package „Vector-Calculations“[Th. Himmelbauer, 1997]

Problem 1: Find the distance of 2 skew lines

• ExtrenwertaufgabenohneDifferentialrechnung

• Die Idee der Linearisierung

Experimentelle Phase: Untersuchung der Auswirkung von Parametern

Beispiel: Sterile Insektentechenik (SIT)

Eine Insektenpopulation mit anfangs uo Weibchen und uo Männchen möge bei natürlichem Wachstum pro Generationjeweils auf das r‑fache anwachsen. Zur Bekämfung der Population wird pro Generation eine bestimmte Anzahl s von sterilen Männchen ferigesetzt, die sich mit der Naturpopulation völlig vermischt. Modellannahme uo=1 Million, r=3.

Sterile Insektentechnil S.I.T.