Chaos in Eppelborn 1

Mathe in EppelbornMathe für Alle

• Dank an Peter Wagner von der SZ

• Dank an der Bürgermeister (Getränkeautomat)

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Chaos in Eppelborn,Chaos überall.

Warum wir die Zukunft nicht berechnen können, heute nicht und auch in

10 000 Jahren nicht.

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Was auf Sie zukommt:

• 20 Minuten: Einfaches, Wetter und so

• 30 Minuten: Mathe, Bevölkerungswachstum

• 10 Minuten: Einfach, aber wichtig: Eine neue Weltsicht

Stellen Sie bitte Fragen!

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Nach dem Vortrag wissen Sie

• was deterministisches Chaos bedeutet

• dass vieles nie berechnet werden kann

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„Deterministisches Chaos“

• Chaos: gr., formlos, konfus. Ovid: „die in unermesslicher Finsternis liegende gestaltlose Urmasse“. Vorstufe des KosmosHeute: Totales Durcheinander, Auflösung jeder Ordnung

• Kosmos: gr., Ordnung, Weltall• Determinare: lat., bestimmen, festlegen

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Unser Traum:Die Zukunft kennen

• Das Wetter morgen

• Börsenkurse in 4 Wochen

• Steueraufkommen im nächsten Jahr

• Erdbevölkerung in 15 Jahren

Astrologie oder Science?

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Warum es gelingen könnte: Kausalität

• Schwache Kausalität: Gleiche Ursachen, gleiche Wirkungen

• Starke Kausalität: Ähnliche Ursachen, ähnliche Wirkungen

Dazu die Naturgesetze! (Klassische Physik)

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Der Traum von Laplace

Verlauf der Welt aus dem Anfangszustand mit Hilfe der Physik berechnen.

Die Welt ist deterministisch

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Triumph der Methode

• Entdeckung des Planeten Neptun durch Galle 1846

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Triumph der Methode?Wettervorhersage

Kachelmann und Co:

Wie machen die das?

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Methoden der Wettervorhersage:

• 1. Katalog von Situationen: Ähnliche Situation, ähnliche Entwicklung, (Bauernregeln, heute Datenbanken mit Wettersituationen)

• 2. Aktuellen Zustand erfassen: Vorhersage mit Physik und Computern

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Wettervorhersage:DWD

Ausgangsdaten in Gitterpunkten erfassen:

Die ist der Zustand X0

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Wettervorhersage:DWD

• Messen des aktuellen Zustands : X0

• Berechnen des Zustands X1 in 30 Minuten.

• Danach: Berechnen des Zustands in 60 Minuten auf der Basis von X1: X2

So geht’s weiter!

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Math. Prinzip:Diskrete Iteration

• Berechnungsvorschrift f

• X0 gegeben Zustand jetzt

• X1 = f(X0) Zustand in 30 Minuten

• X2 = f(X1)

• X3 = f(X2) .....

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Der Anfang: Edward Lorenz

• Lorenz, amerikanischer Meteorologe, Birkhoff-Schüler

• 1963: Untersuchung eines Computer-Wettermodells mit drei Kenngrößen.

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Lorenz:

• Computerwetter extrem sensibel gegenüber Änderungen der Anfangsbedingungen („chaotisch“)

• Lorenz findet die richtige Interpretation: Die starke Kausalität gilt nicht in seinem System.

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Die weiteren Ergebnisse von Lorenz

Es gibt bei dem Computerwetter

• stabile Wetterlagen,

• periodische Wetterlagen,

• chaotische Wetterlagen

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Lorenz-Attraktor

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Lorenz-Attraktor

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Chaotische Wetterlagen

• Es gibt keine gleichen Wetterzustände (sonst wäre das Wetter periodisch!)

• Das Wetter kann nicht jeden Zustand annehmen

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Suche nach chaotischen Systemen

• Lineare Systeme sind nie chaotisch

• Also: Versuch mit möglichst einfachen nichtlinearen Systemen mit Anwendungen: Wachstumsmodelle

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Exkurs:Lineare Systeme

Ganz einfach:

Doppelte Ursache, doppelte Wirkung

Dreifache Ursache, dreifache Wirkung

......

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Nichtlinear:Lagerverschleiß

Doppelte Beladung,

Sechzehnfacher Verschleiß

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Wachstumsmodelle

• Fibonacci

• Verhuelst

• Polya

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Fibonacci:Kanickelvermehrung

• J1 = 1, E1 = 0

• J2 = 0, E2 = 1

• J3 = E2 , E3 = E2 + J2

• J4 = E3, E4 = E3 + J3

• Ji+1 = Ei, Ei+1= Ei + Ji

Kaninchen sind unsterblich

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Fibonacci:Kanickelvermehrung

• F1 = 1

• F2 = 1

• F3 = F1 + F2

• F4 = F2 + F3

• Fi+1 = Fi-1 + Fi

Kaninchen sind unsterblich

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Einige Fibonaccizahlen

1 12 13 24 35 56 87 138 219 3410 55

41 16558014142 26791429643 43349443744 70140873345 113490317046 183631190347 297121507348 480752697649 777874204950 1,2586E+10

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Verhuelst/Feigenbaum: Das logistische System

Verhuelst:

Einfaches Bevölkerungsmodell

Feigenbaum: Untersuchung des Modells mit Computern

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Das Verhuelst/Feigenbaum-System

Wachstum einer Bevölkerung

• Xi = Größe der Population im i-ten Jahr

• Maximum der Population = 1 (100 %)

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Logistisches Modell

Annahmen:

Xi+1 Xi

Xi+1 1 – Xi

Also:

Xi+1 = r • Xi • (1 – Xi)

r = Fruchtbarkeitsparameter

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Die einfache Mathematik:

xi+1 = f(xi), f(x) = rx(1-x), 0< r <4

r = 1 r = 4

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Verhuelst: Start: 0,25, r = 1

0

0,5

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Zeit

Population

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Verhuelst: Start: 0,25, r = 2

0

0,5

1

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Zeit

Population

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Verhuelst: Start: 0,25, r = 3,3

0

0,5

1

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Zeit

Population

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Verhuelst: Start: 0,25, r = 3,5

0

0,5

1

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Zeit

Population

Chaos in Eppelborn 36

Verhuelst: Start: 0,25, r = 3,6

0

0,5

1

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Zeit

Population

Chaos in Eppelborn 37

Verhuelst: Start: 0,25, r = 3,9

0

0,5

1

1,5

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Zeit

Population

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Verhuelst: Start: 0,25001, r = 3,9

0

0,5

1

1,5

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Zeit

Population

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Das Feigenbaumdiagramm

Wie entwickelt sich die Population nach langer Zeit für verschiedene

Fruchtbarkeiten r?

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Nach tausend Perioden 0 < r< 4

Chaos in Eppelborn 41

Nach tausend Perioden0 < r < 3

Chaos in Eppelborn 42

Nach tausend Perioden 3 < r< 4

Chaos in Eppelborn 43

Nach 2000 Perioden:r > 3,5

Chaos in Eppelborn 44

Nach 2000 Perioden:r > 3,8

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Es gäbe noch viel zu sagen zu Feigenbaum:

• Feigenbaumkonstante

• Andere Funktionen

• Der Satz von Sarkowski

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Was ist ein chaotisches System?

• Sensibel gegen Anfangsbedingungen

• Periodische Punkte liegen dicht

• Jede Teilfläche erreicht jedes Gebiet (Topologische Transitivität)

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Einige Themenfelder

• Dreikörperproblem: Poincaré

• Turbulenz: Kolmogoroff

• VWL-Modelle

• Wettermodelle

• Steuerung des Herzschlags

• Populationsmodelle

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Die wichtigste Konsequenz:

Gute Vorhersagen nach n Perioden: Genauigkeit der Anfangsbedingungen

wächst exponentiell in n.

Vieles wird nie berechenbar sein!

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Meine Sicht der Welt:

• Gott sei Dank ist nicht alles vorhersagbar

• Mit Mathe und sonstigen Wissenschaften ist man dennoch gut bedient

• Grenzwissenschaften sind keine Alternative

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Zufall und Wahrscheinlichkeit

• 4 Wege zu Zufall und Wahrscheinlichkeit:

– Die Laplace-Methode (Pascal)– Kolmogoroffs Axiome (etwa 1930)– Kolmogoroffs zufällige Folgen (1960)– Chaos (ab 1965)

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Laplace-Wahrscheinl.

• Beispiel: Würfeln mit einem idealen Würfel

1P(3)

6

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Axiomatische Wahrscheinl.

• Kolmogoroff: Grundgesetze für Wahrscheinlichkeiten (Rechenregeln), etwa 1930

• Die Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten bleibt dem Anwender überlassen

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Zufällige Folgen

• Kolmogoroff (1960): Wann ist eine Folge zufällig?

• Beispiele:• 0, 0, 0, 0, 0, 0, .....• 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, .....• 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, ....• 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0,

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Zufällige Folgen

• Kolmogoroff:

Eine Folge ist umso zufälliger, je länger ihre Beschreibung ist

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Eine neue Sicht: Chaos

• Würfeln ist chaotisch und erscheint daher als Zufallsexperiment

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Mathe in Eppelborn

• Es geht im Sommer weiter!

• Geplante Themen:– Überleben mit Statistik

– Numerologie, ist da was dran

• Eine lange Nacht der Mathematik in Eppelborn?