5 Lineare Optimierung

5.1 Lineare Optimierungsprobleme

Eine lineare Zielfunktion f : Rn → R,

f(x) = c0 + c1x1 + · · · + cnxn , x = (x1, . . . , xn) , (Z)

in n Variablen ist unter bestimmten linearen Nebenbedingungen

a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn ≤ a1

... (NB)

am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn ≤ am

und den Nichtnegativitätsbedingungen

x1 ≥ 0, . . . , xn ≥ 0 (NN)

zu maximieren bzw. zu minimieren. Eine solche Aufgabe heißt lineares Optimierungs-

problem (LOP).

Definition 5.1. Die Menge ZB aller Punkte

x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn ,

deren Koordinaten den Bedingungen (N) und (NN) genügen,

ZB = {x ∈ Rn | x erfüllt (NB) und (NN)}

heißt zulässiger Bereich (ZB) für das LOP.

81

5 Lineare Optimierung

Definition 5.2. Ein Punkt

x(0) = (x(0)1 , . . . , x(0)

n ) ∈ Rn

wird als optimale Lösung (oder Lösung) des LOP bezeichnet, falls

c0 + c1x(0)1 + · · ·+ cnx(0)

n = f(x(0)) ≥ f(x) = c0 + c1x1 + · · ·+ cnxn für alle x ∈ ZB (Max)

oder

c0 + c1x(0)1 + · · ·+ cnx(0)

n = f(x(0)) ≤ f(x) = c0 + c1x1 + · · ·+ cnxn für alle x ∈ ZB (Min)

gilt. Im Fall (Max) heißt x(0) maximale , im Fall (Min) minimale Lösung .

Beispiel 5.3. Ein Erzeugnis E kann mittels zweier Verfahren V1, V2 aus drei Zwischenpro-dukten Z1, Z2, Z3 hergestellt werden, die nur in bestimmten Umfang zur Verfügung stehen.Die Materialverbrauchsnormen (Bedarf an Mengeneinheiten von Z1, Z2, Z3 je Mengeneinheitvon E) und die verfügbaren Mengeneinheiten von Z1, Z2, Z3 sind tabellarisch gegeben:

Zwischenprodukt Materialverbrauchsnormen verfügbare Mengeneinheitenfür V1 für V2

Z1 0.4 2.0 26Z2 2.0 1.0 40Z3 0.0 2.0 24

Die Produktion von E bezüglich V1 und V2 ist so zu gestalten, dass die Gesamtproduktionmaximal wird. Bezeichnet man mit x1 bzw. x2 die Mengeneinheiten (ME) von E, die nachV1 bzw. V2 produziert werden, so ergibt sich das LOP

z = x1 + x2 −→ max (Z)

mit den Nebenbedingungen (NB)

0.4x1 + 2.0x2 ≤ 26

2.0x1 + 1.0x2 ≤ 40 (N)

2.0x2 ≤ 24

und den Nichtnegativitätsbedingungen (NN)

x1 ≥ 0 , x2 ≥ 0 . (NN)

Diese Nichtnegativitätsbedingungen garantieren, dass die Lösung in einem praktisch sinn-vollen Bereich gesucht wird.

Die Menge aller Punkte (x1, x2), die den Bedingungen (NN) und (NN) genügen, ist derzulässige Bereich ZB, siehe Bild:

82

5.1 Lineare Optimierungsprobleme

2

4

6

8

10

12

14

16

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22−2−4−6

0.4x1 + 2x2 = 26

2.0x2 = 24

2.0x1 + 1.0x2 = 40

bc(15, 10)

bb

bb

x1 + x2 = 5

x1 + x2 = 25

ZB

Betrachten wir nun Niveaumengen

NC = {x ∈ ZB | f(x) = C} ⊆ {x ∈ R2 | x1 + x2 = C} .

Diese liegen auf parallelen Geraden x1 + x2 = C. Daher können wir hier die Lösung aufgraphischem Wege (15, 10) einer der Niveaumengen mit dem Rand von ZB finden. Wirerhalten die eindeutige Maximalstelle (15, 10) mit dem Maximum zmax = 25.

Beispiel 5.4. Wir betrachten das LOP

z = 2x1 + x2 → max (Z)

0.4x1 + 2.0x2 ≤ 26 , 2.0x1 + 1.0 ≤ 40 , 2.0x2 ≤ 24 , (N)

x1 ≥ 0 , x2 ≥ 0 . (NN)

83

5 Lineare Optimierung

2

4

6

8

10

12

14

16

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22−2−4−6

0.4x1 + 2x2 = 26

2.0x2 = 24

2.0x1 + 1.0x2 = 40

b

(15, 10)

bb

bb

x1 + 2x2 = 5

x1 + 2x2 = 25

ZB

In diesem Fall ist das LOP mehrdeutig lösbar: Für x1 ∈ [15, 20] und x2 = 40 − 2x1 istzmax = 40 das Maximum.

Beispiel 5.5. Wir betrachten das LOP

z = x1 + x2 → max (Z)

2.0x2 ≤ 24 , (N)

x1 ≥ 0 , x2 ≥ 0 . (NN)

2

4

6

8

10

12

14

16

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22−2−4−6

2.0x2 = 24

x1 + x2 = 5

ZB

84

5.1 Lineare Optimierungsprobleme

In diesem Fall existiert kein Maximum, z = x1 + x2 kann beliebig groß sein.

Beispiel 5.6. Wir betrachten das LOP

z = x1 + x2 → max (Z)

2.0x2 ≤ −24 , (N)

x1 ≥ 0 , x2 ≥ 0 . (NN)

In diesem Fall gilt ZB = ∅, da sich (N) und (NN) widersprechen.

Bemerkung 5.7. Diese Beispiele zeigen bereits die charakteristischen Eigenschaften einesLOP:

• Die optimalen Lösungen liegen außer im trivialen Fall f(x) = const immer auf demRand des zulässigen Bereichs ZB. Genauer: Optimale Lösungen liegen in den Eck-punkten des zulässigen Bereiches und auf Hyperflächen auf den Rand von ZB, derenEcpkunkte optimal sind.

• Ein LOP kann eindeutig lösbar, mehrdeutig lösbar (in diesem Fall gibt es unendlichviele Lösungen) oder nicht lösbar sein.

Bemerkung 5.8. Eine graphische Lösung wie in den obigen Beispielen ist nur bei höchstenszwei Variablen möglich, wenn also ZB ein Bereich in der Ebene ist.

Bemerkung 5.9. Allgemein sind die Eckpunkte von ZB zu bestimmen, in denen das Op-timum vorliegt. Der zulässige Bereich ZB ist eine Teilmenge des R

n, dessen Rand durchHyperflächen beschrieben wird. Eine solche Menge heißt auch Simplex . Zu untersuchensind also die Ecken des Simplizes ZB.

85

5 Lineare Optimierung

5.2 Normalform der linearen Optimierung

5.2.1 Die Normalform

Um zu einem allgemeinen Verfahren zur Lösung von linearen Optimierungsproblemen (LOP)zu gelangen, betrachtet man eine

Normalform der linearen Optimierung (NLO):

z = f(x) = c0 + c1x1 + · · · + cnxn −→ min (Z)

a11x1 + · · · + a1nxn = a1

... (G)

am1x1 + · · · + amnxn = am ,

x1 ≥ 0 , . . . , xn ≥ 0 . (NN)

Mit Hilfe des Matrixkalküls kann eine NLO in der folgenden Weise dargestellt werden:

z = f(x) = c0 + c⊤x → min (Z)

Ax = a , (G)

x ≥ 0 , (NN)

wobei

c =

c1...

cn

, x =

x1...

xn

, A =

a11 · · · a1n

......

am1 · · · amn

, a =

a1...

am

gelten und x ≥ 0 genau dann gilt, wenn xi ≥ 0 für alle i = 1, . . . , n gilt.

5.2.2 Überführung in die Normalform

Jedes LOP ist – falls es nicht bereits diese Form besitzt – in die Normalform der linearenOptimierung (NLO) überführbar mit folgenden Überführungsregeln:

(Ü1) Überführung in Minimierungsproblem:Ist z → max als Aufgabenstellung gegeben, so verwendet man stets z∗ = −z → min,d. h., c0, c1 bis cn werden durch −c0, −c1 bis −cn ersetzt.

86

5.2 Normalform der linearen Optimierung

(Ü2) Beseitigung aller Ungleichungen in (NN):Schrittweise werden alle Ungleichungen, die nicht in (NN) enthalten sind, mittelsSchlupfvariablen in die Form von Gleichungen überführt:

1. Ist α1x1 + · · · + αnxn ≤ α die erste in (NN) enthaltene Ungleichung, so wird siedurch die Einführung der Schlupfvariablen xn+1 ≥ 0 zur Gleichung

α1x1 + · · · + αnxn+xn+1 = α .

Ist α1x1 + · · · + αnxn ≤ α die erste in (NN) enthaltene Ungleichung, so wird siedurch die Einführung der Schlupfvariablen xn+1 ≥ 0 zur Gleichung

α1x1 + · · · + αnxn−xn+1 = α .

2. Die Zahl der Variablen wird von n auf n + 1 erhöht.

3. Die Ungleichung xn+1 ≥ 0 wird (NN) hinzugefügt.

4. Mit cn+1 = 0 wird die Zielfunktion erweitert zu

f(x) = c0 + c1x1 + · · · + cn+1xn+1 −→ min

5. Sind noch Ungleichungen in (NN) enthalten, beginne man wieder mit mit demersten Schritt.

(Ü3) Beseitigung aller freien Variablen:Falls es im LOP freie Variablen xk gibt, d. h. die nicht der Restriktion xk ≥ 0 unter-liegen, werden sie schrittweise entfernt:

1. Ist xk die erste freie Variable, so wird xk durch die Differenz xdie erste in (NN)enthaltene Ungleichung, so wird sie durch die Differenz der neuen Variablen xk −xn+1 ersetzt.

2. Die Zahl der Variablen wird von n auf n + 1 erhöht.

3. Die Ungleichung xn+1 ≥ 0 wird (NN) hinzugefügt.

4. Mit cn+1 = −ck wird die Zielfunktion erweitert zu

c0 + c1x1 + · · · + cn+1xn+1 −→ min

5. Sind noch freie Variable vorhanden, beginne man wieder mit dem ersten Schritt.

87

5 Lineare Optimierung

Bemerkung 5.10. In (Ü3) kann man xk auch durch die Differenz xn+1 − xn+1 ersetzen.Es ergeben sich dann ck = 0, cn+1 = 1, cn+1 = −1 und entsprechende Änderungen undErgänzungen in (G) und (NN). Im Unterschied zur obiger (Ü3) wird die Zahl der Variablendadurch um 2 statt nur um 1 größer.

Für die so gewonnene Normalform (NLO) eines LOP gelten folgende Äquivalenzaussagen:

Satz 5.11. Entsteht ein NLO aus einem LOP nach den Regeln (Ü1), (Ü2), (Ü3), so ist dasNLO genau dann lösbar, wenn das zugrundeliegende LOP lösbar ist.

Satz 5.12. Entsteht ein NLO aus einem LOP nach den Regeln (Ü1), (Ü2), (Ü3), so ergibtjede Lösung der NLO genau eine Lösung der LOP, indem die eingeführten Schlupfvariablenunberücksichtigt bleiben und ursprünglich freie Variablen wieder als Differenz ihrer zugehö-rigen Variablen geschrieben werden.

Beispiel 5.13. Wir betrachten das LOP

z = 3x1 − x2 + 2x3 + 4 → max (Z)

x1 + 2x2 ≤ 8 , −x3 ≤ 4 , (N)

x1 ≥ 0 , x3 ≥ 0 . (NN)

Durch Anwendung von (Ü1) ergibt sich

z = −3x1 + x2 − 2x3 − 4 → min (Z)

x1 + 2x2 ≤ 8 , −x3 ≤ 4 , (N)

x1 ≥ 0 , x3 ≥ 0 . (NN)

Durch zweimalige Anwendung von (Ü2) ergibt sich

z = −3x1 + x2 − 2x3+0x4 + 0x5 − 4 → min (Z)

x1 + 2x2+x4 = 8 , −x3+x5 = 4 , (G)

x1 ≥ 0 , x3 ≥ 0 , x4 ≥ 0 , x5 ≥ 0 . (NN)

Da x2 noch eine freie Variable ist, muss noch (Ü3) angewendet werden:

z = −3x1+x2 − 2x3 + 0x4 + 0x5−x6 − 4 → min (Z)

x1+2x2 + x4−2x6 = 8 , −x3 + x5 = 4 , (G)

x1 ≥ 0 , x2 ≥ 0 , x3 ≥ 0 , x4 ≥ 0 , x5 ≥ 0 , x6 ≥ 0 . (NN)

Das nun erhalten LOP ist eine NLO.

88

5.3 Lösung einer Normalform der linearen Optimierung

5.3 Lösung einer Normalform der linearen Optimierung

5.3.1 Bestimmung einer zulässigen Basisdarstellung von (G)

Damit eine NLO lösbar ist, ist notwendig, dass ihr zulässiger Bereich ZB nichtleer ist. Hiefürist notwendig, dass (G) lösbar ist. Wir nehmen daher nun die Lösbarkeit von (G) an, daandernfalls NLO nicht lösbar ist.

Zur Ermittlung der Lösungen von (G) wird diesem, wie schon mehrfach durchgeführt, dassTableau

(G) x1 · · · xn 1

y1 a11 · · · a1n −a1

......

......

ym am1 · · · amn −am

oder kurzx⊤ 1

y A −a

zugeordnet.

Mittels des Austauschverfahrens mit Spaltentilgung (AVS) erhält man nach Durchführungaller möglichen Austauschschritte und Sortieren ein Tableau folgender Form:

(T) xν1· · · xνq

1

xµ1b11 · · · b1q b1

......

......

xµpbp1 · · · bpq bp

yτp+1bp+1.1 · · · bp+1,q bp+1

......

......

yτmbm1 · · · bmq bm

Da eine Fortführung des AVS nicht möglich ist, gilt bij = 0 für i = p + 1, . . . ,m, j = 1, . . . q.

Da (G) als lösbar vorausgesetzt wurde, muss auch bi = 0 für i = p + 1, . . . ,m gelten. Wirkönnen daher in (T) die Zeilen mit den nichtausgetauschten yi streichen und erhalten einTableau der Form

(B) xνq· · · xνq

1

xµ1b11 · · · b1q b1

......

......

xµpbp1 · · · bpq bp

89

5 Lineare Optimierung

mit p + q = n.

Definition 5.14. Das Tableau (B) wird als eine Basisdarstellung von (G) bezeichnet und

B = (xµ1, . . . , xµp

)

heißt eine Basis von (G). Die Variablen

xµ1, . . . , xµp

bezeichnet man dann als Basisvariablen und

xν1, . . . , xνq

als Nichtbasisvariablen .

Bemerkung 5.15. Die Basisdarstellung (B) ist nicht eindeutig. Sie hängt von der Wahl undReihenfolge der Pivotelemente in AVS ab.

Lemma 5.16. Die Lösungsmenge von (G) ist

{x ∈ Rn | xµi

=

q∑

j=1

bijxνj+ bi für i = 1, . . . , p, xνj

∈ R für j = 1, . . . , q} .

Für den zulässigen Bereich der NLO gilt

ZB = {x ∈ Rn | xµi

=

q∑

j=1

bijxνj+ bi≥ 0 für i = 1, . . . , p, xνj

≥ 0 für j = 1, . . . , q} .

Definition 5.17. Eine spezielle Lösung von (G), bei der die Nichtbasisvariablen xν1, . . . ,

xνqgleich Null gesetzt werden, heißt eine Basislösung (BL) von (G),

xµ1= b1 , xµ2

= b2 , . . . , xµp= bp und xν1

= 0 , xν2= 0 , . . . , xνq

= 0 .

Bemerkung 5.18. Die Menge aller Basislösungen von (G), welche (NN) erfüllen, ist die Mengeder Eckpunkte des zulässigen Bereiches ZB der NLO.

90

5.3 Lösung einer Normalform der linearen Optimierung

Beispiel 5.19. Wir betrachten

x1 − x2 − x3 = 0

2x1 + x2 + x3 = 9 (G)

x1 + x2 + x3 = 6

2x1 − 2x2 + 2x4 − 2x5 = 0 .

Dann ergibt sich eine Basisdarstellung z. B. in folgender Weise mittels AVS:

(G) x1 x2 x3 x4 x5 1

y1 1 −1 −1 0 0 0

y2 2 1 1 0 0 −9

y3 1 1 1 0 0 −6

y4 2 −2 0 2 −2 0

K 1 −1 ∗ 0 0 0

x1 x2 x4 x5 1

x3 1 −1 0 0 0

y2 3 0 0 0 −9

y3 2 0 0 0 −6

y4 2 −2 2 −2 0

K ∗ 0 0 0 3

x2 x4 x5 1

x3 −1 0 0 3

y2 0 0 0 0

x1 0 0 0 3

y4 −2 2 −2 6

K −1 1 ∗ 3

x2 x4 1

x3 −1 0 3

y2 0 0 0

x1 0 0 3

x5 −1 1 3

d. h., wir erhalten

(B) x2 x4 1

x3 −1 0 3x1 0 0 3x5 −1 1 3

als eine Basisdarstellung von (G). Daher ist

x1 = 3 , x2 = 0 , x3 = 3 , x4 = 0 , x5 = 3

ist eine Basislösung von (G).

91

5 Lineare Optimierung

Bemerkung 5.20. Fasst man die Basisvariablen (nach eventuellem Umsortieren) zu einemp-dimensionalen Vektor x̃ und die Nichtbasisvariablen zu einem q-dimensionalen Vektor x̂

zusammen, so hat die Basisdarstellung (B) die Form

x̃ = Bx̂ + b

(B) x̂⊤ 1

x̃ B b

mit B =

b11 · · · b1q

......

bp1 · · · bpq

und b =

b1...bp

Satz 5.21. Eine Basisdarstellung (B) existiert genau dann, wenn (G) lösbar ist.

5.3.2 Simplextableau

Nach den Bemerkungen 5.9 und 5.18 müssen wir die Basislösungen von (G) untersuchen,welche (NN) erfüllen, da gerade sie die Ecken des Simplizes ZB beschreiben.

Definition 5.22. Eine Basisdarstellung (B) der NLO heißtzulässig , wenn b1 ≥ 0, . . . ,bp ≥ 0 in (B) gilt.

Lemma 5.23. Ist (B) eine zulässige Basisdarstellung der NLO, so gilt x = (x1, . . . , xn) ∈ZB mit

xµ1= b1 , xµ2

= b2 , . . . , xµp= bp und xν1

= 0 , xν2= 0 , . . . , xνq

= 0 .

Beweis. Nach Konstruktion ist x Basislösung, also insbesondere Lösung von (G). Da (B)zulässig ist, erfüllt x auch (NN) und liegt somit in ZB.

Bemerkung 5.24. Durch die Menge aller zulässigen Basisdarstellungen der NLO wird folglichdie Menge aller zulässigen Basislösungen der NLO und damit die Menge aller Eckpunktedes zulässigen Bereiches ZB der NLO beschrieben. Zu bestimmen sind nun die Ecken (d. h.zulässigen Basislösungen, d. h. zulässigen Basisdarstellungen) in denen das Minimum vor-liegt.

Definition 5.25. Ist (B) eine zulässige Basisdarstellung der NLO, so heißt (B) Simplex-

tableau (ST).

92

5.3 Lösung einer Normalform der linearen Optimierung

Den Wert d0 = f(x) der Zielfunktion f an der Stelle der Basislösung x erhält man auchdadurch, dass man unmittelbar von dem Tableau

(B) x⊤ 1

y A −a

z c⊤ c0

ausgeht und die z-Zeile in die Austauschschritte einbezieht, die zur Basisdarstellung führen.

Die Basisdarstellung (B) hat in der um die z-Zeile erweiterten Form folgende (tabellarische)Darstellung

(ST) xν1. . . xνq

1xµ1

b11 . . . b1q b1...

......

...xµp

bp1 . . . bpq bp

z d1 . . . dq d0

Satz 5.26. Es sei (ST) ein (erweitertes) Simplextableau.1. Es gilt

d0 = c0 + cµ1b1 + · · · + cµpbp .

2. Wenn x eine zulässige Lösung ist, dann gilt

f(x) =

q∑

j=1

djxνj+ d0 .

3. Wenn x eine zulässige Basislösung, dann gilt

f(x) = d0 .

Bemerkung 5.27. Nach Satz 5.21 wissen wir, dass die Menge der Basisdarstellungen zu (G)nichtleer ist. Offen ist aber noch, ob es auch zulässige Basisdarstellungen der NLO gibt undwie man gegebenenfalls eine zulässige Basisdarstellungen der NLO bestimmt. Diese Fragenwerden später beantwortet.

5.3.3 Optimalität und Simplexkriterium

Definition 5.28. Ein Simplextableau heißt optimal , wenn die zugehörige Basislösung x

eine optimale Lösung des NLO ist, d. h., es gilt

d0 = zmin := minx∈ZB

f(x) = minx∈ZB

(c0 + c⊤x) .

93

5 Lineare Optimierung

Wir betrachten nun die drei Fälle für ein ein um die z-Zeile erweitertes Simplextableau (ST)der NLO:

(S1) = „Es gilt dj ≥ 0 für alle j = 1, . . . , q.“

(S2) = „Es gibt mindestens eine Spalte τ ∈ {1, ..., q} mit dτ < 0 und biτ ≥ 0 für allei = 1, . . . , p.“

(S3) = „Es gilt weder (S1) noch (S2).“

Satz 5.29 (Simplexkriterium). Sei (ST) ein um die z-Zeile erweitertes Simplextableau derNLO.1. Wenn (S1) gilt, so ist (ST) ein optimales Simplextableau mit der zugehörigen optimalenBasislösung x mit

xµ1= b1 , xµ2

= b2 , . . . , xµp= bp und xν1

= 0 , xν2= 0 , . . . , , xνq

= 0

und dem Minimumf(x) = d0 .

2. Wenn (S2) gilt, so ist die NLO nicht lösbar.

Beweis. 1. Nach Satz 5.26 gilt

f(x) =

q∑

j=1

djxνj+ d0

für alle x ∈ ZB. Wegen dj ≥ 0 für j = 1, . . . , q und da wegen (NN) auch xνj≥ 0 für

j = 1, . . . , q gilt, minimiert die zu (ST) gehörende Basislösung die Funktion f , sie ist alsoeine optimale Basislösung.

2. Sei ein solches τ fixiert. Es sei

α0 := max

{

0,min

{

−bi

biτ| j = 1, . . . , p mit biτ 6= 0

}}

.

Für α ≥ α0 betrachten wir x(α) ∈ Rn mit

xντ(α) = α , xνj

(α) = 0 für j ∈ {1, . . . , q} \ {τ} , xµi(α) = biτα + bi für i ∈ {1, . . . , p} .

Dann erfüllt x(α) das Simplextableau (ST) und somit (G). Wegen α ≥ α0 erfüllt x(α) auch(NN). Somit ist x(α) für jedes α ≥ α0 eine zulässige Lösung. Wegen dτ < 0 und

f(x(α)) = dτα + d0

und kann f(x(α)) durch Wahl von α ≥ α0 max{0, α0} beliebig klein gemacht werden. Folg-lich existiert kein Minimum von f auf ZB und NLO ist nicht lösbar.

94

5.3 Lösung einer Normalform der linearen Optimierung

Aufgrund von Satz 5.29 definieren wir nun:

Definition 5.30. Sei (ST) ein um die z-Zeile erweitertes Simplextableau der NLO. Es heißtentscheidbar im Fall (S1) oder (S2) und nicht-entscheidbar im Fall (S3).

Weiter zu behandeln ist also nur noch der Fall (S3), in dem noch keine Entscheidung überOptimalität oder Nichtlösbarkeit getroffen werden konnte.

5.3.4 Bestimmung des Minimums

Wir behandeln nun den Fall (S3) weiter. Da

(S3) = (S1) ∨ (S2)= (S1) ∧ (S2)

und

(S1) = „Es gibt ein τ ∈ {1, . . . , q} mit dτ < 0.“

(S2) = „Für jedes j ∈ {1, ..., q} gilt dj ≥ 0 oder es gibt ein i ∈ {1, . . . , p} mit bij < 0.“

gilt

(S3) = „Es gibt ein τ ∈ {1, . . . , q} und ein i ∈ {1, . . . , p} mit dτ < 0 und biτ < 0.“

Wegen (S3) sind folglich folgende Simplex-Regeln durchführbar:

(SR1) Wahl der Pivotspalte:Wähle ein τ ∈ {1, . . . , q} mit dτ < 0 und

J(τ) := {i | i ∈ {1, . . . , p} und biτ < 0} 6= ∅

als Pivotspalte.

(SR2) Wahl der Pivotzeile:Berechne

m(τ) := min{

bi

|biτ || i ∈ J(τ)

}

≥ 0

als den kleinsten Wert von bi

|biτ |, wobei der Zeilenindex i innerhalb J(τ) variiert wird,

und wähle für die Pivotzeile σ ein σ ∈ J(τ) mit

bσ

|bστ |= m(τ) .

(SR3) Austauschschritt:Man führe mit dem gemäß (SR1) und (SR2) gewähltem Pivotelement p = bστ denAustausch xµσ

↔ xντder Basisvariablen xµσ

gegen die Nichtbasisvariablen xντmittels

des Austauschverfahrens (AV) durch.

95

5 Lineare Optimierung

Dieses Simplexverfahren besitzt folgende wichtige Eigenschaften, die mit Ausnahme desEntartungsfalls m(τ) = 0 sichern, dass über die Lösbarkeit eines LOP entschieden wird undim Falle der Lösbarkeit eine Lösung

xopt mit zopt = f(xopt) = minx∈ZB

f(x)

gefunden wird:

Satz 5.31. Die auf ein nichtentscheidbares Simplextableau (ST) stets anwendbaren Sim-plexregeln (SR1), (SR2), (SR3) überführen ein nichtentscheidbares Simplextableau (ST) inein neues Simplextableau (ST’) mit d′0 ≤ d0. Gilt dabei m(τ) > 0, so gilt sogar d′0 < d0.

Beweis. 1. Dass die Simplex-Regeln (SR1), (SR2), (SR3) stets auf ein nichtentscheidbaresSimplextableau (ST) anwendbar sind, wurde oben schon gezeigt als Folgerung aus der Nich-tentscheidbarkeit des Tableaus (Fall (S3)). Wir betrachten das um die Kellerzeile erweiterteTableau (ST) und das neue Tableau (ST’)

(ST) xν1. . . xντ

. . . xνq1

xµ1b11 . . . b1τ . . . b1q b1

......

......

xµσbσ1 . . . bστ . . . bσq bσ

......

......

xµpbp1 . . . bpτ . . . bpq bp

z d1 . . . dτ . . . dq d0

K −bσ1

bστ∗ −

bσp

bστ−

bσ

bστ

(ST’) xν1. . . xµσ

. . . xνq1

xµ1b′11 . . . b′1τ . . . b′1q b′1

......

......

xντb′σ1 . . . b′στ . . . b′σq b′σ

......

......

xµpb′p1 . . . b′pτ . . . b′pq b′p

z d′1 . . . d′τ . . . d′q d′0

K

Es gelten

b′σ = −bσ

bστ= m(τ) ≥ 0 und b′i = bi −

bσ

bστbiτ= bi + m(τ)biτ ≥ 0 für i ∈ {1, . . . , p} \ {σ} .

Folglich ist (ST’) wieder ein Simplextableau. Wegen dτ < 0 gilt

d′0 = d0 −bσ

bστ· dτ = d′0 − m(τ) · dτ

{

= d′0 , falls m(τ) = 0 ,

< d′0 , falls m(τ) > 0 .

Satz 5.32. Falls der Entartungsfall im Verlauf der Austausch-Schritte nicht auftritt, über-führt das Simplexverfahren ein nicht-entscheidbares Simplextableau in endlich vielen Schrit-ten in ein entscheidbares Simplextableau.

96

5.3 Lösung einer Normalform der linearen Optimierung

Beweis. Der zulässige Bereich ZB hat nur endlich viele Ecken. Damit gibt es nur endlichviele Werte von f in den den Ecken zugehörigen Basislösungen. Da der Wert des Sim-plextableaus in jedem Schritt abnimmt, muss das Verfahren abbrechen. Da im Falle derNicht-Entscheidbarkeit das Verfahren fortgesetzt werden könnte, muss einer der beiden Ent-scheidbarkeitsfälle vorliegen.

Beispiel 5.33. Zwei Motoren M1 und M2 können an den Fließbändern A und B montiertwerden. Am Fließband A können je Stunde n1 = 60 Motoren M1 oder n2 = 60 Motoren M2

hergestellt werden. Am Fließband B können je Stunde n3 = 90 Motoren M1 oder n4 = 60Motoren M2 hergestellt werden.

Die Montage ist so zu organisieren, dass einerseits innerhalb von 8 Stunden doppelt soviele Motoren M2 wie M1 hergestellt werden soll, und andererseits eine maximale Stückzahlbezüglich M1 (und damit auch bezüglich M2) erreicht wird.

Lösung:

1. Aufstellung des LOP: Bezeichnet man mit x1 bzw. x2 die Montagestunden von A fürM1 bzw. M2 und mit x3 bzw. x4 die Montagestunden von B für M1 bzw. M2, so ergibt sichfolgendes LOP:

z = f(x) = 60x1 + 90x3 → max

unter den Bedingungen

x1 + x2 ≤ 8

x3 + x4 ≤ 8

2 · (60x1 + 90x3) = 60x2 + 60x4

x1 ≥ 0 , x2 ≥ 0 , x3 ≥ 0 , x4 ≥ 0

Dieses LOP ist kein NLO.

2. Konstruktion einer zugehörigen NLO: Einführen der Schlupfvariablen x5 und x6

ergibt

z∗ = −60x1 − 90x3 → min (Z)

x1 + x2+x5 = 8 ,

x3 + x4+x6 = 8 , (G)

2(60x1 + 90x3) = 60x2 + 60x4 ,

x1 ≥ 0 , x2 ≥ 0 , x3 ≥ 0 , x4 ≥ 0 , x5 ≥ 0 , x6 ≥ 0 . (NN)

Die Schlupfvariablen x5 bzw. x6 sind dabei als Stillstandszeiten von A und B interpretierbar.

97

5 Lineare Optimierung

3. Ermittlung einer Basisdarstellung (B) von (G) mittels AVS:

(G) x1 x2 x3 x4 x5 x6 1

y1 1 1 0 0 1 0 −8

y2 0 0 1 1 0 1 −8

y3 2 −1 3 −1 0 0 0

z −60 0 −90 0 0 0 0

K −1 −1 0 0 ∗ 0 8

x1 x2 x3 x4 x6 1

x5 −1 −1 0 0 0 8

y2 0 0 1 1 1 −8

y3 2 −1 3 −1 0 0

z −60 0 −90 0 0 0

K 0 0 −1 −1 ∗ 8

x1 x2 x3 x4 1

x5 −1 −1 0 0 8

x6 0 0 −1 −1 8

y3 2 −1 3 −1 0

z −60 0 −90 0 0

K 2 −1 3 ∗ 0

(ST) x1 x2 x3 1

x5 −1 −1 0 8

x6 −2 1 −4 8

x4 2 -1 3 0

z −60 0 −90 0

(ST) ist nun eine Basisdarstellung von (G) mit folgenden Eigenschaften:

• xµ1 = x5, xµ2 = x6, xµ3 = x4 sind die Basisvariablen.

• xν1 = x1, xν2 = x2, xν3 = x3 sind die Nichtbasisvariablen.

• Die Basislösung x = (x1, . . . , x6) lautet

x1 = 0 , x2 = 0 , x3 = 0 , x4 = 0 , x5 = 8 , x6 = 8 ,

der zugehörige Wert des Tableaus ist

d0 = f(x)= 0 .

(Diese Basislösung ist natürlich die schlechteste: Wegen x5 = x6 = 8 findet keineMontage statt.)

• (ST) ist eine zulässige Basisdarstellung, also ein Simplextableau, da

b1 = 8 , b2 = 8 , b3 = 0

offensichtlich die Bedingung

bi ≥ 0 für i = 1, 2, 3

erfüllt ist.

98

5.3 Lösung einer Normalform der linearen Optimierung

4. Prüfung des Simplexkriteriums:

(ST) ist nicht entscheidbar, da weder (S1) (z. B. wegen d1 = −60 < 0) noch (S2) (z. B. wegenb11 = −1 < 0 und b23 = −4 < 0) erfüllt sind.

5. Simplexverfahren:

Entsprechend (SR1) kommen die 1. oder 3. Spalte von (ST) als Pivotspalte in Frage. Wirwählen

τ = 3 .

Es gilt nun J(3) = {2}, m(3)= 84 und nach (SR2) ergibt sich

σ= 2 .

Entsprechend (SR3) ist der Austausch x6 ↔ x3 durchzuführen. Wir erhalten :

(ST’) x1 x2 x6 1

x5 −1 −1 0 8

x3 −1

2

1

4−1

42

x41

2−1

4−3

46

z −15 −90

4

90

4−180

Das Simplextableau (B̃1) ist nicht entscheidbar, da weder (S1) (z. B. wegen d1 = −15 < 0)noch (S2) (wegen z. B. b1 = −1 < 0 und b12 = −1 < 0) erfüllt sind.

Das Simplexverfahren ist also fortzusetzen.

Entsprechend (SR1) kommen die 1. oder 2. Spalte von (ST’) als Pivotspalte in Frage. Wirwählen

τ = 2 .

Wegen

J(2) = {1, 3} und m(2) = min{

b1

|b12|,

b3

|b32|

}

= min

{

8

1,

614

}

= 8

ist nach (SR2)σ= 2

zu wählen. Durchzuführen ist damit der Austausch x5 ↔ x2 in (SR3). Durch AVS erhaltenwir

(ST”) x1 x5 x6 1

x2 −1 −1 0 8

x3 −3

4−1

4−1

44

x43

4

1

4−3

44

z 30

4

90

4

90

4−360

99

5 Lineare Optimierung

Dieses Simplextableau (ST”) ist entscheidbar, da d1 = 304 , d2 = 90

4 , d3 = 904 nicht negativ

sind, also (S1) erfüllt ist. Die Basislösung

x1 = 0 , x2 = 8 , x3 = 4 , x4 = 4 , x5 = 0 , x6 = 0

ergibt eine optimale Lösung der NLO.

Auf das ursprüngliche Problem übertragen heißt das: Es werden 360 Stück von M1 und 720Stück von M2 hergestellt. Am Fließband A sind nur Motoren M2, am Fließband B je 4Stunden M1 bzw. M2 herzustellen. Die Stillstandszeiten x5 und x6 sind gleich Null.

5.4 Ermittlung eines ersten Simplextableaus

Wie bereits in Bemerkung 5.27 festgestellt wurde, führt die Ermittlung einer Basisdar-stellung nicht notwendigerweise zu einer zulässigen Basisdarstellung, d. h. zu einem erstenSimplextableau.

Dieses Ziel ist aber über ein Hilfproblem erreichbar, bei dem die Pivotelemente bei den Aus-tauschschritten, die von (G) zu (B) führen, bereits entsprechend (SR1) und (SR2) auswählt.

Wir gehen von einer originalen NLO

z = f(x) = c0 + c⊤x → min (Z)

Ax = a , (G)

x ≥ 0 . (NN)

mit

c =

c1...

cn

, x =

x1...

xn

, A =

a11 · · · a1n

......

am1 · · · amn

, a =

a1...

am

aus. Zusätzlich fordern wir nun, dass ohne Beschränkung der Allgemeinheit auch a ≤ 0, d. h.

ai ≤ 0 für i = 1, . . . ,m

gilt. Dies ist stets dadurch erreichbar, dass die Zeilen in (G) mit ai > 0 mit −1 durchmul-tipliziert werden, d. h., dass ai und die i-te Zeile von A mit −1 multipliziert werden, wennai > 0 gilt.

Wir betrachten das Hilfsproblem (H)

h =m

∑

i=1

yi → min (ZH)

Ax−y = a , (GH)

x ≥ 0 , y ≥ 0 . (NNH)

100

5.4 Ermittlung eines ersten Simplextableaus

Dieses ist eine NLO in den Variablen x und y .

Wenn x und y (GH) erfüllen, gilt

m∑

i=1

yi =m

∑

i=1

ai1xi −m

∑

i=1

ai .

Wir können also auch das äquivalente Problem

h =m

∑

i=1

ai1xi +m

∑

i=1

ai → min (ZH)

Ax − y − a = 0 , (GH)

x ≥ 0 , y ≥ 0 (NNH)

in den Variablen x und y betrachten. Wir ergänzen dieses Problem noch um die z-Zeile underhalten folgendes Tableau:

(H) x1 . . . xn 1y1 a11 . . . a1n −a1...

......

...ym am1 . . . amn −am

hm∑

i=1ai1 . . .

m∑

i=1ain −

m∑

i=1ai

z c1 . . . cn c0

Offenbar hat dieses Tableau (ohne z-Zeile) die Basislösung (x, y) mit x = 0 und y = −a. Danach Voraussetzung a ≤ 0 gilt, ist (H) ohne z-Zeile ein Simplextableau für das Hilfsproblem.

Auf (H) wird nun das Simplexverfahren mit den Schritten (SR1), (SR2) und (SR3) angewandtbis (nach endliche vielen Schritten) ein entscheidbares Simplextableau entsteht.

Satz 5.34. Das letzte Simplextableau für (H) ist stets optimal.

Beweis. Das Simplexverfahren bricht ab, sobald ein entscheidbares Tableau erreicht wird.Es gilt also (S1) oder (S2). Wegen y ≥ 0 und h =

∑mi=1 yi ≥ 0, ist die Zielfunktion des

Hilfsproblems nach unten durch 0 beschränkt. Der Fall (S2) kann somit nicht auftreten.

101

5 Lineare Optimierung

Satz 5.35. Sei hmin das Minimum des Hilfsproblems und sei (x, y) optimale Lösung desletzten aus (H) entstehenden Tableaus.1. Es gelte hmin = 0. Nach

• Streichen der h-Zeile,

• Streichen der yi-Zeilen, welche nur 0-Einträge haben,

• Streichen der yj-Spalten

• und nach Anwendung des AVS bis alle yi nach oben ausgetauscht worden sind,

erhält man ein Simplextableau für die originale NLO.2. Wenn hmin > 0 gilt, besitzt die originale NLO keine Lösung.

Beweis. 1. Sei (x, y) optimale Lösung des letzten aus (H) entstehenden Tableaus. Als Lösungdes Hilfsproblems ist (x, y) eine zulässige Lösung von (GH), es gilt also Ax − y = a mity ≥ 0. Aus hmin =

∑mi=1 yi > 0 und y ≥ 0 folgt y = 0 und somit Ax − a = 0, d. h. x ist eine

Lösung von (G) und (NN). Durch AV können somit alle noch links verbleiben yi noch obenausgetauscht werden, sofern sie in den xj-Spalten nicht nur 0-Einträge haben.

Dann ist (x, y) auch zulässige Basislösung des letzten aus (H) entstehenden Tableaus war,d. h., alle oben stehenden xi waren gleich 0. Stand nun noch ein yi links im Tableau, sowar der entsprechende Eintrag in der 1-Spalte eine 0. Ein AV-Schritt zum Austausch einessolchen yi nach oben ändert die 1-Spalte also nicht, d. h. nach jedem AV-Schritt haben wir(x, y) wieder als eine optimale Lösung des Simplextableaus.

Das Hochtauschen der yi bricht ab, wenn kein yi mehr links steht, oder die noch da stehendennur 0 Zeilen haben. Streicht man diese Zeilen, die h-Zeile und die yj-Spalten, so ist x zulässigeLösung des entstandenen Tableaus ohne y-Variablen, das entstandene Tableau ist also einSimplextableau für die originale NLO.

Dasselbe Tableau erhalten wir auch, wenn man die yi-Zeilen, welche nur 0-Einträge haben,und die yj-Spalten gleich streicht und AVS abwendet.

2. Wenn hmin > 0 gilt, dann gilt nicht y = 0 und x ist keine Lösung von (G). Da (x, y) aberoptimale Lösung ist, kann

∑mi=1 yi nicht kleiner gemacht werden.

Beispiel 5.36. Gegeben sei ein LOP mit

z = f(x) = x1 + x2 + 3 → min

x1 + x2 − 2x3 ≥ 1 ,

− x1 + x2 − x3 ≥ 2 ,

x3 ≥ x1,

x1 ≥ 0 , x2 ≥ 0 .

102

5.4 Ermittlung eines ersten Simplextableaus

Durch Einführen der Schlupfvariablen x4, x5, x6 und Multiplikation der ersten und zweitenGleichung mit −1 ergibt sich die NLO

z = x1 + x2 + 3 → min (Z)

−x1 − x2 + 2x3 + x4 = −1

+x1 − x2 + x3 + x5 = −2 (G)

− x1 + x3−x6 = 0

xi ≥ 0 für i = 1, . . . , 6 (NN)

Das Hilfsproblem lautet dann

h = y1 + y2 + y3 → min (ZH)

y1 = −x1 − x2 + 2x3 + x4 + 1

y2 = x1 − x2 + x3 + x5 + 2 (GH)

y3 = −x1 + x3 − x6

xi ≥ 0 für i = 1, . . . , 6 , yj ≥ 0 für i = 1, 2, 3 . (NNH)

Das zugehörige Simplex-Tableau des Hilfsproblems hat dann – unter Einbeziehung der z-Zeile – die Form

x1 x2 x3 x4 x5 x6 1

y1 −1 −1 2 1 0 0 1

y2 1 −1 1 0 1 0 2

y3 −1 0 1 0 0 −1 0

h −1 −2 4 1 1 −1 3

z 1 1 0 0 0 0 3

Entsprechend (SR1) (bezüglich der h-Zeile) kann τ = 6 als Pivotspalte gewählt werden.Nach (SR2) ergibt sich σ = 3 und somit der Austausch y3 ↔ x6.

Ergänzen der Kellerzeile ergibt das Tableau:

x1 x2 x3 x4 x5 x6 1

y1 −1 −1 2 1 0 0 1

y2 1 −1 1 0 1 0 2

y3 −1 0 1 0 0 −1 0

h −1 −2 4 1 1 −1 3

z 1 1 0 0 0 0 3

K −1 0 1 0 0 ∗ 0

Durch AVS nach (SR3) folgt:

x1 x2 x3 x4 x5 1

y1 −1 −1 2 1 0 1

y2 1 −1 1 0 1 2

x6 −1 0 1 0 0 0

h 0 −2 3 1 1 3

z 1 1 0 0 0 3

103

5 Lineare Optimierung

Entsprechend (SR1) (bezüglich der h-Zeile) muss τ = 2 als Pivotspalte gewählt werden.Nach (SR2) ergibt sich σ = 1 und somit der Austausch y1 ↔ x2.

Ergänzen der Kellerzeile ergibt das Tableau:

x1 x2 x3 x4 x5 1

y1 −1 −1 2 1 0 1

y2 1 −1 1 0 1 2

x6 −1 0 1 0 0 0

h 0 −2 3 1 1 3

z 1 1 0 0 0 3

K −1 ∗ 2 1 0 1

Durch AVS nach (SR3) folgt:

x1 x3 x4 x5 1

x2 −1 2 1 0 1

y2 2 −1 −1 1 1

x6 −1 1 0 0 0

h 2 −1 −1 1 1

z 0 2 1 0 4

Entsprechend (SR1) (bezüglich der h-Zeile) wird τ = 3 als Pivotspalte gewählt werden. Nach(SR2) ergibt sich σ = 2 und somit der Austausch y2 ↔ x4.

Ergänzen der Kellerzeile ergibt das Tableau:

x1 x3 x4 x5 1

x2 −1 2 1 0 1

y2 2 −1 −1 1 1

x6 −1 1 0 0 0

h 2 −1 −1 1 1

z 0 2 1 0 4

K 2 −1 ∗ 1 1

Durch AVS nach (SR3) folgt:

x1 x3 x5 1

x2 1 1 1 2

x4 2 −1 1 1

x6 −1 1 0 0

h 0 0 0 0

z 2 1 1 5

Das Verfahren bricht mit hmin = 0 ab.

Durch Streichen der h-Ziele erhalten wir ein Simplextableau zur originalen NLO.

Dieses Simplextableau ist sogar bereits entscheidbar:

Es liegt ein optimales Simplextableau mit

x1 = 0 , x2 = 2 , x3 = 0 , x4 = 1 , x5 = 0 , x6 = 0

und zmin = 5 vor.

104

Inhaltsverzeichnis

1 Mengen und Funktionen 51.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.1 Logik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.2 Äquivalenz von aussagenlogischen Ausdrücken . . . . . . . . . . . . . . 61.1.3 Prädikative Ausdrücke, Quantifikatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.4 Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.5 Teilmengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.1.6 Leere Menge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.1.7 Potenzmengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2 Mengenalgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.1 Komplement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2.2 Regeln für das Rechnen mit Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2.3 Mengenfamilien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3 Kartesisches Produkt und Relationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.4 Abbildungen und Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4.1 Abbildungsbegriff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.4.2 Verkettung von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.4.3 Umkehrabbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2 Zahlen 252.1 Natürliche Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.1.1 Menge der natürlichen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.1.2 Induktionsprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.1.3 Prinzip der rekursiven Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.2 Kombinatorik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.2.1 Permutationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.2.1.1 Anordnung ohne Wiederholung . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.2.1.2 Anordnung mit Wiederholung . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.2.2 Variationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.2.2.1 Auswahl mit Beachtung der Reihenfolge und ohne Wieder-

holung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.2.2.2 Auswahl mit Beachtung der Reihenfolge und mit Wiederholung 29

2.2.3 Kombinationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.2.3.1 Auswahl ohne Beachtung der Reihenfolge und ohne Wieder-

holung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.2.3.2 Auswahl ohne Beachtung der Reihenfolge und mit Wieder-

holung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.2.4 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

105

Inhaltsverzeichnis

2.3 Rationale und Reelle Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.3.1 Weitere Zahlenbereiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.3.2 Gemeinsame Eigenschaften der rationalen und reellen Zahlen . . . . . 32

2.3.2.1 Algebraische Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.3.2.2 Ordnungseigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.3.3 Unterschiede der rationalen und reellen Zahlen . . . . . . . . . . . . . 332.4 Rechnen mit Gleichungen und Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.4.1 Äquivalente Umformungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.4.2 Rechnen mit Beträgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.5 Weitere Definitionen und Aussagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.5.1 Summen und Produkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.5.2 Potenzen und Wurzeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.5.3 Logarithmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3 Matrizen und Determinanten 393.1 Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.1.1 Matrizen und Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.1.2 Spezielle Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.1.3 Addition und Subtraktion von Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.1.4 Multiplikation mit einer reellen Zahl (Skalar) . . . . . . . . . . . . . . 463.1.5 Multiplikation von Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.1.6 Lineare Gleichungssysteme in Matrizen-Darstellung . . . . . . . . . . . 493.1.7 Die inverse Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.2 Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.2.1 Der Begriff der Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.2.2 Das Rechnen mit Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.2.3 Anwendungen auf lineare Gleichungssysteme im Fall m = n . . . . . . 55

3.3 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4 Das Austauschverfahren 594.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.2 Das Austauschverfahren als Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.2.1 Vorbereitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.2.2 Theoretische Durchführung des ersten Austauschschrittes . . . . . . . 624.2.3 Praktische Durchführung des ersten Austauschschrittes . . . . . . . . 634.2.4 Fortsetzung des Austauschverfahrens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.3 Anwendungen des Austauschverfahrens (AV) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684.3.1 Inversion von Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684.3.2 Lösung Linearer Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724.3.3 Berechnung von Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

5 Lineare Optimierung 815.1 Lineare Optimierungsprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 815.2 Normalform der linearen Optimierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

5.2.1 Die Normalform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

106

Inhaltsverzeichnis

5.2.2 Überführung in die Normalform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 865.3 Lösung einer Normalform der linearen Optimierung . . . . . . . . . . . . . . . 89

5.3.1 Bestimmung einer zulässigen Basisdarstellung von (G) . . . . . . . . . 895.3.2 Simplextableau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 925.3.3 Optimalität und Simplexkriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 935.3.4 Bestimmung des Minimums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

5.4 Ermittlung eines ersten Simplextableaus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

107

Inhaltsverzeichnis

108

Index

Äquivalenz, 5Äquivalenzrelation, 14äquivalent, 6

Abbildung, 14, 16Abbildung, affin-lineare, 60Abbildung, identische, 20Abbildung, lineare, 59Abbildung, surjektive, 18Addition, 32All-Quator, 7Antisymmetrie, 33Argument, 17Assoziativgesetz, 6, 12, 32Aussage, 5Aussageform, 5Aussagevariable, 5Austauschregeln, 62

Basen, negative, 38Basis, 90Basisdarstellung, 90Basisdarstellung, zulässige, 92Basislösung, 90Basisvariable, 90Bereich, zulässiger, 81Betrag, 35Betragsungleichung, 36Bijektion, 21bijektiv, 21Bild, 18

Definition, rekursive, 26Definitionsbereich, 17Determinante, 42, 51–53, 56, 57Determinante, Eigenschaften, 54Differenz, 11Differenz von Matrizen, 45Differenz, symmetrische, 11

disjunkt, 11Disjunktion, 5Distributivgesetz, 6, 12Division, 32Dreieck, Pascalsches, 30Dreiecksmatrix, 52Dreiecksungleichung, 37Durchschnitt, 11, 13durchschnittsfremd, 11

Einheitsmatrix, 44Entwicklung, 53Existenz-Quantor, 7

Fallunterscheidung, 36Funktion, 14, 16Funktion, eineindeutige, 18Funktion, gleichheit, 17Funktion, injektive, 18Funktion, surjektive, 18

Gleichungssystem, allgemeines lineares, 59Gleichungssystem, homogenes lineares, 56Gleichungssystem, inhomogenes lineares, 56Gleichungssystem, lineares, 42, 55, 58Graph, 17

Hauptstützelement, 62Hilfsproblem, 100

Identität, 20Implikation, 5Indexmenge, 13Input-Output-Koeffizient, 41invertierbar, 50

Körper, 32Körper, total angeordneter, 33Kellerzeile, 64

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Index

Koeffizientenmatrix, 42Kombination, 29Kombinationen, 29Kommutativgesetz, 6, 12Komplement, 12Komposition, 19Konjunktion, 5

Lösung, 42, 82Lösung, maximale, 82Lösung, minimale, 82Lösung, optimale, 82Lehrsatz, binomischer, 37linkseindeutig, 15linkstotal, 15Logarithmengesetze, 38Logarithmus, 38

Matrix, 39, 51, 53, 56Matrix, inverse, 50Matrix, invertierbare, 55–57Matrix, quadratische, 44Matrix, Rechenregeln, 51Matrix, symmetrische, 44Matrix, transponierte, 43Matrixgleichung, 51Menge, 7Menge, leere, 10Mengengleichheit, 9Multiplikation, 32

Nebenbedingung, 81Negation, 5Nichtbasisvariable, 90Nichtnegativitätsbedingungen, 81Normalform, 59Normalform der linearen Optimierung, 86Nullmatrix, 43

Optimierungsproblem, lineares, 81Ordnung, totale, 33Ordnungsrelation, 14, 32Output-Bilanz, 41

Paar, geordnetes, 14Permutation, 26

Pivotelement, 62Pivotspalte, 62Pivotzeile, 62Potenz, n-te, 37Potenzen mit natürlichen Exponenten, 26Potenzen mit rationalen Exponenten, 38Potenzgesetze, 38Potenzmenge, 37Potenzmenge, 10Prädikat, einstufiges, 6Prädikat, zweistufiges, 6Prinzip der vollständigen Induktion, 25Produkt von Matrizen, 47Produkt, kartesisches, 14Produktionskoeffizient, 41Produktmatrix, 47Produktzeichen, 36

Quantifikator, restringierter, 7

rechtseindeutig, 15Reflexivität, 33Regel, Cramersche, 57, 58Regeln, de Morgansche, 6, 12Reihenfolge, 26, 29Relation, 14

Sarrus-Regel, 43Seite, rechte, 42Simplex, 85Simplex-Regel, 95Simplextableau, 92Simplextableau, entscheidbares, 95Simplextableau, nicht-entscheidbares, 95Simplextableau, optimales, 93Simplexverfahren, 96Skalarprodukt, 47Spalte, 40Spaltenvektor, 40Subtraktion, 32Summe von Matrizen, 45Summenzeichen, 36System linearer Funktionen, 60

Teilmenge, 9

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Index

Teilmengen, 30Transitivgesetz, 33Trichotomie-Eigenschaft, 33Typ einer Matrix, 39

Umformungen, äquivalente, 34Umkehrabbildung, 20Urbild, 18

Variation, 28Vektor, 40Vektor der Absolutglieder, 42Vektor der Unbekannten, 42Vereinigung, 11, 13Verkettung, 19

Wahrheitswert, 5Wertebereich, 17werteverlaufsgleich, 6Wiederholung, 26, 29Wurzel, n-te, 37

Zahl, irrationale, 38Zahl, negative, 33Zahl, nichtnegative, 33Zahl, nichtpositive, 33Zahl, positive, 33Zahlengeraden, 36Zeile, 40Zeilenvektor, 40Zielfunktion, lineare, 81

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