Der Aharonov-Bohm-Effekt

Lars Henkelmann 07.11.2014

Gliederung1. Einführung2. Begriffe3. Beschreibung

1. Magnetischer Aharonov-Bohm-EffektEin topologischer Effekt?

2. Elektrischer Aharonov-Bohm-Effekt

4. Interpretation

Definition

„ein quantenmechanisches Phänomen, bei dem ein elektrisch geladenes Teilchen von einem elektromagnetischen Feld beeinflusst wird,

obwohl es auf eine Region eingeschränkt ist, in welcher E=0 und B=0“

Nach : http://en.wikipedia.org/wiki/Aharonov-Bohm_effect am 03.10.2014

Ein Beispiel

Historisches● Zunächst rein

theoretisch● Erste Beschreibung:

Ehrenberg/Siday 1949

● Aufmerksam machten: Aharonov/Bohm 1959

David Bohm

Yakir Aharonov

http://www.theosophy-nw.org/theosnw/science/sc-pruyn.htm

http://gazette.gmu.edu/images/Aharonov_Y.jpg

Historisches● Experimentelle

Bestätigungen: 1960-1962● Experimente angefochten:

Abschirmung der Felder evtl. unzureichend?

● Endgültige Bestätigung: Tonomura et al. (1986) benutzten Supraleiter zur Abschirmung

Magnet und Abschirmung im Experiment von Tonomura et. al.

Aufgenommenes Bild

Felder und Vektorpotential

Klassisch ist die Beschreibung über Felder bzw. Vektorpotential äquivalent

Das Vektorpotential enthält mehr Informationals die Felder, daher Eichinvarianz

Eichinvarianz mit QMForderung: Invarianz unter Multiplikation mit lokaler Phase

freie Schrödingergleichung:

nimmt die Form an:

Vergleiche mit Schrödingergleichung im elektromagnetischen Feld:

Eichinvarianz mit QMAus Vergleich:

Entspricht umgeeichten A=0, Φ=0

Daher Eichtransformation insgesamt:

Magnetischer Aharonov-Bohm-Effekt: Aufbau

Magnetischer ABE● Berechne Einfluss des Magnetfelds auf Interferenzmuster

Experimentelles ErgebnisTonomura et. al. (1986)

Magnetischer ABE

Experimentelle Ergebnisse

Zeit

H.Boersch et. al. (1961)

Ort auf dem Schirm

Zeitverlauf der Intensitätsverteilung

2-dim. Schirmbild

A. Tonomura et al. (1986)

Ein topologischer Effekt?● Bei der vorherigen Rechnung war Topologie des zugänglichen

Raumes wichtig● Beschreibung mittels topologisch/geometrischer

Eigenschaften?➔ Berry-Phase!

Berry-Phase● Quanten-System abhängig von äußerem, klassischem

Parameter R● langsame Änderung von R ; adiabatische Entwicklung des

Systems ● Dann:

Berry-PhaseAnsatz zur Wellenfunktion (von eben):

Berry-PhaseAnsatz zur Wellenfunktion (von eben):

Einsetzen in zeitabhängige Schrödingergleichung führt auf:

Berry-PhaseAnsatz zur Wellenfunktion (von eben):

Einsetzen in zeitabhängige Schrödingergleichung führt auf:

Integration von 0 bis T ( R(T) = R(0) ) gibt Beitrag über geschlossenen Weg C:

Klassisches Analogon: Krümmung

http://en.wikipedia.org/wiki/File:Parallel_Transport.svg on 27.10.2014

Berry Phase beim Aharonov-Bohm-Effekt

Lösung der Schrödingergleichung

Hamiltonoperator:

Lösungen durch Eichtransformation:

Berechnung der Berry-PhaseBerry-Phase allgemein:

Berechnung der Berry-PhaseBerry-Phase allgemein:

Zustand unseres Systems:

Berechnung der Berry-PhaseBerry-Phase allgemein:

Zustand unseres Systems:

Setze Zustand in allg. Ausdruck ein:

Berechnung der Berry-PhaseBerry-Phase allgemein:

Zustand unseres Systems:

Setze Zustand in allg. Ausdruck ein:

bekannte Aharonov-Bohm-Phase

Elektrischer Aharanov-Bohm-Effekt : Schema

Erstes Zeitintervall

t < t0

Zweites Zeitintervall

t0 < t < t

1

Drittes Zeitintervall

t1 < t

Elektrischer ABE: Lösung für die Teilstrahlen

Räumlich konstantes Potential verändert Hamiltonoperator:

Neue Lösung ist (H zu H0

eichen):

Die verschiedenen Teilstrahlen

t0 < t < t

1

Elektrischer ABE: Relative PhaseLösung ist Summe der Teillösungen:

Mit relativer Phase:

Erinnerung: Phase beim Magn. Effekt:

Zusammen: relativistische Verallgemeinerung:

Interpretation: Felder vs. Vektorpotential

Klassisch:● Felder entscheidend● Vektorpotential ist

Rechenhilfe● Vollständige und lokale

Theorie mit Feldern möglich

Quantenmechanisch:● Beschreibung nur mit

Feldern ist zwingend nichtlokal

● Lokale Beschreibung: Vektorpotential

● Vektorpotential ist physikalisch fundamental

Interpretation: Eichinvarianz● In beiden Fällen bleibt die Eichinvarianz gewahrt● Dies gilt auch für den Aharonov-Bohm-Effekt:

● Sowohl B als auch die Fläche, über die integriert wird, sind eich-invariant, daher auch Φ

B

Interpretation

“It would therefore seem natural at this point to propose that, in quantum mechanics, the fundamental physical entities are the potentials, while the fields are derived from them by differentiations."Y. Aharonov, D. Bohm (1959)

LiteraturAharonov, Y.; Bohm, D. (1959) . Physical Review 115: 485-491.

Tonomura, A; Osakabe, N; Matsuda, T.; Kawasaki, T.; Endo,J. ; Phys. Rev. Lett. vol. 56, pp. 792-795 (1986).

Rollnik, H.(2003) „Quantentheorie 1 Grundlagen Wellenmechanik Axiomatik" 2. Aufl. Springer S.181-191

Schwabl, F. (2007) „Quantenmechanik eine Einführung" 7. Aufl. Springer S.151-155

Berry M. V.; (1980) Eur. J. Phys. 1 240-244.